Pengolahan Dasar Matriks - stat.ipb.ac.id · Sifat: c(A + B) = cA + cB. Perkalian dengan Skalar » » » ¼ º « « « ¬ ª 7 6 5 1 1 2 1 0 2 4 1 3 A » » » ¼ º « « « ¬

Pengolahan Dasar Matriks

Bagus [email protected]

Departemen Statistika FMIPA – IPB

Notasi Dasar Matriks

• Amxn , mAn , [aij]mxn : matriks berukuran mx n (m baris, n kolom)

• aij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks mAn dan mBn

menghasilkan matriks baru mCn dengan

cij = aij + bij untuk semua (i, j)

Perhatikan bahwa ukuran matriks A dan Bharus sama

Penjumlahan Matriks

1567

0121

3142

A

0528

1410

3152

B

110815

1531

6294

BAC

Penjumlahan Matriks

• Sifat Dasar Penjumlahan Matriks:

– Komutatif: A + B = B + A

– Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)

BUKTIKAN SIFAT DI ATAS

Perkalian dengan Skalar

Jika c adalah sebuah skalar/konstanta real, dan mAn adalah sebuah matriks real maka

c A = mBn

dengan bij = c aij untuk semua (i, j)

Sifat: c (A + B) = cA + cB

Perkalian dengan Skalar

1567

0121

3142

A

2101214

0242

6284

2A

Perkalian Matriks

Perkalian dua buah matriks mAn dan nBp

menghasilkan matriks baru mCp dengan

cij = untuk semua (i, j)

Perhatikan ukuran matriks yang terlibat dalam perkalian

n

k

kjikba1

Perkalian Matriks

12

31A

654

321B

613251224112

633153214311ABC

1296

211714ABC

Perkalian Matriks

Sifat-sifat

• Tidak komutatif. AB = BA, may be yes, may be no.

• A(B + C) = AB + AC

• c(AB) = (cA)B = A(cB)

BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS

Transpose (Putaran)

Transpose dari matriks mAn dilambangkan AT

atau A’ adalah matriks nBm dengan

bij = aji untuk semua (i, j)

Transpose (Putaran)

1567

0121

3142

A

103

511

624

712

TAB

Transpose (Putaran)

Sifat-sifat

• (A’)’ = A

• (A + B)’ = A’ + B’

• (cA)’ = cA’

• (AB)’ = B’A’

BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS

Matriks-Matriks Spesial

• Matriks Persegi

• Matriks Diagonal

• Matriks Identitas

• Matriks Nol

• Matriks Satuan

• Matriks Simetrik

• Matriks Miring Simetrik

• Matriks Segitiga Atas/Bawah

• Matriks Idempoten

• Matriks Ortogonal

Matriks Persegi

Sebuah matriks mAn dikatakan sebagai matriks persegi jika dan hanya jika m = n, atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

Matriks Diagonal

Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks diagonal jika dan hanya jika

aij = 0 untuk semua i ≠ j

20

01A

8000

0200

0000

0003

H

Matriks Identitas

Matriks persegi nAn disebut sebagai matriks identitas dan dilambangkan In jika dan hanya jika

aij = 0 untuk semua i ≠ j

aii = 1 untuk semua i = 1, 2, …, n

Jika mBn adalah sembarang matriks real, maka BI = B

Jika nBm adalah sembarang matirks real maka IB = B

Matriks Identitas

10

012I

1000

0100

0010

0001

4I

Matriks Nol

Sebuah matriks mAn disebut sebagai matriks nol dan dilambangkan mOn jika dan hanya jika

aij = 0 untuk semua (i, j)

Jika mBn adalah sembarang matriks real, maka BO = O

Jika nBm adalah sembarang matirks real maka OB = O

Matriks Satuan

Sebuah matriks mAn disebut sebagai matriks satuan dan dilambangkan mJn jika dan hanya jika

aij = 1 untuk semua (i, j)

Matriks Nol dan Matriks Satuan

0000

0000

0000

43xO

000

000

000

000

34xO

1111

1111

1111

43xJ

111

111

111

111

34xJ

Matriks Simetrik

Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika

aij = aji untuk semua i ≠ j

Dengan kata lain nAn disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika A’ = A

Matriks Miring Simetrik

Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks miring simetrik jika dan hanya jika

aij = -aji untuk semua (i, j)

dan aii = 0 untuk semua i = 1, 2, …, n

Dengan kata lain nAn disebut sebagai miring matriks simetrik jika dan hanya jika A = -A’

Simetrik dan Miring Simetrik

92

21B

6034

0135

3322

4521

K

02

20C

0034

0035

3302

4520

Matriks Segitiga Atas

Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks segitiga atas jika dan hanya jika

aij = 0 untuk semua i > j

6000

0100

3320

4521

Matriks Segitiga Bawah

Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks segitiga bawah jika dan hanya jika

aij = 0 untuk semua i < j

6034

0135

0022

0001

Matriks Idempoten

Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks idempoten jika dan hanya jika AA = A

Matriks Ortogonal

Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks ortogonal jika dan hanya jika

AA’ = A’A = In

Bahan Diskusi

Andaikan data tingkat pengeluaran per hari (Rp) mahasiswa Dept Statistika Angkatan 48 dicatat dalam bentuk vektor kolom y berukuran 60 x 1, nyatakan statistik berikut dalam bentuk notasi matriks.

a. Jumlah pengeluaran per hari

b. Rata-rata pengeluaran per hari

c. Ragam pengeluaran per hari