Pengenalan Konsep Sistem Pengaturan Sep07

BAB IPENGENALAN KONSEP SISTEM KONTROL

1.1 Konsep Dasar Sistem Kontrol

Dewasa ini kontrol automatik telah memegang peranan penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan. Kemajuan pada teori kontrol dan praktis yang sangat pesat memberikan kemudahan dalam mendapatkan unjuk kerja sistem dinamik, mempertinggi kualitas, menurunkan biaya produksi, mempertinggi laju produksi, dan meniadakan pekerjaan-pekerjaan rutin dan membosankan yang biasa dilakukan manusia maka diperlukan pemahaman yang baik pada bidang ini.

Pada umumnya suatu sistem apapun yang berada di alam ini mempunyai ciri-ciri, diantaranya terdapat tujuan tertentu pada sistem itu. Selain itu, adanya berbagai komponen pada sistem tersebut, pada komponen-komponen tersebut mempunyai fungsi masing-masing yang merupakan suatu kesatuan. Dengan kata lain, sistem terdiri atas komponen-komponen yang mempunyai fungsi masing-masing dan saling bekerja sama untuk mencapai suatu tujuan tertentu yang telah ditetapkan.

Sistem kontrol merupakan proses pengaturan atau pengendalian terhadap satu atau beberapa besaran (variabel, parameter) sehingga didapatkan suatu harga atau didapatkan harga-harga dalam suatu range (jangkauan ) tertentu.

Sistem kontrol juga merupakan sebuah sistem dimana komponen-komponennya dihubungkan sedemikian rupa sehingga membentuk sebuah konfigurasi sistem. Sistem kontrol tersebut mengatur sistemnya sendiri atau sistem yang lain sehingga didapatkan tanggapan sistem yang diinginkan.

Pemakaian sistem kontrol banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari baik dalam pemakaian langsung maupun tidak langsung. Sistem kontrol tersebut umumnya merupakan sistem yang pengontrolannya menggunakan cara manual otomatis.

Sistem kontrol otomatis merupakan sistem kontrol loop tertutup dengan acuan masukan atau keluaran yang dikehendaki dapat konstan atau berubah secara perlahan dengan berjalannya waktu. Tugas utama sistem kontrol adalah menjaga keluaran yang sebenarnya pada harga yang diinginkan dengan adanya gangguan dalam sistem. Sebagai contoh sistem kontrol otomatis adalah sebagai berikut:

a. Pengontrolan proses, misalnya pengontrolan temperatur, aliran, tekanan, tinggi permukaan cairan, pH, dan sebagainya.

b. Pembangkit tenaga listrik, misalnya pengaturan tegangan, frekuensi, dan sebagainya.c. Pengontrolan numerik yaitu pengontrolan operasi yang membutuhkan ketelitian tinggi

dalam proses yang berulang-ulang. Misalnya pembuatan lobang, tekstil, pengelasan, dan sebagainya.

d. Transportasi, misalnya elevator, eskalator, ban berjalan, kereta api, pesawat terbang, dan sebagainya.

e. Servomekanisf. Bidang non teknik, misalnya bidang ekonomi, sosiologi, dan biologi.

Sebagai dasar dalam menganalisis dan mendesain sistem kontrol adalah dengan menggunakan teori sistem linier. Plant atau proses yang akan dikontrol dapat direpresentasikan oleh hubungan sebab akibat, hal tersebut dapat dilihat dalam Gambar 1.1. Input merupakan sesuatu yang diinginkan dalam sistem kontrol, sedangkan output merupakan sesuatu yang terjadi atau merupakan tanggapan sistem.

Pengenalan Konsep S istem Pengaturan

Sistem :

- m em punyai tu juan- terd iri dari kom ponen - kom ponen- kom ponen-kom ponen tersebut m em punyai fungsi m asing-m asing yang m erupakan suatu kesatuan

1.1.Konsep Dasar S istem Kontrol

Dasar untuk m enganalis is dan m endesain sistem kontroladalah teori sistem lin ier

P lant atau proses yang akan dikontro l dapat d irepresentasikan oleh hubungan sebab akibat

S istem kontrol adalah hubungan antara kom ponen-kom ponen yang m em bentuk sebuah konfigurasi sistem untuk m endapatkan tanggapan sistem yang diinginkan

plant atau prosesoutputinput

1

Gambar 1.1 Hubungan Sebab Akibat dalam Sistem Kontrol.

1.2 Klasifikasi Sistem Kontrol

Sistem kontrol dapat diklasifikasikan dengan berbagai cara, diantaranya adalah sebagai berikut.

1

1.2.1 Sistem Loop Terbuka dan Loop TertutupSistem loop terbuka menggunakan peralatan penggerak untuk mengontrol proses secara langsung

tanpa umpan balik. Pada sistem ini harga keluaran sistem tidak dapat dibandingkan terhadap harga masukannya. Dengan kata lain keluaran tidak memberikan efek terhadap besaran masukan atau variabel yang dikontrol tidak dapat dibandingkan terhadap harga yang diinginkan. Umumnya masukan sistem dipilih berdasarkan pengalaman.

Sistem loop terbuka mempunyai ciri-ciri, diantaranya sederhana, harganya murah, dapat dipercaya, dapat kurang akurat karena tidak terdapat koreksi terhadap kesalahan, dan berbasis waktu.

Salah satu contoh sistem loop terbuka adalah sistem pengaturan temperatur ruangan. Untuk mendapatkan temperatur yang diinginkan, operator menggunakan pengalamannya untuk mengeset daya yang dibutuhkan sistem agar keluaran sistem yang berupa temperatur ruangan sesuai dengan temperatur ruangan yang diinginkan. Hal tersebut dapat digambarkan dalam bentuk diagram balok seperti yang terlihat dalam Gambar 1.2.

C ontoh Loop Terbuka

input

(pengesetan daya 1 KW atau 2 KW )P lant

output

(tem peratur ruangan)

Gambar 1.2 Diagram Balok Sistem Loop Terbuka Sistem Pengaturan Temperatur Ruangan.

Contoh sistem loop terbuka yang lain adalah sistem pengaturan permukaan cairan dalam tangki (lihat Gambar 1.3). Pada sistem tersebut diinginkan tinggi permukaan cairan, h, tetap walaupun fluida pada katub K1 berubah-ubah. Hal tersebut dapat dicapai dengan pengaturan secara manual pada katub K2 pada waktu tertentu sesuai pengalaman operator.

Gambar 1.3 Sistem Pengaturan Permukaan Cairan dalam Tangki.

Sistem tersebut dapat digambarkan dengan diagram balok sebagai seperti terlihat dalam Gambar 1.4.


S istem Pengaturan Loop Terbuka

contoh : * sistem pengaturan perm ukaan tangki

- h tetap walau aliran flu ida pada katub K 1 berubah-ubah

- d icapai dengan pengaturan secara m anual pada katub K 2 pada waktu tertentu

D iagram Balok :

input

(h yang diinginkan)S istem Pengaturan

(katub K 2 dan operator)output

(h sesungguhnya)

7

Gambar 1.4 Diagram Balok Sistem Loop Terbuka Sistem Pengaturan Permukaan Cairan dalam Tangki.

Sistem pengaturan peluncur rudal juga merupakan contoh sistem loop terbuka (lihat Gambar 1.5). Pada sistem ini yang diinginkan adalah pengaturan sudut peluncur rudal sesuai dengan jarak atau tujuan yang diinginkan. Dalam hal ini komando berupa sinyal dari potensiometer yang merupakan sinyal untuk menggerakkan peluncur rudal. Sinyal kontrol diperkuat sehingga dapat menggerakkan motor yang terhubung dengan peluncur rudal.

Gambar 1.5 Sistem Pengaturan Posisi Sudut Peluncur Rudal.

2

Sedangkan diagram balok sistem pengaturan posisi sudut peluncur rudal tersebut dpu dilihat dlm Gambar 1.6.

- v


Sistem Pengaturan Loop Terbuka

* sistem pengaturan peluncur rudal

- posisi sudut peluncur rudal d iatur

- kom ando (potensiom eter) untuk m enggerakkan peluncur rudal

input

(posis i sudut yang d ikehendaki)

Sistem Pengaturan(Penguat daya & M otor)

output(posis i sudut yang terjad i)

- sinyal kontro l d iperkuat m enggerakkan m otor yang terhubung dengan peluncur

PenguatD aya

M otorsinyalkontro l

l o k a s ir e m o t e

+ v

8

Gambar 1.6 Diagram Balok Sistem Pengaturan Posisi Sudut Peluncur Rudal.

Agar posisi sudut tersebut akurat, maka pada sistem loop terbuka tersebut harus memenuhi syarat-syarat diantaranya adalah sebagai berikut:

a. Peluncur rudal harus dikalibrasi secara tepat dengan referensi posisi sudut potensiometer.b. Karakteristik potensimeter, penguat, motor harus konstan.

Sistem loop tertutup menggunakan pengukuran keluaran dan mengumpanbalikkan sinyal tersebut untuk dibandingkan dengan keluaran yang diinginkan (input atau referensi). Atau dengan kata lain keluaran dapat memberikan efek terhadap besaran masukan atau besaran yang dikontrol dapat dibandingkan terhadap harga yang diinginkan. Sinyal diumpanbalikkan terhadap kontroler yang akan membuat pengubahan terhadap sistem agar keluaran sistem seperti yang diinginkan

Perbandingan sistem loop tertutup terhadap loop terbuka adalah sebagai berikut: Lebih kompleks Harga yang lebih mahal Lebih dapat dipercaya Biasanya lebih akurat

Suatu proses dalam sistem loop tertutup secara fungsional dapat dinyatakan dalam diagram balok, seperti terlihat dalam Gambar 1.7.

Pengenalan Konsep S istem Kontro l

Block D iagram of a feedback contro l system

R eferenceInput

ActuatingS ignal Contro l

E lem ent :g1

FeedbackE lem ents

h

M anipulated Variable

C ontro lledO utput

D isturbance

Plantg2m

forw ard path

feedback path

r + br=e

b

c

u

14

Gambar 1.7 Diagram Balok Sistem Loop Tertutup.

Secara umum, komponen sebuah sistem kontrol loop tertutup terdiri dari :a. Reference Input (masukan acuan, r), merupakan sinyal acuan bagi sistem kontrol.b. Actuating Signal (e), merupakan sinyal kesalahan/error. yang merupakan selisih antara sinyal acuan

(r) dan sinyal b.c. Control Element, (g1) merupakan elemen yang berfungsi untuk memproses kesalahan/error yang

terjadi dan setelah kesalahan tersebut dimasukkan melalui elemen pengontrol.d. Manipulated Variable (variabel yang dimanipulasi), merupakan sinyal yang dihasilkan oleh control

element yang berfungsi sebagai sinyal pengontrol tanpa adanya gangguan.e. Plant/proses, merupakan obyek fisik yang dikontrol, dapat berupa proses mekanis, elektris, hidraulis

maupun gabungannya. f. Disturbance, merupakan sinyal gangguan yang tidak diinginkan.g. Feedback Element (jalur umpan balik), merupakan bagian sistem yang mengukur keluaran yang

dikontrol dan kemudian mengubahnya menjadi sinyal umpan balik.h. Forward Path, merupakan bagian sistem tanpa umpan balik.

3

Dalam kehidupan sehari-hari dapat dijumpai berbagai jenis sistem kontrol, diantaranya sistem mekanis, elektris, thermis ataupun gabungannya. Pada dasarnya sistem tersebut dapat digambarkan dalam bentuk diagram balok. Diagram balok sistem kontrol loop tertutupnya dapat dilihat dalam Gambar 1.8 berikut:


1.1 S istem Kontro l Loop Tertutup

B lok d iagram sistem kontro l m enggunakan feed back

input(m asukan)

deteksikesalahan

sum ber daya

um pan balik

gangguan

R espons (ke luaran)

fo rw ard path

feedback path

Alat Kontro l Beban

12

Gambar 1.8 Diagram Balok Sistem Kontrol menggunakan Feedback / Umpan Balik.

Komponen sistem kontrol loop tertutup tersebut terdiri dari komponen-komponen sebagai berikut:a. Input (masukan) merupakan rangsangan yang diberikan pada sistem kontrol, merupakan harga yang

diinginkan bagi variabel yang dikontrol selama pengontrolan. Harga ini tidak tergantung pada keluaran sistem.

b. Output (keluaran, respons) merupakan tanggapan pada sistem kontrol, merupakan harga yang akan dipertahankan bagi variabel yang dikontrol, dan merupakan harga yang ditunjukkan oleh alat pencatat.

c. Beban/plant merupakan sistem fisis yang akan dikontrol (misalnya mekanis, elektris, hidraulik ataupun pneumatik).

d. Alat kontrol/kontroller merupakan peralatan/rangkaian untuk mengontrol beban (sistem). Alat ini bisa digabung dengan penguat.

e. Elemen umpan balik menunjukkan atau mengembalikan hasil pencatatan ke detektor sehingga bisa dibandingkan terhadap harga yang diinginkan (di stel)

f. Error detector (alat deteksi kesalahan) merupakan alat pendeteksi kesalahan yang menunjukkan selisih antara input (masukan) dan respons melalui umpan balik (feedback path).

g. Gangguan merupakan sinyal-sinyal tambahan yang tidak diinginkan. Gangguan ini cenderung mengakibatkan harga keluaran berbeda dengan harga masukannya. Gangguan ini biasanya disebabkan oleh perubahan beban sistem, misalnya adanya perubahan kondisi lingkungan, getaran ataupun yang lain.

Sebagai contoh sistem loop tertutup adalah sistem pengaturan temperatur ruangan otomatis. Diagram balok sistem tersebut dapat dilihat dalam Gambar 1.9.

C ontoh Loop Tertutup

input

(tem peratur ruangan yang diharapkan)

output

(tem peratur ruangan)Kontroler P lant

Pengesetan daya yang d iharapkan

PengukuranTem peratur

+

-

Gambar 1.9 Diagram Balok Sistem Pengaturan Temperatur Ruangan Otomatis.

Sistem pengaturan permukaan cairan dalam tangki secara otomatis juga merupakan sistem loop tertutup seperti terlihat dalam Gambar 1.10. Dalam sistem tersebut diinginkan tinggi permukaan cairan dalam tangki, h, tetap walaupun aliran fluida pada katub K1 berubah-ubah. Jika permukaan tangki tidak sesuai dengan yang diinginkan, akan terbentuk tegangan error e. Tegangan

4

e diperkuat sehingga dapat memberikan input pada penggerak/ motor untuk membuka/ menutup katub K2.

Gambar 1.10 Sistem Pengaturan Tinggi Permukaan Cairan dalam Tangki Secara Otomatis.

Sedangkan diagram balok sistem pengaturan tinggi permukaan cairan dalam tangki secara otomatis dapat dilihat dalam Gambar 1.11.

Gambar 1.11 Diagram Balok Sistem Pengaturan Tinggi Permukaan Cairan dalam Tangki Secara Otomatis.

Contoh sistem loop tertutup yang lain adalah sistem pengaturan posisi sudut peluncur rudal secara otomatis seperti terlihat dalam Gambar 1.12.

Gambar 1.12 Sistem Pengaturan Posisi Sudut Peluncur Rudal Secara Otomatis.

