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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Con aplicaciones en computadoras personales
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Metodos numericos para ingenieros

Aug 08, 2015

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Juan Moreno
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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Con aplicaciones en computadoras personales

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Con aplicaciones en computadoras personales

Steven C. Chapra, Ph.D. Professor of Civil Engineering Texas A&M University

Raymond P. Canale, Ph.D. Professor of Ci.vil Engineering The University of Michigan Traducción: Carlos Zapata S. Ingeniero Electricista, UDLA Diplomado en Ciencias de la Computación, Fundaci6n Arturo Rosenblueth

Alfredo Cortés Anaya Licenciado en Ciencias Físico-Matemiticas, UMSNH Maestro en Ciencias de la Computaci6n, IIMAS, UNAM

Revisión técnica: Fernando Vera Badillo Ingeniero Civil, Universidad La Salle Jefe del Departamento de Matemlticas Aplicadas, Universidad La Salle

McGRAW-HILL MÉXICO BOGOTA BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID

NUEVA YORK PANAMA SAN JUAN SANTIAGO SÁ0 PAUL0 AUCKLAND HAMBURG0 LONDRES MONTREAL

NUEVA DELHI PARíS SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TOKIO TORONTO

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METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS Con aplicaciones en computadoras personales

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medlo, sin autorizactón escrita del editor

DERECHOS RESERVADOS (9 1987, respecto a la primera edición en español por LIBROS McGRAW-HILL DE MCXICO. S. A. DE C. V.

Atlacomulco 499-501, Fracc. Industrial San Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la lndustrla Editorial, Reg. Núm. 465

ISBN 968-451-847-1

Traducido de la primera edlclon en Inglés de Numerical Methods for Engineers with Personal Computer Applications

Copyright @ MCMLXXXV, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A

ISBN 0-07-010664-9

1234567890 L.M.437 8012345697

Impreso en Mexico Punted In Mexico

Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 1988 en Talleres Gráficos Continental, S. R. de C. V. Calz. Tlalpan No. 4620 col. Niño Jesús Delegación Tlalpan 1408 México, D.F. Se tiraron 2 600 ejemplares

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C O N T E N I D O

PREFACIO

PARTE I LOS METODOS NUMERICOS Y LAS COMPUTADORAS PERSONALES I. 1 Motivación 1.2 Fundamentos matemáticos

1.3 Orientación

Capítulo 1 Modelos matemáticos Problemas

Capítulo 2 La programación en las computadoras personales

2.1 Antecedentes históricos 2.2 Desarrollo de programas

2.3 Desarrollo de un programa para el problema del paracaidista 2 .4 Estrategias de programación

Problemas

Capítulo 3 Aproximaciones y errores 3.1 Cifras significativas 3.2 Exactitud y precisión 3.3 Definiciones de error 3.4 Errores de redondeo 3.5 Errores de truncamiento 3.6 Error numérico total 3.7 Errores por equivocación, de planteamiento

e incertidumbre en los datos Problemas

xi

1 4 7

1 1 19

21 22 24 46 52 56

63 64 66 67 72 77 95

96 98

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Vi CONTENIDO -

EPILOG0 PARTE I 1.4 Elementos de Juicio 1.5 Relaciones y fórmulas importantes 1.6 Métodos avanzados y algunas referencias adicionales

PARTE II RAíCES DE ECUACIONES I I. 1 Motivación 11.2 Fundamentos matemáticos 11.3 Orientación

Capítulo 4 Métodos que usan intervalos 4.1 Métodos gráficos 4.2 Método de bisección 4.3 Método de la regla falsa 4.4 Búsquedas con incrementos determinando una

aproximación inicial

Problemas

Capitulo 5 Métodos abiertos 5.1 Iteración de punto fijo 5.2 Método de Newton-Raphson 5.3 Método de la secante 5.4 Raíces múltiples

Problemas

EPiLOGO PARTE II 11.4 Elementos ¿e juicio 11.5 Relaciones y fórmulas importantes 11.6 Métodos avanzados y algunas referencias adicionales

PARTE 111 SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES I I I. 1 Motivación 111.2 Fundamentos matemáticos 111.3 Orientación

Capítulo 7 Eliminación gaussiana 7.1 Solución de pocas ecuaciones 7.2 Eliminación gaussiana simple

1 o1 106 107

109 112 114

119 119 123 132

139 140

145 146 152 158 163 167

171 172 177 180 183 1 86 1 89

197 199 199

203 206 21 5

219 219 227

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EPILOG0

PARTE IV

7.3 Desventajas de los métodos de eliminación 7.4 Técnicas de mejoramiento en las soluciones

7.5 Resumen Problemas

Capítulo 8 Gauss-Jordan, inversión de matrices y Gauss-Seidel

8.1 Método de Gauss-Jordan 8.2 Inversión de matrices 8.3 Método de Gauss-Seidel

Problemas

Capítulo 9 Casos de la parte 111: Sistemas de ecuaciones

Caso 9.1 Distribución de recursos (Ingeniería en general) ,

Caso 9.2 Cálculo de distribución de temperaturas

Caso 9.3 Análisis de una armadura estáticamente determinada

Caso 9.4 Corrientes y voltajes en circuitos resistivos

Caso 9.5 , Dinámica de partículas y cuerpos rígidos

Problemas

algebraicas lineales

(Ingeniería química)

(Ingeniería civil)

(Ingeniería eléctrica)

(Ingeniería mecánica)

PARTE 111 111.4 Elementos de juicio 111.5 Relaciones y fórmulas importantes 111.6 Métodos avanzados y algunas referencias adicionales

AJUSTE DE CURVAS IV. 1 Motivación IV.2 Fundamentos matemáticos lV.3 Orientación

Capítulo 1 O Regresión con mínimos cuadrados 10.1 Regresión lineal 10.2 Regresión polinomial 10.3 Regresión lineal múltiple

Problemas

Capitulo 1 1 lnterpolación 1 l. 1 Polinomios de interpolación con diferencias

divididas de Newton 11.2 Polinomios de interpolación de Lagrange 11.3 Comentarios adicionales 11.4 lnterpolación segmentaria (spline)

Problemas

236 244 252 254

259 259 262 268 276

279 280

283

287

29 1

293 295

30 1 304 304

307 310 315

319 32 1 336 342 345

349

350 363 368 370 383

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vi¡¡ CONTENIDO

EPiLOGO

PARTE V

Capítulo 12 Casos de la parte IV: Ajuste de curvas 387 Caso 12.1 Modelo de ingeniería de venta de productos

(Ingenieria en general) 387 Caso 12.2 Regresión lineal y modelos demográficos

(Ingeniería química) 39 1 Caso 12.3 Ajuste de curvas en el diseño de un mástil para barco

(Ingenieria civil) 395 Caso 12.4 Ajuste de curvas en la estimación de la corriente RMS

(Ingeniería eléctrica) 399 Caso 12.5 Regresión lineal múltiple en el análisis de datos

experimentales (Ingeniería mecánica) 402 Problemas 404

PARTE IV IV.4 Elementos de juicio IV.5 Relaciones y fórmulas importantes IV.6 Métodos avanzados y algunas referencias adicionales

INTEGRACION V. 1 Motivación V.2 Fundamentos matemáticos V.3 Orientación

409 41 1 41 1

41 5 422 424

Capítulo 13 Fórmulas de integración de Newton-Cotes 429 13.1 Regla del trapecio 43 1 13.2 Regla de Simpson 443 13.3 Integración con intervalos desiguales 455 13.4 Fórmulas de integración abierta 458

Problemas 46 1

Capítulo 14 Integración de Romberg y cuadratura gaussiana 465 14.1 Integración de Romberg 465 14.2 Cuadratura gaussiana 474

Problemas 484

Capítulo 15 Casos de la parte V: Integración 487 Caso 15.1 Análisis de movimiento de efectivos (Ingeniería en general) 488 Caso 15.2 El uso de integrales para determinar la cantidad total

de calor en los materiales (Ingeniería química) 490 Caso 15.3 Fuerza efectiva sobre el mástil de un velero de carreras

(Ingeniería civil) 492 Caso 15.4 Determinación de la corriente RMS mediante integración

numérica (Ingeniería eléctrica) 496 Caso 15.5 Integración numérica en el cálculo del trabajo

(Ingeniería mecánica) 499 Problemas 503

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CONTENIDO iX

EPiLOGO PARTE V V.4 Elementos de iuicio V.5 Relaciones y fórmulas importantes V.6 Métodos avanzados y algunas referencias adicionales

PARTE VI ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS VI. 1 Motivación V1.2 Fundamentos matemáticos V1.3 Orientación

Capítulo 16 Métodos de un paso 16.1 Método de Euler 16.2 Modificaciones y meioras al método de Euler

16.3 Métodos de Runge-Kuttc 16.4 Sistemas de ecuaciones

Problemas

Capítulo 17 Métodos de pasos múltiples 17.1 Un enfoque simple de pasos múltiples: Método de

Heun sin principio

17.2 Fórmulas de integración 17.3 Métodos de pasos múltiples de orden superior

Problemas

Capítulo 18 Casos de la parte VI: Ecuaciones diferenciales ordinarias Caso 18.1 Modelos matemáticos para proyectos de venta de

computadoras (Ingenieria en general) Caso 18.2 Diseño de un reactor para producción farmacéutica

(Ingeniería química) Caso 18.3 Deflexión del mástil de un velero (Ingeniería civil) Caso 18.4 Simulación de una corriente transitoria en un circuito eléctrico

Caso 18.5 El péndulo oscilante (Ingeniería mecánica) Problemas

(Ingeniería eléctrica)

EPiLOGO PARTE VI V1.4 Elementos de juicio V1.5 Relaciones y fórmulas importantes V1.6 Métodos avanzados y algunas referencias adicionales

BlBUOGRAFiA

iNDlCE

509 51 1 51 1

51 5 51 9 522

527 528

550 564 570

573

574 588 594 600

603

604

608 61 3

61 5 61 8 622

54 1

625 627 627

63 1

635

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P R E F A C I O

Para el ingeniero moderno el hecho de “ir a la par con su profesión” im- plica inevitablemente el uso de las computadoras. Hay pocas disciplinas, o dicho sea de otra forma, pocas actividades cotidianas que de alguna manera no tienen contacto con estas máquinas tan poderosas y rápidas. Ciertamente, las computadoras han sido por años un aliado de la inge- niería al desempeñar millares de tareas, tanto analíticas como prácticas, en el desarrollo de proyectos y la solución de problemas en forma más eficiente. En consecuencia, cuanto más a fondo y más temprano se fami- liarice el estudiante de ingeniería con su terminal o su computadora pel. sonal, mejor será su formación.

Pero, ¿desde cuándo?, y ¿qué tan a fondo debe ser este contacto? Los profesores de ingeniería reconocen desde hace mucho tiempo la im- portancia del entrenamiento en los primeros semestres en la tecnología de las computadoras. Tradicionalmente este entrenamiento abarcaba com- putadoras grandes (mainframes) y un lenguaje de programación de alto nivel como el FORTRAN. Desafortunadamente, es frecuente que a los estudiantes les resulte difícil aplicar sus nuevas habilidades a proble- mas de otras materias. Esto se debe a una variedad de factores, de entre los cuales no carece de importancia la preparación necesaria para usar sistemas con máquinas grandes. Como resultado, muchos estudiantes de ingeniería no explotan bien la capacidad de solución de problemas que tienen las computadoras hasta que están adentrados en su educación.

Creemos que la revolución de la microelectrónica nos da la oportuni- dad de integrar la computación de una manera más efectiva en el salón de clases. Debido a su bajo costo y conveniencia, las computadoras per- sonales pueden aumentar la capacidad del estudiante de ingeniería para resolver problemas durante sus años escolares. Sin embargo, para explo- tar esta oportunidad al máximo es necesaria una innovación de los cursos de introducción a la computación. Por ejemplo, a través de los años se ha desarrollado en las universidades’de Texas A&M y Michigan una rees- tructuración en dos etapas. Hay un “primer curso de computación” dedi- cado a orientar al estudiante al equipo computacional disponible y al

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Xii PREFACIO

desarrollo de habilidades firmes dentro de la programación. El “segundo curso de computación” está planeado para reafirmar estas habilidades y mostrar el empleo de la solu&n de problemas en ingeniería.

El presente libro emanó del segundo curso. Se eligió el tema de los métodos numéricos como punto principal por sus muchas aplicaciones a la ingeniería. Ya sea que los ingenieros utilicen software comercial o propio, creemos que es esencial una base sólida en los métodos numéri- cos para la aplicación efectiva de las computadoras en la solución de pro- blemas de ingeniería. Desafortunadamente, los métodos numéricos se presentan durante el último año de licenciatura o a nivel de posgradua- dos, años después del punto donde pudieron haber sido herramientas úti- les, instructivas y creativas para el futuro ingeniero.

Por consigu.iente, hemos elaborado este libro de tal forma que pueda enseñarse en los extremos inferior o superior de la carrera de ingeniería a nivel de licenciatura. Un aspecto de este plan se hace notar en la orga- nización y en el alcance del libro, que está dividido en seis partes. La parte I trata del material introductorio e incluye información sobre programación y análisis de aproximación y error. Las cinco partes restantes están dedica- das a las áreas de métodos numéricos, que tienen importancia directa para el candidato a ingeniero: raíces de ecuaciones no lineales, ecuaciones alge- braicas lineales, ajuste de curvas (regresión e interpolación), integración y ecuaciones diferenciales ordinarias. Excluimos temas como los valores ca- racterísticos y las ecuaciones diferenciales parciales, que tiene mayor impor- tancia para los estudiantes de posgrado.

Junto con este material hemos incorporado ciertas características adi- cionales en la elaboración de este libro, para hacerlo más accesible a lec- tores tanto de los primeros como de los últimos niveles de licenciatura. Incluyen:

1. Recuadros. Nos hemos empeñado en incluir derivaciones importan- tes y análisis de error, con el fin de enriquecer la presentación. Sin embargo, algunas veces tal material representa un escollo para el es- tudiante novato. En consecuencia, hemos apartado en recuadros el material matemático más complicado. Muchos estudiantes encontra- rán que pueden aplicar los métodos numéricos sin tener que domi- nar completamente el material contenido en los recuadros.

2. Material introductorio y fundamentos matemáticos. Cada parte del li- bro incluye una sección de introducción. Después de una breve ex- posición al problema matemático general que va a estudiarse, se suministra una motivación describiendo cómo podría enfocarse el pro- blema en ausencia de computadoras, y dónde se plantea este proble- ma en la práctica de la ingeniería. En seguida se efectúa una revisión de los conceptos matemáticos necesarios para comprender el tema por estudiar. Por ejemplo, se revisa álgebra matricial antes del estu- dio de ecuaciones algebraicas lineales, y estadística antes del estudio

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PREFACIO xiil

de regresión. Por último, se presentan un esquema y los objetivos de estudio de cada parte, como orientación para el lector.

3. Epilogos. Así como la introduccih está planeada para dar una mo- tivación y una orientación, incluimos un epílogo al final de cada parte del libro para consolidar ios conceptos recién adquiridos. Un detalle importante de este epílogo es una sección dedicada a los elementos de juicio necesarios para la elección de los métodos numéricos apropiados para un problema en particular. Además, se resumen algunas fórmulas importantes y se citan referencias para métodos avanzados.

4. Presentaciones secuenciales y gráficas. Cada parte principal del libro consta de tres capítulos: dos dedicados a la teoría y uno al estudio de casos. Siempre que es posible, los capítulos de teoría se estructu- ran en forma secuencial, esto es, primero se presentan los plantea- mientos más directos y elementales. Dado que muchos de los métodos más avanzados se construyen sobre los más simples, la intención de este desarrollo es proporcionar un sentido de evolución de las técni- cas. Adicionalmente hemos desarrollado representaciones gráficas para complementar las descripciones matemáticas en la mayor parte de los planteamientos contenidos en el libro. Hemos encontrado que esta orientación visual es particularmente efectiva para proporcionar una mayor comprensión a los estudiantes de los primeros niveles de licen- ciatura.

5. Estudio de casos. En cada parte del libro se incluyen casos para de- mostrar la utilidad práctica de los métodos numéricos. Se realizó un gran esfuerzo para dar ejemplos de los cursos iniciales de las carreras de ingeniería. Cuando esto no es posible, se han suministrado bases teóricas y motivación para los problemas.

6. Software. Se dispone de un paquete de software denominado NU- MERICOMP que muestra algunos métodos numéricos que se cubren en el texto: bisección, eliminación gaussiana, interpolación de Lagrange, regresión lineal, la regla trapezoidal y el método de Euler. Estos pro- gramas proporcionan al estudiante los criterios de programación nece- sarios para cada una de las partes del libro. El software está diseñado para utilizarse con facilidad. Los estudiantes también pueden emplear- lo para verificar los resultados de sus propios esfuerzos de programa- ción. Aunque el paquete es opcional, pensamos que puede lograrse un progreso más rápido cuando se emplean el libro y el software con- juntamente; se puede conseguir a través de McGraw-Hill para las com- putadoras personales IBM-PC y APPLE 11. Una versión profesional de NUMERICOMP puede adquirirse directamente de EnginComp Soft- ware, Inc., 15 Research Dr., Ann Arbor, MI 48103.

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Finalmente, nos hemos esforzado conscientemente en hacer este li- bro tan sencillo al usuario como sea posible, por lo que nos empefiamos en mantener nuestras explicaciones con una orientación directa y prácti- ca. Aunque nuestra intención primaria es presentar a los estudiantes una sólida introducción a los métodos numéricos, un objetivo subordinado ha sido hacer de esta introducción una experiencia agradable. Creemos que los estudiantes que disfruten los métodos numéricos, las computadoras y las matemáticas, serán al final mejores ingenieros. Si nuestro libro alienta el entusiasmo por estas materias, consideraremos nuestro esfuerzo como un éxito.

AGRADECIMIENTOS

Queremos agradecer las revisiones hechas por los profesores Ted Cad- man (University of Maryland), Lee W. Johnson (Virginia Polytechnic and State University), Richard Noble (University of Colorado), Satish Ramadh- yani (Purdue University), Howard Wicke (Ohio University) y Thomas C. Young (Clarkson University). Extendemos nuestra gratitud a la Texas A&M University y a la University of Michigan por proporcionarnos apoyo secretarial y gráfico y el tiempo necesario para preparar este libro. En par- ticular, Donald McDonald y Roy Hann de Texas A&M apoyaron cons- tantemente este esfuerzo. Obtuvimos sugerencias y buenas ideas de nuestros colegas Bill Batchelor, Harry Jones, Bill Ledbetter, James Mar- tin y Ralph Wurbs. Jeanne Castro ideó la organización gráfica de los capí- tulos. También Vanessa Stipp, con la ayuda de Kathy Childers, Cindy Denton y Frances Kahlich, hicieron una excelente labor al mecanografiar el manuscrito.

Este libro se experimentó en clase durante cuatro semestres, princi- palmente con alumnos de segundo año en Texas A&M y durante dos semestres con alumnos de todos los niveles de licenciatura en Michigan. Durante este tiempo, muchos de los alumnos nos ayudaron a comprobar la exactitud matemática y a enriquecer la comprensión de este libro. Lisa Olson leyó el texto completo varias veces y preparó los programas en FOR- TRAN. Tad Slawecki proporcionó una ayuda excelente en cuanto al soft- ware complementario. Además, Marla lsenstein, Luis Garcia, Sijin “Tom” Lee y Rick Thurman hicieron contribuciones notables.

También debemos agradecer a Kiran Verma, Dave Damstra y a B. J. Clark de McGraw-Hill su supervisión y aliento. Ursula Smith efectuó un trabajo impecable en la edición de pruebas del libro. Finalmente, nos gustaría agradecer a nuestras familias, amigos y colegas, quienes sopor- taron comprensivamente la gran cantidad de horas “robadas”, necesa- rias para completar esta obra.

Steven C. Chapra Raymond P. Canale

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P A R T E U N O

LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y LAS COMPUTADORAS PERSONALES

'), 7,

I . 1 MOTIVACI~N Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas de tal for- ma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos, todos comparten una característica co- mún: Invariablemente los métodos numéricos Ile- van a cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el pa- pel de los métodos numéricos en la solución de pro- blemas de ingeniería haya aumentado considera- blemente en los últimos años.

I . 1 . l Métodos anteriores a la aparición de la computadora

Más allá de sólo proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad general de las computadoras (especialmente de las compu- tadoras personales) y su asociación con los méto- dos numéricos, ha tenido una influencia muy significativa en el proceso de solución de proble- mas de ingeniería. Antes del uso de la computa- dora había tres métodos diferentes que los inge- nieros aplicaban a la solución de problemas: 1. Primero, se encontraban las soluciones de al-

gunos problemas usando métodos exactos o analíticos. Con frecuencia estas soluciones re- sultaban útiles y proporcionaban una compren- sión excelente del comportamiento de algunos sistemas. Sin embargo, las soluciones analiti- cas pueden encontrarse sólo para una clase Ii- mitada de problemas. Estos problemas incluyen aquellos que pueden aproximarse mediante modelos lineales y también aquellos que tienen una geometría simple y pocas dimensiones. En consecuencia, las soluciones anabjticas tienen valor práctico limitado, porque la mayor par- te de los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesos complejos.

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2 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

2.Para analizar el comportamiento de los sistemas se usaban solu- ciones gráficas. Éstas tomaban la forma de grafos o nomogramas. Aunque las técnicas gráficas a menudo pueden emplearse para re- solver problemas complejos, IQS resultados no son muy precisos. Es más, las soluciones gráficas (sin la ayuda de una computadora) son tediosas en extremo y difíciles de implementar. Finalmente, las técni- cas gráficas están limitadas a aquellos problemas que puedan des- cribirse usando tres dimensiones o menos.

3. Para implementar los métodos numéricos se utilizaban calculado- ras manuales y reglas de cálculo. Aunque en teoría estas aproxi- maciones deberían ser perfectamente adecuadas para resolver problemas complicados, en la práctica se presentan algunas difi- cultades. Los cálculos manuales son lentos y tediosos. Además no existen resultados consistentes debido a que surgen equivocacio- nes cuando se efectúan las tareas manualmente.

Antes del uso de la computadora, se gastaba mucha energía en la técnica misma de solución, en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación (Fig. 1.1~). Esta situación desafortunada existía debido al tiempo y trabajo monótono que se requerían pa- ra obtener resultados numéricos con técnicas que no utilizaban a la computadora.

Hoy en día, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para cálculos tan complicados. AI usar la compu- tadora para obtener soluciones directamente, se pueden aproximar los cálculos sin tener que recurrir a suposiciones de simplificación o técnicas deficientes. Aunque dichas suposiciones son aún extremada- mente valiosas tanto para resolver problemas como para proporcionar una mayor comprensión, los métodos numéricos representan alternati- vas que amplían considerablemente la capacidad para confrontar y resolver los problemas; como resultado, se dispone de más tiempo para aprovechar las habilidades creativas personales. Por consiguiente, es posible dar más importancia a la formulación de un problema, a la interpretación de la solución y a su incorporación al sistema total, o conciencia “holística” (Fig. 1 . 1 b).

1.1.2 Los métodos numéricos y la práctica de la ingeniería

Desde finales de la década de 1940, la multiplicación y disponibilidad de las computadoras digitales ha llevado a una verdadera explosión en cuanto al uso y desarrollo de los métodos numéricos. Al principio, este crecimiento estaba algo limitado por el costo de acceso a com- putadoras grandes (rnainfiames), por lo que muchos ingenieros conti- nuaban usando simples planteamientos analíticos en una buena parte

Page 16: Metodos numericos para ingenieros

LOS METODOS NUMÉRICOS Y LAS COMPUTADORAS PERSONALES ..___ 3

Formulac4dn

Exposici6n a fondo de 1. rdaci6n del

problema con las leyes fundamentales

fundamentales

Metodos muy elaborados Mdtodo num6rico y frecuentemente complcador

para hacer manelable el problema

lnterpretacidn

lhmitado por una Anll~om a fonda

holisticamente y permite pensar

desarrollar la intulmdn: se puede estudtar la

FIGUR A 1 . 1 Las tres fases en la solución de problemas de ingeniería en a) la era anterior a las computadoras y b) la era de las cornputadoras. Los tamaños de los recuadros indi- can el nivel de importancia que se dirige a cada fase en el salón de clases. Las corn- putadoras facilitan la implementación de técnicas de solucion y así permiten un mayor cuidado sobre los aspectos creativos de la formulación de problemas y la interpreta- ción de resultados.

de su trabaio. N o es necesario mencionar que la reciente evolución de computadoras personales de baio costo, ha dado a mucha gente un fácil acceso a poderosas capacidades de cómputo.

Además existe un buen número de razones por las cuales se deben estudiar los métodos numéricos:

1. Los métodos numéricos son herramientas extremadamente pode- rosas para la solución de problemas. Son capaces de manejar sis- temas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas que son comunes en la práctica de la ingeniería y que, a menudo, son imposibles de resolver analíticamente. Por l o tan- to, amplían la habilidad de quien los estudia para resolver pro- blemas.

2. En el transcurso de su carrera, es posible que el lector tenga la ocasión de usar software disponible comercialmente que conten-

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4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

ga métodos numéricos. El uso inteligente de estos programas de- pende del conocimiento de la teoría básica en la que se basan estos métodos.

3. Hay muchos problemas que no pueden plantearse al emplear pro- gramas “hechos”. Si se está versado en los métodos numéricos y se es un adepto de la programación de computadoras, enton- ces se tiene la capacidad de diseñar programas propios para re- solver los problemas, sin tener que comprar un software costoso.

4. Los métodos numéricos son un vehículo eficiente para aprender a servirse de las computadoras personales. Es bien sabido que una manera efectiva de aprender a programar las computadoras es al escribir los programas. Como los métodos numéricos, en su ma- yor parte están elaborados para implementarse en computado- ras, resultan ideales para este propósito. Aún más, están especial- mente adaptados para ilustrar la potencia así como las limitaciones de las computadoras. Cuando el lector implemente con buen re- sultado los métodos numéricos en una computadora personal y los aplique para resolver problemas que de otro modo resultan intratables, entonces tendrá una demostración tangible de cómo pueden ayudarle las computadoras para su desarrollo profesional. AI mismo tiempo, aprenderá a reconocer y controlar los errores de aproximación que son inesperables de los cálculos numéricos a gran escala.

5. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su compren- sión de las matemáticas. Porque una función de los métodos nu- méricos es la de reducir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas, ya que profundizan en los temas que de otro modo resultan oscuros. Esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia.

1.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Cada parte de este libro requiere de algunos antecedentes matemá- ticos. En consecuencia, el material introductorio de cada parte inclu- ye una sección, como la que el lector está leyendo en este momento, de fundamentos matemáticos. Debido Q que la parte I en sí está dedi- cada al material básico sobre las matemáticas y la computación, la presente sección no abarca la revisión de algún tema matemático específico. En su lugar, se presentan los temas del contenido ma- temático que se cubre en este libro. Estos se resumen en la figura 1.2, y son:

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LOS MÉTODOS NUMÉRICOS Y LAS COMPUTADORAS PERSONALES 5

FIGURA 1.2 Resumen de los métodos numéricos que se cubren en este libro.

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6 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

1. Rakes de ecuaciones (Fig. 1.24. Estos problemas están re- lacionados con el valor de una variable o de un parámetro que satisface una ecuación. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniería donde con frecuencia resulta imposible despejar ana- líticamente parámetros de ecuaciones de diseño.

2. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (Fig. 1.2b). En esencia, estos problemas son similares a los de raíces de ecua- ciones en el sentido de que están relacionados con valores que satisfacen ecuaciones. Sin embargo, a diferencia de satisfacer una sola ecuación, se busca un conjunto de valores que satisfaga simultáneamente a un conjunto de ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones lineales simultáneas surgen en el contexto de una variedad de problemas y en todas las disciplinas de la ingeniería. En particular, se originan a partir de modelos matemáticos de sis- temas grandes de elementos interconectados, como: estructuras, circuitos eléctricos y redes de fluio de fluidos, aunque también pueden encontrarse en otras áreas de los métodos numéricos como el aiuste de curvas.

3. Ajuste de curvas (Fig. 1.24. Con frecuencia se presentará la oportunidad de ajustar curvas a un conjunto de datos representados por puntos. Las técnicas que se han desarrollado para este fin pue- den dividirse en dos categorías generales: regresión e interpolacion. La regresión se emplea cuando hay un grado significativo de error asociado a los datos; frecuentemente los resultados experimentales son de esta clase. Para estas situaciones, la estrategia es encontrar una curva que represente la tendencia general de los datos sin ne- cesidad de tocar los puntos individuales. En contraste, la interpola- ción se maneja cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estén relativamente libres de error. Tal es el caso de la información tabulada. Para estas situaciones, la estrategia es ajustar una curva directamente a través de los puntos y usar esta curva para predecir valores intermedios.

4. Integración (Fig.l.2d). Tal como se representa, una interpre- tación física de la integración numérica es la determinación del área bajo la curva. La integración tiene muchas aplicaciones pa- ra el ingeniero práctico, empezando por la determinación de los centroides de objetos con formas extravagantes hasta el cálculo de cantidades totales basadas en conjuntos de medidas discretas. Adicionalmente las fórmulas de integración numérica juegan un papel importante en la solución de las ecuaciones en diferencias.

5 . Ecuaciones diferenciales ordinarias. (Fig. 1.2e). Las ecuaciones diferenciales ordinarias tienen un enorme significado

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LOS METODOS NUMERICOS Y LAS COMPUTADORAS PERSONALES 7

en la práctica de la ingeniería. Esto se debe a que muchas leyes físicas están expresadas en tefminos de la razón de cambio de una cantidad más que en términos de su magnitud. Entre los ejemplos se observan desde los modelos de predicción demográfica (razón de cambio de la población) hasta la aceleración de un cuerpo en descenso (razón de cambio de la velocidad).

1.3 ORIENTACI~N

Resulta útil esta orientación antes de proceder a la introducción de los métodos numéricos. Lo que sigue está pensado como una vista pa- norámica del material contenido en la parte l. Se incluyen además algunos objetivos como ayuda para concentrar el esfuerzo del lector al estudiar el material.

1.3.1 Alcance y contenido

La figura 1.3 es una representación esquemática del material conteni- do en la parte I . Se ha elaborado este diagrama para darle un pano- rama global de esta parte del libro. Se considera que un sentido de "imagen global" resulta importante para desarrollar una verdadera comprensión de los métodos numéricos. AI leer un texto, es posible que frecuentemente se pierda uno en los detalles técnicos. Siempre que el lector perciba que está perdiendo la "imagen global" regrésese a la figura 1.3 para orientarse nuevamente. Cada parte de este libro incluye una figura similar.

Esta figura sirve también como una breve revisión previa del mate- rial que se cubre en la parte I . El capítulo 1 está diseñado para orien- tarle a los métodos numéricos y para darle una motivación mostrándole cómo pueden usarse estas técnicas en el proceso de elaborar mode- los matemáticos aplicados a la ingeniería. El capítulo 2 es una intro- ducción y una revisión de los aspectos de computación que están relacionados con los métodos numéricos y presenta las habilidades de programación que se deben adquirir para explotar eficientemen- te la computadora. El capítulo 3 se ocupa del importante tema del análisis de error, que debe entenderse bien para el uso efectivo de los métodos numéricos.

1.3.2 Metas y objetivos

Estúdiese los objetivos. AI terminm la parte I el lector deberá estar preparado para aventurarse en los métodos numéricos. En general,

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8 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 1.3 Representación de la organización del material en la parte I: Los métodos numéricos y las computadoras personales.

habrá adquirido una noción fundamental de la importancia de las com- putadoras y el papel de las aproximaciones y los errores en la imple- mentación y desarrollo de los métodos numéricos. Adicionalmente a estas metas generales, deberá dominar cada uno de los objetivos es- pecíficos de estudio que se enuncian en la tabla 1 . 1 .

Page 22: Metodos numericos para ingenieros

LOS MhODOS NUMERICOS Y LAS COMPUTADORAS PERSONALES 9

TABLA 1.1 Obietivos de estudio especificos para la parte I

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9.

1 o. 11.

Entender la diferencia entre error de truncamiento y de redondeo Entender el concepto de cifras significativas Conocer la diferencia entre exactitud y precisión Apreciar la utilidad del error relativo Conocer la diferencia entre el error relativo verdadero E" y el error relativo aproximado eo; darse cuenta de cómo este último puede emplearse en conjunci6n con un error aceptable especificado con anterioridad E , para terminar un cálculo Ser capaz de relacionar el error relativo con cifras significativas Ser capaz de aplicar las reglas de redondeo explicadas en el recuadro 3.1 Comprender cómo se usa la serie de Taylor para aproximar funciones Comprender la naturaleza de la aproximación y los términos residuales de la serie de Taylor Conocer la relación que existe entre las diferencias finitas y las derivadas Familiarizarse con los elementos de juicio que se describen en el epílogo de la parte I

Objetivos en computación. AI completar la parte I el lector se habrá familiarizado con el software (NUMERICOMP) disponible para este libro. Deberá saber qué programas contiene y algunas de sus capa- cidades de graficación. También deberá tener las habilidades de pro- gramación necesarias para desarrollar software propio con los métodos numéricos de este libro. Deberá ser capaz de desarrollar pro- gramas en términos de los algoritmos o diagramas de fluio dados. Podrá guardar su software en dispositivos de almacenamiento, como discos flexibles o cinta magnbtica. Finalmente, el lector habrá desa- rrollado la capacidad de documentar sus programas de tal forma que los usuarios puedan emplearlos eficientemente.

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Page 24: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O U N O

MODELOS MATEMÁTICOS

¿Por qué se deben dominar los métodos numéricos y la programación de computadoras para resolver los problemas? Adem6s del hecho de que a diario se observa que las computadoras intervienen en las actividades m6s comunes de la vida diaria, dhabr6 alguna contribución esencial que estas mAquinas, con sus capacidades decididamente sobrehumanas, pue- dan hacer a las tareas y retos de los ingenieros? Es totalmente factible, y con el material contenido en este capítulo, se tratar6 de orientar al lec- tor y motivarlo hacia una posibilidad cuando menos.

Primero se aplica el concepto de modelos matemáticos para ayudar a definir lo que se entiende por métodos numéricos y para ilustrar cómo pueden facilitar la solución de problemas en ingeniería. Para esto, se des- arrolla aquí el modelo matemático de un proceso físico y se resuelve con un método numérico sencillo.

El mundo físico, con toda su complejidad, puede parecer abrumador e impredecible, Tradicionalmente, la tarea del científico ha sido la de iden- tificar los patrones reproducibles y las leyes que gobiernan este caos. Por ejemplo, sobre la base de sus observaciones, Newton formuló su segun- da ley del movimiento, que afirma que la velocidad de cambio de la can- tidad de movimiento de un cuerpo con respecto al tiempo es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él. Considerando las maneras excesiva- mente complejas en que las fuerzas y los objetos interactúan en la tierra, esta ley ha probado ser una generalización válida.

Además de que estas leyes proveen de discernimiento, los ingenieros pueden aplicarlas para formular soluciones a problemas prácticos. Por ejem- plo, los conocimientos científicos se usan rutinariamente por los ingenie- ros en el diseño de, elementos tales como estructuras, mhquinas, circuitos eléctricos y sustancias químicas sintéticas. Desde la perspectiva del dise- ño de ingeniería, estos conocimientos son muy útiles cuando se expresan en forma de un modelo matem6tico.

Un modelo matemático puede definirse, de una manera general, co- mo una formulación o ecuación que expresa las características fundamen- tales de un sistema o proceso fisico en términos matemáti'cos. Los modelos

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12 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA.INGENIEROS

se clasifican desde simples relaciones algebraicas hasta grandes y compli- cados sistemas de ecuaciones diferenciales. Recordando nuevamente a Newton para este ejemplo, la expresión matemática, o modelo, de su se- gunda ley es la bien conocida ecuación

F = ma [1.11

donde F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo (en dinas, o gramo- centímetro por segundo cuadrado), m es la masa del objeto (en gramos), y a es su aceleración (en centímetros por segundo cuadrado).

La ecuación (1.1) tiene varias características habituales de los mode- los matemáticos del mundo físico.

1. Describe un sistema o proceso natural en términos matemáticos.

2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones elementales. Es por esto que la segunda ley no incluye los efectos de la relatividad, que tienen una importan- cia mínima cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la tierra a escalas visibles a los seres huma- nos.

3. Finalmente, conduce a resultados predecibles y , en consecuencia, pue- de emplearse para propósitos de predicción. Por ejemplo, si se cono- cen la fuerza aplicada sobre un objeto y su masa, entonces puede usarse la ecuación (l. 1) para predecir la aceleración. Como tiene una forma algebraica sencilla, puede despejarse directamente

F m

a = -

De este modo, la aceleración puede calcularse fácilmente. Sin em- bargo, los modelos matemáticos de otros fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos y no pueden resolverse exactamente o requieren de técnicas matemáticas más complejas que la simple álgebra para su so- luci6n. Para ilustrar un modelo de este tipo pero más complicado, se puede usar la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie terrestre. El cuerpo en descen- so será un paracaidista como se muestra en la figura 1.1. Para este caso puede crearse un modelo al expresar la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dtj y sustituir en la

Page 26: Metodos numericos para ingenieros

MODELOS MATEMÁTICOS 13

FIGURA 1.1 Representación de las fuerzas que actúan sobre un paracaidista en des- censo. FD es la fuerza hacia abaio debido a la atracción de la grave- dad. Fu. es la fuerza hacia arriba debido a la resistencia del aire.

ecuación (l. 1) para dar

dv dt

m - = F u31

donde u es la velocidad en centímetros por segundo). Así, la masa multi- plicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la suma de fuer- zas que actúan sobre el cuerpo. Si la fuerza total es positiva, el objeto acelera. Si es negativa, el objeto sufre una desaceleración. Si la fuerza neta es cero, la velocidad del objeto permanecerá a un nivel constante.

Para un cuerpo que cae dentro del perímetro de la tierra (Fig. l. 1) , la fuerza total está compuesta por dos fuerzas contrarias: la atracción ha- cia abajo debida a la gravedad F D y la fuerza hacia arriba debida a la re- sistencia del aire Fu.

Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se puede usar la segunda ley para formular la fuerza debida a la gravedad como

donde g es la constante de gravitación, o la aceleración debida a la gra- vedad, que es aproximadamente igual a 980 cm/s2.

Page 27: Metodos numericos para ingenieros

14 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

La resistencia del aire puede formularse de diferentes maneras. Una aproximación sencilla es suponer que es linealmente proporcional a la ve- locidad, como en

donde c es una constante de proporcionalidad llamada el coeficiente de arrastre (en gramos por segundo). Así, a mayor velocidad de caída, ma- yor es la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parámetro c toma en cuenta las propiedades del objeto descendente, tales como la forma o la aspereza de su superficie, que afectan la resistencia del aire. Para este caso, c podría ser una función del tipo de traje o la orientación usada por el paracaidista durante la caída libre.

La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y hacia arriba. Por tanto, las ecuaciones (1.3) a (1.6) pueden combinarse para dar

dv dt

m- = mg - cv

o, dividiendo cada lado entre m,

dv C

dt m ” - 9 - - v

La ecuación (1.8) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuer- po que cae a las fuerzas que actúan sobre él. Es una ecuación diferencia[ porque está escrita en términos de la razón de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa predecir. Por esta razón a veces se deno- mina ecuación en diferencias. Sin embargo, en contraste con la solución dada por la segunda ley de Newton en la ecuación (1.2), la solución exacta de la ecuación (1.8) para la velocidad del paracaidista que cae, no puede obtenerse usando simples manipulaciones algebraicas y operaciones arit- méticas. En vez de eso, deberán aplicarse las técnicas del cálculo para obtener una solución exacta. Por ejemplo, si el paracaidista inicialmente está en reposo ( u = O en t = O ) , se puede usar el cálculo para resolver la ecuación (1.8), así

EJEMPLO 1 . 1 Solución analítica al problema del paracaidista que cae

Enunciado del problema: un paracaidista con una masa de 68 100 g sal- ta de un aeroplano. Aplíquese la ecuación (1.9) para calcular la veloci-

Page 28: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS MATEMATICOS 15

FIGURA 1.2 Solución analítica al problema del paracaidista que cae según se calcula en el ejemplo l . l . La velocidad aumenta con el tiempo y se aproxima asintóticamente o una velocidad final.

dad antes de abrir el paracaídas. El coeficiente de arrastre c es aproximadamente igual a 12 500 g / s .

Solución: al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.9) se obtiene

I 980(68,100) v (t) = [I - e-t12.500/68.1001f

12,500 1 = 5339.0 (1 - e-0 18355t )

al dar varios valores de t se obtienen las velocidades para dicho tiempo: los resultados se presentan a continuación

t, S v, cm/s

O O 2 1640.5 4 2776.9 6 3564.2

10 4487.3 12 4749.0 X 5339.0

a 4 109.5

Page 29: Metodos numericos para ingenieros

16 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

De acuerdo al modelo, el paracaidista acelera rápidamente (Fig. 1 .2 ) . Se llega a una velocidad de 4 487.3 cm/s (161.5 km/h) despu6s de 10 s . Nótese también que después de un tiempo suficientemente grande se al- canza una velocidad constante (llamada velocidad final) de 5 339.0 cm/s (192.2 km/h). Esta velocidad es constante porque después de un tiem- po suficiente, la fuerza de gravedad estará en equilibrio con la resistencia del aire. Por lo tanto, la fuerza total es cero y cesa la aceleración.

A la ecuación (1.9) se le llama una solución analítica o exacta porque satisface exactamente la ecuación diferencial original. Desafortunadamen- te, hay muchos modelos matemáticos que no pueden resolverse exacta- mente. En muchos de estos casos, la única alternativa es la de desarrollar una solución numérica que se aproxime a la solución exacta. Como se mencionó con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para que se pueda resolver me- diante operaciones aritméticas. Esto puede ilustrarse para la segunda ley de Newton notándose que se puede aproximar la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo mediante (Fig. 1.3)

[1.10]

FIGURA 1.3 USO de una diferencia finita para aproximar la primera derivada de v con respecto a t .

Page 30: Metodos numericos para ingenieros

METODOS MATEMATICOS 17

donde Au y At son diferencias en la velocidad y el tiempo calculadas so- bre intervalos finitos, u(t,) es la velocidad en el tiempo inicial t,, y u( t ,+ I ) es la velocidad algún tiempo más tarde t , , La ecuación (l . 10) es una diferencia finita diuida en el tiempo ti. Puede sustituirse en la ecuación (1.8) para dar

Esta ecuación puede ordenarse otra vez para dar

u(t1+1) = U@¡) + 9 - - u ( t i ) &+I - ti) [ : I [1.12] Y así, la ecuación diferencial (1.8) se transforma en una ecuación qGe puede resolverse algebraicamente para u(t i+ J . Si se da un valor inicial para la velocidad en un tiempo ti, se puede calcular fácilmente u en t ! , Este nuevo valor de u en ti+l puede emplearse para extender el cálculo de u en t i + 2 y así sucesivamente. Por lo tanto, en cualquier tiempor de la trayectoria,

Nuevo valor - valor anterior valor estimulado incremento de u + de la pendiente x del tiempo de u

-

EJEMPLO 1.2 Solución numérica al problema del paracaidista que cae

Enunciado del problema: efectuar el mismo cálculo que en el ejemplo l . 1 pero usando la ecuación (1.12) para calcular u ( t ) con un incremento de tiempo igual a 2 s.

Solución: al principio de los cSlculos (tl = O ) , la velocidad del paracai- dista uft,) es igual a cero. Con esta información y los valores de los pa- rámetros del ejemplo l. l , la ecuación (l. 12) se puede usar para estimar v (t i+1) en ti+l = 2 s.

Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 S ) , se repite el cálculo con el re- sultado,

~ ( 4 ) = 1960 + 980 - ___ [ 68 l2 500 100 (1960+ = 3200.5 cmis

Page 31: Metodos numericos para ingenieros

20 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

significat~vo asociado con los puntos de los datos. i) Los sistemas grandes de ecuaciones. las no linealidades 51 las geometrías com-

plicadas son comunes en la práctica de la ingeniería y fáciles de resolver analí- ticamente

j) Los modelos matemáticos no se pueden usar nunca con propósitos de pre- dicción.

1.2 Léanse las siguientes descripciones de problemas e identifíquese qué área de los métodos numéricos (según lo señalado en la Fig. 1.2) se relaciona con su solución.

Una persona pertenece a una cuadrilla de reconocimiento topográfico y debe determinar el área de un terreno limitado por dos caminos y una corriente que serpentea Un ingeniero es responsable de la determinación de los flujos en una gran red de tuberías interconectadas entre sí para distribuir gas natural a una serie de comunidades diseminadas en un área de 20 km2 Para el problema del paracaidista que cae. se debe decidir el valor del coefi- ciente de arrastre para que un paracaidista de 90 kg de masa no exceda los 160 km/h en los primeros 10 S después de haber saltado. Deberá hacer esta evaluación sobre la base. de la solución analítica [Ec. (1.9)]. La información se empleará para diseñar un tra~e de salto. Un investigador efectúa experimentos para encontrar la caída de voltaje a tra- vés de una resistencia como una función de la corriente. Hace las mediciones de la caída de voltaje para diferentes valores de la corriente Aunque hay al- gún error asociado con sus datos, al 91-aficar los puntos. éstos le sugieren una relación curvilínea. Debe derwar una ecuación que caracterice esta relación. Un ingeniero mecánico tiene que desarrollar un sistema de amortiguamiento para un auto de carreras. Puede usar la segunda ley de Newton para tener una ecua- ción para predecir la razón de cambio en la posición de la rueda delantera en respuesta a fuerzas externas. Debe calcular el movimiento de la rueda. como una función del tiempo después de golpear contra un tope de 15 cm a 240 km/h. Un administrador tiene que calcular el ingreso anual requerido en un periodo de 20 años para un centro de entretenimientos que se va a construir para un cliente. El préstamo puede hacerse a una tasa de interés del 17.6"; Aunque para hacer este estimado. la información está contenida en tablas de econo- mía, sólo aparecen listados los valores para tasas de interés del 15 y 20%

1.3 Proporciónese un ejemplo de un problema de ingeniería donde sea oportuno cada uno de los siguientes tipos de métodos numéricos. En IO posible. remitasr el ejem- plo de las experiencias del lector en cursos y en conferencias u otras experiencias

profesionales que haya acumulado hasta la fecha. a) Raíces de ecuaciones b) Ecuaciones algebraicas lineales c) Ajuste de curvas: regresión d) Ajuste de curvas: interpotación el Integración f i Ecuaciones diferenciales ordinaria5

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C A P I T U L O D O S

LA PROGRAMACION EN LAS COMPUTADORAS

PERSONALES

Los métodos numéricos combinan dos en las herramientas más impor- tantes en el repertorio de la ingeniería: matemáticas y computadoras. Los métodos numéricos se pueden definir (sin ser muy exacto) como las ma- temáticas por computadora. Las buenas técnicas de programación aumen- tan la habilidad para aplicar los conocimientos de los métodos numéricos. En particular, las potencialidades y limitaciones de las técnicas nu- méricas se aprecian mejor cuando se usan estos métodos para resolver los problemas de ingeniería utilizando como herramienta una compu- tadora.

Al usar este libro se obtiene la posiblidad de desarrollar los propios programas. Debido a la gran disponibilidad de computadoras personales y dispositivos de memoria magnética, los programas se pueden conser- var y usar durante toda la carrera. Por lo tanto, uno de los principales objetivos de este texto es que el lector obtenga programas útiles y de alta calidad.

Este texto contiene características especiales que maximizan esta po- sibilidad. Todas las técnicas numéricas van acompañadas de material pa- ra una implementación efectiva en la computadora. Además, se dispone de programas suplementarios para seis de los métodos más elementales discutidos en el libro. Estos programas, desarrollados para computadoras personales (IBM-PC y Apple 11), pueden servir como base para una bi- blioteca de programas propios.

Este capítulo presenta una información preliminar que tiene utilidad siempre y cuando se desee usar este texto como base para el desarrollo de programas. Está escrito bajo la suposición de que ya se ha tenido una experiencia previa en la programación de computadoras. Debido a que el libro no está enfocado hacia un curso de programación, se estudian únicamente aquellos aspectos que definen el desarrollo de programas de análisis numérico. También se propone proporcionar criterios específicos para la evaluación de los esfuerzos del lector.

Page 33: Metodos numericos para ingenieros

22 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

2.1 ANTECEDENTES HISTóRICOS

En el sentido más amplio, una computadora se puede definir como un dispositivo que ayuda a calcular. Con base en esta definición, una de las computadoras más antiguas es el ábaco. Descubierto en el antiguo Egip- to y en China, se compone de cuentas hiladas sobre alambres en un marco rectangular (Fig. 2. la).

Las cuentas se usan para guardar potencias de 10 (unidades, decenas, centenas, etc.) durante un cálculo. Cuando se emplea con destreza, el ábaco puede competir en velocidad con una calculadora de bolsillo.

Aunque los dispositivos manuales tales como el ábaco aceleran la ve- locidad en los cálculos, las máquinas extienden aún más las capacidades humanas para estos cálculos. Estimulados por la revolución industrial, los científicos del siglo XVII desarrollaron la primera de tales computadoras mecánicas. Blas Pascal inventó, en 1642, una máquina para sumar (Fig. 2. l b ) . AI final de ese siglo, Gottfried Leibnitz desarrolló una calculadora mecánica que podía multiplicar y dividir.

Aunque en los siglos siguientes se desarrollaron otros instrumentos de cálculo, no fue sino hasta la década de 1940 cuando surgieron las com- putadoras electrónicas. Se originaron, inicialmente para proyectos milita- res en la segunda guerra mundial, eran dispositivos de investigación para un solo propósito. Estas máquinas, con nombres como ENIAC Y EDSAC, usaron tubos al vacío como componentes electrónicos básicos. Aunque eran caras, lentas y a menudo desconfiables, estas computadoras de la primera generación auguraban un procesamiento de datos a gran escala.

Aunque algunas máquinas de la primera generación, en especial la UNIVAC, se vendieron a nivel comercial, no fue sino hasta la década de 1960 que las computadoras estuvieron disponibles para una gran canti- dad de científicos e ingenieros. Esto se debió al desarrollo de los transis- tores y de algunos dispositivos electrónicos de estado sólido que suplieron a los tubos al vacío creando computadoras que, entre otras cosas, eran más confiables. Aunque el uso de estas computadoras se extendió, su acceso era algunas veces limitado ya que las máquinas seguían siendo muy caras para que la mayoría de los profesionistas las obtuvieran indivi- dualmente. Por lo tanto, los ingenieros debían asociarse con grandes organizaciones tales como universidades, oficinas gubernamentales, cor- poraciones o firmas consultoras para tener acceso a las computadoras.

Sin embargo, a la mitad de la década de 1960 y principios de la dé- cada de 1970 un adelanto en la técnica alteró dramáticamente esta situa- ción. En particular, el reemplazo de los transistores por circuitos integrados ha producido un gran poder computacional en el medio profesional de los ingenieros. Un circuito integrado, o CI, consiste en una pastilla delga- da de silicón donde se han colocado miles de transistores. El resultado práctico de esta innovación ha sido en dos aspectos. Primero, en el nú- cleo de la máquina o la parte central de las computadoras, las velocida-

Page 34: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMAC16N EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 23

FIGURA 2.1 Evolución de los dispositivos de cálculo: a) ábuco; b) calculadora de Pas- cal; c) supercomputadora y d) microcomputadora o computadora per- sonal (los incisos b y c con permiso de IBM; el inciso d con permiso de Apple Computer, Inc.).

des y la capacidad de memoria son muy grandes. Segundo, y más importante en el contexto actual, las computadoras personales que son con- venientes, pequeñas, rápidas y confiables se están produciendo en masa y a precios razonables. Como se expresó en un artículo de la revista Scien- tific American: “Las microcornputadoras de hoy día a un costo tal vez de $300 dólares, tienen más capacidad de cómputo que las primeras com- putadoras electrónicas gigantescas ENIAC. Son 20 veces más rápidas,

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24 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 2.1 Comparación de sistemas comunes de cómputo*

Longitud Capacidad Cifras de Velocidad de significa- palabra Costo de cálculo, almacena-

Sistema tivas bits (dólares) ciclosls miento (K)

Calculadora 7-1 O 25-350 1-2

Microcomputadora 7-1 O 7-1 6 100-5000 1 06-1 o7 16-256 Minicornputadora 7-1 O 16-32 15,000-1 20,000 1 06-1 o7 128-51 2 Cornputadoras 7-1 4 32 100,000-1 o,ooo,ooo+ 106-1 o* 8000-32,000

prograrnable

grandes

* Condensodo de Auerboch Computer Technology Reports, Agosto 1983.

tienen una memoria mayor, son miles de veces más confiables, consu- men la energía de un bulbo en vez de la de una locomotora, ocupan 1/30 O00 de volumen y cuestan 1/10 O00 parte. Se pueden obtener por una orden postal o en cualquier tienda especializada” (Noyce, 1977).

Las computadoras personales se agrupan, por lo general en una de dos categorías que a veces no están bien delimitadas: micro y minicom- putadoras. Las rnicrocornputadoras son aquellas cuya función principal está contenida en una sola pastilla de circuito integrado. Comúnmente cuestan unos miles de dólares. Las minicomputadoras son un término más impreciso que se refiere a computadoras que son más potentes que las micros pero caen aún dentro de las posibilidades de compra de algunas personas y pequeñas compañías. Ambos tipos de computadoras están en contraste con computadoras grandes, o supercornputadoras, que se manejan en intervalos de millones de dólares y sus propietarios son, por lo general, organizaciones o compañías muy grandes. El cuadro 2 .1 re- sume la información general sobre varios tipos de computadoras.

La revolución en el campo del estado sólido ha abierto las puertas en el área computacional a cada ingeniero. Sin ernhnrgo, no importa qué tipo de computadora se use, ésta sólo tiene utilidad si se le proporcionan instrucciones precisas. A estas instrucciones se les conoce como progra- mas. Las siguientes secciones contienen información que será útil para el desarrollo de programas de alta calidad para utilizar los métodos nu- méricos.

2.2 DESARROLLO DE PROGRAMAS El material de este capítulo está organizado alrededor de cinco temas, es- quematizados en la figura 2 .2 , requeridos para la elaboración y cuidado de programas de alta calidad. Este caljitulo contiene secciones que cu- bren cada uno de estos pasos. Este material incluye un caso de estudio donde cada uno de los pasos se aplica para desarrollar un programa y resolver el problema del paracaidista. Después de asimilar este material,

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LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 25

el estudiante debe estar mejor preparado para desarrollar programas de alta calidad para los métodos del resto del libro.

2.2.1 Diseño de algoritmos

Se puede ahora empezar con el proceso de desarrollar programas para una computadora. Un programa es simplemente un conjunto de instruc- ciones para la computadora. Todos los programas que se necesitan co- rrer en una computadora particular, en conjunto se les llama software.

FIGURA 2.2 Cinco pasos necesarios para producir y dar soporte a programas de al- ta calidad . Las flechas hacia atrás indican que los primeros cuatro pasos se pueden ir meiorando conforme se gane experiencia.

Page 37: Metodos numericos para ingenieros

26 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Un algoritmo es una secuencia l6gica de pasos necesarios para ejecu- tar una tarea específica tal como la solución de un problema. Los buenos algoritmos tienen ciertas características. Siempre deben terminar despuk de una cantidad finita de pasos y deben ser lo más general posible para tratar cualquier caso particular. Los buenos algoritmos deben ser deter- minísticos; esto es, no deben dejar nada al azar. Los resultados finales no pueden ser dependientes de quién esté usando el algoritmo. En este sentido, un algoritmo es análogo a una receta. Dos cocineros que prepa- ran independientemente una buena receta deben obtener dos platillos idénticos.

La figura 2 . 3 ~ muestra un algoritmo para la solución de un problema simple que suma dos números. Dos programadores que partan de este algoritmo pueden desarrollar dos programas con estilos diferentes. Sin

FIGURA 2.3 a) Algoritmo y b) diagrama de fluio para la solución del problema de una suma simple.

Page 38: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 27

embargo, dados los mismos datos, los programas deben arrojar los mis- mos resultados.

Una forma alternativa de representar un algoritmo es mediante un dia- grama de flujo. Esta es una representación visual o gráfica del algoritmo que emplea una serie de bloques y flechas. Cada bloque en el diagrama representa una operación particular o un paso en el algoritmo. Las fle- chas indican la secuencia en que se implementan las operaciones. La fi- gura 2.4 ilustra ocho tipos de bloques y flechas que conforman la mayor parte de las operaciones que se requieren en la programación de una computadora personal. La figura 2.3b muestra un diagrama de flujo para el problema simple de sumar dos números. Los diagramas de flujo tienen una utilidad particular para bosquejar algoritmos complicados. En estos casos, un bosquejo gráfico puede ser útil para visualizar el flujo lógico del algoritmo. En este texto, se han incluido diagramas de flujo para la ma- yor parte de los métodos importantes. Se pueden usar estos diagramas como base para el desarrollo de sus propios programas.

2.2.2 Composición de un programa

Después de confeccionar un algoritmo, el paso siguiente es expresarlo como una secuencia de declaraciones de programación llamado código. Es im- portante resistir la tentación de escribir el código antes de que el proble- ma en su totalidad esté claramente definido y la técnica de solución y el algoritmo hayan sido cuidadosamente diseñados. Las dificultades que más comúnmente encuentran los programadores sin experiencia se deben por lo general a la preparación prematura de un código que no abarque un plan o una estrategia total, para la solución del problema.

Después que se ha diseñado un buen algoritmo, el código se escribe en un lenguaje de alto nivel para una computadora. Se han desarrollado cientos de lenguajes de programación de alto nivel desde que la era de las computadoras empezó. Entre ellos, hay tres que tienen importancia para computadoras personales: BASIC, FORTRAN y PASCAL.

FORTRAN, es la construcción de fórmula translation (traducción de fórmulas), y se desarrolló en la década de 1950. Debido a que fue expre- samente diseñado para cálculos, ha sido el lenguaje más usado en la in- geniería y la ciencia.

BASIC, es la contracción de beginner’s all-purpose symbolic instruc- tion code (clave de instrucciones simbólicas de propósito general para prin- cipiantes), fue desarrollado en la década de 1960. Requiere una cantidad pequeña de memoria y es relativamente simple de implementar. En con- secuencia es uno de los lenguajes más usados en las computadoras per- sonales; sin embargo, el BASIC no es tan flexible como el FORTRAN y a veces no es conveniente para programas grandes o complejos.

El PASCAL, que debe su nombre al científico francés Blas Pascal, es un lenguaje estructurado que se desarrolló en la década de 1970. Los pro- gramas escritos en Pascal para una computadora determinada pueden

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28 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 2.4 Símbolos utilizados en diagramas de fluio.

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LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 29

ser corridos fácilmente en otra. Aunque el Pascal es más difícil de apren- der que el BASIC y el FORTRAN, su fuerza sugiere que su importancia crecerá en el futuro. Esto es verdad para la programación avanzada a gran escala.

BASIC y FORTRAN son convenientes para programas simples y cortos que son suficientes para la implementación de los métodos numéricos de este libro. Por lo tanto, se ha optado por limitar las presentaciones del texto, a programas en estos lenguajes. BASIC es una alternativa obvia por su amplia disponibilidad. Se ha incluido el FORTRAN por su signifi- cado continuo en el trabajo de ingeniería. Aunque este libro hace énfasis en las computadoras personales, puede usarse por aquéllos que tienen acceso a máquinas más grandes y en conjunción con cualquier lenguaje de alto nivel. Con este espíritu, los programas y diagramas de flujo son lo suficientemente simples como para que puedan servir de base en el desarrollo de programas para aquéllos que son expertos en Pascal.

Una descripción completa del BASIC y el FORTRAN, obviamente va más allá del alcance de este libro. Además, el número de dialectos dispo- nibles en cada lenguaje complica aún más su descripción. Por ejemplo, existen más de 10 dialectos derivados del BASIC. Sin embargo, limitan- do la discusión a lo fundamental, se puede cubrir información suficiente de forma tal que se pueda entender e implementar efectivamente el ma- terial relacionado con la computadora en el resto del libro.

En la figura 2.5 SF! presentan los códigos en FORTRAN y BASIC pa- ra sumar dos números, mostrando las diferencias estructurales principales entre los dos lenguajes, el etiquetado y el espaciamiento de código. En BASIC, cada instrucción se escribe con un número. En contraste, en FOR- TRAN se etiquetan con un número sólo aquéllas instrucciones que re- quieren identificación. Por ejemplo, la instrucción que tiene la etiqueta número 1 en la versión FORTRAN de la figura 2.5 se llama una declara-

SIC

c

I FIGURA 2.5 Programa de computadora en FORTRAN y BASIC para el problema de

la suma simple.

Page 41: Metodos numericos para ingenieros

30 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

ción FORMAT. Especifica la forma en que se va a introducir o a imprimir una línea particular. Por lo tanto, se debe etiquetar con un número para que la computadora pueda distinguirla de otras declaraciones FORMAT. Las declaraciones FORTRAN se deben numerar para otros casos pero la mayor parte, por lo general van sin numerar.

Otra diferencia entre los dos lenguajes es el espaciamiento de cada línea; en BASIC, por lo general el espaciamiento no tiene importancia. Por ejemplo, la línea 10 se pudo haber escrito de las siguientes formas

10 A = 25 1 OA=25 10 A = 25

y la computadora debe interpretar todas las formas como equivalentes. En contraste, los términos en FORTRAN se deben alinear en columnas específicas. Las reglas sobre la alineación provienen del hecho de que el FORTRAN se introducía originalmente en una computadora usando lec- tora de tarjetas. Aunque las tarjetas se emplean menos frecuentemente hoy en día, las reglas de espaciamiento por lo general se han conservado.

A las 80 columnas de la tarjeta perforada se les llama campos de la tarjeta. Los campos de la tarjeta se agrupan por partes para diferentes propósitos. Estos se ilustran en la forma de codificación de la figura 2.6. Una forma de codificación es un pedazo de papel donde se puede escri- bir y verificar un programa para revisarlo de errores antes de introducirlo a la computadora. Nótese que también contiene 80 columnas al igual que una tarjeta perforada. También obsérvese que cada una de las partes de los campos se usa para propósitos particulares.

Aparte de la estructura, los dos lenguajes tienen otras diferencias así como fuertes similitudes. En el cuadro 2.2 se delinean éstas. Este cuadro muestra comparaciones en paralelo de seis elementos principales de pro- gramacióc que tienen importancia directa en el uso de los métodos nu- méricos. Estos son:

1. Constantes y variables. Se deben seguir ciertas reglas para expresar números y nombres simbólicos en los dos lenguajes. Como se puede ver en el cuadro 2.2 ésta es un área en donde el BASIC y el FOR- TRAN son muy diferentes.

2. Entrada-salida. Éstas son instrucciones mediante las cuales se trans- mite información de y hacia la computadora. He aquí otra área donde los lenguajes muestran diferencias considerables. Aunque la mayor parte de los lenguajes modernos mejoran esta situación, históricamente las capacidades de entrada-salida del BASIC, han sido muy limitadas. En constraste, las declaraciones FORMAT del FORTRAN son herramientas muy potentes para etiquetar y espaciar la salida. Sin embargo, son de las declaraciones de programación más difíciles para un novato y aun para un experto.

Page 42: Metodos numericos para ingenieros
Page 43: Metodos numericos para ingenieros

32 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. FORTRAN y BASIC son lenguajes de computadora fáciles de aprender y de practicar, en general son los primeros lenguajes de programación que se les enseña a los estudiantes de ingeniería. Como sucede con muchos lenguajes de programación, existen varios aspectos que hacen dificil entender su uso. La siguiente comparación resulta del intento de bosquejar las diferencias generales y las similitudes entre FORTRAN y BASIC y a la vez servir de referencia rápida y como recordatorio. Se pueden consultar otras fuentes para los detalles referentes Q cada uno de los lenguajes. Este resumen se limita y se enfoca a la vez al material que tiene importancia directa con los metodos numéricos y con los programas descritos en el texto.

FORTRAN BASIC

CONSTANTES Y VARIABLES (Representan los números y caracteres

usados a lo largo del programa)

Constantes Son valores positivos o negativos, (excluyendo las comas o los símbolos

especiales) que se mantienen inalterados a lo largo del programa.

Enteros Constantes numéricas son constantes que no contienen punto son números enteros o reales con punto

decimal: decimal:

1, -2, 100 1, -2.0, 0.001, 100

Constantes reales: contienen punto decimal:

1 .o, -2., 0.001

Exponenciales son constantes escritas en notación científica. Por ejemplo, los números:

-12 000, 0.000 006 8, 386 O00 O00 se expresan en notación científica como:

-12 x lo3, 6.8 x 3.86 x 10’ y se pueden escribir en FORTRAN y BASIC como:

- 12E3, 6.8E-6, 3.86E8 Constantes alfanuméricas y cadenas de caracteres

representan letras, números y símbolos que se usan en este texto para etiquetar. Las cadenas de caracteres tienen otras aplicaciones, incluyendo el USO de

expresiones de relación.

En FORTRAN se encierran como: En BASIC se encierran como: ‘JOHN DOE’, ’INTRODUCE B’ “VALOR DE A =”, “8/5/48”

Page 44: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 33

CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.)

FORTRAN

Variables numéricas representan cantidades que pueden cambiar de valor. Se usan para estas variables los nombres simbólicos, que deben empezar con una letra y no

pueden contener símbolos especiales.

Nombres de variables Nombres de variables consisten de uno a seis caracteres, desde constan de dos caracteres (mós en algu- la A a la Z y del O a 9: nos dialectos) de la A a la Z y del O al 9:

Variables enteras AA, X, N1 representan valores enteros y empiezan representan valores reales o enteros.

con las letras I a la N:

N, KOUNT, lNDl

Variables reales representan valores reales y empiezan

con las letras A a la H y O a la Z: X, COUNT, VEL1

Variables de caracteres o cadenas representan cadenas alfanuméricas y de caracteres. Se usan nombres simbólicos.

. El tratamiento de las cadenas de caracteres varía considerablemente entre diferentes versiones

Declaración CHARACTER Cadenas variables son de la forma: terminan con $. La longitud de la varia-

CHARACTER * n vorl,vor2 ble es limitada.

A$, N1$ donde n es la longitud específica de la

cadena de caracteres seguida por una lista de variables. Por ejemplo,

CHARACTER * 4 NOMBRE1, NOMBRE2

Arreglos son variables con subíndice que almacenan un conjunto de valores en vectores

de una dimensión y en matrices multidimensionales. El espacio de almacenamiento suficiente para un número dado de elementos se especifica

mediante

~~

Declaración DlMENSldN Declaración DIM

DIMENSION A(n), ISUM(n,,n2) DIM A(n), IS(nl,n2)

Se permiten hasta siete subindices que La declaración DIM, en general se limita a deben ser enteros positivos. arreglos bidimensionales; las n pueden

Los arreglos no dimensionados generan ser variables. un error. Los arreglos no dimensionados suponen

un valor de n = 10.

Page 45: Metodos numericos para ingenieros

34 M~TODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 2.2. Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cant.)

FORTRAN BAS IC

La declaración DIG-ENSION se debe co- La declaración DIM se debe colocar antes locar antes de cualquier declaración de la primera línea donde la variable ejecutable. dimensionada se va a usar. En caso de

no ir, supone el valor n = 10. El redi- mensionamiento genera a un mensaje de error.

Las variables definidas en la declaración DIMENSION (esto es, A o ISUM) tienen la misma regla de las variables numéri- cas "esto es, el arreglo A debe conte- ner valores reales, mientras que el arreglo ISUM debe contener valores enteros.

ENTRADAlSALlDA qué medios se transmite información a y desde un programa),

Declaraciones de formato especifican la longitud y la posición de cada uno de los datos, que se van a leer

o a imprimir.

Aunque en la entrada y salida de da- Aunque existe Io declaración de formato tos existe formato libre, el FORTRAN para lectura o impresión de datos, las estándar, en general impone un for- versiones recientes de BASIC no lo em- mato de lectura o impresión. pleon.

Entrada

especifica los medios por los cuales se transmiten datos al programa

Declaración READ permiten introducir datos al programa durante su ejecución:

READ f varl,vur2, . . . , vur,

donde f es un código de formato que especifica el tipo, disposición y, en algu- nos casos, el dispositivo usado para leer los valores de var], var2, . . ., varn. Por ejemplo:

READ (5,2) A,B donde el 2 es la etiqueta donde está la declaración FORMAT correspondiente y el 5 especifica que los datos se obten- drán de una lectora de tarjetas.

Declaración DATA son declaraciones no ejecutables que defi-

nen el valor inicial de una variable. Tienen la forma general.

Declaración INPUT Permiten introducir datos at programa durante su ejecución:

In INPUT varl,vur2, . . . , var,

donde In es el número de líneas donde está la declaración INPUT y var,, var2, . . ., var, son los nombres de las varia- bles cuyos valores se van a leer. Por ejemplo:

10 INPUT A,B Cuando se ejecuta esta instrucción se deben introducir los valores de A y B en un dispositivo, tal como el teclado.

Declaraciones REDlDATA consiste de una declaración READ asocia-

da a una declaración DATA que contie- ne los valores que se van a leer, como:

Page 46: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 35

CUADRQ 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.).

FORTRAN BASIC

DATA var,, , . ., var,,lvalor,, 10 READ A,B,C,Z . . .,valor,,/

donde var es el nombre de la variable y valor es una constante. Por ejemplo: 90 DATA 5,0.001,88,1 E-6

DATA A,B,C,Z/5.,0.001,88.,1.E-6/

Salida es el medio por el cual se transmiten datos del programa.

Declaración WRITE Declaración PRINT se usa comúnmente para imprimir datos. se usa comúnmente para imprimir datos. Su forma general es: Su forma general es:

WRITE fvarl, . . . , vur, In PRINT varl, . . . , var,

Por ejemplo:

WRITE (6,2) A,B Por ejemplo:

10 PRINT A,B donde (6,2) es el código de formato, el En el momento que esta declaración 2 es la etiqueta de la declaración FORMAT se ejecuta, los valores de A y B se impri- correspondiente y el 6 especifica que los men en un dispositivo tal como la panta- datos se imprimirán en una impresora. lla o una impresora.

I cA1cu10s (Operaciones que usan expresiones matemáticas) 1

Declaraciones de asignación se usan para asignar un valor a una variable:

XM=3.281 indica a la computrdora que asigne el valor 3.281 a la variable XM;

A=XM+5 indica a la computadora que sume 5 a XM y le asigne el resultado (en este caso,

8.281) a la variable A;

A=A+40

indica a la computadora que sume 40 a A y le asigne el resultado (en este caso, 48.281) a la variable A. El valor anterior de A se destruye en el proceso.

Nótese que, aunque A = A + 40 no es una expresión matemática válida, tiene un significado especial dentro de la computadora. AI signo de igual en la

declaración de asignación se le puede dar un significado de "se reemplaza por", como en:

A se remplaza por A+40

+ -

Operadores aritméticos son símbolos usados para representar operaciones matemáticas:

Suma Resta

+ -

. ..

Page 47: Metodos numericos para ingenieros

36 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.).

FORTRAN BASIC * Multiplicación * i División i ** Exponenciación **, ?,A

(El signo de exponenciación depende del tipo de BASIC)

Si una expresión aritmética tuviera todos los operadores, el orden en que se efectuarían sería: primero, todas las exponenciaciones de izquierda a derecha en BASIC, Applesoft y Microsoft, y de derecha a izquierda en FORTRAN; a continuacidn todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, y finalmente todas las sumas y restas de izquierda a derecha. Cuando una expresión presenta paréntesis, la forma de efectuarlos es del más interno al más externo.

x = $0 + 3": - " y4 45

X=(((A+B)-R**3)/33-Y**4/45)**.5 X=(((A+B)-RA3)/33-YA4/45)A.5

CONTROL (Dirigen el flujo del programa mediante saltos,

transferencias y reasignacianes)

Dedaración GO TO especifica un salto incondicional a un número de línea específico:

GO TO 200

.EQ.

.NE.

.IT.

.LE.

.GT.

.GE.

.AND.

.OR.

Operadores lógicos se usan para comparar los valores de

, . Igual a diferente de menor que

menor o igual que mayor que

mayor o igual que

lógica

dos expresiones: -

< > <

< = >

> =

-

AND OR

Declaración lógica If se utilizan para la toma de decisiones, de acuerdo al valor verdadero a falso

que tenga una expresión lógica

IF(N.GT.l .OR.N.LT.3)N=2 IF(N.GE.l) GO TO 10

IF(N>l)OR(N<3)THEN N=2 IF N>=l THEN 10

En los ejemplos anteriores, si la expresión lógica se cumple, se ejecuta la transferencia o la asignación. En el primer ejemplo, si N es mayor que 1 a

Page 48: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 37

CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.).

FORTRAN BASIC

menor que 3, entonces N se iguala a 2 y el control pasa a la siguiente línea. En el segundo, si N es mayor o igual a 1, el programo se transfiere a la línea 1 O.

En cualquier caso, s i la expresión es falsa, no se ejecuto la transferencia o reasignación y el control se pasa a la siguiente línea.

Ciclos permiten repetir cálculos con una cantidad mínima de declaraciones

Ciclos con IF lógico repiten calculos que se controlan con base en la declaración IF:

1 0 X=Y(I)*Z(I-1) IF(X.LT.O)GO T O 50

GO TO 1 0 1=1+1

50 X=-X

10 X=Y(I)*Z(I-1) 20 I F X<O T H E N 50 30 I = ! + l 40 GO T O 10 50 X=-X

Ciclos controlados por un indice

Ciclos DO Ciclos FORlNEXT

DO In I=j,n,k FOR I = i T O n STEP k

In C O N T I N U E In NEXT I

donde In es el número de línea de la ú h a declaración del ciclo, i es el valor inicial del contador, n es el valor final o terminal y k es el incremento dado a la variable I para que.varíe desde j hasta n. Después de terminar el ciclo,

valor de n + k siempre y cuando I sea múltiplo de n.

SUBPROGRAMAS: FUNCIONES Y SUBRUTINAS (ejecutan una proposición o un conjunto de proposiciones que se repiten varias veces a lo largo de un programa)

, I tiene el

Funciones intrínsecas

operaciones matemáticas o trigonométricas que se emplean comúnmente.

~~ ~

son funciones construidas internamente o funciones de biblioteca que realizan

S I N Seno cos T A N

Coseno

ALOG o LOG Tangente

Logaritmo natural o de base e ALOG o LOGIO

EXP Logoritmo común o de base 10

Exponencial SQRT Raíz cuadrada ABS Valor absoluto

I N T El entero más grande que Es menor o igu:?! a x

SIN cos TAN L O G

EXP S Q R ABS I N T

Page 49: Metodos numericos para ingenieros

38 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.).

FORTRAN BASIC

SOL.

donde x es el argumento de la función. Nótese que la lista anterior no está completa. Dependiendo de la versión del compilador pueden existir más funcio-

nes intrínsecas.

Funciones definidas por el usuario son funciones definidas por el programador.

Declaración de funciones son de la forma:

narnbre(xl, . . . ,xn) = f donde nombre es el nombre de la fun- ción (se puede dar cualquier nombre); x , , . . .,x,, son variables numéricas que no tienen subíndice y f es una expre- sión aritmética que depende de x , , . . . , x,,.

Las declaraciones de funciones van antes de la primera proposición de ejecutable.

Se pueden pasar varios argumentos en una declaración de una función. Las otras variables dentro de la función tie- nen el mismo valor que en el programa principal en el punto donde se llama la función.

TRIG(X,Y)=SIN(X)-LOG(Y)

A=5 )'&& B=10 S=TRIG(A,B)

Declaración DEF son de la forma general:

in DEF FNa(x) = f donde In es el número de línea, a es cualquier letra del alfabeto, x es una variable numérica (sin subíndice) y f es una expresión aritmética que es función de x .

La declaración DEF va antes de ejecutar dicha función.

Se puede pasar sólo argumentos en una declaración DEF. Las otras variables dentro de la función tienen el mismo va- lor que en el programa principal en el punto donde se llama a la función.

10 DEF FNT(X)=SIN(X)-LOG(B) r 70A=5 80 E= 10 9 90 S=FNT(AJ

Subprogramas Function se parecen a las declaraciones de funcio-

nes en la ejecución pero, como su nom- bre lo indica, son programas, esto es, consisten de varias líneas. Los subpro- gramas tipo function son de lo forma general:

FUNCTION name(xl, . . . x2j

nombre = f RETURN

donde todos los valores que toma la función son aquellos que se definen a1 llamar a dicha Función.

Page 50: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 39

CUADRO 2.2 Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.).

FORTRAN BASIC

A= 5 B=10 S=TRIG (A.B)

FUNCTION TRIG(X,Y)

RETURN TRIG=SIN(X)-LOG(Y)

Nótese que las constantes y las variables que no se pasan como argumentos de- ben definirse dentro de la función o pa- sarse por una declaración COMMON.

Subrutinas son subprogramas que consisten de un conjunto de proposiciones que realizan

una tarea en particular. Contienen una declaración RETURN que regresa al punto donde se llamó a la subrutina.

Las subrutinas se llaman con una decla- ración CALL de la forma:

Call nombre (arg,,org,,. . .,arg,)

donde nombre es el nombre de la subru- tina y org,,. . ., org, son los n argu- mentos (variables o constantes) que se pasan a la subrutina.

La subrutina va después del programa principal y empieza con una declaración SUBROUTINE, de la forma:

Las subrutinas se llaman con una decla- ración GOSUB de la forma:

In, GOSUB Inn

donde In, es el número de línea de la declaración GOSUB y In2 es el número de línea donde empieza la subrutina.

La primera línea de la subrutina puede ir en cualquier lugar dentro del programa.

donde nombre debe ser el mismo al Ila- mar dicha subrutina con la proposición CALL.

Una vez dentro de la subrutina, las proposiciones se ejecutan en secuencia hasta que se encuentra una declaración RETURN, después de lo cual regresa a la si-

guiente línea de donde está la subrutina.

Se pasan a y desde la subrutino única- Todos los valores se pasan a y desde la mente los valores que aparecen como subrutina. argumentos de la misma:

Page 51: Metodos numericos para ingenieros

40 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 2.2. Referencia rápida: comparación de FORTRAN y BASIC. (cont.)

FORTRAN BAS IC

CALL SUM (X.Y,Z)

-

200 GOSUB 800

END 500 END SUBROUTINE SUM (A,B,C) 800 Z=X+Y C=A+B 850 RETURN RETURN

Nótese que las constantes y las varia- bles que no se pasan como argumentos se deben definir dentro de la subru- tina o pasarse con una declaración COMMON.

DOCUMENTACI~N (le permite incluir información para el usuario de los programas)

las declaraciones de documentación son instrucciones no ejecutables.

Declaración de comentario Declaración REM Consiste del carácter C o del símbolo * en Consiste de la declaración REM seguida

C aquí se puede teclear cualquier 1 O REM aquí se puede teclear cualquier

la columna 1 seguido por un mensaje: por un mensaje:

mensaje. mensaje.

3. Cálculos. Las operaciones matemáticas son muy similares en ambos lenguajes. Aunque la nomenclatura es un poco diferente, las ecuacio- nes escritas en los dos lenguajes casi son idénticas.

4. Control. Estas declaraciones se usan para dirigir la secuencia lógica de las instrucciones en el programa. Para los m6todos numéricos, es suficiente con tres tipos: la declaración GO TO, el IF lógico y los ci- clos. Aunque hay pequeñas diferencias en la nomenclatura de ambos lenguajes, las declaraciones son muy similares en operación.

5. Subprogramas. Como lo indica el nombre, son miniprogramas dentro del programa principal. Se diseñan para ejecutar declaraciones que se repiten muchas veces a lo largo del programa. En vez de reescribir los miniprogramas muchas veces dentro del programa, se pueden es- cribir sólo una vez e invocarse con una declaración simple cuando sea necesario. Estos .subprogramas, que incluyen las subrutinas, funcio- nes definidas por el usuario y funciones predefinidas, son otro caso

Page 52: Metodos numericos para ingenieros

0 7 8 f q LA PROGRAMACIóN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES

donde FORTRAN y BASIC difieren significativamente. Las diferen- cias estriban en la manera en que se pasa información entre el cuerpo principal del programa y los subprogramas. Como se muestra en el cuadro 2.2. los argumentos de los subprogramas FORTRAN actúan como ventanas para controlar el paso de informacih. Este es un ejem- plo que muestra al FORTRAN como un lenguaje más complicado y . en consecuencia. más potente que el BASIC.

6. Documentación. Estas declaraciones permiten incluir información en- focada al usuario dentro del programa.

En resumen, el FORTRAN es un poco más flexible y más poderoso aunque también es más difícil de aprender que el BASIC. Sin embargo. ya que éste se desarrolló originalmente como una versión simplificada del FORTRAN. los dos lenguajes muestran varias similitudes. Aunque cada uno de ellos tiene sus reglas que deben respetarse e n cuanto a estilo. su vocabulario y gramática son lo suficientemente similares como para per- mitir una traducción fácil de la mayor parte de los programas de un len- guaje a otro. Por 10 tanto, en este libro todo el código para computadora se presenta en formato doble como el de la figura 2.5. Aunque algunas veces signifique que se olvidarán características peculiares de uno u otro lenguaje, esto permitirá alcanzar un conocimiento de los dos lenguajes FORTRAN y BASIC.

2 . 2 . 3 Rastreo y prueba

Después de escribir el código del programa. se debe probar para buscar los errores, a los que se les llama bugs. AI proceso de localizar y corregir los errores se les conoce como rastreo. Pueden ocurrir varios tipos de erro- res cuando se programa en cualquier lenguaje. Los errores de sin taxis violan las reglas del lenguaje como la ortografía. la formación de los números. los números de línea y otras reglas específicas a cada lenguaje. Estos errores a menudo resultan al teclear cosas raras. Por ejemplo. la declaración en BASIC

30 A = 5/(0.2 + 4 * SIN (2 * Y1

generaría un error de sintaxis inmediato porque los paréntesis no se en- cuentran por parejas.

Los errores más difíciles de detectar están asociados con la lógica y con la construcción de los programas y pueden ocurrir sin interrupciones de sintaxis. Por lo tanto, se debe tener especial cuidado y asegurarse de que el programa hace lo que se le pide. Por ejemplo. supóngase que. se desean sumar los enteros entre 1 y 10 y luego dividirlos entre 10 (es decir. calcular su promedio). Los códigos en FORTRAN y BASIC de- ben ser

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42 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FORTRAN s = o D O 4 0 I = 1 , 10 S = S + I

40 CONTINUE A = S/I WRITE (6, 1 )A

BASIC 1 o s = o 20 FOR I = 1 TO 10 3 O S = S + I 40 NEXT I 5C A = S/l 60 PRINT A

obteniendo como resultado A = 5. mientras que el resultado esperado era A = 5.5. La sintaxis está perfecta. pero hay un error de lógica que la computadora jamás podrá detectar porque no hay forma de observar- lo. Una manera de eliminar este tipo de error es la de imprimir durante el programa los valores de las variables que no se requieran en la forma final del programa. Por ejemplo. si se ha escrito

WRITE f V O ~ I , . . . , vorn in PRINT vorl, . . . , V O ~ ,

con los resultados A = 5 e I = 11, probablemente se notará que el error estriba en que el valor de I se incrementa al salir del ciclo.

Los errores de este tipo a menudo son muy dificiles de detectar en programas muy grandes o muy complejos. Por lo tanto, es una buena práctica verificar manualmente si es posible, los resultados dados por

' el programa y probarlos en casos especiales. Esto puede hacerse con lápiz, papel y una calculadora. Los errores asociados con la lógica o con la f i - nalidad de un programa. no con la gramática, se les conoce como erro- res de semántica. Estos ocurren. por lo general durante la ejecución del programa y se les conoce también como errores e n el momento de /a co- rrida ( run time errors). Es absolutamente necesaria la técnica de impri- mir los valores de las variables intermedias para verificar la lógica de un programa y evitar errores de semántica en programas muy grandes.

El rastreo y la prueba de los programas se facilita empleando un buen estilo de codificación, Esto puede implicar que el disefio de los programas consista de varias partes pequeñas. A este tipo de estilo de programa- ción se le conoce como programación modular. Cada parte es especifica e identifica fácilmente las tareas a ejecutar. Las subrutinas son medios apro- piados para tal modularización. El programa principal (o el programa que las llama) puede, entonces ser simplemente un director que guía cada una de las partes en un esquema lógico. De esta manera. si los programas no funcionan perfectamente, se puede aislar y localizar el problema más rápidamente. Por ejemplo. se pueden escribir subrutinas para c,ada una de las siguientes tareas:

1. Leer datos. 4. Ejecutar algoritmos numéricos.

2. Mostrar datos. 5. Mostrar los resultados en una tabla.

3. Mostrar un carácter para 6. Mostrar los resultados en una gráfica. información.

Page 54: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACIóN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 43 -

Cada una de estas subrutinas realiza una tarea limitada y aislada que se puede programar y rastrear separadamente. Esto simplifica mucho el tra- bajo total. comparado con el rastreo de todo el programa simultáneamente.

Después de probar los módulos, todo el programa se debe sujetar a una prueba total del sistema. Para un programa de métodos numéricos, se debe realizar una serie de cálculos y debe compararse con casos donde se conozca previamente la solución exacta. Algunas veces se dispone de la solución analítica la cual es aceptable para estos propósitos. Tal fue el caso del paracaidista (recuérdense los ejemplos 1.1. y 1.2). En otros casos, el programador debe realizar cálculos manuales con una calcula- dora de bolsillo para comprobar que el programa lleva a resultados con- fiables. En cualquier caso, el programa se sujetará a una gran variedad de pruebas para asegurarse de que funcionará confiablemente bajo todas las condiciones de operación posibles. Unicamente hasta entonces el pro- grama estará listo para ser usado en la solución de problemas de ingeniería.

2.2.4 Documentación

Después de que el programa ha sido rastreado y probado, se debe docu- mentar. La documentación es la inclusión de comentarios que le permi- ten al usuario implementar el programa más fácilmente. Recuérdese que junto con otras personas que pueden usar sus programas, el programa- dor mismo es un “usuario”. Aunque un programa parezca simple y claro cuando está recién hecho y se guarda en la mente, después de pasar cierto tiempo el mismo código puede parecer inaccesible. Por lo tanto, se debe incluir suficiente información para permitirle a los usuarios entender e im- plementar inmediatamente tales programas.

Esta tarea exhibe aspectos internos y externos. La documentación in- terna consiste de algún análisis o explicación que se inserta a lo largo del código del programa para la descripción de cómo trabaja cada una de las secciones del mismo. Es importante en casos donde se va a modificar el programa. Esta documentación se debe incluir tan pronto como se ter- mine una parte del programa, en lugar de hacerlo hasta el final, para evi- tar la pérdida del concepto en el diseño original que se tuvo en el desarrollo del programa. La documentación interna se mejora considerablemente con el uso de nombres mnemónicos apropiados para las variables. Estos nombres pueden ser más difíciles de codificar que los nombres peque- ños, pero la ventaja de ser más informativos, por lo general hace que valga la pena el esfuerzo adicional. Utilizar nombres mnemónicos conve- nientes, incluye en esencia el uso de nombres convencionales o est6n- dares o abreviaciones comunes para variables.

La documentación externa explica las instrucciones como mensajes e información impresa suplementaria diseñada para auxiliar al usuario en la implementación de los programas. Los mensajes impresos se supone que ayudan a que los resultados estén bien presentados y accesibles al usuario. Esto implica el uso correcto de espacios, líneas en blanco o ca-

Page 55: Metodos numericos para ingenieros

44 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

racteres especiales que ilustren la secuencia lógica y la estructura de los resultados de un programa. Los resultados bien presentados simplifican la detección de errores y aumentan la comprensión de los mismos.

La información suplementaria puede variar desde una hoja hasta un manual para el usuario. La figura 2.7 muestra un ejemplo de una forma

FIGURA 2 .7 Formato simple de una página para la documentación de un programa. Esta página se debe guardar en una carpeta con un listado del programa.

Page 56: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACI~N EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 45

de documentación simple que se recomienda para preparar cada uno de los programas a desarrollar. Estas formas se pueden mantener en un cua- derno de notas para tener una referencia rápida para la biblioteca de pro- gramas. El manual del usuario para una computadora es un ejemplo de una documentación accesible. Este manual indica cómo correr el sistema y los programas de operación en disco de la computadora.

2.2.5 Almacenamiento y mantenimiento

Los pasos finales en el desarrollo de un programa son el almacenamiento y mantenimiento del mismo. El mantenimiento involucra acondicionar el programa e incluso hacerle cambios que lo hagan accesible a problemas reales. Después de varias corridas, estos cambios pueden hacer al pro- grama más fácil de usar y más aplicable a mayor cantidad de problemas. El mantenimiento se facilita con una buena documentación.

El almacenamiento se refiere a la manera en que los programas se guardan para uso posterior. Antes del advenimiento de las computado- ras personales, no había formas simples de almacenar copias de trabajo de programas realizados. Los listados de código, de hecho se guardaban, pero tenían que teclearse de nuevo para usos posteriores. Las cajas de tarjetas

FIGURA 2.8 Disco flexible.

Page 57: Metodos numericos para ingenieros

46 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS -

perforadas se podían guardar, pero para un programa de cualquier mag- nitud resultaban difíciles de manejar y susceptibles a deteriorarse.

Como se menciona al principio de este capítulo, los dispositivos de almacenamiento magnético han mejorado sustancialmente la habilidad de retener programas. Un dispositivo común de almacenamiento es el disco flexible. mostrado en la figura 2.8. Los discos flexibles son un medio ba- rato para almacenar programas y datos. Aunque los discos flexibles tie- nen una gran utilidad. también tienen algunas desventajas. Por una parte, su tiempo de acceso es muy lento; por otra, se deben manejar y se deben guardar con mucho cuidado. Dado que pueden borrarse muy fácilmen- te, siempre se debe tener una copia de cada uno de ellos. Además, cuando se termina un programa de computadora, se debe imprimir inmediata- mente y almacenarlo con la documentación correspondiente. Estas im- presiones pueden ser útiles en el caso no deseado, pero posible, de que el disco y su copia se destruyan.

2.3 DESARROLLO DE UN PROGRAMA PARA EL PROBLEMA DEL PARACAIDISTA

Ahora se usará el material de las secciones previas para escribir un pro- grama en BASIC y en FORTRAN para el problema del paracaidista. Es- tos programas son un ejemplo ideal porque contienen todos los elementos -entrada-salida, ciclos, decisiones, cálculos y subprogramas- que con- forman al programa en el resto del capítulo.

Recuérdese que el problema del paracaidista es equivalente a la solu- ción de la ecuación (l. 12):

r -7

donde v es la velocidad en un tiempo posterior v(tJ es la velo- cidad en el tiempo actual ti, g es la aceleración de la gravedad (igual a) 980 cms/s2, c es el coeficiente de rozamiento, m es la masa del para- caidista y At = t i+l - t i . El término entre corchetes es el valor actual del promedio de cambio de velocidad respecto al tiempo [Ec. (1.8)]. Si se conoce la velocidad inicial del paracaidista v (ti) la ecuación (2.1) se pue- de resolver repetidamente para valores de v(t i+J, como se hizo en el ejemplo l. 2.

Con esta información como antecedente, ahora se puede desarrollar un algoritmo para el problema. En este punto, se podría desarrollar un algoritmo bien detallado. Sin embargo, con la práctica que se tiene, difí- cilmente se podría. En lugar de ello, se empezará con una versión gene- ral simple, agregándole detalles poco a poco en forma secuencia1 para expandir la definición. Entonces, cuando se haya obtenido una versión

Page 58: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 47

FIGURA 2.9 Diagrama de fluio de un programa simple para el problema del paracaidista.

Page 59: Metodos numericos para ingenieros

48 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

final. se puede proceder a escribir el programa. En programación. este método de iniciar en general e ir avanzando hacia lo específico se le co- noce como esquema de análisis descendente. Entre otras cosas. es efi- ciente porque, en general es mucho más fácil eliminar errores si los algoritmos y los programas se escriben en pasos simples y se van verifi- cando conforme se avanza.

Un algoritmo muy simple para realizar los cálculos del ejemplo 1 .2 puede escribirse con palabras de la siguiente manera: introducir los da- tos. calcular la velocidad, imprimir la respuesta y repetir hasta que se hayan calculado tantos valores como sea necesario. Este algoritmo se puede expresar de manera más formal con un diagrama de flujo. La figura 2 .9 muestra un procedimiento detallado de la implementación de los cálculos.

El diagrama de flujo consiste de tres conjuntos de declaraciones:

1. Introducir variables y constantes

2. Inicializar todas las variables

3. Hacer un ciclo iterativo que calcule e imprima las respuestas

Con base al diagrama de flujo, se puede escribir ahora un programa. Las versiones en FORTRAN y BASIC se muestran en la figura 2.10. NÓ- tese que para la versicin en BASIC, se usan incrementos de 10 para eti- quetar los números de línea. Esto se hace para prever la posibilidad de

T 0 = 0 v0=0 H=Z t 4 = t 0 C = t 2 5 0 0 I

M1681 O 0 T=TO 'V = v o U R I T E < 6 , I > T , V F O R M A T ( 2 ( ' ' , F 1 0 . 3 > ) I = O

T = T + H W R I T E ( 6 , l ) T , V I = I + t I F ! I . L T . H j C O T O 2 0 0 S T O P E ti C)

2 0 O ' V = V + C 98 O-C*V,'l'l >*H

FIGURA 2.1 O Programas FORTRAN y BASIC para el problema del paracaidista. Estos programas duplican los cálculos manuales del ejemplo 1.2.

. " . .

Page 60: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMAC16N EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 49

insertar nuevas líneas de código en refinamiento subsecuentes del pro- grama.

Aunque el ejercicio mencionado anteriormente ciertamente es un pro- grama válido para el problema del paracaidista, por ningún medio explo- ta todas las posibilidades de programación ni en FORTRAN ni en BASIC. Para demostrar como se pueden emplear líneas adicionales, para desa- rrollar una versión mejor, ahora se refinará el programa.

Muchas de las modificaciones e inserciones siguientes representan una técnica de programación más eficiente y más sencilla de ejecutar. Sin embargo, cierto material se enfoca hacia propósitos didáctico5 para de- mostrar el uso de ciertas declaraciones. El siguiente análisis muestra directamente la versión en BASIC. Ya que los programas de la figura 2.11 están escritos en paralelo, es muy fácil extender el análisis a la versión FORTRAN.

El programa de la figura 2.11 tiene nuevas características. Las princi- pales son:

1.

2.

El programa calcula ahora la velocidad para tres valores diferentes del coeficiente de rozamiento y de la masa. La habilidad de realizar cálculos repetitivos es una de las ventajas de las computadoras. Dentro del diseño en ingeniería, a menudo es útil realizar una serie de cálcu- los varias veces con valores diferentes de los coeficientes para valorar la sensibilidad del modelo a estos cambios. Esto se hace en este caso, realizando los cálculos del ejemplo 1.2 con el coeficiente de rozamiento variando 2 10%. De esta manera, los tres casos usados en el pro- grama son para el caso del coeficiente de rozamiento original (12 500 g / s ) , el coeficiente de rozamiento más el 10 por ciento (13 750 g/s) y el coeficiente de rozamiento menos el 10 por ciento (1 1 250 g/s) . El cálculo repetitivo se lleva a cabo agregando un ciclo iterativo (lí- neas 3080 a la 3390). Cada vez que el programa pasa a través del ciclo, se usa un coeficiente de rozamiento diferente para calcular la velocidad. Nótese también que el coeficiente de rozamiento y la ma- sa se usan como variables con subindices C(K) y M(K) . Por lo tanto, se les asigna una dimensión en la línea 3040.

El programa tiene ahora un esquema iterativo más preciso. Además de agregar el ciclo mayor para los tres casos de c y de m (líneas 3080 a la 3390), se han usado dos ciclos para calcular el valor actual de u . Se hace así porque pudiese ser que no se desee imprimir una res- puesta después de cada paso. Esto sería especialmente cierto si se usara un paso muy pequeño, por ejemplo 0.01 S , para obtener resul- tados más exactos. Para calcular desde t = O hasta 20 S , se requeri- rían 20/0.01ó 2 O00 números. Ya que se requiere un valor para cada 2 S que esquemetice razonablemente la caída del paracaidista, se han usado dos ciclos anidados de forma tal que el programa imprima re- sultados en tiempos intermedios. Un ciclo anidado es aquel ciclo que

Page 61: Metodos numericos para ingenieros

50 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

F C PRDCRRMR LEGIBLE RL USURRIO

C DEL PARPCP,IDISTP. c En FDRTRBN p a s a EL PROBLEMQ

C

C CIVIL EHCINEERIHC

C CDLLECE STATION, TEXnS 77843 C

c sc c u w R n

c TEXPS a w UNIVERSITY

................................................ C FUHCIOH PPlRP CRLCULUR DV/DT ................................................

DVDT(C.V,N)-980-C.V/M

................................................ C PRDCRRMR PRINCIPRL ................................................

€UD ................................................ C SUBRUTINR p a w IMPRIMIR EL ENCP,BEZPDO ................................................

SUBRDUTIHE LRBEL VRITE(6, I > RETURN END

I FORMIIT( '-':SDLUCION Paun LP, VELOCIDAD DE c a l w GEL PmmaIDIsTf i

................................................ C SUBRUTINR PRW LEER DRTDS ................................................

SUBROUTINE INPUT(TO,TI,VO,U,P>

RERD <5.2>10 TIEMPO zHIc laL ( S E G )

(S .Z)TI TIEMPO FIHAL (SEG)

VELDCIDRD INIClPL (CM/SEC> RD(S.2)VO

RD< 5 , 2 >H

~~

MRCNITUD DEL IHCREIEUTO (SEC)

IMPRIME EL IHTERVPlLO ( S E C )

C

C

C

C

RE,

REI

RE!

RERD( S , 2 )P 2 FORtlPIT< F 6 . 2 )

C VERIFICL LP, RPlCHITUD DEL IHCRENEHTO E IMPRIME EL IHTERVIILO I F <P.CE.W.IIND.P.NE.O> COTO 222U URI lE(6 ,3>

3 FDRNPIT('EL IWTERVLLD DESE SER MRVOR D IGURL P LO MPIGNITUD

22: *DEL INCREMENTO Y NO PUEDE VPLER CERO')

C C C

2 0 RETURN END ..............................................

SUBRUTIN0 PRRR RERLIZRR CfiLCULOS .............................................. SUBRDUTIHE CILC(TO,T1 ,VO,H,P) REM. M DIMEHSIOU C < 2 O ) , l M Z O )

NC-IHT(P/HI DVOT(C.V,M)-SBO-C.Y~M

HP-IHTl(Tl-TO>/P>

DO 3370 K-1.20

REIID<S,4)C(K) IF (C<K) .EP .O . ) COTO 3390

REIID (S.4IJUK)

CICLO PP,RR CRLCULRR V CDU DIFERENTES C Y M

LEE EL COEFICIENTE DE FRICCIDU

LEE LII men

4 FOR11RT<FIO.O) VERIFICPI QUE LR (1181 SE1 CERD

I F ( ~ l K > . C T . O . O ) C O T D 3220

S FORMRT('-','LR NASR DEBE SER M(IV0R PUE CERO', VRITE(6,5>

COTO 3390 C INICIPLIZI( TIEMPO Y VELDCIDRD

3200 r-To

6

C

C

3340

3360 1170 3390

v-vo VRITE(6.6) FDRIIPIT(, , , 4 Y , ' T tSEC>' .1OX, 'V ( YRITE(6.7>T.V

DO 3160 1-1,NP INPRIME E L CICLO

CICLO DE CP,LCULD

C O N T I k RETURN END

CWSEC

INTERVALO

FIGURA 2.1 1 Versiones FORTRAN y BASIC legibles al usuario del programa de la caída del paracaidista.

Page 62: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 51

contiene otro dentro de sí mismo. En este ejemplo, el ciclo interno (líneas 3320 a la 3350) realiza los cálculos usando el tamaño de paso deseado (línea 2100). Después de NC iteraciones de este ciclo (don- de NC se calcula internamente en la línea 3050), se imprime una res- puesta. El procedimiento se repite NP veces (donde NP se calcula internamente en la línea 3060) mediante el ciclo externo (líneas 3300 a la 3370). Nótese también que en vez de especificar el número de pasos (N, especificado en la línea 130 en las versiones simples de la figura 2.10), ahora sólo se introducen los tiempos inicial y final (lí- neas 2040 y 2060) y se usan las líneas 3050 y 3060 para determinar internamente el número apropiado de pasos.

3. El programa muestra ahora un esquema de etiquetado mbs descripti- vo. Se incluyen declaraciones de documentación al principio del pro- grama, los mensajes de salida, por ejemplo las líneas 1030 a la 1080 y las entradas más descriptivas, por ejemplo las líneas 2040 a la 2130.

4. El programa está modularizado. Nótese que el programa consiste de una serie de subrutinas que realizan tareas bien definidas. El progra- ma principal sirve como supervisor para dirigir cada una de las parte dentro de un esquema lógico.

5. Se incluyen los diagnósticos para indicar al usuario que Se ha cometi- do un error. Los diagnósticos son declaraciones en el programa que imprimen para el usuario un mensaje descriptivo, si ha ocurrido un error. Las líneas 3160 a la 3210 representan un diagnóstico que veri- fica si la masa es cero. Si así fuese, la ecuación de la línea 210 realiza- ría una división por cero. Si la masa es menor o igual a cero, la lines 3170 transfiere el control a la línea 3180, que imprime el mensaje:

LA MASA NO DEBE SER MENOR O IGUAL A CERO

De forma similar, la línea 2150 examina que el intervalo de impre- sión sea mayor que el tamaño del paso. Si no es así, se imprimen los mensajes de las líneas 2170 a la 2190 y el programa transfiere el control a la línea 2100 y pide un nuevo tamaño de paso.

Las anteriores no son mas que cinco de varias modificaciones que se han hecho para incrementar las capacidades del programa. Se debe verificar línea por línea para entender a fondo cómo contribuye cada una de las declaraciones en el programa total. La figura 2.12 muestra una corrida. En esta figura se introduce un error intencionalmente en el intervalo de impresión para demostrar las capacidades de diagnósticos del programa. El análisis de estas corridas junto con la figura 2.11 deben sugerir algunas alternativas para empezar a obtener resultados claros y con un esquema descriptivo.

Page 63: Metodos numericos para ingenieros

52 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 2.1 2

2.4

Texas A&M Unwerstty Depto Ingentería Cwl

College Stahon. Texas 77843

DESCRlPClON Este programa calcula la velocidad vertical de caída de un paracatdtsta en functón del tiempo

REQUISITOS ESPECIALES: Se pueden usar hasta 20 coeficientes diferentes de rozamiento REQUISITOS ESPECIALES- y masas para calcular la uelocldad

REFERENCIA Métodos numértcos para Ingenieros con dphcaciones en computadoras personales, 1986 (Mc-Graw-Hill. México), Cap 2

SOLUCION PARA LA VELOCIDAD Dt CAlCA DEL PARACAIDISTA MASS I G I - 6 8 1 0 0 TIEMPO INICIAL lSEG1 10 TILMPOR FINAL (SEGI 123

TISECI VICMISECI O O 7 1 w n

VFLOCIOAD INICIAL ICMlSEGl 456

MAGNITUD DEL INCREMENTO 32

IMPRIME EL INTERVALO ISEGI = 3

EL (NTERVALO NO DEBE SER MAYOR O IGUAL QUE LA MAGNITUD DEL INCREMENTO Y N O DEBE VALER CERO

MAGNITUD DEL INCREMENTO - 8

IMPRIME EL INTERVALO \SEGI = 26

COEFICIENTE DE FRlCClON IG'SEGI

TECLEA UN CERO) 65 (PARA TERMINAR EL CALCULO

MASA IGI = 23

TlSEGl VICMiSLGl

TISECI VlCMlSECl

O 0 2 1960

6 3825 16572 4 3128 51689

10 4488 10732

14 4723 73869 16 4776.20838 18 4807 48987 20 4826 13934

8 4240 49528

12 4635 72918

DRAG COEFFICIENTE IG.SECI

ENTERLEROi=12500 IT0 TERMINATE COMPUTATION

4 6 8 10 12 14 16

20 18

3%; 4699 4482 42869 4796 89686 4995 92151

5201 60276 5121 88278

5252 05696 5283 98906

3985 55437

DRAG COEFFICIENT (GlSECl I T 0 TERMINATE COMPUTATION ENTER ZERO1 = 11250

MASSIGI= 68100

TlSECl VICMiSECI

O O 2 1960 4 3272 42291 6 4151.22591 6 4739.6755 10 5133.70342 12 14

5397 5459 5574 21 576

16 5692 51452

20 18 5771 72778

5824.76927

DRAG COEFFICIENT IGISECI

ENTER ZERO1 = O (TO TERMINATE COMPUTATION

Documentación del orograma legible al usuario del problema del paracaidista, incluye corrtda del programa.

ESTRATEGIAS DE PROGRAMACIóN Este libro brinda al estudioso diversos medios, de cálculo con el fin de convertir la teoría de los métodos numéricos en herramientas prácticas para la soluci6n de problemas de ingeniería, Estos medios incluyen 1) discos

Page 64: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 53

que guardan a los programas, 2) programas, 3) algoritmos y 4) diagra- mas de flujo. El propósito de esta sección es el de descubrir la forma en que cada una de estos medios complementa a los otros a lo largo del l i - bro. La estrategia global se ilustra en la figura 2.13.

Tal vez al comprar este libro el lector también adquirió un disco para computadora. A este disco se le conocerá con el nombre de NUMERI- COMP, correrá sobre una computadora IBM-PC (o cualquier compati- ble) o sobre una APPLE 11. El disco contiene seis programas escritos en BASIC: bisección, eliminación Gaussiana, regresión lineal, interpolación

Meta: Resolver los problemas de ingeniería usando una computadora y los métodos numéricos

FIGURA 2.13 Estrategia empleada en el texto para integrar las computadoras personales y los métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería.

Page 65: Metodos numericos para ingenieros

54 MÉTODOS NUM~RICOS PARA INGENIEROS

de Lagrange, regla trapezoidal y el método de Euler. Los programas re- presentan una colección de métodos numéricos simples, pero muy úti!es para cada una de las partes de este libro. Con muy poca preparación puede usarse NUMERICOMP para la solución de problemas. Esto se debe prin- cipalmente a que los programas están escritos en un lenguaje legible y claro, además que proporciona toda la información necesaria para su ope- ración. Además de tener utilidad inmediata, el disco ofrece un ejemplo concreto de programas bien escritos que se pueden usar como modelo para programas escritos por el usuario. Finalmente, los programas se pue- den usar para verificar la exactitud de los resultados en los esfuerzos de programación del usuario.

Cada uno de los programas se ilustra completamente en el capítulo que le corresponde dentro del libro. Las ilustraciones muestran tal como se verían en una pantalla, los datos que se requieren, los resultados de los cálculos y una gráfica de los resultados. Estas ilustraciones se generan usando NUMERICOMP en la solución de un problema determinado. Se incluyen algunos ejercicios en cada uno de los capítulos para reforzar la habilidad en el manejo de los discos del usuario en su propia computadora.

Se dan los códigos de ambas versiones. FORTRAN y BASIC para los mismos métodos. Estos programas contienen los algoritmos funda- mentales con esquemas simples de entrada y salida de datos y con poca documentación. Por lo que no son muy claros en su exposición. Una de las tareas será la de modificar estos programas de forma tal que sean un poco más claros, usando los recursos y la técnica individual de cada pro- gramador. Una vez que esto se haya llevado a cabo, se tendrá una herra- mienta que se aproximará a los programas suplementarios.

Los seis programas del disco NUMERICOMP son para los métodos básicos de cada una de las partes del libro. No son, necesariamente los más eficientes computacionalmente hablando sobre los existentes. Por lo tanto se han incluido diagramas de flujo o algoritmos para la mayor parte de los otros métodos numéricos del libro. Se pueden usar estos diagra- mas y algoritmos con la destreza de programación propia del usuario, para escribir programas de cualquier otro de los métodos expuestos.

EJEMPLO 2.1 Gráficas por computadora

Enunciado del problema: el propósito de este ejemplo es el de familiari- zarse con los programas opcionales NUMERICOMP disponibles con el texto

FIGURA 2.14 a) Título de los programas NUMERICOMP que acompañan al texto. b) Menú principal de NUMERICOMP. c) Menú para BISECCION,d) La pantalla muestra cómo se introduce una función para BISECCION; la función en este caso es la ecuación (1.9), que calcula la velocidad de caída del paracaidista. e) La pantalla muestra una gráfica de la velocidad contra el tiempo para el paracaidista, como lo calcula NUMERICOMP.

Page 66: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMAC16N EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 55

FIGURE 2.14

Page 67: Metodos numericos para ingenieros

56 MoODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

y usar las capacidades gráficas de NUMERICOMP para trazar funciones. Si el libro se compró sin estos programas, entonces se deben buscar for- mas para realizar tareas similares sobre la computadora. Esto se puede llevar a cabo con la ayuda de los programas dados por el sistema o pue- de requerirse que se desarrollen los propios. La habilidad en el trazo de funciones es muy importante ya que la forma de resolver un prob!zma de métodos numéricos se facilita mucho cuando se usa en coordinación con gráficas por computadora.

Solución: insértese el disco NUMERICOMP en la unidad de discos y córrase el programa de acuerdo a las instrucciones del Manual del usuario.

La pantalla debe producir un esquema similar al de la figura 1.14~1. Simplemente es la presentación del programa. Tecléese RETURN para continuar. La pantalla debe mostrar ahora un menú de selección princi- pal como se muestra en la figura 2.14b. El menú contiene una lista de seis programas incluyendo una opción que termina la sesión. Se usará cada uno de estos programas en el momento apropiado dentro del libro, cuando se haya visto previamente la teoría de cada uno de los métodos. Por ahora se usará 19 opción de grdficas por computadora dentro del pro- grama de BISECCION para gráficar la velocidad del paracaidista en tun- ción del ti9mpo. Para hacerlo, simplemente se introduce el programa de BISECCION mediante la opción 1. La pantalla, automáticamente debe mostrar un patrón similar al de la figura 2 . 1 4 ~ después de algunos movi- mientos del disco. Sólo se requieren usar las opciones 1 , 3 y 4 para grafi- car funciones. Selecciónese la opción 1 para introducir la función usando la ecuación (1.9) con m = 68 100 g, c = 12 500 g/s y g = 980 cm/s (Fig. 2.14d). Regrésese al menú principal y escójase la opción 3 para graficar la función. Antes de trazar la gráfica se deben dar valores mínimo y máximo para x y paraf(x) que corresponden al tiempo y a la veloci- dad en este caso. Los valores para x y f ( x ) están dados por definición en la primer columna (en este caso son cero). Pruébense varios valores para los ejes x y paraf(x) (incluyendo valores negativos) para familiari- zarse con el diseño y operaci6n de la opción de graficación. En la figura 2.14e se muestra una gráfica que muestra el esquema de la velocidad como función del tiempo.

La opción de graficación dada por este programa tendrá muchos otros usos para visualizar mejor los resultados de la aplicación de los métodos numéricos y la computación en la solución de problemas de ingeniería. Estos usos se exploran en las secciones subsecuentes del texto.

PROBLEMAS 2.1 Escríbanse las declaraciones BASIC y FORTRAN equivalentes a cada una de las

siguientes expresiones:

Page 68: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACldN EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 57

2.2

2.3

2.4

2.5

xlsenl

-b - - x - 1

2a

b) y=-

c) x =

I) Si A y Z tienen el mismo signo, entonces reemplácese 2 por Q .

Escríbanse las declaraciones BASIC y FORTRAN para realizar la siguiente operación

S = 2 xi2

Para i = 3, 6, 9,. . ., 21.

Dado el siguiente programa

10 A = 10.1 20 B = 3.1416 30 Z = 1.1 40 PRINT X1

¿Cuál será el resultado que se imprima, si se insertan las siguientes expresiones entre las líneas 30 y 40?

a) 35 X1 = A"Z/B

b) 35 X1 = A' (Z/B)

cj 35 X1 = A'B - B**B/Z + 2'2

d) 35 X1 = ((A'Z) - B/Z)' *Z)/(B - Z)

e) 32 J = INT(A* *Z/B - 2)

36 X1 = J'A

Dado el programa del problema 2.3, escríbase el código de la línea 35 que eva- luará las siguientes expresiones algebraicas:

a' - 4 6 x1 =

2

7 XI = a - d z / 5 + 6(a + 2)2'3 - -

b La figura para este problema muestra la página de una bitácora de un automóvil. Cada renglón representa una visita a la gasolinera en la que el tanque se llena de gasolina. La página tiene, además columnas para la fecha, el kilometraje mar- cado por el odómetro, la cantidad de gasolina y su costo.

Escríbase un programa, diseñado de forma tal que acepte datos de entrada bajo este esquema y calcule los kilómetros recorridos por litro y el costo por ki16- metro de acuerdo a cada intervalo entre llenado y llenado. Debe imprimir una tabla con tres columnas que conforman la fecha, los kilómetros por litro y el costo por litro.

Page 69: Metodos numericos para ingenieros

58 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA DEL PROBLEMA 2.5

2.6 Se invierte una cantidad de dinero P en una cuenta cuyos intereses se reinvierten al final del periodo. El monto futuro F, con una tasa de interés i después de n periodos se puede determinar fácilmente con la fórmula siguiente:

F = P ( 1 + i)"

Escríbase un programa que calcule el monto futuro de una inversión. Los datos de entrada deben incluir la cantidad inicial P, la tasa de interés i (como fracción decimal), y el número de a6os n para los cuales se va a calcular el monto futuro. La salida debe incluir también estos valores. Incluyendo, en forma de tabla el monto futuro para cada uno de los años, hasta el n-ésimo año. Correr el programa para P = $ 1 000.00, i = 0.1 y n = 20 años.

2.7 Escríbase un programa para calcular las raíces reales de la ecuación cuadrática

ax' + bx + c = O donde a , b y c son coeficientes reales. La fórmula para calcular las raíces es la fórmula cuadrática

Page 70: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMAC16N EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES 59

-b f X =

2a

Nótese que si la cantidad dentro del signo de la raíz cuadrada es negativa enton- ces las raíces son complejas. También ocurre una división por cero si a = O. Disé- ñese el programa de forma tal que contemple estas contingencias imprimiendo un mensaje de error. También, inclúyase algo de documentación a lo largo del programa y etiquétense las salidas para hacer el programa legible. Repítanse los cálculos para valores diferentes de a , b y c, tantas veces como el usuario desee. Efectúense pruebas para los casos:

a) a = l b = 4 c = 2 b) a = O b = -4 c = 2.3 c) a = l h = 2 - c = 2.3

2.8 La función exponencial e" se puede evaluar mediante la serie infinita:

Escribase un programa para implementar esta fórmula que calcule los valores ex agregando un término cada vez a la serie. En otras palabras, calcúlese e impríma- se la secuencia

ex = 1 e x = l + x

e X = l + x + - X*

2

hasta la orden de término prefijado. Para cada caso, calcúlese el porcentaje de error relativo dado por

% error = solución real - solución aproximada

solución real 100%

Utilícese la función de biblioteca para calcular e x y determinar la "solución real". El progrma debe imprimir la solución aproximada y el error en cada paso. Se pue- de emplear una función definida por el usuario para calcular el error. y usar ciclos para simplificar los cálculos tanto como sea posible. Para probarlo, utilicese el pro- grama para calcular exp(0.5) desde el primer término de la serie hasta el término x2"/20!. Interprétense los resultados.

2.9 En economía se dispone de fórmulas para calcular los pagos anuales debidos a un préstamo. Supóngase que se desea pedir un préstamo de P pesos para pagar- lo en n pagos anuales con una tasa de interés ¡. La fórmula para calcular el pago anual, A, es.

A1 = P i(1 + i)"

(1 + i)" - 1

Page 71: Metodos numericos para ingenieros

60 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Escríbase un programa para calcular A,. Pruébese con P = $10 O00 y una tasa de interés del 20 por ciento. ( i = 0.20). Hágase el programa de tal forma que se puedan evaluar tantos valores de n como se desee. Calcúlense los resultados para n = 1 , 2, 3 , 4 y 5 .

2.10 Junto con los cálculos de los pagos anuales por préstamos, como se hizo en el problema 2.9, las fórmulas de economía se pueden emplear para determinar los pagos anuales correspondientes a otros tipos de flujo de efectivo. Por ejemplo, supóngase que existe un gasto que crece de manera uniforme a un promedio G conforme avanza el tiempo. A estos pagos se les conoce como series de gradiente aritméticas. La fórmula de economía que calcula un pago anual equivalente para este tipo de flujo de efectivo es

n 1 Ahora, supóngase que se pide un préstamo de P = $10 O00 con un interés del 20% ( i = 0.20) y se compra un nuevo sistema de cómputo. El costo de manteni- miento de la computadora crece de acuerdo a la serie de gradiente aritmética con una tasa de G = $50/año/año. Junto con estos dos costos (esto es, flujos de efectivo negativos para los pagos del préstamo y del mantenimiento), también se obtendrán beneficios o flujos de efectivo positivos con el uso del sistema. El apro- vechamiento en consulta y el uso de la computadora se pueden tasar con un valor anual de A, = $4 000. Por lo tanto, el valor neto A, como propietario de la má- quina sobre una base anual, se puede calcular como beneficios menos costos, o

A N = AB - A, - A2

Por lo tanto, si A, es positivo, la computadora está generando ganancias sobre una base anual. Si A, es negativo, se está perdiendo dinero.

Desarróllese, rastréese, pruébese y documéntese un programa que calcule AN El programa se debe diseñar de tal forma que el usuario pueda introducir co- mo datos las variables P, i, G, A, y n. Úsese el programa para estimar A, con el nuevo sistema de cómputo para n = 1, 2 , 3 , 4 y 5. Esto es, evalúense las ga- nancias si el sistema se posee de l a 5 años. Grafíquese AN contra n (si es posi- ble se puede usar la computadora para hacer la gráfica). Determínese el plazo que se debe poseer el sistema para empezar a ganar dinero. (Nota: la información adi- cional para este problema se puede obtener del primer caso del capítulo 6).

2.1 1 Impleméntese el programa de la figura 2.11. Efectúense las modificaciones nece- sarias de tal forma que sea compatible con el lenguaje usado en la computadora. Una vez que el programa se encuentre en la computadora, pruébese duplicando los cálculos de la figura 2.12. Repítanse los cálculos con pasos de tamaño 1 y 0.5. Compárense los resultados con la solución analítica obtenida anteriormente en el ejemplo 1.1. ?.Mejoran o empeoran los resultados al hacer el tamaño del paso más pequeño?. Explíquense los resultados.

2.12 El siguiente algoritmo está diseñado para determinar la calificación final de un cur- so, que consiste en exámenes parciales. tareas y examen final: Paso 1: Introducir el número del curso y el nombre. Paso 2: Introducir los factores de peso: para exámenes parciales REP) para ta-

reas (PT) y para el examen final (PEF)

Page 72: Metodos numericos para ingenieros

LA PROGRAMACl6N EN LAS COMPUTADORAS PERSONALES if)Zfji3fi51*1 Paso 3:

Paso 4:

Paso 5: Paso 6:

Paso 7: Paso 8: Paso 9:

Paso 10: Paso 11:

Introducir las calificaciones de los exámenes parciales y determinar la calificación promedio (CEP). Introducir las calificaciones de las tareas y determinar la calificación pro- medio (CT) . Si ésta es la última calificación, ir al paso 8; de otra manera, continuar. Determinar la calificación promedio (CP) mediante

PEP CEP + PT * CT

PEP PT CP =

Ir al paso 10. Introducir la calificación del examen final (CEF). Determinar la calificación promedio (CP) mediante

PEP CEP + PT CT + (PEF) (CEF)

PEP + PT + (PEF) CP =

Imprimir el número del curso, nombre y calificación promedio Detener los cálculos.

a) Escríbase un programa basado en este algoritmo b) Rastréese y pruébese usando los datos: PEP = 35; PT = 25; PEF = 40; Exá- menes parciales = 100, 98, 83, 76, 100; tareas = 96, 94, 83, 100, 77, y examen final = 88. c) Prepárese una pequeña documentación para el programa.

