BAB 1
PROGRAM LINIER
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
1. Judul modul dan lingkup bahasan.
Judul modul ini adalah menyelesaikan masalah program linier yang
terdiri dari empat kompetensi dasar yaitu:
a. Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
linier, kompetensi dasar ini akan diuraikan atas beberapa indikator
yaitu:
1. Membuat grafik himpunan penyelesaian persamaan linier satu
variabel 2. Membuat grafik himpunan penyelesaian persamaan linier
dua variabelb. Menentukan model matematika dari soal cerita
(kalimat verbal), kompetensi dasar ini akan diuraikan atas beberapa
indikator yaitu: 1. Menentukan model matematika untuk soal
maksimum
2. Menentukan model matematika untuk soal minimumc. Menentukan
nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier, kompetensi dasar
ini akan diuraikan atas beberapa indikator yaitu: 1. Menentukan
nilai maksimum dari sistem pertidaksamaan linier 2. Menentukan
nilai minimum dari sistem pertidaksamaan linier
d. Menerapkan garis selidik, kompetensi dasar ini akan diuraikan
atas beberapa indikator yaitu:
1. Menerapkan garis selidik untuk soal maksimum
2. Menerapkan garis selidik untuk soal minimum2. Kaitan dengan
modul lain.
Modul ini merupakan bagian dari standar kompetensi yaitu
memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks. Untuk dapat
memahami modul ini secara komprehensif harus dipelajari secara
seksama seluruh standar kompetensi dan indikator-indikatornya.
Modul ini saling menunjang dan saling menguatkan dengan modul-modul
lain sebelumnya.
3. Manfaat kompetensi di dunia kerja
Dengan memahami seluruh indikator-indikator dalam modul ini
dapat membantu siswa memahami aspek lain dalam dunia kerja dan
memecahkan masalah matematika yang berhubungan dengan kehidupan
sehari-hari.
Setelah mempelajari modul ini kompetensi yang diharapkan adalah
siswa dapat memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks.
Pendekatan yang digunakan dalam menyelesaikan modul ini adalah
pendekatan siswa aktif melalui metode: pemberian tugas, diskusi
pemecahan masalah serta persentasi. Guru merancang pemelajaran
dengan memberikan kesempatan seluas-luasnya pada siswa untuk
berperan aktif dalam membangun konsep secara mandiri ataupun
bersama-sama.
B. Prasyarat Untuk memudahkan memahami modul ini tidak ada
persyaratan khusus harus dimiliki siswa. Namun akan sangat membantu
apabila siswa telah memahami konsep-konsep dasar matematika,
terutama tentang operasi bilangan riil yang telah mereka pelajari
sebelumnya.
C. Petunjuk penggunaan modul. 1. Penjelasan bagi siswa.
a. Bacalah modul ini secara berurutan agar memahami konsep
secara runut. Sebab uraian modul mengikuti suatu sistematika yang
berurutan.
b. Setelah mengisi cek kemampuan, apakah anda termasuk kategori
orang yang perlu mempelajari modul ini? Apabila menjawabanya ya
maka pelajarilah modul ini
c. Ikuti dengan seksama setiap perintah yang ada dalam setiap
pokok bahasan atau sub pokok bahasan. Karena perintah dan
tugas-tugas dirancang untuk dikerjakan secara step by step (langkah
demi langkah), sehingga apabila diikuti pada akhirnya akan dapat
menguasai materi secara menyeluruh.
d. Kerjakan tugas-tugas dan latihan-latihan sesuai perintah.
Apabila mengalami kesulitan minta bantuan kepada
guru/pembimbing/instruktur. Tugas dan latihan telah dirangcang
untuk memperdalam dan menguatkan pengetahuan, oleh karena itu harus
dikerjakan dengan sungguh-sungguh dan penuh ketelitian.
e. Buatlah rencana belajar dengan menggunakan format seperti
dalam modul ini, kemudian konsultasikan pada guru dan institusi
pasangan penjamin mutu, hingga mendapat persetujuan.
f. Lakukan kegiatan belajar untuk mendapatkan kompetensi sesuai
rencana kegiatan belajar yang telah disusun dan disetujui oleh
guru/instruktur Anda.
g. Kunci jawaban tugas latihan hanya digunakan setelah tugas dan
latihan selesai dikerjakan. Jangan sekali-kali melihat kunci
jawaban sebelum latihan atau tugas selesai dikerjakan. Kunci
jawaban hanya digunakan untuk mengecek dan mengoreksi sejauh mana
kemampuan terhadap materi.
h. Sesuaikan jawaban atau latihan dengan kunci jawaban, kemudian
tentukan pencapaian nilainya. Koreksi hal-hal mana yang harus
dipelajari kembali dan mana yang dianggap sudah cukup. Ini semua
Anda sendirilah yang mengukur dan menentukannya. Apabila menemui
hambatan minta bantuan kepada guru/instruktur.
i. Hasil membaca dan mengerjakan tugas-tugas sebaiknya
disampaikan kepada guru untuk mendapatkan koreksi dan penilaian.
