PAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerikdata.fmipa.unand.ac.id/matematika/file_bahankuliah... · Ekstrapolasi Richardson - deﬁnisi Perhatikan bahwa rumus D 1(h) pada persamaan

PendahuluanMetode Beda Hingga

Ekstrapolasi RichardsonTurunan Parsial

PAM 252 Metode Numerik

Bab 5 Turunan Numerik

Mahdhivan Syafwan

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

Semester Genap 2017/2018

1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Turunan Numerik



PermasalahanMotivasi

Permasalahan

Bagaimana menghitung hampiran dari f ′(x)?

Bagaimana menghitung hampiran dari f ′′(x), f ′′′(x), ...f (n)(x)?

Bagaimana menghitung hampiran dari turunan parsial, misalnya∂f (x , t)/∂x?




PermasalahanMotivasi

Motivasi

Banyak sekali fenomena alam yang dimodelkan olehpersamaan matematika yang melibatkan turunan (persamaandiferensial). Contoh: ...

Untuk masalah-masalah yang lebih realistis, modelmatematika (persamaan diferensial) yang dihasilkansulit/tidak ada penyelesaian eksaknya.

Dengan demikian diperlukan pendekatan numerik untukmenyelesaikan persamaan diferensial tersebut dengan mencarihampiran turunannya terlebih dahulu.




Dasar Teori dan Konstruksi AwalJenis Beda Hingga dan RumusnyaTurunan Tingkat Tinggi

Teorema Taylor

Teorema Taylor

Misalkan n ∈ N, I = [a, b], dan f : I → R sedemikian sehingga f danturunannya f ′, f ′′, ..., f (n) kontinu pada I dan f (n+1) ada pada (a, b). Jikax̃ ∈ I , maka untuk sebarang x ∈ I terdapat titik c di antara x dan x̃

sedemikian sehingga

f (x) = f (x̃) + f ′(x̃)(x − x̃) +f ′′(x̃)

2!(x − x̃)2

+ · · ·+f (n)(x̃)

n!(x − x̃)n +

f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − x̃)n+1. (1)

Bukti detailnya akan diberikan pada kuliah Analisis Riil.





Teorema Taylor

Pers. (1) dapat juga ditulis dengan [tunjukkan!]

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) + · · ·+

hn

n!f (n)(x)

+hn+1

(n + 1)!f (n+1)(x + θh), 0 < θ < 1. (2)

Untuk selanjutnya ditulis hn+1

(n+1)! f(n+1)(x + θh) = O(hn+1) dan

suku ini disebut galat pemotongan orde hn+1.

Perhatikan bahwa untuk h ≪ 1, galat O(hn+1) → 0 bilamanan → ∞





Konstruksi awal metode beda hingga

Salah satu metode yang biasa digunakan untuk menghitunghampiran turunan adalah metode beda hingga (finitedifference).

Pada metode ini, domain fungsi f (x) dipartisi atas sejumlahtitik partisi dengan lebar selang yang sama.

Domain f (x), misalkan [a, b], dipartisi atas N + 1 titik partisidengan lebar selang h. Dengan demikian titik-titik partisinyaadalah

xi = a+ ih, i = 0, 1, ...,N.

Dalam hal ini x0 = a dan xN = b.

Selanjutnya nilai fungsi di masing-masing titik partisi ditulisfi = f (xi ).





Ilustrasi untuk N = 6





Jenis beda hingga

Ada tiga jenis beda hingga yang biasa digunakan:

1 Beda maju (forward difference)Hampiran menggunakan informasi di titik xi dan beberapatitik di kanannya, yaitu xi+1, xi+2, ....

2 Beda mundur (back difference)Hampiran menggunakan informasi di titik xi dan beberapatitik di kirinya, yaitu ..., xi−2, xi−1.

3 Beda pusat/tengah (central difference)Hampiran menggunakan informasi di titik xi dan beberapatitik di kiri dan kanannya secara simetris (sama banyak).





Beda maju

Dari pers. (2) dapat ditulis

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +O(h2),

atau

f ′(x) =f (x + h)− f (x)

h+O(h).