2.13 La figura para este problema muestra el reverso de una hoja de estado de cuenta de cheques. El banco ha elaborado esta hoja para ayudar en el balance de una cuenta de cheques. Si se observa bien, se podr6 realizar un algoritmo. Desarrólle- se, rastréese y documéntese un programa que obtenga el saldo actual de la cuen- ta de cheques basado en el esquema de la figura. Se pueden usar los números de la figura para probar el programa.

2.14 Escríbase, rastréese y documéntese un programa que determine las estadísticas del deporte preferido. Escójase cualquiera desde futbol hasta el lanzamiento de bolos. Si el lector practica deportes en interiores elabórese uno para el propio equipo. Diséñese el programa de forma tal que sea legible y muestre información intere- sante a cualquiera (por ejemplo, al entrenador o jugador) que pueda usarse para evaluar el rendimiento de los jugadores.

2.15 Úsese la opción de graficación del programa BISECCIÓN (en el disco NUMERI- COMP) para trazar varias funciones de cualquier tipo. Pruébense funciones poli- nominales y trascendentes cuyo comportamiento sea difícil de visualizar antes de graficarlas. Úsense varias alternativas para ambos ejes x y y para facilitar la explo- ración. Háganse copias permanentes de los trazos si se tiene una impresora.

2.16 Se debe lograr la capacldad de graticar funciones de una forma parecida a como lo hace el programa BISECCIÓN. Prográmese la computadora de una manera apropiada para lograrlo. Si la computadora no tiene un sistema operativo cuyos programas puedan ayudar, entonces se deben escribir, usando las capacidades de la misma. ?.

Page 73: Metodos numericos para ingenieros

62 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

EL ÁREA DE ABAJO SE PROPORCIONA PARA AYUDAR EN EL SALDO DEL TALONARlO CHEQUES POR COBRAR NO CARGADOS AL ESTADO DE

CUENTA

4 58

O0 50 466 IS 44 46 S 32 9 4 64 74 I 4 4 6 3 O0 150 46 I 33 13 4 60 68 5

~

FIGURA DEL PROBLEMA 2.13

MES Abrl I I p ~

SALDO NUEVO COMO SE MUESTRA EN 643. S4 ESTE ESTADO DE CUENTA

SUMA DEPóSITOS QUE NO 250.00

CUENTA ESTAN EN ESTE ESTADO DE 22. IS

TorAL S

RESTA TOTAL DE CHEQUES POR COBRAR

SALDO DEL TALONARIO 600.52 DESPUÉS DE RESTAR LA CARGA DE SERVICIO DEL MES ACTUAL Y SUMAR LOS INTERESES DEVENGADOS ( s b l o LAS CUENTAS A FAVOR DEL SALDO

El programa se debe guardar en un disco de memoria magnética. Documéntese este programa después de rastrearlo y examinarlo cuidadosamente. Déjese listo para poder modificarlo de acuerdo a los requisitos del libro, conforme se avance

2.17 Apréndase la manera de hacer copias permanentes de las gráficas del problema 2.16 si se Tiene una impresora.

Page 74: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O T R E S APROXIMACIONES

Y ERRORES

Debido a que la mayor parte de los métodos expuestos en este libro son muy claros en su descripción y en sus aplicaciones, resulta tentador en este momento ir directamente al cuerpo principal del texto y averiguar el uso de estas técnicas. Sin embargo, ya que los errores son parte intrín- seca en el entendimiento y uso efectivo de los métodos numéricos, se ha escogido este capítulo para desarrollar este tema.

La importancia de los errores se menciona por primera vez con el pro- blema del paracaidista, en el capítulo 1. Recuérdese que se determinó la velocidad de caída del paracaidista analítica y numéricamente. Aun- que con la técnica numérica se obtuvo una solución cercana a la real (la analítica), hubo cierta discrepancia o error, debido a q1.le los métodos n u - méricos son sólo una aproximación.

La mayor parte de las técnicas desarrolladas en este libro tienen la característica de poseer errores. Esto puede parecer contradictorio a pri- mera vista ya que no coincide con la imagen que se tiene de un buen mecanismo de ingeniería. Los estudiantes y pasantes de ingeniería luchan constantemente para limitar este tipo de errores en sus trabajos. Cuando hacen un examen o realizan tareas, son sancionados mas no premiados por sus errores. En la práctica profesional, los errores pueden resultar cos- tosos y en algunas ocasiones catastróficos. Se puede perder hasta la vida si una estructura o un dispositivo llega a fallar.

Aunque la perfección es una meta digna de alabarse, es difícil, si no imposible, alcanzarla. Por ejemplo, a pesar de que el modelo obtenido mediante la segunda ley de Newton es una aproximación excelente. en la práctica jamás predecirá exactamente la caída del paracaidista. Algunos fenómenos, tales como la velocidad del viento y alguna pequena variación en la resistencia del aire cambiarán totalmente la predicción, Si estas desvia- ciones se comportan bajo un patrón constante ya sea subiendo o bajando. bastará con formular un nuevo modelo. Sin embargo, si su distribución es aleatoria pero se agrupa muy próxima alrededor de la predicción, entonces las desviaciones pueden calificarse como insignificantes y el modelo nueva- mente se considerará adecuado. Las aproximaciones numéricas pueden in-

Page 75: Metodos numericos para ingenieros

64 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

3.1

troducir errores similares en el análisis. Nuevamente la pregunta es: ¿qué error puede considerarse tolerable?

Este capítulo cubre varios aspectos que identifican, cuantifican y mini- mizan estos errores. En las primeras secciones se revisa la información referente a la cuantificación de los errores. En seguida se estudian dos de los errores más comunes: errores de redondeo y errores de truncamiento. Los errores de redondeo se deben a que la computadora sólo puede repre- sentar cantidades con un número finito de dígitos. Los errores de trunca- miento representan la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico. Final- mente, se discuten los errores sin relacionarlos con ningún método nu- mérico en especial. Incluyendo errores por equivocación, errores en la formulación de modelos y la incertidumbre en la obtención de datos.

CIFRAS SIGN I FICATIVAS

En este libro se analizan casi exclusivamente aproximaciones que se relacio- nan con el manejo de números. En consecuencia, antes de discutir los erro- res asociados con los métodos numéricos, es útil repasar algunos conceptos básicos referentes a la representación aproximada de los números mismos.

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad que pueda usarse con confianza. Por ejemplo, la figura 3.1 muestra un velocímetro y el odómetro (contador de kilometraje) de un automóvil. Con un simple vistazo al velocímetro puede verse que el automóvil viaja a una velocidad comprendida entre 48 y 49 km/h. Ya que la flecha está más

FIGURA 3.1 El velocímetro y el odómetro de un automóvil ilustran el concepto de ci- fras significativas.

Page 76: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 65

allá de la mitad de las marcas del indicador, se puede asegurar que el automóvil viaja aproximadamente a 49 km/h. Este resultado casi es verí- dico ya que dos o más lecturas individuales al indicador llevan a la misma conclusión. Sin embargo, supóngase que se desea obtener una cifra de- cimal más en la estimación de la velocidad. En este caso, alguien puede decir 48.7, mientras que otro podrá decir 48.8 km/h. Por lo tanto, debi- do a los límites del instrumento, únicamente se pueden usar dos dígitos con confianza. Las estimaciones del tercer dígito (o más) sólo se pueden calcu- l a r someramente. Sería ridículo afiimar, con base al velocímetro, que el auto- móvil está viajando a una velocidad de 48. 764 213 8 km/h. En contraste, el odómetro muestra hasta seis dígitos confiables. De la figura 3.1 se puede concluir que el automóvil ha recorrido un poco menos de 87 324.5 km du- rante su uso. En este caso el séptimo dígito (y los siguientes) se desconocen.

El concepto de cifras o digitos significatiuos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. El número de cifras significativas es el número de dígitos, más un dígito estimado que se pueda usar con confianza. Por ejemplo, el velocímetro y el odó- metro de la figura 3.1 estiman hasta tres y siete cifras significativas res- pectivamente. Los ceros no siempre son cifras significativas ya que pueden usarse sólo para ubicar el punto decimal. Los números

0.000 018 45 0.000 184 5 0.001 845

tienen cuatro cifras significativas. Cuando se incluyen ceros en números muy grandes, no se ve claro cuantos ceros son significativos, si es que los hay. Por ejemplo, en el valor nominal, el número 45 300 puede tener tres, cuatro o cinco dígitos significativos, dependiendo si los ce- ros se conocen con exactitud. La incertidumbre se puede desechar usando la notación científica en donde 4.53 X lo4, 4.530 X lo4 y 4.530 O x lo4 muestran que el número tiene tres, cuatro y cin- co cifras significativas.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importan- tes en el estudio de los métodos numéricos.

1. Como se dijo en el problema del paracaidista, los métodos numéri- cos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se deben desa- rrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significati- vas. Por ejemplo, se puede decidir que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta hasta cuatro cifras significativas -es- to es, debe existir seguridad que las primeras cuatro cifras son co- rrectas.

Page 77: Metodos numericos para ingenieros

66 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

2. Aunque ciertas cantidades tales como T , e , o fi representan números específicos, no se pueden expresar exactamente con un número fini- to de dígitos. Por ejemplo, el número T es igual a

3.141 592 653 589 793 238 462 643 .

hasta el infinito. Debido a que las computadoras personales sólo re- tienen aproximadamente diez cifras significativas (comúnmente varían entre 7 y 14, como se puede ver en el cuadro 2. l), tales números jamás se podrán representar exactamente. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo.

Los errores de redondeo y el uso de cifras significativas para expresar la exactitud de un número se estudian con más detalle en las siguientes secciones. Además, el concepto de cifras significativas tiene mucha im- portancia en la definición de exactitud y precisión en la siguiente sección.

3.2 EXACTITUD Y PRECISIóN

Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando SU precisión y exactitud. La precisión se refiere a 1) el núme- ro de cifras significativas que representan una cantidad o 2) la extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad física. La exactitud se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa.

Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analo- gía con un buen tirador al blanco. Los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema de la figura 3.2 se pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del blanco de cada esquema representa la verdad. La inexactitud (conocida también como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la verdad. Por lo tanto, aunque las balas en la figura 3 . 2 ~ están más juntas que las de la figura 3.2~1, los dos casos son igualmente inexactos ya que ambos se centran en la esquina superior izquierda del blanco. La precisión, por el otro lado se refiere a la magnitud del esparcimiento de las balas. Por lo tanto, aunque las figuras 3 . 2 b y 3.2d son igualmente exactas (esto es. igualmente centradas respecto al blanco), la última es más precisa ya que las balas están en un grupo más compacto.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de inge- niería. También deben ser lo suficientemente precisos para el diseño en la ingeniería. En este libro se usa el término error para representar la ine- xactitud y la imprecisión de las predicciones. Con estos conceptos como antecedentes, ahora se pueden discutir los factores que contribuyen al error en los cálculos numéricos.

Page 78: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 67

FIGURA 3.2 Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y preci- sión. o) Inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; c) inexacto y preci- so; d) exacto y preciso.

3.3 DEFINICIONES DE ERROR

Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para re- representar las operaciones y cantidades matemáticas. Estos incluyen erro- res de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resul- tan de representar aproximadamente números exactos. Para los dos ti- pos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por

Valor verdadero = valor aproximado + error [3.11

reordenando la ecuación (3. l), se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es

E, = valor verdadero - valor aproximado D.21

Page 79: Metodos numericos para ingenieros

68 MgTODOS NUMeRICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 3.1 Cálculo de errores

Enunciado del problema: supóngase que se tiene que medir la longitud de un puente y de un remache, obteniéndose 9 999 y 9 cm, respectiva- mente. Si los valores verdaderos son 10 O00 y 10 cm, calcúlese a) el error y b) el error relativo porcentual de cada caso.

Solución: a) El error en la medición del puente es [Ec. (3.2)]

E, = 10 O00 - 9999 = 1 cm

y para el remache es de

E,= 1 0 - 9 = l c m

b) El error relativo porcentual para el puente es de [Ec. (3.3)] 1

E” = 100% = 0.01 % 10 O00

y para el remache es de

€, = - 100% = 10% 10

Por lo tanto, aunque ambas medidas tienen un error de 1 cm, el error relativo porcentual del remache es mucho más grande. Se puede con- cluir que se ha hecho un buen trabajo en la medida del puente, mientras que la estimación para el remache deja mucho que desear.

donde E, se usa para denotar el valor exacto del error. Se incluye el subíndice v para dar a entender que se trata del “verdadero” error. Como ya se mencionó brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una estimación “aproximada” del error.

Un defecto en esta definición es que no toma en consideración el or- den de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho más significativo si se está midiendo un re- mache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las canti- dades que se están evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero. como en

Error relativo fracciona1 = error

valor verdadero

Page 80: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 69

donde, como ya se dijo en la ecuación (3.2) error = valor verdadero - valor aproximado. El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como

error verdadero valor verdadero

E , = 100 %

donde E, denota el error relatioo porcentual.

Nótese que en las ecuaciones (3.2) y (3.3) E y E tienen un subíndice u que significa la normalización del error al valor verdadero. En el ejemplo 3.1, se utilizó el valor verdadero. Sin embargo, en las situaciones reales es a veces difícil contar con tal infornación. Para los métodos numéricos, el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se puedan resolver analíticamente. Por lo general este será el.caso cuando se estudie el comportamiento teórico de una técnica en particular. Sin em- bargo, en aplicaciones reales, obviamente no se conoce la respuesta verda- dera a priori. En estos casos, normalizar el error es una alternativa, usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es, a la aproximación misma, como

error aproximado valor aproximado

€a = 100 %

donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado. Nótese también que en aplicaciones reales, la ecuación (3.2) no se puede usar para calcular el término del error para la ecuación (3.4). Uno de los retos a que se enfrentan los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los valores verda- deros. Por ejemplo, ciertos métodos numéricos usan un esquema iterati- uo para calcular resultados. En tales esquemas, se hace una aproximación en base a la aproximación anterior. Este proceso se repite varias veces, o de forma iterativa, para calcular sucesivamente más y mejores aproxi- maciones. En tales casos, el error a menudo se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo por- centual está dado por

€a = aproximación actual - aproximación previa

aproximación actual 100% [3.5] -

En capítulos posteriores se explicarán con detalle éste y otros esquemas para expresar errores.

El signo de las ecuaciones (3.2) hasta la (3.5) puede ser positivo o negativo. Si la aproximación es mayor que el valor verdadero (o la apro- ximación previa es mayor que la aproximación actual), el error es negati- vo; si la aproximación es menor que el valor verdadero, el error es positivo. También, en las ecuaciones (3.2) a la (3.5), el denominador puede ser

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70 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

menor de cero, lo que puede llevar a un error negativo. A menudo. cuando se realizan cálculos, puede no importar mucho el signo del error sino más bien que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada E,. Por lo tanto, a menudo es útil emplear el valor absoluto de las ecuaciones (3.2) a la (3.5). En tales casos, los cálculos se repiten hasta que

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable, fijado previamente, E,.

Es también conveniente enfocar estos errores hacia el número de ci- fras significativas en la aproximación. Se puede demostrar (Scarborough. 1966) que si el siguiente criterio se cumple, puede tenerse la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

[3.7]

EJEMPLO 3.2 Estimación del error para métodos iterativos

Enunciado del problema: en matemáticas, a menudo se pueden repre- sentar las funciones mediante una serie infinita. Por ejemplo, la función exponencial se puede calcular usando:

[E3.2.1]

Mientras más términos se le agreguen a la serie. la aproximación se acer- cará más y más al valor de ex. A la ecuación (E3.2.1) se le llama expan- sión e n series de Maclaurin.

Empezando con el primer término, ex = 1, y agregando un término a la vez, estímese el valor de e"'. Después que se agregue cada térmi- no, calcúlense los errores relativos porcentuales real y aproximado. usando las ecuaciones (3.3) y (3 .5) , respectivamente. Nótese que el valor real es eo = 1.648 721 271. Agréguense términos hasta que el valor abso- luto del error aproximado e, sea menor al criterio preestablecido. f , que contempla tres cifras significativas.

Solución: en primer lugar, la ecuación (3.7) se puede emplear para de- terminar el criterio de error que asegura un resultado correcto en al me-

1 nos tres cifras significativas:

es = (0.5 X 102-3)% = 0.05%

Por lo tanto, se agregarán términos a la serie hasta que E, sea menor que este nivel.

Page 82: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 71

La primera estimación es igual a la ecuación (E3.2.1) con un sólo tér- mino. Por lo tanto la primer estimación es igual a l . La segunda estima- ción se obtiene agregando el segundo término, como sigue:

e x = l + x

y para x = 0.5

= 1 + 0.5 = 1.5

Que representa un error relativo porcentual de [Ec. (3.3)] 1.648721271 - 1.5 = 9.029%

€" = 1.648721271

La ecuación (3.5) determina una estimación aproximada del error, dado por:

1.5 - 1 Eo =

1.5 100% = 33.3%

Ya que E, no es menor que el valor prefijado, E $ , los cálculos continúan agregando otro término, x2 / 2! y repitiendo los cdlculos de errores. El proceso se continúa hasta que eo < E,. Todos los cálculos se pueden re- sumir de la siguiente manera.

Términos Resultado E" 9% EL7 5%

1 1 39.3 2 1.5 9.02 33.3 3 1.625 1.44 7.69 4 1.645833333 O. 175 1.27 5 1.648437500 0.01 72 O. 158 6 1.64869791 7 0.001 42 0.01 58

Así, después de que los seis términos se incluyen, el error estimado baja de E , = 0.05%, y el cálculo termina. Sin embargo, nótese que en vez de tres cifras significativas, ¡el resultado se mejora al llegar a cinco cifras! Esto se debe a que, para este caso, las ecuaciones (3.5) y 3.7) son con- servativas, esto es, aseguran que los resultados son por lo menos tan bue- nos como lo especifican. Aunque, como se analiza en el cápítulo 5, este no es siempre el caso para la ecuación (3.5), y es cierto casi siempre.

Con las definiciones anteriores como antecedente, se puede proceder ahora sobre los dos tipos de error ligados directamente con los métodos nu- méricos. Estos son los errores de redondeo y los errores de truncamiento.

Page 83: Metodos numericos para ingenieros

72 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

3.4 ERRORES DE REDONDEO

Como ya se ha mencionado, los errores de redondeo se deben a que las computadoras sólo guardan un número finito de cifras significativas durante un cálculo. Las computadoras realizan esta función de maneras diferentes. Por ejemplo, si sólo se guardan siete cifras significativas, la computadora puede almacenar y usar K como K = 3.141 592, omitiendo los términos restantes y generando un error de redondeo, [de la ecuación (3.2)]:

E, = 0.000 O00 65.

La anterior es una de las varias formas que utiliza una computadora para redondear números. Esta técnica de retener sólo los primeros siete términos se le llamó “truncamiento” en el ambiente de computación. De preferencia se le llamará de corte para distinguirlo de los errores de trunca- miento discutidos en la próxima sección. Un corte ignora los términos res- tantes de la representación decimal completa. Por ejemplo, el octavo dígito significativo en este caso es 6 . Por lo tanto K se representa de manera más exacta como 3.141 593 que como 3.141 592 obtenido mediante un corte, ya que el valor está más cercano del valor verdadero. Esto se puede visuali- zar de la siguiente manera, si K se aproxima por K = 3.141 593, el error de redondeo se reduce a:

E, = 0.000 O00 35.

Las computadoras se pueden desarrollar para redondear números de acuerdo a reglas de redondeo, como la que se acaba de mencionar. Sin embargo, esto agrega costo computacional por lo que algunas computado- ras usan el corte directo. Este enfoque se justifica bajo la suposición de que el número de cifras significativas en la mayor parte de las computadoras es mucho mayor que el error de redondeo dado por un corte usualmente in- significante. Esta suposición se sustenta en el siguiente ejemplo.

Los errores de redondeo asociados con el ejemplo 3.3 son impercep- tibles en todos los casos cuando se comparan con el error de truncamiento en t = 12 S que es (véanse los ejemplos 1.1 y 1.2):

4749.0 - 4995.9 E, =

4749.0 100 = -5.20%

EJEMPLO 3.3 Efectos del error de redondeo en los cálculos del problema del para- caidista

Enunciado del problema: repítanse los cálculos del ejemplo 1.2, usando tres, cuatro cinco y seis cifras significativas.

Page 84: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 73

CUADRO 3.1 Comparacibn del problema del paracaidista usan- do una cantidad diferente de cifras significativas, con un tamaño de paso igual a 2 s. Los cálculos se reali- zan con el número de cifras significativas indicadas.

VELOCIDAD, cmls (cifras significativas)

Tiempo, S 3 4 5 6 O O O 0.0 0.0 2 1960 1960 1960.0 1960.00 4 3200 3200 3200.4 3200.46 6 3980 3985 3985.5 3985.54 8 4470 4482 4482.3 4482.41

10 ’. 4780 4796 4796.8 4796.88 12 4980 4995 4995.8 4995.91

Solución: usando tres cifras significativas, u ( 2 ) se calculará como en el ejemplo 1.2 :

u ( 2 ) = 1960

Con tres cifras significativas, el valor de u(4) = 3 200.5 se representará como 3 200. Los cálculos continúan de la siguiente manera:

u ( 6 ) = 3 980

u ( 8 ) = 4 470

u(10) = 4 780

u(12) = 4 980

El resto de los cálculos resueltos están en el cuadro 3.1. El valor numérico de t = 12 S y hasta 10 cifras significativas es de

4 995.921 508. Por lo tanto, usando tres, cuatro, cinco y seis cifras signi- ficativas se producen los errores relativos porcentuales de redondeo 0.32, 0.018, 0.002 4 y 0.000 23, respectivamente.

Ya que la mayor parte de las computadoras tienen entre 7 y 14 cifras significativas, los errores de redondeo parecerían no ser muy importan- tes. Sin embargo, hay dos razones del porqué pueden resultar críticos en algunos métodos numéricos:

1. Ciertos métodos requieren cantidades extremadamente grandes para obtener una respuesta. Además, estos cálculos a menudo dependen entre sí. Esto es, los cálculos posteriores son dependientes de los an- teriores. En consecuencia, aunque un error de redondeo individual

Page 85: Metodos numericos para ingenieros

74 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

puede ser muy pequeño, el efecto de acumulación en el transcurso de la gran cantidad de cálculos puede ser significativo.

2. El efecto del redondeo puede ser exagerado cuando se llevan a cabo operaciones algebraicas que emplean números muy pequeños y muy grandes al mismo tiempo. Ya que este caso se presenta en muchos métodos numéricos, el error de redondeo puede resultar de mucha importancia.

EJEMPLO 3.4 La importancia de las cifras significativas de los cálculos algebraicos

Enunciado del problema: determínese la diferencia de dos números gran- des: 32 981 108.123 4 y 32 981 107.998 9. En seguida, repítanse los cálculos pero incrementando el minuendo en un 0.001%.

Solución: la diferencia de los números es

32 981 108.123 4 -32 981 107.998 9

0.124 5

Ahora, incrementando el minuendo en un 0.001% se obtiene el número 32 981 437.934 5, y la diferencia es:

32 981 437.934 5 -32 981 107.998 9

329.935 6

que es considerablemente diferente de la primera. De aquí que una mo- dificación en el minuendo, aparentemente insignificante, provoca una gran diferencia en el resultado.

Los tipos de errores mencionados hasta ahora pueden tener dificulta- des para ciertos métodos numéricos. Estos se discuten en las siguientes secciones del libro.

3.4.1 Reglas de redondeo

Las reglas para redondear números en cálculos manuales se analizan en el recuadro 3.1 y se ilustran en el ejemplo 3.5. Estas reglas no se aplican normalmente cuando se realizan cálculos extensos por computadora. Sin embargo, ya que se usan cálculos manuales a lo largo del texto, se han incluido estas reglas como punto de referencia para cálculos posteriores.

Page 86: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 75

RECUADRO 3.1 Reglas de redondeo

Las siguientes reglas dan la pauta a seguir en el redon- deo de números cuando se realizan cálculos a mano.

1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta (fig. B3.1). El último dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dí- gito descartado es mayor de 5. De otra manera se deja igual. Si el primer dígito descartado es 5 o es 5 seguido de ceros, entonces el Último dígito reteni- do se incrementa en 1 , sólo si es impar.

2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que el último dígito retenido en la res- puesta corresponda al último dígito m6s significativo de los números que estdn sumando o restando. N6- tese que un dígito en la columna de las centésimas es m6s significativo que uno de la columna de las mi- lésimas.

3 . Para la multiplicación y para la división el redondeo es tal que la cantidad de cifras significativas del resul-

ultimo Primer digito digito

5.6170 431

tad0 es igual al número más pequeño de cifras signi- ficativas que contiene la cantidad en la operación.

4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen dos casos generales. Se puede sumar o res- tar el resultado de las multiplicaciones o de las divi- siones.

Multiplicación multiplicación ( diviión ) ( divizón ) o también se pueden multiplicar o dividir los resulta- dos de las sumas y las restas:

En ambos casos, se ejecutan las operaciones entre paréntesis y el resultado antes de proceder con otra operación, en vez de redondear Únicamente el resul- tado final.

Digitas Digitos retenidos o descartadas

significativas

FIGURA B3-1. Ilustración de los dígitos retenidos y descartados de u n número con cin- co cifras significativas.

EJEMPLO 3.5 Ilustraciones de las reglas de redondeo

Los siguientes ejemplos tienen por objeto ilustrar las reglas de redondeo analizadas en el recuadro 3.1

1. Errores de redondeo

5.6723 ”+ 5.67‘ 3 cifras significativas

Page 87: Metodos numericos para ingenieros

76 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

10.406 ”+ 10.41 4 cifras signlficativas 7.3500 - 7.4 2 cifras significativas 88.21650 -.+ 88,216 5 cifras significativas

1.25001 1.3 2 cifras significativas

2. Sumas y restas. (Nota: las últimas cifras más significativas que se re- tienen, están en negritas) :

a) Evalúese 2.2 - l. 768

2.2 - 1.768 = 0.432 + 0.4 b) Evalúese 4.68 x lop7 + 8.3 x - 228 x lop6. La eva- luación de este cálculo se facilita expresando los números con un mismo exponente:

0.004 68 x + 8 . 3 x - 2.28 x

De esta manera, se puede ver claramente que el 3 es el último dígito significativo reteniendo, por lo que la respuesta se redondea de la si- guiente manera:

6 ,024 68 x - 6.0 x

3. Multiplicación y división: a) Evalúese 0.0642 X 4.8

0.064 2 X 4 . 8 = 0.308 16 ”-+ 0.31

b) Evalúese 945 f 0.3185

945 0.318 5

= 2 967.0329 67 . . . -”+ 2 970

4. Combinaciones: a) Evalúese [15.2 (2.8 x + [(8.456 x + 0.1771 Primero, efectúense la multiplicación y la división que están dentro de los corchetes:

[4.256 X 10.~1 + [4.777 401 . . . + ‘10.~1

Ahora, antes de sumar, se redondean las cantidades encerradas:

y después súmese y redondéese el resultado:

Page 88: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 77

I 9.08 X 10-3 -A 9.1 X 10-3 6.740 X 10-5 - 8.7 X 10-7

b) Evalúese 2.672 X lo3 + 5.8

Antes de realizar las sumas y las restas, se expresan los números del nu- merador y del denominador de manera que estén elevados al mismo ex- ponente.

674 X 10-7 - 8.7 X 10-7 2.672 x lo3 + 0.005 8 x lo3

Ahora se hace la suma y la resta:

665.3 X

2.677 8 x lo3

1 y se redondea:

665 X 10-7 2.678 X lo3

finalmente, se divide y se redondea el resultado:

2.483 196 . . . X lo-* "+ 2.48 x

3.5 ERRORES DE TRUNCAMIENTO Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproxi- mación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo, en el capitulo 1 se aproximó la derivada de la velocidad de caída de un para- caidista mediante la ecuación de diferencia dividida de la forma [€c. (l. lo)] :

Se introdujo un error de truncamiento en la solución numérica ya que la ecuación de diferencias sólo aproxima el valor verdadero de la deriva- da (Fig. 1.3). Además para obtener conocimiento de las características

Page 89: Metodos numericos para ingenieros

78 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

de estos errores se regresa a la formulación matemática usada amplia- mente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma poli- nomial: La serie de Taylor.

3.5.1 Serie de Taylor

En el ejemplo 3.2 se usa una serie infinita para evaluar una función en un valor específico de la variable independiente x. De manera similar, la serie de Taylor da una formulación para predecir el valor de la función en x,+l en términos de la función y de sus derivadas en una vecindad al punto x,.

En vez de presentar en conjunto la serie de Taylor, se obtendrá más conocimiento de la misma construyéndola término a término. Por ejem- plo, el primer término de la serie es:

Esta igualdad, conocida como aproximación de orden cero, indica que el valor de f en el nuevo punto es el mismo que el valor en el punto ante- rior. Este resultado se logra intuitivamente ya que si xi y xi+ están muy próximas una de la otra, entonces es igualmente posible que el nuevo valor sea probablemente similar al anterior.

La ecuación (3.9) da una estimación perfecta si la función que se va a aproximar es una constante. Sin embargo, si la función cambia en todo el intervalo, entonces se requieren los términos adicionales de la serie de Taylor para obtener una mejor aproximación. Por ejemplo, la aproxima- ción a primer orden se obtiene sumando otro término al anterior para obtener:

[3.10]

El término adicional de primer orden consiste de la pendiente f ' (xi) mul- tiplicada por la distancia entre xi y x i + l . Por lo tanto, la expresión ahora representa una línea recta y es capaz de predecir un incremento o un de- cremento de la función entre xi y x ~ + ~ .

Aunque la ecuación (3.10) puede predecir un cambio, sólo es exacta para una línea recta o es de dirección lineal. Por lo tanto, se le agrega a la serie un término de segundo orden para obtener algo sobre la curva- tura de la función si es que la tiene:

[3.11]

De manera similar, se pueden agregar términos adicionales para desarro- llar la expansión completa de la serie de Taylor:

Page 90: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 79

+m (xi+l - Xj)3 + . . . + - f(,) (Xi ) 3! (Xii-1 - xi)" + R" n!

[3.12]

Nótese que debido a que la ecuación (3.12) es una serie infinita, el signo igual reemplaza al de aproximación usado en las ecuaciones (3.9) a la (3.11). Se incluye un término residual para considerar todos los términos desde n + 1 hasta el infinito:

f'"+"(h) R, = (n + l)! (Xi+1 - Xi),+] [3.13]

donde el subíndice n indica que el residuo es de la aproximación a n-esimo orden y ( es un valor cualquiera de x que se encuentra en xi y xi+ La inclusión de dentro de la serie es de mucha importancia al grado que se dedica una sección completa (sección 3.5.2) para su estudio. Por ahora, es suficiente darse cuenta que existe este valor que da una estima- ción exacta del error.

Frecuentemente es conveniente simplificar la serie de Taylor definiendo un paso h = - xi y expresando la ecuación (3.12) como:

en donde el término residual es ahora:

[3.15]

EJEMPLO 3.6 Aproximaciones de un polinomio mediante la serie de Taylor.

Enunciado del problema: úsense términos en la serie de Taylor de cero a cuarto orden para aproximar la función:

Page 91: Metodos numericos para ingenieros

80 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

desde el punto xi = O y con h = 1. Esto es, predecir el valor de la fun- ción en xi+ = 1.

Solución: ya que se trata de una función conocida, se pueden calcular valores de f (x) O y 1. Los resultados (Fig. 3.3) indican que la función empieza en f (O) = 1.2 y continúa hacia abajo hasta f (1) = 0.2. Por lo tanto, el valor que se trata de predecir es 0 .2

La aproximaci6n en serie de Taylor de orden cero es [Ec. (3.9)1:

Como se puede ver en la figura 3.3, la aproximación de orden cero es una constante. El error de truncamiento en este caso es [recuérdese la ecuación (3. 2)] :

E” = 0.2 - 1.2:- 1.0

en x = 1.

x = O, como: Para n = 1 , la primer derivada se debe determinar y evaluar en

FIGURA 3.3 La aproximación de {(x) = -0.1 x4 - 0 . 1 5 ~ ~ - 0.5~’ - 0 . 2 5 ~ + 1.2 en X = 7 mediante series de Taylor de orden cero, de primero y se- gundo orden.

Page 92: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 81

I La aproximación a primer orden es [Ec. (3.10)]

f (x i+ l ) E 1.2 - 0.25h

que se puede usar para calcular f (1) = 0.95. Por consiguiente, la aproxi- mación empieza a coincidir con la trayectoria de la función como la pen- diente de una línea recta (Fig. 3.3). De esta manera el error de truncamiento se reduce a:

E, = 0.2 - 0.95 = -0.75

en x = 1. Para n = 2, se evalúa la segunda derivada en x = O:

f”(0) = -1.2(0.0)* - 0.9(0.0) - 1.0 = -1.0

y de acuerdo a la ecuación (3.11) :

f (x i+ l ) 1.2 - 0.25h - 0.5h2

y, sustituyendo h = 1

f(1) = 0.45

Al incluirse la segunda derivada se añade una curvatura descendente que proporciona una estimación mejor, como se muestra en la figura 3.3. El error de truncamiento se reduce a 0.2 - 0.45 = - 0.25.

Los términos adicionales mejoran aún m6s la aproximación. En efec- to, incluyendo la tercera y la cuarta derivada, se obtiene la ecuación original:

f ( q + l ) = 1.2 - 0.25h - 0.5h2 - 0.15h3 - 0.10h4

donde el término residual es:

ya que la quinta derivada de un polinomio de cuarto orden es nula, R4 = O. Por consiguiente, la expansión en serie de Taylor hasta la cuarta derivada produce una aproximación exacta en x = 1.

En general, la expansión en serie de Taylor de n-ésimo orden es exacta para un polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas di- ferenciables, como las exponenciales o senoidales, no se obtiene una estima-

Page 93: Metodos numericos para ingenieros

82 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

ción exacta mediante un número finito de términos. Cada uno de los términos adicionales contribuye al mejoramiento de la aproximación, aunque sea con poco. Esto se muestra en el ejemplo 3.7. Se obtendría un resultado exacto, únicamente si se agrega un número infinito de términos.

Aunque lo anterior se cumple, el valor práctico de la serie de Taylor estriba, en la mayor parte de los casos, en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos. La decisión sobre cuán- tos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable” se basa en el término residual de la expansión. Recuérdese que el término residual es de la forma general de la ecuación (3.15). Esta fórmula tiene dos grandes desventajas. Primero [ no se conoce exactamente sino que sólo se sabe que está entre xi y xi+ Segundo, para la evaluación de la ecuación (3.15) se requiere evaluar la (n + 1)-ésima derivada de f(x). Para hacerlo, se necesita conocer f(x) . Pero, si ya se conoce f(xj, ¡enton- ces no hay razón para realizar la expansión en series de Taylor en primer lugar!

A pesar de este dilema, la ecuación (3.15) aún resulta útil para la eva- luación de errores de truncamiento. Esto se debe a que tiene control sobre el término h de la ecuación. En otras palabras, se puede decidir qué tan lejos de x se desea evaluar f(x) y se puede controlar la cantidad de térmi- nos incluidos en la expansión. Por lo tanto, la ecuación (3.15) se expre- sa, usualmente como:

R, = O(hnt l )

donde la nomenclatura O(h + I) significa que el error de truncamiento es de orden h,+ Esto es, el error es proporcional al paso h a la (n + 1) -enésima potencia. Aunque esta aproximación no implica nada relacionado con las derivadas que multiplica h ,+ es extremadamente útil al evaluar el error relativo de los métodos numéricos basados en las expansiones en serie de Taylor. Por ejemplo, si el error es O (hj, y se reduce a la mi- tad el paso, entonces el error se reducirá a la mitad. Por otro lado. si el error es O(h2) y se reduce a la mitad el paso, entonces el error se redu- cirá a una cuarta parte.

EJEMPLO 3.7 Uso de la serie de Taylor para aproximar una función que tiene un número infinito de derivadas.

Enunciado del problema: úsense los términos de la serie de Taylor con n = O hasta 6 para aproximar:

f (x) = cos x

Page 94: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 83

en x = a / 3 (60O) en base al valor de f (x) y de sus derivadas alrededor del punto x = a / 4 (45). Nótese que esto significa que h = a / 3 - a / 4 = a / 1 2 . Solución: como en el ejemplo 3.6, el conocimiento de la función original implica que se puede conocer el valor exacto de f (a / 3 ) = 0.5.

La aproximación de orden cero es [Ec. (3.9)]:

f ( d 3 ) = COS ( d 4 ) = 0.707 io6 781

que representa un error relativo porcentual de:

E” = 0 . 5 - 0.707 106 781 loo^ = “41,49g

0.5

Para la aproximación de primer orden, se suma el término que con- tiene a la primer derivada, donde f ’ ( x ) = - sen x:

f ( : ) COS (3 -Sen(:)(g) = 0.521 986 659

que tiene un error relativo porcentual de E, = - 4.40.

tiene a la segunda derivada, donde f’ ’ (x) = - cos x: En la aproximación de segundo orden, se incluye el término que con-

con un error relativo porcentual de E, = -0.449. Por lo tanto, al agre- gar más términos a la serie se obtiene una mejor aproximación.

Este proceso se puede continuar, los resultados se muestran en el cua- dro 3.2. Nótese que las derivadas nunca se acercan a cero, como es el

CUADRO 3.2 Aproximaciones mediante la serie de Taylor de f (x) = cos x en x I 3 alrededor del punto x 14. Los

~ valores se muestran para varios brdenes de apro- I xirnaci¿n (m).

Orden n f”(x) P(nI3) C ”

O cos x 0.707106781 -41.4 1 -sin x 0.52 1 986659 2

-4.4 “cos x 0.497754491

3 0.449

sin x 0.499869147 4

2.62 x cos x 0.500007551

5 -sin x 0.500000304 6 -cos x 0.499999988 2.40 x

-1.51 X 10-3 -6.08 X 10-5

Page 95: Metodos numericos para ingenieros

84 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

caso del polinomio del ejemplo 3.6. Sin embargo, cada término que se le agrega a la serie produce una mejor aproximación. Nótese también que la mayor aproximación se consigue con los primeros términos. En este caso, en el momento que se le agregó el tercer término, el error se redujo al 2.62 x lo-*%, lo que significa que se ha alcanzado el 99.9738% del valor exacto. Por consiguiente, si se le agregan más términos a la serie el error decrece, pero la mejoría será mínima.

En general, se puede suponer que el error de truncamiento disminu- ye agregando términos a la serie de Taylor. Además, si h es lo suficiente- mente pequeño, entonces los términos de primero y segundo orden influyen desproporcionadamente en el porcentaje del error. Esta propie- dad se ilustra en el ejemplo siguiente.

3.5.2 El residuo de la expansión en la serie de Taylor

Antes de demostrar cómo se usa la serie de Taylor en la estimación de errores numéricos, se debe explicar por qué se incluye el argumento [ en la ecuación (3.15). En vez de presentar una derivación matemática ge- neral se desarrollará una exposición más simple basada en una interpre- tación geométrica. En seguida se puede extender este caso específico a una formulación más general.

Supóngase que se truncó la expansión en serie de Taylor [€c. (3.14)l después del término de orden cero para obtener:

f(Xi+l) = f(x0

En la figura 3.4 se muestra un bosquejo de esta predicción de orden ce- ro. El residuo o error de esta predicción, que se muestra también en la figura, consiste de la serie infinita de términos que fueron truncados:

Ro = f’(xi)h + -h2 + -h3 + . . . f”(Xi) f’”(X.)

2! 3!

Es obvio que tratar el residuo de esta serie infinita con este formato es inconveniente. Se puede obtener una simplificación truncando el resi- duo mismo, de la siguiente manera:

Ro 2 f ’ (xi ) h [3.16]

Aunque, como se mencionó en la sección previa, los términos de las de- rivadas de orden inferior cuentan mucho más en el residuo que los térmi- nos de las derivadas de orden superior, este resultado todavía es inexacto, ya que se han despreciado los términos de segundo orden y de órdenes

Page 96: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 85

FIGURA 3.4 Representación gráfica de una predicción de la serie de Taylor con residuo.

superiores. Esta “inexactitud” se denota mediante el símbolo de aproxi- mación a la igualdad ( =) empleado en la ecuación (3.16).

Una simplificación alterna que realiza la aproximación a una equiva- lencia está basada en el esquema gráfico. Nótese que en la figura 3.4 el error Lo pudo haberse determinado si se hubiera sabido la posición del valor exacto. Obviamente este valor es desconocido ya que de otra ma- nera no se hubiese requerido de la expansión en serie de Taylor. Sin em- bargo, el teorema del valor medio del cálculo ofrece una forma de rehacer el problema para evitar en forma parcial este dilema.

El teorema del oalor medio dice que si una función f (x) y su primera derivada son continuas sobre un intervalo [x, xi+J, entonces existe al menos un punto sobre la función que tiene una pendiente, dada por f ’ (E), que es paralela a la línea que une f ’ (xi) con f’ (xi+1). El parámetro 4 marca el valor x donde ocurre la pendiente (Fig. 3.5). Se puede hacer una ilustración tangible de este teorema en el hecho de que si se viaja entre dos puntos con una velocidad promedio, habrá al menos un mo- mento durante el curso del viaje en el que se mueva a esa velocidad promedio.

Al hacer uso de este teorema resulta fácil darse cuenta, como se ilustró en la figura 3.5, que la pendiente f’(4) es igual a cociente Ro entre h, o:

Page 97: Metodos numericos para ingenieros

84 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 3.5 Representación gráfica del teorema del valor medio.

que se puede reordenar para obtener:

Por lo tanto, se ha obtenido el término de orden cero de la ecuación (3.15). Los términos de órdenes superiores son una extensión lógica del razona- miento usado para derivar la ecuación (3.17), basado en la forma general del teorema extendido del valor medio (Thomas y Finney, 1979). Por lo tanto, la versión de primer orden es:

[3.18]

En este caso, el valor de 4 conforma el valor de x que corresponde a la derivada de segundo orden que hace exacta a la ecuación (3.18). Los términos de orden más alto se pueden desarrollar de la ecuación (3.15).

3.5.3 Uso de la serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento

Aunque la serie de Taylor es extremadamente útil en la estimación de errores de truncamiento a lo largo de este libro, puede que aún no esté muy claro cómo la expansión puede aplicarse en estos momentos a los métodos numéricos. En realidad, esto ya se hizo en el ejemplo del para-

Page 98: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES a7

caidista. Recuérdese que el objetivo de los ejemplos l. 1 y l. 2 fue el de predecir la velocidad en función del tiempo. Esto es, se deseaba determi- nar u (t) . Como se especificó en la ecuación (3. 12), u (t) se puede expan- dir en la serie de Taylor como:

Ahora, truncando la serie después del término con primera derivada, se obtiene:

La ecuación (3.20) se puede resolver para:

[3.21] "

Aproximación de Error primer orden de truncamiento

La primera parte de la ecuación (3.21) es exactamente la misma relación que se usó para aproximar la derivada del ejemplo 1.2 [Ec. (1. lo)]. Sin embargo, con el esquema de la serie de Taylor se ha obtenido una esti- mación del error de truncamiento asociado con esta aproximación de la derivada. Usando las ecuaciones (3.13) y (3.21) se obtiene:

O

~- R1 - O(tii.1 - ti) ti+1 - ti

[3.22]

[3.23]

Por lo tanto, la estimación de la derivada [Ec. (1.10) o !a primera parte de la Ec. (3.21)] tiene un error de truncamiento de orden t,+ - ti. En otras palabras, el error en la aproximación usando derivadas debe ser proporcional al tamaño del paso. Por lo tanto, si éste se divide a la mitad, entonces se espera que el error de la derivada, se reduzca a la mi- tad.

3.5.4. Diferenciación numérica

A la ecuación (3.21) se le conoce con un nombre especial en el análisis numérico, se le llarr,a diferencias diuididas finitas. Se puede representar

Page 99: Metodos numericos para ingenieros

88 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

generalmente como:

O

[3.24]

[3.25]

donde a Aj, se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación. Se le llama diferencia "hacia adelante" ya que usa los datos i e i -t 1 para estimar la derivada (Fig. 3.6~1). AI térmi- no completo Af,/h se le conoce como primera diferencia dividida finita.

Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por ejemplo, las aproximaciones a primeras de- rivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación (3.24). Las primeras usan a (Fig. 3.6b) , mientras que las segundas usan infor- mación igualmente espaciada alrededor del punto donde está estimada la derivada (Fig. 3 . 6 ~ ) . Las aproximaciones más exactas de la primer de- rivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto. Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y órdenes su- periores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilus- trando cómo se deriva cada uno de ellos.

Aproximaciones a la primera derivada con diferencias hacia atrás. La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por:

[3.26]

Truncando la ecuación después de la primer derivada y ordenando los términos se obtiene:

[3.27]

donde el error es O (h) y V f, indica la primer diferencia dividida hacia atrús. Véase la figura 3.6b para una representación gráfica,.

Aproximaciones a la primer derivada con diferencias centrales. Una tercera forma de aproximar la primer derivada es restar la ecuación (3.26)

Page 100: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 89

FIGURA 3.6 Gráfica de aproximaciones con diferencias divididas tinitas de la prime- ra derivada, a) hacia adelante, b) hacia atrás y c) centrales.

Page 101: Metodos numericos para ingenieros

90 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:

para obtener

que se puede resolver para

or

[3.28]

[3.29]

La ecuación (3.29) es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de h 2 en contraste con las diferencias divididas hacia adelan- te y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada (Fig. 3 . 6 ~ ) . Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.

Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando diferencias fini- tas. Junto a la primer derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior. Para hacerlo, se escribe una expansión en serie de Taylor hacia adelante para f (xj+*) en términos de f (xi) de la siguiente forma:

f(Xi+2) = f k i ) + f'(XiI(2h) + - f"(xi) (2h)Z +

2 [3.30]

La ecuación (3.28) se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación (3.30) para obtener:

. . .

que se puede resolver para:

[3.31]

Page 102: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 91

A esta relación se le llama diferencias diuididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales. Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales tam- bién pueden obtenerse (Fig. 3.7 a la 3.9). En todos los casos, las diferen- cias centradas dan una mejor aproximación.

Fórmulas de exactitud para diferencias de orden superior. Todas las esti- maciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos. Las fórmulas de más exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante [Ec. (3.28)j se puede resolver para:

[3.32]

FIGURA 3.7 Fórmulas de diferencias divididas finitas hacia atrás. Se presentan dos versiones para cada derivada. La segunda forma incluye más términos de la serie de Taylor y, por lo tanto, es más exacta.

Page 103: Metodos numericos para ingenieros

92 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

I

FIGURA 3.8 Fórmulas de diferencias divididas finitas hacia adelante. Se presentan dos versiones para cada derivada. La segunda forma incluye más términos de la serie de Taylor, y por lo tanto, es más exacta.

En contraste con la ecuación (3.24), se puede retener el término de se- gundo orden sustituyendo la ecuación (3.31) en la ecuación (3.32) para obtener:

o agrupando términos

Nótese que la inclusión del término con segunda derivada ha dado una exactitud O (h ’). Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares pa-

Page 104: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 93

FIGURA 3.9 Fórmulas de diferencias divididas finitas centrales. Se presentan dos ver- siones para cada derivada. La segunda forma incluye más términos de lo serie de Taylor y, por lo tanto, es más exacta.

ra diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior. Las fórmulas se resumen en las figuras 3.7 hasta la 3.9. El siguiente ejemplo ilustra la utilidad de las mismas en la estimación de derivadas.

En esta sección sólo se han cubierto algunas de las formas con que la serie de Taylor es útil en el análisi numérico. Sin embargo, este mate- rial tiene como propósito inicial ayudar en la estimación y el control de errores de truncamiento. Muchos de los métodos numéricos de este libro se basan en la representación de aproximaciones simples, de órdenes in- feriores en vez de expresiones matemáticas complicadas. Ya que la ex- pansión en la serie de Taylor da una estructura mediante la cual se separan componentes de orden inferior y superior, se demostrará a lo largo del texto que éste es un vehículo para profundizar en los métodos numéricos.

Page 105: Metodos numericos para ingenieros

94 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 3.8 Aproximaciones de derivadas usando diferencias divididas finitas

Enunciado del problema: úsense aproximaciones de diferencias finitas hacia adelante y hacia atrás de O (h) y centradas, de O (h'), para estimular la pri- mera derivada de:

f(x) = - 0 . 1 ~ ~ - 0 . 1 5 ~ ~ - 0 . 5 ~ ~ - 0 . 2 5 ~ + 1.2

en x = 0.5 usando un tamaño de paso h = 0.5. Repetir los cálculos usando h = 0.25. Nótese que la derivada se puede calcular directamen- te como:

f ' ( x ) = - 0 . 4 ~ ~ - 0 . 4 5 ~ ~ - 1 . 0 ~ - 0.25

y se puede usar para calcular el valor exacto de f ' (0.5) = - 0.912 5. Solución: para h = 0 .5 , se puede usar la función para determinar:

x,-1 = o f(Xj-1) = 1.2

Xi+! = 1.0 f ( x j + J = 0.2 xi = 0.5 !(X¡) = 0.925

Estos datos se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia ade- lante [Ec. (3.24)]:

f'(0.5) = 0.2 - 0.925

O. 5 = -1.45 E, = 58.9%

la diferencia dividida hacia atrás [ € c . (3.27)] :

f '(0.5) = 0.925 - 1.2

0.5 -0.55 E, = 39.7%

y la diferencia dividida central [Ec. (3 .29)] :

Para h = 0.25, los datos son:

xi-1 = 0.25 f(xi-1) = 1.103 515 63 x, = 0.50 f ( x , ) = 0.925

Xi+l - - 0.75 f(xi+l) = 0.636 328 13

que se pueden usar para calcular la diferencia dividida hacia adelan- te:

f'(0.5) = 0.636 328 13 - 0.925 - " 1.155 = E" = 26.5%

0.25

Page 106: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 95

la diferencia dividida hacia atrás:

f'(0.5) = 0.925 - 1.103 515 63 0.25

= -0.714 E" = 21.7%

y la diferencia dividida, central

0.636 328 13 - 1.103 515 63 f ' ( 0 . 5 ) ~ 0.5

= -0.934 E, -2.4%

Para los dos tamaños de paso, las aproximaciones de diferencias centra- les son más exactas que las diferencias hacia atrás y hacia adelante. Tam- bién, como lo predijo el análisis de la serie de Taylor, la división del intervalo en dos partes iguales divide a la mitad el error de las diferencias hacia atrás y hacia adelante, y a la cuarta parte el error de las diferencias centrales.

3.6 ERROR NUMÉRICO TOTAL El error numérico total es la suma de los errores de redondeo y de trunca- miento. Desde el problema del paracaidista (ejemplo 3.3) se descubrió que la única forma de minimizar los errores de redondeo es la de incrementar el número de cifras significativas de la computadora. Más aún, se notó que los errores de redondeo crecen conforme aumenta el número de cálculos. En contraste, el ejemplo 3.8 demostró que la estimación por derivadas se puede mejorar disminuyendo el tamaño del paso. Ya que un decremento en el tamaño del paso lleva a un incremento en los cálculos, los errores de truncamiento decrecen conforme el número de cálculos aumenta. Por lo tanto, se encara el siguiente dilema: la estrategia de disminuir un compo- nente del error total lleva al incremento del otro. En un cálculo es concebi- ble disminuir el tamaño del paso para minimizar los errores de truncamiento sólo para descubrir que al hacerlo, ¡los errores de redondeo empiezan a dominar la solución y el error total crece!. Por lo tanto, el remedio se con- vierte en problema (Fig. 3.10). Un reto que debe encararse es el de de- terminar un tamaño apropiado de paso para un cálculo en particular. Sería bueno escoger una gran cantidad de tamaños de paso para disminuir la cantidad de cálculos y los errores de redondeo, sin incurrir en la pena de un error mayor de truncamiento. Si el error total es el que se muestra en la figura 3.10, el problema es identificar el punto donde el provecho dis- minuye, es decir donde los errores de redondeo empiezan a negar los be- neficios obtenidos con una reducción en el tamaño del paso

En casos reales, sin embargo, estos casos no son comunes ya que la mayor parte de las computadoras manejan suficientes cifras significativas de forma tal que los errores de redondeo no influyen. No obstante, algunas veces ocurren, haciendo pensar en una especie de "principios de incerti- dumbre numérica", que coloca un límite absoluto sobre la exactitud que se puede obtener usando ciertos métodos numéricos con computadora.

Page 107: Metodos numericos para ingenieros

96 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 3.1 O Representación gráfica de las ventajas y desventajas entre errores de re- dondeo y truncamiento que en ocasiones influyen en el curso de un me- todo numérico. Aquí se muestra el punto óptimo, donde el error de redondeo comienza a negar los beneficios dados por la reducción del tamaño del paso.

Debido a estas restricciones, hay limitaciones en la estimación de erro- res. Por lo tanto, la estimación de errores en el análisis numérico es, has- ta cierto punto, un arte que depende en gran parte de las soluciones de prueba-error, además de la intuición y experiencia del analista.

Aunque en este capítulo se ha tratado un tipo de problema numérico "la solución de una ecuación diferencial ordinaria- las conclusiones an- teriores tienen una relevancia general en muchas de las otras técnicas del libro. Sin embargo, debe de hacerse hincapié en que aunque el tema es, hasta cierto punto, un arte, hay una variedad de métodos que los analis- tas pueden usar para cuantificar y controlar los errores en un cálculo. La elaboración de estas técnicas jugará un papel prominente en las páginas siguientes.

3.7 ERRORES POR EQUIVOCACIÓN, DE PLANTEAMIENTO E INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

Aunque las siguientes fuentes de error no están conectadas directamente con la mayor parte de ios métodos numéricos de este libro, en algunas ocasiones pueden tener gran importancia en el esfuerzo por hacer un mo- delo exitoso. Por lo tanto, se deben tener siempre en mente cuando se apliquen técnicas numéricas en el contexto de problemas del mundo real.

Page 108: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 97

3.7.1 Errores por equivocación

A todos les son familiares los errores por torpeza o por equivocación, En los primeros años de la computación, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la computado- ra misma. Hoy día, esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos.

Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modela- ción matemática y pueden contribuir con todas las otras componentes del error. Se pueden evitar únicamente con el conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado sobre la aproximación y diseño de la so- lución a un problema.

Las equivocaciones, por lo general se pasan por alto en la discusión de un método numérico. Esto sin duda prueba el hecho de que los errores de torpeza son, hasta cierto punto, inevitables. Sin embargo, recuérdese que hay ocasiones en que su aparición se puede minimizar. En particular, los buenos hábitos de programación que se bosquejaron en el capítulo 2, son extremadamente útiles para disminuir las equivocaciones. Además, hay for- mas muy simples de verificar cuando un método numérico está trabajando correctamente. A lo largo del texto, se estudian algunas formas de verificar los resultados de un cálculo numérico.

3.7.2 Errores de formulación

Los errores de formulación o de modelamiento degeneran en lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de un error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de Newton no explica los efectos relativísticos. Esto no desvirtúa la validez de la solución del ejemplo 1.1 ya que estos errores son rnínimos en las escalas de tiempo y espacio de la caída del paracaidista.

Sin embargo, supóngase que la resistencia del aire no es linealmente proporcional a la velocidad de caída, como en la ecuación (1.6), sino que es una función del cuadrado de la velocidad. Si este fuese el caso, las soluciones analíticas y numéricas obtenidas en el primer capítulo serían falsas debido al error en la formulación. En algunos casos de estudio del resto del libro se incluyen algunas consideraciones adicionales de los errores de formulación. Se debe estar conciente de estos problemas, y darse cuenta que si se está usando un modelo deficiente, ningún método numérico ge- nerará los resultados adecuados.

3.7.3 Incertidumbre en los datos

Algunas veces se introducen errores en un an3lisis debido a la incertidumbre de los datos físicos sobre los que se basa el modelo. Por ejemplo, supón- gase que se desea probar el modelo del paracaidista haciendo saltos re- petidos individualmente y luego midiendo la velocidad después de un

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98 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

intervalo de tiempo específico. Indudablemente se asociará con cada me- dición una incertidumbre. ya que el paracaidista caerá más rápidamente en unos saltos que en otros. Estos errores pueden mostrar inexactitud e imprecisión. Si los instrumentos constantemente subestiman o sobreesti- man las mediciones de la velocidad. se estará tratando con un instrumento inexacto o desviado. Por el otro lado, si las medidas son casualmente al- tas y bajas entonces se trata de una cuestión de precisión.

Los errores de medición se pueden cuantificar sumando los datos con una o más estadisticas bien conocidas, que generan tanta información como sea posible, observando las características específicas de los datos. Estas estadísticas descriptivas a menudo son seleccionadas para presentar 1) la posición del centro de distribución de los datos y 2) el grado de espar- cimiento de los datos. Como tales dan una medida de la desviación e im- precisión, respectivamente. En el capítulo 10 se retoma el tema de caracterización de incertidumbre en los datos.

Aunque se debe estar conciente de los errores por equivocación. erro- res de formulación e incertidumbre e n los datos, los métodos numéricos usados para construir modelos pueden estudiarse, en la mayor parte de los casos independientemente de estos errores. Por lo tanto, en ia mayor parte de este libro se supondrá que no hay errores de torpeza. que el mo- delo es adecuado y que se está trabajando sin errores en las mediciones de los datos. Bajo estas condiciones. se pueden estudiar los métodos n u - méricos sin complicaciones.

PROBLEMAS 3.1 ¿Cuántas cifras significativas hay en cada uno de los siguientes números'?

a) 0.84 X 10' fl 0.046 00 b) 84.0 g) 0.004 60 c) 70 h) 8.00 x 10' d) 70.0 i ) 8.0 X lo3 e ) 7 j) 8 000

3.2 Redondéense los siguientes números a tres cifras significativas

a) 8.755 d ) 5.555 x 10" b) 0.368 124 X 10' e) 0.999 500 c) 4 225.0002

3.3 Efectúense las siguientes sumas y restas y escríbanse los resultados con todas las cifras significativas necesarias.

ai 0.004 23 + (25.1 x 1 0 ~ " ) + (10.322 x 10 b) 5 068 - 2.4

Page 110: Metodos numericos para ingenieros

APROXIMACIONES Y ERRORES 99

C) (4.68 X lo6) - (8.2 X 10') d ) (9.8 X - (8.696 X i r 5 ) e) (7.7 X - (5.409 X + (7.0 X

3.4 Efectúense las siguientes multiplicaciones y divisiones y escríbanse los resultados con todas las cifras significativas necesarias.

a) (8.38 X lo5) X (6.9 X

b) (8.38 x lo4) x (6.90 x c) 87 619/(0.008 71 x 99 999) d ) (2.06 x 111)/888

el (0.4 O00 x 0.020 00)

(0.010 O0 x 0.800)

3.5 Efectúese cada una de las siguientes operaciones combinadas y escríbanse los re- sultados con todas las cifras significativas necesarias.

a) 6.80 (4.0 x 10~6) - 22 (8.06 x b) (14 x 10 + 555 - 80.8) x (2.000 1 - 0.004)

C) 486 X 10-6 - 4.45 X 10-5

(7.777 X 103) + 9.6

dl 4.81 x

(6.913 4 x lo3) + 32.26 - 6.784 5 x 10~6

58.6 (12 x 10~6) - (208 x (1 801) 4

468.94 x

3.6 En el ejemplo 3.2 se usó la serie infinita:

para aproximar ex. a) Demuéstrese que esta expansión en serie Maclaurin es un caso especial de la expansión en serie de Taylor [Ec. (3.1411 con x, = O y h = x. b) Úsese la serie de Taylor para estimar f (x) = e-' en x , , ~ = 2 para tres casos diferentes: x, = 0.5, 1.0 y 1.5. Empléense los términos de orden cero, primero, segundo, y tercero, además calcúlese leul para cada caso.

3.7 La expansión en serie de Maclaurin para el cos x es:

x2 x4 x6 x8

2! 4! 6! 8! cosx="-+"-+-

Iniciando con el primer término, COS x = 1. agréguense los términos uno a uno para estimar 'COS (T / 3). Después que se agregue cada uno de los términos, calcú- lense los errores porcentuales relativos. exactos y aproximados. Usese una calcula- dora de bolsillo para determinar el valor exacto. Agrégueme términos hasta que

Page 111: Metodos numericos para ingenieros

1 O0 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

el valor absoluto del error aproximado falle bajo cierto criterio de error, consideran- do dos cifras significativas.

3.8 Repítanse los cálculos del problema 3.7, pero ahora usando la serie de Maclaurin para el sen x:

x3 xs x7 3! 5! 7!

s e n x = x - - - + +

y estímese el sen (H / 2)

3.9 Úsense los términos en serie de Taylor de cero a tercer orden para estimar f (3) para

f(xj = 25x3 - 6x2 + 7x - 88 usando como punto base x = 2. Calcúlese el error relativo porcentual correcto pa- ra cada aproximación.

3.10 Úsense los términos en la serie de Taylor de orden cero al cuarto para estimar f (4) para f (x) = In x usando como punto base x = 1. Cálculese el error relativo porcentual correcto para cada aproximación.

3.11 Úsense los términos en serie de Taylor de orden cero al cuarto para estimar f (2) paraf (x) = e-x usando como punto base x = 1. Calcúlese el error relativo por- central correcto e, para cada aproximación.

3.12 Úsense aproximaciones de diferencias de O (h) hacia atrás y hacia adelante y una aproximación central de O (h2) para estimar la primera derivada de la función mencionada en el problema 3.9. Evalúese la derivada en x = 2.5 usando un tamaño de paso de h = O. 25. Compárense los resultados con el valor correcto de la deriva- da en x = 2.5. Interprétense los resultados en base al término residual de la serie de Taylor.

3.13 Úsense aproximaciones con diferencias hacia atrás, centrales y hacia adelante de, O (h’) para estimar la segunda derivada de la función vista en el problema 3.9. Hágase la evaluación en x = 2.6 usando un tamaño de paso de h = 0.2. Compá- rense las estimaciones con el valor correcto de la segunda derivada en x = 2.6. lnterprétense los resultados en base al término residual de la serie de Taylor.

Page 112: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO: PARTE I

1.4 ELEMENTOS DE JUICIO Los métodos numéricos son científicos en el senti- do de que representan técnicas sistemáticas para resolver problemas matemáticos. Sin embargo, hay cierto grado de arte, juicios subjetivos y términos me- dios, asociados con su uso efectivo en la práctica de ingeniería. Para cada uno de los problemas, la confrontación es con varias técnicas numéricas al- ternativas y con muchos tipos de computadoras. Por lo tanto, la elegancia y la eficiencia de los dife- rentes enfoques de los problemas es muy indivi- dualista y se relaciona con la habilidad de escoger prudentemente entre todas las opciones. Desafor- tunadamente, como sucede con cualquier proce- so intuitivo, los factores que influyen en esta elección son difíciles de comunicar. Estas habilida- des pueden ser comprendidas y afinadas amplia- mente sólo por los programadores expertos. Sin embargo, ya que estas habilidades juegan un pa- pel muy importante en la implementación efecti- va de los métodos, se ha incluido esta sección como una introducción a algunos de los elemen- tos de juicio que se deben considerar cuando se seleccione un método numérico y las herramien- tas para su implementación. Aunque no se espe- ra que en la primer ocasión se capten todos los beneficios, si se tiene la esperanza de que estos análisis influyan en la orientación cuando se pre- sente el material subsecuente. También se espera que si se enfrentan alternativas y algunos elemen- tos de juicio en el resto del libro, se consultará nue- vamente este material.

La figura 1.4 ilustra siete factores o elementos de juicio que se deben tener en cuenta cuando se se- lecciona un método numérico para un problema en particular.

l. Tipo de problema matemático. Como ya se mencionó en la figura 1.2, en este libro se discu- ten varios tipos de problemas matemáticos:

a. Raíces de ecuaciones

b. Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales si- multáneas

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102 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

ajuste de curvas

d. Integración numérica

e. Ecuaciones diferenciales ordinarias

Probablemente el lector ya tenga algunos conocimientos básicos sobre la aplicación de los métodos numéricos al enfrentar alguno de los pro- blemas de la figura 1.4. Los métodos numéricos se necesitarán ya que los problemas no se pueden resolver eficientemente usando técnicas ana- líticas. Se debe estar consciente de que las actividades profesionales involucran, eventualmente, problemas en las áreas anteriores (Fig. 1.4). Por lo tanto, el estudio de los métodos numéricos y la selección de un equipo de cómputo'deben, al menos considerar estos problemas básicos. Los problemas más avanzados pueden requerir de habilidades en el manejo de soluciones de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales simultáneas, ajuste de curvas de varias variables, optimiza-

FIGURA 1.4 Siete consideraciones para escoger un método numérico en la solución de problemas de ingeniería.

Page 114: Metodos numericos para ingenieros

EPiLOGO PARTE I 103

ción de parámetros, programación lineal, problemas de valores pro- pios y ecuaciones diferenciales parciales. Estas áreas requieren de mayores esfuerzos computacionales y de métodos avanzados que no se cubren en este texto. Se pueden consultar algunas referencias ta- les como: Carnahan, Luther y Wilkes (1969); Hamming ( 1 973); Rals- ton y Rabinowitz (1 978) para problemas que van más allá del contenido de este libro. Además, al final de cada parte de este texto, se incluye un breve resumen y referencias para los métodos avanza- dos para encaminarle en el estudio de consecución de métodos nu- méricos adicionales.

2. Tipo, disponibilidad, precisión, costo y velocidad de una computa- dora. Se tiene la oportunidad de trabajar con cuatro herramientas diferentes de cómputo (recuérdese el cuadro 2.1). Que van desde una calculadora de bolsillo hasta una supercomputadora. De hecho, cual- quiera de las herramientas que se pueden usar en la implementación de un método numérico {incluyendo papel y>lápiz, que no están in- cluidos en el cuadro). En general no s e trata de ultimar capacidades, sino costos, conveniencia, velocidad, seguridad, repetibilidad y pre- cisión. Aunque cada una de las herramientas enumeradas en el cua- dro 2.1 seguirán teniendo utilidad, los grandes avances recientes en el funcionamiento de las computadoras personales ya han tenido re- percusión en la profesión de ingeniero. Se espera que esta revolu- ción se siga extendiendo conforme los avances tecnológicos continúen, ya que las computadoras personales ofrecen un excelente término me- dio entre conveniencia, costo, precisión, velocidad y capacidad de almacenamiento. Más aún, se pueden aplicar útilmente a la mayor parte de los problemas prácticos de ingeniería. Las técnicas de este libro, por lo tanto, se escogieron expresamente para que sean com- patibles con esta clase de computadoras.

3. Costo en el desarrollo de programas contra el costo del software contra el costo del tiempo de ejecución, Una vez que se hayan identi- ficado los tipos de problemas matemáticos a resolver y el sistema de cómputo haya sido seleccionado, será apropiado considerar los cos- tos del software y del tiempo de ejecución. El desarrollo de progra- mas puede representar un esfuerzo adicional en muchos proyectos de ingeniería y por lo tanto ser de un costo significativo. A este res- pecto, es particularmente importante que se esté bien familiarizado con los aspectos teóricos y prácticos de los métodos numéricos rele- vantes. Se puede disponer de una cantidad limitada de programas desarrollados profesionalmente a alto costo para la solución de pro- blemas de ingeniería. Sin embargo, estos programas se deben usar con mucho cuidado, ya que en general no se esta familiarizado con la lógica de los mismos. Alternativamente, se puede disponer de pro- gramas de utilería general a bajo costo (tales como los que vienen

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104 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

con este texto) para implementar métodos numéricos que se pueden adaptar fácilmente a una variedad muy amplia de problemas. El cos- to del desarrollo de programas y el costo del software se puede recu- perar en el momento de la ejecución si los programas se han escrito y probado eficientemente.

4 . Características de los métodos numéricos. Cuando el costo de los componentes electrónicos de una computadora y de sus programas es alto, o si la disponibilidad de la computadora está limitada (p. ej., en sistemas de tiempo compartido), la manera de escoger cuidado- samente el método numérico ayudara a adaptarse a tal situación. Por el otro lado, si el problema aún se encuentra en una etapa experi- mental y el acceso y costo de una computadora no tienen problemas, entonces puede ser apropiado seleccionar un método numérico que siempre trabaje aunque quizás no sea, computacionalmente hablan- do, muy eficiente. Los métodos numéricos disponibles para resolver un tipo particular de problema, involucran todos los factores mencio- nados, además de:

a. Cantidad de condiciones o de puntos iniciales. Algunos de los mé- todos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones o en la so- lución de ecuaciones diferenciales, requieren que el usuario es- pecifique algunas condiciones o puntos iniciales. Los métodos simples requieren, en general de un valor, mientras que los méto- dos complicados pueden requerir más de un valor. Se deben con- siderar los elementos de juicio; las ventajas de métodos complicados que son computacionalmente eficientes pueden compensar los re- querimientos de múltiples puntos iniciales. Se debe echar mano de la experiencia y de los juicios para cada problema en par- ticular.

b . Velocidad de convergenciu. Ciertos métodos numéricos convergen más rápido que otros. Sin embargo, la convergencia rápida puede requerir de más puntos iniciales y de programación más compleja que la de un método con convergencia más lenta. Nuevamente se debe hacer uso de juicios para la selección de cierto método. ¡los más rápidos no siempre son los mejores!

c . fstabilidad. Algunos métodos numéricos para encontrar raíces de ecuaciones o soluciones de sistemas de ecuaciones lineales, en al- gunos casos pueden divergir en vez de converger a la respuesta correcta. iPor qué se debe tolerar esta posibilidad si se ha diseña- do o se ha planeado bien el problema? La respuesta es que estos métodos pueden ser altamente eficientes cuando funcionan. Por lo tanto, surgen nuevamente los elementos de juicio. Se debe de- cidir si los requisitos del problema justifican el esfuerzo necesario para aplicar un método que no siempre funciona.

Page 116: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO PARTE I 105

d. Exactitud y precisión. Algunos métodos numéricos, simplemente son más exactos y precisos que otros. Como ejemplos se tienen las di- ferentes ecuaciones disponibles para la integración numérica. En general, se puede mejorar el funcionamiento de métodos de poca exactitud disminuyendo el tamaño del paso o aumentando el nú- mero de términos sobre un intervalo dado. 2Qué será mejor, usar un método con poca exactitud y con tamaños de paso pequeños o usar un método con alta exactitud y tamaños de paso grandes? Esta pregunta se debe analizar paso por paso considerando los factores adicionales tales como el costo y la facilidad de progra- mación. Además se deben tomar en consideración los errores de redondeo cuando se usan en forma repetida métodos de baja exac- titud y el número de cálculos crece demasiado. Aquí las cifras sig- nificativas que maneja la computadora pueden ser el factor decisivo.

e . Alcance de las aplicaciones. Algunos métodos numéricos sólo se pueden aplicar a cierta clase de problemas o a los problemas que satisfacen ciertas restricciones matemáticas. Otros métodos no tie- nen estas restricciones. Se debe evaluar si vale la pena el esfuerzo de desarrollar programas que empleen técnicas apropiadas úni- camente para un número limitado de problemas. El hecho de que tales técnicas pueden usarse ampliamente, indica que tienen ven- tajas que a menudo son menos que las desventajas. Obviamente, deben evaluarse los elementos de juicio.

f . Requisitos especiales. Algunas técnicas numéricas intentan incre- mentar la exactitud y la velocidad de convergencia usando infor- mación especial o adicional. Un ejemplo sería el uso de valores estimados o valores teóricos de los errores para el mejoramiento de la exactitud. Sin embargo, estas mejorías, en general no se Ile- van a cabo sin inconvenientes como el aumento en el costo de cóm- puto y el incremento en la complejidad del programa.

g . Esfuerzos requeridos de programación. Los esfuerzos para mejo- rar la velocidad de convergencia, estabilidad y exactitud pueden ser creativos e ingeniosos. Cuando se pueden hacer mejoras sin aumentar la complejidad en la programación, entonces se puede considerar que estas meioras son elegantes y probablemente en- cuentren uso inmediato en la ingeniería. Sin embargo, si requie- ren de programas más complejos, otra vez se deben enfrentar los elementos de juicio que pueden o no favorecer al nuevo método.

Se ve claro que el análisis anterior relacionado con la forma de esco- ger un método numérico se reduce sólo a costo y exactitud. Los cos- tos son los que están involucrados con el tiempo de cómputo y el

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106 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

desarrollo de programas. La exactitud apropiada es una cuestión de ética y de juicio profesional.

5. Comportamiento matemático de las funciones, ecuaciones o da- tos. AI seleccionar un método numérico en particular, el tipo de com- putadora y el tipo de programas, se debe tomar en cuenta la complejidad de las funciones y de las ecuaciones o datos. Las ecua- ciones simples y los datos uniformes se pueden manejar apropiada- mente con algoritmos numéricos simples y con computadoras baratas. Sucede lo contrario con las ecuaciones complicadas y los datos que contienen discontinuidades.

6. Facilidad de aplicación (iAccesible al usuario?). Algunos métodos numéricos son fáciles de aplicar y otros difíciles. Esto se debe tomar en cuenta cuando se escoge un método sobre otro. Esta misma idea se aplica a las decisiones referentes al costo en el desarrollo de pro- gramas, contra programas desarrollados profesionalmente. El con- vertir un programa difícil en uno que sea accesible al usuario puede ser de considerable esfuerzo. Las formas de hacerlo se mencionan en el capítulo 2 y se elaboran a lo largo del libro. Además los progra- mas de NUMERICOMP que acompañan a este texto son un ejemplo de programación accesible al usuario.

7. Mantenimiento. Los programas para resolver problemas de inge- niería requieren mantenimiento porque durante las aplicaciones ocu- rren dificultades, invariablemente. El mantenimiento puede requerir un cambio en el código del programa o la expansión de la documen- tación. Los programas simples y los algoritmos numéricos son más fá- ciles de mantener. Los siguientes capítulos involucran el desarollo de varios tipos de métodos numéricos para una variedad de problemas matemáticos. Se dan en cada capítulo varios métodos alternativos. Se presentan estos métodos (en vez de un método escogido por los autores) ya que no existe uno que sea "el meior" de todos. N o hay métodos "mejores" ya que existen tantos elementos de juicio que se deben tomar en consideración cuando se aplica un método a proble- mas prácticos. AI final de cada parte del libro se presenta una tabla que resalta los elementos de juicio involucrados en cada método. Es- ta tabla debe ayudar a seleccionar un procedimiento numérico apro- piado para cada problema en particular dentro de un contexto.

I .5 RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES El cuadro 1.2 resume la información más importante que se analizó en la parte I . El cuadro se puede consultar para tener un acceso rápi- do a las relaciones y fórmulas más importantes. El epílogo de cada parte del libro contiene estos resúmenes.

Page 118: Metodos numericos para ingenieros

EPiLOGO PARTE I - 107

CUADRO 1.2 Resumen de la información importante presentada en la parte 1.

Definiciones de error Error verdadero = valor verdadero - valor aproximado

Error relativo valor verdadera - valor aproximado porcentual verdadero % =

Error relativo, aprox. actual - aprox. previa porcentual oproximado

Criterios de poro Terminar los cálculos cuando:

100% valor verdadero

€0 = 100% aproximación actuol

€0 < 6,

donde es es el error relativo porcentual deseado, especificado directamente o calculado en términos del número deseado de cifras significativas n

= (0.5 X lo2-")%

Serie de Taylor Expansión en la serie de Taylor 2!

3! n!

f(x,+,) = / ( X , ) + f ' (x,)h + -h2 f Y X J

+- f ' " ( x ) h3 + . , . I f cn ) (X ! ) hn + R,

donde

Residuo

O

R, = O(h"+')

Diferenciación numérica

Primera diferencia f ( X , + l ) - f(x,) dividida finlta hacia

f'(XJ = + O(h) h adelante

(Otras diferencias divididas se resumen de la fig. 3.7 a la 3 .9 . )

1.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES El epílogo de cada parte del libro también incluye una sección enca- minada a facilitar y fomentar estudios adicionales de los métodos nu-

Page 119: Metodos numericos para ingenieros

108 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

méricos. Esta sección dará algunas referencias sobre el tema así co- mo material relacionado con métodos más avanzados.*

Para extender los antecedentes mencionados en la parte I, existen nu- merosos manuales sobre programación de computadoras. Resultaría difícil mencionar todos los libros y manuales excelentes correspondien- tes a lenguajes y computadoras especificas. Además, probablemente ya se tenga material de contactos previos con la programación. Sin embargo, si ésta es la primer experiencia con computadoras, Bent y Sethares (1 982) proporcionan una buena introducción a BASIC. McCraken (1965)) Merchant (1979) y Merchant, Sturgel (1977) son otros libros útiles sobre FORTRAN. El maestro o los compañeros de semestres avanzados del usuario deben poder darle un consejo acer- ca de buenos libros de referencia para las máquinas y los lenguajes disponibles en la escuela.

También para el análisis de error, cualquier libro de cálculo introduc- tori0 incluira material suplementario relacionado con temas tales CO-

mo la serie de Taylor. Los textos de Swokowski (1 979) y Thomas y Finney (1 979) proporcionan discusiones legibles de estos temas.

Finalmente, aunque se espera que este libro sirva lo suficiente, siem- pre es bueno consultar otras fuentes cuando se intenta conocer a-fondo un nuevo tema. Ralston y Rabinowitz (1 978) y Carnahan, Luther y Wilkes (1 969) ofrecen textos comprensibles de la mayor parte de los méto- dos numéricos, incluyendo muchos métodos avanzados que van más allá del alcance de este libro. Otros libros útiles sobre el tema son Ge- rald y Wheatley (1 984)) James, Smith y Wolford (1 977), Stark (1 970)) Rice ( 1 983, Hornbeck (1 975) y Cheney y Kincaid (1 980).

* Aquí únicamente se hace referencia a estos libros, una bibliografía completa se encontrará al final del texto.

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PA RT’E I ~

~ DOS R A K E S 11.1 DE ECUACIONES

. .

a

Desde hace años, se aprendió a uiar la fórmula cuadrática:

pura resolver

f(x) = ax2 + bx + c = O ~ [11.2] A los valores calculados con la ecuiación ( 1 1 . 1 ) se les llama “raíces” de la ecuación (11.2). Éstos re- presentan los valores de x que hacen la ecuación (11.2) igual a cero. Por I S tanto, se puede definir la raiz de una ecuación como el valor de x que hace f (x) = O. Por esta razón, algunas veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación.

Aunque la fórmula cuadrática es útil para resol- ’ ver la ecuación (ll.2), hay muchas funciones dife-

rentes que no se pueden resolver de manera tan fácil. En estos casos, los métodos numéricos des- critos en los capítulos 4 y 5 proporcionan medios eficientes para obtener la respuesta.

,

13

I I . 1 . l Métodos empleados antes de la era de la computadora pura determinar raíces.

Antes del advenimiento de las computadoras digitales, había una serie de métodos para encon- trar las raíces de ecuaciones algebraicas o trascen- dentales. Para algunos casos, las raíces se podían obtener con métodos directos, como se hace con la ecuación ( 1 1 . 1 ) . Aunque había ecuaciones como ésta que se podían resolver directamente, había muchas otras que no lo eran. Por ejemplo, hasta una función aparentemente simple tal, como f (x ) = e-” - x no se puede resolver analíticamente. En estos casos, la única alternativa es una técnica de solución aproximada.

I_ ,A”.” - x/ .; ?. ., L . U n método para obtener una solución aproxima- da es la de graficar la función y determinar dón-

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110 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

de cruza al eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f ( x ) = O, es la raíz. Las técnicas gráficas se discuten al principio de los capítulos 4 y 5.

Aunque los métodos gráficos son útiles en la obtención de estimacio- nes aproximativas de las raíces, están limitadas por la carencia de pre- cisión. Una aproximación alternativa es usar la técnica de prueba y error. Esta "técnica" consiste en escojer un valor de x y evaluar si f (x) es cero. Si no es así (como sucederá en la mayor parte de los casos), se hace otra conjetura y se evalúa nuevamente f(x) para de- terminar si el nuevo valor da una mejor estimación de la raíz. El pro- ceso se repite hasta que se obtenga un valor que genere una f (x) cercana a cero.

Estos métodos fortuitos, obviamente son ineficientes e inadecuados para las exigencias en la práctica de la ingeniería. Las técnicas des- critas en la parte Il l representan alternativas que no sólo aproximan sino emplean estrategias sistemáticas para encaminarse a la raíz ver- dadera. Además, se adaptan idealmente a la implementación en computadoras personales. Tal como se presenta en las páginas siguien- tes, la combinación de estos métodos sistemáticos con la computado- ra hacen de la solución de la mayor parte de los problemas sobre raíces de ecuaciones una tarea simple y eficiente.

11.1.2 Raíces de ecuaciones y su práctica en la ingeniería

Aunque las raíces de ecuaciones caben dentro de otro contexto, fre- cuentemente aparecen en el área de diseño en ingeniería. El cuadro 1 1 . 1 muestra un conjunto de principios fundamentales que se utilizan frecuentemente en trabajos de diseño. Las ecuaciones matemáticas o los modelos derivados de estos principios se emplean en la predic- ción de las variables dependientes en función de las variables inde- pendientes y de los parámetros. Nótese que en cada caso, las variables dependientes refleian el estado o funcionamiento del sistema, ya sea que los parámetros representen sus propiedades o su composición.

Un ejemplo de tales modelos se presenta en la ecuación derivada de la segunda ley de Newton, usada en el capítulo 1 para la velocidad del paracaidista:

[ 11.31

Donde la velocidad v es la variable dependiente, el tiempo t es la va- riable independiente y g la constante gravitacipnal, el coeficiente de rozamiento c y la masa m son parámetros. Si se conocen los paráme-

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RAíCES DE ECUACIONES 111

CUA ,DRO 11.1 Principios fundamentales usados en los problemas de diseño en ingeniería Principio Variable Variable fundamental dependiente independiente Parámetros Balance de calor Temperatura Tiempo y Las propiedades

Dosición térmicas del material y la geometría del sistema

Balance de material

Concentración o tiempo y cantidad de posición masa

Balance de la Magnitud y Tiempo y fuerza dirección de posición

fuerzas para establecer el equilibrio

Balance de Cambios en los Tiempo y la energía estados de la posición

energía cinética y potencial del sistema

Leyes de Newton Aceleración, Tiempo y del movimiento velocidad o posición

posición

El comportamiento químico del material, masa coeficientes de transferencia y la geometría del sistema

Resistencia del material, propiedades estructurales y la configuración del sistema.

Propiedades térmicas, masa del material y la geometría del sistema

Masa del material, geometría del sistema y parámetros disipativos tales como la fricción o el rozamiento.

Leyes de Corriente y Tiempo Propiedades Kirchhoff voltaje en los eléctricas del

circuitos sistema, tales como eléctricos la resistencia,

capacitancia e inductancia.

tros, la ecuación (11.3) se puede usar para predecir la velocidad del paracaidista como una función del tiempo. Estos cálculos se pueden llevar a cabo directamente ya que v se expresa explicitamente como una función del tiempo. Esto es, está aislada a un lado del signo igual.

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112 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

11.2

Sin embargo, supóngase que se tiene que determinar el coeficiente de rozamiento para un paracaidista de una masa dada, para alcan- zar una velocidad prescrita en un periodo dado de tiempo.

Aunque la ecuación (11.3) proporciona una representación matemática de la interrelación entre las variables del ,modelo y los parámetros, no se puede resolver explícitamente para el coeficiente de rozamiento. Pruébese. No hay forma de reordenar la ecuación para despejar c de un lado del signo igual. En estos casos, se dice que c es implicita.

Esto representa un dilema real, ya que muchos de los problemas de diseños en ingeniería, involucran la especificación de las propieda- des o la composición de un sistema (representado por sus paráme- tros) para asegurar que funciona de la manera deseada (representada por sus variables). Por lo tanto, estos problemas a menudo requieren que se determinen sus parámetros de forma explícita.

La solución del dilema las proporcionan los métodos numéricos para raíces de ecuaciones. Para resolver el problema usando métodos numéricos es conveniente cambiar la ecuación (11.3). Esto se hace res- tando la variable dependiente v de ambos lados de la ecuación, ob- teniendo:

V [11.4]

Por lo tanto, el valor de c que cumple f (c) = O, es la raíz de la ecua- ción. Este valor también representa el coeficiente de rozamiento que soluciona el problema de diseño.

La parte I 1 de este libro analiza una gran variedad de métodos nu- méricos y gráficos para determinar raíces de relaciones tales como la ecuación (11.4). Estas técnicas se pueden aplicar a los problemas de diseño en ingeniería basados en los principios fundamentales deli- neados en el cuadro I I. 1 así como tantos otros problemas que se afron- tan frecuentemente en la práctica de la ingeniería.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS En la mayor parte de las áreas mencionadas en este libro, en general existen algunos prerrequisitos de fundamentos matemáticos necesa- rios para conocer a fondo el tema. Por ejemplo, los conceptos de es- timación de errores y la expansión en serie de Taylor, analizadas en el capítulo 3, tienen importancia directa en el análisis de raíces de ecua- ciones. Adicionalmente, antes de este punto se mencionaron los tér-

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RAlCES DE ECUACIONES 113

minos de ecuaciones "algebraicas" y "trascendentales". Puede resultar útil definir formalmente estos términos y discutir como se re- lacionan con esta parte del libro.

Por definición, una función dada por y = f (x) es algebraica si se pue- de expresar de la siguiente manera:

fnyn + fn-1yn-1 + . . . + f i y + fo = o [11.5]

donde las f son polinomios en x. Los polinomios son un caso simple de funciones algebraicas que se representan generalmente como:

{(x) = a0 + UlX + * * . + a,x" C11.61

donde las a son constantes. Algunos ejemplos específicos son:

{(X) = 1 - 2 . 3 7 ~ + 7 . 5 ~ ~ Y

f(x) = 5x2 - x3 + 7 x 6

[11.7]

[11.8]

Una función trascendental es una que no es algebraica. Incluye fun- ciones trigonométricas, exponenciales, logaritmicas y otras menos fa- miliares. Algunos ejemplos son:

f(x) = e-' - x [11.9]

f(x) = sen x [11.10]

f(x) = In x2 - 1 p1.1 1 J

Las raíces de las ecuaciones pueden ser reales o complejas. Un ejem- plo simple de raíces complejas es el caso para el cual el término b2 - 4 ac de la ecuación (I I. 1 ) es negativo. Por ejemplo, dado el po- linomio de segundo orden:

f(x) = 4x2 - 16x + 17

La ecuación (11.1) se puede usar para determinar que las raíces son:

16 V(-16)2 - 4(4) (17) 16 * m X =

2 (4) - -

8

Por lo tanto, una raíz es:

x = 2 + ; ;

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114 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

11.3

y la otra es:

x = 2 - , i 1

en donde i = J-"

Aunque hay algunos casos donde las raíces complejas de las funcio- nes no polinomiales son de interes, ésta situación es menos común que para polinomios. Por lo tanto, los métodos estándar para encontrar raíces, en general caen en dos áreas de problemas parecidas en prin- cipio, pero fundamentalmente diferentes:

l. l a determinación de raíces reales de ecuaciones algebraicas y tras- cendentales. Estas técnicas se diseñaron para determinar el valor de una raíz simple de acuerdo a un conocimiento previo de su po- sición aproximada.

2. l a determinación ¿e todas las rakes reales y complejas de un po- linomio. Estos métodos se diseñaron específicamente para polino- mios. Determinan sistemáticamente todas las raíces del polinomio en lugar de simplemente una, dada una posición aproximada.

Este libro está enfocado al área del primer caso. Los métodos diseña- dos expresamente para polinomios no se analizan ya que van más allá del alcance de este libro. Sin embargo, en el epílogo al final de la parte I I se recomiendan algunas referencias para estas técnicas.

Antes de proceder con los métodos numéricos para determinar raí- ces de ecuaciones, será útil dar algunas orientaciones. El siguiente ma- terial es una introducción a los temas de la parte ll. Además, se han incluido algunos objetivos que orientarán al lector en sus esfuerzos al estudiar el material.

11.3.1 Campo de acción y avance

La figura 1 1 . 1 es una representación esquemática de la organización de la parte It. Examine esta figura cuidadosamente, iniciando en la parte de arriba y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj.

Después de esta introducción, el capítulo 4 desarrolla los métodos que usan intervalos para encontrar raíces. Estos métodos empiezan con suposiciones que encierran o que contienen a la raíz y reducen siste- máticamente el ancho del intervalo. Se cubren dos métodos: el de bi-

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RAiCES DE ECUACIONES 11s

sección y el de la regla falsa. Los métodos gráficos proporcionan conocimiento visual de las técnicas. Se desarrollan formulaciones es- peciales para ayudar a determinar cuanto esfuerzo computacional se requiere para estimar la raíz hasta un nivel de precisión previamente especificado.

En el capítulo 5 se cubren los métodos abiertos. Estos métodos tam- bién involucran iteraciones sistemáticas de prueba y error pero no

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116 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

requieren que la suposición inicial encierre a la raíz. Se descubrirá que estos métodos, en general son más eficientes computacional- mente que los métodos que usan intervalos, pero no siempre traba- jan. Se analizan los métodos de la iteración de punto fijo, el método de Newton-Raphson y el método de la secante. Los métodos gráficos proporcionan conocimiento en los casos donde los métodos abier- tos no funcionan. Se desarrollan las fórmulas que proporcionan una idea de qué tan rápido un método abierto converge a la raíz.

El capítulo 6 extiende los conceptos anteriores a los conceptos actua- les de la ingeniería. Los casos de estudio se emplean para ilustrar las ventajas y las desventajas de cada uno de los métodos y para pro- porcionar conocimiento sobre las aplicaciones de las técnicas en la práctica profesional. Los casos del capítulo 6 también resaltan los ele- mentos de juicio (estudiados en la parte I ) asociados con cada uno de los métodos.

Se incluye un epílogo al final de la parte I I . Éste contiene una compa- ración detallada de los métodos discutidos en los capítulos 4 y 5. Esta comparación incluye una descripción de los elementos de juicio rela- cionados con el uso correcto de cada técnica. En esta sección se pro- porciona también un resumen de las fórmulas importantes, con referencias a algunos métodos numéricos que van más allá del alcance de este texto.

Ciertas capacidades automáticas de cálculo se integran de diferentes maneras en la parte I I . En primer lugar, programas en NUMERICOMP legibles para el usuario del método de bisección disponible para la Apple I 1 y la IBM PC. Pero también se dan los códigos en FORTRAN Y BASIC para el método de bisección directamente en el texto. Con esto se tiene la oportunidad de copiar y aumentar el código para im- plementarlo en su propia computadora personal o supercomputadora. Se incluyen los algoritmos y diagramas de flujo para la mayor parte de los otros métodos expuestos en el texto. Este material puede servir de base para el desarrollo de un paquete de programación y apli- carlo a una serie de problemas de ingeniería.

11.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Después de terminar la parte 1 1 , se debe tener la suficiente información para aprovechar satisfactoriamente una am- plia variedad de problemas de ingeniería que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En términos generales se dominarán las técni- cas, se habrá aprendido a valorar su confiabilidad y se tendrá la ca- pacidad de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular. Además de estas metas globales, se deben

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RAíCES DE ECUACIONES 117

asimilar los conceptos específicos de el cuadro 11.2 para comprender mejor el material de la parte I t .

Objetivos de computación. El libro proporciona algunos programas simples, algoritmos y diagramas de fluio para implementar las técni- cas analizadas en la parte II. Como herramientas de aprendizaje to- dos ellos tienen gran utilidad.

Los programas opcionales son legibles para el usuario. Incluye méto- do de la bisección para determinar las raíces reales de las ecua- ciones algebraicas y trascendentales. Las gráficas asociadas con NUMERICOMP le facilitarán al lector visualizar el comportamiento de la función en análisis. Los programas se pueden usar para deter- minar convenientemente las raíces de las ecuaciones a cualquier gra- do de precisión. Es fácil de aplicar NUMERICOMP para resolver muchos problemas prácticos y se puede usar para verificar los resul- tados de cualquier programa que el usuario desarrolle por sí mismo.

También se proporcionan directamente en el texto los programas en FORTRAN y BASIC para los métodos de bisección y para la itera- ción simple de punto fijo. Además, se proporcionan algoritmos y dia- gramas de fluio generales para la mayor parte de los otros métodos de la parte 1 1 . Esta información permitirá aumentar la biblioteca de programas del usuario que sean más eficientes que el método de la bisección. Por ejemplo, puede desearse tener sus propios programas para los métodos de la regla falsa, Newton-Raphson y de la secante, que en general son más eficientes que el método de bisección.

CUADRO 11.2 Obietivos de estudio específicos de la parte II 1. Entender la interpretación gráfica de una raíz 2. Conocer la interpretación gráfica del método de la regla falsa y por qué, en

general, es superior al método de bisecciones. 3. Entender las diferencias entre los métodos que usan intervalos y los métodos

abiertos para la localización de las raíces. 4. Entender los conceptos de convergencia y de divergencia. Usar el método de

las dos curvas para proporcionar una manifestación visual de los conceptos. 5. Conocer por qué los métodos que usan intervalos siempre convergen, mientras

que los métodos abiertos algunas veces pueden divergir. 6. Entender que la convergencia en los métodos abiertos es más probable si el

valor inicial está cercano a la raíz. 7. Entender el concepto de convergencia lineal y cuadrática y sus implicaciones

en la eficiencia de los métodos de iteraciones de punto fijo y de Newton- Raphson.

8. Saber las diferencias fundamentales entre los métodos de la regla falsa y la secante y cómo se relaciona su convergencia.

9 . Entender los problemas que contienen las raíces múltiples y las modificaciones que se les pueden hacer para resolverlos a medias.

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C A P í T U L O C U A T R O

MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS

En este capítulo sobre raíces de ecuaciones se analizan los métodos que aprovechan el hecho de que una función, típicamente, cambia de signo en la vecindad de una raíz. A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesita de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben “encerrar” o estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto em- plean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así, converger a la respuesta correcta.

Como preámbulo de estas técnicas, se discutirán los métodos gráfi- cos para graficar funciones y sus raíces. Además de la utilidad de los mé- todos gráficos para determinar valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los mé- todos numéricos.

4.1 MÉTODOS GRÁFICOS

Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecua- ción f (x) = O consiste en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor de x para el cual f (x) = O , proporciona una aproximación inicial de la raíz.

EJEMPLO 4.1 Métodos gráficos

Enunciado del problema: empléense gráficas para obtener una raíz apro- ximada de la función f (x) = e-x - x.

Solución: se calculan los siguientes valores:

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120 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

X f(x)

0.0 1.000 0.2 0.61 9 0.4 0.270 0.6 -0.051 0.8 -0.351 1 .o -0.632

Estos puntos se muestran en la gráfica de la figura 4. l . La curva resultan- te cruza al eje x entre 0.5 y 0.6. Un vistazo a la gráfica proporciona una aproximada estimación de la raíz de 0.57, que se acerca a la raíz exacta de 0.567 143 28. . ., que se debe determinar con métodos numéricos. La validez de la estimación visual se puede verificar sustituyendo su valor en la ecuación original para obtener:

f(0.57) = e-057 - 0.57 = -0.004 5

la cual se acerca a cero

FIGURA 4.1 Metodo gráfico para la solución de ecuaciones algebraicas y trascen- dentales. Representación de f lx ) = e-x - x contra x . La raíz corres- ponde al valor de x donde f(x) = O, esto es, el punto donde la función cruza el eje x . Una inspección visual de la gráfica muestra un valor aproximado de 0.57.

Page 132: Metodos numericos para ingenieros

METODOS QUE USAN INTERVALOS 121

FIGURA 4.2 Ilustración de las formas que puede tener una raíz en un intervalo pres- crito por los límites infe- rior, x, y superior x,. Los incisos a) y b) indican que si Ax,) y f (x,) tienen el mismo signo, entonces no habrá raíces dentro del intervalo o habrá un número par de ellas. Los incisos c) y d) indican

signos opuestos en los extremos, entonces ha- brá un número impar de raíces dentro del in- tervalo.

que si f ( 4 Y Ax,) t' lenen

Las técnicas gráficas tienen un valor práctico limitado ya que no son precisas. Sin embargo, los métodos gráficos se pueden usar para obtener aproximaciones de la raíz. Estas aproximaciones se pueden emplear co- mo valores iniciales para los métodos numéricos analizados en este capí- tulo y en el siguiente. Por ejemplo, los programas de NUMERICOMP que acompañan este texto le permiten graficar funciones sobre un rango es- pecífico. Esta gráfica puede hacerse seleccionando un par de valores ini- ciales de un intervalo donde está contenida la raíz antes de implementar el m&& num6rico. l a posibilidad de graficar aumenta considerablemente la utilidad de los programas.

Las interpretaciones geQmétricas, además de proporcionar aproxima- ciones iniciales de la raíz, son herramientas importantes en el asimilamiento de las propiedades de las funciones previendo las fallas de los métodos numéricos. Por ejemplo, la figura 4.2 muestra algunas formas diferentes en las que la raíz puede encontrarse en un intervalo definido por un lími- te inferior x, y un límite superior x,. La figura 4.2b bosqueja el caso don- de los valores positivo y negativo de f (x) y f (x,) tienen signos opuestos respecto al eje x , encierran tres raíces dentro del intervalo. En general, si f (x,) y f (x,) tienen signos opuestos, existe un número impar de raíces dentro del intervalo definido por los mismos. Como se indica en la figura 4.2a y c , si f (x,) y f (x,) tienen el mismo signo, no hay raíces o hay un número par de ellas entre los valores dados.

Aunque estas generalizaciones son usualmente verdaderas, existen casos en que no se cumplen. Por ejemplo, las raices múltiples, esto es, funciones tangenciales al eje x (Fig. 4 . 3 ~ ) y las funciones discontinuas (Fig. 4.3b) pueden no cumplir estos principios. Un ejemplo de una función que tiene una raíz múltiple es la ecuación cúbica f (x) = (x - 2)(x - 2) (x - 4). Nótese que x = 2 anula dos veces al polinomio, de ahí que a x se le conozca como raíz múltiple. Al final del capítulo 5, se presentan técni- cas que están diseñadas expresamente para localizar raíces múltiples.

La existencia de casos del tipo mostrado en la figura 4.3 dificulta el desarrollo de algoritmos generales que garanticen la localización de todas las raíces en el intervalo. Sin embargo, cuando se usan los métodos expuestos en las siguientes secciones en conjunción con esquemas gráficos, son de gran utilidad en la solución de problemas de muchas raíces, fre- cuentemente se presentan en el área de ingeniería y matemáticas apli- cadas.

I EJEMPLO 4.2 Uso de gráficas por computadora para localizar raíces

Enunciado del problema: las gráficas por computadora pueden informar y acelerar los esfuerzos para localizar raíces de una función. Este ejemplo se desarrolló usando los programas de NUMERICOMP disponibles con

.J

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122 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 4.3 Ilustración de algunas excepciones de los casos generales mostrados en la figura 4.2. a) Pueden ocurrir raíces múltiples cuando la función es tangencia1 al eje x. En este caso, aunque los extremos son de signos opuestos, hay un núme- ro par de raíces en el intervalo. b) Las funciones discontinuas en donde los extremos tienen sig- nos opuestos también contienen un número par de raíces. Se requieren estrategias especiales pa- ra determinar las raíces en estos casos.

FIGURA 4.4 Escalamiento progresivo de f (x) = sen 1 Ox + cos 3x mediante la computadora. Estas gráficas interactivas le permiten al analista determinar que exis- ten dos raíces entre x = 4.2 y x = 4.3.

el texto. Sin embargo, de esta manera es posible entender cómo la grafi- cación por computadora ayuda a localizar raíces.

La función:

!(x) = sen lox + cos 3x

tiene varias raíces sobre el r.qngo de x = -5 hasta x = 5. Empléese la opción de graficación del programa para profundizar en el comportamiento de esta función.

Solución: Como se ilustró en el ejemplo 2.1, se puede usar NUMERI- COMP para graficar funciones. En la figura 4.4a se muestra la gráfica de f (x) desde x = -5 hasta x = 5. La gráfica muestra la existencia de varias

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MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS 123

raíces, incluyendo posiblemente una doble alrededor de x = 4 .2 en don- de f (x) parece ser tangente al eje x. Se obtiene una descripción más de- tallada del comportamiento de f (x) cambiando el rango de graficación desde x = 3 hasta x = 5, como se muestra en la figura 4.4b. Finalmen- te, en la figura 4.4c, se acorta la escala vertical a f (x) = -0.15 y f (x) = 0.15 y la horizontal a x = 4.2 y x = 4.3. Esta gráfica muestra clara- mente que no existe una raíz en esta región y que, en efecto, hay dos raí- ces diferentes alrededor de x = 4.229 y x = 4.264.

Las gráficas por computadora tienen gran utilidad en el estudio de los métodos numéricos. Esta habilidad también puede aplicarse en otras materias así como en las actividades profesionales.

4.2 MÉTODO DE BlSECClÓN

Cuando se aplicaron las técnicas gráficas, en el ejemplo 4.1, se observó (Fig. 4.1) que f (x) cambió de signo hacia ambos lados de la raíz. En ge- neral, si j (x) es real y continua en el intervalo de x1 a x, y f(xl) y f(x,) tienen signos opuestos, esto es,

FIGURA 4.5 Algoritmo de la biseccion.

-"l.." . .. . . . _" - ". ..

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124 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

entonces hay, al menos una raíz real entre x, y x,. LOS métodos de búsqueda incremental se aprovechan de esta carac-

terística para localizar un intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo (y por ende, de la raíz), se logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de subintervalos. Se rastrea cada uno de estos subintervalos para encon- trar el cambio de signo. El proceso se repite y la aproximación a la raíz mejora cada vez más a medida que los subintervalos se dividen en inter- valos más y más pequeños. Se estudia más sobre e¡ tema de búsquedas incrementales en la sección 4.4.

El método de bisección, conocido también como de corte binario. de partición en dos intervalos iguales o método de Bolzano, es un método de búsqueda incremental donde el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situán- dola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación. La figura 4.5 muestra un algoritmo para la bisección y en la figura 4.6 se muestra un bosquejo gráfico del método.

EJEMPLO 4.3 Bisección

, Enunciado del problema: úsese el método de la bisección para determi- ; nar la Paíz de' j (x) = e "x - x.

Solución: Recuérdese de acuerdo a la gráfica de la función (Fig. 4.1) que la raíz se encuentra entre O y 1. Por lo tanto, el intervalo inicial se puede escoger desde x/ = O hasta x, = 1. Por consiguiente, la estimación ini- 'cia1 de la raíz se sitúa en el punto medio de este intervalo:

i

O + l X, = - = 0.5

2

Esta estimación representa un error de (el valor exacto es 0.567 143 29. , .)

E, = 0.567 143 29 - 0.5 = 0.067 143 29

o, en términos relativos:

= I 143 29 1100% = 11.8% 0.567 143 29

Page 136: Metodos numericos para ingenieros

METODOS QUE USAN INTERVALOS 125

FIGURA 4.6 Gráfica del método de bisección. Esta gráfica incluye las primeras tres iteraciones del ejemplo 4.3.

donde el subíndice v indica que el error es con respecto al verdadero. Ahora se calcula:

f(0) f(0.5) = (1)(0.106 53) = 0.106 53

que es mayor de cero, y por consiguiente no hay cambio de signo entre x/ y x,. Y por lo tanto, la raíz se encuentra dentro del intervalo x = 0.5 y x = 1. El límite inferior se redefine como x, = 0.5, y la aproximación a la raíz en la segunda iteración se calcula como:

0.5 + 1.0 2 = 0.75 le,/ = 32.2%

Page 137: Metodos numericos para ingenieros

126 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

5

El proceso se puede repetir para obtener aproximaciones más exactas. Por ejemplo, la tercera iteración es:

f(0.5) f(0.75) -0.030 < O

Por lo tanto, la raíz está entre 0.5 v 0.75:

x, = 0.75

0.5 + 0.75 2 = 0.625 /E,[ = 10.2%

Y la cuarta iteración es:

f(0.5)f(0.625) = -0.010 < O

Por lo tanto, la raíz está entre 0.5 y 0.625:

x, = 0.625

El método se puede repetir para alcanzar mejores estimaciones. La figura 4.6 muestra una gráfica de las primeras tres iteraciones.

En el ejemplo anterior, se puede observar que el error real no dismi- nuye con cada iteración. Sin embargo, el intervalo dentro del cual se lo- caliza la raíz se divide a la mitad en cada paso del proceso. Como se estu- diará en la próxima sección, la longitud del intervalo proporciona una aproximación exacta del límite superior del error en el método de bisección.

4.2.1 Criterios de paro y estimación de errores

El ejemplo 4.3 finaliza con la opción de repetir el método para obtener una aproximación más exacta de la raíz. Ahora se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuando debe terminar el método.

el error se encuentre por debajo de algún nivel prefijado. Se puede ver en el ejemplo 4.3, que el error relativo bajó de un 11.8 a un 4.69% du- rante los cálculos. Puede decidirse que el método termine cuando se al- cance un error más bajo, por ejemplo del 0. 1%. Esta estrategia es inconveniente ya que la estimación del error en el ejemplo anterior se ba- só en el conocimiento del valor exacto de la raíz de la función. Este no

Una sugerencia inicial puede ser de que terminen los cálculos cuando .

Page 138: Metodos numericos para ingenieros

METODOS QUE USAN INTERVALOS 127

es el caso de una situación real ya que no habría motivo para usar el mé- todo si ya se supiese la raíz.

Por lo tanto, se requiere estimar el error de manera tal que no incluya el conocimiento previo de la raíz. De manera análoga a como se ve en la sección 3.3, se puede calcular el error relativo aproximado € , d e la si- guiente manera [recuérdese la ecuación (3.5)]:

donde es la raíz de la iteración actual y xYterior es el valor de la raíz de la iteración anterior. Se usa el valor absoluto ya que, en general importa sólo la magnitud de E , sin considerar su signo. Cuando I E, I es menor que un valor previamente fijado, que define el criterio de paro,

el programa se detiene.

EJEMPLO 4.4 Estimación del error para el método de la bisección

Enunciado del problema: úsese la ecuación (4.2) para estimar el error de las iteraciones del ejemplo 4.3.

Solución: las primeras dos estimaciones de la raíz en el ejemplo 4.3 fue- ron 0.5 y 0.75. Sustituyendo estos valores en la ecuación (4.2) se obtiene:

0.75 - 0.5 l e a ' = 1 0.75 1 100% = 33.3%

Recuérdese que el error exacto para la raíz estimada de O. 75 es del 32.2%. De esta manera, E, es mayor que E , . Este comportamiento se muestra en las otras iteraciones

Iteraci6n Xr I 4 ?fío / % I t O h

1 0.5 2 3 4 5

11.8 O. 75 32.2 33.3 0.625 10.2 20.0 0.5625 0.81 9 11.1 0.59375 4.69 5.3

Page 139: Metodos numericos para ingenieros

128 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 4.7 Errores del método de bisección. Se grafican los errores verdadero y aproximado contra el número de iteraciones.

Estos resultados, junto con los de las iteraciones subsiguientes se resu- men en la figura 4.7. La naturaleza “desigual” del error real se debe a que para el método de la bisección la raíz exacta se encuentra en cual- quier lugar dentro del intervalo. Los errores verdadero y aproximado son casi iguales cuando el intervalo está centrado sobre la raíz. Cuando la raíz se encuentra cerca de un extremo. del intervalo, entonces los errores son muy diferentes.

I

Aunque el error aproximado no proporciona una estimación exacta del error verdadero, la figura 4.7 sugiere que E , capta la dirección des- ,endente de E,. Además, la gráfica muestra una característica muy inte- resante; que E, siempre es mayor que E,. Por lo tanto, cuando E, es menor que E, los cálculos se pueden terminar con la confianza de saber que la raíz es al menos tan exacta como el nivel específico prefijado.

Aunque siempre es dañino aventurar conclusiones generales de un sólo ejemplo, se puede demostrar que E, siempre será mayor que E, en

Page 140: Metodos numericos para ingenieros

METODOS QUE USAN INTERVALOS 129

el método de bisección. Esto se debe a que cada vez que se encuentra una aproximación a la raíz usando bisecciones como x, = (xr + (x,)/2, se sabe que la raíz exacta cae en algún lugar dentro de intervalo (x, - x r ) / 2 = b / 2 . Por lo tanto, la raíz debe situarse dentro de f A x/2 de la aproximación (Fig. 4.8). Por ejemplo cuando se terminó el ejemplo 4.3 se pudo decir definitivamente que:

X, = 0.562 5 - + 0.062 5

FIGURA 4.8 Tres formas diferentes en que un intervalo puede agrupar a la raíz. En a) el valor verdadero cae en el centro del intervalo, mietras que en b) y c ) el valor se acerca a uno de los extremos. Nótese que la diferencia entre el valor verdadero y el punto medio del intervalo jamás sobrepasa la longitud media del intervalo, o Ax/2 .

FIGURA 4.9 Esauema gráfico del porqué la estimación del error en el método de bi- sección (Ax/2) es equivalente a la estimación actual de la raíz (xrnueuo) menos la estimación anterior de la raíz

Page 141: Metodos numericos para ingenieros

130 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Debido a que A x/2 = xnUevo - Xanierior (Fig. 4.9), la ecuación (4.2) proporciona un límite superior exacto sobre el error real. Para que se rebase este límite, la raíz reai tendría que caer fuera del intervalo que la contiene, lo cual, por definiciiin jamás ocurrirá en el mktodo de bisec- ciijn. El ejemplo 4.7 muestra otras técnicas de localización de raíces que no siempre se portan tan eficientes. Aunque el método de bisección, en general es más lento que otros métodos, la elegancia del análisis de error, ciertamente es un aspecto positivo que puede hacerlo atractivo para cier- tas aplicaciones de la ingeniería.

4.2.2 Programación del método de bisección

El algoritmo de la figura 4.5: ahora se presenta en un programa que se muestra en la figura 4.10. El programa usa una funcicin (línea 100) que facilita la localización de la raíz y las modificaciones a la función. Ade: más, se incluye la línea 200 para verificar la posibilidad de divisiones por cero durante la evaluación del error. Tal caso se presenta cuando el in- tervalo está centrado respecto al origen. En este caso, la ecuación (4.2) es infinita. Si esto ocurre, el programa salta sobre la evaluación del error para esa iteraci6n.

El programa de la figura 4.10 no es muy legible para el usuario; está diseñado únicamente para calcular la respuesta, el usuario debe hacerlo más fácil de usar y de entender. Dentro del paquete de NUMERICOMP asociado con este texto se proporciona un ejemplo de un programa legi- ble al usuario para encontrar raíces de ecuaciones. El siguiente ejemplo

F< X )nEXPC -X )-X 1 ~ . Ut& F N F I 1 E X P I -. X J -- R E I D < S , l ) X L ~ X U ~ E S , l U F O R M I T < 3 F l O . O , I S ) 1 1 , : ~ INPIJT ~ L , X I J . F ~ , IM-" AR-FC XL )*F< XU ) 1 2 r j IF FN F i X L ) FN FCXLII , = XL, XU = límites inferiot'y

XR-( XL+XU )/2 I F ( L R . C E . O . 0 ) COTO 3 1 0

DO 240 N I G ! , I M W-F< XL )*F( XR > I F í I f i . E P . O . 0 ) COTO 300 l d 0 1F AA = O THEN 300 I F < & A . LT. O , O )XU=XR 17G IF AA ,. ( 6 1Hb.N XIJ = Y R

XN-< XL+XU )/2 I F ( f i f i .CT,O.O)XL-XR 180 16 Ah .I c:) THEN XL = XU

I F < X N . E Q . O . O X O T O 230 Efi-ABS< < XN-XR )LXN )*1 0 0 211:l E A = A B 5 ( 1 h N - XRI / XNI f

I F <EA.LT.ES)COTO 280 1 < I ü XR = estimación inicial de la

(Función a la cual se le va a calcular la raíz) Y

1 2 0 NR = (XL + k l J ) I c-

i k FOR N I Y TI.¡ 111 1st) AA = F N F(XI.) * F N F ( k R )

O THEN 310 superior ES = error porcentual

aceptable IM = numero máximo de

Iteraciones.

190 kN = i k L + XU1 / 2 (Verifica si XL y XU encierran una raiz)

230 XR-XN 2 4 0 CONTINUE

2 ~ o ~ n f i ~ ( ' ';NO S E E N C U N T R O L f + . R I I Z ' ) P'nj P R I N T "NO SF ENCON'TRU L A R A I ? "

3 F O R M A T < ' ' , 2 F 1 0 . 3 )

2eo M R I T E ( 6 , 4 ! X N . E f i . N I 4 F O R U R T ( ' , 2 F 1 0 . 3 , 1 5 ) 3 6 , r PRINT "ILA R A I L E I A C I A FS =":X.R EA = error porcentual

COTO 3 1 0 3 0 0 U R I T E ( 6 , S ) X R 5 FORMnT(' ' , ' L A R A 1 Z EX(ICT0 ES = ' , F l 0 . 3 ) (Prueba de error) 3 1 0 STOP

raíz A.AO AH = LN

M R I T E ( 6 . 2 ) 74*:, NEXT N I

U R I T E < C , 3 ) X R , E f i lol:, P R I N T Y R , € A

COTO 3 1 0

(Evaluación para determcnar que subintervalo contiene a la raizl XN = nueva aproximación a L/O GUTO 31o

.!:u, P R I N T kN.EA.NI

..

. _. . 2"o c.010 310 la raíz

ilir END calculado

END

FIGURA 4.10 Programa para el método de bisección.

Page 142: Metodos numericos para ingenieros

METODOS QUE USAN INTERVALOS 131

muestra el uso de NUMERICOMP para encontrar raíces. También propor- ciona una buena referencia para valorar y examinar los programas del usuario.

EJEMPLO 4.5 Localización de raíces usando la computadora

Enunciado del problema: asociado con los programas de NUMERICOMP, se encuentra un programa legible al usuario sobre el método de bisección.

Se puede usar este programa para resolver un problema de diseño asociado con el ejemplo del paracaidista analizado en el capítulo 1. Co- mo se recordará, la velocidad del paracaidista está dada, en función del tiempo, de la siguiente manera:

[E4.5.1]

donde u es la velocidad del paracaidista en centímetros por segundo, g es la constante gravitacional cuyo valor es 980 cm / s2, m es la masa del paracaidista cuyo valor es 68 100 g y c es el coeficiente de rozamien- to. En el ejemplo l. 1 se calculó la velocidad del paracaidista en función del tiempo para valores dados de m, c y g. Sin embargo, supóngase que se desea controlar el movimiento del paracaidista de tal forma que se al- cance una velocidad prefijada en caída libre después de un tiempo dado. En este caso, se debe seleccionar un valor apropiado de c que satisfaga los requisitos de diseño cuando se mantengan constantes m, g, t y u. Una ojeada a la ecuación a (E4.5.1) muestra que c no se puede calcular explí- citamente en función de las variables conocidas. Supóngase que se de- sea que la velocidad del paracaidista alcance un valor de 4 O00 cm/s después de 7 s. De esta manera, se debe determinar un valor de c tal que:

[E4.5.2]

con t = 7 S y u = 4 O00 cm/s.

Solución: para implementar el método de BISECCIÓN, se requiere ob- tener un intervalo inicial que contenga al valor de c que satisfaga la ecuación (E4.5.2). Es conveniente seleccionar este intervalo conjuntamente con la opción de graficación de BISECCIÓN que viene con el disco (op- ción 3). El programa pregunta los valores mínimo y máximo de x y de f (x) generando la grdfica mostrada en la figura 4.1 l a después que se han introducido las dimensiones de la gráfica. Puede verse que existe una raíz entre 10 O00 y 15 O00 g / s .

El programa BISECCIÓN pregunta por un límite máximo de iteracio- nes permitido, un error de convergencia E , y un límite inferior y superior

Page 143: Metodos numericos para ingenieros

132 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 4.1 1 a) Gráfica de la ecuación (E 4.5.2) b) Resultados para determinar el coe- ficiente de rozamiento usando BISECCION en el problema del para- caidista.

para la raíz. La figura 4.1 lb muestra estos valores, junto con la raíz cal- culada de 11 643.14 g / s. Nótese que con 16 iteraciones se obtiene un valor aproximado a la raíz con un error menor de E,. Más aún, la com- putadora muestra una verificación del error de:

f(11643.14) = 1.025391 X lo-'

para confirmar los resultados. Si la exactitud que se requiere no se hubie- ra alcanzado con el número especificado de iteraciones, entonces el al- goritmo habría terminado después de 30 iteraciones.

Estos ;esultados están basados en el algoritmo simple del método de BISECCION con el uso'de rutinas de entrada y salida legibles al usuario. El algoritmo usado es similar al de la figura 4.10. El usuario debe estar listo para escribir sus propios programas sobre el método de bisección. Si tiene los programas de NUMERICOMP, entonces los puede usar co- mo modelo y para verificar que sus programas sean adecuados.

I

4.3 MÉTODO DE LA REGLA FALSA

Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces, su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternati-

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METODOS QUE USAN INTERVALOS 133

va mejorada es la del método de la regla falsa está basado en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la raíz.

Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo xI a x, en mitades iguales, no se toma en consideración la magnitud de f (x() y de f (x,). Por ejemplo, si f (XI) está mucho más cerca de cero que f (xu), es lógico que la raíz se encuentra más cerca de xI que de x, (Fig. 4.12). Este método alternativo aprovecha la idea de unir los puntos con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje x proporciona una mejor estimación de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una “posición falsa” de la raíz, de aquí el. nombre de método de la regla falsa o en latín, regula falsi. También se le conoce como méto- do de interpolaci6n lineal.

Con el uso de triángulos semejantes (Fig. 4.12), la intersección de la línea recta y el eje x se puede calcular de la siguiente manera:

que se puede resolver Dara (véase el recuadro 4.1 para mayores detalles)

FIGURA 4.12 Esquema gráfico del método de la regla falsa. La fórmula se deriva de los triángulos semejantes (áreas sombreadas).

~ ~ ” ~ . - ~ . I - l_..*_”,~-..”ll””.”” -. ̂ _ , ~ . - ” .. - .”

Page 145: Metodos numericos para ingenieros

134 METODOS NUMtRICOS PARA INGENIEROS

RECUADRO 4.1 Derivación del método de lo regla falso

Multiplicando en cruz la ecuación (4.3) se obtiene: sumando y restando x, del lado derecho:

Dividiendo entre - f (x"):

xuf(x1) - x,f(xu) f (X/) - f (xu)

xr =

x, = xu - f(xu>(x/ - xu) f (XI) - f(xJ Ésta es una forma del método de la regla falsa. Nótese

que esto permite cualcular la raíz x, en función de los 1:- que es igual a la ecuación (4.4). Se usa esta forma ya que

manera alternativa, expandiéndola: analizado en el capítulo 5.

mites inferior, Y superior xu. Se puede Ordenar de una es directamente con el método de la secante

Esta es la fórmula de la regla falsa. El valor de xr, calculado con la ecua- ción (3.4), reemplaza a uno de los dos valores, x, o a x, que produzca un valor de la función que tenga el mismo signo de f (x,). De esta ma- nera, los valores xl y x, siempre encierran a la raíz. El proceso se repite hasta que la aproximación a la raíz sea adecuada. El algoritmo es idénti- co al de la bisección (Fig. 4.6) con la excepción de que la ecuación (4.4) se usa en los pasos 2 y 4. Además, se usan los mismos criterios de paro [(Ec. (4.2)] para detener los cSlculos.

Page 146: Metodos numericos para ingenieros

b

M ~ O D O S QUE USAN INTERVALOS 135

Solución: como en el ejemplo 4.3, inícieme los cálculos con los valores iniciales x, = O y x, = 1. Primera iteración:

x, = o j(x,> = 1 X, = 1 f(x,) = -0.632 12

El error relativo real se puede estimar como:

1 4 = 0.567 143 29 - 0.612 7 I loo% = 8.0% 1 0.567 143 29 1

Segunda iteración:

Por lo tanto, la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo y x, se convierte en el límite superior de la siguiente iteración, x, = 0.6127.

x/ = o f h ) = 1

x, = 0.612 7 f(x,) -0.070 8

X, = 0.612 7 - -0.070 8(0 - 0.612 7) 1 - (-0.070 8)

= 0.572 19 E, = 0.89%

El error aproximado se puede calcular como:

I 4 = 0.572 19 - 0.612 7

= 7.088 I 0.572 19

Se pueden llevar a cabo iteraciones adicionales para mejorar la estima- ción de la raíz.

