Top Banner
1 Optik Moderen S3 Fisika
145

Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

Sep 06, 2018

Download

Documents

lebao
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

1

Optik ModerenS3 Fisika

Page 2: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

2

I. Gelombang EM

II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi

III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang

IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK

V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D

7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIA BERLAPIS

8. OPTIK NONLINIER

Page 3: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

3

I. Gelombang EM

1.1 Persamaan Maxwell

0)4(

)3(

x)2(

x)1(

=∇

=∇

+∂∂

=∇

∂∂

−=∇

B

D

JtDH

tBE

r

r

rr

r

rr

ρ

( )HB

EDrr

rr

μ

ε

=

=

)6(

5

muatanrapatkaruslistrirapat

bahanmagnet taspermeabilibahan;dalaminduksimagnetmedanvektor

bahanlistrik taspermittivibahan;dalamlistrikpergeseranvektor

magnetmedanvektor listrik;medanvektor

==

==

==

==

ρ

μ

ε

J

B

D

HE

r

r

r

rr

Page 4: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

4

Bahan optik bersifat dielektrik, isolator dan nonmagnetik:

ρ=0, J=0

0)4(

0)3(

x)2(

x)1(

=∇

=∇∂∂

=∇

∂∂

−=∇

B

DtDH

tBE

r

r

rr

rr

HB

ED

o

rr

rr

μ

ε

=

=

)6(

)5(bahandalamcahayakecepatan,c

bahanbiasindeks;

bahandielektriktetapan;

hamparuangdalamcahayakecepatan;1

dielektrikbahandalamcahayakecepatan;1

n

n

c

r

or

oo

o

=

=

=

=

=

ν

ε

εεε

με

εμν

Page 5: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

5

1.2 Syarat Batas di batas dua bahan dielektrik

Divergensi Gauss:

⊥⊥−

⊥⊥−

=→=

=→=

221121

2121

0)(

0)(

EEDDn

BBBBn

εεrrr

rrr

2 1

n

2 1

n Teorema Stokes:

//2//112

//2//112

0)ˆ(xˆ

0)(xˆ

BBHHn

EEEEn

=→=−

=→=−

r

rr

∫∫ •• =∇ ldFdSnFrrr

ˆx

∫∫ •• =∇ dSnFdVF ˆrr

Page 6: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

6

1.3 Persamaan Gelombang dalam bahan dielektrik

0atau0

)3()()x(x

x:)5(&)2(

x)x(x:)6(&)1(

2

2

2

22

2

22

2

22

22

2

2

=∂∂

−∇=∂∂

−∇

∂∂

−=∇−

−∇=∇−∇∇=∇∇

∂∂

=∇∂∂

∇∂∂

−=∇∇

tE

cnE

tEE

tEE

EEEE

tEH

t

Ht

E

o

o

o

rr

rr

rr

rrrr

rr

rr

εμ

εμ

ε

μ

Page 7: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

7

Gelombang bidang

).(2

).(1

ˆ

ˆrkti

o

rktio

eHuH

eEuErr

rr

r

r

=

ω

Eo dan Ho adalah amplitudo kompleks, konstan dalam ruang dan waktu.

0ˆ0

0ˆ0

2

1

=→=∇

=→=∇

••

••

kuH

kuErr

rr

Artinya, amplitudo tegak lurus terhadap arah penjalaran.

Dari pers. Maxwell (1): oo

o EHk

ukuμε

== danˆxˆ 1

2 r

r

kr

1u

2unn o

oo Ω≈==

3771εμ

εμ

η

Adalah impedansi material; impedansi ruangvakum=377Ω

Page 8: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

8

1.4 Rapat energi dan Fluks energi

Cahaya membawa energidalam bentuk radiasi gelombang EM.

Dua aspek penting dari elektromagnet:

1. Rapat energi yang tersimpan dalam gelombang EM,

2. Fluks energi terkait dengan gelombang EM tersebut.

Dari pers.Maxwell (2):

DEHEEJ t

rvrvrr∂−∇= ... )x(

Identitas vektor: )x()x()x( ... HEEHHErvrrrr

∇−∇=∇

US

DEBHHEEJ

t

tt

∂−−∇=

∂−∂−−∇=r

rvrrrrrr

..... )x(sehingga:

Page 9: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

9

EJUS t

rrr .. −=∂+∇

DEBHUDEBHtU

tt

rvrrrvrr .... +=→∂+∂=∂∂

HESrrr

x=

Rapat energi (Joule/m3)

Fluks energi atau vektorpoynting (Watt/m2).

Sr.∇ merupakan daya EM yang mengalir keluar dari unit volum.

Merupakan persamaan kontinuitas, atau hukumkekekalan energi untuk gelombang EM.

EJUS t

rrr .. −=∂+∇

Page 10: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

10

II. Interaksi Gelombang EM dengan Materi

2.1 Konstanta dielektrik, indeks bias

Kehadiran medan listrik dalam bahan menyebabkan pergeseran posisi muatanpositip dan muatan negatif dalam setiap atom.

Dalam bahan dielektrik, pergeseran itu menginduksikan momen dipol:

Eprr α= α=polarizabilitas atom

Jika N=jumlah atom/unit volum, maka polarisasi listrik yang terjadi adalah:

EP

ENpNP

o

rr

rrr

χε

α

=

==

o

Nεαχ = χ=suseptibilitas listrik bahan

Konstanta dielektrik bahan: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

ooo

Nεαεχεε 1)1(

Indeks bias: n2=εr=ε/εoo

Nnεαχ +=+= 11

Page 11: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

11

2.2 Indeks bias dengan model elektron

Misalkan medan listrik yang mengenai atom: tioeEE ω=

Karena keelastisan elektron, persamaan geraknya:

tioo eeExm

dtdxm

dtxdm ωωγ −=++ 22

2

x=posisi elektron relatif terhadap inti atom, m=massa elektron, ωo= frekuensieigen dari elektron, γ=koefisien redaman.

)( 22 γωωω imeEx

o +−−

=

Momen dipol terinduksi: Eim

eexpo )( 22

2

γωωω +−=−=

Solusi stasioner:

Jadi, polarizabilitas atom:)( 22

2

γωωωα

ime

o +−=

Page 12: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

12

Indeks bias bahan:)(

1 22

2

γωωωε imNen

oo +−+=

Jika suku ke dua dalam tanda akar sangat kecil terhadap 1, maka

)(21 22

2

γωωωε imNen

oo +−+≈

1. N dan ωo bergantung pada bahan. Jelas bahwa indeks bias bergantungpada frekuensi cahaya ω.

2. Jika ω dinaikkan mendekati ωo, indeks bias juga akan naik. Ini berlakupada semua bahan transparan. Indeks bias untuk cahaya biru > indeksbias untuk cahaya merah. Fenomena ini disebut dispersi.

3. Karena iγω, indeks bias menjadi kompleks:

4444 34444 2144444 344444 21imajinerril

22222

2

22222

222

)(2)(2)(

1ωγωωε

γωωγωωε

ωω+−

−+−

−+≈

oooo

o

mNei

mNe

n

Page 13: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

13

)( kztioeEE −= ω

Tinjau gelombang EM menjalar sepanjang sb-z:

λπ2;)"'( =−== ooo kkinnnkk

Tuliskan: n=n’-in”

Komponen imajiner dari indeks bias menyebabkan atenuasi amplitudosepanjang penjalarannya.

)'(" zkntizkno

oo eeEE −−= ω

Page 14: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

14

2.3 Indeks bias logam

Di dalam logam terdapat banyak elektron bebas; dengan medan listrikelektron-elektron bebas bergerak. Jadi ωo=0, dan indeks bias menjadi:

)(1 2

2

γωωε imNen

o −−=

Jika γ<< ω:2

2

1ωω pn −=

mNe

op ε

ω2

= Frekuensi plasma elektron

Untuk ω>ωp: n ril, gelombang menjalar bebas dalam logam.

Untuk ω<ωp: n imajiner murni, gelombang teratenuasi dalam logam.

Aluminium, tembaga, emas dan perak: N~1023/cm3 , ωp~2x1016s-1; jadi untuk sinar tampak ω<ωp sehingga n imajiner.

Secara umum, karena γ finit maka logam memiliki n kompleks.

Emas: n=0,84+ i1,84 pada 0,5 μm

n=0,18+ i6,04 pada 1 μm

Page 15: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

15

2.4 Pulsa optik dan kecepatan grup

Dalam berbagai aplikasi, laser diopersikan dalam bentuk pulsa.

Penjalaran pulsa laser dalam bahan linier (P=εoχE), bisa dinyatakan sebagaisuperposisi dari gelombang-gelombang bidang dengan berbagai frekuensi.

Misalkan A(k) menyatakan amplitudo dari komponen gelombang bidangdengan k=bilangan gelombang. Pulsa dapat dituliskan:

∫∞

∞−

−= dkekAtz kzti )()(),( ωψ

di mana dimisalkan k dan ω(k) ril.

Hubungan antara ω dan k disebut hubungan dispersi.

Misalkan ωo= pusat frekuensi dengan ko= bilangan gelombangnya, dan Δωdisekitar ωo adalah pelebaran frekuensi dengan Δk pelebaran bilangangelombangnya. Ekspansi Taylor dari ω(k) adalah:

4434421abaikan

.....................)()(0

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+= oo kk

dkdk ωωω

Page 16: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

16

Substitusikan ke ψ(z,t):

∫∞

∞−

−−−≈ dkekAetz oooo kkztdkdizkti )]()/[()( )(),( ωωψ

∫∞

∞−

−−=− dkekAtdkdzE oo kkztdkdio

)]()/[()(])/([ ωω

Integral di atas merupakan fungsi envelop,

dan dituliskan:

])/([),( )( tdkdzEetz ozkti oo ωψ ω −= −

ψ(z,0)

z

ko k

)(kA

og dk

dv ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ω

disebut kecepatan grup dari pulsa

o

of k

= disebut kecepatan fasa≠kecepatan grup

Page 17: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

17

Dispersi materialBilangan gelombang:

cnk ω

=

og dk

dv ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=ω

ωω ddnncvg /+

=

Jadi, kecepatan fasa > kecepatan grup.

Kecepatan grup bergantung pada frekuensi cahaya.

Kecepatan fasa :ncv f =

Kecepatan grup:

serat optik

Pelebaran pulsa

Page 18: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

18

III. Refleksi dan Refraksi Gelombang Bidang

).( rktii

ieErrr

−ω

ikr

).( rktir

reErrr

−ω

rkr

tkr

).( rktit

teErrr

−ω

iθrθ tθ

21 nn

x

z cnkk riω

1==rr

cnktω

2=r

tri kkkrrr

,,

yang disebut bidang datang.

