Pengenalan Bilangan Kompleks

PENGENALAN BILANGAN KOMPLEKSMisalkan sebuah persamaan aljabar x2 = 4, maka solusi persamaan adalah

, hasil persamaan diatas memberikan nilai yang ril. Contoh-contoh bilangan ril antara lain 2, -2, ¾, -7/8, 0,25, - 0,3, dsb. Apabila persamaan aljabar adalah x2 = -4, maka persamaan ini tidak dapat diselesaikan dengan suatu bilangan ril, tetapi hanya dapat diselesaikan dengan memperkenalkan satuan baru yaitu satuan imajiner (khayal) ayau disebut sebagai operator imajiner dan dinyatakan dengan simbol j dengan : , dengan demikian Dengan demikian

Hasil perkalian bilangan ril dengan bilangan imajiner adalah bilangan imajinerMisal : a adalah bilangan ril, dan b adalah bilangan imajiner, maka jika c adalah perkalian a dan jb maka c = j ab ( merupakan bilangan imajiner)

Hasil penjumlahan bilangan ril dengan imajiner adalah bilangan kompleksMisal : a adalah bilangan ril, dan b adalah bilangan imajiner, maka jika c adalah penjumlahan a dan jb maka c = a + jb ( diesbut bilangan kompleks) Jadi suatu bilangan kompleks memiliki 2 komponen bilangan yaitu satu bagian bilangan ril dan satu bagian bilangan imajiner. Misalkan Z adalah bilangan kompleks dengan Z = a + jb, bilangan Z memiliki bilangan ril a dan bilangan imajiner b yang dinyatakan dengan : Re[Z] = a dan Im[Z] = b

Bilangan kompleks dapat dilukiskan dalam bidang kompleks dengan sumbu horizontal menyatakan bilangan ril dan sumbu vertikal menyatakan bilangan imajiner.

Penulisan bilangan kompleks Z = a + jb disebut sebagai bentuk rectangular

Operasi bilangan kompleks

a. Operasi penjumlahan Misalkan : Z1 = a + jb, dan Z2 = c + jd, maka : Z = Z1 + Z2 = (a + jb ) + ( c+ jd ) = ( a + c ) + j( b + d) Contoh : Z1 = 3 + j4, dan Z2 = 2 – j2, Z = Z1 + Z2 = (3+ j4 ) + ( 2 - j2 ) = ( 3 + 2 ) + j( 4 - 2 ) = 5 + j2

b. Operasi pengurangan Misalkan : Z1 = a + jb, dan Z2 = c + jd, maka : Z = Z1 - Z2 = (a + jb ) - ( c+ jd ) = ( a - c ) +-j( b - d) Contoh : Z1 = 3 + j4, dan Z2 = 2 – j2, Z = Z1 + Z2 = (3+ j4 ) - ( 2 - j2 ) = ( 3 - 2 ) + j( 4 – (- 2 )) = 1 + j6

c. Operasi perkalian Misalkan : Z1 = a + jb, dan Z2 = c + jd, maka : Z = Z1 . Z2 = (a + jb ) ( c+ jd ) = (a.c) + j( a.d) + j(b.c) – (b.d) Contoh : Z1 = 3 + j4, dan Z2 = 2 – j2, Z = Z1 + Z2 = (3+ j4 ) ( 2 - j2 ) = (3.2) - j(3.2) + j(4.2) +(4.2) = 14 - j2

Penulisan Bilangan Komplek dalam bentuk elsponensialBerdasarkan identitas euler bahwa : Misalkan Z adalah bilangan ril positif, maka : = a + jbAda dua komponen bilangan diatas yaitu bilangan ril dan bilangan imajiner . Jadi bilangan tersebut merupakan bilangan kompleks karena memiliki dua buah komponen.. Sudut dapat dicari melalui hubungan :

Besarnya bilangan Z adalah : Contoh :Diketahui sebuah bilangan kompleks Z = 4 + j2 , ubahlah dalam bentuk bilangan eksponensial.Jawab :

Z = 4 + j2

Jadi dalam bentuk eksponensial adalah :

Penulisan Bentuk Bilangan Polar

Bilangan komplek dapat dituliskan dalam bentuk polar sebagai berikut : , dengan dan dicari dengan cara yang sama seperti pada bahasan bilangan eksponensial sebelumnya.

