PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA DUA ...digilib.unila.ac.id/27632/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 4.2.3 Pendugaan Parameter α dan γ ... kejadiannya dengan

(Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2016)

(Skripsi)

Oleh

RASYD ROSIDI

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2017

PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA

DUA PARAMETER HOLT DAN METODE BOX-JENKINS PADA

PERAMALAN DATA DERET WAKTU TREND

ABSTRAK




Oleh

RASYD ROSIDI

Tujuan dari penelitian ini adalah menentukan metode terbaik untuk meramalkan

jumlah penumpang di Bandara Juanda dengan menggunakan metode penghalusan

eksponensial ganda dua parameter Holt dan Box-Jenkins berdasarkan nilai Mean

Square Error (MSE) terkecil.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa peramalan jumlah penumpang di Bandara

Juanda dengan menggunakan metode penghalusan eksponensial ganda dua

parameter Holt lebih baik dibandingkan dengan menggunakan metode Box-

Jenkins.

Kata kunci: Peramalan, Metode Penghalusan Eksponensial Ganda Dua Parameter

Holt, Metode Box-Jenkins.

ABSTRACT

A COMPARISON TWO PARAMETER DOUBLE EXPONENTIAL

SMOOTHING HOLT METHOD AND BOX-JENKINS METHOD IN

FORECASTING TREND TIME SERIES

By

RASYD ROSIDI

The aim of this study is to determine the best method to predict the number of

passengers at Juanda airport by using two parameter double exponential

smoothing Holt method and Box-Jenkins method based on the smallest value of

Mean Square Error (MSE).

The result showed that forecasting the number of passengers at Juanda airport by

using two parameter double exponential smoothing Holt method is more

appropriate than using Box-Jenkins method.

Key words : Forecasting, Two Parameter Double Exponential Smoothing Holt

Method, Box-Jenkins Method.




(Studi Kasus Data Penumpang Bandara Juanda 2008-2016)

Oleh

RASYD ROSIDI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar

SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMPUNG

BANDAR LAMPUNG

2017

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 14 Maret 1995 sebagai anak

pertama dari dua bersaudara pasangan bapak Amari, ST dan Ibu Ratna Juwita.

Penulis telah menyelesaikan jenjang pendidikan mulai dari Pendidikan Taman

Kanak-Kanak di TK Handayani Bandar Lampung lulus pada tahun 2001, Sekolah

Dasar (SD) Kartika II-6 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun 2007, Sekolah

Menengah Pertama (SMP) Negeri 10 Bandar Lampung diselesaikan pada tahun

2010, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) YP Unila Bandar Lampung

diselesaikan pada tahun 2013.

Pada tahun 2013 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui

jalur SNMPTN. Selama menjadi Mahasiswa, penulis pernah menjadi Anggota

Biro Dana dan Usaha HIMATIKA dan Natural Fmipa Unila periode 2014/2015.

Kemudian penulis menjadi Kepala Biro Dana dan Usaha HIMATIKA periode

2015/2016. Pada awal tahun 2016, penulis melakukan kegiatan Kuliah Praktik

(KP) selama satu bulan di Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung. Di

Tahun yang sama, pada bulan Juli 2016 penulis juga melakukan kegiatan Kuliah

Kerja Nyata (KKN) selama 40 hari di Desa Way Petay, Kecamatan Sumber Jaya,

Kabupaten Lampung Barat.

PERSEMBAHAN

Dengan segala rasa syukur kehadirat Allah SWT atas segala

nikmat dalam hidupku dan dengan segala kerendahan hati,

kupersembahkan sebuah karya kecil ini untuk:

Ayah dan Ibu tercinta yang tak henti-hentinya mendoakan

dan memberikan dukungan moril untuk kesuksesanku.

Adikku Rahma Rosita yang menjadi penyemangatku untuk

menjadi kakak yang bisa dibanggakan.

Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa, seluruh

sahabat-sahabatku

dan Almamaterku Universitas Lampung.

KATA INSPIRASI

“Sesungguhnya sesudah kesulitan ituada kemudahan. Maka

apabila kamu telah selesai dari suatu urusan kerjakanlah

dengan sungguh-sungguh urusan yang lain. Dan hanya

kepada Tuhanmulah hendaknya kamu berharap”

(Q.S. Al-Insyirah:6-8).

“Tetaplah berikhtiar dan tingkatkanlah taqwa kepada Allah

SWT, maka Allah SWT akan memudahkan setiap urusanmu”

(Rasyid Rosidi)

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat, nikmat iman

serta hidayah-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

inidengan judul “Pembandingan Metode Penghalusan Eksponensial Ganda Dua

Parameter Holt Dan Metode Box-Jenkins Pada Peramalan Data Deret Waktu

Trend” sebagai salah satu syarat meraih gelar sarjana pada Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

Dalam menyelesaikan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan dan dukungan

dari semua pihak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Untuk itu penulis

ingin menyampaikan rasa hormat dan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Drs. Nusyirwan, M.Si., selaku pembimbing I yang selalu membimbing,

memberikan arahan, ide, saran dan kritik dalam proses penyelesaian skripsi

ini.