Puede emitirse una opinión más completa sobre la eficiencia relativa de los métodos de bisección y de la regla falsa al observar la figura 4.13 que muestra gráficas del error relativo porcentual de los ejemplos 4.3 y 4.6, Nótese cómo el error decrece mucho más rápidamente para el mé-

Page 147: Metodos numericos para ingenieros

136 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 4.13 Comparación de errores relativos de los métodos de la regla falsa y de btsecciones para f ( x ) = e' - x.

todo de la regla falsa que para el de bisecciones ya que el primero es un esquema más eficiente para la localización de raíces.

Recuérdese que en el método de bisección el intervalo entre x/ y x, decrece durante los cálculos. Por lo tanto, el intervalo dado por A x/ 2 = ~ x, - x,!,' 2 proporciona una medida del error en estas aproximacio- nes. Este no es el caso para el método de la regla falsa ya que uno de los extremos puede permanecer fijo a lo largo de los cálculos, mientras que el otro converge a la raíz. Como en el caso, del ejemplo 4.4 donde el extremo inferior xi se sostuvo en cero, mientras que x, convergió a la raíz. En tales casos, el intervalo no se acorta, sino que se mantiene más o menos constante.

El ejemplo 4.6 sugiere que la ecuación (4.2) representa un criterio de error muy conservador. De hecho, la ecuación (4.2) constituye una aproximación de la discrepancia de la iteración preuia. Esto se debe a que para cada caso, tai como en el ejemplo 4.6, donde el método converge rápidamente (por ejemplo, el error se reduce casi una orden de magni-

Page 148: Metodos numericos para ingenieros

METODOS QUE USAN INTERVALOS 137

tud por iteración), la iteración actual es una aproximación mucho mejor al valor real de la raíz que el resultado de la iteración previa xYterior. Por lo tanto, el numerador de la ecuación (4.2) representa la di- ferencia de la iteración previa. En consecuencia, hay confianza que cuando se satisface la ecuación (4.2), la raíz se conoce con mayor exactitud su- perando la tolerancia preestablecida. Sin embargo, como se ve en la si- guiente sección, existen casos donde la regla de la posición falsa converge lentamente. En estos casos la ecuación (4.2) no es confiable y se debe desarrollar un criterio diferente de paro.

4.3.1 Desventajas del método de la regla falsa

Aunque el método de la regla falsa pareciera siempre ser el mejor de los que usan intervalos, hay casos donde funciona deficientemente. En efec- to, como en el ejemplo siguiente, hay ciertos casos donde el método de bisección da mejores resultados.

EJEMPLO 4.7 Un caso donde el método de bisección es preferible al de4a'regla falsa

Enunciado del problema: úsense los métodos de bisección y de la regla falsa para localizar la raíz de:

entre x = O y x = 1.3.

Solución: usando bisección, los resultados se resumen como:

1 O 1.3 0.65 35 2 0.65 1.3 - 0.975 2.5 33.3 3 0.975 1.3 1.1375 13.8 14.3 4 0.975 1.1375 1.05625 5.6 7.7 5 0.975 1.05625 1 .O1 5625 1.6 4.0

De esta manera, después de cinco iteraciones. El error verdadero se reduce a menos del 2%. Con la regia falsa se obtiene un esquema muy diferente

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138 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