Jadi rumus beda maju untuk f ′(x) diberikan oleh

f ′(x) ≈f (x + h)− f (x)

h,

dengan galat O(h). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapatditulis

f ′i ≈fi+1 − fi

h.





Beda mundur

Dari pers. (2) dapat ditulis

f (x − h) = f (x)− hf ′(x) +O(h2),

atau

f ′(x) =f (x)− f (x − h)

h+O(h).

Jadi rumus beda mundur untuk f ′(x) diberikan oleh

f ′(x) ≈f (x)− f (x − h)

h,

dengan galat O(h). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapatditulis

f ′i ≈fi − fi−1

h.





Beda pusat

Perhatikan bahwa

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +O(h3),

f (x − h) = f (x)− hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +O(h3).

Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah, diperoleh

f ′(x) =f (x + h)− f (x − h)

2h+O(h2).

Jadi rumus beda pusat untuk f ′(x) diberikan oleh

f ′(x) ≈f (x + h)− f (x − h)

2h,

dengan galat O(h2). Dalam notasi partisi, ekspresi di atas dapat ditulis

f ′i ≈fi+1 − fi−1

2h.





Catatan (1)

Dalam hal galat yang dihasilkan, beda pusat lebih baikdaripada beda maju dan beda mundur. Namun untukbeberapa kasus tertentu (misalnya pada masalah nilai batas),beda maju atau beda mundur lebih tepat digunakan daripadabeda pusat.

Untuk memperkecil galat atau meningkatkan orde ketelitian,tambahkan deret Taylor untuk titik-titik sebelum atausesudahnya dua tingkat atau lebih, dan eliminasi suku-sukuyang sesuai.

Semakin banyak ’keterlibatan’ titik-titik sebelum dansesudahnya, semakin kecil galat yang dihasilkan. Tetapi halitu harus dibayar dengan semakin berat beban komputasi yangdibutuhkan.





Catatan (2)

Sebagai contoh, beda maju untuk f ′(x) dengan galat O(h2) dapatdiformulasi dengan menggunakan kedua persamaan

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +O(h3),

f (x + 2h) = f (x) + 2hf ′(x) +4h2

2!f ′′(x) +O(h3),

dan eliminasi f ′′(x), sehingga diperoleh [tunjukkan!]

f ′(x) =−3f (x) + 4f (x + h)− f (x + 2h)

2h+O(h2).

Ada beberapa metode alternatif untuk memformulasi hampiranturunan dengan ketelitian yang lebih tinggi tetapi dengan bebankomputasi yang lebih ringan, salah satunya adalah metodepseudo-spektral (dapat dijadikan topik TA).





Beda hingga untuk turunan tingkat tinggi

Hampiran turunan tingkat tinggi dari f (x), yaitu f ′′, f ′′′, f (4), dstdapat dicari dengan menambahkan deret Taylor untuk titik-titiksebelum atau sesudahnya dua tingkat atau lebih, danmengikutsertakan suku-suku turunan yang lebih tinggi, sertamengeliminasi suku-suku yang sesuai.

Sebagai contoh, beda pusat untuk f ′′(x) diformulasi denganmenggunakan kedua persamaan

f (x + h) = f (x) + hf ′(x) +h2

2!f ′′(x) +

h3

3!f ′′′(x) +O(h4),

f (x − h) = f (x)− hf ′(x) +h2

2!f ′′(x)−

h3

3!f ′′′(x) +O(h4),

dan eliminasi f ′(x), sehingga diperoleh [tunjukkan!]

f ′′(x) =f (x + h)− 2f (x) + f (x − h)

h2+O(h2).





Catatan (3)

Sama halnya pada turunan pertama, hampiran turunan tingkattinggi dapat ditingkatkan orde ketelitiannya dengan memperbanyak’keterlibatan’ titik-titik sebelum dan sesudahnya, namun hal itumengakibatkan semakin berat beban komputasi yang dibutuhkan.

