Modul Alin 2012

MODUL ALJABAR LINEAR

BAB I

VEKTOR

1.1 Pengertian

Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur, dapat dijelaskan

secara lengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah diberikan. Kuantitas seperti ini

dinamakan skalar. Kualitas fisik lainnya disebut vektor, penjelasannya tidak begitu lengkap

sehingga baik besarannya maupun arahnya dapat dispesifikasikan. Sebagai contoh, angin

yang bergerak pada umumnya digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arahnya,

misalnya mendekati 20 mil / jam.

Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen – segmen garis

terarah ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah menentukan arah vektor

dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah disebut titik awal (initial point) dari

vektor, dan ujung panah dinamakan titik terminal (terminal point).

Gambar 1.1

Pada gambar 1.1a, titik awal vector v adalah A da titik terminalnya adalah B, maka dituliskan

v = AB−→

Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti pada gambar 3.1b

disebut ekivalen.

Untuk menuliskan panjang vektor v digunakan notasi |v|

B

a

b

a+b


1.2 Operasi – operasi pada vector

a. Penjumlahan Vektor

Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor

a.1 Metode Jajaran Genjang

Gambar 1.2

Vektor hasil (resultant) yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran genjang yang

dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awal dan titik akhir ditempatkan

berimpit.

a.2 Metode Segitiga

Gambar 1.3

a+b

a

b

a+b

a

b


Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik

ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor bertitik awal di titik

awal a dan bertitik ujung di titik ujung b

Catatan :

1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a

2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih dari 2 vektor.

Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya adalah vektor dengan titik awal di

titik awal vektor a dan bertitik ujung di titik ujung vektor e

3. Pengurangan vektor a dan b adalah a – b = a + (-b)

b. Perkalian Skalar

Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar ka

menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a dan arahnya sama

dengan arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k negatif. Bila k = 0 maka ka =0

disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berimpit.

Gambar 1.4

a

2a -2a


1.3 Susunan Koordinat Ruang-n

a. Ruang dimensi satu (R1)

Gambar 1.5

Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0), E(1), P(2

5 )

artinya P mewkili bilangan 2

5 dan kita letakkan P sehingga OP = 2

5 satuan ke arah E

(arah positif).

b. Ruang dimensi dua (R2)

Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada

suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua,

ditulis R2.

Gambar 1.6


c. Ruang dimensi tiga (R3)

Gambar 1.7

d. Ruang dimensi n (Rn)

Secara umum untuk Rn dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di dalam Rn

dinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil. Misalnya titik X(x1, x2, ...,xn)

Beberapa Dalil pada Operasi Vektor

Untuk setiap vektor a = [a1, a2, a3,. . ., an] , b = [b1, b2, b3, . . . , bn] , c=[c1, c2, c3, . . ., cn] Rn,

dan m, k adalah skalar – skalar, maka berlaku :

(1). a + b = b + a

(2). (a + b) + c = a + (b + c)

(3). k(a + b) = ka + kb


(4). a + 0 = a

(5). a + (-a) = 0

(6). (k + m)a = ka + ma

(7). (km)a = k(ma) = m(ka)

Dot Product (Hasil Kali Titik)

Definisi

Bila v dan w adalah vektor, dan adalah sudut antara v dan w (0 )

Maka hasil kali titik (dot product) v. w didefinisikan dengan :

v.w = {|v||w| cos θ

0

jika v≠0 dan w≠0jika v=0 atau w=0

. .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . ..(1 .1 )¿

¿

Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2 vektor tak nol. Dan adalah sudut antara v

dan w , maka hokum cosinus menghasilkan :

|PQ−→

|2 = |v|2 + |w|2 – 2|v||w| cos …………………………………………..(1.2)

Karena PQ−→

= w – v maka dapat (1.2) dapat dituliskan kembali sebagai :

2|v||w| cos = |v|2 + |w|2 - |w – v|2

|v||w| cos = 12 (|v|2 + |w|2 - |w – v|2)

Atau

v . w = 12 (|v|2 + |w|2 - |w – v|2)

Dengan mensubstitusikan


|v|2 = v12

+ v22

+ v32

dan |w|2 = w12 + w2

2 + w3

2

dan

|w – v|2 = (w1−v1 )2 + (w2−v2 )

2 + (w3−v3 )

2

Maka setelah disederhanakan akan diperoleh :

v. w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Jika v dan w bukan vektor nol, maka persamaan (1.1) dapat ditulis dengan

Cos =

v . w|v||w|

Contoh 1.1

Diketahui vektor v = (2, -1, 1) dan w=(1, 1, 2)

Carilah v.w dan tentukan sudut antara v dan w.