1.2.2 Sistem linier dan tak linierKebanyakan sistem fisika merupakan sistem non linier dengan berbagai variasi. Jika range variasi

variabel sistem tidak besar, maka sistem tersebut dapat dijadikan linier dalam range variasi variabel yang relatif kecil. Pada sistem linier, berlaku prinsip-prinsip super posisi. Prinsip tersebut tidak berlaku pada sistem non linier. (Bahasan selanjutnya mengenai sistem linier dan tak linier akan dibahas dalam Bab III)

1.2.3 Sistem kontrol berubah terhadap waktu (time-variant) dan sistem kontrol tak berubah terhadap waktu (time-invariant)Sistem kontrol tak berubah terhadap waktu (sistem kontrol koefisien konstan) merupakan sistem

yang parameternya tidak berubah terhadap waktu. Tanggapan sistem tergantung pada waktu saat masukan diterapkan. Sistem kontrol berubah terhadap waktu adalah sistem yang satu atau lebih parameternya berubah terhadap waktu. Contoh sistem waktu kontrol berubah terhadap waktu adalah sistem kontrol kendaraan ruang angkasa, di mana massa menurun dengan berjalannya waktu karena bahan bakar digunakan selama penerbangan.

1.2.4 Sistem kontrol waktu kontinyu dan sistem kontrol waktu diskritSistem kontrol waktu kontinyu jika semua variabel sistem adalah fungsi dari waktu. Sistem kontrol

waktu diskrit jika hanya melibatkan satu atau lebih variabel yang hanya diketahui pada saat waktu diskrit.

1.2.5 Sistem kontrol masukan tunggal keluaran tunggal (SISO) dan banyak masukan banyak keluaran (MIMO)Sistem kontrol masukan tunggal keluaran tunggal (SISO) jika sistem hanya mempunyai satu

masukan dan satu keluaran. Sebagai contoh adalah sistem kontrol kecepatan, di mana sistem hanya mempunyai satu perintah masukan (kecepatan yang diinginkan) dan satu keluaran yang dikontrol (kecepatan keluaran). Contoh sistem kontrol banyak masukan banyak keluaran adalah misalnya pada sistem kontrol

5

proses Yang mempunyai dua masukan (masukan suhu dan masukan pH) dan dua keluaran (keluaran suhu dan keluaran pH)

1.3 Operasi Penjumlahan dan PenguranganDalam sistem kontrol, seringkali dibutuhkan operasi penjumlahan dan pengurangan dan biasanya

dinyatakan oleh simbol lingkaran kecil dengan tanda panah yang menunjukkan arah proses seperti yang terlihat dalam Gambar 1.13. Dalam gambar tersebut diperlihatkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Lambang operasi tersebut seringkali disebut sebagai titik penjumlahan (summing point). Harga variabel yang masuk ke dalam summing point sama dengan harga variabel yang keluar dari summing point. Sebagai contoh harga c = a – b (Gambar 1.13a) dan harga c = a – b + d (Gambar 1.13b)


Penjum lahan dan Pengurangan

D alam sistem kontro l, operasi penjum lahan dan pengurangansim bol lingkaran kecil dengan tanda panah yang m enunjukkan arah proses

dim ana a,b dan c adalah variabel

T itik Cabang

D ip e rlu k an u n tu k m en g em b a lik an k e lu a ran k e m asu k an /b ag ian la in d a lam s is temH arg a y an g d ik em b a lik an te tap sam a d en g an h a rg a p en g em b a lian n y a

a +

-b

c

c = a-b

a +

-b

c

+ d

c = a-b+d

az z

z

15

(a) (b)

Gambar 1.13 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan. a, b, c dan d merupakan Variabel.

1.4 Titik CabangDalam sistem kontrol, seperti terlihat dalam Gambar 1.14 suatu titik cabang (a) diperlukan untuk

mengembalikan keluaran ke masukan/bagian lain dalam sistem. Dalam simbol ini harga yang dikembalikan tetap sama dengan harga pengambilannya atau nilai z pada ketiga cabang tersebut harganya sama.

Gambar 1.14 Titik Cabang. Pada titik a terdapat tiga cabang, ketiga cabang tersebut mempunyai nilai yang sama yaitu z

1.5 Komponen Sistem KontrolSesuai dengan fungsi pengontrolan secara menyeluruh, seperti terlihat dalam Gambar 1.15., maka

komponen sistem kontrol dapat dibagi menjadi empat kelompok, yaitu:

Gambar 1.15 Komponen Sistem Kontrol dalam Sistem Loop Tertutup.

a. Sensor/transduser.Sensor digunakan sebagai elemen yang langsung mengadakan kontak dengan obyek yang diukur. Transduser berfungsi untuk mengubah besaran fisis yang diukur menjadi besaran fisis lainnya. Pada umumnya mengubah besaran-besaran tekanan, temperatur, aliran, posisi dan sebagainya menjadi besaran listik.

b. Error Detector

6


Penjum lahan dan Pengurangan

D alam sistem kontro l, operasi penjum lahan dan pengurangansim bol lingkaran kecil dengan tanda panah yang m enunjukkan arah proses

dim ana a,b dan c adalah variabel

T itik C abang

D ip e rlu k a n u n tu k m e n g e m b a lik a n k e lu a ran k e m a su k a n /b ag ia n la in d a la m s is te mH a rg a y a n g d ik e m b a lik a n te ta p sam a d e n g a n h a rg a p e n g em b a lian n y a

a +

-b

c

c = a-b

a +

-b

c

+ d

c = a-b+d

az z

z

15

contoh :

a. Transform asi Laplace fungsi tangga (step)

f(t) = 0 untuk t < 0

= A untuk t 0

F(s) = f(t) e -s t d t

h

0

x

A e -s t d t

h

0

x=

= As

f(t) = 0 ; t < 0

= A ; t 0

f(t)

t0

A

s = + jw

Mengukur kesalahan (error) yang terjadi antara keluaran sesungguhnya dan keluaran yang diinginkan. Beberapa transduser ada yang dilengkapi dengan error detector.

c. Penggerak / Power ActuatorAlat ini berfungsi untuk mengontrol aliran energi ke sistem yang dikontrol. Alat ini juga disebut dengan elemen pengontrol akhir (final control element). Sebagai contoh adalah motor listrik, katub pengontrol, pompa dan sebagainya. Elemen keluaran ini harus mempunyai kemampuan untuk menggerakkan beban ke suatu harga yang diinginkan.

d. Penguat / AmplifierPower Amplifier merupakan unit yang dibutuhkan karena daya dari error detector tidak cukup kuat untuk menggerakkan elemen keluaran. Karena fungsi pengontrolan adalah untuk mengendalikan keluaran agar kesalahan mendekati nol, maka diperlukan penguat daya (power amplifier).Penguat Tegangan (Voltage Amplifier), dalam bentuk fisiknya penguatan ini banyak dilakukan oleh operational amplifier (op amp).

BAB IIMATEMATIKA SISTEM KONTROL

2.1 Transformasi LaplaceTransformasi Laplace merupakan metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk

menyelesaikan persamaan diferensial linier.Transformasi tersebut dapat mengubah beberapa fungsi umum seperti sinusoida, sinusoida teredam dan fungsi eksponensial menjadi fungsi aljabar kompleks.

Penggunaan Transformasi Laplace ini memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramal kinerja sistem. Keuntungan lain penggunaan Transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen peralihan maupun komponen keadaan mantap (steady state) jawaban persamaan pada waktu menyelesaikan persamaan deferensial

dengan: F(s) = Transformasi Laplace dari f(t). = fungsi waktu t sedemikian rupa sehingga untuk t<0 s = variabel kompleks (s = ). = simbol operasional yang menunjukkan bahwa besaran setelah simbol tersebut ditransformasi dengan integral

Laplace .

Sebagai contoh pemakaian Transformasi Laplace akan diberikan fungsi-fungsi yang sering dipakai dalam sistem kontrol, yaitu:

a) Fungsi tangga (step)

Misalkan dalam Gambar 2.1 dapat dilihat suatu fungsi tangga/step dengan

7

contoh :

c. Pulsa

f(t) = h ; 0 < t t0

= 0 ; t > t0

f(t)

t0 t0

h

F (s) = f(t) e -s t d t

h

0

x

h e -s t d t +t0

0

x= 0 e -s t d t

0

x

h

= ( 1 - e -s t )hs

Gambar 2.1 Fungsi Tangga (Step).

Transformasi Laplace fungsi tersebut dapat dicari dengan menggunakan persamaan Transformasi Laplace sebagai berikut:

Jika pada fungsi tersebut, nilai A = 1, maka fungsi tersebut dikenal dengan istilah fungsi unit step/fungsi tangga satuan.

b) Fungsi sinusoida

Dalam Gambar 2.2 dapat dilihat suatu fungsi sinusoida, dimana .

Gambar 2.2 Fungsi Sinusoida.


c) Fungsi pulsa

Dalam Gambar 2.3 dapat dilihat suatu fungsi pulsa, sebagai contoh adalah

f(t) = h ; 0 < t < t0

= 0 ; t >t0

Gambar 2.3 Fungsi Pulsa.

8

f( t) = e -a t , t > 0f( t)

t0

e -a t

f( t) = k t , t > 0f( t)

t


d) Fungsi eksponensial menurun

Dalam Gambar 2.4 dapat dilihat suatu fungsi eksponensial menurun, dimana f(t) = e-at.

Gambar 2.4 Fungsi Eksponensial Menurun.Transformasi Laplace fungsi tersebut dapat dicari dengan menggunakan persamaan Transformasi Laplace sebagai berikut:

e) Fungsi tanjak (ramp)

Misalkan dalam Gambar 2.5 dapat dilihat suatu fungsi tanjak (ramp), dimana f(t) = kt , t > 0. Nilai k merupakan konstanta.

\

Gambar 2.5 Fungsi Tanjak/ramp.

Transformasi Laplace fungsi tersebut dapat dicari dengan menggunakan persamaan Transformasi Laplace

9

Jika nilai k = 1, maka fungsi fungsi tersebut umumnya disebut dengan fungsi unit ramp.2.2 Teorema Transformasi Laplace

a) Linearitas

b) Superposisi

c) Translasi waktuJika F(s) merupakan Transformasi Laplace dari f(t), a merupakan bilangan positif nyata dimana berlaku

untuk , maka:

Bukti:Misal

Contoh: Pada fungsi tangga/step seperti terlihat dalam Gambar 2.6, dimana

f( t)

t0

A

Gambar 2.6 Fungsi Tangga/Step.

Transformasi Laplace fungsi tangga tersebut adalah

10

sedangkan bila fungsi tersebut bertranslasi waktu sebesar a, seperti terlihat dalam Gambar 2.7 maka persamaan fungsinya adalah sebagai berikut , dimana

f(t) = 0; 0<t<a

f(t) = A; t

Gambar 2.7 Fungsi Tangga/Step yang Bertranslasi Waktu Sebesar a.

Nilai F(s) fungsi tersebut sesuai dengan teorema Transformasi Laplace merupakan translasi waktu adalah

d) Diferensial dalam bentuk kompleks

Contoh

e) Translasi dalam wawasan sJika F(s) merupakan Tranformasi Laplace dari f(t) dan a merupakan bilangan nyata atau kompleks, maka

sehingga

f) Diferensiasi (tranformasi fungsi turunan)

dimana f(0) merupakan harga f(t) untuk .

11

sedangkan Transformasi Laplace turunan ke-n adalah sebagai berikut

g) Integrasi

dimana:

merupakan harga awal integral

merupakan harga f(t) untuk

h) Nilai akhirMemberikan harga f(t) pada keadaan mantap (steady state) atau , yaitu

i) Nilai awalMemberikan harga f(t)pada keadaan awal atau , yaitu

CONTOH SOAL:

Tentukan Tranformasi Laplace fungsi-fungsi berikut ini:

12

Tentukan Transform asi Laplace fungsi-fungsi :

F(s) = [ f( t) ] = f( t) e -s t d t

h

0

x

f(t) = 0 , t < t0

= 1 , t t0

f(t)

t0 t0

1

f(t) = 1 , 0 < t < A

= 0 , t > A

f(t)

t0 A

1

f(t) = t, 0 < t 1

= - t + 2 , 1 < t < 2

f(t)

t0 1

1

2

(1 ) (2 ) (3 )

Penyelesaian nomor (1)

Solusi soal no 1:

F(s) = 0 e -s t d t +

t0

0

x1 e -s t d t

xh

t0

= e -s t d t x

h

t0

=1s

e -s trh

t0

= se -s t

0

= -1s

( 0 - e -s t0 )

= se -s t

01

f(t) = 0 , t < t0

= 1 , t t0

f(t)

t0 t0

1

Penyelesaian nomor (2)

13

Tentukan Transform asi Laplace fungsi-fungsi :

F(s) = [ f( t) ] = f( t) e -s t d t

h

0

x

f(t) = 0 , t < t0

= 1 , t t0

f(t)

t0 t0

1

f(t) = 1 , 0 < t < A

= 0 , t > A

f(t)

t0 A

1

f(t) = t, 0 < t 1

= - t + 2 , 1 < t < 2

f(t)

t0 1

1

2

(1 ) (2 ) (3 )

Penyelesaian nomor (3)Tentukan Transform asi Laplace fungsi-fungsi :

F(s) = [ f( t) ] = f( t) e -s t d t

h

0

x

f(t) = 0 , t < t0

= 1 , t t0

f(t)

t0 t0

1

f(t) = 1 , 0 < t < A

= 0 , t > A

f(t)

t0 A

1

f(t) = t, 0 < t 1

= - t + 2 , 1 < t < 2

f(t)

t0 1

1

2

(1 ) (2 ) (3 )

14

]

Dalam menentukan nilai F(s) dari nilai f(t) kita dapat menentukannya dengan menggunakan tabel Transformasi Laplace seperti terlihat dalam tabel 2.1 berikut.

Tabel 2.1 Tabel Transformasi Laplace

15

No. f(t) F(s)1. Unit impuls 1

2. Unit step 1(t)

3. t

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

2.3 Invers Transformasi Laplace/Transformasi Laplace Balik

Transformasi Laplace balik merupakan proses matematik untuk mengubah dari variabel kompleks ke

bentuk fungsi waktu. Notasi Transformasi Laplace balik dinyatakan dengan -1, sehingga

Dalam menyelesaikan permasalahan dengan metode transformasi Laplace, yang berarti mendapatkan f(t) dari F(s). Secara matematik, f(t) diperoleh dari F(s) dengan integrasi berikut:

dengan c, suatu absis konvergensi konstanta real dan dipilih lebih besar dari bagian real dari semua titik singular F(s). Artinya lintasan paralel sumbu dan berjarak sejauh c. Lintasan integral ini berada di sebelah kanan semua titik singular.

16

Metode yang lebih sederhana untuk menentukan invers Transformasi Laplace dari F(s) ke dalam bentuk fungsi waktu f(t) adalah dengan menggunakan tabel Transformasi Laplace. Dalam hal ini, Transformasi Laplace harus dibawa ke dalam bentuk yang ada dalam Tabel Transformasi Laplace. Seringkali suatu fungsi yang harus diselesaikan tidak terdapat dalam tabel, jika hal ini terjadi maka kita harus mengekspansinya dan menulis F(s) dalam bentuk yang sederhana sehingga dapat dilakukan Transformasi Laplace.

Contoh:

Tentukan Transformasi Laplace balik dari

Ekspansi pecahan parsial dari F(s) adalah

=

dengan a1 dan a2 adalah sebagai berikut

=

=

Sehingga

2.4 Pemakaian Transformasi LaplaceTransformasi Laplace dapat digunakan dengan mudah untuk menyelesaikan suatu persamaan

diferensial. Adapun langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan differensial dengan menggunakan Transformasi Laplace adalah sebagai berikut:

a) Menuliskan persamaan diferensial sistem yang akan dianalisis.b) Menuliskan Transformasi Laplace dari persamaan diferensial tersebut.c) Menentukan Transformasi Laplace dari tiap suku dalam persamaan diferensial tersebut.

