O t o k a t a l i t i k

B A B I

P E N D A H U L U A N

1.1 Latar Belakang

Pertumbuhan merupakan suatu konsep yang universal dalam bidang biologi

dan merupakan hasil dari integrasi berbagai reaksi biokimia, peristiwa biofisik, dan

proses fisiologis yang berinteraksi dalam tubuh tanaman bersama faktor luar. Semua

organisme hidup pada berbagai fase dalam perjalanan hidupnya mempunyai

kemampuan melakukan perubahan ukuran, bentuk, dan jumlah dalam kondisi-

kondisi tertentu.

Pertumbuhan sebagai perubahan karakteristik organisme atau bagian

organisme secara periodik. Selain dipengaruhi struktur garis dan jenis kelamin,

perubahan karakteristik organism atau bagian organisme yang dipengaruhi oleh

beberapa faktor lingkungan seperti suhu, pola makan, dan penyakit.

Suatu kenyataan bahwa suatu system pertumbuhan seperti tanaman dan

hewan dengan proses pertumbuhannya hampir tidak dapat digambarkan atau

dipelajari dengan cara yang sederhana. Proses pertumbuhan pada hewan dan tanaman

dapat dipelajari juga dengan penyederhanaan yang berakhir pada model

pertumbuhan. Model pertumbuhan diharapkan dapat memberikan ringkasan

matematik mengenai perilaku tanaman dan hewan dalam menghasilkan produknya.

Model matematika dari kurva pertumbuhan bermanfaat dalam

menggambarkan bentuk pertumbuhan setiap saat dan persamaannya dapat digunakan

untuk memprediksi berat yang diharapkan dari sekelompok hewan pada usia tertentu.

1.2 Rumusan Masalah

1. Bagaimana model pertumbuhan tinggi tanaman Yute varietas Cc dan Varietas

Roxa?

2. Bagaimana cara menduga parameter awal pada model pertumbuhan tersebut

dengan menggunakan metode Gauss-Newton dan Levenberg-Marquardt?

1.3 Tujuan

Untuk mengetahui model pertumbuhan tinggi tanaman Yute Varietas Cc dan

Varietas Roxa.

B A B I I

D A S A R T E O R I

2.1 Model Non-Linier

Menurut Sreel dan Torrie (1989), masalah model regresi yang paling cocok

untuk menunjukkan hubungan antar peubah-peubah bukan masalah yang mudah dan

sederhana. Hampir tidak ada batas jenis-jenis model yang dapat dinyatakan secara

matematis.Diantara model-model yang mungkin, dipilih model yang parameternya

meminimumkan JKS. Berdasarkan kelinieran parameter, suatu model

diklasifikasikan ke dalam dua jenis yaitu linier dalam parameter dan non-linier dalam

parameter. Model yang non-linier dalam parameter dikatakan linier intrinsic jika

suatu pendekatan transformasi dapat melinierkan parameter model tersebut. Model

logaritma dan Eksponensial termasuk golongan ini. Sebaliknya model non-linier

dikatakan non-linier intrinsic jika suatu pendekatan transformasi tidak dapat

melinierkan parameter model tersebut (Draper dan Smith, 1981). Jika model yang

bersifat non-linier dalam parameter diturunkan sebagian terhadap salah satu

parameter akan menghasilkan fungsi parameter itu sendiri atau parameter lain dalam

model tersebut,maka model tersebut dikatakan linier intrinsic (Hunt, 1982).

2.2 Pendugaan Parameter Model Non Linier

Pendugaan parameter model non linier, terutama model yang secara

intrinsik non linier tidak dapat menggunakan metode kemungkinan maksimum atau

metode kuadrat terkecil biasa secara langsung seperti model linier, kerena

memerlukan perhitungan yang sangat rumit. Oleh karena itu untuk menduga

parameter model non linier digunakan metode iteratif yaitu suatu proses perhitungan

yang diulang-ulang sampai ditemukan penduga yang konvergen (Yitnosumarto,

1988).

