Pengantar statistika slide 2

VARIAN DAN

STANDAR

DEVIASI

(SIMPANGAN

BAKU)

Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

Simpangan Baku

Istilah simpangan baku pertama kali diperkenakan

oleh Karl Pearson pada tahun 1894, dalam

bukunya On the dissection of asymmetrical

frequency curves.

Dalam statistika dan probabilitas, simpangan

baku atau deviasi standar adalah ukuran sebaran

statistik yang paling lazim. Singkatnya, ia

mengukur bagaimana nilai-nilai data tersebar. Bisa

juga didefinisikan sebagai, rata-rata jarak

penyimpangan titik-titik data diukur dari nilai rata-

rata data tersebut.

Varian

Nilai varian diperoleh dari pembagian hasilpenjumlahan kuadrat (sum of squares) denganukuran data (n).

Namun dalam penerapannya, nilai varian tersebutbias untuk menduga varian populasi. Denganrumus tersebut, nilai varian populasi lebih besar darivarian sampel.

Oleh karena itu, agar tidak bias dalam mendugavarian populasi, maka n sebagai sum of squaresdiganti dengan n-1 agar nilainya menjadi lebih besardan mendekati varian populasi.

Simpangan Baku

Simpangan baku didefinisikan sebagai akarkuadrat varians.

Jadi jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebutdiketahui maka akan diketahui juga nilai ukuran yang lain.

Simpangan baku merupakan bilangan tak-negatif, dan memiliki satuan yang sama dengan data. Misalnya jika suatu data diukur dalam satuan meter, maka simpangan baku juga diukur dalam meter.

2ss

Simpangan Baku

Simpangan baku untuk populasi disimbolkandengan σ (sigma) dan didefinisikan dengan rumus:

Simpangan baku untuk sampel disimbolkandengan s dan didefinisikan dengan rumus:

dimana x adalah nilai data dari sampel dan x adalahrata-rata dari sampel.

Perhitungan

Untuk mempermudah penghitungan, rumus variandan standar deviasi (simpangan baku) tersebutbisa diturunkan :

Rumus varian :

Rumus Simpangan Baku (Standar Deviasi) :

Keterangan:s2 = varians = simpangan bakuxi = nilai x ke-Ix = rata-ratan = ukuran sampel

Contoh Perhitungan

Misalkan dalam suatu kelas, tinggi badan beberapasiswa yang dijadikan sampel adalah sebagai berikut.

172, 167, 180,170, 169, 160, 175, 165, 173, 170

Dari data tersebut dapat dihitung varian denganmenggunakan rumus varian di atas.

Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan30,22.Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standardeviasi (simpangan baku) dengan caramengakarkuadratkan nilai varian.

PERMUTASI

DAN

KOMBINASI

Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

Faktorial (!)

Faktorial bilangan asli n adalah perkalian semua bilanganasli yang kurang atau sama dengan n. Faktorialdilambangkan dengan tanda !. Jadi jika n!, maka dibaca "n faktorial".

n! = 1 x 2 x … x (n-2) x( n-1) x n

0! = 1

1! = 1

2! = 1 × 2 = 2

3! = 1 × 2 × 3 = 6

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

Faktorial biasa digunakan untuk menghitung banyaknyasusunan yang dapat dibentuk dari sekumpulan benda tanpamemperhatikan urutannya.

Faktorial (!)

Contoh:Empat buah lukisan A, B, C dan D akan dipajangberurutan pada sebuah dinding pameran. Berapakahjumlah susunan yang dapat dibentuk dari keempatlukisan tersebut?

Jawab:

Karena jumlah lukisan yang akan dibentuk susunannyaadalah 4 maka jumlah susunan yang bisa dibentukadalah 4!

4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Jadi jumlah susunan yang dapat dibentuk adalah 24 susunan. Ke-24 susunan tersebut adalah sebagaiberikut.

ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA.

Permutasi

Permutasi adalah susunan yang dapat dibentuk darisuatu kumpulan benda yang diambil sebagian atauseluruhnya.

Permutasi menggabungkan beberapa objek dari suatugrup dengan memperhatikan urutan. Dalam permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Lambang permutasi adalah P. n permutasi r, berarti

Contoh: Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masingberwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anakditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak danurutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasiyang terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapaobjek dari suatu kumpulan tanpa memperhatikanurutannya. Oleh karena itu, kombinasi berbedadengan permutasi, dimana letak perbedaannyaadalah susunan yang tidak diurutkan. Padakombinasi, susunan XY sama saja dengan YX.

