Pengujian Hipotesis (Makalah Pengantar Statistika)

Pengujian Hipotesis 1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam bab yang lalu telah dipelajari cara-cara menaksir parameter.

Berdasarkan penaksiran yang dilakukan, lalu kesimpulan dibuat bagaimana atau

berapa harga parameter itu. Dalam bab ini, cara pengambilan kesimpulan yang

kedua akan dipelajari, melalui pengujian hipotesis.

Hipotesis adalah asumsi atau dugaan mengenai sesuatu hal yang dibuat untuk

menjelaskan hal itu yang sering dituntut untuk melakukan pengecekannya. Jika

asumsi atau dugaan itu di khususkan mengenai populasi, umumnya mengenai

nilai-nilai parameter populasi, maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.

Kecuali dinyatakan lain, disini dengan hipotesis di maksudkan hipotesis statistik.

Demikianlah misalnya , yang berikut dapat dianggap sebagai hipotesis:

a. Peluang lahirnya bayi berjenis laki-laki = 0,5

b. 30 % masyarakat termasuk golongan A

c. Rata-rata pendapatan keluarga disuatu daerah Rp. 35. 000,00 tiap bulan

Setiap hipotesis bisa benar atau tidak benar dan karenanya perlu diadakan

penelitian sebelum hipotesis itu diterima atau di tolak. Langkah atau prosedur

untuk menentukkan apakah menerima atau menolak hipotesis dinamakan

pengujian hipotesis.

Di dalam bab ini, cara pengujian hipotesis akan dipelajari dan dari hasilnya

kesimpulan tentang populasi akan di buat

B. Rumusan Masalah

1. Apakah yang dimaksud dengan pengujian hipotesis?

2. Apa saja macam-macam kekeliruan dalam pengujian hipotesis?

3. Bagaimanakah langkah- langkah dalam pengujian hipotesis?

4. Bagaimana cara menguji rata-rata 𝜇 untuk uji dua pihak?


5. Bagaimana cara menguji rata-rata 𝜇 untuk uji satu pihak?

6. Bagaimana cara menguji proporsi 𝜋 untuk uji dua pihak?

7. Bagaimana cara menguji proporsi 𝜋 untuk uji satu pihak?

8. Bagaimana cara menguji varians 𝜎 2?

9. Bagaimana cara menguji kesamaan dua rata-rata untuk uji dua pihak?

10. Bagaimana cara menguji kesamaan dua rata-rata untuk uji satu pihak?

11. Bagaimana cara menguji kesamaan dua proporsi untuk uji dua pihak?

12. Bagaimana cara menguji kesamaan dua proporsi untuk uji satu pihak?

13. Bagaimana cara menguji kesamaan dua varians?

14. Bagaimanakah cara menentukan kuasa uji dan kurva ciri operasi?

15. Bagaimanakah caranya menentukan ukuran sampel?

16. Bagaimanakah cara menguji homogenitas varians populasi?

C. Tujuan

Tujuan dari penulisan makalah ini yaitu untuk memberikan informasi

kepada mahasiswa mengenai pengujian hipotesis dan untuk memenuhi salah satu

tugas mata kuliah pengantar statisti.


BAB II

PEMBAHASAN

A. Dua Macam Kekeliruan

Untuk pengujian hipotesis, penelitian dilakukan, sampel acak diambil, nilai-

nilai statistik yang perlu dihitung kemudian dibandingkan menggunakan kriteria

tertentu dengan hipotesis. Jika hasil yang didapat dari penelitian itu, dalam

pengertian peluang, jauh berbeda dari hasil yang diharapkan terjadi berdasarkan

hipotesis, maka hipotesis ditolak. Jika terjadi sebaliknya, hipotesis diterima. Perlu

dijelaskan disini bahwa meskipun berdasarkan penelitian kita telah menerima atau

menolak hipotesis, tidak berarti bahwa kita telah membuktikan bahwa kita telah

membuktikan kebenaran hipotesis. Yang kita perlihatkan hanyalah menerima atau

menolak hipotesis saja.

Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat

terjadi, dikenal dengan nama-nama:

a. Kekeliruan tipe I: ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima

b. Kekeliruan tipe II: ialah menerima hipotesis yang seharusnya ditolak

Untuk mengingat hubungan antara hipotesis, kesimpulan dan tipe kekeliruan,

dapat dilihat dalam tabel dibawah ini.

Kesimpulan

Keadaan sebenarnya

Hipotesis benar

Hipotesis salah

Terima hipotesis

Benar

Keliru

(kekeliruan tipe II)


Tolak hipotesis

Keliru

(kekeliruan tipe I)

Benar

Ketika merencanakan suatu penelitian dalam rangka pengujian hipotesis,

jelas kiranya bahwa kedua tipe kekeliruan itu harus dibuat sekecil mungkin. Agar

penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan dalam

peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan α (baca :

alfa) dan peluang membuat kekeliruan tipe II dinyatakan dengan β (baca : beta).

Berdasaran ini, kekeliruan tipe I dinamakan pula kekeliruan α dan kekeliruan II

dikenal dengan kekeliruan β.

Dalam penggunaannya α disebut pula taraf signifikan atau taraf arti atau

sering pula disebut taraf nyata. Besar kecilnya α dan β yang dapat diterima dalam

pengambilan kesimpulan bergantung pada akibat-akibat atas diperbuatnya

kekeliruan-kekeliruan itu. Selain daripada itu perlu pula dikemukakan bahwa

kedua kekeliruan itu saling berkaitan. Jika α diperkecil, maka β menjadi besar dan

demikian sebaliknya. Pada dasarnya, harus dicapai hasil pengujian hipotesis yang

baik, ialah pengujian yang bersifat bahwa diantara semua pengujian yang dapat

dilakukan dengan harga α yang sama besar , ambillah sebuah yang mempunyai

kekeliruan β paling kecil.

Prinsip demikian memerlukan pemecahan matematik yang sudah keluar

dari tujuan buku ini. Karenanya, untuk keperluan praktis, kecuali dinyatakan lain,

α akan diambil lebih dahulu dengan harga yang biasa digunakan, yaitu α = 0,01

atau α = 0,05, dengan α = 0,05, misalnya atau sering pula disebut taraf nyata 5%,

berarti kira-kira 5 dari tiap 100 kesimpulan bahwa kita akan menolak hipotesis

yang seharusnya diterima. Dengan kata lain kira-kira 95% yakin bahwa kita telah

membuat kesimpulan yang benar. Dalam hal demikian dikatakan bahwa hipotesis

telah ditolak pada taraf nyata 0,05 yang berarti kita mungkin salah dengan

peluang 0,05.


Untuk setiap pengujian dengan α yang ditentukan, besar β dapat dihitung.

Harga ( 1 – β ) dianamakan kuasa uji. Ternyata bahwa nilai β berbeda untuk harga

parameter yang berlainan, jadi β bergantung pada parameter, katakanlah θ,

sehingga didapat β (θ) sebuah fungsi yang bergantung pada θ. Bentuk β (θ)

dinamakan fungsi ciri operasi, disingkat C.O., dan 1 – β(θ) disebut fungsi kuasa.

B. Langkah-Langkah Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima

hipotesis atau menolak hipotesis. Jadi dengan demikian terdapat dua pilihan. Agar

supaya dalam penentuan salah satu di antar dua pilihan itu lebih terperinci dan

lebih mudah dilakukan, maka akan digunakan perumusan-perumusan seperlunya.

Hipotesis, yang disini akan dinyatakan dengan H, supaya dirumuskan dengan

singkat dan jelas sesuai dengan persoalan yang dihadapi. Supaya nampak adanya

dua pilihan, hipotesis H ini perlu di dampingi oleh pernyataan lain yang isinya

berlawanan. Pernyataan ini yang merupakan hipotesis tandingan untuk H, akan

disebut alternatif, dinyatakan dengan A. Pasangan H dan A ini tepatnya H

melawan A, lebih jauh juga menentukkan kriteria pengujian yang terdiri dari

daerah penerimaan dan daerah penolakan hipotesis. Daerah penolakan hipotesis

sering pula dikenal dengan nama daerah kritis.

Kalau yang sedang di uji parameter θ (dalam penggunaannya nanti θ bisa rata-

rata µ, proporsi π, simpangan baku σ dan lain-lain), maka akan didapat hal-hal:

a. Hipotesis mengandung pengertian sama. Dalam hal ini pasangan H dan A

adalah:

1) H : 0 = 00

A : 0 = 01

2) H : 0 = 00

A : 0 ≠ 01


3) H : 0 = 00

A : 0 > 01

4) H : 0 = 00

A : 0 < 01

Dengan 00, 01 dua harga berlainan yang diketahui. Pasangan (1)

dinamakan pengujian sederhana lawan sederhana sedangkan yang lainnya

merupakan pengujian sederhana lawan komposit.

b. Hipotesis yang mengandung pengertian maksimum.

Untuk ini H dan A berbentuk:

H : θ ≤ 00

A : θ > 01

Yang biasa dinamakan pengujian komposit lawan komposit.

c. Hipotesis mengandung pengertian minimum.

Perumusan H dan A berbentuk:

H : θ ≥ 00

A : θ < 01

Ini juga pengujian komposit lawan komposit.

Dalam makalah ini yang akan dipelajari hanyalah pengujian terhadap

hipotesis yang perumusannya mengandung pengertian sama atau tidak memiliki

perbedaan, disebut hipotesis nol dengan lamban H0 melawan tandingannya

dengan lambang H1 yang mengandung pengertian tidak sama, lebih besar atau

lebih kecil. H1 harus dipilih atau ditentukan peneliti sesuai dengan persoalan yang

dihadapi.

Pasangan H0 dan H1 yang telah dirumuskan, untuk kita disini akan

dituliskan dalam bentuk:

H0 : 0 = 00


H1: 0 ≠ 01 atau

H0 : 0 = 00

H1: 0 > 01 atau

H0 : 0 = 00

H1: 0 < 01

Langkah berikutnya, kita pilih bentuk statistik mana yang harus digunakan,

apakah z, t X2, F, atau lainnya. Harga statistik yang dipilih, besarnya dihitung dari

data sampel yang dianalisis. Kemudian berdasarkan pilihan taraf nyata α atau

disebut juga ukuran daerah kritis, kriteria pengujian kita tentukan. Peran hipotesis

tandingan H1 dalam penentuan daerah kritis adalah sebagai berikut:

a) Jika tandingan H1 mempunyai perumusan tidak sama, maka dalam distribusi

statistik yang digunakan, normal untuk angka z, student untuk t, dan

seterusnya, didapat dua daerah kritis masing-masing pada ujung-ujung

distribusi. Luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah ½

α. Karena adanya dua daerah penolakan ini maka pengujian hipotesis

dinamakan uji dua pihak.

