Page 1
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 7 No. 3 Tahun 2019 ISSN 2301-9115
236
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG SEMIMETRIK SUBORDINAT
Muhammad Imam Sukro Aribowo
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
email: [email protected]
Manuharawati
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya
email: [email protected]
Abstrak
Ruang semimetrik (πΈ, ππ ) disebut ruang semimetrik subordinat jika terdapat fungsi ΞΆ: [0, β] β
[0, β] dimana ν merupakan fungsi tak-turun dengan limπ₯β0
ν(π₯) = 0 dan terdapat (π₯π) barisan ππ βCauchy
tak hingga pada πΈ dan ππ βkonvergen ke π₯ β πΈ sedemikian hingga untuk setiap π¦ β E berlaku ππ (π₯, π¦) β€
ΞΆ (lim
sup ππ (π₯π , π¦)). Titik π₯ β πΈ disebut titik tetap pada fungsi π: πΈ β πΈ jika dan hanya jika π(π₯) = π₯.
Hasil penelitian menjelaskan mengenai konsep dari ruang semimetrik subordinat, sifat-sifatnya, serta
teorema titik tetap pada ruang semimetrik subordinat lengkap.
Kata Kunci: teorema titik tetap, ππ βCauchy, ππ βkonvergen, ruang semimetrik, ruang semimetrik subordinat.
Abstract
A semimetric space (πΈ, ππ ) is said to be a subordinate semimetric space if exist function ν βΆ
[0, β] β [0, β] such that ν is a nondecreasing function with limπ₯β0
ΞΆ(x) = 0 and exist (π₯π) is an
ππ βCauchy sequence is infinite at πΈ and ππ βconvergence sequence to π₯ β πΈ, for each π¦ β πΈ such that
ππ (π₯, π¦) β€ ΞΆ (lim
sup ππ (π₯π, π¦)). The point π₯ β πΈ is said to be a fixed point of function π: πΈ β πΈ if and
only if π (π₯) = π₯. This study explain the concept of subordinate semimetric spaces, properties, and a
fixed point theorem in complete subordinate semimetric space.
Keywords: fixed point theorem, ππ βCauchy, ππ βconvergence, semimetric space, subordinate semimetric space.
1. PENDAHULUAN
Matematika merupakan ilmu yang mendasari
berbagai bidang ilmu. Matematika dikenal sebagai
Mother Of Science dan terdiri dari berbagai topik seperti
Aljabar, Statistika, Matematika Terapan, Komputasi, dan
Analisis (Pramitasari, 2013). Pada tahun 1906, Mourice
Frechet memperkenalkan ruang metrik (Kreyszig,1978).
Perluasan analisis fungsional pada konsep ruang metrik
sudah banyak dikembangkan, di antaranya pada tahun
1931, W.A Wilson memperkenalkan ruang kuasi metrik
melalui artikelnya yang berjudul On quasi-metric spaces
(W. A. Wilson, 1931). Pada tahun 1959, H. Nakano
memperkenalkan metrik modular melalui artikelnya yang
berjudul Modular Semi-Ordered Spaces (H. Nakano,
1959). Pada tahun 1993, S. Czerwik memperkenalkan
konsep ruang b-metrik melalui artikelnya yang berjudul
Contraction mapping in b-metric spaces (S. Czerwik,
1993).
Salah satu topik yang juga dibahas dalam analisis
adalah teorema titik tetap. Teorema titik tetap pertama
kali diperkenalkan oleh ahli matematika Polandia Stefan
Banach yang dikenal sebagai Banach Contraction
Principle (BCP) pada tahun 1920 (Kreyzig,1978).