2.3 Model Pertumbuhan Otokatalitik

Model-model pertumbuhan telah banyak diterapkan di berbagai bidang.

Dalam bidang biologi, botani dan zoology, model-model pertumbuhan di gunakan

untuk menggambarkan pola pertumbuhan suatu organism. Dalam ilmu kimia,

h(t)

h

t

pertumbuhan bakteri suatu reaksi sering digambarkan dalam model logistic. Tipe

model digunakan dalam masalah tertentu bergantung pada jenis pertumbuhan yang

terjadi ( Draper dan Smith, 1981).

Model otokatalitik merupakan sebuah fungsi sigmoid (berbentuk huruf S)

seperti terlihat pada gambar 2.1. Hamilton (1992), menyatakan bahwa model

otokatalitik berbentuk:

h(t) = α

{1+β e−kt } (2.1)

di mana h(t) = tinggi h pada saat t

α = nilai h maksimum

β = eKM , dimana M adalah t saat h(t) = 0.5α

k = rata-rata pertumbuhan relative saat t=0

Gambar 2.1 Kurva pertumbuhan berbentuk sigmoid

Model otokatalitik merupakan model yang bersifat linier intrinsic

berdasarkan kenyataan bahwa turunan sebagian h(t) terhadap salah satu

parameter menghasilakan fungsi yang terdiri dari α, β atau k (Hunt, 1982)

seperti ilustrasi berikut:

∂h∂ α

= 1

{1+β e−k t } = f{β , k }

∂h∂ β

= −αe−k t

{1+β e−k t }2 = f{α ,β , k }

∂h∂ β

= −αβte−k t

{1+β e−k t }2 = f{α ,β , k }

Pertumbuhan awal terjadi saat t=0, sehinggga persamaan (2.1) menjadi:

h = α

(1+β ) (2.2)

Pada saat t=∞, maka h=α yang merupakan batas maksimum pertumbuhan.

Asimtot didefinisikan sebagai garis lurus sejajar dengan sumbu x yang dituju oleh

kurva. Pada model otokatalitik terdapat dua asimtot yaitu pada h=0 dan h=α, dimana

α merupakan tinggi maksimum tanaman yang diharapkan (Hunt,1982). Titik belok

didefinisikan sebagai tempat lengkungan kurva berubah, yaitu dari lengkung kekanan

menjadi lengkung kekiri atau senaliknya. Ditempat terjadinya titik belok berlaku d2hdt2

=0.

Pada model otokatalitik, d2hdt2 didapatkan melalui:

d2hdt2 =αβk e−kt (−k ) ¿¿

=−k2 αβk e−k t (1+β e−k t)+2 k2 β2α e−2kt (1+β e−kt)¿¿

¿−k2 αβ e−k t(1+β e−k t)+2 k2 β2 α e−2 k t

¿¿

¿−k2 αβ e−k t−k2 (1+ β e−k t )+2 k2 β2 α e−2 k t

¿¿

¿−k2 αβ e−k t+k 2 β2 α e−2 k t

¿¿

¿−αβ k2 e−k t(β−kt−1)

¿¿

Jika d2hdt2 =0, maka β e−k t=1atau β=

1

e−kt , dengan mensubstitusikan β=1

e−kt ke

persamaan (2.1) didapatkan:

h(t) = α

1+(1

e−kt )e−kt=α

2 , separuh dari tinggi maksimum tanaman.

2.4 Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter digunakan karena mustahil untuk mrndapatkan

parameter populais jika ukuran populasi besar atau tidak terbatas. Untuk menduga

parameter-parameter populasi diambil contoh acak dari populasi tersebut kemudian

dicari fungsi-fungsi dari data contoh yang disebut statistik. Proses ini disebut

pendugaan parameter. Dengan demikian, dari contoh akan didapatkan statistik yang

akan digunakan sebagai penduga parameter. Penduga (estimator) adalah besaran

yang merupakan hasil pendugaan parameter yang berdasarkan pada pengukuran-

pengukuran yang dilakukan terhadap contoh ( Mendenhall,Scheaffer and

Wackerly,1981). Besaran hasil-gasil penerapan penduga terhadap data dari suatu

contoh disebut nilai duga(estimate) (Yitnosumaarto,1990).