Daerah penerimaan Ho

Daerah penolakan Ho daerah penolakan Ho

α/2 d1 d2 α/2

Gambar 1

Gambar diatas memperlihatkan sketsa distribusi yang digunakan

disertai daerah-daerah penerimaan dan penolakan hipotesis. Kedua daerah ini

dibatasi oleh d1 dan d2 yang harganya didapat dari daftar distribusi yang

bersangkutan dengan menggunakan peluang yang ditentukan oleh α. Kriteria


yang didapat adalah terima hipotesis H0 jika harga statistik dihitung

berdasarkan data penelitian jatuh antara d1 dan d2, dalam hal lainnya H0

ditolak.

b) Untuk tandingan H1 yang mempunyai perumusan lebih besar, maka dalam

distribusi yang digunakan didapat sebuah daerah kritis letaknya di ujung

sebelah kanan. Luas daerah kritis atau daerah penolakan ini sama dengan α.

Daerah Penerimaan Ho α

Daerah kritis

d Daerah penolakan Ho

Gambar 2

Harga d, didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang

yang ditentukan oleh α, menjadi batas antara daerah kritis dan daerah

penerimaan H0. Kriteria yang dipakai adalah tolak H0 jika statistik yang

dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d,. Dalam hal lainnya kita

terima H0. pengujian ini dinamakan uji satu pihak, tepatnya pihak kanan.

c) Akhirnya, jika tandingan H1 mengandung pernyataan lebih kecil, maka

daerah kritis ada diujung kiri dari distribusi yang digunakan. Luas daerah ini

= α yang menjadi batas daerah penerimaan H0 oleh bilangan d yang didapat

dari daftar distribusi yang bersangkutan. Peluang untuk mendapatkan d

ditentukan oleh taraf nyata α.

Daerah Penerimaan Ho

Daerah penolakan Ho

α daerah penerimaan Ho


daerah kritis Gambar 3

Kriteria yang digunakan adalah terima H0 jika statistik yang dihitung

berdasarkan penelitian lebih besar dari d sedangkan dalam hal lainnya H0 kita

tolak. dengan demikian, dalam hal ini kita mempunyai uji satu pihak ialah

pihak kiri. Atas dasar hasil pengujian yang dilakukan, akhirnya kesimpulan

dapat dirumuskan.

C. Menguji Rata-Rata µ : Uji Dua Pihak

Umpamakanlah kita mempunyai sebuah populasi berdistribusi normal

dengan rata-rata µ dan simpangan baku σ. Akan diuji mengenai parameter rata-

rata µ. Untuk ini, seperti biasa diambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu

dihitung statistik �̅� dan s. Kita bedakan hal-hal berikut :

a. σ diketahui

untuk pasangan hipotesis H0 : µ = µ0

H0 : µ = µ0

Dengan µ0 sebuah harga yang diketahui, digunakan statistik:

𝑧 =�̅� − 𝜇0

𝜎/√𝑛… … … (1)

Dari bab sebelumnya, statistik z ini berdistribusi normal baku, sehingga

untuk menentukan kriteria pengujian, seperti tertera pada gambar (1) , digunakan

daftar distribusi normal baku. H0 kita terima jika – z1/2 (1 – α ) < z < z1/2 (1 – α ) dengan

z1/2 (1 – α ) didapat dari daftar normal baku dengan peluang ½ (1 – α ). Dalam hal

lainnya H0 ditolak.

Contoh :

Pengusaha lampu pijar A mengatakan bahwa lampunya bisa tahan pakai

sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa pakai lampu itu telah

berubah. Untuk menentukan hal ini , dilakukan penelitian dengan jalan menguji


50 lampu. Ternyata rata-ratanya 792 jam. Dari pengalaman, diketahui bahwa

simpangan baku masa hidup lampu 60 jam. Selidikilah dengan taraf nyata 0,05

apakah kualitas lampu itu sudah berubah atau belum.

Jawab:

Dengan memisalkan masa hidup lampu berdistribusi normal, maka kita akan

menguji

H0 : µ = 800 jam, berarti lampu itu masa pakainya sekitar 800 jam

H1 : µ ≠ 800 jam, berarti kualitas lampu telah berubah bukan 800 jam lagi.

Dari pengalaman, simpangan baku σ = 60 jam.

Dari penelitian didapat �̅� = 792 jam dengan n = 50. Statistik yang digunakan

adalah seperti dalam rumus (1) diatas dengan mesubtitusikan µ0 = 800, didapat:

𝑧 =792 − 800

60/√50= −0,94

Kriteria yang dipakai, dari daftar normal baku untuk uji dua pihak dengan α =

0,05 yang memberikan z0,475 = 1,96 adalah:

-1,96 1,96



Gambar 4

Terima H0 jika z hitung terletak antara -1,96 dan 1,96. Dalam hal lainnya

H0 ditolak. Dari penelitian sudah didapat z = -0,94 dan ini jelas terletak dalam

daerah penerimaan H0 jadi H0 diterima.

Ini berarti dalam taraf nyata 0,05 penelitian memperlihatkan bahwa

memang masa pakai lampu masih sekitar 800 jam. Jadi belum berubah.

Catatan: pengujian yang menghasilkan H0 diterima dalam taraf nyata 0,05

dinamakan uji tak nyata atau uji tak berarti atau uji non-signifikan.

b. σ tidak diketahui

Pada kenyataannya, simpangan baku σ sering tidak diketahui. Dalam hal ini, maka

diambil taksirannya, ialah simpangan baku s yang dihitung dari sampel dengan

menggunakan rumus yang telah dibahas pada bab sebelumnya . statistik yang

digunakan untuk menguji hipotesis:

H0 : µ = µ0

H1 : µ ≠ µ0

Tidak lagi seperti dalam rumus (1), akan tetapi:

𝑡 =�̅� − 𝜇0

𝑠/√𝑛… … … (2)

Untuk populasi normal, dari bab sebelumnya kita mengetahui bahwa t

berdistribusi student dengan dk = (n – 1). Karena itu, distribusi untuk melakukan

kriteria pengujian digunakan distribusi student dan batas-batas kriteria untuk uji

dua pihak ini didapat dari daftar distribusi student pula. H0 kita terima jika –t1 – 1/2α

< t < t1 – 1/2α dengan t1 – 1/2α didapat dari daftar distribusi t dengan peluang (1 –

1/2α) dan dk = ( n – 1 ). Dalam hal lainnya, H0 kita tolak.

Distribusi Normal Baku


Contoh:

Untuk contoh sebelumnya yaitu tentang masa pakai lampu, misalkan simpangan

baku populasi tidak diketahui, dan dari sampel didapat s = 55 jam, maka dari

rumus (2) dengan �̅� = 792 jam, µ = 800, s = 55 dan n = 50, didapat:

𝑡 =792−800

55/√50= −1,029

Gambar 5

Dari daftar distribusi student dengan α = 0,05 dan dk = 49 untuk uji dua pihak,

didapat t = 2,01 kriteria pengujian: terima H0 jika t dihitung terletak antara -2,01

dan 2,01 sedangkan dalam hal lainnya H0 ditolak.

Penelitian menghasilkan t = -1,029 yang jelas terletak dalam daerah penerimaan.

Kesimpulan sama seperti contoh diatas.

D. Menguji Rata-Rata µ : Uji Satu Pihak

Perumusan yang umum untuk uji satu pihak kanan mengenai rata-rata µ

berdasarkan H0 dan H1 adalah:

H0 : µ = µ0

-2,01 2,01


Distribusi Student, Dk=49


H1 : µ > µ0

Kita misalkan populasi berdistribusi normal dan daripadanya sebuah sampel

acak berukuran n telah diambil. Seperti biasa, dari sampel tersebut dihitung �̅� dan

s. Didapat hal-hal berikut:

a. σ diketahui

Jika simpangan baku σ untuk populasi diketahui, seperti biasa digunakan

statistik z yang tertera pada rumus (1). Sketsa untuk kriteria pengujian seperti

nampak dalam gambar (2), ialah menggunakan distribusi normal baku. Batas

kriteria, tentunya didapat dari daftar normal baku. Kita tolak H0 jika z ≥ z0,5 – α

dengan z0,5 – α didapat dari daftar normal baku menggunakan peluang (0,5 – α).

Dalam hal lainnya H0 kita terima.

Contoh:

Proses pembuatan barang rata-rata menghasilkan 15,7 unit per jam. Hasil

produksi mempunyai varians = 2,3. Metode baru diusulkan untuk mengganti yang

lama jika rata-rata per jam menghasilkan paling sedikit 16 buah. Untuk

menentukan apakah metode diganti atau tidak, metode baru dicoba 20 kali dan

ternyata rat-rata per jam menghasilkan 16,9 buah.

Pengusaha tersebut bermaksud mengambil resiko 5% untuk menggunakan

metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan lebih dari 16 buah.

Apakah keputusan si pengusaha?

Jawab:

Dengan memisalkan hasil produksi berdistribusi normal, maka kita akan menguji

pasangan hipotesis:

H0 : µ = 16, berarti rata-rata hasil metode baru paling tinggi 16. Jika ini terjadi,

metode lama masih dipertahankan


H1 : µ > 16, berarti rata-rata hasil metode baru lebih dari 16 dan karenanya

metode lama dapat diganti.

Harga-harga yang perlu untuk menggunakan rumus (1) adalah �̅� = 16,9 buah, n =

20, σ = √2,3 dan µ0 = 16 buah. Didapat

𝑧 =16,9 − 16

√(2,3)/20= 2,65

Gambar 6

Dari daftar normal standar dengan α = 0,05 diperoleh z = 1,64. Kriteria

pengujian adalah tolak H0 jika z hitung lebih besar atau sama dengan 1,64. Jika z

hitung lebih kecil dari 1, 64 maka H0 diterima.

Daftar penelitian didapat z = 2,65 yang jelas jatuh pada daerah kritis jadi

H0 ditolak. Ini menyimpulkan bahwa metode baru dapat menggantikan metode

lama dengan mengambil resiko 5%.