Syarat-syarat permulaan (kondisi awal) harus diberikan.d) Menyatakan bentuk transformasi dalam daerah (fungsi) s.e) Jika diinginkan dalam daerah (fungsi) t dapat digunakan tabel Transformasi Laplace.

Contoh 1:1) Suatu bentuk rangkaian sistem elektris yang terdiri dari sumber listrik searah E, sakelar s, hambatan elektrik R dan komponen L yang terhubung seri (lihat Gambar 2.6).

17

contoh :

suatu bentuk sistem elektris yang terd iri dari sum ber listrik searah E ,sakelar s, ham batan elektrik R dan kom ponen L

Setelah sakelar d itutup ( t 0 ), m aka persam aan untuk arus :

R i + L = Ed i

d t

E

s

R

L

i

Gambar 2.6 Rangkaian RL Seri.Penyelesaian:Setelah sakelar s ditutup ( ), maka persamaan untuk arus adalah

dan dengan mentransformasikan tiap suku dalam persamaan ini ke daerah s akan diperoleh :

kemudian masukkan syarat awal i(0) = 0, maka

atau;

Jika diinginkan nilai arus sebagai fungsi waktu, kita dapat menggunakan tabel Transformasi Laplace, dimana bentuk I(s) merupakan bentuk yang sama dengan

dengan nilai A = dan a =

Invers Transformasi Laplace bentuk adalah

sehingga didapatkan persamaan arus dalam fungsi t yaitu

Selanjutnya sistem ini dapat dianalisis sebagai berikut :

18

1) i(t) merupakan tanggapan arus fungsi waktu yang terdiri dari tanggapan/keluaran mantap yaitu yang

konstan dan tanggapan peralihan yaitu yang menurun menuju nol sesuai dengan

pertambahan waktu.

2) Untuk menentukan nilai akhir arus menggunakan teorema nilai/harga akhir

3) Nilai awal ditentukan dengan menggunakan teorema nilai/harga awal

Contoh 2.Misal sebuah rangkaian seri RLC terdiri batere E, sakelar s, hambatan elektrik R, kumparan L dan kapasitor C yang terhubung seri seperti terlihat dalam Gambar 2.7. Nilai masing-masing komponen seperti tertera dalam gambar tersebut.

E = 0v

s

R = 200

L = 1Hi

C = 50 F

- +Gambar 2.7 Rangkaian RLC Seri.

Mula-mula kapasitor C mempunyai potensial sebesar 1 Volt. Tentukan bentuk arus sebagai fungsi dari t (dimana ).

Penyelesaian:

19

Jika diinginkan nilai arus sebagai fungsi waktu, kita dapat memperolehnya dengan cara menggunakan tabel Transformasi Laplace, sehingga didapatkan:

BAB IIIPEMODELAN

3.1 Fungsi Alih

Dalam teori sistem kontrol, fungsi alih digunakan untuk mencirikan hubungan masukan dan keluaran dari komponen/sistem yang dapat digambarkan dengan persamaan diferensial linier, invarian waktu. Fungsi alih persamaan diferensial, invarian waktu suatu sistem didefinisikan sebagai perbandingan antara Transformasi Laplace keluaran terhadap Transformasi Laplace masukan dengan anggapan semua syarat awal nol.

Dengan menggunakan konsep fungsi alih, sistem dinamik dapat dinyatakan dengan persamaan aljabar dalam s. Jika pangkat tertinggi s dalam penyebut fungsi alih sama dengan n, maka sistem disebut sistem orde ke-n.

Beberapa Hal mengenai Fungsi AlihKegunaan konsep fungsi alih terbatas pada sistem linear persamaan diferensial, waktu tidak berubah.

Namun pendekatan fungsi alih digunakan secara meluas dalam analisis dan desain sistem. Beberapa hal yang penting dalam fungsi alih adalah sebagai berikut:

Fungsi alih sistem adalah model matematika yang merupakan metode operasional dari pernyataan persamaan diferensial yang menghubungkan variabel keluaran dengan masukan.

Fungsi alih sistem adalah sifat sistem tersebut sendiri, tidak tergantung dari besaran dan sifat masukan.

Fungsi alih tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik sistem tersebut, atau atau dapat dikatakan fungsi alih sistem yang secara fisik berbeda dapat identik.

Jika fungsi alih sistem diketahui, keluaran dapat ditelaah untuk berbagai macam bentuk masukan dengan pandangan terhadap pengertian akan sifat sistem tersebut.

Jika fungsi alih sistem tidak diketahui, dapat diadakan secara percobaan dengan menggunakan masukan yang diketahui dan menelaah keluaran sistem

3.2 Model Matematika Sistem DinamikPemodelan merupakan pembuatan model matematika sistem dinamik. Model matematika sistem

dinamik didefinisikan sebagai sejumlah persamaan yang menggambarkan dinamika sistem secara tepat, paling tidak cukup baik. Sebuah sistem dapat digambarkan dalam banyak cara yang berbeda sehingga mungkin mempunyai banyak model matematika.

Satu model matematika mungkin lebih cocok daripada model matematika yang lain, misalnya :

20

Gambaran tempat kedudukan (state space) mungkin cocok untuk mengerjakan sistem dengan banyak masukan dan banyak keluaran (MIMO).

Analisis tanggapan transien atau tanggapan frekuensi SISO linear, waktu tidak berubah sehingga gambaran fungsi alih lebih baik dan mudah.

Dinamika sistem mekanik, listrik, panas, ekonomi dan sebagainya mungkin dijelaskan dalam bentuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial tersebut dapat diperoleh dengan menggunakan hukum fisika yang mengendalikan sistem tertentu, misalnya Hukum Newton untuk sistem mekanika dan Hukum Kirchoff untuk sistem listrik.

Berikut diberikan contoh pemodelan pada sistem mekanika. Hukum dasar yang mengatur sistem mekanika adalah hukum kedua Newton yang dapat diterapkan pada sistem mekanika apapun.

Sistem translasi mekanika.Misalnya pada sistem dashpot-massa-pegas

sistem dashpot m assa pegas yang d ipasang pada kereta

- S istem translasi m ekanika

H ukum dasar : H ukum II N ew ton

M odel m atem atis

Sistem m ekanika

u y

k

m

b

Gambar 3.1 Sistem Dashpot-Massa-Pegas yang Dipasang pada Kereta.

Dianggap pada t < 0 kereta dalam keadaan diam, u(t) merupakan perpindahan kereta (masukan sistem).

Pada t = 0 kereta digerakkan dengan kecepatan tetap ( tetap)

Perpindahan y(t) dari massa adalah keluaran (perpindahan adalah relatif terhadap tanah), dimana:m = massab = koefisien gesekan liat /redaman / dampingk = konstanta pegas

dianggap gaya gesekan dash pot sebanding dengan dan pegas adalah pegas linier, yaitu gaya pegas

sebanding dengan y – u.Untuk sistem translasi, hukum Newton II menyatakan bahwa:

m = massa, kga = percepatan, m/dt2

F = gaya, NDidapatkan:

persamaan tersebut merupakan model matematika sistem.

21

Model Fungsi Alih

Model fungsi alih merupakan salah satu cara untuk memberikan gambaran model matematika sistem linier, waktu tidak berubah (time invariant). Untuk mendapatkan fungsi alih sistem dengan model matematika berikut

adalah dengan menentukan Transformasi Laplace dari tiap bagian pada model matematika tersebut, sehingga didapat:

jika ditetapkan keadaan awal adalah 0, maka y(0) = 0, (0) = 0, dan u(0) = 0, sehingga Transformasi

Laplacenya adalah sebagai berikut:

Sehingga didapatkan fungsi alihnya, yaitu:

Sistem rotasi mekanikaMisalnya pada sistem yang terdiri dari inersia beban dan peredaran gesekan liat dalam Gambar 3.2.

Hukum Newton II menyatakan bahwa:

J α

dimana:

J = momen inersia beban, kg-m2

α = percepatan sudut beban, rad/dt2

τ = torsi yang diterapkan ke sistem, N-mb = koefisien gesekan liat, Nm/rad/dtω = kecepatan sudut, rad/dt

Gambar 3.2 Sistem Rotasi Mekanika.

22

Model fungsi alih sistem di atas dapat diperoleh dengan mentransformasi Laplace persamaan deferensial tersebut, dianggap keadaan awal nol dan menulis rasio keluaran (kecepatan sudut ω) dengan masukan (torsi T) yang ditetapkan sebagai berikut:

Sistem listrikMisalnya pada rangkaian RLC seri dalam Gambar 3.3 bisa didapatkan model matematika dan model

fungsi alihnya.

L R

Ce i e 0

i

Gambar 3.3 Rangkaian RLC seri.

Model matematika rangkaian RLC seri dalam Gambar 3.3 adalah sebagai berikut:

Model fungsi alihnya dapat kita dapatkan dengan mentransformasi Laplace model matematika tersebut yang merupakan persamaan diferensial dan dengan menganggap syarat awal nol, diperoleh :

Jika dianggap sebagai masukan dan sebagai keluaran, maka fungsi alih sistem adalah

Penguat pembalik (inverting amplifier)

Gambar 3.4 Penguat pembalik (inverting amplifier).

Penguat pembalik dalam Gambar 3.4 mempunyai model matematika dan model fungsi alih sebagai berikut:

23

R

Cv 1 v 3

i1

i2 i3

v 2

Rangkaian RC seri

v1: masukanv3: keluaran

Gambar 3.5 Rangkaian RC seri.

Model matematisnya rangkaian RC seri dalam Gambar 3.5 adalah sebagai berikut:

= 1 /sx

v 1 +

-

v 2

v 3

i21 /R

(e ) (c )(a )i31

(f)Q

(d )

1 /Cv 3

v 1 +

-1 /R C

v 3= 1 /s

x

v 1 +

-

v 2

v 3

i21 /R

(e) (c )(a )i31

(f)Q

(d )

1 /Cv 3

v 1 +

-1 /R C

v 3

Model fungsi alihnya bisa didapat dari fungsi alih diagram baloknya yaitu:

24

R Cv 1 v 3

i1

i2 i3

v 2

Model fungsi alih bila dicari dengan menggunakan hukum Kirchhof :

Rangkaian RC paralel

i1 : masukanv3 : keluaran

Gambar 3.6 Rangkaian RC paralel.

Model matematis rangkaian RC paralel Gambar 3.6 adalah sebagai berikut:

1 /s = d tx

s = d /d ti2

(c )i3

(f) (d )

1 /Ci1 +

-

1 /R

v 3

1

(e ) (a )

Q

1 /Ci1 +

-

1 /R

v 3

1 /s = d tx

s = d /d ti2

(c )i3

(f) (d )

1 /Ci1 +

-

1 /R

v 3

1

(e ) (a )

Q

1 /Ci1 +

-

1 /R

v 3

Model fungsi alihnya :

3.3 Sistem linier

Suatu sistem linier jika pada sistem tersebut mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1) Pada sistem tersebut mempunyai persamaan diferensial linier (jika koefisiennya konstanta atau hanya merupakan fungsi variabel bebasnya).

2) Berlaku prinsip super posisi (tanggapan terhadap beberapa masukan dapat dihitung dengan mengerjakan masukan satu persatu dan menjumlahkan hasilnya).

25

S Lr(t) c(t)

Gambar 3.7 Sistem Linier (SL) dengan r(t) sebagai Masukan dan c(t) sebagai Keluaran.

Pada sistem linier dalam Gambar 3.7, jika sistem diberi masukan r1(t), maka akan memberikan keluaran c1(t). Apabila sistem diberi masukan r2(t) maka akan memberikan keluaran c2(t). Pada sistem linier, jika pada sistem diberikan masukan r1(t) + r2(t) maka akan memberikan keluaran sebesar c1(t) + c2(t).

Sebagai contoh persamaan pada sistem linier adalah sebagai berikut:misalnya pada suatu sistem yang mempunyai persamaan , dengan x sebagai variabel masukan dan y sebagai variabel keluaran. Apabila sistem diberi masukan x1(t)=1, maka akan menghasilkan keluaran y1(t)=2. Apabila sistem diberi masukan x2(t)=4, maka akan menghasilkan keluaran y2(t)=8. Apabila sistem diberi

masukan =1+4=5, maka akan menghasilkan keluaran =2+8=10.

(linier)Sebagai contoh persamaan pada sistem tak linier adalah sebagai berikut:

misalnya pada suatu sistem yang mempunyai persamaan , dengan x sebagai variabel masukan dan y sebagai variabel keluaran. Apabila sistem diberi masukan x1(t)=1, maka akan menghasilkan keluaran y1(t)=1. Apabila sistem diberi masukan x2(t)=4, maka akan menghasilkan keluaran y2(t)=16. Apabila sistem diberi

masukan =1+4=5, maka akan menghasilkan keluaran =1+16=17, sehingga

sistem yang mempunyai persamaan merupakan sistem tak linier.

(tak linier)Persamaan pada sistem yang juga merupakan sistem tak linier adalah:

3.4 Diagram balok

Seperti kita ketahui, suatu sistem kontrol dapat terdiri dari beberapa komponen. Untuk menunjukkan fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen, dalam sistem kontrol biasanya digunakan suatu diagram yang biasa disebut diagram balok. Diagram balok suatu sistem adalah suatu penyajian bergambar dari fungsi yang dilakukan oleh tiap komponen dan aliran sinyalnya. Diagram balok mengandung informasi perilaku dinamik, tetapi tidak mengandung informasi mengenai konstruksi fisik sistem.

Dalam suatu diagram balok, semua variabel sistem saling dihubungkan dengan menggunakan balok fungsional, yang merupakan suatu simbol operasi matematik pada sinyal masukan balok yang menghasilkan keluaran. Fungsi alih komponen biasanya ditulis di dalam balok, yang dihubungkan dengan anak panah untuk menunjukkan arah aliran sinyal.

26

Fungsi alih sistem kaskade seperti terlihat dalam Gambar 3.8 adalah sebagai berikutE 1(s) E 2(s) E 3(s) E 4(s) E 5(s)

G 1(s) G 2(s) G 3(s) G 4(s)

Gambar 3.8 Sistem Kaskade.

dimana E1 merupakan masukan sistem dan E5 merupakan keluaran sistem.Fungsi alih sistem yang berumpan balik negatif seperti terlihat dalam Gambar 3.9 adalah sebagai

berikut

E (s )G (s )

C (s)R (s )

B (s )

+-

H (s )

Gambar 3.9 Sistem Berumpan Balik Negatif.

dimana R(s) merupakan input/masukan sistem, sedangkan C(s) merupakan output/keluaran sistem.Penyederhanaan diagram balok sistem berumpan balik negatif tersebut dapat digambarkan kembali seperti terlihat dalam Gambar 3.10.

G (s) C (s)R (s)

1 + G (s)H (s)outputinput

Gambar 3.10 Penyederhanaan Diagram Balok Sistem Berumpan Balik Negatif.

Jika sistem berumpan balik positif, maka diagram baloknya seperti terlihat dalam Gambar 3.11.

G (s) C (s)R (s)1 - G (s)H (s)

Gambar 3.11 Penyederhanaan Diagram Balok Sistem Berumpan Balik Positif.