2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku pembimbing II yang selalu memberi

dukungan dan semangat serta sabar dalam membimbing penulis dalam proses

penyelesaian skripsi ini.

3. Ibu Ir. Netti Herawati, M.Sc., Ph.D., selaku penguji yang telah memberikan

saran dan nasihatnya dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

5. Bapak Prof. Warsito, S.Si., DEA., Ph.D., selaku dekan Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam.

6. Seluruh dosen, staf, serta karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam.

7. Ayah dan Ibu yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendoakan dan

memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.

8. Teman-teman, Suyitno, Aiman, Karina, Della, Maimuri, Eka, Suci, Efrizal,

Dimas, Alfan, Musa dan teman-teman angkatan 2013 yang tidak bisa

disebutkan satu persatu, terima kasih telah menjadi teman baik di dalam

maupun diluar kampus.

9. Keluarga besar HIMATIKA yang telah banyak memberikan motivasi dan

kenangan selama di kampus.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi

sedikit harapan semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang

membaca. Aamiin.

Bandar Lampung, Juli 2017

Penulis,

Rasyd Rosidi

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ..................................................................................... vi

DAFTAR GAMBAR ................................................................................. vii

I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang dan Masalah .................................................... 1

1.2. Tujuan Penelitian ..................................................................... 2

1.3. Manfaat Penelitian.................................................................... 2

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Deret Waktu .............................................................. 3

2.2 Kestasioneran Data Deret Waktu ............................................. 3

2.3 Pemeriksaan Kestasioneran Data Deret Waktu ........................ 4

2.3.1 Uji Stasioner Data Secara Correlogram ....................... 5

2.3.2 Uji Stasioner Secara Kuantitatif .................................... 6

2.4 Metode Box-Jenkins (ARIMA) ................................................ 7

2.4.1 Model Autoregressive (AR(p)) ....................................... 8

2.4.2 Model Moving Average (MA(q)) .................................... 8

2.4.2 Model Autoregressive and Moving Average ................... 9

2.5 Prosedur Box-Jenkins ............................................................... 9

2.5.1 Identifikasi Model ARIMA ............................................. 9

2.5.2 Estimasi Model ARIMA ................................................. 11

2.5.3 Evaluasi Model................................................................ 11

2.5.4 Prediksi atau Peramalan .................................................. 12

2.6 Metode Pemulusan ................................................................... 13

2.7 Metode Pemulusan Eksponensial ............................................. 13

2.8 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Ganda

Dua Parameter dari Holt .......................................................... 15

2.8.1 Proses Inisialisasi ............................................................ 16

2.9 Kriteria Kebaikan Model.......................................................... 17

2.9.1 Mean Absolute Deviation (MAD) ................................. 18

2.9.2 Mean Absolute Percentage Error (MAPE) .................... 18

2.9.3 Mean Square Error (MSE) .................................... 19

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian .................................................. 20

3.2 Data Penelitian ......................................................................... 20

3.3 Metode Penelitian .................................................................... 21

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juanda dengan

Menggunakan Metode Box-Jenkins ......................................... 24

4.1.1 Plot Data Deret Waktu .................................................... 24

4.1.2 Identifikasi Model ........................................................... 27

4.1.3 Estimasi Parameter Model .............................................. 28

4.1.4 Evaluasi Model Box-Jenkins ........................................... 29

4.2 Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda dengan

Menggunakan Metode Pemulusan Eksponensial Ganda

Dua Parameter Holt .................................................................. 31

4.2.1 Pemeriksaan Kestasioneran Data .................................... 31

4.2.2 Pemeriksaan Kecenderungan Data .................................. 32

4.2.3 Pendugaan Parameter α dan γ ......................................... 32

4.2.4 Perhitungan nilai Pemulusan Eksponensial

Ganda Dua Parameter Holt ............................................. 35

4.2.5 Pembandingan Metode Box-Jenkins dengan

Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt..... 39

4.2.6 Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda

dengan Model Terpilih .................................................... 39

V. KESIMPULAN …………………………………………………… 41

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

1. Pola ACF dan PACF ............................................................................ 11

2. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ........................................ 20

3. Pemeriksaan Kestasioneran Data Melalui ADF .................................... 25

4. Pemeriksaan Kestasioneran Data Melalui ADF .................................... 27

5. Estimasi Parameter Model Box-Jenkins ............................................... 29

6. Correlogram Pengujian Keacakan Model ............................................ 30

7. Nilai MSE Parameter α dan γ ................................................................ 33

8. Nilai Pemulusan Jumlah Penumpang Bandara Juanda dengan

Model Terbaik ....................................................................................... 36

