PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

KAMI DARI KELOMPOK 10 KETUA : WULAN HANDAYANI

ANGGOTA :FANNY NURFAUZIAH

HILMA RAHAYUJIELDA AULIA KUSUMA

persamaandan

pertidaksamaan

Mewujudkan kompetensi

dasar dengan ditunjukan

dengan hasil belajar.

A. Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah jarak antara bilanganitu dengan nol pada garis bilangan real.

Kita lihat bahwa nilai mutlak akan bernilaipositif atau nol (nonnegatif).

|3| = 3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

|-3| = 3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x jika x ≥ 0

|x| =

-x jika x < 0

Berikut ini kita akan mencobamenggambar grafik

x jika x ≥ 0

f(x) = |x| =

-x jika x < 0

Tabel beberapa pasangan koordinat titik grafik

f (x) = |x|

X … -4 -2 -1 0 1 2 4 …

Y=f(x

)

… 4 2 1 0 1 2 4 …

(x,y) … (-

4,4)

(-

2,2)

(-

1,1)

(0,0) (1,1) (2,2) (4,4) …

Grfik terdapat pada buku

Persamaan

Persamaan adalah adanya kalimat matematika yang

belum mempunyai nilai kebenaran. Dalam

menyelesaikan suatu persamaan harus dicari suatu

bilangan sehingga persamaan tersebut menjadi

proposisi benar.

Persamaan Linier

Persamaan linier adalah suatu persamaan

yang mengandung satu peubah dan

berpangkat satu peubah ialah ax + b = c

dengan a, b dan c bilangan real dan a 0.

Definisi 1.

Persamaan linear satu variable adalah persamaanberbentuk ax + b = 0 dengan a, b Є R dan a ≠ 0,

danx : variabel reala : koefisien xb : konstanta

Contoh :

ax + b = c, a 0

ax + b – b = c – b

ax = c – b

a a

c - b c - b

x =

a

c - b

Himpunan Penyelesaian

a

Definisi 2.

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan berbentuk ax + by + c = 0

dengan a, b, c Є R, a dan b tidak keduanya nol, dimana

x,y : variabel reala : koefisien xb : koefisien yc : konstatnta

Contoh :

Jika x≥0, tentukan pasangan titik(x,y) yang

memenuhi persamaan linier x – 4y = 12 , untuk

x,y Є R kemudian gambarkan grafiknya!

Alternatif Penyelesaian

Pertama – tama kita tentukan nilai x dan y yang memenuhi

persamaan x – 4y =12. Dan kita buat pada table berikut.

Table pasangan titik (x,y) pada grafik x – 4y =12 untuk x≥0

X 0 1 2 3 ... ... ...

Y -3 -11/4 -10/4 -9/4 ... ... ...

(x,y) (0,-3) (1,-11/4) (2,-10/4) (3,-9/4) ... ... ...

Dari data table diatas dapat dinyatakkan bahwa

terdapat tak hingga banyaknya pasangan titik

(x,y) yang memenuhi persamaan x – 4y =12 ,

yaitu :

Himpunan Penyelesaian = {(0,-3), (1,-11/4), (2,-

10/4), (3,-9/4)

Grafik x – 4y =12 ini memotong sumbu x dititik

(12,0) dan memmotong sumbu y dititik (0,-3)

selanjutnya dengan menggunakan titik pada

table diatas kita dapat menggambarkan grafik x

– 4y =12 untuk x ≥ 0 pada bilangan koordinat.

Grafik Terdapat Pada Buku

Definisi 3

Misalkan a, b, dan c bilangan real dan a, b keduanyatidak 0.

Himpunan Penyelesaian persamaan linier ax+by=c adalah himpunan semua pasangan (x,y) yang memenuhi

persamaan liner tersebut.

PERSAMAAN LINIEAR DALAM NILAI

MUTLAK

Contoh :

Tentukan nilai x yang memenuhi

persamaan | x – 3 | + | 2x – 8| = 5

Jawab :

Dengan menggunakan definisi nilai mutlak

x – 3 jika x ≥ 3 2x - 8 jika x ≥ 4

|x-3| = dan |2x – 8| =

-x + 3 jika x < 3 -2x – 8 jika x < 4

a. Untuk x < 3 maka –x + 3 - 2x + 8 = 5 -3x + 11 = 5

-3x = -6

X = 2

(memenuhi karena x = 2 berada pada domain x < 3)

b. Untuk 3 ≤ x < 4 maka x – 3 – 2x + 8 = 5 -x + 5 = 5

-x = 0

x = 0

(tidak memenuhi karena x = 0 tidak berada pada domain 2 ≤ x < 4)

c. Untuk x ≥ 4 maka x – 3 +2x – 8 = 5 3x – 11 =5

3x = 16

x = 16/3

(memenuhi karena x = 16/3 berada pada domain x ≥ 4)

