MODUL PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI · secara numerik dengan metode Euler 2. Diferensiasi Numerik Metode Euler Diberikan PDB orde satu, ( ) ( ) Misalkan ( ) adalah hampiran nilai di

i

MODUL PRAKTIKUM

FISIKA KOMPUTASI

Disusun Oleh:

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG

2017

ii

PRAKATA

Puji syukur penulis ucapkan kepada Tuhan yang Maha Esa yang telah memberikan

kesehatan dan berkat-Nya kepada penulis sehingga penulis bisa mengerjakan Modul

Praktikum Fisika Komputasi ini. Penulis berharap semoga modul ini dapat membantu

mahasiswa Jurusan Fisika FMIPA Universitas PGRI Palembang dalam menguasai materi

kuliah Fisika Komputasi. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang

telah banyak membantu dalam penyusunan modul ini.

Penulis menyadari dalam penulisan modul praktikum ini masih banyak terdapat

kekurangan. Kritik dan saran dari penulisan modul ini sangat penulis harapkan untuk

perbaikan dan penyempurnaan pada modul praktikum berikutnya.

Penulis

iii

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman Sampul................................................................................................... i

Prakata .................................................................................................................. ii

Daftar Isi ............................................................................................................... iii

Modul 1. Pengenalan Program Matlab ................................................................. 1

Modul 2. Akar-Akar Polinomial ........................................................................... 5

Modul 3. Komputasi Matriks................................................................................ 8

Modul 4. Sistem Persamaan Linier....................................................................... 10

Modul 5. Penyelesaian Turunan dengan Matlab .................................................. 12

Modul 6. Diferensiasi Numerik dengan Metode Euler......................................... 16

Modul 7. Diferensiasi Numerik dengan Metode Runge Kutta ............................. 18

Modul 8. Integrasi Numerik ................................................................................. 20

Daftar Pustaka....................................................................................................... 22

Dosen Pengasu Fisika Komputasi 1

MODUL I

PENGENALAN PROGRAM MATLAB

Matlab merupakan bahasa pemrograman komputer berbasis windows dengan orientasi

dasarnya adalah matriks, namun pada program ini tidak menutup kemungkinan untuk

pengerjaan permasalahan non-matriks. Selain itu, matlab juga merupakan bahasa

pemrograman yang berbasis pada objek (OOP), namun di sisi lain, karena matlab bukanlah

type compiler, maka program yang dihasilkan pada matlab tidak dapat berdiri sendiri. Agar

hasil program dapat berdiri sendiri maka harus dilakukan transfer pada bahasa pemrograman

yang lain, missal C++. Pada matlab terdapat tiga windows yang digunakan dalam operasinya

yaitu Command Windows (layar perintah) dan figure windows (layar gambar), serta notepad

(sebagai tempat editor program).

1. Command Windows

Command windows (layar perintah) digunakan untuk menjalankan perintah/program yang

dibuat pada layar editor matlab. Pada windows/layar ini, anda dapat mengakses perintah

maupun komponen pendukung (help file dan sebagainya) yang ada pada matlab secara

langsung. Salah satu ciri dari Command windows ditandai dengan tanda prompt (>>). Layar

Menu Command windows terlihat dalam gambar di bawah ini.

Gambar 1.1 Menu Command Windows


2. File

Menu file merupakan item untuk menangai set-up statement yang berhubungan dengan file.

3. New

Menu New merupakan sub menu:

4. M-File

Membuka editor dengan layar kosong sehingga anda siap untuk membuat M-File baru

5. Figure

Figure membuat suatu figur window (layar gambar baru)

6. Model

Membuat layar model simulink (jika program matlab menyediakan fasilitas simulink)

7. Open M-File

Menampilkan dialog box untuk membuka sebuah M-File yang dipilih sesuai dengna pilihan

pada dialog box ke dalam editor.