9. Pembandingan metode Box-Jenkins dan Pemulusan Eksponensial

Ganda Dua Parameter Holt ................................................................... 39

10. Peramalan Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ............................... 40

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Plot Data Jumlah Penumpang Bandara Juanda ..................................... 24

2. Plot Autokorelasi Data Jumlah Penumpang Bandara Juanda ............... 25

3. Plot Data Penumpang Bandara Juanda Hasil Diferensiasi ke-1............. 26

4. Correlogram Jumlah Penumpang Bandara Juanda ................................ 28

5. Pengujian Normalitas Galat ................................................................... 30

6. Plot Autokorelasi Jumlah Penumpang Bandara Juanda ......................... 31

7. Plot Kecenderungan Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda ........ 32

8. Grafik Model Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt .... 34

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang dan Masalah

Peramalan merupakan suatu teknik untuk memprediksikan suatu nilai pada masa

yang akan datang dengan memperhatikan data masa lalu maupun data saat ini.

Terdapat banyak metode peramalan yang dapat digunakan, namun tidak semua

metode peramalan yang dapat dengan tepat memprediksikan keadaan data di masa

yang akan datang. Untuk menentukan metode peramalan pada data deret waktu perlu

diketahui pola data dari data tersebut sehingga peramalan dengan metode yang sesuai

dengan pola data dapat dilakukan. Pola suatu data deret waktu dapat dibedakan

menjadi empat jenis, yaitu pola trend, pola musiman, pola siklis dan pola yang tidak

beraturan.

Untuk meminimalisir terjadinya kesalahan pada hasil peramalan yang diinginkan

maka perlu digunakan metode yang sesuai. Metode pemulusan eksponensial ganda

dua parameter Holt merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk

meramalkan data yang memuat pola trend. Sedangkan metode Box-Jenkins

merupakan metode yang dikembangkan oleh Geroge Box dan Gwilym Jenkins yaitu

metode sering digunakan dalam peramalan data deret waktu. Metode Box-Jenkins

2

mencakup proses-proses stasioner dan nonstasioner, Autokorelasi, Autokorelasi

Parsial dan lain-lain.

Dalam rangka meramalkan jumlah penumpang di Bandara Juanda, akan

dibandingkan dua metode peramalan, yaitu metode pemulusan eksponensial ganda

dua parameter Holt dan metode Box-Jenkins. Berdasarkan data yang diperoleh,

jumlah penumpang pesawat terbang di Bandara Juanda menunjukkan pola trend

sehingga metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan metode

Box-Jenkins dapat digunakan untuk meramalkan jumlah penumpang di masa yang

akan datang.

1.2 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penulisan laporan ini adalah :

1 Mengkaji metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dan

metode Box-Jenkins pada peramalan data deret waktu.

2 Membandingkan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt

dan metode Box-Jenkins pada peramalan data deret waktu.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini yaitu dapat menjadi referensi bagi pembaca apabila ingin

melakukan penelitian mengenai peramalan dengan data yang memuat trend.

II. TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Analisis Deret Waktu

Deret waktu merupakan serangkaian pengamatan terhadap suatu variabel yang

diambil dari waktu ke waktu dan dicatat secara berurutan menurut urutan waktu

kejadiannya dengan interval waktu yang tetap. Rangkaian data pengamatan deret

waktu dinyatakan dengan variabel Yt, dengan t adalah indeks waktu dari urutan

pengamatan (Wei, 2006).

2.2 Kestasioneran Data Deret Waktu

Menurut Juanda dan Junaidi (2012), data deret waktu dikatakan stasioner jika

memenuhi dua kriteria yaitu nilai tengah dan ragamnya konstan dari waktu ke waktu.

Secara statistik dinyatakan sebagai, ( ) (rata-rata yang konstan) serta Var

( ) ( ) (ragam Y konstan).

Berdasarkan nilai tengah dan ragamnya, terdapat dua jenis kestasioneran data yaitu

data stasioner pada nilai tengahnya, jika data berfluktuasi disekitar suatu nilai tengah

yang tetap dari waktu ke waktu dan data stasioner pada ragamnya, jika data

berfluktuasi dengan ragam yang tetap dari waktu ke waktu.

4

Untuk mengatasi data yang tidak stasioner pada nilai tengahnya, dapat dilakukan

proses pembedaan atau diferensiasi terhadap deret data asli. Proses diferensiasi

adalah proses mencari perbedaan antara data satu periode dengan periode

sebelumnya secara berurutan. Data yang dihasilkan disebut data diferensiasi tingkat

pertama. Selanjutnya, jika diferensiasi pertama belum menghasilkan deret yang

stasioner, dilakukan diferensiasi tingkat berikutnya. Pembedaan data diferensiasi

tingkat pertama akan menghasilkan diferensiasi tingkat kedua. Pembedaan data

diferensiasi tingkat kedua akan menghasilkan diferensiasi tingkat ketiga, dan

seterusnya.

