One Way Anova

ANALISIS VARIANSI

ANALISIS VARIANSI KLASIFIKASI SATU ARAH

(ONE WAY ANOVA)Andaikan kita mempunyai k buah populasi yang akan dibandingkan rata-ratanya. Dari masing-masing populasi diambil sampel berukuran nk. Misalkan pula k populasi tersebut

saling bebas dan berdistribusi normal dengan rata-rata k ,,, 21

Akan ditentukan cara untuk menguji hipotesis :

samatidakratarataduakurangnyasekurangH

H k

:

:

1

210

Emirul Bahar - Perencanaan Eksperimen

Hipotesis ANOVA 1 Arah

Seluruh mean populasi adalah sama Tak ada efek PERLAKUAN

Minimal ada 1 mean populasi yang berbeda ADA PENGARUH PERLAKUAN TERHADAP

RESPON Tidak seluruh mean populasi berbeda (beberapa

pasang mungkin sama)

k3210 μμμμ:H

samaadalahpopulasimeanseluruhidakH A T:

ANOVA 1 Arah

Bila Semua mean bernilai samaHipotesis nol adalah benar

(Tak ada efek treatment)

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA seluruhidak

321 μμμ

Emirul Bahar - Perencanaan Eksperimen

ANOVA 1 Arah

Minimal ada 1 mean yg berbedaHipotesis nol tidak benar (Terdapat efek treatment)

k3210 μμμμ:H

sama μ T:H iA semuaidak

321 μμμ 321 μμμ

or

(sambungan)

Dilakukan percobaan untuk mengetahui apakah ada pengaruh formula pembuatan tablet ekstrak buah merah pada sifat fisik granul.

Ada berapa variabel dalam percobaan tersebut?

Hasil pengamatan sifat fisik granul adalah sebagai berikut :

Contoh Masalah

Contoh Masalah

FORMULA I FORMULA II FORMULA III

20 18 19

19 17 20

17 20 17

17 20 19

19 21 18

Data sifat fisik Granul berdasarkan jenis formula

Struktur data

Populasi Total

1 2 ……

i ……

k

x11 x21 ……

xi1 ……

xk1

x12 x22 ……

xi2 ……

xk2

x1n x2n ……

xin ……

xkn

Total T1. T2. ……

Ti. ……

Tk. T..

RASIONAL DIBALIK ANALISIS VARIANSI

Perhatikan bahwa data tersebut di atas bervariasi baik data di dalam suatu formula maupun antar formula. Secara logis, mestinya data dalam satu formula yang sama mestinya relatif seragam (tidak bervariasi) dibandingkan dengan data antar formula yang berbeda, karena perbedaan formula menyebabkan perbedaan sifat fisik granul. Argumen tersebut menjadi landasan dalam penarikan kesimpulan, yaitu bahwa bila variansi data antar (between) formula relatif lebih besar dari pada variansi data dalam (within) formula maka dapat disimpulkan ada pengaruh formula pada sifat fisik granul.

Oleh karena itu, dalam analisis variansi (ANOVA) pengujian perbedaan rata-rata antara beberapa kelompok/ perlakuan/ populasi menggunakan informasi perbandingan antara variansi dalam kelompok dan variansi antar kelompok.

Langkah-langkah Pengujian Hipotesis1.Rumuskan Hipotesis

samatidakratarataduakurangnyasekurangH

H k

:

:

1

210

2. Tentukan tingkat signifikansi3. Ujilah homogenitas variansi Dari k buah

populasi dengan Levene’s Test . (bila tidak homogen, ANOVA tidak bisa dilanjutkan).4. Statistik uji:

5. Tentukan wilayah kritik : Ho ditolak bila )]1(,1[ nkkff ahitung

Catatan: Bila asumsi homogenitas variansi tidak dipenuhi, maka analisisData dapat menggunakan metode non parametrik KRUSKAL WALLIS yangTidak tercakup dalam materi kuliah ini.

22

21

var

var

S

s

kelompokdalamiansi

kelompokantariansifhitung

6. Menghitung statistik f hitung

b. Jumlah Kuadrat Kelompok =

JKK =

nk

T

n

Tk

i

i2

..

1

2.

c. Jumlah Kuadrat Galat = JKG = JKT – JKK

Untuk menentukan f hitung, perlu dihitung dahulu Jumlah kuadrat-jumlah kuadrat dengan formula berikut : a. Jumlah Kuadrat Total = JKT =

nk

Tx

k

i

n

jij

2..

1 1

2

7. Buatlah Tabel ANOVA berdasarkan perhitungan di atas sebagai berikut :

121

k

JKKs

)1(22

nk

JKGs

22

21

s

s

Sumber Keragaman

Jumlah Kuadrat

Derajat Bebas

Rata-rata Jumlah Kuadrat

f hitung

Kelompok

Galat

JKK

JKG

k-1

k(n-1)

Total JKT nk-1

6. Buatlah kesimpulan

7. Buatlah Tabel ANOVA berdasarkan perhitungan di atas sebagai berikut :

121

k

JKKs

)1(22

nk

JKGs

22

21

s

s

Sumber Keragaman

Jumlah Kuadrat

Derajat Bebas

Rata-rata Jumlah Kuadrat

f hitung

Kelompok

Galat

1.7333

23.200

2

12

Total 24.9333 14

6. Buatlah kesimpulan

Welcome to Minitab, press F1 for help. One-way ANOVA: akurasi versus kelompok

Source DF SS MS F Pkelompok 3 8.667 2.889 5.78 0.021Error 8 4.000 0.500Total 11 12.667

Lakukan langkah-langkah di atas untuk data contoh yang diberikan.Pergunakan kalkulator anda secara efisien, karena kalkulatortelah menyediakan menu yang memungkinkan menghitung nilai-nilaiyang diperlukan dengan mudah.

