PERSAMAANDIFERENSIAL BIASADAN APLIKASINYA

StudentHandbook

Prof. Drs. Dafik, M.Sc, Ph.D.

1Untuk Keluarga Tercinta

Daftar Isi

Daftar Tabel 5

Daftar Gambar 7

Kata Pengantar 8

1 Konsep Dasar 1

1.1 Klasifikasi Persamaan Difrensial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Solusi PDB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Metoda Penyelesaian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Masalah Nilai Awal (MNA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 PDB Linier Order Satu 13

2.1 PDB Linier Order Satu Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1 PDB Eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.2 Solusi PDB Eksak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.3 Faktor Integrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.4 Teknik Variabel Terpisah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 PDB Linier Order Satu Nonhomogen . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2

DAFTAR ISI 3

3 Aplikasi PDB Order Satu 24

3.1 Masalah Dalam Mekanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1 Pertumbuhan Populasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 Peluruhan Radioaktif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Hukum Pendinginan Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Campuran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4 PDB Linier Order Dua 38

4.1 PDB Order n Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 PDB Order n Nonhomogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 PDB Order Dua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.1 PDB Order Dua Homogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.2 PDB Order Dua Nonhomogen . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Aplikasi PDB Order Dua 53

5.1 Vibrasi Bebas dan Takteredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 Vibrasi Bebas dan Teredam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Vibrasi Takbebas Gaya Luar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Sistem PDB 65

6.1 Solusi Sistem PDB Linier Orde Satu Homogen dengan Koefisien

Kosntan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.1.1 Akar Riel dan Berbeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.1.2 Akar-Akar Komplek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.1.3 Akar Riel dan Sama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

DAFTAR ISI 4

6.2 Metoda Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7 PDB Nonlinier dan Kesetimbangan 78

7.1 Sistem Linier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2 Sistem Otonomus dan Trayektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3 Kestabilan Titik Kritis dari Sistem Otonomus . . . . . . . . . . . 82

7.4 Potret Fase Sistem Otonomus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8 Potret Fase Sistem PDB Nonlinier dan Aplikasi 100

8.0.1 Interaksi Populasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.0.2 Mekanika Taklinier Ayunan Sederhana . . . . . . . . . . . 106

Daftar Tabel

4.1 Panduan permisalan solusi khusus PDB non homogen. . . . . . . 47

7.1 Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus linier . . . . . . 92

8.1 Potret fase dan stabilitas sistem PDB otonomus nonlinier . . . . . 101

5

Daftar Gambar

1.1 Diagram kekonvekan untuk D R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Diagram kekonvekan untuk D R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1 Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi. . . . . . . . . 28

3.2 Proses campuran dalam tangki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Gerakan benda pada bidang miring. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1 Vibrasi pada pegas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2 Getaran pada pegas tak teredam dan bebas gaya luar . . . . . . . 58

5.3 Getaran pada pegas teredam dan bebas gaya luar . . . . . . . . . 59

5.4 Ekspresi getaran suku fungsi pertama . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.5 Ekspresi getaran suku fungsi kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.6 Getaran pada pegas takbebas gaya luar . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.1 Dua tangki yang saling berhubungan. . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.2 Gerak harmonis sebuah pegas dengan dua beban. . . . . . . . . . 77

7.1 Trayektori sistem PDB dengan variasi nilai awal. . . . . . . . . . 82

7.2 Potret fase sistem PDB dengan MAPLE . . . . . . . . . . . . . . 84

7.3 Ringkasan potret fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6

DAFTAR GAMBAR 7

7.4 Potret fase untuk nilai awal tertentu . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.5 Potret fase sistem secara umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.6 Potret fase untuk nilai awal tertentu . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.7 Potret fase sistem secara umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

8.1 Potret fase model interaksi Pemangsa dan Mangsa . . . . . . . . . 105

8.2 Potret fase sistem secara umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

8.3 Ayunan Bandul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.4 Trayekktori sistem ayunan bandul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.5 Potret fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.6 Potret fase secara umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