Untuk mengatasi data yang tidak stasioner pada ragamnya, umumnya dilakukan

transformasi data asli kebentuk logaritma natural atau akar kuadrat. Data yang tidak

stasioner pada ragam dapat juga disebabkan oleh pengaruh musiman, sehingga

setelah dihilangkan pengaruh musimnya dapat menjadi data stasioner. Selanjutnya,

jika data tidak stasioner baik pada nilai tengah maupun ragamnya, dilakukan proses

diferensiasi dan transformasi Ln atau akar kuadrat.

2.3 Pemeriksaan Kestasioneran Data Deret Waktu

Terdapat dua cara untuk menguji data bersifat stasioner atau tidak, yaitu dengan cara

grafik berupa tampilan correlogram dengan nilai ACF (Autocorrelation Function),

dan PACF (Partial Autocorrelation Function) beserta nilai statistiknya, atau secara

kuantitatif berupa uji Unit Root dengan metode ADF (Dickey-Fuller Test) dengan uji

hipotesis.

5

2.3.1 Uji Stasioner Data Secara Correlogram

Uji stasioner secara correlogram dengan tampilan grafik batang berupa nilai

koefisien ACF dan PACF dari lag yang tidak lain merupakan data runtun waktu dari

jumlah penumpang Bandara Juanda Tahun 2008-2016 maupun nilai galat. Koefisien

autokorelasi menunjukan tingkat keeratan hubungan antara nilai dari variabel yang

sama untuk periode waktu yang berbeda yang disebut time lag. Pengidentifikasian

sifat stasioner data mengacu kepada penurunan nilai koefisien ACF maupun PACF,

bila nilai koefisien baik ACF maupun PACF menurun secara eksponensial seiring

dengan meningkatnya k (lag), hal tersebut menunjukan data sudah dalam kondisi

stasioner. Sebaliknya data tidak stasioner, bila nilai koefisien ACF dan PACF tidak

menurun menuju nol seiring dengan meningkatnya k.

Fungsi ACF yang dipergunakan untuk identifikasi sifat stasioner data tidak lain

adalah memberikan informasi mengenai korelasi antara data-data runtun waktu yang

berdekatan. Secara matematis, fungsi autokorelasi lag ke k ditulis sebagai:

= kovarian lag ke k / varian

( ) ( ) ( ) (2.1)

Untuk data yang bersifat stasioner, maka nilai varian akan konstan, sehingga

( ) ( ). Dengan demikian persamaan akan menjadi,

( ) ( )

(2.2)

6

2.3.2 Uji Stasioner Secara Kuantitatif

Yang dimaksud dengan pengujian sifat stasioner data secara kuantitatif adalah uji

akar-akar unit yang menggunakan metode ADF. Pengujian secara kuantitatif apakah

data deret waktu jumlah penumpang di Bandara Juanda bersifat stasioner atau tidak

stasioner, sangatlah penting agar hasil kesimpulan tidak bersifat subjektif

sebagaimana bila dalam bentuk tampilan grafik.

Pengujian dengan menggunakan metode ADF mensyaratkan data bersifat stasioner

jika hasil ADF lebih kecil dari nilai kritis 5%.

( )

(2.3)

Dengan kata lain, jika ( ) atau yang berarti data tidak bersifat

stasioner atau sebaliknya. Metode transformasi dengan cara pembedaan untuk

mengatasi data deret waktu yang tidak stasioner menjadi stasioner adalah sebagai

berikut:

(2.4)

Persamaan (2.4) merupakan model yang tidak stasioner. Dengan transformasi

pembedaan pertama, yaitu dikurangi , maka nilai rata-rata dan varian menjadi:

( ) ( ) (2.5)

7

( ) ( ) (2.6)

Tampak jelas bahwa setelah ditransformasi, baik nilai rata-rata maupun varian telah

konstan, yang berarti data ( ) sudah stasioner.

2.4 Metode Box-Jenkins (ARIMA)

Model ARIMA dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins,

dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang ditetapkan untuk

analisis deret waktu, peramalan, dan pengendalian. Model autoregressive (AR)

pertama kali diperkenalkan oleh Yule dan kemudian dikembangkan oleh Walker,

sedangkan model moving average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky. Akan

tetapi Wold-lah yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi

ARMA. Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga arah yaitu

identifikasi, efisiensi, dan prosedur penafsiran (untuk proses AR, MA, dan ARMA).

Perluasan hasil tersebut untuk mencangkup deret waktu musiman dan pengembangan

sederhana yang mencangkup proses-proses non stasioner (ARIMA). Box dan Jenkins

secara efektif telah berhasil mencapai kesepakatan mengenai informasi relevan yang

diperlukan untuk memahami dan memakai model-model ARIMA. Metode ARIMA

akan bekerja dengan baik apabila data deret berkala yang dipergunakan bersifat

dependen atau berhubungan satu sama lain secara statistik (Makridakis dkk, 1999).