Komponen tangensial ketiga medan itusama:

tzrziz

ttrrii

kkk

kkk

==

== θθθ sinsinsinrrr

ttiiri nn θθθθ sinsin; ==

terletak dalam bidang-xz

Hk. Snellius

3.1 Hukum Snellius

Page 19: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

19

3.2 Refleksi dan Transmisi

H1

E1

H’1

E’1 H2

E2

21 nn

z

x

TE atau gel-s

H1E1

H’1

E’1

H2

E2

21 nn

z

x

TM atau gel-p

+

1θ2θ

1θ2θ

Solusi umum dari persamaan gelombang dalam setiap medium merupakansuperposisi dari gelombang datang dan gelombang pantul:

H’2E’2 H’2

E’2+

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

<+=

−−

−−

0;)'(

0;)'(.'

2.

2

.'1

.1

22

11

xeeEeE

xeeEeEE

tirkirki

tirkirki

ω

ω

rrrr

rrrr

rr

rrr

EiHo

rrx∇=

ωμ

Page 20: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

20

E1

H’1

E’1 H2

E2

21 nnz

x

TE atau gel-s

1θ2θ

H’2E’2

Kontinuitas Ey dan Hz di x=0:

22221111

2211

cos)'(cos)'(:

'':

θθ ssssz

ssssy

EEnEEnH

EEEEE

−=−

+=+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

s

ss

s

ss E

ED

EE

D2

2

1

1

')2(

')1(

2,1;coscos

11)( =⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= inn

iDiiii

s θθ

disebut matriks dinamis dari gel-s.

Page 21: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

21

Koefisien refleksi:

iiixxx

xx

Es

ss

nkkkkk

nnnn

EEr

s

θλπ

θθθθ cos2

coscoscoscos

'

21

21

2211

2211

0'1

1

2

=+−

=+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

Koefisien transmisi:

xx

x

Es

ss

kkk

nnn

EE

ts

21

1

2211

11

0'1

2

2coscos

cos22

+=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

θθθ

Reflektansi:2

ss rR =

Transmittans:x

xss k

ktT

1

22=

Page 22: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

22

TM atau gel-p

H1E1

H’1

E’1

H2

E2

21 nn

z

x

+

1θ2θ

H’2E’2+

)'()'(:

cos)'(cos)'(:

222111

222111

ppppy

ppppz

EEnEEnH

EEEEE

−=−

+=+ θθ

Kontinuitas Ez dan Hy di x=0:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

p

pp

p

pp E

ED

E

ED

2

2

1

1

')2(

')1(

2,1;coscos

)( =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= inn

iDii

iip

θθ

disebut matriks dinamis dari gel-p.

Page 23: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

23

Koefisien refleksi:

xx

xx

Ep

pp

knknknkn

nnnn

EE

rp

1222

21

1222

21

1221

1221

0'1

1

coscoscoscos

'

2

+−

=+−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

θθθθ

Koefisien transmisi:

xx

x

Ep

pp

knknknn

nnn

EE

tp

1222

21

121

1221

11

0'1

2

2coscos

cos22

+=

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

θθθ

Reflektansi:2

pp rR =

Transmittans:x

xpp k

ktT1

22=

Page 24: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

24

n1=1

θ1

7,12 =n

x

z

Reflektans dielektrik-dielektrik, n1<n2.

Reflektans gelombang-s terus naik hingga sudut maksimum.

Reflektans gelombang-p mempunyai harga minimum.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sudut datang

Ref

lekt

ans

s

p

Page 25: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

25

3.3 Refleksi total internal

2211 sinsin θθ nn =

Jika n1>n2: 12 θθ >

Agar θ2=90o, )/(sin 121

1 nnc−=→ θθ

Jika θ1>θc terjadi refleksi total dari semua energi cahaya. Sudut θ2 menjadi:

2

2

1

2

12

11

2

12

cos1sinsin

sinsin

1cos

1sinsin

sinsin

θθθ

θθ

θ

θθ

θθ

ii

nn

cc

c

−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

>==

θ1

2n

n1>n2

x

zθ2

1kr

'1kr

2kr

Cos θ2 berharga imajiner; transmisi meluruh eksponensial terhadap x.)sin().(

222 θωω zktiqxrkti eeeE −−− =∝

rr

Page 26: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

26

Total internal reflection terjadi pada θ1>θc.

oc

c

nn

nnnn

360.1,7.1

;sin

21

211

211

=→==

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=> −

θ

θθ

θ1

12 =n

n1=1,7

x

z

Reflektans dielektrik-dielektrik, n1>n2.

θc=55,4o0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Sudut datang

Ref

lekt

ans

TIR

ps

θc

Penjalaran gelombang dalam serat optik berlangsung dengan TIR.

Page 27: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

27

1

coscoscoscos

;coscoscoscos

1221

1221

2211

2211

==

+−

−−=

+=

ps

ps

rr

ninnin

rinninn

rθθθθ

θθθθ

Koefisien refleksi pada saat refleksi total:

Semua energi cahaya direfleksikan secara total.

Perbedaan sinar datang dan sinar terpantulhanya pada fasa.

Misalkan r∼eiφ, maka

2/1

12

21

21

sin1sinsin

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= −

φθθ

φ cs tg

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+−= −

2

2

1

2/1

12

21

21

sin1sinsin

2nn

tg cp φ

θθπφ

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Sudut datang

Fas

a/pi

0.17.1

2

1

==

nn

φs

φp+π

Page 28: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

28

3.4 Gelombang evanesen

Berkas cahaya transmisi: ).(2

2 rktieErr

−∝ ω

)cossin(. 2222 θθ xzkrk +=rr

1122 sinsin θθ kk =

1)sin/(sin)sin/(sin1cos 21

212 −−=−= cc i θθθθθ

Saat berlangsung refleksi total:

1122 sinsin θθ nn =

0]1)sin/[(sincos 2/121222 >−== ckikq θθθ

)sin(2

11 θω zktiqx eeE −−∝

E2 menjalar diperbatasan sepanjang sb-z, dengan amplitudo yang mengalamipengecilan eksponensial terhadap x. Gelombang ini disebut gelombangevanesen.

qxe−

mxqxmqnmnn μλ 35.11Untuk.10x388.7630,4.1,7.1 1521 =→==→=== −

x

zE2

Page 29: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

29

2222 x1x EkEiHoo

rrrr

ωμωμ=∇=

).(2

2 rktieErr

−∝ ω

qx

o

eEkHES 22

2221 Re

21*]xRe[ −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

rrrrr

ωμ

qx

ox eEkxS 22

22.ˆRe2

1 −

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

rr

ωμ

iqik

kxzxkkx

c −=−−=

=+=

1)sin/(sin

cos)cosˆsinˆ(.ˆ.ˆ2

12

222222

θθ

θθθr

)cosˆsinˆ( 2222 θθ xzkk +=r

0=xS

Harga rata-rata komponen-x dari vektor poynting:

Artinya, pada saat refleksi total tidak ada transmisi cahaya melalui perbatasan.

zx

Page 30: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

30

3.5 Reflektans permukaan bahan penyerap

Bahan penyerap seperti logam mempunyai indeks bias kompleks: "' innn −=

"2

'221 ;1 innnn −==

2n

1n2

"2

'21 sin)(sin θθ inn −=

x

z

Snellius:

Koefisien refleksi:

1221

1221

coscoscoscos

θθθθ

nnnn

rp +−

=

2211

2211

coscoscoscos

θθθθ

nnnn

rs +−

=

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900.96

0.965

0.97

0.975

0.98

0.985

0.99

0.995

1

1.005

Sudut datang

Ref

lekt

ans

p

sn1=1.0

n2=0.05-i 2.87 (Ag 500 nm)

Page 31: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

31

Pada sudut di mana reflektansgelombang-p minimum, foton-fotoncahaya dari gelombang evanesenterpakai untuk menggerakkanelektron-elektron bebas di permukaanlogam; dengan itu terbentukgelombang kerapatan elektron.

Gelombang kerapatan elektron inidisebut surface plasmon.

0 20 40 60 800.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

Incident angle (degree)

Ref

lect

ance

Karena frekuensi foton sama dengan frekuensi eigen plasmon, makafenomena ini disebut Surface Plasmon Resonance (SPR).

Surface Plasmon

s

p

Page 32: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

32

Penjelasan Surface Plasmon

x

n1

ncore

n2

x=-d

x=0

z )()(),,( ztiyy exEtzxE βω −=

β=komponen-z dari vektor gelombang.

Tinjau gelombang-s (TE):Hr

Er

0)(0 22

22

2

2

2

2

2

22 =−+

∂→=

∂−∇ y

yyy E

cn

xE

tE

cnE βω

→<−

→>−

0

0

22

22

22

22

βω

βω

cn

cn Solusi merupakan gelombang menjalar.

Solusi merupakan fungsi eksponensial menurun

Jadi, agar gelombang menjalar dalam teras, maka selain TIR juga harus dipenuhi:

teras

selubung

selubung

2

222

2

222

2

221 ,

cn

cn

cn coreωβ

ωω<<

Page 33: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

33

⎪⎩

⎪⎨

−<+

<<−−>

=+

dxehdhphdCxdhxhphxC

xCexE

dxq

px

y

,]sin)/([cos0],sin)/([cos

0;)(

)(

22

221

222 )/(;)/(;)/( cnpcnqcnh core ωβωββω −=−=−=

Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari Ey dan Hz, akan diperoleh solusi persamaan gelombang:

)/1(tg 2hpqh

qphd−+

=

Page 34: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

34

)()(),,( ztiyy exHtzxH βω −=

Tinjau gelombang-p (TM):

⎪⎩

⎪⎨

−<+−

<<−+−>−

=+

dxehdhdphCxdhxhxphC

xCephxH

dxq

px

y

,]sincos)/[(0],sincos)/([

0;)/()(

)(

yxz

yzx

HitzxE

HitzxE

∂−=

∂=

ωε

ωε

),,(

),,(

qnnqpnnpqphqphhd corecore

21

222 )/(;)/(;)(tg ==

−+

=

Dengan menggunakan syarat kontinuitas di x=0 dan x=-d dari Hy dan Ez, akan diperoleh solusi persamaan gelombang:

Page 35: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

35

Sistem 2-lapisan, d=0:

n1n2

x

z

0qp,karenaterjadimungkintidak0:sGel >=+− qp

;0:pGel 21

22

=+−nq

np

0

cnnnn ωβ

2/1

22

21

22

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=2

22

21

412

2

22

21

422 ; ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=cnn

nq

cnnn

p ωω

00Karena 22

21 <+→> nnβ

(?)imajiner2n→0maka0Karena 22

21 <> nn

Page 36: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

36

⎪⎩

⎪⎨

≤=

−−

0

0),,(

)(

)(

xeeC

xeeCtzxH

ztipx

ztiqx

yβω

βω

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−−

0

0),,(

)(22

)(21

xeCen

xeCen

tzxEztipx

o

ztiqx

ox

βω

βω

ωεβωεβ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

≥−

=−−

0

0),,(

)(22

)(21

xeCen

ip

xeCen

iq

tzxEztipx

o

ztiqx

oz

βω

βω

ωε

ωε

Page 37: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

37

Ketiga komponen medan menjalar diperbatasan dielektrik/ logam sepanjang sb-z; amplitudo masing2 mengecil secaraeksponensial di dalam dielektrik dan logam.