Contoh soal:1. Diketahui sebuah bilangan kompleks dalam bentuk rektangular adalah : Z = 3 + j4, ubahlah dalam bentuk polarJawab :

2 Diketahui bilangan kompleks dalam bentuk polar . Ubahlah dalam bentuk rektangular Jawab :

Operasi Pembagian bilangan polar

Misalkan : dan , maka :

Operasi Perkalian bilangan polar

Misalkan : dan , maka :

Contoh : Diketahui : dan Tentukanlah pembagian dan perkalian dari kedua bilangan diatas

Jawab :

Rangkaian Listrik Arus Bolak Balik

Elemen-elemen Rangkaian Listrik

Pada dasarnya beban-beban listrik ( motor-motor listrik, heater, lampu, arc furnace, dsb ) direpresentasikan sebagai elemen-elemen pasif yang terdiri dari resistansi, induktansi dan kapasitansi;

Gambar Simbol-simbol R, L, dan C

Elemen – elemen aktif berupa sumber tegangan dan sumber arus listrik.

Gambar Simbol Sumber tegangan arus bolak balik & sumber arus

ResistansiResistansi merupakan elemen pasif rangkaian listrik berupa resistor (tahanan)

yang akan mengubah energi listrik menjadi energi panas, oleh karena itu resistansi dinyatakan sebagai bilangan ril (nyata).

ReaktansiReaktansi merupakan elemen pasif rangkaian listrik yang dapat berupa

induktor atau kapsitor. Kedua elemen ini memiliki sifat hanya menyimpan energi listrik dan melepaskannya kembali, sehingga reaktansi dinyatakan sebagai bilangan khayal (imajiner). Reaktansi yang bersifat induktif disebut reaktansi induktif, dengan nilai dinyatakan sebagai berikut : (ohm)

Sedangkan reaktansi kapasitif dinyatakan sbagai berikut :

(ohm)

ImpedansiSuatu rangkaian elemen-elemen pasif R, L dan C dinyatakan sebagai suatu

impedansi Z yang memiliki komponen bilangan ril dan imajiner.

dengan R = resistansi dan X = reaktansi (ohm) untuk reaktansi induktif (ohm), untuk reaktansi kapasitif)Dengan XL = reaktansi induktif Xc = reaktansi kapasitif

Reaktansi induktif Reaktansi kapasitif Impedansi dapat dituliskan dalam bentuk polar

Sudut dapat dicari melalui hubungan-hubungan sebagai berikut :

Contoh-contoh soal

1. Tentukanlah nilai reaktansi dari masing-masing induktor 3 mH dan kapasitor 2mF jika kedua elemen tersebut terhubung dengan sumber tegangan 220 Volt , 50 Hz.

Jawab :

2. Tentukanlah impedansi-impedansi dari rangkaian listrik terdiri dari elemen –elemen Resistansi dan reaktansi (satuan dalam ohm) dibawah ini.

. Jawab

a.) R = 2 ohm,

b) XL = j 4 ohm

c) Xc = -j 2

d) Z = R + jXL = 3 + j4

e) Z = R – jXc = 3 - j4

e) Z = R + jXL – jXc = R +j(XL – Xc ) = 3 + j(4-2) = 3 + j2

Sunber tegangan AC

Sumber tegangan AC dinyatakan dalam bentuk persamaan :

Penyelesaian rangkaian arus bolak balik

Suatu impedansi Z = R + jXL , terhubung dengan sumber arus bolak balik Vs

= Vmax sin t, maka arus yang mengalir dalam rangkaian adalah :

Misalkan : Vs = 100 sin t , dan Z = 3 + j4 ohmMaka :

Contoh soal :Diketahui sebuah rangkaian paralel sebagai berikut :

Dengan : Vs = 50 sin t R = 4 ohm jXL = 5 ohm -jXc = 10 ohm

Tentukan arus totas yang ditarik dari sumber tegangan.