8

2.4.1 Model Autoregressive (AR(p))

Model Autoregressive (AR) merupakan regresi deret Yt terhadap amatan waktu

sebelumnya Yt-k dari dirinya sendiri, untuk k = 1,2,…p. banyaknya nilai sebelumnya

yang digunakan oleh model (sebanyak p) menentukan tingkat model ini. Bentuk

umum model Autoregressive (AR)(p) adalah:

(2.7)

dengan:

Yt : nilai variabel pada waktu ke-t

αi : koefisien autoregressive, I : 1,2,3,…,p

t : nilai galat pada waktu ke-t

2.4.2 Model Moving Average (MA(q))

Model moving average pertama kali diperkenalkan oleh Slutsky. Model ini

regresinya melibatkan selisih nilai variabel sekarang dengan nilai dari variabel

sebelumnya. Model moving average disingkat sebagai MA(q), persamaannya adalah:

(2.8)

dengan:

Yt : nilai variabel pada waktu ke-t

βi : parameter model moving average (MA)

t : nilai galat pada waktu ke-t

t-q : nilai kesalahan pada saat t-q

Q : orde MA

9

2.4.3 Model Autoregressive dan Moving Average (ARMA(p,q))

ARMA(p,q) merupakan suatu model yang terdiri dari penggabungan antara model

AR dan MA. Nilai Yt tidak hanya dipengaruhi oleh nilai peubah tersebut, tetapi juga

oleh galat peubah tersebut pada periode sebelumnya. Bentuk umum model

ARMA(p,q) adalah sebagai berikut:

(2.9)

2.5 Prosedur Box-Jenkins

Untuk menentukan apakah perilaku data mengikuti pola AR, MA, ARMA atau

ARIMA dan untuk menentukan ordo AR, MA serta tingkat proses diferensiasi untuk

menjadi data stasioner. Box dan Jenkins (1982), telah mengembangkan suatu

prosedur yang dikenal dengan prosedur Box-Jenkins, yaitu

1. Identifikasi Model

2. Estimasi Parameter Model

3. Evaluasi Model

4. Prediksi atau Peramalan

2.5.1 Identifikasi Model ARIMA

Langkah pertama yang perlu dilakukan dalam membangun model adalah mendeteksi

masalah stasioner data yang digunakan. Jika data tidak stasioner pada level,

diperlukan proses diferensiasi untuk mendapatkan data yang stasioner (baik pada

level maupun pada differens), langkah selanjutnya adalah mengidentifikasi model.

10

Metode yang umum digunakan untuk pemilihan model melalui correlogram

Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autocorrelation Function (PACF).

Misalnya, jika dimiliki data deret waktu sebagai berikut , maka dapat

dibangun pasangan nilai ( ) ( ) ( ). Autocorrelation untuk

lag k (korelasi antara dengan ) dinyatakan sebagai , yaitu:

∑ ( ̅)( ̅)

∑ ( ̅)

(2.10)

Dimana = koefisien autokorelasi untuk lag k dan ̅ = rata-rata data deret waktu.

Karena merupakan fungsi dari k, maka hubungan autokorelasi dengan lagnya

dinamakan fungsi autokorelasi (Autocorrelation Function = ACF). Fungsi

autokorelasi pada dasarnya memberikan informasi bagaimana korelasi antara data-

data ( ) yang berdekatan. Selanjutnya , jika fungsi autokorelasi tersebut

digambarkan dalam bentuk kurva, dikenal dengan istilah correlogram ACF.

PACF didefinisikan sebagai korelasi antara dan setelah menghilangkan

pengaruh autokorelasi lag pendek dari korelasi yang diestimasi pada lag yang lebih

panjang. Algoritma untuk menghitung PACF sebagai berikut:

{

∑ ̂ ̂

∑ ̂ ̂

} (2.11)

dengan, ̂ : partial autocorrelation pada lag k dan adalah autocorrelation pada

lag k. pemilihan modelnya dengan ACF maupun PACF secara grafis mengikuti

ketentuan sebagai berikut:

11

Tabel 1. Pola ACF dan PACF

Model Pola ACF Pola PACF

AR(p)

Exponential, Exponential

oscillation atau sinewave

Menurun drastis pada lag

tertentu

MA(q)

Menurun drastis pada lag

tertentu



ARMA(p,q)





2.5.2 Estimasi Model ARIMA

Tahap selanjutnya dilakukan estimasi parameter model untuk mencari parameter

estimasi yang paling efisien untuk model. Pada tahap ini dilakukan pengujian

kelayakan model dengan mencari model terbaik. Model terbaik didasarkan pada

goodness of fit, yaitu tingkat signifikasi koefisien peubah independen (termasuk

konstanta) melalui uji t, uji F, maupun nilai koefisien determinasi (R2) serta dengan

menggunakan MSE.

