BILANGAN DAN PECAHAN A.Bilangan Bulat Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negative dan bilangan cacah, ditulis: B = {, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } Pada garis bilangan : Sistemoperasibilanganbulatberupapenjumlahan,pengurangan,perkaliandan pembagian. 1.Penjumlahan a.Tertutup Jikaadanbmerupakanhimpunanbilanganbulat,makahasiloperasia+b himpunan bilangan bulat. b.Komutatif a + b = b + a c.Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c) d.Unsur Identitas a + 0 = a Unsur identitas penjumlahan adalah nol (0) , artinya jika a merupakan himpunan bilangan bulat maka a + 0 = a 2.Pengurangan a b = a + (-b) Operasi a b sama saja dengan menjumlahkan a dengan lawan (invers) dari b, yaitu -b 3.Perkalian a.Tertutup Jikaadanbmerupakanhimpunanbilanganbulatmakahasiloperasiaxb himpunan bilangan bulat b.Komutatifa x b = b x a c.Asosiatif :(ax b) x c = a x (b x c ) d.Unsur identitas a x 1 = a Jadi, 1 merupakan unsur identitas dari perkalian bilangan bulat. e.Distributifterhadapperkaliandenganpenjumlahandanperkalianterhadap pengurangan. a (b + c) = ab + ac a (b c) = ab - ac 6-6-5 -4 -3-2-1 0 12 3 45 67 8 Bilangan bulat negatifBilangan cacah 4.Pembagian Dengan b { 0, dan c { 0 5.Perpangkatan a.Distributif (a x b)n = an x bn b.Sifat-sifat lain yam x an = am + n yam : an = am - n y(am ) n = am x n ya0 = 1, dan00 = tidak terdifinisikan 6.Penarikan akar a.Sifat Distributif
b. c.
d.Jika c = maka a = c2. B.Pecahan Bentukumumpecahanadalah denganbilanganasebagaipembilangdanbilanganb sebagai penyebut, sedangkan b { 0. Berikut adalah hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pecahan: 1.Pecahan-pecahan yang senilai dengan dapat diperoleh bila pembilang dan penyebut dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. 2.Bila a " b, berlaku " dengan c bilangan positif Bila ab, berlaku
dengan c bilangan positif 3.Pecahancampurandenganbentukdengancbilanganpositifdapatdiubah menjadi pecahan biasa dengan langkah: a + = Bentuk-bentuk pecahan sebagai berikut: a.Pecahan Biasa : contoh :
b.Pecahan campuran : Contoh : c.Pecahan decimal : contoh : 0,5 ; 0,23 ; 3,567 d.Persen(%) : artinya perseratus, contoh : 25%, 47,5%e.Permil () : artinya perseribu, contoh : 12, 107 Sifat-sifat yang berlaku pada operasi bentuk pecahan adalah sebagai berikut: 1.Penjumlahan dan pengurangan yKomotatif : yAsosiatif :( 2.Perkalian yKomotatif : yAsosiatif :( yDistributif :(
yMemiliki unsur identitas yaitu 1 sehingga x 1 = 3.Pembagian Berlaku PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL A.Operasi Hitung Aljabar Bentukaljabar memiliki koefisien dan variable, Koefisien adalah bilangan yang melekat pada suatu variable sedangkan variable adalah huruf. Contoh :o7a7 sebagai koefisien dari a dan a merupakan suatu konstanta Berdasarkan jenis variabelnya, suku-suku aljabar dibedakan menjadi dua, yaitu: 1)Suku-suku sejenis Adalah suku aljabar yang memiliki variable dan pangkat yang sama.Contoh : 3ab dengan -5ab -7x2 dengan 18x2 2)Suku-suku tidak sejenis Adalah suku aljabar yang memiliki variable dan pangkat berbeda. Contoh : 7xy dengan 10a 9y dengan -3y2 1.Sifat-sifat aljabar Berikutiniadalahsifat-sifatbentukaljabaryangberlakupadaoperasipenjumlahan, pengurangan, dan perkalian. a.Komotatif (1)Pada penjumlahan : a + b = b + a (2)Pada perkalian : a x b = b x a b.Asosiatif (1) Pada penjumlahan : a + (b + c)= (a + b) + c (2) Pada perkalian : a (b x c) = (a x b) c c.Distributif (1)Perkalian terhadap penjumlahan: a(b + c) = a x b + a x c (2)Perkalian terhadap pengurangan: a(b c) = (a x b) (a x c) Penjumlahandanpengurangandapatdilakukanjikasuku-sukusejenisataumemiliki variable yang sama. Contoh: 1.5x + 7x = 10x 2.9ab2 6ab2 = 3ab2 3.