BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Yoghurt adalah produk yang dibuat dari susu melalui proses fermentasi bakteri asam laktat, Lactobacillus bulgaricus dan Streptococcus thermophiles (Collins,dkk, 1992). Yoghurt sangat baik untuk kesehatan,terutama untuk menjaga keasaman lambung dan dapat menekan pertumbuhan bakteri patogen di usus. Selain itu, yoghurt juga mengandung protein dengan kadar yang tinggi, bahkan lebih tinggi daripada protein susu. Hal ini disebabkan penambahan protein dari sintesa mikroba dan kandungan protein dari mikroba tersebut (Winarno,2003). Dalam praktikum ini, analisis yang digunakan adalah pengujian Multivariat Analysis of Varians (MANOVA) pada data kandungan dalam yoghurt. Dalam praktikum ini, MANOVA digunakan untuk menguji vektor rata-rata dari beberapa kelompok perlakuan. Berdasarkan faktor-faktor tadi, sebelum diadakan analisis maka asumsi yang harus dipenuhi adalah distribusi normal multivariat, uji homogenitas, kesamaan matriks varian dan covarian. Pengujian matrik varian covarian dengan uji Box’s M. Variabel faktor (X 1 ) pada permasalahan ini adalah penambahan gelatin dengan empat level, Variabel faktor (X 2 ) adalah lama penyimpanan dengan empat level sedangkan variabel respon (Y 1 ) adalah kadar protein dalam yoghurt (gr), variabel respon (Y 2 ) adalah kadar 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Yoghurt adalah produk yang dibuat dari susu melalui proses fermentasi
bakteri asam laktat, Lactobacillus bulgaricus dan Streptococcus thermophiles
(Collins,dkk, 1992). Yoghurt sangat baik untuk kesehatan,terutama untuk menjaga
keasaman lambung dan dapat menekan pertumbuhan bakteri patogen di usus.
Selain itu, yoghurt juga mengandung protein dengan kadar yang tinggi, bahkan
lebih tinggi daripada protein susu. Hal ini disebabkan penambahan protein dari
sintesa mikroba dan kandungan protein dari mikroba tersebut (Winarno,2003).
Dalam praktikum ini, analisis yang digunakan adalah pengujian Multivariat
Analysis of Varians (MANOVA) pada data kandungan dalam yoghurt. Dalam
praktikum ini, MANOVA digunakan untuk menguji vektor rata-rata dari beberapa
kelompok perlakuan. Berdasarkan faktor-faktor tadi, sebelum diadakan analisis
maka asumsi yang harus dipenuhi adalah distribusi normal multivariat, uji
homogenitas, kesamaan matriks varian dan covarian. Pengujian matrik varian
covarian dengan uji Box’s M. Variabel faktor (X1) pada permasalahan ini adalah
penambahan gelatin dengan empat level, Variabel faktor (X2) adalah lama
penyimpanan dengan empat level sedangkan variabel respon (Y1) adalah kadar
protein dalam yoghurt (gr), variabel respon (Y2) adalah kadar lemak dalam
yoghurt (gr), dan variabel respon (Y3) adalah kadar karbohidrat dalam yoghurt
(gr).
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, permasalahan dalam penelitian ini
adalah sebagai berikut.
1. Apakah data kandungan dalam yoghurt telah memenuhi asumsi distribusi
normal multivariat ?
2. Apakah data kandungan dalam yoghurt telah memenuhi asumsi homogenitas
matriks kovarian baik secara One-Way maupun Two-Way?
3. Bagaimana hasil uji One-Way dan Two- Way MANOVA pada data
kandungan dalam yoghurt ?
1
1.3 Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai pada penelitian ini adalah sebagi berikut.
1. Untuk mengetahui terpenuhi atau tidak terpenuhinya asumsi distribusi
multivariat normal pada data kandungan dalam yoghurt
2. Untuk mengetahui terpenuhi atau tidaknya asumsi homogenitas matriks
kovarian baik secara One-Way maupun Two-Way pada data kandungan
dalam yoghurt
3. Untuk mengetahui hasil uji One-Way dan Two-Way MANOVA pada
kandungan dalam yoghurt
4.1. Manfaat
Manfaat pada penelitian ini adalah diharapkan mahasiswa mampu
mengidentifikasi asumsi-asumsi yang harus dipenuhi sebelum melakukan
pengujian Multivariat ANOVA (MANOVA), mampu memahami Uji One-Way
MANOVA dan Two-Way MANOVA, dan mampu memahami perbedaan Uji One-
Way MANOVA dan Two-Way MANOVA.
