Muchammad Chusnan Aprianto - Unravel Natural Mystery · •atan2(y, x) •atanh(x) •ceil ... •Y = 4X + 20, jika X = -2 •Y = 2X + 3Z + 2, jika X = 1 dan Z= 3 •Y = cosX + 2,

MATRIKS DAN KOMPUTASI

Mata Kuliah Analisa Numerik

Muchammad Chusnan Aprianto

Script Fungsi pada Matlab

• sqrt(x)

• Akar kuadrat. Contoh:

• sqrt([1 2 3 4])

• Akan menghasilkan

• 1.0000 1.4142 1.7321 2.0000

• plot(x) atau plot(x,y)

• Menampilkan grafik 2D. Ex:

• x = -1:.1:1;

• plot(x,abs(x),'x')

Cont’d

• abs(x) • Nilai absolut untuk x

• acos(x) • Nilai arcsinus

• acosh(x) • Arccosinus hiperbolik

• asin(x) • asinh(x) • atan(x) • atan2(y, x) • atanh(x)

• ceil(x) • Integer terkecil atau nilai

integer yang mendekati x terbesar

• Ex: ceil(-3.9), ans = -3 • ceil(3.9), ans = 4

• cos(x) • cosh(x) • cot(x) • csc(x)

• cosec dari x

• date • exp(x)

Cont’d

• fix(x) • Kebalikan dari ceil

• Nilai integer yang mendekati nol

• Fix(3.9), ans=3

• length(x) • Jumlah elemen vektor x

• log(x)

• log10(x)

• max(x) • Nilai max elemen x

• mean(x) • Nilai mean elemen vektor

x

• min(x) • Nilai min elemen vektor x

• pow2(x)

• 2𝑥

• rand • Bilangan random semu

dari 0 sampai 1

Contoh

• Kita akan menampilkan grafik acos, asin, atan dari x (dengan batas -1 sampai 1)

• Jawab • x = -1:0.001:1;

• y1 = acos(x);

• y2 = asin(x);

• y3 = atan(x);

• y1 = 180*y1/pi;

• y2 = 180*y2/pi;

• y3 = 180*y3/pi;

• plot(y1,x,y2,x,y3,x),grid,legend(’asin(x)’, ’acos(x)’, ’atan(x)’)

• xlabel(’\theta dalam derajat’),ylabel(’x, nilai fungsi’)

Fungsi pada Matriks

• Diketahui suatu matriks

• Kita ingin menentukan nilai matriks baru dengan ele-mennya sinx/x, dimana x adalah nilai setiap elemen dari matriks A.

• Jawab • Kita gunakan pembagian “./”

• Tanda “ . “ menunjukkan bahwa kita hanya melakukan pembagian elemen saja

• Gunakan

• A = [pi/4 pi/2; pi/3 pi/6];

• sin(A)./A

• ans = 0.9003 0.6366

0.8270 0.9549

• Hasil di atas akan berbeda kalau kita melewatkan tanda “ . “

• sin(A)/A

Cont’d

• Diketahui suatu matrik

• Tampilkan nilai: • Absolut A

• Tanda setiap elemen A

• Cosinus A

• Sinus A

• Eksponensial A

• Sinus hiperbolik A

• Jawab

• abs(A)

• sign(A)

• cos(A)

• sin(A)

• exp(A)

• sinh(A)

Persamaan Linear

• Suatu set persamaan liner dapat diformulakan dengan

Y = aX1 + bX2 + cX3 + … + D

• Dimana Y dan Xi adalah varibel; a, b, c … adalah elemen dari variabel Xi dan D adalah konstanta.