8.7 Dua tangki yang saling berhubungan. . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.8 Rangkaian tertutup seri R,L dan C. . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Allah S.W.T karena atas anugerah dan karuniahNya penulis

dapat menyelesaikan buku ini dengan judul Persamaan Diferensial Biasa

dan Aplikasinya. Buku ini dibuat untuk membantu mahasiswa menemukan re-

frensi utama mata kuliah Persamaan Difrensial Biasa memandang cukup langkanya

buku-buku persamaan difrensial dalam bahasa Indonesia.

Dalam buku ini dijelaskan bagaimana konsep persamaaan difrensial secara

umum, PDB order satu homogen dan nonhomogen, PDB order dua atau lebih

serta aplikasi dari suatu PDB, sistem PDB, sistem Otonomus, kestabilan dan

fase potret dari sistem Otonomus. Pokok bahasan ini disajikan dengan hara-

pan mahasiswa memahami esensi dari persamaan difrensial dan sekaligus sebagai

penunjang langsung materi perkuliahan. Dalam buku pegangan ini dilengkapi

beberapa fungsi dalam MAPLE programming serta latihan soal-soal tutorial un-

tuk memperdalam wawasan pemahaman mahasiswa tentang PDB. Semua materi

dalam buku ini ditulis dalam LATEX2E word processing sehingga ekspresi

fungsi matematik dapat disajikan dengan benar.

Selanjutnya dalam kesempatan ini penulis tak lupa menyampaikan banyak

terima kasih kepada yang terhormat:

1. Dekan FKIP Universitas Jember.

8

DAFTAR GAMBAR 9

2. Ketua Program Pendidikan Matematika yang telah memberikan motivasi

dan rekomendasi penggunaannya dalam perkuliahan.

3. Semua pihak yang terlibat langsung maupun tak langsung dalam penyusunan

buku ajar ini.

Semoga bantuan rielnya mendapat balasan yang setimpal dari Allah S.W.T.

Akhirnya penulis berharap agar buku pegangan ini memberikan manfaat bagi

pembaca, oleh karena itu kritik dan saran masih penulis harapkan untuk penyem-

purnaan dikemudian hari.

Jember, September 2014 Penulis

Daftar Isi

10

Daftar Tabel

11

Daftar Gambar

12

BAB 1

Konsep Dasar

1.1 Klasifikasi Persamaan Difrensial

Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difren-

sial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui

perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam definisi berikut.

Definisi 1.1.1 Persamaan Difrensial Suatu persamaan yang meliputi turunan

fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas

disebut Persamaan Difrensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergan-

tung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa (PDB)

dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difren-

sial Parsial (PDP)

Contoh 1.1.1 Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB

dan PDP.

1. yx

+ yt+ xy = 5

1

BAB 1. KONSEP DASAR 2

2. dydx

+ d2ydx2

+

(dydx

)2 3x = 0

3. 2ys2

+ yt y = 0

4. d3ydx3

+

(d2ydx2

)3+

(dydx

)2 x = 2y

5. ux

+ uy

+ uz

= 5

6.

(dydx

)5+ d

2ydx2

+

(dydx

)2= 7 y

x

Dalam bahan ajar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada

Persamaan Difrensial Biasa (PDB). Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya

akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang hanya terikat

pada satu variabel bebas.

Definisi 1.1.2 Order Order suatu PDB adalah order tertinggi dari turunan

dalam persamaan F (x, y, y, . . . , y(n)) = 0.

Definisi 1.1.3 Linieritas dan Homogenitas PDB Order n dikatakan linier

bila dapat dinyatakan dalam bentuk

a0(x)y(n) + a1(x)y

(n1) + + an(x)y = F (x), dimana a0(x) 6= 0

Selanjutnya:

1. Bila tidak dapat dinyatakan