Gambar 1.2 Open M-File

Save Workspace As

Menampilkan dialog box penyimpanan data dalam format ASCII

Gambar 1.3 Save Workspace


Pada menu ini anda diperintahkan untuk memilih letak drive, directory dan masukkan nama

file dengan extensi mat (*.mat) untuk menyimpan workspace (lembar kerja pada matlab)

Set Path

Pada bagian inti digunakan untuk melakukan setting path/lintasan yang akan dikenali oleh

program pada saat eksekusi file yang telah dibuat

Print

Mencetak semua text yang berada pada command window. Jika yang dicetak tidak ingin

semuanya maka cetak bagian (variabel) yang ingin dicetak

Exit Matlab

Perintah untuk keluar dari pelayanan matlab.


MODUL II

AKAR-AKAR POLINOMIAL

1. Tujuan Praktikum

Praktikan memahami dan mengetahui bahwa banyak hal di dalam perhitungan

fisika melibatkan pencarian akar

Praktikan dapat membuat script sederhana berkaitan dengan perhitungan akan

persamaan melaui metoda yang sesuai

2. Metoda Bisection dan Metode Posisi Palsu

Metoda Bisection adalah salah satu metoda numerik untuk mencari nilai yang

nilai ( ) mendekati nol berdasarkan nilai ( ) dan ( ). Ilustrasi pendekatan ini

seperti Gambar 2.1 berikut ini.

Gambar 2.1 Metode Bisection

Metode lain yang serupa adalah metode selisih setengah adalah metode posisi palsu.

Metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih

tinggi dari dua titik batas interval yang mengurung akar. Metode ini merupakan salah

satu alternatif untuk mempercepat konvergensi. Ilustrasi pendekatan diberikan pada

Gambar 2.2.


Gambar 2.2 Metode Posisi Palsu

3. Langkah-langkah Metode Bisection dan Metode Posisi Palsu

Algortima Metode Bisection diberikan sebagai berikut:

Masukkan:

Fungsi kontinu: ( )

Interval yang mengurung akar: [ ]

Maksimum interasi:

Toleransi keakuratan: , misalnya

Perhitungan Inti: Ketika dan ,

Hitung:

Tentukan subinterval mana yang akan mengurung akar:

a) Jika ( ) ( ) , maka ,

b) Jika ( ) ( ) , maka ,

c) Jika ( ) ( ) , maka diperoleh akar sama dengan

Berhenti.

Hitung: |

|

Hasil akhir: akar sedemikian sehingga ( )


Sedangkan algortima Metode Posisi Palsu diberikan sebagai berikut:

Masukkan:

Fungsi kontinu: ( )

Interval yang mengurung akar: [ ]

Maksimum interasi:

Toleransi keakuratan: , misalnya

Perhitungan Inti: Ketika dan ,

Hitung:

( ) ( ) ( )

Tentukan subinterval mana yang akan mengurung akar:

a) Jika ( ) ( ) , maka ,

b) Jika ( ) ( ) , maka ,

c) Jika ( ) ( ) , maka diperoleh akar sama dengan

Berhenti.

Hitung: |

|

Hasil akhir: akar sedemikian sehingga ( )

4. Tugas

1. Diberikan suatu persamaan polynomial

( )

a) Buatlah grafik hubungan ( ) dengan untuk persamaan yang diberikan di atas.

b) Buatlah kode program untuk mencari akar-akar persamaan yang diberikan di atas

c) Tentukan nilai keempat akar-akar persamaan yang diberikan di atas.

2. Dengan Metode Bisection, tentukan akar-akar dari persamaan: !

Buatlah grafik dari persamaan tersebut.