Guru akan membimbing dan memberikan petunjuk lebih lanjut.
Sebaiknya catatan-catatan penting dan tugas-tugas dikerjakan dalam
satu buku khusus.
2. Peran guru
a. Membantu siswa dalam merencanakan proses belajar
b. Membimbing siswa melalui tugas-tugas pelatihan yang
dijelaskan dalam
tahap belajar.
c. Membantu siswa dalam memahami konsep dan praktek baru dan
menjawab pertanyaan siswa mengenai proses belajar.
d. Membantu siswa dalam menentukan dan mengakses sumber tambahan
lain yang diperlukan dalam belajar.
e. Mengorganisasikan kegiatan belajar kelompok jika
diperlukan
f. Merencanakan seorang ahli / pendamping guru dari tempat kerja
untuk membantu jika diperlukan.
g. Melaksanakan penilaian
h. Menjelaskan kepada siswa mengenai bagian yang perlu untuk
dibenahi dan merundingkan rencana pemelajaran selanjutnya
i. Mencatat pencapaian kemajuan siswa
D. Tujuan Akhir
Spesifikasi kinerja yang diharapkan dengan membaca dan memahami
contoh-contoh serta mengerjakan tugas dalam modul ini siswa dapat:
1. Membuat grafik himpunan penyelesaian persamaan linier
2. Menentukan model matematika untuk soal cerita (kalimat
verbal) 3. Menentukan nilai optimum dari sistem pertidaksamaan
linier 4. Menerapkan garis selidik.
E. Standar kompetensi 5 : Menyelesaikan masalah program
linierKompetensi dasarKriteria kerjaLingkup Materi BelajarMateri
Pokok Pembelajaran
SikapPengetahuanKeterampilan
123456
5.1.Membuat gra
fik himpunan penyelesaian sistem perti-
daksamaan linier -Pertidaksama
an linier dibu-at grafik him-
punan penye-
lesaiannya -Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan
linier
Kritis dan logis da-
lam me-
mecahkan
masalah program linier
-Grafik himpu
nan penyele-
saian pertidak
samaan linier satu dan dua variabel
-Menyelesai-
kan masalah program linier dengan cepat
5.2.Menentukan model mate-
matika dari soal cerita (kalimat verbal)-Soal cerita ditentukan
model mate-
matikanya-Model mate-
matika dari soal cerita-Menentukan model mate-
matika untuk soal cerita
5.3.Menentukan nilai opti-
mum dari sistem perti-
daksamaan linier -Pertidaksa-maan linier ditentukan nilai
opti-
mumnya
-Nilai opti-
mum dari sistem per-
tidaksamaan linier-Nilai maksimum
-Nilai minimum
5.4.Menerapkan garis selidik-Garis selidik diterapkan dalam
menye
lesaian soal-soal program linier-Garis selidik-Garis selidik
untuk nilai maksimum
-Garis selidik untuk nilai minimum
F. Cek kemampuanNoPertanyaanYaTidak
1.
2.3.
4.
5.
6.
7.Dapatkah Anda membuat grafik himpunan penyelesaian
pertidaksamaan linier satu variabel ?
Dapatkah Anda membuat grafik himpunan penyelesaian
pertidaksamaan linier dua variabel ?Dapatkah Anda menentukan model
matematika untuk soal-soal cerita (kalimat verbal).
Dapatkah Anda menentukan nilai maksimum dari sistem
pertidaksamaan linier?Dapatkah Anda menentukan nilai minimum dari
sistem pertidaksamaan linier?
Dapatkah Anda menerapkan garis selidik untuk menentukan nilai
maksimum?Dapatkah Anda menerapkan garis selidik untuk menentukan
nilai minimum.
BAB 2
PEMBELAJARAN
A. Rencana belajar Siswa
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan bahwa modul
ini hanya sebagian dari sumber belajar yang dapat anda pelajari
untuk menguasai standar kompetensi menyelesaikan masalah program
linier, untuk mengembangkan kompetensi dalam substansi non
instruksional kita perlu latihan. Aktifitas-aktifitas yang
dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi
matematika juga mengembangkan kompetensi substansi non
instruksional. Dalam penggunaan modul ini kita harus mengerjakan
tugas-tugas yang telah dirancang.