Seiring perkembangan waktu, muncul ide-ide baru
mengenai konsep ruang serta teorema titik tetap di
dalamnya dari berbagai peneliti, diantaranya Mohamed
Jleli dan Bessem Samet yang memperkenalkan konsep
ruang metrik umum pada tahun 2015 (Jleli dan Samet,
2015) dan Jose Villa-Morales yang memperkenalkan
konsep ruang semimetrik subordinat pada tahun 2018
(JosΓ© Villa-Morales 2018). Hasil dari penelitian JosΓ© Villa-Morales tahun 2018
akan dibahas lebih rinci dalam paper yang berjudul
βTeorema Titik Tetap pada Ruang Semimetrik
Subordinatβ. Dalam paper ini dibahas ketunggalan titik
Page 2
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG SEMIMETRIK SUBORDINAT
237
tetap Matkowski pada ruang semimetrik subordinat
lengkap dan ketunggalan titik tetap Kannan-Ciric untuk
fungsi q-kontraktif pada ruang semimetrik subordinat
lengkap. Untuk itu, sebelum menganalisis ketunggalan
titik tetapnya diperlukan pemahaman mengenai
kekonvergenan suatu barisan, barisan Cauchy, dan
kelengkapan pada ruang semimetrik subordinat.
2. KAJIAN TEORI
Definisi 2.1 Diberikan π΄ β β, fungsi π: π΄ β β dikatakan
tak-turun jika untuk setiap π₯, π¦ β π΄, π₯ < π¦ berlaku
π(π₯) β€ π(π¦). (Parzynsky, 1982)
Definisi 2.2 Diberikan π himpunan tak kosong. Fungsi
π: π Γ π β β disebut metrik jika untuk setiap π₯, π¦, π§ β
π berlaku:
(π1) π(π₯, π¦) β₯ 0 dan π(π₯, π¦) = 0 βΊ π₯ = π¦
(π2) π(π₯, π¦) = π(π¦, π₯)
(π3) π(π₯, π¦) β€ π(π₯, π§) + π(π§, π¦)
Pasangan (π, π) disebut ruang metrik.
(Ghozali, 2010)
Definisi 2.3 Barisan pada ruang metrik (π, π) adalah
fungsi yang didefinisikan pada β = {1, 2, 3, β¦ } dan π
sebagai kodomainnya. Barisan dinotasikan dengan (π₯π).
(Bartle & Sherbert, 2000)
Jika π: β β β suatu barisan maka nilai titik π oleh π
dinyatakan dengan π(π) atau π₯π yang disebut unsur ke-π
dari barisan π. Selanjutnya barisan tersebut biasa ditulis
sebagai
π = (π₯π) atau (π₯π) atau (π₯π: π β β).
Adapun range dari π adalah {π₯π: π β β}.
Definisi 2.4 Diberikan barisan bilangan real π = (π₯π)
pada ruang metrik (π, π) dan bilangan asli
π1, π2, π3, β¦ , ππ , β¦ dengan π1 < π2 < π3 < β― < ππ < β― .
Barisan bilangan real πβ² = (π₯π1, π₯π2
, π₯π3, β¦ , π₯ππ
, β¦ )
disebut subbarisan dari π jika π₯ππ merupakan unsur barisan
π.
(Manuharawati, 2003)
Definisi 2.5 Diketahui barisan bilangan real π = (π₯π) dan
π β β. Ekor ke-π dari barisan π dinotasikan dengan ππ
didefinisikan sebagai
ππ = (π₯π+π) = (π₯π+1 , π₯π+2, π₯π+3, β¦ ). (Manuharawati, 2003)
Definisi 2.6 Diketahui π β β dengan π tak kosong.
Barisan (π₯π) pada π dikatakan hingga jika terdapat
ekor barisan ke-π sedemikian hingga untuk setiap
π, π β β , π, π β₯ π + 1 berlaku π₯π = π₯π . Barisan (π₯π)
pada π dikatakan tak hingga jika terdapat ekor barisan
ke-π sedemikian hingga untuk setiap π, π β β, π β₯ π +
1, π β₯ π + 1, π β π berlaku π₯π β π₯π.
(Hierroa dan Shahzad, 2016)
Definisi 2.7 Diketahui π΄ β β. π’ β β disebut batas atas π΄
jika untuk setiap π β π΄ berlaku π β€ π’.
