Penerapan turunan

tgxx

yy

x

y

dx

dym

12

12

dimana m = gradien dan gambar :

Y=f(x)

x1 x2 X

y2

y1

y

x

Dari pengertian :

HOME

mdx

dy(x)' f .1

12

12

xx

yy

m suatu gradien

2. Jika terdapat persamaan kurva

y = f(x) maka garis singgung kurva

pada titik singgung (x1, y1) adalah

y = mx + (y1 – mx1) dimana m = f’(x)

Maka dapat disimpulkan

HOME

3. Beberapa keadaan garis :

a. Jika gradiennya > 0, maka

keadaan garis naik.

b. Jika gradiennya < 0, maka

keadaan garis turun.

c. Jika gradiennya = 0, maka

keadaan garis mendatar.

HOME

HOME

Contoh 1:

Tentukan persamaan garis singgung

kurva y = 3x2 – 4x + 5 pada titik (1, 4)

Jawab :

m = y’ = 6x – 4

x = 1 m = 6(1) – 4 = 2

Pers. garis singgung :

y = mx + c c = y1 – mx1

y = 2x + (4 – 2.1) = 2x – 2

HOME

Jawab :

m = 3x2 – 6x

x = 2 m = 3(2)2 – 6(2) = 0

Pers. garis singgung :

y = mx + c c = y1 – mx1

y = 0.x + (2 – 0.2)

y = 2

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis singgung kurva

berikut : y = x3 – 3x2 + 6 pada titik (2, 2)

HOME

Contoh 2 :

Tentukan persamaan garis singgung kurva

y = x3+3x2+x+2 pada titik (a, 3) sejajar dengan

garis y = -2x – 5

Jawab :

y = x3+3x2+x+2 m1 = 3x2+6x+1

y = -2x – 5 m2 = -2 m1= m2= -2

x = a m1 = -2

3a2+6a+1= -2

3a2+6a+3= 0 a = -1 titik singgung (-1, 3)

a2+2a+1= 0

(a +1)(a+1) = 0

HOME

m = -2 dan titik singgung

(-1, 3) y = mx + (y1 – mx1)

y = -2x + [3 – (-2)(-1)]

y = -2x + 1

HOME

4. Hubungan kurva dengan garis singgung

kurva :

1. Jika garis singgung kurva

bergradien > 0, maka kurva naik.


bergradien < 0, maka kurva turun.


bergradien = 0, kurva pada titik

singgungnya mencapai stasioner

(tidak naik dan tidak turun /mendatar)

5. Beberapa keadaan di sekitar titik

stasioner pada kurva :

1. f’(x1) + 0

Keadaan / \

Berarti titik stasionernya maksimum di

(x1, f(x1)), maka Nilai maksimum fungsi

adalah ymaks= f(x1)

Bentuk gambarnya

HOME

2. f‘(x2) 0 +

Keadaan \ /

Berarti titik stasioner minimum di titik

(x2, f(x2)).

Maka nilai minimum fungsi adalah :

ymin = f(x2)

Bentuk gambarnya

HOME

HOME

4.f‘(x2) 0

Keadaan \ \

Bentuk gambarnya

berarti titik stasioner merupakan titik

belok di titik (x4, f(x4))

2. f‘(x2) 0 +

Keadaan \ /

Berarti titik stasioner minimum di titik

(x2, f(x2)).

Maka nilai minimum fungsi adalah :

ymin = f(x2)

Bentuk gambarnya

HOME

HOME

Gambarlah persamaan kurva berikut ini :

y = x3 - 6x2 + 9x – 1Jawab :

m = y’= 3x2 – 12 x + 9 = 0

x2 – 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

x1=1, x2 = 3

y1 = x3 - 6x2 + 9x – 1

= 1 – 6 + 9 – 1

= 3

y2 = x3 - 6x2 + 9x – 1

= 27 – 54 + 27 – 1

= - 1

HOME

x 1 3

m + - +

Titik stasioner min.