1. Buatlah rencana belajar berdasarkan rancangan pembelajaran
yang telah disusun oleh guru, untuk menguasai standar kompetensi
menyelesaikan masalah program linier gunakan format berikut!
NoKegiatanPencapaianAlasan perubahan bila diperlukanParaf
TanggalJamTempatSiswaGuru
Mengetahui Palembang,
Guru pembimbing Siswa
( ) ( )
2. Rumuskan hasil belajar sesuai standar bukti belajar yang
telah ditetapkan
a. Untuk penguasaan pengetahuan buat suatu ringkasan menurut
pengertian Anda terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan
kompetensi yang telah dipelajari. Selain ringkasan Anda juga dapat
melengkapi dengan kliping tentang informasi-informasi yang relevan
dengan kompetensi yang sedang dipelajari. b. Tahapan pelajaran
dapat dituliskan / digambarkan dalam diagram alur yang dilengkapi
dengan penjelasan. c. Produk hasil praktek kegiatan ini dapat
dikumpulkan berupa contoh-contoh dalam bentuk visualisasi. d.
Tahapan proses akan diakhiri, lakukan diskusi dengan guru
pembimbing untuk mendapatkan persetujuan dan apabila ada hal-hal
yang harus dibetulkan atau dilengkapi maka ikuti saran guru
pembimbing.
B. Kegiatan Belajar
1. Kegiatan belajar 1.
a. Tujuan kegiatan belajar
Setelah mempelajari kompetensi dasar membuat grafik himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan linier ini diharapkan siswa
dapat: 1. Membuat grafik himpunan penyelesaian persamaan linier
satu variabel
2. Membuat grafik himpunan penyelesaian persamaan linier dua
variabel
b. Uraian materi1. Grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan
linier satu variabel. Sebelum membuat grafik himpunan penyelesaian
pertidaksamaan linier kita ingat kembali tentang diagram cartesius
(sistem salib sumbu) Contoh 1: Gambarkanlah daerah penyelesaian
dari pertidaksamaan-pertidaksamaan
a. x 0 b. y 0 c. x < 5 Y Y Y
a) x 0 b) y 0 c) x < 5
DP DP DP
0 X 0 X 0 5 X
Penyelesaian dari x 0 berada disebelah kanan sumbu y.
Penyelesaian dari y 0 berada disebelah atas sumbu x.2. Grafik
himpunan penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel. Terlebih
dahulu dicari titik potong pertidaksamaan terhadap sumbu x dan
sumbu y. Contoh 1: Buatlah grafik himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan! a. 2x + 3y 12 y x 0 6
4 y 4 0
DP
0 6 x
Catatan: Daerah penyelesaian adalah daerah yang bersih.
Untuk tanda pertidaksamaan dan grafik berupa garis lurus,
Untuk tanda pertidaksamaan > dan < grafik berupa garis
putus-putus.
Contoh 2: Gambarkanlah daerah penyelesaian dari
pertidaksamaan:
a. x 0 b. y 0 c. 2x + y < 42 d. x + 2y 48 Jawab: Titik potong
dengan sumbu x misalkan y = 0
Titik potong dengan sumbu y misalkan x = 0 y
(0,42) c. 2x + y < 42 d. x + 2y 48
. x 0 21 x 0 48
y 42 0 y 24 0
C (0,24) DP
0 21 A 48 x c. Rangkuman
1. Salah satu cabang matematika yang digunakan di bidang ekonomi
adalah program linier. Dengan program linier dapat dilihat langkah
apa yang harus dipilih agar mendapatkan laba yang sebesar-besarnya
dengan menekan biaya yang sekecil-kecilnya. Program linier
merupakan cara untuk menyelesaikan persoalan tertentu berdasarkan
kaidah matematika. 2. Menetukan daerah penyelesaian bisa dengan
menggambarkan grafik dari pertidaksamaan-pertidaksamaan. Daerah
himpunan penyelesaian disebut feasible, titik-titiknya disebut
kritis atau titik verteks. Sistem pertidaksamaan-pertidaksamaan
disebut fungsi kendala.
d. Tes formatif
1. Buatlah grafik himpunan penyelesaian dari:
a. -2 < y 4
b. x 0, y 0, x < 5
2. Buatlah grafik himpunan penyelesaian dari:
a. 4x + 6y > 24
b. i. x 0 ii. y 0 iii. 2x + y < 42 iv. x + 2y 48
e. Kunci jawaban1. a). -2 < y 4
Y 4 y 4
DP
0 y > -2 x -2
b. x 0, y 0, x 3 Y
0,42) DP
2. Grafik himpunan penyelesaian dari: b. i. x 0 ii. y 0 iii. 2x
+ y < 12 iv. x + 2y 12 y
(0,12) c. 2x + y < 12 d. x + 2y 12
. x 0 6 x 0 12 y 12 0 y 6 0
C (0,6) DP
0 6 A 12 x
1. f. Lembar kerja2. Gambarkanlah daerah penyelesaian dari
pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!.
