of 29
/29
Pengolahan Dasar Matriks
Bagus [email protected]
Departemen Statistika FMIPA IPB
Notasi Dasar Matriks
Amxn , mAn , [aij]mxn : matriks berukuran mx n (m baris, n kolom)
aij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j
Penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks mAn dan mBn menghasilkan matriks baru mCn dengan
cij = aij + bij untuk semua (i, j)
Perhatikan bahwa ukuran matriks A dan Bharus sama
Penjumlahan Matriks
1567
0121
3142
A
0528
1410
3152
B
110815
1531
6294
BAC
Penjumlahan Matriks
Sifat Dasar Penjumlahan Matriks:
Komutatif: A + B = B + A
Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)
BUKTIKAN SIFAT DI ATAS
Perkalian dengan Skalar
Jika c adalah sebuah skalar/konstanta real, dan mAn adalah sebuah matriks real maka
c A = mBndengan bij = c aij untuk semua (i, j)
Sifat: c (A + B) = cA + cB
Perkalian dengan Skalar
1567
0121
3142
A
2101214
0242
6284
2A
Perkalian Matriks
Perkalian dua buah matriks mAn dan nBpmenghasilkan matriks baru mCp dengan
cij = untuk semua (i, j)
Perhatikan ukuran matriks yang terlibat dalam perkalian
n
k
kjikba1
Perkalian Matriks
12
31A
654
321B
613251224112
633153214311ABC
1296
211714ABC
Perkalian Matriks
Sifat-sifat
Tidak komutatif. AB = BA, may be yes, may be no.
A(B + C) = AB + AC
c(AB) = (cA)B = A(cB)
BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS
Transpose (Putaran)
Transpose dari matriks mAn dilambangkan AT
atau A adalah matriks nBm dengan
bij = aji untuk semua (i, j)
Transpose (Putaran)
1567
0121
3142
A
103
511
624
712
TAB
Transpose (Putaran)
Sifat-sifat
(A) = A
(A + B) = A + B
(cA) = cA
(AB) = BA
BUKTIKAN SIFAT-SIFAT di ATAS
Matriks-Matriks Spesial
Matriks Persegi
Matriks Diagonal
Matriks Identitas
Matriks Nol
Matriks Satuan
Matriks Simetrik
Matriks Miring Simetrik
Matriks Segitiga Atas/Bawah
Matriks Idempoten
Matriks Ortogonal
Matriks Persegi
Sebuah matriks mAn dikatakan sebagai matriks persegi jika dan hanya jika m = n, atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.
Matriks Diagonal
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks diagonal jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua i j
20
01A
8000
0200
0000
0003
H
Matriks Identitas
Matriks persegi nAn disebut sebagai matriks identitas dan dilambangkan In jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua i j
aii = 1 untuk semua i = 1, 2, , n
Jika mBn adalah sembarang matriks real, maka BI = B
Jika nBm adalah sembarang matirks real maka IB = B
Matriks Identitas
10
012I
1000
0100
0010
0001
4I
Matriks Nol
Sebuah matriks mAn disebut sebagai matriks nol dan dilambangkan mOn jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua (i, j)
Jika mBn adalah sembarang matriks real, maka BO = O
Jika nBm adalah sembarang matirks real maka OB = O
Matriks Satuan
Sebuah matriks mAn disebut sebagai matriks satuan dan dilambangkan mJn jika dan hanya jika
aij = 1 untuk semua (i, j)
Matriks Nol dan Matriks Satuan
0000
0000
0000
43xO
000
000
000
000
34xO
1111
1111
1111
43xJ
111
111
111
111
34xJ
Matriks Simetrik
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika
aij = aji untuk semua i j
Dengan kata lain nAn disebut sebagai matriks simetrik jika dan hanya jika A = A
Matriks Miring Simetrik
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks miring simetrik jika dan hanya jika
aij = -aji untuk semua (i, j)
dan aii = 0 untuk semua i = 1, 2, , n
Dengan kata lain nAn disebut sebagai miring matriks simetrik jika dan hanya jika A = -A
Simetrik dan Miring Simetrik
92
21B
6034
0135
3322
4521
K
02
20C
0034
0035
3302
4520
Matriks Segitiga Atas
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks segitiga atas jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua i > j
6000
0100
3320
4521
Matriks Segitiga Bawah
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks segitiga bawah jika dan hanya jika
aij = 0 untuk semua i < j
6034
0135
0022
0001
Matriks Idempoten
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks idempoten jika dan hanya jika AA = A
Matriks Ortogonal
Sebuah matriks persegi nAn disebut sebagai matriks ortogonal jika dan hanya jika
AA = AA = In
Bahan Diskusi
Andaikan data tingkat pengeluaran per hari (Rp) mahasiswa Dept Statistika Angkatan 48 dicatat dalam bentuk vektor kolom y berukuran 60 x 1, nyatakan statistik berikut dalam bentuk notasi matriks.
a. Jumlah pengeluaran per hari
b. Rata-rata pengeluaran per hari
c. Ragam pengeluaran per hari