Jawab :

v. w = (2).(1) + (-1).(1) + (1)(2) = 2 – 1 + 2 = 3

|v| = √4+1+1 = √6

|w| = √1+1+4 = √6

Jadi Cos =

36 =

12 , maka sudut antara v dan w adalah 60o


BAB 2

RUANG VEKTOR

1. Pengertian dari suatu field

Field adalah sebuah system aljabar yang dibentuk oleh suatu himpunan tak kosong K

dan dua operasi biner yaitu penjumlahan (+) dan perkalian (*)

2. Sifat-sifat dari field

Misal { K, + , * }, K adalah himpunan , didefinisikan 2 operasi + ( penjumlahan )

dan * (perkalian). Akan dikatakan Field jika dipenuhi :

2.1 untuk setiap , K maka + K dan * K, dikatakan K tertutup

terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

2.2 untuk setiap ,, K maka (+ ) + =+ ( + )

2.3 Terdapat 0 K disebut elemen nol, sedemikian sehingga 0 + = + 0 = ,

untuk setiap K

2.4 Untuk masing-masing K , terdapat - K disebut negatip dari

sedemikian sehingga (- ) + = +(- )=0

2.5 untuk setiap , K maka + = +

2.6 untuk setiap ,, K maka (*)* =* ( * )

2.7 untuk setiap ,, K

(i) *( + )=* + *

(ii) ( + )* = * + *

2.8 untuk setiap , K maka * = *

2.9 Terdapat 1 K disebut elemen satuan , sedemikian sehingga 1* = *1 = ,

untuk setiap K

2.10 Untuk masing-masing 0 K , terdapat -1 K disebut negatip dari

sedemikian sehingga -1 * = *-1=1

Anggota dari Field disebut Skalar.

3. Pengertian dari ruang vektor di atas suatu field

Misal { V , + , * } , V adalah himpunan dan didefinisikan operasi + (penjumlahan)

dan * (perkalian). Maka V disebut Ruang Vektor di atas suatu Field K jika

dipenuhi syarat berikut :


3.1 untuk setiap u,v V dan K maka u + v V, u V dikatakan K

tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

3.2 untuk setiap u,v ,w V maka (u + v) + w = u + (v + w )

3.3 untuk setiap u,v V dan K maka *(u + v)=*u + *v

3.4 Terdapat 0 V disebut vektor nol, sedemikian sehingga 0 + u = u + 0

= u , untuk setiap u V

3.5 Untuk masing-masing u V , terdapat - u V disebut sedemikian sehingga (-

u) + u = u +(- u) = 0

3.6 untuk setiap u,v V maka u + v = v + u

3.7 untuk setiap u V ,, K berlaku ( + ) *u = * u +* u

3.8 dan ( ) *u = (* u)

3.9 untuk setiap u V berlaku 1* u = u , dimana 1 adalah elemen satuan dari K

Anggota dari Ruang Vektor disebut vektor.

Contoh :

Himpunan Vektor di ruang dimensi 3 Dengan operasi pejumlahan vektor dan

perkalian skalar.

SubRuang (subspace)

Definisi

Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika W itu

sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan

pada V.

Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier

Definisi

Himpunan m buah vektor (u1, u2, … um) disebut tak bebas linier (linearly dependent) bila

terdapat skalar – skalar 1, 2, …, m yang tidak semuanya nol sedemikian hingga (u1, u2, …

um)

Sebaliknya himpunan (u1, u2, … um) disebut bebas linier (linearly independent) jika 1 u1 + 2

u2 + …+ m um = 0 hanya dipenuhi oleh 1= 2 = …= m = 0.

Catatan :

1. Jika m=1, maka :


a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena u = 0

0 = 0 terpenuhi juga untuk 0

b. Bila 0, akan bebas linier karena u=0 hanya dipenuhi oleh =0

2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,…,0, … um) maka

himpunan itu tak bebas linier,

1 u1 + 2 u2 + … + i 0+ … + m um = 0 dipenuhi juga oleh I 0

3. JIka u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = v, maka mereka tak bebas

linier. Sebab u = v 1u - v = 0, artinya terdapat 0 pada 1 v + 2 u = 0

Kombinasi Linier

Definisi

Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u1, u2, … um) bila terdapat

skalar – skalar 1, 2, …, m sedemikian hingga v = 1 u1 + 2 u2 + …+ m um.