MODUL III

KOMPUTASI MATRIKS

1. Tujuan Praktikum

Praktikan memahami dan mengetahui bahwa banyak hal di dalam perhitungan fisika

melibatkan komputasi matriks

Praktikan dapat membuat script sederhana untuk perhitungan matriks dengan matlab

2. Komputasi Matriks

Penjumlahan dua buah matriks dapat dilakukan dengan program matlab, berikut

diberikan script sederhananya


Sedangkan contoh script untuk perkalian dua buah matriks diberikan sebagai berikut:

3. Tugas

Buatlah suatu script fungsi „function eksternal‟ untuk perkalian dua buah matriks dan simpan

dengan nama function kali. Dari fungsi function yang sudah dibuat tentukan hasil dari

perkaian dari matriks A dan B di bawah ini:

1. [

] dan [

]

2. [

] dan [

]


MODUL IV

SISTEM PERSAMAAN LINIER

1. Tujuan Praktikum


melibatkan system persamaan linier

Praktikan dapat membuat script sederhana berkaitan dengan penyelesaian sistem

persaman linier melalui metoda yang sesuai

2. Penyelesaian Sistem Persaman Linier dengan Metode Eliminasi Gauss

Secara umum, sistem persamaan linier dinyatakan sebagai berikut:

dimana dan merupakan konstanta , adalah variabel, =1,2,

Berikut ini adalah sistem persamaan linier yang terdiri dari empat buah persamaan yaitu

, dan .

Permasalahan dari sistem persamaan linier adalah bagaimana mencari nila pengganti bagi

variabel , dan .

Sejumlah matrik bisa digunakan untuk menyatakan suatu sistem persamaan linier.

Persamaan matriks tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk operasi matrik sebagai

berikut:


Dalam mencari solusi suatu sistem persamaan linier dengan metode eliminasi gauss, bentuk

operasi matrik dapat dimanipulasi dalam bentuk matrik augmented matriks sebagai berikut:

Dengan cara eliminasi Gauss, berikut ini diberikan contoh scriptnya:

3. Tugas

Suatu sistem persamaan linier diberikan dengan matriks sebagai berikut.

Buatlah script untuk penyelesaian system persamaan linier di atas. Tentukan nilai , dan

!


MODUL V

PENYELESAIAN TURUNAN DENGAN MATLAB

1. Tujuan Praktikum


melibatkan turunan

Praktikan dapat membuat script sederhana berkaitan dengan penyelesaian turunan

berdasarkan rumus-rumus turunan

2. Langkah-langkah Penyelesaian

Untuk mencari turunan dari suatu fungsi di matlab, terlebih dahulu gunakan perintah

“syms” untuk mendefinisikan variabel/ekspresi simbollik secara eksplisit secara

bersamaan: sym a b atau syms („a‟,‟b‟) adalah cara singkat untuk a=sym(a), b=sym(b).

Jika kita tidak menuliskan sym, maka Matlab akan menampilkan fungsi yang telah kita

tuliskan, akan tetapi setiap variabel x tidak diketahui.

Setelah kita menuliskan syms x dan fungsi yang akan kita cari, maka kita harus mengetik

Diff sebagai bahasa program untuk mendiferensialkan ekspresi simbolik atau elemen.

Jika elemen bersifat numerik maka akan dicari diferensial dari ekspresi tersebut.


Di bawah ini akan ditunjukkan penggunaan Matlab dalam rumus-rumus differensial.

RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. Jika dengan c dan n konstanta real, maka

Contoh:

dengan program Matlab dapat dikerjakan sebagai berikut

2. Jika y = c dengan , maka

Contoh:

dengan MATLAB

1 nxcndx

dy

3144 .84.22 xxdx

dyxy

Rc 0dx

dy

03 dx

dyy


3. Jika y = f(x) + g(x), maka

Contoh

dengan program MATLAB

4. Jika y = f(x).g(x), maka

Contoh

Dengan MATLAB

)(')(' xgxfdx

dy

68562 34 xdx

dyxx

)()(')()(' xfxgxgxfdx

dy

xx

xxxxy

xxgxxg

xxfxxf

xxy

44

)(2)2(2'

2)(')2()(

2)(')(

)2(

3

22

2

2

22


4. Tugas

Kerjakan soal di bawah ini dengan matlab!