27

Penyederhanaan diagram balokSuatu diagram balok yang terdiri dari beberapa loop umpan balik dapat disederhanakan dengan cara

menyusun kembali langkah demi langkah menggunakan aturan aljabar diagram balok. Beberapa aturan aljabar diagram balok dapat dilihat dalam Tabel 3.1 yang diperoleh dengan menulis persamaan yang sama dengan cara yang berbeda.

Tabel 3.1 Aturan Aljabar Diagram Balok

Diagram Balok Asal Diagram Balok Ekivalen

e 1

e 1

e 2G

e 1

e 1

e 2G

1 /G

e 1

e 2

e 2G

e 1

e 2

e 2G

G

e 3

+ -e 1 e 2

Ge 1 e 2

G

Ge 3

e 1 e 2G

e 3 1 /Ge 3

+ -e 1 e 2

G

H

+ -R C

G

Penyederhanaan diagram balok dengan penyusunan kembali dan substitusi memungkinkan untuk memudahkan analisis matematik. Dalam menyederhanakan suatu diagram balok maka fungsi alih dalam diagram balok yang baru menjadi lebih kompleks karena adanya penambahan pole-pole baru dan zero baru terbentuk.

Dalam menyederhanakan suatu diagram balok perlu diperhatikan beberapa hal sebagai berikut:(1) Hasil fungsi alih dalam arah jalur maju harus tetap sama.(2) Hasil fungsi alih sekitar loop harus tetap sama.

3.5Signal Flow Graph (Grafik Aliran Sinyal)

Manipulasi diagram balok umumnya digunakan untuk menentukan fungsi alih suatu sistem yang sederhana, sedangkan untuk sistem yang lebih rumit digunakan grafik aliran sinyal.

Grafik aliran sinyal merupakan suatu diagram yang mewakili seperangkat persamaan aljabar linear. Grafik aliran sinyal berisi kerangka kerja dengan suatu simpul yang dihubungkan secara langsung dengan cabang. Tiap simpul menyatakan variabel sistem dan tiap cabang yang dihubungkan antara dua simpul berfungsi

28

3.1 Fungsi A lih S istem

2. S ignal F low G raph

z = a b x

x za b

y = a xz = b y = a b x

Penyederhanaan d iagram a liran kom pleks

a. Ja lur berderet (s im pul bertingkat)

x za b

y

sebagai penguat sinyal. Arah aliran sinyal hanya dalam satu arah yang ditunjukkan dengan tanda panah yang berada pada cabang dan faktor pengali ditunjukkan sepanjang cabang.

Grafik aliran sinyal menggambarkan aliran sinyal dari satu titik sebuah sistem ke titik yang lain dan memberikan hubungan antara sinyal-sinyal tersebut. Dengan kata lain grafik aliran sinyal berbentuk suatu jaringan (network) yang didalamnya terdapat simpul (node) yang merupakan variabel dan percabangan (branch) yang menunjukkan proses berupa garis yang menghubungkan dua buah variabel seperti terlihat dalam Gambar 3.11.


2. Signal F low G raph diagram aliran sinyal

blok d iagram s istem kontro l sederhana

diagram a liran s istem kontro l yang leb ih kom pleks

berbentuk suatu jaringan (netw ork )- s im pul (node ) variabel- percabangan (branch ) proses (garis) yang m enghubungkan dua buah variabel

a , b , c = p e rcab an g anx 1 , x 2 , x 3 , x 4 = s im p u lx 1 x 2 x 3

x 4

a b

c

Gambar 3.11 Grafik Aliran Sinyal.

Simpul berfungsi sebagai titik penjumlahan dan sebagai titik permulaan atau titik tujuan. Hal tersebut dapat dilihat dalam Gambar 3.12.


2. Signal F low G raph

x 2 = a x 1x 1 x 2

a

x 1

x 2

a

b

c

dx 3

x 4

x 5

x 3 = a x 1 + b x 2

x 4 = c x 3

x 5 = d x 3

x 1

x 2

a

bc

d

x 3

x 4 x 5 x 4 = a x 1 + b x 2 + c x 3

x 5 = d x 4

Gambar 3.12 Fungsi Simpul sebagai Titik Permulaan, Tujuan, dan Penjumlahan

Penyederhanaan grafik aliran kompleksPada grafik aliran sinyal yang kompleks bisa dilakukan penyederhanaan diantaranya adalah sbb

a. Jalur berderet (simpul bertingkat)



z = ab x

x za b

y = a xz = by = ab x

Penyederhanaan diagram aliran kom pleks

a. Ja lur berderet (s im pul bertingkat)

x za b

y

b. Jalur paralel

29

c. Absorbsi simpul



z = a cx + b cyz = a c x + b c y

c. Absorbsi s im pul

x a

byc z

x a c

b cy

z

d. Eliminasi loop



z = b(ax + cz)

c. E lim inasi loop

x z

ab1 - bc

z = by

x za b

y

c

y = a x + c zz = abx + bcz

x

zab

bcz = x

ab1 - bc

Diagram balok dan grafik aliran sinyal ekivalennya dapat dilihat dalam Tabel 3.2 beriku

Tabel 3.2 Diagram Balok dan Grafik Aliran Sinyal Ekivalennya

Diagram Balok Diagram Aliran Sinyal



R (s) C (s)

G (s)

R (s) C (s)G (s)

H (s)

+ -R (s) C (s)

G (s)E (s)

R (s)C (s)

G (s)

E (s)

-H (s)

1



R (s) C (s)

G (s)

R (s) C (s)G (s)

H (s)

+ -R (s) C (s)

G (s)E (s)

R (s)C (s)

G (s)

E (s)

-H (s)

1



R (s) C (s)

G (s)

R (s) C (s)G (s)

H (s)

+ -R (s) C (s)

G (s)E (s)

R (s)C (s)

G (s)

E (s)

-H (s)

1



R (s) C (s)

G (s)

R (s) C (s)G (s)

H (s)

+ -R (s) C (s)

G (s)E (s)

R (s)C (s)

G (s)

E (s)

-H (s)

1



R (s) C (s)

G 1(s)

E (s)

-H (s)

1 G 2(s)

N (s)

1

H (s)

+ -R (s)

G 1(s)E (s)

+ G 2(s)

N (s)

C (s)+

30



H (s)

+ -R (s)

G (s)E (s)

++ C (s)

N (s)

R (s) C (s)

G (s)

-H (s)

1

N (s)

1

1

C (s)



H (s)

+ -R (s)

G (s)E (s)

++ C (s)

N (s)

R (s) C (s)

G (s)

-H (s)

1

N (s)

1

1

C (s)

G 11 (s)R 1(s)

+

+R 2(s)

G 2 1(s)

G 1 2(s)

G 2 2(s)

+

C 1(s)

C 2(s)+

G 11 (s)R 1(s)

R 2(s)

G 2 1(s)G 1 2(s)

G 2 2(s)

C 1(s)

C 2(s)

Grafik aliran sinyal memberikan informasi yang sama dengan diagram balok. Penggunaan grafik aliran sinyal untuk menyajikan suatu sistem kontrol, digunakan rumus/cara Mason untuk memperoleh hubungan antara variabel sistem tanpa harus menyederhanakan grafik. Cara Mason digunakan untuk menentukan fungsi alih sistem pada grafik aliran sinyal. Cara Mason diformulasikan sebagai berikut

dimana:T : fungsi alih sistemPn : lintasan maju

:

ΣL1 : loop-loop umpan balikL2 : perkalian 2 buah loop yang saling tidak menyentuhL3 : perkalian 3 buah loop yang saling tidak menyentuh

n : sama dengan nilai , tetapi loop yang tidak menyentuh Pn

:

Contoh menentukan fungsi alih sistem dari grafik aliran sinyal adalah sebagai berikut

1 . a b c

d

sehingga fungsi alihnya adalah:

31

2 .a b c d e

f

g

sehingga fungsi alihnya adalah :

3 . a b c d e f

g

h

i

j

P 1 = ab cd e f

P 2 = ag d e f

P 3 = ag jf

P 4 = ab c jf

= 11

= 1 - i2

= 1 - i3

= 14

= 1 - ( i + cd h )

T =ab cd e f + ag d e f (1 - i) + ag jf (1 - i) + ab c jf

1 - ( i + cd h )

4.

Contoh:Tentukan fungsi alih sistem di bawah dengan menggunakan metode penyelesaian

1) Manipulasi diagram balok2) Signal flow graph (grafik aliran sinyal)

G 1 G 2 G 3 G 4

H 1

H 3

H 2

C (s)R (s )+

-+

-

++

32

?C (s )R (s )

Penyelesaian

1) Mencari fungsi alih dengan menggunakan manipulasi diagram balok

G 1 G 2 G 3 G 4

H 1

H 3

H 2

C (s)R (s )+

-+

-

++

G 1 G 2 G 3G 4

H 1

H 3

H 2 /G 4

C (s)R (s )+

-+

-

++

sehingga fungsi alih sistem tersebut adalah

33

2) Mencari fungsi alih dengan menggunakan signal flow graph/grafik aliran sinyal

G 1 G 2 G 3 G 4

H 1

H 3

H 2

C (s)R (s )+

-+

-

++

sehingga fungsi alihnya adalah:

BAB IVKRITERIA PERFORMANSI

4.1 Spesifikasi Performansi.Sistem kontrol dirancang untuk menyelesaikan suatu pekerjaan tertentu. Biasanya spesifikasi

performansi tidak boleh lebih tinggi dari yang dibutuhkan untuk melakukan suatu pekerjaan yang diinginkan. Jika ketelitian pada operasi keadaan mantap dari sistem kontrol yang diinginkan menempati urutan yang pertama, maka kita tidak boleh menginginkan spesifikasi performansi yang tinggi tetapi tidak begitu diperlukan pada respon transien, karena spesifikasi tersebut akan memerlukan komponen yang mahal.

34

Syarat-syarat yang harus dipenuhi sistem kontrol umumnya disebut dengan spesifikasi performansi. Hal tersebut berkaitan dengan kestabilan, ketelitian, kepekaan, kesalahan keadaan mantap dan spesifikasi respon transien.Performansi sistem kontrol loop tertutup seharusnya memenuhi kriteria/spesikasi performansi, di antaranya adalah:

stabilitas (kestabilan) sensitivitas (kepekaan) akurasi (ketelitian) transient response (tanggapan peralihan)

4.2 Stabilitas/kestabilanSistem loop tertutup seharusnya stabil bahkan ketika sistem diberikan sinyal perintah, diberikan

input tambahan di berbagai tempat dalam loop, diberikan power supply yang bervariasi, dan adanya perubahan parameter-parameter dalam loop umpan balik

Sistem tidak stabilSebuah sistem dikatakan tidak stabil jika responnya terhadap suatu masukan menghasilkan osilasi

yang keras atau bergetar pada suatu amplitudo/ harga tertentu.

Sistem stabilSebuah sistem dikatakan stabil jika sistem tersebut akan tetap dalam keadaan diam/ berhenti kecuali

jika dirangsang oleh suatu fungsi masukan, dan akan kembali dalam keadaan diam jika rangsangan tersebut dihilangkan. Ketidakstabilan merupakan hal yang tidak menguntungkan bagi suatu sistem loop tertutup, sedangkan pada sistem loop terbuka sistem harus stabil.

Masukan sistem tidak mempengaruhi kestabilan suatu sistem, sehingga jika sistem tersebut stabil terhadap suatu masukan maka dia akan stabil untuk masukan yang ada, sebaliknya stabilitas hanya bergantung pada karakteristik sistem itu sendiri.

Respon suatu sistem yang stabil dapat dikenali dari adanya peralihan yang menurun menuju nol terhadap pertambahan waktu, sehingga sistem yang stabil koefisien suku eksponensial yang terdapat dalam respon transiennya harus merupakan bilangan-bilangan nyata yang negatif atau bilangan kompleks dimana bagian nyatanya harus negatif.

Suatu respon yang berosilasi dengan amplitudo yang berkurang terhadap waktu secara eksponensial dapat dilihat dalam Gambar 4.1. Respon sistem tersebut merupakan respon sistem yang stabil, yang merupakan respon peralihan sistem.

i (A ) 1

1

0 t(d t)

Gambar 4.1 Respon Peralihan Sistem Stabil.

Pendekatan untuk menentukan kestabilan sistem yaitu setelah mengubah persamaan sistem ke dalam fungsi s melalui Transformasi Laplace. Kestabilan tersebut didapatkan diantaranya adalah dengan menggunakan persamaan karakteristik, menggunakan kriteria Routh - Hurwitz, analisis tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik (root locus), atau dengan menggunakan kriteria Nyquist.

4.2.1 Persamaan KarakteristikStabilitas sistem umpan balik secara umum didapat dari fungsi alih sistem, dimana fungsi alih sistem

secara umum adalah

35

C (s)R (s)

G (s)1 + G (s)H (s)

=

dimana R(s) merupakan masukan sistem, C(s) merupakan keluaran sistem, G(s) merupakan penguatan sistem, dan H(s) merupakan umpan balik sistem seperti terlihat dalam Gambar 4.2. Dengan membuat penyebut fungsi alih sistem yaitu 1 + G(s)H(s) = 0, yang merupakan persamaan karakteristik sistem dan dapat memberikan informasi mengenai kestabilan sistem.

C (s)R (s)

G (s)1 + G (s)H (s)

=

1 + G (s) + H (s) = 0

se h in g g aG (s)H (s) =N (s)D (s) 1 + G (s) + H (s) = 1 + = = 0

N (s)D (s)

D (s) + N (s)D (s)

D (s) + N (s) = 0 = (s + r 1)(s + r 2) ....(s + r n)

G (s)

H (s)

R (s) +-

C (s)

Gambar 4.2 Diagram Balok Sistem dengan Jalur Maju G(s) dan Umpan Balik H(s).

C (s)R (s)

G (s)1 + G (s)H (s)

=

Sehingga:

-r1, -r2 merupakan akar-akar persamaan karakteristik. Sistem tersebut akan stabil jika semua bagian nyata akar-akar tersebut negatif

contoh : Tentukan apakah sistem merupakan sistem yang stabil/tidak pada sistem di bawah ini

1. Jika loop tertutup dengan

persamaan karakteristiknya :

akar-akarnya : r1= -2, r2 = -1Syarat sistem stabil adalah bagian nyata akar-akar persamaan karakteristiknya harus negatif.Karena r1 dan r2 negatif maka sistem tersebut merupakan sistem yang stabil.

2. Jika loop tertutup dengan

persamaan karakteristiknya :

36

1 + = 0

s(0 .0 1 s+ 1 )(0 .0 2 s+ 1 ) + 2 1 1 = 00 .0 0 2 s 3 + 0 .0 3 s 2 + s + 2 1 1 = 0s 3 + 1 5 0 s 2 + 5 0 0 0 s + 1 ,0 5 6 .1 0 6 = 0(s + 1 6 0 )(s - 5 - 8 1 j)(s - 5 + 8 1 j) = 0

2 11s(0 .0 1 s+ 1 )(0 .0 2 s+ 1 )

1 + G (s) + H (s) = 0

Akar-akarnya adalah r1,= -160; r2 = 5 + j 81; r3 = 5 -j 81Karena r2 dan r3 bagian nyatanya positif maka sistem merupakan sistem yang tidak stabil.

4.2.2 Kriteria Routh - Hurwitz

Bentuk umum persamaan karakteristik :

B 1 s m + B 2 s m -1 + B 3 s m -2 + .... + B m + 1 = 0Koefisien persamaannya disusun dalam 2 baris

s m B 1 B 3 B 5 B 7 ...s m -1 B 2 B 4 B 6 B 8 ...