• Persamaan di atas adalah persamaan linear untuk n-dimensi

• Misalkan

• Y = 2 X + 3 dengan Y = 4, maka

• Penyelesaian persamaan di atas X = (Y – 3)/2

Latihan

• Buatlah script Matlab untuk menyelesaikan • Y = 4X + 20, jika X = -2

• Y = 2X + 3Z + 2, jika X = 1 dan Z= 3

• Y = cosX + 2, jika Y = 3

FUNGSI MATEMATIKA

Menyelesaikan Persamaan Simultan

• Dua fungsi linear atau lebih dapat dituliskan dalam bentuk matriks. Umumnya diformulakan dengan

Ax = b

• A adalah matriks n x n

• x adalah matriks n x m

• b adalah matriks n x m

Contoh

• Terdapat dua set persamaan yaitu

dan

• Persamaan di atas dapat ditulis dengan

• Penyelesaian dengan klasik, memerlukan waktu yang relatif lama

Penyelesaian

• Menggunakan Matlab • A = [ 2 3; 1 -1];

• b = [7 -2; 1 8];

• x = A\b;

• Akan menghasilkan

• x = 2.0000 4.4000

1.0000 -3.6000

• Kesimpulan: penyelesaian untuk set persamaan pertama dan kedua adalah

dan

Fungsi Kuadrat

• Fungsi adalah suatu cara untuk mengekspresikan hubungan antar dua variabel atau lebih (variabel independent dan dependent)

• Fungsi kuadrat diformulasikan dalam bentuk umum sebagai berikut

𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

• Nilai y dengan mudah dihitung, jika variabel x, a, b, dan c sudah diketahui.

• Misalnya terdapat fungsi: 𝑦 = 𝑎2 + 2𝑏 + 𝑐

• Jika nilai a = 2, b = 3 , dan c = 4 akan diperoleh nilai y =14

Dalam Matlab

>> a=2;

>> b=3;

>> c=4;

>> y=a*a+2*b+c;

>> y

y =

14

Latihan

• Diketahui suatu fungsi 𝑦 = 2𝑥2 + 3𝑥 + 5

• Nilai akar-akarnya dapat ditentukan dengan rumus

𝑥1,2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

• Buatlah script Matlab untuk menghitung akar-akar x1 dan x2!

Grafik Fungsi

• Suatu fungsi dapat digambarkan menggunakan grafik

• Misalnya • 𝑦 = cos 𝑥 , dengan batas x dari 0 sampai 4π

• Using Matlab, we get:

• >> x = 0:pi/40:4*pi;

• >> plot(x, sin(x))

Cont’d

• Misalkan suatu fungsi • 𝑦 = 3𝑥2 + 2𝑥 + 10, dengan batas x dari -20 sampai 20

• Menggunakan Matlab kita peroleh

• >> x=-20:0.01:20;

• >> y=3.*x.*x+2.*x+10;

• >> plot(x,y)

Subplot

• Kita bisa menampilkan sejumlah grafik pada satu tampilan yang sama menggunakan perintah subplot, yaitu

subplot(m, n, p)

• Contoh: • >> [x, y] = meshgrid(-3:0.3:3);

• >> z = x .* exp(-x.ˆ2 - y.ˆ2);

• >> subplot(2,2,1)

• >> mesh(z),title(’subplot(2,2,1)’)

• >> subplot(2,2,2)

• >> mesh(z)

• >> view(-37.5,70),title(’subplot(2,2,2)’)

Fungsi Logaritma

• Menggunakan perintah semilogy(x, y)

• Contoh: • >> x = 0:.01:4;

• >> semilogy(x, exp(x)), grid

Koordinat Kutub

• Koordinat kutub memiliki perwakilan titik (θ, r), dimana • x = r cos (θ),

• y = r sin (θ),

• Koordinat kutub ditampilkan dengan perintah

polar(theta, r)

• Contoh: • x = 0:pi/40:2*pi;

• polar(x, sin(2*x)),grid

Fungsi 3D

• Gunakan perintah: plot3(x, y, z)

• Contoh • >> t = 0:pi/50:10*pi;

• >> plot3(exp(-0.02*t).*sin(t), exp(-0.02*t).*cos(t), t)

Garis permukaan fungsi 3D

• Garis permukaan (meshgrid) ditampilkan dengan perintah

meshgrid

• Contoh • >> [x y ] = meshgrid(-8 : 0.5 : 8);

• >> r = sqrt(x.^2 + y.^2) + 2;

• >> z = sin(r) ./ r;

• >> plot3(x,y,z)

HATUR NUHUN