Top Banner

of 82

PDF Vektor Evi

Apr 04, 2018

Download

Documents

evirinawati
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    1/82

    1

    MODUL MATEMATIKA

    VEKTOR

    Kementerian Pendidikan NasionalUniversitas Negeri Manado

    Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan AlamJurusan Pendidikan Matematika

    2007

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    2/82

    2

    Modul pembelajaran ini dirancang untuk membimbing peserta didik SMA dalam memaham

    kompetensi konsep eksponen melalui penerapan belajar tuntas.

    Pada permulaan tahun 1975, penduduk dunia diperkirakan sebanyak 4 milyar, menjelang tahu

    2000 penduduk dunia akan mencapai 6,6 milyar. Bagaimana orang dapat meramalkannya? Ternya

    pertumbuhan penduduk dapat dinyatakan sebagai fungsi dari waktu, yang dapat dimodelkan seca

    metematika mengikuti aturan vektor

    Vektor telah dikenal sejak SMP dan ketika dikelas 1 SMA materi awal yang dipelajari adalah mate

    aljabar linear (vektor). Dalam pembahasan modul ini, akan dikaji lebih dalam tentang . Ekspresi Vekto

    Operasi Aijabar Vektor, Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silan

    Vektor, Pembagian dalam Bentuk Koordinat.

    Tondano, 12 Oktober 200

    Penyusun,

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    3/82

    3

    Daftar Isi

    Halaman

    Halaman Francis .................1

    Kata Pengantar................ 2

    Daftar Isi................ 3

    Peta kedudukan Modul..................................................................... 4

    Glosarium......................................................................................... 6

    Bab I Pendahuluan

    A. Deskripsi................................................................................ 7

    B. Prasyarat............................................................................... 7

    C. Petunjuk Penggunaan Modul.................................................8

    D. Tujuan Akhir.......................................................................... 9 - 11

    E. Kompetensi............................................................................ 11 - 13

    F. Cek Kemampuan................................................................... 13

    Bab II Pembelajaran

    A. Rencana Belajar Peserta Didik..............................................14 - 15

    B. Kegiatan Belajar

    1. Kegiatan Belajar 1............................................................. 16 - 31

    2. Kegiatan Belajar 2............................................................ 32 - 41

    3. Kegiatan Belajar 3............................................................ 42 - 52

    4. Kegiatan Belajar 4 ........................................................... 53 - 72

    Bab III Evaluasi

    A. Evaluasi Kompetensi............................................................. 73 - 74

    B. Kunci Evaluasi/Sistem Penilaian............................................ 75 - 80

    Bab IV Penutup............................................................................ 81

    Daftar Pustaka................................................................................ 82

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    4/82

    4

    Pembagian dalam Bentuk Koordinat

    Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian

    Skalar, Proyeksi, dan Perkalian Silang

    Vektor

    Ekspresi Vektor

    Operasi Aijabar Vektor

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    5/82

    5

    Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar,

    Proyeksi, dan Perkalian Silang Vektor

    Pembagian dalam BentukKoordinat

    Ekspresi Vektor

    Aplikasi

    Memecahkan masalah dengan

    Menggunakan Konsep Vektor

    Matriks

    Operasi Aijabar Vektor

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    6/82

    6

    Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

    Notasi VektorPQ dapat dituliskan a atau a

    Kesamaan Dua Vektor jika AB # CD dibaca : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas gar

    CD maka AB =CD .

    Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektorOP= p disebut vektor posisi dari titik P.

    Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

    Hasil kali bilangan real kdengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya k kali panjan

    vektor a dan arahnya adalah

    a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

    b. berlawanan dengan arah vektor a jika k< 0

    c. sama dengan nol jika k= 0

    Jarak antara titikA(x1 + y1 + z1) dan B(x2 + y2 + z2) pada R3 sama dengan panjang vektorAB yait

    AB

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    7/82

    7

    Bab I

    PENDAHULUAN

    A. DESKRIPSI

    Modul vektor terdiri atas 4 bagian proses pembelajaran sesuai dengan subkompetensinya yaitu :

    1. Ekspresi vektor, sebagai kegiatan belajar 1 akan membahas tentang : pengertian vektokesamaan dua vektor, vektor nol, vekktor posisi, vektor satuan, vektor dalam ruang , vektor bas

    panjang suatu vektor.

    2. Operasi aljabar vektor, sebagai kegiatan belajar 2 akan membahas tentang penjumlahan vekto

    pengurangan vektor, hasil kali bilangan dengan vektor.

    3. Rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor, sebag

    kegiatan belajar 3 akan membahas tentang rumus jarak, rumus pembagian.

    4. Pembagian dalam bentuk koordinat, sebagai kegiatan belajar 4 akan membahas tentang has

    kali skalar dua vektor, bentuk komponen perkalian skalar, besar sudut antara dua vektor, sifat

    sfaat perkalian skalar, proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain, perkalian silang du

    vektor.

    B. PRASYARAT

    Kemampuan dasar yang harus dimiliki untuk mempelajari modul ini adalah :

    Memahami bentuk dan ciri matriks

    Memahami invers matrik

    Terampil dalam operasi hitung bilangan real

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    8/82

    8

    C. PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL

    a. Penjelasan Bagi Peserta Didik

    1. Bacalah modul ini dengan seksama mulai dari kata pengantar sampai dengan ce

    kemampuan, kemudian pahami benar seluruh informasi yang termuat di dalamnya.

    2. Setelah Anda mengisi cek kemampuan, pastikan apakah Anda termasuk kategori orang yan

    masih harus mempelajari modul ini atau orang yang tidak lagi mempelajarinya karena suda

    menguasainya.

    3. Laksanakan semua tugas-tugas yang terdapat di dalam modul ini agar kompetensi And

    berkembang dengan baik.

    4. Setiap mempelajari satu sub kompetensi, Anda harus mulai dari menguasai pengertia

    pengertian dalam uraian materi, melaksanakan tugas-tugas dan mengerjakan lembar latihan

    5. Dalam mengerjakan lembar latihan, Anda tidak diperkenankan melihat kunci jawaban terleb

    dahulu, sebelum Anda menyelesaikan lembar latihan.

    6. Cocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban, hitung nilai yang Anda peroleh. Kemudia

    kerjakan saran-saran sesuai dengan hasil latihan Anda.

    b. Peranan Guru

    1. membantu siswa dalam merencanakan proses belajar.

    2. menegaskan kembali tentang tujuan akhir yang harus dicapai setelah mempelajari modul ini.

    3. membantu peserta didik dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan lain yan

    diperlukan untuk belajar.

    4. melaksanakan penilaian serta mencatat pencapaian kemajuan peserta didik

    5. menjelaskan kepada peserta didik mengenai bagian yang perlu untuk dibenahi da

    merundingkan rencana pembelajaran selanjutnya.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    9/82

    9

    D. TUJUAN AKHIR

    Standar Kompetensi : - Menggunakan konsep vektor dalam pemecahan masalah.

    Kompetensi Dasar :

    Kognitif : - Dapat memahami dan menentukan ekspresi vektor dalam pemecaha

    masalah

    - Dapat memahami dan menentukan operasi aljabar vektor dala

    pemecahan masalah.

    - Dapat memahami dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perka

    an skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor dalam pemecaha

    masalah.

    - Dapat memahami dan menentukan pembagian dalam bentuk koordin

    dalam pemecahan masalah.

    Afektif : Siswa dengan senang menunjukkan kesiapan belajar matematika seca

    bertanggung-jawab sehingga menunjukkan sikap yang positif dala

    mempelajari materi tentang vektor

    Psikomotor : Siswa selalu menunjukkan kemahirannya setiap kali mengerjakan tugas

    tugas yang membutuhkan keterampilan dalam mempelajari materi

    tentang vektor.

    Indikator Hasil Belajar:

    Kognitif : - Menjelaskan dan menentukan ekspresi vektor

    - Menentukan penyelesaian ekspresi vektor

    - Menjelaskan dan menentukan operasi aljabar vektor

    - Menentukan penyelesaian operasi aljabar vektor

    - Menjelaskan dan menentukan rumus jarak, perbandingan, perkalian

    skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor

    - Menentukan penyelesaian rumus jarak, perbandingan, perkalian skalar,

    proyeksi, dan perkalian silang vektor.

    - Menjelaskan dan menentukan pembagian dalam bentuk koordinat

    - Menentukan penyelesaian pembagian dalam bentuk koordinat.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    10/82

    10

    Afektif : - Siswa menunjukan sikap yang positif dalam kegiatan pembelajaran.

    - Siswa menenjukan kesiapan belajar.

    - Siswa selalu smemperhatikan pejelasan guru.

    - Siswa dengan serius mengikuti semua kegiatan pembelajaran.

    - Siswa selalu menanyakan apa yang belum di mengerti.

    - Siswa dengan kritis menanyakan pertanyaan pada guru.

    - Siswa merasa senang mengerjakan tugas.

    - Siswa dengan tekun mengukuti proses belajar mengajar.

    - Siswa dengan teliti mencermati penjelasan guru dalam mengerjakan

    soal.

    - Siswa selalu berusaha mencari solusi sebelum memperoleh

    pemecahan.

    - Siswa berusaha mau bertanya kepada teman yang tidak di mengerti.