Catatan: pengujian yang menghasilkan H0 ditolak dengan taraf nyata 0,05

dinamakan uji nyata atau uji berarti atau uji signifikan. Jika H0 ditolak pada taraf

55 tetapi diterima pada taraf 1% maka dikatakan bahwa hasil uji “barangkali”

berarti. Dalam hal ini dianjurkan untuk melakukan penelitian lebih lanjut dan

pengujian dapat dilakukan lagi.

1,64



Sering dikehendaki berapa besar peluang yang terjadi ketika keputusan

berdasarkan hasil pengujian dibuat. Untuk contoh di atas, misalnya peluang

tersebut adalah:

P(z ≥ 2,65) = 0,5 – 0,4960 = 0,0040.

Ini berarti: berdasarkan penelitian yang dilakukan, kesempatan melakukan

kekeliruan ketika memutuskan mengambil metode baru 4 dari setiap 1.000, dalam

bentuk ini biasa dituliskan bahwa peluang p < 0,05 bahkan p < 0,01.

Contoh: bagaimana kesimpulannya jika diambil 0,01?

Jawab: untuk α = 0,01 dari daftar normal baku didapat z = 2,33. Dari perhitungan

harga z = 2,65 dan ini lebih besar dari 2,33 jadi, jatuh pada daerah kritis.

Karenanya H0 ditolak. Kesimpulan dapat dibuat seperti diatas, hanya sekarang

resikonya 1%.

Catatan: uji yang berarti pada taraf 1% dikatakan hasil uji sangat berarti, atau

sangat nyata atau sangat signifikan.

Contoh:

Dengan melakukan percobaan sebanyak 20 kali, berapa seharusnya hasil

rata-rata per jam paling sedikit untuk meyakinkan si pengusaha mengganti

metode lama?

Jawab: dengan α = 0,01 dan dimisalkan populasi hasil produksi berdistribusi

normal dengan nilai-nilai σ = √2,3 , µ0 = 16 dan n=20, maka dari rumus (1)

didapat:

2,33 = �̅� − 16

√(2,3)/20 𝑎𝑡𝑎𝑢 �̅� = 16,79

Dari 20 percobaan yang dilakukan paling sedikit harus mencapai rata-rata

16,79 buah per jam.

A. σ tak diketahui


Seperti dalam bagian 4, maka jika σ tidak dikatahui, statistik yang digunakan

menguji

H0 : µ = µ0

H1 : µ > µ0

Adalah statistik t seperti pada rumus (2). Kriteria pengujian didapat dari

daftar distribusi student t dengan dk = (n – 1) dan peluang (1 – α). Jadi kita tolak

H0 jika t ≥ t1 – α dan terima H0 dalam hal lainnya.

Contoh:

Dikatakan bahwa dengan menyuntikkan semacam hormon tertentu kepada ayam

akan menambah berat telurnya rata-rata dengan 4,5 gram. Sampel acak yang

terdiri atas 31 butir telur dari ayam yang telah diberi suntikkan hormon tersebut

memberikan rata-rata 4,9 gram dan simpangan baku s = 0,8 gram. Cukup

beralasankah untuk menerima pernyataan bahwa pertambahan rata-rata berat telur

paling sedikit 4,5 gram?

Jawab:

Yang kita hadapi adalah pasangan hipotesis:

H0 : µ = 4,5 ; menyuntik ayam dengan hormon tidak menyebabkan bertambahnya

rata-rata berat telur dengan 4,5 gram.

H1 : µ > 4,5 ; suntikan hormon mengakibatkan berat telur rata-rata bertambah

paling sedikit dengan 4,5 gram.

Dari rumus (2) dengan �̅� = 4,9 gram, s = 0,8 gram, n = 31, dan µ = 4,5 didapat:

𝑡 =4,9 − 4,5

0,8/√31= 2,78


Gambar 7

Dengan mengambil α = 0,01 dari daftar distribusi t dengan dk = 30 didapat t =

2,46.

Kriteria pengujian adalah tolak hipotesis H0 jika t hitung lebih besar atau

sama dengan 2,46 dan terima H0 dalam hal lainnya. Penelitian memberikan hasil t

= 2,78 dan ini jatuh pada daerah penolakan H0. Jadi hipotesis H0 kita tolak.

Penyuntingan hormon terhadap ayam meyakinkan kita dapat menambah

berat telurnya rata-rata paling sedikit dengan 4,5 gram. Dalam pembuatan

kesimpulan ini kesempatan melakukan kekeliruan terjadi kurang dari 5 diantara

setiap 1.000.

Untuk menguji pihak kiri H0 : µ = µ0

H1 : µ < µ0

Cara yang sama berlaku seperti untuk uji pihak kanan. Jika σ diketahui, maka

statistik z seperti dalam rumus (1) digunakan dan tolak H0 jika z ≤ - z0,5 – α dengan

z0,5 – α didapat dari daftar normal baku menggunakan peluang (0,5 – α). Dalam hal

lainnya H0 di terima. Disini α = taraf nyata.

Jika σ tidak diketahui, maka untuk uji pihak kiri tersebut digunakan statistik t

seperti tertera dalam rumus (2). Dalam hal ini kita tolak hipotesis H0 jika t ≤ –t1 –

α , dengan t1 – α didapat dari daftar distribusi student t menggunakan peluang (1 –

α) dan dk = ( n – 1 ). Untuk t > –t1 – α , hipotesis H0 kita terima.

2,46


𝛼 = 0,01

Distribusi Student, dk= 30


Contoh:

Akhir-akhir ini masyarakat mengeluh dan mengatakan bahwa isi bersih

makanan A dalam kaleng tidak sesuai dengan yang tertulis pada etiketnya sebesar

5 ons. Untuk meneliti hal ini, 23 kaleng makanan A telah diteliti secara acak. Dari

ke-23 isi kaleng tersebut, berat rata-ratanya 4,9 ons dan simpangan baku 0,2 ons.

Dengan taraf nyata 0,05 tentukan apa yang akan kita katakan tentang keluhan

masyarakat tersebut.

Jawab:

Jika rata-rata isi kaleng tidak kurang dari 5 ons, jelas masyarakat tidak

akan mengeluh. Karenya akan diuji pasangan hipotesis:

H0 : µ = 5

H1 : µ < 5

Disini simpangan baku σ tidak diketahui. Dengan memisalkan isi kaleng

berdistribusi normal, maka dari rumus (2) didapat statistik t:

𝑡 =4,9−5

0,2/√23= −2,398

Gambar 8

Dengan nilai α = 0,05 dan dk = 22, dari daftar distribusi t didapat t = 1,72. Aturan

untuk menguji adalah tolak H0 jika t hitung ≤ - 1,72 dan terima H0 dalam hal

lainnya. Dari perhitungan didapat t = -2,398 yang jelas jatuh pada daerah

Distribusi t, dk = 22

-1,72

0,05



penolakan H0. Jadi H0 kita tolak dan pengujian memberikan hasil yang berarti

pada taraf 5%.

Kesimpulan: penelitian tersebut menguatkan keluhan masyarakat bahwa isi bersih

makanan dalam kaleng sudah berkurang daripada yang tertera pada etiket.

E. Menguji Proporsi 𝝅 : Uji Dua Pihak

Misalkan kita mempunyai populasi binom dengan proporsi peristiwa A = π.

Berdasarkan sebuah sampel acak yang diambil dari populasi itu, akan diuji

mengenai uji dua pihak:

H0 : π = π0

H1 : π ≠ π0

Dengan π0 sebuah harga yang diketahui. dari sampel berukuran n itu kita

hitung proporsi sampe x/n adanya peristiwa A. Dengan menggunakan pendekatan

oleh distribusi normal, maka untuk pengujian ini digunakan statistik z yang

rumusnya:

𝑧 =

𝑥𝑛

− 𝜋0

√𝜋0(1 − 𝜋0 )/𝑛… … … (3)

Kriteria untuk pengujian ini, dengan taraf nyata α adalah terima H0 jika

terima – z1/2 (1 – α ) < z < z1/2 (1 – α ) dengan z1/2 (1 – α ) didapat dari daftar normal baku

dengan peluang ½ (1 – α ). Dalam hal lainnya hipotesis H0 ditolak.

Contoh:

Kita ingin menguji bahwa distribusi jenis kelamin laki-laki dan jenis

kelamin perempuan adalah sama. Sebuah sampel acak terdiri atas 4.800 orang

mengandung 2.458 laki-laki. Dalam taraf nyata 0,05 betulkah distribusi kedua

jenis kelamin itu sama?

Jawab:


Jika π = peluang terdapatnya laki-laki, maka akan diuji pasangan hipotesis:

H0 : π = ½

H1 : π ≠ ½

Dari rumus (3) x = 2.458, n = 4.800, dan π0 = ½, didapat.

𝑧 =

2.4584800 − 0,5

√(0,5)(0,5)/4.800= 1,68

Angka z dari daftar normal baku dengan α = 0,05 adalah 1,96. Jadi kriteria

pengujian yang dipakai adalah terima H0 jika z hitung terletak antara -1,96 dan

1,96 sedangkan dalam hal lainnya H0 ditolak. Harga z = 1,68 ada pada daerah

penerimaan H0 sehingga H0 diterima.

Kesimpulan: peluang adanya laki-laki dan perempuan sama besar.

Contoh: seorang pejabat mengatakan bahwa paling banyak 60% anggota

masyarakat termasuk golongan A. Sebuah sampel acak telah diambil yang terdiri

atas 8.500 orang dan ternyata 5.426 termasuk golongan A. Apabila α = 0,01,

benarkah pernyataan tersebut?

Jawab: Yang akan diuji ialah H0 : π = 0,6

H1 : π > 0,6

Untuk rumus z =x

n−π0

√π0(1−π0)

n

, kita gunakan harga-harga x = 5,426, n=8.500, π = 0,6

dan (1−π) = 0,4. Maka diperoleh:

z =

5.4268.500

− 0,6

√(0,6)(0,4)8.500

= 2,79

Dengan taraf nyata α = 0,01 dari daftar normal baku memberikan z0,49 =

2.33. harga z hitung = 2.79 lebih besar dari z daftar = 2.33. Maka H0 ditolak dan


uji sangat berarti. Ini mengatakan bahwa presentase anggota masyarakat golongan

A sudah melampaui 60%.

