Top Banner
1. Turunkan dengan seksama dari mana persamaan pelat Penyelesaian: Dimana: Persamaan (4) dan (5) disubsitusikan ke persamaan (3): 4 w x 4 + 4 w x 2 y 2 + 4 w y 4 = q D x=0 δ Myx δy + δ Mx δx Qx=0 …( 1 ) y=0 δ Mxy δx δMy δy Qy =0 …( 2 ) z=0 δQx δx + δQy δy +q=0 …( 3 ) Qx= δ Myx δy + δMx δx …( 4 ) Qy=− δMxy δx + δMy δx …( 5 ) Mx=−D ( δ 2 w δx 2 + υ δ 2 w δy 2 ) ¿ } My=−D ( δ 2 w δy 2 +υ δ 2 w δx 2 ) ¿ } ¿¿⋯( 6 ) ¿ δ Qx δx + δQy δy +q=0
20

PELAT CANGKANG

Feb 02, 2016

Download

Documents

Perhitungan dan penurunnan sumus pelat cangkanag
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: PELAT CANGKANG

1. Turunkan dengan seksama dari mana persamaan pelat

Penyelesaian:

Dimana:

Persamaan (4) dan (5) disubsitusikan ke persamaan (3):

δ( δ Myxδy+ δ Mxδx )

δx+δ (−δ Mxyδx

+ δ Myδy )

δy+q=0

∂4w∂ x4

+ ∂4w∂ x2∂ y2

+ ∂4w∂ y4

= qD

∑ x=0⇒ δ Myxδy

+ δ Mxδx

−Qx=0 …(1 )

∑ y=0⇒ δ Mxyδx

− δ Myδy

−Qy=0 …(2)

∑ z=0⇒ δQxδx

+ δQyδy

+q=0 …(3 )

Qx=δ Myxδy

+δ Mxδx

…(4 )

Qy=−δ Mxyδx

+δ Myδx

…(5 )

Mx=−D(δ2w

δx2+υδ2w

δy2 ) ¿}My=−D(δ2w

δy2+υδ2w

δx2 ) ¿}¿¿⋯(6 )¿

δQxδx

+ δQyδy

+q=0

δ2Myxδxδy

+ δ2Mxδx2

− δ2Mxyδxδy

+ δ2Myδy2

=−q

Page 2: PELAT CANGKANG

Persamaan (6) disubsitusikan ke persamaan (7):

Maka diperolehlah :

Myx=−Mxy

δ2Mxδx2

−2δ2Mxyδxδy

+ δ2Myδy2

=−q ⋯(7 )

δ2(−D( δ2w

δx2+υδ2w

δy2 ))δx2

+

δ2(−D( δ2w

δy2+υ

δ2w

δx2 ))δx2

−2δ2D(1−υ )

δ2wδxδy

δxδy=−q

δ2(−D ( δ2w

δx2+υ

δ2w

δy2 ))δx2

+

δ2(−D ( δ2w

δy2+υ

δ2w

δx2 ))δx2

−2δ2D(1−υ )

δ2wδxδy

δxδy=−q

−Dδ2(( δ2w

δx2+υδ2w

δy2 ))δx2

+

−Dδ2(( δ2w

δy2+υ

δ2w

δx2 ))δx2

+(−D )2δ2(1−υ )

δ 2wδxδy

δxδy=−q

δ2(( δ2w

δx2+υ

δ2w

δy2 ))δx2

+

δ2(( δ2w

δy2+υδ2w

δx2 ))δx2

+2δ2(1−υ )

δ2wδxδy

δxδy=qD

⇔ δ4wδx4

+υ δ4wδx2 δy2

+ δ4wδy4

+υ δ4wδy2δx2

+(2−2υ ) δ

4wδxδy

δxδy= qD

⇔ δ4wδx4

+ δ4wδy4

+2υδ4wδy2 δx2

+ 2δ4wδy2 δx2

−2υδ4wδy2 δx2

= qD

δ4wδx4

+ 2δ4wδy2δx2

+ δ4wδy4

= qD

Page 3: PELAT CANGKANG

2. Pelat, tebal 12 cm, Fc = 30 Mpa, beban hidup 250 kg/m2. Hitung dan gambarkan Mx(max), My(max) dengan Wmax, dengan teori Hirschfeld, Navier, M. Levy, Stiglat/Wipper dan Pieper/Martins. Berikan masukan dan kesimpulan. Jika diketahui Ly = 4 m, Lx = 5 m dan kondisi perletakan sederhana.