    - Siswa memberi diri mau bekerja sama dengan teman.

    - Siswa dapat mencari soal yang sulit dan mampu memecahkanya.

    - Siswa berinisiatif untuk membuat soal sendiri.

    - Siswa selalu berusaha mencari buku sumber sesuai materi.

    - Siswa selalu aktif mengikuti kegiatan mengenai

    Psikomotor : - Menuliskan simbol matematika seperti akar, ruang dimensi dua dan tiga

    - Menunjukan posisi badan yang baik dalam mengikuti kegiatan pembelajaran

    Matematika

    - Melakukan pekerjaan dalam menyelesaikan soal secara teliti

    - Terbiasa menampilkan keterampilan gerakan fisik yang baik setiap belajar

    matematika

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    11/82

    11

    E. KOMPETENSI : Menerapkan Ekspresi vektor

    Sub

    kompeten

    si

    Kriteria

    kinerja

    Lingkup

    belajar

    Materi pokok Pembelajaran

    Kognitif Afektif Psikomotor

    Mendeskri

    psikan

    ekspresi

    vektor

    - Pengertian

    vektor,

    Kesamaan

    dua vektor,

    Vektor nol,

    Vektor

    posisi,

    Vektor

    satuan,

    Vektor

    dalam

    ruang ,

    Vektor

    basis,

    Panjang

    suatu vektor

    1.Mengetahui

    dan

    memahami

    pengertian

    ekspresi

    vektor

    2.Menentukan

    penyelesaian

    ekspresi

    vektor

    1. Memperlihatkan

    kesiapan dalam

    mengikuti

    pembelajaran

    2. memperhatikan

    dengan baik

    setiap materi yang

    diberikan

    3. bertanya jika

    belum dimengerti

    1. Dapat

    menuliskan

    simbol-simbol

    (Notasi)

    khususnya dalam

    materi vektor

    tepat

    2. Dapat

    menggambar

    ruang berdimensi

    dua dan tiga.

    Mendeskri

    psikan

    operasi

    aljabar

    vektor

    penjumlahan

    vektor,

    pengurangan

    vektor, hasil

    kali bilangan

    dengan

    vektor

    1. Mengetahui

    dan

    memahami

    operasi vektor

    2. Menentukan

    penyelesaian

    operasi

    aljabar vektor

    1 Mengikuti

    pembelajaran

    dengan serius

    2. Dengan antusias

    bertanya apabila

    ada materi yang

    belum dimengerti

    3. mengerjakan

    latihan soal yang

    diberikan guru

    1. Dapat

    menggambar

    cara segitiga dan

    jajaran genjang

    Mendeskri - Rumus 1. Menjelaskan 1.Selalu Berpikir 1. Dapat

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    12/82

    12

    psikan

    rumus

    jarak,

    perbandin

    gan,

    perkalian

    skalar,

    proyeksi,

    dan

    perkalian

    silang

    vektor

    jarak,

    Rumus

    pembagian.

    rumus jarak,

    perbandingan

    , perkalian

    skalar,

    proyeksi, dan

    perkalian

    silang vektor

    2. Menentukan

    penyelesaian

    rumus jarak,

    perbandingan

    , perkalian

    skalar,

    proyeksi, danperkalian

    silang vektor

    Kritis Ketika

    pembelajaran

    berlangsung

    apabila di dalam

    Materi Yang

    disampaikan ada

    yang keliru

    2. Mau bertanya

    kepada teman jika

    ada yang belum

    dimengerti

    menggambar

    pembagian ruas

    garisAB dengan

    perbandingan m :

    n

    2. Dapat

    menggambar

    pembagian ruas

    garisAB dalam

    bentuk vektor.

    Mendeskri

    psikan

    pembagia

    n dalam

    bentuk

    vektor

    - Hasil kali

    skalar dua

    vektor,

    bentuk

    komponen

    perkalian

    skalar,

    besar sudut

    antara dua

    vektor, sifat

    sfaat

    perkalian

    skalar,

    proyeksi

    ortogonal

    suatu vektor

    pada vektor

    lain,

    1. Menentukan

    Pembagian

    dalam Bentuk

    Koordinat

    1. Selalu berpikir

    kritis ketika

    pembelajaran

    berlangsung

    apabila di dalam

    materi yang

    disampaikan ada

    yang keliru

    2. Mau bertanya

    kepada guru jika

    tidak dimengerti.

    1

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    13/82

    13

    perkalian

    silang dua

    vektor.

    F. CEK KEMAMPUAN

    No Pertanyaan Ya Tidak

    1 Apakah Anda telah memahami pengertian vektor ?

    3 Apakah anda telah memahami definisi dan vektor ?

    4 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

    penyelesaian vektor ?

    5 Apakah anda telah memahami definisi vektor ?

    6 Apakah anda telah mengetahui langkah-langkah

    penyelesaian definisi vektor ?

    BAB II

    Jika Anda menjawab TIDAK pada salah satu pertanyaan di atas, maka

    pelajarilah materi tersebut dalam modul ini. Apabila Anda menjawab

    YA pada semua pertanyaan, maka lanjutkanlah dengan mengerjakan

    tugas, tes formatif dan evaluasi yang ada pada modul ini.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    14/82

    14

    BAB II

    PEMBELAJARAN

    A. RANCANGAN BELAJAR SISWA

    Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan, bahwa modul ini hanya sebagia

    dari sumber belajar yang dapat Anda pelajari untuk menguasai kompetensi menerapkan konse

    aljabar. Untuk mengembangkan kompetensi anda dalam Substansi Non Instruksional,Anda per

    latihan. Aktivitas-aktivitas yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompeten

    matematika, juga mengembangkan kompetensi Substansi Non Instruksional. Untuk itu, mak

    dalam menggunakan modul ini Anda harus melaksanakan tugas-tugas yang telah dirancang.

    1. Buatlah rencana belajar Anda berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun ole

    guru, untuk menguasai kompetensi Konsep vektor dengan menggunakan format sebag

    berikut.

    No

    Kegiatan Pencapaian AlasanPerubahan bila

    diperlukan

    ParafTgl Jam Tempat Siswa Guru

    Mengetahui .............., ............ 20

    Guru pembimbing Peserta Diklat

    (..............................) (................................)

    2. Rumuskan hasil belajar Anda sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan.

    a. Untuk penguasaan pengetahuan, Anda dapat membuat suatu ringkasan menur

    pengertian Anda sendiri terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yan

    telah dipelajari. Selain ringkasan, Anda juga dapat melengkapinya dengan klipingterhada

    informasi-informasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang Anda pelajari.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    15/82

    15

    b. Tahapan pekerjaan Anda dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alir yang dilengka

    dengan penjelasannya (siapa penanggung jawab setiap tahapan pekerjaan, siapa yan

    terlibat, kapan direncanakan, kapan direalisasikan, dan hasilnya apa).

    c. Produk hasil praktek dalam kegiatan ini dapat Anda kumpulkan berupa contoh bend

    kerja, atau dalam bentuk visualisasinya (gambar, foto, dan lain-lain).

    d. Setiap tahapan proses akan diakhiri dengan penilaian, lakukanlah diskusi dengan gu

    pembimbing untuk mendapatkan persetujuan, dan apabila ada hal-hal yang haru

    diperbaiki/dilengkapi, maka Anda harus melaksanakan saran guru pembimbing Anda.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    16/82

    16

    B. KEGIATAN BELAJAR

    1. Kegiatan Belajar 1 : Ekspresi Vektor

    a. Tujuan Kegiatan Belajar 1

    Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

    1. Dapat mengetahui pengertian vektor,

    2. Dapat menentukan kesamaan dua vektor,

    3. Dapat memahami vektor nol,

    4. Dapat memahami vekktor posisi,

    5. Dapat memahami vektor satuan,

    6. Dapat memahami vektor ruang ,

    7. Dapat memahami vektor basis.

    8. Dapat menentukan suatu vektor.

    .

    b. Uraian Materi

    EKSPRESI VEKTOR

    1. Pengertian Vektor

    Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang la

    menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

    a. berapa jauh perpindahannya (jarak);

    b. ke arah mana perpindahannya.

    Perpindahan dari titikA ke titik B tersebut dapat digambarkan dengan suatu anak panah yan

    berpangkal di A dan berujung di B. Panjang ruas garis AB menyatakan jauh perpindahanny

    sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan.

    Anak panah yang menyatakan perpindahan itu disebut vektor. Jadi, vektor adalah besara

    yang mempunyai besar dan arah. Besaran seperti ini misalnya kecepatan, gaya, momen, da

    sebagainya.

    A

    Ganbar 5.1 perpindahan dari titik A ke titik B

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    17/82

    17

    Notasi Vektor

    Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas gar

    berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vekto

    Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misalnyaPQ .

    PQ dapat dituliskan dengan menggunakan lambang huruf kecil yang dicetak tebal ata

    dengan huruf kecil yang dibubuhi tanda panah di atas huruf itu, misalnya a atau a atau dibe

    topi,misalnya

    Q

    a

    P a

    Gambar 5.2 Notasi Vektor

    Untuk vektorPQ dari gambar 5.2, titik P disebut titik pangkal (titik asal), sedangkan titik

    disebut titik ujung(titik terminal).

    2. Kesamaan Dua Vektor

    a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibaca

    ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB =CD . Dari pengertian i

    dapat disimpulkan bahwa sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak beruba

    asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula.