Semua koefisien diasumsikan bernilai real dan positif. Penambahan baris-baris koefisien selanjutnya adalah sebagai berikut :

s m B 1 B 3 B 5 B 7 ...s m -1 B 2 B 4 B 6 B 8 ...s m -2 U 1 U 3 U 5 U 7 ...s m -3 U 2 U 4 U 6 U 8 ...s m -4 V 1 V 3 V 5 V 7 ...s m -5 V 2 V 4 V 6 V 8 ...

. . . . .

. . . . .

. . . . .s 0 Z 1 dimana:

U 1 =B 2B 3 - B 1B 4

B 2

U 2 =U 1B 4 - B 2U 3

U 1

U 3 =B 2B 5 - B 1B 6

B 2

U 4 =U 1B 6 - B 2U 5

U 1

V 1 =U 2U 3 - U 1U 4

U 2V 3 =

U 2U 5 - U 1U 6

U 2

Pada kriteria kestabilan dengan menggunakan Routh Hurwitz, baris pertama tabulasi adalah sm dan baris terakhirnya adalah s0. Jumlah baris adalah sebanyak m +1 (dimana m adalah orde persamaan karakteristik)

Kriteria kestabilan Routh Hurwitz adalah sebagai berikut Dengan memeriksa apakah semua bagian pada kolom paling kiri (B1, B2, U1, U2, V1, V2, ...)

mempunyai tanda yang sama , hal ini menandakan tidak ada akar pada bidang s sebelah kanan sehingga sistem merupakan sistem yang stabil.

Jika ada perubahan tanda sebanyak x, maka akan terdapat akar sebanyak x pada bidang s sebelah kanan

Misalnya diketahui suatu persamaan karakteristik 1 + G(s) H(s) = s3 + 4s2 + 100s + 500 = 0

baris yang dihasilkan dari persamaan karakteristik adalah baris pertama dan kedua, baris selanjutnya didapatkan dari kedua baris tersebut dengan aturan yang telah ada.

37

s 3 1 1 0 0s 2 4 5 0 0s -2 5 0s 0 5 0 0 0

Ada 2 perubahan tanda pada kolom pertama, yaitu 4 ke -25 dan -25 ke 500 sehingga ada 2 akar pada bidang s sebelah kanan, maka sistem merupakan sistem yang tidak stabil.

Ada beberapa kemungkinan yang terjadi pada tabulasi tersebut, yaitu:1) Jika pada suatu baris (sebelum s0), kolom paling kiri berharga 0 sedangkan kolom yang lain tidak berharga

0, maka kolom paling kiri yang berharga 0 digantikan konstanta positif yang cukup kecil (ε)

Misalnya diketahui persamaan karakteristik sistem adalah

1 + G(s) H(s) = s5 + s4 + 4s3 + 4s2 + 2s + 1 = 0

baris yang dihasilkan :

s 5 1 4 2

s 4 1 4 1

s 3 (0 1 0 )0

s 2 4-1 1 0

s -+ 4-1 0 04-1

s 0 1 0 0

d ig an tik an

Nilai pada kolom paling kiri, baris ke 4 berharga negatif,

nilai pada kolom paling kiri, baris ke 5 berharga positif,

sehingga ada 2 perubahan tanda yang berarti ada 2 buah akar yang terletak pada bidang s sebelah kanan, sehingga sistem merupakan sistem yang tidak stabil.

2) Jika pada suatu baris sebelum s0, semua kolomnya berharga 0, menunjukkan sepasang akar konjugate pada sumbu imaginer.

Untuk hal seperti ini, baris dapat dilengkapi dengan mendapatkan polinomial pelengkap dari baris sebelumnya (baris terakhir sebelum semua kolomnya berharga 0) yang kemudian diturunkan (didiferensialkan) dan kemudian koefisiennya dipergunakan untuk melengkapi baris. Nol polinomial pelengkap merupakan akar-akar nyata persamaan karakteristik.contoh :

1 + G(s)H(s) = s + 10s + 16s + 160 = 0

baris yang dihasilkan :

s 3 1 1 6

s 2 1 0 1 6 0

s 0 0

38

Gunakanlah koefisien baris kedua sebagai polinomial pelengkapF(s) = 10s + 160 = 0Untuk melengkapi baris F(s) diturunkan terhadap s sehingga didapatkan koefisien dan disisipkan ke dalam baris, sehingga didapat

s 3 1 1 6

s 2 1 0 1 6 0

s 0 0

s 0 1 6 0

Tidak ada akar pada bidang s sebelah kanan karena tidak ada perubahan tanda pada kolom paling kiri, sehingga sistem merupakan sistem yang stabil. Namun demikian, terdapat sepasang akar konjugate pada sumbu imajiner yaitu pada s1= j4 dan s2= -j4. Nilai tersebut didapat dari baris kedua tabulasi, yaitu:F(s) = 10s2 + 160 = 0

Contoh soal :Tentukan harga K agar sistem dalam Gambar 4.3 stabil.

KR (s) +-

C (s)s(s 2+ s+ 1 )(s+ 2 )

Gambar 4.3 Sistem Loop Tertutup dengan Penguatan K.

Fungsi alih loop tertutupnya adalah

c (s )R (s)

K /s(s 2+ s+ 1 )(s+ 2 )1 + K /s(s 2+ s+ 1 )(s+ 2 )

= = K

s(s 2+ s+ 1 )(s+ 2 ) + KPersamaan karakteristiknya adalah

s(s +s+1)(s+2) + K = s + 3s + 3s + 2s + K = 0Tabulasinya :

s 4 1 3 K

s 3 3 2 0

s 2 7 /3 K

s 1 2 -9 /7 K

s 0 K

7 /3 x 2 - 3 K7 /3

=1 4 - 9 K

7Agar sistem stabil, semua elemen pada kolom pertama harus positif yaitu

2 - 9 /7 K > 02 > 9 /7 K

1 4 /9 > K

K > 0

sehingga agar sistem stabil, maka nilai K adalah 14/9 > K > 0

4.3 Sensitivitas/KepekaanProses apapun yang diwakili oleh suatu fungsi alih bersifat peka terhadap perubahan lingkungannya,

usia, diabaikannya nilai yang pasti untuk parameter-parameter sistem, dan faktor-faktor alamiah lainnya yang mempengaruhi proses sistem kontrol.

39

2020

Pada sistem terbuka, seluruh kesalahan dan adanya perubahan nilai akan mengakibatkan perubahan dan ketidaktelitiannya pada keluaran. Pada sistem loop tertutup akan peka terhadap perubahan keluaran yang disebabkan oleh perubahan pada prosesnya dan mencoba memperbaiki keluarannya.

Kepekaan sistem kontrol terhadap berubahnya parameter merupakan suatu sifat yang penting. Keuntungan utama penggunaan sistem loop tertutup terletak pada kemampuannya untuk mengurangi kepekaan sistem.

Sensitivitas/kepekaan adalah merupakan ukuran ketergantungan karakteristik sistem pada unsur-unsur khusus. Misalnya sensitivitas fungsi alih sistem loop tertutup T terhadap K adalah sebagai berikut

dimana:

Sensitivitas merupakan fungsi frekuensi dan sebuah sistem yang ideal mempunyai sensitivitas nol untuk segala parameter.

Dalam Gambar 4.4 diberikan contoh kepekaan fungsi alih terhadap perubahan parameter dalam sistem. Sistem tersebut mempunyai fungsi alih

G

K 2

R + CK 1

-

Gambar 4.4 Contoh Kepekaan Fungsi Alih Terhadap Perubahan Parameter Sistem

Kepekaan fungsi alih terhadap perubahan parameter-parameter tersebut adalaha) Kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter K1 adalah sebagai berikut

pada keadaan ini seluruh kesalahan dan adanya perubahan nilai pada K1 akan mengakibatkan perubahan dan ketidaktelitiannya pada keluaran sistem.

b) Kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter K2 adalah sebagai berikut

40

Untuk

Pada keadaan ini mungkin akan menimbulkan keluaran yang berubah-ubah dengan cepat (berosilasi), dan bahkan tak stabil.

c) Kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter G adalah sebagai berikut

Pada keadaan ini dengan bertambahnya nilai G, maka pengaruh G terhadap keluaran akan berkurangPada sistem tersebut jika nilai

K1 = 10 V/radK2 = 10 V/rad

,

maka

Soal:Dalam Gambar 4.5, tentukan kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter G 1, G2, H, dan K3 pada

= 1 rad/dtk. Jika diketahui

Gambar 4.5 Soal kepekaan fungsi alih T terhadap perubahan parameter dalam sistem.

41

H = 4sK1 = K2 = 10 V/radK3 = 3 V/rad

G1 =

G2 =

Penyelesaian:

4.4 Ketelitian (accuracy)Ketelitian berhubungan dengan error steady state/kesalahan keadaan mantap. Kesalahan keadaan

mantap merupakan selisih nilai keluaran terhadap masukan sistem pada saat sistem dalam keadaan mantap. Sifat fisik sistem kontrol adalah selalu mengalami kesalahan keadaan mantap dalam merespon suatu jenis masukan tertentu. Sistem mungkin tidak mempunyai kesalahan keadaan mantap untuk masukan step, tetapi sistem yang sama dapat menunjukkan adanya kesalahan keadaan mantap untuk masukan ramp. Untuk menghilangkan kesalahan keadaan mantap adalah dengan mengubah struktur sistem. Suatu sistem akan menunjukkan kesalahan keadaan mantap atau tidak tergantung pada jenis fungsi alih loop terbuka sistem.

Dalam sistem kontrol dikenal istilah tipe sistem yang didapat dari fungsi alih loop terbuka G(s)H(s), dimana bentuk umum G(s)H(s) adalah sebagai berikut

K (T as + 1 )(T bs + 1 ).....(T m s + 1 )

S N (T 1s + 1 )(T 2s + 1 )....(T ns + 1 )G (s) H (s) =

Persamaan di atas meliputi suku sN pada penyebut, menyatakan pengalian kutub dengan N. Suatu sistem dikatakan tipe 0, tipe 1, tipe 2, jika N = 0, N = 1, N = 2,...Tipe sistem ini berbeda dengan orde sistem.

Apabila G(s)H(s) ditulis sedemikian rupa sehingga masing-masing suku dalam dalam penyebut kecuali susku sN, mendekati satu bila s mendekati nol, maka penguatan loop terbuka secara langsung berhubungan dengan kesalahan keadaan mantap.

Pada sistem loop tertutup dalam Gambar 4.6 nilai fungsi alih loop tertutupnya adalah

G (s)

H (s)

R (s) + C (s)

-

E (s)

C (s) = E (s) G (s)

E (s) = R (s) - C (s) H (s)

E (s) = R (s) - E (s) G (s) H (s)

E (s)(1 + G H ) = R (s)

E (s)R (s)

11 + G H

=

11 + G H

E (s) = R (s)

G (s) d an H (s)

Gambar 4.6 Sistem Loop Tertutup.

42

Koefisien kesalahan stabil menggambarkan keunggulan sistem kontrol. Semakin besar koefisien yang diberikan semakin kecil kesalahan keadaan mantapnya. Pada sistem yang diberikan, keluaran mungkin berupa posisi, kecepatan, tekanan, suhu dan lain-lain. Oleh karena itu, selanjutnya kita sebut keluaran sebagai “posisi”, laju perubahan keluaran “kecepatan” dan sebagainya. Hal ini berarti bahwa dalam sistem kontrol suhu “posisi” menyatakan suhu keluaran, “kecepatan” menyatakan laju perubahan suhu keluaran, dan sebagainya.

Koefisien kesalahan posisi Kp

Pembangkit kesalahan keadaan mantap sistem dengan masukan unit step/tangga satuan adalah sebagai berikut:Pada masukan unit step r(t) = 1

R(s) =

Koefisien kesalahan posisi Kp

Jadi, sinyal pembangkit kesalahan keadaan mantap dalam koefisien kesalahan posisi adalah

Untuk sistem tipe 0,

Untuk sistem tipe ≥ 1

Oleh karena itu, sistem tipe 0, koefisien kesalahan posisi Kp terhingga, sedangkan untuk sistem tipe 1 atau lebih besar koefisien kesalahan posisi Kp tidak terhingga.

Jika masukan sistem berupa unit step, pembangkit kesalahan keadaan mantap e ss dapat disimpulkan sebagai berikut:

43

untuk sistem tipe 0

untuk sistem tipe ≥ 1

Sehingga dapat disimpulkan apabila diinginkan kesalahan keadaan mantap untuk masukan step/langkah sama dengan nol, maka tipe sistem harus satu atau lebih besar.

Koefisien kesalahan kecepatan Kv

Pembangkit kesalahan keadaan mantap sistem dengan masukan unit ramp adalah adalah sebagai berikut:Pada masukan unit rampr(t) = t

R(s) =

koefisien kesalahan kecepatan Kv didefinisikan sebagai

maka pembangkit kesalahan keadaan mantap dalam koefisien kesalahan kecepatan diberikan oleh

Kesalahan kecepatan digunakan untuk menyatakan kesalahan keadaan mantap untuk masukan berupa unit ramp. Dimensi kesalahan kecepatan sama dengan kesalahan sistem. Oleh karena itu, kesalahan kecepatan bukanlah kesalahan pada kecepatan, akan tetapi merupakan kesalahan pada posisi yang disebabkan oleh masukan ramp.



Untuk sistem tipe ≥2

Sehingga pembangkit kesalahan keadaan mantap ess untuk masukan unit ramp adalah

untuk sistem tipe 0

untuk sistem tipe 1


44

Dari analisis di atas menunjukkan bahwa sistem tipe 1 dengan umpan balik satuan dapat mengikuti masukan ramp dengan kesalahan tertentu. Sistem dengan tipe 2 atau lebih besar dapat mengikuti masukan ramp dengan pembangkit kesalahan nol pada keadaan mantap.

Koefisien kesalahan percepatan Ka

Pembangkit kesalahan keadaan mantap sistem dengan masukan unit parabolik adalah adalah sebagai berikut:

Pada masukan unit parabolik r(t) =

r(t) =

R(s) =

koefisien kesalahan keadaan mantap didefinisikan oleh persamaan

sehingga pembangkit kesalahan keadaaan mantap ess unit parabolik adalah

Kesalahan percepatan yaitu kesalahan keadaan mantap pada masukan parabolik yang merupakan kesalahan posisi.




Untuk sistem tipe ≥ 3,

Sehingga pada masukan yang berupa unit parabolik, pembangkit kesalahannya adalah sebagai berikut:untuk sistem tipe 0 dan 1

untuk sistem tipe 2


45

Dari analisis di atas dapat disimpulkan bahwa sistem tipe 2 dengan umpan balik satuan dapat mengikuti masukan parabolik dengan sinyal pembangkit kesalahan tertentu. Sistem tipe 3 atau lebih dengan umpan balik satuan mengikuti masukan parabolik dengan pembangkit kesalahan nol pada keadaan mantap.

4.5 Analisis Tanggapan PeralihanDengan menganalisis tanggapan peralihan (respon transien) sistem dapat diketahui beberapa hal,

diantaranya adalah mengenai waktu yang diharapkan untuk mencapai keadaan mantap dan nilai kesalahan (error) yang mengikuti sinyal masukan/input.