Untuk uji pihak kiri, maka pasangan hipotesis nol dan tandingannya

adalah:

H0 : π = 0,6

H1 : π < 0,6

Di sini pun, statistic yang digunakan masih statistic z seperti dalam rumus

z =x

n−π0

√π0(1−π0)

n

. Kriteria pengujiannya adalah: tolak H0 jika z ≤ −z0,5−α dimana

z0,5−α didapat dari daftar normal baku dengan peluang (0,5 − α). Dalam hal

lainnya H0 diterima.

Contoh: akan diuji H0 : π = 0,3

H1 : π < 0,3

Sampel acak berukuran n = 425 memberikan x

n= 0,28. Bagaimana hasil

pengujian degan α = 0,05?

Jawab:

Dari rumus XII(3) didapat

z =0,28 − 0,3

√(0,3)(0,7)

425

= −0,90

Dari daftar normal baku dengan α = 0,05 didapat z0,45 = 1,64. Untuk uji

pihak kiri, maka tolak H0 jika z hitung ≤ −1,64 dan terima H0 dalam hal lainnya.

Jelas bahwa z hitung = −0,90 ada pada daerah penerimaan H0. Jadi H0 : π = 0,3

diterima pada taraf nyata 0,05. Pengujian tak berarti.

F. Menguji varians 𝛔𝟐


Ketika menguji rata-rata µ untuk poulasi normal, didapat hal dimana

simpangan baku σ diketahui. Harga yang diketahui ini umumnya didapat dari

pengalaman dan untuk menentukan besarnya pelu diadakan pengujian. Untuk ini,

kita misalkan populasi berdistribusi normal dengan varians σ2 dan daripadanya

diambil sebuah sampel acak berukuran n. varians sampel yang besarnya s2

dihitung dengan rumus s2 =∑(xi−x)2

n−1 atau rumus s2 =

n ∑ xi2−(∑ xi)2

n(n−1).

Kita bedakan dua hal berikut:

Hal A.) Uji dua pihak

Untuk ini, pasangan H0 dan H1 adalah:

H0 : σ2 = σ02

H1 : σ2 ≠ σ02

Untuk pengujian ini dipakai statistik chi-kuadrat.

x2 =(n − 1)s2

σ02

… … … (4)

Jika dalam pengujian dipakai taraf nyata α, maka kriteria pengujian

adalah: terima H0 jika x1/2α2 < x2 < x1−1/2α

2 dimana x1/2α2 < x2 < x1−1/2α

2

didapat dari daftar distribusi chi-kuadrat dengan dk = (n − 1) dan masing-masing

dengan peluang 1/2α dan (1 − 1/2α). Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Contoh:

Dalam bagian 4 bab ini terdapat contoh soal tentang masa hidup lampu A.

Disitu diambil σ = 60 jam. Dengan sampel berukuran n = 50 didapat s = 55jam.

Jika masa hidup lampu berdistribusi normal, benarkah σ = 60 jam dengan taraf

α = 0,05?

Jawab:


Untuk menyelidiki benar atau tidaknya tentang σ, maka kita berhadapan

dengan pengujian

H0 : σ2 = 3.600 jam

H1 : σ2 ≠ 3.600 jam

Dari rumus x2 =(n−1)s2

σ02 dengan n = 50 dan s2 = 3.025, maka

x2 =(50 − 1)(3.025)

602⇔ x2 =

(49)(3.025)

3.600=

148.225

3.600= 41,174

Dengan dk = 49 dan peluang 0,025 dan 0,975, dari daftar distribusi chi-

kuadrat berturut-turut didapat x0,0252 = 32,4 dan x0,975

2 = 71,4.

Kriteria pengujian: teima H0 jika x2 antara 32,4 dan 71,4. Untuk harga-

harga lainnya, H0 ditolak. Dari perhitungan didapat x2 = 41,174 dan ini jauh

antara 32,4 dan 71,4; jadi dalam daerah penerimaan hipotesis. Kesimpulan:

hipotesis σ = 60 jam dapat diterima dengan menanggung risiko 5% akan

terjadinya penolakan hipotesis bahwa σ2 = 3.600 jam.

Hal B. Uji Satu Pihak

Dalam kenayataannya sangat sering dikehendaki adanya varians yang

berharga kecil. Untuk ini pengujian diperlukan dan akan merupakan uji pihak

kanan:

H0 : σ2 = σ02

H1 : σ2 > σ02

Statistik yang digunakan masih tetap x2 dalam rumus x2 =(n−1)s2

σ02 .

Kriteria pengujian dalam hal ini adalah: tolak H0 jika x2 ≥ x1−α2 dimana x1−α

2 ,

didapat dari daftar chi-kuadrat dengan dk = (n − 1) dan peluang (1 − α). Dalam


hal lainnya, H0 diterima. Jika hipotesis nol dan tandinagnnya menyebabkan uji

pihak kiri, yakni pasangan:

H0 : σ2 = σ02

H1 : σ2 < σ02

Maka hal yang sebaliknya akan terjadi mengenai kriteria pengujian, yaitu

tolak H0 jika x2 ≤ xα2 , dimana xα

2 didapat dari daftar chi-kuadrat dengan dk = (n −

1) dan peluang α sedangkan statistic x2 tetap dihitung dengan rumus:

x2 =(n − 1)s2

σ02

Contoh:

Proses pengisian semacam minuman kedalam botol oleh mesin, paling

tinggi mencapai varians 0,50 cc. akhir-akhir ini ada dugaan bahwa isi botol telah

mempunyai variabilitas yang lebih besar. Diteliti 20 buah dan isinya ditakar.

Ternyata sampel ini menghasilkan simpangna baku 0,90 cc. dengan α = 0,05,

perlukah mesin distel?

Jawab:

Pengujian yang akan dilakukan adalah mengenai:

H0 : σ2 = 0,50

H1 : σ2 > 0,50

Dengan s2 = 0,81 dan n = 20 serta σ2 = 0,50 maka didapat:

x2 =(20 − 1)(0,81)

0,50⇔ x2 =

(19)(0,81)

0,50=

15,39

0,50= 30,78

Dari daftra chi-kuadrat dengan dk = 19 dan peluang 0,95 diperoleh x0,952 = 30,1 =

30,1.


Karena chi-kuadrat dari penelitian lebih besar dari 30,1 maka H0 ditolak

pada taraf 5%. Ini berarti variasi isi botol telah menjadi lebih besar, sehingga

dianjurkan untuk menyetel kembali mesin agar mendapatkan pengisian yang lebih

merata.

G. Menguji Kesamaan Dua Rata-Rata

Banyak penelitian yang memerlukan perbanduingan antara dua keadaan

atau tepatnya dua populasi. Misalnya membandingkan dua cara mengajar, dua

cara produksi, daya sembuh dua macam obat dan lain sebagainya. Untuk

keperluan ini akan digunakan dasar distribusi sampling mengenai selisih statistic,

misalnya selisih rata-rata dan selisish proporsi, sepserti diuraikan dalam materi

distribusi sampling.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan rata-rata μ1 dan μ2

sedangkan simpangan bakunya σ1 dan σ2. Secara independen dari populasi kesatu

diambil sebuah sampel acak berukuran n1 sedangkan dari populasi kedua sebuah

sampel acak berukuran n2. Dari kedua sampel ini berturut-turut didapat x̅1, s1 dan

x̅2, s2. Akan diuji tentang rata-rata μ1 dan μ2.

Pasangan hipotesis no dan tandingannya yang akan diuji adalah:

H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 ≠ μ2

Untuk ini kita bedakan hal-hal berikut:

Hal A. 𝛔𝟏 = 𝛔𝟐 = 𝛔 dan 𝛔 diketahui

Statistic yang digunakan jika H0 benar, adalah:

z =x̅1 − x̅2

σ√1n1

+1n2

… … … (5)


Dengan taraf nyata α, maka kriteria pengujian adalah: terima H0 jika

−z1/2(1−α) < z < z1/2(1−α) dimana z1/2(1−α) didapat dair daftra normal baku

dengan peluang 1/2(1 − α). Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Hal B. 𝛔𝟏 = 𝛔𝟐 = 𝛔 tetapi 𝛔 tidak diketahui

Jarang sekali σ1 dan σ2 diketahui besarnya. Jika H0 benar dan σ1 = σ2 =

σ sedangkan σ tidak diketahui harganya, statistic yang digunakan adalah

t =x̅1 − x̅1

s√1n1

+1n2

… … … (6)

dengan

s2 =(n1 − 1)s1

2 + (n2 − 1)s22

n1 + n2 − 2… … … (7)

Menurut teori distribusi sampling, maka statistic t diatas berdistribusi

student dengan dk = (n1 + n2 − 2). Krtiteria pengujian adalah: terima H0 jika

−t1−1/2α < t < t1−1/2α , di mana t1−1/2α di dapat dari daftar distribusi t dengan

dk = (n1 + n2 − 2) dan peluang (1 − 1/2α). Untuk harga-harga t lainnya H0

ditolak.

Contoh:

Dua macam makana A dan B diberikan kepada ayanm secara terpisah

untuk jangka waktu tertentu. Ingin diketahui macam makanan yang mana yang

lebih baik bagi ayam tersebut. Sampel acak yang terdiri atas 11 ayam diberi

makanan A dan 10 ayam diberi makanan B. tambah berat badan ayam (dalam ons)

hasil percobaan adalah sebagai berikut:

Makanan A 3,1 3,0 3,3 2,9 2,6 3,0 3,6 2,7 3,8 4,0 3,4

Makanan B 2,7 2,9 3,4 3,2 3,3 2,9 3,0 3,0 2,6 3,7

Dalam taraf nyata α = 0,05, tentukan apakah kedua makanan itu sama

baiknya atau tidak.


Jawab:

Dari data diatas didapat x̅A = 3,22, x̅B = 3,07, sA2 = 0,1996 dan sB

2 =

0,1112. Simpangan baku gabungan, dari rumus t =x̅1−x̅1

s√1

n1+

1

n2

memberikan:

t =3,22 − 3,07

0,397√ 111 +

110

=0,15

0,397√0,19090909=

0,15

0,1735= 0,865

Harga t0,975 dengan dk = 19 dari daftar distribusi Student adalah 2,09.

Kriteria pengujian adalah: terima H0 jika t hitung terletak antara −2.09 dan 2,09

dan tolak H0 jika t mempunyai harga-harga lain.