2.4 Metode Kuadrat Terkecil (MKT) Model Non Linier

Misalkan model yang dipostulatkan berbentuk:

Y=f(X,θ)+ε (2.3)

Dengan X t=¿,X2 , X3 …… Xk) merupakan vector peubah penjelas dari model

dan θ'=¿,θ2 , θ3 ….θ p) adalah vector parameter model, maka E(Y)=f(X,θ).

Diasumsikan bahwa E(ε u)=0, V(ε u¿=σ2, ε u∽N ¿,σ 2¿ dan galat saling

bebas satu sama lain (cov(ε u εut)=0). Bila struktur data berbentuk:

Y u , Y 1u , Y 2 u ……Y ku (u=1,2,………..n)

Maka:

Y u=f ¿,X2u , X3u …… Xku; θ1,θ2 , θ3 ….θ p)+ε u

Y u=f (Xu , θ )+εu (2.4)

dimana ε u adalah galat ke-u.

JKS untuk model non-linier diatas didefinisikan sebagai:

JKS= ∑u=1

n

¿Y u−f ( Xu , θ ) }2 ¿

Penduga kuadrat terkecil (a last square estimate) bagi θ dilambangkan dengan

θ yang tidak lain adalah θ yang meminimumkan JKS. Untuk mendapatkan θ

persamaan (2.4) harus diturunkan sebagian terhadap θ. Ini akan menghasilkan p

persamaan normal yang harus dipecahkan untuk memperoleh nilai θ .

Persamaan normal tersebut berbentuk:

∑u=1

n

¿Y u−f ( Xu ,θ )}{∂ f (Xu , θ )∂ θu

}θ=θ

¿=0 (2.6)

Dengan i=1,2,…………,p. jika sebagian dari model terhadap θ menghasilkan

fungsi yang tidak linier dalam θ, maka persamaan normal yang akan dihasilkan tidak

bersifat linier dalam θ. Jika f ( Xu ,θ ) adalah model linier,

Ekspansi model otokatalitik ke persamaan (2.7) menjadi:

α{1+β e−ktu }

=α 0

{1+ β e−kt u−kt }+(α−α 0 ) ⌊

11+β e−ktu

⌋(α−α 0)

+(β−β0 ) ⌊−α e−kt u

(1+β e−kt u )2⌋

(β−β0 )

+(k−k0 ) ⌊α βte−kt u

(1+β e−ktu )2⌋

(k−k0 )