    B

    D

    A

    C

    Gambar 5.3 Kesamaan dua vektor

    Tanda # artinya sama dengan dan sejajar (bukan tidak samadengan)

    In at !

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    18/82

    18

    b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Dalam hal in

    salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Perhatikan Gambar 5.4 AB

    2CD . atau CD =2

    1AB

    B

    A D

    C

    Gambar 5.4 vektor dengan arah yang sama tapi besarnya beda.

    c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang denganEF, tapi arahnya berlawanan. Du

    buah vektor disebut berlawanan apabila panjangnya sama, tetapi arahnya berlawanan. AB

    -EFatau EF= - AB

    B

    E

    A

    F

    Gambar 5.5 Dua buah vektor yang berlawanan

    d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yan

    satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Pada Gambar 5.6 tampak AB = - 3EFatau EF

    3

    1AB

    B

    E

    A F

    Gambar 5.6 Dua vektor yang berlawanan dengan panjang yang berbeda

    3. Vektor Nol

    Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tent

    misalnya AA , BB , CC, dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor not dilambangkan dengan

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    19/82

    19

    4. Vektor Posisi

    Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP= p disebut vektor posisi dari tit

    P. Jika koordinat titik Padalah (x1, y1) maka vektor posisi dari titik Padalah p = OP =

    1

    1

    y

    x

    Y

    P (x1, y1)

    p y1

    O x1 X

    Gambar 5.7 Vektor posisi titik P

    Hal ini berarti vektro p mempunyai komponen arah mendatar x1 dan komponen ara

    vertikalnya adalah y1.Jika titikA di R

    3dengan koordinatA adalah (x1, y1, z1) maka vektor pasisi titikA adalah

    Gambar 5.8 Vektor posisi titikA

    a = OA=

    1

    1

    1

    z

    y

    x

    sebaliknya, jika a =

    1

    1

    1

    z

    y

    x

    merupakan vektor posisi dari titik A, maka titik

    berkoordinat (x1, y1, z1)

    5. Vektor Satuan

    Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

    Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan i

    Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan j

    Vektor satuan dengan arah sumbu Z, dinotasikan dengan k

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    20/82

    20

    Sehingga untuk vektor di R2

    adalah

    i =

    0

    1 j =

    1

    0

    Y

    B (0,1)

    j A (1,0)

    O i X

    Gambar 5.9 Vektor satuan pada R2

    Sedangkan untuk di R3adalah

    i =

    0

    0

    1

    ; j =

    0

    1

    0

    ; k=

    1

    0

    0

    Gambar 5.10 Vektor satuan pada R3

    Kita sudah mengenal tentang vektor satuan, yaitu vektor yang

    panjangnya satu satuan. Vektor satuan dari suatu vektora adalah

    vektor yang arahnya sama dengan arah vektor a dan panjangnyaa1

    Catatan :

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    21/82

    21

    6. Vektor dalam Ruang

    a. Vektor di R2

    Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2

    atau R2. Untuk menyajikan vektor di R

    diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih susuna

    sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan sumbu vertik

    atau sumbu Y.

    Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa jau

    perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri dibe

    tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda negat

    Dengan demikian vektor pada R2

    dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan vertikal.

    AB artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar 5.11 terlihat titik A (1, 1) da

    dituliskan sebagai vektor kolom a =

    1

    1dan titik B (4, 3) dengan- vektor kolom b =

    3

    4

    Gambar 5.11 Vektor dalam ruang dimensi dua

    AB = b - a

    =

    3

    4-

    1

    1=

    2

    3

    Dengan cara yang sama kita dapatkan:

    CD =

    1

    4

    EF =

    40

    GH =

    2

    4

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    22/82

    22

    b. Vektor di R3

    Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3

    atau R3. R3

    ditandai dengan tiga bua

    sumbu yang saling berpotongan. Untuk memudahkan dalam perhitungan, dipilih tiga sumbu yan

    berpotongan saling tegak lurus (ortogonal) yang dikenal dengan:

    1) arah ke depan atau ke belakang disebut sumbu X;

    2) arah ke kanan atau ke kiri disebut sumbu Y;

    3) arah ke atas atau ke bawah disebut sumbu Z.

    Seperti Gambar 5.12 (i). Kemudian sumbu koordinat seperti Gambar 5.12 (i) diputar k

    kanan diperoleh sumbu koordinat Gambar 5.12 (ii).

    Gambar 5.12 Vektor dalam ruang dimensi tiga

    Contoh :

    ABCD.EFGH adalah sebuah balok dengan AB = 4; AD = 2; AE = 6, dan sisi-sisinya sejaj

    dengan sumbu

    koordinat dengan koordinatA (0, 1, 0), B (4, 1, 0), E(0, 1, 6), F (4, 1, 6), G (4, 3 6) H (0, 3, 6) da

    titik koordinat lainnya dapat ditentukan (perhatikan Gambar5.13).

    Misalkan titikA (0, 1, 0) dituliskan sebagai a =

    0

    1

    0

    dan titik E(0, 1, 6) dituliskan sebagai e =

    6

    1

    0

    maka

    AE= e - a

    =

    6

    1

    0

    -

    0

    1

    0

    =

    6

    0

    0

    Z Z

    Y

    YO

    O X

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    23/82

    23

    Z

    Gambar 5.13 Balok ABCD.EFGH

    Dengan cara yang sama didapatkan:

    AF=

    6

    0

    4

    ; AG =

    6

    2

    4

    ; BH=

    6

    2

    4

    7. Vektor Basis

    a. Vektor Basis di R2

    Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OPmerupakan titik terminal/ujun

    dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat. Dari gambar tampak bahwa:

    OP = OQ + QP

    di mana OP = P

    OQ = x1 i

    QP = y1 j

    sehingga dapat dituliskan :

    P= x1 i + y1 j

    Bentuk vektor ini disebut vektor basis i dan j

    Gambar 5.14 Vektor basis pada R2

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    24/82

    24

    Jadi, setiap vektor di R2

    dapat disajikan sebagai kombinasi lineardari dua vektor

    basis i dan j dalam bentuk

    :

    x1 dan y1 berturut-turut disebut komponen-komponen mendatardan vertikaldari vektorP.

    b. Vektor Basis di R3

    Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan radalah vektor posisi R, maka kompone

    komponen r dapat dinyatakan sebagai:

    x1 i (searah denganOX)

    y1 j (searah dengan OY)

    z1 k(searah dengan OZ)Z

    Gambar 5.15 Vektor basis pada R3

    dan dari Gambar 5.15 tampak bahwa bentuk vektor ini merupakan kombinasi linear dari vekto

    vektor basis i , j , k

    OR = OP+ PR

    OR = OQ + QP+ PR , sehingga

    P= x1 i + y1 j

    Vektor dapat disajikan dalam bentuk :

    a. vektor basia, yaitu P= (x1, y1)

    b. vektor kolom, yaitu P=

    1

    1

    y

    x

    catatan

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    25/82

    25

    OR = r= x1 i + y1 j + z1 k

    Jadi, setiap vektor F dalam ruang (di R3) dapat disajikan sebagai kombinasi linear dari tig

    vektor basis i , j , dan k yang tidak sebidang dalam bentuk:

    8. Panjang Suatu Vektor

    Besar vektorP , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah dengan panjan

    ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektorPditulis dengan P.

    a. Vektor di R2

    Jikap adalah titik (x1, y1) makaOP= P=

    1

    1

    yx

    Y

    P(x1, y1)

    P

    O Q X

    Gambar 5.16 Panjang vektorP di R2

    Dengan menggunakan pythagoras maka

    2OP =

    2OQ +

    2QP (perhatikan Gambar 5.16)

    2

    P = x12 + y1

    2 ( karena OP= P)

    2

    P =2

    1

    2

    1 yx

    r= x1 i + y1 j + z1 k

    Sebuah vektor dalam ruang dapat disajikan dalam

    bentuk:

    a. vektor baris, yaitu r= (x1, y1, z1)

    b. vektor kolom, yaitu r=

    1

    1

    1

    z

    y

    x

    Catatan :

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    26/82

    26

    Jadi, jika P=

    1

    1

    y

    xmaka panjang vektorPadalah

    2

    P =2

    1

    2

    1 yx

    b. Vektor di R3

    Misalkan OR = r=

    1

    1

    1

    z

    y

    x

    adalah vektor

    Gambar 5.17 panjang vektorrdi R3

    posisi di R3 seperti pada Gambar 5.17. Dengan menggunakan pythagoras, maka

    2OR =

    2OP +

    2RP

    =2

    OQ +2

    QP +2

    RP

    2OR = x1

    2 + y12

    + Z12 (perhatikan Gambar 5.17)

    r =2

    1

    2

    1

    2

    1 ZYX ( karena OR = r)

    Jadi, r=

    1

    1

    1

    z

    yx

    , panjang vektor radalah r =2

    1

    2

    1

    2

    1 ZYX

    C Rangkuman Kegiatan Belajar 1

    1. Pengertian Vektor

    Kita telah mengenal arti perpindahan, misalnya titik A kita pindahkan ke posisi yang la

    menjadi titik B. Pada perpindahan itu terkandung beberapa makna.

    a. berapa jauh perpindahannya (jarak);

    b. ke arah mana perpindahannya.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    27/82

    27

    2. Kesamaan Dua Vektor

    a. Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika AB # CD dibac

    : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis CD maka AB =CD .

    b. Pandang dua buah vektor yang arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan.

    c. Pada Gambar 5.5, tampak AB sama panjang denganEF, tapi arahnya berlawanan.

    d. Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vekt

    yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain.