a. 0 < y 5 b. y 6 c. 3 x 63. Gambarkanlah daerah penyelesaian
dari pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut!.a. x + y 4 b. 2x + y
< 6 c. x 0, y 0 , 3x + 2y 12 , 5x + 6y < 30 2. Kegiatan
belajar 2.
a. Tujuan kegiatan belajar
Setelah mempelajari kompetensi dasar menentukan model matematika
dari soal cerita ini diharapkan siswa dapat:
1. Menentukan model matematika untuk soal maksimum
2. Menentukan model matematika untuk soal minimumb. Uraian
materi1. Model matematika untuk soal maksimum.Contoh: Sebuah
perusahaan roti ingin membuat dua jenis roti A dan roti B. Roti A
membutuhkan 200 gram tepung dan 25 gram mentega, roti B membutuhkan
100 gram tepung dan 50 gram mentega. Berapakah banyak roti jenis A
dan B dapat dibuat jika tersedia tepung 3 kg dan mentega 1,2 kg.
Tentukanlah model matematika dari soal di atas! Jawab: misalkan
roti jenis A = x buah roti jenis B = y buah
3 kg = 3000 gram 1,2 kg= 1200 gram Jenis rotiTepungMentega
A 200 25
B 100 50
Persediaan 3000 1200
Pemakaian tepung untuk kedua jenis roti didapatkan
pertidaksamaan 200 x + 100y 3000, atau 2x + y 30.
Pemakaian mentega untuk kedua jenis roti didapatkan
pertidaksamaan 25x + 50y 1200 atau x + 2y 48.
Karena x dan y banyaknya roti maka x 0 dan y 0. Banyak roti
jenis A dan B harus dibuat berarti x + y.Model matematika dari soal
verbal di atas adalah:
i) x 0 ii) y 0 iii) 2x + y 30 iv) x + 2y 48 2. Model matematika
untuk soal minimum
Contoh: Sebuah pabrik akan mengirim hasil produksinya dengan
menggunakan 60 kotak berukuran besar L dan 32 kotak berukuran
sedang M. Pabrik itu akan menyewa truk besar dan kecil untuk
mengangkut barang tersebut. Sebuah truk besar memuat 10 kotak L dan
4 kotak M. Sebuah truk kecil memuat 5 kotak L dan 6 kotak M. Berapa
truk besar dan truk kecil disewa agar biaya minimum. Tentukanlah
model matematikanya Jawab: misalkan truk besar = x buah truk kecil
= y buah TrukKotak LKotak M
Besar104
Kecil 5 6
Persediaan 60 32
Kotak L : 10 x + 5 y 60 , atau 2x + y 12.
Kotak M : 4 x + 6y 32 , atau 2x + 3y 16.
Model matematika dari soal verbal di atas adalah:
i) x 0 ii) y 0 iii) 2x + y 12 , iv) 2x + 3y 16 Untuk nilai
minimum dipakai tandanya C. Rangkuman 1. Untuk menyelesaikan
persoalan-persoalan matematika pertama-tama kita terjemahkan
soal-soal ke dalam bahasa matematika yang disebut dengan model
matematika. Model matematika dapat dinyatakan dalam bentuk
persamaan, pertidaksamaan atau pun bentuk fungsi.2. Model
matematika adalah rumusan matematika yang dapat dinyatakan dalam
bentuk persamaan, pertidaksamaan dan grafik. Model matematika
merupakan penterjemahan masalah program linier kedalam bahasa
matematika atau merubah kalimat verbal menjadi model
matematika.
d. Tes formatif Tentukanlah model matematika dari soal-soal
cerita berikut!1. Seseorang akan membuat dua macam saos,
masing-masing terdiri atas bahan A dan bahan B. Saos jenis pertama
tiap botol membutuhkan 300 gram bahan A dan 100 gram bahan B.