Matriks Z0 , Z0' Z0 , b0dan Y 0 adalah

Z0=⌊

1

1+β0 e−k0 t1

– α 0e−k0 t 1

(1+β0 e−k0 t1 )2α 0 β0 t1 e−k0 t1

(1+β0 e−k0 t1 )2

11+β0 e−k0 t2

−α 0 e−k0 t2

(1+β0 e−k0 t2 )2α 0 β0 t2 e−k0 t2

(1+β0 e−k0 t2 )2

⋮ ⋮ ⋮

11+β0 e−k0 tn

−α 0 e−k0t n

(1+β0 e−k0 tn )2

α 0 β0 tn e−k0 tn

(1+β0 e−k0 tn )2

⌋

Z0' Z0=⌊

∑u=1

n1

(1+β0e−k0 t u )2∑u=1

n – α 0e−k0 t u

(1+β0 e−k0 tu )3∑u=1

n α 0 β0 tu e−k0 tu

(1+β0 e−k0 tu )3

∑u=1

n (– α 0 e−k0t u)2

(1+ β0e−k0 t u )3∑u=1

n (– α0 e−k0 tu)2

(1+β0e−k0 t u )4∑u=1

n – α02 β0t u e−2 k0 t u

(1+β0 e−k0 tu )4

∑u=1

n α0 β0t u e−k0t u

(1+ β0e−k0 t u )3

∑u=1

n – α 02 β0 tu e−2k0 tu

(1+β0e−k0 t u )4

∑u=1

n (α0 β0t u e−k0 tu)2

(1+β0 e−k0 tu )4

⌋

b0=⌊α0

β0

k0

⌋

Y 0=[α

1+ β e−kt 1−

α0

1+β0 e−kt u

α1+ β e−kt 2

−α0

1+β0 e−kt 2

⋮α

1+β e−kt n−

α0

1+β0 e−kt n

]Selanjutnya β0 diduga dengan b0=(Z0

' Z0)−1 Z0

' Y 0

Maka hasil turunan sebagian f (Xu,θ) terhadap menghasilkan fungsi Xu dan

tidak mengandung parameter θ sama sekali. Misalkan f (Xu,θ)= θ1 X1u+ θ2 X2u + θp

Xpu , maka:

∂ f (Xu ,θ)∂ θi

=X iu , yang tidak tergantung pada θ. Berbeda halnya jika f (xu,θ) adalah

model non-linier. Hasil turunan sebagian f (xu,θ) terhadap θi akan mengandung

parameter θi.

Misalkan ingin didapatkan persamaan normal untuk mendapatkan penduga

kuadrat terkecil bagi parameter θ dalam model f (xu,θ)=eks (-θ xu) .melalui turunan

sebagian f (xu,θ) terhadap θ dihasilkan turunan yang berbentuk :

∂ f (Xu ,θ)∂ θi

=−X ueks(−θ Xu)

Penyelesaian persamaan (2.6) menghasilkan persamaan normal yang

berbentuk:

∑u=1

n

(Y u−e−θ X u ) (−Xu−e−θ X u )=0

Dari persamaan normal di atas dapat dilihat bahwa hanya dengan satu

parameter dan model non-linier yang sederhana,pendugaan θ melalui persamaan

normal tidaklah mudah. Bila model mengandung banyak parameter dan model

berbentuk lebih rumit,penyelesaian persamaan normal harus menggunakan metode

numerik secara iteratif(Draper dan Smith,1981).

Misalkan akan di dapatkan penduga kuadrat terkecil β bagi parameter β

dalam model. Ditetapkan Y = β0+β1X. Ditetapkan Y sebagai matriks peubah terikat,

X sebagai matriks peubah penjelas dan β sebagai matriks parameter model yang

berbentuk :

Y=[Y 1

Y 2

⋮Y n

] X=[11⋮1X1

X2

⋮Xn

] β=[ β0

β1]

Model Y = β0+β1X dapat ditulis menjadi Y=X β sehingga b=¿ dengan syarat

(X ' X ) non-singular.

2.6 Nilai Duga Awal bagi Parameter

Draper dan Smith (1981) mengatakan bahwa dugaan awal θ0 bagi parameter θ

dalam model non-linier didapatkan dengan cara-cara sebagai berikut :

1. Analitik

Dengan cara analitik Yu diselidiki untuk nilai Xu mendekati nol atau tak

hingga untuk mencari nilai duga awal parameter yang mengggambarkan

keadaan Yu saat Xu mendekati nol atau tak hingga .Selanjutnya

disubstitusikan Xu sebanyak parameter-parameter yang lain dalam model ke

dalam Yu sehingga terbentuk sistem persamaan yang kemudian di selesaikan.

2. Substitusi

Jika terdapat p buah parameter,disubstitusikan p amatan (Yu,Xu) ke dalam

model yang di postulatkan ,selanjutnya p buah persamaan tersebut

diselesaikan untuk mendapatkan nilai parameter-parameter model.Nilai-nilai

Xu yang terpisah jauh sering memberika hasil yang lebih baik

2.6.1 Metode gauss-Newton

Cara yang seringkali ditempuh untuk menduga parameter-parameter model

non-linear adalah menuliskan persamaan normal(2.6) secara terinci dan

mengembangkan suatu teknik iterative untuk memecahkannya.