Karena p>q>0, maka amplitudo itu lebihcepat padam di dalam logam.

Komponen2 Ex dan Ez membentukpolarisasi ellips di atas bidang-xz dekatdengan batas dielektrik-logam.

E(x<0)

E(x>0)

x

z

x

z

n1

n2

qxe

pxe−

Page 38: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

38

Kebanyakan logam memiliki tetapan dielektrik (n2) yang kompleks.

Penjalaran gelombang permukaan pada perbatasan antara logamdan bahan dielektrik mengalami hambatan ohmik.

Oleh sebab itu penjalaran akan mengalami atenuasi sepanjangsumbu-z.

222

22

222222 2 nninnnninn ′′′−′′−′=→′′−′=

βββωβ ′′−′=→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

= icnn

nn2/1

22

21

22

21

Page 39: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

39x

z

n1

n2

qxe

pxe−

[ ] cnnnnn

nnncnnn

nnn ωβωβ 2/1322

22

21

22

22

3122

2/1

22

22

21

22

22

21

))((;

)()(

′′−′+′′−′

′′′=′′⎥

⎤⎢⎣

⎡′′−′+′′−′

=′

Konstanta penjalaransepanjang sb-z.

Konstanta atenuasisepanjang sb-z.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤∝

′′−

00

,,xexe

eEEHpx

qxz

zxyβ

Page 40: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

40

3.6 Lapisan homogen dan isotropik

x

n1

n2

n3

x=-d/2

x=d/2z

)()(ˆ),,( ztiyy exEytzxE βω −=

r

β=komponen-z dari vektor gelombang.

⎪⎩

⎪⎨

>

<<−+

−<+

=−

2/,

2/2/,

2/,

)(3

22

11

dxFe

dxdDeCe

dxBeAe

xExik

xikxik

xikxik

y

x

xx

xx

Tinjau gelombang-s (TE):

iiiix nccnk θωβω cos)/()/( 22 =−=

Medan magnet bisa ditentukan dengan:

yo

EiHrr

x∇=ωμ

)(

)(

)(),,(

;)(),,(

ztiyx

oz

ztiy

ox

exEitzxH

exEtzxH

βω

βω

ωμ

ωμβ

∂=

−=

Hr

Er

Page 41: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

41

)()( )()(),,( ztiz

ztix

oz exHexEitzxH βωβω

ωμ−− =∂=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

>

<<−−

−<−

=

2/,

2/2/),(

2/),(

)(

3

22

11

3

2

1

dxFek

dxdDeCek

dxBeAek

xH

xik

o

x

xikxik

o

x

xikxik

o

x

z

x

xx

xx

ωμ

ωμ

ωμ

Kontinuitas Ey dan Hz berlaku di x=0 dan x=d:

FkDeCek

FDeCe

DCkBAkDCBA

xdikdik

x

dikdikxx

xx

xx

32

21

)(

)()(

22

22

=−

=+

−=−+=+

Page 42: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

42

dkixxxxxxxx

dikxx

x

x

ekkkkkkkkekk

AF2

2

232213221

21

))(())((4

−−+++=

dkixxxxxxxx

dkixxxxxxxx

x

x

ekkkkkkkkekkkkkkkk

AB2

2

232213221

232213221

))(())(())(())((

−−+++−+++−

=

Koefisien refleksi 2-lapisan:xx

xx

xx

xx

kkkk

rkkkk

r32

3223

21

2112 ;

+−

=+−

=

Koefisien transmisi 2-lapisan:xx

x

xx

x

knknknn

tknkn

knnt

2233

22

23223

1222

21

12112

2;

2+

=+

=

Koefisien refleksi dan transmisi sistem 3-lapisan di atas

AFt

ABr == ;

Page 43: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

43

dki

dik

dkixxxxxxxx

dikxx

x

x

x

x

errett

ekkkkkkkkekk

AFt

2

2

2

2

22312

2312

232213221

21

1

))(())((4

++

=

−−+++==

Jadi untuk sistem 3-lapisan di atas:

dki

dki

dkixxxxxxxx

dkixxxxxxxx

x

x

x

x

errerr

ekkkkkkkkekkkkkkkk

ABr

2

2

2

2

22312

22312

232213221

232213221

1

))(())(())(())((

++

=

−−+++−+++−

==

xx

xx

knknknkn

r2

222

21

2222

21

12 +−

=xx

xx

knknknkn

r2

233

22

2233

22

23 +−

=

xx

x

knknknn

t2

233

22

23223

2+

=xx

x

knknknn

t1

222

21

12112

2+

=

Untuk gel-p, rumusan di atas tetap berlaku dengan:

Page 44: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

44

Reflektans, transmittans dan absorptans:

)(1;coscos

; 2

11

332 TRAtnn

TrR +−===θθ

332211 sinsinsin θθθ nnn ==

Page 45: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

45

2

22312

22312

1

rR

errerr

r ipp

ipp

=

++

= −

φ

φ

22 cos2 θλπφ dn=

n1

n2

n3

x

θ2d

θ3

θ1

3.7 Attenuation Total Reflection (ATR)

Gunakan gelombang-p

Page 46: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

46

1221

122112 coscos

coscosθθθθ

nnnnr

+−

=

2332

233223 coscos

coscosθθθθ

nnnn

r+−

=

2

23

23 sin1cos ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= θθ

nn

Dengan rumusan di atas telah dibuat program komputer untuk R.

2

22

12 sin1cos ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−= θθ

nn

Page 47: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

47

Hasil-hasil perhitungan:

d=50nmn3

n1θ1

n2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Sudut datang

Ref

lekt

ans

n1=1.723n2=2.0 n3=1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 900

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Sudut datang

Ref

lekt

ans

n1=1.723n2=1.6 n3=1

λ=633 nm

Page 48: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

48

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Incident angle (degree)

Ref

lect

ance

n1=1.723n2=0.173+i 3.422 (Au pada 633nm)d=50 nmn3=1

dn3

n1θ1

n2

Surface plasmon

Page 49: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

49

35 36 37 38 39 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Incident angle (degree)

Ref

lect

ance

n3=1

Page 50: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

50

35 36 37 38 39 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Incident angle (degree)

Ref

lect

ance

n3=1.005

Page 51: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

51

IV. MEDIA BERLAPIS ISOTROPIK

4.1 Perumusan Matriks

Perhatikan lapisan medium dielektrik ini.

Karena setiap lapisan itu homogensepanjang sumbu-z, maka gelombangbidang yang memenuhi persamaanMaxwell adalah (untuk gel-s):

)()(),,( ztiyy exEtzxE βω −=

βadalah komponen-z dari vektor gelombang. Untuk gel-p, ganti Ey dengan Hy.

Ey(x) dapat dinayatakan sebagai superposisi gelombang menjalar ke kanan danke kiri; pada setiap lapis berlaku:

)()()( xBxAeLeRxE xikxiky

xx +=+= −

x

z

n1

A1

B1

n2

A’2 A2

B’2 B2

n3

A’3B’3

x=0 x=d

di setiap perbatasan dua medium

Page 52: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

52

Sesuai dengan rumusan refleksi-transmisi (hal.19):

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛→⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −'2

'2

12'2

'2

21

11

1'2

'2

21

11

~~~~~B

AD

B

ADD

BA

B

AD

BA

D

Penjalaran:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

2

22'

2

'2 ~

BA

PB

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛→⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −'3

'3

23'3

'3

31

22

2'3

'3

32

22

~~~~~B

AD

B

ADD

BA

B

AD

BA

D

x

z

n1

A1

B1

n2

A’2 A2

B’2 B2

n3

A’3B’3

x=0 x=d

Secara keseluruhan: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−'3

'3

23212'3

'3

21

2221

11

1 ~~~~~~~~B

ADPD

B

ADDPDD

BA

Page 53: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

53

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

− 2

2

0

0~2 φ

φ

i

i

e

eP

3,2,1

pgeluntukcoscos

sgeluntukcoscos11

~

=

⎪⎪

⎪⎪

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

i

nn

nnD

ii

ii

iiiii θθ

θθ

dkc

nkc

n xiiixii 22,cos,sin === φθωθωβ

Page 54: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

54

DCDIDD

T

~det

~~)identitas(~~~ 11 =→= −−

ijij dc darikofaktor=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

333231

232221

131211~Misalkan

ddddddddd

D

Kofaktor dari dij=(-1)i+j Mij; Mij =minor dari dij.

Kofaktor dari d12= - M123331

232112 dd

ddM =

Kofaktor dari d31= M312322

131231 dd

ddM =

Catatan:

( )213331

232112

TCdddd

c =−=

( ) ijjiT cC =

~

( )132322

131231

TCdddd

c ==

CC T ~dariTranpos~=

Page 55: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

55

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=→⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=11coscos~

coscos11~ iiii

iiiii

nnC

nnD

θθθθ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=→⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=ii

ii

ii

iii

nnC

nnD

θθθθ

coscos~coscos~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

1cos1cos~

ii

iiT

nn

Cθθ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−=−

1cos1cos

cos21~ 1

ii

ii

iii n

nn

Dθθ

θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−=

ii

iiT

nn

Cθθ

coscos~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−=−

ii

ii

iii n

nn

Dθθ

θ coscos

cos21~ 1

Gel-s:

Gel-p:

Cek: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=−

1001~~ 1

ii DD

Page 56: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

56

== −2

1112

~~~ DDD sgel

nn

nn

nn

nn

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

11

22

11

22

11

22

11

22

coscos1

21

coscos1

21

coscos1

21

coscos1

21

θθ

θθ

θθ

θθ

== −2

1112

~~~ DDD pgel

nn

nn

nn

nn

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

21

12

21

12

21

12

21

12

coscos1

21

coscos1

21

coscos1

21

coscos1

21

θθ

θθ

θθ

θθ

Page 57: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

57

4.2 Perumusan untuk Sistem Multilapis

no

Ao

Bo

n1

A1

B1

n2

A2

B2

nN-1

AN-1

BN-1

nN

AN

BN

…….

ns

A’sB’s

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

<<<

<<<<

<

=

.,,

....................,,,

)(

1

212

11

xxnxxxn

xxxnxxxn

xxn

xn

Ns

NNN

o

oo

xxo x1 x2 ……. xN-1 xN

1

122

11

....