Selanjutnya yang akan dianalisis adalah mengenai respon sistem untuk masukan unit step, ramp dan sebagainya. Dalam pembahasan ini diasumsikan bahwa syarat awalnya adalah nol. Semua sistem yang mempunyai fungsi alih sama akan menunjukkan respon/keluaran yang sama dalam memberikan respon masukan yang sama.

SISTEM ORDE SATUDiagram balok sistem orde satu dapat dilihat dalam Gambar 4.7 yang mempunyai fungsi alih sebagai

berikut

1T s

R (s) + C (s)

-

Gambar 4.7 Sistem Orde Satu.

C (s)R (s)

1T s + 1

=1T s + 1

R (s) C (s)

Respon Unit Step Pada Sistem Orde SatuJika sistem orde satu diberi masukan unit step r(t)= 1, dari Transformasi Laplace fungsi ramp adalah R(s) =

. Keluaran sistem adalah sebagai berikut

C(s) = R(s)

c(t)

c(t) ( t 0 )

Persamaan keluaran tersebut menyatakan bahwa keluaran c(t) mula-mula nol kemudian akhirnya menjadi satu (dapat dilihat dalam Gambar 4.8). Salah satu karakteristik penting respon eksponensial c(t) tersebut adalah

bahwa pada t = T, maka

T = time constant / konstanta waktu sistem

46

= e -t/T =1T

d cd t t= 0

1T

= harga akhir

Konstanta waktu T yang lebih kecil akan mempercepat respon sistem. Karakteristik penting lainnya pada kurva respon eksponensial adalah kemiringan garis singgung / gradien pada t = 0 adalah , karena

C (t) = 1 - e - t/T

C (t)s lo p e = 1 /T

t0 T 2 T 3 T 4 T

0 ,6 3 2

0 ,8 6 50 ,9 5

Gambar 4.8 Respon unit step sistem orde satu.

Respon Unit Ramp Pada Sistem Orde SatuJika sistem orde satu diberi masukan unit ramp r(t) = t, dari Transformasi Laplace fungsi ramp adalah

. Keluaran sistem adalah sebagai berikut

Respon unit ramp sistem orde satu tersebut dapat dilihat dalam Gambar 4.9.

Sinyal error / kesalahan e(t) adalah

yang merupakan kesalahan keadaan mantap.

47

Gambar 4.9 Respon unit ramp sistem orde satu.

Respon Fungsi Impuls Jika sistem orde satu diberi masukan fungsi unit impuls, dari Transformasi Laplace fungsi unit impuls adalah R(s) = 1.Keluaran sistem adalah sebagai berikut

yang dapat dilihat dalam Gambar 4.10.

t

C (t)

1/T

0T 2T 3T 4T

Gambar 4.10 Respon unit impuls sistem orde satu.

SISTEM ORDE DUADiagram balok sistem orde dua dapat dilihat dalam Gambar 4.11, sedangkan fungsi alihnya adalah

sebagai berikut

n2R (s) + C (s)

-s(s+ 2n)

Gambar 4.11 Sistem Orde Dua.

48

Akar-akar penyebut fungsi alih atau persamaan karakteristik adalah

dimana= rasio peredaman sistem (damping ratio)

= frekuensi natural/alamiah tak teredam

= frekuensi natural/alamiah teredam

Kelakuan dinamik sistem orde dua dapat digambarkan dalam suku dua parameter ξ dan ω n . Jika , maka pole loop tertutup merupakan konjugat kompleks dan berada pada bidang s sebelah kiri.

Dalam hal ini, sistem dikatakan dalam peredaman dan tanggapan peralihan berosilasi. Jika , maka

sistem dikatakan teredam kritis. Sistem terlalu teredam berhubungan dengan . Tanggapan peralihan sistem teredam kritis dan sistem terlalu teredam tidak berosilasi. Jika ξ=0, tanggapan peralihan tidak muncul.

Pada sistem orde dua seperti terlihat dalam Gambar 4.11, berdasarkan respon sistem dengan masukan unit step akan terdapat tiga keadaan yang berbeda yaitu keadaan teredam , teredam kritis

, dan sistem terlalu teredam .

1) Keadaan Kurang Teredam / Underdamped

49

Dari Tabel Transformasi Laplace didapatkan

Jika maka

Respon sistem tersebut juga bisa diperoleh dengan menggunakan Transformasi Laplace balik jika C(s) ditulis dalam bentuk berikut:

oleh karena itu, transformasi laplace balik dari persamaan

diperoleh sebagai

Sinyal kesalahan / error adalah e(t) = r(t) – c(t), dimana r(t) = 1 .dan

sehingga

2) Teredam Kritis / Critically Damped

50

Dalam hal ini apabila dua pole hampir sama, maka sistem dapat didekati dengan bentuk

teredam kritis. Jika input berupa unit step dimana R(s) = 1/s dan C(s) dapat ditulis dengan

0 tt)ω(11c(t)

s)ω(s

ωC(s)

ntω

2n

2n

n

e

3) Terlalu Teredam / Overdamped

Dalam hal ini pole adalah bilangan nyata / real negatif yang tidak sama. Jika input

berupa unit step dimana R(s) = 1/s dan C(s) dapat ditulis dengan

dengan

Tanggapan c(t) terdiri dari dua suku eksponensial menurun.

TANGGAPAN PERALIHANSistem dengan tenaga tidak dapat memberikan tanggapan seketika dan akan menunjukkan tanggapan

peralihan walaupun diberi masukan ataupun gangguan. Karakteristik unjuk kerja sistem kontrol yang diinginkan dicirikan oleh suku tanggapan peralihan terhadap masukan unit step karena hal itu mudah dilakukan dan cukup drastis. Jika tanggapan terhadap masukan unit step diketahui, secara matematis dapat dihitung tanggapan untuk masukan yang lain.

Tanggapan peralihan sistem kontrol selalu menunjukkan osilasi teredam sebelum mencapai keadaan mantapnya, hal ini juga menunjukkan bahwa sistem tersebut mempunyai rasio peredaman yang juga berarti bahwa sistem tersebut merupakan sistem yang kurang teredam / underdamped.

Tanggapan peralihan sistem kontrol terhadap masukan unit step umumnya dikelompokkan sebagai berikut (lihat Gambar 4.12):

1) Delay Time / Waktu Tunda, td

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai setengah harga akhir pada saat lonjakan pertama

2) Rise Time / Waktu Naik, tr

Waktu yang dibutuhkan oleh respons agar bertambah dari 10% menjadi 90% dari nilai akhir3) Peak Time / Waktu Puncak, tp

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai puncak pertama lonjakan (maksimum)4) Maximum Overshoot / Lonjakan Maksimum, Mp

Merupakan nilai puncak kurva respons diukur dari satu

dengan c(tp) = nilai respons pada saat lonjakan maksimum.c(∞) = nilai respons pada saat keadaan mantap.

5) Settling Time / Waktu Turun, ts

Waktu yang dibutuhkan oleh respons untuk mencapai harga tertentu dan tetap dalam range nilai akhir (biasanya 5% atau 2%)

51

to leransi yangdiijinkan

C (t)

M p

td

10,9

0,5

0,1

0 tr

tp

ts

t

0,05

0,02atau

Gambar 4.12 Respon Unit Step Sistem Orde Dua.Rise time (tr):

Maka diperoleh nilai rise time (tr)

dengan nilai β seperti yang didefinisikan dalam Gambar 4.13.

j

jd

n

0

n

n 1 - 2

Gambar 4.13 Definisi Sudut β.

Dapat dilihat bahwa terletak diantara dan π,

jika maka

52

Jika maka

Peak Time / Waktu Puncak (tp):Waktu puncak dapat diperoleh dengan menurunkan c(t) terhadap waktu dan menyamakannya dengan

nol, atau

Menghilangkan persamaan berikut:

s in d tp = 0

d tp = 0 , , 2, 3, .....Karena waktu puncak tp berhubungan dengan waktu puncak overshoot / lonjakan pertama, maka nilai waktu puncak tersebut adalah

d tp = tp = d

Maximum Overshoot / Overshoot Maksimum (Mp):Overshoot maksimum terjadi pada waktu puncak atau pada

Jadi dari persamaan keluaran, Mp diperoleh

Persen overshoot maksimum adalah sebagai berikut

Setlling Time / Waktu Turun (ts):

Untuk sistem orde dua dalam redaman, tanggapan peralihan diperoleh dari persamaan respons

Ada dua kriteria untuk menentukan waktu turun yaitu kriteria 2% dan 5% :Untuk kriteria 2%,

ts = 4T =

Untuk kriteria 5%,

ts = 3T =

Contoh soal 1:Dalam Gambar 4.14 dengan ξ = 0,6 dan ωn = 5 rad/dt. Tentukan waktu naik tr, waktu puncak tp, overshoot maksimum Mp, dan waktu turun ts bila sistem diberi masukan unit step.

53

n2R (s) + C (s)

-s (s+ 2n)

Gambar 4.14 Sistem Orde Dua.

Penyelesaian:Diketahui: ξ = 0,6

ωn = 5 rad/dtsehingga

= 5

= 4 rad/dt

σ = ξωn

= 0,6 . 5 = 3

Waktu naik sistem adalah

t r = = d

3 ,1 4 4

= tg -1 = tg -1 = 0 ,9 3 radd

34

t r = = = = 0 ,5 5 d t d

3 ,1 4 4

3 ,1 4 4

Waktu puncak sistem adalah

tp = = = 0 ,7 8 5 d td

43 ,1 4

Overshoot Maksimum adalah

Overshoot maksimum (%) = 9,5%Waktu turun/settling time:

Ada dua kriteria untuk menentukan waktu turun yaitu kriteria 2% dan 5% :Untuk kriteria 2%,

= 4T = = 1,33 detik

Untuk kriteria 5%,

= 3T = = 1 detik

Contoh soal 2Pada sistem dalam Gambar 4.15, tentukan nilai penguatan K dan Kh sehingga maksimum overshoot

pada tanggapan unit step sebesar 0,2 dan waktu puncak 1 detik. Dengan nilai K dan K h tersebut di atas, tentukan waktu naik dan waktu turun.

54

KR (s) + C (s)

-s(s+ 1 )

1 + K hs

Gambar 4.15 Sistem Kontrol.

Penyelesaian:Nilai maksimum overshoot

Waktu puncak diketahui sama dengan 1 detik, sehingga

Karena ξ = 0,456 maka nilai

Karena frekuensi alami sama dengan dalam contoh ini,

dengan menggunakan persamaan

,

Maka diperoleh nilai adalah

Waktu naik :

dengan

55

= arctan

= arctan

sehingga

detik

Waktu turun : Untuk kriteria 2%,

=

detik

Untuk kriteria 5%

=

detik

BAB VMETODE ANALISIS SISTEM KONTROL

5.1 Metode Root Locus Metode root locus / letak kedudukan akar digunakan untuk meneliti perilaku sistem dengan

parameter sistem berubah pada lingkup tertentu, misalnya perubahan parameter penguatan K. Di dalam analisis sistem, penguatan K dipilih sedemikian rupa agar sistem stabil serta memberikan respon yang baik. Rancangan dimaksudkan agar letak pole dan zero dari fungsi alih loop tertutup terletak pada daerah yang ditentukan. Agar sistem stabil, pole dan zero harus terletak pada bidang s sebelah kiri sumbu imajiner.

Metode letak kedudukan akar ini memberikan informasi penguatan K jika penguatan K diubah dari nol menjadi tak terhingga. Metode ini memungkinkan kita untuk untuk mencari pole loop tertutup dan zero loop terbuka dengan penguatan sebagai parameter.

Gambar 5.1 Sistem Loop Tertutup. Fungsi alih loop tertutup secara umum adalah sebagai berikut

akar-akar karakteristik yang memenuhi persamaan karakteristik:

56

Suatu sistem loop tertutup dalam Gambar 5.1 mempunyai persamaan karakteristik sebagai berikut

atau

maka akar karakteristik adalah harga s yang memenuhi syarat berikut ini:syarat sudut

syarat magnitud

Aturan yang dipakai untuk menggambarkan root locus adalah sebagai berikut:

Aturan 1Harga K = 0 pada root locus adalah pada pole G(s) H(s)

Aturan 2K = ∞ pada root locus adalah pada zero G(s) H (s)contoh

zero digambarkan dengan , yaitu

pole digambarkan dengan , yaitu ,

Aturan 3Jumlah cabang pada root locus adalah sama dengan jumlah yang terbesar diantara pole dan zero G(s) H(s).misal:Untuk contoh diatas, zero-nya adalah 1, pole-nya adalah 3; maka jumlah cabang adalah 3

Aturan 4Gambar root locus selalu simetri terhadap sumbu real.

Aturan 5Bila jumlah titik zero (nz), lebih kecil dari jumlah pole (np), dengan selisih , maka terdapat sejumlah N bagian akar yang harus berakhir pada titik-titik zero di tak terhingga (Catatan: jumlah zero sebanding dengan jumlah pole ketika zero berada di tak terhingga). Root locus tersebut berjalan sepanjang suatu asimtot bila K menuju tak terhingga.Root locus pada sumbu real dapat ditentukan dengan melihat bahwa jumlah pole dan zero dari sebelah kanan adalah ganjil.

Aturan 6Perpotongan asimtot dengan sumbu real pada titik:

denganh1 = jumlah pole G (s) H(s)

57

h2 = jumlah zero G(s) H(s)n = banyaknya polem = banyaknya zero

Aturan 7Untuk K mendekati tak terhingga, sudut root locus terhadap sumbu real:

;

dengann = banyaknya polem = banyaknya zerocontoh:

Aturan 8Menentukan titik potong tempat kedudukan akar dengan sumbu imajiner, dapat diperoleh dengan 2 cara yaitu:a. Kriteria kestabilan Routh-Hurwitz

Berdasarkan batas bahwa K 0, dapat ditentukan nilai K dengan kriteria kestabilan Routh-Hurwitzb. Dengan memasukkan pada persamaan karakteristik, menyamakan bagian nyata maupun imajiner

dengan nol, kemudian mencari harga dan K.contoh:persamaan karakteristik :

diperoleh

Berarti, root locus memotong sumbu imajiner di harga K pada titik ini adalah 6 (0 K 6)

Aturan 9

Menentukan titik breakaway dan breakin.

58

Titik breakin atau breakaway adalah titik dimana sepasang cabang root locus bertemu atau berpisah dengan membesarnya harga K.Titik breakin atau breakaway merupakan akar-akar persamaan:

atau pada persamaan karakteristik sistem.

Aturan 10

Sudut berangkat atau sudut datang root locus adalah berasal dari pole kompleks atau zero kompleks. Sudut berangkat dari pole dan sudut datang menuju zero dapat ditentukan dengan mengaplikasikan kondisi sudut terhadap titik yang sangat dekat dengan pole atau zero. Sudut datang pada zero, -z1 diperoleh dari

θaz1+

Misalnya:Dalam root locus Gambar 5.2, tentukan sudut berangkat p2.

Gambar 5.2 Root Locus dengan Sudut Berangkat.

sehingga

Sehingga sudut berangkat dari p2 adalah +7,1

5.1 Analisis Root Locus (Tempat Kedudukan Akar)Akar-akar persamaan karakteristik suatu sistem loop tertutup mendefinisikan karakteristik tanggapan

sistem.Lokasi akar pada bidang s kompleks merupakan prediksi karakteristik tanggapan fungsi waktu pada :

rasio peredaman ( )

frekuensi alamiah ( )

59

Akar tersebut berubah sesuai dengan penguatan loop (K) yang bervariasi dari 0 menuju ∞. Penguatan K = 0 terjadi pada pole G(s)H(s), sedangkan penguatan K = ∞ terjadi pada zero G(s)H(s).