2.5.3 Evaluasi Model

Pada tahap ini dilakukan pengujian terhadap galat model yang diperoleh. Model

yang baik memiliki galat yang bersifat acak. Analisis galat dilakukan dengan

correlogram, baik melalui ACF maupun PACF. Jika koefisien ACF maupun PACF

12

secara individual tidak bersifat acak, harus kembali ketahap sebelumnya untuk

memilih model yang lain. Pengujian signifikasi ACF dan PACF dapat dilakukan

melalui uji Ljung-Box.

2.5.4 Prediksi atau Peramalan

Tahap terakhir adalah melakukan peramalan berdasarkan model terpilih. Menurut

Assauri (1993), peramalan merupakan seni dan ilmu dalam memprediksikan

kejadian yang mungkin dihadapi pada masa yang akan datang.

Masalah dalam peramalan biasanya dibagi kedalam tiga istilah. Istilah pendek,

sedang, dan panjang dalam peramalan. Istilah pendek menyangkut kejadian yang

hanya beberapa waktu periode (hari, minggu, dan bulan) kedepannya. Lalu istilah

sedang artinya peramalannya secara luas dari satu sampai dua tahun kedepannya.

Istilah panjang sendiri dalam masalah peramalan dapat diperluas menjadi dua tahun

atau lebih (Shewhart and Wilks, 2007).

Dengan metode peramalan yang tepat, hasil peramalannya dapat dipercaya

ketetapannya. Oleh karena masing-masing metode peramalan berbeda-beda, maka

penggunannya harus hati-hati terutama dalam pemilihan metode dalam peramalan.

Untuk mengevaluasi kesalahan peramalan bisa menggunakan Mean Square Error

(MSE), Mean Absolute Error (MAE), dan Mean Absolute Percentage Error

(MAPE).

13

2.6 Metode Pemulusan Eksponensial

Pemulusan eksponensial merupakan suatu model peramalan rata-rata bergerak yang

melakukan pembobotan terhadap data masa lalu dengan cara eksponensial sehingga

data paling akhir mempunyai bobot atau timbangan lebih besar dalam rata-rata

bergerak. Metode pemulusan eksponensial telah digunakan selama beberapa tahun

sebagai suatu metode yang sangat berguna pada begitu banyak situasi peramalan.

Pada tahun 1957 C. C. Holt mengusulkan metode eksponensial yang berlaku untuk

data deret waktu yang tidak memiliki unsur trend dan musiman. Kemudian pada

tahun 1957 diusulkan suatu prosedur pemulusan eksponensial untuk data deret waktu

yang memuat pola trend yang kemudian biasa disebut metode penghalusan

eksponensial ganda dua parameter dari Holt (Makridakis, dkk., 1999).

2.7 Metode Pemulusan Eksponensial Tunggal

Metode pemulusan eksponensial tunggal dikenal juga sebagai pemulusan

eksponensial sederhana yang digunakan pada peramalan jangka pendek. Model

mengasumsikan bahwa data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang tetap, tanpa

trend atau pola pertumbuhan konsisten (Makridakis, dkk., 1999).

Rumus untuk pemulusan eksponensial tunggal adalah sebagai berikut :

( )

( )

14

( ) (2.12)

dengan:

= pemulusan eksponensial pada tahun ke-


= data pada periode waktu ke-

= konstanta pembobot pemulusan eksponensial ( )

Nilai α disebut pemulusan konstan, dalam model pemulusan eksponensial tunggal,

nilai α bisa ditentukan secara bebas, artinya tidak ada suatu cara yang pasti untuk

mendapatkan nilai α. Pemilihan nilai α dapat dilakukan dengan cara coba-coba, akan

tetapi untuk mencari nilai α yang optimal dapat dilakukan dengan bantuan software

(Brockwell, 2002).

2.8 Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter dari Holt

Pada metode pemulusan eksponensial tunggal tidak dapat digunakan untuk data yang

memuat pola trend, sehingga Holt (1957) mengembangkan metode ini dengan

memasukkan unsur trend pada persamaan tersebut yang kemudian biasa disebut

metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter dari Holt. Rumus untuk

pemulusan eksponensial ganda dari Holt adalah sebagai berikut :

( )

( )

( ) ( )

( )( ) (2.13)

15

dengan :





= nilai pemulusan unsur trend pada periode ke-

Untuk menghitung pemulusan unsur trend digunakan persamaan sebagai berikut:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (2.14)

dengan :

= konstanta pembobot pemulusan unsur trend ( )



= pemulusan unsur trend pada periode ke-


Peramalan menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dari Holt yaitu

dengan menghitung pemulusan eksponensial dan pemulusan unsur trend. Setelah

kedua faktor ditemukan nilai pemulusannya, langkah terakhir adalah peramalan data

pada periode m yang akan datang dengan rumus:

16

(2.15)

dengan :

= nilai yang ingin diramalkan



= periode waktu yang akan diramalkan

(Makridakis, dkk., 1999).