(Manuharawati, 2003)
Definisi 2.8 Diketahui π΄ β β. π‘ β β disebut batas bawah
π΄ jika untuk setiap π β π΄ berlaku π‘ β€ π. (Manuharawati, 2003)
Definisi 2.9 Diketahui π΄ β β. πΌ π β disebut batas atas
terkecil (supremum) π΄ dan dinotasikan dengan πΌ =
sup π΄ jika memenuhi:
(π΄1) untuk setiap π β π΄ berlaku π β€ πΌ
(π΄2) jika π’ sebarang batas atas π΄ maka πΌ β€ π’. (Manuharawati, 2003)
Definisi 2.10 Diketahui π΄ β β. π½ π β disebut batas
bawah terbesar (infimum) π΄ dan dinotasikan dengan π½ =
inf π΄ jika memenuhi:
(π΅1) untuk setiap π β π΄ berlaku π β€ π½
(π΅2) jika π‘ sebarang batas bawah π΄ maka π‘ β€ π½. (Manuharawati, 2003)
Definisi 2.11 Diketahui barisan π = (π₯π) dan ππ
adalah subbarisan π . Limit supremum dari barisan π
dinotasikan lim sup π didefinisikan sebagai
lim sup (π₯π) = inf {sup ππ: π
β {π, π + 1, π + 2, β¦ }: π β β}
= β ( β ππ
β
π=π
)
β
π=1
(Hazewinkel, 2001).
Definisi 2.12 Diberikan fungsi π: π β π , titik π₯ β π
disebut titik tetap π jika π(π₯) = π₯.
(Shapiro, 2016)
3. PEMBAHASAN Definisi 3.1 Diberikan πΈ himpunan tak kosong. Fungsi
ππ βΆ πΈ Γ E β [0, β] disebut semimetrik jika untuk
setiap π₯, π¦ β πΈ memenuhi syarat:
(π1) jika ππ (π₯, π¦) = 0 maka π₯ = π¦
(π2) ππ (π₯, π¦) = ππ (π¦, π₯)
Jika fungsi ππ adalah semimetrik, maka pasangan
(πΈ, ππ ) disebut ruang semimetrik.
(JosΓ© Villa-Morales 2018).
Page 3
Volume 7 No. 3 Tahun 2019, Hal 236-241
238
Definisi 3.2 Diketahui (πΈ, ππ ) ruang semimetrik. Barisan
(π₯π) pada E disebut ππ β konvergen ke π₯ β πΈ jika
lim
ππ (π₯π , π₯) = 0.
(J. Villa-Morales, 2018)
Definisi 3.3 Diketahui (πΈ, ππ ) ruang semimetrik. Barisan
(π₯π) pada πΈ disebut ππ βCauchy jika
lim
ππ (π₯π , π₯π) = 0.
(J. Villa-Morales, 2018)
Definisi 3.4 Ruang semimetrik. (πΈ, ππ ) dikatakan
lengkap jika setiap barisan ππ βCauchy pada πΈ adalah
ππ βkonvergen.
(J. Villa-Morales, 2018)
Definisi 3.5 Ruang semimetrik (πΈ, ππ ) disebut ruang
semimetrik subordinat jika terdapat fungsi ν βΆ [0, β] β
[0, β] yang memenuhi syarat berikut.
(π1) ΞΆ adalah fungsi tak-turun dengan lim π₯β0
ΞΆ(π₯) = 0
(π2) terdapat barisan ππ βCauchy tak hingga (π₯π)
pada πΈ dan ππ β konvergen ke π₯ β πΈ
sedemikian hingga untuk setiap π¦ β E berlaku
ππ (π₯, π¦) β€ ΞΆ (lim
sup ππ (π₯π, π¦)).
(J. Villa-Morales, 2018)
Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa ruang
semimetrik (πΈ, ππ ) adalah subordinat relatif untuk fungsi
ν.
Definisi 3.6 Ruang semimetrik subordinat (πΈ, ππ )
dikatakan lengkap jika setiap barisan ππ βCauchy pada
πΈ adalah ππ βkonvergen.
(J. Villa-Morales, 2018)
Sebelum membahas teorema titik tetap pada ruang
semimetrik subordinat, terlebih dahulu akan
didefinisikan suatu fungsi π-kontraktif sebagai berikut.