    3. Vektor Nol

    Suatu vektor disebut vektor not apabila panjangnya not. Arah dari vektor not tak tent

    misalnya AA , BB , CC, dan semacamnya disebut vektor nol.

    4. Vektor Posisi

    Jika titik Padalah sebuah titik pada bidang datar, vektor OP= p disebut vektor posisi dari tit

    P.

    5. Vektor Satuan

    Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan.

    6. Vektor dalam Ruang

    a. Vektor di R2

    Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2

    atau R2.

    b. Vektor di R3

    Vektor dalam ruang berdimensi tiga ditulis dengan R3

    atau R3. R3

    ditandai dengan tig

    buah sumbu yang saling berpotongan.

    7. VektorBasis

    a. Vektor Basis di R2

    Diberikan titik P (x1, y1) seperti tampak pada Gambar 5.14. OPmerupakan titik terminal/ujun

    dari vektor posisi yang titik pangkalnya di pusat koordinat.

    b. Vektor Basis di R3

    Jika R (x1, y1, z1) adalah sembarang titik dan radalah vektor posisi R, maka kompone

    komponen r dapat dinyatakan sebagai:

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    28/82

    28

    x1 i (searah denganOX)

    y1 j (searah dengan OY)

    z1 k(searah dengan OZ)

    8. Panjang Suatu Vektor

    Besar vektor P , apabila digambarkan akan membentuk ruas garis berarah denga

    panjang ruas garis yang mewakili besar vektor itu. Panjang vektorPditulis dengan P.

    d. Tugas Kegiatan Belajar

    Diskusikan soal-soal LKS tentang ekspresi vektor untuk dipresentasikan.

    e. Tes Formatif1. Nyatakan titik-titik berikut dengan vektor posisi dalam bentuk komponen vektor kolom!

    a.A (2, 3) dan B (-1, 4) b. P(2, 1, 4) dan Q (3, 2, -5)

    2. Nyatakan vektor-vektor a =

    1

    3

    2

    dan c =

    3

    0

    1

    sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k

    3. Diketahui p = i - 2 j + 2k dan q = 3 i + j - 2 k carilah

    a. P

    b. Q

    c. QP

    d. Vektor satuan dari p

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    29/82

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    30/82

    30

    d. a + (b + c )

    e. Apakah a + b = c + a , bila berlaku sifat apakah itu?

    f. Apakah ( a + b ) + c = ( a + b ) + c , bila berlaku sifat apakah itu?

    2. OABCDEFG adalah balok yang rusuk-rusuknya pada sumbuX, Y, dan Z. Jika OA = 4; OC

    3, dan OD = 6, nyatakanlah vektor-vektor berikut sebagai kombinasi linear dari i , j , dan k

    a. OB e. AF

    b. AC f. BD

    c. FC g. AG

    d. EB

    3. Jika p =

    6

    4

    2

    dan q =

    7

    4

    4

    Tentukan: a. P c. QP

    b. Q d. vektor satuan dari p danq

    4. Diketahui: a. 2 i - 3 j + 4k c. 3i + 2 j + 3k

    b. - i + 5 k

    Carilah:

    a. a + b + c c. vektor satuan dari a + b + c

    b. a + b + c

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    31/82

    31

    5. Diketahui vektor a = 4 i + 4 j + 2k dan b = 2 i + 3 j - 5 k

    a. Carilah a dan b c. Apakah a +b = a + b

    b. Carilah a b dan a +b

    h. Tingkat Penguasaan

    Rumus :

    Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah And

    capai sebagai berikut:

    1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruska

    dengan kegiatan belajar 3.

    2. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan leb

    seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

    3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan da

    bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

    Tingkat Penguasaan = %10015

    xdiperolehyangSkorJumlah

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    32/82

    32

    2. Kegiatan Belajar 2 : Operasi Aljabar Vekto r

    a. Tujuan Kegiatan Belajar 2

    Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan :

    1. Dapat menentukan penjumlahan vektor,

    2. Dapat menetukan pengurangan vektor,

    3. Dapat menentukan hasil kali bilangan dengan vektor

    b. Uraian Materi

    1 Penjumlahan Vektor

    Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh denga

    menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan dengan ca

    segitiga dan cara jajar genjang.

    a. Cara Segitiga

    Perhatikan Gambar 5.18

    b b b

    a

    a a

    (i) (ii)

    Gambar 5.18 Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang

    Jumlah vektor a dan vektor b yang merupakan vektor c dapat ditentukan denga

    memindahkan vektorb (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal vektor

    berimpit dengan titik ujung vektor a .

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    33/82

    33

    Vektor c diperoleh dengan menghubungkan titik pangkal vektor a dengan titik ujung vekt

    b yang telah dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga Gambar 5.18(i).

    b. Cara Jajar Genjang

    Jumlah dari vektor a dan vektorb adalah vektor c yang

    dapat ditentukan dengan memindahkan vektor b (tanpamengubah panjang dan arahnya) sehingga titik pangkal

    vektor b berimpit dengan titik pangkal vektor a .

    Vektor c yang dimaksud adalah vektor yang titik

    pangkalnya di titik pangkal persekutuan vektor a dan

    vektor b , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat

    dari jajar genjang yang dibentuk oleh a dan b .

    Cara menjumlahkan vektor seperti ini dikenal

    dengan cara jajar genjangGambar 5.18(ii).

    Perhatikan Gambar 5.19 dari cara segitiga terlihat bahwa:

    c = a + b

    PR = PQ + QR

    Gambar 5.19 Penjumlahan vektordengan cara segitiga

    Dengan memperhatikan pola penjumlahan itu maka:

    AB = AC+ CB (untuk titik-titik,A, C, dan B)

    AB = AP + PB (untuk titik-titikA, P, dan B)

    AB = AD + DL + LB (untuk titik-titikA, D, L, dan B), dan seterusnya.

    Penjumlahan tiga vektor atau

    lebih dapat dilakukan dengan

    menggunakan aturan poligon

    seperti berikut.

    P4

    P5 P3

    Tugas

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    34/82

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    35/82

    35

    3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektorO (vektor nol) Sebab untuk semua vektor a berlak

    a + o = o + a = a

    4) Lawan suatu vektor

    Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a

    adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor a a

    menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis - a

    dengan -a . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah, Gambar 5. 22 Lawan da

    sebuah vektor

    lawan dari vektor a adalah vektor yang panj angnya

    sama dengan vektor a , tetapi arahnya berlawanan dengan vektor a .

    Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah (lawan).

    Sebab: a + (-a ) = (- a ) + a = o

    2. Pengurangan Vektor

    Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektor b . Misalkan selisih vektor a denga

    vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan lawa

    vektor b .

    Jadi, c = a - b = a + (-b )

    Secara geometris selisih (pengurangan) vektor a dengan vektor b dapat diperlihatkan pad

    Gambar 5.23.

    Gambar 5.23 Pengurangan vektor

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    36/82

    36

    a - b = a + (-b )

    = PQ +PS

    = PT= RQ

    Dari PQRterlihat bahwa :

    PQ - PR = RQ

    3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

    Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya k ka

    panjang vektor a dan arahnya adalah

    a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

    b. berlawanan dengan arah vektor a jika k< 0

    c. sama dengan nol jika k= 0

    Gambar 5.24 Hasil kali bilangan dengan vektor

    Jika a =

    2

    1, maka 2 a = 2

    2

    1=

    4

    2

    Jika b =

    4

    3

    2

    , maka 3b = 3

    4

    3

    2

    =

    12

    9

    6

    Secara umum, bila a =

    r

    q

    p

    maka ka = k

    r

    q

    p

    =

    kr

    kq

    kp

    Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

    Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:

    1 k(- a ) = - (ka )= - k a

    2 k(la ) = (kl) a

    3 (k+ l) a = ka + la

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    37/82

    37

    4 k( a +b ) = ka + kb

    c. Rangkuman Kegiatan Belajar 2

    OPERASI ALJABAR VEKTOR

    1. Penjumlahan Vektor

    Diberikan dua vektor a dan vektor b . Vektor ketiga yaitu vektor c diperoleh denga

    menjumlahkan vektor a dan vektor b . Jadi, c = a + b . Vektor c dapat ditentukan denga

    cara segitiga dan cara jajar genjang.

    a. Cara Segitiga

    b. Cara Jajar Genjang

    Sifat - Sifat Penjumlahan pada Vektor

    1) Komutatif

    2) Asosiatif

    3) Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor O (vektor nol) Sebab untuk semua vektor

    berlaku a + o = o + a = a

    4) Lawan suatu vekto

    2. Pengurangan Vektor

    Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor a dan vektorb . Misalkan selisih vektor a denga

    vektor b adalah vektor c yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a denga

    lawan vektorb .