1 O 1.3 0.09430 90.6 2 0.09430 1.3 0.18176 81.8 48.1 3 0.18176 1.3 0.26287 73.7 30.9 4 0.26287 1.3 0.3381 1 66.2 22.3 5 0.3381 1 1.3 0.40788 59.2 17.1

~~~ ~

Después de cinco iteraciones, el error verdadero se ha reducido ai 59%. Ade- más, nótese que 1 E, 1 < 1 eV 1 . De esta forma, el error aproximado es engañoso. Se puede obtener mayor información examinando una gráfica de la función. En la figura 4.14 la curva viola una hipótesis sobre la cual

I FIGURA 4.14 Gráfica de la función f(x) = x" - 1 , ilustración de la convergencia lenta del método de la regla falsa.

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MhODOS QUE USAN INTERVALOS 139

se basa la regla falsa; esto es, si f (x1) se encuentra mucho miis cerca de cero que f (x,), entonces la raíz se encuentra más cerca a x1 que x, (re- cuérdese la figura 4.12). De acuerdo a la gráfica de esta función, la inver- sa es verdadera.

El ejemplo anterior ilustra que en general no es posible hacer gene- ralizaciones relacionadas con los métodos de obtención de raíces. Aun- que un método como el de la regla falsa, en general es superiar al de bisección, hay, invariablemente casos especiales que violan las conclu- siones generales. Por lo tanto, además de usar la ecuación (4.2), los re- sultados se pueden verificar sustituyendo la raíz aproximada en la ecuación original y determinar si el resultado se acerca a cero. Estas pruebas se de- ben incorporar en todos los programas que localizan raíces.

4.3.2 Programa para el método de la regla falsa

Se puede desarrollar directamente un programa para la regla falsa a partir del código del método de bisección de la figura 4.10. La única mo- dificación es la de sustituir la ecuación (4.4) en las líneas 130 y 190. Ade- más, la prueba contra cero sugerida en la última sección, también se debe incorporar en el código.

4.4 BúSQUEDAS CON INCREMENTOS DETERMINANDO UNA APROXIMACIóN INICIAL Además de verificar una respuesta individual, se debe determinar si se han localizado todas las raíces posibles. Como se mencionó anteriormen- te, en general, una gráfica de la función ayudará en esta tarea. Otra opción es incorporar una búsqueda incremental al principio del progrma. Consiste en empezar en un extremo de la región de interés y realizar evaluaciones de la función con pequeños intervalos a lo largo de la re- gión. Cuando la función cambia de signo, se supone que una raíz cae dentro del incremento. Los valores de x de los extremos del intervalo pue- den servir de valores iniciales para una de las técnicas descritas en este capitulo que usan intervalos.

Un problema aunado a los métodos de búsquedas incrementales es el de escoger la longitud del incremento. Si la longitud es muy pequeña, la búsqueda puede consumir demasiado tiempo. Por el otro lado, si la longitud es muy grande, existe la posibilidad de que las raíces muy cerca- nas entre sí pasen desapercibidas (Fig. 4.15). El problema se combina con

Page 151: Metodos numericos para ingenieros

148 , METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 4.1 5 Casos donde las raíces se pueden brincar debido a que las longitudes de los intervalos en los métodos de búsquedas incrementales son de- masiado grandes. Nótese que la últirna raíz es múltiple y se iba a brin- car independientemente de la longitud del incremento.

la posible existencia de raíces múltiples. Un remedio parcial para estos casos en calcular la primera derivada de la función f' (x) en los extremos del intervalo. Si la derivada cambia de signo, entonces puede existir un máximo o un mínimo en ese intervalo, lo que sugiere una búsqueda más minuciosa para detectar la posibilidad de una raíz.

Aunque estas modificaciones, o el empleo de un incremento muy fi- no pueden solucionar en parte el problema, se debe aclarar que los métodos sencillos tales como el de búsqueda incremental no son infali- bles. Se debe tener conocimiento de otras informaciones que profundi- cen en la localización de raíces a fin de complementar las técnicas automáticas. Esta información se puede encontrar graficando la función y entendiendo el problema físico de donde se originó la ecuación.

PROBLEMAS Cálculos a mano

4.1 Determínense las raíces reales de:

f(x) = - 0 . 8 7 4 ~ ~ + 1 . 7 5 ~ + 2.627

a) GrSrficamente b) Usando la fórmula cuadrática c) Usando el método de bisección hasta tres iteraciones para determinar la raíz m& alta. Empléense como valores iniciales xi = 2.9 y x, = 3.1. Calcúlese el error es- timado ea y el error verdadero E,, después de cada iteración.

Page 152: Metodos numericos para ingenieros

METODOS QUE USAN INTERVALOS 141

. .

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

Determínense las raíces reales de

f(x) = - 2 . 1 + 6 . 2 1 ~ - 3 . 9 ~ ' + 0 . 6 6 7 ~ ~

a) Gráficamente b) Usando bisección para localizar la raíz más pequeña. Empléense como valores iniciales x, = 0.4 y x, = 0.6 e itérese hasta que el error estimado F, se encuentre abajo de t , = 4%

Determhense las raíces reales de:

f(x) = -23.33 + 7 9 . 3 5 ~ " 8 8 . 0 9 ~ ~ + 4 1 . 6 ~ ~ - 8 . 6 8 ~ ~ + 0 . 6 5 8 ~ ~

a Gráficamente b) Usando bisección para determinar la raíz más alta para es = 1 W . Empléese co- mo valores iniciales x, = 4.5 y x , = 5. c) Realícense los mismos cálculos de b) pero usando el método de la regla falsa.

Determínense las raíces reales de:

f(x) = 9.36 - 2 1 . 9 6 3 ~ + 16.2965~' - 3 . 7 0 3 7 7 ~ ~

a) Gráficamente b) Usando el método de la regla falsa con un valor de es correspondiente a tres' cifras significativas para determinar la raíz más baja.

Localícese la primer raíz diferente de cero de tan x = 1.1. x donde x está en radia- nes. Úsese una técnica gr6fica y bisección con valores iniciales O. l y O.G. Realícen- se los cálculos hasta que E, sea menor del es = 10%. Verifíquense también los errores sustituyendo la respuesta final en la ecuación original.

Determínese la raíz real de In x = 0.5

a) Gráficamente b) Usando el método de bisección con tres iteraciones y valores iniciales x) = 1 y x, = 2. c) Usando el método de la regla falsa con tres iteraciones y los mismos valores ini- ciales del inciso anterior.

Determínese la raíz real de:

1 - 0 . 6 ~ f(x) = X i

a) Analíticamente b) Gráficamente C) Usando el método de la regla falsa con tres iteraciones y valores iniciales de 1.5 y de 2.0. Calcúlese el error aproximado E, y el error verdadero E, después de ca- da iteración.

Page 153: Metodos numericos para ingenieros

142 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

4.8 Encuéntrese la raíz cuadrada positiva de 10 usando el método de la regla falsa con E, = 0.5 % . Empléense los valores iniciales de x, = 3 y x, = 3.2.

4.9 Encuéntrese la raíz positiva más pequeña de la función (x está dada en radianes) :

x' 1 sen XI = 4

usando el método de la regla falsa. Para localizar la región en que cae la raíz, pri- mero grafíquese la función para valores de x entre O y 4. Realícense los cálculos hasta que eo haga que se cumpla es = 1 B. Verifíquese la respuesta final sustitu- yéndola en la función original.

4.10 Encuéntrese la raíz real positiva de:

!(x) = x4 - 8 . 6 ~ ~ - 3 5 . 5 1 ~ ' + 464x - 998.46

usando el método de la regla falsa. Úsese una gráfica para determinar los valores iniciales y realizar los cálculos con e , = O. 1 % .

4.11 Determínese la raíz real de:

f(x) = x3 - 100

a) Analíticamente b) Con el método de la regla falsa con es = 0.1 %

4.12 La velocidad del paracaidista está dada por la fórmula:

donde g = 980. Para un paracaidista de masa m = 75 O00 g calcúlese el coefi- ciente de rozamiento c con u = 3600 cm/s en t = 6 s . Úsese el método de la regla falsa para determinar c con es = O. 1 %.

Problemas para resolver con computadora

4.13 Vuélvase a programar la figura 4.10 de forma tal que sea más legible al usuario. Entre otras cosas: a) Documéntese indicando la función de cada secciór. b) Etiquétense las entradas y las salidas c) Agréguese una prueba que verifique si los valores iniciales x, y x,, encierran a la raíz. d ) Agréguese una prueba de verificación para que la raíz obtenida se sustituya en la ecuación original para comprobar si el resultado final se ace:ca a cero.

4.14 Pruébese el programa del problema 4 . 1 3 duplicando los cálculos del ejemplo 4.3.

4.15 Úsese el programa del problema 4 .13 para repetir desde el problema 4 . 1 al 4.6.

Page 154: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS QUE USAN INTERVALOS 143

4.16 Repítanse los problemas 4 .14 y 4.15 usando los programas de NUMERICOMP dis- ponibles con el texto. Úsense las capacidades gráficas de este programa para verifi- car los resultados.

4.17 Úsense los programas de NUMERICOMP para encontrar las raíces reales de dos funciones polinomiales cualesquiera. Grafíquense las funciones sobre un rango de- finido para obtener los límites inferior y superior de las raíces.

4.18 Repítase el programa 4.17 usando dos funciones trascendentales

4.19 En este problema se usan solamente las capacidades gráficas de los programas NU- MERICOMP disponibles con el texto. LOS programas trazan la función sobre inter- valos más y más pequeños para incrementar la cantidad de cifras significativas que se quiera estimar una raíz. Empiécese con f(x) = e-' sen (10 x). Grafíquese la función con un rango a escala completa desde x = O hasta x = 2.5. Estímese la raíz. Trácese nuevamente la función sobre el rango x = 0.5 a x = 1.0. Estí- mese la raíz. Finalmente, grafíquese la función sobre un rango de 0.6 a 0.7. Esto permite estimar la raíz con dos cifras significativas.

4.20 Desarróllese un programa legible al usuario para el método de la regla falsa basado en la sección 4 . 3 . 2 . Pruébese el programa con el ejemplo 4.6.

4.21 Úsese el programa del problema 4 . 2 0 para probar los cálculos del ejemplo 4.7. Realícense corridas de 5, 10, 15 y más iteraciones hasta que el error relativo porcentual sea menor del O. 1%. Grafíquense los errores relativos porcentuales apro- ximados contra el número de iteraciones sobre papel semilogarítmico. Interpréten- se los resultados.

Page 155: Metodos numericos para ingenieros
Page 156: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O C I N C O MÉTODOS ABIERTOS

En los métodos del capítulo anterior que usan intervalos, la raíz se en- cuentra dentro del mismo, dado por un límite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos métodos siempre genera aproximaciones más y más cercanas a la raíz. A tales métodos se les conoce como conuergen- tes ya que se acercan progresivamente a la raíz a medida que crece el número de iteraciones (Fig. 5. l a ) .

FIGURA 5.1 Esquema gráfico de las diferencias fundamentales entre los métodos que usan intervalos a) y los métodos abiertos b) y c) en la localización de raí- ces. En a), que ilustra el método de bisección, la raíz está registrada dentro del intervalo dodo por x, y x,. En contraste, con los métodos abiertos, ilustrados en b) y c), se usa una fórmula para proyectar xi a xi+, con un esquema iterativo. De esta manera, el método puede divergir b) o con- verger c) rápidamente, dependiendo del punto inicial.

Page 157: Metodos numericos para ingenieros

146 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

En contraste con éstos, los métodos abiertos que se describen en este ca- pítulo, se basan en fórmulas que requieren de un solo valor x o de un par de ellos pero que no necesariamente encierran a la raíz. Como tales, algunas veces diuergen o se alejan de la raíz a medida que crece el núme- ro de iteraciones (Fig. 5. lb) . Sin embargo, cuando los métodos abiertos convergen (Fig. 5. IC), en general lo hacen mucho más rápido que los mé- todos que usan intervalos. Se empieza el análisis de los métodos abiertos con una versión simple que es útil para ilustrar su forma general y tam- bién para demostrar el concepto de convergencia.

5.1 ITERACIóN DE PUNTO FIJO

Como se mencionó anteriormente, los métodos abiertos emplean una fór- mula que predice una aproximación a la raíz. Tal fórmula se puede desa- rrollar para la iteración de punto fijo, rearreglando la ecuación f(x) =O de tal forma que x quede del lado izquierdo de la ecuación:

x = [5.11

Esta transformación se puede llevar a cabo mediante operaciones alge- braicas o simplemente agregando x a cada lado de la ecuación original. Por ejemplo:

x 2 - 2 x + 3 = o

se puede reordenar para obtener:

x2 + 3 í!

x=”-

mientras que sen x = O puede transformarse en la forma de la ecuación (5.1) sumándole x a ambos lados para obtener:

x = s e n x + x

La utilidad de la ecuación (5.1) es que proporciona una fórmula para predecir un valor de x en función de x. De esta manera, dada un aproxi- mación inicial a la raíz, xi, la ecuación (5.1) se puede usar para obtener una nueva aproximación xi+l , expresada por la fórmula iterativa:

Como con otras fórmulas iterativas del libro, el error aproximado de esta ecuación se puede calcular usando el estimador de error [Ec. (3.5) 1:

Page 158: Metodos numericos para ingenieros

MhODOS ABIERTOS 147

EJEMPLO 5.1 Iteración de punto fijo

Enunciado del problema: úsese iteración de punto fijo para localizar la raíz de f (x) = e “x “x.

Solución: la función se puede separar directamente y expresarse en la forma de ecuación (5.2) como = e-”. Empezando con un valor ini- cial de x,,=-O, se puede aplicar esta ecuación iterativa y calcular:

I

Iteraci6n. i X

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

O 1 .oooooo 0.367879 0.692201 0.500473 0.606244 0.545396 0.57961 2 0.5601 15 0.571 143 0.564879

1 O0 76.3 100.0 35.1 171.8 22.1 46.9 11.8 38.3 6.89 17.4

2.20 5.90 1.24 3.48 O. 705 1.93 0.399 1.1 1

3.83 11.2

I

De esta manera, cada iteración acerca cada vez más al valor estimado con el valor verdadero de la raíz, o sea 0.567 143 29.

RECUADRO 5.1 Convergencia de la iteración de punto fiio

AI analizar la figura 5.3, se debe notar que la iteración de punto fijo converge si en la región de interés g’ ( x ) < 1. En otras palabras, la convergencia ocurre si la magnitud de la pendiente de g ( x ) es menor que la pendiente de la línea f( x ) = x. Esta observación se puede demostrar teóri- camente. Recuérdese que la ecuación aproximada es:

Xi+l = g(xi)

Supóngase que la solución verdadera es:

x, = S(&)

Restando estas dos ecuaciones se obtiene:

xr - Xi+l = g(xJ - g(xJ [B5.1.1]

En el cálculo, existe un principio llamado teorema del valor medio (sección 3.5.2). Dice que si una función g ( x ) y su primera derivada son continuas sobre un intervalo a < x < b, entonces existe un valor de x = { dentro del intervalo para el que:

[B5.1.2]

El lado derecho de esta ecuación es la pendiente de la lí- nea que une a g ( a ) y g ( b ) , De esta manera, el teorema del valor medio dice que hay al menos un punto entre a y b que tiene una pendiente, denotada por S({), que es paralela a la línea que une g(a) con g(b) (Fig. 3.5).

Ahora, si se hace a = xi y b = x, el lado derecho de la ecuación (B5.1.2) se puede expresar como:

Page 159: Metodos numericos para ingenieros

148 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

S k r ) - g(xJ = (xr - Xi) g ‘ ( 8 Por consiguiente, si g’ ( ) < 1, entonces los errores de- crecen. con cada iteración. Si g’ ( < ) > l , entonces los

donde 4 se encuentra en alguna Parte dentro de x, Y x,. errores crecen. Nótese también que si la derivada es posi- Este resultado se puede sustituir en la ecuación (B5.1.2) tiva,los emores serán positivos, y por lo tanto, la solucióo para obtener: iterativa será monótona (Figs. 5.3a y c). Si la derivada es

[B5.1,31 negativa, entonces los errores oscilarán (Figs. 5.3b y d) . Un corolario de este análisis demuetra que cuando

Si el error verdadero para la j-ésima iteración se define como: el método converge, el error es casi proporcional a y me- nor que el error del paso anterior. Por esta razón, la itera-

X, - xi+1 = (X, - xi) S’([)

Et,! = x, - xi ción de punto fijo se dice que es linealmente conuergente.

entonces la ecuación (B5.1.3) se convierte en:

Et , i+ l = S’(() Et,¡

5.1.1 Convergencia

Nótese que el error relativo exacto en cada iteración del ejemplo 5.1 es casi proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de la iteración ante- rior. Esta propiedad, conocida como convergencia lineal, es característi- ca de la iteración de punto fijo. En el recuadro 5.1 se presenta una base teórica para esta observación.

FIGURA 5.2 Dos métodos gráficos alternativos paro determinar la raíz de f(x) = e ‘-x. a) Raíz en el punto donde ésta cruza al eje x ; b) raíz en la intersección de las funciones componentes.

-

Page 160: Metodos numericos para ingenieros

METODOS ABIERTOS 149

Además de la “velocidad” de convergencia, se debe hacer hincapié en este momento sobre la “posibilidad” de convergencia. Los conceptos de convergencia y de divergencia se pueden ilustrar gráfi- camente. Recuérdese que en la sección 4.1 se graficó una función para visualizar su estructura y su comportamiento (Ej. 4.1). Esta función se vuel- ve a graficar en la figura 5.2a. Un planteamiento gráfico diferente es el de separar la ecuación f ( x ) = O en dos partes, como en:

f l k ) = f2 (x)

Entonces las dos ecuaciones:

Y1 = f l ( 4 r5.31

Y

Y2 = f2 (x) P.41

se pueden graficar por separado (Fig. 5.2b). Los valores de x correspon- dientes a las intersecciones de estas funciones representan las raíces de f(x) = o.

EJEMPLO 5.2 El método gráfico de dos curvas

Enunciado del problema: sepárese la ecuación e “x - x = O en dos par- tes y determínese su raíz gráficamente.

Solución: reformúlese la ecuación como yl = x y y2= e -’. Calcúlense los siguientes valores:

X Y1 Y2

0.0 0.0 1 .O00 0.2 0.2 0.81 9 0.4 0.4 0.670 0.6 0.6 0.549 0.8 0.8 0.449 1 .o 1 .o 0.368

Estos puntos se gráfican en la figura 5.2b. La intersección de las dos cur- vas indica una aproximación de x = 0.57, que corresponde al punto donde la curva original en la figura 5 . 2 ~ cruza al eje x.

Page 161: Metodos numericos para ingenieros

150 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

El método de las dos curvas se puede usar ahora para ilustrar la con- vergencia y divergencia de la iteración de punto fijo.

En primer lugar, la ecuación (5.1) se puede expresar como un par de ecuaciones: y , = x y y2= g (x). Estas dos ecuaciones se pueden gra- ficar por separado. Tal fue el caso de las ecuaciones (5.3) y (5.4) las raí- ces de f ( x ) = O son iguales al valor de la abscisa en la intersección de las dos curvas. En la figura 5.3 se grafican la función y , = x y cuatro esquemas diferentes de la función y2= g(x).

FIGURA 5.3 Esquema gráfico de la convergencia a) y b) y la divergencia c) y d) de la iteración de punto fino. A las grafips a) y c) se les conoce como patrones monótonos, mien- tras que a b) y d) se les conoce.como patrones oscilatorios o en espiral. Nótese que la convergencia se obtiene cuando 1 g’(x) 1 < 1.

__I__ _LI_I_-̂ . . ~

Page 162: Metodos numericos para ingenieros

MnODOS ABIERTOS lb1

En el primer caso (Fig. 5 .3~4 , el valor inicial x, se usa para determi- nar el punto correspondiente a la curva yz, [xg, g(xo)]. El punto [x1 , xl] se encuentra moviendo la curva y1 a la izquierda y horizontalmente. Es- tos movimientos son equivalentes a la primera iteración del método de punto fijo:

De esta manera, en la ecuación y en la gráfica se usa un valor inicial x. para obtener la aproximación xI. La siguiente iteración consiste en mo- verse al punto [xl, g (xl)] b después a [x2, x2]. Esta iteración es equiva- lente a la ecuación:

La solución en la figura 5.3a es convergente ya que la aproximación de x se acerca más a la raíz con cada iteración. Lo mismo se cumple para la figura 5.3b. Sin embargo, éste no es el caso para las figuras 5 . 3 ~ y d , en donde las iteraciones divergen de la raíz. Nótese que la convergencia ocurre únicamente cuando el valor de la pendiente de y2 = g ( x ) es me- nor al valor de la pendiente de yI = x, esto es, cuando 19' ( x ) I c 1. En el recuadro 5.1 se presenta una derivación teórica de este resultado.

5.1.2 Programa para la iteración de punto fijo

El algoritmo para la computadora de la iteración de punto fijo es extre- madamente simple. Consiste en un ciclo que calcula iterativamente nue- vas aproximaciones junto con una declaración lógica que determina cuando se ha cumplido el criterio de paro.

FORTRAN

f

1 so I 7 0

2

a 1 0 a F O R M h T C ' , Z F I 0 . 3 , I S f

U R I T E ~ 6 . 3 ? X N , E A , N I

STOP END

BASIC

1 X I I Iü 1213 1 30 140 1 50

160 1.70 180 I90 200 210 220

, lFunc16n a la que se desea calcular la raizl

ES = error porcentual aceptable

XN = aproximact6n a la raíz

I N P U r X R . E S . I l l FOR NI = 1 TU In

I F XN = 0, THEN 170 XN = FN F C X R ) IM = numero maxmo de i te rac lones

E A = AB5 ( I X N - XR) I XN) e-. EA = aproximaci6n porcentual del

I F E A \ = ES THEN 210 - (prueba de 1W error

NEXT N I PRINT "NO SE ENCONTRO L A R A I L "

END P R I N T X N . E A . N I

XR = XN

NI NI - I

FIGURA 5.4 Programa para la iteración de punto fijo. Nótese que este algoritmo general es similar al de los métodos abiertos.

Page 163: Metodos numericos para ingenieros

152 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

En la figura 5.4 se presentan los programas en FORTRAN Y BASIC para el algoritmo. Se pueden programar de manera similar otros métodos abier- tos, simplemente cambiando la fórmula iterativa (declaración 130).

5.2 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Tal vez, dentro de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton- Raphson (Fig. 5.5), sea la más ampliamente usada. Si el valor inicial de la raíz-es x,, entonces se puede extender una tangente desde el punto [x;, f (xi)]. El punto donde esta tangente cruza al eje x representa una aproximación mejorada a la raíz.

El método de Newton-Raphson se puede derivar geométricamente (una forma de hacerlo es mediante el uso de la serie de Taylor, descrita en el recuadro 5.2). Como en la figura 5.5, la primera derivada en x es equivalente a la pendiente.

que se puede reordenar para obtener:

a la que se conoce como fórmula de Newton-Raphson.

FIGURA 5.5 Esquema gráfico del método de Newton-Raphson. Se extrapola una tangente a la función en el punto xi [esto es, f'(x;)] hasta el eje x pa- ra obtener una estimación de la raíz en x, + !.

_l__l ~~.~ ~

Page 164: Metodos numericos para ingenieros

METODOS ABIERTOS 153

EJEMPLO 5.3 Método de Newton-Raphson

Enunciado del problema: úsese el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de e "x - x empleando el valor inicial de x. = O.

Solución: la primera derivada de la función se puede evaluar como:

f ' (x) = -e-x - 1

que se puede sustituir, junto con la función original en la ecuación (5.6) para dar:

p i - xi h

Xi+l = xi - -e-x' - - J ,

1

Empezando con el valor inicial x. = O , se puede aplicar la ecuación ite- rativa para calcular:

O 1 O0 0.500000000 11.8 0.56631 1003 0.147 0.5671 431 65 0.0000220 0.5671 43290 <10

De esta manera, el planteamiento converge rápidamente a la raíz real. Nótese que el error relativo en cada iteración decrece mucho más rápido que como lo hace la iteración de punto fijo (compárese con el ejemplo 5.1).

5.2.1 Criterios de paro y estimación de errores

Como con los otros métodos de localización de raíces, la ecuación (3.5) se puede usar como un criterio de paro. Además, la derivación del méto- do con la serie de Taylor (recuadro 5.2) proporciona un conocimiento teórico relacionado con la velocidad de convergencia expresado como: Ei+ = O (Ei*). De esta forma, el error debe ser casi proporcional al cua- drado del error anterior. En otras palabras, el número de cifras significati- vas se duplica aproximadamente en cada iteración. Este comportamiento se examina en el siguiente ejemplo.

Page 165: Metodos numericos para ingenieros

154 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

RECUADRO 5.2 Derivación y análisis del error del método de Newton-Raphson a partir de la serie de Taylor

Además de la derivación geométrica [ecuaciones (5.5) y 0 = f (Xi) + f '(Xi) ( x r - Xi)

(5.6)], el método de Newton-Raphson se puede derivar también con el uso de la serie Taylor. Esta derivación al- f "(O ternativa es muy útil en el sentido de que muestra la De-

+ 2 (xr - X,)' [B5.2.3]

netración en la velocidad de convergencia del método. L~ ecuación (B5.2.2) se puede restar de la ecuación

puede representar como: Recuérdese del capítulo 3 que la serie de Taylor se (85.2.3) para obtener:

f "(47 + - (x~+I - X¡)' [B5.2.1] 2

L

[B5.2.4]

en donde t: se encuentra en parte de1 intervalo en- Ahora, notando que el es igual a la diferencia entre tre xi y xi+, . Truncando la serie de Taylor después de la primera derivada, se obtiene una versión aproximada:

xi+l y el valor real, x, como en:

f (Xi+l) -- f (Xi) + f '(Xi)(X¡+l - Xi) Ev.i+l=xr"xi+l

En la intersección con el eje x, f(xi+ ,) debe ser igual a ce- ro, o:

y la ecuación (B5.2.4) se puede expresar como:

0 = f (Xi) + f '(Xi)(Xi+l - Xi) [B5.2.2] [B5.2.5] L

que se puede resolver para:

que es idéntica a la ecuación (5.6). De esta forma, se ha derivado el método de Newton-Raphson usando la serie de Taylor.

Además de la derivación, la serie de Taylor se puede usar para estimar el error de la fórmula. Esto se puede lo- grar al utilizar todos los términos de la ecuación B5.2.1 con el resultado exacto. Por esta situación xi+l = x,, en donde x, es el valor exacto de la raíz. Sustituyendo este valor, junto con f(x,) = O en la ecuación (B5.2.1) se obtiene:

Si se supone que hay convergencia, entonces xi y t: se deberían aproximar a la raíz x,, y la ecuación (B5.2.5) se puede reordenar para obtener:

[B5.2.6]

De acuerdo a la ecuaci6n (B5.2.6) el error es casi propor- cional al cuadrado del error anterior. Esto significa que el número de cifras decimales correctas se duplica aproxi- madamente en cada iteración. A este comportamiento se le llama conoergencia cuadráfica. El ejemplo 5 .4 ilustra esta propiedad.

EJEMPLO 5.4 Análisis de error en el método de Newton-Raphson

Enunciado del problema: como se dedujo en el recuadro 5.2, el método de Newton-Raphson es convergente cuadráticamente. Esto es, el error es aproximadamente proporcional al cuadrado del error anterior, dado por:

CE5.4.11

Page 166: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS ABIERTOS 1 SS

Examínese esta fórmula y véase si es aplicable a los resultados del ejem- plo 5.3.

Solución: la primera derivada de !(x) = e ”x es:

f ‘(x) = --e-’ - 1

que se puede evaluar en x,= 0.567 143 29 para dar:

f’(0.567 143 29) = -1.567 143 29

La segunda derivada es:

fff(x) = e-x

que se puede evaluar, para obtener:

f’(0.567 143 29) = 0.567 143 29

Estos resultados se pueden sustituir en la ecuación (E5.4.1) para obtener:

0.567 143 29 E V l + l ,’ =- Z(”1.567 143 29) E v , i 2

O

€ , , i t 1 - - 0.180 95 E,,i2 Del ejemplo 5.3, el error inicial fue de Et,0= 0.567 143 29, que se pue- de sustituir en la ecuación del error para obtener:

E,,l 0.180 95(0.567 143 29)2 = 0.058 2 que se acerca al error real de = 0.067 143 29. En la siguiente iteración:

Ev,2 0.180 95(0.067 143 29)2 = 0.000 815 8

que también se compara favorablemente con el error real de 0.000 832 3. En la tercera iteración:

= 0.180 95(0.000 832 = 0.000 O00 125 que es exactamente el error obtenido en el ejemplo 5.3. La estimación del error mejora de esta manera ya que está más cercano a la raíz, xi y 4 se aproximan mejor mediante x, [recuérdese la suposición manejada al derivar la ecuación (B5.2.6) a partir de la ecuación (B5.2.5), en el re- cuadro 5.21. Finalmente:

Eu,4 = 0.180 95(0.000 O00 125)2 = 2.83 X

De esta manera este ejemplo ilustra que el error en el método de Newton- Raphson es en este caso, de hecho, casi proporcional (por un factor de O. 180 95) al cuadrado del error en la iteración anterior.

Page 167: Metodos numericos para ingenieros

156 MÉTODOS N U M É R I C O S PARA INGENIEROS

5.2.2 Desventajas del método de Newton-Raphson

Aunque el método de Newton-Raphson en general es muy eficiente, hay situaciones en que se porta deficientemente. Un caso especial -raíces múltiples- se analiza al final del capítulo. Sin embargo, aun cuando se trate de raíces simples, se encuentran dificultades, como en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5.5 Ejemplo de una función que converge lentamente con el método de Newton-Raphson

Enunciado del problema: determínese la raíz positiva de f ( x ) = x10 - 1 usando el método de Newton-Raphson con un valor inicial de x = 0.5.

Solución: la fórmula del método de Newton-Raphson es en este caso:

que se puede usar para calcular:

O 0.5 1 5 1.65 2 46.485 3 4 1.8365 4 37.65285 5 33,887565

De esta forma, después de la primera predicción deficiente, el método converge a la raíz 1, pero con una velocidad muy lenta.

Además de la convergencia lenta, debida a la naturaleza de la fun- ción, se pueden originar otras dificutades, como se ilustra en la figura 5.6. Por ejemplo, la figura 5.6a muestra el caso donde un punto de inflexión -esto es, f ' ( x ) = 0- ocurre en la vecindad de una raíz. Nótese que las iteraciones que empiezan en x divergen progresivamente de la raíz. En la figura 5.6b se ilustra la tendencia del método de Newton-Raphson a oscilar alrededor de un punto mínimo o máximo local. Tales oscilaciones persisten, o, como en la figura 5.6b, se alcanza una pendiente cercana a cero, después de lo cual la solución se aleja del área de inter&. En la figura 5.6c, se ilustra como un valor inicial cercano a una raíz puede sal-

Page 168: Metodos numericos para ingenieros

METODOS ABIERTOS 157

tar a una posición varias raíces lejos. Esta tendencia de alejarse del área de interés se debe a que se encuentran pendientes cercanas a cero. Ob- viamente, una pendiente cero Lf'(x) = O] es un real desastre que causa

Page 169: Metodos numericos para ingenieros

158 METODOS NUM~RICOS PARA INGENIEROS

5.3

una división por cero en la fórmula de Newton-Raphson [Ec. (5.6)] Gráfi- camente (Fig. 5.6d), esto significa que la solución se dispara horizontal- mente y jam& toca al eje x.

La única solución en estos casos es la de tener un valor inicial cerca- no a la raíz. Este conocimiento, de hecho, lo proporciona el conocimien- to físico del problema o mediante el uso de herramientas tales como las gráficas que proporcionan mayor claridad en el comportamiento de la so- lución. Esto sugiere tambiOn que se deben diseñar programas eficientes que reconozcan la convergencia lenta o la divergencia. La siguiente sec- ción está enfocada hacia estos temas.

5.2.3 Programa para el método de Newton-Raphson

Con sólo sustituir la línea 130 de la figura 5.4, se obtiene el método de Newton-Raphson. Nótese, sin embargo, que el programa se debe tam- bién modificar para calcular la derivada. Esto se puede llevar a cabo sim- plemente incluyendo una función definida por el usuario.

Además, de acuerdo a las discusiones anteriores sobre los problemas potenciales del método de Newton-Raphson, el programa se debe modi- ficar incorporándole algunos rasgos adicionales:

1.Si es posible, se debe incluir una rutina de graficación dentro del pro- -

grama.

2.A1 final de los cálculos, la aproximación a la raíz siempre se debe susti- tuir en la función original para calcular en qué casos el resultado se acerca a cero. Esta prueba protege contra aquéllos casos donde se observa con- vergencia lenta u oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de E,, mientras que la solución puede estar aún muy lejos de una raíz.

3. El programa siempre debe incluir un límite m6ximo sobre el número per- mitido de iteraciones para estar prevenidos contra las oscilaciones y la convergencia lenta, o las soluciones divergentes persistirán intermina- blemente.

MÉTODO DE LA SECANTE

Un problema fuerte en la implementación del método de Newton-Raphson es el de la evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconvenien- te para los polinomios y para muchas otras funciones, existen algunas de éstas cuyas derivadas pueden ser extremadam-ente difíciles de evaluar. En estos casos, la derivada se puede aproximar mediante una diferencia divida, como (Fig. 5.7):

Page 170: Metodos numericos para ingenieros

METODOS ABIERTOS 1 59

FIGURA 5.7 Esquema gráfico del método de la secante. Esta técnica es similar a la del método de Newton-Raphson (Fig. 5.5) en el sentido de que una apro- ximación a la raíz se calcula extrapolando una tangente de la función hasta el eje x . Sin embargo, el método de la secante usa una diferencia en vez de la derivada para aproximar la pendiente.

Esta aproximación se puede sustituir en la ecuación (5.6) obteniendo la ecuación iterativa:

La ecuación (5.7) es la fórmula para el método de la secante. Nótese que el planteamiento requiere de dos puntos iniciales de x. Sin embargo, de- bido a que no se requiere que f(x) cambie de signo entre estos valores, a este método no se le clasifica como aquellos que usan intervalos.

EJEMPLO 5.6 EL método de la secante

Enunciado del problema: úsese el método de la secante para calcular la raíz de f ( x ) = e-x - x. Empiécese con los valores iniciales de x-1 = o y x0 = 1.0.

Page 171: Metodos numericos para ingenieros

160 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Solución: recuérdese que la raíz real es 0.567 143 29 . Primera iteración:

"0.632 12(0 - 1) 1 "("0.632 12)

x 1 = 1 - = 0.612 70 / € , I = 8 . 0 8

Segunda iteración:

x0 = 1 f(xo) -0.632 12 x1 = 0.612 70 f(x1) = -0.070 81

(Nótese que las dos aproximaciones se encuentran del mismo lado que la raíz.)

x2 = 0.612 70- "0.070 81 (1-0.612 70)

-0.632 12 - (-0.070 81) = 0.563 84

(E,( = 0.58% \

Tercera iteración:

x1 = 0.61270 f(x1) = -0.070 81 x2 = 0.563 84 f(x2) = 0.005 18

x3 = 0.563 84 - 0.005 18 (0.612 70-0.563) 84

"0.070 81 - (0.005 18) = 0.567 17

I E , / = 0.004 8%

5.3.1 Diferencias entre los métodos de la secante y de la regla falsa

Nótese la similitud entre los métodos de la secante y de la regla falsa. Por ejemplo, las ecuaciones (5.7) y (4.4) son idénticas término a término. Am- bas usan dos estimaciones iniciales, para calcular una aproximación a la pendiente de la función que se usa para proyectar hacia el eje x una nue- va aproximación a la raíz. Sin embargo, existe una diferencia crítica entre ambos métodos y ésta estriba en la forma en que uno de los valores ini- ciales se reemplaza por la nueva aproximación. Recuérdese que en el mé- todo de la regla falsa, la Gltima aproximación de la raíz reemplaza a aquel valor cuya función tenía el mismo signo de f ( x l ) . En consecuencia, las

Page 172: Metodos numericos para ingenieros

METODOS ABIERTOS 161

dos aproximaciones siempre encierran a la raíz. Por lo tanto, en todos los casos prácticos, el método siempre converge ya que la raíz se encuen- tra dentro del intervalo. En contraste, el mdtodo de la secante reemplaza los valores en una secuencia estricta, con el nuevo valor xi+l se reem- plaza a xi y xi reemplaza a xi-l. Como resultado de ésto, los dos valores pueden caer de un mismo lado de la raíz. En algunos casos, ésto puede provocar divergencia.

EJEMPLO 5.7 Comparación de la convergencia en los métodos de la secante y la’ regla falsa.

Enunciado del problema: úsense los métodos de la secante y de la regla falsa para calcular la raíz de f(x) = In x. Háganse los cálculos con los va- lores iniciales x/ = xi- l . 0.5 y x, = xi = 5.0.

1

,’

Solución: en el método de la regla falsa, usando la ecuación (4.4) y los criterios de obtención de la raíz en el intervalo mediante el reemplazo de los valores correspondientes en cada aproximación, se generan las siguien- tes iteraciones:

I

lteraciin X I XU x ,

1 9.5 5.8 1.8546 2 e s 1.8546 1.21 63 3 e s 1.21 63 1 .@585

Como se puede ver (Figs. 5.8a y c), las aproximaciones convergen a la raíz real = 1 .

En el método de la secante usando la ecuación (5.7) y el criterio se- cuencial para reemplazar las aproximaciones se obtiene:

1 0.5 5.@ 1.8546 2 5.8 1.8546 -4.18438

Como se muestra en la figura 5.8d, el comportamiento del método es divergente.

t

Page 173: Metodos numericos para ingenieros

162 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 5.8 Comparación entre los métodos de la regla falsa y de la secante. Las primeras iteraciones a) y b) de ambos métodos son idénticas. Sin em- bargo, en las segundas c) y d), los puntos usados son diferentes. En consecuncia, el método de la secante puede divergir, como lo mues- tra dl.

Aunque el método de la secante sea divergente en algunos casos, cuan- do converge lo hace más rápido que el método de la regla falsa. Por ejem- plo, en la figura 5.9, que se basa en los ejemplos 4.3, 4.6, 5.3 y 5.6, se muestra la superioridad del método de la secante. La inferioridad del mé- todo de la regla falsa ;e debe a que un extremo permanece fijo y de esta manera mantiene a la raíz dentro del intevalo. Esta propiedad, que es una ventaja porque previene la divergencia, es una desventaja en rela- ción a la velocidad de convergencia; esto hace que la aproximación con diferencias divididas sea menos exacta que la derivada.

5.3.2 Programa para el método de la secante

Como con los otros métodos abiertos, se obtiene un programa del méto- do de la secante simplemente modificando la línea 110, de tal forma que se puedan introducir dos valores iniciales y sustituyendo la ecuación (5.7) en la línea 130 de la figura 5.4.

Page 174: Metodos numericos para ingenieros

METODOS ABIERTOS 163

FIGURA 5.9

5.4

Comparación de los errores relativos porcentuales t y para cada uno de los métodos en la determinación de las raíces de f(x) = e-x - x.

Además, las opciones sugeridas en la sección 5.2.3 para el método de Newton-Raphson se pueden aplicar al programa de la secante para obtener tales ventajas.

RAíCES MÚ LTI PLES Una raiz múltiple corresponde a un punto donde una función es tangen- cia1 al eje x. Por ejemplo, dos raíces repetidas resultan de:

f (x ) = (x - 3)(x - l)(x - 1)

f ( x ) = x3 - 5x2 + 7x - 3

o, multiplicando términos,

L a ecuación tiene una raíz doble porque un valor de x anula dos térmi- nos de la ecuación (5.8). Gráficamente, esto significa que la curva toca

Page 175: Metodos numericos para ingenieros

164 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 5.10 Ejemplos de raíces múl- tiples tangentes al eje X. Nótese que la función no cruza el eje en casos de mu!tiplicidad par a) y c), mientras que para multiplicidad impar sí lo hace b).

tangencialmente al eje x en la raíz doble. Véase la figura 5.10~ en x = 1. Nótese que la función toca al eje pero no lo cruza en la raíz.

Una raiz triple corresponde al caso en que un valor de x se anula en tres términos de la ecuación, como en:

f(x) = (x - 3)(x - l)(x - l)(x - 1) o, multiplicando,

)(X) = x4 - 6x3 + 1 2 ~ ' - 1 0 ~ + 3

Nótese que el esquema gráfico (Fig. 5.10bJ indica otra vez que la función es tangencia1 al eje en la raíz pero que en este caso sí cruza el eje. En general, la multiplicidad impar de raíces cruza el eje, mientras que la mul- tiplicidad par no lo cruza. Por ejemplo, la raíz cuádruple en la figura 5 . 1 0 ~ no cruza el eje.

Las raíces múltiples ofrecen ciertas dificultades a los métodos numéri- cos expuestos en la parte 11:

l. El hecho de que la función no cambia de signo en una raíz de multi- plicidad par impide el uso de los métodos confiables que usan inter- valos, discutidos en el capítulo 4. De esta manera, de los métodos incluidos en este texto, los abiertos tienen la limitación de que pue- den divergir.

2. Otro posible problema se relaciona con el hecho de que no sólo f(x) se aproxima a cero. Estos problemas afectan a los métodos de Newton- Raphson y al de la secante, los que contienen derivadas (o aproxima- ciones a ella) en el denominador de sus respectivas fórmulas. Esto pro- vocaría una división entre cero cuando la solución se acerque a la raíz. Una forma simple de evitar estos problemas, que se ha demostrado teóricamente (Ralston y Rabinowitz, 1978), se basa en el hecho de que f(x). Por lo tanto, si se verifica f lx) contra cero, dentro del programa, entonces los cálculos se pueden terminar antes de que f'(x) llegue a cero.

3. Se puede demostrar que el método de Newton-Raphson y el de Id

secante convergen en forma lineal, en vez de manera cuadrática, cuan- do hay raíces múltiples (Raltson y Rabinowitz, 1978). Se han propuesto algunas modificaciones para aliviar este problema. Ralston y Rabino- witz (1978) proponen que se haga un pequeño cambio en la formu- lación para que retorne su convergencia cuadrática, como:

f (x, 1 f '(Xi)

xi+l = xi - m-

en donde m es la multiplicidad de la raíz (esto es, m = 2 para una raíz doble, m = 3 para una raíz triple, etc.) . De hecho, puede resultar insatisfactorio porque presupone el conocimiento de la multiplicidad de las raíces.

Page 176: Metodos numericos para ingenieros

METODOS ABIERTOS 165

Otra alternativa, también sugerida por Ralston y Rabinowitz (1978), es la de definir una nueva función u(x), que es el cociente de la función y su derivada, esto es:

[5.10]

Se puede demostrar que esta función tiene raíces en las mismas posicio- nes que la función original. Por lo tanto, la ecuación (5.10) se puede susti- tuir en la ecuación (5.6) y de esta forma desarrollar una forma alternativa del método de Newton-Raphson:

Se puede derivar la ecuación (5.10), obteniendo:

[5.11J

[5.12]

Se pueden sustituir las ecuaciones (5.10) y (5.12) en la ecuación (5.11)

[5.13]

EJEMPLO 5.8 Método de Newton-Raphson modificado para el cálculo de raíces múltiples.

Enunciado del problema: úsense los dos métodos, el estándar y el modi- ficado de Newton-Raphson para evaluar la raíz múltiple de la ecuación (5.9), con un valor inicial de xo= O.

Solución: la primera derivada de la ecuación (5.9) es f(x) = 3x2 - lox + 7, y por lo tanto, el método de Newton-Raphson para este problema [Ec. (5.6)] es:

xi3 - 5Xi2 + 7xi - 3 3xi* - loxi + 7

Xi+l = x, -

que se puede resolver iterativamente para obtener:

Page 177: Metodos numericos para ingenieros

166 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

i Xi 1 € “ I Ojo

O 0 1 O0 1 0.428571 429 57 2 0.68571 4286 31 3 0.832865400 17 4 0.91 3328983 8.7 5 0.955783293 4.4 6 0.977655101 2.2

Como ya se había anticipado, el método converge linealmente hasta el valor verdadero de 1 .O.

Para el caso del método modificado, la segunda derivada es f” ( x ) = 60 x - 10, y la relación iterativa es [Ec. (5.13)]:

(Xi3 - 5xi2 + 7xi - 3) (3Xi2 - loxi + 7) Xi+l = xi -

(3xi2 - lOxi + 7)2 - (xi3 - 5xi2 + 7x, - 3) (6xi - 10)

que se puede resolver para obtener:

i xi l k ” l

O 0 1 O0 1 l . 1052631 58 1 1 2 1.003081 664 0.3 1 3 1 .O00002382 0.00024

De esta forma, el método modificado converge cuadráticamente. Se pue- den usar ambos métodos para buscar la raíz simple en x = 3. Usando un valor inicial de xo= 4 se obtienen los siguientes resultados:

i Estándar, cy Modificado l t ~ l

o 4 (33%) 4(33%) -

1 3.4 (13%) 2.636 363 637 (1 2%) 2 3.1 (3.3%) 2.820 224 720 (6.0%) 3 3.008 695 652 (0.29%) 2.961 728 211 (1.3%) 4 3.000 074 641 (2.5 X 2.998 478 719 (0.051 %) 5 3.000 000 O06 (2 x 2.999 997 682 (7.7 X

De esta forma, ambos métodos convergen rápidamente, siendo el méto- do estándar más eficiente.

Page 178: Metodos numericos para ingenieros

METODOS ABIERTOS 167

El ejemplo anterior ilustra los factores de mayor importancia involu- crados al escoger el método de Newton modificado. Aunque es preferible en raíces múltiples, algunas veces es menos eficiente y requiere más es- fuerzo computacional que el método estándar para el caso de raíces sim- ples. Se debe notar que se puede desarrollar una versión modificada del método de la secante para raíces múltiples sustituyendo la ecuación (5.10) en la ecuación (5.7). La fórmula resultante es (Ralston y Rabinowitz, 1978):

PROBLEMAS

Cálculos a mano

5.1 Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la raíz mayor de:

f ( x ) = - 0 . 8 7 5 ~ ~ + 1 . 7 5 ~ + 2.625

Empléese un valor inicial de xi = 3. l. Realícese los cálculos hasta que E,, sea me- nor del E, = 0.01 % . También verifíquense los errores en la respuesta final.

5.2 Determínense las raíces reales de:

f(x) = -2.1 + 6 . 2 1 ~ - 3 . 9 ~ ~ + 0 . 6 6 7 ~ ~

a) Gráficamente b) Usando el método de Newton-Raphson hasta que = 0.01%

5.3 Empléese el método de Newton-Raphson para determinar las raíces reales de:

!(X) = -23.33 + 7 9 . 3 5 ~ - 8 8 . 0 9 ~ ~ -k 4 1 . 6 ~ ~ - 8 . 6 8 ~ ~ + 0 . 6 5 8 ~ ~

usando el valor inicial de a) xi= 3.5; b) x= 4.0 y c) x,= 4.5. Pruébense y úsense los métodos gráficos para explicar cualquier peculiaridad en los resultados.

5.4 Determínese la raíz real menor de:

f(x) = 9.36 - 21.963~ + 1 6 . 2 9 6 5 ~ ~ - 3 . 7 0 3 7 7 ~ ~

a) Gráficamentg b) Usando el método de la secante, hasta un valor de es, correspondiente a tres cifras significativas.

5.5 Localícese la raíz positiva de:

f (x) = 0 . 5 ~ - sen x

Page 179: Metodos numericos para ingenieros

168 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

!(x) = 9.36 - 21.963~ + 16.296 5x2 - 3.703 77x3

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11

5.12

5.13

donde x está dada en radianes. Usese un método gráfico y después calcúlese tres iteraciones con el método de Newton-Raphson con un valor inicial de xi= 2.0 para calcular la raíz. Repítanse los cálculos pero con un valor inicial de x i = 1.0. Úsese el método gráfico para explicar los resultados.

Encuéntrese la raíz real positiva de:

f(x) = x4 - 8 . 6 ~ ~ - 3 5 . 5 1 ~ ~ + 4 6 4 ~ -- 998.46

usando el método de la secante. Empléense los valores iniciales de xi., = 7 y xi= S y calcúlense cuatro iteraciones. Calcúlese E, e interprétense los resultados.

Realícense los mismos cálculos del problema 5.6 pero usando el método de Newton- Raphson, con un valor inicial de x,= 7 .

Encuéntrese la raíz cuadrada positiva de 10 usando tres iteraciones con: a) El método de Newton-Raphson, con un valor inicial de xi= 3. b) El método de la secante, con valores iniciales de = 3 y x,=3.2.

Determínese la raíz real de:

1 - 0 . 6 ~ f(x) =

X

usando tres iteraciones y el método de la secante con valores iniciales xi., - 1.5 y xi = 2.0. Calcúlese el error aproximado E, después de la segunda y la tercera iteración.

Determínese la raíz real de:

!(x) = x3 - 100

con el método de la secante, con es= 0. 1 % .

Determínese la raíz real mayor de:

x3 - 6x2 + l lx - 6

a) Gráficamente b) Usando el método de bisección (dos iteraciones, XI= 2.5 y X,= 3.6). C) Usando el método de la regla falsa (dos iteraciones, X/= 2.5 Y X,= 3.6). d) Usando el método de Newton-Raphson (dos iteraciones, xi= 3.61. e) Usando el método de la secante (dos iteraciones, x;-l= 2.5 y X,= 3.6).

Úsese el método de Newton-Raphson para determinar todas las raíces de :(x) = x2+ 5.78 x - 11.4504 con e,= 0.001%.

Determínese la raíz real más pequeña de:

Page 180: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS ABIERTOS 169

a) Gráficamente b) Usando el método de bisección (dos iteraciones, x,= 0 . 5 y xu= 1.1). c) Usando el método de la ragla falsa (dos iteraciones, x,= 0 .5 y x,= 1.1). d) Usando el método de Newton-Raphson (dos iteraciones, xi= 0.5). e) Usando el método de la secante (dos iteraciones, xi-, = 0 . 5 y xi= 1.1).

5.14 Determínese la raíz positiva real más pequeña de:

f ( x ) = 4X4 - 2 4 . 8 ~ ~ + 57.04~' - 56.76~ + 20.57

a) Gráficamente b) Usando el método disponible más eficiente. Empléense los valores 'inicia- les de x, = x , . ~ = 0 .5 y x, = x, = 1.5 y realícense los cálculos hasta que E,= 15%

5.15 Determínense las raíces de

!(X) = x3 - 3 . 2 ~ ~ - 1 . 9 2 ~ + 9.216

a) Gráficamente b) Usando el método disponible más eficiente con E,= 0.1%

5.16 Repítase el problema 4 .12 , pero usando el método de Newton-Raphson

5.17 Repítase el problema 4 .12 , pero usando el método de la secante.

Problemas relacionados con la computadora

5.18 Desarróllese un programa para el método de Newton-Raphson basado en la figura 5.4 y en la sección 5.2.3. Pruébese el programa duplicando los cSlcu- los del ejemplo 5 .3

5.19 Úsese el programa desarrollado en el problema 5.18 y duplíquense los cálcu- los del ejemplo 5.5. Determínese la raíz usando un valor inicial de xi= 0.5. Realícense 5, 10, 15 o más iteraciones hasta que el error relativo porcentual exacto sea menor del O. 1 B. Grafíquense los errores relativos porcentuales exac- to y aproximado contra el nlirnero de iteraciones sobre papel semilogarítmico. Interprétense los resultados.

5.20 Úsese el programa desarrollado en el problema 5.18 para resolver los problemas 5.1 al 5.5. En todos los casos, realícense los cálculos dentro de la tolerancia de E S = 0.001%.

5.21 Desarróllese un programa para el método de la secante basado en la figura 5.4 y en la sección 5.3.2. Pruébese el programa duplicando los cálculos del ejemplo 5.6.

5.22 Úsese el programa desarrollado en el problema 5.21 para resolver los proble- mas 5.6, 5.9 y 5.10. En todos los casos, realícense los cálculos dentro de la tolerancia de es= 0.001%.

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C A P í T U L O S E I S CASOS DE LA PARTE DOS:

RAíCES DE ECUACIONES

La finalidad de este capítulo es la de usar los procedimientos numéricos analizados en los capítulos 4 y 5 para resolver problemas reales de inge- niería. Los métodos numéricos son importantes en la práctica ya que fre- cuentemente los ingenieros encuentran problemas que no se pueden plantear desde un punto de vista analítico. Por ejemplo, algunos mode- los matemáticos que se pueden resolver analíticamente no son aplicables en los problemas prácticos. Debido a esto, se deben usar modelos más complicados. En estos casos, es conveniente implementar un método nu- mérico que se pueda usar en una microcomputadora. En otros casos, los problemas requerirán soluciones explícitas en ecuaciones muy complica- das (recuérdese la sección 11.1.2 y el ejemplo 4.5).

Los siguientes casos de estudio son una muestra de aquellos que en forma rutinaria se encuentran durante los estudios superiores o de licen- ciatura. MAS aún, son problemas representativos de aquéllos que se en- contrarán en la vida profesional. Los problemas van desde la ingeniería económica en general, hasta las especialidades de la misma: química, ci- vil, eléctrica y mecánica. Estos casos de estudio ilustran algunos de los factores de más importancia entre las técnicas numéricas.

Por ejemplo, el caso 6.1 hace uso de todos los métodos, con excep- ción del método de Newton-Raphson para analizar puntos de equilibrio que resulten económicos. El método de Newton-Raphson no se usó porque la función en an6lisis es difícil de derivar. Entre otras cosas, en el ejemplo se demuestra como puede divergir el método de la secante, si el valor inicial no se encuentra lo suficientemente cerca de la raíz.

El caso 6.2 tomado de la ingeniería química, muestra un ejemplo ex- celente de cómo se pueden aplicar los métodos para la búsqueda de raí- ces de fórmulas que se presentan en la práctica de la ingeniería. Además, este ejemplo demuestra la eficiencia del método de Newton-Raphson cuan- do se requiere un gran número de cálculos en la localización de la raíz.

LOS casos 6.3, 6.4 y 6 .5 son problemas de ingeniería de diseño, to- mados del área de civil, eléctrica y mecánica. El caso 6.3 aplica tres mé- todos diferentes para determinar las raíces de un modelo de crecimiento

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172 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

demográfico. En el cuso 6.4, se realiza un análisis semejante de un circui- to eléctrico. Finalmente, el caso 6.5 analiza las vibraciones de un auto- móvil. Además de analizar la eficiencia de cada uno de los métodos, este ejemplo tiene una característica adicional, que es la de ilustrar cómo los métodos gráficos sirven de ayuda en el proceso de localización de raíces.

CASO 6.1 ANALISIS DE PUNTO DE EQUILIBRIO (INGENIERíA EN GENERAL)

Antecedentes: en la práctica de la ingeniería óptima se requiere que los proyectos, productos y la planificación de los mismos sean enfocados de tal manera que resulten económicos. Por lo tanto, a un ingeniero con ex- periencia deben serle familiares los análisis de costos. El problema que se trata en esta sección se conoce como “problema de puntos de equili- brio”. Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienen valores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los cam- pos de la ingeniería. Aunque el problema se enfoca en términos persona- les, se puede tomar como prototipo de otros problemas de análisis de puntos de equilibrio, que se encuentran a menudo en la vida profesional.

Se está considerando la compra de una o dos microcomputadoras: La “Micro-uno’’ y la “Micro-dos”. En el cuadro 6.1 se encuentran resu- midas algunas características, los costos aproximados y los beneficios de cada una de ellas. Si se puede pedir un préstamo con un interés del 20% ( i = 0.20), ¿cuánto tiempo se deberá poseer las máquinas, de manera que tengan un valor equivalente? En otras palabras, ¿cuál es el punto de equilibrio medido en años?

Solución: como es común en problemas de economía, se tiene una mez- cla de costos presentes y futuros. Por ejemplo, en la figura 6.1 se mues- tra que la compra de la Micro-uno involucra un gasto inicial de $3 000. Además de este desembolso, también se requiere dinero para el mante-

CUADRO 6. l Costos y beneficios de dos microcomputadoras. Los signos negativos in- dican un costo o una perdida mientras que un signo positivo indica una ganancia

COMPUTADORA

Micro-uno Micro-dos

Costo de compra, $ -3000 Incremento en el mantenimiento del costo por año, $/año/año -200 Ganancias y beneficios anuales, $/año 1000

-1 0,000

-50

4000

Page 184: Metodos numericos para ingenieros

FIGURA 6.1 Diagrama de fluio de efectivos de costos y beneficias de la Micro-uno. La abscisa muestra el número de años que se posee la computadora. El fluio de efectivos se mide en lo ordenada, con los beneficios positivos y los costos negativos.

nimiento anual de la máquina. Debido a que estos costos tienden a aumen- tar a medida que la máquina se usa más y más, se supone que los Costos de mantenimiento crecen linealmente con el tiempo. Por ejemplo, alre- dedor del décimo año se requieren $2 O00 anuales para mantener la má- quina en condiciones de trabajo (Fig. 6.1). Finalmente y además de estos costos se deben deducir beneficios del propietario de la computadora. Las ganancias y las prestaciones derivadas de la Micro-uno se caracterizan por un ingreso anual constante de $ 1 000.

Para valorar las dos opciones estos costos se deben convertir en me- didas comparables. Una manera de hacerlo es expresando todos los cos- tos individuales como si fuesen pagos anuales, esto es, el costo equivalente por año sobre toda la vida útil de la computadora. Las ganancias y las prestaciones ya se encuentran en este formato. Se puede disponer de las fórmulas de economía para expresar los costos de compra y de manteni- miento de la misma forma. Por ejemplo, el costo de la compra inicial se puede transformar en una serie de pagos anuales mediante la fórmula (Fig. 6.2~) :

A, = P i (1 + i ) " (1 + i )" - 1

en donde A, es el monto del pago anual, P es el costo de la compra, i es la tasa de interés y n es el número de años. Por ejemplo, el pago

Page 185: Metodos numericos para ingenieros

174 M~TODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 6.2 Esquema gráfico del uso de una fórmula de economía, a) Tranforma- ción de un pago en una serie de pagos anuales equivalentes usando la ecuación (6.1) y b) transformación de una serie de gradiente aritmético en una serie de pagos anuales equivalentes usando la ecuación (6.2).

inicial de la Micro-uno es de $-3 000, en donde el signo negativo indica pérdidas. Si la tasa de interés es del 20% ( i = 0.2), entonces:

Ap = -3000 O.Z(l.2)" 1.2" - 1

Por ejemplo, si los pagos iniciales se extienden hasta 10 años (n = lo), se puede usar esta fórmula para calcular que el pago anual equivalente sería de $-715.57 por año.

A los costos de mantenimiento se les conoce como serie de gradiente aritmético porque crecen a un promedio constante. La conversión de es- tas series a una tasa anual A se puede calcular con la fórmula:

en donde G es la tasa de crecimiento en el mantenimiento. Como se puede ver en la figura 6.26 esta fórmula transforma el costo de mantenimiento creciente en una serie equivalente de pagos anuales constantes.

Estas ecuaciones se pueden combinar de forma tal que se pueda ex- presar el valor de cada computadora en términos de una serie uniforme de pagos Por ejemplo, para la Micro-uno:

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A,= -3 O00 0.2(1.2)" -200 [ " 1 1 + 1 O00 1.2" - 1 0.2 1.2" - 1

valor total = -costo de compra - costo de mantenimiento + ganancias

en donde A, denota el valor anual total. Agrupando términos, esta ecua- ción se puede simplificar:

-600( 1.2)" 200n A, = + 1.2" - 1 1.2" - 1 ~6.31

Si después de poseer la Micro-uno durante dos años se decide descartar- la, entonces sustituyendo n = 2 en la ecuación (6.3) resultará que el cos- to es de $1 055 por año. Si la computadora se descarta después de poseerla 10 años (n = lo), la ecuación muestra un costo de $330 por año.

De manera similar, para la Micro-dos se puede desarrollar una ecua- ción para el costo anual, dada por:

-2 OOO(1.2)" +

A , = 50n + 3750 1.2" - 1 1.2" - 1 ~6.41

Los valores de la ecuación (6.4) para n = 2 y n = 10 son de $-2 568 y $ + 1 461 por año, respectivamente. De esta manera, aunque la Micro- dos es más costosa en base a periodos cortos, si se posee por periodos largos, no sólo es más barata, sino que producirá ganancias al propieta- rio. En la figura 6.3a se muestran las ecuaciones (6.3) y (6.4) para varids valores de n .

La identificación del punto en el que las dos máquinas tienen valores iguales indica cuando la Micro-dos viene a ser la mejor compra. Gráfica- mente, esto corresponde a la intersección de las dos curvas en la figura 6.3~1. Desde un punto de vista matemático, el punto de equilibrio es el valor de n para el que las ecuaciones (6.3) y (6.4) son equivalentes, esto es:

-600(1.2)" + 200n - - -2 OOO(1.2)" + 50n +3 750 1.2" - 1 1.2" - 1 1.2" - 1 1.2" - 1

pasando todos los términos de un lado, el problema se reduce a encon- trar la raíz de la función:

- 1 400( 1.2)" f(n) = - 150n + 3 750 = O

1.2" - 1 - 1.2" - 1 ~6.51

Nótese que debido a la forma en que se ha derivado la ecuación, la Micro- uno es más efectiva en cuanto a costos cuando f (n) < O y la Micro-dos lo es cuando f (n) > O (Fig. 6.3b). Las raíces de la ecuación (6.5) no se pueden determinar analíticamente. Por el otro lado, los pagos anuales equi- valentes son fáciles de calcular dada una n. De esta forma, como en el

Page 187: Metodos numericos para ingenieros

1 76 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 6.3 a) Curvas del costo neto de las computadoras Micro-uno [Ec. (6.3)] y Micro-dos [Ec. (6.4)]. b) La función de punto de equilibrio [Ec. (6.5)J.

estudio de la sección 11.1.2 y el ejemplo 4.5, los aspectos considerados en la elaboración de este problema crean la necesidad de un planteamiento numérico.

Las raíces de la ecuación (6.5) se pueden calcular usando algunos de los métodos numéricos descritos en los capítulos 4 y 5. Se pueden aplicar los métodos que usan intervalos y el método de la secante con un esfuerzo mínimo, mientras que el método de Newton-Raphson es em- barazoso ya que consume mucho tiempo al determinar d f /dn de la ecua- ción (6.5).

En base a la figura 6.3, se sabe que la raíz se encuentra entre n = 2 y n = 10. Estos valores se pueden usar en el método de bisección. L a bi- sección de intervalos se puede llevar a cabo 18 veces para obtener un resultado en donde E, sea menor de 0.001%. El punto de equilibrio ocu- rre a los n = 3.23 años. Este resultado se puede verificar sustituyéndolo en la ecuación (6.5) para ver que f (3.23) = O.

Sustituyendo n = 3.23 ya sea en la ecuación (6.3) o en la (6.4)se muestra que en el punto de equilibrio el costo de cualquiera de ellas es

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CASOS DE LA PARTE DOS: RAíCES DE ECUACIONES 177

de $542 por año. Más allá de este punto, la Micro-dos es más efectiva en cuanto a costos. Por consiguiente, si se piensa comprar una máquina y poseerla por más de 3.23 años, la Micro-dos es la mejor compra.

El método de la regla falsa se puede aplicar fácilmente a este proble- ma. Se obtiene una raíz similar después de 12 iteraciones en el mismo intervalo inicial de 2 a 10. Por otro lado, el método de la secante conver- ge a una raíz de -24.83 con el mismo intervalo inicial. Sin embargo, si el intervalo se reduce desde 3 hasta 4, entonces el método de la secante converge a 3.23 en sólo cinco iteraciones. Es interesante notar que el método de la secante también converge en forma rápida si el intervalo inicial es de 2 a 3, el cual no encierra a la raíz. Estos resultados son típicos de los factores de importancia que se deben tomar en consideración y que se estudian posteriormente en el epílogo. Entonces el mejor método numérico para este problema depende del juicio emitido respecto a los factores de importancia, tales como eficiencia numérica, costo de las compu- tadoras y la confiabilidad del método.

CASO 6.2 LEYES DE LOS GASES IDEALES Y NO IDEALES (INGENIERíA QUíMICA) Antecedentes: la ley d e los gases ideales está dada por:

en donde p es la presión absoluta, V es el volumen y n es el número de moles. R es la constante universal de los gases y T es la temperatura ab- soluta. Aunque esta ecuación la usan ampliamente los ingenieros y cien- tíficos, sólo es exacta sobre un rango limitado de presión y temperatura. Más aún, la ecuación (6.6) es más apropiada para algunos gases que pa- ra otros.

Una ecuación alternativa del estado de los gases está dada por:

r6.71

a la que se le conoce con el nombre de ecuación de van der Waals. u = V / n es el volumen molal y a y b son constantes empíricas que de- penden de un gas en particular.

Un proyecto de ingeniería química requiere que se calcule exactamente el volumen molal (u) del bióxido de carbono y del oxígeno para combi- naciones diferentes de la temperatura y de la presión, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga. Asimismo, es importante examinar que tan bien se apega cada gas a la ley de los

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178 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

gases ideales, comparando los volúmenes molales calculados con las ecua- ciones (6.6) y (6.7). Se proporcionan los siguientes datos:

R = 0.082 054 1 . atm/(mol . K) a = 3.592 b = 0.042 67 bióxido de carbono

a = 1.360 b = 0.031 83

Las presiones de interés en el diseño son de 1, 10 y 100 atm. para com- binaciones de la temperatura de 300, 500 y 700°K.

Solución: los volúmenes molares de ambos gases se calculan con la ley de los gases ideales, con n = 1. Por ejemplo, si p = 1 atm y T = 300°K, entonces:

RT = 0.082 054 I atm 300 K n P mol . K I atm

v = - = -

v = 24.616 2 l/mol

Estos cálculos se repiten para todas las combinaciones de presión y tem- peratura y se presentan en el cuadro 6.2.

Los cálculos del volumen molar a partir de la ecuación de van der Waals se pueden llevar a cabo usando cualquier método numérico que encuentre raíces de los estudiados en los capítulos 4 y 5, de la siguiente manera:

CUADRO 6.2 Cálculos del volumen molar del caso de estudio 6.2

Volumen molal Volumen molal Volumen molal (ley de los (van der Waals) (van der

Temperatura Preridn gases ideales) bióxido de Waals) oxígeno K atm llmol carbono llmol llmol

300 1 10

1 O0 500 1

10 1 O0

700 1 10

1 O0

24.6162 24.5126 2.46 16 2.3545 0.2462 0.0795

4 1.0270 40.982 1 4.1027 4.0578 0.4 1 03 0.3663

57.4378 57.41 79 5.7438 5.7242 0.5744 0.5575

24.5928 2.4384 0.2264

4 1 .O259 4.1016 0.41 16

57.4460 5.7521 0.5842

Page 190: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE DOS: RA~CES DE ECUACIONES 1 79

En este caso, la derivada def ( u ) se determina fácilmente y es convenien- te implementar el uso del método de Newton-Raphson. La derivada de f respecto a u está dada por:

a 2ab f’(U) = p - - + - 3 u3

El método de Newton-Raphson se describe mediante la ecuación (5.6) como:

la cual se puede usar en el cálculo de la raíz. Por ejemplo, usando el valor inicial de 24.616 2, el volumen molal del bióxido de carbono a 300°K y a 1 atm se calcula como 24.512 6 I/mol. Este resultado se obtuvo des- pués de dos iteraciones y con un E,, menor de O. O01 %.

En el cuadro 6.2 se muestran resultados similares para todas las com- binaciones de presión y de temperatura para ambos gases. Se observa que los resultados obtenidos con la ecuación de van der Waals difieren en ambos gases de los de la ley de los gases ideales, de acuerdo a los valores específicos de p y de T. Más aún, ya que algunos de estos resul- tados son significativamente diferentes, el diseño de las vasijas que con- tendrán a los gases sería muy diferente, dependiendo de qué ecuación de estado se haya usado.

En este caso, al usar el método de Newton-Raphson se examinó una ecuación del estado gaseoso complicada. Los resultados variaron signifi- cativamente en varios casos usando la ley de los gases ideales. Desde un punto de vista práctico, el método de Newton-Raphson fue apropiado en este caso ya que f’ ( u ) fue fácil de calcular. De esta manera, se pueden explotar las propiedades de rápida convergencia del método de Newton- Raphson.

Además de demostrar su potencia en un simple cálculo, el método de Newton-Raphson ilustra en este caso de estudio lo atractivo que es cuando se requiere una gran cantidad de cálculos. Debido a la velocidad de las microcomputadoras, la eficiencia de cada uno de los métodos en la solución de la mayor parte de raíces de ecuaciones se vuelve indistin- guible en un cálculo simple. Aun la diferencia de decenas entre el méto- do eficiente de Newton-Raphson y el método poco. refinado de bisección no significa una gran pérdida de tiempo cuando se realiza un solo cálcu- lo. Sin embargo, supóngase que se desea calcular una raíz millones de veces para resolver un problema. En este caso, la eficiencia del método puede ser un factor decisivo al escogerlo.

Por ejemplo, supóngase que es necesario diseñar un sistema de con- trol automático computarizado de un proceso de producción de sustan- cias químicas. Este sistema requiere una aproximación exacta de volúmenes

Page 191: Metodos numericos para ingenieros

180 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

molales con base a un medio esencialmente continuo para fabricar conve- nientemente el producto final. Se instalan calibradores que proporcionan lecturas instantáneas de la presión y la temperatura. Se deben obtener evaluaciones de u para toda la variedad de gases que se usan en el proceso.

Para estas aplicaciones, los métodos que usan intervalos, tales como el de bisección o de la regla falsa, posiblemente consuman mucho tiem- po. Además, los valores iniciales que se requieren con estos métodos ge- nerarían un retraso en el procedimiento. Este inconveniente igualmente afecta al método de la secante, que también necesita dos valores iniciales.

En contraste, el método de Newton-Raphson requiere 6nicamente un valor inicial de la raíz. Se puede usar la ley de los gases ideales para obte- ner este valor al inicio del proceso. Después, suponiendo que el tiempo empleado sea lo bastante corto como para que la presión y la temperatu- ra no varíen mucho durante los cálculos, la solución de la raíz anterior se puede usar como valor inicial de la siguiente. De esta forma, se tendría disponible de forma automática un valor aproximado cercano a la solución, requisito indispensable en la convergencia del método de Newton-Raphson. Todas estas consideraciones favorecerán de manera considerable al método de Newton-Raphson en estos problemas.

CASO 6.3 DINÁMICA DEL CRECIMIENTO DEMOGRÁFICO (INGENIERíA CIVIL)

Antecedentes: la dinámica del crecimiento demográfico es de importan- cia en todos los planes de estudio de ingeniería. Los progamas de cons- trucción y de distribución de recursos en proyectos a gran escala, tales como el abastecimiento de agua y sistemas de transporte dependen en gran medida de las tendencias de la población. Además, las tendencias de otro tipo de poblaciones, tales como los microbios, son importantes en muchos procedimientos de ingeniería, como en el tratamiento de ba- sura, en el manejo de la fermentación y en la elaboración de productos farmacéuticos.

Los modelos de crecimiento en un grupo de microbios suponen que el promedio de cambio de la población (p) es proporcional a la población existente en un tiempo ( t ) :

La población crece en un medio en el que existe alimento suficiente de manera que k no es una función de la concentración. (Véase el caso 12.2 que muestra un ejemplo en donde k depende del nivel alimenticio.) Cuan- do el alimento no escasea, el crecimiento se limita sólo por el consumo de productos tóxicos o de espacio, si es que el tamaño de la población crece demasiado. Con el tiempo, estos factores retardan la tasa de creci-

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CASOS DE LA PARTE DOS: RAiCES DE ECUACIONES 181

miento de la población y la detienen completamente cuando ésta alcanza una densidad máxima de pmex. En este caso, se modifica la ecuación an- terior de la siguiente manera:

en donde las unidades de K son litros por célula por día. Esta ecuación diferencial se puede integrar de forma analítica dando:

en donde p ( t = O) = po. A la ecuación (6.9) se le conoce como el mo- delo de crecimiento logístico. Como se muestra en la figura 6.4, este mo- delo genera una curva de p ( t ) en forma de S. Como se puede ver, el modelo simula un crecimiento inicial lento, seguido por un periodo de crecimiento rápido y finalmente, un crecimiento limitado a una densidad demográfica muy alta.

Como ejemplo de aplicación de este modelo en el área de la ingenie- ría civil, considérese el crecimiento de una población bacteriológica en un lago. El crecimiento se comporta como lo define la ecuación (6.9). La población es pequeña en la primavera del año en donde f = O, p(f = O) = 10 células por litro. Es sabido que la población alcanza una densidad de 15 O00 células Dor litro cuando t = 60 días y que la tasa de crecimien-

FIGURA 6.4 Un modelo logístico de crecimiento demográfico. El modelo simuia un crecimiento inicial lento, después una aceleración en éI mismo seguido por un periodo de nivelación en una densidad poblacional alta.

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182 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

to K es de 2 X litros por célula por día. Se requiere calcular la den- sidad de la población bacterial cuando t = 90 días. Si su número excede de 40 O00 células por litro, entonces la calidad estándar del agua requie- re la implementación de algún procedimiento para disminuirlas y prote- ger a las personas que se introduzcan al agua.

Solución: sustituyendo la información conocida en la ecuación (6.9) se obtiene:

15 O00 = P m6x

I [6.10]

la cual tiene sólo una incógnita, pmdx. Si la ecuación (6.10) se pudiera resolver para pmAx, entonces p(t = 90) se podría determinar fácilmente de la ecuación (6.9). Sin embargo, ya que pmsx es implícita, no se puede obtener directamente de la ecuación (6.10). Por lo tanto, se debe usar un método numérico de los capítulos 4 y 5. No se usará el método de Newton- Raphson ya que la derivada de la ecuación (6.10) es difícil de determinar. Sin embargo, se pueden aplicar fácilmente los métodos de bisección, de la regla falsa y de la secante. Con un error relativo del 0.01 % los valores ini- ciales dados de 60 O00 y 70 O00 células por litro generan las siguientes apro- ximaciones de pmsx.

Método empleado Resultado lteracioner

Bisección 63 198 1 1 Regla falsa 63 199 5 Secante 63 200 4

Nótese que los métodos de la regla falsa y de la secante convergen a la mitad del número de iteraciones del método de bisección.

Ahora, de la ecuación (6.9), con pmdx = 63 200:

63 200 P(90) = = 58 930 células por litro

e-2x10-6(63 200)(90)

Este nivel demográfico sobrepasa el límite estándar en cuanto a calidad del agua que es de 40 O00 células por litro y por lo tanto, se debe tomar alguna medida de corrección.

Este ejemplo, ilustra la eficiencia computacional relativa de tres mé- todos diferentes para encontrar raíces de ecuaciones en un problema de diseño de ingeniería civil. Sin embargo, como se menciona anteriormen- te, el esquema general tiene una aplicación amplia en todos los campos

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CASOS DE LA PARTE DOS: RAiCES DE ECUACIONES 183

de la ingeniería que tengan que ver con el crecimiento de organismos, incluyendo a los humanos.

CASO 6.4 DISEÑO DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO (INGENIERíA ELÉCTRICA)

Antecedentes: los ingenieros electrónicos usan a menudo la ley de Kir- choff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos en esta- do estacionario (que no varían con el tiempo). En el caso 9.4 se analiza el comportamiento de estos estados estacionarios. Otro tipo de proble- mas son los de corriente momentánea e implica a los circuitos donde sú- bitamente suceden cambios temporales. Esta situación ocurre cuando se cierra el interruptor de la figura 6.5. En este caso, después de cerrar el interruptor hay un periodo de ajuste hasta que se alcanza un estado esta- cionario. La longitud de este periodo de ajuste está relacionada con las propiedades de almacenamiento de carga del capacitor y con el almace- namiento de energía dentro del inductor. El almacenamiento de energía puede oscilar entre estos dos elementos durante un periodo transitorio. Sin embargo, la resistencia en el circuito disipa la magnitud de las oscila- ciones.

El flujo de corriente a través de la resistencia causa una caída de vol- taje (V,) dado por:

VR = iR

en donde i es la corriente y R es la resistencia del circuito. Cuando las uni- dades de R e i son ohm y amperes, respectivamente, entonces la unidad de V es el volt.

De manera semejante, un inductor resiste el cambio en la corriente, de forma tal que la caída de voltaje (V,) al cruzarlo es de:

di vr = L- dt

, . A

Interruptor - Batería y ' ; v0

- -

7-4 , a Capacitor Inductor ' +

+

Resistencia

FIGURA 6.5 Un circuito eléctrico. Cuando se cierra el interruptor, la corriente experi- menta una serie de oscilaciones hasta que se alcance un nuevo estado estacionario.

Page 195: Metodos numericos para ingenieros

184 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

_l_____-~__ll l."""~ "" .~

donde t = O , q = qo = VoC, y Vo es el voltaje en la batería. La ecua- ción (6.11) describe la variación de la carga en el capacitor en función del tiempo. La solución q(t) se gráfica en la figura 6.6.

Un problema de diseño típico en ingeniería eléctrica, puede necesitar que se determina la resistencia apropiada para disipar energía a una velo- cidad constante, con los valores de L y C conocidos. En este caso se su- pone que la carga se debe disipar al 1% de su valor original (q/q,, = 0.01) en t = 0.05 S , con L = 5 H y C = lO-"F.

en donde L es la inductancia. Cuando las unidades de L e i son henrios y amperes, la unidad de V, es el volt y la unidad de t es el segundo.

La caída de voltaje a través del capacitor (V,) depende de la carga (4) sobre el mismo:

9 vc = c

en donde C es la capitancia. Cuando las unidades de carga se expresan en culembios, la unidad de C es el faradio.

La segunda ley de Kirchoff indica que la suma algebraica de las caí- das de voltaje en un circuito cerrado es cero. Después de cerrar el inte- rruptor se tiene:

di clt C

L - + R i + - = O 9

Sin embargo, la corriente está dada en función de la carga como:

I = - . d9 dt

Por lo tanto:

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se pue- de resolver usando los métodos de cálculo. La solución está dada por:

FIGURA 6.6 La carga en un capaci- tor en función del tiem- po que se presenta enseguida de cerro: el interruptor en la figura 6.5.

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CASOS DE LA PARTE DOS: RAiCES DE ECUACIONES 185

Solución: es necesario resolver para R la ecuación (6.11) , usando los va- lores conocidos de q , qo, L y C. Sin embargo, se debe emplear un mé- todo numérico ya que R es una variable implícita de la ecuación (6.11). Se usará el método de bisección para este propósito. Los otros métodos estudiados en los capítulos 4 y 5 también son apropiados, aunque el mé- todo de Newton-Raphson tiene desventajas debido a que la derivada de la ecuación (6.11) es muy complicada. Reordenando la ecuación (6.11) se obtiene:

o, usando los valores numéricos dados:

f (R ) = e-o.oo5R cos(d2000 - 0.01R2 0.05) - 0.01 C6.121

Examinando esta ecuación puede verse que un rango inicial razonable de R es de O a 400 Q (ya que 2 O00 - 0.01R2 debe ser mayor de ce- ro). La figura 6.7, gráfica de la ecuación (6.12), lo confirma. Con vein-

FIGURA 6.7 Gráfica de la ecuación (6.12) usada en la obtención de valores iniciales de R que encierren a la raíz.

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1 86 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

CASO 6.5

I resorteirnasa

'n corriente

circuito LR

FIGURA 6.8 Ejemplos de tres oscila- dores armónicos. Las fle- chas dobles indican las oscilaciones de cada sistema.

FIGURA 6.9

tiún iteraciones del método de bisección se obtiene R = 328.1515, con un error menor al 0.000 1%.

De esta forma, se puede especificar una resistencia con este valor en el diagrama de la figura 6.5 y esperar que la disipación sea consisten- te con los requisitos del problema. Este problema de diseño no se puede resolver eficientemente sin usar los métodos de los capítulos 4 y 5.

ANALISIS DE VIBRACIONES (INGENIERIA MECANICA) Antecedentes: las ecuaciones diferenciales se usan a menudo para mo- delar el comportamiento de sistemas en ingeniería. Uno de tales mode- los, que se aplica ampliamente en la mayor parte de los campos de la ingeniería, es el oscilador armónico. Algunos ejemplos bdsicos del oscila- dor armónico son el péndulo simple, una masa atada a un resorte y un circuito eléctrico inductor-capacitor (Fig. 6.8). Aunque estos son sistemas físicos muy diferentes, sus oscilaciones se pueden describir mediante un mismo modelo matemático. De esta manera, aunque este problema analiza el diseño de un amortiguador para un automóvil, el comportamiento ge- neral se aplica a una gran variedad de problemas en todos los campos de la ingeniería.

Como se ilustra en la figura 6.9, un conjunto de resortes sostienen un auto de masa m . Los amortiguadores presentan una resistencia al mo- vimiento del auto la cual es proporcional a la velocidad vertical (movi- miento ascendente-descendente) del mismo. La alteración del equilibrio del auto provoca que el sistema oscile como x@). En un momento cual; quiera, las fuerzas que actúan sobre la masa m son la resistencia de los resortes y la capacidad de absorber el golpe de los amortiguadores. La

Un auto de masa m.

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CASOS DE LA PARTE DOS: RAfCES DE ECUACIONES 187

resistencia de los resortes es proporcional a la constante de los mismos (k) y a la distancia al punto de equilibrio (x) :

Fuerza del resorte = " k x [6.13]

en donde el signo negativo indica que la fuerza de restauración regresa al auto a su posición de equilibrio. La fuerza de amortiguación está dada por:

dx dt

Fuerza de amortiguación = "c-

en donde c es un coeficiente de amortiguamiento y dx/dt es la velocidad vertical. El signo negativo indica que la fuerza de amortiguación actúa en dirección opuesta a la velocidad.

Las ecuaciones de movimiento para el sistema están dadas por la se- gunda ley de Newton (F = ma), que en este problema está expresada como:

d2x dx dt dt

m - - - "c - + ( - W

Masa x aceleración = fuerza de amortiguación + fuerza del resorte

O

d2x c dx k - + " - + " X = o dt2 m dt m

Esta es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se pue- de resolver con los métodos del cálculo. Por ejemplo, si el auto encuen- tra por casualidad un hoyo en el camino en t = O de tal forma que se desplaza del punto de equilibrio x = x. y dx/dt = O , entonces:

x( t ) = e-"' (xo cos pt +

donde n = c / ( 2 m ) , p =

- sen pt) n

P [6.14]

dk/m-c2/(4m2) v k/m > c2/(4m2). La ecuación (6.14) proporciona la velocidad vertical del auto en función del tiempo. Los valores de los parámetros son c = 1.4 por lo7 g/s , m = 1 . 2 por lo6 g y k = 1.25 por lo9 9/s2. Si x. = 0.3. las consideracio- nes de diseño en la ingeniería mecánica requieren que se den los estima- dos en las tres primeras ocasiones que el auto pase a través del punto de equilibrio.

Page 199: Metodos numericos para ingenieros

1 88 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Solución: este problema de diseño se puede resolver usando los méto- dos numéricos de Tos capítulos 4 y 5. Se prefieren los métodos que usan intervalos y el de la secante ya que la derivada de la ecuación (6.14) es complicada.

Las aproximaciones a los valores iniciales se obtienen fácilmente con base a la figura 6.10. Este caso de estudio ilustra cómo los métodos gráficos proporcionan a menudo información muy importante para apli- car satisfactoriamente los métodos numéricos. La gráfica ilustra que este problema es complicado debido a la existencia de varias raíces, por lo que en este caso, se deben usar intervalos pequeños para evitar traslapes de raíces.

En el cuadro 6.3 se enlistan los resultados obtenidos por los métodos de bisección, la regla falsa y la secante, con un criterio de paro del O. 1 % . Todos los métodos convergen rápidamente. Como era de esperarse, los métodos de la regla falsa y de la secante son más eficientes que el de bi- sección.

Nótese que para todos los métodos los errores relativos porcentuales aproximados son mayores que los errores reales. De esta forma, los re- sultados son exactos al menos hasta el criterio de paro, el O. 1 %. Sin em- bargo, puede observarse también que el método de la regla falsa y el de

FIGURA 611 O Gráfico de lo posición de un amortiguador respecto al tiempo después que lo rueda del auto cae en un hoyo del camino.

". " . .

Page 200: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE DOS: RAíCES DE ECUACIONES 189

CUADRO 6.3 Resultados obtenidos al usar los m6todos de bisecciin, regla falsa y de la secante pa- ra localizar las primeras tres raíces de las vibraciones de un amortiguador. Se u d un crfterio de paro del 0.1 para obtener estos resultados. N6tese que los valores exac- tos de las raíces son 0.055 209 532 9, 0.1 54 178 13 y 0.253 146 726

~ -~

ERROR RELATIVO PORCENTUAL

Valor inicial Valor inicial Aproximaciin Número de MBtodo inferior superior a la M ~ Z iteraciones Aproximado Verdadero

Bisección 0.0 o. 1 0.0552246 11 0.088 0.027 0.1 0.2 0.1541992 10 0.063 0.014 0.2 0.3 0.2533203 9 0.077 0.069

Regla 0.0 0.1 0.0552095 5 0.002 0.0001 falsa o. 1 0.2 O. 1541 790 4 0.069 0.0006

0.2 0.3 0.2531475 4 0.043 0.0003 Secante 0.0 o. 1 0.0552095 5 0.038 0.0001

o. 1 0.2 0.1541780 5 0.020 0.0001 0.2 0.3 0.2531465 5 0.017 0.0001

la secante son muy conservadores en esta relación. Recuérdese el aná- lisis de la sección 4.3 en que el criterio de paro constituye esencial- mente una aproximación a la diferencia con la iteración anterior. De esta forma, para esquemas de convergencia rápida como los métodos Cte la regla falsa y de la secante, la mejora en exactitud entre dos iteraciones sucesivas es tan grande que E" será, en general, mucho menor que E,. El significado práctico de este comportamiento es de poca importancia cuando se va a determinar sólo una raíz. Sin embargo, si se requiere cal- cualar varias rakes, la convergencia rápida viene a ser una propiedad muy valiosa como para tomarla en cuenta cuando se escoge un método en particular.

PROBLEMAS

Ingeniería en general

6.1 Usando los programas propios, reprodúzcanse los cálculos realizados en el caso 6.1.

6.2 Realícense los mismos cálculos del caso de estudio 6.1, pero usando una tasa de interés del 17% ( i = 0.17). Si es posible, úsense los programas propios para determinar los puntos de equilibrio. De otra manera, úsese cualquiera de los mé- todos analizados en los capítulos 4 y 5 y realícense los cálculos. Justifíquese el uso del método escogido.

6.3 En el caso 6.1, determínese el número de años que se debe poseer la Micro dos para que genere ganancias. Esto es, calcúlese el valor de n en el cual A, de la ecuación (6.4) sea positivo.

Page 201: Metodos numericos para ingenieros

190 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

6.4 Usando un esquema similar al del caso 6.1, se puede desarrollar la siguiente ecua- ción para determinar el costo anual neto de una microcomputadora:

175n -3000(1.2), A" +- + 5000

12" - 1 12" - 1 Encuéntrese el valor de n tal que A, sea cero.

6.5 Supóngase que se desea comprar un automóvil y est6 limitado a dos opciones. Como en el caso 6.1, el costo anual neto de poseer cualquiera de los dos vehicu- los está compuesto por el costo de compra, costo de mantenimiento y de las ga- nancias:

Modelo de lu/o Modelo econ¿mico

Costo de compra, $ - 15,000 -5000 Costo de mantenimiento, $/año/aiio -400 -200 Ganancias anuales y beneficios, $ 7500 3000

Si la tasa de interés es del 12.5% ( i = 0.125), calcular el punto de equilibrio (n) para los automóviles.

6.6 Si se compra una pieza de equipo en $20 O00 en abonos, pagando $5 O00 duran- te 5 años. ¿Qué tasa de interés se está pagando? La fórmula que relaciona el costo actual (P), los pagos anuales ( A ) , el número de años (n) y la tasa de interés es:

A = P i(l + i ) "

(1 + i ) "

6.7 Debido a que las tablas de economía se desarrollaron hace mucho tiempo, no se programaron para las tasas altas de interés que prevalecen hoy en día. Además, no se planearon para manejar tasas de interés fraccionarias. Como e n el problema siguiente, se pueden usar métodos numéricos para deteminar las estimaciones eco- nómicas en estas situaciones.

Un nuevo centro de diversiones cuesta $10 millones de pesos y produce una ganancia de $2 millones. Si la deuda se debe pagar en 10 años ¿a qué tasa de interés debe hacerse el préstamo? El costo actual (P) , el pago anual (A) y la tasa de interés (i) se relacionan entre sí mediante la siguiente fórmula:

P (1 + i)" - 1 -

A - -

i ( l + i ) "

donde n es el número de pagos anuales. Para este problema,

P 10000000

A 2000000 " - = 5

Por lo tanto, la ecuación se transforma en:

( 1 + i ) ' O - 1 5 =

i ( 1 - i)

Page 202: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE DOS: RAiCES DE ECUACIONES 191

La tasa de interés que satisface esta ecuación se puede determinar encontrando la raíz de:

j( i) = (1 + ¡)'O - 1

i ( l + i) - 5

a) Dibújese j(i) contra i y para obtener una estimación gráfica de la raíz. b) Cacúlese i usando el método de bisección (contar las iteraciones). c) Calcúlese i usando el método de la regla falsa (contra las iteraciones) En los incisos (b) y (c) úsense los valores iniciales de i = 0.1 y 0.2. Obténgase un nivel del error del 2% en ambos casos.

Ingeniería química

6.8 Usando los programas propios, realícense los cálculos del caso 6.2.

6.9 Ejecútense los mismos cálculos del caso 6 .2 , pero con el alcohol etílico (a = 12.02 y b = 0.084 07) a una temperatura de 350" K y una p de 1.5 atm. Compárense los resultados con los de la ley de los gases ideales. Si es posible, úsense los pro- gramas propios para determinar el volumen molar. De otra forma, úsense cualquier- ra de los métodos numéricos analizados en los capítulos 4 y 5 para realizar los cálculos. Justifíquese el método escogido.

6.1 O Repítase el problema 6.9 con óxido nitroso (a = 3.782 y b = 0.044 15) a una temperatura de 450" K y una p de 2 atm.

6.11 La temperatura (en grados Kelvin) de un sistema, varía durante el día de acuer- do con:

T = 400 + 200 COS ~

27rt

1440 en donde t se expresa en minutos. La presión sobre el sistema esta dada por p = e-t'1440. Desarróllese un programa que calcule el volumen molar del oxi- geno en intervalos de un minuto a lo largo del día. Grafíquense los resultados. Si se tiene capacidad gráfica en la computadora grafíquense los datos. Si no es así, grafíquense los resultados a intervalos de 60 minutos. Los antecedentes de este problema se pueden econtrar en el caso 6.2 .

6.12 En ingeniería química, los reactores de flujo (es decir, aquéllos en que un fluido va de un extremo al otro con una mezcla mínima a lo largo del eje longitudinal) se usan a menudo para convertir reactivos en productos. Se ha determinado que la eficiencia de la conversión se puede mejorar a veces reciclando una parte del flujo del producto de manera que regrese a la entrada para un paso adicional a través del reactor (Fig. P6. 12). La tasa de reciclaje se define como:

R = volumen de fluido regresado a la entrada volumen de fluido que deja el sistema

Supóngase que se est& procesando una sustancia química A para generar un pro- ducto B. Para el caso en que B de acuerdo a una reacción autocatalítica.

Page 203: Metodos numericos para ingenieros

192 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA P6.12 Representación esquemática de u n reactor de fluio con reciclaje.

(esto es, en la que uno de los productos actúa como catalizador o de estimulante en la reacción), o

A + B - B + B

se puede demostrar que una tasa óptima de reciclaje debe satisfacer

en donde X,, es la fracción del reactante A que se convierte al producto B. La ta- sa óptima de reciclaje corresponde a un reactor de tamaño mínimo, necesario para alcanzar el nivel de conversión deseado.

Úsese el método de bisección para determinar las tasas de reciclaje necesarias que minimicen al tamaño del reactor en conversiones fraccionales de

U) X,, = 0.99 b)X, = 0.995 c)XA/ = 0.999

6.13 En un proceso químico, el vapor de agua (HzO) se calienta a una temperatura lo suficientemente alta para que una porción significativa del agua se disocie o se rompa en partes para formar oxígeno (O,) e hidrógeno (Hz):

Si se supone que es la única reacción que se lleva a cabo, la fracción molar (x) de HzO que se separa puede representarse como:

k, = - 1 - x

[P6.13]

en donde k, es la constante de equilibrio de la reacción y p t es la presi6n total de la mezcla. Si p t = 2 atm. y k, = 0.045 68, determínese el valor de x que satisfa- ce a la ecuación (P6. 13).

Ingeniería civil

6.14 Usando los programas propios, repítanse los cálculos del caso 6 .3

Page 204: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE DOS: RAíCES DE ECUACIONES 193

6.15 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.3, pero con una tasa de crecimiento de 1.5 por lo6 litros por célula por día.

6.17 La concentración de la bacteria contaminante C en un lago decrece de acuerdo a la relación:

Determínese el tiempo requerido para que la bacteria se reduzca a 10, usando a) un médoto gráfico y b) el método de Newton-Raphson.

6.18 Muchos campos de la ingeniería requieren estimaciones exactas, de la población. Por ejemplo, para la transportación, los ingenieros consideran necesario determi- nar por separado la tendencia del crecimiento demográfico de una ciudad y de los suburbios adyacentes. La población del área urbana declina en función del tiempo de acuerdo con

mientras que la población suburbana crece, de acuerdo a

en donde Pu,m6x, k,, Pu,mín, , Ps,max, Po y k, son parámetros derivados de forma empírica.

Determínese el tiempo y los valores correspondientes de P,(t) y de P,(t) cuan- do las poblaciones son iguales. Los valores de los parámetros son Pu,,,& = 60 000; k, = 0.04 año"; Pu,mín = 12 000; Ps,mdix = 5 O00 y k, = 0.06 año"' Para obtener las soluciones, úsese a) un método gráfico y b) el método de la regla falsa.

6.19 El movimiento de una estructura se define mediante la siguiente ecuación para una oscilación amortiguada:

y = 10e-kf cos wt

donde k = 0.5 y w = 2. a) osese el método gráfico, para obtener una estimación inicial del tiempo necesa- rio para que el desplazamiento baje hasta 4. b) Úsese el método de Newton-Raphson para determinar la raíz hasta un E, = 0.01%. c) Úsese el método de la secante para determinar la raíz hasta un es = 0.01%.

Page 205: Metodos numericos para ingenieros

194 METODOS NUMtRICOS PARA INGENIEROS -

6.20 La figura P6.20 muestra un canal abierto de dimensiones constantes con un área transversal A. Bajo condiciones de flujo uniforme, se cumple la siguiente relación basada en la ecuación de Manning:

23 Q = "( ) su2

n B + 2y, [P6.7]

en donde Q es el flujo, y, es la profundidad normal, B es el ancho del canal, n es un coeficiente de rugosidad usado para medir los efectos de la fricción del material en el canal y S es la pendiente del canal. La ecua- ción se usa en ingeniería de fluidos y recursos de agua para determinar la profun- didad normal. Si este valor es menor que la profundidad crítica:

FIGURA P6. 20.

en donde g es la aceleración de la gravedad (980 cm/s2), entonces el flujo es sub- crítico.

Úsese un método gráfico y el método de bisección para determinar y,, si Q = 14.15 m3/s; B = 4.572 m; n = 0.017 y S = 0.001 5. Señálese si el flujo es sub o supercrítico.

Ingeniería eléctrica

6.21 Úsense los programas propios para repetir los cálculos del caso 6.4.

6.22 Efectúense los mismos cálculos del caso 6 . 4 suponiendo que la carga se debe disi- par al 2% de su valor original en 0.04 s.

6.23 Efectúense los mismos cálculos del caso 6 .4 , determinando el tiempo necesario para que el circuito disipe el 10% su valor original, dado R = 300 Q C = lop4 F y L = 4 H .

6.24 Efectúense los mismos cálculos del caso 6 . 4 determinando el valor de L necesa- rio para que el circuito disipe al 1% de su valor original en t = 0.05 S, dado R = 300 Q y c = F.

6.25 Una corriente oscilatoria en un circuito eléctrico se describe mediante

I = 1Oe" sen(27rt)

en donde t está dado en segundos. Determínense todos los valores de t tales que I = 2.

Ingeniería mecánica

6.26 Usando los programas propios, repítanse los cálculos realizados en el caso 6 . 5 .

6.27 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5, usando c = 1.5 por lo7 g/s, k = 1.5 por lo9 g/s2 y m = 2 por lo6 g .

Page 206: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE DOS: RAíCES DE ECUACIONES 195

6.28 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5, pero determinando el valor de k de forma tal que la primera raíz se encuentre en t = 0.08 s.

6.29 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5, pero determinando el valor de m de tal forma que la primera raíz se encuentre en t = 0.04 s.

6.30 Efectúense los mismos cálculos del caso 6.5 pero determinando el valor de c de tal forma que la segunda raíz se encuentre en t = 0.2 s.

6.31 Léanse todos los casos del capítulo 6. En base a la lectura y a la experiencia obte- nida, concíbase un caso de estudio en cualquier campo de la ingeniería. Esto im- plica la posibilidad de modificar o expresar de forma diferente alguno de los casos anteriores. Sin embargo, también puede ser totalmente original. AI igual que los ejemplos anteriores, se debe redactar desde el contexto de los problemas de inge- niería y debe demostrar el uso de los métodos numéricos en la solución de raíces de ecuaciones. Descríbanse los resultados empleando los casos anteriores como modelo.

Page 207: Metodos numericos para ingenieros
Page 208: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO: PARTE I I

11.4 ELEMENTOS DE JUICIO

El cuadro 11.3 proporciona un resumen de los fac- tores de mayor importancia que se emplean en la solución de raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentales. Aunque los métodos gráficos con- sumen tiempo, son muy útiles para comprender el comportamiento de la función y para identificar valores iniciales y problemas potenciales, como las raíces múltiples. Par lo tanto, si el tiempo lo permi- te, un bosquejo rápido (o mejor aún, una gráfica por computadora) ayuda a relacionar información útil asociada al comportamiento de la función.

Los métodos numéricos se dividen en dos catego- rías generales: métodos que usan intervalos y mé- todos abiertos. Los primeros requieren dos valores iniciales que contengan a la raíz. Esta conten- ción" se respeta a medida que la solución avan- za, y de esta forma, estos métodos siempre son convergentes. Sin embargo, tiene el inconvenien- te que la velocidad de convergencia es demasia- do lenta. De los métodos que usan intervalos, el método de la regla falsa, en general, es el méto- do de preferencia ya que en la mayor parte de los problemas converge mucho más rápido que el método de bisección.

# I

Los métodos abiertos se distinguen de los que usan intervalos en que requieren información únicamen- te de un punto (o de dos, pero que no contengan a la raíz necesariamente) para extrapolar una nue- va aproximación a la raíz. Esta propiedad es una espada de doble filo. Aunque conduce a una con- vergencia más rápida, también permite la posibi- lidad de divergencia. En general, la convergencia de los métodos abiertos depende parcialmente de la calidad del valor inicial. Entre más cercano se encuentre éste de la raíz, más probable es que con- verja a la misma.

De los métodos abiertos, el de Newton-Raphson se usa más a menudo, debido a su propiedad de convergencia cuadrática. Sin embargo, su mayor desventaja estriba en que la derivada de la fun-

Page 209: Metodos numericos para ingenieros

198 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

I

- e C

S

O O

M

._ W 3

z m

O U .-

i O C +

2

N

Page 210: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO PARTE I I 1 99

11.5

11.6

ción se debe obtener de forma analítica. Para algunas funciones esto es impráctico. En estos casos, el método de la secante proporciona una alternativa viable empleando un método de diferencias finitas para representar la derivada. Debido a la aproximación, la velocidad de convergencia del método de la secante es menor que la del método de Newton-Raphson. Sin embargo, a medida que la aproximación a la raíz se hace más y más exacta, la aproximación a la derivada se convierte en una mejor representación de la derivada exacta y la ve- locidad de convergencia aumenta rápidamente. En el caso de raíces múltiples, se puede usar el método de Newton-Raphson modificado para alcanzar una convergencia rápida. Sin embargo, este método requiere de una expresión analítica de la primera y la segunda de- rivadas.

Todos los métodos numéricos son fáciles de programar sobre una mi- crocomputadora y requieren de un tiempo mínimo para determinar una raíz. En base a esto, se concluye que los métodos tales como la bisección son suficientes para propósitos prácticos. Esto sería verda- dero si se estuviese interesado únicamente en una raíz de una ecua- ción. Sin embargo, existen muchos casos dentro de la ingeniería en donde se requiere encontrar varias raíces en cuyo caso la velocidad viene a ser un factor muy importante. En estos casos, los métodos lentos consumen mucho tiempo y por lo tanto se vuelven costosos. Por el otro lado, los métodos rápidos pueden divergir y los retardos ocasio- nados por esto se pueden volver también costosos. Algunos algorit- mos pretenden aprovechar las ventajas de ambos métodos, empleando inicialmente un método que use intervalos para acercarse a la raíz y en ese momento cambiar a un método abierto para refinar rápida- mente la raíz. Mientras se use sólo un método o una combinación de ellos, los factores a tomarse en consideración entre la convergencia y la velocidad son la base en la elección del método para localizar raíces.

RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES

El cuadro 11.4 resume la información más importante que se analiza en la parte II. Este cuadro se puede consultar para tener acceso rápi- do a alguna relación o fórmula importante.

MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES

Los métodos de este capítulo han sido limitados para determinar las raíces de una ecuación algebraica o trascendental, basados en el co-

Page 211: Metodos numericos para ingenieros

200 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 11.4 Resumen de la informacidn más importante presentada en la parte I1

Mdtodo Interpretación Errores y

Formulación gráfica criterios de paro

MOtodos que usan intervalos:

Bisección

Regla falsa

xr = - x/ i- xu 2 Criterio de paro:

Newton-Raphson

Métodos abiertos:

Secante

Criterio de paro:

nueva pesada

Criterio de paro: 1 x;+;,+; x, 1 Error: E,,.l :

100% I e,

= O(€?)

Criterio de paro:

Page 212: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO PARTE II 20 1

nocimiento previo de su posición aproximada. Existen otras técnicas para deteminar raíces complejas y todas las raíces de un polinomio. Algunas referencias recomendables al respecto son Ralston y Rabi- nowitz (1978) y Carnahan, Luther y Wilkes (1969). James, Smith y Wolford (1 977) y Gerald y Wheatley (1 984) resumen algunos de los métodos y proporcionan sus programas.

En cuanto a técnicas específicas el método de Newton-Raphson se pue- de usar en ciertos casos para localizar raíces complejas en base a una aproximación inicial compleja. Ya que la mayor parte de las compu- tadoras no llevan a cabo operaciones complejas, algunas veces el mé- todo se ve limitado. Sin embargo, Stark (1 970) ilustra una manera de eludir este dilema.

El método de Muller es parecido al método de la regla falsa sólo que este usa interpolación cuadrática, en vez de lineal, para localizar la raíz. Este planteamiento se puede emplear en la determinación tanto de raíces complejas como de reales (Muller, 1956; Gerald y Whea- tley, 1984; Rice, 1983).

Existen varios métodos para determinar todas las raíces de un poli- nomio. El método de Bairstow requiere una buena aproximación ini- cial para la localización eficiente de raíces (Gerald y Wheatley, 1984 y James, Smith y Wolford, 1977). El método de Graeffe (Scarborough, 1966 y James, Smith y Wolford, 1977) y el algoritmo de/ cociente de diferencias (QD) (Henrichi, 1964 y Gerald y Wheatley, 1984) deter- minan todas las raíces sin una aproximación inicial. Ralston y Rabino- witz (1978) y Carnahan, Luther y Wilkes (1969) contienen también análisis de los métodos mencionados anteriormente, así como de las otras técnicas para la localización de las raíces de un polinomio.

En resumen, el análisis anterior va enfocado a proporcionar al lector formas de explorar más a fondo los temas. Además, todas las refe- rencias anteriores proporcionan descripciones de las técnicas bási- cas cubiertas en la parte I I . Es importante que se consulten estas fuentes de información para ampliar el conocimiento de los métodos numéri- cos en la localización de raíces.*

* El autor hace aquí sólo una referencia a los libros, al final del texto se presenta una bibliogra- fía completa.

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104 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

cuatro o más ecuaciones la solución se torna difícil y se debe utilizar una computadora. Históricamente, la imposibilidad de resolver estos sistemas a mano, excepto sistemas muy pequeños, limitó el alcance de problemas dirigidos a muchas aplicaciones de ingeniería.

Antes del uso de las computadoras, las técnicas para solucionar siste- mas de ecuaciones algebraicas lineales requerían mucho tiempo y eran muy difíciles. Estos planteamientos creaban restricciones sobre la crea- tividad ya que los métodos eran difíciles de implementar y de enten- der. Be ahí que se hacía hincapié en las técnicas, a costa de otros aspectos del proceso de solución al problema, tales como la formula- ción y la interpretación (recuérdese la figura 1.1 y el análisis que la acompaña).

El advenimiento de computadoras personales de fácil acceso hace po- sible y práctica la solución de grandes sistemas de ecuaciones alge- braicas lineales. De esta manera, se pueden plantear problemas más complejos y más realistas. Además, habrá más tiempo de examinar las habilidades creativas ya que se hará más hincapie en la formula- ción e interpretación del problema.

FIGURA 1 1 1 . 1 Dos tipos de sistemas que pueden ser modelados usando sistemas de ecua- ciones algebraicas lineales: a) sistema macrovariable que involucra un conjunto acoplada de componentes finitas y b) sistema microvariable que involucra continuidad.

Page 216: Metodos numericos para ingenieros

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 205

I I I . 1 . 2 Ecuaciones algebraicas lineales y su práctica en la ingeniería

Muchas de las ecuaciones fundamentales de la ingeniería se basan en las leyes de conservación (recordar el cuadro 1 1 . 1 ) . Algunas canti- dades familiares que forman parte de estas leyes son la masa, la fuerza, la energía y el momento. En términos matemáticos, estos principios llevan a ecuaciones de equilibrio que estudian el comportamiento del sistema; estas ecuaciones consideran las incógnitas a obtener del mo- delo matemático: los niveles o respuestas de la cantidad que se está modelando, las propiedades o características del sistema, y los estímulos externos que actúan sobre el sistema.

Como un ejemplo, la conservación de la masa se puede usar para formular un balance de masa en un conjunto de reactores químicos (Fig. Ill. 1 a). En este caso la cantidad que se modela es la masa de la sustancia en cada reactor. Las propiedades del sistema son las ca- racterísticas de la reacción de la sustancia además de los tamaños de los reactores y la velocidad de flujo. Los estímulos externos son los suministros de sustancias al sistema.

En la parte anterior del libro, se ve cómo sistemas de un solo compo- nente generan una ecuación que se puede resolver con las técnicas de localización de raíces. Los sistemas con componentes múltiples ge- neran un conjunto de ecuaciones matemáticas acopladas que deben resolverse simultáneamente. Las ecuaciones están acopladas porque las partes individuales del sistema influyen sobre otras partes. Por ejem- plo, en la figura 1 1 1 . 1 a, el reactor 4 recibe sustancias de los reactores 2 y 3. En consecuencia, su respuesta depende de la cantidad de sus- tancia de estos reactores.

Cuando estas dependencias se expresan en forma matemática, las ecua- ciones resultantes, a menudo, son de la forma algebraica de la ecuación (Ill. 1 ). Las x , usualmente, miden las magnitudes y respuestas de los componentes individuales. Con la figura Ill.la como ejemplo, x, pue- de medir la cantidad de masa en el primer reactor, x:, la del segun- do, etcétera. Las a, representan normalmente las propiedades y características que se refieren a las iteraciones entre las componen- tes. Por ejemplo, las a en la figura Ill. 1 a pueden reflejar las velocida- des de flujo de masa entre los reactores. Finalmente, las c representan los estímulos externos que actúan sobre el sistema, tal como los sumi- nistros de sustancias en la figura 111.1 a. Los casos de estudio en el ca- pítulo 9 muestran otros ejemplos de tales ecuaciones, derivadas de la práctica de la ingeniería.

Los problemas de componentes múltiples como los tipos anteriores re- sultan de modelos matemáticos discretos (macro-) o continuos

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206 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS -__

111.2

(micro-) (Fig. 1 1 1 . 1 ) . Los problemas de variables discretas implican componentes finitos acoplados como las armaduras (caso 9.3)) reactores (Fig. III.la) y circuitos eléctricos (caso 9.4). Estos tipos de problemas usan modelos que proporcionan a grandes rasgos el comportamien- to de un sistema en función de ciertas variables.

Por el contrario, los problemas microescalados intentan describir las características de los sistemas con una base continua o semicontinua. La distribución de sustancia sobre un reactor rectangular alargado (Fig. II I. 1 b) es un ejemplo de un modelo de variable continua. Las ecua- ciones diferenciales derivadas de las leyes de conservación especifi- can la distribución de la variable dependiente para tales sistemas (caso 9.2). Estas ecuaciones diferenciales se pueden resolver numéricamente para convertirlas a un sistema equivalente de ecuaciones algebrai- cas simultáneas. La solución de este conjunto de ecuaciones repre- senta una importante aplicación en el área de ingeniería para los métodos de los capítulos siguientes. Estas ecuaciones están unidas por- que las varihbles en cierta posición dependen de las variables de re- giones adyacentes. Por ejemplo, la concentración a la mitad del reactor es una función de la concentración en regiones adyacentes. Se pue- den desarrollar ejemplos similares para la distribución de la tempe- ratura o del momento.

Además de los sistemas físicos, las ecuaciones algebraicas lineales si- multáneas también aparecen en una variedad de contextos en pro- blemas matemáticos. Esto resulta cuando se requiere que las funciones matemáticas satisfagan varias condiciones de manera simultánea. Ca- da condición da como resultado una ecuación que contiene coeficientes conocidos y variables incógnitas. Las técnicas expuestas en esta par- te se pueden usar para encontrar los coeficientes de los sistemas cuando las ecuaciones sean lineales y algebraicas. El análisis de regresión (ca- pítulo 10) y la interpolación cúbica segmentaria (spline, capítulo l l ) son algunas de las técnicas ampliamente usadas que utilizan ecuacio- nes simultáneas.

FUNDAMENTO§ MATEMÁTICOS

En todas las partes de este libro se requieren algunos fundamentos matemáticos. Son últiles, en la parte Ill, la notación matricial y el ál- gebra, ya que ofrecen una forma concisa de representar y manipular sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Si se está familiarizado con las matrices, puede pasarse por alto la sección 111.3. Para quie- nes no están familiarizados o requieren una repasada, el siguiente material proporciona una breve introducción al tema.

Page 218: Metodos numericos para ingenieros

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 207

111.2.1 Notación matricial

Una matriz-consta de un arreglo rectangular de elementos represen- tados por un símbolo simple. Como se puede ver en la figura 111.2, [A] es la notación abreviada para la matriz y uii representa un ele- mento individual de la matriz.

Al conjunto horizontal de elementos se le llama renglón y al conjunto vertical se le llama columna. El primer subíndice i siempre denota el número del renglón en que se encuentra el elemento. El segundo sub- índice j denota la columna. Por ejemplo, el elemento 023 está en el renglón 2 y en la columna 3.

La matriz de la figura 111.2 tiene m renglones y n columnas y se dice que es dimensión m por n (o m X n). Se le conoce como una matriz m por n.

Las matrices con dimensión m = 1 en el renglón, tales como

[B] = [b,b2 . . . b"]

se les llama vectores renglón. Nótese que por simplicidad, se omite el primer subíndice.

Las matrices con dimensión n = 1 en la columna, tales como

FIGURA 111.2 Una matriz.

Page 219: Metodos numericos para ingenieros

208 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

se les conoce como vectores columna. Por simplicidad se omite el se- gundo subíndice.

A las matrices donde m = n se les llama matrices cuadradas. Por ejem- plo, una matriz 4 por 4 es

a11 a12 a13 a14

[Al = a21 a22 023 0 2 4

[:: 2 2: 24 Se le llama diagonal principal de la matriz a la diagonal consistente de los elementos a , , , aZ2, q 3 y ad4.

Las matrices cuadradas son particularmente importantes en la solu- ción de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas. Para tales siste- mas, el número de ecuaciones (correspondiente a los renglones) y el número de incógnitas (correspondiente a las columnas) deben ser iguales en orden para que sea posible una solución única. Por consiguiente, las matrices cuadradas se encuentran al trabajar con tales sistemas. Al- gunos tipos especiales de matrices se describen en el recuadro 1 1 1 . 1 .

RECUADRO 1 1 1 . 1 Tipos especiales de matrices cuadradas

Hay algunas formas especiales de matrices cuadradas Nótese que se deian en blanco los bloques grandes de que son importantes y se deben mencionar: elementos que son cero.

Una matriz simétrica es aquella donde ai; = qij para Una matriz identidad es una matriz diagonal donde to- toda i y toda ;. Por ejemplo, dos los elementos de la diagonal principal son iguales

a 1 , como en

[A ] = [i 1 a] [/I = r l l 1

1 11 es una matriz simétrica 3 por 3.

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada donde to- tiene propiedades a la unidad. dos los elementos fuera de la diagonal principal son iguales a cero, como en

El símbolo [ I ] denota la matriz identidad. Esta matriz

Una matriz triangular superior es aquella donde todos sus elementos baio la diagonal principal son cero, como

[all all a13 a141

[Al = I a23 a33 a34 I

L (7441

Page 220: Metodos numericos para ingenieros

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 209

Una motriz triangular inferior es aquella donde todos cero, con la excepción de una banda centrada sobre sus elementos arriba de la diagonal principal son ce- la diagonal principal: ro, como

Una motriz banda tiene todos los elementos iguales a le da un nombre especial, motr;z tr;d;agonal, La matriz anterior tiene un ancho de banda de 3 y se

111.2.2 Reglas de operación sobre matrices

Ahora que se ha especificado lo que significa una matriz, se pueden definir algunas reglas de operación que gobiernan su uso. Dos matri- ces m por n son iguales, si y sólo si, cada elemento de la primera es igual a cada elemento de la segunda; esto es [A] = [B] si a;, = bjj pa- ra toda i, j.

La suma de dos matrices, [A] y [B], se realiza sumando los elementos correspondientes de cada matriz. Los elementos de la matriz [C] re- sultante se calculan como:

p a r a i = 1 , 2 , . . . , m y i = 1 , 2, - . . , n.

De forma similar, la resta de dos matrices, [E] y [ F ] , se obtiene restan- do los términos correspondientes, como:

d.. = e..".. ' I ' I ' I

para i = 1 , 2, . . . , m y j = 1 , 2, . . . , n. De la definición anterior, se sigue inmediatamente que la suma y la resta se puede llevar a ca- bo sólo entre matrices que tienen las mismas dimensiones.

La suma y la resta son conmutativas:

Y

Page 221: Metodos numericos para ingenieros

210 MÉTODOS NUM~RICOS PARA INGENIEROS

La suma y la resta también son asociativas, esto es,

La multiplicación de una matriz [A] por un escalar g se obtiene multi- plicando cada elemento de [A] por g, como en

El producto de dos matrices se representa como [C] = [A][B], en don- de los elementos de [C] se definen como (véase el recuadro 111.2 donde se expone el concepto simple de la multiplicación matricial)

n

k= 1 C;; = a r k bk; [111.2]

Donde n = la dimensión de las columnas de [A] y la dimensión de los renglones de [B].

RECUADRO 111.2 Método simple para multiplicar dos matrices

Aunque la ecuación (111.2) está bien definida para im- plementarse en una computadora, no es la forma más simple de visualizar la mecánica de multiplicación de dos matrices. En seguida se presenta una expresión más tangible sobre este concepto. Supóngase que se desea multiplicar [A] por [B] y obtener [C]:

Una forma simple de representar el cálculo de [C] es elevar [B], como en

Ahora la respuesta [C] se puede calcular en el espacio vacante deiado por [B]. Este formato tiene utilidad por- que alinea los renglones apropiados y las columnas que se van a multiplicar. Por ejemplo, de acuerdo a la ecua- ción (111.2) el elemento c1 se obtiene multiplicando el primer renglón de [A] por la primera columna de [B].

Esto es equivalente a sumar el producto de y b l , , al producto de y b , , como

91 2 7=22

For io tanto, c l , , es igual a 22. El elemento c2,, se pue- de calcular en una forma similar, como

Page 222: Metodos numericos para ingenieros

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 21 1 14".:' , [A]+ 8 6 x 5 + 6 ~ 7 = 8 2 +[C]

o 4 Nótese que este método esclarece el porqué es impo- sible multiplicar si el número de columnas de la prime- ra matriz no es igual al número ¿e renglones de la

El calculo se puede continuar de esta manera, siguien- segunda. Nótese cómo demuestra que el orden de la do la alineación de renglones y columnas, para obte- mdtiplicación coincide también. De la misma manera ner el resultado: ilustra estos puntos el problema 7.3.

Esto es, el elemento cji se obtiene sumando el producto de elemen- tos individuales del i-ésimo renglón de la primera matriz, en este caso [A], por la i-ésima columna de la segunda [B]. De acuerdo a esta de- finición, la multiplicación de dos matrices sólo se puede realizar si la primera matriz tiene tantas columnas como renglones la segunda. Por lo tanto, si [A] es una matriz m por n, [B] deberá ser una matriz n por p. En este caso, la matriz [C] resultante tendrá dimensión m por p. Sin embargo, si [B] fuese una matriz p por n, la multiplicación no se podría llevar a cabo. La figura 111.3 muestra una forma fácil de verificar si se pueden multiplicar dos matrices.

Si las dimensiones de las matrices son compatibles, la multiplicacion matricial es asociativo:

FIGURA 111.3 Una manera simple de comprobar si es posible multiplicar dos matrices.

Page 223: Metodos numericos para ingenieros

212 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

y distributiva:

Sin embargo, en general la multiplicación no es conmutativa:

[AI[Bl + [BI[AI

Esto es, el orden de multiplicación es importante.

Aunque la multiplicación es posible, la división matricial aún no está definida. Sin embargo, si una matriz [A] es cuadrada, hay otra ma- triz [A]", llamada la inversa de [A], tal que

[A] [A]" = [A]" [A] = [I] [111.3]

De esta forma, la multiplicación de una matriz por su inversa, es aná- loga a la división, en el sentido de que un número dividido por sí mis- mo es igual a uno. Esto es, la multiplicación de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad (recuérdese el recuadro 111.1).

La inversa de una matriz cuadrada bidimensional se puede represen- tar simplemente como:

1 [A)" = e2 -a12

0 1 1 a22 - a12 9 1 [ - 9 1 al,] [111.4]

Las matrices de dimensión mayor son mucho más difíciles de expre- sar. La sección 8.2 se dedica a estudiar una técnica que calcula la inversa de tales sistemas.

Las operaciones finales de las matrices que tienen utilidad en este aná- lisis son las de transposición y de matriz aumentada. La transpuesta de una matriz comprende la transformación de sus renglones en co- lumnas y sus columnas en renglones. La transpuesta de la matriz:

Page 224: Metodos numericos para ingenieros

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 213

denotada por [AlT, se define como:

En otras palabras, el elemento a;; de la transpuesta es igual al ele- mento ai; de la matriz original, o ai = ai;. La matriz transpuesta tie- ne una gran variedad de funciones en el álgebra matricial. Una ventaja simple es la de permitir escribir un vector columna como vector fila. Por ejemplo, si:

entonces

en donde el superíndice T denota transposición. Esto puede ahorrar espacio al escribir un vector columna en un manuscrito. Además, la matriz transpuesta tiene una gran variedad de aplicaciones en las ma- temáticas.

Una matriz aumentada es el resultado de agregarle una columna (o más columnas) a la matriz original. Por ejemplo, supóngase que se tiene una matriz:

Si se desea aumentar esta matriz [A] con una matriz identidad (re- cuérdese el recuadro Ill. 1 ), entonces se obtiene una matriz 3 por 6 dimensional, dada por:

Page 225: Metodos numericos para ingenieros

214 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS -

Esta expresión tiene utilidad cuando se desea realizar un conjunto de operaciones idénticas sobre dos matrices. De esta forma, se pueden llevar a cabo las operaciones sobre una matriz aumentada en vez de hacerlo sobre dos matrices independientes.

111.2.3 Representación en forma matricial de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

Debe ser claro que las matrices proporcionan una notación concisa en la representación de ecuaciones simultáneas lineales. Por ejemplo, la ecuación ( 1 1 1 . 1 ) se puede expresar como:

donde [A] es una matriz cuadrada n por n de coeficientes:

[Al =

[C] es un vector columna n por 1 de constantes:

[ C]T = [Cl c2 c3 . . . cn]

y [A es un vector columna n por 1 de incógnitas:

[XIT = [x1 x2 x3 . . xn]

Recuérdese la definición de la multiplicación matricial [Ec. (111.2) o re- cuadro 111.21 para comprobar la equivalencia de las ecuaciones ( 1 1 1 . 1 ) y (111.5). También, nótese que la multiplicación matricial (111.5) es vá- lida ya que el número de columnas (n) de la primer matriz ([A]) es igual al número de renglones (n) de la segunda matriz ([A). En esta parte del libro se resuelve la ecuación (111.5) para [A. Una manera formal de obtener una solución usando álgebra matricial es la de multiplicar cada lado de la ecuación por la inversa de [A] para obtener:

Ya que [A]” [A] es la matriz identidad, la ecuación anterior se con- vierte en:

[XI = [Al”[Cl 1 [111.6]

Page 226: Metodos numericos para ingenieros

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 21 5

Por lo tanto, la ecuación se ha resuelto para [A. Este es otro ejemplo del juego de la matriz inversa similar a la división en el algebra ma- tricial.

Finalmente, algunas veces es útil aumentar [A] con [C]. Por ejemplo, si n = 3 el resultado es una matriz 3 por 4 dimensional, dada por:

[111.7]

Expresar de esta manera la ecuación tiene utilidad, ya que varias de las técnicas en la solución de sistemas lineales hacen operaciones idén- ticas a una fila de coeficientes y a la constante correspondiente del lado derecho. Como se expresó en la ecuación (lll.7), se pueden rea- lizar algunas operaciones sobre un renglón de la matriz aumentada en lugar de hacerlo separadamente sobre la matriz de coeficientes y el vector del lado derecho.

111.3 Antes de considerar los métodos numéricos, es útil mencionar alguna orientación adicional. A continuación se muestra superficialmente el material analizado en la parte Ill. Además, se han formulado algu- nos objetivos para ayudar a enfocar los esfuerzos cuando se estudie el material.

111.3.1 Metas y avances

En la figura 111.4 se proporciona un esquema de la parte Ill. El capitu- lo 7 muestra la técnica fundamental en la solución de sistemas alge- braicos lineales: la eliminación gaussiana. Antes de entrar en los detalles de esta técnica, se incluye una sección que menciona algu- nos métodos simples para sistemas pequeños. Esto se hace con el fin de dar una idea visual y debido a que uno de los métodos -la elimi- nación de incógnitas- es la base de la eliminación gaussiana.

Después de presentar los antecedentes, se analiza la eliminación gaus- siana simple.

Se inicia con esta versión ya que permite la elaboración del método completo sin mayores complicaciones. Después, en las siguientes sec- ciones, se analizan posibles problemas que usen el método simple presentando ciertas modificacicnes que minimicen y eviten estos pro- blemas. AI final del capítulo, se dedica un recuadro a una forma muy

Page 227: Metodos numericos para ingenieros

216 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 111.4 Esquema de organización de la parte Ill: Sistemas de ecuaciones alge- braicas lineales.

eficiente de la eliminación gaussiana que puede ser usado en siste- mas tridiagonales.

En el capítulo 8 se empieza con el análisis del método de Gauss-Jordan. Aunque esta técnica es muy parecida a la eliminación gaussiana, se analiza porque permite calcular la matriz inversa que tiene una utili- dad inmensa en la ingeniería.

Page 228: Metodos numericos para ingenieros

SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 21 7

La eliminación gaussiana y el método de Gauss-Jordan son métodos directos. AI final del capítulo 8 se estudia un método diferente cono- cido como método de Gauss-Seidel. Éste es parecido a los métodos de aproximación de raíces de ecuaciones que se estudiaron en el ca- pitulo 5. Esto es, la técnica implica dar una aproximación inicial a la solución y mediante iteraciones obtener un valor meiorado.

En el capítulo 9 se demuestra como se pueden aplicar los métodos en la solución de problemas. Así como en otras partes del libro, se examinan aplicaciones extraídas de todos los campos de la ingeniería.

Finalmente, al terminar la parte Il l se incluye un epílogo. Este repaso incluye el análisis de los elementos de juicio importantes en la imple- mentación de los métodos en la ingeniería práctica. En esta sección también se resumen las fórmulas de mayor importancia y los méto- dos avanzados relacionados con las ecuaciones algebraicas lineales, por lo que se pueden usar para estudiar antes de un examen o como repaso cuando se tenga necesidad de utilizar las ecuaciones algebrai- cas lineales en la vida profesional.

Las capacidades de cómputo automático se integran en la parte Ill en una variedad de formas. Primero, en NUMERICOMP, se encuen- tran disponibles programas amables con el usuario de la eliminación gaussiana para la microcomputadora Apple-ll e IBM-PC. También se proporcionan los programas en FORTRAN y BASIC de la eliminación gaussiana directamente en el texto. Esto le da al usuario la oportuni- dad de copiar y aumentar los programas para implementarlos en su microcomputadora o supercomputadora. También se incluyen los dia- gramas de flujo o los algoritmos en la mayor parte de los métodos descritos en el libro. Este material puede formar la base de un pa- quete de programas que el mismo usuario puede desarrollar y apli- car a una gran cantidad de problemas de ingeniería.

111.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. AI terminar la parte Ill, el usuario debe ser ca- paz de resolver la mayor parte de problemas que impliquen utilizar ecuaciones algebraicas lineales y poder visualizar las aplicaciones de estas ecuaciones en todos los campos de la ingeniería. El usuario de- be hacer lo posible por dominar varias técnicas y valorar la confiabi- lidad de las mismas. Debe entender las ventajas y desventajas involucradas en la selección del "mejor" método (o métodos) en cual- quier problema particular. Además de estos objetivos generales, se deben asimilar y dominar los conceptos específicos enumerados en el cuadro 1 1 1 . 1 .

Page 229: Metodos numericos para ingenieros

218 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Objetivos de c6rnputo. El objetivo fundamental en cuanto a cómputo, es el de ser capaz de usar en forma satisfactoria un programa para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Debe quedar cla- ro el uso de los programas de NUMERICOMP, o también saber có- mo copiar y usar el programa de la eliminacihn gaussiana simple dado en el texto. Estos programas le permitirán manejar adecuadamente muchos problemas prácticos que impliquen utilizar varias ecuaciones algebraicas lineales simultáneas. A medida que se avance en los pro- blemas que contengan más ecuaciones, se pueden usar los progra- mas, diagramas de fluio y algoritmos proporcionados en la parte Ill. Eventualmente, se puede incorporar a los programas el pivoteo parcial, el cálculo de determinantes y la evaluación de condiciones. También se pueden obtener los programas para los métodos de Gauss-Jordan y de Gauss-Seidel.

CUADRO 111.1 Objetivos de estudios específicos de la parte 111

1 . Entender las interpretaciones gráficas de sistemas mal condicionados y su rela-

2 . Entender por qué se le llama "simple" a la primera versión de la eliminación

3. Familiarizarse con la terminología: eliminación hacia atrás, sustitución hacia atrás,

4 . Entender los problemas de división por cero, errores de redondeo y mal condi-

5 . Saber cómo evaluar la condición del sistema. 6 . Saber cómo calcular determinantes usando la eliminación gaussiana. 7 . Entender las ventajas del pivoteo; entender las diferencias entre el pivoteo par-

8. Saber cómo aplicar las técnicas de corrección de errores para mejorar las soh-

9 . Entender por qué las matrices banda son relativamente eficientes en su solución. 1 O . Saber la diferencia fundamental entre la eliminación gaussiana y el método Gauss-

1 1 . Entender cómo se usa el método de Gauss-Jordan para calcular la matriz inversa. 1 2 . Saber interpretar los elementos de la matriz inversa en la evaluación de las in-

1 3 . Comprender el uso de la matriz inversa en la evaluación de la condición del

1 4 . Entender por qué el método de Gauss-Seidel es particularmente apropiado pa-

1 5 . Entender par qué el valor de la diagonal de un sistema de ecuaciones influye

1 6. Entender la razón existente detrás del concepto relajación; saber dónde es más

ción con el determinante del sistema.

gaussiana.

normalización, ecuación pivotal y pivote.

cionamiento.

cial y el pivoteo total.

ciones.

Jordcn.

cágnitas en ingeniería.

sistema.

ra sistemas grandes de ecuaciones.

en que el método pueda ser resuelto mediante el método de Gauss-Seidel.

apropiada la subrelajación y dónde la sobrerelajación.

Page 230: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O S I E T E

7.1

ELIMINACIóN GAUSSIANA

En este capítulo se analizan las ecuaciones algebraicas lineales simultá- neas que en general se pueden representar como:

allxl + a12x2 + * + al,x, = c1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2,xn = c2

anlxl + 0~2x2 + * - * + a,,x, = c,

en donde las a son coeficientes constantes y las c son constantes. A la técnica que se describe en este capítulo se le conoce como elimi-

nación gaussiana porque involucra una combinación de ecuaciones a las que se les eliminan las incógnitas. Aunque éste es uno de los métodos más antiguos en la solución de ecuaciones simultáneas, permanece hasta nuestros días como uno de los algoritmos de mayor importancia. En par- ticular, es fácil de programar y de aplicar con el uso de microcomputadoras.

SOLUCIÓN DE POCAS ECUACIONES Antes de entrar a los métodos que usan computadora, se describen algu- nos que son apropiados en la solución de pequeños grupos de ecuacio- nes simultáneas ( n I 3) que no requieren de una computadora. Estos son los métodos gráficos, la regla de Cramer y la eliminación de incógnitas.

7.1 .l Método gráfico

Se obtiene una solución gráfica de dos ecuaciones representándolas en coordenadas cartesianas con un eje correspondiente a x1 y el otro a x2. Ya que el problema es para sistemas lineales, cada ecuación representa

Page 231: Metodos numericos para ingenieros

220 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

una línea recta. Esto puede ilustrarse fácilmente por las ecuaciones ge- nerales:

QlXl + a12xz = c1

a21x1 + a22x2 = c2

Ambas ecuaciones se pueden resolver para x2:

De esta manera, las ecuaciones se encuentran ahora en la forma de lí- neas rectas; esto es, x2 = (pendiente) x1 + intersección. Estas líneas se pueden graficar en coordenadas cartesianas con x2 como la ordenada y x1 como la abscisa. Los valores de x1 y x2 en la intersección de las líneas representan la solución.

EJEMPLO 7.1 El método gráfico para dos ecuaciones

Enunciado del problema: úsese el método gráfico para resolver

3x1 + 2x2 = 18 [E7.1.1]

-x1 + 2x2 = 2 [E7.1.2]

Solución: sea x1 la abscisa. AI resolver la ecuación (E7.1.1) para x2:

que, al graficarse en la figura 7 .1 , da una línea recta con una intersección en 9 y pendiente de -3/2.

La ecuación (E7.1.2) se puede resolver para x2:

x2 = (1/2)x, + 1

la cual también se grafica en la figura 7.1. La solución es la intersección de las dos líneas en x1 = 4 y x2 = 3. Este resultado se puede verificar sustituyendo estos resultados en las ecuaciones originales para obtener:

3(4) + 2(3) = 18

I - 4 + 2(3) = 2

Page 232: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 22 1

De esta manera, los resultados son equivalentes a los lados derechos de las ecuaciones originales.

FIGURA 7.1 Solución gráfica de un conjunto de dos ecuaciones algebraicas linea- les simultáneas. la intersección ¿e las líneas representa la solución.

Para tres ecuaciones simultáneas, cada ecuación representa un plano en el sistema de coordenadas tridimensional. El punto en donde se intersec- ten los tres planos representa la solución. Más allá de tres ecuaciones, los métodos gráficos no funcionan y , por consiguiente, la solución de ecuac- ciones algebraicas tiene muy poco valor práctico. Sin embargo, algunas veces resultan útiles para visualizar propiedades de la solución. Por ejem- plo, la figura 7.2 muestra tres casos que se pueden abordar cuando se desea resolver un conjunto de ecuaciones lineales. La figura 7.2a mues- tra el caso en que la dos ecuaciones representan dos líneas paralelas. En estos casos, no existe solución ya que las dos líneas jamás se cruzan. La figura 7.2b representa el caso en que las dos líneas coinciden. En este caso existe un número infinito de soluciones. A estos dos tipos de siste- mas se les llama singular. También los sistemas que son casi singulares causan problemas (Figura 7 . 2 ) ; a estos sistemas se les k m a mal condi- cionados. Gráficamente, indican que el punto exacto de intersección de ambas rectas es muy difícil de visualizar. Como se ve en las siguientes

Page 233: Metodos numericos para ingenieros

222 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 7.2 Esquema gráfico de sistemas mal condicionados: a) no hay solución, b) hay una infinidad de soluciones y c) un sistema mal condicionado en donde las pendientes son muy parecidas en el punto de intersección y es difícil de detectar fácilmente la solución.

secciones, los sistemas mal condicionados también tienen problemas cuan- do ?e encuentran en la solución numérica de ecuaciones lineales.

7.1.2 Determinantes y la regla de Cramer

La regla de Cramer es otra técnica de solución aplicable a pocas ecuacio- nes. Antes de describir este método, se menciona brevemente el concep- to de determinantes, que se usan en la implementación de la regla de Cramer. Además, el determinante es útil en la evaluación de mal condi- cionamiento de una matriz.

Determinantes. Se puede ilustrar un determinante mediante un conjun- to de tres ecuaciones:

o. en forma matricial:

en donde [A] es la matriz de coeficientes:

all a12 a13

Page 234: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 223

El determinante D de este sistema se forma con los coeficientes de la ecua- ción, de la siguiente manera:

Aunque el determinante D y la matriz [A] se componen de los mismos elementos, tienen conceptos matemáticos completamente diferentes. Para denotar la matriz se usan corchetes y para los determinantes se usan ba- rras verticales. En contraste con una matriz, el determinante es un núme- ro. Por ejemplo, el valor del determinante de segundo orden:

D = all a12

(a21

se calcula mediante:

En el caso de tercer orden [Ec. (7.2)], se puede calcular el valor del de- terminante como:

en donde a los determinantes de 2 por 2 se les llama menores.

EJEMPLO 7.2 Determinantes

Enunciado del problema: calcúlense los valores de los determinantes de los sistemas representados en las figuras 7 .1 y 7.2.

Solución: para la figura 7.1:

Para la figura 7 .2~1 :

-1/2 1 -1 1 1 = 1-1,2 11 = -(l) 2 - 1(%) = o

Page 235: Metodos numericos para ingenieros

224 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

I Para la figura 7.2b :

I Para la figura 7 . 2 ~ :

En el ejemplo anterior, los sistemas singulares tienen un valor de ce- ro. Además, el resultado indica que el sistema casi singular (Fig. 7 . 2 ~ ) tiene un determinante cercano a cero. Estas ideas se seguirán manejan- do posteriormente en los análisis de mal condicionamiento (sección 7.3.3).

Regla de Cramer. Esta regla dice que cada incógnita de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales se puede expresar como el cociente de dos determinantes con el denominador D y con el numerador obtenido de D reemplazando la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes cl, c2, . . . , c,. Por ejemplo, x1 se calcula como:

EJEMPLO 7.3 Regla de Cramer

Enunciado del problema: úsese la regla de Cramer para resolver:

0.3~1 + 0.52~2 + x3 = -0.01

0 . 1 ~ 1 + O.3X2 + O.5X3 = -0.44

Solución: el determinante D se puede escribir como [Ec. (7.2)]:

D = 0.3 0.52 1 0.5 1 1.9 0.1 0.3 0.5

Page 236: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 225

Los menores son:

1 1.9 = 10.3 0.5

0.5 1.9 0.1 0.5 0.5 1

A3 = 10.1 0.3

= l(0.5) - 1.9(0.3) = -0.07

= 0.5(0.5) - 1.9(0.1) = 0.06

= 0.5(0.3) - l (O.1) = 0.05

Éstos se pueden usar para evaluar el determinante, como en la ecuación (7.4):

D = 0.3(-0.07) - 0.52(0.06) + l(0.05) = -0.002 2

Aplicando la ecuación (7.5), la solución es:

-0.01 0.52 1 0.67 1 1.9

I -o.44 I 0.032 78 -0.002 2 -0.002 2 x1 = - = .- = -14.9

0.3 -0.01 1 0.5 0.67 1.9

0.3 0.52 -0.01 10.5 1 O. 67 1 O . l -0.043 56 = 19.8

x3 = - - "0.002 2 -0.002 2

Para más de tres ecuaciones, la regla de-Cramer es imprdctica ya que a medida que crece el número de ecuaciones, los determinantes se vuel- ven dificiles de evaluar a mano. Por consiguiente, se usan otras alternati- vas más eficientes. Algunas de estas alternativas se basan en la última técnica cubierta en este libro que no usa computadora, la eliminación de incógnitas.

7.1.3 La eliminación de incógnitas

La eliminación de incógnitas mediante la combinación de ecuaciones es un esquema algebraic0 que se puede ilustrar para un conjunto de ecua- ciones:

Page 237: Metodos numericos para ingenieros

226 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

c7.61

La estrategia básica es multiplicar las ecuaciones por constantes para que una de las incógnitas se elimine al combinar las dos ecuaciones. El resul- tado es una ecuación que se puede resolver para la incógnita restante. Este valor se puede sustituir en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular la otra variable.

Por ejemplo, la ecuación (7.6) se puede multiplicar por a21 y la ecua- ción (7.7) por al l para dar:

Restando la ecuación (7.8) de la ecuación (7.9), se elimina el término x1 de la ecuación para obtener:

que se puede resolver por

[7.10]

La ecuación 7.10 se puede sustituir en la ecuación (7.6), que se puede resolver por

[7.11]

Nótese que las ecuaciones (7.10) y (7.11) se calculan directamente por la regla de Cramer, que establece:

1 ° C : :;;I XI = - c1a22 - a12c2 -

alla22 - (3112a21

Page 238: Metodos numericos para ingenieros

ELIMINACION GAUSSIANA 227

EJEMPLO 7.4 Eliminación de incógnitas

Enunciado del problema: úsese la eliminación de incógnitas para resol- ver (recuérdese el ejemplo 7.1) :

3x1 + 2x2 = 18

-x1 + 2x2 = 2

Solución: usando las ecuaciones (7.11) y (7.10)

2(18) - 2(2) 3(2) - 2(-1)

x1 = = 4

3(2) - (-1)18 3(2) - 2(-1)

x2 = = 3

las cuales son consistentes con la solución gráfica (Fig. 7.1)

La eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas con más de dos o tres ecuaciones. Sin embargo, los cálculos numerosos que se requieren para sistemas grandes vuelven rnuy tedioso al método como para realizarlo a mano. Sin embargo, como se describe en la siguiente sección, el método se puede formalizar y programar fácilmente en una microcomputadora.

7.2 ELIMINACIóN GAUSSIANA SIMPLE

En la sección anterior, se usa la elirninación de incógnitas para resol- ver un par de ecuaciones simultáneas. El procedimiento consta de dos pasos:

1. Se manejan las ecuaciones para eliminar una incógnita de una ecua- ción. El resultado de este paso de eliminación es una sola ecuación con una incógnita.

2. Por consiguiente, esta ecuación se puede resolver directamente y el resultado se sustituye hacia atrás en las ecuaciones originales para encontrar la incógnita restante.

Este comportamiento básico se puede extender a sistemas grandes de ecuaciones desarrollando un esquema sistemático para eliminar incóg- nitas y sustituir hacia atrás. La eliminación gaussiana es una de las técni- cas más comunes.

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228 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

7.2.1 Algoritmo para la eliminación gaussiana simple

Se incluye en esta sección la técnica sistemática de eliminación hacia ade- lante y la sustitución hacia atrás que comprende la eliminación gaussia- na. Aunque estas técnicas se adaptan perfectamente a las condiciones de implementación sobre una microcomputadora, se requieren algunas mo- dificaciones para obtener un algoritmo legible. En particular, el programa debe evitar divisiones por cero. Al método siguiente se le llama elimina- ción gaussiana "simple" porque no evita estas contingencias. En las si- guientes secciones se muestran algunos rasgos adicionales necesarios para tener un programa efectivo.

El procedimiento está planeado para resolver un conjunto de n ecua- ciones:

allxl + ~112x2 + a13x3 + * * + al,xn = c1 C7.1201

a21x1 + a22x2 + ~ 1 ~ ~ x 3 + ' * * + aZnxn = c2 [7.12b]

[7.12c]

Como en el caso de solución de dos ecuaciones, el método para n ecua- ciones consiste de dos fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante sustitución hacia atrás.

Eliminación hacia adelante de incógnitas. La primera fase reduce el con- junto de ecuaciones a un sistema triangular superior (Fig. 7 .3 ) . El paso inicial del procedimiento consiste en dividir la primera ecuación [Ec. 7.12a1 por el coeficiente de la primer incógnita, all :

a12 x1 + " x 2 + * . + " x , = - Q l n c1 a11 al 1 all

A este procedimiento se le conoce como normalización y tiene como fi- nalidad convertir el primer coeficiente de la ecuación normalizada en 1.

En seguida se multiplica la ecuación normalizada por el primer coe- ficiente de la segunda ecuación [Ec. (7 .12b) ] , a21:

[7.13]

Nótese que el primer término de la primera ecuación es ahora idéntico al primer término de la segunda ecuación. Por consiguiente, se puede eliminar la primera incógnita de la segunda ecuación restando la ecua- ción (7.13) de la (7 .12b) para obtener

Page 240: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 229

FIGURA 7.3 Esquema gráfico de las dos partes del método de eliminación gaussia- na. La eliminación hacia adelante reduce la matriz de coeficientes a una forma triangular superior. Después, se usa la sustitución hacia atrás pa- ra encontrar las incógnitas.

O

ahax? + * * * + ahnxn = c$

en donde el apóstrofo indica que los elementos han cambiado sus valo- res originales.

El proceso se repite hasta que se elimina la primera incógnita de las ecuaciones restantes. Por ejemplo, la ecuación normalizada se multiplica por a31 y el resultado se resta de la tercera ecuación para obtener

a&x2 + aj3x3 + * . + a&,x,, = c$

Repitiendo el procedimiento para el resto de ecuaciones da como resul- tado el siguiente sistema modificado:

[7.14a]

[7.14b]

[7.14c]

[7.14d]

Page 241: Metodos numericos para ingenieros

230 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

De ahora en adelante, a la ecuación (7.12a) se le llama ecuación pivotal y a al l se le llama pivote.

En seguida se repite el proceso para eliminar la segunda incógnita de las ecuaciones (7.14~) hasta la (7.14d). Para hacerlo, se usa como ecua- ción pivotal la ecuación (7,14b) normalizándola y dividiéndola por el pi- vote a'22. Multiplicando la ecuación normalizada por a'32 y restando el resultado a la ecuación (7 .14~) se elimina la segunda incógnita. Repitien- do el proceso con las ecuaciones restantes se obtiene:

a" n3 x 3 + * . + axnx, = c:

en donde el apóstrofe doble indica que los coeficientes se han modifica- do dos veces.

El procedimiento se puede continuar usando las ecuaciones restan- tes como pivotales. La operación final de esta secuencia es la de usar la (n- 1)-ésima ecuación para eliminar el término de la n-ésima ecua- ción. En ese momento el sistema se transforma en un sistema triangular superior (recuérdese el recuadro 111.1).

[7.15a]

[7.15b]

[7.15c]

[7.15dj

Sustitución hacia atrás. La ecuación (7.15d) se puede resolver para x,:

1

17.161

Este resultado se puede sustituir en la (n - 1) -ésima ecuación y resolverse ésta para x,,~- El procedimiento se repite evaluando las x restantes, éste se puede representar mediante la fórmula:

Page 242: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 23 1

[7.17]

para i = n-1, n-2, . . . , 1.

EJEMPLO 7.5 Eliminación gaussiana simple

Enunciado del problema: úsese la eliminación gaussiana para resolver:

3x1 - 0.1~2 - 0.2~3 = 7.85

0.1~1 + 7x2 - O.3X3 = -19.3 0 . 3 ~ ~ - 0 . 2 ~ ~ + lox3 = 71.4

[E7.5.lj

[E7.5.2]

rE7.5.31

Efectúense 10s cálculos con seis cifras significativas.

Solución: la primera parte del procedimiento es la eliminación hacia ade- lante. La normalización de la ecuación ( € 7 . 5 . 1 ) se lleva a cabo dividién- dola por el elemento pivotal, obteniendo:

XI - 0,033 333 3x2 - 0.066 666 7x3 = 2.616 67 [E7.5.4]

En seguida, multiplíquese la ecuación (E7.5.4) por 0.1 y t6stese el resul- tado de la ecuación (E7.5.2) se tiene:

7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.5]

Por lo tanto al multiplicar la ecuación (E7.5.4) por O. 1 y al restarla a la ecuación (E7.5.3) se elimina xl. Después de estas operaciones, el con- junto de ecuaciones es

3x1 -- o. lx, - 0.2X3 = 7<65 rE7.5.61

7.003 33x2 - 0.293 333x3 = - 19.561 7 [E7.5.7]

-0.190 000x2 + 10.020 Ox3 = 70.615 O [E7.5.8]

Para terminar la eliminación hacia adelante xp debe desaparecer de la ecuación (E7.5.8). Para llevarlo a cabo, normalícese la ecuación (E7.5.7) dividiéndola por 7.003 33:

x2 - 0.041 884 8x3 = -2.793 20 [E7.5.9]

Después, multiplíquese la ecuación ( € 7 . 5 . 9 ) por -0.190 O00 y réstese el resultado de la ecuación (E5.7.8). Con esto se elimina x2 de la tercera ecuación y reduce el sistema a la forma triangular superior, dada por:

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232 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

3x1 - O.lx, - 0 , 2 ~ 3 = 7.85

7.003 33x2 - 0.293 333x3 = -19.561 7 [E7.5.10]

10.012 Oxg = 70.084 3 [E7.5.11]

Ahora se pueden resolver estas ecuaciones por sustitución hacia atrás. En primer lugar, la ecuación (E7.5.11) se puede resolver, dando:

x3 = 7.000 03 [E7.5.12]

Este resultado se puede sustituir en la ecuación (E7.5.10), para dar:

7.003 33x2 - 0.293 333(7.000 03) = -19.561 7

que se puede resolver para

x2 = "2.500 O0 [E7.5.13]

Finalmente, las ecuaciones (E7.S. 12) y (E7.5.13) se pueden sustituir en la ecuación (E7.5.6) para dar:

3x1 - 0.1(-2.500 00) - 0.2(7.000 03) = 7.85

que se puede resolver para:

x1 = 3.000 O0

Aunque hay un pequeiio error de redondeo en la ecuación (E7.5. E ) , los resultados son muy cercanos a la solución exacta de x1 = 3, x2 = -2.5 y xg = 7 . Esto se puede verificar sustituyendo las respuestas en el con- junto de ecuaciones originales, para dar:

3(3) - 0.1(--2.5) - 0.2(7.000 03) = 7.849 99 = 785

0.1(3) + 7("2.5) - 0.3(7.000 03) = -19.300 O = -19.3 0.3(3) - 0.2(-2.5) + lO(7.000 03) = 71.400 3 = 71.4

7.2.2 Programa del método de eliminación gaussiana simple

La figura 7.4 muestra los programas de la eliminación gaussiana simple. Los programas constan de cuatro partes: entrada de dabs, eliminación hacia adelante, sustitución hacia atrás e impresión de datos. Nótese que la matriz de coeficientes se aumenta por las constantes del lado derecho. Esta información se almacena en la matriz A. Ya que esta matriz es aumen-

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ELlMlNAClON GAUSSIANA 233

tada, el hecho de que sus dimensiones sean de 15 por 16 significa que el programa puede manejar hasta 15 ecuaciones simultáneas de esta forma.

FORTRAN BASIC

sun-0 I-N-NN I P = I + l [)O 1 2 2 0 J = I P , H SLlN-SUM+A( I , J >*X( J ,

1220 CONTINUE

1240 CONTINUE RETURli END

~ ~ I ~ = ~ ~ ~ l , ~ ~ - s u M ~ , ' a ~ l , I ~

Elim1nac16n hacia adelante

Sustracci6n hacia atrAs

FIGURA 7.4 Programas FORTRAN y BASIC del método de eliminación gaussiana simple.

Nótese también que se ha programado el cuerpo principal del algorit- mo como una subrutina. Se hizo así porque además de la solución direc- ta de los problemas de ingeniería, la eliminación gaussiana tambihn tiene utilidad formando parte de otros algoritmos. En la última parte de este capítulo se desarrollan técnicas de corrección de errores que requieren una subrutina para la elimiflación gaussiana. Además, en el capítulo 10 se necesita resolver ecuaciones algebraicas lineales como parte de la téc- nica de ajuste de curvas llamada regresión múltiple y polinomial.

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234 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 7.5 Tres paracaidistas en caídc libre conectados por cuerdas de peso despreciable.

7 . Pr

El programa de la figura 7.4 no es legible al usuario. En el problema 16 al final del capítulo, se presenta la tarea de hacer un bosquejo del .ograma para hacerlo fácil de Gsar y de entender.

EJEMPLO 7.6 Solución de ecuaciones algebraicas lineales usando computadora

Enunciado del problema: los programas de NUMERICOMP contienen uno que implementa la eliminación gaussiana en un programa legible al usua- rio. Se puede usar este programa para resolver problemas asociados con el ejemplo del paracaidista discutido en el capítulo 1. Supóngase que un grupo de tres paracaidistas se conecta por medio de cuerdas muy ligeras mientras caen a una velocidad de 5 m/s (Fig. 7.5) . Calcúlese la tensión en cada sección de la cuerda y la aceleración del grupo, dada la siguiente información:

Paracaidista Masa, kg Coeficientes de rozamiento, kg/s

1 70 10 2 60 14 3 40 17

.~ .." ..~ . .

Solución: los cuerpos de los paracaidistas se muestran en la figura 7.6. Considerando las fuerzas en dirección vertical y usando la segunda ley de Newton se obtiene un conjunto de tres ecuaciones lineales simultáneas:

mlg - T - clu = mla

m2g + T'c2u - R = m2a

Estas ecuaciones tienen tres incógnitas: a , T y R. Después de sustituir ¡os valores conocidos, las ecuaciones se pueden expresar en forma matricial (ya que g = 9.8 m/s2).

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236 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 7.7. (Continuación) b) Prueba de exactitud obtenida al sustituir la solución en las ecuaciones originales para comprobar que los resultados son iguales a las constantes del vector de términos independientes original.

Los resultados anteriores se basan en un algoritmo simple del méto- do de la eliminación gaussiana con rutinas legibles al usuario sobre entra- da y salida de datos. El algoritmo empleado es similar al de la figura 7.4. El usuario debe ser capaz de escribir un programa para el método de la eliminación gaussiana. Si ya lo tiene, use el programa anterior para com- probar la exactitud del propio.

7.3 DESVENTAJAS DE LOS MÉTODOS DE ELIMINACIóN

A pesar de que existen muchos sistemas de ecuaciones que se pueden resolver con la eliminación gaussiana simple. Hay algunas desventajas que se deben de analizar antes de escribir un programa que implemente el método. Aunque el siguiente material habla Gnicamente del método de eliminación gaussiana simple, esta información también es importante para otras técnicas de eliminación.

7.3.1 División entre cero

La razón principal por la que se le ha llamado “simple” al método ante- rior, es porque durante las fases de eliminación y sustitución es posible que ocurra una división entre cero. Por ejemplo, si se usa el método de eliminación gaussiana simple para resolver el sistema:

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ELlMlNAClON GAUSSIANA 237

la normalización de la primer ecuación implica una división entre all = O. El problema se presenta también cuando el coeficiente es muy cercano a cero. Se ha desarrollad? una estrategia del pivote0 para evitar parcial- mente estos problemas. Este se describe en la sección 7.4.2.

7.3.2. Errores de redondeo

Aun cuando la solución del ejemplo 7 . 5 se acerca mucho a la solución real, hay una pequeña diferencia en el resultado de x3 [Ec. (E7.5.12)]. Esta diferencia, que significa un error del -0.000 43%, se debe al uso de seis cifras significativas durante los cálculos. Si se hubieran usado más cifras significativas, el error se habría reducido aún más. Si se hubieran usado fracciones en vez de decimales (y por consiguiente se hubieran evi- tado los errores de redondeo), la respuesta habría sido exacta. Sin em- bargo, ya que las microcomputadoras manejan sólo un número limitado de cifras significativas (= lo) , pueden ocurrir los errores de redondeo y se deben considerar al evaluar los resultados.

EJEMPLO 7.7 Efecto de los errores de redondeo en la eliminación gaussiana

Enunciado del problema: resuélvase el mismn problema del ejemplo 7 .5 , usando tres cifras significativas durante los cálculos.

Solución: la eliminación de x1 de la segunda y tercera ecuación y la eli- minación de x2 de la tercera lleva al siguiente sistema triangular:

3x1 - 0.1~2 - 0.2~3 = 7.85

7.00~2 - 0.293~3 = -19.6

9.99~3 = 70.1

Compárese este sistema con el obtenido previamente usando seis cifras significativas [ecuación (E7.5.10) hasta la (E7.5.121. Se puede usar la sus- titución hacia atrás para resolver el sistema, obteniendo:

x1 = 3.17 I E , ~ = 5.7% x2 = -2.51 I E, 1 = 0.4% x3 = 7.02 1 E , I = 0.29%

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238 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Sustituyendo estos valores en las ecuaciones originales se obtiene:

3(3.17) - 0.1(-2.51) - 0.2(7.02) = 8.36 # 7.85

0.1(3.17) + 7(-2.51) - 0.3(7.02) = -19.4 # -19.3

0.3(3.17) - 0.2(-2.51) + lO(7.02) = 71.7 # 71.4

Aunque el uso de tres cifras significativas dentro del ejemplo 7.7 hace del mismo un ejemplo fuera de la realidad, el problema de los errores de redondeo sí es real y puede ser de mucha importancia al resolver grandes cantidades de ecuaciones. Esto se debe a que cada resultado depende de todos los resultados anteriores. Por consiguiente, un error en los pri- meros pasos tiende a propagarse, esto es, causa errores en los siguientes pasos.

Es muy complicado especificar el tamaño del sistema en donde los errores de redondeo vienen a ser significativos ya que dependen del tipo de computadora y de las propiedades del sistema. Una regla muy general es la de suponer que los errores de redondeo son de importancia cuando se trata de sistemas de 25 a 50 ecuaciones. En cualquier evento, siempre se deben sustituir las respuestas en las ecuaciones originales y verificar si ha ocurrido un error sustancial. Sin embargo, como se menciona más ade- lante la magnitud de los coeficientes mismos puede influir en los errores al buscar un resultado aceptable.

7.3.3 Ill-Sistemas mal condicionados

La obtención de la solución depende de la condición del sistema. En la sección 7.1.1 se muestra un esquema gráfico de la condición de un siste- ma. En sentido matemático, los sistemas bien condicionados son aque- llos en los que un cambio en uno o más coeficientes provoca un cambio similar en la solución. Los sistemas mal condicionados son aquellos en donde cambios pequeños en los coeficientes provocan cambios grandes en la solución. Una interpretación diferente del mal condicionamiento es que un rango amplio de respuestas puede satisfacer aproximadamente al sistema. Ya que los errores de redondeo pueden inducir cambios pe- queños en los coeficientes, estos cambios artificiales pueden generar errores grandes en la solución de sistemas mal condicionados como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7.8 b Ill-Sistemas mal condicionados

Enunciado del problema: resuélvase el siguiente sistema:

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ELlMlNAClON GAUSSIANA 239

x1 + 2x2 = 10 [E7.8.1]

1 . 1 ~ 1 + 2x2 = 10.4 [E7.8.2]

Después, resuélvase nuevamente, con el coeficiente de x1 de la segunda ecuación modificado levemente a 1.05.

Solución: usando las ecuaciones (7.10) y (7 .11) , la solución es:

2(10) - 2(10.4) l(2) - 2(1.1)

l(10.4) - 1.1(10) l(2) - 2(1.1)

x1 = = 4

x2 = = 3

Sin embargo, con el cambio al coeficiente a21 de 1 . 1 a 1.05, el resulta- do cambia drásticamente a:

2(10) - 2(10.4) l(2) - 2(1.05)

x1 = = 8

l(10.4) - 1.05(10) l(2) - 2(1.05)

x2 = = 1

Nótese que la razón principal de la diferencia entre los dos resultados es que el denominador representa la diferencia de dos nfimeros casi iguales. Como se explica previamente en el ejemplo 3.4, estas diferencias son muy sensitivas a pequeñas variaciones en los números que se están manejando.

En este punto, se podría sugerir que la sustitución de los resultados en las ecuaciones originales alertaría al lector en el problema. Desafortu- nadamente, este no es el caso en sistemas mal condicionados. La sustitu- ción de valores erróneos de x1 = 8 y x2 = 1 en las ecuaciones (E7.8.1) y (€7.8.2) lleva a:

8 + 2(1) = 10 = 10

1.1(8) + 2(1) = 10.8 = 10.4

Por lo tanto, aunque x1 = 8 y x2 = 1 no son las soluciones reales al pro- blema original, la prueba de error es casi igual, lo que puede provocar el error al hacer creer que las soluciones son correctas.

Como se hizo previamente en la sección de métodos gráficos, se puede desarrollar una representación visual del mal condicionamiento grafican- do las ecuaciones (E7.8.1) y (E7.8.2) (recuérdese la figura 7.2). Debido a que las pendientes de las líneas son casi iguales, visualmente es difícil de ver exactamente donde se intersectan. Esta dificultad. visual se refleja

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240 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

cuantitativamente en los resultados inciertos del ejemplo 7.8. Esta situa- ción se puede caracterizar matemáticamente escribiendo las dos ecuacio- nes en su forma general:

Dividiendo la ecuación (7.18) por a12 y la ecuación (7.19) por aZ2 y or- denando términos se obtienen las versiones alternativas del formato de una línea recta [x? = (pendiente) x1 + intersección].

a21 c2 x1 + " a22

x2 = " a22

Por consiguiente, si las pendientes son casi iguales, entonces:

- = - all 021

012 a22

o , multiplicando en cruz:

alla22 = a21a12

que se puede expresar también como:

alla22 - a12~21 = 0 r7.201

Ahora, recordando que all a22 - a12 a21 es el determinante del sis- tema bidimensional [Ec. (7 .3 ) ] , se puede obtener la conclusión general de que un sistema mal condicionado es aquel en que su determinante se aproxima a cero. En efecto, si el determinante es exactamente igual a cero, las dos pendientes son idénticas, lo que produce de forma indis- tinta o ninguna solución o un número infinito de ellas, como en el caso del sistema singular mostrado en la figura 7 . 2 1 y b.

Es difícil especificar qué tan cerca debe estar el determinante de cero de manera que indique mal condicionamiento. Esto se complica por el hecho de que un determinante puede cambiar su valor simplemente mul- tiplicando una o más ecuaciones por un factor escalar sin alterar la solu- cicin. Por consiguiente, el determinante es un valor relativo que se modifica con la magnitud de los coeficientes.

Page 252: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 241

EJEMPLO 7.9 Efecto de escalamiento en el determinante

Enunciado del problema: evalúese el determinante de los sistemas Si-

guientes:

a) Del ejemplo 7.1:

3x1 + 2x2 = 18 [E7.9.1]

-x1 + 2x2 = 2 [E7.9.2]

b) Del ejemplo 7.8:

x1 + 2x2 = 10 [E7.9.3]

1.lxl + 2x2 = 10.4 [E7.9.4]

c) Repítase b) multiplicando las ecuaciones por 10.

Solución: a) El determinante de las ecuaciones (E7.9.1) y (E7.9.2) que es un sis-

tema bien condicionado, es:

D = 3(2) - 2(-1) = 8

b) El determinante de las ecuaciones (E7.9.3) y (E7.9.4), que es un sis- tema mal condicionado, es:

D = l(2) - 2(1.1) = -0.2

c) Los resultados de a) y de b) parecen corroborar el argumento de que los sistemas mal condicionados tienen determinantes cercanos a cero. Sin embargo, supóngase que el sistema mal condicionado b) se multi- plica por 10, para obtener:

10x1 + 20x2 = 100

11x1 + 20x2 = 104

La multiplicación de una ecuación por una constante no tiene efecto en la solución. Además, aún está mal condicionado. Esto se puede verificar multiplicando por una constante que no tenga efecto en la solución gráfi- ca. Sin embargo, el determinante resulta muy afectado.

1 D = lO(20) - 20(11) = -20

No sólo se han elevado dos órdenes de magnitud, sino que el determi- nante es el doble del sistema bien condicionado a ) .

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242 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Como se ilustra en el ejemplo anterior, la magnitud de los coeficien- tes interpone un efecto de escalamiento que complica la relación entre la condición del sistema y el tamaño del determinante. Una manera de evitar parcialmente esta dificultad es la de escalar las ecuaciones de for- ma tal que el elemento máximo de cualquier renglón sea 1.

EJEMPLO 7.1 O Escalamiento

Enunciado del problema: escálense los sistemas de ecuaciones del ejem- plo 7.9 a un valor máximo de 1 y calcúlense de nuevo sus determinantes.

Solución: a) En el sistema bien condicionado, el escalamiento genera

XI + 0.667~2 = 6

-0.5x1 + x2 = 1

cuyo determinante es:

l(1) - 0.667(-0.5) = 1.333

b) En el sistema mal condicionado, el escalamiento genera:

0.5X1 + X2 = 5

0.55~1 + X:, = 5.2

cuyo determinante es:

0.5(1) - l(0.55) = -0.05

c ) En el último caso, e! escalamiento modifica el sistema de la misma forma que b ) . Por lo tanto, el determinante también es 0.05, y el es- calamiento no afecta.

En la sección anterior (sección 7.1.2), se dijo que el determinante es difícil de evaluar para más de tres ecuaciones simultáneas. Por lo tanto, parece ser que no existe una manera práctica de determinar la condición de un sistema. Sin embargo, como se muestra en el recuadro 7.1, existe un algoritmo simple que resulta de la eliminación gaussiana y que se puede usar en la evaluación del determinante.

Además del planteamiento usado en el ejemplo anterior para calcu- lar la condición de un sistema, existen otras formas de hacerlo. Por ejem- plo, existen métodos alternativos para la normalización de elementos (dase

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ELlMlNAClON GAUSSIANA 143

Stark, 1970). Además, como se ve en el capítulo siguiente (sección 8.2.2), la matriz inversa puede usarse en la evaluación de la condición de un sis- tema. Finalmente, una prueba simple (pero que consume mucho tiem- po) consiste en modificar un poco los coeficientes y repetir la solución. Si estas modificaciones generan resultados drásticamente diferentes, el sis- tema probablemente está mal condicionado.

Como se puede deducir del análisis anterior, definitivamente no exis- te un método simple para evaluar el mal condicionamiento. En la elimi-

RECUADRO 7.1 Evaluación de determinantes usando la eliminacion gaussiana

En la sección 7.1.2, se dijo que la evaluación de los de- terminantes por expansión de menores era impráctica para conjuntos grandes de ecuaciones. De esta forma, se concluye que la regla de Cramer sólo es aplicable pa- ra sistemas pequeños. Sin embargo, como se dijo en la sección 7.3.3, el determinante tiene sentido cuando va- lora la condición de un sistema. Por lo tanto, sería útil poseer un método práctico para calcular esta cantidad.

Afortunadamente, la eliminación gaussiana propor- ciona una forma simple de hacerlo. El método se basa en el hecho de que el determinante de la matriz triangu- lar se puede calcular simplemente con el producto de los elementos de su diagonal:

D = a11a22a33 . . . ann [B7.1.1]

La validez de ,esta fórmula se puede ilustrar en sistemas de 3 por 3:

en donde el determinante se puede evaluar como [re- cuérdese la ecuación (7.4)]

o, evaluando por menores (esto es, los determinantes 2 por 2).

D = a11a22m - a d o ) + a d o ) = a11a~~a33

Recuérdese que el paso de eliminación progresiva de la eliminación gaussiana genera un sistema triangu- lar superior. Ya que el valor del determinante se puede evaluar simplemente al final de este paso:

D = a11a&a& . . . a?;') [B7.1.2]

en donde los superíndices indican que los elementos se han modificado durante el proceso de eliminación. Por lo tanto, se puede aprovechar el esfuerzo que se ha he- cho al reducir el sistema a su forma triangular, y por aña- didura obtener una aproximación al determinante.

Hay una pequeña modificación en el planteamien- to anterior cuando el programa usa pivote0 parcial (sec- ción 7.4.2). En este caso, el determinante cambia de signo cada vez que un renglón se usa como pivotal. Una manera de representar esto es modificando la ecuación (B7.1.2):

D = alla&?a:3 . . . ak-l)(-l)p [B7.1.3]

en donde p representa el número de veces en que los renglones se usan como pivotales. Esta modificación se puede incorporar de forma simple en un programa: úni- camente se toma en cuenta el número de pivoteos que se llevan a cabo durante los c6lculos y después se usa la ecuación (B7.1.3) pata evaluar el determinante.

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244 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

nación gaussiana. se recomienda escalar el determinante como en el ejemplo 7.10. Afortunadamente, la mayor parte de las ecuaciones alge- braicas obtenidas de problemas de ingeniería por naturaleza son sistemas bien condicionados. Además, algunas de las técnicas desarrolladas en la siguiente sección ayudan a aliviar el problema.

7.4 TÉCNICAS DE MEJORAMIENTO EN LAS SOLUCIONES LES sipientzs técnicas se pueden incorporar al algoritmo de la elimina- c i h gaussiana simple para evitar algunas de las desventajas analizadas en la sección previa.

7.4.1 Uso de más cifras significativas

El remedio más simple para el mal condicionamiento es el de usar más cifras significativas en los cálculos (compárense los ejemplos 7.5 y 7 .7) . Si la computadora tiene la capacidad de extender el tamaño de las cifras significativas aumentando el tamaño de la palabra, esta característica re- duce mucho el problema.

7.4.2 Pivoteo

Como se dijo al principio de la sección 7.3, los problemas obvios ocurren cuando un elemento pivotal es cero, debido al paso de normalización lo cual origina una división por cero. Estos problemas se obtienen cuando el ele- mento pivotal es cercano a cero en vez de ser exactamente igual, por lo que si la magnitud del elemento pivotal es pequeño comparado con los otros elementos, entonces se introducen errores de redondeo.

Por lo tanto, antes de normalizar cada renglón, es ventajoso determi-. nar el coeficiente mayor disponible. Entonces se pueden intercambiar los renglones de tal forma que el elemento mayor sea el pivotal. A este mé- todo se le conoce con el nombre de piuoteo parcial. Si se busca tanto en las columnas como en los renglones el elemento mayor y se intercam- bian, entonces el procedimiento es de piuoteo total. El pivoteo total se usa muy raramente en programas elementales, ya que el intercambio de columnas cambia el orden de las x y, por consiguiente, aumenta la com- plejidad de los programas, generalmente, sin justificación. El siguiente ejem- plo ilustra la ventaja del pivoteo parcial. Además de evitar la división por cero, el pivoteo también minimiza el error de redondeo. Como tal, sirve también como remedio parcial al mal condicionamiento.

EJEMPLO 7.1 1 Pivoteo parcial

Enunciado del problema: úsese la eliminación gaussiana para resolver:

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ELlMlNAClON GAUSSIANA 245

0.000 3x1 + 3.000 0x2 = 2.000 1 1.000 0x1 + 1.000 0x2 = 1.000 o

Nótese que en esta forma el primer elemento pivotal, a l l = 0.000 3 , es muy cercano a cero. Después repítanse los cálculos con pivote0 parcial pero invirtiendo el orden de las ecuaciones. La solución exacta es x1 = 1/3 y x2 = 2/3.

Solución: normalizando la primer ecuación se obtiene:

x1 + 10 000x2 = 6 667

la cual se puede usar para eliminar x1 de la segunda ecuación:

-9 999x2 = -6 666

que se puede resolver para:

x2 = 2/3

Este resultado se puede sustituir en la primer ecuación y evaluar xl:

2.000 1 - 3(2/3) 0.000 3

x1 = [E7.11.1]

Sin embargo, el resultado es muy sensitivo al número de cifras significati- vas incluidas en el cálculo:

Valor absoluto del error relativo

Cifras porcentual significativas x? X1 ¿e x1

3 0.667 -3.33 1 099 4 0.666 7 0.000 1 O0 5 0.666 67 0.300 O0 10 6 0.666 667 0.330 O00 1 7 0.666 666 7 0.333 O00 O o. 1

Nótese que la solución para x1 depende mucho del número de ci- fras significativas. Esto se debe a que en la ecuación (E7.11.1) , se resta- ron dos números casi iguales (recuérdese el ejemplo 3.4). Por el otro lado, si se resuelven las ecuaciones en orden inverso, se normaliza el renglón con el elemento pivotal mayor. Las ecuaciones son:

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246 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

1.000 Ox1 + 1.000 ox* = 1.000 o 0.000 3x1 + 3.000 0x2 = 2.000 1

La normalización y la eliminación produce x2 = 2/3. Para cantidades di- ferentes de cifras significativas, x1 se puede calcular de la primera ecua- ción, como:

[E7.11.2]

Este caso es mucho menos sensitivo al número de cifras significativas en los cálculos:

Cifras significativas x2 X1

0.667 0.333 0.666 7 0.333.3 0.666 67 0.333 33 0.666 667 0.333 333 0.666 666 7 0.333 333 3

Valor absoluto del error relativo porcentual de x1

0.1 0.01 0.001 0.000 1 0.000 o1

De esta forma, la estrategia pivotal es mucho más satisfactoria.

Los programas de NUMERICOMP de propósitos generales que acom- paiían este libro, incluyen a menudo una estrategia pivotal. La figura 7.8 muestra un algoritmo para implementar esta estrategia. Este programa se puede integrar al de la figura 7 .4 para incorporar el pivote0 parcial en los programas del usuario.

7.4.3 Escalamiento

En la sección 7.3.3 se dedujo que el escalamiento influye en la estandari- zación del valor del determinante. Más allá de esta aplicación, tiene utili- dad en la minimización de los errores de redondeo para aquellos casos en donde alguna de las ecuaciones de un sistema tiene unos elementos mucho más grandes que otros. Estas situaciones se encuentran frecuen- temente en la ingeniería cuando se usan ampliamente unidades diferen- tes en el desarrollo de ecuaciones simultáneas. Por ejemplo, en problemas de circuitos eléctricos, los voltajes desconocidos se pueden expresar en

Page 258: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 247

FORTRAN BASIC

303r) ?O90

3140 3150

&=RP IF ( 6 - B P . G E . O . X O T O 308U .. .I .I= I CONTINUE I F ( J J - K . E O . O . 0 ) COTO 3150

.. -

O0 3140 J - K , N l

f i ( J J , J > - R ( K , J ) TE=&< J J . J )

CONTINUE A f K , J )=TE

CONTINUE RETURN END

31:103 . m = t 302hj B : AB', 1 A l I .t.. I I 3ü:xj FOR 1 = I + I TLJ N 3ü4<:, I W = ABS I A ( I . I., # ) 305.> IF P - BF' . =- ü THEN 3ü8U :üad E c BF' otras columnas contra el pivotel 31171'1 . I . ) = I

K = r e p r e s e n t a e l r e n g l d n p i v o t a l (Almacena el valor absoluto del pivote actual)

ICiclo que compara los elementos de las

~ . .. . 3 0 8 o biEx r I ~C.1'90 I F J.1 -- I, *: ü THLN 3150 3 1 1 0 I€ = A l .. IJ . ..I1

313ü A l b ~ d ) = 1E 3140 N t k l J (Si no es asl, este ciclo

-, . - (Si el pivote escogido es el mayor, entonces regresa al programa principal)

3150 Rtll.lFIN lntercambia los renglones1

a continuar c o n la eliminacidnl (Regresa al programa principal

FIGURA 7.8 Programa en FORTRAN y BASIC para implementar el pivoteo parcial.

unidades que varían desde microvolts hasta kilovolts. Se pueden encon- trar ejemplos similares en todos los campos de la ingehiqría. Mientras ca- da una de las ecuaciones sea consistente, técnicamentd el sistema será correcto y tendrá solución. Sin embargo, el uso de unidades completa- mente diferentes puede generar coeficientes de magnitudes que difieran ampliamente entre sí. Esto puede tener un impacto sobre el error de re- dondeo ya que afecta al pivoteo, como se puede ver en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 7.12 Efectos del escalamiento en el pivoteo y el redondeo

Enunciado del problema: a ) Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones usando la eliminación

gaussiana y la estrategia del pivoteo:

2x1 + 100 000x2 = 100 O00

x1 + x2 = 2

b) Repítase la solución anterior después de escalar las ecuaciones de tal forma que el coeficiente máximo en cada renglón sea 1. En ambos casos, reténganse sólo tres cifras significativas. Nótese que las respues- tas correctas son x1 = 1 .O00 02 y x2 = 0.999 98 o, con tres cifras significativas, x1 = x2 = 1.00.

Page 259: Metodos numericos para ingenieros

248 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Solución: a) Sin escalar,, se aplica la eliminación hacia adelante y se obtiene:

2x1 + 100 000x2 = 100 O00

-50 000x2 = -50 O00 I

que se puede resolver por sustitución hacia atrás, para obtener:

x:, = 1.00

x1 = 0.00

Aunque x2 es correcta, x1 tiene un 100% de error debido al redon- deo.

b) El escalamiento transforma las ecuaciones originales en:

0.000 02x1 + x2 = 1

x1 + x2 = 2 Por lo tanto, se debe aplicar el pivote0 a los renglones y colocar el valor mayor sobre la diagonal.

IC1 + x:, = 2

0.000 02x1 + x2 = 1

La eliminación hacia adelante genera:

x1 + x2 = 2

x1 = 1.00

que se puede resolver para:

~

~

x1 = x:, = 1

~ De esta forma, el escalamiento produce una respuesta correcta.

AI igual que en el ejemplo anterior, el escalamiento aquí tiene utilidad para minimizar los errores de redondeo. Sin embargo, se debe notar que el escalamiento mismo lleva implícito un error de redondeo. Por ejem- plo, dada la ecuación:

2x1 + 300 OOOXZ = 1

y usando tres cifras significativas, el escalamiento produce:

0.000 006 67x1 + x2 = 1

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ELlMlNAClON GAUSSIANA 249

Por lo que e l escalamiento introduce un error de redondeo en el primer coeficiente. Por esta razón, algunas veces se sugiere que el escalamiento sólo se emplee en casos donde realmente sea necesario, esto es, cuando el sistema involucre coeficientes de magnitudes muy diferentes.

7.4.4 Corrección de errores

En algunos casos, el pivote0 parcial y el escalamiento no son suficientes para asegurar resultados precisos. Por ejemplo, recuérdese el ejemplo 7.7, que tenía los elementos mayores en la diagonal, pero que debido a los errores de redondeo, la solución final aún presentaba errores. Estos erro- res, en general se pueden reducir con el siguiente procedimiento. Consi- dérese un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

[7.21]

anlxl + aax2 + * * + a,,x, = c,

Supóngase que se tiene un vector solución aproximado dado por kl, kz, . . . , k,,. Estos resultados se sustituyen en la ecuación (7.21), para dar :

[7.22]

Ahora supóngase que la solución exacta xlr xz, . . . , x , se expresa en función de 21, 2 2 , . . . , k,, y de los factores de corrección Ax,, Ax2, . . . , Ax,, en donde

[7.23]

x, = R, + Ax,

-. - . . " . .

Page 261: Metodos numericos para ingenieros

250 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Si estos resultados se sustituyen en la ecuación (7.21) da como conse- cuencia el siguiente sistema:

Ahora la ecuación (7.22) se puede restar de la ecuación (7.24) para obtener:

allAxl + a12Ax2 + * * + alnAx, = c1 - El = El

azlAxl + a22Ax2 + * * + az,Ax, = c~ - E2 = €2

[7.25]

anlAxl + ~ ~ ~ 2 6 x 2 + * + a,,Ax,, = c, - E, = E,

Este sistema en sí mismo es un conjunto de ecuaciones lineales simultá- neas que se puede resolver obteniendo con ello los factores de correc- ción. Estos factores se pueden aplicar para mejorar la solución especificada por la ecuación (7.23).

EJEMPLO 7.13 Uso de las ecuaciones de error para corregir los de redondeo

Enunciado del problema: recuérdese que en el ejemplo 7.7 se usa la eli- minación gaussiana con tres cifras significativas para resoher

0.1~1 + 7x2 - 0 . 3 ~ 3 = -19.3.

O.3X1 - 0.2~2 + 10x3 71.4

, Debido al número limitado de cifras significativas, la solución difiere de la verdadera (x1 = 3, x2 = -2.5, x3 = 7) en:

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ELlMlNAClON GAUSSIANA 25 1

x1 = 3.17 E, 5.7%

x2 = -2.51 E , = 0.4%

x3 = 7.02 E, = 0.29%

Úsense las ecuaciones del error para refinar estas aproximaciones.

Solución: la sustitución de las soluciones en el conjunto original de ecua- ciones produce el vector de términos independientes:

[elT = [8.36 -19.4 71.71

que no es igual al valor real. Por lo tanto, se puede desarrollar un vector de error:

Ahora, se puede generar un conjunto de ecuaciones error [Ec. (7.25)]:

3AX1 - 0.1Ax2 - 0.2Axs = -0.51

O.lAx1 + 7AX2 - 0.3Ax3 = 0.1

O.3Ax1 - 0.2A~2 + 1OAx3 = -0.3

que se puede resolver (usando tres cifras significativas de forma tal que exista consistencia con el problema original), para obtener:

[AX]' = [-0.171 0.015 7 -0.02461

los cuales se pueden usar para corregir las soluciones, dando:

XI = 3.17 - 0.171 = 3.00

x2 = -2.51 + 0.015 7 -2.49

x3 = 7 O2 - 0.024 6 = 7.00

que se aproximan mucho más a la solución verdadera

Ecuaciones del error en los programas. Se pueden integrar las ecua- ciones del error en los programas de la eliminación gaussiana. En la figu- ra 7 .9 se delinea un algoritmo que realiza esta tarea. Nótese que para hacer más efectiva la corrección de sistemas altamente mal condiciona-

Page 263: Metodos numericos para ingenieros

252 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 7.9 Algoritmo de eliminación gaussiana que incluye corrección de errores.

dos, las E en la ecuación (7.25) se deben expresar en aritmética de doble precisión. Esto se hace fácilmente en FORTRAN pero en algunas imple- mentaciones de BASIC no es posible hacerlo.

7.5 RESUMEN

En resumen, este capítulo se ha dedicado a la eliminación gaussiana, el método fundamental en la solución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Aunque ésta es una de las técnicas más antiguas desarrolladas para este propósito, aún es un algoritmo muy efectivo en la obtención de soluciones de muchos problemas de ingeniería. Además de su utilidad práctica, proporciona un contexto en el estudio general de temas tales como los errores de redondeo, escalamiento y condicionamiento.

Las respuestas que se obtienen mediante el método de eliminación gaussiana se pueden verificar sustituyéndolas en las ecuaciones origina- les. Sin embargo, esto no siempre representa una prueba confiable si el sistema está mal condicionado. Por lo tanto, si se sospecha de un error de redondeo, entonces se debe calcular alguna medida de la condición tal como e l determinante del sistema escalado. Dos opciones que amino- ran los errores de redondeo son el uso del pivote0 parcial y el uso de

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ELlMlNAClON GAUSSIANA 253

más cifras significativas en los cálculos. Si el problema parece ser sustan- cial, la corrección de errores (sección 7.4.4) se puede usar algunas veces para mejorar la solución.

Existen otros planteamientos y variaciones de la eliminación gaussia- na para satisfacer las necesidades particulares. Por ejemplo, como se ex- plica en el recuadro 7.2, se puede formular una versión muy eficiente de la eliminación gaussiana para sistemas tridiagonales. El capítulo 8 se encarga de mostrar dos métodos diferentes, el de Gauss-Jordan y Gauss- Seidei.

RECUADRO 7.2 Sistemas de banda: el caso tridiagonal

Una matriz banda es una matriz cuadrada que tiene todos soluciones en diferencias finitas de ecuaciones diferencia- sus elementos iguales a cero, con excepción de una ban- les parciales. Además hay otros métodos numéricos tales da centrada sobre la diagonal principal (recuérdese Ill. 1) . como la interpolación cúbica segmentaria (sección 11.4) En el caso en que el ancho de banda es 3, a la matriz se que requieren la solución de sistemas tridiagonales. le conoce con un nombre especial: matriz tridiagonal. Los Un sistema tridiagonal es aquél en el que los coefi- sistemas tridiagonales se encuentran frecuentemente en cientes están ordenados en forma tridiagonal, como en: la ciencia y en la ingeniería. Por lo general resultan de las

d3X2 + e3x3 + f3x4

Nótese que se ha cambiado la notación de los coeficien- tes del sistema tridiagonal de las a y las c a las d, e , f y g. Esto se hizo para evitar el almacenamiento de cantida- des grandes de ceros en la matriz de a. Esta modificación que ahorra espacio, es muy ventajosa ya que el algoritmo resultante requiere menos espacio en memoria.

Como era de esperarse, los sistemas bandados se pue- den resolver con una técnica similar a la eliminación gaus- siana. Sin embargo, debido a la estructura única del

I "IO

I " - "

FORTRAN c

sistema, la implementación del algoritmo de la eliminación gaussiana se puede simplificar mucho y las soluciones se obtienen de una manera muy eficiente. Para el sistema tridiagonal los pasos de eliminación progresiva se simplifi- can ya que la mayor parte de sus elementos son cero. En seguida las incógnitas restantes se evalúan por sustitución hacia atrás. El algoritmo completo se expresa de forma concisa en los programas siguientes:

Page 265: Metodos numericos para ingenieros

254 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

PROBLEMAS

Cálculos a mano

7.1 Escríbase el siguiente conjunto de ecuaciones en notación matricial:

Escríbase la transpuesta de la matriz.

7.2 Algunas matrices se definen como:

1 5 6

4 0 5 [Al = [ 2 1 3 1 [Bl = [ ; ; ;] 4 3 1

[Cl = [ a ] 5 4 3 6

[GI = [ 8 6 41

Respóndase a las siguientes preguntas de acuerdo a las matrices anteriores: o) ¿Cuáles son las dimensiones de las matrices? b) Identifíquense las matrices cuadradas, columna y renglón. c) Cuáles son los valores de los elementos:

012 b23 d32 e22 112 912

d) Efectúense las siguientes operaciones

7.3 Se definen tres matrices como:

a) Efectúense todas las multiplicaciones posibles que se pueden llevar a cabo

b) Usese el método del recuadro 111.2 para justificar por qué las parejas restan- eptre parejas de estas matrices.

tes no se pueden multiplicar

Page 266: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 255

7.4

7.5

7.6

7.7

7.8

c) Úsense los resultados de a) e ilústrese por qué es importante el orden de las multiplicaciones.

Úsese el método gráfico para resolver:

4x1 - 6x2 = " 2 2

-xl + 12x2 = 58

verifíquense los resultados sustituyéndolos en las ecuaciones originales

Dado el sistema de ecuaciones:

o.75X1 + xp = 14.25

1 . 1 ~ ~ + 1 . 6 ~ ~ = 22.1

a) Resuélvase gráficamente. b) En base a la solución grAfica, 'qué se espera acerca de la condición del sistema? c) Resuélvase por eliminación de incógnitas. d ) Verifíquense las respuestas sustituyéndolas en las ecuaciones originales.

Para el conjunto de ecuaciones:

a) Calcúlese su determinante. b) Usese la regla de Cramer y resuélvase para las x. c) Sustitúyanse los resultados en la ecuación original y compruébense los mismos.

Dadas las ecuaciones:

0 . 5 ~ 1 - x2 = -9.5

0 .28~1 - 0 . 5 ~ 2 = -4.72

a) Resuélvanse gráficamente. b) Después de escalarse, calcúlese su determinante. c) En base a a) y b) ¿qué se puede esperar de la condición del sistema? d) Resuélvanse por eliminación de incógnitas. e ) Resuélvanse otra vez, pero modificando all a 0.55. Interprétense los resul-

tados de acuerdo al análisis de mal condicionamiento de la sección 7.1.1.

Dado el sistema

"12x1 + x2 - 7x3 = -80

x1 - 6x2 + 4x3 = 13

-2x1 - x2 + = 92

Page 267: Metodos numericos para ingenieros

256 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

a) Resuélvase con el uso de la eliminación gaussiana simple. Muéstrense todos

b) Sustitúyanse los resultados en las ecuaciones originales y compruébense las los pasos de los cálculos.

respuestas

7.9 úsese la eliminación gaussiana para resolver:

4x, + 5x2 - 6x,{ = 28

ZX, - 7x3 = 29

- 5 ~ 1 - 8x2 = -64

Empléese el pivoteo parcial y compruébense las respuestas sustituyéndolas en las ecuaciones originales.

7.10 Úsese la eliminación gaussiana para resolver:

3x2 - 13~,$ = -50

Zx, - 6x2 + x:( = 44

4x, + 8x,: = 4

Empléese el pivoteo parcial. Compruébense las respuestas sustituyéndolas en las ecuaciones originales.

7.11 Repítase el ejemplo 7.6 con el coeficiente de rozamiento al doble.

7.12 Resuélvase el siguiente sistema tridiagonal:

5x, + 4x2 = 25

4x, - 3x, + 7x,3 = 3

x2 - 6x3 + 4x4 = 17

12x,, + 2x, = 36

7.13 Efectúense los mismos cálculos del ejemplo 7.6, pero usando cinco paracaidistas con las siguientes características:

Paracaidista Masa, kg Coeficientes de rozamiento, kgls

1 60 15 2 80 14 3 75 18 4 75 12 5 90 10

Los paracaidistas tienen una velocidad de 10 m / s

Page 268: Metodos numericos para ingenieros

ELlMlNAClON GAUSSIANA 257

Problemas para resolver con una computadora

7.14

7.15

7.16

7.17

7-18

7.19

7.20

7.21

7.22

Escríbase un programa general para multiplicar dos matrices, esto es, [X] = [y] [ Z l donde [X] es m por n y [ Z l es n por p. Pruébese el programa usando

Escríbase un programa que genere la transpuesta de una matriz. Pruébese con

Reprográmese la figura 7 . 4 de tal forma que sea más legible al usuario. Entre otras cosas:

a) Intégrese la figura 7 . 8 al programa de tal forma que éste realice pivote0

b) Documéntese el programa para identificar cada sección. c) Etiquétese la entrada y la salida. d) Escálense las ecuaciones de tal forma que el coeficiente mayor en cada

parcial.

renglón sea 1. Calcúlese el determinante como una medida de la condi- ción del sistema (opcional).

Pruébese el programa desarrollado en el problema 7.16 duplicando los cálculos del ejemplo 7 . 5 y 7 .6 .

Úsese el programa desarrollado en el problema 7 .16 y repítanse los problemas 7 .8 al 7.11.

Repítanse los problemas 7 . 1 7 y 7 .18 usando los programas de NUMERICOMP disponibles con el texto. Usese también NUMERICOMP para realizar una prueba de error para cada problema.

Desarróllese un programa para sistemas tridiagonales legibles al usuario y basán- dose en el recuadro 7.2.

Pruébese el programa desarrollado en el problema 7 .20 resolviendo el problema 7.12.

Resuélvase el problema 7.13 usando los programas desarrollados en el problema 7.16.

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C A P í T U L O O C H O

GAUSS-JORDAN, INVERSIóN DE

MATRICES Y GAUSS-SEIDEL

En este capítulo se describen dos métodos adicionales para resolver ecuaciones lineales simultáneas. El primero de ellos, el método de Gauss- Jordan es muy similar al de la eliminación gaussiana. El motivo principal para introducir esta técnica, estriba en que proporciona una forma simple y conveniente de calcular la inversa de una matriz. La inversa tiene un gran número de aplicaciones en la ingeniería. Este método también proporciona los medios para evaluar la condición de un sistema.

El segundo de ellos, el método de Gauss-Seidel es fundamentalmente diferente al de eliminación gaussiana y al de Gauss-Jordan porque es un método de aproximaciones iteratiuas. Esto es, emplea un valor inicial y mediante iteraciones obtiene una aproximación más exacta a la solución. El método de Gauss-Seidel se adapta, en particular a grandes sistemas de ecuaciones. En estos casos, los métodos de eliminación están su- jetos a los errores de redondeo. Ya que el error en el método de Gauss-Seidel se puede controlar mediante el número de iteraciones, los errores de redondeo no tienen que ver con esta técnica. Sin embargo hay ciertos casos en que el método de Gauss-Seidel no converge a la respuesta correcta. Se discuten en las siguientes páginas estos y otros elementos de juicio para escoger entre la eliminación y los metodos iterativos.

8.1 MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación gaussiana. La principal diferencia consiste en que el método de Gauss-Jordan cuando se elimina una incógnita no sólo se elimina de las ecuaciones siguientes sino de todas las otras ecuaciones. De esta forma, el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una matriz triangular (Fig. 8.1). Por consiguiente, no es necesario emplear la sustitución hacia atrás para obtener la solución. El método se ilustra mejor con un ejemplo.

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260 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 8.1 Esquema gráfico del método de Gauss-Jordan. Compárese con la figura 7.3 y nótese la diferencia entre este método y el de eliminación gaussiana. LOS asteriscos indican que el vector de términos independientes se ha modificado varias veces.

EJEMPLO 8.1 Método de Gauss-Jordan

Enunciado del problema: úsese el método de Gauss-Jordan para resol- ver el mismo sistema del ejemplo 7.5:

3x1 - 0.1~2 - 0 . 2 ~ 3 = 7.85

0.1~1 + 7x2 - 0 .3~3 = -19.3

0 .3~1 - 0.2~2 + 10x3 = 71.4

Soluci6n: en primer lugar, se expresan los coeficientes y el vector de tér- minos independientes como una matriz aumentada:

[ o s 3 -0.1 -0.2

7 -0.3 -19.3 0.3 -0.2 10 71.4

En seguida se normaliza el primer renglón dividiéndolo por el pivote 3, para obtener:

Page 272: Metodos numericos para ingenieros

GAUSS-JORDAN, INVERSldN DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 26 1

1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 I 2.616 67 0.1 7 -0.3 I -19.3 0.3 -0.2 10 I 71.4 1 I

El término x1 se puede eliminar del segundo rengón restando 0.1 ve- ces el primero del segundo renglón. De una manera similar, restando 0.3 veces el primero del tercer renglón se elimina el término con x1 del tercer renglón:

[

[O o "0.190 O00 10.020 o ~ 70.615 O 1

1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 I 2.616 67 O 7.003 33 -0.293 333 I -19.561 7 O -0.190 O00 10.020 O ~ 70.615 O 1

En seguida, se normaliza el segundo renglón dividiendolo entre 7.003 33:

1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 ~ 2.61667 -0.041 884 8 1 "2.793 20

Reduciendo los términos en x2 de la primera y la tercera ecuación se obtiene:

1 O -0.068 062 9 I 2.523 5 6 1 O 1 -0.041 884 8

~ -2.793 20 o o 10.012 o I 70.084 3

El tercer renglón se normaliza dividiéndolo entre 10.012 O:

1 O -0.068 062 91 2.523 56 O 1 -0.041 884 81 -2.793 O 0 1

Finalmente, los términos con x3 se pueden reducir de la primera y se- gunda zcuación para obtener:

1 o o ~ 3.000 O0

O 1 O I 2.500 O 1 O O 1 ~ 7.000 03 1

De esta forma, como se muestra en la figura 8.1: la matriz de coeficientes se ha transformado en la matriz identidad y la solución se ha obtenido en el vector de términos independientes. Nótese que no se necesita susti- tución hacia atrás para obtener la solución.

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262 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Todo el material del capítulo 7 relacionado con las ventajas y desventajas de la eliminación gaussiana se aplican también al método de Gauss-Jordan. Por ejemplo, se puede usar una estrategia similar al pivoteo para evitar divisiones por cero y reducir el error de redondeo.

Aunque los métodos de Gauss-Jordan y de eliminación gaussiana pueden parecer casi idénticos, el primero requiere aproximadamente de 50 % menos operaciones. Por lo tanto, la eliminación gaussiana es el método simple por excelencia en la obtención de soluciones exactas a las ecuaciones lineales simultáneas. Una de las principales razones para incluir en este capítulo el método de Gauss-Jordan, es la de proporcionar un método directo de obtener la matriz inversa, tal como se describe en la sección 8.2

8.1.1 Algoritmo del método de Gauss-Jordan

En la figura 8.2 se muestra un algoritmo del método de Gauss-Jordan sin pivote0 parcial. Un esquema con pivoteo muy parecido al que muestra en la figura 7.10 se puede incorporar a este algoritmo.

8.2 INVERSIóN DE MATRICES

En la introducción a las operaciones con matrices (sección 111.2.2) se menciona que si una matriz es cuadrada, entonces existe otra matriz, [A] - I , llamada la matriz inversa de [A ] , para el cual [Ec. (111.3)]:

[A] [A]" = [A]" [A] = [I]

También se demuestra que la inversa se puede usar para resolver un conjunto de ecuaciones simultáneas, si se toma [Ec. (111.6)J:

[XI = [Al" [CI @.11 La aplicación de la inversa ocurre cuando es necesario resolver varios

sistemas de ecuaciones de la forma:

que difieren únicamente en el vector de términos independientes [C] . En vez de resolver cada sistema por separado, una alternativa diferente consiste en determinar la inversa de la matriz de coeficientes. Entonces, se puede usar la ecuación (8.1) para obtener las soluciones, simplemente multi- plicando la matriz [A] por el vector de términos independientes corres- pondiente [C] . Ya que la multiplicación matricial es mucho más rápida que la inversión, el consumo de tiempo se lleva a cabo sólo una vez y después se obtienen las soluciones adicionales de una manera eficiente. También, como se menciona en la sección 8.2.1, los elementos de la inversa son extremadamente útiles en sí mismos.

Page 274: Metodos numericos para ingenieros

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Page 275: Metodos numericos para ingenieros

264 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 8.3 Esquema gráfico del método de Gauss-Jordan, con inversión de matrices.

Con el método de Gauss-Jordan se puede calcular directamente la inversa. Para hacerlo, la matriz de coeficientes se aumenta con una ma- triz identidad (Fig. 8.3). Posteriormente se aplica el método de Gauss- Jordan para reducir la matriz de coeficientes a la matriz identidad. Cuando se completa esta tarea, el lado derecho de la matriz aumentada contiene la matriz inversa. Esta técnica se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 8.2 El uso del método de Gauss-Jordan en el cálculo de la matriz inversa

Enunciado del problema: determínese la matriz inversa del sistema resuelto en el ejemplo 7.5. Obténgase la solución multiplicando [A] -1Por el vec- tor de términos independientes: [CIT = [ 7.85 -19.3 71.4 1 . Además, obténgase la solución para un vector de términos independientes diferente: [CIT = [20 50 151.

Solución: auméntese la matriz de coeficientes con una matriz identidad:

3 -0.1 -0.2 I 1 o o 0.3 -0.2 10 j O O 1

-0.3 I O 1 O]

Usando all como pivote, el renglón 1 se normaliza y se usa para elimi- nar a x1 de los otros renglones

1 -0.033 333 3 -0.066 666 7 I 0.333 333 O 7.003 33 -0.293 333 1-0.033 333 3 o -0.190 O00 10.020 o ~ -0.099 999 9 o 1

Page 276: Metodos numericos para ingenieros

GAUSS-JORDAN, INVERSldN DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 265

En seguida, se usa aZ2 como pivote y xp se elimina de los otros renglones

1 O -0.068057 , 0.333 175 0.004 739 329 0 O 1 -0.041 706 1 ~ -0.004 739 33 0.142 180 o o 10.012 1 I -0.100 90 0.027 014 2 O 1 1

Finalmente, se usa a33 como pivote y x3 se elimina de los renglones res- tantes:

1 O O I 0.332 489 0.004 922 97 0.006 798 13

0 0 1 I "0.010 077 9 0.002 698 16 0.099 880 1 1 O 1 O I -0.005 164 4 0.142 293 0.004 183 46

Por lo tanto, la inversa es:

0.332 489 0.004 922 97 0.006 798 13 -0.005 164 4 0.142 293 0.004 183 46 "0.010 077 9 0.002 698 16 0.099 880 1

Ahora, la inversa se multiplica por el primer vector de términos indepen- dientes, obteniendo la solución:

x1 = 7.85 (0.332 489) - 19.3(0.004 922 97) + 71.4(0.006 798 13) = 3.000 411 81

x2 = 7.85(-0.005 164 4) - 19.3(0.142 293) + 71.4(0.004 183 46) - 2.488 096 40

x3 = 7.85(-0.010 077 9) - 19.3(0.002 698 16) + 71.4(0.099 880 1) = 7.000 253 14

La segunda solución, simplemente se obtiene realizando otras multiplica- ciones, como:

x1 = 20(0.332489) + 50(0.00492297) + 15(0.006 798 13) = 6.997 900 45

x2 = í!O(-0.005 164 4) + 50(0.142 293) + 15(0.004 183 46) = 7.074 113 9

X3 = 20(-0.010 O77 9) + 50(0.002 698 16) + 15(0.099 880 1) = 1.431 551 50

Page 277: Metodos numericos para ingenieros

266 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

8.2.1 Cálculos estírnulo-respuesta

Como se dijo en la sección III.1.2, muchos de los sistemas lineales de ecuaciones usados en ingeniería se derivan de las leyes de conservación. La expresión matemática de estas leyes es un tipo de ecuaciónes de ba- lance que asegura que se conserve una propiedad en particular; masa, fuerza, calor, momento u otras. En el equilibrio de fuerzas de una estruc- tura, las propiedades pueden tener componentes horizontales y vertica- les de las fuerzas que actúan sobre cada nodo de la estructura (véase el caso de estudio 9.3). Para un balance de masas, las propiedades pueden ser la masa en cada reactor de un proceso químico. Existen ejemplos si- milares en otros campos de la ingeniería.

Se puede escribir una ecuación simple de balance para cada una de las partes del sistema, generando un conjunto de ecuaciones que definen el comportamiento del sistema completo. Estas ecuaciones se interrela- cionan o se acoplan de manera que cada ecuación incluye una o más de las variables de las otras ecuaciones. En muchas ocasiones, los siste- mas son lineales, y por lo tanto, de la forma exacta que se ha tratado en este capítulo:

Ahora, en ecuaciones de balance, los términos de la ecuación (8.2) tienen interpretación física definida. Por ejemplo, los elementos- de [X] representan los valores de las variables que se están equilibrando para cada una de las partes del sistema. En el equilibrio de fuerzas de la es- tructura, representan las fuerzas verticales y horizontales de cada miem- bro. En el balance de masas, son las masas de sustancia química en cada uno de los reactores. En cualquier caso, representan las respuestas o es- tados del sistema que está tratando de determinar.

El vector [C] de términos independientes contiene aquellos elemen- tos del balance que son independientes del comportamiento del sistema, esto es, son constantes. Como tales, representan las fuerzas externas o los estímulos que manejan al sistema.

Finalmente, la matriz [A] de coeficientes contiene, en general los pa- rámetros que expresan como interactúa el sistema o su acoplamiento. Por consiguiente, la ecuación (8.2) se puede reexpresar como:

[Iteraciones] [respuestas] = [estímulos]

Ahora, como se ha visto en este capítulo, existen muchas formas de re- solver la ecuación (8.2). Sin embargo, el uso de la matriz inversa lleva a un resultado particularmente interesante. La solución formal [Ec. (8.1)] se puede expresar como:

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GAUSS-JORDAN, INVERS16N DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 267

o (recordando la definición de multiplicaci6n matricial del recuadro 111.2) :

De esta forma, se ha encontrado que la matriz invertida misma, además de proporcionar una solución, tiene propiedades muy útiles. Esto es, ca- da uno de sus elementos representa la respuesta de una parte simple del sistema a un estímulo unitario en cualquier parte del mismo.

Nótese que estas formulaciones son lineales y , por lo tanto, se cum- ple la superposición y la proporcionalidad. La superposición indica que si un sistema está sujeto a varios estímulos diferentes (las c) , las respues- tas se pueden calcular individualmente y sumarse los resultados para ob- tener la respuesta total. La proporcionalidad indica que si se multiplica el estímulo por una cantidad genera una respuesta respecto al estímulo multiplicada por la misma cantidad. De esta forma, el coeficiente all' es una constante de proporcionalidad que proporciona el valor de x1 debido al nivel un'ttario cl. Este resultado es independiente de los efectos de c2 y c3 sobre xl, los cuales se reflejan sobre aA12 y aA13 respectiva- mente. Por lo tanto, se puede llegar a la conclusión general de que el elemento a - l l j de la matriz invertida representa el valor de x1 debido a la cantidad unitaria de cj. Usando el ejemplo de la estructura, el elemento aAg de la matriz inversa representa la fuerza en el miembro i debido a una fuerza externa individual en el nodo. j. Aun para sistemas pequeños, los comportamientos de las interacciones estímulo respuesta individuales no son obvios. Por lo que, la matriz inversa proporciona una técnica potente para comprender las interrelaciones de partes componentes de sistemas complicados. Esta potencia se demuestra en el caso de estudio 9.3.

8.2.2 La inversa y el mal condicionamiento

Además de sus aplicaciones a la ingeniería, la inversa también suministra una manera de discernir cuando los sistemas están mal condicionados. Existen tres métodos para este propósito:

1. Escalar la matriz de coeficientes [ A ] , de tal forma que el elemento mayor en cada renglón sea 1. Si los elementos de [A] -' son varias órdenes de magnitud más grandes que los elementos de la matriz original, entonces probablemente ésta esté mal condicionada.

2. Multiplicar la inversa por la matriz de coeficientes original y estimar si el resultado se encuentra cerca de la matriz identidad. Si no lo es- tá, entonces hay mal condicionamiento.

Page 279: Metodos numericos para ingenieros

268 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

3. Invertir la matriz invertida y estimar si el resultado está lo suficiente- mente cerca de la matriz original. Si no lo está, nuevamente el siste- ma está mal condicionado.

8.2.3 Algoritmo para la inversión matricial

El algoritmo de la figura 8 .2 se puede modificar para calcular la matriz in- versa. Esto implica, aumentar la matriz de coeficientes con una matriz identidad al principio del programa. Además, alguno de los indices que manejan un ciclo se debe aumentar al doble para que los cálculos se Ile- ven a cabo en todas las columnas de la matriz de coeficientes aumentada.

Si se incorpora el pivote0 parcial en el algoritmo de Gauss-Jordan, entonces se requieren algunas modificaciones adicionales. Esto se debe a que cada vez que un renglón de la matriz usa un pivote, la columnd de la matriz inversa se debe ajustar de forma similar.

La figura 8.4 ilustra este fenómeno. Por ejemplo si el renglón 3 se usa como pivote o se mueve a la posición entre los renglones 1 y 2 , se modifica también el “significado” o “interpretación” del renglón 2 de la matriz invertida. En vez de indicar el efecto de un cambio unitario de c2 sobre las x, se debe indicar el efecto de un cambio unitario de c3 sobre las x.

Además de las características anteriores, el programa debe diseñarse para que calcule las soluciones de un gran número de vectores de térmi- nos independientes, como se menciona al principio de la sección 8:2. Esto se puede llevar a cabo, simplemente colocando un ciclo después de cal- cular la matriz inversa. Este ciclo puede llevar a usar un vector de térmi- nos independientes, puede entonces multiplicarse por la matriz [A] -’ pa- ra obtener la solución. El procedimiento se continúa hasta que el usuario indique que no requiere más soluciones.

FIGURA 8.4 Esquema gráfico del cambio que se produce en los elementos de la matriz inversa resultante al mover un renglón de la matriz de coeficientes.

8.3 MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

Los métodos de eliminación directa analizados en las secciones previas se pueden usar para resolver aproximadamente de 25 a 50 ecuaciones lineales simultáneas. Esta cantidad a veces se puede aumentar si el siste-

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GAUSS-JORDAN, INVERS16N DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 269

ma está bien condicionado, si se emplea la estrategia pivotal, si se usan las ecuaciones del error o si la matriz es disprsa. Sin embargo, debido a los errores de redondeo, los métodos de eliminación algunas veces son inadecuados para sistemas muy grandes. En este tipo de problemas, se pueden usar los métodos iterativos o de aproximación con alguna ventaja.

En el capítulo 5 se usan tipos similares de técnicas para obtener raíces de una ecuacion. Aquellos planteamientos consisten en el uso de un va- lor inicial a partir del cual, mediante una técnica sistemática se obtiene una mejor aproximación a la raíz. Debido a que en esta parte del texto se enfrenta un problema similar "la obtención de valores para satisfacer simultáneamente un conjunto de ecuaciones- se espera que puedan ser útiles tales métodos de aproximación dentro de este contexto.

La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminu- ción de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de algu- na tolerancia de error previamente especificada. De esta forma, el redon- deo no es un problema, ya que se controla el nivel de error aceptable.

El método de Gauss - Seidel es el método iterativo más usado. Supón- gase que se ha dado un conjunto de n ecuaciones:

si los elementos de la diagonal son diferentes de cero, la primera ecuación se puede resolver para xl , la segunda para x2, etcétera, lo que lleva a:

[8.3a]

[8.3b]

[8.3c]

cn - anlxl - an2x2 - * - X" = an,n-&-1

[8.3d] ann

Ahora, se puede empezar el proceso de solución usando un valor ini- cial para las x. La solución trivial puede servir de valor inicial, esto es, todas las x valen cero. Estos ceros se pueden sustituir en la ecuación (8.3a), que se puede usar para calcular un nuevo valor de x1 = c1 / a l l . Lue-, go, se sustituye el nuevo valor de xl , con x3, ..., x,, aun en cero, en la ecuación (8.3b) con la cual se calcula un nuevo valor de x2. Este proce- so se repite en cada una de las ecuaciones hasta llegar a la ecuación (8.3d)

Page 281: Metodos numericos para ingenieros

270 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

la cual calcula un nuevo valor de x,. En seguida se regresa a la primera ecuación y se repite todo el proceso hasta que la solución converja bas- tante cerca de los valores reales. La convergencia se puede verificar usando el criterio [recuérdese la ecuación (3.5)]:

- .

E . = a,1 1 I x{ 1 ' 100% < Es ~8.41

para toda i en donde j y j - 1 denotan la iteración actual y la anterior.

EJEMPLO 8.3 Método de Gauss-Seidel

Enunciado del problema: úsese el método de Gauss-Seidel y resuélvase el sistema del ejemplo 7.5 y 8.1:

3x1 - 0.1~2 - 0 . 2 ~ 3 = 7.85

0 . 1 ~ 1 + 7x2 - O.3X3 = -19.3

0.3~1 - 0 . 2 ~ 2 + 10x3 = 71.4

Recuerdese que la solución real es x1 = 3, x2 = -2.5 y x? = 7 .

Solución: en primer lugar. se despejan cada una de las variables sobre la diagonal:

7.85 + 0.1~2 + 0.2~3 3

x1 =

-19.3 - 0 . 1 ~ 1 + x2 = 7

71.4 - 0.3~1 + 0.2~2 10 x3 =

[E8.3.1]

[E8.3.2]

[E8.3.3]

Suponiendo que x2 y x3 son cero, la ecuación (E8.3.1) puede usarse para calcular:

7.85 3

x1 = - = 2.616 666 667

Este valor, junto con el de = O , puede sustituirse en la ecuación (E8.3.2) obteniendo:

-19.3 - 0.1(2.616 666 667) + O ="2,794 523 810 x2 =

7

Page 282: Metodos numericos para ingenieros

GAUSS-JORDAN, INVERSIóN DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 27 1

La primera iteración se completa sustituyendo los valores de xI y x2 cal- culados en la ecuación (E8.3.3), obteniendo:

71.4 - 0.3(2.616 666 667) + 0.2("2.794 523 810) 10

x3 =

= 7.005 609 524

En la segunda iteración, se repite el mismo proceso obteniendo:

7.85 + 0.1(-2.794 523 810) + 0.2(7.005 609 524) 3 x1 =

= 2.990 556 508) l e u ( = 0.31%

-19.3 - O.l(Z.990 556 508) + 0.3(7.005 609 524) 7 x2 =

= -2.499 624 684 ( E " I = 0.015%

71.4 - 0.3(2.990 556 508) + 0.2(-2.499 624 684) x3 =

10 = 7.000 290 81 l ~ v l = 0.004 2%

El método, por lo tanto, converge a la solución real. Para mejorar las so- luciones se deben aplicar algunas iteraciones mds. Sin embargo, en este problema, no se debería saber la respuesta a priori. Por consiguiente, la ecuación (8.4) proporciona un medio para estimar el error:

2.990 556 508 - 2.616 666 667 €0, I = 2.990 556 508 100 = 12.5%

-2.499 624 684 - (-2.794 523 810) -2.499 624 684 %,2 = 100 = 11.8%

-u, J I 7.000 290 811 I *"" I 7.000 290 811 - 7.005 609 524 I

6. I ) = = 0.076%

Nótese que, al igual que cuando se determinan raíces de una ecuación, la formulaciones tales como la ecuación (8.4), en general dan una eva- luación conservadora de la convergencia. De esta manera, cuando fun- cionan, aseguran que el resultado se conozca al menos dentro de la tolerancia especificada por E,.

Page 283: Metodos numericos para ingenieros

272 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Nótese que el método de Gauss-Seidel, a medida que se calcula un nue- vo valor x, este mismo se usa inmediatamente en la siguiente ecuación que a su vez determina una nueva x. De esta forma, si la solución es con- vergente, se emplea la mejor aproximación posible. Un planteamiento di- ferente, al cual se le conoce como iteración de Jacobi, usa una táctica un poco diferente. En vez de usar el Qltimo valor calculado de las x, usa la ecuación (8.3) para calcular un nuevo valor de x en base a la aproxi- mación anterior de las x. De esta forma, al generar un nuevo valor no se usa de inmediato sino que se almacena para la siguiente iteración.

La diferencia entre los métodos de Gauss-Seidel y la iteración de Ja- cobi se muestra en la figura 8.5. Aunque existen algunos casos en donde el método de Jacobi converge más rápido, el uso de la Gltima aproxima- ción disponible convierte al método de Gauss-Seidel en el método pre- ferido.

8.3.1 Criterios de convergencia en el método de Gauss-Seidel

Nótese que el método de Gauss-Seidel es similar en proceso al método simple de iteración de punto fijo usado en la sección 5.1 en la solución de raíces de una ecuación. Recuérdese que la iteración de punto fijo tie- ne dos problemas fundamentales: l) algunas veces no converge y 2) cuar.- do lo hace, e s a menudo, muy lento. El método de Gauss-Seidel también puede tener estas fallas.

FIGURA 8.5 Esquema gráfico de la diferencia entre a) el método de Gauss-Seidel y b) el metodo de iteración de Jacobi, en la solución de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas.

Page 284: Metodos numericos para ingenieros

GAUSS-JORDAN, INVERSIóN DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 273

Una condición de convergencia es que los coeficientes sobre la dia- cJonal de cada una de las ecuaciones sea mayor que la suma de los otros coeficientes en la ecuación. Una expresión cuantitativa de este criterio es:

I b i r l = - w J L , I ~3.51

En donde la sumatoria varía desde j = 1 hasta n , excluyendo j = i . La ecuación (8.5) es un criterio de convergencia suficiente pero no necesa- rio. Esto es, aunque el método trabaje algunas veces sin que la ecuación (8.5) se cumpla, se garantiza la convergencia siempre y cuando (8.5) si se cumpla. A los sistemas donde se cumple la ecuación (8.5) se les cono- ce como diagonalmente dominantes. Afortunadamente, muchos proble- mas de ingeniería de importancia práctica llenan este requisito.

8.3.2. Mejoramiento en la convergencia usando relajación

La relajación representa una pequeña modificación del método de Gauss- Seidel y está diseñada para aumentar la Convergencia. Después que ca- da nuevo valor de x se calcula usando la ecuación (8 .3) , el valor se mo- difica mediante un promedio pesado de los resultados de las iteraciones anteriores y actuales:

X , n U e L o - - AX,nueL'o + (1 - ~ ) x , ~ a s a ~ ~ o P . 61

en donde X es un factor de peso al cual se le asigna un valor entre-O y 2. Si X = 1, (1 - X ) es igual a cero y el resultado permanece inaltera-

do. Sin embargo, si a X se le asigna un valor entre O y 1, el resultado es un promedio pesado de los resultados previos y actuales. A este tipo de modificación se le conoce como sobrerrelajación. Por lo general, esta opción se emplea para convertir un sistema divergente en uno convergente.

Si X se encuentra entre 1 y 2 se considera otro peso en el valor actual.. En este ejemplo, existe una suposición implicita de que el nuevo valor se mueve en la dirección correcta hacia la solución real pero con una ve- locidad muy lenta. De esta forma, el peso agregado a X intenta mejorar la aproximación empujándola hacia la real. Por lo que este tipo de modi- ficación, al cual se le llama sobrerrelajación, está diseñado para acelerar la convergencia de un sistema que ya es convergente.

La elección de un valor adecuado de X es un problema altamente es- pecífico y a menudo se determina por prueba y error. En general es ine- cesario en la solución de un sistema. Sin embargo, si el sistema bajo estudio se va a resolver varias veces, entonces puede ser de gran importancia una buena elección de X. Algunos ejemplos son los sistemas muy grandes de ecuaciones diferenciales parciales que a menudo tratan de modelar cam- bios en sistemas de variable continua (recuérdese el sistema a rnicroesca- la mostrado en la figura 1II.lb). El segundo caso de estudio del capítulo 9 muestra un ejemplo del empleo de la relajación dentro de un contexto de problemas de ingeniería.

Page 285: Metodos numericos para ingenieros

2 74 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

8.3.3 Algoritmo del método de Gauss-Seidel

En la figura 8.6 se muestra un algoritmo del método de Gauss-Seidel con relajación. Nótese que este algoritmo no está garantizado para obtener resultados adecuados si las ecuaciones no son de tipo diagonalmente do- minante.

Una manera de modificar el algoritmo para tomar un poco en cuenta esta desventaja es la de buscar los coeficientes de cada ecuación durante cada una de las iteraciones e identificar el mayor de ellos. La ecuación en turno se resuelve para el va!or de x asociada con el coeficiente. En el siguiente cálculo, se rastrean los coeficientes de los valores restantes de x y se encuentra el coeficiente mayor. La ecuación se resuelve para el valor correspondiente de x.

Procediendo de esta manera, se aumentan al máximo las opor- tunidades de alcanzar una dominancia diagonal. Sin embargo el es- quema no garantiza éxito en sistemas de alta divergencia. Por otra parte, no sería fácil de programar un algoritmo que implemente este esquema

8.3.4 Problemas de contexto en el método de Gauss-Seidel

Además de evitar el problema del redondeo, el método de Gauss-Seide! tiene otras ventajas que lo hacen particularmente atractivo en el contexto de ciertos problemas de ingeniería. Por ejemplo, cuando la matriz en cuestión sea muy grande y muy dispersa (esto es, que la mayor parte de los elementos son ceros, los métodos de eliminación gastan una gran can- tidad de memoria para almacenar los ceros.

En el recuadro 7.2, se muestra como puede evitarse este problema si la matriz de coeficientes es banda. Para sistemas diferentes, no es fácil evitar el uso de cantidades grandes de memoria, cuando se usan méto- dos de eliminación. Ya que todas las computadoras tienen una cantidad finita de memoria, esta ineficiencia puede llegar a ser una restricción real en el tamaño del sistema para el que, los métodos de eliminación resul- tan prácticos.

Aunque un algoritmo general como el de la figura (8.6) está propen- sa a la misma restricción, la estructura de las ecuaciones de Gauss-Seidel [€c. (8.3)] permite desarrollar programas concisos para sistemas espe- cíficos. Ya que en la ecuación (8.3) se necesita almacenar sólo los coefi- cientes diferentes de cero, es posible ahorrar grandes cantidades de memoria. Aunque esto impone mayor costo en la inversión de desa- rrollo de programas, las ventajas a largo plazo son sustanciales cuando se manejan sistemas grandes sobre los que se pueden realizar varios procesos. Los sistemas macro- y microvariables pueden generar matrices grandes y dispersas para las cuales se utiliza el método de Gauss- Seidel. En el caso de estudio 9.2 se trabaja un poco más sobre estos puntos.

Page 286: Metodos numericos para ingenieros

FIGURA 8.6 Diagrama de fluio del método de Gauss-Seidel con rela- jación.

275

Page 287: Metodos numericos para ingenieros

276 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

PROBLEMAS Cálculos a Mano

8.1

8.2

8.3

8.4

8.5

8.6

8.7

8.8

8.9

Úsese el método de Gauss-Jordan para resolver el problema 7 .6

Determínese la matriz inversa del problema 7.6. Compruébense los resultados mul- tiplicando [A] por [A]" y obténgase la matriz identidad.

Usando el método de Gauss-Jordan, repítase el problema 7 . 9

Determínese la matriz inversa del problema 7.9. Compruébense los resultados ve- rificando que [A][A]" = [!] . Evítese el uso de la estrategia del pivoteo.

Usando el método de Gauss-Jordan, con pivoteo parcial, calcúlese la matriz in- versa del problema 7.10. Ordenando la inversa de tal forma, que los renglones y las columnas conformen la secuencia de la matriz original anterior al pivoteo (véase la figura 8.4 y el análisis de la sección 8.2.3).

Úsese el método de Gauss-Jordan para resolver:

10x1 - 3x2 + 6x3 = 24.5

1x1 + 8x2 - 2x3 = -9

"2x1 + 4x2 - 9x3 -50

Determínese la matriz inversa del problema 8.6. Úsese la inversa para resolver el problema original así como para resolver el caso adicional en donde el vector de términos independientes es [CIT = [110 55 - 1051.

Resuélvase el problema 8.6 usando el método de Gauss-Seidel con un criterio de paro del E, = 10 % .

Resuélvase el problema 7 . 8 usando el método de Gauss-Seidel con un criterio de paro del t, = 10 % .

- 6 ~ 1 + 12x3 = 60

4x1 - x2 - x3 = -2

6x1 + 8x2 = 4 4

Page 288: Metodos numericos para ingenieros

GAUSS-JORDAN, INVERSldN DE MATRICES Y GAUSS-SEIDEL 277

8.12 Resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones:

usando a) eliminación gaussiana, b) el método de Gauss-Jordan y c) el método de Gauss-Seidel (es = 5 % ).

8.13 Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones:

usando a) eliminación gaussiana, b) el método de Gauss-Jordan y C) el método de Gauss-Seidel (E, = 5 % ) .

Problemas relacionados con la computadora

8.14 Desarróllese un programa amable con el usuario para el método de Gauss-Jordan, basado en la figura 8 .2 . Agréguese u n esquema similar al mostrado en la figura 7 . 1 0 empleando pivoteo parcial.

8.15 Pruébese el programa del problema anterior duplicando los cálculos del ejemplo 8 . 1

8.16 Repítanse los problemas 7.6 y 7 . 8 hasta el 7 .11 usando los programas desarrolla- dos en el problema 8 .14 .

8.17 Desarróllese un programa amable con el usuario para el método de Gauss-Jordan, con inversión de matrices y pivoteo parcial. Inclúyanse dentro del programa las características sugeridas en la sección 8 .2 .3 .

8.18 Repítanse los problemas 8 . 5 y 8.7 usando los programas desarrollados en el pro- blema anterior.

8.19 Desarróllese un programa amable con el usuario para el método de Gauss-Seidel basado en la figura 8.6. Hágase de tal forma que compruebe el criterio de conver- gencia expresado por la ecuación (8.5) . Además, inclúyase relajación como en la ecuación (8.6).

8.20 Pruébese el programa desarrollado en el problema anterior usando un duplicado del ejemplo 8.3.

8.21 Usando el programa del problema 8.19, repítanse los problemas 8.8 hasta el 8.11.

Page 289: Metodos numericos para ingenieros
Page 290: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O N U E V E

CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS

DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

LINEALES

El propósito de este capítulo, es el de usar los procedimientos analizados en los capítulos 7 y 8 en la solución de sistemas de ecuaciones algebrai- cas lineales en algunas aplicaciones de ingeniería. Estos métodos numé- ricos sistemáticos, son de importancia práctica ya que los ingenieros encuentran frecuentemente problemas que implican la solución de siste- mas de ecuaciones demasiado grandes para resolverse a mano. Los al- goritmos numéricos son particularmente convenientes en estas aplicaciones ya que pueden implementarse en microcomputadoras.

Entre otras cosas, los casos de estudio se han elaborado de manera que proporcionen ilustraciones reales de las características yfactores de importancia mencionados en los capítulos teóricos. Por ejemplo, el caso 9.1 muestra una ilustración simple de cómo usar las ecuaciones algebrai- cas lineales para satisfacer de forma simultánea cierta cantidad de condi- ciones independientes. Además, se usa ecte caso de estudio para mostrar la utilidad de la matriz inversa como una herramienta analítica, dentro del contexto de estos problemas. Aunque se ha tomado este ejemplo del cam- po de la ingeniería general, la idea básica tiene importancia en una gran variedad de contextos técnicos y analíticos.

El caso 9.2, tomado de la ingeniería química, es un ejemplo de un sistema de variable continua (o microvariable). El caso de estudio ilustra cómo se pueden emplear las diferencias finitas en la transformación de ecuaciones diferenciales en algebraicas. Al hacerlo así, se pueden usar los métodos de solución desarrollados en los capítulos 7 y 8 y obtener las soluciones. Aunque el ejemplo pertenece a la predicción de tempera- turas en sólidos, se utiliza el planteamiento general para simular la distri- bución continua de muchas otras variables de la ingeniería tales como la velocidad, la fuerza y la masa.

En contraste, los casos 9.3, 9.4 y 9.5 analizan sistemas de variable discreta (o macrovariable). El caso 9.3 hace hincapié en el uso de la ma- triz inversa en la determinación del complejo de las reacciones al aplicar cargas a una estructura. El caso 9.4 es un ejemplo del uso de las leyes de Kirchhoff en el cálculo de corrientes y voltajes en un circuito de resis-

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280 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

tencias. Finalmente, el caso 9.5 muestra cómo se emplean las ecuacio- nes lineales para determinar la dinámica de partículas y cuerpos rígidos.

CASO 9.1 DISTRIBUCIóN DE RECURSOS (INGENIERíA EN GENERAL)

Antecedentes: todos los campos de la ingeniería enfrentan situaciones en las que la distribución correcta de recursos es un problema critico. Estas situaciones se presentan al organizar inventarios de construcción, distri- bución de productos y recursos en la ingeniería. Aunque los problemas siguientes tienen que ver con la fabricación de productos, el análisis ge- neral tiene importancia en un amplio panorama de otros problemas.

Un ingeniero industrial supervisa la producción de cuatro tipos de computadoras. Se requieren cuatro clases de recursos -horas-Hombre, metales, plásticos y componentes electrónicos- en la producción. En el cuadro 9.1 se resumen las cantidades necesarias para cada uno de estos recursos en la producción de cada tipo de computadora. Si se dispone diariamente de 504 horas-hombre, 1970 kg de metal, 970 kg de plástico y 601 componentes electrónicos, ¿cuántas computadoras de cada tipo se pueden construir por día?.

Solución: la cantidad total producida de cada computadora está restrin- gida al total de recursos disponibles en cada categoría diariamente. Estos recursos totales se distribuyen entre los cuatro tipos de computadoras.

Sea xl, x,, x,, y x4 la cantidad total de computadoras producidas dia- riamente de cada clase. Se sabe que la cantidad total de horas-hombre disponibles diariamente es de 504. Por lo tanto, la suma de las distribu- ciones de horas-hombre en la producción de cada una de las computa- doras debe ser menor o igual que 504. Por lo tanto (usando los datos del cuadro 9. l),

3x1 + 4x2 + 7x3 + 20x4 5 504 r9.11

De la misma manera para los metales, plásticos y componentes:

20x1 + 25x2 + 40x3 + 50x4 5 1970

10x1 + 15x2 + 20x3 + 22x4 5 970

loxl + 8x2 + lox3 + 15x4 5 601

Cada una de estas ecuaciones se debe satisfacer de forma simultánea de otra manera, se acabaría uno o más de los recursos necesarios en la pro- ducción de los cuatro tipos de computadoras. Si los recursos disponibles, representados por el vector de términos independientes de las ecua- ciones anteriores, se reducen todos a cero simultáneamente, entonces se

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CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 281

CUADRO 9.1 Recursos necesarios para producir cuatro tipos de computadoras

Horas/ Metales Plásticos Componen- hombre, kglcompu- kglcompu- tes, unida-

Compu- kglcompu- tadora tadora deslcompu- tadora tadora tadora

1 3 20 10 10 2 4 25 15 a 3 7 40 20 10 4 20 50 22 15

puede reemplazar el signo menor o igual por el de igual. En este caso, la cantidad total de cada tipo de computadora producida se puede calcu- lar resolviendo un sistema de. ecuaciones de 4 por 4 usando los métodos de los capítulos 7 y 8.

Ya que este sistema no es diagonalmente dominante, el método de Gauss-Seidel puede divergir. Sin embargo, se puede aplicar la elimina- ción gaussiana o el método de Gauss-Jordan y calcular:

x1 = 10 x2 = 12 x3 = 18

= 15

Esta información se usa en el cálculo de las ganancias totales. Por ejem- plo, supóngase que las ganancias correspondientes a cada computadora están dadas por p1,p2, p3, y p4. La ganancia total asociada con un día de actividad (P) está dada por

p = PlXl + P2X2 + P3X3 + P4x1 P.51

Se sustituyen los resultados de x, = 10,x2 = 12,x, = 18 y x4 = 15 en la ecuación (9.5) y se calcula una ganancia de (usando los coeficien- tes del cuadro 9.2) :

P = 1 O O O ( l 0 ) + 700 (12) + 1 lOO(18) + 400(15) = 44 200

CUADRO 9.2 Ganancias correspondientes a cada una de las cuatro computadoras.

Computadora $I computadora

1 2 3

Ganancias

1 O00 700

1 100

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282 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

De esta forma, se puede obtener una ganancia de $44 200 diarios, con los recursos especificados en el problema.

Ahora, supóngase que existe la posibilidad de aumentar cualquie- ra de los recursos disponibles. Un objetivo es el de valorar qué recursos se deben escoger de tal forma que generen la mayor ganancia. Una manera de hacerlo es el de incrementar cada uno de los cuatro recursos individual- mente, calcular las ganancias y posteriormente comparar los resultados.

Una alternativa más simple se basa en la matriz inversa, que se puede calcular usando el método de Gauss-Jordan, como:

[ 1 -0.081 7 0.039 6 -0.146 5 0.191 8 [A]" = 0.106 6 -0.225 6 0.408 5 0.010 7

-0.136 8 0.172 8 "0.190 9 -0.113 7 0.088 8 -0.021 3 0.007 1 0.008 9

Cada uno de los elementos aij~' indica el crecimiento en la computadora i debido al crecimiento unitario del recurso j. Por ejemplo, el elemento alyl especifica un incremento unitario de 0.039 6 de la computadora 1 cuan- do se agrega un kilogramo de metal. Nótese que algunos de los coeficientes son negativos, indicando que un incremento unitario en algunos recursos ba- ja la producción de ese tipo de computadora.

Ahora, con esta información como antecedente, se puede llevar a cabo un evaluación rápida sobre los beneficios obtenidos al incrementar cada uno de los recursos multiplicando los elementos de cada columna por la ganancia unitaria del cuadro 9.2. Por ejemplo, en la primera columna:

API = -0.081 7 ( 1 000) + 0.106 6(700) - 0.136 8(1 100) +0.088 8(400) = -122.04

en donde A Pj es el incremento en ganancias debido a un incremento al recurso j . De esta forma, un incremento unitario en horas-hombre baja en $122.04 las ganancias. Se pueden llevar a cabo cálculos similares so- bre los otros recursos, para obtener:

Ap2 = $ 63.24

A% = $-67.70

AP4 = $ 77.78 De esta forma, un incremento de componentes 0' = 4 genera una mayor ganancia, seguida por el aumento en los metales 0' = 2). El análisis indi- ca también que un incremento en los plásticos 0' = 3) genera pérdidas.

El problema anterior es una variación del análisis general sobre eco- nomía conocido corno modelo de entrada-salida. Este ejemplo, difiere de la aplicación clásica de esta técnica en la cuantificación de transferen- cia de material entre los sectores de la economía. Sin embargo, el USO

de la matriz inversa profundiza en interacciones complejas de sistemas li- neales y es muy representativo del proceso del modelo de entrada-salida.

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CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 283

Como tal, ayuda a ilustrar cómo los métodos numéricos aumentan la com- prensión al manejar sistemas acoplados muy grandes.

CASO 9.2 CALCULO DE DISTRIBUCIóN DE TEMPERATURAS (INGENIERíA QUíMICA)

Antecedentes: la mayor parte de los diferentes campos de la ingeniería manejan distribuciones de temperatura en materiales sólidos. Estos pro- blemas son tan variados como la distribución de temperatura en un cono de proareentrante y la temperatura de un río bajo una planta de energía productora de hielo. La distribución de temperatura en estado estaciona- rio bidimensional se define por la ecuación de Laplace:

a2T a2T - + - = o ax2 ay2

~9.61

en donde T es la temperatura y x y y son las coordenadas. Las derivadas de la ecuación (9.6) se aproximan usando diferencias finitas (véase la sec- ción 3.5.4). La figura 9.1 muestra una malla bidimensional, esquema útil en las aproximaciones desarrolladas para la ecuación (9.6). Las aproxi- maciones por diferencias divididas de las derivadas son:

aT AT ?;+l,j - T., - =" - dx Ax Ax

y de manera similar,

En seguida, suponiendo que A x = A y , la ecuación de Laplace se pue- de aproximar como:

T + 1,j + T - I , , + T,j + 1 + T,j - 1 - 4T,j = O P . 71

la cual es aplicable a cada nodo i , j de la figura 9.1. Parece ser que al aplicar la ecuación (9.7) a cada nodo resulta un sistema de ecuaciones acopladas, ya que la temperatura en varias posiciones aparece en más de una ecuación. Esto produce un sistema de ecuaciones algebraicas li- neales simultáneas, que se pueden resolver usando los métodos descri- tos en los capítulos 7 y 8.

Considérese la placa plana de la figura 9.2 Los lados de la placa se mantienen a temperaturas constantes de O" y looo C , como se muestra

Page 295: Metodos numericos para ingenieros

284 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 9.1 Malla bidimensional que se usa en el desarrollo de aproximaciones por diferencias finitas de la temperatura sobre una placa plana.

FIGURA 9.2 Placa plana en donde se mantienen los iodos a temperaturas constantes de O' y 100°C, como se indica en la figura.

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CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 285

en la figura. La distribución de la temperatura dentro de la placa se pue- de aproximar en nueve puntos internos aplicando la ecuación de Lapla- ce en cada punto. Esto genera el siguiente conjunto de ecuaciones dado en notación matricial:

r

- 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 - 4 1 0 1 0 0 0 0 0 1 - 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 - 4 1 0 1 0 0 o 1 o 1 - 4 1 o 1 o 0 0 1 0 1 - 4 0 0 1 0 0 0 1 0 0 - 4 1 0 0 0 0 0 1 0 1 - 4 1

L o o o o o 1 o 1 - 4

T2 I T3 I T 2 i I T22 T23 I TH I

- 100 - 100 -200

O O

- 100 O O

- 100 Solución: se observa que el sistema resultante de ecuaciones es diago- nalmente dominante y , por lo tanto, compatible con el método de Gauss- Seidel del capítulo 8. En este caso, se garantiza la convergencia ya que se satisface la ecuación (8.5). Se asegura también exactitud ya que los errores de redondeo no son problema en el método de Gauss-Seidel. Usan- do una E , = 0.05% después de 13 iteraciones se obtienen los resultados siguientes:

FIGURA 9.3 Distribución de la temperatura sobre una placa plana, calculada con el método de Gauss-Seidel.

Page 297: Metodos numericos para ingenieros

286 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Los resultados se muestran en la figura 9.3. La simulación se lleva a cabo con el método estándar de Gauss-Seidel.

Debido a que este sistema es convergente, la relajación puede servir para acelerar la convergencia. Por lo tanto, se repiten dos veces más los cálculos, usando X = 1.25 y X = 1.5.

Los resultados, que se grafican en la figura 9.4, sugieren un valor de X en la vecindad de 1.25. Usando las técnicas descritas en el capitulo 11 (nótese que se puede usar un bosquejo para obtener un valor aproxima- do), se ajusta una ecuación cuadrática a los puntos de la figura (9.4). Esta ecuación es:

n = 96A2 - 236A + 153

en donde n es el número de iteraciones correspondiente a un valor parti- cular de X. Se puede determinar un mínimo derivando la ecuación y ob- teniendo:

FIGURA 9.4 Gráfica del número de iteraciones contra X, el coeficiente de relajación. Los tres puntos proporcionados como datos sugieren un número mínimo de iteraciones en la vecin- dad de X = 1.25. Ajustando una parábola a los datos, se puede calcular que el nú- mero mínimo de iteraciones corresponde al valor de X = 1.23.

Page 298: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 287

dn dA " - 192A - 236

El mínimo se encuentra cuando dn / dh es cero, lo cual lleva al punto donde la pendiente de la figura 9.4 es nula. En este caso, se determina un valor de h = 1.23 Volviendo a realizar los cálculos con este coeficien- te de relajación se obtiene la solución en sólo ocho iteraciones.

De esta forma, si se van a realizar más cálculos para este problema en particular, se debe emplear una valor de h = 1.2 para alcanzar los resultados más eficientes. En este caso, el ahorro de tiem- po en un solo cálculo es despreciable. Sin embargo, en la simulación múl- tiple de sistemas grandes, la elección acertada de h posiblemente redituará ahorros sustanciales.

Este tipo de procedimiento se puede extender a problemas más com- plejos que incluyen esquemas geométricos irregulares. Los problemas prác- ticos de este tipo requieren algunas capacidades de cálculo automáticas, pero, excepto en casos de sistemas extremadamente grandes, una mi- crocomputadora llenará todos los requisitos.

CASO 9.3 ANALISIS DE UNA ARMADURA ESTATICAMENTE DETERMINADA (INGENIERíA CIVIL)

Antecedentes: un problema de importancia en ingeniería estructural es el de encontrar las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura es- táticamente determinada. La figura 9.5 muestra un ejemplo de tales ar- maduras.

FIGURA 9.5 Fuerzas que actuán sobre una armadura estáticarnente determinada.

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288 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Las fuerzas ( F ) representan ya sea las tensiones o las compresiones de los elementos de la estructura. Las reacciones externas (H2 V2 V,) son fuerzas que caracterizan cómo interacciona la armadura con la su- perficie que la soporta. El gozne del nodo 2 puede transmitir fuerzas hori- zontales y verticales a la superficie, mientras que el rodillo del nodo 3 sólo transmite fuerzas verticales. Se observa que el efecto de la carga externa de 1 O00 kg se distribuye a todos los elementos de la armadura. Solución: este tipo de estructuras se pueden describir como un sistema de ecuaciones algebraicas lineales acopladas. En la figura 9.6 se mues- tran los diagramas de cuerpo libre sobre cada nodo. La suma de las fuer- zas en las direcciones vertical y horizontal debe ser cero en cada nodo, ya que el sistema se encuentra en reposo. Por lo tanto, para el nodo 1 :

XFV = O = -Fl sen 30" - F3 sen60" + F1," P.91

para el nodo 2:

XFv = O = Fl sen 30" + Fz, u + VZ [9.11]

para el nodo 3:

XFv = O = F3 sen 60" + F3," + V3 [9.13]

FIGURA 9.6 Diagramas de cuerpo libre en los nodos de la armadura estáticamente determinada.

Page 300: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 289

en donde Fj,h es la fuerza horizontal externa aplicada al nodo i (una fuer- za positiva va de izquierda a derecha) y F;," es la fuerza vertical externa aplicada al nodo i (una fuerza positiva va de arriba hacia abajo). De esta manera, en este problema, la fuerza hacia abajo de 1 O00 kg sobre el no- do 1 corresponde a F,," = - 1 000. En este caso las fuerzas restantes Fj,v,F;,h son cero. Nótese que la dirección de las fuerzas y reacciones inter- nas son desconocidas. La aplicación correcta de la segunda ley de New- ton requiere Gnicamente que las suposiciones relacionadas con las direcciones sean consistentes. Si las direcciones no se toman correctamente, entonces la solución será negativa. También nótese que en este proble- ma las fuerzas de todos los elementos se supone que están en tensión y que actúan jalando a la vez a los nodos adyacentes. Este problema se puede escribir como el siguiente sistema de seis ecuaciones con seis in- cógnitas: -

0.866 O -0.5 O 0 0 0.5 O 0.866 O O O

-0.866 -1 O -1 o o -0.5 O 0 o -1 o

O 1 0.5 O 0 0 O O -0.866 O O -1

Nótese que, como se formula en la ecuación (9.14),

i O -

- 1000

- 0 o - E9.141

J

parcial para evitar divisiones por cero sobre los elementos de la diagonal. Empleando una estrategia de pivoteo, el sistema se puede resolver usan- do las técnicas de eliminación analizadas en los capítulos 7 y 8. Sin em- bargo, debido a que este problema es un caso de estudio ideal para demostrar la utilidad de la matriz inversa, se usa el método de Gauss-Jordan para obtener:

y la matriz inversa es:

[A]-1 =

0.866 0.5 O 0 0 0 0.25 -0.433 O O 1 O

- 0.5 0.866 O O O O -1 O -1 o -1 o -0.433 -0.25 O -1 O O

0.433 -0.75 O O O - 1

se requiere-pivote0

Ahora, supóngase que el vector de términos independientes representa las fuerzas horizontales y verticales aplicadas externamente a cada nodo, como:

Page 301: Metodos numericos para ingenieros

290 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Debido a que las fuerzas externas no tienen efecto sobre la matriz de coe- ficientes, el método de Gauss-Jordan no se necesita implementar una y otra vez para analizar el efecto de las fuerzas externas diferentes sobre la ar- madura. En vez de esto, todo lo que se tiene que hacer es multiplicar la matriz inversa por cada uno de los vectores de términos independien- tes para obtener soluciones alternativas diferentes. Por ejemplo, podría desearse estudiar el efecto de las fuerzas horizontales producidas por el viento que sopla de izquierda a derecha. Si la fuerza eólica se puede re- presentar como dos fuerzas puntuales de 1 O00 kg cada una sobre los nodos 1 y 2 (Fig. 9.7), entonces el vector de términos independientes es:

[Vector de términos independiente^]^ = [ 1 O00 O 1 O00 O O O]

que se puede multiplicar por la matriz inversa para dar:

Fl = 866 F 2 = 250 F3 = -500 H* = -2000 v2 = -433 v. = 433

Para un viento de derecha, Fj,h = - 1 000, F3,h = - 1 000, y todas las demás fuerzas externas son cero, resultando:

FI = -866 F2 = -1250 F3 500 H, = 2000 v, = 433 v, = -433

Los resultados indican que los vientos han tenido marcados efectos dife- rentes sobre la estructura. Ambos casos se muestran en la figura 9.7. Los elementos individuales de la matriz invertida tienen también utilidad directa en el esclarecimiento de las interacciones carga-respuesta de la es- tructura. Cada uno de los elementos representa el cambio de una de las variables hacia un cambio unitario de uno de las cargas externas. Por ejem- plo, e] elemento aG1 indica que la tercera incógnita F3) cambiará 0.866

" ~

FIGURA 9.7 Dos casos de carga que muestran a) vientos de izquierda y b) vientos de derecha.

Page 302: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 29 1

debido a la carga unitaria de la segunda carga externa F1,”). De esta for- ma, si la carga vertical en el primer nodo se aumenta en uno, entonces F3 se incrementa en 0.866. El hecho de que los elementos sean cero in- dica que ciertas incógnitas permanecen inalteradas por alguna de las car- gas externas. Por ejemplo, a = O significa que F, no se altera por cambios en FZ,h. Esta habilidad de aislar interacciones tiene una cantidad de aplicaciones en la ingeniería incluyendo la identificación de aquellos componentes que son más sensibles a las cargas externas y, por lo tanto están más propensos a la falla. El planteamiento anterior viene a ser particularmente útil cuando se apli- ca a estructuras complejas. En la práctica de la ingenieria puede necesi- tarse la solución de estructuras con cientos o tal vez miles de elementos estructurales. Las ecuaciones lineales son una herramienta útil en la com- prensión del comportamiento de estas estructuras.

CASO 9.4 CORRIENTES Y VOLTAJES EN CIRCUITOS RESISTIVOS (INGENIERíA ELÉCTRICA)

Antecedentes: un problema común en la ingeniería eléctrica es aquel que implica la determinación de corrientes y voltajes en varias posiciones de

ley de corriente de Kirchhoff y la ley de Ohm. La ley de la corriente dice que la suma algebraica de todas las corrientes sobre un nodo debe ser cero (Fig. 9.8a), o

i l Nodo i , circuitos complejos de resistencias. Estos problemas se resuelven con la ” I .

‘2

Cik = O [9.16]

en donde todas las corrientes que entran al nodo tienen signo positivo. a)

Y R if 1: La ley de Ohm dice que la corriente a través de una resistencia está .”.,‘ ’ ” , * - dada en función del cambio de voltaje y de la resistencia (Fig. 9.8b),

‘i /

b)

FIGURA 9.8 Represen- tación esquemática de la a)ley de la corriente de Kirchhoff y b)ley de Ohm.

3 R = l O R 2 R = 5 R v, = 200 v

R = 5 n R = l O R

& = o v R = l 5 R R = 2 0 R 6

[9.17]

FIGURA 9.9 Solución del circuito de una resistencia usando ecuaciones algebraicas lineales sirnul- táneas.

Page 303: Metodos numericos para ingenieros

292 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

3 2 1

154 '6 5 c- -

4 5 6

FIGURA 9.10 Direcciones en las cuales se supone que circula la corriente.

Solución: los problemas de este tipo generan sistemas de ecuaciones al- gebraicas lineales simultáneas ya que los ciclos dentro de un circuito es- tán acoplados con los otros. Por ejemplo, considérese el circuito mostrado en la figura 9.9. Se desconoce la magnitud y la dirección de las corrientes asociadas con este circuito. Esto no presenta gran dificultad ya que sim- plemente se supone una dirección para cada corriente. Si la solución re- sultante de la ley de Kirchhoff es negativa, entonces la dirección dada es incorrecta. Por ejemplo, la figura 9.10 muestra las corrientes supuestas.

Dadas estas ecuaciones, las cuatro ecuaciones de las corrientes para cada nodo están dadas por:

iI2 + + = O

i& - is2 - i.54 = o i43 - i32 = o i54 - i43 = O

y las seis ecuaciones del voltaje como:

200 - v, . v 5 - v4 . v5 - v, =

5 154 - 15

152 = - 10

en donde la corriente fluye del voltaje más alto al más bajo. Estas ecua- ciones son equivalentes a la siguiente notación matricial:

1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 o o 0 - 1 1 - 1 o o o o 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 o O 0 o 1 - 1 o o 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 - 1 0 O O 0 1 5 0 O 0 O 1 - 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 o o o O 0 1 0 1 o 0 - 1

I O O O O

= o ZOO O O O O

Page 304: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 293

V = 153.85 i’= 169.23 V = 200

: c 8

li = 146.15 I/= 123.08 V = O

FIGURA 9.1 1 Solución de voltajes y corrientes obtenidos usando un método de eliminación.

que representa un sistema de 10 ecuaciones con 10 incógnitas. Aunque es impráctico resolver este sistema a mano, se puede resolver fácilmente usando un método de eliminación tal como la eliminación gaussiana o el método de Gauss-Jordan. De esta manera, la solución es:

i12 = 6.153 8 ¡a = -6.153 8 V4 = 146.15 ¡32 = -1.538 5 i52 = -4.615 4 V, = 123.08

iS4 = -1.538 5 V 3 = 153.85 i43 = - 1.538 5 V2 = 169.23

Por lo tanto, con una interpretación apropiada de los signos en los resul- tados, la figura 9.11 muestra las corrientes y los voltajes en el circuito. Evidentemente se obtendrían mayores ventajas si se usaran algoritmos numéricos y microcornputadoras en este problema.

CASO 9.5 DINÁMICA DE PARTíCULAS Y CUERPOS RíGIDOS

FIGURA 9.12 Tres bloques conectados por cuerdos de pe- so despreciable sobre un plano inclinado.

(INGENIERíA MECANICA) Antecedentes: la dinámica del movimiento de partículas y de los cuerpos rígidos juega un papel muy importante en muchos problemas de mecáni- ca y otros campos de la ingeniería. Este movimiento se puede describir mediante las leyes de Newton. La aplicación de las leyes de Newton para partículas simples genera dos ecuaciones. Sin embargo, si algunas partí- culas del sistema afectan a otras, entonces se puede generar un gran nú- mero de ecuaciones simultáneas.

Por ejemplo, considérese el sistema mostrado en la figura 9.12. Hay tres bloques atados por una cuerda de peso despreciable apoyados sobre una superficie lisa inclinada 45O respecto a la horizontal. El coeficiente de fricción entre el plano y la masa de 100 kg es de 0 .25 y entre las ma- sas de 50 y 2 0 kg es de 0.375.

Solución: en la figura 9.13 se muestran los diagramas de cuerpo libre de los tres bloques. Las unidades de las fuerzas son newtons (kilogramos por

Page 305: Metodos numericos para ingenieros

294 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

T R

100 X 9.8 = 980 50 x 9.8 = 490 20 X 9.8 = 196

FIGURA 9.13 Diagramas de cuerpo libre para los bloques sobre un plano inclinado.

metro por segundo al cuadrado), m es la masa en kilogramos y a es la aceleración en metros por segundo al cuadrado. Sumando fuerzas en dirección paralela al plano y usando la segunda ley de Newton (F = ma) ,

692.96 - 173.24 - T = lOOa

346.48 - 129.93 + T - R = 50a

138.59 - 51.97 + R = 2 0 ~

o. en forma matricial:

Resolviendo este sistema con eliminación gaussiana, se obtiene:

a = 4.840 5 m/s2

T = 36.667 1 N R = 10.190 6 N

El expresar las ecuaciones del movimiento en forma matricial es un planteamiento general y adaptable para problemas de este tipo. Aunque el problema que se resolvió aquí fue fácil, el caso de estudio sirve para ilustrar el planteamiento general e inspirar, al menos eso se espera. las aplicaciones a problemas más difíciles. Cuando se jun- tan con un método numérico y una microcomputadora, son una herramienta muy útil que se puede usar en una gran variedad de problemas complejos.

Page 306: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 295

PROBLEMAS Ingeniería en general

9.1 Repítanse los cálculos del caso 9.1 usando los programas propios.

9.2 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.1, cambiando los totales de horas- hombre, metales, plásticos y componentes a 856 h, 3 050 kg, 1 450 kg y 948 unidades respectivamente.

9.3 Un ingeniero supervisa la producción de tres tipos de automóviles. Se requieren tres clases de materiales "metal, plástico y caucho- para la producción. La cantidad necesaria para producir cada automóvil es de

Auto- Metalr Plirtiro, Cauchor móvil kglauto kglauto kglauto

1 1500 25 1 O0 2 1700 33 120 3 1900 42 160

Si se dispone de un total de 106 toneladas de metal, 2.17 toneladas de pltistico y 8.2 toneladas de caucho diariamente, ¿cuántos automóviles se pueden producir por día?.

9.4 Un ingeniero requiere 4 800 m 3 de arena, 5 810 m3 de grava fina y 5 690 m3 de grava gruesa para la construcción de un proyecto. Existen tres bancos donde se pueden obtener estos materiales. La composición en cada banco es de:

~~~

Banco Arena Grava fina, Grava TO 010 010 gruesa O/o

banco 1 52 30 banco 2 20 50 banco 3 25 20

18 30 55

¿Cuántos metros cúbicos se debe tomar de cada banco para cumplir con las necesi- dades del ingeniero?