Metode gauss-Newton menggunakan nilai duga awal 0 bagi parameter

dalam iterasi. Pandang model (2.4) sebagai model yang dipostulatkan. Misalkan

1,2,…,p0 adalah nilai-nilai duga awal bagi parameter-parameter 1,2,…,p. untuk

mendapatkan nilai yang meminimumkan JKS, pertama-tama model no-linier

tersebut diekspansikan kebentuk deret Taylor di sekitar =0 menjadi :

f (xu , )=f (xu ,❑0 )+∑i=1

p [ ∂ f (xu , )∂ θi

]θ=θ0

(θ i−θi 0 )(2.7)

Bila ditetapkan : f uo=f (xu ,❑0 )

β io=(θi−θi 0 )

Ziuo=[ ∂ f (xu , )

∂θ i]θ=θ0

Maka persamaan (2.7) akan berbentuk :

Y u=f uo+∑

i=1

p

β io Ziu

o +ε u

Y u−f uo=∑

i=1

p

β io Z iu

o +εu(2.8)

Selanjutnya dengan MKT, β io dapat diduga. Jika ditetapkan :

Z0=[Z11

o Z21o ⋯ Z p1

o

Z12o Z22

o ⋯ Z p2o

⋮Z1u

o

⋮Z1n

o

⋮Z2 u

o

⋮Z2 n

o

⋮Z pu

o

⋮Z pn

o]={Ziu

o }nxp b0=[ b1o

b2o

⋮b p

o ] Y 0=[Y 1−f 1

o

Y 2−f 2o

⋮Y u−f u

o

⋮Y n−f n

o]

Maka Y 0=Z0 . b0, sehingga penduga bagi β0' =( β1

o, β2o , …, β p

o ) adalah

b0=(Z0 ' Z0)−1 Z0

' Y 0. Dengan demikian vector b0 , akan meminimumkan JKS yang

terbentuk

JKS=∑u=1

n

{Y u−Y u }2

¿∑u=1

n {Y u−f (xu ,❑0 )−∑i=1

p

β io Z iu

o }2

Pandang b io=θi 1+θi 0, maka θi 1 dapat dianggap sebagai penduga yang telah

diperbaiki bagi . Selanjutnya nilai-nilai θi 1 dijadikan penduga yang akan diperbaiki

pada iterasi-1, kemudian ditempuh langkah yang sama sampai (2.8) diselesaikan,

namun dengan mengganti subskrip nol dengan subskrip satu. Proses ini akan

menghasilkan penduga yang telah diperbaiki yaitu θi 2 dan begitu seterusnya sampai

pendugaan konvergen. Dengan kata lain sampai langkah iterasi ke-j dan iterasi ke-

(j+1) berlaku :

|{θi ( j+1)−θ ij }/ θij|<δ , dimana adalah bilangan positif yang sangat kecil yang

telah ditetapkan sebelumnya (0,0001) (Draper dan Smith, 1981). Dengan

mengembangkan notasi sebelumnya, θ j+1 dapat ditulis

θ j+1=θ j+b j

θ j+1=θ j+(Z j' Z j )

−1Z j

' (Y −f j ) (2.9 )

2.6.1.1 Modifikasi Metode Gauss-Newton

Meskipun secara teoritis pendugaan parameter dengan menggunakan

metode Gauss-Newton selalu konvergen, permasalahan dapat saja terjadi missal

berfluktuasinya JKS walaupun pada akhirnya pendugaan mencapai kekonvergenan.