Contoh

a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]

Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c

Kita hitung 1, dan 2 yang memenuhi [2, 1, 2] = 1 [1, 0, 3] + 2 [3, 1, 5]

2 = 1 + 3 2

1 = 2

2 = 3 1 + 5 2

Dengan substitusi, diperoleh 1 = -1 dan 2 = 1

Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c

Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur


(1). Kalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, yaitu v = u yang mana v adalah

kelipatan dari u dengan garis pembawanya sama (atau sejajar), v dan u disebut koliner

(segaris).

(2). v kombinasi linier dari 2 vektor u1 dan u2, yaitu v = 1u1 + 2u2 maka v adalah

diagonal jajaran genjang yang sisi – sisinya 1u1 dan 2u2 . u1 dan u2 disebut

koplanar (sebidang).

(3) v kombinasi linier dari 3 vektor u1 , u2 dan u3, yang tidak sebidang, yaitu v = 1u1 +

2u2 + 3u3 maka v adalah diagonal paralelepipedum yang sisi – sisinya 1u1, 2u2

dan 3u3.

Dimensi dan Basis

Definisi

Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …, vr} merupakan himpunan berhingga

dari vektor – vektor pada S, maka S disebut basis untuk V jika :

(i). S bebas linier

(ii) S merentang V

Definisi

Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya

vektor pada basis untuk V.

Contoh Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :

(i). p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]

(ii). u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8]

Jawab :

(i). Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas linier.

Berarti dimensi = 2

(ii). Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v 0, jadi keduanya merupakan sistem

pembentuk yang tidak bebas linier. Berarti dimensi = 1


BAB IIIM A T R I K


3.1 Pengertian

Matrik adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris

dan kolom)

Skalar – skalar itu disebut elemen matrik. Untuk batasnya biasanya digunakan: ( ), [ ], || ||

3.2 Notasi Matrik

Matrik diberi nama dengan huruf besar. Secara lengkap ditulis matrik A=(a ij), artinya

suatu matrik A yang elemen – elemennya adalah aij dimana index i menunjukkan baris ke-i

dan indeks ke–j menunjukkan kolom ke–j .

Sehingga bila matrik disusun secara A(mxn) = (aij), mxn disebut ordo (ukuran) dari matrik

A.

3.3 Operasi pada Matrik

1. Penjumlahan matrik

Syarat : ukuran matrik harus sama.

Jika A = (aij) dan B = (bij), matrik berukuran sama, maka A + B adalah suatu matrik C =

(cij) dimana cij = aij + bij untuk setiap I dan j

2. Perkalian skalar terhadap matrik

Kalau suatu skalar (bilangan) dan A = (aij), maka matrik A = (aij), dengan kata lain,

matrik A diperoleh dengan mengalikan semua elemen matrik A dengan .

Hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar :

Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan adalah skalar maka :

1. A + B = B + A (komutatif)

2. (A + B) + C = A + (B+C) (asosiatif)

3. (A + B) = A + B (distributif)

4. Selalu ada matrik D sedemikian hingga A + D = B


3. Perkalian matrik

Pada umumnya matrik tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB BA. Pada

perkalian matrik AB, matrik A disebut matrik pertama dan B matrik kedua.

Syarat : Jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua

Definisi :

Pandang A = (aij) berukuran (p x q) dan B = (bij) berukuran (q x r). Maka perkalian AB

adalah suatu matrik C = (cij) berukuran (p x r) dimana :

cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aiq bqj, untuk setiap i = 1,2,…,p dan j = 1,2, … r


Hukum pada perkalian matrik :

1. A(B + C) = AB + AC, dan (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum distributif

2. A(BC) = (AB)C , memenuhi hukum asosiatif

3. Perkalian tidak komutatif, AB BA

4. Jika AB = 0 (matrik 0 ) , yaitu matrik yang semua elemennya adalah = 0,

kemungkinan kemungkinannya adalah :

(i). A = 0 dan B = 0

(ii) A = 0 atau B = 0

(iii) A 0 dan B 0

5. Bila AB = AC belum tentu B = C

4. Transpose dari suatu matrik

Pandang suatu matrik A = (aij) berukuran (m x n) maka transpose dari A adalah matrik

AT berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan menuliskan baris ke – i dari A, i =

1,2,…,m sebagai kolom ke –i dari AT. Dengan kata lain : AT = (aji)

Sifat – sifat matrik transpose

1. (A + B)T = AT + BT

2. (AT)T = A

3. (AT) = (A)T

4. (AB)T = BT AT

3.4 Beberapa Jenis matrik Khusus

1. Matrik bujursangkar

adalah matrik dengan jumlah baris = jumlah kolom, sehingga disebut berordo

n.