Lambang kombinasi adalah C. n kombinasi r, berarti .

Rumus penghitungan kombinasi adalah sebagaiberikut.

Kombinasi

Contoh Penghitungan

Misalkan dalam suatu tim terdapat 4 orang alhli statistikyang sedang melakukan proyek survey. Dalam proyeksurvey tersebut dibutuhkan 2 orang ahli statistik yang untuk sementara ditugaskan membantu bagian entry data. Dua orang tersebut diambil dari 4 orang ahlistatistik tadi.

Banyaknya cara memilih 2 orang dari 4 orang (A,B,C,D) tersebut dihitung menggunakan rumus kombinasi, dimana nilai r = 2 dan nilai n = 4.

Jadi, ada 6 kombinasi yaitu : A-B, A-C, A-D, B-C, B-D, dan C-D

Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalahdigunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.

PELUANG

(PROBABILITAS)

Rani Chahyani Ansar, S.Si, M.Si

Pendahuluan

Prediksi kejadian sangat diperlukan dan diminati dalamberbagai bidang kehidupan. Seperti peramalan cuaca, penelitian ilmiah, permainan, bisnis, dll.

Ruang contoh : Himpunan semua kemungkinan hasilsuatu percobaan, dan dilambangkan dengan huruf S.

S = {1,2,3,4,5,6} adalah kejadian angka pada sebuahdadu.

Kejadian : suatu himpunan bagian dari ruang contoh.

S = {merah, jingga, kuning}

A = {merah} adalah kejadian sederhana

B = {jingga U kuning} = {jingga, kuning} adalah kejadianmajemuk

Konsep Probabilitas

Pandangan Klasik /intuitif

Pandangan Empiris / Probabilitas Relatif

Pandangan Subyektif

Probabilitas Klasik/Intuitif

Didalam pandangan klasik ini probabilitas/peluang adalah harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan bahwa suatu peristiwa terjadi, diantara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi

Contoh : Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (gambar dan angka), kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali maka peluang untuk keluar sisi gambar adalah 1/2.

Probabilitas Empiris / Relatif

Dalam pandangan ini probabilitas berdasarkanobservasi, pengalaman atau kejadian(peristiwa) yang telah terjadi.

Contoh:

Dari 10.000 hasil suatu produksi100 rusak P(rusak) = 1% = 0,01

Upah (Rp 1000) Jumlah %

200 - 499 90 30

500 - 749 165 55

750 - 999 45 15

Probabilitas Subyektif

Didalam pandangan subyektif probabilitas

ditentukan oleh yang membuat pernyataan

Seorang direktur rumah sakit menyatakan

keyakinannya ( 90%) bahwa rumah sakit yang

dipimpinnya akan dapat mulai swadana ( break

event point) lima tahun kedepan.

Kebenaran dari probabilitas subyektif ini sangat

tergantung kepada orang yang menentukannya

Pengertian

Probabilitas adalah harga perbandingan jumlah

kejadian (A) yang mungkin dapat terjadi

terhadap (N) jumlah keseluruhan kejadian yang

mungkin terjadi dalam sebuah peristiwa.

P(A) = Peluang

n(A) = Peluang kejadian A

n(N) = Peluang seluruh kejadian

Contoh

Berapakah peluang munculnya angka ganjil

pada pelemparan sebuah dadu?

Answer:

Peluang munculnya angka ganjil pada tiap

lemparan adalah 1,3, dan 5. Maka :

Keterkaitan Antar Kejadian

Hubungan atau

Peluang akan semakin besar

Contoh:

Peluang munculnya angka 3 atau 4 pada pelemparan sebuahdadu adalah :

Hubungan dan

Peluang akan semakin kecil

Peluang munculnya angka 3 dan 4 pada pelemparan sebuahdadu adalah :

Kaidah Penjumlahan

Bila A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka :

Contoh:

Peluang seorang mahasiswa lulus statistika adalah 2/3 dan

peluang lulus matematika adalah 4/9. Peluang sekurang-

kurangnya lulus salah satu pelajaran tersebut adalah 4/5.