2
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Uji Distribusi Normal MultivariatAnalisis multivariat normal merupakan suatu analisis yang melibatkan
banyak variabel (lebih dari dua variabel) yang masing-masing memenuhi sifat
normalitas. Tujuan utama dari pengujian normal multivariat adalah ingin
mengetahui bahwa data memenuhi asumsi distribusi normal atau tidak.
Normalitas berarti nilai residual (εij) dalam setiap perlakuan (grup) yang terkait
dengan nilai pengamatan Y i harus berdistribusi normal. Jika nilai residual
berdistribusi normal, maka nilai Y i pun akan berdistribusi normal.
Menurut Johnson dan Wichern (2007), untuk memeriksa data apakah
merupakan multivariat normal dapat dilihat dari plot antara dj2 dengan chi-
square ((j-0,5)/n) seperti berikut
d j2=( x j−x )' S−1(x j−x ) (2.1)
Keterangan
j=1,2,3...,n dan n adalah banyak data.
x j = pengamatan ke-j
S−1= invers varian kovarian S
Nilai d j2 kemudian dibandingkan dengan χ (i, 0.5)
2 , j=1,2...,n dan n merupakan
banyaknya variabel. Jika proporsi d j2< χ (i, 0.5)
2 adalah 50% maka data dikatakan
berdistribusi normal multivariat . Dengan cara melihat pola sebaran data pada
Scatterplot antara nilai d jJika titik-titik pada plot mengikuti garis linier maka
disimpulkan bahwa data memenuhi asumsi distribusi normal multivariat.
Selain dengan menggunakan nilai proporsi dan visualisasi dengan plot
maka dapat dianalisis uji korelasi .Uji korelasi digunakan untuk menguji tingkat
signifikansi dimana dengan mengkorelasikan antara nilaid j dengan nilai
qc , p=( j−1
2)
n .Uji ini dilakukan untuk melihat apakah data memenuhi asumsi
distribusi normal multivariat atau tidak.
Hipotesis :
3
H0 : Data berdistribusi normal multivariat
H1 : Data tidak berdistribusi normal multivariat
Dengan statistik uji
rq=∑j=1
n
(x ( j)−x¿)(q ( j)−q)
√∑j=1
n
(x ( j )−x )2 √∑j=1
n
(q( j)−q)2
¿
Daerah Kritis:
Tolak H0 jika rq < rα,n) .Jika hasil dari statistik uji memiliki hasil yang
kurang dari tabel normal probabilitas koefisien korelasi ( r(α ,n) ), maka dapat
disimpulkan bahwa data tidak berdistribusi normal, begitu pun sebaliknya.
2.2. Uji Homogenitas Pengujian homogenitas berfungsi untuk mengetahui varians data bersifat
homogen atau heterogen berdasarkan faktor tertentu. Sama seperti pada
kenormalan, bahwa asumsi homogenitas juga diperlukan pada beberapa analisis
statistik parametrik. Uji homogenitas bertujuan untuk mencari tahu apakah dari
beberapa kelompok data penelitian memiliki varians yang sama atau tidak.
Dengan kata lain, homogenitas berarti bahwa himpunan data yang kita teliti
memiliki karakteristik yang sama.Pengujian homogenitas multivariat dilakukan
dengan uji Box-M dengan hipotesis:
H0 : Σ1 = Σ2 = ... = Σk
H1 : Minimal satu Σi ≠Σj untuk i ≠ j
Statistik Uji :
χ2=−2(1−C 1)[12∑i=1
k
v i ln|S i|−12
ln|S pool|∑i=1
k
vi ] (2.3)
dimana
Spool=∑i=1
k
v i S i
∑i=1
k
vi
(2.4)
C1=[∑i=1
k 1v i
− 1
∑i=1
k
v i ][ 2 p2+3 p−16 ( p+1 )(k−1) ] (2.6)
4
(2.2)
Gagal Tolak H0 jika χ2 ≤ χ 1
2 ( k−1)( p+1)
2 yang artinya dapat disimpulkan bahwa
matrik varian kovarian antar kelompok tidak homogen.