Barisan elemen a11, a22, … ann disebut diagonal utama dari matrik bujursangkar

A


2. Matrik nol

adalah matrik yang semua elemennya adalah 0

3. Matrik diagonal

matrik bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal utamanya 0.

4. Matrik identitas

adalah matrik diagonal yang elemen – elemen diagonal utama adalah 1.

5. Matrik skalar

adalah matrik diagonal dengan semua elemen diagonal utamanyanya = k

6. Matrik segitiga bawah (lower triangular)

adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal utama = 0.

7. Matrik segitiga atas (upper triangular)

adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di bawah diagonal utama = 0.

8. Matrik simetris

adalah matrik yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.

9. Matrik anti simetris

adalah matrik yang transposenya adalah negatifnya.

.

10. Matrik hermitian

adalah matrik yang bila transpose hermitiannya adalah sama dengan dirinya

sendiri.

11. Matrik idempoten, nilpotent

Bila berlaku A.A = A2 = A, maka A dikatakan matrik idempoten.

Bila Ar = 0, maka A nilpotent dengan index r (dimana r adalah bilangan bulat

positif terkecil yang memenuhi hubungan tersebut)


3.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom suatu matrik

Yang dimaksud dengan transformasi elementer pada baris dan kolom suatu matrik A adalah

sebagai berikut :

1a. Penukaran tempat baris ke – i dan baris ke – j ditulis Hij (A)

b. Penukaran tempat kolom ke – i dan kolom ke – j ditulis Kij (A)

2a Mengalikan baris ke – i dengan skalar 0 , ditulis Hi( λ ) (A)

b. Mengalikan kolom ke – j dengan skalar 0 , ditulis Ki( λ ) (A)

3a. Menambah baris ke – i dengan kali baris ke – j ditulis Hij()(A)

b. Menambah kolom ke – i dengan kali kolom ke – j ditulis Kij()(A)

Misalnya kita telah mengetahui matrik B sebagai hasil transformasi elementer dari A. Kita

dapat mencari A, disebut invers dari transformasi elementer tersebut.

Matrik ekivalen

Dua matrik A dan B dikatakan ekivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari

yang lin dengan transformasi – transformasi elementer terhadap baris dan atau kolom. Jika

transformasi elementernya pada baris saja, maka dikatakan ekivalen baris. Begitu juga

dengan kolom.

Matrik Elementer

Sebuah matrik n x n disebut matrik elementer jika matrik tersebut dapat diperoleh dari matrik

identitas n x n yaitu In dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal.


3.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan

Misal diketahui matrik A adalah matrik bujursangkar. Dan X adalah pemecahan bagi AX = 0

dimana AX = 0 adalah bentuk matrik dari sistem :

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0

a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0

.

.

.

an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0

Jika kita memecahkannya dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan, maka sistem

persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari matrik yang

diperbesar akan menjadi :

x1 = 0

x2 = 0

.

.

xn = 0

dan matrik yang diperbesar tersebut adalah :

[a11 a12 . . a1 n 0

a21 a22 . . a2 n 0

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .an 1 an2 . . ann 0

]


3.7 Mencari invers matrik

Contoh 3.1:

Cari invers matrik A = [1 2 32 5 31 0 8 ]

Jawab :

Pada akhir operasi , matrik dibentuk menjadi [I |A-1] dari bentuk asal [A | I]

[1 2 32 5 31 0 8

1 0 00 1 00 0 1

]

dengan operasi elementer H21(−2) dan H21

(−1) menjadi

[1 2 30 1 −30 −2 5

1 0 0−2 1 0−1 0 1

]

dengan operasi elementer H32(2) menjadi

[1 2 30 1 −30 0 −1

1 0 0−2 1 0−5 2 1

]

dengan operasi elementer H3(−1) menjadi

[1 2 30 1 −30 0 1

1 0 0−2 1 05 −2 −1

]


dengan operasi elementer H13(−3) dan H23

(3 )menjadi

[1 2 00 1 00 0 1

−14 6 313 −5 −3

5 −2 −1]

dengan operasi elementer H12(−2) menjadi

[1 0 00 1 00 0 1

−40 16 913 −5 −3

5 −2 −1]

Jadi invers dari matrik A adalah [−40 16 913 −5 −3

5 −2 −1 ]LATIHAN:

1. Carilah 3A2 + 2A – 3I2, bila A = [2 13 4 ]

2. Tunjukkan bahwa A adalah matrik idempoten, A = [−1 3 5

1 −3 −5−1 3 5 ]

3. Carilah invers dari A = [3 24 3 ]


4. Diketahui A = [3 1 2 14 1 0 21 3 0 1 ]

, matrik B dihasilkan dari sederetan transformasi

elementer H31(−1)

,H2(2) , H12 , K41

(1 ) , K3(2) terhadap A. Carilah B tersebut.