18

Contoh 1Sebagai manager produksi, anda ingin melihat kulitas mesin pengisi dilihat rata-rata waktu pengisiannya. Diperoleh data seperti di samping. Pada tingkat signifikansi 0.05 adakah perbedaan rata-rata waktu pengisian antar ketiga mesin?

ASUMSIKAN VARIANSI WAKTU PENGISIAN ANTAR MESIN HOMOGEN

Mesin1 Mesin2 Mesin325.40 23.40 20.0026.31 21.80 22.2024.10 23.50 19.7523.74 22.75 20.6025.10 21.60 20.40

19

Penyelesaian Hipotesa :

H0: 1 = 2 = 3

H1: Ada rata-rata yang tidak sama

Tingkat signifikasi = 0.05 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 2

dan df2 = derajat bebas galat = 12, maka f(0.05;2;12) = 3.89.

Jadi daerah penolakannya: H0 ditolak jika F > 3.89

20

Data

Populasi

Total

1 2 3

25.40 23.40 20.00

26.31 21.80 22.20

24.10 23.50 19.75

23.74 22.75 20.60

25.10 21.60 20.40

Total 124.65 113.05 102.95 340.65

21

Jumlah Kuadrat Total

2172.5835

65.340

40.2060.2075.1920.2200.20

60.2175.2250.2380.2140.23

10.2574.2310.2431.2640.25

nk

TxJKT

2

22222

22222

22222

k

1i

n

1j

22ij

22

Jumlah Kuadrat Perlakuan danJumlah Kuadrat Galat

0532.111640.472172.58

1640.47 35

65.340

5

95.10205.11365.124

2222

21

2

JKG

nk

T

n

TJKK

k

ii

23

Tabel Anova dan Kesimpulan

Sumber Variasi

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Rata-rata

Statistik F

Antar Mesin

(Kelompok)3-1=2 47.1640 23.5820 F = 25.60

Dalam mesin (Galat)

15-3=12

11.0532 0.9211

Total15-

1=1458.2172

Karena Fhitung = 25.60 > 3.89 maka H0 ditolak. Jadi ada rata-rata yang tidak sama. Mesin berpengaruh pada lamanya waktu pengisian.

Telah kita pelajari ANOVA dengan ukuran sampel tiap kelompok sama, yaitu n.Bagaimana halnya bila ukuran sampel antar kelompok tidak sama? Prosedur dan langkah analisis sama, perbedaannya adalah pada rumus hitung jumlah kuadratnya.

25

Rumus Hitung Jumlah KuadratUntuk ukuran sampel yang TIDAK SAMA

JKKJKTJKG

N

T

n

TJKK

N

TxJKT

k

i i

i

k

i

n

jij

i

2

1

2

1 1

22

Jumlah Kuadrat Total =

Jumlah Kuadrat Kelompok=

Jumlah Kuadrat Galat =

k

1iinNdengan

26

Tabel Anova Untuk ukuran sampel yang berbeda

Sumber Variasi

Derajat bebas

JK RJK Statistik F

Kelompok k – 1 JKK

JKK/(k – 1 )F =

Galat N – k JKGJKG/(N - k)

Total N – 1 JKT

22

21

S

s

27

Contoh 2 Dalam Sebuah percobaan biologi 4

konsentrasi bahan kimia digunakan untuk merangsang pertumbuhan sejenis tanaman tertentu selama periode waktu tertentu. Data pertumbuhan berikut, dalam sentimeter, dicatat dari tanaman yang hidup.

Apakah ada beda pertumbuhan rata-rata yang nyata yang disebabkan oleh keempat konsentrasi bahan kimia tersebut. Asumsikan VARIANSI HOMOGEN

Gunakan signifikasi 0,05.

Konsentrasi

1 2 3 4

8.2 7.7 6.9 6.8

8.7 8.4 5.8 7.3

9.4 8.6 7.2 6.3

9.2 8.1 6.8 6.9

8.0 7.4 7.1

6.1

28

Penyelesaian Hipotesa :

H0: 1 = 2 = 3= 4

H1: Ada rata-rata yang tidak sama

Tingkat signifikasi = 0.05 Karena df1= derajat bebas perlakuan = 3

dan df2 = derajat bebas galat = 16, maka f(0.05;3;16) = 3.24.

Jadi daerah penolakannya: H0 ditolak jika F > 3.24

29

Data

Populasi

Total

1 2 3 48.2 7.7 6.9 6.8

8.7 8.4 5.8 7.3

9.4 8.6 7.2 6.3

9.2 8.1 6.8 6.9

8.0 7.4 7.1

6.1

Total 35.5 40.8 40.2 34.4 150.9

30

Jumlah Kuadrat Total

350.1920

9.1501.79.63.63.78.61.6

4.78.62.78.59.60.81.8

6.84.87.72.94.97.82.8

N

TxJKT

2222222

2222222

2222222

k

1i

n

1j

22ij

i

31

Jumlah Kuadrat Perlakuan danJumlah Kuadrat Galat

888.3462.15350.19

462.15 20

9.150

5

4.34

6

2.40

5

8.40

4

5.35

22222

2

1

2

JKG

N

T

n

TJKK

k

i i

i

32

Tabel Anova dan Kesimpulan

Sumber Variasi

Derajat Bebas

Jumlah Kuadrat

Kuadrat Rata-rata

Statistik F

Perlakuan 4-1=3 15.462 5.154F =

21.213Galat 20-4=16 3.888 0.243

Total 20-1=19 19.350

Karena Fhitung = 21.213 > 3.24 maka H0 ditolak. Jadi ada rata-rata yang tidak sama.