Berapa peluang lulus kedua pelajaran tersebut?

Kaidah Penjumlahan

Bila A dan B adalah dua kejadian terpisah, maka :

example :

Dari pelemparan 2 buah dadu, A adalah kejadian munculnya jumlah 7 dan

B adalah kejadian munculnya angka 11. Kejadian A dan B adalah saling

terpisah karena tidak mungkin terjadi bersamaan. Berapa peluang jumlah

7 atau jumlah 11?

p(A) = 1/6 p(B)=1/18

Kaidah Penjumlahan

Bila A dan A’ adalah dua kejadian yang satu

merupakan komplemen lainnya, maka :

Example:

Peluang tidak munculnya angka 3 pada

pelemparan sebuah dadu adalah:

Peluang Bersyarat

Adalah peluang dengan suatu syarat kejadian

lain.

Contoh : Peluang terjadinya kejadian B bila diketahui

suatu kejadian A telah terjadi.

Dilambangkan : P(B|A)

Didefinisikan :

Contoh : Populasi sarjana berdasarkan jenis kelamin

dan status pekerjaan.Bekerja Menanggur

Laki-Laki 300 50

Perempuan 200 30

Peluang Bersyarat

Kejadian-kejadian

A = yang terpilih laki-laki

B = yang telah bekerja

Jawaban :

Peluang Bersyarat

Peluang bersyarat untuk kejadian bebas, kejadian satu tidak berhubungan dengankejadian lain.

P(B|A) = P(B) atau P(A|B) = P(A)

Contoh :Percobaan pengambilan kartu berturut dengan

pengembalian.

A : Kartu pertama Ace

B : Kartu kedua sekop

Karena kartu pertama kemudian dikembalikan, ruangcontoh untuk pengembalian pertama dan kedua tetapsama yaitu 52 kartu yang mempunyai 4 ace dan 13 sekop.

Peluang Bersyarat

Jawab :

atau

Jadi A dan B adalah kejadian yang saling bebas.

Kaidah Penggandaan

Bila dalam suatu percobaan kejadian A dan B keduanya dapat terjadi sekaligus, maka

Contoh :

A : kejadian bahwa sekering pertama rusak.

B : kejadian bahwa sekering kedua rusak.

: A terjadi dan B terjadi setelah A terjadi

Kaidah Penggandaan

Peluang mendapatkan sekering rusak pada

pengambilan pertama adalah ¼ dan peluang

mendapatkan sekering rusak pengambilan

kedua adalah 4/19. Jadi :

Kaidah Penggandaan

Bila dua kejadian A dan B bebas, maka

Contoh:

A dan B menyatakan bahwa mobil pemadamkebakaran dan ambulans siap digunakan, maka:

P(A) = 0.98

P(B) = 0.92

A dan B saling bebas.

Kaidah Bayes

Jika kejadian-kejadian B1, B2, …, Bk merupakan

sekatan dari ruang contoh S dengan P(Bi) != 0,

untuk i = 1, 2, …, k; maka untuk sembarang

kejadian A yang bersifat P(A) != 0.

untuk r = 1, 2, …, k

)|()()2|()2()1|()1(

)|()()|(

BkAPBkPBAPBPBAPBP

BrAPBrPABrP

Kaidah Bayes

Contoh Tiga anggota organisasi A telah dicalonkan sebagai ketua.

Peluang Pak Andi terpililih adalah 0.4. Peluang Pak Budi terpilih adalah 0.1. Peluang Pak Dedi terpilih adalah 0.5. Seandainya Pak Andi terpilih kenaikan iuran anggota 0.5, Pak Budi dan Pak Dedi masing-masing 0.3 dan 0.4 Berapapeluang Pak Andi terpilih setelah terjadinya kenaikan iurananggota.

Jawab:

A : iuran anggota dinaikkan

B1 : Pak Andi terpilih

B2 : Pak Budi terpilih

B3 : Pak Dedi terpilih

Kaidah Bayes

P(B1) P(A|B1) = (0.4)(0.5) = 0.20

P(B2) P(A|B2) = (0.1)(0.3) = 0.30

P(B3) P(A|B3) = (0.5)(0.4) = 0.20

285.020.030.020.0

20.0)|1( ABP