-5pq + 2x = tidak dapat dijumlahkan karena variabelnya berbeda2.Perkalian bentuk aljabar suku dua Bentukaljabarsukuduadapatdikalikandenganbilangandanbentukaljabarsukudua yang lain, bahkan dikuadratkan. Berikut caranya: Diketahui (x + y) bentuka aljabar suku dua a.Bila k adalah sebuah bilangan, maka: a(x + y) = ax + ay a(x - y) = ax - ay b.Bila (p + q) adalah bentuk aljabar suku dua yang lain, maka: (x + y) (p + q)= x(p + q) + y(p + q) = xp + xq + yp + yq c.Bentuk aljabar suku dua juga dapat dikuadratkan, caranya: (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 (x - y)2 = x2 - 2xy + y2 3.Pecahan dalam bentuk aljabar Operasi hitung pecahan dalam bentuk aljabar memiliki sifat sama dengan operasi hitung bentukaljabar.Jikaakanmenyelesaikanoperasihitungpecahandalambentukaljabar, samakanpenyebutsebelummelakukanpenjumlahandanpengurangan.Berikutinicara menyelesaikan operasi hitung pada bentuk pecahan aljabardan . a.Penjumlahan atau pengurangan aubcbu b.Perkalian x acbu c.Pembagian Sifat-sifat pecahan bentuk aljabar juga memiliki sifat: B.Persamaan Linear Satu Variabel Adalahpersamaanyangmemuatsatuvariableberpangkatsatudandihubungkandengan tandasamadengan(=).Bentukumumpersamaanlinear:ax+b=cdengana,b,danc merupanakonstanta.Langkah-langkahuntukmenyelesaikanpersamaanliearsatuvariable kalian dapat menggunakan dua metode berikut: a.Metode substitusi Denganmetodesubstitusikaliandapatmemasukkannilaixyangmemungkinkanagar memenuhi ax + b = c. Contoh: 2x 2 = 2, dengan x adalah bilangan asli, maka penyelesaiaannya adalah: Jika x = 1, maka 2 . 1 2 = 0 . 0 { 2Jika x = 2, maka 2. 2 2 = 2.2 = 2 Jadi x = 2 yang memenuhi penyelesiaan persamaan 2x 2 = 2 b.Mencari persaman ekuivalen yang paling sederhana Persamaanekuivalenadalahpersamaanyangmemilikipenyelesaiansama.Symbol persamaanekuivalenadalah.Persamaanekuivalendapatdicaridengancarasebagai berikut: 1)Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama 2)Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama. 3)Menggabungkan kedua operasi di atas. Contoh: 3x 4 = 2 3x 4 + 4 = 2 + 4 (Kedua ruas ditambah 4) 3x = 6
x= 2Jadi penyelesaian persamaan 3x 4 = 2 adalah x = 2 C.Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Pertidaksamaanlinearsatuvariabledihubungkandengantanda(kurangdari,)"(lebih dari),u(lebihdariatausamadengan)dane(kurangdariatausamadengan).Dalam menyelesaikanpertidaksamaanlinearsatuvariablecaranyasamadenganpersamaanlinear satu variable Contoh: 1.3x 9" 3 Jawab: 3x 9 + 9 " 3 + 9 3x" 12
x "4 ARITMATIKA SOSIAL DAN PERBANDINGAN A.Aritmatika Sosial 1.Untung dan Rugi Untung terjadi karena harga jual lebih besar dari harga beli (modal) Syarat untung yaitu harga jual " harga beliRugi terjadi karena harga jual lebih kecil dari harga beli (modal) Syarat rugi yaitu harga jualharga beliUntung = Harga jual Harga Beli % Untung = Rugi = Harga beli Harga Jual % Rugi = 2.Mencari harga jual dan harga beli jika untung atau rugi diketahui Harga Jual Harga jual = harga beli + Untung Harga jual = Harga beli Rugi Harga Beli Harga beli = harga jual untung Harga beli = harga jual rugi 3.Diskon atau rabat Yaitupotonganhargayangdiberikanpedagangatauprodusenkepadapembeliatau