Dari penelitian didapat t = 0,862 dan ini jelas ada dalam daerah

penerimaan. Jadi H0 diterima.

Kesimpulan: kedua macam makanan ayam itu memberikan tambahan berat

daging yang sama terhadap ayam-ayam itu, untuk pengujian diatas telah

dimisalkan tambahan berat daging ayam berdistribusi normal dengan varians yang

sama besar.

Hal C. 𝛔𝟏 ≠ 𝛔𝟐 dan kedua-duanya tida diketahui

Jika kedua simpangan baku tidak sama tetapi kedua populasi berdistribusi

normal, hingga sekarang belum ada statistic yang tepat yang dapat digunakan.

Pendekatan yang cukup memuaskan adalah dengan menggunakan statistic t’

sebagai berikut:

t′ =x̅1 − x̅2

√(s1

2

n1) + (

s22

n2)

… … … (8)

Kriteria pengujian adalah: terima hipotesis H0 jika

−w1t1 + w2 t2

w1 + w2

< t′ <w1t1 + w2t2

w1 + w2


Dengan:

w1 =s1

2

n1 ; w2 =

s22

n2

t1 = t(1−1/2α) , (n1 − 1) dan

t2 = t(1−1/2α) , (n2 − 1)

tβ, m didapat dari daftar distribusi Student dengan peluang β dan dk = m. untuk

harga-harga t lainnya, H0 ditolak.

Contoh:

Semacam barang dihasilkan dengan menggunakan dua proses. Ingin

diketahui apakah kedua proses itu menghasilkan hal yang sama atau tidak

terhadap kualitas barang itu ditinjau dari rata-rata daya tekannya. Untuk ini

diadakan percobaan sebanyak 20 dari hasil proses kesatu dan 20 pula dari hasil

proses kedua. Rata-rata dan simapngan bakunya berturut-turut x̅1 = 9,25 kg, s1 =

2,24 kg, x̅2 = 10,40 kg dan s2 = 3,12 kg . jika varians kedua populasi tidak

sama, dengan taraf nyata ,05, bagaimanakah hasilnya?

Jawab:

Hipotesis H0 dan tandingannya H1 adalah:

H0 : μ1 = μ2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan rata-rata daya tekan

yang sama.

H1 : μ1 ≠ μ2 ; kedua proses menghasilkan barang dengan rata-rata daya tekan

yang berlainan.

Harga-harga yang diperlukan adalah:


t′ =9,25 − 10,40

√(5,0176

20) + (

9,734420

)

=−1,15

0,859= −1,339

w1 =5,0176

20= 0,2509, w2 =

9,7344

20= 0,4867

t1 = t(0,975),19 = 2,09 dan t2 = t(0,975) ,19 = 2,09

Sehingga didapat:

w1t1 + w2 t2

w1 + w2

=(0,2509)(2,09) + (0,4867)(2,09)

0,2509 + 0,4869= 2,09

Kriteria pengujian adalah: terima H0 jika −0,29 < t′ < 2,09 dan tolak H0

dalam hal lainnya. Jelas bahwa t’ = −1,339 ada dalam daerah penerimaan H0. Jadi

kita terima H0 dalam taraf yang nyata 0,05.

Hal D. Observasi berpasangan

Untuk observasi berpasangan, dalam materi penaksiran parameter

(menaksir selisih rata-rata bagian observasi berpasangan), kita ambil μB = μ1 −

μ2. Hipotesis nol dan tandingannya adalah:

H0 : μB = 0

H1 : μB ≠ 0

Jika B1 = x1 − yt, B2 = x2 − y2, … … … , Bn = xn − yn , maka data

B1, B2, … … … , Bn menghasilkan rata-rata B̅ dan simpangan baku sB. Untuk

pengujian hipotesis gunakan statistik:

t = B̅

sB

√n⁄… … … (9)

dan terima H0 jika −t1−1/2α < t < t1−1/2α dimana t1−1/2α didapat dari daftar

distribusi t dengan peluang (1 − 1 2)⁄ dan dk n − 1 dalam hal lainnya H0 ditolak.


Contoh:

Kita ambil contoh dlam Bab XI bagian 7C mengenai tinggi anak laki-laki

pertama dan tinggi ayah. Disana telah didapat n = 10, B̅ = 0,8 dan sB2 = 11,07.

Maka,

t =0,8

√11,07/10= 0,762

Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,975 dan dk = 9 didapat t0,975 = 2,26.

Ternyata t = 0,762 ada dalam daerah penerimaan H0. Jadi penelitian menghasilkan

uji yang tak berarti.

H. Menguji Kesamaan Dua Rata-Rata: Uji Satu Pihak

Sebagaimana dalam uji dua pihak, untuk uji satu pihak pun di misalkan

bahwa kedua populasi berdistribusi normal dengan rata-rata μ1 dan μ2 dan

simpangan baku σ1 dan σ2. Karena umumnya besar σ1 dan σ2 tidak diketahui,

maka disisni akan ditinjau hal-hal tersebut untuk keadaan σ1= σ2 atau σ1≠ σ2.

Hal A. Uji pihak kanan

Yang diuji adalah

H0 : μ1 = μ2

H1 : μ1 > μ2

Dalam hal σ1= σ2 , maka statistic yang digunakan ialaha statistic t seperti

dalam rumus (VI) dengan s2 seperti dalam rumus VII. Kriteia pengujian yang

berlaku ialah:

Terima H0 jika t < t1−α dan tolak H0 jika t mempunyai harga-harga lain.

Derajat kebebasan untuk daftar distribusi t ialah (n1 + n2 − 2) dengan peluang

(1 − α).


Jika σ1≠ σ2, maka statistic yang digunakan adalah statistic t’ seperti dalam

rumus XII. Dalam hal ini kriteria pengujian adalah:

Tolak hipotesis H0 jika

t’ ≥ w1t1 +w2t2

w1+w2

dan terima H0 terjadi sebaliknya, dengan w1 =s1

2

n1, w2 =

s22

n2, t1 = t(1−α),(n1−1)

sedangkan dk-nya masing-masing (n1 − 1) dan (n2 − 1).

Contoh :

Di duga bahwa pemuda yang senang berenang rata-rata lebih tinggi

badannya dari pada pemuda sebaya yang tidak senang berenang. Untuk meneliti

ini telh diukur 15 pemuda yang senang berenang dan 20 yang tidak senang

berenang. Rata-rata tinggi badannya berturut-turut 167,2 cm dan 160,3 cm.

Simpangan bakunya masing-masing 6.7 cm dan 7,1 cm. Dalam taraf α = 0,05,

dapatkah kita mendukung dugaan tersebut?

Jawab:

Jika distribusi tinggi badan untuk kedua kelompok pemuda itu normal dan

σ1 = σ2, maka statistic t dalam rumus VI dapat digunakan. Kita punya n1 = 15,

x̅1 = 167,2 cm, s1 = 6,7cm, n2 = 20, x̅2 = 160,3 cm dan s2 = 7,1 cm. dari

rumus VII didapat varians gabungan

s2 =(15 − 1)(44,8) + (20 − 1)(50,41)

15 + 20 − 2= 48,07

Sehingga statistic t mempunyai harga:

t =167,2 − 160,3

√(48,07){(1

15) + (1

20)}

= 2,913


Dari daftar distribusi t dengan peluang 0,95 dan dk = 33, didapat t0,95 =

1,70. Dari penelitian didapat t = 2,913 dan ini lebih besar dari t = 1,70. Jadi H0 =

μ1 = μ2 ditolak, dimana indeks satu menyatakan pemuda yang senang berenang.

Penyelidikan memberikan hasil yang berarti pada taraf 5%. Dugaan di muka dapat

diterima.

Jika untuk contoh dimuka dimisalkan σ1 ≠ σ2, maka digunakan statistic t’

dalam rumus VIII. Harga-harga yang perlu adalah:

w1 =44,89

15= 2,99,w2 =

50,41

20= 2,52

t1 = t(0,95) ,14 = 1,76 dan t2 = t(0,95),19 = 1,73

w1t1 + w2 t2

w1 + w2

=(2,99)(1,76) + (2,52)(1,73)

2,99 + 2,52= 1,75

Sehingga diperoleh:

t′ =167,2 − 160,3

√(44,89

15) + (

50,4120

)

= 2,94

Kriteria pengujian adalah: tolak H0 jika t’ ≥ 1,75. Karena t’ = 2,94 maka

H0 ditolak dan hasil pengujian seperti diatas dapat disimpulkan.

Untuk observasi berpasangan, pasangan hipotesis nol H0 dan hipotesis

tandingan H1 untuk uji pihak kanan adalah:

H0 ∶ μB = 0

H1 ∶ μB > 0

Satistik yang digunakan masih statistic t dalam rumus IX dan tolak H0

jika t ≥ t1−α dimana t1−α didapat dari daftar distribusi Studeng dengan dk = (n −

1) dan peluang (1 − α).


Contoh:

Untuk mempelajari kemampuan belajar tentang menjumlahkan bilangan, 10 anak

laki-laki dan 10 anak perempuan telah diambil secara acak. Dari pengamatan

masa lampau kemampuan belajar anak laki-laki umumnya lebih baik dari

kemampuan belajar anak perempuan. Hasil ujian yang dilakukan adalah:

Laki-laki 30 21 21 27 20 25 27 22 28

18

Perempuan 31 22 37 24 30 15 25 42 19

38

Apakah yang dapat disimpulkan dari hasil ujian ini?

Jawab:

Ambil μL = rata-rata hasil ujian untuk anak laki-laki dan μP = rata-rata hasil ujian

untuk anak perempuan.

Akan diuji pasangan hipotesis:

H0 ∶ μB = μP − μL = 0

H1 ∶ μB > 0

Dari data diatas, setelah dihitung berdasarkan beda (selisih) tiap pasang data.

Didapat B̅ = 4,4 dan SB = 11,34. Rumus IX memberikan

t =4,4

11,34/√10= 1,227

dengan dk = 9 dan peluang 0,95 dari daftra distribusi Student didapat t0,95 = 1,83.

Karena t = 1,23 lebih kecil dari 1,83 maka H0 diterima. Dalam hal ini masih dpat

dikatakan bahwa rata-rata hasil ujian anak laki-laki lebih baik daripada rata-rata

hasil ujian anak perempuan.