Sedangkan saos jenis kedua tiap botol membutuhkan 150 gram bahan A
dan 200 gram bahan B. Tersedia 45 kg bahan A dan 30 kg bahan B,
persediaan bahan lain cukup. 2. Rombongan penari SMKN 6 Palembang
berjumlah 24 orang akan mengadakan pertunjukkan di Bangka dan
menginap dihotel SMKN 3 Pangkal Pinang. Kamar yang akan disewa tipe
standar dan tipe deluxe. Kamar tipe standar akan ditempati 3 orang
dan kamar tipe deluxe 2 orang. Sedangkan pihak hotel menginginkan
rombongan harus menyewa paling sedikit 10 kamar. Apabila sewa kamar
standar Rp 100.000,00 dan kamar deluxe Rp 200.000,00. Berapakah
kamar standar dan deluxe harus disewa agar biaya minimal. e. Kunci
jawaban1. i) x 0 ii) y 0 iii) 3x + y 450 iv) 3x + 4y 6002. i). x
0
ii) y 0
iii). 3x + 2y 24
iv). x + y 10. f. Lembar kerja siswa
Tentukanlah model matematika dari soal-soal cerita berikut!
1. Seorang ibu yang pencaharianya membuat kue kecil-kecilan akan
membuat dua tipe roti dengan persediaan tepung 38 ons, telur 19
ons, gula 30 ons dan mentega 24 ons. Setiap 1 kg roti tipe A
memerlukan 2 ons tepung, 3 ons telur, 2 ons gula dan 3 ons mentega.
Setiap 1 kg roti jenis B memerlukan 5 ons tepung, 1 ons telur, 2
ons gula dan 2 ons mentega. Berapa kg roti tipe A dan tipe B
maksimal dapat dibuat. 2. Sebuah rumah sakit memerlukan 150 unit
kalori dan 130 unit protein untuk setiap pasien per hari. Setiap
kilogram daging sapi mengandung 500 unit kalori dan 200 unit
protein, sedangkan setiap kilogram ikan segar mengandung 300 unit
kalori dan 400 unit protein. Harga 1 kg daging sapi Rp 40.000,00
dan i kg ikan segar Rp 20.000,00. Tentukan biaya minimal.
3. Kegiatan belajar 3. a. Tujuan kegiatan belajar
Setelah mempelajari kompetensi dasar menentukan nilai optimum
dari sistem pertidaksamaan linier ini diharapkan siswa dapat: 1.
Menentukan nilai maksimum dari sistem pertidaksamaan linier
2. Menentukan nilai minimum dari sistem pertidaksamaan linier b.
Uraian materi Nilai optimum dari sistem pertidaksamaan linier.1.
Nilai maksimum fungsi objektif ax + byContoh 1: Tentukanlah nilai
maksimum dari 2x + 3y dengan syarat:
x 0 , y 0 , 2x + y 6 , x + y 4 Jawab: Terlebih dahulu
digambarkan daerah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan
x 0 , y 0 , 2x + y 6 , x + y 4
2x + y 6 , x + y 4
x03x04
y60y40
y
(0,6) Titik potong B
2x + y = 6
. x + y = 4
C (0,4) x = 2 2x + y = 6
B(2,2) 4 + y = 6 DP y = 2
0 A3 4 x Titik B (2,2)
Nilai-nilai dari 2x + 3y = L titikOABC
X0320
Y0024
L061012
L maksimum 12 untuk x = 0 dan y = 4 2. Nilai minimum fungsi
objektif ax + by Contoh: Rombongan penari SMKN 6 Palembang
berjumlah 24 orang akan mengadakan pertunjukkan di Bangka dan
menginap dihotel SMKN 3 Pangkal Pinang. Kamar yang akan disewa tipe
standar dan tipe deluxe. Kamar tipe standar akan ditempati 3 orang
dan kamar tipe deluxe 2 orang. Sedangkan pihak hotel menginginkan
rombongan harus menyewa paling sedikit 10 kamar. Apabila sewa kamar
standar Rp 100.000,00 dan kamar deluxe Rp 200.000,00. Berapakah
kamar standar dan deluxe harus disewa agar biaya minimal. Hitunglah
besarnya biaya yang dikeluarkan. Jawab: Misalkan kamar standar =
x
kamar deluxe = y
Jenis kamar Daya tampung Disewakan
Standar 3 X
Deluxe 2 Y
Jumlah 24 10
x 0, y 0, 3x + 2y 24, x + y 10.
y
C(0,12) 3 x + 2y = 24, x + y = 10 x 0 8 x 0 10 0,10 DP y 12 0 y
10 0
B(4,6)
0 8 10 A x Titik B: 3x + 2y = 24 1 3x + 2y = 24 3x + 2y = 24
x + y = 10 2 2x + 2y = 20 3.4 + 2y = 24
x = 4 2y = 24 - 12
y = 6
Sewa kamar standar Rp 100.000,00 , kamar deluxe Rp200.000,00
Maka L = 100.000x + 200.000y
TitikABC
X1040
Y06 12
L1000.0001200.0002400.000
Jadi biaya minimal dikeluarkan Rp 1000.000,00 untuk menyewa 10
kamar standar.c. Rangkuman 1. Untuk menentukan nilai optimum ax +
by dari suatu program linier, amaan yang merupakan kendala.
