PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG A. KAIDAH …blog.uny.ac.id/nurhadi/.../09/Bab-4.-Permutasi-Kombinasi-Peluang.pdf · Setiap Minggu sebuah surat kabar mempublikasikan daftar 15 buku

1

PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG

A. KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung

berapa banyaknya cara yang mungkjin terjadi dalam suatu percobaan. Kaidah

pencacahan meliputi aturan pengisian tempat, permutasi dan kombinasi.

1. Aturan Pengisian Tempat

Jika suatu kejadian dapat terjadi dalam m cara dan kejadian kedua dapat

terjadi dalam n cara, pasangan kejadian dapat terjadi dalam mn cara.

Prinsip ini dapat digeneralisasikan untuk memasukan banyak kejadian

yang dapat terjadi dalam n1, n2, n3, . . . nk cara. Banyaknya k kejadian dapat

terjadi dalam n1 n2 n3 . … nk cara.

Contoh 1

Gunakan Asas Perkalian untuk menyelesaikan masalah ini.

Setiap Minggu sebuah surat kabar mempublikasikan daftar 15 buku fiksi

terbaik dan 10 buku non fiksi terbaik. Dalam berapa cara yang berbeda

dalam memilih satu buku fiksi dan non fiksi dari daftar?

Penyelesaian

Buku fiksi dapat dipilih dalam 5 cara dan buku non fiksi dalam 10 cara.

Buku fiksi dan non fiksi dapat dipilih dalam cara, atau 150 cara

2. Permutasi

Definisi: Permutasi

Permutasi dari sejumlah objek adalah susunan objek dalam urutan

berhingga.

2

Definisi: Notasi Faktorial

Untuk masing-masing bilangan bulat positif n,

n! =

Demikian juga, 0! = 1.

Definisi: Notasi nPr

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan , banyaknya

permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah

nPr =

Contoh 2

Berapa banyaknya permutasi dari pengambilan 5 kartu pada 52 kartu?

Penyelesaian

Banyaknya permutasi dari 52 kartu yang diambil 5 pada suatu waktu

adalah 52P5, atau .

Jawaban

Ada 311.875.200 permutasi dari pemilihan 5 kartu dari 52 kartu.

Contoh 3

Dalam berapa caraseorang presiden, wakil presiden, sekretaris dan

bendahara dapat dipilih dari sebuah klub yang beranggotakan 35?

Penyelesaian

3

Jika asumsikan bahwa tidak ada orang yang dapat menduduki fua jabatan,

dan semua anggota mampu menjadi pengurus, masalah ini menyertakan

banyaknya permutasi dari 30 orang yang diambil 4.

30P4 =

Jawaban

Ada 657.720 cara.

Permutasi dengan Pengulangan

Untuk semua bilangan positif n dan r dengan , banyaknya permutasi

yang berbeda dari n objek, r diantaranya sama, adalah

!!

rn

PP

rr

rn

Secara umum, jika ada r1 objek jenis pertama, r2 objek jenis kedua, dan

seterusnya, ada permutasi dari n objek yang berbeda.

Contoh 4

Berapa banyaknya permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI?

Penyelesaian

Ada 11 huruf yaitu 4 huruf I, 4 huruf S, dan 2 huruf P. Sehingga, ada

!2!4!4!11

244444

111 PPP

P

permutasi yang berbeda.

Jawaban

Ada 34.650 permutasi yang berbeda dari kata MISSISSIPI.

3. Kombinasi

4

Definisi: Kombinasi

Kombinasi adalah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya.

Definisi: Notasi rn C

Untuk semua bilangan positif n dan r, dengan , banyaknya kombinasi

n objek yang diambil 4 objek pada suatu waktu adalah

!)!(!

rrnn

PPC

rr

rnrn

Contoh 1

Sederhanakan 58 C

Penyelesaian

56123678

!5!3!8

!5)!58(!8

58

C

Contoh 2

Berapa banyaknya cara 5 kartu dapat dibentuk dari 52 kartu?