Hal B. Uji Pihak Kiri

Perumusan hipotesis H0 dan hipotesis tandingan H1 untuk uji pihak kirir

adalah:

H0 ∶ μ1 = μ2

H1 ∶ μ1 < μ2

Langkah-langkah yang ditempuh dalam hal ini sejalan dengan yang

dilakukan untuk uji pihak kanan.

Jika σ1 = σ1, kedua-duanya nilainya tak diketahui, maka digunakan

tstistik t dalam rumuss VI. Kriteria pengujia adalah: tolak H0 jika t ≥ −t1−α ,

dimana t1−α didaapat dari datar distribusi t dengan dk = (n1 + n2 − 2) dan

peluang (1 − α). untuk harga-harga t lainnya H0 diterima.

Jika σ1 ≠ σ1, maka yang digunaka adalah statistic t’dalam rumus VIII dan

tolak H0 untuk

t′ ≤−(w1t1 + w2 t2)

w1 + w2

Dimana w1, w2 , t1 dan t2 semuanya seperti yang telah diuraikan di muka.

Jika t lebih besar dari harga tersebut, maka H0 diterima.

Untuk observasi berpasangan, hipotesis H0 dan tandingan yang akan diuji

adalah

H0 ∶ μ = 0

H1 ∶ μ < 0

Staistik yang digunakan ialah statistic t dalam rumus IX dan tolak H0 jika

t ≤ −t(1−α),(n−1) dan terima H0 untuk t > −t(1−α),(n−1).


Dalam bagian ini contohnya tidak dibeikan karena cara penyelesaiannya

sejalan benar untuk uji pihak kanan. Bedanya hanya terletak pada letak daerah

kritisnya saja.

I. Menguji Kesamaan Dua Proporsi: Uji Dua Pihak

Misalkan sekarang kita mempunyai dua populasi binom yang didalamnya

masing-masing didapat proporsi peristiwa A sebesar μ1 dan μ2. Dari populaasi

kesatu diambil sebuah sampel acak berukuran n1 dan didalamnya terdapat

proporsi peristiwa A sebesar x1

n1. Dari populasi kedua angka tersebtu berturut-turut

adalah n2 dan x2

n2. Kedua sampel diambil secara independen. Akan diuji hipotesis:

H0 ∶ π1 = π2

H1 ∶ π1 ≠ π2

Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal dengan statistic:

z =(

x1

n1) − (

x2

n2)

√pq {(1n1

) + (1n2

)}

… … … (10)

Dengan p =x1 +x2

n1 +n2 dan q = 1 − p.

Jika dalam pengujian ini digunakan taraf nyata α, maka kiteria pengujian

adalah: Terima H0 untuk −z1/2(1−α) < z < z1/2(1−α) dan tolak H0 untuk harga-

harga z lainnya.

Seperti biasa, z1/2(1−α) didapat dari daftar distribusi normal baku dengan

peluang 1/2(1 − α).

Contoh:

Suatu penelitian dilakukan di daerah A terhadap 250 pemilih. Ternyata

150 pemilih menyatakan akan memilih calon C. didaerah B penelitian dialakukan


terhadap 300 pemilih dan terdapat 162 yang akan memilih calon C. adakah

perbedaan yang nyata mengenai pemilihan calon C diantara kedua daerah itu?

Jawab:

Hipotesis yang akan diuji adalah;

H0 ∶ πA = πB tidak terdapat perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu

terhadap pemilihan calon C.

H1 ∶ πA ≠ πB terdapat adanya perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu

terhadap pemilihan calon C.

Untuk menggunakan rumus X, perlu dihitung dulu 𝑝 =150 +162

250 +300= 0,5673

dan 𝑞 = 1 − 0,5673 = 0,4327.

Dari rumus X didapat

𝑧 =(

150250) − (

162300)

√(0,5673)(0,4327){(1

250) + (

1300

)}

= 1,42

Dengan peluang 0,475, dari daftar distribusi normal baku didapat 𝑧0,475 = 1,96.

Kriteria pengujian adalah: terima H0 jika −1,96 < 𝑧 < 1,96 dan tolak H0

dlam hal lainnya. Jelas bahwa z = 1,42 ada dalam daerah penerimaan H0.

Kesimpulan: dalam taraf 5%, penelitian memperlihatkan bahwa tidak terdapat

perbedaan yang nyata antara kedua daerah itu terhadap pemilihan calon C.

J. Menguji Kesamaan Dua Proporsi: Uji Satu Pihak

Untuk uji pihak kanan, amak pasangan hipoesisnya adalah:

H0 ∶ π1 = π2

H1 ∶ π1 > π2


Statistik yang digunakan masih berdasarkan pendekatan oleh ditribusi

normal, jadi digunakan statistic z dalam rumus X. dalam hal ini tolak H0 jika 𝑧 ≥

𝑧0,5−𝛼 dan terima H0 untuk 𝑧 < 𝑧0,5−𝛼 , dengan 𝛼 = taraf nyata.

Apabila uji pihak kiri, maka hipotesis H0 dan tandingannya H1 berbentuk

H0 ∶ π1 = π2

H1 ∶ π1 < π2

Dengan statistic yang sama seperti diatas, tolak H0 untuk 𝑧 ≤ −𝑧0,5−𝛼, dan

terima H0 jika 𝑧 > −𝑧0,5−𝛼. Untuk kedua-duanya 𝑧0,5−𝛼 didapat dari daftra

distribusi normal baku dengan peluang (0,5 − 𝛼).

Contoh:

Terdapat dua kelompok, ialah A dan B, masing-masing terdiri dari 100

pasien yang menderita semacam penyakit. Kepada kelompok A diberikan serum

tertentu tetapi tidak kepada kelompok B. kelompok B sering dinamakan kelompok

control. Setelah jangka waktu tertentu, erdapat 80 yang sembuh dari kelompok A

dan 68 dari kelompok B. Apakah penelitian ini memperlihatkan bahwa pemberian

serum ikut membantu menyembuhkan penyakit?

Jawab:

Untuk ini diperoleh

𝑝 =80+68

100 +100= 0,74 dan q = 0,26.

Sehingga statistic z besarnya:

𝑧 =0,80 − 0,68

√(0,74)(0,26)(0,02)= 1,94.

Jika 𝜋𝐴 menyatakan presentase yang sembuh dari kelomppok A dan 𝜋𝐵 yang

sembuh dari kelompok B, maka diperoleh hipotesis


H0 ∶ πA = πB

H1 ∶ πA > πB

Tolak H0 untuk 𝑧 ≥ 1,64 dan terima H0 untuk 𝑧 < 1,64 dengan 𝛼 = 0,05.

Penelitian ini menghasilkan z = 1,94 yang jatuh dalam daerah kritis. Jadi

pengujian barangkali berarti (untuk 𝛼 = 0,01 ℎarga z = 2.33).

Meskipun pada taraf sekarang kita dapat menyatakan pemberian serum

membantu menyembuhkan penyakit, namun untuk lebih meyakinkan lagi

anjurkan agara penelitian lebih lanjut dilakukan lagi.

K. Menguji Kesamaan Dua Varians

Ketika menaksir selisih rata-rata, lihat Materi Penaksiran parameter,

bagian 7 (Menaksir selisih rata-rata), dan menguji kesamaan atau perbedaan dua

rata-rata telah berulang kali ditkankan adanya asumsi bahwa kedua populasi

mempunyai varians yang sama aga menaksir dan menguji bisa berlangsung.

Dalam hal varians yang berlaianan, hingga sekarang hanya digunakan cara-cara

pendekatan. Oleh karena itu terasa perlu untuk melakukan pengujian mengenai

kesamaan dua varians atau lebih. Populasi-populasi dengan varians yang sama

besar dinamakan dengan varians yang homogen. Dalam hal lainnya disebut

populasi dengan varians yang heterogen.

Dalam bagian ini akan ddilakukan pengujian kesamaan varians untuk dua

populasi.

Misalkan kita mempunyai dua populasi normal dengan varians 𝜎12 dan 𝜎2

2.

Akan diuji mengenai uji dua pihak untuk pasangan hipotesis H0 dan tandingannya

H0 : σ12 = σ2

2

H1 : σ12 ≠ σ2

2

Berdasarkan sampel acak yang masing-masing secara independen diambil

dari populasi tersebut. Jika sampel dari populasi kesatu berukuran n1 dengan


varians s12 dan sampel dari populasi kedua berukuran s2

2 maka untuk menguji

hipotesis diatas menggunakan statistik.

F =s1

2

s22

… … … (11)

Kriteria pengujian adalah: terima hipotesis H0 jika F(1−α)(n1−1) < F <

F1/2α(n1−1,n2−1) untuk taraf nyata α, dimana 𝐹𝛽 (𝑚,𝑛) didapat dari dafttra distribusi

F dengan peluang 𝛽, dk pembilang = n dan dk penyebut = n (lihat juga contoh

dalam BAB VIII Bagian 9).

Dalam hal lainnya H0 ditolak.

Statistic lain yang digunakan untuk menguji hipotesis H0 di muka juga adalah:

𝐹 =𝑣𝑎𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑒𝑠𝑎𝑟

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑘𝑒𝑐𝑖𝑙

Dan ditolak H0 jika 𝐹 ≥ 𝐹1/2𝛼 (𝑣1,𝑣2) dengan 𝐹1/2𝛼 (𝑣1,𝑣2) didapat daftar

distribusi F dengan peluang 1/2𝛼, sedangkan derajat kebebasan 𝑣1 dan 𝑣2

masing-masing sesuai dengan dk pembilang dan penyebut dalam Rumus XII(12).

Seperti biasa 𝛼 = taraf nyata.

Dalam perhitungan F dari daftar, jika peluang beda dari 0,01 atau 0,05,

maka digunakan Rumus VIII (22).

Contoh:

Ada dua macam pengukuran kelembaban satu zat. Cara 1 dilakukan 13

kali dengan 𝑠2 = 24,7 dan cara ke – II dilakukan 13 kali dengan 𝑠2 = 37,2.

Dengan 𝛼 = 0,10 tentukan apakah kedua cara pengukuran tersebut mempunyai

varians yang homogin?

Jawab


Dengan rumus XII(12) didapa F = 37,2/24,7 = 1,506.derajat kebebasan

untuk pembilang = 12 dan untuk penyebut = 9. Dengan 𝛼 = 0,01 dari daftar

distrubusi F didapt 𝐹0,05(12,9) = 3,07.