Kemudian mencari titik-titik yang merupakan anggota himpunan
penyelesaian yang dapat menghasilkan ax + by maksimum atau
minimum.
2. Penyelesaian optimum ditentukan dengan menghitung nilai
objektif ax + by pada tiap-tiap titik kritis yang merupakan daerah
penyelesaian, atau dengan menggunakan garis selidik.d. Tes formatif
1. Jika diketahui P = x + y dan Q = 5x + y, tentukan nilai maksimum
dari P dan Q dengan sistem pertidaksamaan. x 0 , y 0 , x + 2y 12 ,
2x + y 12.2. Suatu rombongan olah raga berjumlah 60 orang akan
menginap di hotel SMK Negeri 6 Palembang. Kamar yang dipesan tipe A
dan tipe B dengan daya tampung kamar tipe A 5 orang dan kamar tipe
B 3 orang. Sedangkan pihak hotel menginginkan rombongan harus
menyewa paling sedikit 15 kamar. Apabila sewa kamar tipe A Rp
50.000,00 dan kamar tipe B Rp 40.000,00. Berapakah kamar tipe a dan
tipe B harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum.e. Kunci
jawaban 1. P maksimum 8 untuk x = 4 dan y = 4
Q maksimum 30 untuk x = 6 dan y = 0
2. Biaya minimum yang dikeluarkan adalah Rp 720.000,00.f. Lembar
kerja siswa. 1. Siswa keahlian jasa boga akan membuat dua jenis
cake keju dan cake coklat. Satu loyang cake keju membutuhkan 200
gram tepung dan 25 gram mentega, sedangkan satu loyang cake coklat
membutuhkan 100 gram tepung dan 50 gram mentega. Tersedia tepung 3
kg dan mentega 1.2 kg. Untung satu loyang cake keju Rp 15.000,00
dan satu loyang cake coklat Rp 12.000,00. Berapa loyangkah cake
keju dan cake coklat dapat dibuat agar keuntungan maksimum.
Hitunglah besarnya keuntungan tersebut!
2. Seorang pasien dianjurkan tiap hari menelan paling sedikit 10
unit vitamin B1 dan 15 unit vitamin B2. Kedua vitamin itu dapat
diperoleh dari tablet atau kapsul. Sebuah tablet mengandung 2 unit
vitamin B1 dan 1 unit vitamin B2, sedangkan sebuah kapsul
mengandung 1 unit vitamin B1 dan 3 unit vitamin B2. Jika harga
sebuah tablet Rp 500,00 dan harga sebuah kapsul Rp 800,00, berapa
biaya terkecil yang harus dikeluarkan?. 4. Kegiatan belajar 4. a.
Tujuan kegiatan belajar
Setelah mempelajari kompetensi dasar menerapkan garis selidik
ini
diharapkan siswa dapat:
1. Menggambarkan garis selidik untuk soal maksimum.
2. Menggambarkan garis selidik untuk soal minimum. b. Uraian
materi
1. Menggambarkan garis selidik untuk soal maksimum. Contoh:
Gambarkanlah garis selidik dengan fungsi objektif L = 2x + y yang
memenuhi pertidaksamaan:
x 0, y 0, x + 2y 12, 2x + y 12. Jawab: Gambarkan terlebih dahulu
daerah penyelesaian dari pertidaksamaan pertidaksamaan di atas,
kemudian misalkan L = 4 maka 4 = 2x + y. Gambarkan garis selidik g
(2,4) x02
y40
x + 2y 12, 2x + y 12.