Definisi 3.7 Diberikan (πΈ, ππ ) ruang semimetrik
subordinat dan π β β, fungsi π βΆ πΈ β E dikatakan π -
kontraktif jika untuk setiap (π₯, π¦) β πΈ Γ E berlaku
ππ (π(π₯), π(π¦)) β€ π max {ππ (π₯, π(π₯)), ππ (π¦, π(π¦))},
untuk suatu π β (0, 1). (J. Villa-Morales, 2018)
Diberikan πΈhimpunan tak kosong dan fungsi π βΆ πΈ β
E . Untuk setiap π₯ β πΈ , didefinisikan π[π](π₯) rekursif
dengan π[0](π₯) = π₯ dan π[π+1](π₯) = π(π[π](π₯) ) . Dari
kasus ini, diperoleh sebuah teorema titik tetap Kannan-
Ciric berikut.
Teorema 3.1 Diberikan fungsi π -kontraktif π βΆ πΈ β E
pada ruang semimetrik lengkap (πΈ, ππ ).
i. Jika ada π₯0 β πΈ sedemikian hingga
lim sup ππ (π[π](π₯0), π[π+1](π₯0)) < β,
maka (π[π](π₯0)) ππ βkonvergen ke suatu οΏ½ΜοΏ½ β πΈ.
ii. Misalkan (πΈ, ππ ) ruang semimetrik subordinat dan
ν(π‘) < π‘
π, untuk semua 0 < π‘ < β.
Jika ππ (π₯,Μ π(π₯)) < β, maka οΏ½ΜοΏ½ adalah titik tetap tunggal
π.
Bukti.
i). Bentuk barisan (π₯π) melalui rumus rekursif. Ambil
π₯0 β πΈ, π₯π = π(π₯πβ1) = ππ(π₯0), dengan ππ adalah fungsi
komposit sebanyak n kali. Karena fungsi π adalah π -
kontraktif, maka diperoleh:
lim sup ππ (π₯π , π₯π+1)
= lim sup ππ (π(π₯πβ1), π(π₯π))
β€ lim sup π max {ππ (π₯πβ1, π(π₯πβ1)), ππ (π₯π , π(π₯π))}
= π lim sup max {ππ (π₯πβ1, π(π₯πβ1)), ππ (π₯π , π₯π+1)}
β€ π lim sup ππ (π₯π, π₯π+1).
Karena 0 β€ lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) β€π lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) dengan π β (0,1) dan diketahui
bahwa
lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) < β, maka akan dibuktikan bahwa
lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) = 0.
Andaikan
lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) β 0, berarti
lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) > 0. Karena π β (0,1), maka jelas bahwa
π lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) < lim sup ππ (π₯π , π₯π+1). Kontradiksi dengan yang diketahui (pengandaian salah).
Harusnya
lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) = 0. Karena lim sup ππ (π₯π , π₯π+1) = 0, maka berdasarkan
definisi limit supremum diperoleh ππ (π₯π , π₯π+1) β€ 0. Karena
0 β€ ππ (π₯π , π₯π+1) β€ 0, maka diperoleh
ππ (π₯π , π₯π+1) = 0. Jika diberikan ν > 0 , maka terdapat π β β sedemikian
hingga
ππ (π₯π , π₯π+1) < π,
untuk semua π β β, π β₯ π. Misal diberikan π, π β₯ π + 1, maka berlaku
ππ (π₯π , π₯π) = ππ (π(π₯πβ1), π(π₯πβ1))
β€ π max {ππ (π₯πβ1, π(π₯πβ1)), ππ (π₯πβ1, π(π₯πβ1))}
= π max {ππ (π₯πβ1, π₯π), ππ (π₯πβ1, π₯π)}
< π (π
) = ν.
Diperoleh ππ (π₯π, π₯π) < ν. Berdasarkan Definisi 3.3,
maka (π₯π) adalah barisan ππ β Cauchy. Karena (π₯π)
barisan ππ β Cauchy pada ruang semimetrik lengkap,
maka berdasarkan Definisi 3.5, (π₯π) merupakan barisan
ππ βkonvergen ke suatu οΏ½ΜοΏ½ β πΈ.
ii). Akan dibuktikan bahwa οΏ½ΜοΏ½ adalah titik tetap untuk π.
