PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA TIGA RATA-RATA ATAU LEBIH Statistik Industri II Teknik Industri Universitas Brawijaya
PENGUJIAN HIPOTESIS BEDA TIGA RATA-RATA ATAU LEBIH
Statistik Industri II
Teknik Industri Universitas Brawijaya
Pengujian Hipotesis 3 rata-rata atau lebih
Dengan teknik ANOVA (Analisis Varians)
Pengujian hipotesis 1 arah
Pengujian hipotesis 2 arah
Tanpa interaksi
Dengan interaksi
ANALISIS VARIANSI SEARAHAlat uji statistik yang digunakan untuk menguji apakah k populasiyang independen mempunyai rata-rata yang berbeda atau tidak
Menguji homogenitas nilai rata-rata k buah sampelrandom dari populasi yang berdistribusi normal danhomogen
22
2
2
1 ... k
Terdapat : 1 variabel tak bebas (dependen) dengan skala
interval atau ratio level Faktor (k buah perlakuan) 1 variabel bebas (independen) dengan skala nominal
atau ordinal Faktor
Hipotesis ANOVA 1 Arah
•
– Seluruh mean populasi adalah sama
– Tak ada efek treatment (tak ada keragaman mean dalam
grup)
•
– Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda
– Terdapat sebuah efek treatment
– Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa pasang
mungkin sama)
k3210 μμμμ:H
samaadalahpopulasimeanseluruhidakH A T:
ANOVA 1 Faktor
Semua mean bernilai sama
Hipotesis nol adalah benar
(Tak ada efek treatment)
k3210 μμμμ:H
sama μ T:H iA seluruhidak
321 μμμ
ANOVA 1 Arah
Minimal ada 1 mean yg berbeda
Hipotesis nol tidak benar
(Terdapat efek treatment)
k3210 μμμμ:H
sama μ T:H iA semuaidak
321 μμμ 321 μμμ
or
(sambungan)
Hipotesis ANOVA 1 Arah
dengan satu faktor yang berpengaruh
Langkah-langkah:
1. Menentukan formulasi hipotesis
H0 : 1 = 2 = 3 = ... = k
H1 : 1 ≠ 2 ≠ 3 ≠ ... ≠ k
Hipotesis ANOVA 1 Arah
Langkah-langkah:
2. Menentukan taraf nyata () beserta F tabel
Derajat pembilang (1) = k - 1
Derajat penyebut (2) = k (n- 1)
3. Menentukan kriteria pengujian
Fα (1 ;2)= ...
H0 diterima jika F0 ≤ Fα(1 ;2)
H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2)0
Reject H0Do not reject H0
Daerah kritis
penolakan H0
Daerah
penerimaan H0
Hipotesis ANOVA 1 Arah
Langkah-langkah:
4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
Sumber Variasi
Derajat bebas
Jumlah Kuadrat
Rata-rata kuadrat Fhit
Rata-rata
kolom
Eror
)1( k
k 1n
JKK
JKE
s12 =
)1( k
JKK
s22 =
)( kn
JKE
s12/s2
2
Total 1nk JKT
Hipotesis ANOVA 1 Arah
Langkah-langkah:
4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
nk
TxJKT ij
n
j
k
i
...2
11
JKE = JKT - JKK k = kolom, n = baris
Untuk ukuran sampel yang sama banyak
Hipotesis ANOVA 1 Arah
Langkah-langkah:
4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
N
TxJKT ij
n
j
k
i
...2
11
JKE = JKT - JKK Derajat bebas error = N – kN = jumlah sampel
Untuk ukuran sampel yang tidak sama banyak
N
TiTJKK
k
i
...2
1
2
ni
Hipotesis ANOVA 1 Arah
Langkah-langkah:
5. Membuat kesimpulan
Menyimpulkan H0 diterima atau ditolak
langkah ke-4 VS langkah ke-3
ContohAkan diuji apakah rata-rata jumlah produk yang dihasilkan perminggu dari 3 buah stasiun kerja manual yang paralel adalah homogen?