Penyelesaian:a. Teori Hirschfeld

Beban mati (WD)Berat sendiri pelat = 0,12 x 24 = 2,88 kN/m2

Beban hidup (WL)WL = 250 Kg/m2 = 2,50 kN/m2 Beban Total (WU)WU = WD + WL = 2,88 + 2,50 = 5,38 kN/m2

Ly

Lx

ε= LyLx

=45=0 .8

k= ε 4

1+ε4= 0 .84

1+0 .84=0 ,291

I= 112bh3= 1

12(1000)(120 )3=144 x 106 mm4

E=4700√ fc '=4700√30= 25742 ,96 MPa

Page 4: PELAT CANGKANG

Arah Y

Arah X

Gambar Momen:

Lendutan

Lx = 5 m

Mx = 489,244 kgm

Ly = 4 m

762,884 kgm

P y=(1 – K)p =(1 – 0,291) 538 = 381,442 kg/m

M y=18Py Ly2=1

8381, 442 x ( 4 )2 =762,884 kgm

Px= K x p = 0,291 x 538 = 156,558 kg/m

M x=18Px Lx 2=1

8156 ,558 x (5)2=489 ,244 kgm

δ=5384

WuL4

EI

=5384

538 ( 4 )4

(23500 x 105 ) 1 ,44 x 10−4

=0 ,005299 m = 5 ,299 mm

δ= L480

= 4000480

=8 ,33 mm

Page 5: PELAT CANGKANG

δ ≤ δ = 5 ,299 mm ≤ 8 ,33 mm O .K !!

Page 6: PELAT CANGKANG

b. Metode NavierElastis Beton

Kekakuan Pelat

Lendutan Maksimx y m n a = Lx b = Ly mn

2,5 2 1 1

5 4

0,04 0,0625 1 0,2 0,25 95,1814402,5 2 3 3 0,36 0,5625 9 0,6 0,75 0,1305642,5 2 5 5 1 1,5625 25 1 1,25 0,0060922,5 2 7 7 1,96 3,0625 49 1,4 1,75 0,0008092,5 2 9 9 3,24 5,0625 81 1,8 2,25 0,0001792,5 2 11 11 4,84 7,5625 121 2,2 2,75 0,0000542,5 2 13 13 6,76 10,5625 169 2,6 3,25 0,0000202,5 2 15 15 9 14,0625 225 3 3,75 0,0000082,5 2 17 17 11,56 18,0625 289 3,4 4,25 0,0000042,5 2 19 19 14,44 22,5625 361 3,8 4,75 0,0000022,5 2 21 21 17,64 27,5625 441 4,2 5,25 0,0000012,5 2 23 23 21,16 33,0625 529 4,6 5,75 0,0000012,5 2 25 25 25 39,0625 625 5 6,25 0,000000