Secara umum, algoritma untuk membangkitkan rumus beda hingga(maju, mundur, dan pusat) untuk turunan ke-n dari f (x) denganorde ketelitan ke-m diberikan oleh Bengt Fornberg [Fornberg, Bengt.1988. Generation of Finite Difference Formulas on Arbitrarily

Spaced Grids. Mathematics of Computation 51 (184): 699706].

Selain itu, bentuk tutup dari rumus beda hingga (maju, mundur,dan pusat) untuk turunan ke-n dari f (x) dengan orde ketelitan ke-mjuga sudah dikembangkan oleh Khan dan Ohba [Khan, IshtiaqRasool and Ohba, Ryoji. 1999. Closed form expressions for the

finite difference approximations of first and higher derivatives based

on Taylor series. J. Comput. Appl. Math. 107: 179-193] → dapatdijadikan topik TA.





Koefisien Beda Hingga




Motivasi dan DefinisiTeorema dan PenerapanAlgoritma dan Contoh

Ekstrapolasi Richardson - motivasi

Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h2) adalah

f ′(x) ≈f (x + h)− f (x − h)

2h

Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h4) adalah ...

Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h2n) adalah ...

Apakah ada cara sistematis (iteratif) untuk memperoleh rumushampiran turunan beda pusat dengan orde O(h2n) ?





Ekstrapolasi Richardson - ide

Hampiran turunan beda pusat dengan orde O(h2):

Untuk selang h:

f ′(x) = D0(h)−h2f ′′′(x)

6+O(h4),

dengan D0(h) =f (x+h)−f (x−h)

2h .

Untuk selang 2h:

f ′(x) = D0(2h)−4h2f ′′′(x)

6+O(h4),

dengan D0(2h) =f (x+2h)−f (x−2h)

4h ,

Eliminasi suku yang memuat f ′′′(x), diperoleh [tunjukkan!]

f ′(x) = D1(h) +O(h4),

dengan D1(h) =f (x−2h)−8f (x−h)+8f (x+h)−f (x+2h)

12h .





Ekstrapolasi Richardson - definisi

Perhatikan bahwa rumus D1(h) pada persamaan sebelumnyasama persis dengan rumus hampiran turunan beda pusat ordeO(h4) yang diperoleh dari deret Taylor. [periksa!]

Pada ilustrasi sebelumnya, rumus hampiran turunan denganorde yang lebih tinggi diperoleh dari rumus hampiran turunandengan orde yang lebih rendah.

Metode tersebut dikembangkan oleh Lewis Fry Richardson diawal abad 20, dan dikenal kemudian dengan metodeekstrapolasi Richardson.





Ekstrapolasi Richardson - teorema

Teorema Ekstrapolasi Richardson

Misalkan Dk−1(h) dan Dk−1(2h) adalah dua hampiran untuk f ′(x)dengan orde O(h2k ), yaitu

f ′(x) = Dk−1(h) + h2kC (x) +O(h2k+2),

f ′(x) = Dk−1(2h) + 4kh2kC (x) +O(h2k+2).

Maka perbaikan dari hampiran f ′(x) diberikan oleh

f ′(x) = Dk(h) +O(h2k+2) =4kDk−1(h) − Dk−1(2h)

4k − 1+O(h2k+2). (3)

Perhatikan bahwa rumus (3) melibatkan nilai fungsi pada selang yang

semakin menjauh dari x , yaitu menggunakan hampiran pada selang h dan

2h.





Ekstrapolasi Richardson - memperhalus selang partisi

Rumus (3) dapat dimodifikasi dengan memperhalus selang.

Perhalus selang h menjadi h/2, sehingga diperoleh[tunjukkan!]

Dk(h/2) = Dk−1(h/2) +Dk−1(h/2)− Dk−1(h)

4k − 1.

Perhalus selang h/2 menjadi (h/2)/2 = h/22, sehinggadiperoleh

Dk(h/22) = Dk−1(h/2

2) +Dk−1(h/2

2)− Dk−1(h/2)

4k − 1.

Lakukan sampai selang menjadi h/2j , sehingga diperoleh

Dk(h/2j ) = Dk−1(h/2

j ) +Dk−1(h/2

j )− Dk−1(h/2j−1)

4k − 1.