−−=

−=−=

NNN

o

xxd

xxdxxd

d1 d2 dN-1 dN

N=jumlah lapisan

Page 58: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

58

)()( ztiexEE βω −=

Misalkan solusi persamaan gelombang adalah gelombang bidang:

Nl

xxeBeA

xxxeBeA

xxeBeA

xE

Nxxxik

sxxxik

s

llxxxik

lxxxik

l

oxxxik

oxxxik

o

ssxssx

llxllx

ooxoox

......,,2,1,

.,''

,

,

)()()(

1)()(

)()(

=⎪⎩

⎪⎨

<+

<<+

<+

=−−−

−−−−

−−−

sNlc

nc

nk llllx ,....,3,2,1,0,cos 22

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== βωθω

;~~1

111

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

BA

PDDBA

oo

o ;~~1

111

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

+

+++

l

llll

l

l

BA

PDDBA

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

s

ssN

N

N

BA

DDBA

''~~ 1

Page 59: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

59

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛'

'

2221

1211

s

s

o

o

B

AMMMM

BA

slll

N

lo DDPDD

MMMM ~~~~~ 1

1

1

2221

1211⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

=

− ∏

Nl

nn

nnD

ll

ll

llll

l

......,,2,1

pgeluntukcoscos

sgeluntukcoscos11

~

=

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

θθ

θθ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

− l

l

i

i

le

eP

φ

φ

0

0~

llxl dk=φ

Page 60: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

60

Untuk 3 lapisan

n1

A1

B1

n2

A2

B2

n3

A3

B3

x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

3

3

2221

1211

1

1

BA

MMMM

BA

31

2221

12221

1211 ~~~~~ DDPDDMMMM −−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

d

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

22

33

11

22

11

3322

22

33

11

22

11

3321

22

33

11

22

11

3312

22

33

11

22

11

3311

coscos

coscos

sin21cos

coscos

121

coscos

coscossin

21cos

coscos

121

coscos

coscossin

21cos

coscos

121

coscos

coscos

sin21cos

coscos

121

θθ

θθ

φφθθ

θθ

θθ

φφθθ

θθ

θθ

φφθθ

θθ

θθ

φφθθ

nn

nn

inn

M

nn

nni

nn

M

nn

nni

nn

M

nn

nn

inn

M

Gel-s

Page 61: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

61

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

12

23

21

32

1

3

1

322

12

23

21

32

1

3

1

321

12

23

21

32

1

3

1

312

12

23

21

32

1

3

1

311

coscos

coscos

sin21cos

coscos

21

coscos

coscos

sin21cos

coscos

21

coscos

coscos

sin21cos

coscos

21

coscos

coscos

sin21cos

coscos

21

θθ

θθ

φφθθ

θθ

θθ

φφθθ

θθ

θθ

φφθθ

θθ

θθ

φφθθ

nn

nn

inn

M

nn

nn

inn

M

nn

nn

inn

M

nn

nn

inn

M

Gel-p

Koefisien refleksi dan transmissi:

1111

11

21

11

21

1coscos1

Mnn

TM

t

MM

RMM

r

oo

ss

θθ

=→=

=→=

Page 62: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

62

Sistem lapisan ¼ gelombang

N pasangan lapisan dengan n1d1=n2d2=λ/4

n1 n2 n1 n2

d1 d2 d1 d2

no ns

[ ] sN

o DDPDDPDDMMMM ~~~~~~~~ 1

2221

1111

2221

1211 −−−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

1 2 ……………. N

Page 63: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

63

V. MEDIA BERLAPIS PERIODIK 1-D

5.1 Media berlapis periodik 1-dimensi

perioda);()( 21 =+=ΛΛ+= ddxnxn

x

n1 n2 n1 n2 n1 n2

d1 d2 d1 d2 d1 d2

x=nΛx=(n-1)Λx=(n-2)Λ

n1 n2 n1 n2 n1 n2

d1 d2 d1 d2 d1 d2

nnn

nnn

bdb

aca

1

1

unit sel ke-n

Kristal fotonik 1-D

Page 64: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

64

Misalkan solusi persamaan gelombang: )()( ztiexEE βω −=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−Λ<<Λ−+

Λ<<−Λ+=

Λ−Λ−−

Λ−Λ−−

1)()(

1)()(

)1(;

;)(

22

11

dnxnedec

nxdnebeaxE

nxikn

nxikn

nxikn

nxikn

xx

xx

2,1;cos22

==−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= i

cn

cnk i

iiix θωβω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

n

n

n

n

dc

PDDba

221

11

1 ~~~⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

n

n

n

n

ba

PDDdc

111

2~~

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

− 11

11

0

01 dik

dik

x

x

e

eP ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

− 22

22

0

02 dik

dik

x

x

e

eP

Page 65: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

65

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

n

n

x

xdik

x

xdik

x

xdik

x

xdik

n

n

dc

kke

kke

kke

kke

ba

xx

xx

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

11

11

21

2222

2222

Untuk gelombang-s:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

n

n

x

xdik

x

xdik

x

xdik

x

xdik

n

n

ba

kke

kke

kke

kke

dc

xx

xx

2

1

2

1

2

1

2

1

11

11

21

1111

1111

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

n

n

n

n

ba

DCBA

ba

1

1

Page 66: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

66

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

222

1

1

22

122

222

1

1

22

1

222

1

1

22

1

222

1

1

22

122

sincos

sin

;sin

;sincos

11

11

11

11

dkkk

kkidkeD

dkkk

kkieC

dkkk

kkieB

dkkk

kkidkeA

xx

x

x

xx

dik

xx

x

x

xdik

xx

x

x

xdik

xx

x

x

xx

dik

x

x

x

x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

n

n

n

n

ba

DCBA

ba

1

1

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

1=−BCAD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛DCBA

disebut matriks translasi unit sel

Matriks translasi itu menghubungkan medan-medan dari dua lapisan yang sama maka AD-BC=1.

Page 67: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

67

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

222

21

122

122

221

21

2211

221

22

221

221

122

2111

221

22

221

221

122

2111

222

21

122

122

221

21

2211

sincos

sin

;sin

;sincos

dkknkn

knknidkeD

dkknkn

knknieC

dkknkn

knknieB

dkknkn

knknidkeA

xx

x

x

xx

dxik

xx

x

x

xdxik

xx

x

x

xdxik

xx

x

x

xx

dxik

Untuk gelombang-p:

Page 68: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

68

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

n

n

n

n

ba

DCBA

ba

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

2

2

1

1

1

1

ba

DCBA

ba

ba

DCBA

ba

o

o

⎪⎭

⎪⎬

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

2

22

ba

DCBA

ba

o

o

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

o

o

ba

DCBA

ba 2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛−

o

oN

o

oN

N

N

ba

ACBD

ba

DCBA

ba

Page 69: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

69

5.2 Gelombang Bloch dan struktur pita

Mengambil konsep zat padat, medium periodik ekivalen dengan kisi 1-dimensi yang invarian terhadap translasi kisi.

perioda);()( =ΛΛ+= xnxn

Berdasarkan teorema Floquet, solusi persamaan gelombang untuk medium berlapis periodik adalah:

iKxziKK eexEzxE −−= β)(),(

di mana

)()( xExE KK =Λ+

Indeks K menyatakan fungsi EK(x) bergantung pada K. Konsanta K disebut bilangan gelombang Bloch.

Page 70: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

70

Menentukan K dan EK(x)

iKxziKK eexEzxE −−= β)(),(

Λ−

Λ−−−

Λ+−−

Λ+−−

=

=

=

Λ+=Λ+

iKK

iKiKxziK

xiKziK

xiKziKK

ezxE

eeexE

eexEeexEzxE

),(

)(

)()(),(

)(

)(

β

β

β

Dalam bentuk matriks,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ Λ

−Λ−

n

niK

n

n

n

niK

n

n

ba

eba

ba

eba

1

1

1

1 atau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

n

n

n

n

ba

DCBA

ba

1

1

Tapi,

Page 71: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

71

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Λ

n

niK

n

n

ba

eba

DCBA

Untuk itu berlaku:

0=−

−Λ

Λ

iK

iK

eDCBeA

Jadi, exp(iKΛ) adalah harga eigen dari matriks translasi.

[ ])(cos1)(cos

1)()(

211

21

24

12

1

DAK

DAKDADAeiK

=

+=Λ

−+±+=

Λ

Jadi, harga-harga eigen itu adalah

Page 72: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

72

Selanjutnya, dengan vektor-vektor eigen ditentukan sbb:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Λ

o

oiK

o

o

ba

eba

DCBA

( )AeB

ba

iKo

o

−= Λ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛Λ AeB

Qba

iKo

oQ=konstanta

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

o

oN

N

N

ba

ACBD

ba

Page 73: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

73

22112

1

1

22

12211

21

24

12

1

sinsincoscos

)(cos

1)()(

dkdkkk

kkdkdk

DAK

DADAe

xxx

x

x

xxx

iK

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

+=Λ

−+±+=Λ

Hubungan dispersi:

imajiner

2,1;cos22

==−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= i

cn

cnk i

iiix θωβω

Harga cos KΛ ditentukan oleh ω dan β. Kurva ω vs βdisebut kurva dispersi.

Page 74: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

74

harga K ril, artinya gelombang Bloch dapat menjalar melaluimedium berlapis.