konsumen. Diskon umumnya diyatakan dalam persen. Harga yang di bayar = harga semula - diskon %Diskon = 4.Bruto, tara dan neto oBrutoadalahberatkotoryangterdiridariberatbersihbarang(neto)danberat kemasan (tara). oNeto adalah berat bersih yang di dapat dari berat kotor (bruto) dikurangi tara. oTara adalah potongan berat. Nilai tara umumnya dinyatakan dalam persen Bruto = neto + tara Neto = bruto tara % tara = 5.Bunga Tunggal Bila besar uang yang ditabung mula-mula M, bankmember bunga tunggal p % pertahun dan menabung selama t tahun, maka : Bunga selama 1 tahun = M x p % Bunga selama t tahun = M x p % x t Bunga selama t bulan = M x % x t Jumlah tabungan seluruhnya = M + Bunga B.Perbandingan 1.Gambar Berskala oPengertianSkala = oArti Skala Skala1:2.500.000artinya1cmpadapetamewakili2.500.000cm=25Kmjarak sebenarnya. 2.Factor pada gambar berskala Sisi-sisiyangbersesuaianantaraukuransebenarnyadenganmodel(gambarberskala) memilikiperbandinganyangsama,yaitusebesarkonstantakyangdisebutfactor berskala. S = 3.Menyederhanakan perbandingan Untuk dua besaran sejenis, a dan b dengan m adalah fpb dari a dan b, maka: 4.Jenis-jenis perbandingan Perbandingandapatdikatakansebagaibentuklaindaripecahan.Perbandingan dibedakan dua, yaitu perbandingan senilai dan berbalik nilai. a.Perbandingan Senilai Adalahperbandinganyangapabilanilaiawalnyadiperbesarmakanilaiakhirjuga akansemakinbesar.Sebaliknya,apabilanilaiawaldiperkecilmakanilaiakhirjuga semakin kecil. Contoh dua besaran yang berbanding senilai: 1)Banyak barang dengan jumlah harganya 2)Banyak liter bensin dengan jarak yang ditempuh sebuah kendaraan 3)Jumlah bunga tabungan dengan lama menabung, dan lain-lain.Menyelesaikan perbandingan senilai a1 b1 a2 b2 Hasil kali silang a1 x b2 = a2 x b1 Perbandingan senilai b.Perbandingan Berbalik Nilai Adalahperbandinganyangbercirikanbilanilaiawaldiperbesarmakanilaiakhir menjadilebihkecil,sebaliknyabilanilaiawaldiperkecilmakanilaiakhirdiperbesar. Contoh dua besaran yang berbalik nilai : 1)Kecepatan kendaraan dengan waktu tempuhnya 2)Banyak pekerja proyek dengan waktu penyelesaiannya 3)Banyakhewanpeliharaandenganwaktuuntukmenghabiskanpersediaan makanan Menyelesaikan perbandingan berbalik nilai a1 b1 a2 b2 Hasil kali silang a1 x b1 = a2 x b2 Perbandingan senilai HIMPUNAN A.Pengertian Himpunan Himpunanadalahkumpulanbenda-bendaatauobjek-objekyangdidiefinisikan(diberi batasan) dengan jelas.B.Keanggotaan suatu himpunan Benda-bendaatauobjek-objekdidalamhimpunandisebutanggotahimpunan.Untuk menyatakansuatuhimpunandigunakannotasi,bilabukananggota digunakan notasi . C.Menyatakan suatu himpunan Cara menyatakan suatu himpunan ada 3 macam, yaitu: 1.Cara Diskripsi Cara menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan sifat keanggotaannya saja. Contoh: X adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6 Ditulis X = { bilangan cacah kurang dari 6} 2.Cara Tabulasi (roster) Cara menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan anggotanya satu persatu. Contoh: X adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6 Ditulis X = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } 3.Cara rule Cara menyatakan suatu himpunan dengan menuliskan dalam notasi himpunan X adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6 Ditulis X = { x | x6, x bilangan cacah} D.Himpunan kosong, himpunan nol, dan himpunan semesta yHimpuankosongadalahhimpunanyangtidakmemilikianggota.Himpunankososng dinotasikan dengan atau { }. yHimpunannoladalahhimpunanyangberanggotakanhimpunannol.Himpunannol dituliskan { 0 }. Contoh: 1.A = {Siswa kelas IX yang tinggignyalebih dari 3 meter} artinya A = atau A = { }. 