Jika barisan (π₯π) hingga atau konstan, maka ada π0 β β
sedemikian hingga π₯π = π₯π0= οΏ½ΜοΏ½, untuk semua π β₯ π0
dan berlaku
π(οΏ½ΜοΏ½) = π(π₯π0) = π₯π0+1 = οΏ½ΜοΏ½.
Page 4
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG SEMIMETRIK SUBORDINAT
239
Di sisi lain, jika barisan (π₯π ) tak hingga maka berdasarkan
Definisi 2.6, terdapat subbarisan ππ βCauchy tak hingga
(π₯ππ) pada (π₯π) sedemikian hingga (π₯ππ
) merupakan
barisan ππ βkonvergen ke οΏ½ΜοΏ½ β πΈ, atau dinotasikan
lim ππ (π₯ππ, οΏ½ΜοΏ½) = 0.
Andaikan ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) > 0. Karena 0 < ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) < β,
maka berdasarkan teorema pada sistem bilangan real,
diperoleh 1
2ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) > 0. Berdasarkan teorema pada
sistem bilangan real, maka untuk 1
2ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) > 0
terdapat π0 β β sedemikian hingga
ππ (π₯π , π₯π) β€1
2ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)),
untuk semua π, π β₯ π0.
Selanjutnya, berdasarkan Definisi 3.4 (π2), berlaku
ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) β€ ΞΆ (lim sup ππ (π₯ππ, π(οΏ½ΜοΏ½)))
= ΞΆ (lim sup ππ (π(π₯ππβ1), π(οΏ½ΜοΏ½)))
β€ ΞΆ (π lim sup max {ππ (π₯ππβ1, π(π₯ππβ1)) , ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½))})
= ΞΆ (π lim sup max {ππ (π₯ππβ1, π₯ππ) , ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½))})
β€ ΞΆ (π max {1
2ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)), ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½))})
β€ ΞΆ (π ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½))).
Dari perhitungan diatas, diperoleh
ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) β€ ΞΆ (π ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½))).
Jika kedua ruas dikalikan dengan π, maka diperoleh
π ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) β€ π (ΞΆ (π ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)))). (3)
Jika π‘ βΆ= π ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)), maka (3) menjadi π‘ β€ π ΞΆ(t).
Karena π‘ β€ π ΞΆ(t), maka π‘ yang memenuhi adalah π‘ = 0
atau π‘ = β yang berakibat
ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) = 0 atau ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) = β.
Hal ini tidaklah mungkin, karena 0 < ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) < β.
Jadi, pengandaian salah. Harusnya ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) = 0 atau
π(οΏ½ΜοΏ½) = οΏ½ΜοΏ½. Artinya οΏ½ΜοΏ½ merupakan titik tetap dari fungsi π.
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa οΏ½ΜοΏ½ adalah tunggal.
Jika οΏ½ΜοΏ½ adalah titik tetap lainnya, maka
ππ (οΏ½ΜοΏ½, οΏ½ΜοΏ½) = ππ (π(οΏ½ΜοΏ½), π(οΏ½ΜοΏ½))
β€ π max {ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)), ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½))} = 0.
Karena ππ (οΏ½ΜοΏ½, οΏ½ΜοΏ½) = 0, berdasarkan Definisi 3.1 (π1) maka
οΏ½ΜοΏ½ = π¦.Μ β
Selanjutnya, dipaparkan teorema titik tetap
Matkowski dalam ruang semimetrik subordinat lengkap
sebagai berikut.
Teorema 3.2 Diberikan (πΈ, ππ ) ruang semimetrik
subordinat lengkap dan fungsi π βΆ πΈ β πΈ. Misalkan
terdapat fungsi tak-turun π: [0, β] β [0, β] sedemikian
hingga lim π[π](π‘) = 0 untuk semua π‘ β [0, β) dan
ππ (π(π₯), π(π¦)) β€ π(ππ (π₯, π¦)) untuk semua π₯, π¦ β πΈ.