1)(21 <+ DA

1)(21 >+ DA K merupakan kompleks sehingga gelombang mengalami

evanescen; artinya gelombang Bloch tak dapat melaluimedium berlapis atau disebut pita terlarang

Band gap refleksi

Page 75: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

75

2π/ΛK

ω

gap

gap

gap

β = 0

Cahaya bisa lewat

Cahaya tak bisa lewat (band gap)

Page 76: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

76

⎪⎩

⎪⎨⎧

−Λ<<Λ−+

Λ<<−Λ+=

Λ−Λ−−

Λ−Λ−−

1)()(

1)()(

)1(;

;)(

22

11

dnxnedec

nxdnebeaxE

nxikn

nxikn

nxikn

nxikn

xx

xx

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛ Λ−

−Λ−

o

oinK

n

niK

n

n

ba

eba

eba

1

1

( )( )[ ] iKxnxiKnxik

onxik

o

inKnxiko

nxiko

nxikn

nxikn

iKxK

eeebea

eebea

ebeaexE

xx

xx

xx

−Λ−Λ−Λ−−

Λ−Λ−Λ−−

Λ−Λ−−−

+=

+=

+=

)()()(

)()(

)()(

11

11

11)(

⎪⎭

⎪⎬

Hasil akhir untuk gelombang Bloch dalam lapisan n1 di unit sel ke-nadalah:

periodik

Page 77: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

77

5.3 Reflektor Bragg

n2 n1

d2 d1

ao

bo

aN

Λ

N buah unit sel

Medium berlapis dari N buah unit sel.

Jika gelombang Bloch jatuh dalam band gap, gelombang itu terevanesendan tak bisa menjalar dalam medium.

Jadi, gelombang itu terpantul; medium bersifat sebagai reflektor yang disebut reflektor Bragg.

Page 78: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

78

Koefisien refleksi:0=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Nbo

oN a

br

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

N

NN

o

o

ba

DCBA

ba

Karena matriks unimodular:

ΛΛ+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

−−−

−−−

KKNu

uDuCuBuuAu

DCBA

NNNN

NNNN

sin)1sin(,

211

121

[ ])(cos 211 DAK +=Λ −

1221

1

0/ −−−−

=−

=−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

NNNN

N

bo

oN uuA

CuAu

Cuabr

N

2

12

2

/ −−−==

NNN uuA

CrR

Page 79: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

79

N=15

TE (s); n1=3,0 n2=3,6 d1=d2=2um θo=0o

N=30

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2 .6 2 .8 30

0.1

0.2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

Lam da (um )

Ref

lekt

ans

1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2.4 2 .6 2 .8 30

0.1

0.2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

Lam da (um )

Ref

lekt

ans

Page 80: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

80

N=15, n2=3,6 d1=d2=2 um θo=0o

n1=3,0

n1=3,3

1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

L a m d a (um )

Ref

lekt

ans

1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

L a m d a (um )

Ref

lekt

ans

Page 81: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

81

N=15, n1=3,0 n2=3,6 d1=d2=2 um

θo=0o

1 1 .2 1 .4 1.6 1.8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

Lam da (um )

Ref

lekt

ans

θo=60o

1 1 .2 1 .4 1 .6 1 .8 2 2 .2 2 .4 2 .6 2 .8 30

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1

L a m d a (um )

Ref

lekt

ans

Page 82: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

82

Reflektor Bragg dengan Reflektans tinggi

Cermin dengan reflektans tinggi diperlukan dalam berbagai aplikasi. Cermindengan bahan logam bisa memiliki reflektans 99% dan yang 1% diabsorp. Jika cermin dpakai untuk laser daya tinggi, cermin logam menjadi panas.

Untuk mengatasinya, digunakan refektor Bragg dari bahan dielektrik, misalnya dengan lapisan-lapisan n1d1=n2d2=λo/4.

k1xd1=k0n1d1=(2π/λ)(λ/4)=90o→exp(ik1xd1)=i

k2xd2=k0n2d2=(2π/λ)(λ/4)=90o →cos k2xd2=0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

x

x

x

xx

x

x

x

xx

dxik

knkn

knkndk

knkn

knknidkeA

221

122

122

221

21

222

21

122

122

221

21

2211 sincos

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−=

x

x

x

xx

x

x

x

xdxik

knkn

knkndk

knkn

knknieC

122

221

221

122

21

221

22

221

221

122

2111 sin

( )( ) ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++

−−=

−=

−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−−−−

=1/ 2

142

22

412

1

22

41

21

422

1

1221

1

0 xx

xx

NNNN

N

Nbo

oN knkn

knknuuA

CuAu

Cuabr

Page 83: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

83

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Lamda (um)

Ref

lekt

ans

n1=1.5

n2=2.5

λo=0,6 um

N=30

Page 84: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

84

Reflektor Bragg Sinusoida Homogen

Λ

A2(L)=0

B(0)

A(L)A(0)

z=0 z=L

[ ] tizizi eezBezAtzE ωββ )()(),( += −

0)(2

22

2

2

=+ Eczn

dzEd ω

oo nnGGznnzn <<Λ

=+= 11 ;2;cos)( π

Persamaan gelombang:

Page 85: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

85

( )[ ] 0)cos(2

22

12

2

2

22

22

2

2

=+++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++⎥

⎤⎢⎣

⎡−−

zizioo

zizi

BeAeGznnnc

eBdzdBi

dzBdeA

dzdAi

dzAd

ββ

ββ

ω

ββββ

Asumsikan amplitudo gelombang berubah pelan-pelan (SVA):

dzdB

dzBd

dzdA

dzAd ββ <<<< 2

2

2

2

;

[ ] 0)cos(2

)(2)(2

12

2

222

222

2

2

=++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++⎥

⎤⎢⎣

⎡−+−

zizio

zio

zio

BeAeGznnc

eBncdz

dBieAncdz

dAi

ββ

ββ

ω

βωββωβ

Page 86: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

86

Kalikan dengan exp(iβz)

Lakukan perata-rataan spasial:

( ) zGizGizGizi

zi

eeeeGz

Gze

)2(2

1)2()2(2

12

2

)cos(

,0)cos(;0

−−+ ≈+=

==

ββββ

β

[ ] 0)cos(2

22

212

2

2222

222

2

2

=++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎥

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−

zio

zioo

BeAGznnc

eBncdz

dBiAncdz

dAi

β

β

ω

βωββωβ

02 )2(12

222

2

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

∂∂

− − zGioo Benn

cAn

czAi βωβωβ

Page 87: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

87

02 )2(12

222

2

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− − zGi

oo Bennc

Ancdz

dAi βωβωβ

Misalkanlah β=G/2=noωB/c; maka dengan cukup kecil diperolehBωω−

)(2

)/)(/(2/ 2222

Boooo

cncncncn

ωωβ

βωβωβ

βωδ −≈

−+=

−=

ωB disebut frekuensi Bragg, dan δ disebut frecuency detuning.

Dengan cara yang sama diperoleh:

0)/(2 )2(2

2

12222 =+−+ − zGi

oo eAc

nnBcndzdBi βωβωβ

Λ==

oo

oB n

cncG πω

2

Page 88: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

88

BiAidzdA κδ −=+

Gnncnn

o

o

2/ 1

221 ≈=βω

κ

Λ== oB

B nc 22ωπλ

Parameter kopling

Panjang gelombang Bragg

AiBidzdB κδ =− ⎪

⎪⎬

⎫disebut persamaan terkopel

Cara penyelesaian persamaan terkopel:

zizi ezBzbezAza δδ −== )()(;)()(

Page 89: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

89

zizi eaidzdbebi

dzda δδ κκ 22 ; −=−=

02 22

2

=−− adzdai

dzad κδ

;)sinhcosh( 21zieszCszCa δ+= 022 ≥−= δκs

[ ]{ [ ] } zi

zi

eszCszCszsCszsCidzdaeib

δ

δ

δκ

κ−

+−+=

=

sinhcoshcoshsinh 2121

2

Page 90: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

90

)sinhcosh()( 21 szCszCzA +=

[ ]{ [ ] }szCszCszsCszsCizB sinhcoshcoshsinh)( 2121 +−+= δκ

Dengan menerapkan syarat batas A (0)=Ao, dan B(L)=0,

sLisLszLsizLssAzA o sinhcosh)(sinh)(cosh)(

δδ

+−+−

=

sLisLszLsiAzB o sinhcosh

)(sinh)(δ

κ+

−=

sLisLssLi

ABr

sinhcoshsinh

)0()0(

δκ

+==

sLsLssLrR 2222

222

sinhcoshsinh

δκ

+==

Page 91: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

91

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

-15 -10 -5 0 5 10 15

1=Lκ

R

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

-15 -10 -5 0 5 10 15

2=Lκ

δL

R

δL

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 5 10 15δL

R

2=Lκ

Side lobe

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-15 -10 -5 0 5 10 15δL

R

6=Lκ

Band gap

Page 92: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

92

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-15 -10 -5 0 5 10 15δL

R

6=Lκ

Band gap

μm2,0,1,0,3 1 =Λ== nnoMisalkan:

THz025fμm;2,12 B ==Λ= oB nλ

μm12;μm5,02

11 ==≈ − LGnn

o

κ

δL=-15 sd 15 δ=-1,25 sd 1,25 μm-1

THz20

sx1025,13

ms103xμm25,1)( 1-1418-1

=−

===−→−≈−

B

oBB

o

ff

xn

ccn δωωωωδ

Lebar pita

THz250;THz40THz202 B ===Δ fxf

μm2,1μm;19,0ms103

μm)2,1x(s1040

;

B18

2112

2

===Δ

Δ=Δ→=

λλ

λλλ

xx

cfcf

Page 93: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

93

Side lobe = Refleksi yang bervariasi di luar band gap.

Side lobe itu dapat dihilangkan dengan cara apodisasi.

2)/(1 )(

2)( Lz

oo

o eznn

Gz γκκ −==

zizi eazidzdbebzi

dzda δδ κκ 22 )(;)( −=−=

Misalkan:zie

zazb

zAzBzr δδ 2

)()(

)()(),( == )1(2 2riri

dzdr

++= κδ

ziezzr δρδ 2)(),( = riedzdei

dzd

dzdr zizi δρρδρ δδ 22 22 +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1,)( 22 <<≈ − rezidzd zi δκρ

Reflektor Bragg sinusoida dengan apodisasi

Gnncnn

o

o

2/ 1

221 ≈=βω

κ

Page 94: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

94

∫ −=L

ziezdzi0

2)(),0( δκδρ

∫ −=L

ziezdzir0

2)(),0( δκδ

)(,0(),0( 222

2

0

2)/(22 2

qpeedzrR o

LziLz

o +=== ∫ −− κκδδ δγ

=

=

LLz

LLz

dzzeq

dzzep

0

)/(

0

)/(

)2sin(

)2cos(

2

2

δ

δ

γ

γ

Page 95: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

95

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-15 -10 -5 0 5 10 15

L=10 um

κo=0,5 um-1

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

D e lta

Ref

lekt

ans

- 5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

D e lta

Ref

lekt

ans

γ=10

γ=5

Page 96: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

96

Reflektor Bragg sinusoida dengan chirp

Reflektor Bragg yang memiliki lebar pita yang besar.