Modifikasi Gauss-Newton dengan membagi dua bj dalam persamaan (2.9)

dapat diterapkan jika permasalahan di atas terjadi. Secara ringkas modifikasi ini

mengikuti proses berikut (Myers, 1990):

1. Hitung koreksi b j=(Z j' Z j )

−1Z j

' (Y−f j )

2. Hitung penduga pada iterasi ke-(j+1), θ j+1

3. Jika JKS(j+1)>JKS(j), maka ulangi langkah 2; gunakan koreksi bj/2

2.6.1.2 Algoritma Gauss-Newton pada Model Otokatalitik

Dengan cara analitik, nilai duga awal α0 didapatkan melalui limt →∞

h (t )=α

sehingga α0 = hmaks. Disubstitusikan α0 ke persamaan (2.2) untuk mendapatkan nilai

duga awal β0. selanjutnya k0 didapatkan melalui sustitusi α0 dan β0 ke persamaan

(2.1).

2.6.2 Metode grafis

Sisaan didefinisikan sebagai selisih antara Yu dengan Y u ditulis ε u=Y u−Y u .

Sisaan kaya akan informasi ,oleh karena itu sisaan merupakan bagian yang amat

penting dalam setiap analisis data (Walpole dan Myers.1995).Diagram pencar sisaan

yang menggambarkan kesesuaian model dengan data akan berbentuk

acak ,sebaliknya jika diagram pencar sisaan mempunyai bentuk tertentu,maka

dikatakan model belum sesuai dengan data.

Gambar 2.2 Plot antara sisaan dan nilai duga yang berbentuk acak.

Gambar 2.3 Plot antara sisaan dan nilai duga yang membentuk pola.

Gambar 2.3 merupakan diagram pencar yang menunjukkan bahwa model

sesuai dengan data ,karena bentuk diagram pencar tersebut .Lain halnya dengan

Gambar 2.2,plot antara sisaan pada Gambar 2.3 berbentuk kuadratik sehingga dapat

dikatakan model belumsesuai dengan data (yitnosumarto,1993).

2.10 Selang kepercayaan bagi parameter model

Dalam berbagia keadaan, penduga titik belum memberikan informasi yang

cukup tenten parameter populasi karena nilainya tergantung pada contoh yang di

ambil. Penduga selang berbentuk :

P (θ−( titik kritis ) S (θ )≤θ ≤ θ+( titik kritis)S (θ ))=(1−α)

dimana S (θ )=√∑u=1

n

(Y u−Y u )2

n−p−1

Lebih informatif karena selang ini dapat ditentukan sebagai fungsi

contoh.Selanjutnya selan ini disebut selan kepercayaan 100(1-α)% untuk parameter

θ.Batas kepercayaan bawah(lower confidence limit) adalah θ−( titik kritis ) S (θ ) dan

Batas kepercayaan atas (upper confidence limit) adalah θ+(titik kritis)S (θ ).

Sedangkan (1-α) disebut koefisien kepercayaan (confidence coefficient).

Lebar selang kepercayaan adalah sebuah ukuran penting kualitas informasi

yang di peroleh dari contoh.Makin lebar selang kepercayaan , maka semakin diyakini

bahwa selang tersebut mengandung nilai θ sebenarnya.Pada suatu kejadian yang

ideal dibutuhkan sebuah selang kepercayaan yang pendek dengan keyakinan yang

tinggi.

Selang kepercayaan (1-α) bagi parameter-parameter model adalah :

P(θ−t α2

, n−p−1w i≤ θ ≤θ+ t α

2,n−p−1)=(1−α )

Dimana :

w i=scu1/2

cu adalahdiagonal utama matriks (Z0 ' Z0)−1 .

2.6.3 Metode Levenberg-Marquardt

Salah satu metode pendugaan parameter adalah metode Levenberg-

Marquardt, bentuk ilustrasi metode ini adalah:

θi+1=θi−(J ' J+ τi2 I )−1 J

i '' f i

Dimana : J i=J (θi ) dan f i=f (θi )

τ merupakan nilai positif terkecil yang dihitung dari akar ciri dan vector ciri

matriks J`J. matriks J adalah matrik jacobian menyatakan banyaknya parameter.

Unsur-unsur matriks jacobian merupakan turunan parsial masing-masing galat

pengamatan.