2.X = {Bilangan ganjil yang habis dibagi dengan 2} artinya X = atau X = { }. yHimpunansemestaadalahsuatuhimpunanyangmemuatsemuaanggotadalam pembicaraan. Himpunan semesta dilambangkan dengan huruf S. Contoh: 1.A = {a, b, c, d, e} dan X = {f, g, h, i} makaS = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} atau S = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j} 2.B = {1, 2, 3] maka S = {Bilangan asli} atau S = {bilangan bulat} E.Himpunan bagian JikasetiapanggotahimpunanbagianAmerupakananggotahimpunanBmakaAdisebut himpunan bagian, atau subset B. Penulisan notasi himpunan bagian seperti berikut: yA B dibaca A himpunan bagian B yA B dibaca A bukan himpunan bagian B yJikajumlahanggotasuatuhimpunanAadalahn(A)=N,makabanyaknyaanggota himpunan bagian dari A sebanyak 2N . Contoh: P = {c, b, f}Himpunan bagian P adalah {c}, {b}, {f}, {c,b}, {c,f}, {b, f}, {c, b, f} dan { } Jadi banyaknya himpunan bagian P adalah 23 = 8, termasuk himpunan kososng ({})dan P itu sendiri yaitu {c, b, f} F.Operasi Himpunan Operasi himpunan diantaranya adalah: 1.Irisan (Intersection) IrisanhimpuanAdanBadalahhimpunanyanganggotanyamerupakananggotaAdan juga anggota B. A B ={x | x A dan X B} 2.Gabungan (union) G.Sifat-sifat operasi himpuan BANGUN DATAR SEGI EMPAT A.PERSEGI Persegi adalah bangun segiempat yang memiliki panjang sisi sama. Sifat-sifat persegi yaitu: a.Panjang sisinya sama b.Diagonalnya sama panjang c.Masing-masing besar sudutnya 90o Luas =s x s Keliling = 4 x s Ketrengan s = sisi B.PERSEGI PANJANG Persegipanjangadalahbangunsegiempatyangmempunyaiduapasangsisisejajaryang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang sama besar. Sifat-sifat persegi panajang yaitu: AAAB CCAD As a.Sisi-sisi yang berhadapan dan sejajar memiliki panjang sama. b.Masing-masing besar sudutnya 900 c.Diagonalnya sama panjang Luas = p x l Keliling = 2p + 2l Keterangan: p = panjang dan l lebar
C.TRAPESIUM Trapesiumadalahbangunsegiempatyanghanyamemilikisepasangsisisejajar.Pada trapesium, jumlah besar pasangan sudut yang sepihakadalah 1800. Berdasarkan bentuknya, trapesium dibedakan menjadi tiga macam yaitu: a.Trapesium sama kaki Pada trapesium sama kaki, panjang dua sisi miringnya samab.Trapesium siku-siku Trapesium sama kaki memiliki satu sisi miring, salah satu sudutnya siku-siku. c.Trapesium sembarang Padatrapesiumsembarang,keempatsudutnyamemilikipanjangberbeda.Trapesium sembarang tidak memiliki sudut siku-siku. Luas = x jumlah sisi sejajar + t = (AB + CD) + t Keliling = jumlah keempat sisinya = AB + BC + CD + DA Keterangan: t = tinggi D.JAJARGENJANG Jajargenjangadalahbangunsegiempatyangmemilikiduapasangsisisejajardantidak memilikisudutsiku-siku.Jajargenjangdapatdibentukdariduasegitigayangsamabentuk dan ukurannya. Sifat-sifat jajargenjang yaitu: a.Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar b.Jumlah dua sudut yang berdekatan 1800 c.Sudut-sudut yang berhadapan sama besar d.Diagonalnya tidak sama panjang Luas = a x tKeliling = Jumlah keempat sisinya = AB + BC CD + DA Keterangan: a = alas dan t = tinggi E.LAYANG-LAYANG Layang-layang adalah bangun bangun datar yang terbantuk dari dua buah segitiga sama kaki yang memiliki panjang alas sama dan berhimpit pada alasnya. Sifat-sifat layang-layang yaitu: a.Memiliki dua pasang sisi yang sama panjang b.Memiliki sepasang sudut berhadapan yang sama besar c.Memiliki diagonal yang tidak sama panjang AAAB CCAD Ap Al B C D AAAB ACAD At A B CD t a d.Salah satu diagonalnya menjadi sumbu simetri e.Memiliki dua simetri putar f.Diagonal-diagonalnya saling berpotongan tegak lurus Luas = d1 x d2Keterangan: d = diagonal= AC x BD Keliling = jumlah keempat sisinya = AB + BC + CD + DA F.BELAH KETUPAT Belahketupatadalahbangunsegiempatyangmemiliki panjangsisisamadansudut-sudutyangberhadapansama besar. Belah ketupatdibentukdari dua buah segitiga sama kaki yang berukuran sama. Siaft-sifat belah ketupat yaitu: a.Panjang sisi sama panjang b.Diagonalnya tidak sama panjang c.Diagonalnya saling berpotongan tegak lurus d.Besar sudut yang berhadapan sama Luas = d1 x d2Keterangan: d = diagonal= AC x BD Keliling = jumlah keempat sisinya = AB + BC + CD + DA BAB 6 SUDUT BAB 7 SEGITIGA A.Pengertian Segitiga adalah bangun datar yang memiliki 3 sis dan 3 sudut. Gamabar di samping disebut segitgaABC ((ABC) dengan A, B dan C sebagai titik sudutnya. Sisi a = BC adalah sisi didepan A Sisi b = AC adalah sisi didepan B Sisi c = AB adalah sisi didepan C B.Jenissegitiga 1.Berdasarkan panjang sisinya a)Segitiga sama kaki adalah segitiga yang memiliki dua sisi sama panjang dan dua sudut yang sama besar. b)Segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki 3 sisi sama panjang dan besar setiap sudutnya sama besar. c)Segitiga sembarang adalah segitiga yang memiliki 3 sisi dengan panjang berbeda 2.Berdasarkan besar sudutnya a)Segitiga lancip adalah segitiga yang setiap sudut dalamnya merupakan sudut lancip, memiliki besar kurang dari 90o. A B C D AA AB AC Ac Aa Ab b)Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku (salah satu sudutnya memiliki besar 90o). c)Segitiga tumpul adalah segitiga yang salah satu sudut dalamnya merupakan sudut 3.Berdasarkan panjang sisi dan besar sudutaa)Segitiga lancip sama kaki b)Segitiga siku-siku sama kaki c)Segitiga tumpul sama kaki d)Segitiga lancip sama sisi e)Segitiga lancip sembarang f)Segitiga siku-siku sembarang g)Segitiga tumpul sembarang C.Jumlah sudut dalam segitiga Pada segitiga ABC sembarang selalu berlaku : jumlah besarsudut-sudutnya = 180o A + B + C = 180o D.Keliling dan luas segitiga Keliling segitigaABC K = a + b + c Luas segitiga ABC atau Luas = dengan s = (a + b + c) E.Sifat-sifat segitiga 1.Jumlah 2 sisi selalu lebih panjang dari sisi ketiga. a + b " c a + c " b b + c " a 2.Sudut dan panjang sisi-sisinya berbanding lurus, sudut terbesar menghadap sisi terpanjang, sudut terkecil menghadap sisi terpendek. 3.Ukuran sebuah sudut luar suatu segitiga = jumlah dua sudut dalam yang tidak berpelurus dengan sudut luar tersebut CBD = A + C F.Garis-garis pada segitiga a. Garis Garis tinggi yaitu garis yang tegak lurus dengan alas dan tinggi. Notasi tegak lurus ditulisB. AAAB AC Aa Ac Ab At AA AB AC Ac Aa Ab AA AB AC Ac Aa Ab AD tttt tttattta ttt tt a a adalah sisi alas segitiga, maka a B t b.Garis bagi yaitu garis yang membagi sudut menjadi dua bagian yang sama besar. CD garis bagi C BE garis bagi B c.Garis berat yaitu garis yang ditarik dari titik sudut dan membagi sisi didepannya menjadi dua bagian yang sama. CD adalah garis berat AB BE adalah garis berat AC AF adalah garis berat BC Z adalah titik berat d.Pada garis berat(ABC di atas berlaku: CD2 = AC2 + BC2 AB2 atau Z = 1/3 (A + B + C) Dengan Z, A, B, dan C dalam bentuk titik koordinat BAB 8 PEMFAKTORAN SUKU-SUKU BAB 9 RELASI DAN PEMETAAN BAB 10 PERSAMAAN GARIS LURUS DAN SISTEM PELSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPLDV) A.Bentuk umum persamaan garis lurus Bentuk umumpersamaan garis lurus adalah:y = ax + b ax + by + c = 0B.Gradien 1.Gradien dari 2 titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) 2.Gradien garis dari persamaan garis lurus a.Jika persamaan garis lurus berbentuk: A D B E E C E A D B F C E Z y = mx + c gradien = m b.Jika persamaan garis lurus berbentuk: ax + by + c = 0gradien = - C.Menentukan persamaan garis lurus 1.Persamaan garis lurus melalui titik p (x1, y1) dengan gradien m, y y1 = m (x x1) 2.Persamaan garis lurus melalui dua titik P (x1, y1) dan Q (x2, y2) 3.Persamaangarislurusyangmelaluititikpotongsumbu-sumbukoordinatyaitu(p,0)dan (0,q) py + qx = pq D.Hubungan antara dua buah garis 1.Dua garis saling berpotongan Titik potong p (x,y) diperoleh dari himpunan penyelesaian PLDV: y = ax + b y = cx + d 2.Dua garis saling tegak lurus Garis g dan h saling tegak lurus dan dinotasikan g B h Hubungan garis yang berlaku antara garis g dan h saling tegak lurus tersebut adalah:mg . mh = -1 3.Dua garis yang saling sejajar Garis g sejajar garis h dinotasikan g ffh, dan berlaku mh = mg B.SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL 1.Bentuk umum p P,0 q q,0 x y P(x,y) g1 : y = ax + bg2 : y = cx + dax + b = cx + d h g y x g h ax + by = c disebut persamaan linear dua variable dalam x dan y dengan a, b, dan c sebagai konstanta. Contoh: a.6x 4y = 12 b. 2.Sistem persamaan linear dua variable Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persaman linear duavariable yang hanya memiliki satu titik penyelesaian. Bentuk umum: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 3.Mencari himpunan penyelesaian system persamaan linear dua variable Himpunanpenyelesaiandarisystempersamaanlinearduavariabledapatditentukan dengan cara: a.Metode grafik Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2x + y = 6 dan x y = -3 Jawab: Untuk 2x + y = 6 Untukx y = -3 Sumbu x03Sumbu x0-3 Sumbu y60Sumbu y30 b.Metode substitusi Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2x + y = 6 dan x y = -3 Jawab: Metodesubstitusidimulaidenganmenyatakansebuahvariabledarisalahsatusystem persamaan linear dua variable dalam variable lain. y2x + y = 6 y = 6 2x ..(1) x y = -3 . (2) ySubstitusikan persamaan (1) ke (2), diperoleh: x y = -3 x (6 2x) = -3 x 6 + 2x= -3 3x - 6 = -3 3x - 6 + 6 = -3 + 6 3x= 3 x= 1 ySubstitusikan x = 1 kepersamaan (1), diperoleh: y = 6 2x y = 6 2(1) Memiliki satu titik penyelesaian y = 6 2 y = 4 Jadi himpunan penyelesian dari 2x + y = 6 dan x y = -3 adalah {(1,4)} c.Metode eliminasiMetode eliminasi dilakukan dengancara mengeliminasi ataumenghilangkan salah satu variable yang ada dalam PLDV, yaitu variable x atau y. Langkah penyelesiaan dengan metode eliminasi: (1)Samakan koefisien salah satu variable x atau y (2)Eliminasikanpersamaantersebutsehinggasukuyangsamahilang(denganopeasi penjumlahan atau pengurangan), selesaikan dan tentukan nilai salah satu variable. (3)Substitusikannilaivariableyangditemukanuntukmenemukannilaivariablelain, atau ikuti langkah (1) sampai (3) untuk variable lain. Tentukan himpunan penyelesaian dari: 2x + y = 6 dan x y = -3 Jawab:yMencari nilai x dengan mengeliminasi y 2x + y = 6 Keterangan: x y = -3Karena koefisien y sudah sama dan berlawanan maka 3x = 3 langsung dieliminasi x= 1 yMencari nilai y dengan mengeliminasi x 2x + y = 6x 12x + y = 6 x y = -3x 22x 2y = -6 3y = 12