2,5 227 27 29,16 45,5625 729 5,4

6,750,000000

95,319174

E=6000√30=32863 ,35N /mm2=3 ,29×109 kg/m2

D= Eh3

12 (1−v2 )=

3 ,29×109×(0 ,12)3

12(1−0,22 )=493 .500 kgm

Page 7: PELAT CANGKANG

Momen Maximumx y m n a = Lx b = Ly Wmn

2,5 2 1 1

5 4

0,04 0,0625 0,001734097 0,2 0,25 0,0000910402,5 2 3 3 0,36 0,5625 2,37873E-06 0,6 0,75 0,0000011242,5 2 5 5 1 1,5625 1,10982E-07 1 1,25 0,0000001462,5 2 7 7 1,96 3,0625 1,47396E-08 1,4 1,75 0,0000000382,5 2 9 9 3,24 5,0625 3,26301E-09 1,8 2,25 0,0000000142,5 2 11 11 4,84 7,5625 9,78853E-10 2,2 2,75 0,0000000062,5 2 13 13 6,76 10,5625 3,59264E-10 2,6 3,25 0,0000000032,5 2 15 15 9 14,0625 1,52239E-10 3 3,75 0,0000000022,5 2 17 17 11,56 18,0625 7,18423E-11 3,4 4,25 0,0000000012,5 2 19 19 14,44 22,5625 3,68597E-11 3,8 4,75 0,0000000012,5 2 21 21 17,64 27,5625 2,02189E-11 4,2 5,25 0,000000000

2,5 2 23 23 21,16 33,0625 1,1714E-11 4,6 5,75 0,000000000

2,5 2 25 25 25 39,0625 7,10286E-12 5 6,25 0,0000000002,5 2 27 27 29,16 45,5625 4,47601E-12 5,4 6,75 0,000000000

0,000092376

Momen Arah X

Wmaks=16q0

π6 D

sinmπxa

. sinnπyb

m .n . (m2

a2+ n

2

b2 )2=1 ,737 mm

Page 8: PELAT CANGKANG

x y m n a = Lx b = Ly Wmn

2,5 2 1 1

5 4

0,04 0,0625 0,001734097 0,2 0,25 0,0001222542,5 2 3 3 0,36 0,5625 2,37873E-06 0,6 0,75 0,0000015092,5 2 5 5 1 1,5625 1,10982E-07 1 1,25 0,0000001962,5 2 7 7 1,96 3,0625 1,47396E-08 1,4 1,75 0,0000000512,5 2 9 9 3,24 5,0625 3,26301E-09 1,8 2,25 0,0000000192,5 2 11 11 4,84 7,5625 9,78853E-10 2,2 2,75 0,0000000082,5 2 13 13 6,76 10,5625 3,59264E-10 2,6 3,25 0,0000000042,5 2 15 15 9 14,0625 1,52239E-10 3 3,75 0,0000000022,5 2 17 17 11,56 18,0625 7,18423E-11 3,4 4,25 0,0000000022,5 2 19 19 14,44 22,5625 3,68597E-11 3,8 4,75 0,0000000012,5 2 21 21 17,64 27,5625 2,02189E-11 4,2 5,25 0,0000000012,5 2 23 23 21,16 33,0625 1,1714E-11 4,6 5,75 0,0000000012,5 2 25 25 25 39,0625 7,10286E-12 5 6,25 0,0000000002,5 2 27 27 29,16 45,5625 4,47601E-12 5,4 6,75 0,000000000

0,000124048

Momen Arah Y

Gambar Momen:

Mx=π2D [(m /a)2+υ (n/b )2] . amn sin (mπx /a) . sin (nπy /b )Mx=448 ,973Kgm

My=π 2D [(n/b )2+υ (m /n )2] . amn sin (mπx /a) . sin (nπy /b )My=602 ,9092kgm

Page 9: PELAT CANGKANG

Ly = 4 m My= 602,9092 kgm Lx = 5 m

Mx = 448,973 kgm

Page 10: PELAT CANGKANG

c. Metode M. LevyElastis Beton

Kekakuan Pelat

Lendutan Maximum

Momen Maximum

Arah X

Arah Y

E=6000√30=32863 ,35N /mm2=3 ,29×109 kg/m2

D= Eh3

12 (1−v2 )=

3 ,29×109×(0 ,12)3

12(1−0,22 )=493 .500 kgm

Wmaks= 5qa4

384D−4qa4

π5D

(−1 )m−1

2

m5.αm .tgh αm+2

2 cosh αm⇒m=1

Wmaks=5(538 )(5)4

384 (493500 )−

4(538 )54

π5 493500

(−1)1−12

15.1 ,256. tgh 1,256+22 cosh1 ,256

⇒αm=mπ (4 )2×5

=1 ,256

Wmaks=8 ,872×10−3−7 ,215×10−3=1 ,65×10−3 m=1 ,65 mm

Mx=qx (a−x )