Jadi, himpunan penyelesaian dari

| x – 3 | + | 2x – 8| = 5 adalah Hp =

{(2,16/3)}

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yangmenggunakan tanda ≤, < ≥, atau > .

x + 6 > 3

x – 5 ≤ 7 + 2x

x + y < 2

x2 – 5x + 6 ≥ 0

x2 + y2 > 4

Bila pertidaksamaan hanya mengandung satu peubahdan berpangkat satu maka pertidaksamaan tersebutdinamakan pertidaksamaan linear satu peubah.

Bentuk umum pertidaksamaan linear satu peubahadalah ax + b ≤ 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b > 0 dengan a, b bilangan real dan a ≠ 0.

Pertidaksamaan Linier

Pertidaksamaan yang memuat satu variabeldan pangkat

variabelnya adalah satu disebutpertidaksamaan linear satu variabel.

Definisi 1

Pertidaksamaan linier satu variabel adalah persamaan yang berbentuk

ax + b < 0 dengan a : koefisien x, a ≠ 0, a Є R

ax + b ≤ 0 b : konstanta (b Є R)

ax + b > 0 x : variabel real

ax + b ≥ 0

Definisi 2

Pertidaksamaan linier dua variabel adalah persamaan yang berbentuk

ax + by + c < 0 dengan a, b : koefisien (a ≠ 0, b ≠ 0, a, b Є R)

ax + by +c ≤ 0 c : konstanta (c Є R)

ax + by+ c > 0 x, y : dua variabel real

ax + by + c ≥ 0

Sifat

Misal k adalahpertidaksamaan linier , maka :

Penambahan dan pengurangan bilangan dikeduaruas pertidaksamaan k, tidak mengubah solusipersamaan tersebut

Perkalian bilangan tidak 0 dikedua ruas padapertidaksamaan k, tidak mengubah solusipersamaan tersebut.

x + 6 > 3

x – 5 ≤ 7 + 2x

(a) x + 6 > 3

x > 6 - 3

x > 3

Himpunan selesaian { x > 3} dapat digambarkan sebagai garisbilangan berikut.

0 1 2 3

(b) x - 5 ≤ 7 + 2x

x – 2x ≤ 7 + 5

-x ≤ 12

x ≥ 12

Mengapa tanda ≤ berubah menjadi ≥ ?

Himpunan pelesaian {x ≥ 12} yang dapat

digambarkan sebagai garis bilangan berikut.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Garis bilangan dapat memudahkan untuk

mencari selesaian pertidaksamaan.

Pertidaksamaan linear yang melibatkan nilai mutlak

Contoh :

Selesaikanlah pertidaksamaan berikut dengan metodeumum |2x+1| ≥ |x-3| !

Alternatif penyelesaian

Pertidaksamaan diatas dapat diselesaikan denganmemanfaatkan |x| = √x2 dan

x jika x ≥ 0

|x| = serta grafik. Perhatikan langkah penyelesaian

berikut

-x jika x < 0

Langkah 1 : ingat bahwa |x| = √x2 sehinggaLangkah 2 : menentukan pembuat nol.

2x = ― atau x = -4

3Langkah 3 : letakkan pembuat nol dan tanda padapada garis bilanga

+ - +-4 2

Langkah 4 : menentukan interval penyelesaian.Dalam hal ini, interval penyelesaian merupakan selangnilai x yang membuat pertidaksamaan bernilai positif, sesuai dengan tanda pertidaksamaan pada soaldiatas. Dengan demikian arsiran pada interval dibawahini adalah interval penyelesaian pertidaksamaantersebut.

Langkah 5 : menuliskan kembali interval penyelesaian.

HP = x|x ≤ -4 atau x ≥ 2/3

Permasalahan diatas dapat diselidiki dengan

memperlihatkan grafik y = |2x + 1| dan grafik y = |x+3|,

untuk setiap x Є R .

Pertidak samaan |2x + 1| ≥ |x – 3| dapat dilihat sebagai

fungsi f (x) = |2x + 1| berada diatas grafik

f (x) = |x – 3|.

Terima Kasih