OSIS MAN 2 Kota Malangosis.man2kotamalang.sch.id/.../XI-MATEMATIKA-PEMINATAN.docx · Web viewRumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus Cosinus Contoh Soal dan Pembahasan : Jika diketahui

BAB 1

1. Persamaan Trigonometri Dasar

Persamaan trigonometri dasar meliputi:(i) sin 𝑥 = sin 𝛼°(ii) cos 𝑥 = cos 𝛼°(iii) tan 𝑥 = tan 𝛼°(iv) sin 𝑥 = konstanta(v) cos 𝑥 = konstanta(vi) tan 𝑥 = konstantadengan 𝑥 dan 𝛼 dalam radian maupun derajat.

Contoh Soal :

2. Persamaan Trigonometri Bentuk Lanjutan 1

Persamaan trigonometri lanjutan berbentuk sin 𝑥 = 𝑘, cos 𝑥 = 𝑘 atau tan 𝑥 = 𝑘 dengan 𝑘 adalah konstanta.

Untuk mencari himpunan selesaian dari persamaan trigonometri bentuk sin 𝑥 = 𝑘, cos 𝑥 = 𝑘 atau tan 𝑥 = 𝑘, adalah dengan cara mengubah persamaan bentuk persamaan tersebut menjadi persamaan trigonometri bentuk dasar.

Contoh 2

Tentukan himpunan penyelesaian untuk setiap persamaan trigonometri berikut

cos 2𝑥 = 12 0° , ≤ 𝑥 ≤ 360°!

3. Persamaan Trigonometri Bentuk Lanjutan 2sin(𝑥 - 𝜃) = sin 𝛼 , cos(𝑥 - 𝜃) = cos 𝛼 tan(𝑥 - 𝜃) = tan 𝛼 sin(𝑥 - 𝛼) = 𝑘cos(𝑥 - 𝛼) = 𝑘tan(𝑥 - 𝛼) = 𝑘 dengan 𝑘 adalah konstantapenyelesaiannya dengan mengubah persamaan bentuk persamaan tersebut menjadi persamaan trigonometri bentuk dasar.

Contoh soal

4. Persamaan Trigonometri Berbentuk 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒙 + 𝑪 = 𝟎mengubah ke bnetuk persamaan kudaat dan mencari penyelesainnya menggunakan aturan dalam persamaan kuadrat yatu dengan proses faktorisasi atau melengkapkan kuadrat sempurna.

Contoh 4Selesaikan persamaan trigonometri 2 sin2 𝑥 + sin 𝑥 − 1 = 0 untuk −360° ≤ 𝑥 ≤360°?

5. Persamaan bentuk 𝒂 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒃 𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝒄

Contoh Selesaikan persamaan √3 cos 𝑥 - sin 𝑥 = 1 dengan 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°?

6. Aplikasi Persamaan Trigonometri

ContohTinggi air (dalam meter) di suatu pelabuhan diperkirakan dengan rumus d = 6 + 3 cos 30t, dengan t adalah waktu (dalam jam) yang diukur dari pukul 12.00 siang. Tentukan waktu setelah pukul 12.00 siang ketika tinggi air mecapai 7,5 meter untuk kedua kalinya?

Alternatif Penyelesaian

Untuk menentukan waktu (𝑡) ketika tinggi ( ) mencapai 7,5 m, selesaikan persamaan 6 + 3 ℎcos 30t = 7,5 diperoleh cos 30t = 0,5. Misal, 30𝑡 = 𝜃 maka

cos 𝜃 = cos 60, maka:

cos 𝜃 = cos 60

𝜃 = 60 + 𝑘. 360 𝜃 = −60 + 𝑘. 360

Untuk 𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = 60 Untuk 𝑘 = 0 ⇒ 𝑥1 = −60𝑘 = 1 ⇒ 𝑥2 = 420 dst 𝑘 = 1 ⇒ 𝑥2 = 300 dst

Artinya waktu (𝑡) ketika tinggi ( ) mencapai 7,5 m untuk yang kedua kalinya adalah ℎketika 𝜃 = 300°. 𝜃 = 30𝑡 = 300° maka 𝑡 = 10.