5
2.3. Manova (Multivariat analysis of variance)Multivariat Analysis of Variance merupakan perluasan dari ANOVA
(Analysis of Variance) dimana digunakan pada berbagai bidang ilmu. MANOVA
bermanfaat dalam sebuah eksperimen selain itu untuk melihat efek utama dan efek
interaksi variabel kategorik pada variabel dependen. MANOVA menggunakan satu
atau lebih variabel independen kategorik sebagai prediktor. Perbedaan antara
MANOVA dengan ANOVA terletak pada jumlah variabel dependennya. ANOVA
digunakan untuk mengetahui apakah terdapat perbedaan pengaruh perlakuan
terhadap satu variabel respon sedangkan MANOVA digunakan untuk mengetahui
apakah terdapat perbedaan pengaruh terhadap lebih dari satu variabel respon.
MANOVA adalah teknik statistik yang digunakan untuk memeriksa hubungan
antara beberapa variabel bebas (biasa disebut perlakuan) dengan dua atau lebih
variabel tak bebas secara simultan.
Menurut Johnson R.A., (1992) asumsi yang harus dipenuhi sebelum
melakukan pengujian dengan MANOVA yaitu :
1. Data berasal dari populasi yang berdistribusi multivariat normal
2. Homogenitas matriks varians kovarians
Hipotesis yang digunakan dalam menguji perbedaan pengaruh perlakuan
terhadap beberapa variabel respon yaitu:
H0 : μ1 = μ2 = ... = μg
H1 : Minimal ada satu μi yang tidak sama, i = 1, 2, 3, ..., g
Statistik uji yang digunakan adalah Wilk’s Lambda (Λ*) dengan rumus sebagai
berikut.
Λ¿=¿W ∨ ¿¿ B+W ∨¿¿
¿
( 2.7 )
dimana B dan W masing-masing adalah matrik jumlah kuadrat dan cross product
antar kelompok dan dalam kelompok dengan derajat bebas g-1 dan ∑nl-g.
W =∑j=1
g
∑i=1
nl
( x ji−x j) ( x ji− x j ) ' ( 2.8 )
B=∑j=1
g
n j ( x ji−x j ) ( x ji−x j )' ( 2.9 )
dimana:
6
xji : vektor pengamatan ke-i pada kelompok j
xj : vektor rata-rata kelompok ke-j
nj : jumlah individu kelompok pada kelompok ke-j
x : vektor rata-rata semua kelompok
Tolak H0 jika (Λ*) sangat kecil. Statistika Wilk’s Lambda ini mendekati
statistik uji F, jika ∑j=1
g
n j−g−1
g−11−√ Λ∗¿
Λ∗¿¿¿ lebih besar dari Ftabel maka H0 ditolak
yang berarti terdapat perbedaan rata-rata antar kelompok.
Setelah dilakukan pengujian dan hasil yang diperoleh adalah signifikan
yaitu terdapat perbedaaan antar grup (perlakuan) maka perlu dilakukan pengujian
lebih lanjut untuk mengetahui variabel mana yang paling berpengaruh dalam
membentuk perbedaan antar grup. Hal ini perlu dilakukan karena tidak semua
variabel mempunyai pengaruh yang signifikan terhadap perbedaan antar grup.
Kemudian setelah itu dilakukan uji lanjut untuk mengetahui perbedaan
masing-masing individu dalam grup berdasarkan variabel yang membentuk
perbedaan antar grup. Prosedur demikian dinamakan uji Post Hoc. Beberapa
prosedur Post Hoc yang umum yaitu metode Scheffe, metode Tukey’s (HSD),
pendekatan Fisher (LSD), Uji Duncan dan uji Newman Kuels.