I merupakan matriks identitas θ = θ0 ,θ1 ,θ2 adalah parameter-parameter

yang diduga f (θ)merupakan vector galat dari masing-masing pengamatan. Nilai r

yang relative kecil akan mendekati hasil iterasi Newton-Rapson dan Gauss-Newton.

2.7 Uji Keakuratan Model

Setelah didapatkan penduga bagi parameter model, langkah selanjutnya

adalah menguji keakuratan model. Pengujian keakuratan model menggunakan

kriteria sebagai berikut:

2.7.1 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi dilambangkan dengan R2, dipergunakan untuk

mengukur proporsi atau presentase total keragaman peubah respon yang dapat

dijelaskan dengan model regresi. Koefisien determinasi didefinisikan sebagai

berikut:

R2 = JKS/JKT

Dimana JKS=Jumlah Kuadrat Sisa

JKT=Jumlah Kuadrat Total

Untuk membandingkan dua model harus memperhitungkan banyaknya

variable X (peubah bebas) yang ada dalam model. Ini dapat dilakukan dengan

mempertimbangkan koedisien determinasi dirumuskan sebagai berikut:

Radjusted2

=1-

JKS /(n−p )JKT /(n−1)

Dimana Radjusted2

= Koefisien determinasi disesuaikan

p= Banyaknya parameter model

n= Banyaknya pengamatan

Koefisien determinasi R2 terletak antara 0 dan 1 kemudian model dikatakan

“lebih baik” kalau R2 semakin dekat dengan 1.

B A B I I I

P E R M A S A L A H A N D A N P E M B A H A S A N

Tinggi tanaman Yute varietas Cc dan varietas Roxa yang merupakan hasil

penelitian Balai Penelitian Tembakau dan Tanaman Serat (BALLITAS) tahun 1989.

Pengukuran dilakukan terhadap 100 tanaman varietas Cc dan 90 tanaman varietas

Roxa. Tinggi tanaman Cc diukur selama 17 minggu sedangkan varietas Roxa diukur

selama 20 minggu.

Rata-rata tinggi tanaman Yute varietas Cc dan Varietas Roxa (cm)

Mingg

u

Varietas Mingg

u

Varietas

Cc Roxa Cc Roxa

1 13.23 10.005 11 206.47 199.85

2 25.55 18.57 12 214.86 213.44

3 44.84 36.04 13 220.35 219.37

4 72.31 60.17 14 225.22 224.2

5 107.49 90.91 15 229.65 226.4

6 142.02 123.29 16 232.81 228.63

7 164.81 146.88 17 233.99 227.53

8 175.64 168.53 18 233.92

9 190.1 179.52 19 236.54

10 199.95 192.89 20 237.98

Pendugaan parameter :

Untuk mengetahui seberapa baik data didekati dengan model otokatalitik, kita dapat

melihat pada diagram pencar.

Diagram Pencar :

Minggu20.0015.0010.005.000.00

Ro

xa

250.00

200.00

150.00

100.00

50.00

0.00

Minggu20.0015.0010.005.000.00

Cc

250.00

200.00

150.00

100.00

50.00

0.00

Cc Roxa

Berdasarkan diagram pencar tersebut dapat dikatakan bahwa data membentuk

kurva otokatalitiksehinga model yang di postulatkan adalah model otokatalitik. Nilai

duga awal parameter-parameter model yang didapatkan dengan cara analitik untuk

masing-masing varietas adalah :

1. Varietas Cc

a. α 0=h(17 )=233 . 990

b.t→0⇒h=

α0

1+β0

13 . 230=233 . 9901+β0

β0=16 . 680

c.t=9⇒190 .100=233 . 990

1+16 . 680e−9k 0

k0=0. 476

2. Varietas Roxa

a. α 0=h(20 )=237 . 980

b.t→0⇒h=

α0

1+β0

10 . 005=237 . 9801+β0

β0=22 . 786

c.t=11⇒199 . 850=237. 980

1+22 .786 e−11 k0

k0=0. 435

Sofware SPSS dan Metode Levenberg-Marquardt diterapkan untuk menduga

nilai, α , β , dan k. Pendugaan parameter dan hasilnya dapat dilihat pada output

SPSS berikut :