Jadi, tinggi air mencapai 7,5 m untuk kedua kalinya terjadi pada pukul 10.00 malam.

Jumlah dan Selisih Dua Sudut

1. Cos (α−β ¿ = Cos α Cos β + Sin α Sin βContoh soal:

atau

2. Cos (α+β¿ = Cos α Cos β - Sin α Sin βContoh soal:Diketahui suatu segitiga ABC, jika sudut A lancip dan B sudut tumpul, dengan Cos A= 4/5, dan Sin B= 7/25, maka Cos (A+B)?

3. Sin (α−β ¿ = Sin α Cos β - Cos α Sin βContoh soal: Diketahui Sin x= 3/5, Cos y= -5/13, jika x sudut di kuadran II dan y dikuadran III, nilai dari sin (x-y) adalah….

Cos 15°= cos (45°-30° ¿

= cos 45. cos 30 + sin 45. sin 30

= ½ √2. ½ √3 + ½ √2. ½

= ¼ √6 + ¼ √2

= ¼ (√6+√2)

Cos 15°= cos (60°-45° ¿

= cos 60. cos 45 + sin 60. sin 45

= ½. ½ √2 + ½ √3. ½√2.

= ¼ √2 + ¼ √6

= ¼ (√2+√6)

Cos A = 4/5 Sin A = 3/5

Sin B = 7/25Cos B = -24/25 (karena B tumpul)

Cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B= 4/5. -24/25 – 3/5. 7/25= -96/125 – 21/125= -117/125

Sin x = 3/5Cos x = -4/5 (karena di kuadran II)

Cos y = -5/13Sin y = -12/13 (karena di kuadran III)

Sin (x-y) = sin x cos y – cos x sin y= 3/5. -5/13 – (-4/5) (-12/13)= -15/65 – 48/65= -63/65

4. Sin (α+β¿= Sin α Cos β + Cos α Sin β

Contoh Soal:

Tentukan nilai dari sin 75°sin 75° = sin (30° + 45°)sin 75° = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°sin 75° = ½ . ½√2 + ½√3 . ½√2sin 75° = ¼√2 + ¼√6sin 75° = ¼(√2 + √6)

5. Tan (α+β¿ = tan a+ tan b

1−tan a tan b

Contoh soal:

Jika tan a=1/2 dan tan b=1/3 maka tan(a+b) adalah

tan a = tan b = 

tan (a + b) = 

tan (a + b) = 

tan (a + b) = 

tan (a + b) = tan (a + b) = 1

6. Tan (α−β ¿ = tan a−tan b

1+ tan a tanb

Contoh soal:

Tan 15o = tan (45o-30o)

Tan 15o = tan 45−tan 301+ tan 45 tan30

Tan 15o = 1−√3

3

1+1. √33

x 33

Tan 15o = 3−√33+√3

x 3−√33−√3

Tan 15o = 12−6√36

Tan 15o = 2−√3

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus

sin 2α = 2 sin α cos αContoh Soal pemakaian Sudut Rangkap Sinus

Jika sinα = 3/5 dan α adalah sudut lancip, tentukan nilai sin2α

Pembahasan:

sinα = 3/5cosα = 4/5

Sehingga,

sin 2α = 2. sinα cosαsin 2α = 2 . 3/5 . 4/5sin 2α = 6/25

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus

(1) Cos 2α = cos2α – sin2α

Contoh Soal Sudut Rangkap Cosinus

Tentukan nilai fungsi cosinus untuk sudut 120° dengan menggunakan rumus pada sudut rangkap!

Pembahasan:

Diketahui sin A = 12/13, 0 < A < ½𝜋. Tentukanlah nilai dari cos 2A.