2.3.1.MANOVA Satu Arah (One-way MANOVA)
One-way MANOVA dapat digunakan untuk menguji apakah ke-g populasi
(dari satu faktor yang sama) menghasilkan vektor rata-rata yang sama untuk p
variabel respon atau variabel dependen yang diamati dalam penelitian.
Model One-Way ANOVA adalah sebagai berikut.
Y lj=μ+ τ i+εij ( 2.10 )
dimana i=1 , 2 ,…, g , j=1 ,2 , …,nl
Y lj : nilai pengamatan (respon) dari perlakuan ke-i dan ulangan ke-j
μ : nilai rataan umum
τ i : pengaruh dari perlakuan ke-i terhadap respon
ε ij : pengaruh error yang berdistribusi Np(0 , ∑) untuk data multivariat.
Dalam One-way MANOVA, hipotesis yang digunakan adalah sebagai
berikut.
7
H0 : τ1 = τ2 = ... = τg = 0
H1 : minimal terdapat satu τi ≠ 0 , i = 1,2,...,g
Tabel 2.1 Tabel One-way MANOVA
Source of Variation Matrix of SSP Df
Treatment B=∑l=1
g
nl ( x l−x) ( x l−x ) ' g−1
Residual (error) W =∑l=1
g
∑j=1
nl
( x lj−x l ) ( xlj−x l ) ' ∑l=1
g
nl−g
Total (corrected for the
mean)B+W=∑
l=1
g
∑j=1
nl
( x lj−x ) ( x lj−x ) ' ∑l=1
g
nl−1
Tolak H0, jika Λ¿=¿W ∨ ¿
¿ B+W ∨¿¿¿ sangat kecil yang selanjutnya ekuivalen
dengan bentuk F test
Tabel 2.2 Distribution of Wilks’ Lambda
No.of
variables
No.of
groupsSampling distribution for multivariat normal data
P = 1 g ≥ 2 (∑ nl−gg−1 )¿
P = 2 g ≥ 2 (∑ nl−g−1g−1 )¿
P ≥ 1 g = 2 (∑ nl−p−1p )¿
P ≥ 1 g = 3 (∑ nl−p−2p )¿
2.3.2.MANOVA Dua Arah (Two-way MANOVA)
Analisis MANOVA dua arah merupakan pengembangan dari ANOVA dua
arah. Model dari MANOVA dua arah adalah sebagai berikut.
Y ij=μ+ τ i+ β j+(τβ )ij+εij ( 2.11)
dimana i=1 , 2 ,…, t , j=1 ,2 , …, r
8
Y ij : nilai pengamatan (respon) dari perlakuan ke-i dan ulangan ke-j
μ : nilai rataan umum
τ i : pengaruh dari faktor 1 pada level ke-i terhadap respon
β j : pengaruh dari faktor 2 pada level ke-j terhadap respon
(τβ )ij : pengaruh faktor interaksi antara faktor 1 pada level ke-i dan faktor 2 pada
level ke-j terhadap respon
ε ij : pengaruh error yang berdistribusi Np(0 ,∑) untuk data multivariat.
Hipotesis yang digunakan untuk pengujian pengaruh faktor 1 adalah sebagai
berikut.
H0 : τ1 = τ2 = ... = τt = 0
H1 : minimal terdapat satu τi ≠ 0 , i = 1,2,...,t
Hipotesis yang digunakan untuk pengujian pengaruh faktor 2 terhadap
respon adalah sebagai berikut.
H0 : β1 = β2 = ... = βt = 0
H1 : minimal terdapat satu βj ≠ 0 , j = 1,2,...,r
Hipotesis yang digunakan untuk pengujian pengaruh faktor interaksi 1 dan 2
terhadap respon adalah sebagai berikut.