Λ= oB n2λ

λB5 λB4 λB3 λB2 λB1

R

Reflektror ini merupakan deretan sejumlah reflektror Bragg yang tersusunmulai dari yang berperioda besar dan diakhiri dengan perioda kecil.

Λ1 Λ2 Λ3 Λ4 Λ5

Λ1 > Λ2 > Λ3 > Λ4 > Λ5

λ

Page 97: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

97

oo nnzzGnnzn <<+= 11 ];)([cos)(

02 )2(12

222

2

2

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+− − zGi

oo Bennc

Ancdz

dAi βωβωβ

)( zieBiAidzdA φκδ −−=+

[ ] zGzGzG oo −=→≈ )()(2 φβ

)( ziAeiBidzdB φκδ =−

02 )2(2

2

12

2

22

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+ −− zGi

oo eA

cnnB

cn

dzdBi βωβωβ

)](2[ zzieaidzdb φδκ −−=

ziezAza δ)()( = ziezBzb δ−= )()(

)](2[ zziebidzda φδκ −−=

Page 98: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

98

Keadaan phase match terjadi jika 2δ z-φ(z)=0.

222 )()( z

LFzz

LFGzG o =→=− φ

Untuk linear chirp:

( )Bo

FcnL

FLz ωωδδ −==

22 22)( Jadi, cahaya berfrekuensi tinggi memerlukanjarak resonansi lebih besar.

F disebut parameter chirp

Λ==

oo

oB n

cncG πω

2

zz=L/2z=-L/2

Bωω =o

B LnFc

4+= ωω

z=0

oB Ln

Fc4

−= ωω

Page 99: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

99

)2()(

)()(

)()(),( φδφδ −− == zizi e

zazbe

zAzBzr )1(2 2rir

dzdi

dzdr

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= κφδ

)2()(),( φδρδ −= ziezzr )2()2( φδφδρ −⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+= zier

dzdi

dzd

dzdr

))(2( zzieidzd φδκρ −−≈ ∫

−−=−2/

2/

))(2(),2/(L

L

zziedziL φδκδρ

)(,2/(),2/( 222

22/

2/

))(2(22 qpedzLrLRL

L

zzi +==−=− ∫−

−− κκδδ φδ

∫∫−−

−=−=2/

2/

2/

2/

))(2sin(;))(2cos(L

L

L

L

dzzzqdzzzp φδφδ

∫ −−−−−=− )](2[()]2/(2/2[),2/( zziLLi edzeiLr φδφδκδ

Page 100: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

100

L=10 μm

κ=0,5 μm-1

F=40

L=10 μm

κ=0,5 μm-1

F=50

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

D elta

Ref

lekt

ans

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

D elta

Ref

lekt

ans

Page 101: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

101

Reflekror Bragg dengan chirp dan apodisasi

∫−

−−−=−2/

2/

))(2()/( 22

),2/(L

L

zzizLo eedziL φδγκδρ

)(,2/(),2/( 222

22/

2/

))(2()/(22 22

qpeedzLrLR o

L

L

zzizLo +==−=− ∫

−−− κκδδ φδγ

∫∫−

− −=−=2/

2/

)/(2/

2/

)/( ))(2sin(;))(2cos(2222

L

L

zLL

L

zL dzzzeqdzzzep φδφδ γγ

∫ −−−−−−=− )](2[()/()]2/(2/2[ 22

),2/( zzizLLLio eedzeiLr φδγφδκδ

Page 102: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

102

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Delta

Ref

lekt

ans

L=10 μm

κ=0.5 μm-1

γ=8;

F=40

Page 103: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

103

7. GELOMBANG TERPANDU DALAM MEDIA BERLAPIS

7.1 Pandu Gelombang Lapisan

⎪⎩

⎪⎨

−<<<−

>=

txnxtn

xnxn

,0,

0,)(

3

2

1

x

zn1

n2

n3-t

0

n1<n3<n2

Persamaan Maxwell: HiEEniH o

rrrrωμωε −=∇=∇ x;x 2

Solusi gelombang bidang:)(

)(

)(),(

)(),(zti

m

ztim

exHtxH

exEtxEβω

βω

=

=rr

rr

Page 104: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

104

Ada dua macam penjalaran gelombang terpandu, TE(s) dan TM(p):

( )[ ] 0/ 22 >−βω cn Solusi adalah periodik, menjalar.

( )[ ] 0/ 22 <−βω cn Solusi adalah eksponensial menurun.

Jadi, agar gelombang terpandu, harus dipenuhi: cncn // 23 ωβω <<

β=komponen-z dari vektor gelombang, m=nomor modus

( ) 0)(/ 222

2

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+ xEcn

dxd

m

rβω

Page 105: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

105

Gelombang terpandu TE

)()(),,( ztimy exEtzxE βω −=

⎪⎩

⎪⎨

−≤

≤≤−+≥

=

txeDxthxBhxA

xeCxE

px

qx

m

,0,cossin

0,)(

23

221

2222 )/(;)/(;)/( cnpcnqcnh ωβωββω −=−=−=

Untuk A, B, C, D, gunakan syarat kontinuitas Ey dan Hz kontinu di batas-batas lapisan.

xEiH y

z ∂

∂=ωμ

m=bilangan yang menyatakan nomor modus, terkait dengan βm.

Page 106: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

106

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

−≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

≤≤−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

+

txehthqhtC

xthxhqhxC

xeC

xE

txp

qx

m

,sincos

0,sincos

0,

)(

)(

dan

)/1()tan( 2hpqh

qpht−+

=

Ini disebut persamaanmodus.

Dengan suatu set harga n1, n2dan n3 serta tebal t, persamaanmodus memberikan sejumlahharga β. Modus-modus ituortogonal satu sama lain.

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t/λβ/

(ω/c

)3.2

3.5

1 modus 2 modus{{

TEoTE1

TE2TE3

Page 107: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

107

Gelombang terpandu TE

n1=1

n3=3.2 n2=3.5

Eo(x)

E1(x)

E2(x)

x

x

x

Page 108: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

108

Normalisasi C dipilih sehingga medan Em(x) sesuai dengan alirandaya 1watt sepanjang sb-z. Jadi, modus Ey=AEm(x) berkaitan dengan aliran daya ⎢A⎢2 W/m.

Syarat normaliasi:

∫∫∫∞

∞−

∞−

==−== 1)]([2

*]xRe[ 2*2

12

1 dxxEdxHEdxHES mm

xyzz ωμβrr

Substitusi Em(x) menghasilkan:2/1

22 ))](/1()/1([2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++=

mmmmmmm qhpqt

hCβ

ωμ

Ortonormalisasi modus-modus dituliskan:

mlm

lm dxEE δβωμ

∫∞

∞−

=2*

Page 109: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

109

Gelombang terpandu TM

)()(),,( ztimy exHtzxH βω −=

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

−≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

≤≤−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤−

=

+

txehthtqhC

xthxhqhxC

xeqhC

xH

txp

qx

m

,sincos

0,sincos

0,

)(

)(

Syarat kontinuitas Hy dan Ez kontinu di batas-batas lapisan.

xHiE y

z ∂

∂−=ωε

Page 110: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

110

2

1

2

2

3

22 ;;)/1(

)tan( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−+

=nnqq

nnpp

hqphqpht

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 t/λ

β/(ω

/c)

3.2

3.5

1 modus 2 modus{{

TEo

TE1TE2 TE3

TMo

TM1 TM2 TM3

Page 111: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

111

)()(

1)()]([

2*]xRe[

2

2*

21

21

xnx

dxxxEdxEHdxEHS

o

mmxyzz

εε

εωβ

=

==== ∫∫∫∞

∞−

∞−

rr

Substitusi Hm(x) menghasilkan:

effm

om t

Cβωε2=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+++

++

=pnhp

hpqnhq

hqnt

qhqteff 2

322

22

21

22

22

22

2

22

)()(

2/1

22 ))](/1()/1([2

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+++=

mmmmmmm qhpqt

hCβ

ωμ

Page 112: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

112

βcut off

Dari persyaratan

suatu modus disebut terpandu jika βm>βcut off

cncn // 23 ωβω <<

cncutoff /3ωβ = atau p=0

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+−

=→−+

= −

2/1

23

22

21

231

23

22

2 tan2

1)/()/1(

)tan(nnnnm

nnt

hpqhqpht TE π

πλ

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+−

=→−+

= −

2/1

23

22

21

23

21

221

23

22

2 tan2

1)/()/1(

)tan(nnnn

nnm

nnt

hqphqpht TM π

πλ

Harga cut off dari t/λ:

Page 113: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

113

7.2 Sifat umum pandu gelombang dielektrik

Selama penjalaran gelombang dalam pandu gelombang, aliran energi hanyasepanjang pandu gelombang, tidak pada arah tegak lurus. Untuk itu indeksbias teras > indeks bias cladding.

Jika keseluruhan struktur dielektrik homogen sepanjang sb-z, gelombangbidang adalah:

x

y

z

)(),( ztim eyxEE βω −=rr

Substitusi ke persamaan gelombang: 02

22 =

∂∂

−∇tEE o

rr

εμ

Page 114: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

114

0),(),( 22

22

22 =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+∇ yxE

cyxn

mt

rβω

2

2

2

22

yxt ∂∂

+∂∂

=∇

2

222

2

22

cn

cn corecl ωβω

<<

Ada beberapa harga β yang memenuhi; ini disebut modus gelombang.