Ingeniería química

9.5 Repítanse los cálculos del caso 9.2 con los programas propios.

9.6 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.2 cambiando la temperatura de la pared a 200°C.

Page 307: Metodos numericos para ingenieros

296 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

9.7 Usando el mismo planteamiento del caso 9.2, calcúlese la distribución de tempera- tura en una varilla calentada en ambos extremos, como se muestra en la figura P9.7. Aplíquese la forma unidimensional de la ecuación (9.6):

d2T

dx2 -__- - 0

en donde x es la distancia a lo largo de la varilla. Grafíquese T contra x.

FIGURA P9.7 Una varilla unidimensional se mantiene oislado a u n a temperatura constante en sus extremos. Los puntos indican las posiciones en donde debe aplicarse la forma unidi- mensional de la ecuaciól (9.6) para calcular la distribución de la temperatura a lo largo de la varilla.

9.8 Repítase el problema 9 .7 incluyendo una pérdida de calor en la ecuación:

en donde r es el coeficiente de pérdida de calor, igual a 0.01 cm -’ y la longitud de la varilla es de 10 cm. Grafiquese T contra x.

9.9 La figura P9.9 muestra tres reactores ligados por tubos.Como se puede ver. la ve- locidad de transferencia de sustancias químicas a través de los tubos es igual a la velocidad de flujo (Q, con unidades de metros cúbicos por segundo) mul~iplicada por la concentración del reactor del cual surge el flujo (c. con unidades de miligra- mos por metro cúbico). Si el sistema es estacionario, la transferencia en cada reac- tor balancea la transferencia de salida. Por ejemplo. en el reactor 1. (entrada) =

(salida), o:

500 + Q21C2 = Q12C1 + Q 1 3 ~ 1

o , usando las velocidades de flujo especificadas como en la figura € 9 . 9 :

500 + 2 0 ~ 2 = 8 0 ~ 1 + 4 0 ~ 1

en donde 500 es una entrada directa (miligramos por segundo). Desarróllense ecua- ciones de balance de masas comparables para cada uno de los otros reactores y resuélvanse las tres ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para la concentra- ción en los reactores.

Page 308: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 297

FIGURA P9.9 Tres reactores ligados por tubos. La velocidad de transferencia de masa a lo largo de cada tubo es igual al producto del fluio Q y la concentración c del reactor donde se origina el fluio.

9.10 Empleando el mismo planteamiento básico del problema 9.9, determínese la con- centración de cloruro en cada uno de los Grandes Lagos con la información de la figura P9.10.

Ingeniería civil

9.11 Repítanse los cálculos del caso 9.3 con los programas propios.

Page 309: Metodos numericos para ingenieros

298 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

9.12 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.3 cambiando el ángulo del nodo 2 a 40° y el del nodo 3 a 55”. I I

i 9.13 Efectúense los mismos dálculos del caso 9.3, con la estructura mostrada en la figu-

45 45 ra P9.13. ..~. ”. . I P 9.14 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.3, con la estructura de la figura P9.14.

FIGURA P9.13. 500 180

FIGURA P9.14.

Ingeniería eléctrica

9.15 Repítanse los cálculos del caso 9.4, usando los programas propios.

9.16 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.4, cambiando la resistencia entre los no dos 3 y 4 a 15 Q y cambiando el voltaje V6 a 50 V .

9.17 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.4. con el circuito mostrado en la figura P9.17.

FIGURA P9.18.

Page 310: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE TRES: SISTEMAS DE ECUACIONES ALGEBRAICAS LINEALES 299

Ingeniería mecánica

9.19

9.20

9.2 1

9.22

9.23

Repítanse los cálculos del caso 9.5, usando los programas propios.

Efectúense los mismos cálculos del caso 9 . 5 , cambiando el ángulo a 55O respecto a la horizontal.

Efectúense los mismos cálculos del caso 9 .5 , cambiando el coeficiente de fricción de la masa de 100 kg a 0 . 5 y el de las masas de 50 y 2 5 kg a 0.25.

Efectúense los mismos cálculos del caso 9.5, cambiando las masas de 100, 50 y 20 kg a 45 , 20 y 80 kg, respectivamente.

Efectúense los mismos cálculos del caso 9.5, para el sistema mostrado en la figura P9.23.

9.24 Efectúense los mismos cálculos del caso 9.5, con el sistema mostrado en 13 figura P9.24. (los ángulos son de 45').

9.25 Léanse todos los casos del capítulo 9 . En base a la lectura y a la experiencia elabó- rense los propios casos en cualquier campo de la ingeniería. Esto puede implicar modificar o reexpresar alguno de ellos; sin embargo, pueden ser también totalmen- te originales. Como los ejemplos de este libro, se deben inspirar en el contexto de la ingeniería y se debe demostrar el uso de los métodos numéricos para solucionar sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Escríbanse los resultados usando los casos de este capítulo como modelos.

FIGURA P9.24.

Page 311: Metodos numericos para ingenieros
Page 312: Metodos numericos para ingenieros

E P [LOGO: PARTE Ill

111.4 ELEMENTOS DE JUICIO En el cuadro 111.2 se muestra un resumen de los ele-

mentos de juicio implicados en la solución de ecuacio- nes algebraicas lineales simultáneas. Hay tres métodos; gráfico, regla de Cramer y manipulación algebraica que están limitadas a pocas ecuaciones (n I 3) y por lo tanto tienen poca utilidad práctica en la solución de problemas. Sin embargo, estas técnicas son herramien- tas didácticas muy útiles en la comprensión del com- portamiento de sistemas lineales en general.

Los métodos numéricos mismos se dividen en dos cate- gorías generales: métodos exactos y métodos aproxi- mados. Como su nombre lo indica, los primeros obtienen soluciones exactas. Sin embargo, ya que se ven afectados por los errores de redondeo, en algu- nas ocasiones ofrecen resultados erróneos. La magni- tud del error de redondeo varía de sistema a sistema y depende de una serie de factores. Estos incluyen las dimensiones del sistema, su condición y s i la matriz de coeficientes es dispersa o completa. Además, la preci- sión de la computadora influye en el error de redon- deo. En general, se escogen los métodos exactos para resolver pocas ecuaciones (esto es, aquellos sistemas menores de 50 ecuaciones).

Se usan comúnmente dos métodos; la eliminación gaussiana y el método de Gaus-Jordan. Se recomien- da emplear la estrategia de pivote0 en cualquier implementación que se haga de estos métodos sobre una computadora. Con la ayuda de esta estrategia, los errores de redondeo disminuyen y se evitan pro- blemas como la división por cero. Aunque en todos los demás sentidos son iguales, la eliminación gaussiana es preferible a Gauss-Jordan, ya que la primera es un 50% más rápida. Sin embargo, el método de Gauss- Jordan sigue siendo útil ya que se puede modificar un poco de manera que se pueda obtener la matriz inver- sa como beneficio adicional en los cálculos.

Aunque los métodos de eliminación tienen una gran uti- lidad, el uso de toda la matriz de coeficientes puede ser un factor lirnitante cuando se trata de sistemas muy grandes y dispersos. Esto se debe a que grandes por- ciones de memoria en la computadora deben almace- nar ceros sin sentido. Para sistemas en forma de banda, existen métodos disponibles para la implementación de la eliminación gaussiana sin tener que almacenar la ma- triz de coeficientes completa. En el recuadro 7.2 sedes-

Page 313: Metodos numericos para ingenieros

302 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

U C

C c .- E .- J

m

Page 314: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO PARTE I l l 303

U O

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2

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a, o ? ul VI 3 s

Page 315: Metodos numericos para ingenieros

304 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

cribe un algoritmo muy simple para llevar a cabo lo anterior en sistemas es- peciales con forma de banda; el caso tridiagonal.

AI método que se describe en este libro se le conoce con el nombre de Gauss- Seidel. Es diferente del método exacto en cuanto a que éste emplea un es- quema iterativo en la obtención progresiva de aproximaciones más cerca- nas a la solución. Por lo tanto, el efecto del redondeo es un punto discutible dentro del método de Gauss-Seidel, ya que las iteraciones se pueden pro- longar tanto como sea necesario para obtener la precisión deseada. Ade- más, la versión del método de Gauss-Seidel puede desarrollarse de manera que se pueda ahorrar espacio en memoria para sistemas dispersos. Por lo tanto, el método de Gauss-Seidel es el método preferencial en sistemas gran- des de ecuaciones (loo), en donde los errores de redondeo y los requisi- tos de almacenamiento vienen a ser un problema significativo para las técnicas exactas.

La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre converge a la solución exacta o algunas veces lo hace de manera muy lenta. Unicamen- te es confiable para aquellos sistemas dominantes diagonalmente. Sin em- bargo, se dispone de los métodos de relajación que a veces ignoran estas restricciones. Además, ya que muchos sistemas algebraicos lineales origina- dos de problemas físicos muestran dominancia diagonal, el método de Gauss- Seidel tiene gran utilidad en la solución de problemas de ingeniería.

En resumen, se conjuntan una serie de factores en la selección de una técnica para resolver un problema en particular que involucre ecuaciones algebraicas lineales. Sin embargo, como ya se mencionó, el tamaño y la dispersión del sistema son factores particularmente importantes al determinar la elección.

111.5 RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES

Cada una de las partes de este libro contiene una sección que resume las fórmulas de mayor importancia. Aunque la parte I l l no menciona fórmulas simples, se ha usado el cuadro 111.3 para resumir los algoritmos que se han cubierto. La tabla proporciona una visión global que resulta útil en la revi- sión y en la clarificación de las diferencias principales entre los métodos.

111.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES

Los métodos de este texto se han limitado a las técnicas más simples en la solución de ecuaciones lineales simultáneas.

Page 316: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO PARTE 111 305

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I I I I I I * " * " s t

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I l l

I -SN x- ,x-

8 ( 5 " & -

Page 317: Metodos numericos para ingenieros

306 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Existen otros mgtodos que uscin el mismo contexto de los problemas así como también otros que tratan sobre valores propios y ecuaciones simultáneas no li- neales.

Descomposición LU (Llamado también método de Cholesky o método de Crout) es una técnica particularmente eficiente en la solución de algunos problemas que se han mencionado en la parte I l l . Se encuentran buenas descripciones y algoritmos de computadora para este método en James, Smith y Wolford ( 1 977) y Gerald y Wheatley (1 984).

Existen una variedad de tkcnicas para determinar los valores propios. James, Smith y Wolford (1 977); Gerald y Wheatley (1 984) y Hornbeck (1 975) propor- cionan una introducción al tema. El tema se trata más a fondo en Ralston y Ra- binowitz (1 978); Householder (1 964) y en Wilkonson (1 965).

Las ecuaciones simultáneas no lineales a veces se pueden resolver usan- do el método de Gauss-Seidel. Además, una versión multidimensional ofre- ce un esquema más eficiente, aunque más complicado del método de Newton-Raphson. En los libros de Carnahan, Luther y Wilkes ( 1 969); Ge- rald y Wheatley ( 1 984) y James, Smith y Wolford (1977) se analizan los métodos. El libro de Ortega y Rheinboldt (1970) ofrece un trabajo muy completo acerca del tema.

En resumen, la información anterior intenta introducir al lector en estu- dios posteriores más profundos sobre el tema y áreas afines. En todas las referencias anteriores se proporcionan descripciones de las técnicas básicas de la parte I l l . Además, Ralston y Rabinowitz ( 1 978) proporcio- nan un análisis más profundo y en Stark (1 970) se incluye un estudio de temas tales como el mal condicionamiento. El lector debe consultar estas fuentes alternativas para complementar el material de este libro y enri- quecer sus conocimientos sobre ecuaciones algebraicas lineales simul- táneas. *

'Aqui sólo se hace referencia a los libros por autor; al final del texto se halla una bibliografía completa.

Page 318: Metodos numericos para ingenieros

’ !

P A R T E C ~ J A T R O

-AJUSTE DE CURVAS

x

IV. 1 M O T I V A C I ~ N

A menudo se proporcionan datos mediante .un conjunto de puntos discretos. Sin embargo, a ve- ces se requieren estimaciones de puntos entre esos valores discretos. Esta parte del libro describe al- gunas técnicas de ajuste de curvas de manera que con tales datos se obtengan aproximaciones inter- medias. Además, a veces se requiere una versión simplificada de una función muy complicada. Una manera de hacerlo es la de calcular valores de la función en’un conjunto de valores discretos a lo largo del rango de interés. Después se puede ob- tener una función mas simple ajustando estos va- lores: A estas dos apticaciones se les conoce con el nombre de ajuste de curvas.

Hay dos esquemas generales en el ajuste de cur- vas que se distinguen entre s í en base a la canti- dad de error asociada con los datos. Primero, donde los datos muestran un grado significativo de’error o “ruido”, la estrategia es derivar una cur- va simple que repre.sente el comportamiento ge- neral de los datos. Ya que cada punto in’dividual puede estar incorrecto, no es necesario intersec- ,tar cada punto individual puede estar incorrecto, no es necesario intersectar cada uno de ellos. En vez de esto, la curva se diseña de tal manera que siga un patrón sobre los puntos tomados como un todo. A un procedimiento de esta naturaleza se le conoce con el nombre de regresión con mínimos cuadrados (Fig. IV.l a).

Segundo, donde se conoce que los datos son muy exactos, el proceso es ajustar una curva o una se- rie de curvas que pasen exactamente por cada uno de los puntos. Estos datos generalmente se derivan de tablas. Algunos ejemplos son los valores de la densi- dad del agua y de la capacidad de calor de los gases como una función de la temperatura. A la estimación de valores entre puntos discretos conocidos se le co- noce con el nombre de interpolación (Fig. IV. l b y c).

Page 319: Metodos numericos para ingenieros

308 ____- - MÉTODOS N U M É R I C O S PARA INGENIEROS

FIGURA IV.l Tres intentos de ajustar la "mejor" curva a troves de los cinco dotos o) regresión con mínimos cuadrados, b) interpolación lineal y c) interpolación curvilínea.

IV.l . l . Métodos de ajuste de curvas antes del uso de la microcomputadora

El método más simple de ajustar una curva a un conjunto de datos es el de trazar los puntos y unirlos con una línea recta. Aunque esta es una alternativa válida y se utiliza cuando se requiere hacer esti- maciones rápidas, los resultados son dependientes, desde un punto de vista subjetivo, de la persona que traza la curva.

Por ejemplo, en la figura IV.l se muestran diferentes trazos sobre un mismo conjunto de datos hechos por tres estudiantes. El primero no intenta conectar los puntos, en vez de eso caracteriza el crecimiento

Page 320: Metodos numericos para ingenieros

AJUSTE DE CURVAS 309

de los datos mediante una línea recta (Fig. IV.l .a). El segundo estudiante usó segmentos de línea recta o interpolación lineal en la conexión de los puntos (Fig. IV.l h ) . Esta técnica es muy común en ingeniería. Si los valores se acercan realmente al caso lineal y están espaciados muy cerca entre sí, entonces esta aproximación ofrece una estimación adecuada en muchos cálculos de ingeniería. Sin embargo, en donde la relación subyacente es altamente curvilínea o en donde los datos están muy separados entre sí, se pueden introducir errores significativos en la interpolación lineal. El tercer estudiante usó curvas que intentan capturar el comportamiento sugerido por los datos (Fig. IV.l c). Un cuarto o quinto estudiante desarrollaría un ajuste diferente. Obviamente, la meta aquí es la de desarrollar métodos sistemáticos y objetivos con el propósito de derivar tales curvas.

IV.1.2 Ajuste de curvas en ingeniería

El primer enfrentamiento del ingeniero con el ajuste de curvas pudo ser el de determinar un valor intermedio de datos contenidos en una tabla por ejemplo, de tablas de interés en la economía o de tablas de vapor en termodinámica. A lo largo de la profesión de un inge- niero, frecuentemente se presentan ocasiones en las que se deben cal- cular valores intermedios de estas tablas.

Aunque muchas de las fórmulas utilizadas ampliamente en ingeniería ya han sido tabuladas, existe otra gran cantidad de los que no tienen aplicación al hacerlas de esta forma. Los casos especiales y los pro- blemas nuevos de contexto requieren a menudo que se obtengan da- tos propios y que se desarrollen relaciones predictivas, tambiér! propias. Se pueden encontrar, en general, dos tipos de aplicaciones cuando se ajustan datos experimentales: el análisis de tendencias y la prueba de hipótesis.

El análisis de tendencias representa el proceso de usar el patrón de los datos y hacer predicciones. Para los casos en que los datos se mi- den con alta precisión, se pueden usar polinomios de interpolación. Los datos imprecisos, en general, se analizan con regresión de míni- mos cuadrados.

El análisis de tendencias se puede usar para predecir o pronosticar valores de la variable dependiente. Esto a veces involucra extrapolar más allá de los límites de los datos observados o interpolar dentro del rango de datos. Generalmente, en todos los campos de la ingenieria se encuentra este tipo de problemas.

Una segunda aplicación a la ingeniería del ajuste de curvas experi- mentales es la prueba de hipótesis. Aquí se compara un modelo ma- temático existente con los datos medidos. Si los coeficientes del mo-

Page 321: Metodos numericos para ingenieros

310 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

delo se desconocen, a veces es necesario determinar valores que se ajusten mejor a los datos observados. Por el otro lado, si las estima- ciones de los coeficientes del modelo se encuentran disponibles puede ser apropiado comparar los valores predecidos del modelo con los valores observados y así probar la eficiencia del método. A menudo, se comparan modelos alternos y se selecciona "el mejor" en base a observaciones empíricas.

Además de las aplicaciones anteriores a la ingeniería, el ajuste de cur- vas es importante en otros métodos numéricos tales como la integra- ción y la solución aproximada de ecuaciones diferenciales. Finalmente, los métodos de ajuste de curvas se pueden usar para derivar funcio- nes simples y aproximar funciones complicadas.

IV.2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Los fundamentos matemáticos necesarios para la interpolación se en- cuentran en las expansiones de la serie de Taylor y diferencias dividi- das finitas introducidos en el capítulo 3. En la regresión con mínimos cuadrados se requieren conocimientos de estadística. Si el lector está familiarizado con los conceptos de media, desviación estándar, su- ma residual de cuadrados y distribución normal, entonces puede omitir las siguentes paginas e ir directamente a la sección IV.3. Si no conoce estos conceptos o si necesita recordarlos, entonces se recomienda leer el siguiente material como una breve introducción a estos temas.

IV.2.1 Estadística simple

Supóngase que en un curso de ingeniería se hacen varias medidas de una determinada cantidad. Por ejemplo, el cuadro IV.l contiene 24 lecturas del coeficiente de expansión térmica de un acero estruc- tural. AI observar estos valores, proporcionan una cantidad limitada de información, esto es, el rango de valores va desde un mínimo de

CUADRO IV. 1 Coeficientes obtenidos al medir la expansión térmica de un acero estructural ( x 1 O-6 pulg/pulg/°F)

6.495 6.625 6.635 6.655 6.665 6.51 5 6.625 6.775 6.755 6.61 5 6.575 6.555 6.565 6.435 6.395 6.655 6.595 6.71 5 6.485 6.605 6.505 6.555 6.71 5 6.685

Page 322: Metodos numericos para ingenieros

AJUSTE DE CURVAS 31 1

6.395 hasta un máximo de 6.775. Se puede profundizar en el conoci- miento de los mismos agrupando los datos en una o mas medidas es- tadísticas conocidas que proporcionen tanta información como sea posible acerca de características específicas del conjunto de datos. Estas medidas estadísticas descriptivas se seleccionan más a menudo para representar 1 ) la posición central de la distribución de datos y 2) el grado de dispersión del conjunto de datos.

La medida estadística más común es la medida. La media (y) de una muestra se define como la suma de los datos individuales (y;) dividi- do

en

La

por el número de puntos (n), o: .. .

[IV.l]

donde la sumatoria va desde i = 1 hasta n . medida mas común de la dispersión de una muestra es la desvia-

ción estándar (sJ, en función de la media:

[IV.2] I I

en donde S es la suma total de los cuadros de los residuos entre los puntos y la media, esto es:

S, = c (y, - [IV.3]

Por lo tanto, si las medidas individuales se dispersan muy lejos de la media, S, (y, por lo tanto sy) crecerá. Si se agrupan muy cerca de la media entonces la desviación estándar será pequeña. La dispersión también se puede representar por el cuadrado de la desviación es- tándar, a la cuál se le llama varianza:

[IV.4]

Nótese que el denominador en ambos casos es n - l. Esto toma en consideración que un promedio derivado previamente de los datos (esto es, la media) se usó para determinar S,. Formalmente, se dice que se pierde un grado ¿e Iibedad. Otra justificación de dividir por n - 1 es que no hay dispersión en un solo dato. Por lo tanto, en el caso donde n = 1, la ecuación (IV.4) proporciona un resultado sin sentido o infinito.

Page 323: Metodos numericos para ingenieros

312 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Una medida estadística final que tiene utilidad en la cuantificación de la dispersión de los datos es el coeficiente de variación (c. v). Esta me- dida estadística es el cociente de la desviación estándar de la media. Como tal, proporciona una media normalizada de la dispersión. A menudo se multiplica esta cantidad por 100, de tal manera que se pueda expresar en forma porcentual:

[ ; I C.V. = = 100% [IV.5]

Nótese que el coeficiente de variación es similar al error relativo porcen- tual (tu) mencionado en la sección 3.3. E s decir, el cociente de una medida de error (S,,) entre una estimación del valor verdadero (a. EJEMPLO IV.l Tratamiento estadístico sencillo de una muestra

Enunciado del problema: calcúlense la media, varianza, desvia- ción estándar y coeficiente de variación de los datos del cuadro IV.l.

Solución: los datos se suman (cuadro IV.2) y los resultados se usan para calcular [Ec.(lV.l)]:

- 158.400 24 = 6.6

Como en el cuadro IV.2, la suma de los cuadrados de los residuos es 0.21 7 00, que se puede usar en el calculo de la desviación están- dar [Ec.(lV.2)]:

I I sy = ,/T = 0.097 733

I 1 y la varianza [Ec.(lV.4)]:

S’, = 0.009 435

y los coeficientes de variación [Ec.(lV.S)]:

C.V. = 0.097 331 00% = 1.47% 6.6

Page 324: Metodos numericos para ingenieros

AJUSTE DE CURVAS 313

Cuadro IV.2 Cálculos para la obtención de las medidas estadísticas e histogra- ma de las lecturas del coeficiente de expansión térznica

INTERVALO Limite límite

I Y; (Y; - 7,’ Frecuencia inferior Superior

6.395 6.435 6.485 6.495 6.505 6.51 5 6.555 6.555 6.565 6.575 6.595 6.605 6.61 5 6.625 6.625 6.635 6.655 6.655 6.665 6.685 6.715 6.715 6.755 6.775

6.36 6.40

6.40 6.44

0.042 025 0.027 225 0.013 225 0.01 1 025 0.009 025 0.007 225

0.002 025 0.001 225 0.000 625 0.000 025 0.000 025 0.000 225 0.000 625 0.000 625 0.001 225 i 0.003 025 0.003 025 0.004 225 0.007 2251

6.48 6.52 4 6 7 8 2

3

6.52

6.56

6.56

6.60 9 10 1 1 12 13 14 15 16 17 18 19 20

5 6.60 6.64

3 6.64 6.68

21 22 23

0.01 3 225) 0.013 225

3 6.68 6.72

0.024 025 0.030 625

6.72 6.76

6.76 6.80 24

z 158.400 0.21 7 O00

IV.2.2 La distribución normal

La característica final que se menciona en este análisis es la distribu- ción de datos, es decir, el comportamiento con el cual los datos se distribuyen alrededor de la media. Un histogrurnu proporciona una representación visual simple de la distribución. Como el cuadro IV.2, un histograma se construye ordenando los datos en intervalos. Los intervalos se grafican sobre el eje ¿e las abscisas y la frecuencia de ocurrencia de estos se grafica en el eje de las ordenadas. Por lo tari- to, cinco de las medidas caen dentro del intervalo 6.60 y 6.64. Como en la figura IV.2, el histograma sugiere que la mayor parte de los da- tos se agrupan cerca de la media.

Si se tiene un conjunto grande de datos, a menudo el histograma se transforma de un diagrama de barras en una curva suave. La curva

Page 325: Metodos numericos para ingenieros

314 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA IV.2 Uso de un histograma para delinear la distribución de los datos. A medida que el número de puntos aumenta, el histograma tiende a una curva uniforme y sin discon- tinuidades llamada distribución normal.

simétrica y homogénea sobrepuesta a la figura IV.2 muestra una de estas curvas características; la distribución normal. Si se proporciona- ran medidas adicionales suficientes, entonces el histograma en este caso en particular, tendería eventualmente a la distribución normal.

los conceptos de media, desviación estándar, suma residual de cua- drados y distribución normal tiene una gran importancia dentro de la ingeniería. Un ejemplo muy simple es su uso en la cuantificación de la confiabilidad que se le puede atribuir a un dato particular. Si una cantidad está distribuida normalmente, el rango definido por y - S, a y + S, abarcará aproximadamente el 68% del número to- tal de datos. De la misma manera, el rango definido por y - í' s, a y + 2 S,, abarcará aproximadamente el 95%

Por eiemplo, en los coeficientes de expansión térmica del cuadro IV. 1 (y = 6.6 y S, 0.097 133), se puede decir que aproximadamente el 95% de los datos se encuentra entre 6,405 734 y 6.794 266. Si al- guien dijo que se midió un valor de 7.35, entonces se puede esperar que este dato sea erróneo.

lo anterior es sólo un ejemplo muy simple de cómo se pueden usar las estadísticas para dar juicios acerca de la certeza de los datos. Es- tos conceptos también tienen importancia directa en el análisis de mo- delos de regresión. Se puede consultar cualquier libro bdrsico de estadística (por ejemplo, Ang y Tang, 1975, o Laping, 1983) para ob- tener información adicional sobre el tema.

Page 326: Metodos numericos para ingenieros

AJUSTE DE CURVAS 31 5

IV.3 ORIENTACION Antes de pasar a los métodos numéricos en el ajuste de curvas, pue- de ser útil una orientación. Lo que sigue está enfocado a dar una vi- sión general del material analizado en la parte IV. Además, se han formulado algunos objetivos para ayudar al aprendizaje del lector cuando estudie el material.

Page 327: Metodos numericos para ingenieros

316 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

IV.3.1 Avance y alcance

En la figura IV.3 se muestra una visión global del material que se cu- bre en la parte IV. El capítulo 70 se dedica a la regresión con mínimos cuudrudos. Primero se aprenderá a ajustar “la mejor” línea recta a través de un conjunto de datos inciertos. A esta técnica se le conoce con el nombre de regresión lineal. Además del análisis sobre el cálcu- lo de la pendiente y punto de intersección de la línea recta, se pre- sentan también métodos cuantitativos y visuales para la evaluación de la validez de los resultados.

Además de ajustar una línea recta, se estudia también una técnica general para ajustar “al meior” polinomio. Por lo tanto, se aprende- rá a derivar un polinomio cuadrático, cúbico o de orden superior que se ajuste de manera adecuada a los datos inciertos. La regresión li- neal es un subconjunto de este esquema más general, al cual se le conoce con el nombre de regresión polinornial.

Finalmente, el último tema cubierto en el capítulo 10 es la regresión lineal múltiple. Que está diseñada para casos en que la variable de- pendiente y sea una función lineal de dos o más variables indepen- dientes xl, x2, ..., x, . Este esquema tiene una utilidad especial en la evaluación de datos experimentales en donde la variable de interés depende de un conjunto de factores.

En el capítulo 7 7 se describe una técnica alternativa de ajuste de curvas a la que se le llama interpolación, Como se dijo ante- riormente, la interpolación se usa para estimular valores interme- dios entre datos conocidos. En el capítulo 11 se derivan polinomios que cumplen este propósito. Se introduce el concepto básico de interpolación polinominal usando rectas y parábolas para conec- tar puntos. Después, se desarrolla un procedimiento general para ajustar un polinomio de n-ésimo orden. Se presentan dos formatos diferentes para expresar estos polinomios en forma de ecuaciones. E s preferible el primero de ellos, llamado polinornio de interpola- ción de Newton, cuando se desconoce el orden correcto del poli- nomio. El segundo, llamado polinornio de interpolación de Lagrunge tiene algunas ventajas cuando el orden del polinomio se conoce de antemano.

La Última sección del capítulo 11 se dedica a una técnica diferente en el ajuste preciso de datos. Esta técnica, llamada interpolación seg- rnenturia (en inglés spline), ajusta los datos a polinomios pero por in- tervalos. De ahí que sea particularmente útil cuando se ajusten datos que en general son homogéneos, pero muestran cambios locales abruptos.

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AJUSTE DE CURVAS 31 7

En el capitulo 72 se desarrollan casos de estudio que ilustran la utili- dad de los métodos numéricos dentro de contextos de la ingeniería. Se muestran algunos ejemplos tanto de la ingeniería en general co- mo de las cuatro ramas más importantes de la misma: química, civil, eléctrica y mecánica.

Finalmente, se incluye un epílogo al final de la parte IV. Este incluye un resumen de las fórmulas y conceptos más importantes relaciona- dos con el ajuste de curvas, así como un análisis de los factores de mayor importancia entre las técnicas y sugerencias para estudios pos- teriores.

En la parte IV se incluyen algunas opciones de cálculo por computa- dora. Primero, el paquete de programas NUMERICOMP que acom- paña al texto contiene programas que son legibles al usuario sobre regresión lineal e interpolación de Lagrange. Alternativamente, se in- cluyen en el texto programas escritos en FORTRAN y en BASIC. Esto le proporciona al lector la oportunidad de copiar el programa para implementarlo en su propia microcomputadora o supercomputado- ra. También se incluyen los diagramas de fluio y los algoritmos para la mayor parte de los métodos descritos en el texto. Este material puede servir de base en la construcciór! de un paquete de programas que el lector puede desarrollar y aplicar a los problemas de ingeniería.

IV.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Después de terminar la parte IV, el lector debe haber aumentado en gran medida sus capacidades en el ajuste de cur- vas con datos. En general, se deben dominar las técnicas, se debe haber aprendido a valorar la confiabilidad de las respuestas y ser ca- paz de escoger el mejor método (o métodos) para cualquier proble- ma. Además de estas metas generales, se deben asimilar y dominar los conceptos específicos del cuadro IV.3.

Objetivos de cómputo. El lector debe tener un conjunto de progra- mas simples de computadora, algoritmos y diagramas de flujo que implementen los métodos analizados en la parte IV. Todos ellos como herramientas de aprendizaje.

El paquete opcional de programas NUMERICOMP, incluye los pro- gramas de regresión lineal de interpolación de Lagrange. Las gráfi- cas asociadas con este paquete le ayudarán al lector a visualizar el problema además de las operaciones matemáticas asociadas. Las grá- ficas son una parte crítica en la apreciación sobre la validez de una regresión. También proporcionan una guía relacionada con el orden

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318 MÉTODOS NUMfRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO IV.3 Objetivos de estudios específicos de la parte IV

1 . Entender la diferencia fundamental entre regresión e interpolación y darse cuenta que el confundirlos puede acarrear serios problemas.

2. Entender la derivación de la regresión lineal con mínimos cuadrados y ser capaz de valorar la confiabilidad del ajuste usando gráficas a apreciaciones cuan- titativas.

3. Saber linealizar datos para llevar a cabo transformaciones. 4. Entender las situaciones en dónde es apropiado usar regresión polinomial

5. Entender que hay uno y sólo un polinomio de grado n o menor que pasa exac-

6. Saber como derivar el polinomio de interpolación de Newton de primer orden. 7. Entender la analogía entre el polinomio de Newton y la expansión de la

serie de Taylor y cómo se relacionan con el error de truncamiento. 8 . Reconocer que las ecuaciones de Newton y de Lagrange son meramente

formulaciones diferentes del mismo polinomio de interpolación y de enten- der sus respectivas ventajas y desventoias.

9. Observar que se obtienen resultados más exactos si los puntos usados para interpolación se centran alrededor y cerca de la incógnita.

10. Reconocer que los puntos no tienen por qué estar igualmente espaciados ni en ningún orden en particular para los polinomios de Newton y de La-

o múltiple.

tamente a través de los R + 1 puntos.

grange.

utilidad. 1 1 Conocer el por qué las fórmulas de interpolación igualmente espaciados tienen

12. Reconocer las limitaciones y las incertidumbres asociadas con la extrapolación. 13. Entender por qué las funciones segmentarias tienen utilidad para datos con

áreas locales de cambios significativos.

correcto de una interpolación polinomial y s i es confiable efectuar la extrapolación. El paquete es muy fácil de aplicarse en la solución de problemas prácticos y se puede usar en la verificación de los resulta- dos de cualquier programa que el lector haya desarrollado por sí mismo.

Además, se incluyen los programas de computadora, los algoritmos o los diagramas de flujo para la mayor parte de los métodos de la parte IV. Esta información le permitirá ai lector expander su bibliote- ca de programas incluyendo técnicas que van más allá de la regre- sión lineal y de la interpolación de Lagrange. Por ejemplo, puede ser útil, desde un punto de vista profesional, tener un paquete de pro- gramas que incluya regresión polinomial, polinomio de interpolación de Newton e interpolación cúbica segmentaria (del inglés cubic spline).

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C A P í T U L O D I E Z

REGRESI~N CON MíNIMOS

CUADRADOS

Cuando se asocia un error sustancial con los datos, la interpolación poii- nomial es inapropiada y puede llevar a resultados no satisfactorios cuan- do se usa para predecir valores intermedios. Los datos experimentales a menudo son de este tipo. Por ejemplo, en la figura 10. l a se muestran siete datos obtenidos experimentalmente que muestran una variación sig- nificativa. La inspección visual de los datos sugiere una relación positiva entre y y x. Es decir, la tendencia total indica que a valores mayores de y se le asocian valores mayores a x. Ahora, si se ajusta un polinomio in- terpolante de sexto orden a estos datos (Fig. l O . l b ) , pasará exactamente por todos los puntos. Sin embargo, debido a la variabilidad de los datos, la curva oscila ampliamente en los intervalos entre puntos. En particular, los valores interpolados x = 1.5 y x = 6 .5 parecen ir más allá d e l rango sugerido por los datos.

Una estrategia más apropiada en estos casos es la de obtener una fun- ción aproximada que ajuste “adecuadamente” el comportamiento o la tendencia general de los datos, sin coincidir necesariamente con cada punto en particular. La figura 10. IC muestra una linea recta que puede usarse en la caracterización de la tendencia de los datos sin pasar sobre ningún punto en particular.

Una manera de determinar la línea de la figura 1 0 . 1 ~ es inspeccio- nar visualmente los datos graficados y luego trazar la “mejor” línea a través de los puntos. Aunque este enfoque recurre al sentido común Y es válido para cálculos “a simple vista” es deficiente ya que es arbitrario. Es decir, a menos que los puntos definan una línea recta perfecta (en cuyo caso la interpolación sería apropiada), cada analista trazará rectas diferentes.

La manera de quitar esta subjetividad es considerar un criterio que cuantifique la suficiencia del ajuste. Una forma de hacerlo es obtener una curva que minimice la diferencia entre los datos y la curva. En este capí- tulo se analiza un método para llevar a cabo este objetivo al que se le llama regresión con minimos cuadrados.

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320 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 1 O. 1 a) Muestra de datos con un error significativo. b) Ajuste polinomial con oscilaciones que violan el rango de los datos, c) se obtienen resultados más satisfactorios usando el ajuste de mínimos cuadrados.

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REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 32 1

10.1 REGRESIóN LINEAL

Ei ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es el ajuste de una línea recta a un conjunto de parejas de datos observa- das: (x1 , y l ) , (xp, y2), . . . , (x,,, y,,). La expresión matemática de una línea recta es:

y = a0 + alx + E [10.1]

en donde a. y al son coeficientes que representan la intersección con el eje de las abscisas y la pendiente, respectivamente y E es el error o resi- duo entre el modelo y las observaciones, que se puede representar reor- denando la ecuación (10.1) como:

E = y - a0 - alx

Por lo tanto, el error o residuo es la diferencia entre el valor real de y y el valor aproximado, a. + a, x, predicho por la ecuación lineal.

10.1.1 Criterio para un mejor” ajuste

Una estrategia que obtiene la “mejor” línea a través de los puntos debe minimizar la suma de los errores residuales, como en:

/ /

i= 1 i=l

[10.2]

Sin embargo, este criterio es inadecuado, como se puede ver en la figura 10.2a, en donde se muestra la línea recta que ajusta dos puntos. Obvia- mente, la mejor línea ajustada es aquella que conecte ambos puntos. Sin embargo, cualquier línea que pasa por el punto medio de la línea que los conecta (excepto una línea perfectamente vertical) genera un valor mí- nimo en la ecuación (10.2) igual a cero ya que los errores se cancelan.

Otro criterio sería minimizar la suma de los valores absolutos de las diferencias, esto es:

n n

1 6 1 = 2 I M - a0 - alxil i= 1 i= 1

En la figura 10.21 se muestra por qué este criterio también es inadecua- do. Con los cuatro puntos mostrados, cualquier línea recta que se en- cuentre dentro de las líneas punteadas minimiza el valor absoluto de la suma. Por lo que este criterio aún no produce el mejor ajuste que sea único.

Una tercera estrategia en el ajuste de una línea óptima es el criterio de minimax. En este método, la línea se escoge de tal manera que mini- mice la distancia máxima a la que se encuentra un punto de la linea rec-

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322 MbODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS "

FIGURA 10.2 Ejemplos de algunos de los criterios de "meior ajuste" que son inade- cuados en la regresión: a) minimización de la suma de los residuos; b) minimización de la suma de los valores absolutos de los residuos y c) mi- nimización del error máximo de cualquier punto individual.

ta. Como se muestra en la figura lo.&, está estrategia está mal condicionada para regresión ya que influye de manera indebida sobre un punto externo, aislado, cuyo error es muy grande. Se debe notar que el criterio minimax algunas veces está bien condicionado para ajustar una función simple a una función complicada (Carnahan, Luther y Wilkes, 1969).

Una estrategia que ignora las restricciones anteriores es la de minimi- zar la suma de los cuadrados de los residuos, S,, de la siguiente manera:

n n

S, = 2 E? = (yi - a0 - alxi)2 ¡= 1 i=l

E10.31

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REGRESIóN CON MíNIMOS CUADRADOS 323

Este criterio tiene muchas ventajas, incluyendo el que ajusta una linea única a un conjunto dado de datos. Antes de analizar estas propiedades, se mues- tra un método que determina los valores de a. y al que minimizan la ecuación (10.3) .

10.1.2 Ajuste de una recta utilizando mínimos cuadrados

Para determinar los valores de las constantes a. y al , se deriva la ecua- ción (10.3) con respecto a cada uno de los coeficientes:

Nótese que se han simplificado los símbolos de la sumatoria; a menos que otra cosa se indique, todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n . Igualando estas derivadas a cero, se genera un mínimo S,. Si se hace así', las ecuaciones anteriores se expresarán cómo:

Ahora, considerando que C a. = nao, las ecuaciones se pueden expre- sar como un conjunto de dos ecuaciones lineales simultáneas con dos in- cógnitas (ao y al):

nao + C xial = yi [10.4]

[10.5]

A estas ecuaciones se les conoce como ecuaciones normales. Se pueden resolver simultáneamente y obtener [(recuérdese la Ec. 7.10)]:

[10.6]

Este resultado se puede usar junto con la ecuación (10.4) para obtener:

en donde v y X son la medid¿+de

lll__ .. . . . ." . . .

[10.7]

y y x, respectivamente.

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324 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 1 O. 1 Regresión lineal

Enunciado del prblema: ajústese una línea recta a los valores x y y de las primeras dos columnas del cuadro 10. l.

CUADRO 1 O. 1 Cálculos para el análisis del error del ajuste lineal

1 0.5 8.576 5 0.168 7 2 2.5 0.862 2 0.562 5 3 2.0 2.040 8 0.347 3 4 4.0 0.326 5 0.326 5 5 3.5 0.005 1 0.589 6 6 6.0 6.612 2 0.797 2 7 5.5 4.290 8 0.199 3 c. 24 22.714 3 2.991 1 -

Solución: se pueden calcular las siguientes cantidades:

n = 7 2 xjyj = 119.5 xf = 140

24 7

2 yi = 24 J = - = 3.428 571 429

Usando las ecuaciones (10.6) y (10.7) ,

an = 3.428 S71 429 - 0.839 285 714(4) = 0.071 428 57

Por lo tanto, el ajuste con mínimos cuadrados es:

y = 0:071 428 57 + 0.839 285 7 1 4 ~

La línea, junto con los datos, se muestra en la figura 10.1~.

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REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 325

10.1.3 Cuantificación del error en la regresión lineal

Cualquier línea recta diferente a la que se calculó en el ejemplo 10.1 ge- nera una mayor suma de cuadrados de los residuos. Por lo tanto, la línea es única y en términos del criterio escogido es “la mejor” línea a través de los puntos. Se puede derivar un gran número de propiedades adicio- nales de este ajuste, examinando más de cerca la manera como se calcu- laron los residuos. Recuérdese que la suma de los cuadrados se define como [Ec. (10.3)]: I

S, = 2 ( y i - a. - alxi)* 110.81

Nótese la similitud entre las ecuaciones (IV.3) y (10.8). En el primer caso, los residuos representaban la diferencia entre los datos y una aproxi- mación simple de la medida de la tendencia central; la media. En la ecuación (10.8), los residuos representan el cuadrado de la distancia vertical entre los datos y otra medida de la tendencia central; la línea recta (Fig. 10.3). La analogía se puede extender más para casos en donde 1) la dispersión de los puntos alrededor de la recta son de magnitud similar a lo largo del rango entero de los datos y 2) la distribución de estos puntos alrededor de la línea es normal. Se puede demostrar que si este criterio se cumple, la regresión con mínimos cuadrados proporciona la mejor (es decir, la más probable) aproximación de a. y al (Draper y Smith, 1981). A esto se le conoce como principio de probabilidad máxima dentro de la estadística. Además, si este criterio se cumple, una “desviación estándar” de la línea de regresión se puede determinar como [compárece con la Ec. (IV.2)]:

i= 1

FIGURA 10.3 El residuo en la regresión lineal representa el cuadrado de la distancia vertical entre un punto y la línea recta.

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326 M~TODOS NUM~RICOS PARA lNGENlEROS

[10.9]

en donde sy,x se llama error estándar de la aproximación. La notación con subíndice “y/x” indica que el error es para un valor predicho de y correspondiente a un valor particular de x. También, nótese que ahora la división es por n - 2 ya que se usan dos aproximaciones obtenidas de los datos; a. y a, para calcular S; por lo tanto, se han perdido dos grados de libertad. Como con el análisis de desviación estándar en la sec- ción IV.2.1, otra justificación de dividir por n - 2 es que no existe una “dispersión de los datos” alrededor de una línea recta que conecta dos puntos. De esta manera, para el caso cuando n = 2, la ecuación (10.9) no proporciona un valor de infinito el cual no tiene sentido.

Así como con la desviación estándar, el error estándx de la aproxima- ción cuantifica la dispersión de los datos. Sin embargo, cuantifica la dispersión alrededor de la linea de regresión, como se muestra en la figura 10.4, contrario a la desviación estándar original, S, que cuantifica la dispersión alrededor de la media.

Los conceptos anteriores se pueden emplear para cuantificar la “efi- ciencia” del ajuste. Esto es particularmente útil en la comparación de va- rias regresiones (véase la Fig. 10.5). Para hacerlo se regresa a los datos originales y se determina la suma de los cuadrados alrededor de la media para la variable dependiente (en este caso, y) . Se le puede llamar a esto

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REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 327

FIGURA 10.5 Ejemplos de la regresión lineal con a) errores residuales pequeños y b) grandes.

la suma total de los cuadrados, S,. Esta es la cantidad de dispersión en la variable dependiente que existe antes de la regresión. Después de Ile- var a cabo la regresión lineal, se puede calcular S,, que es la 5uma de los cuadrados de los residuos alrededor de la linea de regresión. Este pre- senta la dispersión que existe después de la regresión. La diferencia entre las dos cantidades, o St - S, cuantifica la mejora en la reducción del error debido al modelo de la línea recta. Esta diferencia se puede norma- lizar al error total y obtener:

[10.10]

en donde r es el coeficiente de correlación y r 2 es el coeficiente de de- terminación. Para un ajuste perfecto, S, = O y r 2 = l, indicando que la línea recta explica el 100 % de la variabilidad. Si r 2 = O, entonces el ajuste no representa mejorías.

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328 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 10.2 Estimación de los errores en el ajuste por mínimos cuadrados lineal

Enunciado del problema: calcúlese la desviación estándar total, el error estándar de la aproximación y el coeficiente de correlación de los datos del ejemplo 10.1.

Solución: las sumatorias se muestran en el cuadro 10.1. L.a desviación estándar total es [Ec. (IV.2)]

y el error estándar de la aproximación es IEc. (10.9)]:

por lo tanto, ya que S , , < S,, el modelo de regresión lineal es acepta- ble. El alcance de la mejoría se cuantifica mediante [Ec. (10.lO)l

22.714 3 - 2.991 1 )-2 =

22.714 3 = 0.868

O

r = = 0.932 Estos resultados indican que el 86.8% de la incertidumbre original se ha explicado mediante el modelo lineal.

Antes de proceder con el programa de computadora para el método de regresión lineal, son necesarios algunos comentarios. Aunque el coe- ficiente de correlación proporciona un medio fácil de medir la efectividad del ajuste, se debe tener cuidado de no atribuirle significado garantizado. El que r esté “cercano” a 1 , no significa que el ajuste sea necesariamente “bueno”. Por ejemplo, es posible obtener un valor relativamente alto de r cuando la relación mencionada entre y y x ni siquiera es lineal. Draper y Smith (1981) proporcionan una guía y material adicional que sirve para valorar los resultados de una regresión lineal. Además, como mínimo, se debe inspeccionar siempre una gráfica de los datos con una línea de re- gresión cuando se ajusten curvas de regresión. Como se verá en la siguien- te sección, los programas de NUMERICOMP contienen estas opciones.

10.1.4 Programa de computadora para la regresión lineal

Es relativamente sencillo desarrollar un programa para la regresión lineal. La figura 10.6 muestra las versiones en FORTRAN y BASIC. Ya que las opciones gráficas de una microcomputadora

Page 340: Metodos numericos para ingenieros

REGRESION CON MíNIMOS CUADRADOS 329

FORTRAN BASIC

DATA SX/O./,SU/O./,XZ/O./,XY/O./ 100

FORHAT ( I5 120 Do 170 I=l,N 139 READ(5,2)X,Y 140 fOiWAT(2F10.0) 150

READ(5rl)N 110

9!=SX*X 160 sY=sv+Y I79 x2=X2+x~x 1 BO sY=xY+x'Y 190

XY=SX/N CONTINUE 200

YM=SY/N 210 kl=(N~XY-SX~SY)/(N.X2-sX*Sx) 229 .?,O=YM-Al*XH 230 WRITE(6t3)AOrAl F O R M A T ( ' *,2F10.3) STOP mn

INPUT N FOR I = 1 TO N X = independent variable INPUT X . Y Y = dependent variable

N = number of data points

sx = sx + x SX = sum of X's SY = S Y + Y SY = sum of Y's x2 = x2 + x I x- X Y = X Y + X O Y X2 = sum of square of X's NEXT I __2_____ X Y = sum of product of X and Y

X t l = SX / N XM = mean of X's YM = SY / N A I = (N : X Y - sx t S Y ) (N m , YM=meanofY's

x2 - sx : SX)

PRINT ClO.61 END i

\ A l = slope A0 = intercept A0 = YM - Al I XH

FIGURA 10.6 Programas FORTRAN y Basic para la regresión lineal.

son muy variadas, no se incluyen gráficas de estos programas. Sin em- bargo, como se mencionó anteriormente, esta opción es importante para el uso e interpretación efectiva de la regresión y se incluye en el paquete suplementario de NUMERICOMP. Si la computadora que el lector usa, tiene la posibilidad de graficación se recomienda que se expandan los pro- gramas de tal manera que se incluya una gráfica de y contra x que mues- tre los datos y la línea de regresión. La inclusión de gráficas aumenta en gran medida la utilidad de los programas dentro del contexto de solución de problemas.

EJEMPLO 10.3 Regresión lineal usando la computadora

Enunciado del problema: el paquete de programas NUMERICOMP aso- ciado a este texto incluye un programa legible al usuario que implementa la regresión lineal. Este progrdma se puede usar en la solución del pro- blema de prueba de hipótesis asociado con el paracaidista analizado en el capítulo 1. Se dio un modelo matemático teórico para la velocidad del paracaidista mediante la fórmula [Ec. (1.9)]:

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330 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

en donde u es la velocidad en centímetros por segundo, g es la constante de aceleración gravitacional de 980 cm/s’, m es la masa del paracaidis- ta e igual a 68 100 g , y c es el coeficiente de fricción de 12 500 g/s. Co- mo se describe en el ejemplo l . l , el modelo predice la velocidad del paracaidista en función del tiempo. En el ejemplo 2.1 se muestra una gráfica de la variación de la velocidad en función del tiempo.

Un modelo empírico para la velocidad del paracaidista está dado por la siguiente fórmula:

v(t) = [ ] t c 3.75 + t [E10.3.1]

Supóngase que se desea probar y comparar la suficiencia de estos dos modelos matemáticos. Esto se puede llevar a cabo midiendo la velo- cidad verdadera del paracaidista en intervalos de tiempo conocidos y compa- rando los resultados con la velocidad predicha por cada uno de los modelos.

Se tiene un grupo de datos medidos experimentalmente los que se listan en la columna a) del cuadro 10.2. Las velocidades calculadas de cada modelo se listan en las columnas b) y c).

CUADRO 10.2 Velocidades medidas y velocidades calculadas para la caída del paracaidas

Tiempo, S

V Calculada, Medida V Calculada, cmls cmls [ecuación cmls [ecuación (1.9)] (E10.3.l)l ( 4 ( 4 ( 4

1 2 3 4 5 6 7

9 10 1 1 12 13 14 15

a

100 o 163 O 230 O 275 O 310 O 356 O 390 O 415 O 429 O 450 O 460 O 455 o 460 O 490 O 500 O

895.3 1 640.5 2 260.7 2 776.9 3 206.5 3 564.1

4 109.5 4 315.6

4 630.1 4 749.0 4 847.9 4 930.3

3 861.7

4 487.2

4 998.8

1 124.0 1 857.0 2 372.9 2 755.6 3 050.9 3 285.5 3 476.6 3 635.1 3 768.7

3 981.6

4 143.7

3 882.9

4 067.8

4 211.0 4 271.2

Solución: la validez de los modelos se puede probar graficando las velo- cidades medidas contra la velocidad calculada por el modelo. Se usa la regresión lineal en el cálculo de la línea recta y se gráfica. Esta línea ten-

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REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 33 1

FIGURA 10.7 a) Resultados obtenidos usando regresión lineal en la comparación de valores medidos contra el modelo teórico calculado mediante la ecua- ción (1.9). b) Resultados obtenidos usando regresión lineal en la comparación de valores medidos contra el modelo empírico calculado con la ecuación (E10.3.1).

drá una pendiente de 1 y una intersección en O si el modelo coincide con los datos perfectamente. Cualquier desviación de estos valores se usará como indicación de ser poco confiable el modelo.

En la figura 1 0 . 7 ~ ~ se grafica la línea y los datos de la regresión de la columna a) contra las columnas b) y c) respectivamente. Estas graficas indican que la regresión lineal entre los datos y cada uno de los modelos es bastante aceptable. Ambos modelos coinciden con los datos con un coeficiente de correlación mayor de 0.99.

Sin embargo, el modelo descrito por la ecuación (1.9) conforme el criterio de prueba es mucho mejor que el descrito por (E10.3.1) ya que la pendiente y la intersección estdn más cerca de 1 y de O. Por lo tanto, aunque cada una de las gráficas se describe muy bien mediante una línea recta, la ecuación (1.9) es un modelo mejor que el de la ecuación (E10.3.1).

La prueba y selección de modelos son muy comunes y de extremada importancia en actividades llevadas a cabo en todos los campos de la in- geniería. El material presentado previamente en este mismo capítulo jun- to con el paquete NUMERICOMP y los programas del usuario le permiten a éste resolver muchos problemas de este tipo.

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332 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 10.8 a) Datos mal condicionados en la regresión lineal con mínimos cuadra- dos. 6) Indicación de que una parábola es preferible.

10.1.5 Aplicaciones de la regresión lineal; linealización de relaciones no lineales

La regresión lineal proporciona una técnica muy poderosa para ajustar datos a una “mejor” línea. Sin embargo, se ha predicho que la relación entre las variables dépendiente e independiente es lineal. Este no es siempre el caso, y el primer paso en cualquier análisis de regresión es el de trazar y visualizar los datos para decidir si es correcto o aceptable el aplicar un modelo lineal. Por ejemplo, en la figura 10.8 se muestran algunos datos que, obviamente son curvilíneos. En algunos casos, técnicas como la re- gresión polinomial, descrita en la sección 10.2 serán apropiadas. En otros, se pueden hacer transformaciónes que expresen los datos de manera que sean compatibles con la regresión lineal.

Un ejemplo es el modelo exponencial:

y = aleblX [lo. 111

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REGRESIóN CON MiNlMOS CUADRADOS 333

FIGURA 10.9 a) Ecuación exponencial, b) ecuación de potencias y c) ecuación del pro- medio de crecimiento de saturación. Las partes d), e) y f l son versiones linealizadas de aquéllas, las cuales son transformaciones simples.

en donde al y b l son constantes. Este modelo se usa en muchos cam- pos de la ingeniería caracterizando cantidades que crecen (b, positiva) o que decrecen (b, negativa en un promedio proporcional a su magnitud. Por ejemplo, el crecimiento poblacional y la disminución radiactivo mues- tran este comportamiento. Como se muestra en la figura (10.9a), la ecua- ción, representa una relación lineal (para bl . O) entre y y x.

Otro ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación elevada a una potencia:

y = agxb2 [lo. 121

Page 345: Metodos numericos para ingenieros

334 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

en donde a2 y b2 son coeficientes. Este modelo tiene una amplia aplica- ción en todos los campos de la ingeniería. Como se muestra en la figura 10 .9b, la ecuación (para b2 # O o 1) es no lineal.

Un tercer ejemplo de un modelo no lineal es la ecuación de prome- dio de crecimiento de saturación:

X y = a3-

b3 + X [10.13]

en donde a3 y b3 son coeficientes constantes. Este modelo, que es parti- cularmente útil en la caracterización de crecimientos poblacionales bajo condiciones limitantes, también representa una relación no lineal entre y y x (Fig. 10.94 que nivela, o “satura” conforme x crece.

Las técnicas de regresión no lineal se usan para ajustar directamente estas ecuaciones a los datos experimentales. Sin embargo, una alternati- va más simple es la de usar manipulaciones matemáticas y transformar las ecuaciones a la forma lineal. En seguida se puede aplicar la regresión lineal simple para ajustar las ecuaciones a los datos.

Por ejemplo, la ecuación (10.11) se puede linealizar mediante loga- ritmos naturales y obtener:

In y = In al + blx In e

Pero, ya que In e = 1 , se tiene:

In y = In al + blx [ 10.141

Por lo tanto una gráfica semilogarítmica de In y contra x genera una línea recta con una pendiente de bl y una intersección de In al (Fig. 10.9d).

La ecuación (10.12) se puede linealizar tomado logaritmos de base 10 y obtener:

log y = b2 log x + log a2 [lo. 151

De esta forma, una gráfica logarítmica de log y contra log x genera una línea recta con una pendiente de b2 y una intersección de log a2 (Fig. 10.9e).

La ecuaci6n (10:13) se linealiza invirtiéndola, y se obtiene:

[10.16] Y a3 x a3

Por lo tanto, una gráfica de l / y contra l/x será lineal, con pendiente b3/a3 y una intersección de l/a3 (Fig. lO.9j).

Estos modelos, en sus estados transformados, se ajustan usando regre- sión lineal para evaluar los coeficientes constantes. Después se pueden transformar a su estado original y usarse para propósitos predictivos. En el ejemplo 10.4 se ilustra este procedimiento para la ecuación (10.12). Además los casos 12.2 y 12.3 proporcionan ejemplos de este tipo de cálculos aplicados a problemas de ingeniería.

Page 346: Metodos numericos para ingenieros

REGRESION CON MíNIMOS CUADRADOS 335

Ejemplo 10.4 Linealización de una ecuación de potencias

Enunciado del problema: ajústese la ecuación (10.12) a los datos del cua- dro 10.3 usando una transformación logaritmica de esos datos.

CUADRO 10.3 Datos para ajustar en la ecuación de potencia

X Y log x log Y

1 0.5 O -0.301 2 1.7 0.301 0.226 3 3.4 0.477 0.534 4 5.7 0.602 0.753 5 8.4 0.699 0.92:!

Solución: en la figura 10 .10~~ se muestra una gráfica de los punto origi- nales en su estado sin transformación. En la figura 10.10b se muestra una

FIGURA 10.10 a) Gráfica de datos sin transformación, junto con la ecuación de poten- cias que ajusta los datos. b) Gráfica de los datos transformados, usados al determinar los coeficientes de la ecuación de potencias.

Page 347: Metodos numericos para ingenieros

336 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

~ gráfica log-log de los datos transformados. La regresión lineal de los da- tos transformados logarítmicamnte genera la ecuación:

log y = 1.75 log X - 0.300

Por lo tanto, la intersección, log a2, es igual a -0.300, por consiguien- te tomando el mando el antilogaritmo, a2 = = 0.5. La pendien- te es b2 = 1.75. Como consecuencia la ecuación de potencias es:

y = O . ~ X ' . ~ ~

Esta curva, como lo muestra la figura 10. lob, indica un ajuste aceptable.

1 O. 1.6 Comentarios generales sobre la regresión lineal

Antes de continuar con la regresión curvilínea y múltiple, se debe recalcar la naturaleza introductoria del material anterior sobre regresión lineal. Se ha enfocado en la forma simple y el uso práctico de las ecuaciones para ajustar datos. Se debe estar conciente de que existen aspectos teóricos de regresión que tienen importancia en la solución de problemas pero que van más allá del alcance de este libro. Por ejemplo, existen algunas hipó- tesis estadísticas inherentes al procedimiento de mínimos cuadrados lineales tales cómo:

1. x tiene un valor fijo; no es aleatorio y se mide sin error

2. Los valores de y son variables aleatorios independientes y tienen to- das la misma varianza.

3. Los valores de y para una x dada deben estar distribuidos de manera uniforme.

Estas hipótesis son importantes en el desarrollo y uso correcto de la re- gresión. Por ejemplo, la primera hipótesis, 1) significa que las x deben estar libres de error y la segunda 2) que la regresión de y contra x no es la misma que la de x contra y (pruébese el problema 10.4 al final del capítulo).

Se sugiere consultar otras referencias tales como Draper y Smith (1981) y de esta forma apreciar aspectos y matices de la regresión que van más allá del alcance de este libro.

10.2 REGRESIóN POLINOMIAL

En la sección 10.1 se desarrolla un procedimiento que obtiene la ecua- ción de una línea recta usando el criterio de mínimos cuadrados. Aigu-

Page 348: Metodos numericos para ingenieros

REGRES16N CON MiNlMOS CUADRADOS 337

nos datos de ingeniería, aunque muestren un marcado patrón como el de la figura 10.8, se representan pobremente mediante una línea recta. En estos casos, se ajusta mejor una curva a los datos. Como se analiza en la sección anterior, un método para llevar a cabo este objetivo es el de usar transformaciones. Otra alternativa es ajustar polinomios a los da- tos usando regresión polinomial.

El procedimiento de mínimos cuadrados se puede extender fácilmente y ajustar datos a un polinomio de m-ésimo grado:

y = a0 + alx + a2x2 + * * + a,xm

En este caso, la suma de los cuadrados de los residuos es [compárese con la Ec. (10.3)]:

n Sr = (yi - a. - alxi - a2x? - * . - amx?)2 [10.17]

i= 1

Siguiendo el mismo procedimiento de la sección anterior, se toma la de- rivada de la ecuación (10.17) con respecto a cada uno de los coeficientes del polinomio, para obtener:

Estas ecuaciones se pueden igualar a cero y reordenar de tal forma que se obtenga el siguiente conjunto de ecuaciones normales:

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338 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

en donde todas las sumatorias van desde i = 1 hasta n. Nótese que las m + 1 ecuaciones anteriores son lineales y tienen m + 1 incógnitas: ao. al, ..., a,. Los coeficientes de las incógnitas se pueden calcular directa- mente de los datos observados. Por lo tanto, el problema de determinar polinomios de grado m con mínimos cuadrados es equivalente a resolver un sistema de m + 1 ecuaciones lineales simultáneas. Los métodos de solución de estos sistemas se analizan en los capítulos 7 y 8.

Así como en la regresión lineal, el error en la regresión polinomial se puede cuantificar mediante el error estándar de la aproximación:

%/x = u'".- n - (m + 1) [10.19]

en donde m es el orden del polinomio. Esta cantidad se divide por n- ( m + 1 ) ya que se usaron m + 1 coeficientes - a. , a l , . . . ,am- derivados de los datos para calcular S ; por lo tanto, se han perdido m + 1 grados de libertad. Además del error estándar, se puede calcular también el coeficiente de correlación en la regresión polinomial de la mis- ma manera que para el caso lineal:

r2 = S" - Sr S"

Ejemplo 10.5 Regresión polinomial

Enunciado del problema: ajústese un polinomio de segundo orden a los datos de las dos columnas del cuadro 10.4.

Solución: de los datos dados:

m - 2 x, = 15 2, xp = 979

n = 6 y, = 152.6 x x,y, = 585.6

- x = 2.5 x' = 55 2 x'y, = 2 488.8

I 5 = 25.433 x? = 225

Por lo tanto, las ecuaciones lineales simultáneas son:

6ao + 15al + 55a2 = 152.6 15ao + 55al + 225a2 = 585.6 55ao + 225a1 + 979a2 = 2 488.8

Page 350: Metodos numericos para ingenieros

REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 339

CUADRO 10.4 Cálculos del análisis de error de un aiurte cuadrático con mínimos cuadrados.

O 2.1 544.44 O. 143 32 1 7.7 31 4.47 1 .O02 86 2 13.6 140.03 1.081 58 3 27.2 3.12 0.804 91 4 40.9 239.22 0.61 9 51 5 61.1 1 272.1 1 0.094 39

c. 152.6 2 513.39 3.746 57

I Resolviendo estas ecuaciones con alguna de las técnicas como la elimi- 1 nación gaussiana se obtiene:

1 a0 = 2.478 57

I al = 2.359 29 ' a2 = 1.860 71

1 Por lo tanto, la ecuación cuadrática con mínimos cuadrados en este caso es:

y = 2.478 57 + 2.359 29x + 1.860 71x2

El error estándar de la aproximación, basado en la regresión polinomial es [Ec. (10.191:

sy/x = E = 1.12

El coeficiente de determinación es:

2 513.39 - 3.746 57 r2 =

2 513.39 = 0.998 51

y el coeficiente de correlación es:

r = 0.999 25

Estos resultados indican que el 99.851% de la incertidumbre original se ha explicado mediante el modelo. Este resultado apoya la conclusión de que la ecuación cuadrática representa un ajuste perfecto, como es evi- dente en la figura 10.11.

Page 351: Metodos numericos para ingenieros

340 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 10.11 Ajuste de un polinomio de segundo orden.

FIGURA 10.12 Algoritmo para implernentar la regresión polinomial.

Page 352: Metodos numericos para ingenieros

REGRESldN CON MiNlMOS CUADRADOS 34 1

SUBROUTINE POLREG(X,P,A) DIMEIiSION X(15),Y(15).A(15.161

IP=Io*1 2030 FOR L = 1 TO N

2000 FOR I = 1 TO I O + 1 2010 FOR J = 1 TO IO + 1 2020K = I + J - 2

IO = order of regression

ccnnoN N,IO polynolnsal

N = number of data oolnts

2050 2060

2090 2100

DO 2100 I=l,IP DO 2060 J=l,IP K=I+J-2 W 2050 L=l,N A(I,Jl=A(I.Jl+X(L)~~K CONTINUE CONTINUE

~~

2040 A ( I , J ) = A ( I , J ) + x ( L ) 2050 NEXT L

2070 FOR L = 1 TO N 2060 NEXT J

2080 A ( I , I O + 2) = A ( I , I O + Y ( L ) t X ( ¡ ) ( 1 - 1 )

K- (Determlnat lon of coefficlents of normal equations and storage In matrix A l

(Deterrnlnation of 2) +,

"

2090 NEXT L " ..

right hand side constants

M) 2090 L=l,N ' 2100 NEXT I IR=lP+l 2 1 1 O RETURN

CONTINUE A ~ 1 , I R ~ = A ~ I . I R ~ + Y ~ L I ~ X ~ L ~ ~ ~ ~ I - l ~

CONTINUE RETURN END

and storage In last for normal equations

column of rnatrlx A l

FIGURA 10.13 Subrutinas en FORTRAN y BASIC que calcula las ecuaciones normales, de la regresión polinomial, en forma matrical.

10.2.1 Algoritmo para la regresión polinomial

En la figura 10.12 se muestra un algoritmo sobre la regresión polinomial. Nótese que la tarea principal es la obtención de los coeficientes de las ecua- ciones normales [Ec. (10. la)]. (Las subrutinas que llevan a cabo esta tarea se presentan en la figura 10.13). En seguida se pueden aplicar los méto- dos de los capítulos 7 y 8 en la solución de estas ecuaciones simultáneas para esos coeficientes.

Un problema potencial que se presenta con la implementación polino- mial es que algunas veces las ecuaciones normales están mal condiciona- das. Esto se cumple en particular cuando los sistemas son muy grandes. En estos casos, los coeficientes calculados son altamente susceptibles a los errores de redondeo y, por lo tanto, los resultados resultan inexactos. Entre otras cosas, este problema está relacionado con e! hecho de que para po- linomios de órdenes superiores las ecuaciones normales pueden tener coe- ficientes muy grandes y muy pequeños al mismo tiempo. Esto se debe a que los coeficientes son sumatorias de los datos elevados a potencias.

Aunque algunas de las estrategias para amortiguar los errores de redon- deo analizadas en el capítulo 7 , tales como el pivote0 y las ecuaciones de error, pueden ayudar a remediar parcialmente este problema, una al- ternativa más simple es usar una computadora de alta precisión. Este es un caso donde las microcomputadoras pueden representar desventajas en la implementación efectiva de este método numérico en especial. Afor- tunadamente, la mayor parte de los problemas prácticos estdn limitados a polinomios de orden inferior en los que los errores de redondeo, en general, son despreciables. En situaciones donde se requiera polinomios de orden superior, se dispone de otras alternativas para ciertos tipos de datos. Sin embargo, estos métodos (tales como los polinomios ortogona- les) van más allá del alcance de este libro. El lector debe consultar textos sobre regresión tales como el Draper y Smith (1981) para obtener infor- mación relacionada con el problema y sus posibles alternativas.

Page 353: Metodos numericos para ingenieros

342 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

10.3 R E G R E S I ó N L I N E A L M ú L T I P L E

Una extensión útil en la regresión lineal es el caso en que y es una función lineal de dos o más variables. Por ejemplo, y pudiera ser una fun- ción lineal de x1 y x2, de la forma:

Tal ecuación es útil particularmente cuando se ajustan datos experimen- tales en donde la variable que se está analizando, a menudo es función de otras dos variables. En este caso bidimensional, la “línea” de regresión viene a ser un “plano” (Fig. 10.14).

Como con los casos anteriores, los “mejores” valores de los coeficientes se determinan agrupando la suma de los cuadrados de los residuos:

n Sr = (yi --‘a0 - alxl,¡ - ~ 2 , ~ )

2

i=l

y derivando con respecto a cada uno de los coeficientes:

[10.20]

Los coeficientes que generan la suma mínima de los cuadrados de los residuos se obtienen igualando cada una de las derivadas parciales a cero y expresando la ecuación (10.20) como un conjunto de ecuaciones li- neales simultáneas, de la forma:

o como una matriz:

Page 354: Metodos numericos para ingenieros

REGRESldN CON MíNIMOS CUADRADOS 343

FIGURA 10.14

CUADRO 10.5

Esquema grafico de la regresión lineal múltiple en donde y es una fun- ción lineal de X I y X?.

EJEMPLO 10.6 Regresión lineal múltiple

Enunciado del problema: los siguientes datos se calcularon de la ecua- ción y = 5 + 4x1 - 3x2.

2 O O 5

1 2.5

10

1 2 9 3 O

4 7

6 2

3 27

Úsese regresión lineal múltiple para estos datos.

Cilculos necesarios para desarrollar las ecuaciones normales del eiemplo 10.6

Y X I x2 x: x f x1x2 XI Y *2Y 5 O 0 0

10 O

2 O

1 4 0

1 0

9 2.5 2 2 20

6.25 10

O 1 3 4 5 22.5 18

1 3 4 6 16

9 3 36

0 0

27 7 2 49 14 189 54 24 12

4 18

E 54 16.5 14 76.25 54 48 243.5 101

Page 355: Metodos numericos para ingenieros

344 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Solución: las sumatorias necesarias para desarrollar la ecuación (10.21) se calculan en el cuadro 10.5. Sustituyéndolas en la ecuación (10.21) se obtiene:

[ ;{.5 :::5 g] 54 [ a2 = [ g.51 que se puede resolver usando un método como la eliminación gaussiana para obtener:

a. = 5 al = 4 a2 = -3

los cuáles son consistentes con la ecuación original de donde se deriva- ron los datos.

La regresión lineal múltiple se puede formular en el caso más general como:

y = a0 + alxl + a2x2 + * * . + a,xm

en donde los coeficientes que minimizan la suma de los cuadrados de los residuos se determinan resolviendo el sistema:

El error estándar de la aproximación para regresión li formula de la siguiente manera:

[10.22]

neal múltiple se

y el coeficiente de correlación se calcula como en la ecuación (10.10). Aunque existen ciertos casos en donde una variable es linealmente

dependiente de dos o más variables diferentes, la regresión lineal múlti-

Page 356: Metodos numericos para ingenieros

REGRES16N CON MíNIMOS CUADRADOS 345

ple tiene utilidad adicional en la obtención de ecuaciones de potencias de la forma general:

Tales ecuaciones son extremadamente útiles cuando se ajustan datos ex- perimentales. Además, para usar la regresión lineal múltiple, las ecuacio- nes se transforman tomando su logaritmo para obrener:

log y = log a0 + al log x1 + a2 log x2 + * + a, log x,,,

Esta transformación es similar a las que se usan en la sección 10.1.3 y el ejemplo 10.4 para ajustar una ecuación de potencias en donde y era una función de una variable simple x. En el caso de estudio 12.5 se pro- porciona un ejemplo de esta aplicación.

PROBLEMAS Cálculos a mano

10.1 Dados los datos

0.95 1.42 1.54 1.32 1.15 1.47 1.46 1.47 1.92 1.85 1.74 1.65 2.39 1.82 2.06

1.55 1.63 1.95 1.25 1.35 1.05 1.78 1.71 2.14 2.27

determínese a) la media, b) la desviación estándar, c) la varianza y d) el coeficiente de variación.

10.2 Constrúyase un histograma de los datos del problema 10.1. Usese un rango de 0.6 a 2.4 con intervalos de 0.2.

10.3 Dados los datos

52 6 18 21 26 28 32 39 22 28 24 27 27 33 2 12 17 34 29 31 34

43 36 41 37 43 38 46

determínese a) la media. b) la desviación estándar, c) la variara y d) el coeficiente de variación. e ) Constrúyase un histograma. k e s e un intervalo de O a 55 con incrementos de 5. fl Supo- niendo que la distribución es normal y que la aproximación de la desviación estándar es

Page 357: Metodos numericos para ingenieros

346 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS -

10.4

10.5

10.6

10.7

10.8

10.9

válida, calcúlese el intervalo (es decir, los valores inferior y superior) que abarque el 68% de las lecturas. Determínese si ésta es una aproximación válida para los datos de este problema.

Utilice la regresión con mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a:

x I 1 3 5 7 10 12 13 16 18 20

y 1 3 2 6 5 8 7 1 0 9 1 2 1 0

J w t o con la pendiente y la intersección, calcúlese el error estándar de la aproximación y el coeficiente de correlación. Grafíquense los datos y la línea de regresión. En seguida repítase el problema, pero ahora x contra y; es decir, intercámbiense las variables. Inter- prétense los resultados. Úsese regresión de mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a:

x 1 4 6 8 10 14 16 20 22 24 28 28 34 36 38

y 1 30 18 22 28 14 22 16 8 20 8 14 14 O 8

Junto con la pendiente y la intersección, calcúlese el error estándar de la aproximación y el coeficiente de correlación. Grafíquense los datos y la línea de regresión. Si alguien realizó una medida adicional de x = 30, y = 30, ¿se esperaría basándose en una obser- vación visual y en el error estándar, que la medida fuese válida o inválida? Justifíquense las conclusiones.

Empléese regresión con mínimos cuadrados para ajustar una línea recta a los datos:

x+

O 2 4 4 8 12 16 20 24 28 30 34 10 12 18 22 20 30 26 30 26 28 22 20

a) Junto con la pendiente y la intersección. calcúlese el error estándar de la aproximación y el coeficiente de correlación. Grafíquense los datos y la línea recta. Valórese el ajuste. b) Repítase el cálculo de a) pero usando regresión polinomial para ajustar una parábola a los datos. Compárense los resultados con los de a) .

Ajústese un modelo de promedio de crecimiento de saturacijn a'

x I 1 2 2.5 4 6 8 8.5

y I 0.4 0.7 0.8 1.0 1.2 1.3 1.4

Grafíquense los datos y la ecuaciqn.

Ajústese una ecuación de potencias a los datos del problema 10.7. Grafíquense los datos y la ecuación.

Ajústese una parábola a los datos del problelna 10.7. Grafíquense los datos y la ecuación.

Page 358: Metodos numericos para ingenieros

REGRESION CON MíNIMOS CUADRADOS 347

10.10 Ajústese una ecuación de potencias a :

x 1 2.5 3.5 5 6 7.5 10 12.5 15 17.5 20

y I 5 3.4 2 1.6 1.2 0.8 0.6 0.4 0.3 0.3

Grafíquese y contra x además de la ecuación de potencias

10.11 Ajústese un modelo exponencial a :

x I 0.05 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 y I 550 750 1000 1400 2000 2700 3750

Grafíquense los datos y la ecuación en papel estándar y semilogarítmico. Analícense los resultados.

10.12 Ajústese una ecuación de potencias a los datos del problema 10.11. Grafíquense los da- tos y la ecuación.

10.13 Ajústese una parábola a los datos del problema 10.11. Grafíquense los datos y la ecuación.

10.14 Dados los datos:

x 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 y I 17 25 30 33 36 38 39 40 41 42

Úsese regresión con mínimos cuadrados para ajustar a) a una línea recta, b) a una ecua- ción de potencias, c) a una ecuación de promedio de crecimiento de saturación y d) a una parábola. Grafíquense los datos junto con todas las curvas. ¿Alguna de ellas es me- jor? Si es así justifíquese.

10.15 Ajústese a una parabola a:

x 1 O 2 4 6 9 11 13 15 17 19 23 25 28 y I 1.2 0.6 0.4 -0.2 O -0.6 -0.4 -0.2 -0.4 0.2 0.4 1.2 1.8

Calcúlense los coeficientes, el error estándar de la aproximación y el coeficiente de corre- lación. Grafiquense los resultados y valórese el ajuste.

10.16 Úsese regresión lineal múltiple para ajustar:

X l I O 1 2 0 1 2 X2

y 19 12 11 24 22 15 2 2 4 4 6 6

Calcúlense los coeficientes, el error estándar de la aproximación y el coeficiente de correlacihn.

Page 359: Metodos numericos para ingenieros

348 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

10.17

10.18

10.19

10.20

10.21

10.22

10.23

10.24

Usese regresión lineal múltiple para ajustar:

x1

x2

1 1 2 2 3 3 4 4

18 12.8 25.7 20.6 35.0 29.8 45.5 40.3 y 1 2 1 2 1 2 1 2

Calcúlense los coeficientes, el error estándar de la aproximación y el coeficiente de corre- lación.

Problemas relacionados con la computadora

Desarróllese un programa legible al usuario para regresión lineal basado en la figura 10.6. Entre otras cosas: a) Agréguense instrucciones que documenten el programa. b) Háganse más descriptivas las operaciones de entrada salida y orientadas al usuario. C) Calcúlese e imprímase el error estándar de la aproximación [Ec. (10.9)] y el coeficiente de correlación [la raíz cuadrada de la ecuación (10.10)]. d) (Opcional) Inclúyase una gráfica por computadora de los datos y de la línea de regresión. e) (Opcional Inclúyase una opción que permita analizar ecuaciones del tipo exponencial, de potencias y de promedio de crecimiento de saturación.

Desarróllese un programa que sea legible al usuario para regresión polinomial basado en las figuras 10.12 y 10.13. Pruébese el programa repitiendo los cálculos del ejemplo 10.5.

Desarróllese u n programa que sea legible al usuario para la regresión múltiple basado en la figura 10.12, pero con la matriz especificada como la ecuación (10.22) . pruébese el progrma repitiendo los cálculos del ejemplo 10.6

Repítanse los problemas 10.4 y 10.5 usando el programa del problema 10.18

Úsese el paquete de programas NUMERICOMP para resolver los problemas 10.4, 10.5 y 10.6a

Repítanse los problemas 10.9, 10.13 y 10.15 usando el programa del problema 10.19.

Repítanse los problemas 10.16 y 10.17 usando el programa del problema 10.20

Page 360: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O O N C E

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El método más común empleado para este propósito es la in- terpolación polinominal.

Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo or- den es:

f(x) = a0 + a1x + a2x2 + * + anxn [11.1]

Para n + 1 puntos, existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir, un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos (Fig. 11. la). De manera similar hay sólo una parábola que conecta a tres puntos (Fig. 11. l b ) . El polinomio de interpolación consiste en determi- nar el Único polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 pun- tos dados. Este polinomio proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.

Aunque existe uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que se ajusta a los n + 1 puntos, existen una gran variedad de fórmulas matemáticas

FIGURA 1 1 . 1 Ejemplos de interpolación polinomial: a) Primer orden (lineal), conexión de dos puntos; b) conexión de tres puntos, segundo orden (cuadrática o parabólica) y c) conexión de cuatro puntos, tercer orden (cúbico).

Page 361: Metodos numericos para ingenieros

350 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

mediante las cuales se puede expresar este polinomio. En este capítulo, se estudian dos técnicas alternativas que est6n bien condicionadas para implementarse en una microcomputadora. Estos son los polinomios de Newton y los de Lagrange.

11.1 POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON

Como ya se dijo, existe una variedad de maneras diferentes de expresar un polinomio de interpolación. El polinomio de interpolación con dife- rencias diuididas de Newton, entre otros, es la forma más popular además de la más útil. Antes de presentar la ecuación general, se examinan las ver- siones de primero y segundo orden debido a su fácil interpretación visual.

1 1 . l . 1 Interpolación lineal

La forma más simple de interpolación es la de conectar dos puntos con una línea recta. Este método, llamado interpolación lineal, se muestra en la figura 11.2. Usando triángulos semejantes, se tiene:

FIGURA 11.2 Esquema gráfico de la interpolación lineal. Las áreos sombreadas mues- tran triángulos semejantes usados en la derivación de la fórmula de in- terpolación lineal [€c. ( 1 1.2)].

Page 362: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLACldN 35 1

que se puede reordenar como:

[11.2]

la cual es una fórmula de interpolación lineal. La notación fl(x) indica que se trata de un polinomio de interpolación de primer orden. Nótese que además de representar la pendiente de la línea que conecta los dos puntos, el término Lf(xl) - f (xo)]/(xl - xo) es una aproximación de di- ferencias divididas finitas a la primera derivada [recuérdese la ecuación (3.24)]. En general, entre más pequeño sea el intervalo entre los puntos, más exacta será la aproximación. Esta característica se demuestra en el ejemplo, siguiente.

EJEMPLO 1 l . 1 lnterpolación lineal

Enunciado del problema: calcúlese el logaritmo natural de 2 (In 2) usan- do interpolación lineal. Primero, llévense a cabo los cálculos interpolan- do entre In 1 = O y In 6 = 1.791 759 5. Después repítanse el procedimiento, pero usando un intervalo más pequeño desde In 1 a In 4 (1.386 294 4). Nótese que el valor real de In 2 = 0.693 147 18.

Solución: usando la ecuación (1 1.2), una interpolación lineal de x = 1 a x = 6 da:

f,(2) = 0 + 1.791 759 5 - O 6 - 1

(2 - 1) = 0.358 351 90

la cual representa un error porcentual de = 48.3%. Usando el intervalo más pequeño desde x = 1 a x = 4 da:

fi(2) = 0 + 1.386 294 4 - O

4 - 1 (2 - 1) 0.462 098 13

Por lo tanto, usando el intervalo más pequeño reduce el error relativo porcentual a E, = 33.3%. Ambas interpretaciones se muestran en la fi- gura 11.3, junto con la función verdadera.

1 l . 1.2 interpolación cuadrática

El error en el ejemplo 11.1 se debe a que se aproximó una curva me- diante una línea recta. Por consiguiente, una estrategia que mejora la apro-

Page 363: Metodos numericos para ingenieros

352 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 11.3 Dos interpolaciones lineales para aproximar In 2. Nótese cómo el intervalo más pe- queño proporciona una mejor aproximación.

ximación es la de introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos: lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cua- drático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:

Nótese que aunque la. ecuación (1 1.3) parezca diferente de la ecuación general de un polinomio [Ec. (11. l)], las dos ecuaciones son equivalen- tes. Esto se puede demostrar si se multiplican los términos de la ecuación (11.3) y obtener:

A(x) = bo + blx - blxo + b2X2 + bzxoxl - ~ ~ x x O - b2XXI

o, agrupando términos:

f2(x) = a0 -t alx + a2x2

en dónde:

Page 364: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLACI6N 353

De esta manera, las ecuaciones (1 1.1) y (1 1.3) son fórmulas alternativas equivalentes del Único polinomio de segundo grado que une a los tres puntos.

Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bo, se usa la ecuación (11.3) con x = x0 y se obtiene

bo = f (xo) [11.4]

Sustituyendo la ecuación (11.4) en la ecuación (11.3) y evaluando en x = x1 se obtiene:

[11.5]

Y por último, las ecuaciones (1 1.4) y (11.5) se sustituyen en la ecuación (11.3), y se evalúa ésta en x = x2 y se obtiene:

[11.6]

Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, bl aún re- presenta la pendiente de la línea que une los puntos x0 y xl. Por lo tan- to, los primeros dos términos de la ecuación (1 1.3) son equivalentes a la interpolación de x. a xl, como ya se especificó anteriormente en la ecuación (11.2). El Gltimo término, b2(x - xo) (x - xl), introduce la cur- vatura de segundo orden en la fórmula.

Antes de ilustrar como se usa la ecuación (1 1.3), se debe examinar la forma del coeficiente b2. Es muy similar a la aproximación por dife- rencias divididas finitas de la segunda derivada introducida previamente en la ecuación (3.31). Por io tanto. la ecuación (11.3) empieza a mani- festar una estructura muy similar a la serie de Taylor. Esta observación se explora con más detalle cuando se relacione el polinomio de Newton con la serie de Taylor en la sección 11.1.4. Pero primero, se muestra có- mo se usa la ecuación (11.3) para interpolar entre tres puntos.

EJEMPLO 11.2 Interpolación cuadrática

Enunciado del problema: ajústese el polinomio de segundo orden a los tres puntos usados en el ejemplo 11.1:

x0 = 1 f(xo) = o XI = 4 f(x1) = 1.386 294 4 x2 = 6 f ( ~ 2 ) = 1.791 759 5

Page 365: Metodos numericos para ingenieros

354 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

úsese el polinomio para evaluar In 2.

Solución: aplicando la ecuación (11.4) da:

Las ecuaciones (1 l . 5) generan :

y la ecuación (11.6) da:

1.791 759 5-1.386 294 4 "o.426 098 13

b2 = 6-4

= - 0.051 873 116 6 . 1

Sustituyendo estos valores en la ecuación (11.3) se obtiene la fórmula cuadrática:

f 2 ( ~ ) O + 0.462 098 1 3 ( ~ - 1) - 0.051 873 1 1 6 ( ~ - l ) ( x - 4)

que se evalúa en x = 2 y se obtiene

f2(2) = 0.565 844 36

lo que representa un error porcentual del .E" = 18.4%. Por lo tanto, la curvatura introducida por la fórmula cuadrática (Fig. 11.4) mejora la in- terpolación comparada con los resultados obtenidos al usar una línea recta en el ejemplo 11.1 y la figura 11.3.

11.1.3 Forma general de los polinomios de interpolación de Newton

El análisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-ésimo orden a los n + 1 puntos. El polinomio de n-ésimo orden es:

j n ( X ) = bo + bl(x - ~ g ) + * * * + b,(x - XO)(X - XI) . . . (X - Xn-l)

[11.7] Como se hizo anteriormente con las interpolaciones lineales y cuadráti- cas, se usan los puntos en la evaluación de los coeficientes bo. b l , . . . . b,. Se requieren n + 1 puntos para obtener un polinomio de n-ésimo orden: x(), xl , , . . , x,. Usando estos datos, con las ecuaciones siguien- tes se evalúan los coeficientes:

[11.8]

[11.9]

Page 366: Metodos numericos para ingenieros

lNTERPOLACl6N 355

FIGURA- 11.4 uso de la interpolación cuadratica para calcular In 2. Se incluye también la interpo- loción lineal de x = 1 a 4 para comparación.

b 2 = f b 2 , x17 x01 [11.10]

en donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se re- presenta generalmente como:

[ll. 121

La segunda diferencia diuidida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias dividas finitas, se expresa generalmente como:

[11.13]

Page 367: Metodos numericos para ingenieros

356 MÉTODOS NUM~RICOS PARA INGENIEROS

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de las ecuacio- nes (1 1.8) a la (1 l. ll), los cuales se sustituyen en la ecuación (1 1.7) pa- ra obtener el polinomio de interpolación:

FIGURA 11.5

[11.15]

Al cual se le llama polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton. Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuación (11.15) estén igualmente espaciados o que los valores de la abscisa necesariamente se encuentren en orden ascendente, como se ilus- tra en el siguiente ejemplo. También nótese que las ecuaciones (1 1.12) a la (11.14) son recursivas, esto es, las diferencias de orden superior se com- ponen de diferencias de orden inferior (Fig. 11.5). Esta propiedad se apro- vechará al desarrollar un programa eficiente para la computadora en la sección 11.1.5 que implemente este método.

Esquema gráfico de la naturaleza recursiva de una diferencia dividida finita.

EJEMPLO 11.3 Polinomios de interpolacion de Newton con diferencias divididas

Enunciado del problema: en el ejemplo 11.2, se usaron los puntos en x. = 1 , xi = 4 y x2 = 6 para calcular In 2 con una parábola. Ahora, agregando un cuarto punto [x3 = 5; f(x3) = 1.609 437 91, calcúlese In 2 con un polinomio de interpolación de Newton con diferencias divididas de tercer orden.

Solución: el polinomio de tercer orden, ecuación ( 1 1.3) con n = 3 , es

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INTERPOLACI6N 357

las primeras diferencias divididas del problema son [Ec. (11.12)J

fkl , x01 = 294 - o = 0.462 098 13 4 - 1

1.791 759 5 - 1.386 294 4 = o.2o2 732 55 f k 2 , x11 = 6 - 4

1.609 437 9 - 1.791 759 5 = o.182 321 6o f[X3, x21 = 5 - 6

Las segundas diferencias divididas son [Ec. (11.13)]

0.202 732 55 - 0.462 098 13 6 - 1 f k 2 , x19 x01 = = - 0.051 873 116

0.182 321 60 - 0.202 732 55 5 - 4 fix39 x27 x11 = = - 0.020 410 950

La tercera diferencia dividida es [Ec. (11.14)] con n = 31

-0.020 410 950 - (-0.051 873 116) 5 - 1 f b 3 , x2, x19 x01 =

= 0.007 865 541 5

FIGURA 11.6 USO de interpolación cúbica para aproximar In 2.

" " ~ - _ I .._" "X.L.1 I -."l"""-.-.---

Page 369: Metodos numericos para ingenieros

358 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Los resultados para f[xl, xo], f[x2,xl,xo] y f[x3, x2, xl, x"] representan los coeficientes bl, b2 y b3 de la ecuación (11.7). Junto con bo = f(xo) = 0.0 la ecuación (11.7) da

f3(~) = O + 0.462 098 13 (X - 1) - 0.051 873 116 (X " 1 ) (X - 4) + 0.007 865 541 5(x - l)(x - 4)(~ - 6)

con la que se puede evaluar

f3(2) = 0.628 768 69

lo que representa un error relativo porcentual del tu = 9.3%. El polino- mio cúbico completo se muestra en la figura 11.6. -

11.1.4 Errores en los polinomios interpolantes de Newton

Nótese que la estructura de la ecuación (1 l. 15) es similar a la expansión de la serie de Taylor en el sentido de que los términos agregados secuen- cialmente consideran el comportamiento de orden superior de la función representada. Estos términos son diferencias divididas finitas y, por lo tanto, representan aproximaciones a las derivadas de orden superior. En con- secuencia, como sucede con la serie de Taylor, si la función representati- va es un polinomio de n-ésimo orden, el polinomio interpolante de n-ésimo orden basado en n + 1 puntos llevará a resultados exactos.

También, como en el caso de la serie de Taylor, se puede obtener una formulación del error de truncamiento. Recuérdese de la ecuación (3.13) que el error de truncamiento en la serie de Taylor se expresa en forma general cómo:

f'"'(S) (x,+1 - xi)"+' R,, =

(n-+ 1) !

en donde 4 es un punto cualquiera dentro del intervalo [x,, x,, ,),Una re- lación an6loga del error en un polinomio interpolante de n-ésimo orden está dada por:

..

[11.16]

en donde 4 es un punto cualquiera dentro del intervalo que contiene las incógnitas y los datos. Para uso de esta fórmula la función en cuestión debe ser conocida y diferenciable. Y usualmente, este no es el caso. Afor- tunadamente, existe una fórmula alternativa que no requiere conocimiento

Page 370: Metodos numericos para ingenieros

lNTERPOLACl6N 359

previo de la función. En vez de ello, se usa una diferencia dividida finita que aproxima la (n + 1)-ésima derivada:

en donde f[x, x,, x,-1 ,. . . , xo] es la (n + 1)-ésima diferencia dividi- da. Ya que la ecuación (1 l . 17) contiene la incógnita )(x), ésta no se pue- de resolver y obtener el error. Sin embargo, si se dispone de un dato adicional f(x,+ J, la ecuación (1 1.17) da una aproximación del error como:

EJEMPLO 1 1.4 Estimación del error en el polinomio de interpolación de Newton

Enunciado del problema: úsese la ecuación (1 1.18) para calcular e! error del polinomio de interpolación de segundo orden del ejemplo 11 2 . Usense los datos adicionales f(x3) = f(5) = 1.609 437 9 para obtener los re- sultados.

Solución: recuérdese que en el ejemplo 11.2 el polinomio de interpola- ción de segundo orden proporcionó una aproximación de f(2) = 0.565 844 346, que representa un error de 0.693 147 18 - 0.565 844 346 = O. 127 302 835. Si no se sabe el valor verdadero, como es en la ma- yor parte de los casos, se puede usar la ecuación (1 l. 18), junto con el valor adicional en x3, para calcular el error, como

O

R2 = 0.007 865 541 5 (X - l)(x - 4 ) ( ~ - 6)

en donde el valor de la diferencia dividida finita de tercer orden se calcu- ló previamente en el ejemplo 11.3. Esta relación se evalúa en x = 2 y se obtiene:

R2 = 0.007 865 541 5 (2 - 1)(2 - 4) (2 - 6) = 0.062 924 332

que es del mismo orden que el error verdadero

Page 371: Metodos numericos para ingenieros

360 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

11.1.5 Programa de computadora para el polinomio de interpolación de Newton

Son tres las propiedades que hacen del polinomio de interpolación de Newton un método extremadamente atractivo para usarse en una computadora:

1. Como en la ecuación (11.7), las versiones de orden superior se pue- den desarrollar secuencialmente agregando un término simple a la si- guiente ecuación de orden inferior. Esto facilita la evaluación de varias versiones de orden diferente en el mismo programa. Esta capacidad es muy útil cuando no se conoce a priori el orden del polinomio. Agre- gando nuevos términos secuencialmente, puede determinarse cuán- do se alcanza un punto de retorno, es decir, cuándo al agregar un término de orden superior no se mejora significativamente la aproxi- mación o en ciertos casos se disminuye. Las ecuaciones de error ana- lizadas en el punto (3) son útiles al definir un criterio objetivo en la determinación de este punto de términos decrecientes.

2. Las diferencias divididas finitas que constituyen los coeficientes del polinomio [Ec. (1 1.8) a la (1 1 .1 l)] se calculan con una relación re- cursiva. Esto es, como en la ecuación (11.14) y la figura 11.5, las diferencias de orden inferior se usan para calcular las diferencias de orden superior. Usando la información previamente determinada, los coeficientes se calculan eficientemente. El programa de la figura 11.7 contiene este esquema.

ORTRA ASIC DIMENSION F X C 1 0 , l O ) ~ X ~ l O ) READ< 5 , l )N

1 FORRLTC I S ) DO 1 4 0 I - $ . N READ<S,2)X< I ) , F X < I , 1 )

2 FORMAT< 2F1 U ~ 0 ) 140 CONTINUE

M-N-1 DO 2 0 0 J - I , M

NP-N- J K=J+T

DO 190 I = l , N P F x ( I , K ) - ~ F X ~ I + l , J ) - F ~ ~ I , J ~ ) ~ ~ X ( I + J ) - % ~ I ) ~

190 CONTINUE 200 CONTINUE

DO 230 J=t ,N

3 FORMRTC. - , F 1 0 . 3 ) W R I T E ( 6 , 3 > F X ( I , J )

2 3 0 CONTINUE RERD<S,2)XI F A - l . Y.0, DO 340 J-V.N Y-Y+FX< 1 , J >+Fa WRITE(6,3)Y FA-FR*<XI-X( J i )

EAnFArFX< 1 , JP > JP-J+l

WRITEC6,J)EA

IF C J . G E . N ) C O T O 3 5 0

3 4 0 CONTINUE 3 5 0 STOP

END

F h l N T EA I E X I . I F

FIGURA 11.7 Programa para computadora del polinomio interpolante de Newton

Page 372: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLACldN 36 1

3. La ecuación de error [Ec. (11.18)] se expresa en términos de las di- ferencias divididas finitas que ya se han calculado para determinar los coeficientes del polinomio. Por lo tanto, si se guarda esta informa- ción, se calcula el error aproximado sin volver a calcular estas can- tidades.

Todas las características anteriores se pueden aprovechar e incorpo- rar en un programa general para computadora que implemente el poli- nomio de Newton (Fig. 11.7). Al igual que todos los programas del libro, esta versión no se documenta. Además, no incluye el error aproximado mencionado en el punto (3). Una de las tareas es la de hacer este progra- ma más legible al usuario (véase el problema 11.11) y que incorpore la ecuación de error. La utilidad de esta ecuación se demuestra en el ejem- plo siguiente.

EJEMPLO 11.5 Uso de la estimación de error para determinar el orden apropiado de interpolación

Enunciado del problema: después de incorporar el error [Ec. 11.181, uti- lícese el programa de computadora dado en la figura 11.7 y la siguiente información para evaluar f (x ) = In x en x = 2.

x f(x) = In x 1 O 4 1.386 294 4 6 1.791 759 5 5 1.609 437 9 3 1 .O98 61 2 3 1.5 0.405 465 1 1 2.5 0.916 290 73 3.5 1.252 763 O

Solución: los resultados de emplear el programa de la figura 11.7 para obtener la solución se muestran en la figura 11.8. En la figura 11.9 se representa el error aproximado, junto con el error verdadero (basado en el hecho de que In 2 = 0.693 147 18). Nótese que el error calculado y el verdadero son similares y su coincidencia mejora a medida que crece el orden. De la gráfica se puede concluir que las versiones de quinto or- den llevan a una buena aproximación y que los términos de orden supe- rior no precisan significativamente la predicción.

Este ejercicio ilustra también la importancia de la posición y orden de los puntos. Por ejemplo, las aproximaciones de orden superior al tercero mejoran más lentamente ya que los puntos que se le agregan (en x = 4 , 6 y 5) están distantes y a un lado del punto en cuestión en x = 2.

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362 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

-a Number of data potnts

FIGURA 11.8 Salida del programa BASIC para evaluar In 2.

La aproximación de cuarto orden muestra mayor mejoría porque el nue- vo punto en x = 3 está más cerca de la incógnita. Sin embargo, el decre- mento en el error más dramático está asociado con la inclusión del término de quinto orden usando los datos en x = 1.5. No sólo este punto está cerca de la incógnita sino también se encuentra al lado opuesto de la ma- yor parte de los puntos. En consecuencia, el error se reduce casi una or- den de magnitud.

El significado de la posición y secuencia de los datos pueden también ilustrarse al usar los mismos datos para obtener una aproximación para In 2 , pero considerando los puntos en una secuencia diferente. En la fi- gura 11.9 se muestran los resultados para el caso en que se invierten el orden de los puntos originales, esto es, x. = 3.5, x1 = 2.5, x2 = 1.5, etc. Debido a que los puntos iniciales en este caso se encuentran más cerca y espaciados a los lados de In 2 , el error decrece mucho más rápidamen- te que en la situación original. Mediante el término de segundo orden, el error se ha reducido a un nivel relativo porcentual de menos del E, = 2%. Se pueden emplear otras combinaciones para obtener diferentes prome- dios de converqencia.

El ejemplo anterior ilustra la importancia de escoger los puntos base. Como es obvio, los puntos deben estar tan cerca como sea posible de las incógnitas. Esta observación también se nota por simple examen de la ecuación de error [Ec. (11.17)]. Suponiendo que la diferencia dividida

Page 374: Metodos numericos para ingenieros

FIGURA 11.9

11.2

Errores relativos porcentuales en la aproximación de In 2 en función del orden del polinomio de interpolación.

finita no varía demasiado a lo largo del rango de datos, entonces el error es proporcional al producto:(x - xo) (x - xl) . . . (x - x,,). Obviamen- te, mientras más cercanos estén los puntos base a las x, menor será la magnitud de este producto.

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

El polinomio de interpolación de Lagrange, simplemente es una refor- mulación del pqlinomio de Newton que evita los cálculos de las diferen- cias divididas. Este se puede representar concretamente cómo:

en donde:

[11.19]

Page 375: Metodos numericos para ingenieros

364 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

[11.20]

en donde I’I denota el “producto de.”. Por ejemplo, la versión lineal (n = 1) es:

I

y la versión de segundo orden es:

[11.21]

[11.22]

Al igual que el método de Newton, la versión de Lagrange tiene un error aproximado, dado por:

n

La ecuación (1 1.19) se deriva directamente del polinomio de New- ton (recuadro 11.1). Sin embargo, la razón fundamental de la formula- ción de Lagrange se puede comprender directamente notando que cada término Li(x) será 1 en x = x, y O en todos los demás puntos. Por lo tan- to, cada producto LJx) f(xi) toma un valor de f ( x , ) en el punto x,. For consiguiente la sumatoria de todos los productos, dada por la ecuación (1 1.19) es el Único polinomio de n-ésimo orden que pasa exactamente por los n + 1 puntos.

RECUADRO 1 1 . 1 Derivación de la forma de Lagrange directamente del polinomio de interpolación de Newton

El polinomio de interpolación de Lagrange se puede deri- var directamente de la formulación de Newton. Se hará esto en el caso de primer orden,

f [XI, x03 = f (XI) - f (xo,

x1 - x0

fdx) = f(x0) + (x - xO)f[Xl, x01 [B11.1.1] se puede reformular como:

Para derivar la forma de Lagrange, se reformulan las di- ferencias divididas. Por ejemplo, la primera diferencia di- f b l , x 0 3 = ___ f (x1 ) + ~ f (x01 [B11.1.2] vidida. x1 - x0 x0 - XI

Page 376: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLACldN 365

a la cual se le conoce con el nombre de forma simétrica. Finalmente, agrupando términos similares y simplifican- Sustituyendo la ecuación (B11.1,2) en la ecuación do, se llega a la forma de Lagrange, ( B 1 l . l . l ) se obtiene

EJEMPLO 11.6 Polinomios de interpolación de Lagrange

Enunciado del problema: úsese un polinomio de interpolación de Lagrange de primero y segundo orden para evaluar In 2 en base a los datos dados en el ejemplo 11.2:

x0 = 1 f(xo) = o XI = 4 !(XI) = 1.386 294 4

x2 = 6 f ( ~ 2 ) = 1.791 759 5

Solución: el polinomio de primer orden es [Ec. (11.21)]

y , por lo tanto, la aproximación en x = 2 es

2 - 4 2 - 1 f l k ) = ~ O+"- l " 4 4 - 1

1.386 294 4 = 0.462 098 1

De manera similar, el polinomio de segundo orden se desarrolla como [Ec. (1 1.22)] :

+ (2 - 1)(2 - 4) (6 - 1) (6 - 4)

1.791 759 5 = 0.565 844 37

Como se esperaba, ambos resultados coinciden muy de cerca con los que se obtuvieron previamente usando la interpolación polinomial de Newton.

~

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366 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

En resumen, para los casos en donde el orden del polinomio se des- conozca, el método de Newton tiene ventajas debido a que profundiza en el comportamiento de las diferentes fórmulas de orden superior. Ade- más, la aproximación del error dada por la ecuación (1 l. 18), en general, puede integrarse fácilmente en los cálculos de Newton ya que la aproxi- mación usa una diferencia dividida (Ejemplo 11.5). De esta forma, des- de el punto de vista de cálculo, a menudo, se prefiere el método de Newton.

Cuando se va a llevar a cabo sólo una interpolación, ambos méto- dos, el de Newton y el de Lagrange requieren de un esfuerzo de cálculo similar. Sin embargo, la versión de Lagrange es un poco más fácil de pro- gramar. También existen casos en donde la forma de Newton es más sus- ceptible a los errores de redondeo (Ruckdeschel, 1981). Debido a esto y a que no requiere calcular y almacenar diferencias divididas, la forma de Lagrange se usa, a menudo, cuando el orden del polinomio se cono- ce a priori.

EJEMPLO 11.7 Interpolación de Lagrange usando computadora

Enunciado del problema: en el paquete NUMERICOMP que acompaña a este texto se encuentra un programa legible al usuario que implementa la interpolación de Lagrange. Se puede usar este paquete para llevar a cabo un problema de análisis asociado con el problema de paracaidista. Supóngase que se ha desarrollado instrumentación para medir la veloci- dad del paracaidista. Los datos medidos para una prueba particular son:

Tiempo, Velocidad medida S v, cmls

1 800 3 2 310 5 3 090 7 3 940

13 4 755

El problema es determinar la velocidad del paracaidista en t = 10 S y llenar el gran espacio de medidas entre t = 7 y t = 13 s. Se sabe que el comportamiento de los polinomios de interpolación puede ser inespe- rado. Por lo tanto, se construyen los polinomios de órdenes 4, 3, 2 y 1 y se comparan los resultados.

Solución: el programa NUMERICOMP se usa para construir los polino- mios de interpolación de cuarto, tercero, segundo y primer orden. Los resultados son

Page 378: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLACldN 367

COEFICIENTE DE:

Orden del cuarto tercer segundo primer cero calculado de polinomio orden orden orden orden orden v para t = 10 S

4 - 1.76302 44.87501 -392.87 1813.625 -663.867 5430.195 3 -4.498586 76.09375 1.239258 1742.656 4874.838 2 -36.14584 858.75 -300.1035 4672.81 2 1 135.8333 2989.167 4347.5

Valor

El polinomio de cuarto orden y los datos de entrada se grafican como se muestra en la figura 11. loa. Es evidente en esta gráfica que el valor aproximado de y en x = 10 es mayor que la tendencia total de los datos.

FIGURA 11.10 Gráficas generadas por computadora, las cuáles muestran a) interpolación de cuar- to orden; b) de tercer orden c) de segundo orden y d) de primer orden.

Page 379: Metodos numericos para ingenieros

368 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

En la figura 11.10b a la d se muestran gráficas de los resultados de los cálculos de los polinomios de interpolación de tercero, segundo y pri- mer orden. Se nota que al disminuir el orden del polinomio de interpola- ción se disminuye el valor aproximado de la vecindad a t = 10 s. Las gráficas de los polinomios de interpolación indican que los polinomios de orden superior tienden a descomponer la tendencia de los datos. Esto su- giere que los polinomios de primero o segundo grado son más apropia- dos en este análisis en particular. Se debe recordar, sin embargo, que ya que se trata de datos inciertos, la regresión podría ser más apropiada.

11.3 COMENTARIOS ADICIONALES

Antes de proceder con la siguiente sección, se deben mencionar dos te- mas adicionales: la interpolación con datos igualmente espaciados y la extrapolación.

Ya que los métodos de Newton y Lagrange son compatibles con los datos espaciados en forma arbitraria, el lector debe preguntarse por qué se aborda el caso de los datos igualmente espaciados (recuadro 11.2). Antes del advenimiento de las computadoras digitales, estos métodos tu- vieron gran utilidad en la interpolación de tablas con datos igualmente espaciados. De hecho se desarrolló un esquema conocido como tabla de diferencias divididas para facilitar la implementación de estas técnicas (la figura 11.5 es un ejemplo de estas tablas).

Sin embargo, y debido a que las fórmulas son un subconjunto de los esquemas de Newton de Lagrange compatibles con la computadora y ya que se dispone de muchas funciones tabulares como rutinas de biblio- teca, la necesidad de puntos equiespaciados se fue perdiendo. Por esta razón, se han incluido en esta parte del libro por su importancia en partes posteriores del mismo. En particular, se pueden emplear en la derivación de fórmulas de integración numérica que emplean comúnmente datos equiespaciados (capítulo 13). Ya que las fórmulas de integración numé- rica tienen importancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. el material del recuadro 11.2 también tiene importancia en el capítulo 17.

RECUADRO 11.2 lnterpolación con puntos igualmente epaciados

Si los datos se encuentran igualmente espaciados y en or- En donde h es el intervalo, o tamaño del paso, entre los den ascendente, entonces la variable independiente su- datos. En base a esto, las diferencias divididas finitas se pone valores de pueden expresar en forma concisa. Por ejemplo, la segun-

da diferencia dividida es

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INTERPOLAC16N 369

que se puede expresar como

ya que x, - x1 = x1 - x2 = (xo - x?) /2 = h . Ahora recuérdese que la segunda diferencia dividida hacia ade- lante A2j(xo) es igual al numerador de la [Ec. (3.3111.

A2f(x0) = f(x0) - 2f(xJ + f (x2)

Por lo tanto, la ecuación (B11.2.1) se puede representar mediante:

o. en general.

[B11.2.2]

Usando la ecuación (B l l . 2 .2 ) , el polinomio de interpola- ción de Newton [Ec. (1 1.15)] se puede expresar en el ca- so de datos igualmente espaciados como

A"f ( x 0 ) +- n ! h" (X - XO)(X - xo - h)

{X - xo - (n - 1)h)

+ R n [B11.2.3]

en donde el residuo es el mismo de la ecuación (11.16). Esta ecuación se conoce como fórmula de Newton o fórmula

hacia adelante de Newton - Gregory. Esta se puede sim- plificar más aún definiendo una nueva cantidad, (Y:

X"

h (y=-

Esta definición se puede usar para desarrollar la siguiente expresión simplificada de los términos en la ecuación (8112.3):

los cuales pueden sustituirse en la ecuación (B11.2.3) para dar

(a - n + 1) + R, [B11.2.4]

en donde

Esta notación concisa tiene utilidad en la derivación y aná- lisis de error de las fórmulas de integración del capítulo 13.

Además de la fórmula hacia adelante, existen tam- bién las fórmulas centrales y hacia atrás de Newton- Gregory. Se puede consultar Carnahan, Luther y Wilkes (1969) para mayor información acerca de la interpolación de datos igualmente espaciados.

