BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Pertumbuhan merupakan suatu konsep yang universal dalam bidang biologi dan merupakan hasil dari integrasi berbagai reaksi biokimia, peristiwa biofisik, dan proses fisiologis yang berinteraksi dalam tubuh tanaman bersama faktor luar. Semua organisme hidup pada berbagai fase dalam perjalanan hidupnya mempunyai kemampuan melakukan perubahan ukuran, bentuk, dan jumlah dalam kondisikondisi tertentu. Pertumbuhan sebagai perubahan karakteristik organisme atau bagian organisme secara periodik. Selain dipengaruhi struktur garis dan jenis kelamin, perubahan karakteristik organism atau bagian organisme yang dipengaruhi oleh beberapa faktor lingkungan seperti suhu, pola makan, dan penyakit. Suatu kenyataan bahwa suatu system pertumbuhan seperti tanaman dan hewan dengan proses pertumbuhannya hampir tidak dapat digambarkan atau dipelajari dengan cara yang sederhana. Proses pertumbuhan pada hewan dan tanaman dapat dipelajari juga dengan penyederhanaan yang berakhir pada model pertumbuhan. Model pertumbuhan diharapkan dapat memberikan ringkasan matematik mengenai perilaku tanaman dan hewan dalam menghasilkan produknya. Model matematika dari kurva pertumbuhan bermanfaat dalam

menggambarkan bentuk pertumbuhan setiap saat dan persamaannya dapat digunakan untuk memprediksi berat yang diharapkan dari sekelompok hewan pada usia tertentu.

1.2 Rumusan Masalah 1. Bagaimana model pertumbuhan tinggi tanaman Yute varietas Cc dan Varietas Roxa? 2. Bagaimana cara menduga parameter awal pada model pertumbuhan tersebut dengan menggunakan metode Gauss-Newton dan Levenberg-Marquardt? 1.3 Tujuan Untuk mengetahui model pertumbuhan tinggi tanaman Yute Varietas Cc dan Varietas Roxa.

BAB II DASAR TEORI

2.1 Model Non-Linier Menurut Sreel dan Torrie (1989), masalah model regresi yang paling cocok untuk menunjukkan hubungan antar peubah-peubah bukan masalah yang mudah dan sederhana. Hampir tidak ada batas jenis-jenis model yang dapat dinyatakan secara matematis.Diantara model-model yang mungkin, dipilih model yang parameternya meminimumkan JKS. Berdasarkan kelinieran parameter, suatu model

diklasifikasikan ke dalam dua jenis yaitu linier dalam parameter dan non -linier dalam parameter. Model yang non-linier dalam parameter dikatakan linier intrinsic jika suatu pendekatan transformasi dapat melinierkan parameter model tersebut. Model logaritma dan Eksponensial termasuk golongan ini. Sebaliknya model non-linier dikatakan non-linier intrinsic jika suatu pendekatan transformasi tidak dapat melinierkan parameter model tersebut (Draper dan Smith, 1981). Jika model yang bersifat non-linier dalam parameter diturunkan sebagian terhadap salah satu parameter akan menghasilkan fungsi parameter itu sendiri atau parameter lain dalam model tersebut,maka model tersebut dikatakan linier intrinsic (Hunt, 1982).

2.2 Pendugaan Parameter Model Non Linier Pendugaan parameter model non linier, terutama model yang secara intrinsik non linier tidak dapat menggunakan metode kemungkinan maksimum atau metode kuadrat terkecil biasa secara langsung seperti model linier, kerena memerlukan perhitungan yang sangat rumit. Oleh karena itu untuk menduga parameter model non linier digunakan metode iteratif yaitu suatu proses perhitungan yang diulang-ulang sampai ditemukan penduga yang konvergen (Yitnosumarto, 1988).

2.3 Model Pertumbuhan Otokatalitik Model-model pertumbuhan telah banyak diterapkan di berbagai bidang. Dalam bidang biologi, botani dan zoology, model-model pertumbuhan di gunakan untuk menggambarkan pola pertumbuhan suatu organism. Dalam ilmu kimia,

pertumbuhan bakteri suatu reaksi sering digambarkan dalam model logistic. Tipe model digunakan dalam masalah tertentu bergantung pada jenis pertumbuhan yang terjadi ( Draper dan Smith, 1981). Model otokatalitik merupakan sebuah fungsi sigmoid (berbentuk huruf S) seperti terlihat pada gambar 2.1. Hamilton (1992), menyatakan bahwa model otokatalitik berbentuk: h(t) = di mana (2.1) h(t) = tinggi h pada saat t = nilai h maksimum = , dimana M adalah t saat h(t) = 0.5

k = rata-rata pertumbuhan relative saat t=0

h(t)

h

t Gambar 2.1 Kurva pertumbuhan berbentuk sigmoid Model otokatalitik merupakan model yang bersifat linier intrinsic berdasarkan kenyataan bahwa turunan sebagian h(t) terhadap salah satu parameter menghasilakan fungsi yang terdiri dari , seperti ilustrasi berikut: = = =

atau k (Hunt, 1982)

= f{

= f{ = f{

Pertumbuhan awal terjadi saat t=0, sehinggga persamaan (2.1) menjadi:

h=

(2.2)

Pada saat t=, maka h= yang merupakan batas maksimum pertumbuhan. Asimtot didefinisikan sebagai garis lurus sejajar dengan sumbu x yang dituju oleh kurva. Pada model otokatalitik terdapat dua asimtot yaitu pada h=0 dan h= , dimana merupakan tinggi maksimum tanaman yang diharapkan (Hunt,1982). Titik belok didefinisikan sebagai tempat lengkungan kurva berubah, yaitu dari lengkung kekanan menjadi lengkung kekiri atau senaliknya. Ditempat terjadinya titik belok berlaku =0. Pada model otokatalitik, didapatkan melalui:

=

Jika

=0, maka

ke persamaan (2.1) didapatkan: h(t) =

atau

=

, dengan mensubstitusikan =

, separuh dari tinggi maksimum tanaman.