    3. Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

    Hasil kali bilangan real kdengan vektor a adalah suatu vektor yang panjangnya k

    kali panjang vektor a dan arahnya adalah

    a. sama dengan arah vektor a jika k> 0

    b. berlawanan dengan arah vektor a jika k< 0

    c. sama dengan nol jika k= 0

    Sifat - Sifat Hasil Kali Bilangan dengan Vektor

    Bila k dan l bilangan real, a dan b suatu vektor maka:

    1. k(- a ) = - (ka )= - k a

    2. k(la ) = (kl) a

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    38/82

    38

    3. (k+ l) a = ka + la

    4. k( a +b ) = ka + kb

    d. Tugas Kegiatan Belajar

    Diskusikan soal-soal yang ada di LKS tentang operasi aljabar vektor untuk dipresentasikan

    e. Tes Formatif

    1. ABCD adalah jajar genjang dengan AB = u , AD = v , titik Edan Fmasing-masing tit

    tengah DC dan CB . Nyatakan vektor-vektor berikut dalam u dan v

    a. AE b. EF c. AF

    2. DiketahuiA(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titikA, B, dan Csegaris (kolinear) da

    carilahAB : BC

    3. Diketahui titik-titikA(-2, 5, 4), B(2, -1, -2), dan C(p, q, l). JikaA, B, dan Csegaris, carila

    nilaip dan q.

    f. Kunci Jawaban

    1. a. AE = AD + DE D E C

    = v +2

    1u =

    2

    1u + v

    b. EF = CE +CF v F

    =2

    1u -

    2

    1v A u B

    c. AF = AB + FB Gambar 5.25 Jajaran genjangABCD

    = u +2

    1v

    2. Langkah untuk menyelesaikan contoh soal 2 di atas adalah

    1. Informasi dari soal memberikan tiga buah titik yang terletak pada sumbu - sumb

    koordinatx- y, yaituA(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4)

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    39/82

    39

    2. Dari titik-titik koordinat yang diketahui tersebut akan ditunjukkan bila titik A, B, dan

    segaris (kolinear) serta akan dicari perbandinganAB dan BC(AB: BC)

    3. Untuk menunjukkan titik-titikA, B, dan Csegaris (kolinear) dan mengetahui perbandinga

    AB : BC, dihitung nilai AB dan AC, yaitu

    AB = b - a

    =

    2

    4

    -

    1

    1

    =

    1

    3

    AC= c - a

    =

    4

    10-

    1

    1=

    3

    9

    3. AB = b - a =

    2

    1

    2

    -

    4

    5

    2

    =

    6

    6

    4

    BC= c - b =

    l

    q

    p

    -

    2

    1

    2

    =

    3

    1

    2

    q

    p

    KarenaA,B, dan Csegaris maka:

    AB = m BC

    6

    6

    4

    = m

    3

    1

    2

    q

    p

    , diperoleh m = -2

    4 = -2 (p - 2) -6 = -2(q + 1)

    4 = -2p + 4 3 = q + 1

    2p = 0 q = 2

    p = 0

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    40/82

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    41/82

    41

    h. Tingkat Penguasaan

    Rumus :

    Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah And

    capai sebagai berikut:

    1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruska

    dengan kegiatan belajar 3.

    2. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan leb

    seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

    3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan da

    bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

    Tingkat Penguasaan = %10015

    xdiperolehyangSkorJumlah

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    42/82

    42

    3. Kegiatan Belajar 3 : Rumus Jarak, Perbandingan, Perkalian Skalar, Proyeksi, da

    Perkalian Silang Vektor.

    a. Tujuan Kegiatan Belajar 3:

    Setelah selesai mempelajari uraian kegiatan ini, anda diharapkan dapat :

    1. Mengetahui dan memahami rumus jarak

    2. Mengetahui rumus pembagian.

    b. Uraian Materi :

    1. Rumus Jarak

    Diberikan titikA(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =

    1

    1

    1

    z

    y

    x

    dan titik B(x2 + y2 + z2) denga

    vektor posisi b =

    2

    2

    2

    z

    yx

    Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yai

    AB

    AB = b - a

    =

    2

    2

    2

    z

    y

    x

    -

    1

    1

    1

    z

    y

    x

    =

    12

    12

    12

    zz

    yy

    xx

    Z

    X

    O

    Gambar 5.26 Menentukan rumus jarak

    AB = 2122

    12

    2

    12 zzyyxx

    Jarak antara titikA(x1 + y1 +z1) danB(x2 + y2 + z2) padaR

    3

    sama dengan panjang vektor

    In at

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    43/82

    43

    Contoh :

    1. Diketahui titikA(5, 7, -5), B(4, 7, -3), dan C(2, 7, -4). Perlihatkan dengan rumus jarak bahw

    ABC siku-siku sama kaki!

    Jawab:

    Untuk menyelesaikan contoh di atas dilakukan langkah-langkah berikut

    1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama kaki ole

    tiga buah titik, yaitu A (5, 7, -5), B (4, 7, -3), clan C (2, 7, -4).

    2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jarak bahw

    segitigaABCyang disusun dari titik-titikA, B, dan Cmemang siku-siku sama kaki.

    3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Dan sebua

    segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90, sehingga dalam segitiga terseb

    berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-sisi segitiga yang aka

    dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunakan rumus jarak sebag

    berikut.

    r = 2122

    12

    2

    12 zzyyxx

    4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga itu, yaitu

    AB = 222 537754 = 401 = 5

    AC= 222 547752 = 109 = 10

    BC= 222

    347742 = 104 = 5

    5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagoras diperoleh

    AB2 = 5 BC2 = 5 AC2 = 10

    Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka segitiga itu adalah sam

    kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras yan

    menyatakanAB2 + BC2 =AC2. Jadi, segitigaABCsiku-siku di B dan sama kaki.

    2. Buktikan bahwa titik-titik A(1, 3, -1), B (3, 5, 0), dan C(-1, 4, 1) adalah titik-titik sudut segitig

    siku-siku sama kaki.

    Jawab:

    Masalah ini dapat diselesaikan dengan langkah-langkah berikut.

    1. Memahami masalah

    Apa yang diketahui situasi ini, kita cari jarak dua titik dengan teorema pythagoras ata

    dengan dot product.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    44/82

    44

    2. Merencanakan penyelesaian

    Dengan jarak dua titik = 2212

    21

    2

    21 zzyyxx

    atau cos x =ba

    ba

    3. Melaksanakan perhitungan

    AB = 222 015331 = 144 = 3

    AC= 222 114311 = 414 = 3

    BC= 222 104513 = 1116 = 15 = 3 2

    Hasil perhitungan: BC= AB 2+ AC2

    Jadi, segitigaABCsiku-siku sama kaki dan siku-siku diA.

    Cara lain AB = b - a =

    0

    5

    3

    -

    1

    3

    1

    =

    1

    2

    2

    AC= c - a =

    1

    4

    1

    -

    1

    3

    1

    =

    2

    1

    2

    A (1, 3, -1)

    B(3, 5, 0) C(-1, 4, 1)

    Gambar 5.27 Segitiga siku-siku sama kaki.

    Cos A =33

    224

    = 0

    Jadi A = 90

    ABCsiku-siku diA.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    45/82

    45

    2. Rumus Pembagian

    Sebelum membahas tentang pembagian suatu ruas garis dengan menggunakan konse

    vektor, terlebih dulu dibahas pembagian pada ruas garis dengan perbandingan m : n.

    a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

    Misalkan suatu titik Pmembagi ruas garisAB dalam perbandingan m: n sedemikian rup

    sehinggaAP: PB = m : n.

    a. Jika Pmembagi di dalam, AP dan PB mempunyai arah yang sama sehingga m dan

    mempunyai tanda yang sama.

    b. Jika P membagi di luar, APdan PB mempunyai arah yang berlawanan sehingga m dan

    berlawanan tanda

    A P B A B P

    (a) (b)

    Gambar 5.28 (a) Titik Pmembagi garisAB di dalam garis (b) Titik Pmembagi garisAB di lu

    garis

    Contoh :

    Perhatikan gambar berikut ini, dari gambar tersebut dapat ditulis perbandingan ruas gari

    sebagai berikut.

    AP : PB = m : n m n

    AP : AB = m : (m + n)

    A P B

    AP : PB = m : -n m

    AP : AB = m: (m - n) n

    A B P

    AP : PB = 1 : 1

    AP : AB = 1 : 2

    A P B

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    46/82

    46

    AP : PB = 2 : 1

    AP : AB = 2 : 3

    A P B

    AP : PB = 4 : -2 = 2 : -1

    AP : AB = 4: 2 = 2 :1

    A B P

    Gambar 5.29 Pembagian ruas garis

    b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor

    Perhatikan Gambar 5.30!