Jika ada π₯0 β πΈ,
πΏ(ππ , π, π₯0) βΆ= sup {ππ (π₯0, π[π](π₯0)) : π β β} < β
sedemikian hingga (ππ(π₯0)) ππ βkonvergen ke suatu οΏ½ΜοΏ½ β
πΈ, maka οΏ½ΜοΏ½ adalah titik tetap tunggal π.
Bukti.
Ambil π₯0 β πΈ, π₯π = ππ(π₯0) = π(π₯πβ1). Misal m < π.
Karena diketahui bahwa ππ (π(π₯), π(π¦)) < π(ππ (π₯, π¦))
dan π₯π = π(π₯πβ1), maka diperoleh
ππ (π₯π , π₯π) β€ π(ππ (π₯πβ1, π₯πβ1))
ππ (π₯π , π₯π) β€ π[2](ππ (π₯πβ2, π₯πβ2))
ππ (π₯π , π₯π) β€ π[3](ππ (π₯ πβ3, π₯πβ3))
dan seterusnya sampai iterasi ke π sedemikian hingga
diperoleh
ππ (π₯π , π₯π) < π[π](ππ (π₯πβπ, π₯0)). Karena
πΏ(ππ , π, π₯0) βΆ= sup {ππ (π₯0, π[π](π₯0)) : π β β} < β,
maka berlaku
0 β€ ππ (π₯π, π₯π) < π[π](πΏ(ππ , π, π₯0)) < β.
Jika disetiap ruas diatas nilai π, π β β, maka diperoleh
0 β€ lim ππ (π₯π , π₯π) < lim π[π](πΏ(ππ , π, π₯0)) < β. (4)
Karena diketahui bahwa
lim π[π](π‘) = 0, untuk setiap π‘ β [0, β), maka
lim π[π](πΏ(ππ , π, π₯0)) = 0
sedemikian hingga (4) menjadi
0 β€ lim ππ (π₯π , π₯π) β€ 0. Dengan demikian, lim ππ (π₯π , π₯π) = 0, artinya (π₯π)
adalah barisan ππ βCauchy.
Karena (π₯π) barisan ππ βCauchy pada ruang semimetrik
lengkap, maka berdasarkan Definisi 3.3, ada οΏ½ΜοΏ½ β πΈ
sedemikian hingga (π₯π) ππ βkonvergen ke οΏ½ΜοΏ½ β πΈ. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa οΏ½ΜοΏ½ adalah titik tetap
untuk π. Andaikan ada π0, π0 β β, π0 < π0, sedemikian hingga
π₯π0= π₯π0
dan π₯π0= π[π0βπ0](π₯π0
).
Dari pengandaian diatas, maka diperoleh
ππ (π₯π0, π(π₯π0
))
= ππ (π[π0βπ0](π₯π0), π[π0βπ0] (π(π₯π0
))) (5)
Karena diketahui bahwa
ππ (π(π₯), π(π¦)) β€ π(ππ (π₯, π¦)), maka persamaan (5) menjadi
ππ (π₯π0, π(π₯π0
)) β€ π[π0βπ0] (ππ (π₯π0, π(π₯π0
)))
< π[π0βπ0β1] (ππ (π₯π0, π(π₯π0
)))
β€ ππ (π₯π0, π(π₯π0
)).
Tidak mungkin ππ (π₯π0, π(π₯π0
)) < ππ (π₯π0, π(π₯π0
))
(pengandaian salah). Artinya setiap unsur dari barisan
(π₯π) berbeda ((π₯π) merupakan barisan tak hingga).
Selanjutnya, berdasarkan Definisi 3.4 (π2), maka berlaku
ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) β€ ν(lim sup ππ (π₯π, π(οΏ½ΜοΏ½)))
= ν(lim sup ππ (π(π₯πβ1), π(οΏ½ΜοΏ½)))
β€ ν(lim sup π(ππ (π₯πβ1, οΏ½ΜοΏ½)))
β€ ν(lim sup ππ (π₯πβ1, οΏ½ΜοΏ½)).