Titik stasioner maks.( 1 , 3 )

( 3 , - 1 )

Pengertian

Fungsi naik dan fungsi turun

Latihan soal

Ilustrasi pengertian

Ilustrasi fungsi naik dan turun

Y=f(x)

HOME

m = tg α

m = f ‘ (x)

dan gambar :

Y=f(x)

x1 x2 X

y2

y1

y

x

Dari pengertian :

HOME

xxx 310

55

3

10 23

031110 2 xx

3/5 1/2

+ - +

Jadi fungsi f(x) naik pada

interval x < 3/5 atau x > 1/2

xxx 310

55

3

10 23

031110 2 xx

3/5 1/2

+ - +

Jadi fungsi f(x) naik pada

interval ½ < x < 3/5

Penggunaan turunan

Latihan soal

HOME

Merancang dan menyelesaikan model matematika

dari soal yang berhubungan dengan nilai

maksimum dan minimum:

Dalam kehidupan sehari-hari sering sekali, anda

dihadapkan pada persoalan nilai maksimum dan

nilai minimum seperti menentukan luas terbe –

besar, harga termurah, lintasan terbesar, dan kasus

lain serupa. Metode nilai maksimum dan nilai

minimum merupakan salah satu cara untuk

menyelesaikan persoalan-persoalan tersebut.

Untuk menyelesaikan nilai maksimum dan

minimum Rumus yang digunakan adalah : f’(x) = 0

HOME

3

6

Luas ?

X

Y

62136

yxyx

0

(x, y)

y

x = 6 – 2y

Ilustrasi menentukan luas maksimum suatu daerah

Luas ?

Berapakah luas

maksimum daerah

yang diarsir ?

Jawab :

HOME

Luas dalam fungsi y = L(y)

= x.y

= (6 – 2y)y

= 6y – 2y2

Syarat ekstrim : f’(y) = 0

6 – 4y = 0

y = 3/2

y = 3/2 L(y) = (6 – 2y)y

= [6 – 2(3/2)] (3/2)

= 3(3/2) = 9/2

Jadi luas maksimum = 9/2 satuan luas

HOME

Kecepatan dan percepatan:

Untuk fungsi yang menyatakan sebagai jarak umumnya

disimbolkan sebagai s(t), s satuan jarak dan t satuan waktu

maka:

Kecepatan = v(t) = s’(t)

Percepatan = a(t) = v’(t)

Kecepatan dan percepatan:

Terdapat lintasan bola yang sedang menggelinding

dengan persamaan lintasannya berbentuk

h(t) = 3t2 – 12t + 10 dengan h ketinggian bola

dalam meter dan t dalam detik.

a.Berapakah ketinggian bola pada saat 2 detik?

b.Berapakah kecepatan bola pada saat 3 detik?

c. Berapakah percepatan bola pada saat 5 detik?

d.Kapankah ketinggiannya mencapai minimum?

Jawab :

a.h(2) = 3t2 – 12t + 10

= 3(2)2 –12(2) +10

= 12 – 24 + 10

= - 2 meter

b. V(t) = h’(t) = 6t – 12

= 6(3) – 12

= 18 – 12

= 6 m/det

c. a(t) = v’(t) = 6 m/det2

d. Syarat ekstrim:

h’(t) = 0

6t – 12 = 0 t = 2 detik

Jadi ketinggian minimum

tercapai pada saat t = 2

detik.

1. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang. Tanah ini akan

dipagar untuk peternakan sapi. Pagar ka-wat yang tersedia

panjangnya 800 m. Tentukan luas maksimum peternakan

sapi itu !

2. Tinggi suatu roket setelah t detik adalah h(t)= 900t – 5t².

Tentukan tinggi maksimum roket tersebut !

3.Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari. Jika biaya

proyek per hari dinyatakan

ribu rupiah, tentukan biaya minimum proyek tersebut !

)60200

3(x

x

Penerapan turunan

Documents