Dari penelitian didapat F = 1,506 dan ini lebih kecil dari 3,07. Jadi, H0 ∶

𝜎12 = 𝜎2

2 diterima dan H1: 𝜎12 ≠ 𝜎2

2 ditolak. Kedua cara pengukuran dapat

dikatakan mempunyai varians yang sama besar.

Jika yang digunakan Rumus XII(11), maka

F = 24,7/37,2 = 0,664. Dengan 𝛼 = 0,10, dari daftar distribusi F didapat

𝐹0,05(9,12) = 2,80. Untuk mencari harga 𝐹0,05(12,9) = 3,07

Sehingga 𝐹0,05 (9,12) =1

3,07= 0,328.

Kriteia pengujian adalah terima H0 jika 0,328 < F < 2,80 dan tolak H0

dalam hal lainnya. Kita punya F = 0,664 yang jatuh dalam daerah penerimaan H0.

Jadi, H0 diterima dan kesimpulan sama seperti dimuka.

Jika pengujian yang dihadapi merupakan uji satu pihak, yaitu uji pihak

kanan, untuk hipotesis nol H0 dengan tandingan H1.

H0 ∶ 𝜎12 = 𝜎2

2

H1 ∶ 𝜎12 > 𝜎2

2

Dan uji pihak kiri:

H0 ∶ 𝜎12 = 𝜎2

2

H1 ∶ 𝜎12 < 𝜎2

2

Maka dalam kedua hal, statistic yang digunakan masih F =s1

2

s22 seperti

dalam rumus (11). Untuk uji pihak kanan, kriteria pengujian adalah: tolak H0 jika

𝐹 ≥ 𝐹𝛼(𝑛1−1,𝑛2 −1) sedangkan untuk uji pihak kiri, tolak H0 jika 𝐹 ≥

𝐹(1−𝛼)(𝑛1−1,𝑛2 −1). Dalam hal-hal lain, H0 diterima.


Contoh:

Penelitian terhadap dua metode penimbangan menghasilkan s12 = 25,4

gram dan s22 = 30,7 gram. Penimbangan masing-masing dilakukan sebanyak 13

kali. Ada anggapan bahwa metode kesatu menghasilkan penimbangan dengan

variabilitas yang lebih kecil. Betulkah itu?

Jawab:

Yang akan diuji

H0 ∶ 𝜎12 = 𝜎2

2

H1 ∶ 𝜎12 > 𝜎2

2

Dari rumus (11) didapat F = 25,4/30,7 = 0,83. Dari daftar distribusi F

didapat 𝐹0,5(12,12) = 2,69. Karena 0,83 < 2,69, maka dalam taraf nyata 0,05 kita

terima H0.

Metode penimbangan kesatu vaiabilitasnyalebih kecil dari pada metode

kedua.

L. Kuasa Uji dan Kurva Ciri Operasi

Telah kita lihat bahwa membuat keputusan berdasarkan pengujian

hipotesis terjadi dua tipe kekeliruan, ialah 𝛼 dan 𝛽. Kekeliruan 𝛼 atau kekeliruan

tipe I, terjadi jika kitaa menolak hipotesis nol yang seharusnya diterima,

sedangkan kekeliruan 𝛽 atu kekeliruan tipe II, terjadi jika menerima hipotesis nol

yang seharusnya ditolak. Untuk mendapatkan keputusan yan baik, kedua

kekeliruan tersebut haruslah seminimal mungkin. Tetapi hal ini sulit dicapai

mengingat meminimalkan yang satu akan terjadi peningkata yang lain, kecuali

dengan jalan memperbesar ukuran sampel, yang pada umumnya jarang bisa

dilaksanakan. Dalam prakteknya suatu kompromi diambil guna membatasi

kekeliruan yang dianggap berbahaya. Kekeliruan tipe I sering dibatasi dengan

jalan menentukan terlebih dahulu taraf nyata misalnya 𝛼 = 0,01 atau 𝛼 = 0,05


atau nilai lainnya. Berpegang kepada prinsi ini, marilah sekarang kita lihat berapa

besar kekeliruan 𝛽 mungkin dibua dan berapa besar kuasa uji (1- 𝛽) ddapat

berdasarkan 𝛼 yang dipilih lebih dahulu tersebut.

Dalam bagian 4, bab ini, diberikan contoh tentang uji rata-ata masa hidup

lampu, ialah H0 ∶ 𝜇 = 800 jam melawan H1 ∶ 𝜇 ≠ 800 jam dengan 𝜎 = 60 jam

diketahui. Dengan sampel berukuran n = 50 dan x̅ = 792 jam, pengujian

menyatakan menerima H0 pada taraf 𝛼 = 0,05. Jika sebenarnya rata-rata masa

hidup lampu itu bukan 800 jam, melainkan 𝜇 = 778 jam, berapakah 𝛽 yaitu

peluang membuat kekeliruan tipe II, dalam penambilan keputusan diatas?

Untuk menentukan 𝛽 kita buat sketsa dua distribusi normal, yang satu

dengan 𝜇 = 800 dan satu lagi dengan 𝜇 = 778. Kedua duanya mempunyai 𝜎 =

60 jam.

Uji dua pihak dengan 𝜎 = 0,05 menghasilkan daerah penerimaan H0

berbentuk -1,96 < z < 1,96 atau −1,96 <x̅−800

60√50< 1,96 atau 783,36 < x̅ < 816,64.

Gambar 9

778 783,36 800 816,64

𝛽


𝛽 adalah bagian grafik dalam distribusi norman dengan 𝜇 = 778 yang dalam

daerah penerimaan H0 yaitu dari 78336 ke 816,46. Dalam distribusi normal baku,

ini sama dari 𝑧 =783 ,36−778

60

√50

ke 𝑧 =816,64−778

60

√50

atau dari z = 0,63 ke z = 4.55 atau

praktis dari z = 0,63 ke kanan. Luasnya adalah 0,5 – 0,2357 = 0,28643. Jadi 𝛽 =

0,2643.

Ini berarti peluang menerima hipotesis nol bahwa rata-rata masa hidup

lampu 800 jam padahal sebenarnya 778 jam adalah 0,2643. Untuk ini, kuasa uji

dapat ditentukan ialah (1- 𝛽) = 0,7357 dan ini tiada lain daripada peluang

menolak hipotesis 𝜇 = 800 karena sebenarnya 𝜇 = 778.

Jika sekarang 𝜇 = 825, maka 𝛽 merupakan bagian grafik dalam distribusi

normal dengan 𝜇 = 825 yang terletak dalam daerah penerimaan H0 yaitu antara

783,36 dan 816,64.

Dalam angka z, ternyata 𝛽 antara z = -4,91 dan z =-0,99 atau praktis dari z

=-099 ke kiri. Luasnya adalah 0,5 – 0,3389 = 0,1111. Dengan demikian 𝛽 =

0,1111 dan kuasa uji = 0,8889.

800 816,64 825

𝛽


Daftar (2)

Beberapa nilai kuasa uji untuk berbagai 𝜇

H0 ∶ 𝜇 = 800 melawan H1 ∶ 𝜇 ≠ 800

𝜇 750 765 778 790 800 810 825 870 845

𝛽 0,0000 0,0154 0,2643 0,7815 0,95 0,7815 0,1111 0,0582 0,0004

1

− 𝛽

1,0000 0,9846 0,7357 0,2185 0,05 0,2185 0,8889 0,9418 0,9996

Kita lihat bahwa 𝛽 menyatakan peluang menerima H0 ∶ 𝜇 = 800 apabila

sebenarnya harga 𝜇 = 800, maka diartikan sebagai peluang menerima 𝜇 = 800

apabila memang itu harus diterima. Dalam hal ini, besar 𝛽 = 0,95.

Grafik 𝛽 terhadap 𝜇 dinaakan kurva ciri operasi, disingkat kurva CO, yang

dapat dilihat dibawah ini:

Bentuk kurva Co seperti diatas adalah khas untuk uji dua oihak. Makin

tajam puncak kuva makin baik aturan keputusan untuk menolak hipotesis yang

kurang berlaku.

Grafik (1 − 𝛽) terhadap 𝜇 dinamakan kurva kuasa untuk uji hipotesis.

Untuk uji dua pihak dalam contoh dimuka, bentuk kurva kuasanya dapat dilihat

dalam Gambar berikut. Ternyata bahwa bentuknya persis kebalikan daripada

kurva ciri operasi.

(1 − 𝛽) disebut juga fungsi kuasa, kaena memperlihatkan kuasa daripada

pengujian untuk menolak hipotesis yang seharusnya ditolak.


M. Menentukan Ukuran Sampel

Dalam bab XI bagian 9, telah diuraikan bagaimana cara menentukan

ukuran sampel sehubungan dengan penaksiran parameter. Sekarang, sesudah kita

mempelajari cara menguji hipotesis, akan diberikan beberapa contoh bagaimana

menentukan banyak objek yang perlu diteliti. Factor yang ikut menenukan dalam

hal ini ialah:

a. Mengenai parameter apakah hipotsis yang akan diuji itu,

b. Bagaimana pengujian dilakukan, satu pihak atau duapihak,

c. Berapa besar taraf nyata yang akan digunakan, atau ini tiada lain

daripada,

d. Berapa besar kekeliruan yang mau dilakukan,

e. Berapa besar penyimpangan yang dapat diterima diukur dari nilai

hipotesis.

Contoh:

Sebuah sampel acak diperlukan untuk menguji hipotesis H0 ∶ 𝜇 = 50

melawan H1 ∶ 𝜇 ≠ 50 dengan syarat-syarat sebagai berikut:

a. Peluang menolak H0 apabila sebenarnya 𝜇 = 50 paling tinggi = 0,05

b. Peluang menerima H0 apabila sebenarnya 𝜇 berbeda dari 50 dengan 5

paling tinggi 0,10.

Jika diketahui populasi berdistribusi normal dengan 𝜎 = 6, berapa

objek paling sedikit yang perlu diteliti.

Jawab:

Syarat a). mengatakan bahwa paling tinggi 𝛼 = 0,05 sedangkan syarat b

mengatakan paling tinggi 𝛽 = 0,10 terjadi pada 𝜇 = 45 dan 𝜇 = 55.