β€ ν(0) (karena lim ππ (π₯πβ1, οΏ½ΜοΏ½) = 0)
= 0.
Page 5
Volume 7 No. 3 Tahun 2019, Hal 236-241
240
Karena
0 β€ ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) β€ 0, maka
ππ (οΏ½ΜοΏ½, π(οΏ½ΜοΏ½)) = 0 atau π(οΏ½ΜοΏ½) = οΏ½ΜοΏ½.
Dengan demikian, οΏ½ΜοΏ½ merupakan titik tetap untuk fungsi
π.
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa οΏ½ΜοΏ½ adalah tunggal.
Jika οΏ½ΜοΏ½ adalah titik tetap lainnya, maka
ππ (οΏ½ΜοΏ½, οΏ½ΜοΏ½) = ππ (π(οΏ½ΜοΏ½), π(οΏ½ΜοΏ½)) β€ π (ππ (οΏ½ΜοΏ½, οΏ½ΜοΏ½)) = 0.
Karena 0 β€ ππ (οΏ½ΜοΏ½, οΏ½ΜοΏ½) β€ 0, berarti ππ (οΏ½ΜοΏ½, οΏ½ΜοΏ½) = 0. Berdasarkan Definisi 3.1 (π1), jika ππ (οΏ½ΜοΏ½, οΏ½ΜοΏ½) = 0, maka
οΏ½ΜοΏ½ = οΏ½ΜοΏ½. β
Proposisi 3.1 Diberikan (πΈ, ππ ) ruang semimetrik
subordinat dan (π₯π) barisan ππ βCauchy tak hingga
pada (πΈ, ππ ). Jika terdapat suatu subbarisan (π₯ππ) dari
(π₯π) yang ππ β konvergen ke π₯ β πΈ , maka (π₯π)
ππ βkonvergen ke π₯.
Bukti.
Diketahui bahwa ν adalah fungsi naik. Diberikan ν ββ, ν > 0, maka terdapat πΏ β β, πΏ > 0 sedemikian hingga
untuk setiap 0 < π‘ < πΏ, berlaku ν(π‘) < ν.
Karena (π₯π) barisan ππ βCauchy, berarti
ππ (π₯π , π₯π) = 0, untuk semua π, π β β. Berdasarkan definisi barisan ππ βCauchy, maka terdapat
π0 β β sedemikian hingga untuk semua π, π β₯ π0 ,
berlaku
ππ (π₯π , π₯π) <πΏ
2 (6)
Karena (π₯ππ) merupakan subbarisan dari (π₯π), maka (6)
menjadi
lim sup ππ (π₯ππ, π₯π) β€
πΏ
2,
untuk semua π β₯ π0.
Karena (π₯ππ) ππ βKonvergen ke π₯ dan ΞΆ adalah fungsi
tak-turun, maka berdasarkan Definisi 3.4 (π2), diperoleh
ππ (π₯, π₯π) β€ ν (lim sup ππ (π₯ππ, π₯π)),
untuk semua π β₯ π0
ππ (π₯, π₯π) β€ ν (πΏ
2)
ππ (π₯, π₯π) < ν
Jika π β₯ π β₯ π0, maka berlaku ππ (π₯, π₯π) < ν.
Jadi, terbukti bahwa (π₯π) adalah barisan ππ βKonvergen
ke π₯. β
4. PENUTUP
Simpulan
Berdasarkan dari pembahasan yang telah diuraikan
dalam artikel ini, dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut: 1. Suatu ruang semimetrik merupakan perumuman dari
ruang metrik.
2. Diberikan fungsi π βΆ πΈ β E yang π -kontraksi pada
ruang semimetrik lengkap (πΈ, ππ ).
a. Jika ada π₯0 β πΈ sedemikian hingga
lim sup ππ (π[π](π₯0), π[π+1](π₯0)) < β,
maka (π[π](π₯0)) ππ -konvergen ke suatu οΏ½ΜοΏ½ β πΈ.
b. Misalkan (πΈ, ππ ) ruang semimetrik subordinat
dan ν(π‘) < π‘
π, untuk semua 0 < π‘ < β.