x 0 12 x 0 6
y 6 0 y 12 0
g1 y g = garis selidik g (0,12) g1 = g yang dige- . ser
kekanan
C(0,6)
(0,4) B(4,4) DP
0 1 2 6A 12 x Garis selidik terakhir menyentuh titik B, maka
nilai maksimum B(4,4) 2. Menggambarkan garis selidik untuk nilai
minimum Contoh: Gambarkanlah garis selidik untuk nilai minimum dari
L = x + 2y dengan syarat: x 0, y 0 , 2 x + y 10 , x + 2y 10. Gambar
garis L = x + 2y dengan memisalkan L = 2 maka
2 = x + 2y
x02
y10
Gambar garis selidik ( 2 , 1 ) y
C(0,6)
2 x + y = 6, x +2 y = 6 x 0 3 x 0 6 (0,3) y 6 0 y 3 0
B(2,2) 1
0 2 3 6A x Koordinat titik B:
2x + y = 6 x2 4x + 2y = 12 2.2 + y = 6 x + 2y = 6 x1 x + 2 y = 6
- 4 + y = 6 3 x = 6 y = 6 - 4
x = 2 y = 2
Jadi koordinat titik B(2,2)Garis selidik pertama menyentuh B
maka nilai minimum di B(2,2)c. Rangkuman 1. Untuk menilai k yang
berbeda-beda ( k R), garis-garis ax + by = k merupakan himpunan
garis-garis yang sejajar. Makin besar nilai k garis tersebut makin
jauh dari titik pangkal. Bentuk ax + by mempunyai nilai maksimum =
k dan memenuhi suatu sistem pertidaksamaan. jika garis ax + by = k
melalui titik terjauh dari titik pangkal.Bentuk ax + by mempunyai
nilai minimum = k dan memenuhi suatu sistem pertidaksamaan, jika
garis ax + by = k melalui titik daerah penyelesaian yang terdekat
dengan titik pangkal. 2. Garis selidik adalah garis-garis sejajar
yang dibuat sesuai dengan garis objektif ax + by yang berguna untuk
menentukan nilai optimum.d. Tes formatif.
1. Seorang penjahit akan membuat setelan jas dan rok untuk
dijual. Bahan yang tersedia 30 meter kain wol dan 20 meter kain
katun. Satu stel jas memerlukan 3 meter kain wol dan 1 meter kain
katun sedangkan satu stel rok memerlukan 1 meter kain wol dan 2
meter kain katun. Keuntungan satu stel jas Rp 8.000,00 dan satu
stel rok Rp 5.000,00. Berapa stelkah jas dan rok dapat dibuat agar
keuntungan maksimum. Hitunglah besarnya keuntungan tersebut!(dengan
garis selidik) 2. Gunakanlah garis selidik untuk menentukan nilai
minimum dari
2x +3y yang memenuhi pertidaksamaan x 0, y 0, 2x + y 6
x + y 4 e. Kunci jawaban 1. Garis selidik terakhir menyentuh
titik B (8,6),untung maksimumRp 94.000 X03
Y20
2. Y
6
2x + y 6 x + y 4
4 C(0,4) garis selidik x 0 3 x 0 4
2 DP B(2,2) y 6 0 y 4 0
0 3 4 g3 X g2
g1Garis g1 adalah garis selidik, kemudian g1 digeser menuju
kekanan atas menjadi g2 kemudian g3. Ternyata g3 terakhir menyentuh
titik C, maka nilai maksimum di titik Cf. Lembar kerja siswa1.
Tentukanlah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan
x 0 , y 0 , x + y 4 , 5x + 3y 15. Tentukan nilai maksimum K = 2x +
4y2. Suatu perusahaan memproduksi dua jenis buku dengan bahan yang
sama tetapi ukuran berbeda. Buku jenis I memerlukan waktu 5 menit
untuk pemotongan dan 10 menit untuk penjilidan. Buku jenis II
memerlikan waktu 8 menit untuk pemotongan dan 8 menit untuk
penjilidan setiap buku. Waktu yang tersedia untuk pemotongan 3 jam
20 menit dan waktu untuk penjilidan 4 jam per hari. Sebuah buku
jenis I memberikan keuntungan Rp 600,00 dan sebuah buku jenis II Rp
500,00. Tentukanlah!
a. Model matematikanya b. Untung maksimum!
3. Gambarkanlah garis selidik dari soal-soal berikut!
a. x 0 , y 0 , 2x + y 20 , x + 2y < 20 untuk K = 3x + 2y b. x
0 , y 0 , x + 2y > 8 , 3x + 2y 12 , untuk K = 30x + 15y
BAB 3
EVALUASI
A. Instrumen penilaian
Petunjuk : Jawablah semua pertanyaan di bawah ini secara cermat
dan teliti. Setelah selesai menjawab cocokkanlah dengan kunci
jawaban yang terdapat pada halaman berikutnya. Kemudian lakukan
penskoran dan penilaian, berapa persen pencapaian kemampuan Anda,
apakah dapat meneruskan untuk mempelajari modul selanjutnya, atau
anda harus mengulang mempelajari modul ini kembali.