5. Tentukan transpose hermitian dari :

Q = [2+i i sin ix3+i x2 π ]

6. Cari solusi dari persamaan linier berikut ini :

x1 + 2x2 + 3x3 = 5

2x1 + 5x2 + 3x3 = 3

x1 + + 8x3 = 17

7. Pecahkan persamaan matrik untuk X dalam masing – masing bagian berikut :

a. X [−1 0 1

1 1 03 1 −1 ]

= [ 1 2 0−3 1 5 ]

b. X[1 −1 23 0 1 ]

= [−5 −1 0

6 −3 7 ]


BAB IVD E T E R M I N A N

4.1 Pengertian

Setiap matrik bujursangkar A selalu dikaitkan dengan suatu sknlar yang disebut

Determinan. Sebelum mulai dengan yang lebih umum, kita ambil dahulu matrik A(2x2)

sebagai berikut : [a bc d ]

Didefinisikan ; det(A) = |a bc d

| = ad -bc

Contoh :

A = [1 35 5 ]

maka det(A) = 1.5 – 3.5 = 5 – 15 = -10

4.2 PERMUTASI

Definisi :

Permutasi himpunan bilangan – bilangan bulat {1,2,3 …,n} adalah susunan bilangan –

bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan

– bilangan tersebut.


Contoh 4.1:

Ada 6 permutasi yang berbeda dari himpunan {1,2,3} yaitu {1,2,3}, {1,3,2}, {2,1,3}, {2,3,1},

{3,2,1}, {3,1,2}

Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan factorial. Untuk contoh soal diatas 3! = 1.2.3 = 6

Definisi

Invers pada suatu permutasi (j1, j2, j3 …,jn) adalah adanya jk < ji (jk mendahului ji) padahal ji <

jk (I dan k = 1, 2, . . ., n)

Contoh 4.2:

Berapa banyak invers yang terdapat pada permutasi {2, 1, 4, 3} ?

Ada 2 invers yaitu :

1. ji = 2 mendahului jk = 1, padahal 1 < 2

2. ji = 4 mendahului jk = 3, padahal 3 < 4

4.3 DETERMINAN

Cara termudah mencari determinan dari matrik bujursangkar untuk orde yang tidak terlalu besar adalah dengan metode SARRUS .

(-) (-) (-)

|a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

|a11 a12

a21 a22

a31 a32

(+) (+) (+)

Contoh 4.3:


|2 3 12 1 23 1 2

|

2 32 13 1 = 2.1.2 + 3.2.3 + 1.2.1 – 1.1.3 – 2.2.1 – 3.2.2

= 4 + 18 + 2 – 3 – 4 – 12 = 5

4.4 SIFAT – SIFAT DETERMINAN

1. det(A) = det(AT)

2. Tanda determinan berubah jika 2 baris atau kolom ditukar tempatnya.

3. Harga determinan menjadi kali, bila suatu baris / kolom dikalikan dengan skalar

4.5 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS

Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan

definisi determinan secara langsung.

Theorema :

Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen – elemen pada

diagonal utama, yaitu , det(A) = a11.a22.a33 .. ann

Contoh 4.4 :

|

2 7 −3 8 30 −3 7 5 10 0 6 7 60 0 0 9 80 0 0 0 4

|

= (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296

Contoh 4.5 :


Hitung det(A) dimana A =

|0 1 53 −6 92 6 1

|

Jawab :

Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = -

|3 −6 90 1 52 6 1

|

= - 3

|1 −2 30 1 52 6 1

| ⇒ H31

(-2) ⇒ = - 3

|1 −2 30 1 50 10 −5

| ⇒ H32

(-10) ⇒

= - 3

|1 −2 30 1 50 0 −55

| = (-3) (-55)

|1 −2 30 1 50 0 1

| = (-3) (-55) (1) = 165

Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan dengan menggunakan

komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah diprogramkan.

4.6 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER

Minor aij adalah determinan submatrik yang tetap setelah baris ke – i dan kolom ke – j

dicoret dari A . Dinyatakan dengan |Mij|.

Sedangkan bilangan (-1) i+j |Mij|dinyatakan oleh Cij disebut Kofaktor

Contoh 4.6 :


A = [2 3 45 6 78 9 1 ]

Minor dari elemen a23 = |2 38 9

| = 18 – 24 = -6

Kofaktor dari elemen a23 = (-1)5

(-6) = 6

Perhatikan bahwa kofaktor dan minor hanya berbeda pada tandanya, yaitu C ij = ±Mij .

Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaantanda + atau tanda – merupakan

penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij berada dalam baris ke – i dan

kolom ke – j dari susunan :

[+ − + − + . .− + − + − . .+ − + − + . .− + − + − . .+ − + − + . ....

.. .. . . . . . . ]Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23

Theorema

Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan elemen –

elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya dan menambahkan

hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1 i n dan 1 j n , maka

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)

dan


det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

Contoh 4.7 :

Det(A) bila A = [ 3 1 0−2 −4 35 4 −2 ]

adalah

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama

= 3 |−4 3

4 −2| - 1

|−2 35 −2

| + 0

|−2 −45 4

| = (3)(-4) – (1)(-11)

= -12 + 11

= -1

Definisi :

Jika A adalah sebarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matrik

[C11 C12 C13 .. . C1n

C21 C22 C23 .. . C2n

. . . .. . .

. . . . .Cn 1 Cn 2 Cn3 .. . Cnn

] disebut matrik kofaktor A.

Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A−1 =

1det ( A ) adj(A)


ATURAN CRAMER

Theorema

Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui

sehingga det(A) ¿ 0, maka system tesebut mempunyai pemecahan unik. Pemecahan ini

adalah :

x1 =

det ( A1 )det ( A ) , x2 =

det ( A2 )det ( A ) , … , xn =

det ( An )det ( A )

dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen- elemen dalam kolom

ke j dari A dengan elemen matrik B = [ bb2

.bn

]Contoh

Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan

x1 + + 2x3 = 6

-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30

-x1 - 2x2 + 3x3 = 8

Jawab :

A= [ 1 0 2−3 4 6−1 −2 3 ]

,


A1= [ 6 0 230 4 68 −2 3 ]

, A2= [ 1 6 2−3 30 6−1 8 3 ]

, A3= [ 1 0 6−3 4 30−1 −2 8 ]

Maka

x1 =

det ( A1 )det ( A ) =

−4044 =

−1011 ,

x2=

det ( A2 )det ( A ) =

7244 =

1811 ,

x3 =

det ( A3 )det ( A ) =

15244 =

3811

Latihan

Latihan Soal :

1. Cari semua minor dan kofaktor dari A = [ 1 6 −3−2 7 13 −1 4 ]

2. Q = [1 2 32 3 41 5 7 ]

, cari :

a. adj(A)

b. det(A)

c. A−1


3. Carilah harga x,y,z,dan w yang memenuhi susunan persamaan linier berikut :

2x + 4y + 3z + 2w = 1

3x + 6y + 5z + 2w = 1

2x + 5y + 2z - 3w = 0

4x + 5y + 14z + 14w = 0


BAB V

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

1. Memahami Pengertian Sistem Persamaan Linier

Definisi :

Bentuk umum a1 x1+a2 x2+…+an xr=b adalah persamaan linear dengan a sebagai koefisien, x

variabel, dan b konstanta dan sekumpulan harga yang memenuhi nilai variabel x disebut

solusi (jawab) persamaan. Variabel di dalam persamaan linear bukan sebagai argumen fungsi

trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial.

Definisi Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linear dalam peubah x1,

x2, ..., xn dinamakan sistem persamaan linear

Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, … , sn dinamakan sebuah pemecahan dari

sistem tersebut jika x1 = s1, x2 = s2 ,… , xn = sn adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap

persamaan di dalam system tersebut.

Tidak semua sistem persamaan linier mempunyai pemecahan. Persamaan linier yang

memiliki setidak- tidaknya satu pemecahan disebut konsisten (Consistent). Persamaan linier

yang tidak mempunyai pemecahan disebut takkonsisten (inconsistent).

Ada 3 kemungkinan penyelesaaian persamaan linier :

1. Tidak mempunyai pemecahan

2. Mempunyai persis satu pemecahan.

3. Mempunyai tak hingga banyaknya pemecahan

Definisi :

Sebuah Sistem Persamaan Linier yang terdiri dari m buah persamaan linier dengan n buah

bilangan yang tidak diketahui dapat dinyatakan dengan :

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm


dimana x1, x2, … , xn adalah bilangan-bilangan yang tidak diketahui (variable), a

menyatakan koefisien dan b menyatakan kontanta-konstanta

Dan sistem persamaan linear di atas jika dinyatakan dalam matriks adalah :

AX = B

[ a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 … amn

][ x1

x2

⋮xn

]=[ b1

b2

⋮bm

]Apabila matriks A digabung dengan matriks B maka disebut augmented matriks (matriks

yang diperbesar), yaitu

[ a11 a12 … a1n

a21 a22 … a2n

⋮ ⋮ … ⋮am1 am2 … amn

b1

b2

⋮bm

]dan memiliki rank lengkap (r(A,B)).