    Jika p adalah vektor posisi titik Pyang membagi AB dengan perbandingan m : n, Panta

    A dan B, maka

    p =nm

    anbm

    O

    Gambar 5.30 Pembagian ruas garisAB dengan Perk.dingan m : n

    Bukti:

    AP : PB = m : n

    Untuk semua letak P: AB , di dalam maupun di luar berlaku:

    AP:PB = m : n

    n (p - a ) = m (b - p)

    n p - n a = mb - m p

    m p + n p = mb + n a

    (m + n) p = mb + n a

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    47/82

    47

    p =nm

    anbm

    (terbukti)

    O

    Gambar 5.31 Pembagian ruas garis AB dalam bentuk vektor

    Contoh:

    1. Bila a , b , dan c adalah vektor-vektor posisi dari titik A, B, dan Cdari ABC. Titik D pad

    ACsehinggaAD : DC= l : 2. Titik Epada BCsehingga EC: EC = 3 : 1

    Nyatakan DEdalam a , b , dan c

    Jawab: C

    d=21

    21

    ac=

    3

    1( c +2 a ) D E

    e =13

    13

    bc=

    4

    1(3 c +b ) A B

    Gambar 5.31 pembagi ruas garisAB dalam bentuk vektor

    DE= e - d=4

    1(3 c +b ) -

    3

    1( c +2 a )

    =12

    2433 acbc

    =12

    1(9 c +3b - 4 c - 8 a )

    =12

    1(-8 a + 3b - 5 c )

    - Dalam hal ini untuk pembagian di luar,

    rumus" akan lebih mudah digunakan

    bila angka numerikm dan n yang lebih

    besar diambil positif (misalnya 3 : -2

    lebih mudah daripada -3 : 2).

    - JikaPdi tengah-tengah AB, m : n =1 : 1

    Catatan :

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    48/82

    48

    2. Carilah vektor letak titik Pdan Q yang membagi AB di dalam dan di luar dengan perbandinga

    5:3

    Jawab:

    Untuk P, m : n = 5: 3 Untuk Q, m : n = 5 : -3

    Maka p =nm

    anbm

    Maka q =

    nm

    anbm

    =35

    35

    ab=

    35

    35

    ab

    =8

    1(5b +3 a ) =

    2

    1(5b -3 a )

    c. Rangkuman kegiatan belajar 3:

    1. Rumus Jarak

    Diberikan titikA(x1 + y1 + z1) dengan vektor posisi a =

    1

    1

    1

    z

    y

    x

    dan titik B(x2 + y2 + z2) denga

    vektor posisi b =

    2

    2

    2

    z

    y

    x

    Jarak antara titik A dan titik B (perhatikan Gambar 5.25) adalah panjang vektor AB , yai

    AB

    AB = b - a

    =

    2

    2

    2

    z

    y

    x

    -

    1

    1

    1

    z

    y

    x

    =

    12

    12

    12

    zz

    yy

    xx

    2. Rumus Pembagian

    a. Pembagian Ruas Garis dalam Perbandingan m : n

    Misalkan suatu titik Pmembagi ruas garisAB dalam perbandingan m: n sedemikian rup

    sehinggaAP: PB = m : n.

    b. Rumus Pembagian dalam Bentuk Vektor

    Jika p adalah vektor posisi titik Pyang membagi AB dengan perbandingan m : n, Panta

    A dan B, maka

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    49/82

    49

    p =nm

    anbm

    d. Tugas Kegiatan Belajar

    Kerjakan soal-soal yang terdapat dalam LKS tentang rumus jarak, perbandingan, perkalia

    skalar, proyeksi, dan perkalian silang vektor untuk dipresentasikan.

    e. Tes Formatif

    1. Sebuah pesawat terbang tinggal landas dari bandaraAdi Sucipto menuju banda

    Soekarno-Hatta. Berapakah jarak yang ditempuh pesawat terbang tersebut bila pesaw

    tersebut bergerak dari titik x (100, 60, 8) km menuju kota Jakarta sebelum mendarat yan

    berposisi di titiky (300, 30, 18) km?

    2. Hitung jarak antara titik-titik berikut!

    a. O (0,0,0) dan P(4, 4, 2)

    3. Tunjukkan bahwa P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11) adalah titik-titik sudut segitig

    sama kaki!

    4. Pergunakan rumus p =nm

    anbm

    untuk menyatakan vektor-vektor posisi dari titik berik

    dengan a dan b

    a. C, membagi AB dengan perbandingan 3 : 2

    b. D, membagi AB dengan perbandingan 3: -2

    f. Kunci Jawaban

    1. Jarak yang di tempuh pesawat terbang yang tinggal landas menuju Jakarta di hitun

    dengan rumus jarak:

    r = 2122

    12

    2

    12 zzyyxx

    Posisi awal pesawat terbang adalah x (100, 60, 8) km dengan titik tujuannya adalah

    (300, 20, 8) km. Jadi jarak yang ditempuh pesawat tersebut adalah

    r = 222 8106020100300

    = 222 240200

    = 4160040000

    = 41604

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    50/82

    50

    = 203,97 km

    2. O = 0 P = 4

    0 4

    0 4

    OP= 4 0

    4 - 0

    4 0

    OP= 222 040404

    = 161616

    OP = 48

    3, Untuk menyelesaikan soal di atas dilakukan langkah-langkah berikut

    1. Contoh di atas memberikan informasi tersusunnya bangun segitiga sikusiku sama ka

    oleh tiga buah titik, yaitu P(3, 4, -1), Q(-9, -2, 3), dan R(9, 8, 11)

    2. Dari informasi tersebut, kita akan memperlihatkan dengan menggunakan rumus jara

    bahwa segitiga PQRyang disusun dari titik-titik P, Q, dan Rmemang siku-siku sam

    kaki.

    3. Sebuah segitiga dikatakan sama kaki jika ada dua sisinya yang sama panjang, Da

    sebuah segitiga dikatakan siku-siku jika salah satu sudutnya 90, sehingga dala

    segitiga tersebut berlaku teorema pythagoras. Untuk menghitung panjang sisi-s

    segitiga yang akan dibuktikan bahwa segitiga itu siku-siku sama kaki, maka digunaka

    rumus jarak sebagai berikut.

    r = 2122

    12

    2

    12 zzyyxx

    4. Dari persamaan rumus jarak yang terdapat di langkah 3 diperoleh sisi-sisi segitiga it

    yaitu

    PQ =

    222

    134239

    = 1636144

    = 196 = 14

    PR = 222 1114839 = 1441636 = 196 = 14

    QR = 222 3112899 = 81100324 = 506 = 22. 49

    5. Dari hasil yang diperoleh di langkah (4), dengan menerapkan teorema pythagora

    diperoleh

    PQ2 = 14 PR2 = 14 QR2 = 22, 5

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    51/82

    51

    Jika dilihat panjang kedua sisi segitiga itu yaitu AB dan BC, maka segitiga itu adala

    sama kaki, dan jika kita amati dalam segitiga tersebut berlaku teorema pythagora

    yang menyatakan PQ2

    + PR2

    = QR2. Jadi, segitigaABCsiku-siku di B dan sama kak

    4. a. Untuk C, m : n = 3: 2 b. Untuk D, m : n = 3 : -2

    Maka p =nm

    anbm

    Maka q =

    nm

    anbm

    =23

    23

    ab=

    23

    23

    ab

    =5

    1(3b +2 a ) = (3b -2a )

    g. Lembar Kerja Siswa (LKS)1. Tunjukkan bahwa A(3, 5, 7), B(8, 6, 1), C(7, 11, -5), dan D(2, 10, 1) merupakan bela

    ketupat!

    2. Tunjukkan bahwa A(1, 3,-1), B(3, 5, 0) dan C(-1, 4, 1) adalah titik sudut - titik sud

    segitiga siku-siku sama kaki!

    3. Diketahui A(-3, 0), B(6, 0), dan C(9, 0) adalah titik pada sumbu X. Carilah nil

    perbandingan:

    a. OB : BC c.AB : BC e. OB : BA

    b. OC : CB d. OA : OB

    4. Suatu ruas garisAEdibagi menjadi empat bagian yang sama oleh titik B, C, dan D. Carila

    nilai-nilai perbandingan dari:

    a.AB : BD c.AE : EC e. DA : AC

    b.AB : AE d. BE : ED f. CE : EB

    5. Titik-titik P, Q, dn Rberturut-turut titik-titik tengah BC , CA , dan AB dari ABC; a , b

    dan c adalah vektor-vektor posisi dariA, B, C

    Nyatakan p , q , dan rdengan a , b , dan c

    Nyatakan bahwa AP, BQ , clan CR dengan a , b , dan c

    Tunjukkan bahwa p + q + r= a + b + c

    Tunjukkan bahwa AP+ BQ + CR = O

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    52/82

    52

    h. Tingkat Penguasaan

    Rumus :

    Saran-saran yang harus Anda lakukan, sesuai dengan tingkat pengusaan yang telah And

    capai sebagai berikut:

    1. > 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruska

    dengan kegiatan belajar 3.

