Top Banner
Pertemuan 4 PELUANG SUATU KEJADIAN
22

Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

Dec 21, 2015

Download

Documents

Peluang Suatu Kejadian
Pengantar Teori Peluang STIS
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

Pertemuan 4

PELUANG SUATU KEJADIAN

Page 2: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG SUATU KEJADIAN

Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi:0 ≤ P(A) ≤ 1P(Ø) = 0P(S) = 1

Contoh :Sebuah mata uang dilantunkan dua kali. Berapa peluangnya bahwa paling sedikit muncul muka sekali?

Page 3: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG SUATU KEJADIAN

Teorema :

Bila suatu percobaan menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama, dan bila tepat sebanyak n dari hasil berkaitan dengan kejadian A, maka peluang kejadian A adalah:

P(A) = n/N

Contoh :

Sekantung permen berisi 6 rasa jeruk, 4 rasa kopi dan 3 rasa coklat. Bila seseorang mengambil satu permen secara acak, carilah peluangnya mendapatkan :

a. Satu rasa jeruk

b. Satu rasa kopi atau coklat

Page 4: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

ATURAN PENJUMLAHAN

Teorema :

Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka:

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)

SA B

ABAB’ A’B

Page 5: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

ATURAN PENJUMLAHAN

Akibat 1: Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(AB) = P(A) + P(B)

Akibat 2: Bila A₁,A₂,A₃, …,An saling terpisah maka

P(A₁A₂….An) = P(A₁) + P(A₂) +…+P(An)

Akibat 3: Bila A₁, A₂, ….,An merupakan suatu sekatan ruang sampel S, makaP(A₁A₂…An) = P(A₁) + P(A₂)+ … +P(An)

= P(S) = 1

Page 6: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

ATURAN PENJUMLAHAN

Teorema :

Untuk tiga kejadian A, B dan C

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC)

- P(BC) + P(ABC)

Teorema :

Bila A dan A’ kejadian yang komplementer, maka

P(A) + P (A’) = 1

Page 7: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Misalnya 2 kejadian / event A dan B, dapat didefinisikan bahwa Conditional Probability / peluang bersyarat dari kejadian A given bahwa kejadian B telah muncul, dinotasikan P(A|B), didefinisikan oleh:

dan tidak didefinisikan jika P(B) = 0.

,0)()(

)()|(

BPjika

BP

BAPBAP

Page 8: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Tujuan penting dari modeling probability adalah untuk menentukan bagaimana kejadian A akan muncul dalam suatu eksperimen.

Besarnya peluang A dipengaruhi oleh kemunculan atau ketidakmunculan kejadian lain (B). Selanjutnya P(A/B) disebut ”Conditional Probability of A given B”.

Page 9: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Formula yang dapat diturunkan:

Jika P(A) dan P(B) adalah tidak nol.

Formula ini menghubungkan P(A|B) dengan P(B|A) untuk peluang tidak bersyarat P(A) dan P(B).

)()|()()|()( APABPBPBAPBAP

Page 10: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Definisi tsb. dapat digunakan untuk pendekatan frekuensi peluang.

Misalnya sebuah bilangan besar N, dan kemunculan kejadian acak untuk event A dan B, maka P[A|B] merupakan proporsi munculnya B sehingga A juga muncul:

Catatan:

NB adalah muncunya event B dalam N random eksperimen dan NAB adalah event AB

B

AB

N

NBAP )|(

Page 11: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

P(AB) = NAB /N, dan P(B) = NB /N; sehingga:

Contoh:

Sebuah eksperimen melempar 2 buah koin.