Misalkan dan adalah dua modus sebagai solusi.1Er

2Er

22222

22

22

12

112

22

22

),(

),(

EEc

yxn

EEc

yxn

t

t

rr

rr

βω

βω

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+∇

( ) 122

1221

222

21 EEEEEE tt

rrrrrr•−=∇•−∇• ββ

( ) ( ) dydxEEdydxEEEE tt ∫∫ •−=∇•−∇• 122

1221

222

21

rrrrrrββ

Page 115: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

115

Gunakan teorema Green:

( ) ( ) dydxEEdlEEEEC

ttC ∫∫ •−=∇•−∇•∞→ 12

21

221221lim

rrrrrrββ

Untuk keadaan terpandu baik, E1 dan E2 →0 maka fihak kiri=0

( ) 0122

122 =•−∫ dydxEE

rrββ

Karena β1≠β2 maka 012 =•∫ dydxEErr

Untuk keadaan degenerate, β1=β2, lakukan ortogonalisasi Schmidt

→ E1 dan E2 ortogonal

dydxEE

dydxEEc

dydxEEEcEE

22

21

2'121

'1 0

•−=

=•→+=

∫∫

r

r

rrrrr

Normalisasi: lmm

ml dydxEE δβωμ

∫ =•2rr

Page 116: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

116

7.3 Teori Perturbasi dan kopling modus

Modus-modus terpandu bisa dijalarkan secara bebas satu sama lain sepanjang pandu gelombang (sb-z) jika fungsi dielektrik ε(x,y)=εon2(x,y)tidak bergantung pada z.

Jika ada ketidak sempurnaan dielektrik Δε(x,y,z) maka modus-modus akanterkopel satu sama lain. Oleh sebab itu, terjadi perpindahan daya dari satumodus ke modus lainnya.

Misalkan: ε(x,y,z)=εo(x,y)+Δε(x,y,z)

Misalkan pula, di z=0 dimasukkan sembarang medan berfrekuensi ω, makagelombang yang menjalar dalam pandu gelombang yang tak sempurna itudapat dinyatakan sebagai:

∑ −=m

ztimm eyxEzAE )(),()( βωrr

Am(z)=amplitudo modus yang berganung z.

Page 117: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

117

02

22 =

∂∂

−∇tEE o

rr

εμ

[ ]{ } 0),(),(22 =Δ++∇ Eyxyxo

rεεμω

Tetapi Em(x,y) ei(ωt-βz) memenuhi pers.gelombang juga:

[ ] 0),(),( 222 =−+∇ yxEyx mmot

rβμεω

Jadi:

0),,(),(2 22

2

=Δ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−− ∑∑zi

mmm

zim

m

mm

m mm eEAzyxeyxEdz

dAidz

Ad ββ εμωβrr

Page 118: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

118

Andaikan perturbasi itu lemah sehingga variasi amplitudo sepanjangsb-z agak pelan dan memenuhi:

dzdA

dzAd m

mm β<<2

2

Slow varying amplitude (SVA)

0),,(),(2 2 =Δ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−− ∑∑zi

mmm

zim

m

mm

mm eEAzyxeyxEdz

dAiββ εμωβ

rr

0),(),,(

),(2

)(*2

)(*

=Δ+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

∑ ∫

∫∑−−

−−

m

zimkm

zimk

m

mm

km

km

edydxyxEzyxEA

edydxyxEEdz

dAi

ββ

ββ

εμω

β

r

r

Kalikan dengan lalu diintegralzik

keE β*r

Page 119: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

119

∑ ∫ −−Δ−=m

zimkm

k

kk kmedydxyxEzyxEAidz

dA )(* ),(),,(4

ββεββω r

Ini menggambarkan evolusi amplitudo Ak(z) sepanjang sb-z. Persamaanitu merupakan suatu set persamaan-persamaan differensial yang terkopel.

7.3.1 Perturbasi uniform

Δε=Δε(x,y); ∂(Δε)/∂z=0

Misalkan modus-modus tanpa perturbasi: )(),( ztim eyxEE βω −=rr

dengan Em(x,y) memenuhi: [ ] 0),(),( 222 =−+∇ yxEyx mmot

rβμεω

Modus-modus ini memebentuk set ortonormal.

Selanjutnya, andaikan dampak perturbasi Δε=Δε(x,y) hanya menimbulkanperubahan δEm pada Em dan δβm

2 pada βm2.

Page 120: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

120

[ ] ))(()( 22222mmmmmmot EEEErrrr

δδββδεμωμεω ++=+Δ++∇

[ ] 0),(),( 222 =−+∇ yxEyx mmot

rβμεω

[ ] mmmmmmot EEEErrrr

22222 δβδβεμωδμεω +=Δ++∇

Karena

serta abaikan mmm EErr

δδβεδ 2,Δ maka

Untuk menyelesaikannya, misalkan ∑=l

lmlm EaErr

δ

[ ]

mml

lmlml

mml

lmlmml

lotml

EEa

EEaEEa

rr

rrrr

)()( 2222

22222

εμωδβββ

δββεμωμεω

Δ−=−

+=Δ++∇

∑∑

Kalikan dari kiri dengan Em* lalu diintegral:

Page 121: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

121

dxdyEE

dxdyEE

dxdyEE

dxdyEEdxdyEEa

mmm

mm

mmm

mmml

lmmlml

∫∫∫

∫∑ ∫

Δ=

Δ=

Δ−=−

rr

rr

rr

rrrr

εωβ

εμωδβ

εμωδβββ

*2

1

*

*22

22**22 )()(

Karena βm → βm+ δβm dan 222mmm δβββ +→

maka mmm δββδβ 22 =

Jadi dxdyEE mmm ∫ Δ=rr

εωδβ *4

1

Page 122: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

122

mml

lmlml EEarr

)()( 2222 εμωδβββ Δ−=−∑

Untuk memperoleh δEm kalikan Ek* dengan k≠m pada persamaan:

∫∑ ∫

Δ−

=

Δ−=−

dxdyEEa

dxdyEEdxdyEEa

mkkm

kmk

mmkl

lkmlml

rr

rrrr

εββ

βω

εμωδβββ

*22

22**22

)(2

)()(

∑ ∫∑ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡Δ

−==

kkmk

km

k

kkmkm EdxdyEEEaE

rrrrrε

ββωβδ *

22 )(2

dxdyEE mkkm ∫ Δ=rr

εωκ *4

1Didefenisikan sebagai koefisien kopling, maka

∑≠

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=)(

22 )(2

mkk

km

kmkm EE

rr

ββκβδ

mmm κδβ =

Page 123: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

123

7.3.2 Perturbasi dielektrik secara periodik

Misalkan sepanjang pandu gelombang ada perturbasi dielektrik dalambentuk sinusoida:

Kzcos1εε =Δ

di mana ε1 adalah amplitudo perturbasi dan bisa sebagai fungsi x dan y, sedangkan K adalah:

Λ=

π2K

Λadalah perioda perturbasi. Substitusi ke persamaan terkoppel yang lalu:

∑ ∫ −−Δ−=m

zimkm

k

kk kmedydxyxEzyxEAidz

dA )(* ),(),,(4

ββεββω r

[ ] zi

mmkm

k

kk kmeKzdydxyxEEAidz

dA )(1

* )cos(),(4

ββεββω −−∑ ∫−=

r

Page 124: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

124

Terlihat, kopling menjadi signifikan jika:

Jika ini tak terpenuhi, maka fasa akan berubah cepat dan kontribusinyaterhadap terhadap integal menjadi hilang.

Oleh sebab itu βm-βk±K=0 disebut keadaan phase-matching.

Untuk dua modus, dengan mengabaikan yang lain:

0=±− Kkm ββ

[ ][ ]zKizKi

mmkm

k kmkm eedydxyxEEAidz

dA )()(1

* ),(8

−−−+−− +−= ∑ ∫ ββββεω r

zi

zi

eAidzdA

eAidzdA

β

β

κββ

κββ

Δ−

Δ

−=

−=

1*12

2

22

2121

11

KdxdyEE −−=Δ= ∫ 2121*112 ;

4βββεωκ

rr

Page 125: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

125

Tanda dari faktor dalam persamaan terkopel penting danmenentukan sifat dari kopling.

2211 /dan/ ββββ

Tanda ini menentukan aah penjalaran dari modus-modus terkopel. Adadua kategori:

1. Codirectional coupling, kedua modus searah,

2. Contra directional coupling, kedua modus berlawanan.

Page 126: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

126

7.4 Kopling antara dua pandugelombang

x

ns na ns nb ns

d

),(),(),(),( 2222 yxnyxnyxnyxn bas Δ+Δ+=

)()( ),(;),( ztib

ztia

ba eyxEeyxE βωβω −−

Misalkan gelombang pada masing-masingpandugelombang jika jarak cukup berjauhan :

dan berlaku persamaan gelombang pada masing-masing pandugelombag:

[ ] 0),(),(),( 2222

2

2

2

2

2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−Δ++∂∂

+∂∂ yxEyxnyxn

cyx s ααα βω

d

z

α= a, b

Page 127: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

127

Jika kedua pandugelombang berdekatan, terjadi kopelantara kedua gelombang. Gelombang di pandugelombang a mengalami perturbasi dielektrik demikian pula sebaliknya, sehingga total gelombang menjadi:

)()( ),()(),()(),,,( ztib

ztia

ba eyxEzBeyxEzAtzyxE βωβω −− +=x

ns na ns nb ns

d d

z

sGelombang ini memenuhi persamaan gelombang:

),(2 yxnboΔε

[ ] 0),,,(),(),(),( 2222

2

2

2

2

2

2

2

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

Δ+Δ++∂∂

+∂∂

+∂∂ tzyxEyxnyxnyxn

czyx basω

0)(2

)(2

2222

22

2

2

2

2

2

2

2222

22

2

2

2

2

2

2

=Δ+Δ++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+

Δ+Δ++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−−−

−−−

zibbas

zibbb

zibb

ziabas

ziaaa

ziaa

bbb

aaa

eBEnnnc

eEBzBi

zBBe

yE

xE

eAEnnnc

eEAzAi

zAAe

yE

xE

βββ

βββ

ωββ

ωββ

Page 128: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

128

0)(2)(2 22

22

2

2

=Δ+−Δ+− −−−− ziba

zibb

ziab

ziaa

bbaa eBEnc

eEdzdBieAEn

ceE

dzdAi ββββ ωβωβ

Kalikan dengan lalu integral:zia

aeE β*

0)(2

)(2

2*)(2

2*)(

2*2

2*

=Δ+−

Δ+−

∫∫

∫∫−−−− dxdyEnEBe

cdxdyEEe

dzdBi

dxdyEnEAc

dxdyEEdzdAi

baazi

bazi

b

abaaaa

abab ββββ ωβ

ωβ

dxdyEEdxdyEEdxdyEE aabaa

oaa ∫∫∫ <<= *** :2

βωμ Ea Eb

Page 129: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

129

0)()(2 2*)(2

22*

2

2

=Δ+Δ+∂∂

− ∫∫ −− dxdyEnEBec

dxdyEnEAcz

Ai baazi

abaa

oa

ab ββωωβωμβ

Δ=

Δ=−−= −−

dxdyEyxnE

dxdyEyxnEBeiAidzdA

baao

ab

abao

aazi

abaaab

),(4

;),(4

;