Diketahui sin x = 1/4, tentukan nilai dari cos 2x.

cos 2x = 1 − 2 sin2 x= 1 − 2 (1/4)2

= 1 − 2/16 = 16/16 − 2/16 = 14 / 16 = 7 / 8

Rangkuman Bab 2 (RuMuS 11-13)1. Penurunan Rumus Tangen Sudut Ganda

Coba perhatikan kembali rumus tan (α + β)

jika α = β maka rumus diatas akan menjadi

Maka kita mendapatkan rumus tan 2α

Contoh soalnya :1) Diketahui segitiga sama kaki ABC dengan ∠A = ∠B = α dan ∠C = θ. Jika cos α = 4/5,

maka tan θ = ...Penyelesaian :Diketahui cos α = 4/5. Dengan menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku akan diperoleh tan α = 3/4.∠A + ∠B + ∠C = 180°α + α + θ = 180°⇒ θ = 180° - 2α

Hasil tan θ adalah -274

2. Rumus Sudut Tengahan Sinus

Contoh soalnya1) Tentukan nilai sin 67,5º

3. Rumus Sudut Tengahan Cosinus

Contoh soalnya1) Tentukan nilai dari cos 22,5º

Rangkuman Bab 2 (RuMuS 14-16)Rumus Sudut Tengahan (Tan)

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Nilai tan 22,5° adalah….

Pembahasan:

Karena 22,5° berada di kuadran I maka nilai tan 22,5° adalah + (positif)

tan22,5 °=tan 12

45 °

tan22,5 °=√ 1−cos 45 °1+cos 45°

=√ 1−12 √2

1+ 12 √2

¿√ 12 (2−√2)

12(2+√2)

¿√ 2−√22+√2

¿√ 2−√22+√2

x 2−√22−√2

¿√ (2−√2 )2

4−2

= 2−√2√2

= √2(√2−1)√2

= √2−1

2. Diketahui sin 6α = 13 √5 , 90o < 6α < 180o . Tentukan nilai tan 6α !

Pembahasan:

3. Jika cos α = 7

25 dan 270o < α < 360o maka tentukanlah nilai tan 12 α !

Pembahasan:

tan 12 α =

1−cos asin a =

1− 725

−2425

= 25−7−24 =

−1824 =

−34 S

Subbab 4 (Rumus Perkalian Fungsi Trigonometri Sinus Cosinus)

Soal dan pembahasan

PQ2 = QR2 – PR2 = 32 – (√5)2 = 9 – 5 = 4PQ = 2cos 6α = −23tan 3α = tan 1

2 (6α ) = sin 6 a

1+cos6a = 13 √5

1+(−23

) = 1

3 √5

13

= √5

1. Jika diketahui besar sudut α sebesar 75° dan besar sudut β sebesar 15°. Maka tentukan nilai dari sin α cos βPembahasan:

2. Jika diketahui besar sudut α sebesar 75° dan besar sudut β sebesar 15°. Maka tentukan nilai dari cos α cos β

3. Jika diketahui besar sudut α sebesar 75° dan besar sudut β sebesar 15°. Maka tentukan nilai dari cos α sin β

4. Jika diketahui besar sudut α sebesar 75° dan besar sudut β sebesar 15°. Maka tentukan nilai dari sin α sin β

Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus Cosinus

Contoh Soal dan Pembahasan :

1. Jika diketahui sudut α sebesar 105° dan sudut β sebesar 15°. Tentukan besar nilai sin 105° + sin 15°!

2. Jika diketahui sudut α sebesar 105° dan sudut β sebesar 15°. Tentukan besar nilai sin 105° – sin 15°!

3. Jika diketahui sudut α sebesar 105° dan sudut β sebesar 15°. Tentukan besar nilai cos 105° + cos 15°!

4. Jika diketahui sudut α sebesar 105° dan sudut β sebesar 15°. Tentukan besar nilai cos 105° – cos 15°!