La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f (x) que cae fuera del rango de los puntos base conocidos, xo, x1 , . . . , x, (Fig. 11.11) . En una sección anterior, se dijo que la interpolación más exacta usualmente se obtiene cuando las incógnitas caen cerca de los puntos base. Obvia- mente, esto no sucede cuando las incógnitas caen fuera del rango, y por lo tanto, el error en la extrapolación puede ser muy grande. Como se

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370 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 1 1 . 1 1 Ilustración de las posibles divergencias de una predicción extrapolada. La extrapalación se basa en el ajuste de una parabola a través de los primeros tres puntos.

muestra en la figura 11.11, la naturaleza abierta-en-los-extremos de la ex- trapolación representa un paso en la incógnita porque el proceso extien- de la curva más a116 de la región conocida. Como tal, la curva verdadedra diverge fácilmente de la predicción. Por lo tanto, se debe tener cuidado extremo en casos donde se deba extrapolar. El caso de estudio 12.1 en el capítulo siguiente muestra un ejemplo del riesgo que se corre al pro- yectarse más allá de los límites de los datos.

11.4 INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA (SPLINE)

En la sección anterior se usaron polinomios de n-ésimo orden para in- terpolar entre n + 1 puntos. Por ejemplo, en ocho puntos, se deriva un polinomio perfecto de séptimo orden. Esta curva captura todos los ser- penteos (al menos considera hasta derivadas de séptimo orden) sugeri- dos por los puntos. Sin embargo, existen casos en donde estas funciones pueden llevar a resultados erróneos. Una alternativa es la de aplicar poli- nomios de orden inferior a subconjuntos de datos. Estos polinomios co- nectados se llaman funciones de interpolación segmentaria (en inglés, spline functions).

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INTERPOlAC16N 37 1

Por ejemplo, las curvas de tercer orden empleadas para conectar ca- da par de datos se llaman funciones de interpolación cúbica segmentaria (del inglés cubic splines). Estas funciones tienen la propiedad adicional de que las conexiones entre ecuaciones cúbicas adyacentes son visual- mente suaves. Superficialmente parece que la aproximación segmentaria de tercer orden es inferior a la expresión de séptimo orden. El lector puede preguntarse por qué la interpolación segmentaria siempre es preferible.

FIGURA 1 l . 12 Representación visual de una situación en donde la interpolación seg- mentaria (spline) es meior a la interpolación polinomial de orden supe- rior. La función muestra un salto abrupto en x = O. En los incisos a) al c) se muestra que el cambio abrupto indica oscilaciones con la inter- polación polinomial. En contraste y debido a que se limita a curvas de tercer orden con transiciones suaves, la interpolación segmentaria d) pro- porciona una aproximación mucho más aceptable.

Page 383: Metodos numericos para ingenieros

372 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

En la figura 11.12 se ilustra un caso en donde la interpolación seg- mentaria se lleva a cabo mejor que con polinomios de orden superior. Este es el caso donde una función es generalmente suave pero muestra un cambio abrupto en algún lugar de la región de interés. La figura 11.12 es un caso extremo de este cambio y sirve para ilustrar el punto.

En las figuras 11.12~ hasta la 11.12~ se ilustra cómo los polinomios de orden superior tienden a balancearse a través de oscilaciones bruscas en la vecindad de un cambio abrupto. En contraste la interpolación seg- mentaria también conecta a los puntos, pero como está limitada a cam- bios de tercer orden, las oscilaciones se mantienen mínimas. De ahí que la interpolación segmentaria proporcione una aproximación superior del comportamiento de las funciones que tienen cambios locales abruptos.

El concepto de interpolación segmentaria se originó de la técnica de uso de una lámina de plástico delgada (llamada curuigrufo, en inglés spli- ne) en el trazo de curvas suaves a través de un conjunto de puntos. El proceso se muestra en la figura 11.13 sobre un conjunto de cinco tachuelas (datos). En esta técnica, el dibujante coloca papel sobre un tablero de ma- dera y clava tachuelas en el papel (y en el tablero) en la posición de los datos. Al pasar un hilo entre las tachuelas resulta una curva cúbica sua- ve. De ahí que se haya adoptado el nombre de “interpolación segmenta- ria” (en inglés “cubic spline”) para polinomios de este tipo.

En esta sección se utilizan primero funciones lineales simples para in- troducir algunos conceptos y problemas básicos asociados con la interpo- lación segmentaria. Después se deriva un algoritmo para ajustar polinomios

FIGURA 1 l. 13 Técnica de dibujo para trazar curvas suaves utilizando un curvígrafo, da- dos una serie de puntos. Nótese como la unión de un punto a otro se realiza mediante diferentes tipos de curvas. A este tipo de interpolación de punto Q punto (segmentaria) se conoce como interpolación segmen- taria natural (natural spline).

Page 384: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLACldN 373

de segundo orden a los datos. AI final, se presenta material sobre inter- polación cúbica segmentaria, la cuál es la versión más común y útil en la práctica de la ingeniería:

1 1.4.1 Interpolación segmentaria lineal

La conexión más simple entre un par de puntos es una línea recta. Se pueden definir los polinomios interpolantes de primer orden mediante un conjunto de puntos ordenados y definirse como un conjunto de funcio- nes lineales que unen a los puntos:

en donde mi es la pendiente de la línea recta que une los puntos:

r11.231

Estas ecuaciones se usan en la evaluación de funciones de cualquier punto entre x. y x,, localizando primero el intervalo dentro del que se en- cuentra el punto. Después se usa la ecuación apropiada y se determina el valor funcional dentro del intervalo. Obviamente, el método es idénti- co a la interpolación lineal.

EJEMPLO 11 -8 lnterpolación segmentaria de primer orden

Enunciado del problema: ajústense los datos del cuadro 11 .1 con inter- polación segmentaria de primer orden. Evalúese la función en x = 5.

CUADRO 1 1.1 Datos por aiustar con funciones segmentarias

X {(x)

3.0 2.5 4.5 1 .o 7.0 2.5 9.0 0.5

Page 385: Metodos numericos para ingenieros

374 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Solución: los datos se pueden usar para determinar las pendientes entre puntos. Por ejemplo, en el intervalo de x = 4.5 a x = 7 la pendiente se puede calcular usando la ecuación (11 2 3 ) :

I m =

2.5 - 1.0 7.0 - 4.5 = 0.60

Los pendientes sobre los otros intervalos se pueden calcular, y los po- linomios de primer orden se grafican en la figura l l .4a. El valor para x = 5 es 1.3.

Una inspección visual sobre la figura 11.14~1 indica que la principal desventaja de los polinomios de primer orden es que no son uniformes. En esencia, en los puntos donde coinciden los polinomios (llamados no- dos), la pendiente cambia abruptamente. En términos formales, la pri- mera derivada de la función es discontinua en estos puntos. Esta deficiencia se supera con el uso de polinomios de orden superior, que aseguran uni- formidad en los nodos igualando derivadas en esos puntos, como se mues- tra en la siguiente sección.

11.4.2 lnterpolación cuadratica segmentaria

Para asegurar que las m-ésimas derivadas sean continuas en los nodos, se debe usar un polinomio de al menos (m + 1)-ésimo orden. Los poli- nomios de tercer orden o cúbicos se usan más frecuentemente en la práctica asegurando continuidad en la primera y segunda derivada. Aunque las derivadas de orden superior sean discontinuas al usarse polinomios de tercer orden, en general, no se detectan visualmente y por ende, se ignoran.

La interpolación cúbica segmentaria se estudia en una sección subse- cuente. Antes de ésta se ilustra el concepto de interpolación cuadrática segmentaria usando polinomios de segundo orden. Estos “polinomios ma- dráticos” tienen la primera derivada continua en los nodos. Aunque los polinomios cuadráticos no garantizan segundas derivadas iguales en los no- dos, sirven muy bien para demostrar el procedimiento general en el de- sarrollo de polinomios interpolantes segmentarios de orden superior.

El objetivo de los polinomios cuadráticos es el de obtener un polino- mio de segundo orden para cada uno de los intervalos entre los puntos. El polinomio para cada uno de los intervalos se representa generalmente como:

fi(x) = aix2 -t bix + ci [11.24j

Page 386: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLAC16N 375

FIGURA 1 l. 14 Ajuste con interpolación segmentaria sobre un conjunto de cuatro pun- tos. a) interpolación segmentaria lineal; b) interpolación segmentaria cua- drática y c) interpolación cúbica segmentaria, con un polinomio cúbico interpolante que también aparece en la gráfica.

Se ha incluido la figura 11.15 para ayudar a clarificar la notación. Para los n + 1 puntos ( i = O , 1, 2 , . . . , n ) , existen n intervalos, y por lo tan- to, 3 n incógnitas constantes por evaluar (lasp, las b y las c) . Por lo tanto, se requieren 3 n ecuaciones o condiciones para evaluar las incógnitas. Es- tas son:

1. Los valores de las funciones deben ser iguales en los nodos interio- res. Esta condición se representa mediante:

[11.25]

[11.26]

Page 387: Metodos numericos para ingenieros

376 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 11.15 Notación usada en la derivación de interpolación segmentaria cuadráti- ca. Nótese que hay n intervalos y n + 1 puntos. El ejemplo que se mues- tra es para n = 3.

para i = 2 hasta n . Como se usan sólo los nodos interiores, las ecuacio- nes (11.25) y (11.26) proporcionan cada una n - 1 condiciones, con un total de 2n - 2.

2. La primera y la última función deben pasar a través de los puntos f i - nales. Esto agrega dos ecuaciones adicionales:

[11.27]

[11.28]

con un total de 2n - 2 + 2 = 2n condiciones.

primera derivada en la ecuación (11.22) es: 3. Las primeras deriuadas en los nodos interiores deben ser iguales. La

f '(x) = 2ax + b

Por lo tanto, la condición se representa generalmente cómo:

íkblxi + bi-l = 2aixi + bi E11.291

para i = 2 hasta n . Esto proporciona otras n - 1 condiciones con un total de 2n + n - 1 = 3n - 1. Debido a que hay 3n incógnitas, se tiene una condición menos. A menos que exista una información adicional en relación a las funciones o sus derivadas, se debe escoger

Page 388: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLACI~N 377

arbitrariamente una condición para calcular eficientemente las cons- tantes. Aunque existen algunas alternativas diferentes que se pueden hacer, aquí se escoge la siguiente:

4. Se supone que la segunda derivada es cero en el primer punto. Ya que la segunda derivada de la ecuación (1 1.24) es 2a, esta condición se expresa matemáticamente cómo:

al = O [11.30]

La interpretación visual de esta condición es que los primeros dos pun- tos se conectarán mediante una línea recta.

EJEMPLO 11.9 Interpolacion cuadrática segmentaria

Enunciado del problema: ajústense polinomios cuadráticos-por segmen- tos a los datos usados en el ejemplo 11.8 (Cuadro 11.1). Usense los re- sultados para calcular el valor para x = 5.

Solución: en este problema, se tienen cuatro datos y n = 3 intervalos. Por lo tanto, se deben determinar 3(3) = 9 incógnitas. Las ecuaciones (11.25) y (11.26) llevan a 2(3) - 2 = 4 condiciones.

2 0 . 2 5 ~ 1 ~ + 4.5bl + c1 = 1.0

2 0 . 2 5 ~ + 4.5b2 + c2 = 1.0

49a2 + 7b2 + c2 = 2.5

49a3 + 7b3 + c3 = 2.5

Pasando la primera y la última función por los valores iniciales y finales agrega dos más: [Ec. (11.27)]

gal + 3bl + c1 = 2.5

y [Ec. (11.28)]

81a3 + 9b3 + c3 = 0.5

La continuidad de las derivadas crea adicionalmente 3 - 1 = 2 [Ec. (11.29)]:

Page 389: Metodos numericos para ingenieros

378 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Finalmente, la ecuación (11.30) especifica que al = O . Ya que esta ecuación especifica al exactamente, el problema se reduce a resolver ocho ecuaciones simultáneas. Estas condiciones se pueden expresar en forma matricial como

4.5 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.0 1.0 0.0 0.0 1.0 0.0 0.0 0.0

o. o 20.25 49.00 o. O o. o 0.0

-9.00 14.00

0.0 0.0 4.5 1.0 7.0 1.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0

-1.0 0.0 1.0 0.0

0.0 0.0 o. o

49.00 o. o

81.00 o. o

- 14.00

0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 7.00 1.00 0.0 0.0 9.00 1.00 0.0 0.0

-1.00 0.0

1.0 1.0 2.5 2.5 2.5 0.5 o. o o. o

Estas ecuaciones se resuelven usando las técnicas de la parte 111 con los resultados:

al = O bl = "1 c1 = 5.5 a2 = 0.64 b2 = -6.76 c2 = 18.46 a3 = -1.6 b3 = 24.6 ~3 = -91.3

los cuales se sustituyen en las ecuaciones cuadráticas originales desarro- llando la relación siguiente para cada intervalo:

fI(X) = "x + 5.5 3.0 5 x 5 4.5 f2(x) = 0 . 6 4 ~ ~ - 6 .76~ + 18.46 4.5 5 X 5 7.0 f3(~) = -1.6~' + 24.6~ - 91.3 7.0 5 X 5 9.0

la predicción para x = 5 es, por lo tanto

f2(5) = 0.64(5)' - 6.76(5) + 18.46 = 0.66

El ajuste polinominal segmentario total se muestra en la figura 11 .14b . Nótese que hay dos inconvenientes en el ajuste: 1) la línea recta que une los primeros dos puntos y 2) el polinomio del último intervalo parece ser- pentear demasiado alto. Los polinomios segmentarios cúbicos de la si- guiente sección no muestran estos incovenientes y como consecuencia, en general son mejores métodos de interpolación segmentaria.

11.4.3 lnterpolación segmentaria

El objetivo de la interpolación cúbica segmentaria es obtener polinomios de tercer orden para cada uno de los intervalos entre nodos, de la forma

fi(x) = aix3 + bix2 + cix + di [11.31]

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INTERPOLACldN 379

Por lo tanto, para los n + 1 puntos ( i = O , 1 , 2, . . . , n ) , existen n inter- valos y. por lo tanto, 4 n incógnitas constantes por evaluar. Como se hizo para polinomios cuadrájicos, ahora se requiere de 4 n condiciones para evaluar las incógnitas. Estas son:

1. Los valores de la función deben ser iguales e n los nodos interiores (2n - 2 condiciones).

2. La primera y la última funciones deben pasar a través de los puntos finales (2 condiciones).

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales ( n - 1 condiciones).

4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales ( n - 1 condiciones).

5. Las segundas derivadas en los nodos finales son cero (2 condiciones).

La interpretación visual de la condición 5 es que la función sea una línea recta en los nodos finales. Debido a la especificación de esta condición es que se le llama interpolación segmentaria “natural”. Se le da este nombre ya que el polinomio interpolante se comporta de manera natural en este esquema (Fig. 11.13). Si el valor de la segunda derivada en los nodos finales fuese diferente de cero (es decir, existe alguna curvatura), enton- ces esta información se usaría alternativamente para proporcionar las dos condiciones necesarias.

Los cinco tipos anteriores de condiciones proporcionan un total de 4 n ecuaciones necesarias para encontrar los 4 n coeficientes. Mientras que es posible desarrollar interpolación cúbica segmentaria con este esque- ma, aquí se presenta una técnica diferente que requiere únicamente de la solución de n - 1 ecuaciones. Aunque la derivación de este método (recuadro 11.3) es algo menos directo que el de interpolación cuadrática segmentaria, la ganancia en eficiencia bien vale el esfuerzo.

RECUADRO 11.3 Obtención de la interpolación cúbica segmentaria

El primer paso en la obtención (Chene y Kincaid, 1980) x - xi se basa en la observación de que debido a que cada pare- ja de nodos está conectada por un polinomio cúbico, la segunda derivada dentro de cada intervalo es una línea [B11.3.1] recta. La ecuación (1 1.31) se puede derivar dos veces para verificar esta observación. Con base a lo anterior, las se- gundas derivadas se representan mediante los polinomios en donde f,” (x) es el valor de la segunda derivada en el de interpolación de primer orden de Lagrange [Ec. primer nodo x dentro del i-ésimo intervalo. Por lo tanto,

x - xi-1 xi-1 - xi xi - xi-1

fl’(x) = f”(Xi-1) ~ + f“(Xi) ___c

(11.21)l: esta ecuación es una línea recta que conecta la segunda

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380 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

derivada en el primer nodo f”(xiPl) con la segunda deri- vada en el segundo nodo f” (x,).

En seguida, la ecuación (B11.3.1) se integra dos ve- ces y se obtiene una expresión para ft(x). Sin embargo, esta expresión contendrá dos incógnitas constantes de in- tegración. Estas constantes se evalúan invocando las con- diciones de equiespaciamiento, f(x) debe ser igual f ( x , - J en y f(x) debe ser igual a !(x,) en x,. Llevando a ca- bo estas evaluaciones, resulta la siguiente ecuación cúbica:

Ahora, esta expresión es mucho más complicada para los polinomios de interpolación segmentaria en el i-ésimo in- tervalo, digamos, la ecuación (11.31). Sin embargo, nó- tese que esta contiene sólo dos “coeficientes” incógnitas, las segundas derivadas al principio y al final del intervalo, f’ ’h-1) y f ’ ’(xi). Por lo tanto, si se determina propia- mente la segunda derivada en cada nodo, la ecuación (B11.3.2) es un polinomio de tercer orden que se usa pa- ra interpolar dentro de un intervalo.

Las segundas derivadas se evalúan usando la condi- ción de que las primeras derivadas en los nodos deben ser continuas:

f I-1 (Xi) = f I (Xi) [B11.3.3]

La ecuación (B11.3.2) se deriva y se obtiene una expre- sión de la primera derivada. Si esto se hace para los inter- valos (¡ - l)-ésimos e ¡-ésimos y los dos resultados se igualan, de acuerdo a la ecuación (B11.3.3), resulta la si- guiente relación:

(Xi - xi-1) f“(Xi-1) + 2(Xi+l - X,-d f ’ W

+ (Xi+l - Xi) f“(Xi+l)

Si la ecuación (B11.3.4) se escribe para todos los nodos interiores, resultan n - 1 ecuaciones simultáneas con n + 1 segundas derivadas incógnitas. Sin embargo, ya que este es un polinomio interpolante “natural”, las segundas derivadas en los nodos finales son cero y el problema se reduce a n - 1 ecuaciones con n - 1 incógnitas. Ade- más, nótese que el sistema de ecuaciones será tridiago- nal. Por lo tanto, no sólo se tiene que reducir el número de ecuaciones sino que también se calculan de forma que sean muy fáciles de resolver (recuérdese el recuadro 7.2) .

La derivación del recuadro 11.3 genera las siguientes ecuaciones cú- bicas para cada intervalo:

[11.32]

Page 392: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLACldN 38 1

Esta ecuación contiene únicamente dos incógnitas , las segundas deriva- das al final de cada intervalo. Estas incógnitas se evalúan usando la ecua- ción siguiente:

Si esta ecuación se escribe para todos los nodos interiores, se generan n - 1 incógnitas. (Recuérdese que las segundas derivadas en los nodos finales son cero). La aplicación de estas ecuaciones se ilustra en el ejem- plo siguiente:

EJEMPLO 11.10 Interpolación cúbica segmentaria

Enunciado del problema: ajústese un polinomio cúbico por segmentos a los datos usados en los ejemplos 11.8 y 11.9 (Cuadro 11.1). Utilicense los resultados para calcular el valor en x = 5.

Solución: el primer paso es emplear la ecuación (1 1.33) para generar un conjunto de ecuaciones simultáneas que se usarán en la determinación de las segundas derivadas en los nodos. Por ejemplo, en el primer nodo interior, se usan los siguientes datos:

xo=3 f(xo) = 2.5 x1 = 4.5 f(xJ = 1 x2 = 7 f(~2) = 2.5

Estos valores se sustituyen en la ecuación (11.33) y se obtiene

(4.5 - 3)fff(3) + 2(7 - 3)frr(4.5) + (7 - 4.5)f”(7)

(2.5 - 1) + 7 - 4.5 4.5 - 3 - 6 - (2.5 - 1)

Debido a la condición natural de los polinomios, f ” (3) = O, y la ecuación se reduce a

8f”(4.5) + 2.5ff’(7) = 9.6

De manera similar, la ecuación (11.33) se aplica a los segundos puntos interiores para obtener

Page 393: Metodos numericos para ingenieros

382 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

I 3.5f"(4.5) + 9f"(7) = -9.6

Estas dos ecuaciones se resuelven simultáneamente cómo

f"(4.5) = 1.745 45 f " (7) = -1.745 45

Estos valores se sustituyen en la ecuación (1 1.32), junto con los valo- res de las x y de las !(x), obteniendo:

1.745 45 2.5 fib) = (x - 3 ) 3 + (4.5 - x)

6(4.5 - 3) 4.5 - 3

1.745 45 (4.5 - 3) + [4.5f 3

- 6 1 (x - 3)

O

fI(x) = 0.193 9 3 9 ( ~ - 3)3 + 1.666 667(4.5 - X) + 0.230 3 0 3 ( ~ - 3)

Esta ecuación es el polinomio cúbico interpolante para el primer interva- lo. Se pueden llevar a cabo sustituciones similares y desarrollar las ecua- ciones para el segundo y tercer intervalo:

fi(x) = 0.116 364(7 - x)3 - 0.116 364(x - 4.5)3

- O. 327 273 (7 - X) + 1.727 2 7 3 ( ~ - 4.5) Y

f 3 ( ~ ) = - 0.145 455(9 - + 1.831 818(9 - X) + 0 . 2 5 ( ~ - 7 )

Las tres ecuaciones se emplean para calcular los valores dentro de cada uno de los intervalos. Por ejemplo, el valor en x = 5, que cae dentro del segundo intervalo, se calcula cómo

fZ(5) = 0.116 364(7 - 5)3 - 0.116 364(5 - 4.5)3

- 0.327 273(7 - 5) + 1.727 273(5 - 4.5) = 1.125 5

Se calculan otros valores y los resultados obtenidos se muestran en la fi- gura 11 .14~.

Los resultados del ejemplo 11.8 al 11.10 se resumen en la figura 11.14. Nótese cómo se obtienen mejoras progresivas conforme se pasa de inter- polación lineal a cuadrática y a cúbica. También se ha sobrepuesto un

Page 394: Metodos numericos para ingenieros

lNTERPOLACl6N 383

polinomio de interpolación cúbica en la figura 1 1 . 1 4 ~ . Aunque la inter- polación cúbica consiste de una serie de curvas de tercer orden, el ajuste resultante difiere del que se obtiene usando polinomios de tercer orden. Esto se debe a que la interpolación natural requiere de segundas deriva- das en los nodos finales, mientras que el polinomio cúbico no tiene esta restricción.

11.4.4 Algoritmo para la interpolación cúbica segmentaria

El método para calcular los polinomios cúbicos de la interpolación seg- mentaria vista en las secciones anteriores es ideal para su implementa- ción en microcomputadoras. Recuérdese que por algunas manipulaciones inteligentes, el método se reduce a resolver n - 1 ecuaciones simultá- neas. Un beneficio adicional obtenido de la derivación es que, como lo especifica la ecuación (11.33), el sistema de ecuaciones es tridiagonal. Como se describe en el recuadro 7.2, se dispone de los algoritmos para resolver tales sistemas de una manera extremadamente eficiente. En la figura 11.16 se presenta el algoritmo de interpolación cúbica segmentaria el cual incluye los aspectos antes mencionados.

FIGURA 1 1 . 1 6 Algoritmo de interpoiación cúbica segmentaria.

PROBLEMAS

Cálculos a mano

11.1 Calcúlese el logaritmo de 4 en base 10 (log 4) usando interpolación lineal. a) Interpolar entre log 3 = 0.477 121 3 y log 5 = 0.698 970 O . b) Interpolar entre log 3 y log 4 . 5 = 0.653 212 5. Para cada una de las interpolaciones calcúlese el error relativo porcentual basado en el error verdadero de log 4 = 0.602 060 O.

11.2 Ajústese un polinornio de interpolación de Newton de segundo orden para apro- ximar log 4 usando los datos del problema 1 1 . 1 , Calcúlese el error relativo por- centual.

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384 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

11.3 Ajústese un polinomio de interpolación de Newton de tercer orden para calcular log 4 usando los datos del problema 11.1 además del punto adicional, log 3.5 = 0.544 068 O. Calcúlese el error relativo porcentual.

11.4 Dados los datos

x I O 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

f(x) I 1 2.119 2.910 3.945 5.720 8.695

a) Calcúlese f (1.6) usando polinomios de interpolación de Newton de orden 1 hasta el 3. Escójase la secuencia de puntos de las aproximaciones para lograr exactitud. b) Úsese la ecuación (11.18) para calcular el error en cada predicción.

11.5 Dados los datos

x 1 1 2 3 5 6

f (x) I 4.75 4 5.25 19.75 36

Calcúlese f (3.5) usando polinomios de interpolación de Newton de orden 1 hasta el 4. Escójanse los puntos base para obtener una buena aproximación. ¿Qué in- dican los resultados respecto al orden del polinomio que se usa para generar los datos en la tabla?

11.6 Repítanse los problemas 11.1 al 11.3 usando polinomios de Lagrange.

11.7 Repítase el problema 11.40 usando interpolación de Lagrange.

11.8 Repítase el problema 11.5 usando polinomios de Lagrane de orden 1 hasta el 3

11.9 Desarróllese la interpolación cuadrática segmentaria para los datos del problema 11.5 y calcúlese f (3.5).

11.10 Desarróllese la interpolación cúbica segmentaria para los datos del problema 11.5 y cálculese f (3.5).

Problemas relacionados con la computadora

11.11 Vuélvase a programar la figura 11.7 de tal manera que sea legible al usuario. Entre otras cosas: a) Insértese documentación a lo largo del programa para identificar lo que cada una de las secciones debe hacer. b) Etiquétense las entradas y las salidas. c ) Inclúyase la ecuación (1 1.18) para calcular el error de cada orden del polino- mio (excepto el último).

11.12 Pruébese el programa que el lector haya desarrollado en el problema 11.11 du- plicando los cálculos del ejemplo 11.5.

11.13 úsese el programa desarrollado por el lector en el problema 11.11 y resuélvanse los problemas 11.1 al 11.3.

11.14 Úsese el programa desarrollado en el problema 11.11 y resuélvanse los proble- mas 11.4 y 11.5. En el problema 11.4, utilícense todos los datos par desarrollar

Page 396: Metodos numericos para ingenieros

INTERPOLAC16N 385

los polinomios del orden primario hasta el quinto. En ambos problemas, grafí- quese el error calculado contra el orden.

11.15 Repítanse los problemas 11.12 y 11.13, usando el paquete NUMERICOMP aso- ciado con este texto.

11.16 Úsese el paquete NUMERICOMP con los ejemplos 11.6 y 11.7

11.17 Desarróllese un programa legible al usuario para la interpolación de Lagrange. Pruébese con el ejemplo 11.7.

11.18 Desarróllese un programa legible al usuario para la interpolación cúbica segmen- taria basado en la figura 11.16 y en la sección 11.4.4. Pruébese el progama con el ejemplo 11.10.

11-19 Úsese el programa desarrollado en el problema 11.18 para ajustar polinomios cúbicos con los datos de los problemas 11.4 y 11.5. En ambos casos, calcular f (2.25).

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C A P í T U L O D O C E CASOS DE LA PARTE IV:

AJUSTE DE CURVAS

El propósito de este capítulo es el de hacer uso de los métodos de ajuste de curvas en la solución de problemas de ingeniería. Al igual que en los otros casos de estudio de los otros capítulos, el primer ejemplo se toma del área general de la ingeniería económica y de administración. A este caso lo siguen las cuatro áreas principales de la ingenieria: química, civil, eléctrica y mecánica.

En el caso 12.1 se hace un análisis sobre los datos de venta de com- putadoras. El ejemplo ilustra dos puntos importantes relacionados con el ajuste de curvas: 1) los polinomios de interpolación están bien condicio- nados para el ajuste de datos imprecisos y 2) la extrapolación es un pro- cedimiento, poco confiable cuando la relación de causa-efecto subyacente a la tendencia se desconoce.

El caso 12.2, tomado de la ingeniería química, demuestra cómo se puede linealizar un modelo no lineal y ajustarse a datos que usan regre- sión lineal. El caso 12.3 usa un esquema similar pero emplea también interpolación polinomial para determinar la relación esfuerzo-deformación en problemas de estructuras en ingeniería civil.

El caso 12.4 ilustra cómo se usa un simple polinomio de interpola- ción para aproximar una función más complicada en ingeniería eléctrica. Finalmente, el caso 12.5 demuestra cómo se usa la regresión lineal múl- tiple en el análisis experimental de datos en un problema de fluidos to- mado de la ingeniería mecánica.

CASO 12.1 MODELO DE INGENIERíA DE VENTA DE PRODUCTOS (INGENIERíA EN GENERAL) Antecedentes: los ingenieros encargados del diseño y fabricación de pro- ductos tales como automóviles, televisores y computadoras pueden ver- se implicados en otros aspectos de los negocios. Estas implicaciones incluyen las ventas, mercadeo y distribución del producto.

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388 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Supóngase que un ingeniero trabaja para la compañía que fabrica las Computadoras de tipo Micro 1 (véase el caso 6.1). Las consideracio- nes sobre planificación y localización de recursos (caso 9.1) requieren que este ingeniero sea capaz de predecir hasta cuándo permanecerán en el mercado las computadoras de su compañía en función del tiempo. En este caso de estudio, se proporcionan datos que describen el número de computadoras de la compañía que se encuentran en el mercado en dife- rentes tiempos hasta 60 días (Fig. 12.1). Al ingeniero se le pide que examine estos datos y, usando método de extrapolación, calcular cuán- tas computadoras se tendrán disponibles a los 90 días. Los datos se mues- tran en el cuadro 12.1.

FIGURA 12.1 Número de computadoras en el mercado contra el tiempo.

CUADRO 12.1 Número de computadoras en el mercado en función del tiempo

Tiempo, computadoras días en el mercado

Número de

~~ ~~ ~

O 50 O00 10 35 O00 20 31 O00 30 20 O00 40 1 9 O00 50 1 2 O00 60 1 1 O00

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CASOS DE LA PARTE IV: NUSTE DE CURVAS 389

Este análisis de tendencia y extrapolación se resuelve usando polino- mios de interpolación del primero hasta el sexto grado así como con poli- nomios de regresión del primero hasta el sexto grado. Las curvas resultantes se usan para predicciones en los días 55,65 y 90 que ilustran el contraste entre interpolación y extrapolación.

Solución: analizando la figura 12.1 se observa que los datos no son uni- formes. Aunque el número de computadoras decrezca con el tiempo, la tasa de decrecimiento varía de intervalo a intervalo comportiíndose alea- toriamente. Por lo tanto, aún antes de que empiece el análisis, se puede esperar que la extrapolación de estos datos traerá dificultades.

Los resultados del cuadro 12.2 confirman esta conjetura. Nótese que hay una gran discrepancia entre las predicciones con cada uno de los mé- todos. Para cuantificar la discrepancia se calcula la media, la desviación estándar y un coeficiente de variación de las predicciones. El coeficiente de variación, que es la media dividida por la desviación estándar (multi- plicada por el loo%, proporciona una medida relativa de la variabilidad de cada conjunto de predicciones [ € c . (IV.5)J. Nótese cómo el coeficien-

CUADRO 12.2 Resultados del ajuste de varios polinomios de interpolacibn y poli- nomios ¿e minimos cuadrados a los datos del cuadro 1 2.1. Se mues- tra una interpolacibn en t = 55 y una extraplacibn de t 65 y 90. Nbtese que, debido a que las ecuaciones notmales estbn mal con- dicionadas, el polinomio con minimos cuadrados de sexto orden di- fiere del polinomio de interpolacibn mbs preciso (recuerdese la sección 10.2.1 )

INTERPOlACldN EXTRAPOlACldN ~~

t 55 t = 65 t 90

Polinomios de interpolación Primer orden 1 1 525 10 475 7 850 Segundo orden 10 788 12 688 43 230 Tercer orden 10 047 16 391 161 750 Cuarto orden 8 961 23 992 578 750 Quinto orden 7 300 38 942 1 854 500 Sexto orden 4 660 67 975 5 458 100 Media 8 880 28 41 1 1 350 700 Desviación estándar 2 542 21 951 2 128 226 Coeficiente de variaci6n 29% 77% 157% Polinomios con mínimos cuadrados Primer orden 9 820 3 573 -1 2 045 Segundo orden 1 1 829 10 939 16 529 Tercer orden 12 040 8 872 Cuarto orden 1 1 101 12 733 83 104 Quinto orden 1 1 768 9 366 -78 906 Sexto orden 4 261 71 266 5 768 460 Media 10 203 18 910 910 623 Desviación estándar 2 834 24 233 2 228 408 Coeficiente de variación 28% 128% 245%

-3 046

Page 401: Metodos numericos para ingenieros

390 MGTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

te de variación es el menor para el valor interpolado en el día 55. Tam- bién, nótese cómo la mayor discrepancia se da en el día 90, que representa la extrapolación más lejana.

Además, los resultados de los polinomios de extrapolación disminu- yen a medida que crece el orden, hasta el punto en que el caso de sexto orden lleva a la ridícula predicción de que en el día 90 se tendrán dispo- nibles 5 458 100 computadoras. La razón de este resultado sin sentido se ilustra en la figura 12.2, que muestra el polinomio de sexto grado. Ya que la tendencia sugerida por los datos no es uniforme, los polinomios de grado superior oscilan para intersectar cada punto. Estas oscilaciones llevan a interpolaciones falsas y extrapolaciones del tipo manifestado en la figura 12.2.

Ya que la regresión no se restringe para pasar por cada uno de los puntos, algunas veces resulta útil para remediar esta situación. La figura 12.3 que muestra los resultados de la regresión cuadrática y cúbica su- giere que es real para regresión de nivel bajo. Dentro del rango de los datos ( t = O hasta 60 días), los resultados de las dos regresiones llevan a resultados poco consistentes. Sin embargo, cuando se extrapolan más allá de este rango, la predicción diverge. En t = 90, la regresión de se-

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CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 39 1

FIGURA 12.3 Gráfica de las curvas de regresión de segundo y tercer orden usadas para interpolar y extrapolar los datos de venta de computadoras.

gundo orden lleva al resultado absurdo de que el número de computa- doras ha crecido, mientras que la versión de tercer orden lleva a la proyección ridícula de que habrá un número negativo de computadoras.

La razón principal de que la interpolación y la regresión estén mal con- dicionadas para este ejemplo es que ni siquiera se basan en un modelo de la realidad física. En ambos casos, el comportamiento de las predic- ciones es puramente un artificio del comportamiento de los números. Por ejemplo, ni los modelos toman en consideración que más allá de t = 60. el número de computadoras debe estar entre O y 11 000. Por lo tanto, si se estuviera interesado en una aproximación rdpida del número de com- putadoras en el mercado, en un tiempo futuro, un ajuste y una extrapo- lación “visula” arrojaría resultados más realistas. Esto se debe a que se está conciente de las restricciones físicas del problema y se puede, por lo tanto, incorporar estas restricciones en la solución gráfica simple. En el caso de estudio 18.1, se usa una ecuación diferencial para desarrollar un modelo que tenga una base teórica y , por consiguiente, lleve a resul- tados más satisfactorios.

Por el lado positivo se debe notar que este ejemplo ilustra cómo la regresión tiene alguna utilidad para la interpolación entre puntos un tan- to erróneos o inexactos. Sin embargo, la primera conclusión de este caso es que la extrapolación siempre se debe llevar a cabo con cuidado y precaución.

CASO 12.2 REGRESIóN LINEAL Y MODELOS DEMOGRÁFICOS (INGENIERíA QUíMICA)

Antecedentes: los modelos de crecimiento poblacional son importantes en muchos campos de la ingeniería. La suposición de que la tasa de cre-

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392 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

cimiento de la población (dp /d t ) es proporcional a la población actual (p) en el tiempo (f) es de fundamental importancia en muchos de los mode- los, en forma de ecuación

- = / q dP dt [ 12.11

en donde k es un factor de proporcionalidad conocido como la tasa de crecimiento específico y tiene unidades de tiempo-l. Si k es una cons- tante, entonces se puede obtener la solución de la ecuación (12.1) de la teoría de ecuaciones diferenciales:

en donde po es la población en el tiempo t = O. Se observa que p(t) en la ecuación (12.2) tiende a infinito a medida que t crece. Este comporta- miento es claramente imposible en los sistemas reales. Por lo tanto, se debe modificar el modelo y hacerlo más realista.

Solución: primero, se debe reconocer que la tasa de crecimiento específi- co k no puede ser constante a medida que la población crece. Esto es porque, cuando p tiende a infinito, el organismo que se modela se ve limitado por factores tales como el almacenamiento de comida y produc- ción de desperdicios tóxicos. Una manera de expresar esto matemática- mente es la de usar el modelo de tasa-de-crecimiento-y-saturación tal como:

[12.3]

en donde kmdx es la máxima tasa de crecimiento posible para valores de comida v) abundante y K es la constante de semi-saturación. La gráfica de la ecuación (12.3) de la figura 12.4 muestra que cuando f = K, k = kmex/2. Por lo tanto, K es la cantidad de comida disponible que sos- tiene una tasa de crecimiento poblacional igual a la mitad de la tasa máxima.

Las constantes K y kmáx son valores empíricos basados en medidas experimentales de k para varios valores de f. Como ejemplo, supóngase que la población p representa una levadura empleada en la producción comercial de cerveza y f es la concentración de la fuente de carbono a fermentarse. Las medidas de k contra f de la levadura se muestran en el cuadro 12.3. Se necesita calcular kmáx y K de estos datos empíricos. Esto se lleva a cabo invirtiendo la ecuación (12.3) de manera similar a la ecuación (10.16), obteniendo

[12.4]

Page 404: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 393

FIGURA 12.4

CUADRO 12.3

Gráfica del promedio de crecimiento específico contra la comida dispo- nible con el modelo de promedio-de-crecimiento-de-saturación usado en la caracterización de la cinética microbial. El valor de K es llamado cons- tante de saturación media ya que representa la concentración en donde el promedio de crecimiento específico es la mitad del valor máximo.

Datos usados en la evaluación de las constantes en un modelo de promedio-de-crecimiento-de- saturación que caracteriza a la cinética microbial

f, mglL k, dias" llf, Llmg Ilk, día

7 0.29 9 0.37

15 0.48 25 0.65 40 0.80 75 0.97

1 O0 0.99 150 1 .O7

O. 142 86 0.111 1 1 0.066 66 0.040 O0 0.025 O0 0.013 33 0.010 O0 0.006 66

3.448 2.703 2.083 1.538 1.250 1 .O31 1 .o1 o 0.935

De esta manera, se ha transformado la ecuación (12.3) a la forma lineal; esto es, l / k es una función lineal de l/f, con pendiente K/kmdX. Estos valores se grafican en la figura 12.5.

Debido a la transformación, se puede usar el procedimiento de míni- mos cuadrados lineales descrito en el capítulo 10 para determinar kmdx = 1.23 días" y K = 22.18 mg/L. Combinando estos resultados con la ecuación (12.3) y comparándolos con los datos sin transformar de la figura 12.6, y cuando se sustituyen en el modelo de la ecuación (12.1) se obtiene:

[12.5]

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394 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 12.5 Versión linealizada del modelo de promedio-de-crecimiento-de- saturación. La línea es un ajuste con mínimos cuadrados que se usa en la evaluación de los coeficientes del modelo kmbx = 1.23 días” y k = 22.18 mg/L para levadura usada en la fabricación de cerveza.

Esta ecuación se puede resolver usando la teoría de las ecuaciones dife- renciales o usando los métodos numéricos analizados en los capítulos 16 y 17 cuando se conoce f ( t ) . Si f se aproxima a cero a medida que p cre- ce, entonces d p / d t tiende a cero y la población se estabiliza.

La linealización de la ecuación (12.3) es una manera de evaluar las constantes kmdx y K . Otra manera de hacerlo, y que ajusta la relación a

FIGURA 12.6 Ajuste del modelo de promedio-de-crecimiento-de-saturación de la le- vadura empleada en la fabricación comercial de cerveza.

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CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 395

su forma original, se le conoce con el nombre de regresión no lineal (Dra- per y Smith, 1981). En cualquier caso, se puede usar análisis de regre- sión para calcular los coeficientes del modelo usando los datos medidos. Este es un ejemplo del uso de la regresión para la prueba de hipótesis, como se estudió en la sección IV.1.2.

CASO 12.3 AJUSTE DE CURVAS EN EL DISEÑO DE U N MÁSTIL PARA BARCO (INGENIERíA CIVIL)

Antecedentes: el mástil de un barco (véase el caso 15.3 para mayores detalles) tiene un área transversal de 0.876 pulg2 y se construye de una aleación de aluminio experimental. Se llevan a cabo pruebas para definir la relación entre esfuerzo (fuerza por área) aplicada al material y deformación (deflexión por unidad de longitud). Los resultados de estas pruebas se muestran en la figura 12.7 y se resumen en el cuadro 12.4. Es necesario calcular el cambio de longitud del mástil debido a la defor- mación causada por la fuerza del viento. La compresión causada por el aire se puede calcular usando la relación:

Esfuerzo = fuerza en el mástil

área de la sección transversal del mástil

FIGURA 12.7 Curva de esfuerzo-deformación en una aleación de aluminio. En el caso 12.3 se debe obtener una deformación aproximada a partir de estos datos que conforman un esfuerzo de 7 350 libras/pulgada2.

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396 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 12.4 Datos de esfuerzo-deformación ordenados de tal manera que los puntos usados en la interpolación estén siempre más cercanos al esfuerzo de 7 350 Iblpulg'

Número de Esfuerzo, Deformación puntos lblpu1g2 pieslpie

1 7 200 0.002 o 2 7 500 0.004 5 3 8 O00 0.006 O 4 5 200 0.001 3 5 10 O00 0.008 5 6 1 800 0.000 5

En este caso, se tiene una fuerza del viento de 6 440.6 libras (nótese que al igual que en el caso 15.3 se usan métodos numéricos para determinar este valor directamente de los datos del viento), y el esfuerzo se calcula mediante:

Esfuerzo = 440'6 = 7 350 Ib/pulg2 0.876

Este esfuerzo puede ser usado para calcular la deformación de la fi- gura 12.7, el cual, a su vez, se puede sustituir en la ley de Hooke y calcu- lar el cambio en la longitud del mástil:

AL = (deformación) (longitud) [12.6]

en donde la longitud se refiere a la altura del mástil. Por lo tanto, el pro- blema se reduce a la determinación de valores de la deformación de los datos en la figura 12.7. Ya que no se dispone de ningún punto para un valor de esfuerzo dado de 7 350, el problema necesitará algún ajuste de curvas. En este caso se usarán dos planteamientos: el de interpolación polinomial y el de regresión con mínimos cuadrados.

Solución: el primer planteamiento usará la interpolación polinomial de orden O al 5 para calcular la deformación a un esfuerzo de 7 350 lb/pulg2. Para hacerlo, los datos se ordenan de tal manera que la inter- polación siempre use información que se encuentre más cercana a los pun- tos incógnitas (cuadro 12.4). Se puede aplicar la interpolación polinomial de Newton, con los resultados dados en el cuadro 12.5.

Todos los polinomios excepto el de orden cero llevan a resultados que casi coinciden. En base al análisis, se concluiría que una deformación de aproximada- mente 3 . 4 X pies/pie es una aproximación razonable.

Sin embargo, hay una aclaración importante. Es realmente fortuito que la aproximación de la deformación tienda a un mismo valor. Esto se puede ver examinando la figura 12.8, en donde se muestra el polino-

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CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 397

CUADRO 12.5 Resultados del polinomio de interpolacih de Newton para prede- cir una deformación correspondiente a un esfuerzo de 7 350 lblpu1g2 en base a la información del cuadro 12.4

Orden del Coeficiente de Deformación polinomio (n) n-ésimo orden (con esfuerzo 7 350)

2 X 10-3

-6.67 X 10-9 8.33 x

-3.62 X 10”’ 1.198 x 2.292 x

2 X 10-3 3.27 X 1 0 - ~ 3.42 X 10-3 3.36 X 10-3

3.38 X 10-3 3.401 x

FIGURA 12.8 Gráfica de un polinomio interpolante de quinto orden que ajusta perfec- tamente los datos del cuadro 12.4. Nótese que aunque la curva pasa muy bien a través de los tres puntos en la vecindad del esfuerzo de 7 350, la curva oscila ampliamente en otras partes del rango de datos.

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398 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

mio de quinto orden junto con los datos. Nótese que debido a que los tres datos se encuentran muy cercanos del valor de 7 350, la interpola- ción no debe variar significativamente en este punto, como era de espe- rarse. Sin embargo, si se requieren aproximaciones de otras fuerzas, las oscilaciones de los polinomios pueden llevar a resultados inexactos.

Los resultados anteriores ilustran que la interpolación con polinomios de grado superior está mal condicionada para datos inciertos o con “rui- do” del tipo de este problema. La regresión proporciona una alternativa que, en general, es más apropiado para estas situaciones.

Por ejemplo, se puede usar la regresión lineal para ajustar una línea recta a través de los datos. La línea de mejor ajuste es

Deformación = -0.002 527 + 9.562 x esfuerzo [12.7]

la línea y los datos se muestran en la figura 12.9. Sustituyendo el esfuer- zo = 7 350 libras/pulg2 en la ecuación (12.7) se obtiene una predicción de 4.5 X pulgs/pulg.

Un problema con regresión lineal lleva a resultados fuera de la reali- dad con deformaciones negativas en un esfuerzo igual a cero. Una ma- nera diferente de regresión que evita este resultado no realista es la de ajustar una línea recta al logaritmo (base 10) de la tensión contra el loga- ritmo del esfuerzo (recuérdese la sección 10.1.5). El resultado en este ca- so es:

log (deformación) = -8.565 + 1.586 log(esfuerzo)

Esta ecuación se puede transformar a la forma inicial que predice la de- formación, sacando antilogaritmos se obtiene:

deformación = 2.723 X (esfuerzo) [12.8]

Esta curva también se superpone a la figura 12.9 en donde se puede ver que esta versión muestra los resultados físicos más realistas ya que la de- formación es cero cuando el esfuerzo es cero. La curva también es un poco más realista ya que captura algunas de las curvaturas sugeridas por los datos. Sustituyendo el esfuerzo = 7 350 en la ecuación (12.8) se ob- tiene una predicción de la deformación = 3.7 x l o p 3 pulgs/pulg.

De esta manera, la interpolación polinomial y los dos tipos de regre- sión llevan a resultados diferentes de deformación. Debido al realismo fí- sico y al comportamiento más satisfactorio a través del rango completo de los datos, se optará por la ecuación (12.8) ya que proporciona mejo- res predicciones. Usando un valor de longitud = 30 pies y con la ecuación (12.6) se obtiene el siguiente resultado del cambio en la longitud del mástil:

AL = (3.7 x pies/pie)(30 pies) = 0.11 pies

Page 410: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 399

FIGURA 12.9 Gráfica de una línea usando regresión lineal y una línea de regresión usando la transformación logarítmica con los datos de esfuerzo- deformación del mástil de un barco.

CASO 12.4 AJUSTE DE CURVAS EN LA ESTIMACIóN DE LA CORRIENTE RMS (INGENIERíA ELÉCTRICA) Antecedentes: el valor promedio de una corriente eléctrica oscilante du- rante un periodo puede ser cero. Por ejemplo, supóngase que la co- rriente se describe mediante una senoidal simple: i( t) = sen (2at/T) en donde T es el periodo. El valor promedio de esta función se puede deter- minar mediante la siguiente ecuación:

- - -cos 27T + cos o T

= o

Page 411: Metodos numericos para ingenieros

400 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

La misma aproximación se muestra gráficamente en la figura 12. loa. Co- mo se puede ver, resulta una corriente neta igual a cero ya que las áreas positiva y negativa bajo la curva se cancelan.

A pesar de que el resultado neto es cero, esta corriente es capaz de realizar un trabajo y generar calor. Por lo tanto, los ingenieros eléctricos, a menudo, caracterizan esta corriente mediante

[12.9]

en donde I,,, se conoce como corriente RMS (raíz cuadrada media, en inglés “root-mean-square”). El problema de cancelación de signos positi- vos y negativos se evita elevando la corriente al cuadrado antes de calcu- lar el promedio.

FIGURA 12.1 O a) Gráfica de una corriente eléctrica oscilante. Sobre un periodo T (esto es, un cic!o completo), la integral de la función es cero ya que las áreos positivas y negativas son iguales, y por lo tanto, se cancelan. Para evitar este resultado, la corriente se eleva al cuadrado, como en b). La raíz cuadrada del promedio del cuadrado, a la cual se le llama corriente RMS, proporciona una medida de la magnitud de la corriente.

” ”

Page 412: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 401

En este caso, supóngase que la corriente en un circuito es de

i ( t ) = 10e-t’T sen- para O I t I T / 2

i ( t ) = O para T / 2 < t 5 T ( 2;t) [12.10]

Determínese la corriente RMS ajustando un polinomio de segundo grado que coincida con i2(t) exactamente en t = O , T/4 y 1/2. En seguida, in- tégrese este polinomio analíticamente y calcúlese la corriente RMS en el intervalo de O a T usando la ecuación (12.9). Supóngase que T = 1 s. Este resultado se puede comparar al caso 15.4 en donde se emplear6n otras técnicas para calcular la corriente RMS.

Solución: usando la ecuación (12. lo), se generan los siguientes puntos.

t i ( t ) i*(t)

O 0.000 O00 O00 0.000 O00 O0 114 7.788 007 831 60.653 065 98 1/2 0.000 O00 O00 0.000 O00 O0

Ajustando un polinomio de Newton de obtiene el polinomio

segundo orden (Fig. 12.11), se

i2(t) = 242.612 264t - 970.449 056t(t - 1/4)

FIGURA 12.1 1 Gráfica de la corriente verdadera [Ec. ( 1 2.10)], junto con la parábola que se usa como aproximación.

Page 413: Metodos numericos para ingenieros

402 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

que se puede integrar desde t = O hasta t = T/2 (T = 1 S) y obtener:

i: i2(t) dt-= 121.306 132t2 -.323.483 0187t3 + 121.306 132$ I: obteniendo el resultado 20.217 688 66, el cual, a su vez se sustituye en la ecuación (12.9) y se obtiene lRMs = 4.496 408 418. En el caso 15.4 se usan varias técnicas de integración numérica para llevar a cabo estos mismos cálculos.

CASO 12.5 REGRESIóN LINEAL MQLTIPLE EN EL ANALISIS DE DATOS EXPERIMENTALES (INGENIERíA MECANICA) Antecedentes: las variables de diseño en la ingeniería, a menudo, dependen de muchas variables independientes. Con frecuencia esta dependencia funcional se caracteriza mejor con ecuaciones de potencia multivariable. Como se analiza en la seccidn 10.3, una regresión lineal múltiple de da- tos transformados mediante logaritmos porporciona un medio para eva- luar tales relaciones.

Por ejemplo, un estudio de ingeniería mecánica indica que el flujo de fluido a través de un tubo es función del diámetro del tubo y de su pendiente (cuadro 12.6). Para analizar estos datos se usa una regresión lineal múltiple. En seguida, se usa el modelo resultante para predecir el flujo en un tubo con un diámetro de 2.5 pies y con una inclinación de O .O25 piedpie.

Solución: la ecuación de potencias se evalúa como

Q = u,D"~S"* c12.111

2 3 1 2 3 1 2 3

0.001 0.001 0.01 0.01 0.01 0.05 0.05 0.05

8.3 24.2 4.7

28.9 84.0 1 1 . 1 69.0

200.0

Page 414: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 403

en donde Q es el flujo (en pies cúbicos por segundo), S es la pendiente (en pies por pie), D es el diámetro del tubo (en pies) y ao, a l y a2 son coeficientes. Extrayendo logaritmos a esta ecuación se obtiene

log Q = log a. + al log D + a2 log S

De esta forma, la ecuación se adapta a la regresión lineal múltiple ya que log Q es función lineal de log S y de log D. Usando los logaritmos (base 10) de los datos en el cuadro 12.6, se generan las siguientes ecua- ciones normales expresadas en forma matricial [recuérdese la Ec. (10.21)]:

2.334 0.954 -4.903][ :t ] = [ 3.9451 2.334 -18.903 log a. 11.691

-18.903 -4.903 44.079 -22.207

Este sistema se puede resolver usando eliminación gaussiana para obtener:

log a. = 1.747 5% al = 2.62

a2 = 0.54

Si log a. = 1.747 5, entonces a. = 55.9 y la ecuación (12.11) se con- vierte en:

Q = 55.902.62SO.54 [12.12]

La ecuación (12.12) se puede usar para predecir el flujo en el caso en que D = 2.5 pies y S = 0.025 piedpie, dando

Q = 55.9(2.5)2.62(0.025)o.54 = 84.1 pies3/s

Se debe notar que la ecuación (12.12) puede usarse para otros pro- pósitos además de calcular flujos.” Por ejemplo, la pendiente está dada en función de la pérdida de calor hL y la longitud del tubo L por S = h , / L . Si esta relación se sustituye en la ecuación (12.12) y la fórmula re- sultante se resuelve para hL. se obtiene la siguiente ecuación:

Esta relación se conoce con el nombre de ecuación de Hazen- Williams.

Page 415: Metodos numericos para ingenieros

404 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

PROBLEMAS Ingeniería en general

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

Efectúense los cálculos llevados a cabo en el caso 12.1 usando los programas propios.

Ejecútense los mismos cálculos del caso 12.1, pero con el número de computa- doras en el mercado en los días 50 y 60 modificados un poco a 12 O00 y 1 1 050.

Si se deposita una cantidad de dinero con cierta tasa de interés, se pueden usar las tablas económicas para determinar la suma acumulada en un tiempo poste- rior. Por ejemplo, la siguiente información se encuentra en una tabla económica sobre el valor futuro de un depósito después de 20 años:

Tara de F/P inter& Oh (n = 20 años) 15 16 366 20 38 337 25 86 736 30 190 05

en donde FIP es el promedio del valor futuro al valor actual. Por lo tanto. si se depositaron P = $10 000, después de 20 años al 20% de interés se debe tener:

F = (F/P)P = 38.337(10 000) = $383 370

Utilícese interpolación lineal, cuadrática y cúbica y determínese el valor futuro de $25 O00 depositados al 23.6% de interés. Interprétense los resultados desde la perspectiva de la institución prestamista.

Utilícese la información dada en el problema 12.3. pero suponiendo que se han invertido $40 O00 y le dicen que después de 20 aiios el prestamista regresará $2 800 000. Úsese interpolación lineal, cuadrática y cúbica para determinar la tasa de interés que se está dando.

Supóngase que al ganador de un premio se le da la oportunidad de escoger en- tre $2 millones ahora o $700 O00 por atio durante 5 años. La relación entre el valor actual P y una serie de pagos anuales A está dada por la siguiente informa- ción de una tabla de economía:

Tasa de A/P inter& 016 (n = 5 años) 15 0.298 32 20 0.334 38 25 0.371 85 30 0.410 58

Page 416: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 405

en donde A/P es el promedio de pagos anuales al valor actual. Por lo tanto, la tasa de interés del 15%, los cinco pagos anuales A que son equivalentes a un solo pago actual (P = $2 millones) se calculan como

A = (A/P)P = 0.298 32(2 O00 000) = $596 640

Utilicese interpolación para determinar la tasa de interés a la cual los $2 millones es la mejor decisión.

12.6 Se est5 llevando a cabo un estudio para determinar la relación entre la fuerza de fricción que actúa hacia arriba y la velocidad de caída del paracaidista. Se llevan a cabo algunos experimentos para obtener la siguiente información sobre la velocidad (u medida en centímetros por segundo) y la fuerza de rozamiento (F, medida en lo6 dinas):

u I 1 O00 2 O00 3 O00 4 O00 5 O00 F, 1 5 15.3 29.3 46.4 66.3

Graffquese F contra u y úsese regresión para determinar la relación entre la fuer- za de rozamiento y la velocidad.

Ingeniería química

12.7 Repítanse los cálculos del caso 12.2 usando los programas propios.

12.8 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.2, pero usando regresión polinomial para ajustar una parábola a los datos. Analícense los resultados.

12.9 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.2, pero usando regresión lineal con transformaciones para ajustar los datos a una ecuación de potencias. Ignórese el primer punto cuando se ajuste la ecuación.

12.10 Se llevan a cabo los siguientes experimentos y se determinan los siguientes valo- res de capacidad calorífica (c) a varias temperaturas ( T ) para un metal:

r -50 " 2 0 10 70 100 120 C 0.125 0.128 0.134 0.144 0.150 0 .155

Utilicese regresión y determínese.un modelo para predecir c en función de T.

12.11 La concentración de saturación del oxígeno disuelto en el agua en función de la temperatura y del cloruro se muestra en el cuadro P12.11. Utilicese interpola- ción para calcular el nivel de oxígeno disuelto para T = 22.4OC con cloruro = 10 oon mg/L.

12.12 osese interpolación polinomial con los datos del cuadro P12.11 para derivar una ecuación sobre la concentración de oxígeno disuelto en función de la temperatu- ra para el caso en que la concentración de cloruro es igual a 2 0 O00 my/L.

Page 417: Metodos numericos para ingenieros

406 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO P12.11 Dependencia de la concentración de oxígeno en función de la tem- peratura y de la Concentración de cloruro

OXiGENO DISUELTO (mglL) PARA CONCENTRACIONES DE CLORURO

Temperatura OC Cloruro Cloruro = O mgl l = 10 O00 mgl l

5 12.8 1 1.6 10 11.3 10.3 15 10.0 9.1 20 9.0 8.2 25 8.2 7.4 30 7.4 6.8

Cloruro 20 O00 mglL

10.5 9.2 8.2 7.4 6.7 6.1

12.13 Utilicese regresión polinomial para llevar a cabo el mismo problema 12 12

12.14 Úsese regresión lineal múltiple y trsnsformaciones logaritmicas para derivar una ecuación que prediga la concentración del oxígeno disuelto en función de la tem- peratura y de la concentración de cloruro. Evalúense los resultados

Ingenieria civil

12.15 Repítanse los cálculos del caso 12.3 usando los programas propios.

12.16 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.3. pero usando regresión polinomial de segundo orden para relacionar deformación y esfuerzo.

12.17 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.3 pero usando una formulación ex- ponencia1 para relacionar deformación y esfuerzo

12.18 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.3 pero usando interpolacljn polino- mial para evaluar AL si el esfuerzo es de .7 700 libras/pulgada'.

Ingenieria eléctrica

12.19 Repítanse los cálculos del caso 1 2 . 4 usando los programas proplo5

12.20 Efectúense los mismos cálculos del caso 12.4 ajustando e integrando un polino- mi0 de tercer orden que coincida con i 2 ( t ) exactamente en t = O. TíG. T1'3. y T / 2 .

12.21 Se mide la caída de voltaje II a través de una resistencia para cierto número de valores de la corriente i . Los resultados obtenidos son

i 1 0.25 0.75 1.25 1.5 2.0 u I -0.23 -0.33 0 .70 1.88 6.00

Page 418: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE IV: AJUSTE DE CURVAS 407

Úsese interpolación polinomial para calcular la caída de voltaje para i = 0.9. Interprétense los resultados.

12.22 Duplíquense los cálculos del problema 12.21 usando regresión polinomial para obtener una ecuación cúbica que ajuste los datos. Grafíquense y evalúense 10s resultados.

Ingeniería mecánica

12.23 Efectúense los cálculos del caso 12.5 usando los programas propios

12.24 Basándose en el cuadro 12.6 utilícese interpolaciones lineal y cuadrática para calcular Q con D = 1.23 pies y S = 0.01 piedpie. Compárense los resultados con el mismo valor calculado con la fórmula derivada en el caso 12.5.

12.25 Utilícese el caso 12.5 para desarrollar una ecuación que prediga el diámetro en función de la pendiente y del flujo. Compárense los resultados con los de la fór- mula del caso 12.5 y analícense los resultados.

12.26 La viscosidad cinemática del agua. u , está relacionada con ia temperatura de !a siguiente manera:

T(OF) i 40 5 0 60 70 80 u pies2/s) I 1.66 1.41 1.22 1.06 0.93

Grafíquense estos datos y utilícese interpolación para predecir u en T = 62'F.

12.27 Repítase el problema 12.26 usando regresión

12.28 Léanse todos los casos del capítulo 12. Con base a la lectura y a la experiencia, elabórense los propios casos de cualquiwa de fos campos de la ingeniería. Esto puede involucrar la modificación o la reexpresión de los casos. Sin embargo, tam- bién pueden ser totalmente originales. Como los ejemplos del capítulo, se deben elaborar con u n enfoque a los problemas de ingeniería y debe demostrarse el uso de los métodos numéricos para ajustar curvas. Escríbanse los resultados usando los casos del capítulo como modelos.

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Page 420: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO: PARTE IV

IV.4 ELEMENTOS DE JUICIO

En el cuadro IV.4 se proporciona un resumen de los elementos de juicio relacionados con el ajuste de curvas. Los métodos se dividen en dos amplias categorías dependiendo de la incertidumbre de los datos. Para las mediciones imprecisas, se usa la regresión para desarrollar la "mejor" curva que ajuste todas las tendencias de los datos sin pasar necesariamente a través de algún punto. Para me- diciones precisas, se usa la interpolación para de- sarrollar una curva que pase directamente a través de cada uno de los puntos.

Todos los métodos de regresión se diseñan de ma- nera que ajusten funciones que minimicen la su- ma de los cuadrados de los residuos entre los datos y la función. A estos métodos se les conoce como regresión con mínimos cuadrados. La regresión con mínimos cuadrados lineal se usa en aquellos casos en donde una variable dependiente y otra independiente se relacionan de manera lineal. Pa- ra situaciones en que las variables dependiente e independiente muestren una relación curvilínea, se dispone de varias alternativas. En algunos ca- sos, se pueden usar transformaciones para linea- lizar la relación. En estos casos se puede aplicar la regresión lineal a variables transformadas pa- ra determinar la mejor línea recta. Alternativamen- te, se puede emplear la regresión polinomial y ajustar una curva directamente a los datos.

La regresión lineal múltiple se usa cuando una va- riable dependiente es una función de dos o más variables independientes. Se pueden aplicar tam- bién transformaciones logaritmicas a este tipo de regresión en algunos casos donde la dependen- cia múltiple es curvilínea.

La interpolación polinomial esta diseñada para ajustar un polinomio Único de n-ésimo orden que pase exactamente por los n + 1 puntos exactos. Este polinomio se presenta en dos formatos dife- rentes. El polinomio de interpolación de diferen- cias divididas de Newton se adapta idealmente a

Page 421: Metodos numericos para ingenieros

410 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

O 0

7 7 a 0 P P

Q a ,

- +

O C

Page 422: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO PARTE IV 41 1

IV. 5

IV.6

aquellos casos en que el orden propio del polinomio se desconoce. El polinomio de Newton es apropiado para tales situaciones ya que se programa fácilmente en un formato que compara los resultados con órdenes diferentes. Además, se puede incorporar con facilidad una aproximación del error en el método. De esta forma, se puede comparar y escoger a partir de los resultados usando varios polino- mios de órdenes diferentes.

La otra formulación alternativa es el polinomio de interpolación de Lagrange el cual es apropiado cuando el orden se conoce a priori. En estos casos, la versión de Lagrange es algo más simple de progra- mar y no requiere de los cálculos y almacenamiento de diferencias divididas finitas.

El método final de ajuste de curvas es mediante interpolación segmen- taria. Este método ajusta un polinomio de orden bajo a cada uno de los intervalos entre los puntos. El ajuste se hace uniforme obligando a que las derivadas de dos polinomios adyacentes en el mismo valor de su punto de conexión sean iguales. La interpolación cúbica seg- mentaria es la versión más común. Los segmentos son muy útiles cuan- do se ajustan datos que en general son uniformes pero exhiben áreas locales de saltos de los datos. Tales datos tienden a inducir oscilacio- nes en los polinomios de interpolación de orden superior. La interpo- lación cúbica segmentaria está menos propensa a estas oscilaciones ya que se limita a variaciones de tercer orden.

RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES

En el cuadro IV.5 se resume la información de mayor importancia que se presenta en la parte IV. El cuadro se puede consultar para tener una referencia rápida de las relaciones y fórmulas de importancia.

MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES

Aunque se han repasado una gran cantidad de métodos de ajuste de curvas, aún existen otros métodos que tienen mucha utilidad en la prác- tica de la ingeniería. Por ejemplo, los polinomios ortogonales se pue- den emplear en el desarrollo de un método alternativo para la regresión polinomial. Esta técnica tiene mucha utilidad ya que no es susceptible al mal condicionamiento cuando se deben ajustar polino- mios de orden superior. La información sobre polinomios ortogonales se encuentra en Shampine y Allen ( 1 973) y en Guest ( 1 961).

Existe una gran variedad de métodos que desarrollan directamente el Gjuste con mínimos cuadrados de una ecuación no lineal. Estas téc-

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41 2 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

rl , i I I

v) L - N

L.

- @ F

v h

x x"

I

x" 4

I I v * v

j¿ F x

h h

I I v * - x" x"

x h h

I t 11 oc" boc"

/ I

Page 424: Metodos numericos para ingenieros

EPlLOGO PARTE IV 41 3

nicas de regresión no lineal incluyen al método de Gauss-Newton, mé- todo de Marquardt’s y mcitodos de pasos descendentes. La informa- ción sobre estos métodos y de regresión en general se encuentran en Draper y Smith (1981).

Todos los métodos de la parte IV se han expresado en términos del ajuste de una curva a un conjunto de puntos. Pero se puede ajustar una curva a otra curva. La motivación principal de tal aproximación funcional es la de representar una función complicada a una más simple

que sea más fácil de manejar. Una manera de hacerlo es la de usar función complicada para enerar una tabla de valores. Después

se pueden usar cualquiera de B as técnicas analizadas en este libro para ajustar polinomios a esos valores discretos.

Más allá de este planteamiento, existe una variedad de métodos al- ternativos, y en general, preferibles en la aproximación funcional. Por ejemplo, si la función es continua y diferenciable, se puede ajustar a una serie de Taylor truncada. Sin embargo, esta estrategia se dese- cha ya que el error aumenta a medida que se ale’a del punto base

Por lo tanto, se puede tener una buena predicción del intervalo y una mala aproximación para un

Un enfoque alterno se basa en el principio de minimax (recuérdese la Fig. 10 .2~) . Este principio especifica que los coeficientes del poli- nomio de aproximación se escogen de tal forma que la discrepancia máxima sea tan pequeña como sea posible. Por lo tanto, aun ue la aproximación no puede ser tan buena como la obtenida con 4 a ex- pansión de la serie de Taylor en el punto base, generalmente, es me- jor a través de todo el dominio del ajuste. l a economización de Chebyshev es un ejemplo del acercamiento de una aproximación fun- cional basada en esta estrategia (Ralston y Rabinowitz, 1978; Gerald y Wheatley, 1984 y Carnahan, Luther y Wilkes, 1969).

Un método final de aproximación funcional es la de usar funciones trigonométricas. La transformada ru ida de Fourier es un ejemplo de este enfoque y es ampliamente usa B o en la ingeniería práctica (Bri - ham, 1974; Davis y Rabinowitz, 1975 y Gerald y Wheatley, 19847.

En resumen, lo antes mencionado tiene la finalidad de proporcionar al lector senderos de exploración más profundos sobre la materia. Además, todas las referencias anteriores proporcionan descripciones de las técnicas básicas cubiertas en la parte IV. Se sugiere al lector que consulte estas fuentes alternativas para profundizar en el conoci- miento de los métodos numéricos sobre el ajuste de curvas.*

* Aquí se hace referencia a los libros únicamente por autor; se encuentra una bibliografía corn- pleta al final del libro.

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416 MÉTODOS NUM&lCOS PARA INGENIEROS

FIGURA V.l Representación gráfica de la integral de {(x) entre los límites x 3 a y b. Lo integral es equivalente al área baio la curva.

2. Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente.

3. Una función tabulada en donde los valores de x y f (x) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso, a menudo, de los datos experimentales.

En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analiticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados.

Un planteamiento lógico es el de graficar la función sobre una malla (Fig. V.2) y contar el número de cuadros que aproximan el área. Este número multiplicado por el área de cada uno de ellos da una estima- ción aproximada del área total baio la curva. Esta estimación puede meiorar a costa de un mayor esfuerzo, usando una malla más fina.

Otro planteamiento con sentido común es el de dividir el área en seg- mentos verticales, o bandas, con una altura igual al valor de la fun- ción en el punto medio de cada banda (Fig. V.3). El área de los rectángulos se puede entonces calcular y sumar para estimar el área total. En este planteamiento, se supone que el valor de los puntos me- dios proporciona una aproximación válida de la altura promedio de

Page 428: Metodos numericos para ingenieros

lNTEGRACl6N 41 7

FIGURA V.2 Uso de una malla para aproximar una integral.

FIGURA V.3

X" .. - -

Uso de rectángulos, O bandas para aproximar la integral.

Page 429: Metodos numericos para ingenieros

41 8 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

la función de cada banda. Como con el método de mallas, es posible obtener una estimación, mejor usando más (y más delgadas) bandas para aproximar la integral.

Aunque estos esquemas simples tienen utilidad para estimaciones rá- pidas, se dispone de métodos alternativos llamados integración nu- mérica o cuadratura gaussiana para los mismos propósitos. Estos métodos, que son más fáciles de implementar que la técnica de ma-

FIGURA v.4 Aplicación de un método numérico de integración a) función continua complicada; bJ tabla de valores discretos de f(x) generados de la fun- ción, y c) USO de un método numérico (el método de bandas) para apro- ximar la integral en base a los puntos discretos. Para una función tabular, 10s datos se encuentran en forma tabular en b); por lo tanto el paso 0)

es innecesario.

Page 430: Metodos numericos para ingenieros

lNTEGRACl6N 419

las, son similares en esencia al método de bandas. Esto es, las altu- ras de la función se multiplican por el ancho de las bandas y se suman para calcular la integral. Sin embargo, con el uso de la alternativa más inteligente de factores de peso, la estimación resultante puede ser más exacta que la obtenida con el "método de bandas" simple.

Como en el método simple de bandas, los métodos de integración nu- mérica utilizan datos en puntos discretos. Ya que la información ta- bulada ya se encuentra en esta forma, es naturalmente compatible con muchos métodos de integración numérica. Aunque las funciones continuas no están originalmente en forma discreta, en general una proposición simple es la de usar la ecuación dada para generar una tabla de valores. Como se muestra en la figura V.4, esta tabla se emplea en el cálculo de la integración numérica.

V.1.2 Integración numérica e ingeniería práctica

La integración de una función tiene tantas aplicaciones en la ingenie- ría que probablemente al lector se le enseñe el cálculo integral en el primer año de la facultad. Pueden darse muchos ejemplos específicos de sus aplicaciones en todos los campos de la ingeniería.

Uno de ellos es el uso de la integración para determinar la media de una función continua. En la parte IV se introdujo el concepto de me- dia de n puntos discretos [recuérdese la Ec. (lV.1)J:

.i y; Media = L

n N21 en donde y son medidas individuales. La determinación de la media de puntos discretos se muestra en la figura VSa.

En contraste, supóngase que y es una función continua de una varia- ble independiente x, como se muestra en la figura VSb. En este caso, existe un número infinito de valores entre a y b. Así como se puede aplicar la ecuación (V.2) para determinar la media de una lectura dis- creta, también se puede estar interesado en calcular la media o pro- medio de una función continua y = f (x) en el intervalo de a a b. Se usa la integración para este propósito, tal como se especifica en la fórmula:

Page 431: Metodos numericos para ingenieros

420 MÉTODOS NUM6RICOS PARA INGENIEROS

FIGURA V.5 Ilustración de la media a) caso discreto, b) caso continuo.

Esta fórmula tiene cientos de aplicaciones en la ingeniería. Por ejem- plo, se usa para calcular el centro de gravedad de objetos irregula- res en ingeniería mecánica y civil y para determinar la corriente RMS en ingeniería eléctrica.

Las integrales las emplean los ingenieros también para evaluar la can- tidad total o para cuantificar una variable física dada. La integral se puede evaluar sobre una línea, una área o un volumen. Por ejemplo, la cantidad total de masa de sustancias químicas que contiene un reac- tor está dada como el producto de la concentración de sustancias químicas y el volumen del reactor, o sea

Masa = concentración X volumen

en donde la concentración tiene unidades de masa por volumen. Sin embargo, supóngase que la concentración varia de posición a posi- ción dentro del reactor. En este caso, es necesario sumar los produc- tos de concentración local c y sus volúmenes elementales correspon- dientes (AVi):

Page 432: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRAC16N 42 1

n

Masa = c; AV, i= 1

en donde n es el número de volúmenes discretos. En este caso conti- nuo, en donde c (x,y,z,) es una función conocida y x, y y z son varia- bles independientes que denotan la posición, en coordenadas cartesianas, la integración se puede usar para el mismo propósito:

Masa = 111 c(x, y, z) dx dy dz

Masa = 111 c(V) dV V

a la cual se le conoce como integral de volumen. Nótese la fuerte ana- logía entre la sumatoria y la integración.

Se pueden dar ejemplos similares para los otros campos de la inge- niería. Por ejemplo, el promedio total de transferencia de energía a través de un plano en donde el fluio (en calorías por centímetro cua- drado por segundo) es una función de la posición dada por

Transferencia de calor = J J fluio dA A

A la cual se le conoce como integral de superficie en donde A = área.

De manera similar, para el caso unidimensional, el peso total de una varilla con densidad variable está dada por

w = A lo’ p(x) dx

en donde w es el peso total (en libras), I es la longitud de la varilla (en pies), p (x) es la densidad conocida (en libras por pie cúbico) en función de la longitud x (en pies) y A es el área transversal de la vari- lla (en pies cuadrados).

Finalmente, las integrales se usan para la evaluación de ecuaciones promedio. Supóngase que la velocidad de una partícula es una fun- ción cococida continua del tiempo v (t). La distancia total d recorrida por esta partícula en un tiempo dado t está dada por

d = v(t) dt rv.41

Estos son sólo algunos ejemplos de las aplicaciones de las integrales que se pueden encontrar regularmente en el desarrollo de la profe-

Page 433: Metodos numericos para ingenieros

422 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

v.2

sión. Cuando las funciones a integrar son simples, normalmente se integran analíticamente. Por ejemplo, en el problema del paracaidis- ta, se determinó la velocidad en función del tiempo (Ec. (1.8)]. Esta relación se puede sustituir en la ecuación (V.4), la cuál se integra fá- cilmente y de esta manera se determina que tan rápido cae el para- caidista en un periodo de tiempo t. En este caso, simplemente se evalúa la integral. Sin embargo, es dificil o imposible cuando la función se complica, como es el caso para ejemplos más comunes. Además, la función en cuestión a menudo se desconoce y se define únicamente con medidas en puntos discretos. En ambos casos, se debe tener la suficiente habilidad como para obtener valores aproximados a las in- tegrales usando métodos numéricos. Algunos de estos métodos se ana- lizan en esta parte del libro.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

En la preparatoria o en los primeros años de la facultad, se ven intro- ducciones al c6lculo integral. Se aprenden técnicas que obtienen soluciones analíticas o soluciones exactas de integrales definidas e in- definidas. En la parte VI se analiza la integración indefinida, que involucra en primer lugar la determinación de una función cuya deri- vada está dada.

En esta parte del libro se desarrolla la integraci6n definida, que se ocupa de determinar una integral entre un par de límites específicos, como en

I = f (x ) dx

De acuerdo al teorema fundamental del cálculo integral, la ecuación (V.5) se evalúa como

lab f ( x ) ¿x = F(x)

1." ~ 5 1

1: en donde F (x) es la integral de f (x), esto es, cualquier función tal que F' ( x ) = f (x). La nomenclatura sobre el lado derecho queda

F(x) 1 = F(6) - F(a) [ W

I = r8 (0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5) dx [V.7]

En este caso, la función es un simple polinomio que se puede integrar analíticamente evaluando cada uno de los términos de acuerdo a la regla

b

O

Un ejemplo de una integral definida es

Page 434: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN 423

x n t ~ b Jab x" dx = -

n + l a

en donde n no puede ser igual a - 1 . Aplicando esta regla a cada uno de los términos en la ecuación (V.7) se obtiene

200 400 1 O'* I = 0 . 2 ~ + 1 2 . 5 ~ ~ - -x3 + 1 6 8 . 7 5 ~ ~ - 1 8 0 ~ ~ + -X' 3 I o

que se puede evaluar de acuerdo a la ecuación (V.6) como I = 1.640 533 34. Este valor es igual al área bajo el polinomio original [Ec. (V.7)] entre x = O y x =0.8.

La integración anterior depende del conocimiento de la regla expresa- da por la ecuación (V.8). Otras funciones permiten reglas diferentes. Todas estas "reglas" son meros ejemplos de antidiferenciación, esto

CUADRO V. 1 Algunas integrales simples usadas en la parte V. La a y la b en este cuadro son constantes y no se deben confundir con los límites de integracibn discutidos en el texto.

j u d v = u v - j v d u

""+l

ubx dx = - U bx

b In a + c U > O , U f l

l u " d u = - n + 1 + c n f - 1

j $ = In 1x1 + c

j e o x d x = - + e U Ox C

j x e a x d x = 7 ( u x - e Ox 1 ) + C U

Page 435: Metodos numericos para ingenieros

424 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

v.3

es, encontrando f (x) de tal manera que F’ ( x ) = f (x). Por consiguiente, la integración analítica depende del conocimiento previo de la res- puesta. Este conocimiento se adquiere por experiencia. Muchas de estas reglas se resumen en manuales y en tablas de integrales. En el cuadro V.l se listan algunas de las integrales más comúnmente usa- das. Sin embargo, muchas funciones de importancia práctica son de- masiado complicadas para incluirlas en tales tablas. Una razón por la que las técnicas de esta parte del libro son tan valiosas, es porque proporcionan un medio de evaluar relaciones tales como la ecuación (V.7) sin conocimiento de las reglas.

Antes de continuar con los métodos numéricos de integración, puede ser de utilidad información adicional. Las siguientes secciones están enfocadas a dar un bosquejo del material analizado en la parte V. Además, se han formulado algunos objetivos que ayudarán al apren- dizaje cuando se estudie este material.

V.3.1 Alcances y avances

La figura V.6 proporciona un panorama de la parte V. En el capitulo 73 se desarrolla el planteamiento más común de la integración nu- mérica: las fórmulas de Newton-Cotes. Estas relaciones se basan en el reemplazo de una función complicada o de un conjunto de datos en forma tabular a polinomios simples que son fáciles de integrar. Se analizan en detalle tres de las fórmulas más ampliamente usadas de Newton-Cotes: la regla trapezoidal, la regla 713 de Simpson y la re- gla 318 de Sirnpson. Todas estas fórmulas están proyectadas para casos en donde los datos a integrarse están igualmente espaciados. Ade- más, se incluye un análisis de la integración numérica de datos que no están igualmenté espaciados. Este es un tema muy importante ya que muchas aplicaciones del mundo real maneian datos de esta manera.

Todo el material siguiente trata sobre la integración cerrada, en donde se conocen los puntos finales de los límites de integración. AI final del capítulo 13, se presentan las fórmulas de integración abiertas, en donde los límites de integración se extienden más allá del rango de los datos conocidos. Aunque no se usan comúnmente en la integración defini- da, se presentan aquí las fórmulas de integración abierta porque se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordina- rias de la parte VI.

Page 436: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN 425

FIGURA V.6 Esquema de la organización del material de la parte V: Integración numérica.

Las formulaciones estudiadas en el capítulo 13 se pueden emplear en el análisis de funciones tabulares y continuas. En el capitulo 14 se ana- lizan dos métodos diseñados expresamente para integrar funciones continuas: integración de Romberg y cuadratura gaussiana. También se proporcionan algoritmos para estos dos métodos.

El capitulo 75 demuestra como los métodos se pueden aplicar a la so- lución de problemas. Como con el resto de las partes del libro, se men- cionan casos de todos los campos de la ingeniería.

Page 437: Metodos numericos para ingenieros

426 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Se incluye una sección de repaso o epilog0 al final de la parte V. Este repaso incluye un análisis de los elementos de juicio incluidos en la implementación de los métodos en la ingeniería práctica. Además, se resumen las fórmulas y conceptos más importantes relacionados con los métodos numéricos de integración. Finalmente, se hace un repaso breve de los metodos avanzados y algunas referencias adicionales que facilitarán estudios posteriores sobre integración numérica.

Se proporcionan varias opciones para efectuar el cálculo por com- putadora de cálculo. En primer lugar, el paquete de programas NU- MERICOMP contiene la regla trapezoidal a usarse sobre una base opcional en las microcomputadoras APPLE II e IBM-PC. Alternati- vamente, se muestran directamente en el texto programas en los lenguajes FORTRAN y BASIC de la regla trapezoidal. Esto le da opor- tunidad al lector de copiar estos programas e implementarlo sobre una microcomputadora o en una supercomputadora. Se suministran diagramas de fluio para la mayor parte de los otros métodos descritos en el texto. Estos diagramas de flujo, combinados con los progra- mas escritos por el lector en cualquier lenguaje, proporcionan pro- gramas que pueden aplicarse a un conjunto de problemas de ingeniería.

V.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Después de terminar la parte V, el lector debe ser capaz de resolver muchos problemas de integración numérica y apreciar su aplicación en la solución de problemas de ingeniería. Se debe hacer lo posible por dominar varias técnicas y valorar su con- fiabilidad. Debe entender los elementos de juicio involucrados en la selección del "mejor" método (o métodos) para cualquier problema en particular. Además de estos objetivos generales, se deben asimi- lar y dominar los conceptos específicos listados en el cuadro V.2

Objetivos de cómputo. El lector debe tener un paquete de programas, programas simples para la computadora, algoritmos y diagramas de flujo que implementen las técnicas analizadas en la parte V. Todas ellas tienen utilidad como herramientas de aprendizaje.

El paquete personal de programas NUMERICOMP es legible al usua- rio. Emplea la regla trapezoidal para evaluar la integral de funciones tabulares o continuas. Las gráficas asociadas con estos programas ha- bilitarán al lector a visualizar fácilmente los problemas y las opera- ciones matemáticas asociadas como el área entre la curva y el eje x. Este paquete de programas es muy fácil de aplicar en la solución de problemas prácticos y se puede usar en la prueba de resultados de cualquier programa de computadora que el lector pueda desarrollar por sí mismo.

Page 438: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN 427

CUADRO V.2 Objetivos de estudios especificos de la parte V l. Entender la derivación de las fórmulas de Newton-Cotes; saber cómo derivar la

regla trapezoidal y cómo derivar los dos casos de la regla de Simpson; reconocer que la regla trapezoidal, la regla 1/3 y la regla 3/8 de Simpson representan las areas baio polinomios de primero, segundo y tercer orden, respectivamente.

2. Conocer las fórmulas y las ecuaciones de error para a) La regla trapezoidal b) La regla trapezoidal de segmentos múltiples. c) La regla 1/3 de Simpson d) La regla 3/8 de Simpson e) La regla de Simpson de segmentos múltiples.

Ser capaz de escoger la "meior" de estas fórmulas para cualquier problema en particular.

3. Reconocer que la regla 1/3 de Simpson es exacta hasta cuarto orden aun cuando está basada en sólo tres puntos; darse cuenta que todas las fórmulas de Newton- Cotes de segmentos par y punto impar tienen exactitud similar.

4. Saber cómo evaluar la integral de datos desigualmente espaciados.

5. Reconocer la diferencia entre fórmulas de integración abiertas y cerradas.

6. Entender las bases teóricas de la extrapoloción de Richardson y cómo se aplica al algoritmo de integración de Romberg.

7. Entender la diferencia fundamental entre las fórmulas de Newton-Cotes y la cua- dratura gaussiana.

8. Reconocer por qué la integración de Romberg y la cuadratura gaussiana tienen utilidad en la integración de funciones continuas (opuesta a la forma tabular).

Alternativamente, se proporcionan directamente en el texto los pro- gramas de la regla trapezoidal en los lenguajes FORTRAN y BASIC. Además, se proporcionan los algoritmos generales y diagramas de fluio de la mayor parte de los métodos de la parte V. Esta informa- ción le permite al lector aumentar la biblioteca de programas de tal manera que incluya métodos más a116 de la re la trapezoidal. Por ejemplo, sería útil, desde un punto de vista pro 3 esional, desarrollar programas que manejen datos que no estén igualmente espaciados. Se pueden desarrollar también programas sobre la regla de Simpson, la integración de Romberg y la cuadratura gaussiana, que, en gene- ral, son más eficientes y exactos que la regla trapezoidal.

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C A P í T U L O T R E C E

FóRMULAS DE INTEGRACIóN DE NEWTON-COTES

Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más co- munes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar:

en donde j,(x) es un polinomio de la forma:

fn(x) = aa + al + . . . + a,-l xn-l + a, x"

[13.1]

FIGURA 13.1 Estimación de una integral mediante el área baio a) una línea recta, y b) una parábola.

Page 441: Metodos numericos para ingenieros

430 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 13.2 Aproximación de la integral mediante el área baio tres segmentos de línea recta.

en donde n es el orden del polinomio. Por ejemplo, en la figura 13.la, se usa un polinomio de primer orden (una línea recta) como aproxima- ción. En la figura 13. lb se emplea una parábola para el mismo propósito.

La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longi- tud constante. Por ejemplo, en la figura 13.2, se usan tres segmentos de línea recta para aproximar la integral. Se pueden usar polinomios de ma- yor grado para este mismo propósito. Con estos fundamentos ahora

FIGURA 13.3 Diferencia entre fórmulas de integración a) cerradas y b) abiertas.

~- .~ . ..__I___

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FORMULACldN DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 43 1

se reconoce que el “método de bandas” de la figura V.3 empleó una se- rie de polinomios de orden cero (esto es, constantes) para aproximar la integral.

Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton- Cotes. Las formas cerradas son aquéllas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen (Fig. 13.3~1). Las fórmu- las abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos (Fig. 13.3b). En este sentido, se parecen a la extrapolación analizada al final del capítulo 11. Las fórmulas abiertas de Newton- Cotes, en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. En este capítulo se hace hincapié en las fórmulas cerradas. Sin embargo, el material de las fórmulas abiertas de Newton-Cotes se introduce brevemente al final del capítulo.

13.1 REGLA DEL TRAPECIO La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas ce- rradas de Newton-Cotes. Corresponde al caso en donde el polinomio de la ecuación (13.1) es de primer orden.

Recuérdese del capítulo 11 que una línea recta se puede representar co- mo (Ec. (11.2)]

[13.2]

El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f (x) entre los límites a y b:

El resultado de la integración (véase el recuadro 13.1 para mayores deta- lles) es

[13.3]

al que se le llama regla trapezoidal. Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el

área del trapecio bajo la línea recta que une a f (a) y f (b) en la figura 13.4. Recuérdese de la geometría de la fórmula para calcular el área

Page 443: Metodos numericos para ingenieros

432 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

RECUADRO 13.1 Derivación de la regla trapezoidal

Antes de integrar, la ecuación (13.2) se puede expresar Este resultado se puede evaluar, obteniendo como

Agrupando los dos últimos términos se obtiene

f(x) = . f (b) - f(a) X

Ahora, considerando que b2 - a2 = (b - a) (b + a)

b - a Multiplicando y agrupando términos se obtiene

que es la fGrmula de la regla trapezoidal

que se puede integrar entre x = a y x = b y obtener

f (b) - f (a) x* r = - + bfb) - af (b) x 1 b - a 2 b - a

a

de un trapecio es la altura por el promedio de las bases (Fig. 13.5~). En este caso, el concepto es el mismo pero el trapecio se encuentra sobre uno de sus lados (Fig. 13.56). Por lo tanto, la aproximación a la integral se puede representar como

I =ancho X altura promedio [13.4]

FIGURA 13.4 Esquema gráfico de la regla trapezoidal.

~ ~~~ _l_l

Page 444: Metodos numericos para ingenieros

FoRMlJLACl6N DE lNTEGKACl6N DE NEWTON-COTES 433

FIGURA 13.5 a) Fórmula para calcular el area de un trapecio: altura por el promedio de las bases. b) En la regla trapezoidal, el concepto es el mismo sólo que el trapecio está sobre uno de sus lados.

I = (b - a) x altura promedio [13.5]

en donde, para la regla trapezoidal, la altura media es el promedio de los valores de la función en 10s puntos de los extremos, es decir v (a) + f ( W 2 .

Todas las fórmulas cerradas de Newton-Cotes se pueden expresar en el formato general de la ecuación (13.5). De hecho, solo difieren con res- pecto a la formulación de la altura media.

13. l. 1 Error en la regla trapezoidal

Cuando se emplea la integral bajo un segmento de línea recta para apro- ximar la integral bajo una curva, obviamente que sejncurre en un error que puede ser sustancial (Fig. 13.6) Una estimación del error de trunca- miento de una sola aplicación de la regla trapezoidal es (recuadro 13.2)

[13.6]

en donde E es un punto cualquiera dentro del intervalo de a a b. La ecua- ción (13.6) indica que si la función que se está integrando es lineal, la

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434 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 13.6 Esquema gráfico al usar sólo una aplicación de la regla trapezoidal a ra aproximar la iqtegral de f(x) = 0.2 + 25 x - 200 x2 + 675 x Y - - 900 x4 + 400 x’ desde x = O hasta 08.

regla trapezoidal ser% exacta. De otra manera, ocurrir6 un error para fun- ciones con derivadas de segundo y tercer orden (esto es, con curvatura).

RECUADRO 13.2 Obtención y estimacion de error de la regla trapezoidal basada en la integración del polinomio de interpolación hacia adelante de Newton-Gregory.

Una forma para obtener la regla trapezoidal es integrando a O y 1, respectivamente. Por lo tanto, la ecuación (813.2.1) el polinomio de interpolación hacia adelante de Newton- se puede expresar como Gregory. Recuérdese que para la versión de primer or- den con término de error, la integral sería (recuadro 11.2) 1 = b lo1 [ f (a) + Af (a) a

[,B13.2.11 Se supone que para h pequeña, el término f’ ’([) es para simplificar el analisis, tomando en que aproximadamente constante, la ecuación se puede inte- a = (x - a)/ h , grar:

dx = h da

Debido a que h = b - a (para la regla trapezoidal de un segmento), los límites de integración. a y b. corresponden y evaluarse como

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FORMULAC16N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 435

1 = h f(a) + - - , , f ” ( 8 h 3 [ *Y)] Debido a que A f (u) = f (b) - f (u), el resultado se puede escribir como

Regla trapezoidal Error de truncamiento

Por lo tanto, el primer término es el de la regla trapezoi- dal y el segundo es una estimación del error.

EJEMPLO 13.1

Aplicación de la regla trapezoidal simple

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.3) para integrar numé- ricamente

f(x) = 0.2 + 2 5 ~ - 200~‘ + 6 7 5 ~ ~ - 9 0 0 ~ ~ + 4 0 0 ~ ~

desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdese de la sección V.2 que el valor exacto de la integral se puede determinar analíticamente como 1.640 533 34.

Soluci6n: los valores de la función

f (0) = 0.2

f(0.8) = 0.232 se pueden sustituir en la ecuación (13.3) y obtener

0.2 + 0.232 2

I = 0.8 = 0.1 728

que representa un error de

E, = 1.640 533 34 - 0.1 728 = 1.467 733 34

que corresponde a un error relativo porcentual de E , = 89.5 % . La ra- zón para este error tan grande es evidente en la gráfica de la figura 13.6. Nótese que el área bajo la línea recta descuida una porción significativa de la integral sobre la línea.

En la situación actual, no se tendría conocimiento previo del valor ver- dadero. Por lo tanto, se requiere una aproximación al error. Para obtener esta aproximación, se calcula la segunda derivada de la función sobre el inter- valo, derivando la función original dos veces para dar

f’ ’(X) = -400 + 4 0 5 0 ~ - 10 8 0 0 ~ ’ + 8 OOOx3 el valor promedio de la segunda derivada puede ser calculada usando la ecuación V.3

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436 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

(-400 + 4 0 5 0 ~ - 10 8002 + 8 OOOx9dx f,= 0.8 - O - -60

que se puede sustituir en la ecuación (13.6) y obtener

E, -= (-60)(0.8)3 = 2.56 1

1L

que es del mismo orden de magnitud y signo que tiene el error verdadero. Existe una discrepancia debido a que en un intervalo de este tamaño, el pro- medio de la segunda derivada no es necesariamente una aproximación exacta de f ’ ’ (E). Por lo tanto, se denota que el error es aproximado usando la notación E,, en vez de usar E,.

13.1.2 La regla del trapecio usando segmentos multiples

Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo de integración de a a b en un conjunto de segmentos y apli- car el método a cada uno de los segmentos (Fig. 13.7). En seguida se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral so- bre el intervalo completo. A las ecuaciones resultantes se les conoce co- mo fórmulas de integración de segmento múltiple o fórmulas de integración compuestas.

En la figura 13.8 se muestra el formato general y la nomenclatura que se usará en la caracterización de integrales de segmentos múltiples. Hay n + 1 puntos base igualmente espaciados (xo, xl, x2,. . . , x,), Por con- siguiente, hay n segmentos de igual anchura:

h = - b - a [13.7]

n Si a y b se igualan a x. y a x,, respectivamente, la integral total se repre- senta como

I = l:f(x)dx + [f(x)dx +

Sustituyendo la regla trapezoidal para cada una de las integrales, se obtiene

[13.8]

o, agrupando términos

[13.9]