2.8.1 Proses Inisialisasi

Proses inisialisasi atau penentuan nilai awal memiliki peranan cukup penting dalam

melakukan peramalan dengan metode pemulusan eksponensial. Hal ini dapat dilihat

pada persamaan pemulusan eksponensial tunggal pada persamaan (2.12). Misalkan

untuk menghitung pemulusan periode ke depan maka

( ) (2.16)

Bila t = 1, persamaan (2.17) menjadi

( ) (2.17)

Untuk memperoleh nilai S2, S1 harus diketahui terlebih dahulu. Nilai S1 tersebut

adalah:

17

( ) (2.18)

Akan tetapi, nilai X1 dan S0 tidak ada. Begitu juga dengan nilai S1 yang harus

diketahui untuk menghitung nilai S2. Akan tetapi nilai tersebut tidak diperoleh dari

data yang ada. Oleh karena itu, diperlukan suatu cara untuk menentukan nilai S1

(nilai awal) tersebut. Banyak cara dalam menentukan nilai awal, berikut ini adalah

beberapa cara penentuan nilai awal untuk beberapa jenis metode pemulusan

eksponensial:

a. Metode pemulusan eksponensial tunggal

(2.19)

b. Metode pemulusan eksponensial ganda ( dua parameter dari Holt)

(2.20)

( ) ( )

(2.21)

(Pindyck, 1998).

2.9 Kriteria Kebaikan Model

Dalam melakukan peramalan ada beberapa metode yang digunakan untuk mencari

ramalannya. Sebuah model dengan galat peramalan terkecil tentunya akan dipilih

untuk melakukan prediksi di masa mendatang. Besarnya galat tersebut dapat dihitung

melalui ukuran galat peramalan, sebagai berikut:

18

2.9.1 Mean Absolute Deviation (MAD)

Simpangan rata-rata MAD mengukur akurasi peramalan dengan meratakan nilai

absolut galat peramalan. Nilai galat diukur dalam unit yang sama seperti pada data

aslinya.

(| 1 1| | 2 2| | 3 3| | n n|)

(∑ | t t|

) (2.22)

dengan:

n = banyaknya data yang diamati

= peramalan ke-t

= data ke-t

(Makridakis, dkk., 1999).

2.9.2 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)

MAPE digunakan untuk melakukan perhitungan perbedaan antara data asli dan data

hasil peramalan. Perbedaan tersebut diabsolutkan, kemudian dihitung ke dalam

bentuk persentase terhadap data asli. Hasil persentase tersebut kemudian didapatkan

nilai mean-nya. Suatu model mempunyai kinerja sangat bagus jika nilai MAPE

berada di bawah 10%, dan mempunyai kinerja bagus jika nilai MAPE berada di

antara 10% dan 20%. Adapun diberikan persamaan untuk menghitung MAPE yaitu:

19

(|

| |

| |

| |

|)

(∑ |

|

) (2.23)

dengan:


= peramalan ke-t

= data ke-t

2.9.3 Mean Squared Error (MSE) atau Mean Squared Deviation (MSD)

Mean Square Error merupakan salah satu metode yang digunakan untuk

menganalisis atau mengukur kesalahan metode peramalan. Pada metode ini hampir

mirip dengan metode MAD, rumus MSE adalah

(∑ | |

) (2.24)

dengan:


= peramalan ke-t

= data ke-t

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil dan semester genap tahun ajaran

2016/2017 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam, Universitas Lampung.

3.2 Data Penelitian

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data penumpang Bandara Juanda

pada tahun 2008-2016. Data tersebut merupakan data sekunder yang diperoleh dari

Badan Pusat Statistik (BPS). Data tersebut adalah sebagai berikut:

Tabel 2. Data Jumlah Penumpang di Bandara Juanda

Bulan Tahun

2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Jan 328446 331528 388819 457763 530692 624398 617838 565027 656208

Feb 282242 289383 349148 413489 494799 518487 479197 474994 571726

Mar 310829 319658 337764 436203 544229 585913 538497 501031 618357

Apr 275959 311808 405263 429024 522512 560613 510996 513301 596085

Mei 281806 337949 422810 448132 542413 590532 554213 568271 675702

Jun 281428 356683 441067 518562 528568 627701 609753 518583 523451

Jul 313235 391103 476358 529225 602625 512111 455747 608491 825715

Agt 298881 381083 367383 386770 528977 658784 743304 699259 792232

Sep 221823 308402 455251 548400 651697 682269 604342 545042 649375

Okt 340406 433271 477450 504393 586731 685386 636143 605010 718451

Nov 294919 427065 449044 516875 607904 593909 593137 587291 699285

Des 309608 417994 474367 521433 608329 624290 644533 671396 693048

21

3.3 Metode Penelitian

Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

A. Metode Box Jenkins

1. Membuat Plot data jumlah penumpang Bandara Juanda.

2. Memeriksa kestasioneran data dengan melihat grafik ACF dan uji hipotesis

ADF. Jika data tidak stasioner dilakukan proses diferensiasi pada data.