2.4 Pendugaan Parameter Pendugaan parameter digunakan karena mustahil untuk mrndapatkan parameter populais jika ukuran populasi besar atau tidak terbatas. Untuk menduga parameter-parameter populasi diambil contoh acak dari populasi tersebut kemudian dicari fungsi-fungsi dari data contoh yang disebut statistik. Proses ini disebut

pendugaan parameter. Dengan demikian, dari contoh akan didapatkan statistik yang akan digunakan sebagai penduga parameter. Penduga (estimator) adalah besaran yang merupakan hasil pendugaan parameter yang berdasarkan pada pengukuranpengukuran yang dilakukan terhadap contoh ( Mendenhall,Scheaffer and

Wackerly,1981). Besaran hasil-gasil penerapan penduga terhadap data dari suatu contoh disebut nilai duga(estimate) (Yitnosumaarto,1990).

2.4 Metode Kuadrat Terkecil (MKT) Model Non Linier Misalkan model yang dipostulatkan berbentuk: Y=f(X, )+ Dengan model dan E(Y)=f(X, ). ,

(2.3) , )

merupakan vector peubah penjelas dari

) adalah vector parameter model, maka ,

Diasumsikan bahwa E( )=0, V( saling bebas satu sama lain (cov(

,

dan galat

)=0). Bila struktur data berbentuk:

(u=1,2,..n) Maka:

,

)+

,

;

(2.4)

dimana

adalah galat ke-u.

JKS untuk model non-linier diatas didefinisikan sebagai: JKS=

Penduga kuadrat terkecil (a last square estimate) bagi yang tidak lain adalah

dilambangkan dengan

yang meminimumkan JKS. Untuk mendapatkan

persamaan (2.4) harus diturunkan sebagian terhadap . Ini akan menghasilkan p persamaan normal yang harus dipecahkan untuk memperoleh nilai . Persamaan normal tersebut berbentuk:

=0

(2.6) menghasilkan

Dengan i=1,2,,p. jika sebagian dari model terhadap

fungsi yang tidak linier dalam , maka persamaan normal yang akan dihasilkan tidak bersifat linier dalam . Jika adalah model linier,

Ekspansi model otokatalitik ke persamaan (2.7) menjadi:

Matriks

adalah

Selanjutnya

diduga dengan

Maka hasil turunan sebagian f (Xu, ) terhadap menghasilkan fungsi Xu dan tidak mengandung parameter sama sekali. Misalkan f (Xu, )= Xpu , maka: , yang tidak tergantung pada . Berbeda halnya jika f (xu, ) adalah model non-linier. Hasil turunan sebagian f (xu, ) terhadap parameter i. Misalkan ingin didapatkan persamaan normal untuk mendapatkan penduga kuadrat terkecil bagi parameter dalam model f (xu, )=eks (- xu) .melalui turunani 1

X1u+

2 X2u

+

p

akan mengandung

sebagian f (xu, ) terhadap dihasilkan turunan yang berbentuk :

Penyelesaian persamaan (2.6) menghasilkan persamaan normal yang berbentuk:

Dari persamaan normal di atas dapat dilihat bahwa hanya dengan satu parameter dan model non-linier yang sederhana,pendugaan melalui persamaan

normal tidaklah mudah. Bila model mengandung banyak parameter dan model berbentuk lebih rumit,penyelesaian persamaan normal harus menggunakan metode numerik secara iteratif(Draper dan Smith,1981). Misalkan akan di dapatkan penduga kuadrat terkecil dalam model. Ditetapkan Y =0+ 1X.

bagi parameter

berbentuk :

X sebagai matriks peubah penjelas dan sebagai matriks parameter model yang

Ditetapkan Y sebagai matriks peubah terikat,

Model Y =

0+ 1 X

dapat ditulis menjadi non-singular.

dengan syarat

sehingga

2.6 Nilai Duga Awal bagi Parameter Draper dan Smith (1981) mengatakan bahwa dugaan awal0 bagi

parameter

dalam model non-linier didapatkan dengan cara-cara sebagai berikut : 1. Analitik Dengan cara analitik Yu diselidiki untuk nilai Xu mendekati nol atau tak hingga untuk mencari nilai duga awal parameter yang mengggambarkan keadaan Yu saat Xu mendekati nol atau tak hingga .Selanjutnya disubstitusikan Xu sebanyak parameter-parameter yang lain dalam model ke dalam Yu sehingga terbentuk sistem persamaan yang kemudian di selesaikan. 2. Substitusi Jika terdapat p buah parameter,disubstitusikan p amatan (Y ,Xu) ke dalam u model yang di postulatkan ,selanjutnya p buah persamaan tersebut

diselesaikan untuk mendapatkan nilai parameter-parameter model.Nilai-nilai Xu yang terpisah jauh sering memberika hasil yang lebih baik

2.6.1 Metode gauss-Newton

Cara yang seringkali ditempuh untuk menduga parameter-parameter model non-linear adalah menuliskan persamaan normal(2.6) secara terinci dan

mengembangkan suatu teknik iterative untuk memecahkannya. Metode gauss-Ne