Penyelesaian

Urutan kartu tidak diperhatikan. Oleh karena itu, kita harus menemukan

banyaknya kombinasi

552C =

Contoh 3

Selesaikan

Berapa banyaknya cara untuk memilih 3 siswa SMP dan 4 siswa SMA dari

sebuah sekolah kursus dengan 10 mahasiswa tingkat pertama, 15 mahasiswa

tingkat kedua, 18 siswa SMP, dan 20 siswa SMA untuk bernyanyi?

5

Penyelesaian

3 Siswa SMP dapat dipilih dalam 318C cara.

4 siswa SMA dapat dipilih dalam 420C cara.

Siswa SMP dan SMA dapat dipilih dalam 318C 420C cara.

318C 420C

B. Peluang

1. Pengertian percobaan, ruang sampel dan kejadian

a. Percobaan

Sifat dasar percobaan:

1. Setiap jenis percobaan mempunyai kemungkinan hasil atau

peristiwa (kejadian) yang akan terjadi.

2. Hasil dari setiap percobaan secara pasti sulit ditentukan

Ilustrasi:

Percobaan Kemungkinan Hasil

Melempar 1 keping mata uang

logam

Mucul gambar (G) atau angka (A)

Melempar 1 buah dadu Muncul mata 1, 2, 3, 4, 5 dan 6

b. Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin pada

suatu percobaan dilambangkan dengan S

Titik Sampel adalah elemen-elemen (anggota-anggota) dari ruang

sampel

c. Kejadian

Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari

hasil percobaan yang diinginkan.

6

2. Menentukan Peluang Kejadian

a. Definisi Peluang

Misalnya S adalah rung sampel dari suatu percobaan dengan setiap

anggota S memiliki kesempatan muncul yang sama. Andaikan A

adalah suatu kejadian dengan , maka peluang kejadian A adalah

Dengan

n(A) : banyak anggota dalam kejadian A

n(S) : banyak anggota dalam himpunan ruang sampel S

Sifat-Sifat Dasar Peluang

Untuk setiap kejadian E dari ruang sampel S:

I.

II. E = S, maka P(E) = 1

III. Jika

IV.

Peluang Bersama dari Kejadian yang Saling Asing

Jika A dan B kejadian yang saling asing, maka

Definisi: Kejadian Independen

Dua kejadian A dan B independen jika dan hanya jika

Prinsip Penambahan Peluang secara Umum

Untuk dua kejadian sebarang A dan B pada ruang sampel S,

7

Dalam kehidupan ini peristiwa yang akan atau belum terjadi masih merupakan

ketidakpastian. Ketidakpastian ini yang membawa kita kepada konsep peluang. Peluang

digunakan untuk menyatakan besarnya kemungkinan terjadinya suatu peristiwa, resiko

dari suatu usaha, atau menyatakan tingkat kepercayaan. Dalam bab ini akan didefinisikan

peluang secara matematis. Konsep peluang dibangun menggunakan konsep himpunan.

Beberapa istilah yang berkaitan dengan definisi peluang diberikan pada daftar istilah

berikut.

Contoh 7.1

Misalkan pada percobaan memeriksa tiga barang (komponen elektronik tertentu) yang

dihasilkan oleh mesin tertentu di suatu pabrik. Tiap barang diperiksa dan digolongkan

sebagai baik (B) atau cacat (C).