Teorema Suatu system persamaan linear konsisten jika rank matriks koefisien (r(A)) = rank

matriks lengkap (r(A,B)

2. Memahami Sistem persamaan linier Homogen

Sistem Persamaan Linear Homogen adalah system persamaan linear yang memiliki konstanta

sama dengan nol, AX = 0.

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = 0

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = 0

Sistem persamaan linear homogen selalu memiliki solusi, karena r(A) = r(A,0), paling sedikit

memiliki solusi nol atau solusi trivial.


3. Memahami Perbedaan sistem persamaan linier homogen trivial atau tidak

Suatu persamaan linear homogen memiliki solusi trivial jika r = n (banyaknya rank matriks

koefisien = banyaknya variable).

Suatu persamaan linear homogen selain memiliki solusi trivial juga memiliki solusi non

trivial jika r < n (rank matriks koefisien lebih sedikit dari banyaknya variable)

4. Memahami Syarat suatu sistem persamaan linier homogen mempunyai solusi

( selain solusi trivial)

Misalkan banyaknya persamaan linear adalah m buah, jika m < n (banyaknya persamaan

lebih sedikit dari banyaknya variable) maka pasti ada solusi non trivial.

5. Memahami Pengertian sistem persamaan linier non homogen

Sistem Persamaan Linear Non Homogen adalah system persamaan linear yang memiliki

konstanta sama dengan b, AX = b.

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm


BAB VITRANSFORMASI LINIER

Pengantar

Definisi

Jika F:V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F

disebut transformasi linier, jika :

(i). F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semua vektor u dan v di V

(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k

Contoh

Misal F:R2 R3 adalah sebuah fungsi yang didefinisikan oleh :

F(v) = (x, x+y, x-y)

Jika u=(x1, y1) dan v=(x2, y2) maka u + v = (x1 + x2 , y1 + y2)

Sehingga ,

F(u + v) = (x1 + x2, [x1 + x2]+[ y1 + y2], [x1 + x2]-[ y1 + y2])

= (x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 – y2)

= F(u) + F(v)

Demikian juga jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1) sehingga

F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 - ky1)

= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)

= k F(u)

Jadi F adalah sebuah transformasi linier

Latihan :

Tentukan apakah F linier untuk masing – masing latihan berikut :


1. F(x,y) = (2x, y)

2. F(x,y) = (2x+y, x-y)

3. F(x, y, z) = (2x+y, 3y-4z)

4. F(x,y,z) = (1, 1)

Transformasi Linier dari Rn Rm

Misalkan e1, e2, . . . , en adalah basis baku untuk Rn dan misalkan A adalah sebuah matrik m x

n yang mempunyai T(e1), T(e2), . . . , T(en) sebagai vektor – vektor kolomnya.

Misal jika T:R2 R2 diberikan oleh :

T([x1

x2 ]) = [ x1+2x2

x1 − x2]

Maka

T(e1) = T([10 ])

= [11 ]

dan T(e2) = T([01 ])

= [ 2−1]

Jadi A = [1 21 −1 ]

adalah matrik baku untuk T di atas.

Jenis – jenis Transformasi Linier bidang

1. Rotasi (Perputaran)

Matrik baku untuk T adalah : [cos θ −sin θsin θ cos θ ]

2. Refleksi


Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan masing –

masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya terhadap l

Matrik baku untuk :

a. refleksi terhadap sumbu y ( yang mengubah [ x

y ] menjadi

[−xy ]

) adalah :

[−1 00 1 ]

b. refleksi terhadap sumbu x ( yang mengubah [ x

y ] menjadi

[ x− y ]

) adalah :

[1 00 −1 ]

c. refleksi terhadap garis y = x ( yang mengubah [ x

y ] menjadi

[ yx ]

) adalah :

[0 11 0 ]

3. Ekspansi dan kompresi

Jika koordinat x dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan konstanta k

yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas gambar bidang dalam

arah x. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah

x. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah x dengan faktor k

Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [k 00 1 ]

Demikian juga , jika koordinat y dari masing – masing titik pada bidang dikalikan

dengan konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas

gambar bidang dalam arah y. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah mengkompresi

gambar bidang dalam arah y. Disebut dengan ekspansi (kompresi) dalam arah y

dengan faktor k


Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 00 k ]

4. Geseran

Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang

menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu x sebanyak ky

menuju kedudukan yang baru (x + ky, y)

Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 k0 1 ]

Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang

menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu y sebanyak kx

menuju kedudukan yang baru (x , y + kx)

Matrik baku untuk transformasi ini adalah : [1 0k 1 ]

Jika dilakukan banyak sekali transformasi matrik dari Rn ke Rm secara berturutan, maka hasil

yang sama dapat dicapai dengan transformasi matrik tunggal.