Jawab Misalkan :

Daya Arus Bolak Balik

Misalkan suatu beban listrik Z = R + jX terhubung dalam sumber tegangan 1 fasa seperti terlihat dalam gambar dibawah ini.

Diagram vektor beban terlihat dalam gambar dibawah ini :

Dari gambar diatas diperoleh :

, dikenal sebagai faktor daya beban

Dari diagram vektor beban terlihat ada 3 jenis daya yaitu daya akibat resistansi R (daya aktif), daya akibat reaktansi X (daya reaktif) dan daya akibat impedansi Z ( daya semu )

- Daya aktif dinyatakan dalam persamaan : (Watt)

- Daya aktif dinyatakan dalam persamaan :

(Var)

- Daya semu dinyatakan dalam persamaan ( VA)

Nilai – nilai tegangan dan arus merupakan nilai efektifnya (rms). Dengan :

Catatan : Harga-harga tegangan dan arus yang terukur oleh volt meter dan ampere meter sudah merupakan harga efektifnya (rms)

Contoh : 1. Diketahui sebuah tegangan memenuhi persamaan sebagai berikut : V = 311 sin t volt

Terhubung dengan sebuah impedansi beban Z = 30 + j40 ohm, tentukanlah daya yang diakibatkan oleh beban tersebut.

Jawab : V = 311 sin t , Vmax = 311 volt ( tegangan puncaknya )

volt

2. Jika sebuah beban listrik dengan impedansi Z dilakukan pengkuran sbb : - Tegangan terukur 220 volt - Arus terukur 4,4 Ampere - faktor daya terukur 0,6 Hitunglah daya pada beban tersebut

Jawab : Nilai – nilai yang diperoleh dari hasil pengukuran merupakan harga efektifnya

(rms), maka : Vrms = 220 Volt , Irms = 4,4 Ampere, cos = 0,6

= 220 (4,4) = 968 VA

Hubungan segitiga daya

Ketiga buah jenis daya dalam sistem tenaga listrik dapat digambarkan dalam bentuk vektor seperti terlihat dalam gambar dibawah ini.

S dinyatakan sebagai bilangan kompleks:

Contoh :

Diketahui daya beban : P = 580,8 Watt dengan faktor daya 0,6 tentukanlah daya reaktif dan daya semunya.

Jawab :

Dalam bentuk kompleks : S = 580,8 + j774,4 ( rektangular ) ( polar)

Daya LaggingDaya dikatakan lagging (tertinggal) jika fasa arus tertinggal dari fasa tegangan sejauh sudut derajat listrik, hal ini berlaku untuk beban – beban induktif.Misal : suatu beban induktif dinyatakan sebagai impedansi : Terhubung dengan sumber tegangan V = Vmax sin t = Maka arus listrik :

Terlihat bahwa fasa arus tertinggal dari fasa tegangan sejauh sudut derajat listrik .

Terlihat bahwa daya lagging merupakan beban induktif

Daya LeadingDaya dikatakan leading (mendahului) jika fasa arus mendahului dari fasa tegangan sejauh sudut derajat listrik, hal ini berlaku untuk beban – beban kapasitifMisal : suatu beban kapasitif dinyatakan sebagai impedansi : Terhubung dengan sumber tegangan V = Vmax sin t = Maka arus listrik :

Terlihat bahwa fasa arus mendahului dari fasa tegangan sejauh sudut derajat listrik .

Terlihat bahwa daya lagging merupakan beban kapasitif Perbaikan faktor daya

Pada beban-beban listrik induktif yang memiliki faktor daya (cos ) rendah seperti pada motor-motor listrik dan lampu TL, maka faktor daya dapat dinaikkan melalui penambahan kapasitor bank pada sisi beban.

Misalkan sebuah beban listrik memiliki daya : , dengan Selanjutnya faktor daya tersebut ingin diperbaiki menjadi , dengan menambahkan kapasitor bank disisi beban. Dengan mengganggap daya nyata konstan ( P =P1 = P2 ), maka daya yang baru pada beban menjadi : Besarnya kapasitor bank yang dibutuhkan adalah :

Dengan demikian besarnya kapasitor bank adalah :

Besarnya C yang dipasang adalah

C = Qc / - V2 W