2−qa2 π2 ∑

m=1,3,5

m2 [2υ Bm−(1−υ )Am ]sinhmπxa

Am=2(αm tanhαm+ 2¿

π5m5 cosh αm=

2(1,256 tanh1 ,256+2 )3 ,145 15 cosh1 ,256

=0 ,0106 ¿

Bm= 2

π5m5 cosh αm= 2

3 ,145 15 cosh 1 ,256=0 ,00345

Mx=(538)(2,5 )(5−2,5)2

−538(5)23 ,142(12 )[2(0,2 )0 ,00345−(1−0,2)0 ,0106 ] sinh1π 2,55

Mx=1681 ,25+2164 ,9=3846 ,15 kgm

Page 11: PELAT CANGKANG

Gambar Momen:

d. Metode Stiglat/ WipperMomen Maximum

Berdasarkan tabel 2 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:

Momen Maximum Arah X

Lx = 5 m

Mx = 3846,15kgm

Ly = 4 m -

2786,1kgm

My=υqx (a−x )

2−qa2 π2 ∑

m=1,3,5

m2 [2 Bm+(1−υ )Am ]sinhmπxa

My=0,2(538)2(4−2 )2

−(538)( 4 )23 ,142(12 ) [2(0 ,00345)+(1−0,2)0 ,0106 ]sinh1π 24

My=215 ,2−3001 ,3=−2786 ,1 kgm

υ=0,2

lxly

=54=1,25

α xf=22 ,35 ¿ }¿¿ interpolasi ¿

maxMx=538(5) .(4 )( 122,35

+ 0,237 ,55 )=538 ,74 kgm

Page 12: PELAT CANGKANG

Momen Maximum Arah Y

Gambar Momen:

LendutanK= Eh3

12 (1−μ2 )=

25742,96(0,123)12 (1−0,22)

=3,86144Mpa=386144Kgm

W=P a4(5+μ)64 K (1+μ)

=538 (22 )(5+0,2)

64 (386144 )(1+0,2)=1,509 x10−3m

e. Metode Pieper/ MartinsBerdasarkan tabel 3 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:

Ly = 4 m 382,84 kgm

Lx = 5 m

Mx = 538,74 kgm

maxMy=538(5 ).( 4 )( 137 ,55

+ 0,222 ,35 )=382 ,84 kgm

f x=17 ,95 ¿}¿¿ interpolasi ¿

Page 13: PELAT CANGKANG

Momen maximum arah X

Momen maximum arah Y

Gambar momen:

LendutanK= Eh3

12 (1−μ2 )=

25742,96(0,123)12 (1−0,22)

=3,86144Mpa=386144Kgm

W=P a4(5+μ)64 K (1+μ)

=538 (22 )(5+0,2)

64 (386144 )(1+0,2)=1,509 x10−3m

Tabel AkumulasiMetode Momen Maksimum Lendutan Keteranga

Lx = 5 m

Mx = 749,303kgm

Ly = 4 m

448,33 kgm

M xf=q . L

x2

f x=

538 . (5 )2

17 ,95=749 ,303 Kgm

M yf=q . Lx2

f y=

538 . (5)2

30=448 ,33 Kgm

Page 14: PELAT CANGKANG

(mm) W= L480

(mm) nMx (Kgm) My (Kgm)Hirschfeld 8,333Navier 8,333M. Levy 8,333Stiglat 382,84 538,74 1,509 8,333Pieper 448,33 749,30 1,509 8,333

Kesimpulan1) Momen terbesar dihasilkan oleh perhitungan dengan menggunakan metode Hirschfeld dibandingkan dengan metode yang lainnya.2) Dengan menggunakan metode Hirschfeld, konstruksi lebih aman dalam perencanaan, momen Mx dan My lebih besar dibandingkan dengan metode lainnya. Sedangkan lendutan dari perhitungan dengan menggunakan metode Hirschfeld relatif lebih kecil dari perhitungan metode lainnya.3) Dengan menggunakan momen yang besar dari hasil perhitungan metode Hirschfeld maka konstruksi tidak akan ekonomis karena jumlah tulangan pelat yang digunakan akan lebih banyak.