Ruang sampel dalam percobaan ini adalah S = {BBB, BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB}

Misalkan:

K adalah kejadian tidak terdapat barang yang cacat,

L adalah kejadian terdapat barang yang cacat,

M adalah kejadian terdapat satu barang yang cacat,

N adalah kejadian terdapat dua barang yang cacat,

O adalah kejadian banyaknya barang yang cacat satu atau dua buah,

maka

K = {BBB}

L = {BBC, BCC, CCC, CBB, CBC, BCB, CCB}

M = {CBB, BCB, BBC}

N = {BCC, CBC, CCB}

O = {CBB, BCB, BBC, BCC, CBC, CCB}

Perhatikan bahwa kejadian L = = Kc, kejadian O = MN

Tentukan M N, M L, N L, L O

8

Definisi Peluang

Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan dan A, A1, A2, ... kejadian yang mungkin

pada ruang sampel ini. Suatu fungsi P(A) disebut peluang dari A, jika memenuihi sifat-sifat

berikut :

a. 0≤ P(A)

b. P(S) = 1

Untuk sembarang kejadian A1 , A 2 , A 3 …… yang saling asing yaitu A i ∩ A j = Ø

untuk i≠j maka P

1ii = )(

1

iiAP

Definisi Klasik Tentang Peluang

Jika suatu eksperimen menghasilkan sejumlah hingga hasil yang mungkin, misalnya n, dan

setiap hasil tidak mungkin terjadi bersama-sama serta masing-masing mempunyai

kemungkinan yang sama untuk terjadi, maka Snn(A))( AP , dengan n(A) = banyaknya hasil

dalam A.

Misalkan S ruang sampel dari suatu percobaan acak, maka berlaku:

1. P(Ac) = 1 - P(A)

2. Untuk sebarang kejadian A dan B dengan AB = ,

P(AB) = P(A) + P(B)

3. Untuk sebarang kejadian A dan B,

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB)

Contoh 7.2

Pengambilan sebuah kartu dilakukan secara acak dari kotak dengan 52 kartu,

sehingga setiap kartu mempunyai peluang yang sama untuk terpilih yaitu dengan

peluang1/52.

Misalkan A adalah kejadian diperoleh “sebuah kartu as merah” dan B adalah

kejadian diperoleh “sebuah hati”, maka

P(A)=2/52 dan P(B)=13/52

9

P(AB) = 1/52.

P(AB) = 2/52 + 13/52 - 1/52 = 14/52 = 7/26

7.2 Peubah Acak Diskret

Misal S ruang sampel. Fungsi X yang memetakan setiap anggota ruang sampel S ke

suatu bilangan riil disebut peubah acak (variabel random). Peubah acak biasanya

dinotasikan dengan huruf besar, misal X, Y, Z, dan sebagainya, sedangkan nilai-nilai dari

peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil misal x, y, z, dan sebagainya.

Contoh 7.3

Pada percobaan melambungkan satu mata uang logam setimbang satu kali, misalkan yang

diperhatikan adalah sisi mata uang yang muncul yaitu Angka (A) atau Gambar (G), maka

ruang sampel S = {A,G}.

Misal X adalah peubah acak yang menyatakan frekuensi munculnya gambar, maka nilai-

nilai X yang mungkin adalah 0 atau 1.

Himpunan semua nilai X yang mungkin dinotasikan dengan X(S), sehingga untuk contoh di

atas X(S) ={0,1}.

Contoh 7.4

Seorang petugas bagian penerima dan pemeriksa barang di suatu departemen bertugas

untuk mengamati barang-barang eletronik yang diterima oleh departemen tersebut apakah

baik (B) atau cacat (C). Karena adanya keterbatasan waktu, petugas tersebut tidak dapat

mengecek semua barang yang masuk melainkan hanya akan mengambil secara acak 3

barang saja.

Seluruh hasil yang mungkin dari pengamatan petugas tersebut adalah

S = {BBB,BBC,BCB,CBB,CCB,CBC,BCC,CCC}

Misal Y peubah acak yang menyatakan banyaknya peralatan yang cacat, maka nilai-nilai Y

yang mungkin adalah 0, 1, 2, atau 3. Jadi Y(S) = {0,1,2,3}

Contoh 7.5

10

Jika dua dadu setimbang bermata enam dilambungkan sekali, maka ruang sampel dari

percobaan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut:

percobaan tersebut dapat dinyatakan dalam tabel berikut:

Dadu II I

1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Misal T peubah acak yang menyatakan jumlah mata dadu yang muncul, maka T(S) = {2, 3, 4, …, 12} Selain itu, definisikan contoh peubah acak yang lain dari percobaan melambungkan dua

dadu setimbang bermata enam di atas.