1. Diambil sampel random dari pengamatan 6 minggu untuk setiap stasiun kerja
Var independen : produk yg dihasilkan perminggu (ratio)
Var dependen : stasiun kerja (nominal)Minggu
keStasiun kerja 1
(unit)Stasiun kerja
2 (unit)Stasiun kerja
3 (unit)
1 76 72 71
2 63 63 54
3 66 65 62
4 83 78 76
5 74 69 65
6 53 49 50
Hasil pengamatan :
Penyelesaian:
kH ...: 210 Rata-rata perlakuan homogen (tidak ada pengaruh perlakukan atau tidak ada pengaruh variabel bebas terhadap variabel tak bebas)
H1 : tidak semua sama i
Rata-rata perlakuan tidak homogen ( ada pengaruh perlakukan)Tingkat signifikansi uji : α %
)1(
)1(
nkJKE
kJKK
dbJKE
dbJKKFhitung
Statistik uji yang digunakan :
~ F (k-1);k(n-1)
Daerah kritis:
Fhitung > F α;(k-1);k(n-1)
ANALISIS VARIANSI SEARAHTabel Analisis Variansi ANOVA (Analysis of Variance)
Sumber Variasi
Derajat bebas
Jumlah Kuadrat
Rata-rata kuadrat Fhit
Rata-rata
kolom
Eror
)1( k
k 1n
JKK
JKE
s12 =
)1( k
JKK
s22 =
)( kn
JKE
s12/s2
2
Total 1nk JKT
CONTOH 1Minggu ke Stasiun kerja I Stasiun kerja II Stasiun kerja III Total
1 76 72 71
2 63 63 54
3 66 65 62
4 83 78 76
5 74 69 65
6 53 49 50
Jumlah (Xi) 415 396 378 1189 = T
k
i
n
j
ij
i
x1 1
280201
n = 6 k = 3
= 762 + 632+ ... + 502
944,1660056,78540802011 1
22
k
i
n
j
ij
i
nk
TXJKT
(1189)2 / 18𝑇2
𝑛𝑘=
CONTOH 1111,114056,78540
6
378396415 222
JKK
833,1546111,114944,1660 JKKJKTJKE
SUMBER VARIASI db Jumlah kuadrat
(JK)
Rata-rata kuadrat / kuadrat tengah
Fhitung
Kelas/perlakuan
F = 0,55JKK 3-1=2 114,111 s1
2 = 57,055
JKE 3(6-1)= 15 1546,833 s22 = 103,122
TOTAL 18-1= 17 1660,944
CONTOH 1
• Tingkat signifikansi uji : α = 5 %• Statistik uji yang digunakan Fhitung ~ F2;15
• Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(2;15)=3,682
• Kesimpulan : Karena Fhitung = 0,55 < F0,05;(2;15)=3,682maka Ho diterima rata-rata jumlah produk yangdihasilkan ketiga stasiun tiap minggunya homogen(sama) atau tidak ada pengaruh jenis stasiun kerjaterhadap jumlah produksi perminggu
ANOVA – 1 Arah dengan MS ExcelContoh 1
EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: single factor
19
ANOVA – 1 arah Excel OutputContoh 1
20
Anova: Single Factor
SUMMARY
Groups Count Sum Average Variance
Column 1 6 415 69.16667 114.1667
Column 2 6 396 66 97.6
Column 3 6 378 63 97.6
ANOVA
Source of Variation SS df MS F P-value F crit
Between Groups 114.1111 2 57.05556 0.553281 0.586358 3.68232
Within Groups 1546.833 15 103.1222
Total 1660.944 17
CONTOH 2
Operator A
Operator B
Operator C
Operator D
62 63 68 56
60 67 66 62
63 71 71 60
59 64 67 61
65 68 63
69 68 64
63
59
Untuk menguji apakah operator yang berbeda akan mempengaruhi waktu proses (dalam menit) untuk membuat suatu komponen produk, dilakukan pengamatan terhadap 4 orang operator (A, B, C, D) yang diamati dalam waktu yang bersamaan. Hasil pengamatannya. Berikut hasil pengamatannya :
Waktu proses (dalam menit)
Tingkat signifikansi uji : α = 5 %
Penyelesaian:
DCBAH :0
Rata-rata waktu proses keempat operator sama atau tidak ada pengaruh operator terhadap waktu proses
H1 : tidak semua sama
Rata-rata waktu proses keempat operator tidak semua sama atau ada pengaruh operator terhadap waktu proses
• Tingkat signifikansi uji : α = 5 %• Statistik uji yang digunakan Fhitung ~ F3;20
• Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(3;20)=3,099
N-k
CONTOH 2Operator
AOperator
BOperator
COperator
D
62 63 68 56
60 67 66 62
63 71 71 60
59 64 67 61
65 68 63