1. Jika maka tentukanlah turunan pertamanya.

2. Bila maka tentukanlah nilai dari f’(2).

xxy 3cos.2

146)( 2 xxxf


MODUL VI

DIFERENSIASI NUMERIK

METODE EULER

1. Tujuan Praktikum


melibatkan diferensiasi numerik

Praktikan dapat membuat script sederhana berkaitan dengan penyelesaian diferensial

secara numerik dengan metode Euler

2. Diferensiasi Numerik Metode Euler

Diberikan PDB orde satu,

( ) ( )

Misalkan

( )

adalah hampiran nilai di yang dihitung dengan metode Euler dimana

Maka, formula matematika untuk penurunan numerik persamaan diferensiasi orde satu

dengan metode Euler adalah:

dengan ( ) dan .

3. Galat dari Metode Euler

Jika langkah dimulai dari dan berakhir di maka total galat yang terkumpul

pada solusi akhir ( ) adalah

∑( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

Jadi, galat longgokan sebanding dengan .


4. Tugas

Diberikan persamaan differensial

( )

Buatlah script pada matlab untuk menghitung nilai ( ) dengan .

Jika diketahui fungsi asli adalah ( ) , tentukan galat dari perhitungan

yang sudah dilakukan!


MODUL VII

DIFERENSIASI NUMERIK

METODE RUNGE KUTTA

1. Tujuan Praktikum


melibatkan diferensiasi numerik

Praktikan dapat membuat script sederhana berkaitan dengan penyelesaian diferensial

secara numerik dengan metode Runge Kutta

2. Diferensiasi Numerik Metode Runge Kutta

2.1 Metode Runge Kutta Orde Tiga

Metode Runge Kutta yang terkenal adalah metode Runge Kutta orde tiga dan metode

Runge Kutta orde empat.

Metode Runge Kutta orde tiga berbentuk:

( )

( )

( )

( )

Galat per langkah metode Runge Kutta orde tiga adalah ( )

Galat longgokan metode Runge Kutta orde tiga adalah ( )

2.2. Metode Runge Kutta Orde Empat

Metode Runge Kutta orde empat berbentuk:

( )

( )

( )

( )

( )


Galat per langkah metode Runge Kutta orde empat adalah ( )

Galat longgokan metode Runge Kutta orde empat adalah ( )

3. Tugas

Buatlah Script pada Matlab untuk menyelesaikan persamaan diferensial:

( )

Untuk menentukan ( ) dengan metode Runge Kutta Orde Tiga. Gunakan ukuran langkah

.


MODUL VIII

INTEGRASI NUMERIK

1. Tujuan Praktikum


melibatkan integrasi numerik

Praktikan dapat membuat script sederhana berkaitan dengan penyelesaian integrasi

secara numerik dengan metode trapezium

2. Metode Trapesium

Secara umum integrasi dapat merupkan luasan yang berada di bawah fungsi. Oleh karena

itu, dengan metode trapezium dapat diilustrasikan ide integrasi numeriknya sebagai

berikut:

Gambar 7.1 Metode Trapesium

Sehingga solusi persamaan integrasi numeriknya adalah

∫ ( ) ∑ ( ( ) ( ) ( )

)

, ( ) ( )


3. Alur Kode Program

Berikut ini adalah alur kode program untuk menyelesaikan persamaan integrasi

numeric dengan metode trapesium

4. Tugas

Diberikan script program sebagai berikut:

Jalankanlah kode program di atas untuk mendekati nilai . Berapakah nilai hasil

pendekatan?


Daftar Pustaka

Landau R., et al. Computational Physics. Problem Solving With Computer (Wiley, 1997)

Kincid D., Cheney W. Numeric Analysis (1991)

Conte, de Boor. Elementary Numerical Analysis, Algorithmic Approach

Anonymous. 2010. Interpolasi Bilinier.

MODUL PRAKTIKUM FISIKA KOMPUTASI · secara numerik dengan metode Euler 2. Diferensiasi Numerik Metode Euler Diberikan PDB orde satu, ( ) ( ) Misalkan ( ) adalah hampiran nilai di

Documents