Ekstrapolasi Richardson - penerapan

Dalam notasi indeks, persamaan terakhir dapat ditulis

D(j , k) = D(j , k − 1) +D(j , k − 1)− D(j − 1, k − 1)

4k − 1,

dimana k terkait dengan orde dan j terkait dengan lebar selang.

Jadi, untuk menghitung f ′(x) dengan ekstrapolasi Richardson,mulai dengan lebar selang h kemudian diperhalus menjadisetengahnya, dan seterusnya. Turunan diperoleh pada saat j = k .

Nilai-nilai D(j , k) dapat disusun dalam bentuk matriks segitigabawah:

D(0, 0)D(1, 0) D(1, 1)D(2, 0) D(2, 1) D(2, 2)

......

.... . .

Sebagai kriteria penghentian iterasi, dapat digunakan|D(j , j)− D(j − 1, j − 1)| < ǫ, dimana ǫ adalah batas galat.





Ekstrapolasi Richardson - algoritma

Masukan: f(x) fungsi yang ingin ditentukan hampiran turunannyax0 titik absis dimana nilai hampiran turunannya ingin dicarih lebar selang awalepsl batas galat

Keluaran: df nilai hampiran turunan f di x=x0

Langkah-Langkah :

1. j:=12. D[1,1]:=(f(x0+h)-f(x0-h))/(2*h)3. galat:=epsl+14. selagi galat >= epsl

h:=h/2D[j+1,1]:=(f(x0+h)-f(x0-h))/(2*h)untuk k=1,2,…,j

D[j+1,k+1]:=D[j+1,k]+(D[j+1,k]-D[j,k])/(4^(k+1)-1)galat:=abs(D[j+1,j+1]-D[j,j])j:=j+1

5. df:=D[j,j]





Ekstrapolasi Richardson - contoh

Gunakan ekstrapolasi Richardson untuk menghitung turunanf (x) = ex

sin√xdi x = 1 dengan galat 0, 001 (mulai dengan

h = 0.1).




Turunan Parsial PertamaTurunan Parsial Kedua (Campuran)

Turunan parsial pertama

Turunan parsial pertama dapat dihitung secara numerikdengan menggunakan metode beda hingga dengan cara yangserupa dengan perhitungan pada turunan biasa.

Misalkan kita ingin menentukan turunan parsial pertamauntuk fungsi dua variabel f (x , y). Dengan menggunakan bedapusat, diperoleh

∂f

∂x≈

f (x +∆x , y)− f (x −∆x , y)

2∆x,

∂f

∂y≈

f (x , y +∆y)− f (x , y −∆y)

2∆y.





Turunan parsial kedua (campuran)

Misalkan kita ingin menentukan turunan parsial dari f (x , y)terhadap x dan y , yaitu

∂2f

∂x∂y=

∂

∂x

(

∂f

∂y

)

.

Bentuk terlebih dahulu ekspresi beda hingga (dalam hal ini bedapusat) untuk turunan parsial terhadap x dari turunan parsialterhadap y , yaitu

∂2f

∂x∂y≈

∂f∂y

(x +∆x , y)− ∂f∂y

f (x −∆x , y)

2∆x.

Selanjutnya turunan parsial ∂f∂y(x ±∆x , y) dapat diaproksimasi oleh

∂f

∂y(x ±∆x , y) ≈

f (x ±∆x , y +∆y)− f (x ±∆x , y −∆y)

2∆y.

Jadi ∂2f

∂x∂y≈ · · ·





Contoh

Hitunglah ∂f /∂x , ∂f /∂y , dan ∂2f /∂x∂y untuk fungsi berikut dix = y = 1 secara (a) analitik, dan (b) numerik dengan∆x = ∆y = 0, 0001.

f (x , y) = 3xy + 3x − x3 − 3y3.


PAM 252 Metode Numerik Bab 5 Turunan Numerikdata.fmipa.unand.ac.id/matematika/file_bahankuliah... · Ekstrapolasi Richardson - deﬁnisi Perhatikan bahwa rumus D 1(h) pada persamaan

Documents