3. Soal 2, jika perletakan seluruh sisinya jepit. Hitung dan gambarkan Mx(max), My(max) dengan Wmax, dengan teori Hirschfeld, Stiglat/Wipper, dan Pieper /Martins. Berikan Masukan dan kesimpulan.Penyelesaian:a. Teori Hirschfeld

ε= LyLx

=45=0 .8

k= ε 4

1+ε4= 0 .84

1+0 .84=0 ,291

Page 15: PELAT CANGKANG

Beban mati (WD)Berat sendiri pelat = 0,12 x 24 = 2,88 kN/m2

Beban hidup (WL)WL = 250 Kg/m2 = 2,50 kN/m2 Beban Total (WU)WU = WD + WL = 2,88 + 2,50 = 5,38 kN/m2

Arah Y

Arah XPx = K x p = 0,291 x 538 = 156,558 kg/m

I= 112bh3= 1

12(1000)(120 )3=144 x 106 mm4

E=4700√ fc '=4700√25= 23 .500 MPa

Py =(1 – K )p =(1 – 0,291 ) 538 = 381,442 kg/m

M jepit=112Py Ly2=

112

381 ,442 x (4 )2

=508 ,589 kgm

M lapangan=124

Py Ly2=124

381 ,442 x (4 )2

=254 ,295 kgm

M jepit=112Px Lx2=

112

156 ,558 x (5 )2

=326 ,162 kgm

M lapangan=124

Px Lx2=124

156 ,558 x (5)2

=163 ,081 kgm

Page 16: PELAT CANGKANG

Gambar momen:

Lx = 5m

Mx = 163,081 kgm

Mx = 326,162 kgm

Ly = 4 m

My = 254,295 kgm

My = 508,589kgm

Page 17: PELAT CANGKANG

Lendutan

b. Metode Stiglat/ WipperMomen Maximum

Berdasarkan tabel 2 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:

Momen Lapangan Arah X

Momen Lapangan Arah Y

Berdasarkan tabel 2 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:

δ=1384

WuL4

EI

=1384

538 ( 4 )4

(23 . 500 x 105 ) 1 ,44 x 10−4

=0 ,00106 m= 1 ,06 mm

δ= L480

= 4000480

=8 ,33 mm

δ ≤ δ = 1 ,06 mm≤ 8 ,33 mm O .K !!

υ=0,2

lxly

=54=1,25

α xf=46 ,3 ¿ }¿¿ interpolasi ¿

max lapangan Mx=538(5 ).( 4 )( 146 ,3

+ 0,287 ,3 )=257 ,05 kgm

max lapangan My=538(5 ). (4 )( 187 ,3

+ 0,246 ,3 )=169 ,73 kgm

α xs=−18 ,7 ¿ }¿¿ interpolasi ¿

Page 18: PELAT CANGKANG

Momen Tumpuan Arah X

Momen Tumpuan Arah Y

c. Metode Pieper/ MartinsBerdasarkan tabel 3 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:

Momen Lapangan arah X

Momen Lapangan arah Y

Berdasarkan tabel 3 Bab VI Hilfstafeln, diperoleh:

Momen maximum arah X

max tumpuan Mx=538(5) .(4 )( 1−18 ,7

+ 0,2−22,2 )=−154 ,48 kgm

max tumpuan My=538(5 ).( 4 )( 1−22 ,2

+ 0,2−18 ,7 )=−599 ,76 kgm

f x=24 ,2¿ }¿¿ interpolasi ¿

M xf=q . L

x2

f x=

538 . (5 )2

24 ,2=555 ,785 Kgm

M yf=q . L

x2

f y=

538 . (5 )2

41 ,95= 320 ,62 Kgm

S x=15 ¿}¿¿ interpolasi ¿

M xs=−q . L

x2

s x=−

538 . (5 )2

15=−896 ,667 Kgm

Page 19: PELAT CANGKANG

Momen maximum arah YM ys=−

q .Lx2

s y=−

538 . (5)2

17 ,75=−757 ,75Kgm