Jika ππ (π₯,Μ π(π₯)) < β , maka οΏ½ΜοΏ½ adalah titik tetap
tunggal π.
3. Diberikan (πΈ, ππ ) ruang semimetrik subordinat
lengkap dan fungsi π βΆ πΈ β πΈ Misalkan terdapat
fungsi naik π: [0, β] β [0, β] sedemikian hingga
lim π[π](π‘) β 0,
untuk semua π‘ β [0, β) dan
ππ (π(π₯), π(π¦)) β€ π(ππ (π₯, π¦)),
untuk semua π₯, π¦ β πΈ.
Jika ada π₯0 β πΈ,
πΏ(ππ , π, π₯0) βΆ= sup {ππ (π₯0, π[π](π₯0)) : π β β} < β
sedemikian hingga (ππ(π₯0)) ππ βkonvergen ke suatu
οΏ½ΜοΏ½ β πΈ, maka οΏ½ΜοΏ½ adalah titik tetap tunggal π.
4. Diberikan (πΈ, ππ ) ruang semimetrik subordinat dan
(π₯π) barisan ππ βCauchy tak hingga pada (πΈ, ππ ) .
Jika terdapat suatu subbarisan (π₯ππ) dari (π₯π) yang
ππ βkonvergen ke π₯ β πΈ, maka (π₯π) ππ βkonvergen
ke π₯.
Saran
Pada skripsi ini, hanya dibahas mengenai definisi
ruang semimetrik, ruang semimetrik subordinat, dan ruang
semimetrik subordinat lengkap, serta pembuktian teorema
titik tetap pada ruang semimetrik subordinat. Sehingga
dapat dilakukan penelitian lebih lanjut mengenai sifat-sifat
lain yang berlaku pada ruang semimetrik subordinat dan
mungkin dapat ditemukan kondisi fungsi yang lain untuk
diteliti ketunggalan titik tetapnya.
DAFTAR PUSTAKA
Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2000). Introduction of
Real Analysis Third Edition. New York: John
Wiley & Sons Inc.
Bonsall, F. F. (1962). Lectures on Some Fixed Point
Theorems of Functional Analysis. Tata Institue of
Fundamental Research.
Ghozali, S. M. (2010). Pengantar Analisis Fungsional.
Bandung, Jawa Barat, Indonesia: Universitas
Pendidikan Indonesia.
Hazewinkel. (1986). Lebesgue Measure and Integration.
New Delhi, India: John Wiley & Sons.
Hierroa, Antonio Francisco RoldΓ‘n LΓ³pez de dan Naseer
Shahzad. 2018. Fixed point theorems by combining
Jleli and Samets, and Branciaris inequalities.
Journal of Nonlinear Sciences and Applications
09(06):3822β49.
Jleli, Mohamed dan Bessem Samet. (2015). A generalized
metric space and related fixed point theorems.
Fixed Point Theory and Applications.
Page 6
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG SEMIMETRIK SUBORDINAT
241
Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with
Application. New York: Wiley.
Manuharawati. (2003). Analisis Real 1. Surabaya:
Zifatama.
Pramitari. (2013). Multiplisitas Sikel Dari Graf Total Pada
Graf Sikel, Graf Path, Dan Graf Kipas. Skripsi,
Universitas Diponegoro Semarang.
P. Hitzler & A. K. Seda. (2000). Dislocated Topologies.
Journal of Electrical Engineering, vol. 51, no. 12,
pp. 3-7.
S. Czerwik. (1993). Contraction mapping in b-metric
spaces. Communications in Mathematics, vol. 1, pp.
5-11.
Villa-Morales, JosΓ©. (2018). A fixed point theorem and
some properties of v-generalized metric spaces.
Journal of Fixed Point Theory and Applications
20(1):1β9.
Villa-Morales, JosΓ©. (2018). Subordinate Semimetric
Spaces and Fixed Point Theorems. Journal of
Mathematics, pp. 1β5.
W. A. Wilson. (1931). On quasi-metric spaces. American
Journal of Mathematics, vol. 53, no. 3, pp. 675-
684.