3. Mengidentifikasi model Box-Jenkins dengan menggunakan metode pemilihan

model melalui ACF dan PACF.

4. Mengestimasi parameter model Box-Jenkins terbaik melalui

a. uji signifikansi koefisien peubah independen termasuk konstanta dengan p-

value < α = 0,05

b. Kritieria nilai MSE

5. Mengevaluasi model Box-Jenkins terhadap model dengan pengujian

normalitas galat menggunakan Model Jargue-Bera.

B. Metode Pemulusan Eksponensial Ganda Dua Parameter Holt

1. Memeriksa kestasioneran data dengan melihat grafik ACF

2. Pemeriksaan kecenderungan data dengan menyajikan grafik analisis

kecenderungan. Apabila grafik analisis kecenderungan menunjukkan

kecenderungan naik atau turun, maka data memuat unsur kecenderungan.

22

3. Pendugaan parameter α dan γ untuk mengestimasi parameter model dengan

cara simulasi, yakni mensimulasikan kisaran α dan γ pada interval (0,1).

Kemudian menentukan parameter α dan γ terbaik dengan mempertimbangkan

nilai MSE.

4. Perhitungan nilai pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt dengan

cara sebagai berikut:

a. Perhitungan Mencari Nilai Pemulusan ( )

( )( )

b. Perhitungan mencari nilai trend pemulusan ( )

( ) ( )

c. Peramalan pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt

dengan:





= konstanta pembobot pemulusan unsur trend ( )



= nilai yang ingin diramalkan

= periode waktu yang akan diramalkan

C. Pembandingan Metode Box-Jenkins dan Metode Pemulusan Eksponensial

Ganda Dua Parameter Holt

23

Hasil pemilihan model yang diperoleh dari metode Box-Jenkins kemudian

dibandingkan dengan hasil yang diperoleh dari metode pemulusan eksponensial

Ganda Dua Parameter Holt. Pembandingan dilakukan dengan

mempertimbangkan nilai MSE untuk dua model tersebut.

D. Peramalan Jumlah Penumpang Bandara Juanda Dengan Model Terpilih

Melakukan peramalan penumpang di Bandara Juanda dengan menggunakan

model terpilih selama satu tahun kedepan.

V. KESIMPULAN

Kesimpulan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Metode Box-Jenkins dan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter

Holt dapat digunakan untuk meramalkan data jumlah penumpang Bandara

Juanda dikarenakan data mengandung faktor trend.

2. Model Box-Jenkins yang paling tepat dengan data adalah ARIMA (0,1,1) atau

Dengan nilai MSE sebesar 59883,12.

3. Model pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt yang paling tepat

adalah dengan parameter pemulusan α = 0,23 dan γ = 0,001. Dengan nilai MSE

sebesar 59465,56.

4. Peramalan jumlah penumpang Bandara Juanda tahun 2008 sampai 2016 lebih

tepat menggunakan metode pemulusan eksponensial ganda dua parameter Holt

karena menghasilkan nilai MSE yang lebih kecil dibandingkan metode Box-

Jenkins.

DAFTAR PUSTAKA

Assauri, S. 1984. Teknik dan Metoda Permalan. Fakultas Ekonomi Universitas

Indonesia, Jakarta.

Brockwell, J.P. and Davis, A.R.2002. Introduction to Time Series and Forecasting.

Springer, New York.

Juanda, B. dan Junaidi. 2012. Ekonometrika Deret Waktu Teori dan Aplikasi. IPB

Press, Bogor.

Makridakis, S., Wheelwright, S. C., dan McGee, V. E. 1992. Metode dan Aplikasi

Peramalan. Edisi Kedua. Terjemahan Untung Sus Andriyanto. Erlangga, Jakarta.

Makridakis, S., Spyros, and Wheelwright, S. C. 1999. Forecasting Methods and

Application. Erlangga, Jakarta.

Shewhart, W.A. and Wilks, S.S. 2008. Wiley Series in Probability and Statistics.

John Wiley & Sons, Inc., New York.

Pindyck, R. dan Rubinfeld, D. 1998. Mikroekonomi. PT. Ikar Mandiri Abadi,

Indonesia.

Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods.

Second Edition. Pearson Education Inc., Canada.

PEMBANDINGAN METODE PENGHALUSAN EKSPONENSIAL GANDA DUA ...digilib.unila.ac.id/27632/3/SKRIPSI TANPA BAB PEMBAHASAN.pdf · 4.2.3 Pendugaan Parameter α dan γ ... kejadiannya dengan

Documents