H0 : (τβ)11 = (τβ)12 = ... = (τβ)ij = 0
H1 : minimal terdapat satu (τβ)ij ≠ 0 , i = 1,2,...,t dan j = 1, 2, ..., r
Tabel 2.3 Tabel Two-way Manova
Source of
VariationMatrix of SSP df
Factor 1 SSpfac 1=∑l=1
g
bn ( xl−x ) ( xl−x ) ' g−1
Factor 2 SSpfac 2=∑l=1
b
gn ( x l−x ) ( x l−x ) ' b−1
Interactio
nSSp
∫¿=∑l=1
g
∑k=1
b
n ( x lk− xl .− x .k+ x ) ( x lk− xl .− x. k+ x ) '¿ ( g−1 ) (b−1 )
Residual
(error)SSPres=∑
l=1
g
∑k=1
b
∑r=1
n
( x lkr−xlk ) ( xlkr−x lk ) ' gb(n−1)
Total SSPcor=∑l=1
g
∑k=1
b
∑r=1
n
( x lkr−x ) ( x lkr−x ) ' gbn−1
9
Tolak H0, jika Λ¿=¿ SSPres∨
¿¿ SSp∫ ¿+ SSPres∨¿ ¿¿
¿ sangat kecil atau untuk
sampel besar dapat didekati dengan chi-square menggunakan Uji Bartlett’s yaitu
Pengaruh faktor penambahan gelatin kepada kandungan kadar protein,
lemak dan karbohidrat pada yoghurt dapat diketahui dari Tabel Multivariate test
berikut.
Tabel 4.4 Multivariate Test untuk Faktor Pemberian Gelatin
Effect P-value Wilks Lambda Partial Eta Square
Intercept 0,00 0.003 0.997
Gelatin 0,00 0,140 0.481
Berdasarkan Tabel 4.4 diperoleh bahwa p-value yang didapatkan sebesar
0.00. Nilai ini lebih kecil dibandingkan dengan α = 0,05 sehingga pengaruh level
dalam pemberian gelatin terhadap kadar protein, lemak dan karbohidrat pada
yoghurt berpengaruh . Selain itu, nilai Wilks Lambda pada pemberian gelatin
0.140. Nilai Wilks Lambda ini tidak mendekati nilai 0 sehingga dapat dikatakan
bahwa faktor pemberian gelatin dengan empat level pada kandungan didalam
yoghurt memberikan berpengaruh kecil terhadap kadar protein, lemak dan
karbohidrat. Hal yang sama juga ditunjukkan dengan nilai Partial Eta Square
sebesar 0,481 nilai ini tidak mendekati nilai 1 dimana dapat diartikan sebagai
pemberian level tidak berpengaruh secara signifikan terhadap respon. Nilai yang
diperoleh dari Wilks Lambda dan Partial Eta Square menunjukkan pemberian
level gelatin terhadap kadar lemak, protein dan karbohidrat pada yoghurt tidak
terlalu memberikan pengaruh yang besar.
17
4.3.2.Two Way MANOVA
Setelah dilakukan pengujian dengan one way MANOVA, akan dilanjutkan
pula pengujian dengan two-way MANOVA. Dalam pengujian ini dilakukan
penambahan variabel X1 yakni pemberian gelatin dan X2 lamanya penyimpanan.
Hipotesis yang digunakan untuk pengujian pengaruh faktor penambahan
gelatin terhadap kadar protein, lemak dan karbohidrat pada yoghurt adalah sebagai
berikut.
H0 : τ1 = τ2 = τ3 = τ4 = 0
H1 : minimal terdapat satu τi ≠ 0 , i = 1, 2, 3, 4
Pengujian untuk pengaruh faktor lamaya penyimpanan terhadap kadar
protein, lemak dan karohidrat pada yoghurt adalah sebagai berikut.
H0 : β1 = β2 = β3 = β4 = 0
H1 : minimal terdapat satu βj ≠ 0 , i = 1, 2, 3
Hipotesis yang digunakan untuk pengujian pengaruh faktor interaksi antara pemberian gelatin dan lamanya penyimpanan adalah sebagai berikut.H0 : (τβ)11 = (τβ)12 = ... = (τβ)43 = 0
H1 : minimal terdapat satu (τβ)ij ≠ 0 , i = 1, 2, 3,4 dan j = 1, 2, 3
Berdasarkan hasil analisis didapatkan Tabel Two-way MANOVA untuk interaksi antara pemberian gelatin dan lamanya penyimpanan adalah sebagai berikut:
Tabel 4.5 Two-way MANOVA untuk Faktor Gabungan.Source Matrik SSCP df