    2. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan leb

    seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

    3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan da

    bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

    Tingkat Penguasaan = %10015

    xdiperolehyangSkorJumlah

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    53/82

    53

    4. Kegiatan Belajar 4 : Pembagian Dalam Bentuk Koordinat

    a. Tujuan Kegiatan Belajar 4:

    Setelah mempelajari uraian materi ini anda diharapkan dapat:

    1) Dapat menentukan hasil kali skalar dua vektor,

    2) Dapat memahami bentuk komponen perkalian skalar,

    3) Dapat mengetahui besar sudut antara dua vektor,

    4) Dapat menentukan sifat sifat perkalian skalar,

    5) Dapat memahami proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain,

    6) Dapat menentukan perkalian silang dua vektor.

    b. Uraian Materi :

    Jika P(xp, yp, zp) membagi ruas garis yang menghubungkanA (x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z

    dengan perbandingan m : n, maka :

    xp =nm

    nxmx

    12 ; yp =nm

    nymy

    12 ; zp =nm

    nzmz

    12

    Bukti :

    Dari rumus pembagian dalam bentuk vektor, yaitu

    p =nm

    anbm

    ; di mana a =

    1

    1

    1

    z

    yx

    adalah vektor posisi dari titikA (x1, y1, z1)

    b =

    2

    2

    2

    z

    y

    x

    adalah vektor posisi dari titik B(x2, y2, z2)

    dapat diubah menjadi:

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    54/82

    54

    A (x1, y1, z1 P(xp, yp, zp) B(x2, y2, z2)

    p

    p

    p

    z

    y

    x

    =nm

    z

    y

    x

    n

    z

    y

    x

    m

    1

    1

    1

    2

    2

    2

    m n

    p

    p

    p

    z

    yx

    =nm

    1

    12

    12

    12

    nzmz

    nymynxmx

    a p b

    Sehingga diperoleh , O

    Gambar 5.35 titik Q membagi diluar

    xp =nm

    nxmx

    12 ; yp =nm

    nymy

    12 ; zp =nm

    nzmz

    12 (terbukti)

    contoh :

    Carilah koordinat titik Pdan Q yang membagi garis yang menghubungkan A(1, 4, 6) dan B(1,

    2) di dalam dan di luar dengan perbandingan 3 : 1

    Jawab:

    (i) Titik Pmembagi di dalam A(1, 4, 6) P(xp, yp, zp) B(1, 0, 2)

    xp =13

    1113

    =

    4

    13= 1 3 -1

    yp =13

    4103

    =

    4

    40= 1 a p b

    zp =13

    6123

    =

    4

    66= 3

    Jadi, koordinat P(1, 1, 3) O

    Gambar 5.34 Titik P membagi di dalam

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    55/82

    55

    (ii) Titik Q membagi di luar Q (xq, yq, zq) A(1, 4, 6) B(1, 0, 2)

    xq =

    31

    1113

    =

    2

    2= 1 3 -1

    yq =

    31

    4103

    =

    2

    4= -2 q a b

    zq =31

    6)1(23

    =

    20 = 0 O

    Jadi, koordinat Q (1, -2, 0)

    Gambar 5.35 Titik Q membagi di luar

    1. Hasil Kali Skalar Dua Vektor

    Hasil kali skalar dari vektor a dan b yang masing-masing bukan vektor nol dinyatakan denga

    a b (dibaca a dot b). Perkalian skalar dari vektor a dan b adalah suatu bilangan real yan

    didefinisikan oleh:

    a b = a b cos

    adalah sudut antara a dan b , dengan 0 B

    Jika a = 0 atau b = 0 maka a b = 0 dan sudut tidak tertentu.

    Tanda dari a b ditentukan oleh besarnya

    1. Jika 0 0

    a

    2. Jika = 21

    , maka a b = 0

    b

    a

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    56/82

    56

    3. Jika2

    1 < , maka a b < 0

    a

    Gambar 5.36 Tanda dari a b berdasarkan besarnya

    2. Bentuk Komponen Perkalian Skalar

    MisalkanA(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3), maka:

    OA =2

    3

    2

    2

    2

    1 aaa

    AB = 2332

    22

    2

    11 )()()( ababab

    Z

    Y

    B(b1, b2, b3)

    b A(a1, a2, a3)

    a

    O X

    Gambar 5.37 Bentuk komponen perkalian skalar

    1. Karena cos = cos (-), maka arah pengukuran dari a ke b atau dari b ke a

    tidak menjadi soal.

    2. Bila a b , maka a b = 0

    3. Hasil kali skalar dua vektor bukanlah suatu vektor melainkan suatu bilanga

    (skalar).

    Catatan

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    57/82

    57

    Dengan menggunakan aturan cosinus pada AOB, maka:2

    AB =2

    OA +2

    OB - 2 OAOB cos

    (b1 - a1)2 + (b2 a2)

    2 + (b3 a3)2 = (a1

    2 + a22 + a3

    2) + (b12 + b2

    2 + b32) 2 a b cos

    -2 a1 b1 - 2 a2b2 - 2 a3 b3 = 2 a b cos

    a1 b1 + a2b2 + a3 b3 = a b cos

    a1 b1 + a2b2 + a3 b3 = a b atau a b = a1 b1 + a2b2 + a3 b3

    Jika a =

    3

    2

    1

    a

    a

    a

    dan b =

    3

    2

    1

    b

    b

    b

    maka ;

    a b =

    3

    2

    1

    a

    a

    a

    3

    2

    1

    b

    b

    b

    = a1 b1 + a2b2 + a3 b3

    Contoh :

    JikaA(1, 5, 8), B(-2, 1, 3), dan C(1, -6, 0), AB = u dan BC= v , hitunglah u v

    Jawab:

    u = AB = b - a =

    3

    1

    2

    -

    8

    5

    1

    =

    5

    4

    3

    s

    v = BC= c - b =

    0

    6

    1

    -

    3

    1

    2

    =

    3

    7

    3

    u v =

    5

    4

    3

    3

    7

    3

    = -3(3) + (-4)(-7) + (-5)(-3)

    = -9 + 28 + 15 = 34

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    58/82

    58

    3. Besar Sudut Antara Dua Vektor

    Jika dua vektor a dan b bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor terseb

    adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a dan kaki vektor b . Sudut yang diambil adala

    sudut terkecil. Sudut

    Dari rumus:

    ab = a

    1b

    1+ a

    2b

    2+ a

    3b

    3

    a b = a b cos

    Gambar 5.38 Sudut antara dua vektor

    Diperoleh:

    cos =ba

    ba =

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    2

    3

    2

    2

    2

    1

    332211

    bbbaaa

    bababa

    Contoh:

    Carilah besar sudut antara a dan b , bila a = i + j + 2 k dan b = - 2 i + j + k

    Jawab:

    Langkah penyelesaian untuk contoh di atas adalah

    1. Contoh di atas memberikan informasi adanya dua vektor berarah a dan b yang memil

    satuan-satuan a = i + j + 2 k dan b = - 2 i + j + k

    2. Kedua vektor di atas akan diolah untuk memperoleh besar sudut antara a dan b

    3. Untuk memperoleh besar sudut a dan b , maka digunakan rumus perkalian skalar antara

    dan b , sehingga

    a b = a b cos

    cos =ba

    ba

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    59/82

    59

    4. Dari langkah (1) kita memperoleh vektor satuan-vektor satuan dari vektora dan b , yaitu

    a =

    2

    1

    1

    ; b =

    1

    1

    2

    5. Dari langkah (4) didapatkan:

    a b =

    2

    1

    1

    1

    1

    2

    = -2 + 1 2 = -3

    cos =ba

    ba =

    1144113

    =

    36

    3

    2

    1

    = arc cos 2

    1

    = 1200

    4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar

    a. Sifat-Sifat yang Berlaku pada Perkalian Skalar

    Misalkan a =

    3

    2

    1

    a

    a

    a

    , b =

    3

    2

    1

    b

    b

    b

    , dan c =

    3

    2

    1

    c

    c

    c

    adalah vektor-vektor di R3

    yang dinyataka

    dalam bentuk vektor kolom di mana berlaku sifat-sifat sebagai berikut.

    1. Komutatif, yaitu a b atau dari b a

    2. Distributif perkalian skalar terhadap penjumlahan, yaitu

    a (b + c ) =a b + a c

    Bukti :

    1. a b =

    3

    2

    1

    a

    a

    a

    3

    2

    1

    b

    b

    b

    = a1 b1 + a2b2 + a3 b3

    = b1 a1 + b2a2+ b3 a3

    = b a

    Jadi, a b = b a terbukti bahwa pada perkalian skalar bersifat komutatif.

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    60/82

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    61/82

    61

    = 16 + 12 2

    b. b ( a + b ) = b a + b b

    = b a cos4

    1 + b 2

    = 6 4 2

    12 + 62

    = 12 2 + 36

    = 36 + 12 2

    5. Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor Lain

    Salah satu kegunaan dari perkalian skalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal da

    suatu vektor pada vektor lain.

    a. Proyeksi Skalar Ortogonal

    Proyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau serin

    dikatakan dengan panjang proyeksi vektor.

    Misalkan proyeksi OA pada OB adalah OC (perhatikan Gambar 5.39).

    A

    O C

    Gambar 5.39 Proyeksi skalar ortogonal

    |OC| = | c | disebut proyeksi skalar ortogonal a pada b . | c | = a cos (perhatikan AO

    pada Gambar 5.39 di mana cos =OA

    OC=

    a

    c

    Dari rumus:

    a b = a b cos

    Diperolah :

    a b = a b cos (ruas kanan dan ruas kiri sama-sama dibagi dengan b )

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    62/82

    62

    a cos =b

    ba pada gambar

    | c | = a cos

    Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah

    c =b

    ba

    Nilai proyeksi skalar ortogonal mungkin positif, nol, atau negatif, tergantung dan besamya sudu

    .

    Jika:

    1. 0 80 % Bagus! Pertahankan prestasi yang telah Anda capai dan Anda dapat meneruska

    dengan kegiatan belajar 3.

    2. 60 80 % Anda masih perlu membaca kembali teks subkomptensi ini dengan leb

    seksama, terutama bagian yang belum anda kuasai.