Contoh 1Gambarkan root locus dan berikan analisis respon/tanggapan unit step untuk berbagai nilai penguatan K pada sistem loop tertutup dalam Gambar 5.2.

C (s )R (s )+

-

KE (s )s(s+ 2)


Penyelesaian:Fungsi alih sistem ini adalah

Untuk menggambarkan root locus diperlukan beberapa aturan yang dipakai dalam root locus, yaitu

Aturan 1Harga K = 0 pada root locus adalah pada pole G(s) H(s), yaitu pada s = 0 dan s = -2.pole digambarkan dengan tanda , yaitu pada p1 = 0 dan p2 = -2.

Aturan 2K = ∞ pada root locus adalah pada zero G(s) H (s), dalam soal ini tidak ada nilai zero, yang berarti root locus berakhir di zero ∞.

Aturan 3Jumlah cabang pada root locus adalah sama dengan jumlah yang terbesar diantara pole dan zero G(s) H(s).misal:Untuk contoh diatas, zero-nya adalah 0, pole-nya adalah 2; maka jumlah cabang adalah 2.

Aturan 4Gambar root locus selalu simetri terhadap sumbu real.

Aturan 5Bila jumlah titik zero (nz), lebih kecil dari jumlah pole (np), dengan selisih , maka terdapat sejumlah N bagian akar yang harus berakhir pada titik-titik zero di tak terhingga. Dalam soal ini N = 2 – 0 = 2 sehingga ada 2 bagian akar yang berakhir pada titik-titik zero di ∞.Root locus pada sumbu real dapat ditentukan dengan melihat bahwa jumlah pole dan zero dari sebelah kanan adalah ganjil.

Aturan 6Perpotongan asimtot dengan sumbu real pada titik:

= = 1

denganh1 = jumlah pole G (s) H(s)h2 = jumlah zero G(s) H(s)n = banyaknya polem = banyaknya zero

Aturan 7Untuk K mendekati tak terhingga, sudut root locus terhadap sumbu real:

;

dengan

60

n = banyaknya polem = banyaknya zerocontoh:

Aturan 8Titik potong tempat kedudukan akar dengan sumbu imajiner dalam soal ini tidak akan mungkin terjadi karena untuk K mendekati ∞, sudut root locus terhadap sumbu real adalah 90o dan 270 o.

Aturan 9Titik breakaway merupakan akar-akar persamaan dari

,

= 0

–2s – 2 = 0s =

atau

,

Persamaan karakteristik sistem adalah 1 + KG(s)H(s) = 0 atau merupakan penyebut fungsi alihnya, sehingga persamaan karakteristiknya adalah s2 + 2s + K atau

K = , sehingga

2s = s =

sehingga titik breakawaynya adalah pada s = .

Root locus pada contoh ini dapat dilihat dalam Gambar 5.4.

61

Gambar 5.4 Root Locus dengan Breakaway.

Sehingga pada root locus yang penguatannya bervariasi dari K = 0 menuju K = ∞ tersebut dapat disimpulkan diantaranya adalah sebagai berikut:

a) Persamaan karakteristik sistem merupakan penyebut fungsi alih, yaitu

Akar persamaan karakteristik sistem tersebut adalah

Pada K = 0, pole G(s)H(s) terletak pada s = 0 dan s = -2. Pada 0<K<1, root locus terletak pada sumbu real sampai titik breakaway pada s = -1.Pada K > 1, root locus terletak pada bidang kompleks, dengan nilai real –1 dan nilai imajiner naik dengan bertambahnya penguatan K.

(b) Sistem stabil pada penguatan 0<K<∞(c) Respon unit step berubah sesuai dengan besarnya nilai K dalam sistem dapat dilihat dalam Gambar

5.5.

Gambar 5.5 Respon Unit Step dengan Variasi Nilai Titik breakaway :

Ketika dua atau lebih akar bertemu, mereka akan menjauh dari titik tersebut dengan sudut tertentu. Titik tersebut dikenal sebagai titik breakaway. Titik breakaway tersebut berhubungan dengan banyaknya

62

akar pada sistem. Beberapa contoh titik breakaway sehubungan dengan banyaknya akar dapat dilihat dalam Gambar 5.6 berikut:

Gambar 5.6 Titik Breakaway dengan Banyak Akar yang Bervariasi.

Contoh 1:

Diketahui suatu fungsi alih suatu sistem loop adalah sebagai berikut

KG(s)H(s) =

Akar-akarnya adalah

s = 0, s = –4, s = –2 ± j4

Bagian sumbu real diantara 0 dan –4 .

Sudut asimtot:

63

Perpotongan asimtot dengan sumbu real pada titik:

= =

Root locusnya dapat dilihat dalam Gambar 5.7.

Gambar 5.7 Root Locus.

Titik breakaway:

=

atau s3 + 6s2 +18s +20 = 0sehingga didapat nilai s adalah , atau terdapat tiga titik breakaway pada nilai s tersebut.

Gambar 5.8 Root Locus dengan Titik Breakaway.

Perpotongan root locus dengan sumbu imajiner:

64

Pers. karakterististik

Tabel Routh Hurwitz

s4 1 36 K

s3 8 80 0

s2 26 K 0

s 80-8K/26 0 0

s0 K 0 0

Kondisi untuk stabil kritis/ambang stabil, 80 - 8K/26 > 0 atau K < 260

Persamaan pembantu26 s2 + 260 = 0atau s2= -10

Root locus secara lengkap dapat dilihat dalam Gambar 5.9.

Gambar 5.9 Root Locus Secara Lengkap.

Contoh 2:

Diketahui sistem loop tertutup seperti terlihat dalam Gambar 5.10, gambarkan root locusnya.


Penyelesaian:Pole sistem terletak pada

s = 0s = -10

65

s = -3

seperti terlihat dalam Gambar 5.11.

Gambar 5.11 Sudut Root Locus Menuju Tak Terhingga.

Perpotongan root locus dengan sumbu imajiner dengan menggunakan persamaan karakteristik,

66

Titik breakaway

(tidak memenuhi)

sehingga titik breakaway terletak pada s = -1,367. Root locus secara lengkap dapat dilihat dalam Gambar 5.12.

67

Gambar 5.12 Root Locus Secara Lengkap.

Selanjutnya dapat dianalisis bahwa untuk sistem tersebut akan stabil pada penguatan 0<K<36.

5.3 Diagram Bode

Diagram Bode merupakan salah satu cara untuk mempresentasikan suatu fungsi alih yang dikemukakan oleh Hendrik Wade Bode. Diagram Bode disebut juga dengan diagram logaritmik yang terdiri dari dua diagram, yang pertama menggambarkan nilai magnitud (dalam desibel, dB) terhadap frekuensi sedangkan lainnya menggambarkan sudut fasa (dalam derajat) terhadap frekuensi dalam skala logaritmik. Penyajian standar besaran logaritmik G(j )H(j ) adalah 20 log , dengan basis logaritma tersebut adalah 10.

Dengan menggambar diagram Bode pada kertas semilog maka akan diperoleh suatu pemahaman mengenai bagaimana pengaruh dari lokasi pole dan zero terhadap bentuk diagram. Dengan pemahaman ini dapat diprediksikan bagaimana suatu sistem bekerja pada suatu domain frekuensi hanya dengan memeriksa fungsi alihnya.

Faktor-faktor dasar adalah sebagai berikut:1. Penguatan K

2. Faktor orde pertama

3. Faktor integral dan turunan

4. Faktor kuadratik

Dalam menyusun diagram logaritmik gabungan untuk setiap bentuk umum dengan membuat sketsa kurva setiap faktor tersebut dan menambah kurva individu ini secara grafis, karena menjumlah logaritma penguatan berkaitan dengan mengalikannya.

Misalnya pada suatu sistem yang mempunyai fungsi alih

68

Untuk menggambarkan Diagram Bode sistem tersebut, adalah dengan menulis kembali fungsi alih diatas sehingga pole dan zero tertulis dalam bentuk faktor-faktor dasar . Pertama adalah dengan menulis kembali fungsi alih diatas sehingga pole dan zero tertulis dalam bentuk faktor orde pertama

. Hal ini dibutuhkan ketika menurunkan persamaan untuk suatu real pole.

Setelah persamaan fungsi alih diturunkan, magnitud dan fase dapat digambarkan dengan mudah jika . Persamaan diatas terdiri dari empat bagian, sebuah konstanta (0,1), sebuah zero (pada ), dan dua buah pole (pada dan ). Fungsi di atas (dengan ) dapat ditulis kembali sebagai empat faktor yang individual, yaitu

Dalam menggambarkan magnitud dan fase pada setiap phasor secara individual cukup mudah, kesulitan yang sering ditemui adalah ketika menggambarkan magnitud dan fase dari .

dapat ditulis sebagai suatu phasor tunggal, yaitu

Diagram MagnitudSalah satu cara untuk mentransformasikan perkalian menjadi suatu penambahan adalah dengan

menggunakan logaritma. Tidak dengan logaritma sederhana melainkan dengan desiBel. Hubungan antara nilai G(j )H(j ) dan nilai desiBel (dB) ditunjukkan pada persamaan berikut:

Jadi jika maka ; menghasilkan ; dan seterusnya.Jika magnitud dari ditampilkan dalam desiBel, diperoleh

69

Diagram Fase

Terdapat dua tipe bentuk, sebuah bentuk konstanta dan bentuk .

Menggambarkan Diagram Bode1. Faktor KonstantaDianggap suatu bentuk konstanta adalah,

MagnitudDari persamaan diatas diperoleh nilai magnitud sebuah nilai konstanta (K) adalah 20 log

FaseFase juga merupakan bentuk konstan. Jika K adalah positif, nilai fase-nya adalah 0° (atau semua kelipatan genap dari 180°). Jika K adalah negatif maka nilai fasenya , atau semua kelipatan ganjil dari 180°.Jika dalam bentuk radian apabila K positif, nilai fase-nya adalah 0 radian, jika K negatif maka fase-nya adalah - radian.

Contoh 1:

Hal tersebut dapat dilihat dalam Gambar 5.13 berikut.

70

(a)

(b)Gambar 5.13 Diagram Bode Faktor Penguatan K. A Grafik magnitud, B Grafik fasa

catatan: Untuk bentuk konstan, diagram magnitud berupa garis lurus. Diagaram fase juga berupa garis lurus, baik pada 0° (untuk konstanta positif) maupun (untuk

konstanta negatif).

2. Faktor orde pertama

Pole RealMisalnya suatu pole real sederhana

,

Frekuensi disebut dengan break frequency, frekuensi sudut atau frekuensi 3 dB.

Magnitud

Nilai magnitud diperoleh dari

, yaitu = 20 log

71

, dalam dB

Terdapat tiga kondisi dari nilai frekuensi:Kondisi 1)

Kondisi frekuensi rendah (low frequency). Dapat dituliskan suatu pendekatan untuk nilai magnitud dari fungsi alih

,

Kondisi 2) Kondisi frekuensi tinggi (high frequency). Dapat dituliskan suatu pendekatan untuk nilai magnitud

dari fungsi alih

,

Grafik berupa garis lurus dengan kemiringan -20 dB/dekade melewati break frequency pada 0 dB. Sehingga, setiap kenaikan frekuensi 10, nilai magnitud turun sebesar 20 dB.

Kondisi 3) Kondisi break frequency. Pada frekuensi ini

,

Kondisi ini ditunjukkan oleh sebuah lingkaran pada grafik magnitud dalam Gambar 5.14.

72

Gambar 5.14 Grafik Magnitude Pole Real. Fase

Nilai fase dari suatu real pole diberikan oleh persamaan

Kondisi 1) Kondisi frekuensi rendah (low frequency). Dapat dituliskan suatu pendekatan untuk nilai fase dari

fungsi alih radian

Kondisi 2) Kondisi frekuensi tinggi (high frequency). Dapat dituliskan suatu pendekatan untuk nilai fase dari

fungsi alih

radian

Kondisi 3) Break frequency. Pada frekuensi

Ditunjukkan oleh sebuah lingkaran pada diagram fase dalam Gambar 5.15.

Gambar 5.15 Diagram Fase.

Catatan: Untuk suatu pole real, garis asimtot diagram Bode untuk magnitud adalah pada 0 dB sampai break

frequency dan kemudian turun pada 20 dB/dekade (jika kemiringan adalah -20 dB/dekade). Pole dari orde ke-n memiliki kemiringan dengan nilai -20n dB/dekade.

Diagram fase adalah pada 0 derajat sampai sepersepuluh dari nilai break frequency ( ) dan

kemudian turun secara linier sampai -90 derajat pada sepuluh kali nilai break frequency ( ). Pole dari orde ke-n turun sampai -90n derajat.

73

Contoh 2: Pada contoh pertama ini ditunjukkan pole real tunggal pada 10 radian per detik. Garis asimtot frekuensi rendah ditunjukkan oleh garis putus-putus seperti terlihat dalam Gambar 5.16.

(a)

(b)Gambar 5.16 Diagram Bode. A Grafik magnitude B Grafik Fasa.

Contoh 3: Pada contoh ini ditunjukkan pole ganda pada 30 radian per detik. Perhatikan bahwa kemiringan dari garis asimtot adalah -40 dB/dekade dan fase berada antara 0o sampai -180º seperti terlihat dalam Gambar 5.

74

Magnitude Plot

(a)

(b)Gambar 5.17 Diagram Bode. A Grafik magnitude B Grafik fasa.

Zero RealPendekatan linier untuk suatu zero hampir sama seperti pada pole. Misalnya pada suatu zero sederhana:

,

MagnitudNilai magnitud zero diberikan oleh

Terdapat tiga kondisi:1. Pada frekuensi rendah, , besarnya gain mendekati nol.

2. Pada frekuensi tinggi, , gain meningkat pada 20 dB/dekade dan melewati break frequency pada 0 dB.

3. Pada break frequency, , besarnya gain adalah sekitar 3 dB.

FaseNilai fase zero diberikan oleh:

75

Terdapat tiga kondisi:1. Pada frekuensi rendah, , nilai fase mendekati nol.

2. Pada frekuensi tinggi, , besarnya fase adalah 90º.

3. Pada break frequency, , besarnya fase adalah 45º.catatan:

Untuk suatu real zero, garis asimtot diagram Bode untuk magnitud adalah pada 0 dB sampai break frequency dan kemudian naik pada +20 dB/dekade (jika kemiringan adalah +20 dB/dekade). Pole dari orde ke-n memiliki kemiringan dengan nilai -20n dB/dekade. Diagram fase adalah pada 0 derajat sampai sepersepuluh dari nilai break frequency ( ) dan

kemudian naik secara linier sampai +90 derajat pada sepuluh kali nilai break frequency ( ). Pole dari orde ke-n naik sampai +90n derajat.

Contoh 3Berikut diberikan suatu zero pada 30 radian per detik.

(a)

(b)

76

Gambar 5.18 Diagram Bode contoh 3. A Grafik magnitude B Grafik fasa.

3.Faktor Integral dan Turunan Pole pada Titik Origin (Asal)Suatu pole sederhana pada titik origin dapat dengan mudah digambarkan, misal

MagnitudNilai magnitud diberikan oleh:

Fungsi tersebut berupa garis lurus pada diagram Bode dengan kemiringan sebesar dB/dekade dan melewati 0 dB pada 1 rad/detik. Dan juga melewati 20 dB pada 0.1 rad/detik, -20 dB pada 10 rad/detik dan seterusnya.