Page 448: Metodos numericos para ingenieros

FORMULACIóN DE INTEGRACIóN DE NEWTON-COTES 437

FIGURA 13.7 Ilustración de la regla trapezoidal múltiple o) dos segmentos; b) tres seg- mentos: c) cuatro segmentos y d) cinco segmentos.

~~~ ~ -. -

Page 449: Metodos numericos para ingenieros

438 METODOS NUM~RICOS PARA INGENIEROS -

FIGURA 13.8 Formato general de la nomenclatura para integrales de segmentos múltiples.

o, usando la ecuación (13.7) para expresar la ecuación (13.9) en la for- ma generaí de la ecuación (13.5), se obtiene

I + <

Ancho Altura promedio

[13.10]

Ya que la sumatoria de los coeficientes de f (x) en el numerador dividido por 2 n es igual a 1, la altura promedio representa un promedio pesado de los valores de la función. De acuerdo a la ecuación (13. lo), las altu- ras de los puntos interiores aparecen doblemente respecto a los puntos finales f (xg) y f (x,,).

Page 450: Metodos numericos para ingenieros

FORMULAC16N DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 439

El error en la regla trapezoidal múltiple se obtiene sumando los erro- res individuales de cada uno de los segmentos, dando

[13.11]

en donde f ’ ’ (ti) es la segunda derivada de la función evaluada en el pun- to ti localizado dentro del segmento ¡. Este resultado se simplifica calcu- lando la media o el valor promedio de la segunda derivada sobre el intervalo completo [Ec. (V.2)]:

n

J n [13.12]

Por lo tanto, C f’ ’ (ti) = n f’ ’ y la ecuación (13.11) se reescribe como

[13.13]

De manera que, si el número de segmentos se duplica, el error de trun- camiento disminuye a un cuarto de su valor. Nótese que la ecuación (13.13) es un error aproximado debido a la naturaleza aproximada de la ecuación (13.12).

EJEMPLO 13.2 Regla trapezoidal de segmentos múltiples

Enunciado del problema: utilícese la regla trapezoidal de dos segmentos para calcular la integral de

!(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5

desde a = O hasta b = 0.8. Empléese la ecuación (13.13) para calcular el error. Recuérdese de la sección V.2 que el valor correcto de la integral es 1.640 533 34.

Solución: n = 2 (h = 0.4):

f(0) = 0.2

f(0.4) = 2.456

f(0.8) = 0.232

I = 0.8 0.2 + Z(2.456) + 0.232 4 = 1.068 8

Page 451: Metodos numericos para ingenieros

440 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

~ E , = 1.640 533 34 - 1.068 8 = 0.571 73 E, = 34.9%

E, = - 12(2)2 (-60) = 0.64

I

en donde -60 es el promedio de la segunda derivada determinada pre- viamente en el ejemplo 13.1.

~ ~ ~ ~~~ ~~ ~~ .~ ~~

En el cuadro 13.1 se resumen los resultados del ejemplo anterior jun- to con la aplicación de la regla trapezoidal usando desde tres hasta diez segmentos. Nótese que el error disminuye a medida que el número de segmentos crece. Sin embargo, también se nota que el promedio de disminución es gradual. Esto se debe que el error es inversamente pro- porcional al cuadrado de n [Ec. (13.13)] Por lo tanto, si se duplica el nú- mero de segmentos el error disminuye a un cuarto de su valor. En secciones posteriores se desarrollan fórmulas de orden superior que son más exac- tas y que convergen más rápidamente a la integral real a medida que el número de segmentos crece. Sin embargo, antes de investigar estas fórmulas, primero se analiza un programa de computadora que imple- mente la regla trapezoidal.

13.1.3 Programa de computadora sobre la regla trapezoidal de segmentos múltiples

En la figura 13.9 se muestra un pequeño programa que implementa la regla trapezoidal. Este programa tiene algunos inconvenientes. Primero, está limitado a que los datos estén en forma tabular. Un programa general debe tener la capacidad de evaluar también funciones conocidas. Ade- más, el programa no es legible al usuario, está diseñado estrictamente para

CUA ,DRO 13.1 Resultado de la regla trapezoidal de seg- mentos múltiples para calcular la integral de

+ 400x5 de x O hasta 0.8. el valor exac- to es 1.640 533 34

n h I t, 9 0

f(x) 0.2 + 2 5 ~ - 2 0 0 ~ ~ + 6 7 5 ~ ~ - 9 0 0 ~ ~

2 3 4 5 6 7 8 9

10

0.4 0.266 7 0.2 0.16 0.133 3 0.1 14 3 o. 1 0.088 9 0.08

1 .O68 34.9 1.369 5 16.5 1.484 8 9.5 1.539 9 6.1 1.570 3 4.3 1.588 7 3.2 1.600 8 2.4 1.609 1 1.9 1.615 O 1.6

Page 452: Metodos numericos para ingenieros

FORMULACldN DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 44 1

FORTRAN DIMENSION F ( 2 0 ) , Y < 2 0 5 WEAL I N COMMON N, A , B READ< 5, 1 >N

1 FORMUT< I5 5 t.II=N-l R E A D < 5 , 2 ) A , B

2 FORMUTC 2F1 O . O j H=( B-A >/HI DO 170 I = l , N READ( 5,3 ) Y ( I j

3 F U R M A T < F I O . O > 170 CONTINUE

CALL TRAP< Y , IN 1 URITE<6,4>IW

4 FORMAT<' ',F10,3> STOP END

SUBROUTINE TRAP<Y, I N ) DIMENSION Y < 20 Z HEAL IN COMMON N,FI,E NIXN-1 SU=Y< 1 > DO 1 0 3 0 I r 2 , N I SlI=SU+2*YC I >

HT=< SU+Y( N ) >/( 2*NI Z I N=< B-A M H T RETURN END

1030 CONTINUE

BASIC DIM F (.2lS.l, Y(21)) I NPIJT N

N I r N - 1 INPUT A , B A , B = límites de integracibn

FOR I = 1 T O N L'NPIJT Y ( I j Y = valor de la variable NEXT I dependiente GOSUB 1 O00 PRINT IN END

N = número de puntos NI = número de segmentos

H = ancho del segmento H = (B - A ) / NI-

(Subrutina para calcular la regla trapezoidal)

FIGURA 13.9 Programa de la regla trapezoidal con segmentos múltiples para datos tabulados.

imprimir Gnicamente la respuesta. En el problema 13.21 se enfrenta la tarea de facilitar el uso y la comprensión de este programa. También se tiene la oportunidad de modificar el programa de tal manera que sea ca- paz de evaluar la integral de funciones conocidas.

El paquete suplementario de programas NUMERICOMP que acom- paña a este texto incluye un ejemplo de un programa legible al usuario implementando la regla trapezoidal. Este paquete evalúa las integrales de datos tabulares o de funciones definidas por el usuario. En el siguiente ejemplo se demuestra su utilidad en la evaluación de integrales. También proporciona una buena referencia'para valorar y probar los programas del usuario.

EJEMPLO 13.3 Evaluación de integrales con la computadora

Enunciado del problema: el paquete de programas NUMERICOMP aso- ciado con este texto contiene un programa para computadora implemen-

Page 453: Metodos numericos para ingenieros

442 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

tando la regla trapezoidal de segmentos múltiples. Estos programas se pueden usar para resolver un problema asociado con el problema del pa- racaidista. Como se recordar6 del ejemplo l. l , la velocidad del paracai- dista est6 dada como la siguiente función del tiempo:

[E13.3.1]

en donde u es la velocidad en centímetros por segundo, g es la constante de aceleración gravitacional igual a 980 cm/s2, m es la masa del para- caidista igual a 68 100 g, y e es el coeficiente de fricción igual a 12 500 g / s . El modelo predice la velocidad del paracaidista en función del tiem- po como se describe en el ejemplo 1.1 . Una gráfica de la variación de la velocidad se desarrolla en el ejemplo 2.1.

Supóngase que se desea conocer la distancia que ha recorrido el pa- racaidista después de cierto tiempo T. La distancia está dada por [ € c . (V.4)]

d = v ( t ) dt

en donde d es la distancia en centímetros. Sustituyendo la ecuación (E.13.3.1) y haciendo T = 10 S ,

FIGURA 13.1 O Pantallas de la computadora que muestran a) entrada de los parámetros de integración y los resultados de la integración y b) gráfica de la integral como el área baio la función y el eje x .

Page 454: Metodos numericos para ingenieros

FORMULAC16N DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 443

Realizando la integración y sustituyendo los valores conocidos resulta

d = 28 943.5147 cm

Este resultado exacto se puede usar en el análisis de eficiencia de la regla trapezoidal de segmentos múltiples. En la figura 10.130 se muestra la pan- talla de la computadora que pide los límites superior e inferior de integra- ción y el tamaño de paso. Después de que los cálculos se terminan, se imprime la integral como 28 874.91. La integral es equivalente al área bajo u (t) y el eje t , como se muestra en la figura 13.10b. Una observa- ción confirma que la integral es el ancho del intervalo (10,) por la altura promedio (alrededor de 2 900 cm/s).

Se pueden probar fácilmente otros conjuntos de segmentos repitien- do los cálculos. Los resultados indican como la distancia de caída del pa- racaidista se aproxima al valor exacto a medida que el tamaño del segmento decrece:

Segmentos Tamaño Estimado d, cm E"% del segmento

10 1 .o 28 874.914 6 0.237 20 0.5 28 926.357 4 0.059 3 50 0.2 28 940.769 2 9.49 x 10-3

1 O0 o. 1 28 942.828 2 2.37 x 10-3 200 0.05 28 943.343 1 5.93 x 10-4 500 0.02 28 943.487 1 9.52 x 10-5

1 O00 0.01 28 943.507 6 2.44 x 2 O00 0.005 28 943.513 3 4.65 x 5 O00 0.002 28 943.515 7 -3.63 x 10 O00 0.001 213 943.515 9 -4.32 x

Por lo tanto, con la regla trapezoidal múltiple se obtiene una exactitud excelente. Sin embargo, nótese cómo el error cambia el signo y empieza a crecer en valor absoluto más allá del caso de 5 O00 segmentos. Esto se debe a la intrusión de errores de redondeo debido al gran número de cálculos para esta cantidad de segmentos. Por lo tanto, el nivel de preci- sión está limitado, y jamás se alcanza el resultado exacto de 28 943.514 7 obtenido analíticamente. Esta limitación se analiza de manera detallada en el capitulo 14.

13.2 REGLA DE SIMPSON Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vez más fi- nos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f (a) y f (b), entonces se pue-

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AA4 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

den conectar los tres puntos con una parábola (Fig. 13.1 l a ) . Si hay dos puntos igualmente espaciados entre f (a) y f (b) , entonces los cuatro pun- tos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden (Fig. 13. l l b ) . A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llama reglas de Simpson.

13.2.1 Regla de Simpson de 113

La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación (13.1) :

f(x) dx = f&) dx b

Si a y b se denomina como x. y x2, y f2 (x) se representa mediante un polinomio de Lagrange de segundo orden [Ec. (11.22)1, entonces la in- tegral es:

(x - x&. - x2) foco) +

(x - XONX - x2) (x0 - XI) (x0 - X d (x1 - xo)(x1 - x2) f (x11

Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación:

FIGURA 13.1 1 a) representación gráfica de la regla de Sirnpson de 1/3: consiste en to- rnar el área baio una parabola que una los puntos. b) representación grá- fica de la regla de Sirnpson de 3/8: consiste en tomar el área baio una ecuación cúbica que conecta 4 puntos.

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iORMULACl6N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 445

[ 13.141

donde, en este caso, h = (b - a ) / 2 . Esta ecuación se conoce como re- gla de Simpson de 113. Esta es la segunda fórmula de integración de Newton-Cotes. La etiqueta “1/3” viene de que h se divide por 3 en la ecuación (13.14). En el recuadro 13.3 se muestra una derivación alter- nativa en donde se integra el polinomio de Newton-Gregory y se obtiene la misma fórmula.

La regla de Simpson de 1/3 se puede expresar usando el formato de la ecuación (13.5) :

I +\ Ancho Altura promedio I [13.15]

en donde a = xo, b = xp, y x1 es el punto medio entre a y b, dado por (b + a ) / 2 . Nótese que de acuerdo a la ecuación (13.15), el punto medio se pesa con dos tercios y los dos puntos extremos con 1 sexto.

Se puede demostrar que una simple aplicación de la regla de Simp- son de 1/3 tiene un error de truncamiento de (recuadro 13.3):

RECUADRO 13.3 Obtención y estimación del error de la regla de Simpson basado en el polinomio de interpolación hacia adelante de Newton-Gregory.

Como se hizo en el recuadro 13.2 para la regla trapezoi- mo se esperaría que fuese. La razón de esto es que apa- dal, la regla de Simpson de 1/3 se puede derivar integran- rentemente será corto. Nótese también que 10s límites de do el polinomio de interpolación hacia adelante de integración van desde x, hasta xp. Por lotanto, cuando Newton-Gregory. se hacen las simplificaciones y la sustitución (recuérdese

el recuadro 13.2), la integral va desde a= O hasta 2: I = I” [ ~ ( x o ) + Af(x0) a + - A2f(xo) (a - 1)

a (a - l ) ( a - 2)

X 0 2 I = h loz [ f ( x o ) + Af(x0) a + - a (a - 1) AZf (x01

A3f (xo) 2 +- 6

+- A3f(x0) a (a - l ) ( a - 2) 6

Nótese que se ha escrito el polinomio hasta términos de +- f‘4’(n cuarto orden en vez de hasta términos de tercer orden co- 24 a (a - l ) ( a - 2)(a - 3) h 4 da l

Page 457: Metodos numericos para ingenieros

446 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

que se puede integrar para obtener Nótese el resultado significativo de que el coeficiente de la tercera diferencia dividida es cero. Debido a que A (xo) = f (x1) - f (x01 Y de que A2 f (x,) = (XP) - 2 f (x1 +

f (xo), la ecuación (B13.3.1) se puede reescribir como

--f'4'(i3 h5 1 90 "

Regla Error de Simmon de 1/3 de truncamiento ;; 11a3 1' + - - - + - - - j [ 4 ) ( # h4

7 2 8 Por IO tanto, el primer término es la regla de Simpson de 0 1/3 y el segundo es el error de truncamiento. Debido a

y evaluarse en los límites para dar que la tercera diferencia dividida se anula, se obtiene el resultado significativo de que la fórmula tiene exactitud de tercer orden. A2f (xo) 2 j ( ~ 0 ) + 2Aj (a) + -

3

+ ( 0 ) A 3 j ( ~ ) - 90f'4)(# h4 [B13.3.1] 1 1

o, ya que h = (b - a)/2:

[13.16]

en donde cae en algún lugar dentro del intervalo de a a b. Por lo tanto, la regla de Simpson de 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal. Sin embargo, la comparación con la ecuación (13.6) indica que es mucho más exacta de lo que se esperaba. En vez de ser proporcional a la tercera derivada, el error es proporcional a la cuarta derivada. Esto se debe a que, como se mostró en el recuadro 13.3, los coeficientes del término de tercer orden se anulan durante la integración del polinomio de inter- polación. En consecuencia, la regla de Simpson de 1/3 es exacta hasta tercer orden aunque esté basada únicamente en tres puntos.

EJEMPLO 13.4 Aplicación de la regia Simpson de 1/3 simple.

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.15) para integrar

f(x) = 0.2 + 2 5 ~ - 2 0 0 ~ ~ + 6 7 5 ~ ~ - 9 0 0 ~ ~ + 4 0 0 ~ ~

desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdese que la integral exacta es 1.640 533 34.

Page 458: Metodos numericos para ingenieros

FORMULAC16N DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 447

Solución:

f(0) = 0.2 f(0.4) = 2.456 f(0.8) = 0.232

Por lo tanto, la ecuación (13.15) se puede usar para calcular

1 = 0.8 0.2 + 4(2.456) + 0.232 = 466 67 6

que representa un error exacto de

E, = 1.640 533 34 - 1.367 466 67 = 0.273 066 66 tu = 16.6%

que es aproximadamente cinco veces más exacto que el de una aplica- ción de la regla trapezoidal (Ej. 13.1).

El error estimado es [Ec. (13.16)]

E, = - (03)5 2 880

(-2 400) = 0.273 066 67

en donde -2 400 es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo obtenido usando la ecuación (V.3). Como fue el caso del ejemplo 13.1, el error es aproximado (E,) porque el promedio de la cuarta derivada no es una estimación exacta de f4 ( E ) . No obstante, ya que en este caso se trata con polinomios de quinto orden, la discrepancia no es mayor y los errores exacto y aproximado son casi idénticos.

13.2.2 Regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples

Así como con la regla trapezoidal, la regla de Simpson se puede mejorar dividiendo el intervalo de integración en segmentos de igual anchura (Fig. 13.12) :

h = - b - a n

La integral total se representa como

[13.17]

Sustituyendo la regla de Simpson en cada una de las integrales indivi- duales se obtiene

1 = 2h f k o ) + 4fkd + f(x2) + 2h f(X2) + 4f(x3) + f(X4)

6 6

+ * . . + 2h f(X,-z) f 4f(Xn-1) f(X,)

Page 459: Metodos numericos para ingenieros

448 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 13.1 2 Representación gráfica del uso de segmentos múltiples sobre la regla de Simpson de 3/8. Nótese que el método sólo se puede emplear si el nú- mero de segmentos es par.

o , reordenando los términos y usando la ecuación (13.17), se obtiene

+\ I Ancho Altura promedio

Nótese que, como se ilustra en la figura 13.12, se debe usar un número par de segmentos para implementar este método.

Un error estimado por la regla de Simpson de segmentos múltiples se obtiene de la misma manera que lo hace la regla trapezoidal, sumando los errores individuales de cada uno de los segmentos y promediando la derivada para obtener

[ 13.191

en donde f (4J es el promedio de la cuarta derivada en el intervalo

EJEMPLO 13.5 Aplicación de la regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (13.18) con n = 4 para calcular la integral de:

Page 460: Metodos numericos para ingenieros

FORMULACldN DE INTEGRACION DE NEWTON-COTES 449

f ( x ) = 0.2 + 2 5 ~ - 2 0 0 ~ ~ + 6 7 5 ~ ~ - 9 0 0 ~ ~ + 4 0 0 ~ ~

desde a = O hasta b = 0.8. Recuérdese que la integral exacta es 1.640 533 34.

Solución: n = 4 (h = 0.2): f ( 0 ) = 0.2 fi(0.2) = 1.288

fi(0.4) =-2.456 t(0.6) = 3.464

f,(0.8) = 0.232

de la ecuación (13.18)

1 = 0.8 0.2 + 4(1.288 + 3.464) + 2(2.456) + 0.232 12

= 1.623 466 67

E, = 1.640 533 34 - 1.623 466 67 = 0.017 066 67 e, = 1.04%

El error estimado [Ec. (13.19)J es

E, = -A 180(4)4 (O 8)5 (-2400) = 0.017 066 67

El ejemplo previo muestra que la versión de segmentos múltiples de la regla de Simpson de 1/3 proporciona resultados muy exactos. Por es- ta razón, se considera superior a la regla trapezoidal en la mayor parte de las aplicaciones. Sin embargo, como se dijo previamente, est& limita- da a los casos en que se cuenta con un número par de segmentos y un número impar de puntos. Por consiguiente, como se examina en la si- guiente sección, se usa la regla de segmentos impares puntos pares, co- nocida como regla de Simpson de 3/8, en conjunción con la regla de 1/3 para permitir la evaluación de cualquier número de segmentos, pa- res o impares.

13.2.3 Regla de Simpson de 3/8

De manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se pueden ajustar polinomios de Lagrange de tercer or- den a cuatro puntos e integrar;

para obtener

Page 461: Metodos numericos para ingenieros

450 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

en donde h = (b - a) /3. A esta ecuacipn se le llama regla de Simpson de 318 porque h es un múltiplo de 3/8. Esta es la tercera regla cerrada de integración de Newton-Cotes. La regla de Simpson de 3/8 se puede ex- presar en la forma de la ecuación (13.5):

" U ,

Ancho Altura promedio

[13.20]

Por lo tanto, a los dos puntos interiores se les dan pesos de tres octavos, mientras que a los puntos extremos se les da un peso de un octavo. La regla de Simpson de 3/8 tiene un error de

3 80

E,, = " h5j'"'(d

FIGURA 13.13 Ilustración de cómo las reglas de Simpson de 1/3 y de 3 /8 se pueden apli- car a la vez para manejar segmentos múltiples con números pares de intervalos.

Page 462: Metodos numericos para ingenieros

FORMULACldN DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 45 1

o, ya que h = (b - a)/3:

[13.21]

Por lo tanto, la regla 3/8 es algo más exacta que la regla de 1/3 [ecua- ción (13.16)].

La regla de Simpson de 1/3 es, en general, el método de preferencia ya que alcanza exactitud de tercer orden con tres puntos en vez de los cuatro puntos necesarios para la versión de 3/8. No obstante, la regla de 3/8 tiene utilidad en las aplicaciones de segmentos múltiples cuando el número de segmentos es impar. Obsérvese que en el ejemplo 13.5 se usa la regla de Simpson para integrar la función de cuatro segmentos. Supóngase que se desea una estimación para cinco segmentos. Una opción sería usar una aplicación de segmentos múltiples de la regla tra- pezoidal como se hizo en el ejemplo 13.3. Sin embargo esto no es aconsejable, debido al error grande de truncamiento asociado con este método. Una alternativa sería la de aplicar la regla de Simpson de 1/3 a los primeros dos segmentos y la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres (Fig. 13.13). De esta manera, se obtendría una estimación con exacti- tud de tercer orden a través del intervalo completo.

EJEMPLO 13.6 Regla de Simpson de 3/8

Enunciado del problema:

a) Utilícese la regla de Simpson de 3/8 para integrar f(x') = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + WOx5

desde a = O hasta b = 0.8. b) Utilícese en conjunción con la regla de Simpson de 1/3 para integrar la misma función usando cinco segmentos.

Solución: a) Una aplicación simple de la regla de Simoson de 3/8 requiere de cua- tro puntos igualmente espaciados:

f(0) = 0.2

f(0.266 7) = 1.432 724 28

f(0.533 3) = 3.487 176 96

f(0.8) = 0.232

Page 463: Metodos numericos para ingenieros

452 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Usando la ecuación (13.20),

1 2 0.8 0.2 + 3(1.432 724 28 + 3.487 176 96) + 0.232 8

= 1.519 170 37

E, = 1.640 533 34 - 1.519 170 37 = 0.121 362 97 E, = 7.4%

E, = -- 6 480 (0'8)5 (-2 400) = 0.121 362 96

b) Los datos necesarios para la aplicación de cinco segmentos (h = O. 16) son

f (0) = 0.2 f(0.16) = 1.296 919 04

f(0.32) = 1.743 393 28 f(0.48) = 3.186 014 72

f(0.64) = 3.181 928 96 f(0.80) = 0.232 La integral de los primeros dos segmentos se obtiene usando la regla de Simpson de 1/3:

I = 0.32 0.2 + 4(1.296 919 04)+1.743 393 28 = o.38o 323 7o 6

Para los últimos tres segmentos, se usa la regla de Simpson de 3/8 para obtener

1.743 393 28 + 3(3.186 014 72 + 3.181 928 96) + 0.232 8

1 = 0.48

= 1.264 753 46

La integral total se calcula sumando los dos resultados:

I = 0.380 323 70 + 1.264 753 46 = 1.645 077 16 E , = 1.640 533 34 - 1.645 077 16 = -0.004 543 83 E, = -0.28%

13.2.4 Algoritmo para computadora de la regla de Simpson

En la figura 13.14 se esboza un diagrama de flujo para la regla de Simp- son. Nótese que el programa está elaborado de tal forma que se pueda usar un número par e impar de segmentos. En el primer caso se aplica la regla de Simpson de 1/3 a cada par de segmentos y los resultados se suman para obtener el valor final de la integral. En el segundo caso, se aplica la regla de Simpson de 3/8 a los últimos tres segmentos y la regla de 1/3 se aplica a todos los segmentos previos.

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FIGURA 13.14 Diagrama de fluio de una versión de segmentos múltiples de la regla de Simpson.

Page 465: Metodos numericos para ingenieros

454 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

- 4 x h

+

6 ' 6 - 3

S S S I I I

.

Page 466: Metodos numericos para ingenieros

FORMULACION DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 455

13.2.5 Fórmulas cerradas de Newton-Cotes de orden superior

Como se dijo previamente, la regla trapezoidal y la regla de Simpson son miembros de una familia de ecuaciones de integración conocidas como fórmulas cerradas de integración de Newton-Cotes. En el cuadro 13.2 se encuentran resumidas algunas de estas fórmulas, junto con las estima- ciones de su error de truncamiento.

Nótese que, al igual en el caso de las reglas de Simpson de 1/3 y 3/8, las fórmulas de cinco y seis puntos tienen el mismo orden de error. Esta característica general se cumple para las fórmulas con m6s puntos y trae como consecuencia de que las fórmulas de segmentos pares punto impares (por ejemplo la regla de 1/3 y la regla de Boole) sean, en gene- ral, los métodos de preferencia.

Sin embargo, se debe tomar en cuenta que en la ingeniería prsctica, las fórmulas de orden superior (esto es, mayores de cuatro puntos) rara vez se usan. Las reglas de Simpson son suficientes en la mayor parte de las aplicaciones. Se puede mejorar la exactitud usando una versión de segmentos múltiples en vez de optar por las fórmulas de mds puhtos. Adem&, cuando la función se conoce y se requiere de exactitud muy alta, los métodos de integración de Romberg o cuadratura gaussiana, ana- lizados en el capítulo 14, ofrecen alternativas viables y atractivas.

13.3 INTEGRACIóN USANDO INTERVALOS DESIGUALES

Hasta el momento, las fórmulas de integración numérica se han basado en puntos igualmente espaciados. En la pr6ctica, existen muchos casos en donde esta suposición no se cumple y se debe tratar con diferentes tama- ños de segmentos. Por ejemplo, los datos derivados experimentalmente, a menudo, son de este tipo. En estos casos, un método es aplicar la regla trapezoidal a cada uno de los segmentos y sumar los resultados:

[13.22]

en donde hi es el ancho del segmento i . Nótese que este fue el mismo planteamiento usado en la regla trapezoidal de segmentos múltiples. La única diferencia entre las ecuaCiones (13.8) y (13.22) es que las h de la primera son constantes. Por consiguiente, la ecuación (13.8) se puede simplificar y llevar a la ecuación (13.9). Aunque esta simplificación no se puede aplicar a la ecuación (13.22), se puede desarrollar con facilidad un programa de computadora que acomode los segmentos de tamaño desigual. Antes de describir tal programa, se ilustra en el siguiente ejem- plo como se aplica la ecuación (13.22) en la evaluación de una integral.

Page 467: Metodos numericos para ingenieros

456 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

-

= 1.564 800 98

que representa un error relativo porcentual absoluto de E , = 4.6 %.

EJEMPLO 13.7 Regla trapezoidal con puntos que no están igualmente espaciados

Enunciado del problema: la información del cuadro 13.3 se generó usando el mismo polinomio empleado en el ejemplo 13. l . Utilícese la ecuación (13.22) para determinar la integral de estos datos. Recuérdese que la res- puesta correcta es 1.640 533 34.

Solución: aplicando la ecuación (13.22) a los datos del cuadro 13.3 se obtiene

1.309 729 28 + 0.2 + o,1o 1.305 241 28 + 1.309 729 28 I = 0.12 2 2

+ * . - + 0 . 1 0.232 + 2.363 2

= 0.090 583 76 + 0.130 748 53 + . . . + 0.129 75

CUADRO 13.3 Datos de f(x) 0.2 + 25x-200x2 + 675x3-900x4 + 400x5 con valores de x desigualmente espaciados

0.0 0.200 000 O0 0.44 2.842 894 96 0.12 1.309 729 28 0.54 3.507 296 96 0.22 1.305 241 28 0.64 3.181 928 96 0.32 1.743 393 28 0.70 2.363 O00 O0 0.36 2.074 903 04 0.80 0.232 O00 O0 0.40 2.456 O00 O0

Los datos del ejemplo 13.7 se muestran en la figura 13.15. Nótese que algunos segmentos adyacentes son de igual ancho y, por consiguiente, podrían haber sido evaluados usando reglas de Simpson. En general, esto lleva a resultados m6s exactos, como se ilustra en el ejemplo siguiente.

Programa de computadora para datos que no están igualmente es- paciados. Es muy simple programar la ecuación (13.22). Sin embargo, como se demuestra en el ejemplo 13.8, la aproximación se acrecenta si se im- plementan las reglas de Simpson hasta donde sea posible. Por esta ra- zón, se ha desarrollado un algoritmo que incorpora esta opción.

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FORMULACldN DE lNTEGRACl6N DE NEWTON-COTES 457

FIGURA 13.15 Uso de la regla trapezoidal para determinar la integral de datos espa- ciados irregularmente. Nótese cómo se pueden evaluar los segmentos sombreados con las reglas de Simpson para obtener mayor exactitud.

EJEMPLO 13.8 Inclusión de la regla de Simpson en la evaluación de datos impares

Enunciado del problema: calcúlese nuevamente la integral de los datos del cuadro 13.3, pero usando las reglas de Simpson en aquellos segmentos donde sean apropiadas.

Solución: el primer segmento se puede evaluar con la regla trapezoidal:

1.309 729 28 + 0.2 = o.o9o 583 76 I = 0.12 2

Debido a que los siguientes dos segmentos desde x = 0.22 a 0.36 son de igual longitud, su integral se pJede calcular usando la regla de Simp- son de 1/3.

1.743 393 28 + 4(1.305 241 28) + 1.309 729 28 6

1 = 0.2

= 0.275 802 92

Page 469: Metodos numericos para ingenieros

458 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Los siguientes tres segmentos son también iguales, y por lo tanto, se pue- den evaluar con la regla de 3/8 para dar I = 0.272 686 31. De manera similar, se puede aplicar la regla de 1/3 a los dos segmentos desde x = 0.44 a x = 0.64 para obtener I = 0.668 470 06. Finalmente, los últi- mos dos segmentos, que tienen longitud desigual, se pueden evaluar con la regla trapezoidal y obtener los resultados de O. 166 347 87 y O. 129 750 00, respectivamente. El área de estos segmentos individuales se puede sumar para obtener una integral total de 1.603 640 92. Esto representa un error de q, = 2.2%, que es superior al resultado obtenido con la regla trape- zoidal del ejemplo 13.7.

__- " "" . ""

Como se muestra en la figura 13.16, el diagrama de flujo verifica la longitud de intervalos adyacentes. Si dos segmentos consecutivos tienen igual longitud, entonces se aplica la regla de Simpson de 1/3. Si tres de ellos son iguales, entonces se aplica la de 3/8. Cuando los segmentos adyacentes son desiguales se implementa la regla trapezoidal.

Se sugiere al lector que implemente su propio programa a partir de este diagrama de flujo. Esto no sólo le permite la evaluación de segmen- tos desiguales, sino que si se usa también la información de segmentos iguales, reduce las reglas de Simpson. Como tal, representa un algorit- mo básico de propósitos generales, en la determinación de la integral de datos tabulares.

13.4 FóRMULAS DE INTEGRACIóN ABIERTA

Recuérdese de la figura 13.3b que las fórmulas de integración abierta tie- nen límites que se extienden más allá del rango de los datos. En el cuadro 13.4 se resumen las fórmulas de integración abierta de Newton- Cotes. Las fórmulas se expresan en la forma de la ecuación (13.5) de tal manera que resultan evidentes los factores de peso: Como con las ver- siones cerradas, los pares sucesivos de las fórmulas tienen el mismo or- den de error. Las fórmulas de segmentos pares-puntos impares son, en general, los métodos de preferencia ya que requieren algunos puntos me- nos para alcanzar la misma exactitud de las fórmulas de segmentos impares: puntos pares. Nótese que el método de bandas mostrado en la figura V.3 es, en realidad, una versión de segmentos múltiples del método de pun- to medio del cuadro 13.4.

Como se menciona previamente, las fórmulas abiertas rara vez se usan en la integración. Sin embargo, tienen aplicación directa con los métodos de paso múltiple en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias ana- lizadas en el capítulo 17.

Page 470: Metodos numericos para ingenieros

FIGURA 13.1 6 Diagrama de fluio para la integración con datos desigualmente espaciados.

459

Page 471: Metodos numericos para ingenieros

460 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

-CY

h

0 I

S

-4-

LD

Page 472: Metodos numericos para ingenieros

FORMULACldN DE INTEGRACldN DE NEWTON-COTES 46 1

PROBLEMAS

Cálculos a mano

13.1

13.2

13.3

13.4

13.5

13.6

13.7

13.8

13.9

Utilícense medios analíticos para evaluar

(a) I" (10 + 2x - 6x2 + 5x4) dx

(b) 15 (1 - x - 4x3 + 3x5) dx

(c) Jv (8 + 5 sen X) dx

Utilícese una aplicación simple de la regla trapezoidal y evalúense las integrales del problema 13.1.

O

-3

O

Evalúense las integrales del problema 13.1 con la regla trepezoidal de segmentos múltiples, con n = 2, 4 y 6.

Evalúense las integrales del problema 13.1 con una aplicación simple de la regla Simpson de 1/3.

Evalúense las integrales del problema 13.1 con una regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples, con n = 4 y 6.

Evalúense las integrales del problema 13.1 con una aplicación simple de la regla de Simpson de 3/8.

Evalúense las integrales del problema 13.1 usando la regla de Simpson de 3/8 con segmentos múltiples, con n = 5.

Intégrese la siguiente función analíticamente y usando la regla trepezoidal, con n = 1, 2, 3 y 4:

Calcúlese el error relativo porcentual y evalúese la exactitud de la aproximación trapezoidal.

Intégrese la siguiente función analíticamente y usando las reglas de Simpson, con n = 4 y 5 :

Estúdiense los resultados

13.10 Intégrese la siguiente función analítica y numéricamente. Úsese la regla trapezoi- dal y la regla de Simpson de 1/3 para integrar la función. En ambos casos, úsese

Page 473: Metodos numericos para ingenieros

462 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

la versión de segmentos múltiples, con n = 4:

Compárese el error relativo porcentual de los resultados numéricos.

13.11 Intégrese la siguiente función analítica y numéricamente. Utilícese la regla trape- zoidal y la regla de Simpson de 1/3 y 3/8 además de la regla de Boole (véase el cuadro 13.2).

lo* 15.32.5x dx

Calcúlese el error relativo porcentual de los resultados numéricos

13.12 Evalúese la integral

I,” (4 + 2 sen x) dx

a) Analíticamente. b) Mediante la aplicación simple de la regla trapezoidal. c) Mediante la aplicación múltiple de la regla trapezoidal (n = 5). dj Mediante la aplicación simple de la regla de Simpson de 1/3. e) Mediante la aplicación simple de la regla de Simbson de 3/8. f) Mediante la aplicación múltiple de las reglas de Simpson (n = 5).

En los casos b) a f ) , calcúlese el error relativo porcentual (c,) basado en a) .

13.13 Evalúese la integral de los siguientes datos tabulares mediante la regla trapezoidal:

X I O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

f ( x ) I l 7 4 3 5 9

13.14 Efectúense las mismas evaluaciones del problema 13.13 usando las reglas de Simpson.

13.15 Evalúese la integral de los siguientes datos tabulares usando la regla trapezoidal.

x 1 - 3 - 1 1 3 5 7 9 1 1 f(x) I 1 -4 -5 2 4 8 6 -3

13.16 Efectúese la misma evaluación del problema 13.15 usando las reglas de Simpson.

13.17 Determínese el valor medio de la función

!(x) = -46 + 4 5 . 4 ~ - 1 3 . 8 ~ ’ + 1 . 7 1 ~ ~ - 0 . 0 7 2 9 ~ ~

entre x = 2 y x = 10: a) Graficando la función y calculando visualmente el valor. bj Usando la ecuación (V.3) y la evaluación analítica de la integral. c j Usando la ecuación (V.3) y una versión de cuatro segmentos de la regla tra-

pezoidal en la estimación de la integral.

Page 474: Metodos numericos para ingenieros

FORMULAC16N DE INTEGRAC16N DE NEWTON-COTES 463

d) Usando la ecuación (V.3) y una versión de cuatro segmentos de la regla de Simpson de 1/3.

13.18 La función

!(X) = 10 - 3 8 . 6 ~ + 7 4 . 0 7 ~ ' - 4 0 . 1 ~ '

se usa en el cálculo de la siguiente tabla de datos que no están igualmente espa- ciados:

X I O 0.1 0.3 0.5 0.7 0.95 1.2 !(x) I 10 6.84 4 4.20 5.51 5.77 1

Evalúese la integral desde a = O y b = 1.2 usando a) Medios analíticos b) La regla trapezoidal c) Una combinación de las reglas de Simpson y la regla trapezoidal; utilícense

las reglas de Simpson en donde sea posible para obtener la m6s alta exactitud posible. En b) y c) calcúlese el error relativo porcentual (E,,)

13.19 Evalúese la siguiente integral doble:

a) Analíticamente b) Usando la regla trapezoidal con segmentos múltiples (n = 2). c) Usando una aplicación simple de la regla de Simpson de 1/3.

En b) y c) calcúlese el error relativo porcentual (e").

13.20 Evalúese la integral triple

I," I:l (x4 - 2Y4 dx dY dz

a) Analíticamente b) Usando una aplicación simple de la regla de Simpson de 1/3

En b) calcúlese el error relativo porcentual (E,,).

Problemas relacionados con la computadora 13.21 Desarróllese un programa para computadora que sea amable con el usuario de

la regla trepezoidal de segmento múltiple basado en la figura 13.9. Entre otras cosas, a) Agréguense declaraciones de documentación al programa. b) Hágase la entrada y la salida más descriptiva y orientada al usuario. c) Inclúyanse diagnósticos que alerten al usuario cuando se accesen datos que

d) (Opcional) Modifíquese el programa de tal manera que sea capaz de evaluar

Pruébese este programa repitiendo los cálculos del ejemplo 13.2.

no estén igualmente espaciados o en orden ascendente.

funciones predefinidas y en forma tabular.

Page 475: Metodos numericos para ingenieros

464 M h O D O S NUMÉRICOS PARA INGENIEROS "

13.22 Desarróllese un programa para computadora amable con el usuario para la ver- sión de la regla de Simpson de segmentos múltiples basado en la figura 13.14. Pruébese reproduciendo los cálculos de los ejemplos 13.5 y 13.6.

13.23 Desarróllese un programa para computadora que sea amable con el usuario para integrar datos desigualmente espaciados basados en la figura 13.16. Pruébese repitiendo los cálculos del ejemplo 13.7

13.24 Utilícese el programa TRAPEZOIDAL RULE del paquete de programas NUME- RICOMP (o el programa propio del problema 13.21) y repítase a) el problema 13.2, b) el problema 13.3, c) el problema 13.8, a ' ) el problema 13.10 y e) el pro- blema 13.13. Utilícese la opción de graficación para que le ayude a visualizar

el concepto de que 1 = f (x) dx es el área entre la curva f (x) y el eje. Prué-

bense varios tipos de pasos para cada uno de los problemas. S1

13.25 Desarróllense cinco funciones. Úsese el paquete de programas NUMERICOMP (o los programas propios) para calcular la integral de cada una de las funciones sobre algunos límites basados en los datos de entrada. Pruébense los tamaiios de paso h = (b - a)/ n para = n 1 , . . ,n = 10. Grafíquese I en función de n .

13.26 Utilícese el paquete de programas NUMERICOMP (o los programas propios) pa- ra calcular la integral de datos tabulares. Invéntense datos para x y f (x), Úsense valores negativos y cero para x y f (x). Obsérvese la función, graficándola; el lec- tor puede convencerse de que el paquete NUMERICOMP trabaja perfectamente.

Page 476: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O C A T O R C E INTEGRACIóN DE ROMBERG Y

CUADRATURA GAUSSIANA

En la introducción a la parte V se menciona que las funciones a integrar- se numéricamente tienen, en general, dos formas: una tabla de valores o una ecuación. La forma de los datos tiene una influencia importante en el esquema que se va a usar para evaluar la integral. Para el caso de información tabular, se está limitado al número de puntos datos. En con- traste, si se dispone de la función analíticamente, entonces se pueden ge- nerar tantos valores de f(x) como sean necesarios para alcanzar una exac- titud aceptable (recuérdese la Fig. V.4).

Este capítulo se dedica al estudio de dos métodos que están expresa- mente diseñados para analizar casos en que se conoce la función. Am- bos métodos aprovechan la facilidad de generar valores de la función en el desarrollo de esquemas eficientes de la integración numérica. El pri- mero de ellos se basa en la extrapolación de Richardson, método que combina dos aproximaciones de integración numérica en la obtención de un tercer valor que es más exacto. El algoritmo que implementa la extra- polación de Richardson en su forma más eficiente se llama integración de Romberg. Este método es recursivo y se usa para generar una aproxi- mación a la integral dentro de una tolerancia de error especificada.

El segundo método es el llamado cuadratura gaussiana. Recuérdese que en el último capítulo los valores de f(x) en las fórmulas de Newton Cotes se determinan en valores específicos de x. Por ejemplo, si se usa la regla trapezoidal para determinar una integral se está restringiendo a tomar el promedio pesado de f (x) en los intervalos de los extremos. Las fórmulas de cuadratura gaussiana emplean valores de x contenidos dentro de a y de b de tal forma que resulta una integral mucho más exacta.

14.1 INTEGRACIóN DE ROMBERG

En el capítulo 13 se presenta una versión de la regla trapezoidal con seg- mentos múltiples y las reglas de Simpson. Para una función analítica (opuesta a la forma tabular), las ecuaciones de error [Ec. (13.13) y (13.19)]

Page 477: Metodos numericos para ingenieros

466 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

indican que aumentando el número n de segmentos se genera una apro- ximación más exacta a la integral. Esta observación la comprueba la figu- ra 14.1, que es una gráfica del error real contra n para la integral de f(x) = 0.2 + 25x - 200x2 = 675x3 - 900x4 + 400x5. Nótese cómo el error decrece a medida que n crece. Sin embargo nótese también que para valores muy grandes de n , el error empieza a crecer ya que los erro- res de redondeo empiezan a dominar. También obsérvese que se necesi- ta un número muy grande de segmentos (y por lo tanto, esfuerzo de

FIGURA 14.1 Valor absoluto del error relativo porcentual verdadero contra el núme- ro de segmentos en la determinación de la integral {(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + 400x5, evaluada de a = O a b = 0.8 usan- do la regla trapezoidal de segmentos múltiples y la regla de Simpson de 1/3 de segmentos múltiples. Nótese que ambos resultados indican que para un número considerable de segmentos, los errores de redondeo li- mitan la precisión.

Page 478: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 467

cálculo) para alcanzar niveles altos de exactitud. Como una consecuen- cia de estos inconvenientes, la regla trapezoidal de segmentos múltiples y las reglas de Simpson algunas veces son inadecuadas en problemas donde se necesita gran eficiencia y pocos errores.

La integración de Romberg es un método diseñado para evitar estos inconvenientes. Es muy similar a los métodos analizados en el capítulo 13, en el sentido de que está'basado en la aplicación sucesiva de la regla trapezoidal. Sin embargo, mediante manipulaciones matemáticas, se ob- tienen mejores resultados con menos esfuerzo.

14.1.1 Extrapolación de Richardson

Recuérdese que en la sección 7.4.4 se usan ecuaciones de error para me- jorar la solución de un conjunto de ecuaciones lineales. En el mismo sen- tido, existen métodos que corrigen errores y mejoran los resultados de la integración numérica en base a la estimación de la integral misma. Co- nocidos generalmente como extrapolación de Richardson, estos métodos usan dos cálculos de la integral para efectuar un tercer cálculo más exacto.

El cálculo y el error asociado con la regla trapezoidal de segmentos múltiples se representa generalmente como:

I = I(h) + € ( h )

en donde I es el valor exacto de la integral, I(h) es la aproximación de la integral usando la regla trapezoidal con n segmentos y con tamaño de paso h = (b - a) /n y E(h) es el error de truncamiento. Si se obtienen dos aproximaciones por separado usando tamaños de paso h l y hz y se tiene el valor exacto del error, entonces

Ahora recuérdese que el error de la regla trapezoidal de segmentos múl- tiples se representa por la ecuación (13.13) [con n = (b - a ) / h ] :

[14.2]

Si se supone que f ' ' es una constante que depende del tamaño del paso, entonces la ecuación (14.2) se usa en la determinación del promedio de los dos errores, que es:

[14.3]

Este cálculo tiene el importante efecto de quitar el término f ' ' de los cál- culos. AI hacerlo, se ha hecho posible utilizar la información relacionada

Page 479: Metodos numericos para ingenieros

c

468 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

c

con la ecuación (14.2) sin conocimiento previo de la segunda derivada de la función. Para hacerlo, se reordena la ecuación (14.3) para obtener:

la cual se puede sustituir en la ecuación (14.1):

la cual, puede resolverse

Por lo tanto, se ha desarrollado una expresión que calcula el error de trun- camiento en teiminos del valor de la integral y el tamaño de paso. Esta estimación se sustituye en

I = I(h2) + E(h2)

obteniendo una estimación mejorada de la integral:

r 1 1

[14.4]

Se demuestra (Ralston y Rabinowitz, 1978) que el error de esta esti- mación es O(h4). Por lo tanto, se han combinado dos estimaciones de la regla trapezoidal de O(h2) en la obtención de una nueva estimación de O(h4). En el caso especial en que el intervalo se divide en dos partes (h2 = h l / 2 ) , la ecuación se transforma a:

o, reordenando términos,

[14.5]

EJEMPLO 14.1 Correction de errores en la regla trapezoidal

Er,unciado del problema: en el capítulo anterior (ejemplo 13.1 y el ma- dro 13.1) la aplicación de la regla trapezoidal de segmentos múltiples lie-

Page 480: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 469

va a los siguientes resultados:

-~ ~ ~~~ ~ ~~~~ ~

Segmentos h Integral ev,%

1 0.8 0.172 8 89.5 2 0.4 1.068 8 34.9 4 0.2 1.484 8 9.5

Utilícese esta información junto con la ecuación (14.5) para calcular me- jores estimaciones de la integral.

Solución: los cálculos con uno y dos segmentos se combinan y se obtiene

4 1 3 3

I = - (1.068 8) - - (O. 172 8) = 1.367 466 67

El error en la integral mejorada es

E, = 1.640 533 34 - 1.367 466 67 = 0.273 066 67 E, = 16.6%

que es superior a la aproximación en que se basó.

binan y se obtiene De la misma manera, los cákulos de dos y cuatro segmentos se com

4 1 3 3

I = "1.484 8) - -(1.068 8) = 1.623 466 67

que representa un error de

E, = 1.640 533 34 - 1.623 466 67 = 0.017 066 67 E, = 1.0%

La ecuación 14.4 proporciona una forma de combinar dos aplicacio- nes de la regla trapezoidal con error O(h2) y calcular una estimación de O(b4). Este planteamiento es un subconjunto de un método más general que combina integrales para obtener mejores estimaciones. Por ejemplo, en el ejemplo 14.1, se calcularon dos integrales mejoradas de O(h4) en base a tres estimaciones de reglas trapezoidales. Estas dos estimaciones mejoradas, pueden a la vez, combinarse para obtener todavía una mejor estimación de O(h6). Para el caso especial en que las estimaciones me- diante regla trapezoidal original se basen en divisiones sucesivas a la mi- tad del intervalo, la ecuación usada con O(h6) de exactitud es:

16 1 15 15

I = "I, - "4 [14.6]

Page 481: Metodos numericos para ingenieros

470 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

en donde I, y I, son las estimaciones más y menos exactas, respectiva- mente. De manera similar, dos resultados de O(h6) se combinan para calcular una integral que es O(h8) usando

64 1 I = -I, - -1, 63 63 [ 14.71

EJEMPLO 14.2 Corrección del error de órdenes mayores de dos en la estimación de integrales

Enunciado del problema: en el ejemplo 14.1 se usa la extrapolación de Richardson para calcular dos estimaciones de la integral de O(h4) . Utilí- cense la ecuación (14.6) y combínense estas estimaciones para calcular una integral con O(h6).

Solución: las dos aproximaciones de O(h4) obtenidas en el ejemplo 14.1 fueron 1.367 466 67 y 1.623 466 67. Estos valores se sustituyen en la ecuación (14.6) y se obtiene

la cual es la respuesta correcta a nueve cifras significativas que son las obtenidas en este ejemplo.

14.1.2 Algoritmo de la integración de Romberg

Nótese que los coeficientes en cada una de las ecuaciones de extrapolación [Ec. (14.5), (14.6) y (14.7)] suman 1. Por lo tanto, representan factores de peso que, a medida que la exactitud aumenta, coloca progresivamen- te pesos mayores en la estimación de la integral. Estos planteamientos pueden expresarse en una forma general, que se adapta muy bien a las implementaciones mediante computadora:

[14.8]

Page 482: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 471

en donde [,+I,+" y lj,k-l son las integrales más y menos exactas, respec- tivamente, 1j.k es la integral mejorada. El índice k indica el nivel de inte- gración, k = 1 corresponde a la estimación de la regla trapezoidal original, k = 2 corresponde a O(h4) , k = 3 a O(h6), etcétera. El índice j se usa para distinguir entre las estimaciones mejores (j + 1) y menores (j). Por ejemplo, si k = 2 y j = 1 , entonces la ecuación (14.8) se transforma en

la cual es equivalente a la ecuación (14.5). La forma general representada mediante la ecuación (14.8) se le atri-

buye a Romberg, y a la aplicación sistemática en la evaluación de inte- grales se le conoce como integración de Romberg. La figura 14.2 muestra un esquema gráfico de la secuencia de estimaciones generadas usando este método. Cada una de las matrices corresponde a una iteración. La primera columna contiene las evaluaciones de la regla trapezoidal que se denotan por J,l, en donde j = 1 es la aplicación sobre un solo segmento (el tamaño del paso es b - a) ; j = 2 es la aplicación sobre los segmentos [tamaño del paso (b - a)/4]; etcétera. Las otras columnas de la matriz se generan sistem6ticamente aplicando la ecuación (14.8) para obtener sucesivamente mejores estimaciones para la integral.

Por ejemplo, la primera interación (Fig. 14.2a) implica calcular la re- gla trapezoidal de uno y dos segmentos (11,1 y 12,1). En seguida se usa la ecuación (14.8) para calcular el elemento 11,2 = 1.367 466 67, que tie- ne un error de O(h4) .

FIGURA 14.2 Esquema gráfico de la secuencia de aproximaciones a la integral gene- radas usando la integración de Romberg.

Page 483: Metodos numericos para ingenieros

472 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Ahora, se debe verificar que este resultado sea adecuado a las nece- sidades. Como se hizo con los otros métodos de aproximación de este libro, se requiere un criterio de terminación o de paro para valorar la exac- titud de los resultados. Un método que se puede emplear para los propó- sitos actuales es (Ec. (3.5)]

[14.9]

en donde E, es una estimación del error relativo porcentual. Por lo tan- to, de la manera como se hizo anteriormente en los otros procesos iterati- VOS, se compara la nueva estimación con el valor anterior. Cuando el cambio entre los valores anterior y actual representados mediante E*, es- tá bajo un criterio de error preespecificado E,, los cálculos se terminan. En la figura 1 4 . 2 ~ esta evaluación indica un cambio del 87.4% de cam- bio sobre el curso de la primera interación.

El objeto de la segunda iteración (Fig. 14.2b) es el de obtener la esti- mación O(h6): 11,s. Para hacerlo, se determina una nueva estimación tra- pezoidal, 13.1 = 1.484 8. En seguida ésta se combina con 12,1 usando la ecuación (14.8) para obtener 12,* = 1.623 466 67. Este resultado, a la vez, se combina con 11,2 para obtener 11,3 = 1.640 533 34. La ecuación (14.9) se aplica para determinar que este resultado representa un cambio del 16.6% cuando se compara con el anterior 11,2.

La tercera iteración (Fig. 14.2%) continúa el proceso de la misma ma- nera. En este caso, se agrega una estimación trapezoidal a la primera co- lumna y luego se aplica la fórmula (14.8) al cálculo sucesivo de integrales más exactas bajo la diagonal inferior. Después de tres iteraciones, se sabe que el resultado, 11,5 = 1.640 533 34, es exacto al menos hasta nueva cifras significativas.

La integración de Romberg es más eficiente que la regla trapezoidal y que las reglas de Simpson analizadas en el capítulo 13. Por ejemplo. en la determinación de la integral mostrada en la figura 14.1, la regla de Simpson de 1/3 requeriría una aplicación de 256 segmentos para encontrar un valor de 1.640 533 32. No serían posibles mejores aproximaciones debido al error de redondeo. En contraste, la integración de Romberg ob- tiene un resultado exacto (hasta nueve cifras significativas) basado en la combinación de la regla trapezoidal de dos, cuatro y ocho segmentos.

En la figura 14.3 se muestra un diagrama de flujo de la integración de Romberg. Usando ciclos, el algoritmo implementa el método de ma- nera eficiente. Recuérdese que la integración de Romberg está diseñada para casos en que la función por integrar se conoce. Esto se debe a que el conocimiento de la función permite las evaluaciones necesarias para las implementaciones iniciales de la regla trapezoidal. Los datos en forma tabular rara vez se encuentran en forma necesaria para llevar a cabo eva- luaciones sucesivas.

Page 484: Metodos numericos para ingenieros

NU R de

ciór

A 14.3 fluio de

7 de Ron

Di la

1 be

agra- inte-

r g .

473

Page 485: Metodos numericos para ingenieros

474 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

14.2 CUADRATURA GAUSSIANA

En el capítulo 13 se analiza un conjunto de fórmulas de integración nu- mérica o de cuadratura conocidas como las ecuaciones de Newton-Cotes. Una característica de estas fórmulas (con la excepción del caso especial de la sección 13.3) es que la estimación de la integral se basa en puntos igualmente espaciados. Por consiguiente, la posición de los puntos base usados en estas ecuaciones estaba predeterminado o fijo.

Por ejemplo, como se puede ver en la figura 14.4~1, la base de la re- gla trapezoidal es tomar el área bajo la línea recta que une los valores de la función evaluada en los extremos del intervalo. La fórmula usada para calcular esta área es

1 (b - U ) f (a> + f tb)

2 [14.10]

FIGURA 14.4 a) Esquema gráfico de la regla trapezoidal dada por el área baio la línea recta que une los puntos extremos. b) Se obtiene una aproximación meiorada a la integral tomando el área baio la línea recta que pasa a través de dos puntos intermedios. Colocando adecuadamente estos puntos, los errores, positivo y negativo se equilibran y resulta una aproximación a la integral meiorada.

Page 486: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 475

en donde a y b son los límites de integración y b - a es el ancho del inter- valo de integración. Debido a que la regla trapezoidal debe pasar a través de los puntos límites, existen casos como el de la figura 14.4a en donde la fórmula genera un error muy grande.

Ahora, supóngase que la restricción de fijar los puntos base se elimi- na y se va a evaluar libremente el área bajo la línea recta que une dos puntos cualesquiera de la curva. Colocando estos puntos de manera in- teligente, se puede definir una línea recta que balancee los errores nega- tivos y positivos. De ahí que, como en la figura 14.4b, se llegara a un valor más exacto de la integral.

La cuadratura gaussiana es el nombre de uno de estos métodos que implementa esta estrategia. Las fórmulas particulares de cuadratura gaus- siana descritas en esta sección se llaman fórmulas de Gauss-Legendre. Antes de describir el método, se demuestra cómo las fórmulas de inte- gración numérica tales como la regla trapezoidal se derivan usando el mé- todo de coeficientes indeterminados. Este método se emplea en el desarrollo de las fórmulas de Gauss-Legendre.

14.2.1 Método de coeficientes indeterminados

En el capítulo 13 se deriva la regla trapezoidal integrando un polinomio lineal mediante un razonamiento geométrico. El método de coeficientes indeterminados ofrece una tercera alternativa que tiene también utilidad en la derivación de otros métodos tales como la cuadratura gaussiana.

Para ilustrar el método, la ecuación (14.10) se expresa como

en donde las c son constantes. Ahora, considerando que la regla trape- zoidal debe llevar a resultados exactos cuando la función a integrarse sea una constante o una línea recta. Dos ecuaciones simples que representan este caso son y = 1 y y = x. Ambas se ilustran en la figura 14.5. Por lo tanto, se deben cumplir las siguientes igualdades:

Y

o, evaluando las integrales: .

Page 487: Metodos numericos para ingenieros

476 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 14.5 Dos integrales que la regla trapezoidal evaluará exactamente: a) una constante y b) una línea recta.

Estas son dos ecuaciones con dos incógnitas que pueden resolverse por

c1 = c2 = - b - a 2

las cuales, cuando se sustituyen de nuevo en la ecuación ( 1 4 . 1 1 ) dan

la cual es equivalente a la regla trapezoidal.

Page 488: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 477

14.2.2 Derivación de la fórmula de Gauss-Legendre basada en dos puntos

Como en el caso de la derivación anterior de la regla trapezoidal, la cua- dratura gaussiana determina los coeficientes de una ecuación de la forma

en donde las c son los coeficientes incógnitas. Sin embargo, en contraste a la regla trapezoidal que usa puntos extremos a y b, los argumentos de la función x1 y x2 ahora no están fijos a los puntos extremos, sino que son incógnitas (Fig. 14.6). Por lo tanto, ahora se tiene un total de cuatro in- cógnitas que se deben evaluar, y por consiguiente, se requieren de cua- tro condiciones para determinarlos exactamente.

Al igual que con la regla trapezoidal, se pueden obtener dos de estas condiciones suponiendo que la ecuación (14.12) ajusta exactamente la integral de una corstante y de una función lineal. Entonces, para llegar a las otras dos condiciones, se extiende este razonamiento al suponer que también se ajusta la integral a una función parabólica (y = x2) y a una función cúbica (y = x3). Haciendo esto, se determinan las cuatro incóg- nitas conviniendo en derivar una fórmula de integración de doble punto que sea exacta para cúbicas. Las cuatro ecuaciones por resolver son

Clf(X1) + C2f(X2) = 1 dx = 2 [14.13]

[14.14]

[14.15]

[14.16]

Las ecuaciones (14.13) hasta la (14.16) se resuelven simultáneamente,

c1 = c2 = 1

x l = - = -0.577 350 269. . . - 1 d3

x 2 = " - 0.577 350 269. . . d3

Page 489: Metodos numericos para ingenieros

478 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 14.6 Esquema gráfico de las variables incógnitas -x1 y x2- para integración usando cuadratura gaussiana.

las cuatro se pueden sustituir en la ecuación (14.12) y obtener la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos

[14.17]

Por lo tanto, se llega al resultado interesante de que la suma simple de los valores de la función en x = 1/& y - l/& lleva a una estimación de la integral con una exactitud de tercer orden.

Nótese que los límites de integración de las ecuaciones (14.13) a la (14.16) van desde - 1 a 1. Esto se hizo para simplificar la aritmética y hacer la formulación tan general como sea posible. Un simple cambio de la variable se puede usar para trasladar otros límites de integración en es- ta forma. Esto se lleva a cabo suponiendo que la nueva variable xd está dada en función de la variable original x en una forma lineal como en:

x = a. + alxd [14.18]

si el limite inferior, x = a, corresponde a x d = - 1, estos valores S e

sustituyen en la ecuación (14.18) y se obtiene:

a = a0 + al(- l ) [14.19]

De manera similar el límite superior, x = b , corresponde a xd = 1, y obtener

b = a0 + al(1) [14.20]

Page 490: Metodos numericos para ingenieros

I N T E G R A C I ~ N DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSlANA 479

Las ecuaciones (14.19) y la (14.20) se resuelven simultáneamente, ge- nerando:

b + a a0 = - 2

b - a at = -

2

Y

que se sustituye en la ecuación (14.18) para obtener:

(b + a) + (b - a)xd 2 X =

Esta ecuación se diferencia dando:

& = - b - a 2 dx;

[14.21]

[14.22]

[14.23]

[14.24]

Las ecuaciones (14.23) y (14.24) se pueden sustituir para x y dx, respec- tivamente, en la ecuación por integrar. Estas sustituciones transforman efectivamente el intervalo de integración sin cambiar los valores de la in- tegral. El ejemplo siguiente ilustra cómo se hace esto en la práctica.

EJEMPLO 14.3 Fórmulas de Gauss-Legendre de dos puntos

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (14.14) para evaluar la in- tegral

!(x) = 0.2 + 25x - 200x2 + 675x3 - 900x4 + @Ox5

entre los límites x = O y x = 0.8. Recuérdese que éste fue el mismo pro- blema resuelto en el capítulo 13 usando una variedad de formulaciones de Newton-Cotes. El valor exacto de la integral es 1.640 533 34.

Solución: antes de integrar la función, se debe realizar un cambio de va- riable de tal forma que los límites sean desde - l hasta l. Para hacerlo, se sustituye a = O y b = 0.8 en la ecuación (14.23) y se obtiene

X = 0.4 + 0.4xd

al calcular su derivada se tiene [Ec. (14.24)]

I & = 0.4 dxd

Page 491: Metodos numericos para ingenieros

480 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Estos dos valores se sustituyen en la ecuación original para obtener

(0.2 + 2 5 ~ - 2 0 0 ~ ~ + 6 7 5 ~ ~ - 9 0 0 ~ ~ + 4 0 0 ~ ~ ) dx

- {[0.2 + 25(0.4 + 0.4~d) - 200(0.4 + 0.4xd)' - !:I

+ 675(0.4 + O.4xJ3 - gOO(0.4 + O.4xJ4

Por lo tanto, el lado derecho está en la forma que es adaptable para la evaluación mediante la cuadratura gaussiana. La función transformada se puede evaluar en - l/& siendo igual a 0.516 740 55 y en 1 4 sien- do igual a 1.305 837 23. Por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (14.171, la integral es:

1 = 0.516 740 55 + 1.305 837 23 = 1.822 577 78

que representa un error' relativo porcentual del - 11.1 % . Este resultado es comparable en magnitud a la aplicación de la regla trapezoidal de cua- tro segmentos (cuadro 13.1) o a una aplicación de la regla de Simpson de 1/3 y la de 3/8 (ejemplos 13.4 y 13.6). Este último resultado ya se esperaba porque las reglas de Simpson tienen también exactitud de ter- cer orden. Sin embargo, debido a la forma hábil de escoger los puntos, la cuadratura gaussiana obtiene esta exactitud en base a sólo dos evalua- ciones de la función.

14.2.3 Fórmulas de más de dos puntos

Además de la fórmula de dos puntos, analizada en la sección previa, se pueden desarrollar también versiones de más de dos puntos, las cuales se presentan en la forma general:

En el cuadro 14.1 se resumen los valores de las c y de las x de las fórmu- las de hasta seis puntos, incluyendo a éstas.

EJEMPLO 14.4 Fórmula de Gauss-Legendre de tres puntos

Enunciado del problema: utilícese la fórmula de tres puntos del cuadro 14.1 para calcular la integral de la misma función del ejemplo 14.3.

Page 492: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 48 1

CUADRO 14.1 Factores de peso c y argumentos x de la funci6n usados en las f6rmulas de Gauss-legendre

Factores Puntos de peso

Argumentos de la funelen

Error de trunca- miento

2 c1 = 1.000 O00 O00 x1 = -0.577 350 269 = f(41([)

3 c1 =0.555 555 556 x1 = -0.774 596 669 = f(6)([)

c:, = 1 .O00 O00 O00 X:, = 0.577 350 269

c:, = 0.888 888 889 x2 = 0.0 ~3 = 0.555 555 556 x3 = 0.774 596 669

4 c1 = 0.347 854 845 X] = -0.861 136 312 = f(*)([) c:, = 0.652 145 155 X:, = -0.339 981 044 ~3 = 0.652 145 155 x3 = 0.339 981 044 ~4 = 0.347 854 845 x4 0.861 136 312

5 ~1 = 0.236 926 885 x1 = -0.906 179 846 = f(”](t) C? = 0.478 628 670 X:, = -0.538 469 310 ~3 = 0.568 888 889 x3 = 0.0 ~4 = 0.478 628 670 x4 = 0.538 469 310 ~5 = 0.236 926 885 x5 = 0.906 179 846

6 ~1 = 0.171 324 492 X, = -0.932 469 514 = Cl2’([) c:, = 0.360 761 573 X:, = -0.661 209 386 ~3 = 0.467 913 935 x3 = -0.238 619 186 ~4 = 0.467 913 935 x4 = 0.238 619 186 ~5 = 0.360 761 573 x5 = 0.661 209 386 c6 = 0.171 324 492 X6 = 0.932 469 514

Solución: de acuerdo al cuadro 14.1, la fórmula de tres puntos es

1 = 0.555 555 556 f(”0.774 596 669) + 0.888 888 889 f(0) + 0.555 555 556 f(0.774 596 669)

1 1 = 0.281 301 290 + 0.873 244 444 + 0.485 987 599 = 1.640 533 34

la cual es exacta.

Debido a que la cuadratura gaussiana requiere de evaluaciones de la función en puntos que no están uniformemente espaciados dentro del intervalo de integración, no es aplicable a los casos en que la función se desconoce. Por lo tanto, no se adapta a muchos problemas de la inge-

Page 493: Metodos numericos para ingenieros

482 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

niería en donde se manejan datos tabulares. Sin embargo, en donde se conoce la función, su eficiencia tiene grandes ventajas. Esto es particular- mente cierto cuando se deben realizar numerosas evaluaciones funcionales.

14.2.4 Programa para la computadora de la cuadratura gaussiana

En la figura 14.7 se muestran programas en FORTRAN y BASIC sobre el método de cuadratura gaussiana. Nótese que los programas están di- señados de tal manera que se aprovecha la simetría de los factores de peso y los argumentos de la función en el cuadro 14.1.

Los programas mostrados en la figura 14.7 están listos para resolver las mismas ecuaciones analizadas en los ejemplos 14.3 y 14.4. Se calcu- lan aproximaciones hasta e incluyendo la fórmula de seis puntos. Por lo tanto, si se desea aplicar estos programas a otro caso, se debe cambiar la función que especifica la ecuación a integrarse. Haciendo esto, el pro- grama se puede emplear en el análisis de una gran variedad de proble- mas de ingeniería.

EJEMPLO 14.5 Aplicación de la cuadratura gaussiana al problema del paracaidista

Enunciado del problema: en el ejemplo 13.3 se usa la regla trapezoidal de segmentos múltiples para evaluar

d = - b [ l - gm 10

C

en donde g = 980, c = 12 500 y m = 68 100. El valor exacto de la integral se determina mediante el cálculo y fue de 28 943.514 7. Recuér- dese que la mejor estimación, calculada usando la regla trapezoidal con 5 O00 segmentos fue de 28 943.517 7 con un I c v l = 4 x lo-%%. Re- pítase este cálculo usando el programa de la figura 14.7 sobre la cuadra- tura gaussiana.

Solución: después de modificar la función, se obtienen los siguientes re- sultados:

estimación con dos puntos = 29 001.447 8 estimación con tres puntos = 28 943.929 7

estimación con cuatro puntos = 28 943.516 2 estimación con cinco puntos = 28 943.514 7

estimación con seis puntos = 28 943.514 7

Por lo tanto, las estimaciones con cinco y seis puntos obtienen resultados exactos hasta nueve cifras significativas.

Page 494: Metodos numericos para ingenieros

INTEGRACldN DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 483

FORTRAN

D I M E N S I O N C(ll>,XQ<ll>,J0<5>,Jl~5> FCIXDI=AU+A l * : (D F( Xj=O.2+25*:(-%UO*X**2+675*%**3

DATA C/l.,.888888,.555555,.652145, C-900*X**4+400*X**5

C.347855,.568889,.478629,.236927, C.467914,.360762,.171324/

[ )ATA X Q / . 5 7 7 3 5 0 , O . , ,774597, , 3 3 9 9 8 1 , c.a61136,0.,.~38469,.90618~,.238~~9, C 6 6 1 2 0 9 , , 9 3 2 4 7 0 , '

D A T I J 0 / 1 , 3 , 4 , 7 . 9 / DATA J1 /1 ,3 ,5 ,8 ,11c

1 FORMIT( ' 0 ' , 5 X , 'CUIDRAIURA GAUSSIANA' W R I T E ( 6 , l >

4 FORMFIT< 2 F 1 0 , O > READ<5,4 ) I , B

A O=( B+I )/2

DO 4 1 0 1 - 1 , s

JA= J O C I ) J B = J l ( I ) FIp( 1/2>-1/2 I F ( F X . N E . 0 . ) COTO 3 5 0 K=( 1 - 1 >*2 SM=SM+C( K )*F( FCC XQ< K ) > >

A 1 =( 8 - A >/2

sn=o.

350 DO 3 8 0 J = J A , J B SM=SM*C< J >*F( -FCC XQ< J > j > SM=SM+C( J )*FI FC< XQ( J > j >

380 CONTINUE s n = s r m 1

BASIC

UIM XQ(ll),C(lIi,J0(5),Jl(5)

L>EF F N C ( X D ) = A0 + A l * XD- (Funcidn que implementa

LIEF- FN F ( X ) = .2 + 25 % X +- (Funci6n que especifica 200 * x A 2 + a75 * x 1 3 - la ecuaci6n a '300 a X A 4 + 400 *: X A 5 integrarse) PRINT : PRINT " CUADRATLIRA

F U R I = 1 TO 1 1 FcCAU C i I i NEXT I FOR I i 1 TO 11 READ XI2 t. I ) NEXT I los argumentos de la FOR I = 1 TO 5 READ JO(. I ) NEXT I FOR I = 1 TO 5 READ 541 ( I ) NEXT I

el cambio de variable)

GALISSIANA": PRINT

Cl l l = vector que contlene los factores de peso (Cuadro 14.11

X(Il = vector que contlene

funci6n (Cuadro 14.1)

2 d 1 INF'IJT " L I M I T E 5 DE INTEGRACIO N i A . B ) = " : A , B

270 A0 = ( H - A ) / 2 1:3O A l = I B - A) / 2 290 P R l N T .::cid FUR I = 1 TO 5 310 5M = O 321) I F INT ( ,I / 2) - I / 2 < i

_ .

O THEN ,350

FIGURA 14.7 Programas para la computadora en FORTRAN y BASIC que implementan la cuadratura gaussiana usando fórmulas de Gauss-Legendre.

Page 495: Metodos numericos para ingenieros

484 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

14.2.5 Análisis de error en la cuadratura gaussiana

El error en las fórmulas de Gauss-Legendre se especifica generalmente mediante (Carnahan et al., 1969):

[14.26]

en donde n es el número de puntos menos uno y f " " + * J ( ~ ) es la (2n + 2)-ésima derivada de la función después del cambio de variable y 4 se localiza en algún lugar dentro del intervalo de - 1 a 1. La comparación de la ecuación (14.26) con el cuadro 13.2 indica la superioridad de la cuadratura guassiana sobre las fórmulas de Newton-Cotes, dado que las derivadas de orden superior no crecen sustancialmente a medida que crece n. En el problema 14.8, al final de este capítulo se ilustra un caso en don- de las fórmulas de Gauss-Legendre trabajan deficientemente. En estos casos, será preferible la regla de Simpson de segmentos múltiples o la in- tegración de Romberg. Sin embargo, la cuadratura de Gauss proporcio- na un medio eficiente para evaluar las integrales en muchas funciones usadas en ingeniería.

PROBLEMAS

Cálculos a mano

14.1 Utilícese la integración de Romberg para evaluar

[sen (5x + l)] dx

con una exactitud de E, = 0.5%. Los resultados se deben presentar en la for- ma dada en la figura 14.1. Calcúlese la solución analítica y úsese para determi- nar el error real E, del resultado obtenido con la integracion de Romberg. Verifíquese que E , sea menor que el criterio de paro E,.

14.2 Efectúense los mismos cálculos del problema 14.1 con la integral

xeZx dx

14.3 Utilicese la integración de Romberg para evaluax

dx

con una exactitud del O . 1 % . Los resultados se deben presentar en la forma dada en la figura 14.2.

Page 496: Metodos numericos para ingenieros

lNTEGRACl6N DE ROMBERG Y CUADRATURA GAUSSIANA 485

14.4

14.5

14.6

14.7

14.8

ObtQngase una estimación de la integral del problema 14.1 usando fórmulas de Gauss-Legendre de dos, tres y cuatro puntos. Calcúlese E, para cada caso en base a la solución analítica.

Obténgase una estimación de la integral del problema 14.2, usando fórmulas de Gauss-Legendre de dos, tres y cuatro puntos. Calcúlese para cada caso con ba- se a la solución analítica.

Usando fórmulas de Gauss-Legendre desde dos hasta cinco puntos, obténgase una aproximación de la integral del problema 14.3.

Usando integración de Romberg (E, = O.Ol%), repítanse los cálculos de los ejemplos 13.3 y 14.5 para el problema del paracaidista.

Utilícense métodos analíticos (recuérdese el cuadro V. 1) y las fórmulas de Gauss- Legendre de dos a seis puntos para resolver

14.9 Desarróllese un programa legible al usuario sobre la integración de Romberg ba- sado en la figura 14.3. Pruébese repitiendo los cálculos mostrados en la figura 14.2.

14.10 Desarróllese un programa legible al usuario sobre la cuadratura gaussiana basa- do en la figura 14.7. Pruébese repitiendo los cálculos de los ejemplos 14.3 y 14.4.

14.11 Utilícese el programa desarrollado en el problema 14.9 para resolver los proble- mas 14.1 y 14.2 y 14.3.

14.12 Utilícese el programa desarrollado en el problema 14.10 para resolver 10s pro- blemas 14.4, 14.5 y 14.6.

" . ..

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C A P í T U L O Q U I N C E CASOS DE LA PARTE V:

INTEGRACI~N

El propósito de este capítulo es el de aplicar los métodos de integración numérica analizados en la parte V, a problemas prácticos de ingeniería. Frecuentemente se encuentran dos situaciones; la primera de ellas es cuan- do la función en estudio se puede expresar de forma analítica pero es de- masiado complicada para integrarse usando los métodos del cálculo. La integración numérica se aplica a casos de este tipo usando la expresión analítica para generar una tabla de argumentos y valores de la función. En el segundo caso, la función a integrarse es, por naturaleza, de forma tabular. Este tipo de funciones, en general, representan una serie de medidas, observaciones o alguna otra información empírica. Los datos en cualquier caso son compatibles directamente con varios esquemas de integración numérica analizada en los capítulos 13 y 14.

El caso 15.1, que analiza los flujos de efectivos en una compañía de computadoras, es un ejemplo de la integración en su forma tabular. Se usa la regla trapezoidal y la regla de Simpson de 1/3 para determinar el flujo de efectivos. El caso 15.2, que trata de cálculos de calor de la inge- niería química, comprende datos analíticos. En este caso de estudio, se integra numéricamente una función analítica para determinar el calor ne- cesario que eleve la temperatura de un material.

Los casos 15.3 y 15.4 se relacionan con funciones dadas en forma analítica. El caso 15.3, tomado de la ingeniería civil, usa la integración numérica para determinar la fuerza del viento total que actúa sobre el mástil de un velero de carreras. El caso 15.4 determina la raíz de la corriente media al cuadrado (RMS) de un circuito eléctrico. Este ejemplo se usa en la demostración de la utilidad de la integración de Romberg y la cua- dratura gaussiana.

Finalmente, el caso 15.5 regresa al análisis de la información tabular para determinar el trabajo necesario para mover un bloque. Aunque este ejemplo tiene conexión directa con la ingeniería mecánica, tiene aplica- ción en todas las otras áreas de la ingeniería. Entre otras cosas, este caso ilustra la integración de datos desigualmente espaciados.

Page 499: Metodos numericos para ingenieros

488 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CASO 15.1 ANALISIS DE MOVIMIENTO DE EFECTIVOS (INGENIERíA EN GENERAL)

Antecedentes: el análisis de movimiento de efectivos es una parte impor- tante dentro de cualquier proyecto de ingeniería o de cualquier proyecto de negocios. El efectivo disponible puede afectar muchos aspectos del pro- blema, por ejemplo, la localización de recursos (véase el caso 9. I ) . La posición de un ingeniero en la Compañía de Computadoras Micro-1 es la de calcular el efectivo total generado de una venta de computadoras en los primeros 60 días que siguen a la introducción de una computado- ra al mercado (véase el cuadro 15.1 sobre los datos de venta de compu- tadoras).

Su problema es complicado ya que el costo de la computadora es muy sensitivo a la demanda abastecimiento o a la disponibilidad. Los equipos de ventas e investigación de mercados han obtenido la información de que el precio de venta base considerando una demanda óptima es de $1 250 por computadora. A medida que la demanda disminuye, el precio aumenta a un máximo de $3 O00 por computadora. Más aún, la variación continua del costo con un suministro N se define por la ecuación derivada empíri- camente:

Costo por computadora ($) = 3 O00 - 1 750 N

10 O00 + N [ 15.13

que se grafica en la figura 15.1.

CUADRO 15.1 Datos de venta de computadoras y de fluio de efectivos. La columna c) se calcula usando derivación num6rica de la información en la columna b). El primero y último valor de la columna e) se determinan usando diferen- cias hacia adelante y hacia atrás de orden h2, los valores medios median- te diferencias centrales de orden h2

Costo por Efectivo computadora, generado

Cantidad de Promedio de ($) [basado diaria- computadoras Número de computadoras en la columna meme

disponibles computado- vendidas 4 Y la $ Tiempo en el mercado ras vendidas diariamente ecuación (1 5.1 )] [(c) X (d) ] en días

a) b) 4 4 e) f)

50 O00 O 2 050.0 1 542 3 161 100 O 35 O00 15 O00 950.0 1 639 1 557 050 10 31 O00 19 O00 1 500.0 1 677 2 515 500 20 20 O00 30 O00 600.0 1 833 1 099 800 30 19 O00 31 O00 397.5 1 853 736 568 40 12 050 37 950 400.0 2 040 816 O00 50 11 O00 39 O00 -1 90.0 2 083 -395 770 60

Page 500: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: l N T E G R A C l 6 N 489

FIGURA 15.1 Costo de las computadoras contra el número de computadoras en el rner- cado. La curva se basa en la ecuación (15.1).

Solución: el efectivo total generado está dado por

Efectivo total = (efectivo generado diariamente) dt (u"

Efectivo total = (promedio de ventas X costo unitario) dt r En este caso, el promedio de ventas de los días O al 60 está dado por la columna c) del cuadro 15.1. El promedio se determina usando dife- rencias divididas finitas (recuérdese la sección 3.5.4) para apoximar la pri- mera derivada de la columna b). Nótese cómo, debido a la variación de los datos, la aproximación a la derivada en la columna c) varía mucho. En efecto, aunque la venta total de computadoras siempre crece, la va- riación en los datos proporciona un promedio de ventas negativo en el día 60. Este inconveniente se debe a que las aproximaciones numéricas de las derivadas son altamente sensitivas al cambio en los datos.

El costo por computadora diario se calcula en base a la ecuación (15.1) y el número de computadoras disponibles se muestra en la columna a) del cuadro 15.1. El costo por computadora diario desde el día O hasta el 60 está dato en la columna d ) . En la columna e ) se muestra el efectivo generado diariamente. Este dato se puede usar en conjunto con los pro- cedimientos de integración numérica analizados en el capítulo 13.

En el cuadro 15.2 se muestran los resultados de aplicar la regla trape- zoidal y la regla de Simpson de 1/3 a este problema. Nótese como va-

Page 501: Metodos numericos para ingenieros

490 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 15.2 Resultados al aplicar la regla trapezoidal y la regla de Simpson de 113 para calcular el flulo de efectivos generado de la venta de computadoras

Mdtodo Segmentos Efectivo generado $

Regla trapezoidal

1 2 3 6

82 959 900 74 473 950 96 294 660 81 075 830

Regla de 2 Simpson de 1/3 6

71 645 300 77 202 887

rían los resultados ampliamente, dependiendo de cuántos segmentos se empleen en el análisis. En particular, la estimación de la versión de tres segmentos de la regla trapezoidal es mucho mayor que las otras estima- ciones debido a la inclusión selectiva de las altas estimaciones de flujo de efectivos en el día 20.

En base a este análisis se puede concluir que el flujo de efectivos es de aproximadamente $77 millones. Sin embargo, los resultados indican que se debe tener cuidado cuando se aplican los métodos de integración numérica y que las aproximaciones de datos tabulares pueden, en gene- ral, mejorarse si se obtiene información adicional. Esta conclusión la com- prueba el caso de estudio 15.5 en donde se demuestra que el número de datos puede tener un efecto significativo en el resultado final de la apro- ximación a una integral.

CASO 15.2 EL USO DE INTEGRALES PARA DETERMINAR LA CANTIDAD TOTAL DE CALOR EN LOS MATERIALES (INGENIERíA QUíMICA)

Antecedentes: los cálculos de calor se emplean rutinariamente en la in- geniería química, así como también en otros campos de la ingeniería. Es- te caso proporciona un ejemplo simple pero muy útil de estos cálculos.

Un problema que se encuentra a menudo es determinar la cantidad de calor necesaria para elevar la temperatura de un material. La caracte- rística necesaria para realizar este cálculo es la capacidad calorífica c. Este parámetro representa la cantidad de calor necesaria para elevar una uni- dad de masa a una unidad de temperatura. Si c es la constante sobre el rango de temperaturas que se van a examinar, el calor necesario AH (en calorías) se calcula como

AH = me AT [15.2]

Page 502: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 49 1

en donde c tiene unidades de calorías por gramo por grado centígrado, m es la masa (en gramos) y AT es el cambio de temperatura (en grados centígrados). Por ejemplo, la cantidad de calor necesaria para elevar 20 g de agua de 5 a 10°C es igual a

AH = (20)1(10 - 5) = 100 cal

en donde la capacidad calorífica del agua es aproximadamente 1 cal/g/"C. Tal valor es adecuado cuando AT es pequeño. Sin embargo, en rangos mayores de temperatura, la capacidad calorífica no es constante, y de he- cho, varía en función de la temperatura. Por ejemplo, la capacidad calo- rífica de un material aumenta con la temperatura de acuerdo a relaciones tales como

c(T) = 0.132 + 1.56 X 10-4T + 2.64 X 10-7T2 [15.3]

En este caso se pide calcular el calor necesario para elevar 1 O00 g de este material de -100 a 200°C.

Solución: la ecuación (V.3) proporciona una manera de calcular el valor promedio de c(T):

que puede ser sustituido en la ecuación (15.2) y obtenerse

AH = m ITT: c(T) dT [15.4]

en donde AT = T2 - T1. Ahora, ya que en este caso c(T) es una cua- drática simple, AH se determina analíticamente. La ecuación (15.3) se sustituye en la ecuación (15.4) y el resultado se integra para obtener el valor exacto de AH = 42 732 calorías. Es útil y además instructivo com- parar este resultado con los métodos numéricos desarrollados en el capí- tulo 13. Para llevar a cabo esto, es necesario generar una tabla de valores de c para varios valores de T:

T, OC c callglOC

-100 0.119 04 -50 0.124 86

O 0.132 O0 50 0.140 46

100 0.150 24 150 0.161 34 200 0.173 76

Page 503: Metodos numericos para ingenieros

092 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Estos puntos se usan junto con la regla de Simpson de 1/3 usando seis segmentos y se calcula una integral aproximada de 42.732. Este resulta- do se sustituye en la ecuación (15.4) que lleva al valor AH = 42 732 calorías, resultado que coincide exactamente con la solución analítica. Esta coincidencia se esperaba ya que c es una función cuadrática y la regla de Simpson es exacta para polinomios de tercer orden o menos (véase la sección 13.2).

Los resultados obtenidos con la regla trapezoidal se muestran en el cuadro 15.3. Se ve que la regla trapezoidal también es capaz de estimar el calor total de manera exacta. Sin embargo, se necesita un paso peque- ño (< 10°C) para una exactitud de cinco cifras significativas. Este ejem- plo ilustra bien el por qué la regla de Simpson es muy popular. Es fácil llevarla a cabo, ya sea usando cálculos a mano o , mejor aún, con una computadora personal. Además por lo comGn, es lo suficientemente exacta con tamaños de paso relativamente grandes y exacta para polinomios de tercer orden o menos.

CUADRO 15.3 Resultados obtenidos usando la regla trapezoi- dal con varios tamaños de paso

Tamaño de paso, OC AH €+ Yo

300 150 1 O0 50 25 10 5 1 0.05

96 048 43 029 42 864 42 765 42 740 42 733.3 42 732.3 42 732.01 42 732.000 3

125 0.7 0.3 0.07 0.018

< 0.01 < 0.01 < 0.01 < 0.01

CASO 15.3 FUERZA EFECTIVA SOBRE EL MÁSTIL DE UN VELERO DE CARRERAS (INGENIERíA CIVIL)

Antecedentes: en la figura 15.2a se muestra un corte transversal de un velero de carreras. Las fuerzas del viento (fl ejercidas por pie de mástil desde las velas varían en función de la distancia sobre la cubierta del bote (z) como lo muestra la figura 15.2b. Calcúlese la fuerza de tensión T en el cable de soporte del lado izquierdo del mástil, suponiendo que el so- porte del cable derecho está flojo y el mástil se une al casco de manera que transmita fuerzas verticales y horizontales pero no momentos. Su- póngase que el mástil permanece vertical.

Page 504: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 493

FIGURA 15.2 a) Sección transversal de un velero de carreras. b) Fuerzas del viento f eiercidas por pie de mástil en función de la distancia z sobre el casco del bote.

0 = tan- (3/30),’ = 0.099 668 7 ,

-I

“N

FIGURA 15.3 Diagrama de cuerpo libre de las fuerzas ejercidas en el mástil de un velero.

Solución: para proceder con el problema, se requiere que la fuerza distri- buida f se convierta en una fuerza total equivalente F y que se calcule su posición efectiva d sobre el casco (Fig. 15.3). Este cálculo se complica por el hecho de que la fuerza ejercida por pie de mástil varía con la dis- tancia sobre el puente. La fuerza total ejercida sobre el mástil expresa co- mo una integral de la siguiente función continua:

Esta integral no lineal es difícil de evaluar analíticamente. Por lo tanto, es conveniente emplear un método numérico tal como la regla de Simp- son y la regla trapezoidal para este problema. Esto se lleva a cabo calcu- lando f(z) para varios valores de z y, después, usando las ecuaciones (13.10) y (13.18). Por ejemplo, el cuadro 15.4 tiene valores def(z) para un tamaño de paso de 3 pies que proporciona datos de la regla de Simp- son de 1/3 y de la regla trapezoidal. En el cuadro 15.5 se muestran re- sultados de varios valores del tamaño de paso. Se observa que ambos métodos proporcionan un valor de F = 1 480.6 libras a medida que el tamaño de paso decrece. En este caso, el tamaño de paso de 0.05 pies en la regla trapezoidal y de 0.5 en la regla de Simpson proporciona bue- nos resultados.

Page 505: Metodos numericos para ingenieros

494 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 15.4 Valores de f(z) con un tamaño de paso de 3 pies que pro- porcionan datos de la regla trapezoidal y la regla de Simp- son de 113

z, pies f(z), lblpies

O 3 6 9

12 15 18 21 24 27 30

O 6 1.40 73.13 70.56 63.43 55.18 47.14 39.83 33.42 27.89 23.20

La línea de acción F (Fig. 15.3) se calcula evaluando la integral.

CUADRO 15.5 Valores de F calculados en base a varias versio- nes de la regla trapezoidal y la regla de Simp- son de 113 _____ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Método Tamaño de Segmentos F, ~~

paso, pies libras

Regla 15 trapezoidal 10

6 3 1 0.5 0.25 o. 1 0.5

Regla de 15 Simpson de 113 5

3 1 0.5

2 3 5

10 30 60

120 300 600

2 6

10 30 60

1 001.7 1 222.3 1 372.3 1 450.8 1 477.1 1 479.7 1 480.3 1 480.5 1 480.6

1 219.6 1 462.9 1 476.9 1 480.5 1 450.6

Page 506: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 495

O

lo3' 200z[z/(5 + ~ ) ] e - ~ / ~ ' dz

1480.6 d =

Esta integral se evalúa usando métodos similares a los anteriores. Por ejem- plo, la regla de Simpson de 1/3 con un tamaño de paso de 0.5 proporciona

19 326.9 1 480.6

d = = 13.05 pies

Con F y d conocidos de los métodos numéricos, se usa un diagrama de cuerpo libre para desarrollar ecuaciones de equilibrio de fuerzas y mo- mentos. Este diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 15.3. Su- mando fuerzas en la dirección vertical y horizontal y tomando momentos alrededor del punto O , se obtiene

EFH = O = F - Tsen 8 - H

CF"= O = v - reos o EM0 = O = 3V - Fd

[15.9]

[15.10]

E15.111

en donde T es la tensión en el cable. H y V son las reacciones que se desconocen sobre el mástil transmitidas al casco. La dirección y magni- tud de H y V se desconocen. La ecuación (15.11) se resuelve directa- mente para V ya que se conocen F y d.

Por lo tanto, de la ecuacion (15. lo) ,

y de la ecuación (15.9),

H = F - T sen 8 = 1 480.6 - (4 473)(0.099 5) = 836.54 lb

Estas fuerzas le ayudan al diseñador para continuar con otros aspectos del diseño estructural del velero, tales como los cables y el sistema de so- porte del mástil sobre el puente. Este problema ilustra muy bien dos usos de la integración numérica que se pueden encontrar durante el diseño

Page 507: Metodos numericos para ingenieros

496 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

de estructuras. Se ha visto que la regla trapezoidal y la regla de Simpson de 1/3 son fáciles de aplicar y son herramientas prácticas en la solución de problemas. La regla de Simpson de 1/3 es más exacta que la regla trapezoidal para el mismo tamaño de paso y por lo tanto, se prefiere a menudo.

CASO 15.4 DETERMINACIóN DE LA CORRIENTE RMS MEDIANTE INTEGRACIóN NUMÉRICA (INGENIERíA ELÉCTRICA)

Antecedentes: el valor efectivo de una corriente eléctrica cuyo valor varía periódicamente está dado por la fórmula de raíz cuadrada de la corriente al cuadrado (véase el caso 12.4):

1 IWS = i2(t)dt [15.12]

en donde T es el periodo, esto es, el tiempo de un ciclo e i ( t ) es la co- rriente instantánea. Calcúlese la corriente RMS de la forma de onda mos- trada en la figura 15.4 usando la regla trapezoidal, la regla de Simpson de 1/3, la integración de Romberg y la cuadratura gaussiana para T = 1 s. Recuérdese que en el caso 12.4, se resolvió este problema por integra-

FIGURA 15.4 Corriente eléctrica que varía periódicamente.

Page 508: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 497

CUADRO 15.6 Valores de la integral calculada usando varios métodos num6ricos. El error relativo porcentual E, se basa en el valor verdadero de 15.412 608 1

Método Segmentos Integral E, %

Regla 1 trapezoidal 2

4 8 16 32 64 128

Regla de 2 Simpson de 1/3 4

8 16 32

0.0 15.163 266 5 15.401 429 1 15.41 1 958 4 15.412 568 2 15.412 605 6 15.41 2 607 9 15.412 608 1

20.217 688 7 15.480 816 6 15.415 468 1 15.412 771 4 15.412 608 1

1 O0 1.62 0.072 5 4.21 x 10-3 2.59 x 10-~ 1.62 X 10-5 1.30 x low6 O

-31.2 -0.443 -018 6

O -1.06 x 103

ción analítica de la parábola que se había ajustado a la función cuya apro- ximación a la integral fue de 20.217 688 7.

Solución: en el cuadro 15.6 se muestra la aproximación a la integral con varias aplicaciones de la regla trapezoidal y la regla de 1/3 de Simpson. Una aplicación de la regla de Simpson de 1/3 obtiene el mismo resulta- do del caso de estudio 12.4. Esto ya se esperaba porque la regla de Simp- son de 1/3 corresponde al área bajo la parábola ajustada a los tres puntos. Nótese que la regla de Simpson es más exacta que la regla trapezoidal.

El valor exacto de la integral es 15.412 608 1. Este resultado se ob- tiene usando la regla trapezoidal con 128 segmentos o la regla de Simp- son con 32 segmentos. Usando la integración de Romberg se determina la misma aproximación (Fig. 15.5).

"

FIGURA 15.5 Resultados obtenidos usando la integración de Romberg para calcular la corriente RMS.

Page 509: Metodos numericos para ingenieros

498 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Además, se puede usar la cuadratura gaussiana para obtener la mis- ma aproximación. Recuérdese que la determinación de la corriente RMS del caso 12.4 se incluye la evaluación de la integral (T = 1)

I = (b” (lOe-t sen 2at)* dt [15.13]

Primero se hace un cambio de variable aplicando la ecuación (14.23) y (14.24) para obtener

1 1 t = - + - t d

4 4 Y

1 dt = - dtd 4

Estas relaciones se sustituyen en la ecuación (15.13) y se obtiene

Con la fórmula de Gauss-Legendre de dos puntos, la función se eva- lúa en t d = 1/43 y - 1/43, con los resultados de 7.684 096 2 y 4.313 728 O, respectivamente. Estos valores se sustituyen en la ecuación (14.17) y se obtiene una aproximación a la integral de 11.997 824 2, que representa un error del = 22%.

La fórmula de tres puntos es (cuadro 14.1):

I = 0.555 555 556 (1.237 449 345) + 0.888 888 889 (15.163 266 49)

+ 0.555 555 556 (2.684 914 679)

= 15.657 550 21 = 1.6%

En el cuadro 15.7 se resumen los resultados del uso de fórmulas de más puntos.

CUADRO 15.7 Resultados obtenidos usando varios puntos y la cuadratura gaussiana para aproximar la integral

Puntos Aproximacih !% ~~

2 11.997 824 3 22.1 3 15.657 550 2 -1.59 4 15.405 802 3 4.42 x 5 15.412 639 1 -2.01 X 1 0 - ~ 6 15.412 610 9 -1.82 x 10-5

Page 510: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 499

La aproximación a la integral de 15.412 608 1 se sustituye en la ecuación (15.12) y se calcula IRMs como 3.925 889 5 A. Este resul- tado se emplea en la guía de otros aspectos del diseño y operación del circuito.

CASO 15.5 INTEGRACIóN NUMÉRICA EN EL CALCULO DE TRABAJO (INGENIERíA MECANICA) Antecedentes: muchos problemas de ingeniería incluyen el cálculo del tra- bajo. La fórmula general es:

Trabajo = fuerza X distancia

Cuando se estudia este concepto en la materia de física a nivel preuniver- sitario, se presentan aplicaciones simples usando fuerzas que permane- cen constantes a través del desplazamiento. Por ejemplo, si se usa una fuerza de 10 libras para jalar un bloque una distancias de 15 pies, el tra- bajo se calcula como 150 pies X libra.

Aunque este cálculo simple es útil en la introducción del concepto, los problemas realistas, en general, son más complejos. Por ejemplo, su- póngase que la fuerza varía durante el curso del cálculo. En estos casos, la ecuación del trabajo puede expresarse como

w = F(x) cix [15.14]

donde W es el trabajo en pie X libra, x. y x, son las posiciones inicial y final, respectivamente y F(x) es la fuerza que varía en función de la posi- ción. Si F(x) es fácil de integrar, entonces la ecuación (15.14) se integra analíticamente. Sin embargo, en problemas reales, la fuerza no se puede expresar de esta manera. De hecho cuando se analizan los datos medios, la fuerza puede estar disponible en forma tabular. En estos casos, la inte- gración numérica es la única opción viable para la evaluación.

Cuando el ángulo de la fuerza y la dirección del movimiento también varían con la posición, se introduce mayor complejidad (Fig. 15.6). La ecuación del trabajo se puede modificar aún más tomando en cuenta es- te efecto,

w = F(x) cos [O(x)] dx [15.15]

Otra vez, si F(x) y O(x) son funciones simples, la ecuación (15.15) se re- suelve analíticamente. Sin embargo, como en la figura 15.6, es más fácil

Page 511: Metodos numericos para ingenieros

500 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 15.6 Caso de una fuerza variable que actúa sobre un bloque. En este caso, el ángulo, así como la magnitud de la fuerza varían.

que la relación funcional sea complicada. En este caso, los m6todos nu- méricos proporcionan la única alternativa para determinar la integral.

Supóngase que se va a calcular la situación mostrada en la figura 15.6. Aunque la figura muestra los valores continuos de F(x) y B(x), se supone que debido a restricciones experimentales, dnicamente se proporcionan las medidas discretas en intervalos de x = 5 pies (cuadro 15.8). Utilicen- se las versiones de un segmento y de segmentos múltiples de la regla tra- pezoidal y las reglas de Simpson de 1/3 y 3 / 8 para calcular el trabajo con estos datos.

Solución: en el cuadro 15.9 se muestran los resultados resumidos del aná- lisis. Se calculó un error relativo porcentual E ~ , en referencia al valor real

Page 512: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 50 1

CUADRO 15.8 Datos de la fuerza F ( x ) y del ánglo @(x) en fun- cidn de la posicidn x

CUA

x, pies F(x), libras O, radianes F(x) cos 0

O 0.0 030 0.000 o 5 9.0 1.40 1 S29 7 10 13.0 0.75 9.512 O 15 14.0 0.90 8.702 5 20 10.5 1.30 2.808 7 25 12.0 1.48 1.088 1 30 5.0 1 S O 0.353 7

de la integral cuyo valor es 129.52, calculando en base a los valores to- mados de la figura 15.6 con intervalos de un pie.

Estos resultados son importantes porque el resultado más exacto ocurre cuando se usa la regla trapezoidal de dos segmentos. Las estimaciones más refinadas usando más segmentos, así como la regla de. Simpson, lle- van a resultados menos exactos.

La razón de este resultado aparentemente ilógico es que el espacia- miento grueso de los puntos no es adecuado para capturar las variacio- nes de las fuerzas y los ángulos. Esto es evidente en la figura 15.7, en donde se ha graficado la curva continua de los productos de F(x) y cos [e(x)]. Nótese cómo el uso de siete puntos para caracterizar la continui- dad de la función falla en los dos picos x = 2.5 y x = 12.5 pies. La omi- sión de estos dos puntos limita efectivamente la exactitud de la integración numérica en el cuadro 15.9. El hecho de que la regla trapezoidal de dos segmentos obtenga la mayor precisión en estos resultados se debe a la forma en que se posicionan los puntos en este problema en particular (Fig. 15.8).

,DRO 15.9 A roximaciones del trabalo calculado usando la re- g P a trapezoidal y la regla de Simpson. El error relati- vo oreentual (e,) se calculd en referencia al valor rea P de la integral (129.52 pies libra) calculado en base a los valores en intervalos de 1 pie

M6todo

Regla trapezoidal 1 5.31 95.9 2 3

133.19 -2.84 124.98 3.51

6 1 1 9.09 8.05

Regla de Simpson de 1/3 2 175.82 -35.75 6 117.13 9.57

Regia de Simpson de 3/8 3 139.93 -8.04

Page 513: Metodos numericos para ingenieros

502 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FlGlJRA 15.7 Gráfica continua de f(x) cos [O(x)] contra la posición, junto con los siete puntos discretos usados para desarrollar la aproximación a la integral numérica del cuadro 15.9. Nótese cómo el uso de siete puntos para ca- racterizar esta función que varía continuamente omite dos picos en x = 2.5 y 12.5 pies.

FIGURA 15.8 Esquema gráfico del por qu6 la regla trapezoidal de dos segmentos ge- nera una buena aproximación de la integral para este caso en particu- lar. Por casualidad el uso de los dos trapecios genera un balance entre los errores positivos y negativos.

Page 514: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACION 503

FIGURA 15.9 Esquemas de segmentación desigual que resulta al incluir dos puntos iniciales en x = 2.5 y 12.5 en los datos del cuadro 15.8. Se mues- tran las fórmulas de integración aplicadas a cada conjunto de seg- mentos.

La conclusión derivada de la figura 15.7 es que se debe hacer un nú- mero adecuado de medidas para calcular exactamente las integrales. En este caso, si se conociera F (2.5) cos [0(2.5)] = 4.350 O y F(12.5) cos [6(12.5)] = 11.360 O se podría determinar un cálculo de la integral usando el algoritmo de datos desigualmente espaciados descrito previamente en la sección 13.3. En la figura 15.9 se ilustra la segmentación desigual en este caso. Incluyendo los dos puntos adicionales, lleva a un mejor cálculo de la integral de 126.9 (E, , = 2.02%). Por lo tanto, la inclusión de los datos adicionales podría incorporar los picos que se habían ignorado previamente y, en consecuencia, !levar a un resultado mejor.

PROBLEMAS

Ingeniería en general

15.1 Repítanse los cálculos del caso 15.1 usando los programas propios

Page 515: Metodos numericos para ingenieros

504 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

15.2 Efectúense los mismos cálculos del caso 15.1, pero en vez de usar la ecuación (15.1) utilícese la siguiente fórmula alternativa:

Costo por computadora ($) = 1250 + 1750e-5”10-5N

15.3 AI efectuar un estudio de la linea de ensamble de una planta de automóviles, en un periodo de 24 horas, se visitan dos puntos sobre la línea y en instantes diferentes durante el día se verifica el ntímero de autos que pasa por ahí en un minuto. Los datos son

~~ ~~ ~ ~ ~~

Punto A ~~ ~~ _ _ ~ ~~~ ~~~ ~

Punto B

Tiempo Carrodminuto Tiempo Carrodminuto

Medianoche 3 Medianoche 3 2 A.M. 3 1 A.M. 3 3 A.M. 5 4 A.M. 5 6 A.M. 4 5 A.M. 2 9 A.M. 5 7 A.M. 1

1 1 A.M. 6 10 A.M. 4 2 P.M. 2 1 P.M. 3 5 P.M. 1 3 P.M. 4 6 P.M. 1 9 P.M. 6 7 P.M. 3 10 P.M. 1

Media noche 6 Medianoche 6 a P.M. 4 11 P.M. 3

Utilícese integración numérica y la ecuación V.3 para determinar el número total de carros que pasa por día en cada punto.

15.4 Los datos del cuadro P15.4 proporcionan medidas del flujo de calor q sobre la superficie de un colector solar en intervalos de una hora. Calcúlese el calor total absorbido por un panel colector de 150 O00 cm2 durante un periodo de 14 ho- ras. El panel tiene una eficiencia de absorción eob del 45%. El calor total absor- bido está dado por

H = eab q A dt S1 en donde A es el área y q es el flujo de calor

Ingeniería Química

15.5 Repítanse los cálculos del caso 15.2 usando los programas propios.

15.6 Efectúense los mismos cálculos del caso 15.2 calculando la cantidad de calor ne- cesario para elevar la temperatura de 2 O00 g de material desde ”2 000 hasta

Page 516: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACldN 505

TABLA P15.4 Medidas del flujo de calor solar

Flujo de calor q,

Tiempo, h colorks/cm2/h

6 7 8 9

10 11 12 13 14

o. 1 1.62 5.32 6.29 7.8 8.81 8.00 8.57 8.03 7 .O4 6.27 5.56 3.54 1 .o 0.2

100°C. Utilicese la regla de Simpson en los cálculos, con valores de T a interva- los de 5OOC.

15.7 Repítase el problema 15.6 usando integraci6n de Romberg con E" = 0.01%.

15.8 Repítase el problema 15.6 usando la fórmula de Gauss-Legendre de dos y tres puntos. Interprétense los resultados.

15.9 Utilicese la regla de Simpson para calcular el calor total de la placa mostrada en el caso 9.2 si la capacidad calorífica está definida por la ecuación (15.3).

Ingeniería civil

15.10 Repítanse los cálculos del caso 15.3 usando sus propios programas

15.11 Repítanse los cálculos del caso 15.3 usando la integración de Romberg para eva- luar la integral. Usese un criterio de paro de e, = 0.25%.

15.12 Ejecútense los mismos c6lculos del caso 15.3 usando la cuadratura de Gauss pa- ra evaluar la integral.

15.13 Ejecútense los mismos cálculos del caso 15.3 cambiando la integral a

Page 517: Metodos numericos para ingenieros

506 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

15.14 Para ciertos trabajos sobre ingeniería de recursos de agua, que incluye la preven- ción de inundaciones y el diseño de reservas, se requieren canales de área trans- versal ( A ) . A menos que se disponga de dispositivos de sondeo electrónico en la obtención de perfiles continuos del fondo del canal. el ingeniero debe confiar en las medidas discretas de la profundidad a calcular. En la figura P15.14 se ilus- tra una sección transversal de un canal común. Los puntos representan posicio- nes en donde se ancló el bote y se tomaron lecturas de la profundidad. Utilícense dos ecuaciones de la regla trapezoidal ( h = 4 y 2 m) y la regla de Simpson de 1/3 para calcular el área transversal a partir de estos datos

15.15 Durante una investigación de campo es necesario calcular el área del campo mos- trado en la figura P15.15. Utilícense las reglas de Simpson para determinar el área.

15.16 Un estudio de ingeniería de tránsito'sequiere el cálculo del número total de ca- rros que pasa a través de una intersección en un periodo de 24 horas. Un indivi- duo visita la intersección varias veces durante el día y cuenta el número de carros que pasa a través de la intersección en un minuto. Utilícense estos datos, que se encuentran resumidos en el cuadro P15.16, para calcular el número total de carros que pasa por la intersección durante el día. (Téngase cuidado con las unidades.)

Ingeniería eléctrica

15.17 Repítanse los cálculos del caso 15.4 usando los programas propios

TABLA P15.16 Promedio de flujo de tráfico en una intersec- ción medido en vorios tiempos en un perio- do de 24 horas

Tiempo Promedio, carroslmin

12:OO Medianoche 2:00 A.M. 6:OO A.M. 7:OO A.M. 8:OO A.M. 9:OO A.M.

11 :o0 A.M. 1:OO P.M. 3:OO P.M. 4:OO P.M. 5:OO P.M. 6:OO P.M. 7:OO P.M. 8:OO P.M.

1O:OO P.M. 12:OO Medianoche

10 4

. 6 40 60 80 25 18 17 28 35 77 40 30 31 15

Page 518: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE V: INTEGRACION 507

FIGURA P15.14 Sección transversal de un canal.

FIGURA P15.15 Campo limitado por dos caminos y un arroyo.

""".""". . ..

Page 519: Metodos numericos para ingenieros

508 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

15.18 Efectúense los mismos cálculos del caso 15.4 usando una función de corriente dada por:

i ( t ) = sen 2?rt por O I t S r/2 i(t) = O por T / 2 I t I T

en donde T = 1 s. Utilícese la regla de Simpson de 1/3 con 16 segmentos para calcular la integral.

15.19 Repítase el problema 15.18 usando cuadratura gaussiana

15.20 Repítase el problema 15.18 usando integración de Romberg a E , = 0.1%.

Ingeniería mecánica

15.21 Repítanse los cálculos del caso 15.5 usando los programas propios

15.22 Ejecútense los mismos cálculos del caso 15.5 usando la siguiente ecuación para calcular:

F(x) = 1 . 1 7 ~ - 0 . 0 3 5 ~ ~

Empléense los valores de 6 del cuadro 15.8

15.23 Ejecútense los mismos cálculos del caso 15.5 pero con la siguiente ecuación pa- ra calcular:

Empléese la ecuación del problema 15.22 para F(x). Utilícese la regla trapezoi- dal con cuatro, ocho y dieciséis segmentos para calcular la integral.

15.24 Repítase el problema 15.23 con la regla de Simpson de 1/3

15.25 Repítase el problema 15.23 usando integración de Romberg hasta E$ = O. 1 % .

15.26 Repítase el problema 15.23 usando cuadratura gaussiana

15.27 Leánse todos los casos del capítulo 15. En base a las lecturas y a la experiencia invéntese un caso propio en cualquiera de los campos de la ingeniería. Esto pue- de implicar la modificación o la reexpresión de alguno de los casos. Sin cmbar- go, también puede ser totalmente original. Como sucede en los ejemplos del texto, se debe elaborar enfocando los problemas de ingeniería y debe demostrar el uso de los métodos numéricos para la integración. Escrlbanse los resultados usando los casos propios como modelos.

Page 520: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO: PARTE V

V.4 ELEMENTOS DE JUICIO

El cuadro V.3 muestra un resumen de los elemen- tos de juicio relacionados con la integración nu- mérica o cuadratura. La mayor parte de estos métodos se basa en la interpretación física simple de que una integral es el área baio la curva. Es- tos métodos están diseñados para evaluar la in- tegral en dos casos diferentes: 1 ) una función matemática continua y 2) datos discretos en for- ma tabular.

Las fórmulas de Newton-Cotes son los primeros métodos analizados en el capítulo 13. Son apli- cables a funciones continuas y a funciones discre- tas. Se dispone de estas fórmulas en sus versiones cerradas y abiertas. las formas abiertas, que tie- nen límites de integración extendidos más allá del rango de los datos, rara vez se usan en la eva- luación de integrales definidas. Sin embargo, tienen gran utilidad en la solución de ecuaciones diferen- ciales ordinarias, analizada en el capítulo 17.

Las fórmulas de Newton-Cotes cerradas se basan en el reemplazo de una función matemática o de datos en forma tabular en un polinomio que es fácil de integrar. La versión más simple es la regla tra- pezoidal, que se basa en tomar el área baio una línea recta que une los valores adyacentes de la función. Una manera de meiorar la exactitud de la regla trapezoidal es la de dividir el intervalo de integración de a a b en un conjunto de segmen- tos y aplicar el método a cada uno de los seg- mentos.

Además de aplicar la regla trapezoidal con seg- mentación más fina, otra manera de obtener una aproximación más exacta a la integral es el uso de polinomios ¿e orden superior para conectar los puntos. Si se emplea una ecuación cuadrática, el resultado es la regla de Simpson de 1/3. Si se usa una cúbica el resultado es la regla de Simpson de 3/8. Estas reglas se prefieren a la de la regla tra- pezoidal debido a que son mucho más exactas. Existen versiones de segmentos múltiples. En situa-

Page 521: Metodos numericos para ingenieros

510 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

? > O L P a a W

Page 522: Metodos numericos para ingenieros

EPILOG0 PARTE V 51 1

ciones con un número par de segmentos, se recomienda la aplicación múltiple de la regla de 1/3. Para el caso de un número impar de seg- mentos, se puede aplicar la regla 3/8 a los últimos tres segmentos y la regla de 1/3 a los restantes.

También existen fórmulas de Newton-Cotes de orden superior. Sin em- bargo, rara vez se usan en la práctica. Cuando se requiere de alta exactitud se dispone de la integración de Romberg y de la cuadratu- ra gaussiana. Debe hacerse notar que las fórmulas de integración de Romberg y la cuadratura gaussiana tiene valor práctico sólo en ca- sos donde se conoce la función en forma continua. Estos métodos no funcionan para datos tabulares.

V.5 RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES

En el cuadro V.4 se resume la información más importante analizada en la parte V. Este cuadro se puede consultar para tener un rápido acceso a las relaciones y fórmulas de mayor importancia.

V.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES

Aunque se han analizado varios métodos numéricos, existen otros más que tienen utilidad en la práctica de la ingeniería. Por ejemplo, la in- tegración adaptiva de Sirnpson se basa en la división del intervalo de integración en una serie de subintervalos de ancho h. En seguida se usa la regla de Simpson de 1/3 para evaluar la integral en cada su- bintervalo, partiendo el tamaño de paso de manera iterativa, es de- cir, con un tamaño de paso h, h/2, h/4, h/8, etc. Las iteraciones se continúan para cada uno de los subintervalos hasta que una aproxi- mación con error calculado E, [Ec. (3.5)] cae dentro de un criterio de paro antes especificado E,. La integral total se calcula como la suma- toria de las aproximaciones a la integral evaluadas en cada subinter- valo. Este método se usa, especialmente, en funciones complicadas que tienen regiones con variaciqnes de baio y alto orden. El análisis de la integración adaptiva se encuentra en Gerald y Wheatley (1 984) y Rice (1 983).

Otro método para la obtención de integrales es el de ajustar polino- rnios cúbicos segrnentarios a los datos. La ecuación cúbica resultante se puede integrar fácilmente (Forshyte et al., 1977). Finalmente, aparte de las fórmulas de Gauss-Legendre analizadas en la sección 14.2, exis- te una variedad de fórmulas de cuadratura. En Carnahan, Luther y

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512 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

x

I

x

h

x' x v

+ h

x' v x

m C

- x x

3 S I

C 9

y

U

-2 N t

N

l ! x

Y

- x'

i; x

t

U e,

Page 524: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO PARTE V 513

Wilkes ( 1 969) y Ralston y Rabinowitz ( 1 978) se resumen algunas de estas formulaciones.

En resumen, lo anterior tiene la finalidad de proporcionar caminos para exploraciones más a fondo sobre el tema. Además, todas las referencias anteriores proporcionan descripciones de los métodos bá- sicos cubiertos en la parte V. Se le sugiere al lector consultar estas fuentes alternativas de información para profundizar en los métodos numéricos de integración.

Page 525: Metodos numericos para ingenieros
Page 526: Metodos numericos para ingenieros
Page 527: Metodos numericos para ingenieros

516 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

d2x dX

dt dt m - + C" + k x = O [VI. 21

en donde c es un coeficiente de amortiguamiento y k es la constante del resorte. De manera similar, una ecuación de n-ésimo orden in- cluiría una n-ésima derivada.

Las ecuaciones de orden superior se pueden reducir a un sistema de ecuaciones de primer orden. Para la ecuación (V1.2)) esto se lleva a cabo definiendo una nueva variable y donde

dx Y = %

que se puede derivar y obtener

dy d2x -" - df dt2

[V1.3]

[V1.4]

Las ecuaciones (V1.3) y (V1.4) se pueden sustituir en la ecuación (V1.2) y obtener

m- + cy + &x = o dY dt

O

dy cy + kx "- - dt m

[VIS]

[V1.6]

Por lo tanto, las ecuaciones (V1.3) y (V1.6) son un par de ecuaciones de primer orden que son equivalentes a la ecuación original de se- gundo orden. Debido a que otras ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden se pueden reducir de la misma manera, esta parte del libro se enfoca a la solución de ecuaciones de primer orden. Algunos de los casos de estudio del capítulo 18 tratan con la solución de E D 0 de se- gundo orden reduciéndolas a un par de ecuaciones de primer orden.

VI. 1.1. Métodos anteriores al uso de computadoras en la solución d e ED0

Antes de la era de la computación, las E D 0 se resolvían por lo co- mún, con métodos de integración analítica. Por eiemolo, la ecuacion (VI.l) se puede multiplicar por dt e integrarse para obtener

[V1.7]

Page 528: Metodos numericos para ingenieros

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 517

AI lado derecho de esta ecuación se le llama integral indefinida debi- do a que los límites de integración no están definidos. Esto contrasta con las integrales definidas analizadas previamente en la parte V [com- párese la Ec. (V1.7) con la Ec. (VS)] .

Se obtiene una solución analítica de la ecuación (V1.7) si la integral indefinida se puede evaluar exactamente en forma de una ecuación. Por ejemplo, recuérdese que para el problema del paracaidista la ecuación (VI .7) se resuelve analíticamente mediante la ecuación (1.9) (suponiendo que v = O en t = O):

FIGURA VI.l Péndulo oscilador.

[V1.8]

La mecánica de derivación de tales soluciones analíticas se analiza en la sección V1.2. En este momento, lo importante es que, como en el caso de la integral definida, la evaluación analítica de las integra- les indefinidas, en general depende del conocimiento previo de la res- puesta. Desafortunadamente, las soluciones exactas de muchas EDOs de importancia práctica no existen. Como sucede en la mayor parte de las Gtuaciones analizadas en otras partes de este libro, los métodos numéricos ofrecen la única alternativa viable en estos casos. De- bido a que estos métodos numéricos, por lo común, requieren de computadora, los ingenieros de la era anterior al uso de las mismas se veían limitados en el alcance de sus investigaciones.

Un método muy importante que los ingenieros y matemáticos desa- rrollaron para evitar este dilema fue el de linealización. Una ecua- ción diferencial ordinaria es aquella que se ajusta a la forma

a,(x)y'"' + . . . + a1 (x)y' + uo(x)y = +(x) [V1.9]

en donde y(") es la n-ésima derivada de y con respecto a x y las a y las f son funciones específicas de x. A esta ecuación se le llama li- neal ya que no hay productos o funciones no lineales de la variable dependiente y de sus derivadas. La importancia práctica de las ED0 lineales es que se pueden resolver analíticamente. En contraste, la ma- yor parte de las ecuaciones no lineales no se pueden resolver exacta- mente. Por lo tanto en la época anterior al uso de computadoras, una táctica para resolver las ecuaciones no lineales fue la de linealizar- las. Un ejemplo simple de la aplicación de E D 0 es el predecir el mo- vimiento del péndulo oscilante (Fig. VI.1). De manera similar a la derivación del problema del paracaidista, se puede usar la segunda ley de Newton para desarrollar la siguiente ecuación diferencial (véase el caso 18.5 para la derivación completa:

d28 g -+-sen0 = O dt2 I CVl.1 O]

Page 529: Metodos numericos para ingenieros

518 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

donde e es el ángulo de desplazamiento del péndulo, g es la acelera- ción gravitacional y I es la longitud del péndulo. Esta ecuación no es lineal ya que contiene el término sen 8 . Una manera de obtener una solución analítica es la de considerar pequeños desplazamientos del péndulo a partir del equilibrio (esto es, para valores pequeños de 6 ),

sen 8 = 8 [VI.11]

Por lo tanto, si se supone que sólo estamos interesados en los casos donde O sea pequeña, entonces la ecuación (VI.11) se puede sustituir en la ecuación (VI.1 O) para obtener

[V1.12]

De esta manera se ha transformado la ecuación (VI. 1 O) en una for- ma lineal fácil de resolver analíticamente.

Aunque la linealización sigue siendo una herramienta muy útil en la solución de problemas de ingeniería, existen casos donde no se pue- de usar. Por ejemplo, supóngase que estamos interesados en estudiar el comportamiento del péndulo para grandes desplazamientos a partir del punto de equilibrio. En estos casos, los métodos numéricos ofre- cen una opción viable en la obtención de soluciones. Actualmente, la amplia disponibilidad de computadoras coloca esta opción al al- cance de todos los ingenieros.

Vi. 1.2 Las E D 0 en la práctica de la ingeniería

Las leyes fundamentales de la física, la mecánica, la electricidad y la termodinámica se basan en general en observaciones empíricas que explican la variación de las propiedades físicas y estados de los siste- mas. En lugar de describir el estado de los sistemas físicos directamente, las leyes se expresan en cambios del tiempo y del espacio.

En el cuadro VI.l se muestran varios ejemplos. Estas leyes definen me- canismos de cambio. Cuando éstas se combinan con las leyes de con- tinuidad ¿e la energía, de mesa o de momento, se generan ecuaciones diferenciales. La integración subsecuente de estas ecuaciones diferen- ciales genera funciones matemáticas que describen el estado espacial y temporal de un sistema en términos variacionales de la energía, de la masa y de la velocidad.

El problema del paracaidista introducido en el capítulo 1 es un ejem- plo de la derivación de una ecuación diferencial ordinaria a partir de una ley fundamental. Recuérdese que la segunda ley de Newton se usa en el desarrollo de una E D 0 que describe el cumbic propor-

Page 530: Metodos numericos para ingenieros

CUADRO VI. 1

v1.2

Ejemplos de las leyes fundamentales escritas en terminos del promedio de cambio de las variables (t = tiempo y x = posición)

Ley Expresión matemática

Segunda ley de dv f Newton del movimiento dt m

- = -

Ley del calor de Flujo de calor = k- aT

Fourier ax

Ley de difusión Flujo de masa = 4- ac

ax de Fick

Ley de Farafay (describe la caída del Caída de voltaje = L- di

voltaje a través de un dt conductor)

Conservación de Acumulación = V-- dc

la masa dt

Variables y parámetros

Velocidad (v ), fuerza ( F ) y masa (m)

Conductividad térmica (k) y temperatura ( T )

Coeficiente de difusión (D) y concentración (c)

lnductancia (I) y corriente ( i )

Volumen (V) y concentración (c)

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 519

"I*_ .c. ~ . ..

cional de la velocidad de caída del paracaidista. Integrando esta re- lación se obtiene una ecuación que predice la velocidad de caída en función del tiempo. Esta ecuación puede usarse de diferentes mane- ras, incluyendo propósitos de diseño.

De hecho, estas relaciones matemáticas son la base de la solución de un gran número de problemas de ingeniería. Sin embargo, como se describe en la sección anterior, muchas de las ecuaciones diferencia- les de significancia práctica no se pueden resolver usando métodos analíticos del cálculo. Por lo tanto, los métodos analizados en los ca- pítulos siguientes son sumamente importantes en todos los campos de la ingeniería.

FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función es- pecífica de la variable independiente y de sus parametros que satis- facen la ecuación diferencial original. Para ilustrar este concepto, se tiene la siguiente función

y = - 0 . 5 ~ ~ + 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~ + 1 [V1.13]

la cual es un polinomio de cuarto orden (Fig. V1.20). Ahora, si se de- riva la ecuación (VI.13), se obtiene la EDO:

Page 531: Metodos numericos para ingenieros

520 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA V1.2 Gráfica de a) y contra x y b) dy/dx contra x de la función y = - 0 . 5 ~ ~ + 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~ + l.

dx d~ - - 2 x 3 + 1 2 x 2 - 2oX + 8.5 [VI.141

Esta ecuación también describe el comportamiento del polinomio pe- ro de manera diferente que la ecuación (Vl.13). En vez de represen- tar explícitamente los valores de y para cada uno de los valores de x, la ecuación (VI.14) proporciona la relación de! cambio de y res- pecto a x(esto es, la pendiente) para cada valor de x . En la figura V1.2 se muestran la función y su derivada graficadas contra x . Nóte- se que los valores cero de la derivada corresponden a un punto don- de la función original es plana, esto es, tiene una pendiente cero. También, los valores absolutos máximos alcanzados de las derivadas son los extremos del intervalo en donde las pendientes de una fun- ción son mayores. Aunque, como ya se ha demostrado, se puede de- terminar una ecuación diferencial dada la función original, el objetivo

Page 532: Metodos numericos para ingenieros

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 521

aquí es el de determinar la función original dada la ecuación diferen- cial. La función original representa entonces la solución. En este caso se puede determinar la solución en forma analítica, integrando la ecua- ción (VI. 14):

y = [ -2x3 + 1 2x2 - 2Ox + 8.51 dx I Aplicando las reglas de integración (recuérdese el cuadro V.l)

AI resolver cada término de la ecuación se obtiene la solución:

y = - 0 . 5 ~ ~ + 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~ + C [VI.15]

que es idéntica a la función original con una notable excepción. En el acto de derivación e integración, se pierde el valor de la constante 1 en la ecuación original y se gana el valor C. Esta C es conocida con el nombre de constante de integración. El hecho de que aparez- ca una constante indica que la solución no es única. De hecho, ésta es sólo una de un número infinito de funciones posibles (correspon- dientes a un número infinito de valores posibles para C) que satisfa- cen a la ecuación diferencial. Por ejemplo, en la figura V1.3 se muestran seis posibles funciones que satisfacen la ecuación (V1.14).

FIGURA V1.3 Seis soluciones posibles de la integral de -2x3 + 12x2 - 2Ox + 8.5. Cada uno tiene un valor diferente de la constante de integración c.

""I.. . - . ." .. . . .~

Page 533: Metodos numericos para ingenieros

522 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

VI .3

Por lo tanto, para especificar la solución completamente, una ecua- ción diferencial se acompaña de condiciones auxiliares. Para EDOs de primer orden, a un tipo de condición auxiliar se le llama valor inicial y es necesaria para determinar la constante y obtener una solución única. Por ejemplo, la ecuación (VI. 14) puede ir acompañada de una condición inicial en que x = O, y = l . Estos valores se sustituyen en la ecuación (VI. 15):

1 = -0.5(0)4 + 4(0)3 - 10(0)2 + 8.5(0) + C [VI. 1 61

para determinar C = l . Por lo tanto, la solución única que satisface a la ecuación diferencial y a la condición inicial especificada se obtie- ne sustituyendo C = 1 en la ecuación ('41.1 5 ) para obtener

y = - 0 . 5 ~ ~ + 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~ + 1 [VI.17]

De esta manera, se ha considerado en la ecuación (VI. 15) que pasa a través de la condición inicial, al hacerlo, se ha obtenido una solu- ción única para la E D 0 y se ha completado el círculo hasta la función inicial [ecuación (VI. 13)].

Las condiciones iniciales por lo común tienen interpretacicpes muy tan- gibles en ecuaciones diferenciales de problemas físicos. Por ejemplo, en el problema del paracaidista la condición inicial fue reflectiva del hecho físico de que en un tiempo cero la velocidad vertical fue cero. Si el paracaidista hubiera estado en movimiento vertical en el momento cero, la solución se habría modificado para tomar en consideración esta velocidad inicial.

Cuando se trata con ecuaciones diferenciales de n-ésimo orden se re- quieren de n condiciones para obtener una solución única. Si todas las condiciones se especifican en el mismo valor de la variable inde- pendiente (por ejemplo, en x o t = O), entonces al problema se le co- noce como problema ¿e valor inicial. Esto contrasta con los problemas de valor en la frontera en donde las especificaciones de las condiciones ocurren en valores diferentes de la variable independiente. Los capítu- los 16 y 17 se enfocan a problemas con valores iniciales. Los problemas con valores en la frontera se mencionan al final del capítulo 16.

Antes de continuar con los métodos numéricos en la solución de ecua- ciones diferenciales ordinarios, puede resultar otil una orientación. El material siguiente tiene la finalidad de proporcionar una visión general de los temas analizados en la parte VI. Además, se han for-

Page 534: Metodos numericos para ingenieros

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 523

mulado objetivos para orientar al lector en el estudio de los temas de esta área.

V1.3.1 Alcances y avances

En la figura V1.4 se muestra una visi6n general de la parte VI. Dos categorías importantes de los métodos numéricos se analizan en esta

FIGURA V1.4 Representación esquemática de la organización del material de la parte VI: ecuaciones diferenciales ordinarias.

_I,.. . .

Page 535: Metodos numericos para ingenieros

524 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

parte del libro. Los métodos de un paso, cubiertos en el capítulo 16, permiten al cálculo de y;lh 1, dada la ecuación diferencial y y;. Los mé- todos de pasos múltiples, cubiertos en el capítulo 17, requieren valo- res adicionales de y además de los dados para i.

En todo, con algunas excepciones menores, los métodos de un paso del capitulo 76 pertenecen a los métodos de Runge-Kutta. Aunque el capítulo esté organizado alrededor de este concepto teórico, se ha optado por abordar el tema de manera más gráfica. Por lo tanto, el capítulo empieza con el método de Euler que tiene una interpreta- ción gráfica muy clara. Después, se usan argumentos orientados ha- cia lo visual para desarrollar dos versiones meioradas del método de Euler: el método de Heun y el método del polígono mejorado. En se- guida de esta introducción, se desarrolla formalmente el concepto de los métodos de Runge-Kutta (o RK) y se demuestra como los métodos anteriores son métodos RK de primer y segundo grado. A esto le si- gue un análisis de la formulación RK de orden superior que se usa frecuentemente en la solución de problemas de ingeniería. El capítu- lo termina con secciones sobre dos aplicaciones de los métodos de un paso: sistemas de € D O y la solución de problemas con valores en la frontera usando métodos de disparo.

€1 capitulo 7 7 se dedica a los métodos de pasos múltiples que algunas veces son mas difíciles de programar en una computadora pero que alcanzan exactitudes comparables a los métodos de un paso y con menor esfuerzo. Otra vez, al comienzo se enfoca el tema en forma visual usando un método simple; el método de Heun sin principio, pa- ra introducir todos los rasgos esenciales de los métodos de pasos múl- tiples. En seguida se entra en un análisis de las fórmulas de integración numérica que son el corazón de los métodos de pasos múltiples. A esto le sigue una sección sobre las versiones de orden superior, inclu- yendo dos esquemas comunes, el método de Milne y el método de cuar- to orden de Adams.

En el capítulo 78 se desarrollan casos para todos los campos de la ingeniería. Finalmente, se incluye una sección de repaso al término de la parte VI. Este epilog0 resume y compara las fórmulas importan- tes y los conceptos relacionados con las EDO. Esta comparación in- cluye un análisis de los elementos de juicio importantes para su implementación en la práctica de la ingeniería. El epílogo resume tam- bién las fbrmulas importantes e incluye referencias adicionales sobre temas avanzados.

Se suministra información de cómputo automático de diferentes ma- neras. Primero, está disponible el paquete NUMERICOMP para el mé- todo de Euler con la opción base de usarse en l a s computadoras

Page 536: Metodos numericos para ingenieros

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 525

IBM-PC y Apple I I . En forma alterna se da directamente en el texto el programa para el método de Euler en ambos lenguajes FORTRAN y BASIC. Esto posibilita copiar el programa e implementarlo en la com- putadora o en una supercomputadora. Se proporcionan también los diagramas de flujo y algoritmos de los programas para computadora de la mayor parte de los métodos descritos en el texto. Esta informa- ción, combinada con los programas propios bien escritos y documen- tados en cualquier lenguaje, proporcionan herramientas aplicables a un gran número de problemas de ingeniería.

V1.3.2 Metas y objetivos

Objetivos de estudio. Después de terminar la parte VI, el lector debe de aumentar sus habilidades para confrontar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Las metas de estudio generales deben incluir el dominio de los métodos, tener la capacidad de valorar la confiabi- lidad de las respuestas, y ser capaz de escoger "el mejor" método (o métodos) de cualquier problema en particular. Además de estos objetivos generales, se deben dominar los objetivos específicos de es- tudio del cuadro V1.2.

Objefivos de cómputo. Se debe estar bien equipado con un paquete que incluya programas simples para la computadora, algoritmos, y diagramas de flujo que implementen los métodos analizados en la parte VI. Todos éstos tienen utilidad como herramientas de apredizaje.

El paquete de programas para computadoras personales NUMERI- COMP, que utiliza el método de Euler, es legible al usuario. La solu- ción se puede mostrar ya sea en forma gráfica o en forma tabular. La salida gráfica posibilita visualizar fácilmente el problema y su so- lución. Se puede estudiar la eficiencia del método probando varios tamaños de paso. El paquete es muy fácil de implementar y puede ser usado para verificar los resultados de cualquier programa de com- putadora desarrollado por el lector.

Alternativamente, los programas del método de Euler escritos en los lenguajes FORTRAN y BASIC se suministran directamente en el texto. Además, se proporcionan los algoritmos y los diagramas de flujo pa- ra la mayor parte de los otros métodos anulizados en la parte VI. Es- ta información permitirá expander la biblioteca de programas del lector, incluyendo métodos que vayan más allá del método de Euler. Por ejemplo, puede ser de mucha utilidad desde un punto de vista profesional, el tener un paquete de programas que emplee los méto- dos de cuarto orden de Runge-Kutta o el método de Adams. También se puede desarrollar un paquete de programas que solucione siste- mas de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Page 537: Metodos numericos para ingenieros

526 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO V1.2 Bbietivos de estudios específicos de la parte VI

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

1 o. 11.

12.

13.

14.

Ehtender la representación visual de los métodos de Euler, Heun y el polígono meiorado. Conocer la relación del método de Euler con la expansión en serie de Taylor y que su conocimiento está relacionado con el error del método. Entender la diferencia entre los errores de truncamiento locales y globules y cómo se relacionan con la selección de un método numérico en particular para la solución de un problema. Conocer el orden y la dependencia de los tamaños de paso de los errores de truncamiento para todos los métodos descritos en la parte VI; comprender cómo estos errores influyen en la exactitud de los métodos. Entender la base de los métodos predictor-corrector. Comprender en particular que la eficiencia del corrector es altamente dependiente de la exactitud del predictor. Conocer la forma general de los métodos de Runge-Kutta. Entender la derivación del método de RK de segundo orden y cbmo este se relaciona con la expansión en serie de Taylor; reconocer que existe un número infinito de posibles versiones para los métodos RK de orden superior. Saber aplicar cualquiera de los métodos RK a sistemas de ecuaciones; ser capaz de reducir una ED0 de n-ésimo orden a un sistema de n E D 0 de primer orden. Entender la diferencia entre problemas de valor inicial y con valores a la frontera; ser capaz de implementar el método de disparo en problemas con valores a la frontera. Conocer la diferencia entre los métodos de pasos múltiples y de un solo paso; reconocer que todos los métodos de pasos múltiples son predictor- corrector pero que no todos los métodos predictor-corrector son de pasos múltiples. Entender la importancia de los modificadores en los algoritmos de pasos multiples. Entender la conexión entre las fórmulas de integración y los métodos predictor-corrector. Conocer la diferencia fundamental entre los métodos de integración de Newton-Cotes y de Adams. Entender la conexión entre los modificadores y el ajuste en el tamaño de paso; reconocer el tipo de contexto de un problema donde el ajuste de tamaño de paso es importante. Comprender el hecho de que el método de Milne es inestable y reconocer por qué posee dificultades en ciertos tipos de problemas.

Page 538: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O D I E C I S É I S

MÉTODOS DE U N PASO

Este capítulo está dedicado a la solución de ecuaciones diferenciales or- dinarias de la forma

En el capítulo 1 se usa un método numérico para resolver el problema del paracaidista. Recuérdese que la ecuación usada en la solución de es- te problema fue de la forma general [Ec. (1.13)]

Valor actual = valor anterior + pendiente X tamaño del paso

o , en términos matemáticos

FIGURA 16.1 Esquema gráfico del método de un paso.

Page 539: Metodos numericos para ingenieros

528 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

16.1

Y i t l = Y¡ + 4 h [16.1]