Jika himpunan nilai-nilai yang mungkin dari peubah acak X merupakan himpunan

terhitung yaitu {x1, x2, x3, …., xn} atau {x1, x2, x3, …. } maka peubah acak tersebut disebut

peubah acak diskret.

Pada contoh di atas X,Y,T merupakan peubah acak diskret.

7.3 Sebaran Peluang Peubah Acak Diskret

Fungsi peluang peubah acak X dinotasikan dengan f(x) didefinisikan sebagai f(x) =

P(X = x). ( f(x) didefinisikan sebagai peluang X=x )

Untuk Contoh 7.3 di atas, nilai-nilai f(x) adalah:

1(0) ( 0)2

f P X

1(1) ( 1)2

f P X

Untuk Contoh 7.4, nilai-nilai f(y) dapat dinyatakan dalam tabel berikut:

y 0 1 2 3

F (y) =

P(Y =y) 81

83

83

81

11

Tabel di atas merupakan tabel sebaran peluang peubah diskret Y.

Contoh soal:

1. Sebuah kotak berisi 20 kelereng, 5 berwarna merah dan 12 berwarna kuning

serta sisanya berwarna hijau.

Peluang terambil 1 kelereng berwarna merah adalah

Peluang terambil 1 kelereng berwarna kuning adalah

Peluang terambil 1 kelereng berwarna hijau adalah

2. Sebuah dadu dilempar satu kali. Kejadian A adalah munculnya angka genap

dan kejadian B adalah munculnya angka yang habis dibagi tiga. Tentukan

peluang muncul angka genap atau angka yang habis dibagi tiga.

Solusi:

S: {1,2,3,4,5,6}, n(S) = 6

A : {2,4,6}, n(A) = 3

B: {3, 6}, n(B) =2

{6}, n( ) = 1

Peluang A atau B:

=

3. Dalam kotak terdapat 7 bola yang terdiri dari 5 bola berwarna putih dan 2 bola

berwarna biru. Akan diambil 2 bola secara acak. Tentukan peluang yang

terambil 1 putih dan 1 biru , jika pengambilannya sekaligus!

Solusi:

n(S) = terambilnya 2 bola dari 7 bola

12

27 C

211267

!2!5!7

!2)!27(!7

n(A) = terambilanya 1 bola putih dan 1 bola biru

10251215 CC

4. Seperti soal no 3, tetapi penambilan satu demi satu tanpa pengembalian

Solusi:

P(1p,1b) = P(pb) + P(bp)

(pada pengambilan kedua bola sudah berkurang jadi penyebutnya adalah 6)

5. Seperti soal no 3, tetapi penambilan satu demi satu dengan pengembalian

P(1p,1b) = P(pb) + P(bp)

(karena dikembalikan jadi pada pengambilan kedua banyaknya bola tetap, jadi

penyebutnya adalah 7)

Latihan soal:

1. Doni melempar 3 keping uang logam sekali secara bersama, bila A merupakan kejadian muncul angka paling sedikit satu kali, maka P(A) adalah ….

2. Sebuah kotak berisi 4 bola merah dan 3 bola kuning, diambil 2 bola sekaligus. Peluang terambil bola merah dan putih adalah…

3. Dari tumpukan kartu “bridge” diambil 2 lembar kartu. Hitung peluang terambilnya kartu As pada pengambilan pertama dan kedua jika

a. Kartu pertama dikembalikan lagi sebelum kartu kedua diambil

13

b. Kartu pertama tidak dikembalikan lagi sebelum kartu kedua diambil