69 68 64
63
59
ni 4 6 6 8 N = 24
Xi 244 399 408 488 T = 1539
Xi 61 66,5 68 61
Tingkat signifikansi uji : α = 5 %
k
i
n
j
ij
i
X1 1
299049
625,36038,98688990491 1
22
k
i
n
j
ij
i
N
TXJKT
125,24138,986888
488
6
408
6
399
4
244 2222
JKK
5,119125,241625,360 JKKJKTJKE
SUMBER VARIASI db Jumlah kuadrat (JK)
Rata-rata kuadrat / kuadrat tengah
Fhitung
Kelas/perlakuan
13,452JKK k-1= 3 241,125 s1
2 = 80,375
JKE N-k= 20 119,5 s22= 5,975
TOTAL 23 360,625
Tabel Anova
CONTOH 2
• Kesimpulan : Karena Fhitung = 13,452 > F0,05;(3;20)=3,099• maka Ho ditolak
rata-rata waktu proses keempat operator tidak semuasama atau ada pengaruh operator terhadap waktuproses
ANOVA – 1 Arah dengan MS ExcelContoh 2
EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: single factor
26
ANOVA – 1 arah Excel OutputContoh 2
27
Anova: Single Factor
SUMMARY
Groups Count Sum Average Variance
Column 1 4 244 61 3.333333
Column 2 6 399 66.5 9.5
Column 3 6 408 68 2.8
Column 4 8 488 61 6.857143
ANOVA
Source of Variation SS df MS F P-value F crit
Between Groups 241.125 3 80.375 13.45188 4.94E-05 3.098391
Within Groups 119.5 20 5.975
Total 360.625 23
KEKUATAN HUBUNGAN ANTARA VARIABEL BEBAS DAN TAK BEBAS
Kekuatan hubungan / asosiasi antara variabel x (perlakuan) dengan variabel y dalam sampel dinyatakan dalam ρ = JKK/JKT
(ρ/100)% variasi yang terjasi dalam variabel y dari data sampel disebabkan oleh pengaruh variabel x (perlakuan)
Contoh : untuk contoh 1 (sebelumnya)
%87,60687,0944,1660
111,114
JKT
JKK
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi
Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan 2 faktor yang berpengaruh
Interaksi ditiadakan
Langkah-langkah:
1. Menentukan formulasi hipotesis
a. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = 0 (pengaruh baris nol)
H1 : sekurang-kurangnya satu i tidak sama dengan nol
b. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = 0 (pengaruh kolom nol)
H1 : sekurang-kurangnya satu j tidak sama dengan nol
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi
Langkah-langkah:
2. Menentukan taraf nyata () beserta F tabel
a. Untuk baris: (1) = b – 1 (2) = (k-1)(b-1)
b. Untuk kolom: (1) = k – 1 (2) = (k-1)(b-1)
3. Menentukan kriteria pengujian
Fα (1 ;2)= ...
H0 diterima jika F0 ≤ Fα(1 ;2)
H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2)0
Reject H0Do not reject H0
Daerah kritis
penolakan H0
Daerah
penerimaan H0
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi
Langkah-langkah:
4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
Hipotesis ANOVA Dua Arah tanpa interaksi
Langkah-langkah:
4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
5. Membuat kesimpulan
kb
TxJKT ij
n
j
k
i
...2
11
JKE = JKT - JKB - JKK
∑ =-++
=-==
k
1j
22222j
11,11406,785406
378396415
kb
T
b
TJKK
CONTOH 3. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH
Dari contoh 1 apabila minggu yang berbeda dicurigai akanmemberi jumlah atau hasil produksi yang berbeda uniteksperimen dalam tiap stasiun kerja dibagi dalam minggu
Minggu ke Stasiun kerja I
Stasiun kerja II
Stasiun kerja III
Total
1 76 72 71 219
2 63 63 54 180
3 66 65 62 193
4 83 78 76 237
5 74 69 65 208
6 53 49 50 152
Jumlah (Xi) 415 396 378 1189 = Y
CONTOH 3. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH
k
i
n
j
ij
i
x1 1
280201 N = 18
06,7854018
118922
kb
T
k
i
n
j
ij
i
kb
TxJKT
1 1
22
94,166006,7854080201
k
j kb
T
b
jTJKK
1
22222
11,11406,785406
378396415.