    3. < 60 % Anda belum belajar bersungguh-sungguh, Anda harus mengejar ketinggalan da

    bertanyalah pada guru mata pelajaran tentang kesulitan Anda.

    Tingkat Penguasaan = %10015

    xdiperolehyangSkorJumlah

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    73/82

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    74/82

    74

    7. Diketahuhi vektora =

    1

    2

    3

    dan vektorb =

    4

    3

    2

    a) Tentukan a + b dan b + a

    b) Periksalah apakah a + b = b + a

    8. Vektor posisi titikA

    dan titikB

    berturut turut adalah a dan b . TitikC

    dan titikD

    pada ruas garisA

    sehunggaAC : CB = 1 : 3 danAD : DC= 3 : -1

    a) Tentukan vektor posisi titik C

    b) Tentukan vektor posisi titik D

    9. Diketahui ruas garis PQ dengan koordinat titik P(2, 3, -1) dan koordinat titik Q (7, -2, 9). Titik

    membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 1 : 4. tentukan koordinat titik R.

    10.Panjang vektor a dan panjang vektor b masing masing adalah 4 satuan dan 5 satuan. Bes

    sudut antara vektor a dan panjang vektorb sama dengan 60

    0

    Hitung hasil kali skalar antara vektor a dengan vektorb

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    75/82

    75

    SISTEM PENILAIAN

    Mata Pelajaran : Matematika

    Kompetensi : Menerapkan Vektor

    Alokasi Waktu : 20 Jam

    Sub

    Kompetensi

    (Kode)

    Metode

    Penilaian

    Penilaian Total nilai

    Instrumen Nilai

    K.1 Pemberian

    Tugas

    LKS 1 10 20

    Uraian

    Objektif

    Tes Formatif 1 10

    K.2 Pemberian

    Tugas

    LKS 2 10 20

    Uraian

    Objektif

    Tes Formatif 2 10

    K.3 Pemberian

    Tugas

    LKS 3 10 20

    Uraian

    Objektif

    Tes Formatif 3 10

    K.4 Pemberian

    Tugas

    LKS 4 10 20

    Uraian

    Objektif

    Tes Formatif

    4

    10

    Ulangan Blok Evaluasi

    belajar satu

    kompetensi

    20

    Jumlah Nilai akhir 100

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    76/82

    76

    Kunci Jawaban Evaluasi

    1. A (3,-2) xa = 3, ya = -2 dan B (-1,5) xb = -1, yb = 5

    p = AB =

    ab

    ab

    yy

    xx=

    25

    31=

    7

    4

    q = BA =

    ba

    ba

    yy

    xx=

    52

    13=

    7

    4

    Jadi, vektorp = AB =

    7

    4dan vektor q = BA =

    7

    4

    2. a). a + b =

    1

    3+

    4

    2=

    41

    23=

    3

    5

    b + a =

    4

    2+

    1

    3=

    14

    32=

    3

    5

    b). Berdasarkan hasil hasil perhitungan yang diperoleh pada a) ;

    a + b =

    3

    5

    b + a =

    3

    5jadi, a + b = b + a

    Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahw

    penjumlahan vekor dalam bidang bersifat komutatif.

    c). Dengan menggunakan hasil a) :

    ( a + b ) + c =

    3

    5+

    3

    1=

    33

    15=

    6

    4

    Dihitung terlebih dahulu (b + c ) =

    34

    12=

    7

    1

    a + (b + c ) =

    3

    1+

    7

    1=

    71

    13=

    6

    4

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    77/82

    77

    d). Dengan menggunakan hasil hasil perhitungan pada bagian c), diperoleh :

    a + (b + c ) =

    6

    4

    ( a + b ) + c =

    6

    4jadi, ( a + b ) + c = a + (b + c )

    Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa penjumlaha

    vektor dalam bidang bersifat asosiatif.

    3.2

    1p =

    2

    1

    2

    4=

    22

    1

    42

    1

    =

    1

    2

    3

    1 q =

    3

    1

    6

    9=

    631

    93

    1

    =

    2

    3

    4

    1r =

    4

    1

    8

    4=

    84

    1

    44

    1

    =

    2

    1

    4. a). Koordinat titikA (1, 7), maka OA= a =

    7

    1

    Koordinat titik B (4, 1), maka OB = b =

    1

    4

    AB = b - a =

    1

    4-

    7

    1=

    71

    14=

    6

    3

    Jadi, ruas garis berarah AB =

    6

    3

    b). AC =31 AB =

    31

    63 =

    21

    jadi, ruas garis berarah AC=

    2

    1

    c). Misalkan koordinat titik C adalah (x,y), maka OC= c =

    y

    x

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    78/82

    78

    AC= c - a =

    y

    x-

    7

    1=

    7

    1

    y

    x

    Dengan menggunakan hasil perhitungan b), diperoleh hubungan ;

    7

    1

    y

    x=

    2

    1

    Berdasarkan hubungan vektor di atas, diperolah :

    x 1 = 1, menghasilkan x = 2

    y 7 = -2, menghasilkan y = 5

    jadi, koordinat titik Cadalah (2,5)

    5. a). c = 22 )4()2( = 20 = 2 5

    Jadi, panjang vektor c adalah c = 2 5 satuan panjang.

    b). a + b =

    32 +

    11 =

    43

    ba = 22 )4()3( = 25 = 5

    Jadi, panjang vektor a + b adalah ba = 5 satuan panjang.

    6. Mula mula ditentukan terlebih dahulu panjangf dari vektora

    a = 22 )3()4( = 25 = 5

    Vektor satuan dari a adalah e =a

    a=

    5

    1

    3

    4=

    5

    3

    5

    4

    Jadi, vektor satuan dari a =

    3

    4adalah e =

    5

    3

    5

    4

    7. a). a + b =

    1

    2

    3

    +

    4

    3

    2

    =

    3

    1

    5

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    79/82

    79

    b + a =

    4

    3

    2

    +

    1

    2

    3

    =

    3

    1

    5

    b). Dengan menggunakan hasil hasil perhitungan pada bagian a), diperoleh :

    a + b =

    3

    1

    5

    b + a =

    3

    1

    5

    jadi, a + b = b + a

    Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi hasil perhitungan ini menunjukkan bahwa

    penjumlahan vektor dala ruang bersifat komutatif.

    8. a). Titik C pada ruas garisAB sehinggaAC : CB = 1 : 3 atau m = 1 dan n = 3

    Vektor posisi titik Cadalah vektor c ditentukan oleh:

    c =nm

    anbm

    c =31

    31

    ab

    c =4

    1(b + 3 a ) =

    4

    1(3 a + b )

    Jadi, vektor posisi titik Cadalah = c =4

    1(3 a + b )

    b). Titik D pada ruas garisAB sehinggaAD : DB = 3 : -1 atau m = 3 dan n = -1

    vektor posisi titik D adalah vektor dditentukan oleh :

    d=nm

    anbm

    d = 13

    13

    ab

    d =2

    1(3b - a )

    Jadi, vektor posisi titik D adalah = d =2

    1(3b - a )

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    80/82

    80

    9. Titik Rmembagi ruas garis PQ dengan P(2, 3, -1) Q(7, -2, 9)

    perbandingan 1 : 4 atau PR: RQ = 1 : 4

    sebagaimana diperlihatkan pada gambar di R

    samping.

    Misalkan koordinat titk R(x, y, z), maka berdasarkan rumus perbandingan koordinat titik titik di

    ruang dengan m = 1 dan n = 4, diperoleh :

    x =

    41

    2471 = 3

    y =

    41

    3421= 2

    z =

    41

    1491= 1

    Jadi, koordinat titik Radalah (3. 2, 1)

    10.Berdasarkan definisi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektorb ditentukan oleh :

    a .b = a b cos

    a .b = 4 x 5 x cos 600 , sebab (sudut antara vektor a dengan vektorb ) = 600

    a .b = 4 x 5 x2

    1= 10

    Jadi, hasil kali skalar antara vektor a dengan vektorb adalah a .b =10

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    81/82

    81

    BAB IV

    PENUTUP

    Sebagai tindak lanjut seluruh kegiatan belajar dalam Modul Eksponen ini adalah :

    1. Jika hasil evaluasi terhadap penguasaan kompetensi mencapai 75 % atau lebih, maka sisw

    dapat melanjutkan ke modul berikutnya.

    2. Siswa dapat melanjutkan ke modul berikutnya setelah memperoleh rekomendasi dari guru ma

    pelajaran matematika.

    3. Peserta didik yang masih belum mencapai penguasaan kompetensi 75 %, maka siswa haru

    mengulang secara keseluruhan atau bagian-bagian tahap kegiatan belajar yang belum dikuas

    dengan baik.

    4. Kemungkinan diberikannya pembelajaran remedial bagi yang memperoleh nilai yang lebih kec

    dari 6, terutama terhadap siswa yang memperoleh nilai terendah.

    5. Pengayaan serta akselerasi bagi siswa yang berprestasi juga dimungkinkan sesuai denga

    ketersediaan waktu

  • 7/30/2019 PDF Vektor Evi

    82/82

    Daftar Pustaka

    Sunardi, H. Dkk 2005. MATEMATIKA Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam

    Jakarta : Bumi Akasara.

    Wirodikromo, S. 2006. Matematika Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam.

    Penerbit : Erlangga