S = {(H,H), (H,T), (T,H), (T,T)}, dan diasumsikan bahwa tiap titik sama. Tentukan:

(i) Peluang 2 H given sebuah H muncul pada koin pertama

(ii) Peluang 2 H given paling sedikit satu H

)|(/

/

)(

)(BAP

N

N

NN

NN

BP

BAP

B

AB

B

AB

Page 12: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Contoh:Sebuah box berisi 100 microchips yang diproduksi oleh pabrik 1 dan sisanya oleh pabrik 2. Beberapa rusak dan beberapa baik. Sebuah eksperimen memilih sebuah microchips dari box dan menguji apakah rusak atau baik. Misal A adalah tersedianya microchips yang rusak, maka A’ adalah tersedianya microchips yang baik. Misal B adalah kejadian ”microchips diproduksi oleh pabrik 1” dan B’ adalah microchips diproduksi oleh pabrik 2”.

Page 13: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Tabel: Banyak Microchip yang rusak dan baik dari 2 pabrik

Peluang tersedianya microchip yang rusak:

20,0100

20

)(

)()(

Sn

AnAP

B B’ Total

A 15 5 20

A’ 45 35 80

Total 60 40 100

Page 14: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Jika tiap pabrik telah diberi tanda, pada saat memilih kita langsung mengetahui bahwa produk tersebut berasal dari salah satu pabrik. Jika kejadian B telah muncul maka banyaknya adalah n(B) = 60 dan peluang microchip yang rusak berasal dari pabrik 1:

25,060

15

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Page 15: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Contoh 2:

2 buah kartu diambil tanpa pengembalian dari setumpuk kartu. A1 adalah kejadian memperoleh As pada pengambilan 1 dan A2 kejadian memperoleh As pada pengambilan ke 2.

Banyak cara pengambilan seluruh kartu adalah:

52 . 51 = 2652

Page 16: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Partisi banyak cara pengambilan kartu

a. Peluang mendapat As pada pengambilan pertama dan kedua:

A1 A1’ Total

A2 4.3 48.4 51.4

A2’ 4.48 48.47 51.48

Total 4.51 48.51 52.51

51.52

3.4)( 21 AAP

Page 17: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

b. Misal seseorang menginginkan P(A₁) tanpa peduli pengambilan kedua

c. Peluang bersyarat bahwa sebuah As akan terpilih pada pengambilan kedua, dengan syarat pengambilan pertama yang muncul adalah As:

Sehingga:

52

4

51.52

51.4)( 1 AP

51

3

)51.52/()51.4(

)51.52/()3.4(

)(

)()/(

1

2112

AP

AAPAAP

51

3.

52

4)/()()( 12121 AAPAPAAP

Page 18: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

PELUANG BERSYARAT

Prosedur ini dapat dilanjutkan untuk pengambilan 3 kartu atau lebih (tanpa pengembalian)

)/()/()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP

Page 19: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

TOTAL PROBABILITY

Jika B₁, B₂, …, Bk adalah mutually exclusive dan exhaustive (B₁B₂…Bk = S)maka )(...)()( 21 kBABABAA

A

B1 B2

B3

Page 20: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

INDEPENDENT EVENT

Kejadian A muncul tidak akan mempengaruhi peluang bahwa kejadian B akan muncul, sehingga P(B/A) = P(B)

Definisi:

2 kejadian A dan B independen jika

Perbedaan dengan mutually Exclusive:

)().()( BPAPBAP

0)/( ABP

0)( ABP

Page 21: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

ATURAN BAYES

Teorema :

Misalkan kejadian B₁, B₂, …, Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel S dengan P(Bi) ≠ 0 untuk i=1,2, …,k, maka untuk setiap kejadian A anggota S

k

i

k

i

BiAPBiPABiPAP11

)|()()()(

Page 22: Peluang 4-Peluang Suatu Kejadian

ATURAN BAYES

Teorema : (Aturan Bayes)

Misalkan kejadian B₁, B₂, …, Bk merupakan suatu sekatan ruang sampel S dengan P(Bi)≠0 untuk i=1,2,…,k. Misalkan A suatu kejadian sembarang dalam S dengan P(A) ≠0

Maka

Untuk r = 1,2,...,k

k

i

k

i

BiAPBiP

BrAPBrP

ABiP

ABrPABrP

11

)|()(

)|()(

)(

)()|(