3210 : H Rata-rata jumlah produk yang dihasilkan perminggu homogen
H1 : tidak semua sama Tidak homogen
• Tingkat signifikansi uji : α = 5 %• Daerah kritis : Jika Fhitung > F0,05;(2;10)=4,103
UJI HIPOTESIS
94,150806,785403
152208237193180219
1
22222222
b
i
i
kb
T
k
TJKB
89,3711,11494,150894,1660 JKKJKBJKTJKE
CONTOH 3. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH
SUMBER VARIASI
db Jumlah kuadrat
(JK)
KT Fhitung
- Rata-rata baris 2 114,11 57,055 f1= 15,058
f2= 79,4- Rata-rata kolom 5 1508,94 301,788
- Kesalahan / error 10 37,89 3,789
TOTAL 17 1660,944
CONTOH 3• Kesimpulan : Karena Fhitung = 15,06 >
F0,05;(2;10)= 4,103 maka Ho ditolak rata-rata jumlah produk yang dihasilkan ketigastasiun kerja tiap minggunya tidak homogen(tidak sama)
• Kesimpulan : Karena Fhitung = 79,44 >F0,05;(5;10)= 3,326 maka Ho ditolak rata-rata jumlah produk yang dihasilkan ketigastasiun kerja tiap minggunya tidak homogen(tidak sama)
ANOVA – 2 Arah dengan MS ExcelContoh 3
EXCEL: tools / data analysis / ANOVA: two factor without replication
38
ANOVA – 2 arah Excel OutputContoh 3
39
Anova: Two-Factor Without Replication
SUMMARY Count Sum Average Variance
Row 1 3 219 73 7
Row 2 3 180 60 27
Row 3 3 193 64.33333 4.333333
Row 4 3 237 79 13
Row 5 3 208 69.33333 20.33333
Row 6 3 152 50.66667 4.333333
Column 1 6 415 69.16667 114.1667
Column 2 6 396 66 97.6
Column 3 6 378 63 97.6
ANOVA
Source of Variation SS df MS F P-value F crit
Rows 1508.944 5 301.7889 79.65103 1E-07 3.325835
Columns 114.1111 2 57.05556 15.05865 0.000962 4.102821
Error 37.88889 10 3.788889
Total 1660.944 17
Hipotesis ANOVA Dua Arahdengan interaksi
Pengujian hipotesis beda tiga rata-rata atau lebih dengan 2 faktor yang berpengaruh
Pengaruh interaksi kedua faktor tersebut diperhitungkan
Langkah-langkah:
1. Menentukan formulasi hipotesis
a. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = b = 0
H1 : sekurang-kurangnya satu i tidak sama dengan nol
b. H0 : 1 = 2 = 3 = ... = b = 0
H1 : sekurang-kurangnya satu j tidak sama dengan nol
c. H0 : ()11 = ()12 = ()13 = ... = ()bk = 0
H1 : sekurang-kurangnya satu ()ij tidak sama dengan nol
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi
Langkah-langkah:
2. Menentukan taraf nyata () beserta F tabel
a. Untuk baris: (1) = b – 1 (2) = (kb)(n-1)
b. Untuk kolom: (1) = k – 1 (2) = (kb)(n-1)
c. Untuk interaksi: (1) = (k – 1)(b-1) (2) = (kb)(n-1)
Fα (1 ;2)= ...
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi
Langkah-langkah:
3. Menentukan kriteria pengujian
a. Untuk baris, kolom dan untuk interaksi
H0 diterima jika F0 ≤ Fα(1 ;2)
H0 ditolak jika F0 > Fα(1 ;2)
0Reject H0Do not
reject H0
Daerah kritis
penolakan H0
Daerah
penerimaan H0
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi
Langkah-langkah:
4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
Hipotesis ANOVA Dua Arah dengan interaksi
Langkah-langkah:
4. Membuat analisis varians dalam bentuk tabel ANOVA
5. Membuat kesimpulan
bkn
TxJKT
n
c
ijc
k
j
b
i
...2
1
2
11
JKE = JKT - JKB - JKK - JKI
n = ulangan percobaan
CONTOH 4. ANALISIS VARIANSI DUA ARAH DGN INTERAKSI
• Empat varietas padi hendak dibandingkan hasilnya dengan memberikan pupuk. Percobaan dilakukan dengan menggunakan 8 petak yang seragam, masing-masing di 4 lokasi yang berbeda. Di setiap lokasi, dicobakan pada 2 petak yang ditentukan secara acak. Hasilnya (dalam kg) per petak adalah sbb:
Tabel hubungan antara jenis pupuk, varietas padi dan hasil panen
penyelesaian
penyelesaian
penyelesaian
penyelesaian
penyelesaian