B. Soal evaluasi
1. Tentukanlah daerah penyelesaian dari:
a. -2< y 4 b. 4x + 6y 24
2. Tentukanlah model matematika dari soal berikut!
Luas daerah parkir 500 m2. Luas rata-rata untuk sebuah kendaraan
jenis I adalah 5 m2 dan kendaraan jenis II adalah 25 m2. Daerah
parkir itu hanya dapat memuat tidak lebih dari 60 kendaraan. Biaya
parkir kendaraan jenis I Rp 500,00 dan kendaraan jenis II Rp
1000,00 untuk setiap kendaraan. Berapa banyak masing-masing
kendaraan yang parkir agar diperoleh pendapatan maksimum3. Seorang
pemahat akan membuat dua jenis patung mainan untuk dijual. Bahan
yang tersedia 30 kantong bahan A dan 20 kantong bahan B. Sebuah
patung jenis I memerlukan 3 kantong bahan A dan 1 kantong bahan B
sedangkan patung jenis II memerlukan 1 kantong bahan A dan 2
kantong bahan B. Keuntungan sebuah patung jenis I Rp 8.000,00 dan
sebuah patung jenis II Rp 5.000,00. Berapa buah patung jenis I dan
II dapat dibuat agar keuntungan maksimum. Hitunglah besarnya
keuntungan tersebut! 4 Gambarkan garis selidik untuk menentukan
nilai maksimum L = x +2y yang memenuhi pertidaksamaan x 0, y 0, 2x
+ y 6, x + y 4 BAB 4PENUTUP
Setelah mempelajari keseluruhan uraian meteri yang terdapat
dalam modul ini termasuk mempelajari rangkuman dan mengerjakan
soal-soal latihan, maka sebaiknya anda dapat menilai kemampuan diri
sendiri dengan rambu-rambu sebagai berikut:1. Apabila Anda merasa
yakin bahwa telah memahami sebagian besar isi uraian modul ini
tanpa mengalami kesulitan-kesulitan, maka Anda dapat meneruskan
mempelajari modul berikutnya. Tetapi apabila Anda banyak menemukan
kesulitan dan hanya sebagian kecil saja menguasai modul ini maka
sebaiknya Anda mengulang kembali untuk mempelajarinya. Jangan segan
bertanya kepada guru/instruktur Anda dan minta bantuan untuk
mendapatkan buku sumber lain untuk menunjang materi modul
2. Anda dapat mengukur pemahaman sendiri dan hasil-hasil
penilaian dalam mengerjakan soal dan latihan, perhatikan kriteria
berikut:
a. Menguasai di atas 75% dapat langsung mempelajari modul
berikutnya
b. Menguasai 50% - 75% mengulang kembali mempelajari
bagian-bagian yang belumdipahami.
c. Menguasai kurang dari 50% mengulang kembali dengan
mempelajari seluruh isi uraian modul ini. SISTIM PENILAIAN
Program keahlian : TeknologiMata pelajaran : Matematika
Standar kompetensi 5 : Menyelesaikan masalah program linier
Alokasi waktu : 36 jam
Kompetensi dasarMetode penilaianPenilaianTotal nilaiKet
InstrumenNilai
5.1.Membuat grafik himpunan penye-
lesaian sistem pertidaksamaan linier5.2.Menentukan mo-
del matematika dari soal cerita (kalimat verbal)5.3.Menentukan
nilai optimum dari sistem pertidak-
samaan linier5.4.Menerapkan garis selidik
-Pemberian tugas
-Uraian objektif
-Pemberian tugas
-Uraian objektif
-Pemberian tugas
-Uraian objektif
-Pemberian tugas
-Uraian objektif
- Tugas
- Tugas
- Tugas
- Tugas
DAFTAR PUSTAKA Budiyono Drs. Matematika Program Ilmu-ilmu
Sosial, Widya duta Surakarta 1987.Endang Kelanawati, Dra.
Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal Pendidikan
Dasar dan Menengah Pusat Pengembangan Penataran Guru (PPPG)
Matematika, Yogyakarta, 1998/1999.Harahap. B. Drs, dkk. Ringkasan
Matematika SMA, Yudistira Jakarta 1986.
Helmy M. Drs, Matematika untuk Sekolah Menengah Kejuruan
Kelompok Bisnis dan Menejemen Berdasarkan Kurikulum SMK 1994,
Angkasa Bandung 1997.Martono koko, Drs. Dasar-dasar Matematika
Sekolah Menengah Tingkat Atas, Angkasa Bandung 1986.Niswarni, S.Pd,
dkk. Matematika Sekolah Menengah Kejuruan Kelompok Pariwisata, Edra
Printing Palembang 2001.Tim Matematika, Matematika Program
Ilmu-ilmu Fisik untuk Sekolah Menengah Atas, PT Intan Pariwara
Klaten 1990.
0 3
PAGE 29PROGRAM LINIERBang_iProductions