Jika transformasi - transformasi matrik

T1(x) = A1x, T2(x) = A2x, , .... , Tn(x) = Anx,

Dari Rn ke Rm dilakukan berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan transformasi

matrik tunggal T(x) = Ax, dimana

A = Ak . . . A2 A1


Contoh

a. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap y = x

b. Carilah transformasi matrik dari R2 ke R2 yang mula – mula merefleksikannya terhadap y = x dan kemudian menggeser dengan faktor sebesar 2 dalam arah x

Jawab :

a). Matrik baku untuk geseran adalah A1 = [1 20 1 ]

Dan untuk refleksi terhadap y = x adalah A2 = [0 11 0 ]

Jadi matrik baku untuk geseran yang diikuti dengan refleksi adalah

A2. A1 = [0 11 0 ][1 2

0 1 ] =

[0 11 2 ]

b). Matrik baku untuk refleksi yang diikuti dengan geseran adalah

A1. A2 = [1 20 1 ][0 1

1 0 ] =

[2 11 0 ]

Dari contoh di atas, perhatikan bahwa A2. A1 A1. A2

Jika T:R2 R2 adalah perkalian oleh sebuah matrik A yang punya invers, dan misalkan T

memetakan titik (x,y) ke titik (x’, y’), maka

[ x 'y ' ] = A

[ xy ]

Dan

[ xy ]

= A-1 [ x '

y ' ]


Contoh

Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 1 yang dipetakan oleh matrik A = [3 12 1 ]

Jawab :

[ x 'y ' ] =

[3 12 1 ]

[ x

y ]Dan

[ xy ]

= [3 12 1 ]−1

[ x 'y ' ] =

[ 1 −1−2 3 ][ x '

y ' ]Sehingga

x = x’ – y’

y = -2x’ + 3y’

Substitusikan ke y = 2x + 1 maka dihasilkan :

-2x’ + 3y’ = 2(x’ – y’) + 1

-2x’ + 3y’ = 2x’ – 2y’ + 1

5y’ = 4x’ + 1

y’ = 4

5 x’ + 1

5


Latihan

1. Carilah matrik bakunya

a. T([x1

x2 ])= [ x2

−x1

x1+3 x2

x1−x2]

b. T([

x1

x2

x3

x4])

= [7 x1+2x2−x3+x4

x2+x3

−x1]

2. Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2 R2 yang

memetakan titik (x,y) ke dalam :

(a). Refleksi terhadap garis y = -x

(b). Refleksi melalui titk pusat

(c). Proyeksi ortogonal pada sumbu x

(d). Proyeksi ortogonal pada sumbu y

3. Gambarkan bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0), (1,0), (0,1),

dan (1,1) di bawah perkalian oleh A = [−3 0

0 1 ]4. Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah perkalian oleh A =

[4 −33 −2 ]


BAB VIINILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Definisi

Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn dinamakan vektor eigen dari A

jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,

Ax = x

untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor eigen yang

bersesuaian dengan .

Contoh

Vektor x = [12]

adalah vektor eigen dari A = [3 08 −1 ]

Yang bersesuaian dengan nilai = 3 karena

Ax = [3 08 −1 ][12]

= [36 ]

= 3[12]

Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita menuliskannya kembali

Ax = x sebagai Ax = Ix

(I – A)x = 0

Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika

det(I – A)=0 ...................................................(6.1)

Persamaan (6.1) disebut persamaan karakteristik A.

Contoh

Carilah nilai – nilai eigen dari A = [ 3 2−1 0 ]


Jawab :

Karena

I – A = [1 00 1 ]

- [ 3 2−1 0 ]

= [ λ−3 −2

1 λ ]Det(I – A) = (-3) - (-2) = 0

= 2 - 3 + 2 = 0

1 = 2, 2 = 1

Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah 1 = 2 dan 2 = 1

Latihan :

1. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A = [10 −9

4 −2 ]

2. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A = [ 4 0 1−2 1 0−2 0 1 ]

Modul Alin 2012

Documents