OUTPUT :

1. Varietas Cc

2. Varietas Roxa

UJI KELAYAKAN MODEL

Model-model pendugaan parameter dengan menggunakan metode Levenberg-

Marquardt sebagai berikut :

1. Varietas Cc

Tinggi=225 .819

1+17 .577 e−0. 534 t

2. Varietas Roxa

Tinggi=229.756

1+19 .089 e−0. 487 t

Varietas R2

Cc 0,993

Roxa 0,994

Berdasarkan R2 tersebut di atas dapat dikatakan bahwa model yang

didapatkan dengan menggunakan metode Levenberg-Marquardt layak digunakan.

Lebih dari 99% total keragaman untuk tinggi tanaman varietas Cc dan varietas Roxa

dapat dijelaskan oleh model otokatalitik.

Tabel Tinggi tanaman, prediksi, dan sisaan :

Umur

Tanama

n (mst)

Cc Roxa

Data Prediksi Sisa Data Prediksi Sisa

1 13.23 19.97 -6.74 10.005 18.05 -8.04

2 25.55 32.05 -6.5 18.57 27.99 -9.42

3 44.84 49.68 -4.84 36.04 42.31 -6.27

4 72.31 73.34 -1.03 60.17 61.72 -1.55

5 107.49 101.75 5.74 90.91 85.95 4.96

6 142.02 131.67 10.35 123.29 113.28 10.01

7 164.81 159.1 5.71 146.88 140.8 6.08

8 175.64 181.24 -5.6 168.53 165.5 3.03

9 190.1 197.35 -7.25 179.52 185.5 -5.98

10 199.95 208.21 -8.26 192.89 200.37 -7.48

11 206.47 215.15 -8.68 199.85 210.76

-

10.91

12 214.86 219.44 -4.58 213.44 217.7 -4.26

13 220.35 222.03 -1.68 219.37 222.2 -2.83

14 225.22 223.58 1.64 224.2 225.05 -0.85

15 229.65 224.5 5.15 226.4 226.84 -0.44

16 232.81 225.04 7.77 228.63 227.96 0.67

17 233.99 225.36 8.63 227.53 228.65 -1.12

18 233.92 229.07 4.85

19 236.54 229.34 7.2

20 237.98 229.5 8.48

Model OtokatalitikVarietas Cc

0

50

100

150

200

250

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Umur Tanaman

Tin

gg

i (c

m)

Data

Prediksi

Model OtokatalitikVarietas Roxa

0

50

100

150

200

250

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Umur Tanaman

Tin

gg

i (c

m)

Data

Prediksi

B A B I V

K E S I M P U L A N

Model otokatalitik merupakan sebuah fungsi sigmoid (berbentuk huruf S).

Karena pada diagram pencar CC dan Roxa berbentuk sigmoid maka dalam kasus ini,

model pertumbuhan yang digunakan adalah model pertumbuhan otokatalitik. Dengan

menggunakan SPSS, model-model pendugaan parameter dengan menggunakan

metode Levenberg-Marquardt sebagai berikut :

1. Varietas Cc

Tinggi=225 .819

1+17 .577 e−0. 534 t

2. Varietas Roxa

Tinggi=229.756

1+19 .089 e−0. 487 t

Melalui uji kelayakan model (R2), lebih dari 99% total keragaman untuk tinggi

tanaman varietas Cc dan varietas Roxa dapat dijelaskan oleh model otokatalitik.

A N A L I S I S R E G R A S I L A N J U T A N

Disusun oleh:

NINI SURYANI : 0610950042 SUAIBATUL ISLAMIYAH : 06109500TITIS KUSUMA L : 06109500PRIWANTO ARIFINSITI CHOIRUN NISAJEFRY DAMAI SSAKIB

::::

06109500071095004207109500460710953026

PRODI STATISTIKAJURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMUNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG2009