FaseNilai fase diberikan oleh:

Catatan: Untuk suatu pole sederhana pada titik origin gambarlah sebuah garis lurus dengan kemiringan sebesar

dB/dekade dan menuju 0 dB pada 1 rad/detik. Pole orde ke-n memiliki kemiringan dengan nilai n dB/decade.

Diagram fase adalah pada -90º derajat. Pole dari orde ke-n memiliki nilai sebesar n derajat.Contoh 4

Contoh berikut menunjukkan sebuah pole sederhana pada titik origin.

(a)

77

(b)Gambar 5.19 Diagram Bode contoh 4. A Grafik magnitude B Grafik fasa.

Zero pada Titik OriginSuatu zero pada titik origin adalah sama seperti pole pada titik origin tetapi besarnya magnitud meningkat, dan fase adalah positif.

catatan: Untuk suatu pole sederhana pada titik origin gambarlah sebuah garis lurus dengan kemiringan sebesar dB/dekade dan menuju 0 dB pada 1 rad/detik. Pole dari orde ke-n memiliki kemiringan dengan nilai n dB/dekade. Diagram fase adalah pada +90º derajat. Pole dari orde ke-n memiliki nilai sebesar n derajat.

4. Faktor Kuadratik

Pole Sekawan KompleksMisal sebuah fungsi alih:

dengan

MagnitudNilai magnitud diberikan oleh:

, dalam dB

Berdasarkan nilai frekuensi terdapat tiga kondisi:Kondisi 1) . Ini adalah kondisi frekuensi rendah. Pada kondisi ini dapat dituliskan pendekatan terhadap magnitud dari fungsi alih

78

Kondisi 2) . Pada kondisi frekuensi tinggi, pendekatan terhadap magnitud dari fungsi alih dituliskan

Grafik merupakan sebuah garis lurus dengan kemiringan -40 dB/decade melewati break frequency 0 dB. Yaitu, pada setiap kenaikan 10 faktor dalam frekuensi, nilai magnitud turun 40 dB.

Kondisi 3) . Dapat ditunjukkan bahwa sebuah puncak muncul pada diagram magnitud didekat break frequency. Lokasi dan tinggi dari puncak dapat ditentukan dengan mendeferensialkan persamaan magnitud dari fungsi alih.

Puncak tersebut memiliki nilai magnitud

, dalam dB

Sebagai catatan, bahwa puncak hanya terdapat pada

Dan frekuensi dari puncak pada umumnya sangat dekat dengan break frequency. Untuk kurva yang ditunjukkan dibawah ini,

Amplitudo puncak adalah 5.02 atau 14 dB seperti terlihat dalam Gambar 5.20.

79

Gambar 5.20 Amplitudo Puncak.

FaseNilai fase dari suatu pole sekawan kompleks ditunjukkan dalam persamaan

Berdasarkan nilai frekuensi terdapat tiga kondisi:Kondisi 1) . Pada frekuensi rendah pendekatan nilai fase dari fungsi alih dapat dituliskan

radian

Kondisi 2) . Pada frekuensi tinggi nilai fase dapat dituliskan

Kondisi 3) . Pada break frequency.

Hal tersebut ditunjukkan oleh sebuah lingkaran pada diagram 5.21 berikut, dimana

80

Gambar 5.21 Break Frekuensi.

Catatan: Untuk menggambarkan diagram fase adalah dengan mengikuti garis asimtot frekuensi rendah pada 0º sampai

Kemudian turun secara linier sampai menemui garis asimtot frekuensi tinggi pada pada

Zero Sekawan KompleksSuatu zero sekawan kompleks menghasilkan diagram Bode yang mirip dengan pole sekawan kompleks. Perbedaannya pada diagram magnitud memiliki sebuah cekungan bukannya sebuah puncak, magnitud mengalami kenaikan diatas break frequency dan fase juga mengalami kenaikan bukannya menurun.contoh:

Cekungan pada diagram magnitud memiliki nilai 0.2 atau -14 dB.

81

Gambar 5.21 Diagram Bode.

Untuk menggambarkan diagram Bode suatu system, juga dapat menggunakan MATLAB. Sebagai contoh apabila menggunakan MATLAB®

>> MySys=tf(100*[1 1],[1 110 1000])Transfer function: 100 s + 100 ------------------------------ s^2 + 110 s + 1000>> bode(MySys)

akan diperoleh suatu diagram seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 5.22 berikut.

82

Gambar 5.22 Diagram Bode.

BAB VIPERANCANGAN SISTEM KONTROL

6.1 KontrolerKontroler seringkali juga disebut dengan istilah kompensator, pengendali ataupun penapis. Kontroler

adalah suatu sistem dinamis yang sengaja ditambahkan untuk mendapatkan karakteristik sistem keseluruhan yang diinginkan. Fungsi kontroler otomatis pada umumnya adalah sebagai berikut:

1) Membandingkan nilai masukan dan keluaran sistem secara keseluruhan (plant). 2) Menentukan penyimpangan.3) Menghasilkan sinyal kontrol (mengurangi penyimpangan menjadi nilai nol/ nilai yang kecil).

Cara bagaimana kontroler otomatis menghasilkan sinyal kontrol disebut Aksi KontrolAdapun tujuan kontrol secara khusus adalah sebagai berikut:

1) Meminimumkan error steady state.2) Meminimumkan settling time.3) Mencapai spesifikasi transien yang lain, mis : meminimumkan maximum overshoot.

Aksi kontrol dasar yang sering digunakan dalam kontroler analog industri adalah:1. Kontroler dua posisi atau "on-off"2. Kontroler proporsional (P)3. Kontroler integral (I)4. Kontroler proporsional + integral (PI)5. Kontroler proporsional + turunan (PD)6. Kontroler proporsional + integral + deferensial (PID)

Pengetahuan mengenai karakteristik dasar berbagai aksi kontrol dasar tersebut sangat penting bagi ahli kontrol, selanjutnya keenam aksi kontrol tersebut akan dibahas pada bab ini.

Aksi kontrol dua posisi atau "on-off"Dalam sistem kontrol dua posisi, elemen pembangkit hanya mempunyai dua posisi tertentu yaitu on

dan off. Kontrol dua posisi atau on-off relatif sederhana dan tidak mahal, sangat banyak digunakan dalam

83

sistem kontrol industri maupun domestik. Diagram balok kontroler on-off tersebut dapat dilihat dalam Gambar 6.1, dimana

u(t) = U1 untuk e(t) > 0 = U2untuk e(t) < 0

dengan U1 dan U2 konstan. Nilai minimum U2 biasanya nol atau –U1. Kontroler dua posisi umumnya merupakan perangkat listrik dan sebuah katub yang dioperasikan dengan selenoida.

+ u

-

e u 1

u 2

Gambar 6.1 Diagram Balok Kontroler on-off.

Aksi kontrol proporsional (P)Pada kontroler dengan aksi kontrol proporsional (lihat Gambar 6.2), hubungan antara masukan

kontroler u(t) dan sinyal pembangkit kesalahan e(t) adalah

dengan Kp merupakan suku penguatan proporsional. Apapun mekanisme kontroler proporsional pada dasarnya merupakan suatu penguat dengan penguatan yang dapat disetel.

Gambar 6.2 Diagram Balok Kontroler Proporsional.

Aksi kontrol integral (I)Pada kontroler dengan aksi kontrol integral (lihat Gambar 6.3), nilai masukan kontroler u(t) diubah

pada laju proporsional dari sinyal pembangkit kesalahan e(t).

Gambar 6.3 Diagram Balok Kontroler Integral.

Sehingga

U(s)E(s)

-

+pK

U(s)E(s)

-

+

s

K i

84

dengan Ki adalah konstanta yang dapat diubah.Untuk pembangkit kesalahan nol, nilai u(t) tetap konstan. Aksi kontrol integral biasa disebut dengan kontrol reset.

Aksi kontrol proporsional + integral / proporsional integral (PI)Aksi kontroler proporsional integral (lihat Gambar 6.4), didefinisikan dengan persamaan berikut

Gambar 6.4 Diagram Balok Kontroler Proporsional Integral.Adapun fungsi alihnya adalah sebagai berikut:

dengan Kp penguatan proporsional dan Ti disebut waktu integral, yang keduanya dapat ditentukan. Waktu integral mengatur aksi kontrol internal sedangkan perubahan nilai Kp berakibat pada pada bagian aksi kontrol proporsional maupun integral.

Aksi Kontrol proporsional + turunan / proporsional diferensial (PD)Aksi kontroler proporsional diferensial (lihat Gambar 6.5), didefinisikan dengan persamaan berikut

U(s)E(s)

-

+

sT

sTK

i

ip )1(

85

Gambar 6.5 Diagram Balok Kontroler Proporsional Diferensial.

Fungsi alihnya adalah sebagai berikut:

dengan Kp adalah penguatan proporsional dan Td adalah konstanta yang disebut waktu turunan, keduanya dapat ditentukan.Kontoler turunan atau deferensial tidak pernah digunakan sendiri, karena hanya efektif selama periode transien.

Aksi kontrol proporsional + integral + turunan / proporsional integral diferensial (PID)Aksi kontroler proporsional diferensial integral (lihat Gambar 6.6), didefinisikan dengan persamaan

berikut

Gambar 6.6 Diagram Balok Kontroler Proporsional Integral Diferensial.

Sedangkan fungsi alihnya adalah sebagai berikut:

dengan Kp penguatan proporsional, Ti waktu integral dan Td waktu turunan.Kombinasi ini mempunyai keuntungan dibandingkan masing-masing kontroler, biasanya dengan kontroler ini didapatkan overshoot yang rendah, cepat mencapai steady state (keadaan mantap) dan error steady state (kesalahan keadaan mantap) yang kecil bahkan nol.

Selain aksi kontrol seperti yang telah disebutkan di atas, juga dikenal kompensator lead atau lag dan kompensator lag-lead. Kompensator lead yang juga disebut dengan kompensator mendahului, sedangkan kompensator lag merupakan kompensator tertinggal.

Jika suatu kompensator diperlukan untuk memenuhi spesifikasi performansi, maka perancang harus merealisasikan suatu perangkat fisik yang mempunyai fungsi alih tertentu sebagai kompensator. Kompensator biasanya merupakan perangkat listrik, pneumatik, hidraulik, atau kombinasinya dan terdiri dari rangkaian RC (listrik, mekanik, pneumatik, atau hidrolik) dan penguat.

U(s)E(s)

-

+ sTK dp 1

U(s)E(s)

-

+sT

sTTsTK

i

diip

)1( 2

86

Rangkaian penguat operasional yang mungkin digunakan sebagai kompensator dapat dilihat dalam Tabel 6.1.

Tabel 6.1 Rangkaian Penguat Operasional sebagai Kompensator

6.2 Prosedur PerancanganBagian terpenting dalam merancang sistem kontrol adalah menyatakan spesifikasi performansi

secara tepat sedemikian rupa sehingga akan didapatkan sistem kontrol sesuai dengan tujuan yang diinginkan.Pendekatan yang digunakan adalah merancang dan mengkompensasikan sistem kontrol linier

parameter konstan satu masukan satu keluaran. Kompensasi merupakan pengaturan suatu sistem agar spesifikasi yang diinginkan dipenuhi.

Pendekatan coba-coba dalam merancang sistem adalah dengan menyusun model matematik sistem kontrol dan mengatur parameter kompensator. Pengecekan spesifikasi performansi dengan analisis untuk setiap pengaturan parameter memerlukan waktu yang lama.

Setelah model matematik didapat, perancang harus membuat prototipe dan menguji sistem loop terbukanya. Jika kestabilan mutlaknya terjamin, perancang lalu menutup loop tersebut dan menguji performansi sistem loop tertutup yang didapat. Karena pengabaian efek pembebanan pada komponen-komponennya, ketidaklinieran dan sebagainya yang tidak diperhitungkan pada awal perancangan, maka performansi sistem yang sebenarnyan kemungkinan berbeda dari ramalan teoritisnya. Sehingga dalam perancangan pertama kemungkinan belum memenuhi semua persyaratan performansi. Dengan coba-coba perancang harus mengubah prototipe tersebut sampai sistem yang diperoleh memenuhi spesifikasi yang diinginkan. Dalam menyelesaikan ini, perancang harus menganalisis setiap percobaan, dan hasil analisisnya

87

harus digunakan pada percobaan berikutnya. Perancang harus melihat bahwa sistem akhir yang diperoleh memenuhi spesifikasi performansi, andal dan ekonomis.

Pada umumnya diinginkan bahwa sistem yang dirancang harus menghasilkan kesalahan-kesalahan sekecil mungkin dalam menanggapi sinyal masukan. Dalam hal ini, redaman sistem harus wajar dan dinamika sistem harus relatif tidak sensitif terhadap perubahan kecil dalam parameter sistem. Gangguan-gangguan yang tidak diinginkan harus dapat diperlemah dengan baik.

DAFTAR PUSTAKA

Cheever, E. 2005. Asymptotic Bode Diagram, (online), (http://www.swarthmore.edu diakses 15 September 2006).

Dorf, R.C., Bishop R.H. 2004. Modern Control Systems (10th ed.). Prentice Hall Inc.

Kuo, B.C. 2002. Automatic Control Systems (8th ed.). New York. John Wiley & Sons.

Ogata, K. 1996. Teknik Kontrol Automatik (edisi kedua). Terjemahan oleh Edi Laksono. Jakarta. Erlangga.

Ogata, K. 2001. Modern Control Engineering (4th ed.). Prentice Hall Inc.

Pakpahan, S. 1999. Kontrol Otomatik; Teori dan Penerapan. Jakarta.. Erlangga.

Phillips, C.L. & Royce D. 1996. Feedback Control Systems (3rd ed.). Englewood Cliff. Prentice Hall Inc.

Shinners S.M. 2001. Advanced Modern Control System Theory and Design. (3rd ed.). New York.

John Wiley & Sons.

Erni Yudaningtyas, dilahirkan di Wlingi pada tanggal 13 September 1965, sejak tahun 1989 hingga sekarang menjadi dosen di Jurusan Teknik Elektro Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Malang. Tahun 1990-an pernah mengajar di berbagai perguruan tinggi swasta di kota Malang. Selama menjadi dosen pernah menjabat sebagai Wakil Kepala Laboratorium Pengukuran periode 1989-1992, Wakil Kepala Laboratorium Sistem Kontrol periode 1999-2004, dan Kepala Laboratorium Sistem Kontrol periode 1999-2004 di Jurusan Elektro Fakultas Teknik Universitas Brawijaya. Pada tahun 2007 mendapatkan penghargaan Satya Lancana Karya Satya 10 tahun dari Presiden Republik Indonesia.Pendidikan di Taman Kanak-Kanak Bhayangkari Blimbing Malang, SD Negeri Blimbing II (sekarang Blimbing III) Malang, SMP Negeri 3 Malang, SMA Negeri 1 Malang, dan Jurusan Teknik Elektro Universitas Brawijaya Malang. Pada tahun 1996-1999 menempuh pendidikan di Pasca Sarjana Jurusan Sistem Pengaturan Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya dan sekarang sedang menempuh pendidikan di Program Doktor Ilmu Kedokteran Minat Teknologi Kedokteran Universitas Brawijaya Malang.

ISBN: 978-602-8692-01-4

88

http://www.swarthmore.edu/

89

Pengenalan Konsep Sistem Pengaturan Sep07

Documents