y= 4 Jadi himpunan penyelesian dari 2x + y = 6 dan x y = -3 adalah {(1,4)} d.Metode eliminasi dan substitusi (campuran) yEliminasi x atau y 2x + y = 6 .(1) x y = -3.(2) 3x = 3
x= 1 ySubstitusikan x = 1 kepersamaan (1) dan (2) 2x + y = 6 2(1) + y = 6 2 + y= 6 2 2 +y = 6 -2 Y = 4 Jadi himpunan penyelesian dari 2x + y = 6 dan x y = -3 adalah {(1,4)} 4.Model matematika Untukmenyelesaikansoalcerita(penerapandarisystempersamaanlinearduavariable), perlu dibuatkan model matematika. Model matematika merupakanterjemahansoal cerita dalam bentuk persamaan matematika. Langkah-langkahnya sebagai berikut: a)Simaksoalceritadenganbaik,kemudiannyatakanvariableyangbelumdiketahui dalam x dan y b)Buatlah persamaannya. Contoh: Harga2bukudan3polpenadalahRp10.200,00sedagkanharga3bukudan4pulpen adalah Rp 14.400,00. Tentukan harga sebuah buku dan 2 buah pulpen. Jawab: Misal: Harga 1 buku = x rupiah Harga 1 pulpen = y rupiah yModel matematika: Harga 2 buku dan 3 pulpen Rp 10.200,002x + 3y = 10.200..(1) Harga 3 buku dan 4 pulpen Rp 14.400,003x + 4y = 14.400..(2) yEliminasi x 2x + 3y = 10.200 x 3 6x + 9y = 30.600 3x + 4y = 14.400 x 2 6x + 8y = 28.800 y = 1.800 ySubstitusikan y = 1.800 kepersamaan (1) 2x + 3y = 10.200 2x + 3 (1.800)= 10.200 2x + 5.400= 10.200 2x + 5.400 5.400 = 10.200 5.400 2x = 4.800
x = 2.400 Harga sebuah buku = x = Rp 2.400,00 Harga sebuah pulpen = y = Rp 1.800,00 Jumlah harga 1 buku dan 2 pulpen = x + 2y = Rp 2.400,00 + 2(Rp 1.800,00)= Rp 2.400,00 + Rp 3.600,00 = Rp 6.000,00 BAB 11 LINGKARAN Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak sama terhadap titik tertentu.Dimanatitiktertentutersebutadalahtitikpusatlingkarandanjarakantara titik-titik terhadap titik pusat adalah merupakan jari-jari lingkaran. 1.Unsur-unsur lingkaran Perhatikan gambar dibawah ini! AB E D O C Tembereng Juring O: pusat lingkaran OA, OB, OD: jari-jari lingkaran AD, AB, BC: tali busur lingkaran AB : diameter (tali busur yang melalui titik pusat) : busur lingkaran : apotema (garis dari O B tali busur AD) Daerah OBD: juring Daerah BFC: tembereng 2.Keliling dan Luas Lingkaran Lingkaran dengan jari-jari (r) atau diameter (d) memiliki: K = 2ratau K = ddengan = 3,14 atau = L = r2 atau L= d2 3.Hubungan panjang busur, luas juring, dan susut pusat. yPanjang busur yLuas juring 4.Sudut pusat dan sudut keliling AOC = sudut pusat lingkaran ABC dan ADC = sudut keliling lingkaran Sifat: a.Sudutpusat=2xsudutkelilingyangmenghadapbusuryangsama(AOC= 2ABC = 2ADC) b.Duasudutkelilingyangmenghadapbusursamamempunyaiukuranyangsama (ABC = ADC) c.Sudut keliling yang menghadap diameter = 90o ; L = 90o A B C O E 5.Sudut antara 2 tali busur Pada gambar, tali busur AB dan CD berpotongan di E.a.Sudut dalam: AEC = (AOC + BOD) b.Sudut luar: AEC = (AOC - BOD) 6.Segi empat tali busur Sifat: a.A + C = B + D = 180o b.AC x BD = (AD x BC) + (AB x CD) 7.Lingkaran dan segitiga OA = OB = OC = RL = jari-jari lingkaran luar segitiga. OD = OE = OF = RD = jari-jari lingkaran dalam segitiga Keterangan: s = 8.Garis singgung lingkaran Sifat: a.AM (jari-jari) B AB b.AB=