Keadaan ini dapat dilihat dalam gambar berikut:


Daerah penerimaan H0 ada aadalah antara z = -1,96 dan z =1,96. Dengan rumus

(1) dari sistribusi normal dengan 𝜇 = 50 didapat:

1,96 = x̅2−50

6√𝑛, n = ukuran sampel,

Dan dari distribusi nomal dengan 𝜇 = 55 dan 𝛽 = 0,10 didapat,

−1,28 == x̅2−55

6√𝑛, n = ukuran sampel

Kedua persamaan diatas memberikan

11,76/√n = x̅ − 50

-7,68/√n = x̅ − 55

Setelah diselesaikan didapat n= 15,12

Paling sedikit perlu diteliti 16 obyek.

Dengan n = 16 ini akan didapat x̅ = 52,9 dan x̅1 = 47,1

kriteria pengujian adalah: jika dari sampel berukuran 16 didapat �̅� antara 47,1 dan

52,9 maka 𝐻0 diterima, sedangkan dalam hal lainnya 𝐻0 harus di tolak.

Catatan: Hasil yang sama akan diperoleh apabila diambil distribusi normal

dengan 𝜇 = 50 dan 𝜇 = 45.

Jika untuk contoh di atas diambil 𝛽 = 0,05, maka oersamaan yang perlu di

hasilkan adalah

1,96 = 𝑥̅2− 50

6 /√𝑛 dan -1,645 =

𝑥̅2− 55

6 /√𝑛 atau 11,76 / √𝑛 = �̅� – 50

- 9,87 / √𝑛 = �̅� – 55.

Hal ini memberikan hasil n = 18,71 yang berarti paling sedikit sampel itu harus

berukuran 19.


Kita lihat bahwa makin kecil kekeliruan yang dikehendaki makin besar

ukuran sampel yang diperlukan. Hal yang sama akan terjadi apabila menghendaki

penyimpangan yang semakin kecil dari nilai yang dihipotesiskan.

Contoh: Diduga bahwa paling banyak 30% anggota masyarakat menderita

penyakit A. kita ingin menguji pernyataan ini dengan mengambil 𝛼 =

0,05 𝑑𝑎𝑛 𝛽 = 0,05

untuk penyimpangan maksimal 10% dari yang dihhipotesiskan.

Berapa anggota masyarakat yang harus diteliti?

Jawab: kita lihat hal ini uji pihak kanan dengan keadaan seperti tertera dalam

gambar di bawah ini.

Daerah penerimaan 𝐻0 adalah dari z = 1,645 ke kiri dalam kurva

distribusi normal yang sesuai dengan 𝜋 = 0,3. Dari rumus XII (3), di

dapat:

1,645 =

𝑥

𝑛− 0,3

√ ( 0,3) (0,7)/𝑛 , n = ukuran sampel

Dari 𝛽 = 0.05 dengan menggunakan kurva distribusi normal yang sesuai

dengan 𝜋 = 0,4 didapat

-1,645 =

𝑥

𝑛− 0,4

√ ( 0,4) (0,6)/𝑛 , n = ukuran sampel

Kedua persamaan diatas menjadi:

x/n 0,3 = 0,7983 / √𝑛


x/n 0,4 = 0,8059 / √𝑛

Setelah diselesaikan didapat n = 257,35. Berarti sampel kita paling sedikit

berukuran 258.

Memasukkan n = 258 ke dalam salah satu persamaan di atas di dapat x =

90. Jadi, jika dari sampel berukuran n = 258 di dpat lebih dari 90 orang menderita

penyakit A, maka 𝐻0 kita di tolak. Dalam hal lainnya 𝐻0 di terima.

Pada umumnya, simpangan baku 𝜎 tidak diketahui besar sebenarnya dan

sering berdasarkan penaksiran atau pengalaman. Dalam hal ini, cara menentukan

ukuran sampel yang tepat haruslah digunakan distribusi t dan bukan distribusi

normal. Untuk keperluan ini, karena menyangkut perhitungan 𝛽, seperti telah

diuraikan di muka, diperlukan distribusi t nonsentral. Hal yang sama berlaku

untuk menetukan ukuran sampel berdasarkan pengujian yang menggunakan

distribusi yang tidak normal.

Hal ini tidak di bicarakan di sini karena untuk pembahasannya di perlukan

teori yang lebih lanjut yang sudah keluar dari tujuan pembuatan buku ini.

16. MENGUJI HOMOGENITAS VARIANS POPULASI

Untuk menguji kesamaan beberapa buah rata-rata lihat Bagian 3, Bab

XIV, di misalkan populasinya mempunyai varians yang homogeny, yaitu 𝜎12= 𝜎2

2

= . . . = 𝜎𝑘2. Demikian pula dalam bagian 9, untuk menguji kesamaan dua rata-rata,

telah dimisalkan 𝜎12 = 𝜎2

2. Untuk hak terakhir ini, pengujian kesamaan varians

𝜎12 = 𝜎2

2 untuk dua populasi telah di lakukan dalam bagian 13. Sekarang akan di

uraikan perluasannya yaitu untuk menguji kesamaan k buah ( k ≥ 2 ) varians

populasi yang berdistribusi normal. Tepatnya, misalkan kita mempunyai k ( k ≥

2 ) buah populasi berdistribusi independen dan normal masing-masing dengan

varians 𝜎12, 𝜎2

2, . . . . , 𝜎𝑘2. Akan diuji hipotesis :


Berdasarkan sampel-sampel acak yang masing-masing di ambil dari setiap

populasi.

Ada beberapa metode yang telah di temukan untuk melakukan pengujian

ini, tetapi di sini, hanya akan di berikan sebuah saja yang di kenal dengan nama

uji Bartlett.

Kita misalkan masing-masing sampel berukuran n1, n2, . . . , nk dengan

data Yij( i = 1, 2, . . . . , k dan j = 1, 2, . . . , nk) dan hasil pengamatan telah disusun

seperti dalam Daftar XII (4). Selanjutnya, dari sampel-sampel itu kita hitung

variansnya masing-masing ialah s1 ,2 s2

2, . . . , s𝑘2.

Daftar 4

Data Sampel Dari K Buah Populasi

DARI POPULASI KE

1 2 …………… 4

Data Hasil Pengamatan

𝑦11

𝑦12

.

.

.

𝑦1𝑛1

𝑦21

𝑦22

.

.

.

𝑦2𝑛2

…………… ……………

……………

𝑦𝑘1

𝑦𝑘2

.

.

.

𝑦𝑘𝑛𝑘

Untuk memudahkan perhitungan, satuan-satuan yang diperlukan untuk uji

Bartlett lebih baik disusun dalam sebuah daftar seperti dalam daftar (5)

Daftar (5)

Harga-harga yang perlu untuk uji Bartlett

H0 ∶ 𝜎12 = 𝜎2

2 = ⋯ = 𝜎𝑘2

Sampel ke Dk 1

𝑑𝑘

𝑠𝑖2 log 𝑠𝑖

2 (dk) log 𝑠𝑖2

1 𝑛1 − 1 1(𝑛1 − 1)⁄ 𝑠1

2 log 𝑠12 (𝑛1 − 1) log 𝑠1

2

2 𝑛2 − 1 1(𝑛2 − 1)⁄ 𝑠2

2 log 𝑠22 (𝑛2 − 1) log 𝑠2

2


.

.

.

K 𝑛𝑘 − 1 1(𝑛𝑘 − 1)⁄ 𝑠𝑘

2 log 𝑠𝑘2 (𝑛𝑘 − 1) log 𝑠𝑘

2

Jumlah ∑(𝑛𝑖 − 1) ∑ 1(𝑛𝑖 − 1)⁄

-- -- ∑(𝑛𝑖 − 1) log 𝑠𝑖2

Dari daftar ini kia hitung harga-harga yang diperlukan yakni:

1. Varians gabungan dari semua sampel:

𝑠2 = (∑(𝑛𝑖 − 1) 𝑠𝑖

2

∑(𝑛𝑖 − 1)) … … … (13)

2. Harga satuan B dengn rumus:

𝐵 = (log 𝑠2 ) ∑(𝑛𝑖 − 1) … … … (14)

Ternyata bahwa untuk uji Bartlett digunakan statistic chi kuadrat.

𝑥 2 = (ln 10) {𝐵 − ∑(𝑛𝑖 − 1) log 𝑠𝑖2}

Dengan ln 10 = 2,3026, disebut logaritma asli dari bilangan 10.

Dengan taraf nyata 𝛼, kia tola hipotesis H0 jika 𝑥 2 ≥ 𝑥(1− 𝛼) (𝑘−1),2 dimana

𝑥(1− 𝛼) (𝑘−1) 2 didapat dari daftar distribusi chi-kuadat dengan peluang (1- 𝛼) dan dk

= (k-1).


BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

Hipotesis statistik merupakan pernyataan sementara tentang satu populasi

atau lebih. Dalam statistika, pengujian hipotesis merupakan bagian terpenting

untuk mengambil keputusan. Dengan melakukan pengujian hipotesis seorang

peneliti akan dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan yang diajukan dengan

menyatakan penolakan atau penerimaan terhadap hipotesis. Kebenaran hipotesis

secara pasti tidak pernah diketahui kecuali jika dilakukan pengamatan terhadap

seluruh anggota populasi. Untuk melakukan hal ini sangatlah tidak efisien apalagi

bila ukuran populasinya sangat besar.

Dengan statistika kita berusaha untuk menyimpulkan populasi. Untuk ini

kelakuan populasi di pelajari berdasarkan data yang diambil baik secara sampling

ataupun sensus. Dalam kenyataanya, meningat berbagai faktor, untuk keperluan

tersebut diambil sebuah sampel yang representatif lalu berdasarkan pada hasil

analisis terhadap data sampel, kesimpulan mengenai populasi dibuat. Selain

dengan cara menaksir parameter, cara penagmbilan kesimpulan yang kedua akan

dipelajari melalui pengujian hipotesis.

Pada pengujian hipotesis rata-rata dibedakan beberapa kondisi diantaranya

kondisi simpangan baku dikethui, simpangan baku tidak diketahui, serta observasi

berpasangan. Masing-masing kondisi memiliki kriteria dan pengujian statistik

yang berbeda-beda, sehingga kita harus paham bagaimana dan kapan suatu

kondisi pada pengujian hipotesis rata-rata ditempatkan.


DAFTAR PUSTAKA

Sudjana. 1996. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito Bandung

Pengujian Hipotesis (Makalah Pengantar Statistika)

Data & Analytics