2*

2*)(

ωεκ

ωεκκκ ββ

Jika dikalikan dengan lalu diintegral: zib

beE β*

Δ=

Δ=−−= −

dxdyEyxnE

dxdyEyxnEAeiBidzdB

abbo

ba

babo

bbzi

babbab

),(4

;),(4

;

2*

2*)(

ωεκ

ωεκκκ ββ

Page 130: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

130

ziab

ziabaa vei

dzduBeiAi

dzdA

ab βββ κκκ Δ−− −=→−−= )(

ziba

zibabb uei

dzdvAeiBi

dzdB

ab βββ κκκ Δ−− −=→−−= )(

Misalkan: zizi bbaa eBveAu κκ == dan

)()( bbbaaa κβκββ +−+=Δ

022

2

22

2

=+Δ−

−=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Δ−→−= Δ−Δ−Δ−

udzdui

dzud

uedzdvie

dzdui

dzudvie

dzdu zizizi

κβ

κκβκ βββ

22

221 2

;)cossin()( κββ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ=+=

Δ

seszCszCzuzi

2/2121 )]sincos()cossin(

2[

)/)(/(

zi

zi

eszsCszsCiszCszC

edzduiv

β

β

κκβκ

Δ−

Δ−

−++Δ

−=

=

Misalkan κab=κba=κ

Page 131: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

131

Misalkan, A(0)=Ao dan B(0)=0.

;)cossin()( )2/(21

zi aaeszCszCzA κβ −Δ+=

zi bbeszsCszsCiszCszCzB )2/(2121 )]sincos()cossin(

2[)( κβ

κκβ +Δ−−++

Δ−=

C2=A0; C1= -iAo(Δβ/2s)

zio

aaeszs

iszAzA )2/()sin2

(cos)( κββ −ΔΔ−=

zio

bbeszs

iAzB )2/(sin)( κβκ +Δ−−=

Daya: P(0)∼Ao2

[ ]{ }zPzP

zPPzP

ob

boa

21222

22

2

)2/(sin)2/(

)(

)()(

βκβκ

κΔ+

Δ+=

−=

Page 132: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

132

[ ]{ }zPzP

zPPzP

ob

boa

21222

22

2

)2/(sin)2/(

)(

)()(

βκβκ

κΔ+

Δ+=

−=

Pa

Pb

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z (cm)

P/P

o

}Δβ=5 cm-1

Δβ=0

Pa

Pb}

Directional coupler

κ=4 cm-1

Divider

Page 133: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

133

8. OPTIK NONLINIER8.1 Pengertian Nonlinier Optik

Sifat optik nonlinier suatu bahan diungkapkan melalui hubungan antara polarisasilistrik terinduksi dalam bahan dengan medan listrik cahaya yang melalui bahan itu.

),(),( ωχεω zEzP effo=

εo – permittivitas ruang hampa, χeff- susseptibilitas listrik efektif.

Secara umum, susseptibilitas listrik efektif adalah :

........),(),( 2)3()2()1( +++= ωχωχχχ zEzEeff

Jadi, secara umum hubungan antara polarizabilitas listrik dan medan listrik adalah:

[ ] ),(.........),(),(),( 2)3()2()1( ωωχωχχεω zEzEzEzP o +++=

Jika intensitas cahaya cukup kecil:

→= ),(),( )1( ωχεω zEzP o Bahan disebut linier

Page 134: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

134

Jadi sifat nonlinier bahan muncul jika intensitas cahaya cukup tinggi.

χ(2) dan χ(3)……disebut suseptibilitas order-2 dan order-3, yang menyebabkan nonlinieritas; dampaknya hanya teramati jika intensitascahaya cukup tinggi.

Pada tingkat molekuler, dikenal polarizabilitas order-1(α), polarizabilitasorder-2 (β), dan polarizabilitas order-3 (γ). Dengan itu maka:

γχ

βχ

αχ

NNN

)3(

)2(

)1(

N adalah kerapatan molekul dalam bahan. α, β, γ dari suatu molekul dapatdihitung dengan menggunakan sesuatu metoda perhitung kuantum molekul.

Indeks bias bahan:

⎪⎩

⎪⎨⎧

Δ+=

2)3(

)2(2

222

),(3

,(

ωχ

ωχ

zE

zEn

nnn o

Bahan nonlinier order-2Bahan nonlinier order-3

Bahan linierBahan nonlinier order-2Bahan nonlinier order-3

Page 135: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

135

Untuk order tiga, bisa juga dituliskan:

Intensitas cahaya:

oo

oo

nzE

nn

nzE

nn

2),(3

2),(

2)3(

)2(

ωχ

ωχ

+≅

+≅ Bahan nonlinier order-2

Bahan nonlinier order-3

2),(2

),( tzEcntzI o

π=

Berdasarkan:22 ),(2),(),(),( ωω ω zEtzEccezEtzE ti =→+=

2),(),( ωπ

zEcntzI o=

)3(222

)3(22

23;

3

χπ

χπ

cnnInnn

Icn

nn

oo

oo

=+≅

+=

Page 136: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

136

8.2 Efek Pockel dan Efek Kerr (elektro-optik)

2)3(2)3(

)2()2(

23

2),(3

22),(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=+≅

+=+≅

dV

nn

nzE

nn

dV

nn

nzE

nn

oo

oo

oo

oo

χωχ

χωχ

VddVE =

Efek Pockel

Efek Kerr} Elektro-optik

Elektro-optik: perubahan indeks bias bahan karena teganganlistrik dc ataufrekuensi rendah.

Contoh bahan: NH4H2PO4 (ADP), KH2PO4(KDP)

LiNbO3, LiTaO3, CdTe

Page 137: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

137

φi φo

L

ooi

io

nn

dVnnL

nL

2;2

2

)2(

11 χ

λπφ

λπφφ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

+=

Modulator

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==→=

=+=

VndLTTII

IIII

io

iiio

122

22

12

1

cos2/cos

)2/(coscos

λπϕ

ϕϕ

Vd

½Ii

½Ii

Io

Ii

V

BS

BSM

Mno

no+n1V/dL

L

Interferometer Mach-Zehnder

Page 138: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

138

V

T

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Vo

Modulasi: Tegangan diatur pada posisi linier, yakni V=Vo

Tegangan itu dimodulasi dengan informasi, maka T mengalami modulasi

Page 139: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

139

Fungsi Logika XOR

Polarisasi cahaya ┴ bidang

Polariasi cahaya // bidanga

b

c

+

-011

110

101000zba

z

Untuk clock saja: tegangan diatur agar beda fasa di z samadengan 180o

sehingga tidak ada keluaran.

Jika ada pulsa di a, tidak di b: intensitas pulsa a menambah indeks bias cabangatas; pulsa clock keluar di z karena beda fasa tak samadengan 180o. Demikiansebaliknya.

Jika ada pulsa di a dan di b: tambahan indeks bias, sama di kedua cabangsehingga pulsa clock mengalami beda fasa 180o tak bisa keluar.

Page 140: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

140

8.3 Proses Optik-optik

[ ] ),(.........),(),(),( 2)3()2()1( ωωχωχχεω zEzEzEzP o +++=

Misalkan: tzEzE ωω cos)(),( =

)3coscos3)(()2cos1)((

cos)(

cos)(cos)(cos)(),(

2)3(4

12)2(2

1

)1(

32)3(22)2()1(

ttzEtzE

tzE

tzEtzEtzEzP

oo

o

ooo

ωωχεωχε

ωχε

ωχεωχεωχεω

++++

=

++=

ωωω2ω3

Jadi, suatu bahan optik nonlinier dapat melipatgandakan frekuensi.

SHG

THG

Second and third harmonics generation

Page 141: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

141

Penguat Optik

),(),(),( 2)2()1( ωχεωχεω zEzEzP oo +=

Misalkan: spppss tzEtzEzE ωωωωω >+= ;cos)(cos)(),(

])cos()()()cos()()(

)2cos1)(()2cos1)(([

]cos)(cos)([

]coscos)()(2cos)(cos)([

]cos)(cos)([),(

22

12)2(2

1

)1(

2222)2(

)1(

tzEzEtzEzE

tzEtzE

tzEtzE

ttzEzEtzEtzE

tzEtzEzP

pspsspps

ppsso

ppsso

pspsppsso

ppsso

ωωωω

ωωχε

ωωχε

ωωωωχε

ωωχεω

++−+

++++

+=

+++

++=

Page 142: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

142

Medan2 yang dihasilkan oleh komponen2 polarisasi

tEEP spspoI )cos()2(2

1)2( ωωχε −=

akan berinteraksi didalam bahan dan menghasilkan polarisasi yang baru:

dantEP ppop ωχε cos)1()1( =

tEEC

tEECP

sspo

sppspob

ωχε

ωωωχε

cos

)](cos[2)2(

2

2)2(2

)2(

=

−−=

Jadi, bahan itu akan menghasilakan cahaya berfrekuensi ωs yang diperkuatdengan faktor penguatan yang sebanding intensitas sinar-p.

ωs ωs

χ(2)

ωp

Page 143: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

143

Switching

Ii

Io

Ii

Io

Febry-Perot

Bahan nonlinier

Susah diaplikasikan pada serat optik.

Distributed feed back

2)cos()( EGzz o ηεεε +Δ+=

Page 144: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

144

( )( ) BFBFBz

FBFBFz

EEEEEi

EEEEEi22

22

2

2

++=∂

++=∂−

ακ

ακ

Solusinya:

( ){ }

LE

EEE

IE

EI

LILmLIR

mRndII

cc

BFo

c

Fi

oo

io

α

κκκ

32;;

)0(

)(/()(;)(2

12

2

22

2

2

22222

=−

==

+=+=

+=

ziB

ziF eEeEzE ββ −+=)(

2/12

2

2

2

2;

2;

2 oBo

BB GcGcGc ε

ωηεωαεωκ ==Δ=

κL

Ii

Io

Page 145: Optik Moderen - phys.unpad.ac.idphys.unpad.ac.id/wp-content/uploads/2009/03/Optik-Moderen.pdf · Dari pers. Maxwell (1): o o H o E k k u u ... Merupakan persamaan kontinuitas, atau

145