yGaris singgung persekutuan luar 2 lingkaran AB= yGaris singgung persekutuan dalam 2 lingkaran AB= Keterangan: AB = panjang garis singgung R dan r adalah jari-jari lingkaran M dan N pusat lingkaran 9.Kedudukan 2 lingkaran BAB 12 BANGUN RUANG A.Bentuk bangun ruang 1.Prisma Prismaadalahbangunruangyangdibatasiolehduabidangyangsejajar(alasdan tutupnya)danbidang-bidangtegakyangsalingberpotonganmenurutrusuk-rusuk sejajar. Contoh: 2.Tabung Kubus Prisma Segitiga Prisma Segi Lima Balok Tabung dapat juga dianggap prisma denganalasdantutup berbentuklingkaran(segi banyak) 3.Limas Limasadalah bangunruang yang dibatasi oleh sebuahalas segi-ndan bidang-bidang tegak berbentuk segitiga yang puncaknya bertemu disati titik. 4.Kerucut Kerucut dapat dianggap sebagai limas dengan alas berbentuk lingkaran. s = di mana : s = garis pelukis t = tinggi kerucut r = jari-jari kerucut 5.Bola Boal adalah bangun ruang yang dibatasi oleh kulit bola B.Unsur bangun ruang Pada Balok ABCD.EFGH terdapat 1.Titik sudut: A, B, C, D, E, F, G, H 2.Rusuk: Rusuk horizontal: AB, CD, EF dan GH Rusuk vertical: AE, BF, CG, dan DH Rusuk Ortogonal: AD, BC, EH, dan FG 3.Bidang atau sisi: ABFE disebut bidang frontal Hubunganbanyaksisi(S),titiksudut(T),dan rusuk (R) dinyatakan dengan rumus euler:S + T = R + 2 4.Diagonalbidangatausisiadalahgarisyang menghubungkan2titiksudutberhadapan dalam satu bidang.Contoh: AC, BD, AF, BE dan seterusnya. 5.Diagonalruangadalahgarisyang menghubungkan2titiksudutberhadapanyang tidak sebidang. Contoh: AG, HB, CE dan dan DF Limas SegitigaLimas Segi empat r st r st AB C D EF G H AB C D EF G H AB C D EF G H AB C D EF G H 6.Bidangdiagonaladalahbidangyangmelalui2 diagonal bidang sejajar Contoh:ACGE,BDHF,ABGH,CDEF,BCHE,dan ADGF C.Banyaknya unsurtiap bangun ruang NoUnsurPrisma segi-nBalok/KubusLimas Segi-n 1Titik Sudut2n8n + 1 2Sisi (Bidang)n + 26n + 1 3Rusuk3n122n 4Diagonal Bidangn (n 1)12 (n 3) 5Diagonal ruangn (n 3)4- 6Bidang Diagonal (n 1) 6- D.Panjang diagonal bidang dan diagonal ruang 1)Pada kubus dengan rusuk s Diagonal bidang: Diagonal ruang: 2)Pada balok Diagonal bidang depan: Diagonal bidang samping : Diagonal bidang alas : Diagoanl ruang :
E.Jaring-jaring kubus dan balok Jaring-jaring kubus merupakan rangkaian persegi pembentuk kubus yang direbahkan. Contoh:
Jaring-jaringbalokmerupakanrangkaianpersegipanjangpembentukbalokyang direbahkan. Contoh: F.Kerangka kubus dan balok Panjang kerangka kubus = 12 x s Panjang kerangka balok = 4p + 4l + 4t = 4 (p + l + t) s s s p l t G.Volume dan luas bangun ruang Bangun RuangVolumLuas Permukaanketerangan KubusV = s3L = 6s2Panjang rusuk s BalokV = p . l . tL = 2 (pl + pt + lt)t= tinggi PrismaV = Lalas . tL = 2Lalas + (Kalas . t)p = panjang TabungV = r2 . tL = 2 r (r + t)l = lebar Limas V = L = Lalas + Lselimut tabung r = jari=jari Kerucut V = L =r (r + s)S = garis pelukis BAB 13 KESEBANGUNAN DAN KONGRUEN A. Bangun yang sebangun Dua bangun datar dikatakan sebangun jika memenuhi sifat sebagai berikut: 1.Perbandingan panjang sisi-sisi yang satu letak atau bersesuaian sama. 2.Sudut-sudut yang satu letak atau bersesuaian sama besar. Untuk memenuhi konsep kesebangunan, perhatikan gambar berikut: SEGITIGA SEBANGUNKETERANGAN Sudutyangbersesuaiansamabesarnya, yaitu: P = P , Q = Q , R = R , Perbandingansisi-sisiyangbersesuaian sama, yaitu:dd dd dd Menghitung panjang sisi-sisi pada bangun yang sebangun 1.Pada segitiga sembarang ABPQ 2.Pada segitiga siku-siku 3.Pada dua segitiga yang sepasang sisinya sejajar 4.Sisi-sisi sejajar pada segitiga terpancung B.Bangun yang kongruen BAB 14 STATISTIKBAB 15 BARISAN DAN DERET BAB 16 PANGKAT TAK SEBENARNYA R QP E Q R P E AB C E