De acuerdo a esta ecuación, se usa la aproximación a la pendiente 4 pa- ra extrapolar a partir de un valor anterior y, a un valor actual y,, l en una distancia h (Fig. 16.1). Esta fórmula se aplica paso a paso para calcular una solución futura y , de aquí, trazar la trayectoria de la solución.

Todos los métodos de un paso se pueden expresar en esta forma ge- neral, con la única diferencia en el cálculo de la pendiente. Como en el problema del paracaidista, el esquema simple como la primera derivada de xi. Este esquema, llamado método de Euler, se analiza en la primera parte de este capítulo. A este le siguen otros métodos de un paso que emplean aproximaciones alternativas a la pendiente que dan como resul- tado mejores aproximaciones.

MÉTODO DE EULER

La primera derivada proporciona una aproximación directa a la pendien- te en xi (Fig. 16.2) :

4 = f h , Y¡)

donde f (xt, y,) es la ecuación diferencial evaluada en x, y y , . Esta apro- ximación se sustituye en la ecuación (16.1) :

[16.2]

A esta fórmula se le conoce como método de Euler (o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual). Se predice un nuevo valor de y usando la pendiente (igual a la primera derivada en el valor original x) para extrapolar linealmente sobre el tamaño de paso h (Fig. 16 .2 ) .

FIGURA 16.2 Método de Euler.

~ -

Page 540: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE PASO 529

EJEMPLO 16.1 Método de Euler

Enunciado del problema: utilícese el método de Euler para integrar nu- méricamente la ecuación (VI. 14).

y ) = -2x3 + u X 2 - 20x + 8.5

de x = O hasta x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición ini- cial en x = O es y = 1. Recuérdese que la solución exacta está dada por la ecuación (VI. 17) :

y = - 0 . 5 ~ ~ + 4x3 - lox2 + 8 . 5 ~ + 1

Solución: se puede usar la ecuación (16.2) para implementar el método de Euler:

~ ( 0 . 5 ) = y(0) + f(0, 1) 0.5

en donde y(0) = 1 y la aproximación a la pendiente en x = O es:

f ( 0 , 1) = + 12(0)' - 20(0) + 8.5 = 8.5

Por lo tanto:

y(0.5) = 1.0 + 8.5 (0.5) = 5.25

La solución verdadera en K = 0.5 es:

~ ( 0 . 5 ) -0.5(0.5)4 + 4(0.5)3 - lO(O.5)' + 8.5(0.5) + 1

= 3.218 75

Por lo tanto, el error es:

E, = verdadero - aproximadQ = 3.218 75 - 5.25 = -2.031 25

gundo paso: O , expresado como error relativo porcentual, E, = -63.1 % . en el se-

y(1.0) = y ( O . 5 ) + f(0.5, 5.25) 0.5

= 5.25 + [ ~ - 2 ( 0 . 5 ) ~ + lZ(O.5)' - 20(0.5) + 8.530.5

= 5.875

.I "_ -. .

Page 541: Metodos numericos para ingenieros

530 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 16.1 Comparación de los valores verdaderos y aproximados de la inte- gral de y' = 2x3 + 1 2x2 -2Ox + 8.5, con la condición inicial de que y 1 en x O. Los valores presentados se calcularon usando el mé- todo de Euler con un tamaño de paso de 0.5. El error local se refiere al error obtenido en un paso. E l error global es IQ diferencia total debido a los pasos anteriores así como al actual

e,, error relativo Doreentual X Yverdadero

0.0 1 .O00 O0 0.5 3.218 75 1 .o 3.000 OG 1.5 2.218 75 2.0 2.000 O0 2.5 2.718 75 3.0 4.000 O0 3.5 4.718 75

~ 4.0 3.000 O0

__ YEuler

1 .O00 O0 5.250 O0 5.875 O0 5.125 O0 4.500 O0 4.750 O0 5.875 O0 7.125 O0 7.000 O0

Global local

-63.1 -63.1 -95.8 -28.0 "1 31 .O -1.41 - 1 25.0 20.5

-75.7 17.3 -46.9 4.0 -5 1 .O -1 1.3

-1 33.0 -53.0

FIGURA 16.3 Comparación de la solución verdadera con una solución numérica usando el método de Euler para la integral de y ' = -í!x3 + 12x2 -2Ox + 8.5 de x = O a x = 4 con un tamaño de paso de 0.5. La condición inicial en x = O es y = l .

La solución verdadera en x = 4.0 es 3.0, y por lo tanto el error relativo porcentual es -95.8%. Los cálculos se repiten, los resultados se resu- men en el cuadro 16.1 y en la figura 16.3. Obsérvese que, aunque los

Page 542: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE UN PASO 53 1

cálculos capturan la tendencia general de la solución verdadera, el error es considerable. Como se analiza en la siguiente sección, este error se puede reducir usando un tamaño de paso menor.

16.1.1 Análisis de error en el método de Euler

La solución numérica de E D 0 incluye dos tipos de error (recuérdese la sección 3.6) :

1. Errores de truncamiento causados por la naturaleza de los métodos empleados en la aproximación a los valores de y , y

2. Errores de redondeo causados por el número limitado de dígitos o de cifras significativas que puede retener la computadora.

Los errores de truncamiento se componen de dos partes. La primera es un error de truncamiento local que resulta al aplicar el método en cues- tión en un paso. El segundo es un error de programación que resulta de las aproximaciónes producidas durante los pasos anteriores. La suma de los dos es el error de truncamiento global.

El conocimiento de la magnitud y propiedades del error de trun- camiento se puede obtener derivando el método de Euler directamente de la expansión de la serie de Taylor. Con el fin de hacer esto recuérde- se que la ecuación diferencial que se está integrando será de la forma general.

Y ' = f k Y) [16.3]

donde y' = dy/dx y x e y son las variables independiente y dependien- te, respectivamente. Si la solución, esto es, la función que describe el com- portamiento de y tiene derivadas continuas, ésta se puede representar mediante una expansión de la serie de Taylor alrededor del punto inicial (xl,yi), como en [recuérdese la Ec. (3.14)]:

donde h = x,, - x, y R, es el término residual definido como

[16.4]

r16.51

Page 543: Metodos numericos para ingenieros

532 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

donde <;.está dentro del intervalo de x; a xi+ Se puede desarrollar una forma alternativa sustituyendo la ecuación (16.3) en las ecuaciones (16.4) y (16.5) y obtener.

[16.6]

en donde O (h"+ ') especifica que el error de truncamiento local es pro- porcional al tamaño de paso elevado a la (n + 1)-ésima potencia.

Comparando las ecuaciones (16.2) y (16.6), puede verse que el mé- todo de Euler corresponde a la serie de Taylor truncada hasta el término f (xi , yi) h. Adicionalmente, la comparación indica que el error de trun- camiento se debe a que se aproxima la solución verdadera usando una cantidad finita de términos de la serie de Taylor. Por lo tanto, se trunca o se deja fuera una parte de la solución verdadera. Por ejemplo, el error de truncamiento en el método de Euler es atribuible a los términos res- tantes de la expansión que no se incluyen en la ecuación (16.2). Restan- do la ecuación (16.2) de la ecuación (16.6) se obtiene

[ 16.71

donde € , e s el error de truncamiento local. Para una h lo suficientemen- te pequeña, los errores en los términos de la ecuación (16.7) decrecen por lo común a medida que el orden crece (recuérdese el ejemplo 3.7 y el análisis que lo acompaña), y el resultado, a menudo, se representa como

O

E, = O(h2)

[16.8]

[16.9]

donde E, es el error de.truncamiento local aproximado.

EJEMPLO 16.2 Aproximación del error en el método de Euler usando la serie de Taylor.

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (16.7) para aproximar el error del primer paso del ejemplo 16.1. Úsese también la ecuación para

Page 544: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 533

determinar el error ocasionado por cada uno de los términos de orden superior de la expansión de la serie de Taylor.

Solución: debido a que se trata de un polinomio, se puede usar la expan- sión de la serie de Taylor para obtener una aproximación exacta del error usando el método de Euler. La ecuación (16.7) se puede escribir como:

rE16.2.11

en donde !’(x,, y,) es la primera derivada de la ecuación diferencial (es decir, la segunda derivada de la función original). Para este caso, es:

f‘(xi, yi) = - 6 ~ ’ + 2 4 ~ - 20 [E16.2.2]

y f “ (xi , y) es la segunda derivada de la E D 0

ff’(xi, yi) = - 1 2 ~ + 24 [E16.2.3]

y f”’ (xi, yi) es la tercera derivada de la E D 0

f”’(Xi, y¡) = -12 rE16.2.41

Se pueden omitir los términos adicionales (esto es, las derivadas cuarta y de orden superior) de la ecuación (E16.2.1) ya que en este caso en particular son cero. Se debe notar que en otras funciones (por ejemplo), las funciones trascendentes tales como seno, coseno o exponenciales) esto no es necesariamente cierto, y los términos de orden superior no valen cero. Sin embargo, en este caso, las ecuaciones (E16.2.1) hasta la (E16.2.4) definen completamente el error de truncamiento de una apli- cación del método de Euler.

Por ejemplo, el error debido al truncamiento del segundo término se puede calcular como:

-6(0.0)’ + 24(0.0) - 20 2 E u 2 = (0.5)2 = -2.5

Para el término de tercer orden

-12(0.0) + 24 6 Eu3 = (0.5)3 = 0.5

y para el término de cuarto orden:

- 12 24 Eu4 = - (0.5)4 = -0.031 25

Page 545: Metodos numericos para ingenieros

534 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Estos tres valores se pueden sumar para obtener el error total de trunca- miento:

E, E,,z + Eu,3 + Eu,4 = -2.5 + 0.5 - 0.031 25 = -2.031 25

que es exactamente el error incurrido en el paso inicial del ejemplo 16.1. Obsérvese cómo .E,,* > E,,3 > E,,4, que apoya la aproximación repre- sentada por la ecuación (16.8).

I

Como se puede ver en el ejemplo 16.2, la serie de Taylor es un me- dio para cuantificar el error en el método de Euler. Sin embargo, existen muchas limitaciones asociadas con su uso para este propósito:

1. La serie de Taylor sólo proporciona una aproximación local del error de truncamiento, es decir, el error generado durante el primer paso del método. No proporciona una medida de la propagación y , por ello, el error global de truncamiento. En el cuadro 16.1 se han inclui- do los errores de truncamiento locales y globales del ejemplo 16.1. El error local se calcula para cada uno de los valores de x con la ecua- ción (16.2), pero usando el valor verdadero de y, (la segunda columna del cuadro para calcular cada una de las en lugar del valor aproxi- mado (la tercera columna), como se hizo con el método de Euler. Como era de esperarse, el promedio local del error de truncamiento (25%) es menor al error global promedio (90%). La única razón por la que se podrían calcular estos errores exactamente sería la de cono- cer a priori el valor verdadero. Este no es el caso en un problema como el actual. Por consiguiente, como se analiza anteriormente, por lo co- mún se deben aplicar los métodos tales como el Euler utilizando un tamaño de paso diferente hasta obtener una aproximación indirecta de los errores considerados.

2. Como se menciona anteriormente, en problemas verdaderos, usualmente se trata con funciones más complicadas que un simple polinomio. Por consiguiente, las derivadas necesarias para evaluar la serie de Taylor no siempre son fáciles de obtener.

Aunque estas limitaciones no ayudan en el análisis exacto de errores en la mayor parte de los problemas prácticos, la serie de Taylor propor- ciona una idea valiosa del comportamiento del método de Euler. De acuer- do a la ecuación (16.8), se ve que el error local es proporcional al cuadrado del tamatio de paso y la primera derivada de la ecuación diferencial. Tam- bién se puede demostrar que el error global de truncamiento es O ( h ) ; esto significa que es proporcional al tamaño del paso (Carnahan et al., 1969). Estas observaciones llevan a las siguientes conclusiones:

Page 546: Metodos numericos para ingenieros

MhODOS DE UN PASO 535

1. El error se puede reducir disminuyendo el tamaño del paso.

2. El método proporciona predicciones libres de error si la función fun- damental (esto es, la solución a la ecuación diferencial) es lineal, ya que la segunda derivada de una línea recta es cero.

Esta última conclusión tiene sentido intuitivo debido a que el método de Euler usa segmentos de línea recta para aproximar la solución. De aquí que, el método de Euler se conozca como método de primer orden.

EJEMPLO 16.3 Efecto de la reducción del tamaño de paso en el método de Euler

Enunciado del problema: repítanse los cálculos del ejemplo 16.1 usando un tamaño de paso igual a 0.25.

Solución: se repiten los cálculos, y los resultados se muestran en la figura . 16.4a. AI utilizar el tamaño de paso más pequeño, se reduce el valor ab- soluto del error global promedio en un 40% y el valor absoluto del error local en un 6.4%. Esto es comparable con los errores globales y locales del ejemplo 16.1 del 90% y.del24.8%. Por lo tanto, como era de espe- rarse, el error local se reduce a la cuarta parte y el error global se reduce a la mitad.

Obsérvese también que el error local cambia de signo en valores in- termedios a lo largo del rango de valores. Esto se debe, en primer lugar, a que la primer derivada de la ecuación diferencial es una par6bola que cambia de signo [recuérdese la Ec. (E16.2.2) y véase la Fig. 16.4bl. De- bido a que el error local es proporcional a esta función, el efecto neto de la oscilación en el signo es el de mantener el error global en crecimien- to continuo a medida que aumentan los cálculos. Por lo tanto, de x = O a x = 1.25, los errores locales son todos negativos y por consiguiente, el error global crece en este intervalo. En la sección intermedia del rango, los errores locales positivos empiezan a disminuir el error global. Cerca del extremo, el proceso se invierte y el error global nuevamente crece. Si el error local cambiara continuamente de signo sobre el intervalo de interés, entonces el efecto neto, por lo general, minimizaría el error glo- bal. No obstante, en donde los errores locales son del mismo signo, la solución numérica puede diverger cada vez más rápido de la solución ver- dadera a medida que los cálculos aumentan. Estos resultados se dice que son inestables.

Page 547: Metodos numericos para ingenieros

536 M~TODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 16.4 a) Comparación de dos soluciones numéricas con el método de Euler usando tamaños de paso de 0.5 y 0.25 b) Comparación de los erro- res de truncamiento locales verdaderos y aproximados.

En la figura 16.5 se ilustra el efecto de reducir más y más el tamaño del paso sobre el error de truncamiento global con el método de Euler. Esta gráfica muestra el error relativo porcentual en x = 5 en función del tamaño del paso sobre los problemas que se han analizado en los ejem- plos 16.1 al 16.3. Nótese que aun cuando h se ha reducido a 0.001, el error aún excede al O. 1 W . Debido a que este tamaño de paso correspon- de a 5 O00 iteraciones que van desde x = O hasta x = 5 , la gráfica mues- tra que los métodos de primer orden tales como el de Euler demandan un gran esfuerzo de cálculo para obtener niveles de error aceptabies. En las siguientes secciones se muestran métodos de órdenes superiores que alcanzan mucha más exactitud con el mismo esfuerzo de cálculo. Sin em- bargo, se debe notar que a pesar de su ineficiencia, la simplicidad del mé-

Page 548: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 537

FIGURA 16.5 Efecto del tamaño de paso sobre el error global de truncamiento en el método de Euler para la integral de y' = 2x3 + 1 2 2 - 20x + 8.5. La gráfica muestra el error relativo porcentual en x = 5 en función del ta- maño de paso.

todo de Euler hace muy atractivo su uso dn muchos problemas de la ingeniería. Debido a que es muy fácil de programar, el método es parti- cularmente útil en cálculos iniciales rápidos, previos a un análisis de esca- la completa. En la siguiente sección, se desarrolla un programa para computadora sobre el método de Euler.

16.1.2 Programa para computadora del método de Euler

Los algoritmos de métodos de un paso tales como el de Euler son fáciles de programar en una computadora personal. Como se menciona previa- mente al principio del capítulo, los métodos de un paso tienen la forma:

Valor actual = valor anterior + pendiente X tamaño del paso

[ 16.101

En lo Único que se diferencian los métodos es en la forma en que calcu- lan la pendiente.

Aunque el programa de la figura 16.6 está disenado específicamente para implementar el método de Euler, va dirigido a la forma general de

Page 549: Metodos numericos para ingenieros

538 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

COMMOH x . Y F( X , Y )-4*EXP< ~ 8bX )- R E A D ( 5 , l )XO.X1

1 FORUaT( 2F1 O . O )

2 F O R M l T ( F 1 0 . 0 ) READ< S , 2 )YO

READ( S , 2 )n

NC-PI/H

REIID( S , 2 )PI NP-<Xl-XO>/PI

x-x0

Y R I T E ( 6 , 3 ) X , Y Y-YO

3 FORMfIT < ’ ’ . 2F20 .3) DO 270 I - l . N P DO 250 J-1,NC C A L L EUL~SL ) Y - w s L w x-x+n

250 CONTINUE U R I T E < 6 , 3 ) X , Y

270 CONTINU€ STOP €NO

INPUT K O . X 1 X I - .S * Y

INPUT H INPUT YO

NP = ( X I - X O ) / PI INPUT P i

NC = P I / H x = x c:, Y = Y0

PRINT X , Y FhR I = 1 TU NP

FDSIJU l0OC:l FUR J = 1 ro NC

X = X + H f = I + S L * H

NEXT J P R I N l X . V NEXT I ENIl

X 0 . X l = valor lnclal y flnal de la vanable mdependlente

YO = valor lniclal de la varlable dependlente

H = tamaño del paso

PI = Intervalo de mpreslán

NP = numero de pasos de Irnpreslón

NC = numero de Dasos de calculo

ISubrutlna para calcular la pendlentel

RETURN EN0

FIGURA 16.6 Programa para la computadora del método de Euler en FORTRAN y BASIC.

la ecuación (16.10). Todo lo que se requiere para aplicar este programa a otro método de un paso es modificar el cálculo de la pendiente en la subrutina (línea 1 000).

El progama de la figura 16.6 no es legible al usuario, está diseñado estrictamente para arrojar la respuesta. En el problema 16.12 se deja de tarea el hacer este programa más fácil de usar y de entender. En el pa- quete suplementario de programas NUMERICOMP asociado con este li- bro se incluye un ejemplo de un programa legible al usuario sobre el método de Euler. El siguiente ejemplo demuestra el uso de este programa en la solución de EDO. También proporciona una referencia para la validación y la prueba de sus programas.

Page 550: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 539

la parte I que el modelo matemático de la velocidad se basa en la segun- da ley de Newton de la forma:

dv C

dt - g - m U "

Se resuelve la ecuación diferencial analíticamente (ejemplo l. 1) y numé- ricamente usando el método de Euler (ejemplo 1.2). El objetivo de este ejemplo es el de repetir estos cálculos numéricos empleando un modelo sobre la velocidad más complicado basado en una descripción matemáti- ca más completa acerca del coeficiente de fricción causado por la resis- tencia del viento. Este modelo está dado por:

[E16.4.1]

en donde a, b y umáX son constantes empíricas. Obsérvese que este mo- delo es capaz de ajustar más exactamente medidas empíricas de coefi- cientes de fricción contra la velocidad que el modelo lineal simple del ejemplo l. l. Sin embargo, esto incrementa la flexibilidad a expensas de evaluar tres coeficientes en vez de uno. Además, el modelo matemático resultante es más difícil de resolver analíticamente. En este caso, el méto- do de Euler proporciona una alternativa conveniente para obtener una solución numérica aproximada.

FIGURA 16.7 a) Resultados tabulares de los cálculos y b) resultados gráficos de la so- lución de la E D 0 [Ec. (E16.4.11. Nótese que b) también muestra la solu- ción del modelo lineal con propósitos de comparación. De hecho, el programa no está diseñado para superponer gráficas de esta manera.

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540 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Solución: se usará el paquete NUMERICOMP para abordar la ecuación (E16.4.1). En la figura 16.7a se muestra la solución del modelo con un tamaño de paso de O. 1 s. Para propósitos de comparación en la gráfica de la figura 16.7b se muestra la solución no lineal y el modelo lineal superpues- tos. Nótese que la computadora puede graficar sólo una solución a la vez.

Los resultados de los dos cálculos indican el crecimiento de la com- plejidad en la formulación de los efectos que la fuerza de fricción ejerce sobre la velocidad del paracaidista. En este caso, la velocidad terminal disminuye debido a la resistencia causada por los términos de orden su- perior en la ecuación (E16.4.1).

Se pueden probar modelos alternos de manera similar. La combina- ción del paquete NUMERICOMP y la computadora hacen que esto sea una tarea fácil y eficiente. Esta conveniencia permite al usuario dedicar más de su tiempo en considerar alternativas creativas y aspectos globales del problema en lugar de los tediosos cálculos manuales.

16.1.3 Métodos con serie de Taylor de orden superior

Una manera de reducir el error en el método de Euler sería incluir térmi- nos de orden superior en la expansión de la serie de Taylor alrededor de la solución. Por ejemplo, incluyendo el término de segundo orden de la ecuación (16.6) se obtiene

[16.11]

con un error local de truncamiento de:

Aunque la incorporación de términos de orden superior es lo suficien- temente simple como para implementarse en polinomios, su inclusión no es tan trivial cuando la E D 0 es complicada. En particular, las E D 0 que son una función de la variable dependiente y de la variable independien- te requieren derivación con la regla de la cadena. Por ejemplo, la prime- ra derivada de f (x, y) es

La segunda derivada es

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MhODOS DE UN PASO 54 1

Y las derivadas de orden superior vienen a ser crecientemente más com- plicadas.

Por consiguiente, como se dijo en las secciones previas, se han desa- rrollado métodos alternativos de un paso. Estos esquemas son compara- bles en ejecución a1 de la serie de Taylor de órdenes superiores pero re- quieren únicamente el cálculo de la primera derivada.

16.2 MODIFICACIONES Y MEJORAS AL MÉTODO DE EULER

Una fuente fundamental de error en el método de Euler es que la deriva- da al principio del intervalo se supone que se aplica a través del intervalo entero. Existen dos modificaciones simples para ayudar a evitar este in- conveniente. Como se demuestra en la sección 16.3, las dos modifica- ciones en realidad pertenecen a una clase mayor de métodos de solución llamados métodos de Runge-Kutta. Sin embargo, ya que tienen una in- terpretación gráfica sencilla, se presentan antes de la derivación formal de los ,métodos de Runge-Kutta.

16.2.1 Método de Heun

Un método para mejorar la aproximación a la pendiente implica el cálcu- lo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el punto final. En seguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una aproximación mejorada de la pendiente en el intervalo completo. Este esquema, llamado método de Heun, se muestra gráficamente en la figu- ra 16.8.

Recuérdese que en el método de Euler, la pendiente al principio de un intervalo

Y: = !(X¡, Y¡> r16.121

Se usa para extrapolar linealmente a

En el método estándar de Euler se pararía en este punto. Sin embargo, en el método de Heun, la calculada con la ecuación (16.3) no es la respuesta final sino una predicción intermedia. Esto se debe a que se ha distinguido a ésta con el superíndice O. La ecuación (16.13) se llama ecuación.predictora. Proporciona una aproximación de y¡+ que permi- te el cálculo de una pendiente aproximada al final del intervalo:

y:+1 = f (Xi+l , Y?*d [16.14]

"P "__ I.. .. . .. ".".,

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542 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 16.8 Esquema gráfico del método de Heun. o) Predictor y b) corrector.

Por 10 tanto, se pueden combinar las dos pendientes [ecuaciones (16.12) y (16.14)] y obtener una pendiente promedio sobre el intervalo:

Esta pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente de y, a y, , usando el método de Euler:

que se llama una ecuación correctora. El método de Heun es un esquema predictor-corrector. Todos los mé-

todos de pasos múltiples por discutirse en el capítulo 17 son de este tipo. El Único método corrector-predictor de un paso descrito en este libro es el método de Heun. Como se dijo antes, se puede expresar concisamen- te como:

Page 554: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE UN PASO 543

I Predictor (Fig 16.8a): = yi + f (x i , yi) h I [16.15]

Corrector (Fig. 16.8b): yi+l = yi + f k i , Y¡> + f(Xi+lr Y ? + J [16.161 2

Nótese que debido a que la ecuación (16.16) tiene y¡+ 1 en ambos lados del signo igual, ésta puede aplicarse para “corregir” en un esquema itera- tivo. Esto es, se puede usar una aproximación anterior varias veces para proporcionar una aproximación mejorada de El proceso muestra en la figura 16.9. Se debe entender que este proceso no necesariamente converge a la respuesta correcta sino que converge a una aproximación con un error de truncamiento finito, como se demuestra en el siguiente ejemplo.

Como con los métodos iterativos similares analizados en las seccio- nes previas del libro, un criterio de paro en la convergencia del corrector lo proporciona [recuérde la ecuación (3.5)]

[16.17]

en donde y!;: y y j+l son el resultado de la iteración anterior y actual del corrector, respectivamente.

FIGURA 16.9 Representación gráfica de la iteración del corrector del método de Heun para obtener una rrleior aproximación.

Page 555: Metodos numericos para ingenieros

544 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 16.5 Método de Heun

Enunciado del problema: empléese el método de Heun para integrar y ' = 4e0 8x - 0 . 5 ~ desde x = O a x = 4 con tamaño de paso 1. La con- dición inicial en x = O es y = 2.

Solución: antes de resolver el problema numéricamente, se puede efec- tuar el cálculo mediante la siguiente solución analítica:

4 1.3

y = - e-0.5~) + & - 0 . 5 ~ [E16.5.1]

Esta fórmula se puede usar para generar los valores verdaderos los cua- les se presentan en el cuadro 16.2.

La solución numérica se obtiene usando la fórmula predictora [Ec. 16.15)] para obtener un valor de y para 0.5:

y': = 2 + [4e0 - 0.5(2)] 1 = 5

Obsérvese que este es el resultado que se debería obtener con el método de Euler estándar. Usando el valor verdadero del cuadro 16.2, a este corresponde un error relativo porcentual del 19.3%.

La pendiente en (xo, yo) es

yó = 4 e o - 0.5(2) = 3

Este resultado es muy diferente de la pendiente promedio verdadero en intervalo de O a 1.0, que es igual a 4.194 6, calculada de la ecuación diferencial original usando la ecuación (V.3). Por lo tanto, para mejorar la aproximación de la pendiente, se usa el valor y: para predecir la pen- diente al final del intervalo:

que se puede combinar con la pendiente inicial y obtener:

que es más cercana a la pendiente promedio de 4.194 6. Este resultado se puede sustituir en la ecuación correctora [Ec. (16.16)] para obtener la predicción en x = 1:

y1 = 2 + (4.701 081 86)l = 6.701 081 86

Page 556: Metodos numericos para ingenieros

MCTODOS DE UN PASO 545

CUADRO 16.1 Comparacidn de los valores verdaderos y aproximados de la inte- gral de y' = 4eo*8x -0.5~ con la condicidn incial de que y 2 en x O. Los valores aproximados se calcularon usando el metodo de Heun con un tamaño de paso de 1. Se muestran dos casos, corres- pondientes a números diferentes de iteraciones del corrector, jun- to con el error relativo porcentual absoluto

lteraciones con el metodo de Heun

1 15

x Yverdmdero Yheun lEvl '10 Yheun kv1

O 2.000 O00 O0 2.000 O00 O0 0.00 2.000 O00 o 0.00 1 6.194 631 38 6.701 081 86 8.18 6.360 865 49 2.68 2 14.843 921 9 16.319 781 9 9.94 15.302 236 7 3.09 3 33.677 171 8 37.1 99 248 9 10.46 34.743 276 1 3.17 4 75.338 962 6 83.337 767 4 10.62 77.735 096 2 3.18

que representa un error relativo porcentual del -8.18%. Por lo tanto, el método de Heun reduce el valor absoluto del error en un factor de 2.4 comparado con el método de Euler.

Ahora esta aproximación se puede usar para refinar o corregir la pre- dicción de y l sustituyendo el nuevo resultado de nuevo en el lado dere- cho de la ecuación (16.16):

[3 + 4eo.8"' - 0.5(6.701 081 86)] y ] = 2 +

2 1 = 6.275 811 39

que representa un error relativo porcentual del 1.31%. Este resultado, a su vez se puede sustituir en la ecuación (16.16) para una mejor aproxi- mación yl:

[3 + 4eo.8(1) - 0.5(6.275 811 39)] y 1 = 2 +

2 = 6.382 129 O 1

que representa un error 1 ~ ~ 1 de 3.03%. Nótese cómo los errores algunas veces crecen a medida que las iteraciones avanzan. Por ejemplo, en las tres iteraciones el error crece en un 3.03%, estos incrementos pueden ocurrir, especialmente en tamaños de paso muy grandes. El usuario debe evitar la conclusión general de que una iteración adicional siempre mejora el resultado. No obstante, para un tamaño de paso lo suficien- temente pequeño, la iteración debe eventualmente converger a un solo valor. En este caso, se obtiene el resultado 6.360 865 49, que representa un error relativo del 2.68% después de 15 iteraciones. En el cuadro 16.2 se muestran los resultados de los calculos restantes usando el método con 1 y 15 iteraciones por paso.

Page 557: Metodos numericos para ingenieros

546 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

En el ejemplo anterior, la derivada es una función de la variable de- pendiente y y de la variable independiente x. Para casos polinomiales, en donde las E D 0 son sólo función de la variable independiente, el tamaño predictor [Ec. (16.15)J n o se necesita y se aplica únicamente el corrector a cada una de las iteraciones. En estos casos el método se expresa abreviadamente como

[16.18]

Nótese la similitud entre el lado derecho de la ecuación (16.18) y la regla trapezoidal [Ec. (13.3)]. La conexión entre los dos métodos se pue- de demostrar formalmente empezando con la ecuación diferencial ordinaria

Esta ecuación se resuelve para y integrando: r+' dy = R" !(x) dx

que lleva a

[16.19]

[16.20]

O

Y i t l = yi + [+I f(x) dx [16.21]

Ahora, recuérdese de la sección 13.1 que la regla trapezoidal [Ec. (13.3)] se define como

o, en este caso

L16.221

donde h = xi+l - xi. Sustituyendo la ecuación (16.22) en la ecuación (16.21) se obtiene

Page 558: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE U N PASO 547

[16.23]

que es equivalente a la ecuación correctora [Ec. (16.16)]. Debido a que la ecuación (16.23) es una expresión directa de la regla

trapezoidal, el error local de truncamiento está dado por [recuérdese la Ec. (13.6)]

[16.24]

donde está entre xi y xi+l. Por lo tanto, el método es de segundo orden debido a que la derivada de segundo orden de E D 0 es cero cuando la solución es cuadrática. Además, los errores local y global son de O(h3) y O(h2), respectivamente. Por lo tanto, disminuyendo el tamaño de pa- so se disminuye también el error más rápidamente que usando el méto- do de Euler. La figura 16.10, que muestra el resultado de usar el método de Heun para resolver el polinomio del ejemplo 16.1, demuestra este com- portamiento.

16.2.2 Método meiorado del polígono (Euler modificado)

La figura 16.11 ilustra otra modificación simple del método de Euler. Es- te método, llamado poligono mejorado (o € d e r modificado), usa el mé-

Figura 16.1 O Comparación de la solución verdadera con un método numérico usan- do los métodos de Euler y Heun de la integral de y' = -2x3 + 12x2 - 2oX + 8.5

"""",", . . - . - ' ... .

Page 559: Metodos numericos para ingenieros

548 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 16.11 Esquema gráfico del método del polígono mejorado. a) Ecuación ( 1 6.25) y b) ecuación ( 1 6.27).

todo de Euler para predecir un valor de y en el punto medio del intervalo (Fig. 16. l l a ) :

116.251

Entonces este valor predecid0 se usa en la aproximación de la pendiente en el punto medio:

I y:+1/2 = f(Xi+l/2, Yi+l/2) I [16.26]

lo cual, se supone, representa una aproximación válida de la pendiente promedio en el intervalo completo. Esta pendiente se usa para extrapo- lar linealmente de x, a x,, usando el método de Euler (Fig. 16. l l b ) :

Page 560: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 549

1 Y i + l = Y¡ + f(X,+1,2, Yi+l/2)h 1 [16.27]

Nótese que debido a que no está en ambos lados, la correctora [Ec. (16.27)] no se puede aplicar iterativamente para mejorar la solución.

El método del polígono mejorado es superior al método de Euler ya que éste utiliza una aproximación de la pendiente en el punto medio del intervalo de prediccfón. Recuérdese del análisis de derivación numérica de la sección 3.5.4 que las diferencias divididas centrales fueron mejores aproximaciones a la derivada que las versiones hacia adelante y atrás. En el mismo sentido, una aproximación centrada, como la ecuación (16.26) tiene un error de truncamiento local de O(h2) en comparación con la aproximación hacia adelante del método de Euler que tiene un error de O(h) . Por consiguiente, los errores local y global del método del poli- gono mejorado son O(h3) y O(h2), respectivamente.

16.2.3 Algoritmo para la computadora de los métodos de Euler meiorado y modificado

El método de Heun con un corrector simple y el método mejorado del polígono se pueden programar con facilidad usando la estructura general mostrada en la figura 16.6. Es una tarea relativamente simple la de mo- dificar la subrutina del programa general para calcular la pendiente de acuerdo con estos métodos.

Sin embargo, cuando se implementa la versión iterativa del método de Heun, las modificaciones son un poco más complicadas. En la figura 16.12 se ha desarrollado una subrutina para este propósito. Esta subruti-

SUBROUTINE HEUN( X , Y > COMMON H. I M , E S F( X , Y )-4*EXP( , 8 o X )- , 5-Y

X-X+N S l = F < X , Y )

Y I = Y + $ I * n DO 1100 IT=l.IM S P - F ( X . Y l )

SL-~s1*S2, , '2

EA=ABS( ( V 2 - Y I )/Y2 M 1 0 8 YP-Y+SL.M

Y I -Y2 I F < E A . L E , E S ) G O TO I 1 2 0

Y R I T E ( 6 . 4 ) E A I 1 O9 CONTINUE

4 FORMAT( ' ' I ' L A I T E R A r l O N M A X I M A EXCEDID EA=

I 1 2 0 X-X-H C F 1 0 . 5 )

RETURN E N 0

S1 = pendiente al prmclplo del intervalo Y1 = prediccldn al h i l l del 1nterva10 IM = ttsracl6n rnAxma del COrleCtOr S2 = pendente al fm.9 del !"tervalo SL = pendmnte promedlo

EA = error calculado % fCorrector1

ES = error aceptable1 fPrueba del error donde

FIGURA 16.12 Versiones en FORTRAN y BASIC de la subrutina que implementa el mé- todo iterativo de Hewn.

""" " .. . . _, . " . .. ., . . - .

Page 561: Metodos numericos para ingenieros

550 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

na se puede combinar con la figura 16.6 para desarrollar programas del método iterativo de Heun.

16.2.4 Resumen

Manipulando el método de Euler se han derivado dos nuevos métodos de segundo orden. Aun cuando estas versiones requieren mayor esfuer- zo de cálculo para determinar la pendiente, la reducción que acompaña al error permitirá concluir en una sección subsiguiente (sección 16.3.4) que la exactitud mejorada es, en general, merecedora del esfuerzo. Aunque existen ciertos casos en donde los métodos fácilmente programables tales como el método de Euler se pueden aplicar ventajosamente, los mé- todos del polígono mejorado son generalmente superiores y se deben im- plementar si son consistentes con los objetivos del problema.

Como se menciona al principio de la sección, el método de Heun (sin iteraciones), el método del polígono mejorado y , de hecho, el método mismo de Euler son versiones de una clase más amplia de esquemas de un paso llamado métodos de Runge-Kutta. Ahora se desarrolla la deriva- ción formal de estos métodos.

16.3 MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA

Los métodos de Runge-Kutta tienen la exactitud del esquema de la serie de Taylor sin necesitar del cálculo de derivadas superiores. Existen mu- chas variaciones pero todas ellas se pueden ajustar a la forma general de la ecuación (16.1):

Yi+l = Y, + +(Xi, Yi, h) h r16.281

donde a 4 (xi, yi, h ) se le llama función de incremento y puede interpre- tarse como el promedio de la pendiente sobre el intervalo. La función de incremento se puede escribir en la forma general como

# = alkl + a2k2 + * * + ankn [16.29]

en donde las a son constantes y las k son

[16.29a]

[16.29b]

Page 562: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO SS 1

Obsérvese que las k son relaciones recurrentes. Esto es, kl aparece en la ecuación de kZ, que aparece en la ecuación de k3, etc. Esta recurren- cia hace a los métodos RK eficientes para su cálculo en computadora.

Se pueden desarrollar varios métodos de Runge-Kutta empleando una cantidad diferente de términos en la función de incremento especificados por n. Nótese que el método RK de primer orden con n = 1 es, de he- cho, el método de Euler. Una vez que se ha escogido n, los valores de las a, de las p y de las q se evalúan igualando la ecuación (16.28) a los términos en una expansión de la serie de taylor (recuadro 16.1). Por lo tanto, al menos para versiones menores de la orden, en general, el nú- mero de términos n representa el orden del método. Por ejemplo, en la siguente sección, los métodos RK de segundo orden usan una función de incremento con dos términos (n = 2). Estos métodos de segundo or- den son exactos si la solución a la ecuación diferencial es cuadrática. Ade- más, debido a que se desprecian los términos con h 3 y de orden superior durante la derivación, el error local de truncamiento es O(h3) y el error global es O(h2). En secciones posteriores se desarrollan los métodos RK de tercer y cuarto orden (n = 3 y 4). En estos casos, los errores globales de truncamiento son O(h3) y O(h4), respectivamente.

RECUADRO 16.1 Obtención de los coeficientes de los métodos de segundo orden de Runge-Kutta

La versión de segundo orden de la ecuación (16.28) es:

donde

[B16.1.5]

Sustituyendo la ecuaci6n (B16.1.5) en (B16.1.4) se obtiene:

donde f' (xi, y,) debe determinarse derivando con la re- g(x+r, y + ~ ) = g(x, y) + r- as + s- as + * - . gla de la cadena (sección 16.1.3): ax ay

Page 563: Metodos numericos para ingenieros

552 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Aplicando este método en la expansión de la ecuación Ahora, comparando términos semejantes en las ecuacio- (B16.1.3) se obtiene nes (B16.1.6) y (B16.1.7), se determina que para que las

dos ecuaciones sean equivalentes, se debe cumplir lo si-

f(xt + plh, Y I + q11klh) guiente:

al + a2 = 1

azpl = $

a2q11 = 5 Este resultado se puede sustituir junto con la ecuación 1

(B16.1.2) en la ecuación (B16.1.1) para obtener

Estas tres ecuaciones simultáneas contienen las cuatro

más que el número de ecuaciones, no hay un conjunto Único de valores que satisfagan las ecuaciones. Sin em-

yi+l = y, + alhf(x1, y11 + a2hf(xi, yi) constantes incógnitas. Debido a que existe una incógnita

af ax ay bargo, adjudicándole un valor a una de las constantes, se

+ azph2- + azqllh2f(xi, y3- af +o@ 3) pueden determinar las otras tres. Por consiguiente, existe

una familia de métodos de segundo orden en vez de una o, reordenando términos, sola versión.

+ o(h3) [B16.1.7]

16.3.1 Métodos de Runge-Kutta de segundo orden

La versión de segundo orden de la ecuación (16.28) es

[16.30]

[16.30a]

[16.30b]

Como se describe en el recuadro 16.1, los valores de a l , a2, P1 y q1 se evalúan igualando la ecuación (16.30) a la expansión de la serie de Tay- lor hasta el segundo término. Haciendo esto, se obtienen tres ecuaciones para evaluar las cuatro incógnitas constantes. Estas tres ecuaciones son

al + a2 = 1 [16.31]

[16.32]

[16.33]

Page 564: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 553

Debido a que se tienen tres ecuaciones con cuatro incógnitas se debe suponer el valor de una de las incógnitas para determinar las otras tres. Supóngase que se especifica el valor de a2. Entonces las ecuaciones (16.31) a la (16.33) se resuelven simultáneamente para:

a1 = 1 - a2 1

[16.34]

P1 = 911 = - 1

2a2 [16.35]

Ya que se puede escoger una cantidad infinita de valores de a2, existe un número infinito de métodos de RK de segundo orden. Cada versión llevaría exactamente a los mismos resultados si la solución de la E D 0 es cuadrática, lineal o constante. Sin embargo, llevan a resultados diferen- tes cuando la solución es más complicada (como es el caso típico). A con- tinuación se muestran tres de las versiones más comúnmente usadas y preferidas:

Método de Heun con un corrector simple (a2 = 1/2). Si se considera que a2 es igual a un medio (1/2), entonces 1% ecuaciones (16.34) y (16.35) se pueden resolver para al = 1/2 y p1 = qll = 1. Estos pará- metros, cuando se sustituyen en la ecuación (16.30) generan

[16.36]

donde

[ 16.364

l16.3661

Obsérvese que kl es la pendiente al principio del intervalo y k2 es la pen- diente al final del intervalo. Por consiguiente, este segundo método de Runge-Kutta es realmente el método de Heun con una sola iteración del corrector.

El método meiorado del polígono (a2 = 1). Si se supone que a2 sea 1, entonces al = C, p1 = ql l = 1/2, y la ecuación (16.30) viene a ser:

[16.37]

donde

[16.37a]

[16.376]

Page 565: Metodos numericos para ingenieros

554 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Este es el método mejorado del polígono

Método de Ralston (a2 = 2/3). Ralston (1962) y Ralston y Rabinowitz (1978) determinaron que escoger a2 = 2/3 proporciona un límite míni- mo en el error de truncamiento de los algoritmos RK de segundo orden. Para esta versión, a , = 1/3 y p1 = qI1 = 3/4:

donde

[16.38]

EJEMPLO 16.6 Comparación de varios métodos RK de segundo orden

Enunciado del problema: utilícese el polígono mejorado [Ec. (16.3711 y el método de Ralston [Ec. (16.38)] para integrar numéricamente la ecua- ción (VI. 14) :

f(x, y) = - z X 3 + 12x* - zox + 8.5

desde x = O hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 0.5. La condi- ción inicial en x = O es y = 1. Compárense estos resultados con los va- lores obtenidos usando otro algoritmo RK de segundc orden: el método de Heun con iteraciones de un corrector (Fig. 16.10 y cuadro 16.3).

Solución: el primer paso en el método del polígono mejorado es el de usar la ecuación (16.37a) para calcular:

kl = -2(0)3 + 12(0)' - 2O(O) + 8.5 = 8.5

No obstante, debido a que la E D 0 es una función sólo de x, este resulta- do se requiere para calcular k,; al usar la ecuación (16.37b) se tiene

k2 = -2(0.25)3 + 12(0.25)2 - 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75

Nótese que esta aproximación de la pendiente es mucho más cercana al valor promedio sobre el intervalo (4.437 5) que la pendiente al principio del mismo (8.5) que debió usarse en el método de Euler. La pendiente

1 en el punto medio se puede sustituir en la ecuación (16.37) para predecir

Page 566: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 555

CUADRO 16.3 Comparación de los valores verdaderos y aproximados de la inte- gral de y ' -2x3 + 1 2x2 -2Ox + 8.5, con la condicidn inicial de que y 1 en x O. Los valores aproximados se calcularon usando tres versiones RK de segundo orden con un tamaño de paso de 0.5

Heun

simple mejorado de segundo orden corrector Polígono Ralston RK

x Y veradera y I 4 Y 1 % % y l k" l 0.0 0.5 1 .o 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

1 .o00 O0 3.218 75 3.000 O0 2.218 75 2.000 O0 2.718 75 4.000 O0 4.718 75 3.000 O0

1.000 O0 o 3.375 O0 12.5 2.687 50 21.1 2.500 O0 25.0 3.187 50 17.2 4.375 O0 9.4 4.937 50 4.6 3.000 O0 O

3.437 50 6.8 1.000 O0 o 3.109 375 3.4 2.812 50 6.3 1.984 375 10.6 1.75 12.5

3.812 50 4.7 4.609 375 2.3 3 O

2.484 375 8.6

1 .o00 O0 O 3.277 343 75 1.8 3.101 562 5 3.4

2.140 625 7.0 2.855 468 75 5.0 4.117 187 5 2.9 4.800 781 25 1.7 3.031 25 1 .o

2.347 656 25 5.8

~(0.5') ' = 1 + 4.21875(0.5) = 3.109375 E" = 3.4%

El cálculo se repite, y los resultados se resumen en la figura 16.13 y en el cuadro 16.3.

FIGURA 16.13 Comparación de la solución verdadera con los métodos numéri- cos, tres RK de segundo orden y método de Euler.

Page 567: Metodos numericos para ingenieros

556 M~TODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

En el método de Ralston, kl en el primer intervalo también es igual a 8.5 y [Ec. (16.38b)l:

k2 = -2(0.375)3 + 12(0.375)2 - ZO(0.375) + 8.5 = 2.582 031 25

La pendiente promedio se calcula mediante

4 = i(8.5) + $ (2.582 031 25) = 4.554 687 5

que se puede usar para predecir

~ ( 0 . 5 ) = 1 + 4.554 687 5(0.5) = 3.277 343 75 = -1.82%

Los cálculos se repiten, y los resultados se resumen en la figura 16.13 y el cuadro 16.3. Obsérvese cómo todos los métodos RK de segundo or- den son superiores al método de Euler.

16.3.2 Métodos de Runge-Kutta de tercer orden

Se puede llevar a cabo una derivación análoga a la del método de segun- do orden, para n = 3. El resultado de esta derivación es de seis ecuacio- nes con ocho incógnitas. Por lo tanto, se deben especificar a priori los valores de dos de las incógnitas para determinar los parámetros restan- tes. Una versión común que resulta es

donde

r16.391

[16.39a]

[16.39b]

[16.39c]

Obsérvese que si la derivada es una función sólo de x, este rnétodo de tercer orden se reduce a la regla de Simpson de 1/3. Ralston (1962) y Ralston y Rabinowitz (1978) han desarrollado una versión alternativa que proporciona un límite mínimo en el error de truncamiento. En cualquier caso, los métodos RK de tercer orden tienen errores globales de O(h4) y O(h3), respectivamente, y llevan a resultados exactos cuando la solu- ción es de orden cúbico. Como se muestra en el siguiente ejemplo, cuan- do se trata de polinomios, la ecuación (16.39) será exacta cuando la ecuación diferencial sea de orden cúbico y la solución de orden cuarto.

Page 568: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE UN PASO 557

Esto es porque la regla de Simpson de 1/3 proporciona aproximaciones exactas a la integral de orden cúbico (recuérdese el recuadro 13.3).

EJEMPLO 16.7 Método RK de tercer orden

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (16.39) para integrar

a) Una ED0 que es exclusivamente una función de x [Ec. (VI.14)]:

" d~ - -2x3 + 12x2 - 20x + 8.5 dx

con y(0) = 1 y de tamaño de paso igual a 0.5.

b) Una ED0 que es una función de x y y:

dY - = 4e0,& - 0 . 5 ~ dx

con y(0) = 2 desde x = O a 1 con un tamaño de paso 1.

Solución: a) Se pueden usar las ecuaciones (16.39~1) a la (16 .39~) para calcular:

kl = -2(0)3 + 12(0)2 - 20(0) + 8.5 = 8.5

k2 = -2(0.25)3 + 12(0.25)2 - 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75

k3 = -2(0.5)3 + 12(0.5)2 - 20(0.5) + 8.5 = 1.25

que se puede sustituir en la ecuación (16.39) para obtener:

y(0.5) = 1 + {i[8.5 +4(4.218 75)+ 1.25]}0.5 = 3.218 75

la cual es exacta. Por lo tanto, ya que la solución verdadera es un polinomio de cuarto orden [Ec. (VI. 13)]. La regla de Simpson de 1/3 proporciona un resultado exacto.

Page 569: Metodos numericos para ingenieros

558 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

que se puede sustituir en la ecuación (16.39) y obtener:

~(1 .0 ) = 2 + + 4(4.217 298 79) + 5.184 864 9241 1 1 = 6.175 676 681

que representa un E , = 0.31 % (valor verdadero = 6.194 631 38), que es superior en mucho a los resultados obtenidos previamente con los mé- todos RK de segundo orden (esto es, el Heun sin iteraciones) del ejemplo 16.5.

16.3.3 Métodos de Runge-Kutta de cuarto orden

Los métodos RK más populares son los de cuarto orden. Como sucede con los métodos de segundo orden, existe un número infinito de versio- nes. El siguiente algunas veces se llama método clásico RK de cuarto orden:

donde

[ 16.40~11

[16.40b]

[ 16.40~1

[16.40d]

Obsérvese que para las ED0 que sólo son función de x , el método clási- co de RK también es equivalente a la regla de Simpson de 1/3.

EJEMPLO 16.8 Método clásico RK de cuarto orden

Enunciado del problema: utilícese el método clásico RK de cuarto orden [Ec. (16.4O)J para integrar:

f(x, y) = -2x3 + 1 z x 2 - 2oX + 8.5

usando un tamaño de paso de 0.5 y una condición inicial de y = 1 en x = 0.

Solución: las ecuaciones (16.40~) a la (16.40d) se usan para calcular:

Page 570: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 559

kl = -2(0)3 + 12(0)' - 20(0) + 8.5 = 8.5

k2 = ~ 2 ( 0 . 2 5 ) ~ + 12(0.25)' - 20(0.25) + 8.5 = 4.218 75

k3 = 4.218 75

k4 = -2(0.5)3 + 12(0.5)* - 20(0.5) + 8.5 = 1.25

que se pueden sustituir en la ecuación (16.40) para obtener:

y(O.5) = 1 + {i[8.5 + 2(4.21875) + 2(4.218 75) + 2(4.218 75)

+ 1.25110.5 = 3.218 75

el cual es exacto. Por lo tanto, debido a que la solución verdadera es de cuarto orden [Ec. (VI.131, el método de cuarto orden proporciona un resultado exacto.

16.3.4 Método de Runge-Kutta de orden superior

Donde se requiera mayor exactitud, se recomienda el método RK de quinto orden, Butcher (1 964):

donde

kl = f k i , Y¡) [16.41a]

k5 = f(xi + h, yi + &hkl + & h b ) [16.41e]

ks =/(xi + h, yi - Qhkl +'$hk2 + y h k 3 - Y h k 4 + $hk5) [16.41f]

Obsérvese la similitud entre el método de Butcher y la fórmula Newton- Cotes de quinto orden del cuadro 13.3. Se puede disponer de fórmulas RK de orden superior, tales como el método de Butcher, pero, en gene- ral, la ganancia obtenida en exactitud por los métodos de orden superior al cuarto se contrapone con la complejidad y esfuerzo de cálculo.

Page 571: Metodos numericos para ingenieros

560 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 16.9 Comparación de los métodos de Runge-Kutta

Enunciado del problema: emplirense los métodos RK desde primero has- ta quinto orden para resolver

con y(0) = 2 de x = O hasta x = 4 con varios tamaños de paso. Com- párese la exactitud de los varios métodos en el resultado x = 4 basado en la respuesta exacta de y(4) = 75.338 962 61.

Solución: efectúense los cálculos usando los métodos de Euler, Heun sin corregir, RK de tercer orden [Ec. (16.39)], RK clásico de cuarto orden y el método RK de Butcher de quinto orden. Los resultados se mues- tran en la figura 16.14, en donde se ha graficado el valor absoluto del error relativo porcentua! contra el esfuerzo computacional. Esta última can-

FIGURA 16.1 4 Comparación del error relativo porcentual contra el esfuerzo de cálculo de los métodos del primero ai cuarto de Runge-Kutta.

Page 572: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 56 1

tidad es equivalente al número de evaluaciones de la función necesarias para alcanzar un resultado,

Esfuerzo = nf ~

b - a h

[16.42]

en donde nf es el número de cálculos de la función relacionados con el cálculo particular RK. Para órdenes 5 4, nf es igual al orden del méto- do. Sin embargo, obsérvese que el método RK de Butcher de quinto orden requiere de seis cálculos de la función [Ec. (16.41a) a la (16.41fl1. La cantidad (b - a ) / h es el intervalo total de integración dividido por el tamaño del paso, es decir, es el número de aplicaciones del método RK necesarias para obtener el resultado. Por lo tanto, ya que las evalua- ciones de la función son, en general, los pasos que consumen más tiem- po, la ecuación (16.42) proporciona una medida aproximada del tiempo de corrida necesarios para alcanzar la respuesta.

Analizando la figura 16.14 se llega a algunas conclusiones: prime- ro, que los métodos de orden superior obtienen mejores exactitudes con el mismo esfuerzo de cálculo y segundo, que la ganancia en exacti- tud por el esfuerzo adicional tiefide a disminuir después de un punto. (NÓ- tese que las curvas caen rápidamente al principio y después tienden a nivelarse.)

El ejemplo 16.9 y la figura 16.14 llevan a la conclusión de que los métodos RK de orden superior son siempre los métodos de preferencia. Sin embargo, se deben considerar también otros factores tales como los costos de programación y los requisitos de exactitud del problema cuando se escoja un método de solución. Estos elementos de juicio se analizan de- talladamente en los casos del capítulo 18 y en el epílogo de la parte VI.

16.3.5 Error local de truncamiento de los métodos de Runge-Kutta

Debido a que un método de Runge-Kutta de n-ésimo orden se determi- na igualando los términos de la ecuación (16.28) y la expansión de la serie de Taylor hasta los términos que contienen h", el error local de truncamiento se puede expresar como

E, = O(,"+') [16.43]

en donde el valor exacto de E, depende de f ( x , y) y sus derivadas supe- riores. En general, no es posible calcular E, en base a la ecuación (16.43) ya que los cálculos son demasiado complicados. En el mejor de los casos, si h es pequeña, y por consiguiente si a la ecuación la domina el primer término de la serie de Taylor, los coeficientes del método de RK [esto es, las a, p y q de la ecuación (16.29)) se pueden escoger de tal

Page 573: Metodos numericos para ingenieros

562 M~TODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

manera que minimicen el límite superior E,. Más allá de eso, un análisis del error del método RK viene a ser más complicado. Por ejemplo, el método de Runge-Kutta-Fehlberg se basa en el cálculo de dos aproximaciones RK de orden diferente, restando los resultados para obtener una aproximación del error. El método consiste en la fórmula de cuarto orden:

25 1 408 2 197 1 2 565 4 104 5 Y i + l = + ( E k 1 + ~ k3 + ~ k4 - -ks) h 1 r16.441

junto con la fórmula de quinto orden:

6 656 28 561 12 825 k3 + 56 430

yi+l = yi + ( g k l +

[16.45]

donde

12 1 932 k4 = f(xi + Gh, yi + - 7 296 2 197

hkl - ~

2 197 'Oo hkp + -hk3 3 2 197

439 3 680 + h, yi + -hkl - 8hk2 +"- 216 513 410

1 8 ki = f(xi + Zh, yi - -hk, + 2hk2 - ___ 3 544

27 2 565 hk3

1 859 4 104 40

+-

la aproximacih al error se obtiene restando la ecuación (16.44) de la (16.45) para obtener

I I

Page 574: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODO DE UN PASO 563

Por lo tanto, la ED0 se puede resolver con la ecuación (16.44) y la apro- ximación del error de la ecuación (16.46). Sin embargo, la aproximación al error se alcanza a costa de una complejidad extra y de un esfuerzo de cálculo. Nótese que, después de cada uno de los pasos, la ecuación (16.46) se puede sumar a la ecuación (16.44) y llegar a resultados de quinto orden.

Aunque el método de Runge-Kutta-Fehlberg es algo más pesado para manejarse que el método Runge-Kutta de cuarto orden, existen si- tuaciones en donde el error aproximado lo convierte en un método pre- ferible. El cálculo del error es de particular importancia cuando se trata de funciones que requieren pasos pequeños en algunas regiones y pasos grandes en otras. En tales funciones, un error aproximado proporciona una base para cambiar el tamaño de paso durante los cálculos. De otra forma, el tamaño del paso se debe escoger conservadoramente, es decir, debe ser más pequeño que lo necesario para alcanzar la exactitud desea- da, además de acomodar la región que requiera de los tamaños más pequeños. Esta limitación se considerará con más detalle cuando se ana- licen métodos de pasos múltiples en el capítulo 17 para los cuales las apro- ximaciones del error se obtienen con mayor facilidad.

16.3.6 Algoritmos para computadora de los métodos de Runge-Kutta

Como en todos los métodos cubiertos en el capítulo, el método de RK se ajusta muy bien en el algoritmo general de la figura 16.6. En la figura 16.15 se presentan subrutinas en los lenguajes FORTRAN y BASIC que determinan la pendiente del método RK de segundo orden de Ralston [Ec. (16.38)]. Las subrutinas para calcular pendientes de todas las otras versiones se pueden programar fácilmente de manera similar.

En el método de RK-Fehlberg, el tamaño variable de paso se puede incorporar de diferentes maneras. Una forma de hacerlo (Maron, 1982) es la de especificar un límite inferior y otro superior en el error. El objeti- vo es el de emplear un tamaño de paso que genere una aproximación

FIGURA 16.15 Subrutinas en FORTRAN y BASIC para determinar la pendiente usando el método de Ralston de segundo orden de R K

Page 575: Metodos numericos para ingenieros

564 METODOS NUMfRICOS PARA INGENIEROS

del error dentro del rango aceptable. Si el error aproximado es mayor que el límite superior, el tamaño de paso se parte a la mitad hasta que el error se encuentre dentro del rango aceptable. Si el error aproximado es menor que el límite inferior, el tamaño de paso se duplica hasta que el error se eleva de un rango aceptable.

16.4 SISTEMAS DE ECUACIONES

Muchos problemas prácticos de ciencia e ingeniería requieren de la solu- ción de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en lugar de una sola ecuación. Tales sistemas se pueden representar generalmente como

[16.47]

La solución de este sistema requiere que las n condiciones iniciales se co- nozcan en un valor inicial de x.

Todos los métodos analizados en este capítulo para ecuaciones sim- ples se pueden extender para el sistema mostrado anteriormente. Las apli- caciones de la ingeniería pueden implicar la solución de varios cientos de ecuaciones simultáneas. En este caso, el procedimiento de solución del sistema de ecuaciones simplemente significa aplicar el método de un paso a cada una de las ecuaciones antes de continuar con el siguiente paso. Es- to se ilustra mejor en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 16.1 O Solución de sistemas de ED0 usando el método de Euler

Enunciado del problema: resuélvase el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales usando el mGtodo de Euler, suponiendo que en x = O , y1 = 4, y y2 = 6. Intégrese a x = 2 con un tamaño de paso de 0.5.

Page 576: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 565

Solución: el método de Euler se implementa como en la ecuación (16.2)

yZ(0.5) = 6 + [4 - 0.3(6) - 0.1(4)]0.5 = 6.9

Obdervese que yl(0) = 4 se usa en la segunda ecuación en vez de y l (0.5) = 3, calculado con la primera ecuación. Procediendo de una manera semejante se obtiene

X Y1 Y2

O 4 6 0.5 3 6.9 1.0 2.25 7.71 5 1.5 1.687 5 8.445 25 2.0 1.265 6215 9.094 087 5

16.4.1 Algoritmo para la computadora para la solución de sistemas de ED0

El programa para resolver una sola E D 0 con el método de Euler (Fig. 16.6) se puede extender fácilmente a un sistema de ecuaciones. Las mo- dificaciones incluyen:

1. 2.

3.

4.

5.

Introducir el núrrero de ecuaciones, n. Introducir los valc'res iniciales para cada una de las n variables depen- dientes. Modificar la subrutina de tal manera que calcule las pendientes de ca- da una de las variables dependientes. Incluir funciones adicionales para calcular las derivadas de cada una de las EDO. Incluir las ecuacicnes restantes (del tipo en la linea 230 de la versión BASIC) para calc.dar un nuevo valor de cada una de las variables de- pendientes.

Obsérvese que cualquiera de los métodos de un paso de este capitu- lo se pueden usar para este algoritmo. La única diferencia seria la for- mulación de la subrutina que calcula las pendientes. El método clásico RK de cuarto orden es una buena alternativa para este propósito ya que proporciona una exactitud excelente y es relativamente fácil de progra- mar. Una característica importante de un programa de computadora para resolver sistemas de E D 0 con un método RK es la secuencia del cálculo de las k como se demuestra en el ejemplo siguiente.

Page 577: Metodos numericos para ingenieros

566 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 16.1 1 Solución de sistemas de ED0 empleando el método RK de cuarto orden

Enunciado del problema: utilícese el método RK de cuarto orden para resolver las E D 0 del ejemplo 16.10.

Solución: primero, se deben resolver para todas las k l :

kl,l = f(0, 4, 6) = -0.5(4) == -2

k1.2 = f(0, 4, 6) = 4 - 0.3(6) - 0.1(4) = 1.8

en donde k,,, es el i-ésimo valor de k para la j-ésima variable dependien- te. En seguida, se calculan los valores de y l y y2 que se necesitan para determinar las k2:

y1 + $hkl,l = 4 + $(0.5)(-2) = 3.5

y2 + i hk l ,2 = 6 + $(0.5)(1.8) = 6.45

que se usan para calcular:

k2,1 = f(0.25, 3.5, 6.45) = -1.75

k2,2 = f(0.25, 3.5, 6.45) = 1.715

El proceso continúa hasta calcular las k restantes:

k3,1 = f(0.25, 3.562 5, 6.428 75) = -1.781 25

k3,2 =f(0.25, 3.562 5, 6.428 75) = 1.715 125

k4.1 = f(0.5, 3.109 375, 6.857 562 5) = -11.554 687 5

k4.2 = f(0.5, 3,109 375, 6.857 562 5) = 1.631 793 75

Los valores de k se pueden usar para calcular [Ec. (16.40)l:

yl(0.5) = 4 + iL-2 + 2(-1.75 - 1.781 25) - 1.554 687 510.5

= 3.115 234 38

y2(0.5) = 6 + 2[1.8 + 2(1.715 + 1.715 125) + 1.431 793 7510.5

= 6.857 670 32

~ ~~ ~

Page 578: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO 567

Procediendo de manera semejante en los pasos restantes, se obtiene

X Y1 Y2

O 4 6 0.5 3.1 15 234 4 6.857 670 3 1 .O 2.426 171 3 7.632 105 7 1.5 1.889 523 1 8.326 886 O 2.0 1.471 576 8 8.946 865 1

16.4.2 Problemas con valores en la frontera: métodos de disparo

La solución de ecuaciones con valores en la frontera usando el método de disparo es un ejemplo de un problema que en el contexto de los siste- mas de ED0 se puede resolver. Recuérdese del análisis al principio de la parte VI, que una ecuación diferencial ordinaria va acompañada de condiciones auxiliares. Estas condiciones se usan para evaluar las cons- tantes de integración que resultan durante la solución de una EDO. Para una ecuación de n-ésimo orden, se deben evaluar n constantes, y por lo tanto, se requieren n condiciones. Si se especifican todas las condicio- nes en un mismo valor de la variable independiente, entonces se trata de un problema con valores iniciales. En su mayoría la parte VI trata este tipo de problemas.

En contraste hay otra clase de ED0 para la que las condiciones no se dan en un solo punto pero sí en varios valores de la variable depen- diente. Debido a que estas condiciones se expresan en los puntos extre- mos o límites, éstos se les conocen con el nombre de problemas con valores en la frontera. Una variedad de problemas significativos de ingeniería caen dentro de esta clase. En este capítulo, se analiza un esquema general pa- ra resolver estos problemas: el método de disparo.

El método de disparo está basado en la conversión de problemas de valores en la frontera en problemas de valor inicial equivalente. Se im- plementa un esquema de prueba y error que resuelve la versión de valo- res iniciales. El esquema se puede ilustrar con un ejemplo.

EJEMPLO 16.1 2 El método de disparo

Enunciado del problema: empléese el método de disparo para resolver

I dx2

d2Y - + 0.2y = 2

Page 579: Metodos numericos para ingenieros

568 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

con las condiciones en la frontera y(0) = O y y ( 10) = O.

Solución: usando el mismo esquema empleado en la transformación de la ecuación (VI.2) en las ecuaciones (VI.3) y (VI.6), la ecuación de se- gundo orden se puede expresar como dos EDO:

dY dx " - 2

Y dz dx " - 2 - 0.2y

[E16.12.1]

[E16.12.2]

FIGURA 1616 Método de disparo: a) el primer "disparo"; b) segundo "disparo"; y c) el "tiro" exacto final.

Page 580: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE UN PASO

L

569

A fin de resolver estas ecuaciones, se requiere un valor inicial para z. Para el método de disparo, se elige un valor, que puede ser 40) = 1. Entonces la solución se obtiene integrando las ecuaciones (E.16.12.1) y (E16.12.2) simultáneamente. Por ejemplo, usando un método RK de cuarto orden para sistemas de ODES, se obtiene un valor final del intervalo de y(10) = 10.208 (Fig. 16 .164 , que define el valor verdade- ro y (10) = O por lo tanto, se hace otra elección, z(0) = 2, y se llevan a cabo nuevamente los cálculos. Esta vez, el resultado y (10) = 8.035 está un poco más cercano al valor verdadero de y(10) = O , pero aún persiste el error (Fig. 16.166).

Ahora, debido a que la E D 0 es lineal, los valores

z(0) = 1 y(10) = 10.208

Y

z(0) = 2 y(10) = 8.035

están relacionados linealmente. Como tales, se pueden usar para calcu- lar el valor de z(0) que conforma a y(10) = O. Se puede emplear una fórmula de interpolación para este propósito [recuérdese la Ec. (ll.í!)]:

z(0) = 1 + 2 - 1 8.035 - 10.208

(O - 10.208) = 5.7

Este valor se pQede usar para determinar la solución correcta como se muestra en la figura 16.16~.

Para problemas con valor a la frontera no lineales, la interpolación lineal o extrapolación a través de la solución de dos puntos no resulta ne- cesariamente una aproximación segura de la condición en la frontera re- querida para obtener una solución exacta. Un esquema alterno es el de realizar tres simulaciones y usar un polinomio de interpolación cuadrático para calcular la condición en la frontera. Sin embargo, no es muy proba- ble que tal esquema lleve a la respuesta exacta, y con iteraciones adicio- nales sería necesario obtener la solución.

Debido a que éste es un proceso ineficiente, existen métodos alterna- tivos en tales casos. Los más comunes son los métodos de diferencias finitas. Estos métodos son apropiados para problemas con valores a la frontera lineales y no lineales. En estos esquemas, las diferencias dividi- das finitas se sustituyen por las derivadas en la ecuación original. De esta

Page 581: Metodos numericos para ingenieros

570 METODOS NUM~RICOS PARA INGENIEROS

manera, la ecuación diferencial se transforma en un conjunto de ecua- ciones algebraicas simultáneas que se puede resolver usando un método de la parte 111. Este es el esquema que se usa en el caso 9.2 para resolver la distribución de la temperatura de una placa caliente. Los problemas 9.8, 16.9 y 18.10 se relacionan con la solución de problemas con valo- res a la frontera.

PROBLEMAS

Cálculos a mano

16.1 Resuélvase el siguiente problema con valor inicial sobre el intervalo de x = O a x = 2:

16.2

16.3

16.4

16.5

16.6

16.7

dY - = yx2 -y

dx

donde y(0) = 1. Grafiquese la solución

Utilicese el método de Euler con h = 0.5 y 0 . 2 5 para resolver el problema 16.1. Grafíquense los resultados en la misma gráfica y compárese visualmente la exac- titud de los dos tamaños de paso.

Utilicese el método de Heun con h = 0 . 5 y 0.25 para resolver el problema 16.1. Itérese el corrector a E, = 1%. Grafíquense los resultados sobre la misma gráfi- ca y compárese visualmente la exactitud de los dos tamaños con la solución analí- tica. Interprétense los resultados.

Utilicese el método del polígono mejorado con h = 0 .5 y 0 .25 para resolver el problema 16. l.

Utilicese el método RK de Ralston de segundo orden con h = 0 . 5 para resolver el problema 16.1

Utilicese el método clásico RK de cuarto orden con h = 0 . 5 para resolver el pro- blema 16.1.

Utilicese el método de RK-Fehlberg de cuarto orden con h = 0 . 5 para resolver el problema 6.1. Calcúlese el error aproximado en cada paso.

16.8 Repítanse los problemas 16.1 al 16.7 pero con el siguiente problema con valores iniciales sobre el intervalo x = O a x = 1.

" dy - 4 y(0) = 1 dx

Page 582: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE UN PASO 571

16.9 Utilícese el método de disparo para resolver

d$ + 16- - 4y = 20 dx dy

con la condición a la frontera, y (0 ) = 5 y y(20) = 2 .

te sistema de ecuaciones de x = O a x = 10: 16.10 Utilícese el método de Euler con un tamaño de paso de 1 para resolver el siguien-

" dy1 - y1 - 0.1Y1Y2 dx

en donde y , = 2 5 y y2 = 7 en x = O.

h = 1 . 0 d e x = O a x = 1. 16.1 1 Utilícese el método RK de cuarto orden para resolver el problema 6 .10 usando

Problemas relacionados con la computadora

16.12 Progrimese nuevamente la figura 16.6 de tal forma que sea legible al usuario. Entre otras cosas,

a) Colóquense declaraciones de comentarios, a lo largo del programa para identi- ficar lo que cada una de las secciones va a realizar. b) Etiquétese la entrada y la salida.

16.13 Pruébese el programa del problema 16.12 duplicando los cSlculos de los ejem- plos 16.1, 16.3 y 16.4.

16.14 Utilicese el programa del problema 16.12 repitiendo los problemas 6.1 y 6.2.

16.15 Repítanse los problemas 16.13 y 16.14, pero usando el paquete NUMERICOMP, disponible con el texto.

16.16 Desarróllese un programa legible al usuario del metodo de Heun con un corrector iterativo. Tómese como base del programa las figuras 16.6 y 16.12. Pruébese el programa duplicando los resultados del cuadro 16.3.

16.17 Desarróllese un programa legible al usuario del método RK de Ralston de segun- do orden basado en las figuras 16.6 y 16.15. Pruébese el programa duplicando el ejemplo 16.16.

16.18 Desarróllese un programa legible al usuario del método cldsico RK de cuarto or- den. Pruébese el programa duplicando el ejemplo 16.8 y el problema 16.6.

16.19 Desarróllese un programa para la computadora que sea legible al usuario para sistemas de ecuaciones usando el método de Euler. Tómese como base del pro- grama el andlisis de la sección 16.4.1. Utilícese este programa para duplicar los cSlculos del ejemplo 16.12.

16.20 Repítase el problema 16.19. pero usando el método RK de cuarto orden.

Page 583: Metodos numericos para ingenieros
Page 584: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O D I E C I S I E T E

MÉTODOS DE PASOS MÚ LTI PLES

Los métodos de un paso analizados en el capítulo anterior utilizan la in- formación de un solo punto xi para predecir un valor de la variable de- pendiente en un punto posterior x , + ~ (&. 17.1~1): Las técnicas alternas, llamados métodos de pasos múltiples, (Fig. 17.lb), se basan en el conocimiento de que una vez que los cálculos han empezado, la infor- mación evaluada en puntos previos sirve de guía. La curvatura de las lí- neas que conectan estos puntos anteriores proporciona información refermte a la trayectoria de la solución. Los métodos de pasos múltiples explorados en este capítulo consideran esta información para resolver ED0 y evaluar su error. Antes de describir las versiones de orden superior, se presenta un método simple de segundo orden que sirve para demostrar las características generales de los esquemas de pasos múltiples.

FIGURA 17.1 Esquema gráfico de las diferencias fundamentales entre o) métodos de un paso y b) métodos de pasos múltiples en la solución de EDO.

Page 585: Metodos numericos para ingenieros

574 MtTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

17.1 UN ENFOQUE SIMPLE DE PASOS MúLTIPLES: MÉTODO DE HEUN SIN PRINCIPIO

Recuérdese que el método de Heun usa el método de Euler como un predictor:

y la regla trapezoidd como corrector:

[17.2]

Por lo tanto, el predictor y el corrector tienen errores locales de trunca- miento de O(h2) y O(h3), respectivamente. Esto sugiere que el predictor sea el punto débil en el método ya que tiene el mayor error. Este punto débil es significativo debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la predicción inicial. Por consiguiente, una manera de mejorar el método de Heun es desarrollar un predictor que tenga un error local de O(h3). Esto se puede llevar a cabo usando el mé- todo de Euler y la pendiente en y, , pero haciendo la corrección desde un punto previo yi.l, como en:

La ecuación (17.3) no es auto-principiante ya que implica un valor ante- rior de la variable dependiente Este valor no debería estar disponi- ble en un problema típico de valor inicial. Debido a este hecho, a las ecuaciones (17.3) y (17.2) se les conoce como método de Heun sin principio.

Obsérvese que, como se muestra en la figura 17.2, la aproximación a la derivada en la ecuación (17.3) se localiza ahora en el punto medio en vez de al principio del intervalo sobre el cual se hace la predicción. Como se demuestra subsecuentemente, este centrado mejora el error del predictor a O(h3). Sin embargo, antes de continuar a una derivación for- mal del método de Heun sin principio, se resume el método y se expresa usando una nomenclatura un poco modificada:

Predictor: y k l = yP1 + f(xi, y?) 2h

Corrector: y(+l = y 7 + f h i , Y 3 + f(Xi+l, YG) 2

(para j = 1 , 2, . . . , m)

[17.4]

C17.51

Page 586: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS D E PASOS M ú L T I P L E S 575

FIGURA 17.2 Esquema gráfico del método de Heun sin principio. al método de P’Jnto medio usado como predictor; b) regla trapezoidal empleada como CO-

rrector.

donde los Subindices se han agregado para denotar que el corrector se aplica iterativamente desde j = 1 a m para obtener soluciones refinadas. Nótese que y? y y,ml son los resultados finales de las iteraciones del co- rrector en los pasos de cálculo anteriores. Las iteraciones se terminan en cualquier paso del cálculo en base al criterio de paro

[17.6]

Cuando E, es menor que una tolerancia preespecificada en el error, E, se terminan las iteraciones. En este punto, j = m. El uso de las ecuaciones (17.4) a la (17.6) en la solución de una E D 0 se demuestra en el ejemplo siguiente.

Page 587: Metodos numericos para ingenieros

576 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 17.1 Método de Heun sin principio

Enunciado del problema: utilicese el método de Heun sin principio para realizar los cálculos del ejemplo 16.5 usando el método de Heun. Es de- cir, intégrese y ' = 4e0.8X - 0.5 y desde x = O hasta x = 4 usando un tamaño de paso de 1.0. Como con el ejemplo 16.5, la condición inicial en x = O es y = 2. Sin embargo, debido a que se está utilizando un mé- todo de pasos múltiples, se requiere la información adicional de que y es iqual a -0.392 995 325 en x = - 1.

Solución: se usa el predictor [Ec. (17.4)] para extrapolar linealmente de x = -1 a x "1 :

y': = -0.392 995 325 + [4e0.8io) - 0.5(2)]2 = 5.607 004 675

Entonces se usa el corrector [Ec. (17.5)] para calcular el valor

- 0.5(2) + 4eo.8(') - 0.5(5.607 004 675)] y : = 2 +

2 1

= 6.549 330 688

que representa un error relativo porcentual de - 5.73% (Valor verdade- ro = 6.194 631 377). Este error es algo más pequeño que el valor de -8.18% contraído con el método de Heun auto-principiante.

Ahora se puede aplicar iterativamente la ecuación (17.5) para mejo- rar la solución:

y T = 2 + 3 + &o.8i') - 0.5(6.549 330 688) = 6.313 749 185 2

que representa un E, del - 1.92%. También se puede determinar una aproximación del error usando la ecuación (17.6):

6.313 749 185 - 6.549 330 688 = 3,7% 1 4 1 = 6.313 749 185

La ecuación (17.5) se puede aplicar iterativamente hasta que to se en- cuentre dentro de un valor E, preespecificado. Como en el caso del mé- todo de Heun (recuérdese el ejemplo 16.5), las iteraciones convergen al valor 6.360 865 49 (E, = - 2.68%). Sin embargo, debido a que el va- lor del predictor inicial es más exacto, el método de pasos múltiples con- verge en proporci6n un poco más rápida:

Page 588: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE PASOS MúLTIPLES 577

1 En el segundo paso, el predictor es

y; = 2 + - 0.5(6.360 865 49)] 2 = 13.443 461 2 €, = 9.43%

que es superior a la predicción de 12.082 569 46 (E, = 18% calculada con el método de Heun original. El primer corrector lleva a 15.955 395 53 E, = - 6.8%) y las iteraciones siguientes convergen al mismo resultado que se obtiene con el método de Heun sin principio: 15.302 236 7 (E, = - 3.1%). Como en el paso anterior, la proporción de convergencia del corrector se perfecciona un poco debido a la mejor preducción inicial.

17.1.1 Obtención y análisis de error de las fórmulas predictor-corrector

Se han empleado conceptos gráficos para derivar el método sin principio de Heun. Hasta ahora se ha demostrado como las mismas ecuaciones se pueden derivar matemáticamente. La obtención de estas fórmulas par- ticularmente interesante debido a sus vínculos con las ideas de ajuste de curvas, integración numérica y EDO. La obtención de estas fórmulas tam- bién es útil ya que proporciona un medio de avance simple en el desarro- llo de métodos de pasos múltiples de orden superior y la aproximación a sus errores.

La obtención se basa en la solución de la E D 0 general

Esta ecuación se puede resolver multiplicando ambos lados por d x e inte- grando entre los límites i e i + 1:

El lado izquierdo se puede integrar y evaluar usando el teorema funda- mental [recuérdese la ecuación (16.21)]:

Y i + l = Y¡ + h, f(x, y) dx K i t 1

[17.7]

Si se puede evaluar la integral, entonces la ecuación (17.7) represen- ta la solución a la EDO. Es decir, esta fórmula proporciona una manera de calcular un nuevo valor de la variable dependiente y; , I en base al va- lor anterior y ; y la ecuación diferencial.

Las fórmulas de integración numérica tales como las desarrolladas en el capítulo 13 proporcionan una manera de realizar esta evaluación. Por ejemplo, la regla trapezoidal [ecuación (13.3)J se puede usar en la eva-

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578 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

luación de la integral, como en

[17.8]

donde h = x , + ~ - x, es el tamaño de paso. Sustituyendo la ecuación (17.8) en la ecuación (17.7) se obtiene

Y i i l = Yi + f k i l Y¡> + f(Xi+l, Y i + d

2 -h

que es la ecuación corrector del método de Heun. Debido a que esta ecua- ción se basa en la regla trapezoidal, el error de truncamiento se puede tomar directamente del cuadro 13.2:

E, = - - 1 h3Y"'((c) = - 1 h3 f"((J 12 12 [17.9]

donde el subíndice c denota que éste es el error del corrector.

caso, los límites de integración van desde i - 1 a i + 1 : Se puede usar un esquema similar para derivar el predictor. En este

y" dy = r" f (x, y) dx ]Y¡-1 J x ~ - 1

que se puede integrar y reordenar para obtener

[17.10]

Ahora, en vez de usar una f6rmula cerrada del cuadro 13.2, se puede usar la primera fórmula de integración abierta de Newton-Cotes (véase el cuadro 13.4) para evaluar la integral

[17.11]

a la cual se le llama el método del punto medio. Sustituyendo la ecua- ción (17.11) en la ecuación (17.10) se obtiene

yi+l = yi-1 f f(xi, yJ2h que representa al predictor del método de Heun sin principio. Como su- cede con el corrector, el error local de truncamiento se puede tomar di-- rectamente del cuadro 13.4

E, = 5 h 3 y"'((,) = 5 h3 f"(&,) [17.12] donde el subíndice p denota que éste es el error del predictor.

Por lo tanto, el predictor y el corrector del método de Heun sin prin- cipio tienen los mismos errores de truncamiento. Además de aumentar la exactitud del predictor, este hecho tiene los beneficios adicionales rela- cionados con el análisis del error. como se muestra en la siguiente sección.

Page 590: Metodos numericos para ingenieros

METODOS DE PASOS MúLTIPLES 579

17.1.2 Aproximación del error

Si el predictor y el corrector de un método de pasos múltiples son del mismo orden, entonces el error local de truncamiento se puede obtener a lo largo del cálculo. Esta es una ventaja tremenda debido a que estable- ce un criterio de ajuste en el tamaño del paso.

El error local de truncamiento del predictor se calcula mediante la ecua- ción (17.12). Esta aproximación del error se puede combinar con la apro- ximación de y;, , del paso predictor para obtener [recuérdese la definición básica de la ecuación (3 . l)]:

Valor verdadero = yp+l + $ h 3 y”’(&,) C17.131

Usando un esquema similar, la aproximación del error para el predictor [Ecuación (17.9)] se puede combinar con el valor verdadero y el resulta- do del corrector genera:

Valor verdadero = y21 - ff h3 y”’(&) C17.141

La ecuación (17.13) se puede restar de la ecuación (17.14) para obtener

o = y21 - y?+1 - & h 3 y”’([) r17.151

donde 4 está entre xiPl y xi+l. Ahora dividiendo la ecuación (17.15) en- tre 5 y reordenando términos el resultado es

C17.161

Obsérvese que los lados derechos de las ecuaciones (17.9) y (17.16) son idénticos, con la excepción del argumento de la tercera derivada. Si la tercera derivada no varía apreciablemente sobre el intervalo en cuestión, se supone que los lados derechos son iguales, y , por lo tanto, también los lados izquierdos deben ser iguales, como en

[17.17]

Por lo tanto, hemos llegado a una relación que se puede usar para apro- ximar el error de truncamiento por paso en base a dos cantidades, el pre- dictor (y:+l) y el corrector ( y z J , que son rutinas por productos de los cálculos.

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580 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

EJEMPLO 17.2 Aproximación del error de truncamiento por paso para el método de Heun sin principio

Enunciado del problema: utilícese la ecuación (17.17) para aproximar el error de truncamiento por paso del ejemplo 17. l . Obsérvese que los va- lores verdaderos en x = l y 2 son 6.194 631 38 y 14.843 921 9, respec- tivamente.

Solución: en x,, = 1, el predictor genera 5.607 004 675 y el corrector genera 6.360 865 49. Estos valores se pueden sustituir en la ecuación (17.17) y obtener

6.360 865 49 - 5.607 004 675 = -o,150 772 163 E = - 5

que es comparable con el error exacto,

.E,= 6.194 631 38 - 6.360 865 49 = -0.166 234 110

En x , , ~ = 2, el predictor genera 13.443 461 9 y el corrector 15.302 236 7, que se usan para calcular

E = "- 15.302 236 7 - 13.443 461 9 = "o,371 754 960

5

que también se compara favorablemente con el error exacto, E, = 14.843 921 9 - 15.302 236 7 = - 0.458 314 8.

La facilidad con que se puede calcular el error usando la ecuación (17.7) representa una ventaja importante de los métodos de pasos múlti- ples sobre los mgtodos de un solo paso. Entre otras cosas, esto propor- ciona una base racional en el ajuste de tamaño de paso durante el curso de los cálculgs. Por ejemplo, si la ecuación (17.17) indica que el error es mayor al nivel aceptable, el tamaño de paso debe disminuir. En una sección subsiguiente (sección 17.4), delinearemos como estos ajustes en los tamaiios de paso se pueden incorporar en un algoritmo para la com- putadora.

17.1.3 Modificadores

Antes de desarrollar algoritmos para la computadora, se deben notar otras dos formas en que se puede hacer más exacto y más eficiente al método de Heun sin principio. Primero, se debe tomar en cuenta que la ecuación (17.17), además de proporcionar un criterio en el ajuste del tamaño del

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MÉTODOS DE PASOS MÜLTIPLES 581

paso, representa una aproximación numérica de la diferencia entre el va- lor corregido final en cada uno de los pasos y,+] y el error verdadero. Por lo tanto, éste puede sumarse directamente y,,] para mejorar aún más la aproximación:

YZ1 - Y i + l

5

O

YZl + YE1 - L17.181

A la ecuación (17.18) se le llama corrector modificador. (El símbolo - se lee “se reemplaza por”.) El lado izquierdo es el valor modificado de Y % ] .

Una segunda mejora, relacionada más con la eficiencia de programa- ción, es el predictor modificador, el cual está diseñado para ajustar el resultado del predictor de tal manera que esté más cercano al valor con- vergente final del corrector. Esto es ventajoso debido a que, como se men- ciona al principio de esta sección, el número de iteraciones del corrector depende altamente de la exactitud de la predicción inicial. Por consiguiente, si la predicción se modifica de manera conveniente, se puede reducir el número de iteraciones necesarias para converger a un valor final del co- rrector.

Este modificador puede derivarse simplemente suponiendo que la ter- cera derivada es relativamente constante de paso a paso. Por lo tanto, usando el resultado del paso anterior en i , la ecuación (17.16) se puede resolver por

[17.19]

la cual, suponiendo que y ’’ (t) = y ”’ (,$J. se puede sustituir en la ecua- ción (17.12) para obtener

E17.201

que entonces se puede usar para modificar el resultado del predictor:

Yi+l +YLl + 4 (y? - y:) O r17.211

EJEMPLO 17.3 Efecto de los modificadores en los resultados del predictor-corrector

Enunciado del problema: calcúlese nuevamente el ejemplo 17.1 usando los modificadores especificados en la figura 17.3.

Solución: como en el ejemplo 17.1, el resultado del predictor inicial es 5.607 004 675. Debido a que el predictor modificador [Ec. (17.21)] requiere de valores de una iteración previa, éste no puede emplearse pa- ra mejorar el resultado inicial. Sin embargo, la ecuación (17.18) se usa

Page 593: Metodos numericos para ingenieros

582 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 17.3 Secuencia de fórmulas usadas en la implementación del método de Heun sin principio. Nótese que la aproximación al error del corrector se pue- de usar para modificar el corrector. N o obstante, debido a que esto puede afectar la estabilidad del corrector, el modificador no se incluye en el algoritmo. El error calculado del corrector se incluye debido a su utili- dad en el ajuste del tamaño del paso.

para modificar el valor corregido de 6.360 865 49 (e, = - 2.684%), como en:

yí'' = 6.360 865 49 - 6.360 865 49 - 5.607 004 675 = 6,210 093 327 5

que representa un E, = - 0.25%. Por lo tanto, el error se reduce en cuanto a su magnitud.

En la siguiente iteración el predictor [Ec. (17.411 se usa para calcular

y$ = 2 + [4eU.8(') - 0.5(6.210 093 327112

= 13.594 234 10 e:, = 8.42%

Page 594: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 583

es alrededor de del ejemplo 17 se est& usando

la mitad del error del predictor de la segunda itera- . l , el cual fue E , = 18.6%. Esta mejora se debe a una aproximación superior de y (6.210 093 327,

opuesto a 6.360 865 49) en el predictor. En otras palabras, el error pro- pagado y global se reducen mediante la inclusión del corrector modificador.

Ahora debido a que se tiene información de la iteración anterior, la ecuación (17.21) se emplea para modificar el predictor.

= 13.594 234 10 + - (6.360 865 49 - 5.607 004 675) 4 5

= 14.197 322 75 E, = -4.36%

que nuevamente, divide en dos el error. Esta modificación no tiene efecto sobre el resultado final de los pasos

del corrector subsiguientes. Independientemente de cuando se usen pre- dictores modificados o sin modificar, el corrector finalmente converge a la misma respuesta. No obstante, debido a que la proporción o eficiencia de la convergencia depende de la exactitud de la predicción inicial, la mo- dificación puede reducir el número de iteraciones necesarias para la con- vergencia.

La implementación del corrector lleva al resultado de 15.211 777 23 ( E , = - 2.48%) el cual representa una mejoría sobre el ejemplo 17.1 debido a la reducción del error global. Finalmente, este resultado se mo- difica usando la ecuación (17.18) :

y 5 = 15.211 777 23 - 15.211 777 23 - 13.594 234 10 5

= 14.888 268 60 E , = -0.30%

Nuevamente, el error se ha reducido en magnitud.

Como en el ejemplo anterior, la suma de los modificadores incrementa la eficiencia y la exactitud de los métodos de pasos múltiples. En particu- lar, el corrector modificador efectivamente incrementa el orden del mé- todo. Por lo tanto, el método de Heun sin principio con modificadores, es el tercer orden en vez de segundo orden como fue el caso en la ver- sión sin modificar. Sin embargo, se debe notar que existen casos en don- de el corrector modificador afecta la estabilidad del corrector. Como consecuencia, el modificador no se incluye en el algoritmo del método de Heun sin principio delineado en la figura 17.3. No obtante, el correc- tor modificador aún puede tener utilidad para el control del tamaño de paso analizado en la sección 17.1.5.

Page 595: Metodos numericos para ingenieros

584 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

I

2

3

aao

D I M E N S I O N X ( l O O ) , Y ( l O O ) COMMOH X I , Y l , U F<X,Y1*4*EXP( .B*X>-.S*V READ(5 .1 >X( 1 > , X F Xl.X( I > . . . . . . . .

READ( S , 1 >U FORMAT< ZF1 O . O1

REIDCS.2)MX FORMAT( IS> READCS. 1 )ES

LVLI

1 Y 0

210 220 230

.. .

2 4 0 250 260 27ü " 280 290 30CI 310 320

333 340 350 300 370

380

3uo 4üü

430 410

440 4sü 46ü 4 70

FOR J = I TU MX I )

5 2 = F N F ( f < h l ) x x = X ( h )

YP = v e t . , YIK! = Y i P I + H * ($1 + S i J /

2

PI = PIJ C I = CIJ

NEXT I PRINT XlIl.VlI) END

ecuaclón diferenclali IFunclÓn que especiflca la

X i l l . XF = valores Inlclal y flnal de la variable Independiente

H = tamaño del paso

M X = Iteraclones máxlmas del corrector

ES = error aceptable ( % I del corrector

Y11 l = valor lnlclal de la varlable dependlente

(Subrutina para calcular el segundo valor de la varlable dependlente usando el método RK de cuarto orden1

N C = número de pasos de XI1 1 a X F

(Predlctorl

IPredlctor modlflcadorl

(Corrector)

FIGURA 17.4 Programas en FORTRAN Y BASIC del método de Heun sin principio.

17.1.4 Programa para computadora de los métodos de pasos múltiples

En la figura 17.4 se muestra un programa para la versión de tamaño de paso constante del método de Heun sin principio. Obsérvese que el pro- grama incluye el predictor modificador delineado en la figura 17.3.

Debido a que este algoritmo emplea un tamaño de paso constante, se debe escoger un valor de h al principio de los cálculos. En general, la experiencia indica que un tamaño de paso ideal debe ser bastante pe- queño para asegurar la convergencia dentro de dos iteraciones del co- rrector (Hull y Creemer, 1963). Además, debe ser demasiado chico para generar un error de truncamiento lo suficientemente pequeño. Al igual que con los otros métodos para EDOs, la única forma práctica de valorar la magnitud del error global es la de comparar los resultados del mismo problema pero disminuyendo los tamaños de paso a la mitad cada vez.

Obsérvese que se usa un método RK de cuarto orden para generar los puntos necesarios al principio del cálculo. Para este propósito se es- coge un método RK de cuarto orden debido a que, aunque es un poco más difícil de programar que los métodos de orden inferior, su mayor exac- titud justifica su uso.

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MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 585

17.1.5 Beneficios en el control del tamaño de paso

Con la excepción del método RK-Fehlberg analizado en la sección 16.3.5, se ha empleado un tamaño de paso constante para integrar numérica- mente ecuaciones diferenciales ordinarias. Aunque tal esquema tiene una alta utilidad en muchos problemas de ingeniería, existen ciertos casos en donde es altamente ineficiente. Por ejemplo, supóngase yue se está inte- grando una E D 0 con una solución del tipo mostrado en la figura 17.5. Para la mayor parte del rango, la solución cambia gradualmente un ta- maño de paso grande para obtener resultados adecuados. Sin embargo, en una región localizada de x = 1.75 a x = 2.25, la solución muestra un cambio abrupto en la forma de una función impulso o pico. A las E D 0 cuyas soluciones consisten de componentes de variación rápida o lenta se les llama ecuaciones rigidas.

La consecuencia práctica al tratar con tales ecuaciones es que se re- quiere un tamaño de paso muy pequeño para capturar exactamente el comportamiento impulsivo. Si se empleara un algoritmo con tamaño de paso constante, el tamario de paso necesario m6s pequeño en la región de cambio abrupto tendría que aplicarse al rango entero de cálculo. Co- mo una consecuencia, se aplicaría un tamaño de paso más pequeño que el necesario y , por lo tanto, muchos más cálculos a la región de cambio

FIGURA 17.5 Ejemplo de la solución de una ED0 que muestra un comportamiento ti- po impulsivo. Los ajustes automáticos en el tamario del paso son desven- tajosos en estos casos.

"""" ,.

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586 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

gradual. En tales casos un algoritmo que ajuste automáticamente el ta- maño de paso evitaría estas deficiencias y por lo tanto sería de gran ventaja

Corno ya se dijo previamente, los mktodos de pasos múltiples descri- tos en este capítulo proporcionan una base para tal algoritmo. Por lo tan- to, puede parecer accidental que el programa para computadora descrito en la sección anterior empleara un tamaño de paso constante. La razón por la que se ha separado esta ventaja del algoritmo general es que el ajuste al tamaño de paso no es una tarea de programación trivial. De he- cho el costo (dado en términos del tiempo de programación o el costo de desarrollo de programas) puede ser un factor decisivo cuando se escoja la incorporación de esta opción. Con este antecedente, se descri- be la mecánica del control del tamaño de paso. Este análisis debe hacer- se claro porque incluir este aspecto no es un ejercicio trivial.

La manera de escoger el tamaño del paso se predice en base a un conjunto de factores. En general, el tamaño del lapso debe hacerse lo suficientemente pequeño de tal forma que el corrector converja y que se mantenga así en tantas iteraciones como sea posible. Adicionalmente, debe ser tan pequeño que los resultados sean lo sufientemente exactos para los requisitos de un problema. AI mismo tiempo, el tamaño del paso de- be ser tan grande como sea posible de tal forma que minimice el tiempo al momento de la corrida y el error de redondeo.

Comúnmente se usan dos criterios para decidir cuando un cambio en el tamaño del paso se justifica. Primero, si la ecuación (17.17) es ma- yor que un criterio de error previamente especificado, entonces el tama- ño del paso decrece. Segundo, se escoge el tamaño del paso de tal manera que el criterio de convergencia del corrector se satisfaga en dos iteracio- nes. Este criterio se propone considerar las ventajas y desventajas que existen entre la relación de convergencia y el número total de pasos en el cálculo. Para valores pequeños de h , la convergencia es más rápida pero se requieren más pasos. Para h más grande, la convergencia es lenta pero se necesitan menos pasos. La experiencia (Hull y Cremer, 1963) sugiere que los pasos totales se minimizan si h se escoge de tal ma- nera que el corrector converja dentro de dos iteraciones. Por lo tan- to, si se requieren más de dos iteraciones, el tamaño de paso disminuye y si se requieren menos de dos iteraciones, entonces el tamaño del paso se aumenta.

Aunque la estrategia anterior especifica cuando se llevan a cabo las modificaciones del tamaño del paso no especifica cómo se debe cambiar. Esta es una pregunta crítica ya que los métodos de pasos múltiples por definición requieren de varios puntos para calcular uno nuevo. Una vez que el tamaño del paso se cambia, se debe determinar un nuevo conjun- to de puntos. Una manera de hacerlo es la de reiniciar los cálculos y usar el método de un solo punto para generar un nuevo conjunto de puntos iniciales.

Una manera más eficiente de hacerlo y que hace uso de la informa- ción existente es aumentar al doble y disminuir el tamaño de paso a la

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MhODOS DE PASOS MúLTIPLES 587

mitad. Como se muestra en la figura 17.6a, si se ha generado un núme- ro suficiente de valores anteriores, aumentando el tamaño del paso al doble, es algo relativamente correcto (Fig. 17 .6~) . Todo esto es necesario para mantener la información de los subindices de tal forma que los valores anteriores de x y y vengan a ser los nuevos valores. Disminuir a la mitad el tamaño del paso es algo más difícil ya que algunos de los nuevos valo- res no se encuentran disponibles (Fig. 1 7 . 6 ~ ) . Sin embargo, se pueden usar los polinomios de interpolación del tipo desarrollado en el capítulo 1 1 para determinar estos valores intermedios.

En cualquier caso, la decisión de incorporar el control sobre el tama- ño del paso representa hacer una evaluación entre el tiempo para desa-

FIGURA 17.6 Gráfica que indica la estrategia de dividir y duplicar un segmento que permite el uso de a) valores calculados previamente con un método de pasos múltiples de tercer orden. b) Dividiendo a la mitad y c) duplicando.

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588 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

rrollar un programa complejo para los términos grandes y la eficiencia que se requiere. Obviamente la magnitud y la importancia del problema mis- m o ayudará a elegir una opción.

17.2 FóRMULAS DE INTEGRACIóN

El método de Heun sin principio es característico de la mayor parte de los métodos de pasos rn~últiples. Emplea una fórmula de integración abierta

FIGURA 17.7 Ilustración de la diferencia fundamental entre el método de Newton-Co- tes y la fórmula de integración de Adams. a) Las fórmulas de Newton- Cotes usan una serie de puntos para obtener una aproximación a la in- tegral sobre un conjunto de segmentos. La aproximación se usa después pura proyectarse sobre el rango completo b) Las fórmulas de Adams usan una serie de puntos para obtener una integral aproximada con un solo segmento. La aproximación se usa entonces para proyectarse so- bre este segmento.

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MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES 589

(el método del punto medio) para calcular una aproximación inicial. Este paso predictor requiere un punto previo. En seguida se aplica iterativa- mente una fórmula de integración cerrada (la regla trapezoidal) para me- jorar la solución.

Es obvio que una estrategia de mejoramiento sobre los métodos de pasos múltiples podría ser la de usar fórmulas de integración de orden superior como predictores y correctores. Por ejemplo, podrían ser útiles para este propósito las fórmulas de Newton-Cotes de orden superior de- sarrolladas en el capítulo 13.

Antes de describir estos métodos, se revisan algunas de las fórmulas de integración más comunes sobre las cuales están basados. Como se men- ciona anteriormente, las primeras de éstas son las fórmulas de Newton- Cotes de orden superior. No obstante existe una segunda clase llamadas fórmulas de Adams que también se revisan y que se prefieren a menudo. Como muestra la figura 17.7, la diferencia fundamental entre las fórmu- las de Newton-Cotes y de Adams está relacionada con la manera como se aplica la integral para obtener la solución. Como se muestra en la figu- ra 17.7a, las fórmulas de Newton-Cotes calculan la integral sobre un in- tervalo generando varios puntos. Esta integrai se emplea para proyectar desde el principio hasta el final del intervalo. En contraste, las fórmulas de Adams (Fig. 17.7b) usan un conjunto de puntos de un intervalo para calcular la integral solamente del último segmento en el intervalo. La in- tegral se usa después para proyectarse a través de este último segmento.

17.2.1 Fórmulas de Newton-Cotes

Algunas de las fórmulas más comunes para resolver ecuaciones diferen- ciales ordinarias se basan en ajustar un polinomio de interpolación de n-ésimo grado para n + 1 puntos conocidos de y y después se usa esta ecuación para calcular la integral. Como se analiza previamente en el ca- pítulo 13, las fórmulas de integración de Newton-Cotes se basan en este esquema. Estas fórmulas son de dos tipos: abiertas y cerradas.

Fórmulas abiertas. Para n puntos igualmente espaciados, las fórmulas abiertas se pueden expresar en la forma de una solución de una EDO, como se hizo anteriormente en la ecuación (17.10). La ecuación general para este propósito es

[17.22]

donde !,(x) es un polinomio de interpolación de n-ésimo orden. La eva- luación de la integral obtiene una fórmula de integración abierta de Newton- Cotes de n-ésimo orden. Por ejemplo si n = 1.

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590 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

donde f, es una abreviación de f (xi , y,), esto es, la ecuación diferencial evaluada en xi y y,. A la ecuación (17.23) se le llama método del punto medio y se usa previamente como el predictor del método de Heun sin principio. Para n = 2,

3h Yi+ 1 = Yi-2 + 7j- ifi + fi-1)

y para n = 3 ,

La ecuación (17.24) se muestra gráficamente en la figura 17.8~1

Yi+l = Y¡-n+l + I f"(XMX Y + I

X i - n + l

[ 17.251

FIGURA 17.8 Esquema de las fórmulas de integración cerrada de Newton-Cotes. a) Tercera fórmula abierta [Ec. (17.24)] Y b) regla de Simpson de 1/3 [Ec. (17.26)].

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METODOS DE PASOS MúLTIPLES 591

donde la integral se aproxima mediante una fórmula cerrada de Newton- Cotes (cuadro 13.2). Por ejemplo, para n = 1:

h Yi+l = Y¡ + 5 (fi + f i + l >

que es equivalente a la regla trapezoidal. Para n = 2:

h 3 Y ~ + I = yi-1 + - C f i - 1 + 4fi + f i + l ) C17.261

la cual es equivalente a la regla de Simpson de 1/3. La ecuación (17.26) se muestra en la figura 17.8b.

17.2.2 Fórmulas de Adams

El otro tipo de fórmulas de integración que se puede usar en la solución de E D 0 son las fórmulas de Adams. Muchos algoritmos de pasos múlti- ples muy utilizados en computación que resuelven E D 0 se basan en es- tas fórmulas.

Fórmulas abiertas (Adams-Bashforth). Las fórmulas de Adams se pue- den obtener de varias formas. Un método es el de escribir una expansión hacia adelante de la serie de Taylor alrededor del punto xi:

que se puede escribir como

[17.27]

Recuérdese de la sección 3.5.4 que se puede usar una diferencia hacia atrás para aproximar la derivada:

f; = - f i - fi-1 f I’ h 2 + - h + O(h2)

que se puede sustituir en la ecuación (17.27) para obtener

o, agrupando términos:

yi+l = y, + h($ fi - fi-1) + & b 3 fl‘ + O(h4) [17.28]

Page 603: Metodos numericos para ingenieros

592 - MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

A esta fórmula se le llama segunda fórmula abierta de Adams. Las Fórmulas abiertas de Adams son designadas también como fórmulas de Adams-Bashforth. Por consiguiente a la ecuación (17.28) algunas veces se le llama segunda fórmula de Adams-Bashforth.

Se pueden desarrollar fórmulas de Adams-Bashforth de orden supe- rior sustituyendo las derivadas de orden superior por aproximaciones en la ecuación (17.27) . La fórmula abierta de Adams de n-ésimo orden se puede representar por lo común como

n-1

[17.29]

Los coeficientes Pk se muestran en el cuadro 17.1. La versión de cuarto orden se muestra en la figura 17.9a. Nótese que la primera versión es el método de Euler.

Fórmulas cerradas (Adams-Moulton). Una expansión de la serie de Tay- lor alrededor de xi+ se puede escribir como

yi = Y¡+] - h+lh + -+* - f :+1 L

Resolviendo para y j + se obtiene

l17.301

Se puede usar una diferencia para aproximar la derivada:

CUADRO 17.1 Coeficientes y error de truncamiento en los predictores de Adams-Bashforth

Error local de Orden Po PI Pz P3 P4 P s truncamiento

1 1

4 55 59 37 9 24 24 24 24 - " - "

1901 2 774 2 616 1 274 251 475

720 720 720 720 720 1440 4 277 7 923 9 982 7 298 2 877 475 19 087 h7f(6)(0

5

6

__ " __ " ~ - h6f'"([)

__ -~ __ " __ 720 720 720 720 720 720 60 480

" -

Page 604: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE PASOS MÚLTIPLES 593

FIGURA 17.9 Esquema de las fórmulas de integración de Adams abiertas y cerradas. u). Fórmula abierta de Adams-Bashforth de cuarto orden y b) fórmula cerrada de cuarto orden de Adams-Moulton.

f! = ___ I + 1

fi+l - fi + &lh + O(h2)

h 2

que se sustituye en la ecuación (17.30) para obtener:

Y,+] = y; + h [i.,, -

A esta fórmula se le llama fórmula cerrada de Adams de segundo orden o segunda fórmula d e Adams-Moulton. Obsérvese también que ésta es la regla trapezoidal.

Page 605: Metodos numericos para ingenieros

594 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CUADRO 17.2 Coeficientes y error de truncamiento en los correctores de Adams-Moulton

2 1 1 2 2 - -

3

4

5

5 8 12 12 9 19

24 24 251 646 720 720

- -

- -

"

Error local de P2 P 3 P4 PS truncamiento

1 12

1 1 12 24

- - h3P(5)

" -- __ h4{f'3)(()

- h5f'4'(5) 19 720

264 106 19 720 720 720 " - " -.-.____ 27 ,!,6f(5)(5)

1 AA0

6 475 1 427 798 482 173 27 863 h7f(6,(5) __-

1 440 1 440 1 440 1 440 1 440 1 440 &I 480 "~ ~" "-

L a fórmula cerrada de Adams se puede escribir generalmente como

n-1

y!+] = yi + h P k f i i l - k + O(h"+') k=O

Los coeficientes & se listan en el cuadro 17.2. El método de cuarto or- den se muestra en la figura 17.9b.

17.3 MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES DE ORDEN SUPERIOR

Ahora que se han desarrollado formalmente las fórmulas de integración de Newton-Cotes y de Adams, podemos usarlas en la derivación de mé- todos de pasos múltiples de orden superior. Como en el caso del método de Heun sin principio, las fórmulas de integración se aplican en fila como los métodos de predictor-corrector. Además, si las fórmulas abiertas y ce- rradas tienen errores locales de truncamiento del mismo orden, entonces los modificadores listados en la figura 17.3 se pueden incorporar en el mejoramiento de la exactitud y para permitir el control sobre los tamaños del paso. En el recuadro 17.1 se proporcionan ecuaciones generales pa- ra estos modificadores. En la siguiente sección, se presentan dos de los

RECUADRO 17.1 Obtención de las relaciones generales de los modificadores

La relación entre el valor verdadero, la aproximación, Va,or verdadero = + "& + I ~ ( ~ + I ) ( ~ ~ )

y el error de un predictor se puede representar gene- % ralmente como [B17.1.1]

Page 606: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE PASOS MULTIPLES 595

donde vc y 6, son el numerador y el denominador de la constante del error de truncamiento del predictor de cual- quiera de los métodos abiertos de Newton-Cotes (cuadro 13.4) o de los métodos de Adams-Bashforth (cuadro 17.1) y n es el orden.

Se puede desarrollar una relación similar para el co- rrector

Valor verdadero = y;"+l - s,h 'Jc n + l y (n+l) (5,)

[B17.1.2]

donde y 6, son el numerador y el denominador de la constante del error de truncamiento para cualesquiera CO-

rrector de Newton-Cotes abierto (cuadro 13.2) O de Adams-Moulton (cuadro 17.2). Como se hizo en la deri- vación de la ecuación (17.15), la ecuación (B17.1.1) se puede sustraer de la ecuación (B17.1.2) para obtener

[B17.1.3]

Ahora dividiendo la ecuación entre vc + vp6J¿iP, multi- plicando el último término por 6,/6, y reordenando tér- minos se obtiene una aproximación del error local de truncamiento del corrector

Yl+l - YE1 rlc + ' J P WS,

O E, =

Para el predictor modificador, la ecuación (B17.1.3) se puede resolver en el paso anterior mediante

que se puede sustituir en el término del error de la ecua- ción (B17.1.1) para obtener

[B17.1.5]

Las ecuaciones (B17.1.4) y (B17.1.5) son versiones ge- nerales que se pueden usar para mejorar los algoritmos de pasos múltiples. Por ejemplo, el método de Milne tie- ne ?, = 14, 6, = 45, vc = l , y 6; = 90. Sustituyendo estos valores en las ecuaciones (B17.1.4) y en (B17.1.5) se obtienen las ecuaciones (17.33) y (17.34). Se pueden desarrollar modificadores sirnilares para otro par de fórmulas abiertas y cerradas que tienen errores locales de truncamiento del mismo orden.

métodos de paso múltiple de orden superior más comunes: el método de Milne y el método de Adams de cuarto orden.

17.3.1 Método de Milne

El método de Milne es el método de pasos múltiples más común basado en las fórmulas de integración de Newton-Cotes. Este usa la fórmula abierta de Newton-Cotes de tres puntos como predictor:

[17.31]

y la fórmula cerrada de Newton-Cotes de tres puntos (regla de Simpson de 1/3) como corrector:

y{+1 = yim_1 + !gfi"-l + 4jy + f { ; ! ) [17.32]

Los modificadores predictor y corrector del método de Milne se pue- den desarrollar a partir de las fórmulas del recuadro 17.1 y los coeficien- tes del error de los cuadros 13.2 y 13.4:

E, = % ( y ? - y?) [ 17.331

Page 607: Metodos numericos para ingenieros

596 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Y

EJEMPLO 17.4 Método de Milne

Enunciado del problema: utilicese el método de Milne para integrar y ' = 4&.Y - 0.5 y desde x = 4 usando un tamaño de paso de 1. La condi- ción inicial en x = O es y = 2. Debido a que se utiliza un método de paso múltiple, se necesitan los puntos anteriores. En una aplicación verdadera se debe usar bun método de un paso tal como RK de cuarto orden para calcular los puntos necesarios. En este ejemplo, se usa la solución analítica [recuérdese la Ec. (E16.5.1) del ejemplo 16.51 para calcular los valores exactos en xi-3 = - 3, xi-2 = - 2, y xi"l = 1 de yi-3 = -

respectivamente. 4.547 302 219, yi-2 = - 2.306 160 375 y yi-1 = - 0.392 995 325

Solución: el predictor [Ec. (17.31)] se emplea para calcular un valor en x = 1: y; = -4.547 302 219 + 4[2(3) - 1.993 813 519 + 2(1.960 666 259)]

3

= 6.022 723 13 €, = 2.8%

El corrector [Ec. (17.32)J se emplea entonces para calcular

y: = -0.392 995 325 + 711.993 813 519 + 4(3) + 5.890 802 1-57] 1

= 6.235 209 902 C, -0.66%

Este resultado se sustituye en la ecuación (17.32) para corregir iterativa- mente la aproximación. Este proceso converge a un valor corregido final de 6.204 854 65 (E, = - 0.17%).

Este valor es más.exacto que la aproximación comparable de 6.360 865 49 (E, = - 2.68%) obtenido previamente con el método de Heun sin principio (ejemplos 17.1 al 17.3). Los resultados en los pasos restantes son y (2) = 14.860 307 2 (E, - O . l l % ) , y (3) = 33.724 260 1 =

- 0.14%), y y (4) = 75.432 948 7 (E, = - 0.12%).

Corno en el ejemplo anterior, el método de Milne, en general, obtie- ne resultados de alta exactitud. Sin embargo, existen ciertos casos en los que ésta es baja. Antes de entrar en detalle en estos casos. se describirá otro método de pasos múltiples de orden superior, el método de Adams de cuarto orden.

Page 608: Metodos numericos para ingenieros

METODOS D E PASOS M ú L T I P L E S 597

17.3.2 Método de Adams de cuarto orden

Un método de pasos múltiples ampliamente usado basado en las fórmu- las de integración de Adams utiliza la fórmula de cuarto orden de Adams- Bashforth (cuadro 17.1) como predictor:

y?+* = y? + h(zf!" 24 I - sf? 24 I 1 + zf"' 24 1-2 - zfF3) [17.35]

y la fórmula de cuarto orden de Adams-Moulton (cuadro 17.2) como co- rrector:

y{+l y? + h (xfj-1 24 1+1 + Bf!" 24 I - Af!" 24 1-1 + 'f!" 24 1-2 ) [17.36]

Los modificadores predictor y corrector del método de Adams de cuar- to orden se pueden desarrollar a partir de las fórmulas del recuadro 17.1 y los coeficientes de error de los cuadros 17.1 y 17.2 para obtener:

[17.37]

[17.38]

EJEMPLO 17.5 Método de Adams de cuarto orden

Enunciado del problema: utilícese el método de Adams de cuarto orden para resolver el mismo problema del ejemplo 17.4.

Solución: el predictor [Ec. (17.35)l se usa para calcular un valor en x = 1.

y? = 2 + I (E3 - $1.993 813 519 + 1.960 666 259

- 9 2.649 382 908) 24

= 6.002 716 992 E , = 3.1%

que es comparable pero un poco menos exacto que el resultado obteni- do con el método de Milne. El corrector [Ec. (17.38)J se emplea para calcular

y{ = 2 + l(& 5.900 805 218 + E3 - & 1.993 813 519

+ & 1.960 666 259)

= 6.254 118 568 E , = -0.96%

que nuevamente es comparable pero un poco menos exacto que el re- sultado obtenido con el método de Milne. Este resultado se puede susti-

Page 609: Metodos numericos para ingenieros

598 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENfEROS

tuir en la ecuación (17.38) para corregir iterativamente la aproximación. El proceso converge a un valor corregido final de 6.214 423 582 (E, = 0.32%) el cual es un resultado exacto pero nuevamente algo inferior al obtenido con el método de Milne.

17.3.3 Estabilidad de los métodos de pasos múltiples

La gran exactitud mostrada por el método de Milne en los ejemplos 17.4 y 17.5 puede anticiparse con base en los términos del error de los predic- tores [Ec. (17.33) y (17.37)] y a los de los correctores [Ec. (17.34) y (17.38)]. Los coeficientes del método de Milne, 14/45 y 1/90, son más pequeños que para el método de Adams, 251/720 y 19/720. Adicio- nalmente, el método de Milne emplea algunas evaluaciones más de la función para alcanzar estas altas exactitudes. Por los valores obtenidos, estos resultados pueden llevar a la conclusión de que el método de Milne es superior y, por lo tanto, es preferible al método de Adams de cuarto orden. Aunque esta conclusión se cumple en la mayor parte de los ca- sos, existen ejemplos en donde el método de Milne trabaja inadecuada- mente. Este comportamiento se muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 17.6 Estabilidad del método de Milne y del método de Adams de cuarto orden

Enunciado del problema: utilicese el método de Milne y el método de Adams de cuarto orden para resolver

" - dx

con la condición inicial de que y = 1 en x = O. Resuélvase la ecuación de x = O a x = 10 usando un tamaño de paso h = 0.5. Nótese que la solución analítica es y = e "'.

Solución: los resultados, resumidos en la figura 17.10. indican problemas con el método de Milne. Un poco después del arranque de los cálculos, los errores empiezan a crecer y a oscilar en el signo. En t = 10, el error relativo se ha inflado a 2 831% y el valor predecid0 mismo ha empezado a oscilar en el signo.

En contraste, los resultados del método de Adams son mucho más acep- tables. Aunque el error también crece, lo hace de manera lenta. Adicio- nalmente, las diferencias no deberían exhibir los cambios bruscos de signo mostrados por el método de Milne.

Page 610: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES 599

FIG1 J RA 17. 10 Esquema de la inestabilidad del método de Milne.

AI comportamiento inaceptable manifestado en el ejemplo anterior del método de Milne se le llama inestabilidad. Aunque esto no siempre ocurre, su posibilidad lleva a la conclusión de que el método de Milne debe evitarse. Por lo tanto, normalmente se prefiere el método de Adams de cuarto orden.

La inestabilidad del método de Milne se debe al corrector. Por consi- guiente, se han hecho intentos de rectificar este inconveniente desarro- llando correctores estables. Una alternativa usada comúnmente que emplea este esquema es el método de Hamming, que usa el predictor de Milne y un corrector estable:

. 9yT - yrp + 3h(f{;: + 2fT - f rl) Yi+l = 8

que tiene un error local de truncamiento

E, = &h5f4)(&)

El método de Hamming también incluye modificadores de la forma

Page 611: Metodos numericos para ingenieros

600 MhODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

Y

El lector puede obtener información adicional sobre este y los otros mé- todos de pasos múltiples en otras obras (Hamming, 1973; Lapidus y Sein- field, 1971).

PROBLEMAS

Cálculos a mano

17.1

17.2

17.3

17.4

17.5

Resuélvase el siguiente problema de valor inicial sobre el intervalo de x = 2 a x = 3:

dY d X - -0.5,

Utilicese el método de Heun sin principio con un tamaño de paso de 0.5 y las condiciones iniciales y(1.5) = 4.723 67 y y(2.0) = 3.678 79. ltérese con el co- rrector hasta E, = l%. [Nota: los resultados exactos obtenidos analíticamente son y(2.5) = 2.865 05 y y(3.0) = 2.231 30.1 Calcúlese el error relativo porcentual E" en los resultados.

Repítase el problema 17.1 usando el método de Milne. [Nota: y(0.5) = 7.788 O 1 y y(1.0) = 6.065 31.) Itérese el corrector hasta que E, = 0 . 0 1 8 .

Repítase el problema 17.2 pero con el método de Adams de cuarto orden (EE = 0.01 56).

Resuélvase el siguiente problema con valor inicial desde x = 4 hasta x = 5:

dY Y -= - - dx X

Utilícese un tamaño de paso de 0.5 y valores iniciales de y(2.5) = 1.2, y(3) = 1 , y(3.5) = 0.857 142 857 y y(4) = 0.75. Obténganse las soluciones usando los métodos siguientes: a) método de Heun sin principio (es = 1 %), b) método de Milne (ES = 0.01%) y c) método de Adams de cuarto orden (ES = 0.01%). [Nota: Las respuestas exactas obtenidas analíticamente son y(4.5) = 0.666 666 67 y y(5) = 0.6.1 Calcúlese el error relativo porcentual 6" de los resultados:

Resuélvase el siguiente problema de valor inicial desde y = O hasta y = 0.5:

dv 2 - = y x - y

dx

Utilicese el método de Heun sin principio con un tamaño de paso de 0.25. Si y(-0.25) = 1.277 355 170, empléese un método RK de cuarto orden con ta- maño de paso l para predecir el valor inicial en y(0).

Page 612: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS DE PASOS MúLTIPLES 60 1

17.6

17.7

17.8

17.9

Resuélvase el siguiente problema de valor inicial desde x = 1.5 a x = 2.5:

dY dx I + x " - -Y -

Utilicese el método de Adams de cuarto orden. Empléese un tamaiío de paso de 0.5 y el método RK de cuarto orden para predecir los valores iniciales de arran- que si y(0) = 2 .

Repítase el problema 17.6 usando el método de Milne

Determínese el predictor, el corrector y los modificadores del método de Adarns de segundo orden. Empléese para resolver el problema 17.1.

Determínese el predictor, el corrector y los modificadores del método de Adarns de tercer orden. Empléese para resolver el problema 17.4.

Problemas relacionados con la computadora

17.10 Desarróllese un programa legible al usuario sobre el método de Heun sin princi- pio con modificadores basado en la sección 17.1.3. Empléese un método RK de cuarto orden para calcular los valores iniciales. Pruébese el programa con el ejemplo 17.3.

17.11 Utilícese el programa desarrollado en el problema 17.10 para resolver el proble- ma 17.5.

17.12 Desarróllese un programa legible al usuario sobre el método de Milne de cuarto orden con modificadores. Empléese un método RK de cuarto orden para calcu- lar los valores iniciales. Pruébese el programa con el ejemplo 17.5.

17.13 Utilícese el programa desarrollado en el problema 17.12 para resolver el proble- ma 17.6.

Page 613: Metodos numericos para ingenieros
Page 614: Metodos numericos para ingenieros

C A P í T U L O D I E C I O C H O

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

El próposito de este capítulo es el de resolver algunas ecuaciones diferen- ciales ordinarias usando los métodos numéricos presentados en los capí- tulos 16 y 17. Las ecuaciones se originan de aplicaciones pr6cticas de la ingeniería. Muchas de estas aplicaciones generan ecuaciones diferencia- les no lineales que no pueden resolverse usando métodos analíticos. Por lo tanto, comúnmente se necesitan los métodos numéricos. En consecuen- cia, el uso de los métodos de solución numérica de ecuaciones diferen- ciales ordinarias es una habilidad fundamental que caracteriza al buen ingeniero. Los problemas de este capítulo ilustran algunos de los elemen- tos de juicio asociados con varios de los métodos analizados en los capí- tulos 16 y 17.

En el caso 18.1 se usa una ecuación diferencial para predecir las ten- dencias de la venta de computadoras. Entre otras cosas, este ejemplo ilustra como se ajustan datos a un parámetro de un modelo matemático. Se usa el método RK de cuarto orden en esta aplicación.

El caso 18.2 tiene su origen en el contexto de los problemas de inge- niería química, que demuestra cómo escoger adecuadamente un tama- ño de paso y cómo se pueden usar las ecuaciones diferenciales para mejorar el proceso de producción química. Se usa el método de Runge-Kutta de segundo orden para este ejemplo.

Los casos 18.3 y 18.4 tomados de la ingeniería civil y eléctrica res- pectivamente, tratan de la solución de un sistema de ecuaciones. En el caso 18.3, se usa el método de Euler debido a que el problema no re-' quiere de resultados con una gran exactitud. En el caso 18.4, por el otro lado, se requiere de una exactitud alta, y por consiguiente, se usa el mé- todo RK de cuarto orden.

Finalmente, en el caso 18.5 se emplea una variedad de métodos di- ferentes para investigar el comportamiento de un péndulo en oscilación. Este problema también usa dos ecuaciones simultáneas. Un aspecto im- portante de este ejemplo es el de ilustrar cómo los métodos numéricos permiten la fácil incorporación de efectos no lineales dentro del análisis de ingenería.

Page 615: Metodos numericos para ingenieros

604 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

CASO 18.1 MODELOS MATEMÁTICOS PARA PROYECTOS DE VENTA DE COMPUTADORAS (INGENIERíA EN GENERAL)

Antecedentes: las operaciones y las utilidades de una compañía de compu- tadoras dependen mucho del conocimiento sobre el manejo del número de computadoras disponibles en el mercado en un tiempo cualquiera. Los métodos de extrapolación analizados en el caso 12.1 han demostrado que no existe confiabilidad ni exactitud. Se tiene, por lo tanto, que derivar un modelo matemático que sea capaz de simular y predecir el número de computadoras disponibles en el mercado en función del tiempo t . Se puede desarrollar una ecuación diferencial para este propósito.

El departamento de mercadeo de la compañía ha determinado a tra- vés de la experiencia y de observaciones empíricas, que las ventas espe- radas de las computadoras se describen mediante.

Promedio de venta (número de computadoras o:

número de computadoras en el mercado

vendidas por día) costo por computadora [ 18.11

Es decir, mientras más computadoras se muestren al público, mayor venta de las mismas; y a mayor costo, menos ventas. Además, el costo de una computadora individual está relacionado con el número de computado- ras en el mercado, [recuérdese la Eq. (15.1)]

N 10 O00 + N Costo por computadora ($) = 3 O00 - 1 750 [18.2]

donde N es el número de computadoras. La razón de cambio a través del tiempo del número de computado-

ras restantes en el mercado es igual al registro del promedio de ventas:

dN dt - = - promedio de ventas [ 18.3)

donde el promedio de ventas se deriva combinando las ecuaciones (18.1) y (18.2):

N 3 O00 - 1 750N/( 10 O00 + N)

Promedio de ventas = k I18.41

donde k es una constante de proporcionalidad que tiene unidades de dó- lares por tiempo. Sustituyendo la ecuación (18.4) en la ecuación (18.3) se obtiene

dN N dt 3 O00 - 1 750N/( 10 O00 + N) - = - k [18.5]

Page 616: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 605

Las consideraciones de planeación requieren que se obtenga una es- timación de cuánto tiempo permanecerán en el mercado 50 O00 nuevas computadoras. En el cuadro 12.1 se cuenta con algunos datos. Utilicese esta información para calcular el parámetro k. Después empléese el mé- todo RK de cuarto orden para resolver la ecuación (18.5) desde t = O hasta t = 90.

Solución: el primer paso de este análisis será determinar un valor de k. Para hacerlo, se puede resolver la ecuación (18.5)

dN 3 x lo7 + 1 250N k = - - dt N(10 O00 + N)

Con base en esta ecuación, se puede evaluar k si tiene una aproximación a dN / dt. Esto se puede hacer con los datos del cuadro 18.1, usando diferencias divididas finitas para calcular dN / dt, [recuérdese la sección 3.5.41:

""I= Ni+l - 4 - 1 dt . 2At

Los resultados se muestran en el cuadro 18.1 y se pueden usar para de- terminar un valor medio de k = $49.3 diarios.

Cuadro 18.1 Cálculos de k obtenidos de los da- tos de venta de computadoras. l a media de k es 49.3

t dias N dNldt k

O 50 O00 10 35 O00 -950 44.5 20 31 O00 -750 40.6 30 20 O00 -600 55.0 40 19 O00 -397.5 38.8 50 12 050 -400 67.8 60 1 1 O00

Ahora este valor se puede sustituir en la ecuación (18.5) para obtener:

dN N dt 3 O00 - 1 750 [N/( 10 O00 + N ) ] " - -49.3

que se puede integrar usan¿o un método RK de cuarto orden con la con- dición inicial N = 50 O00 y un tamaño de paso de un día. Obsérvese que se llevó a cabo la simulación usando un tamaño de paso de 0.5 días

Page 617: Metodos numericos para ingenieros

606 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 18.1 Gráfica del número de computadoras N en el mercado contra el tiempo t en días. Se usan tres simulaciones con un modelo de ecuación diferen- cial ordinaria [Ec. (18.5)], se muestran en el caso donde N = 50 O00 en t = O. Las tres simulaciones corresponden a valores diferentes del pa- rámetro k.

y se obtuvieron resultados casi idénticos, indicando que la exactitud al usar un tamatio de paso de 1.0 es aceptable. Los resultados se muestran en la figura 18.1 junto con los datos. Así como sucede en la regresión, se puede calcular la suma de los cuadrados de los residuos para cuantificar la calidad del ajuste. El resultado es 2.85 X lo7. Aunque al ajuste parece ser satisfactorio, se llevan a cabo nuevamente los c6lculos usan- do valores de k que son f 20% del valor original de $49.3 diarios. Usando los valores de k de 59.2 y 39.4 se obtienen las sumas residuales de los cuadrados iguales a 1.05 x 10' y 5.35 x lo', respectivamente. Estas si- mulaciones también se muestran en la figura 18. l.

En seguida se grafica la suma de los cuadrados de los residuos contra k (Fig. 18.2) y se ajusta una parábola a través de los puntos usando un polinomio de interpolación, Después se determina k , como la suma mí- nima de los cuadrados, derivando la ecuación de segundo orden, igua- lándola a cero y resolviendo para k. El valor resultante de k = $46.8 diarios se sustituye en la ecuación (18.5) y se obtiene

dN N dt 3 O00 - 1 750[N/(10 O00 + N ) ]

- = -46.8

Page 618: Metodos numericos para ingenieros

FIGURA 18.2 Gráficc de la suma de los cuadrados de los residuos (S,) contra los va- lores del parámetro k del modelo. La curva es una parábola ajustada a tres puntos. El punto de pendiente cero de esta curva, representa una aproximación del valor k ($46.8/día) que corresponde a un valor míni- mo de S,.

FIGURA 18.3 Modelo de predicciones usando la ecuación (1 8.5) con k igual a $46.8/día.

607 . - ..

Page 619: Metodos numericos para ingenieros

608 MhODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

Este modelo produce una suma de los cuadrados de los residuos igual a 2.24 X lo7; se puede usar para los propósitos predictivos. Las pre- dicciones se muestran en la figura 18.3 junto con los datos iniciales. Los resultados en t = 55, 65 y 90 días son 11 720, 9 383 y 5 596, respecti- vamente. Esta información, que es superior a la obtenida mediante ajus- te de curvas en el capitulo 12, se puede usar en el manejo de toma de decisiones relacionadas con la venta de estas computadoras.

CASO 18.2 DISEÑO DE U N REACTOR PARA PRODUCCIóN FARMACÉUTICA (INGENIERíA QUíMICA)

Antecedentes: los ingenieros químicos diseñan reactores para el crecimiento poblacional de organismos microbianos (recuérdese el caso 12.2). Los subproductos del crecimiento pueden ser productos farmacéuticos útiles. En la figura 18.4 se muestra el esquema de un reactor que opera a base de flujo continuo. El flujo de entrada contiene pocos microorganismos de- rivados, pero un alto contenido de nutrientes. Este flujo permanece en el reactor por algún tiempo mientras que ocurre la reacción bioquímica y después fluye hacia el exterior. El flujo de salida contiene una gran can- tidad de nuevos microorganismos en crecimiento y una alta concentra- ción de derivados del Crecimiento. Los nutrientes son más bajos que a la entrada debido a su utilización microbiana. El contenido del reactor se mezcla vigorosamente de tal manera que la composición de la mezcla de salida y del tanque sean iguales.

Si la proporción de flujo y el contenido de los nutrientes es constante, el crecimiento de microorganismos se balancea por la pérdida de orga- nismos del tanque y se alcanza con el tiempo una densidad de población estable. Al intervalo de tiempo en que los organismos se ajustan e incre- mentan su densidad se le llama periodo de inicio. La longitud del perio- do de inicio es importante debido a que éste es tiempo perdido que cuesta dinero a la compañía.

Al investigador se le propone desarrollar un modelo matemático para los microbios del reactor para predecir el periodo de arranque. El labora- torio de investigaciones bioquímicas ha determinado que los microorga- nismos crecen de acuerdo al modelo de crecimiento logístico (recuérdese el caso 6.3):

Velocidad de crecimiento = K (pmAx - p)p

donde p máx = 2 x 10 células por litro es la densidad microbiana má- xima y K = 2 x litros por célula por día es el coeficiente de la velo- cidad de crecimiento. Se requiere calcular el periodo de inicio para el caso donde p ( t = O) = 100 000 células por litro, el promedio de flujo de enira- da al tanque Q = 100 I/día y el volumen del tanque V = 700 I . El perio-

Page 620: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 609

.""_""" _ _ -

FIGURA 18.4 Representación esquemática de un reactor de fluio continuo con mezcla- do total empleado en el crecimiento de la población de organismos mi- crobianos.

do de inicio se define como el tiempo necesario para que la población crezca a 6 x lo5 células por litro. En este momento la producción far- macéutica puede empezar.

Después de haber obtenido un cálculo confiable, se necesita usar el modelo para ayudar a los operadores de la planta a decidir el número óptimo de células a usarse en el tiempo t = O. Cuantos más organismos existan en t = O , más corto será el tiempo de inicio. Esto es importante debido a que cuesta a la compaiiía 1 O00 dólares diarios si el tanque está fuera de producción. Por lo tanto, existe la ventaja de reducir el tiempo de inicio usando más organismos en t = O.

Por otro lado, los organismos nuevos son muy caros para comprar- se. En la actualidad la compañía obtiene cepas de un laboratorio biológi- co con un costo de 3 O00 dólares por 100 millones de células. Por lo tanto, el costo de 100 O00 células por litro usado en este an6lisls sería:

Costo = 100 O00 células/1(700 1) $3 O00 100 x IO6 células

= $2 100

El costo de 200 O00 células por litro sería el doble . Por consiguiente exis- ten ventajas y desventajas entre la reducción del periodo de arranque y el costo de nuevos organismos. El trabajo consiste en usar un modelo que proporcione una guía a los operadores de la planta relacionado con el número ideal de organismos en el tiempo t = O. Solución: primero se debe desarrollar la capacidad de simular el número de organismos en función del tiempo. Las consideraciones de balance de masas sugieren que

dP dt -

Acumulación rnicrobiana - crecimiento de pérdida de masa en el tanque - biomasa microbiana - microbiana al exterior

Sustituyendo los pardmetros en la ecuación (18.6) se obtiene:

Page 621: Metodos numericos para ingenieros

610 MÉTODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

- dP = 2 X 10-~(2 X lo6 - p)p - - p 100 dt 700

o, reordenando términos

___ = 0.257 14 p - 2 X p 2 dP dt

Esta ecuación se puede resolver analíticamente, pero se usará un méto- do numérico para obtener la solución. Primero, se usa el método de Euler con un tamaño de paso de un día para calcular los resultados mostrados en la figura 18.5. Se usa el método Euler para este propósito debido a que es muy fácil de programar y proporciona una estimación rápida del comportamiento general de la solución. Como se puede ver, los microor- ganismos necesitan alrededor de 10 días para el periodo de inicio; en t = 20 días han alcanzado una población casi estable. A este periodo estable se le llama estado estacionario.

En base al resultado anterior, se decide llevar a cabo la simulación en un periodo de 20 días. También se decidió usar el método de Ralston o RK de segundo orden debido a su fácil programación y a su creciente exactitud en el resto de los cálculos. En el cuadro 18.2 se muestran los

FIGURA 18.5 Simulación del crecimiento microbiano en un proceso de producción quí- mica. Se usa el método de Euler en la simclación para hacer una evalua- ción rápida del comportamiento de la solución. Nótese que dentro de 1 O días se termina el periodo de inicio, y en 2 0 días el reactor ha alcan- zado casi el estado estacionario.

Page 622: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 61 1

CUADRO 18.2 Crecimiento microbiano simulado utilizando una ED0 y el metodo de Ralston RK de segundo orden. Se muestran resultados para ta- maños de paso diferentes, así como la solucidn verdadera.

M6todo de Ralston RK de segundo orden

t, Solucidn días h = 2 h = l h 0.5 ver-

dadera

O 2 4 6 8

10 12 14 16 18 20

100 O00 157 389 241 459 356 983 502 124 664 649 824 332 961 864

1 068 231 1 144 048 1 195 245

100 O00 158 482 244 265 361 805 508 550 671 699 831 161 968 558

1 074 745 1 150 200 1 200 719

100 O00 158 810 245 097 363 218 510 415 673 738 833 149 970 419

1 076 459 1 151 723 1 207 002

100 O00 158 931 245 403 363 736 511 095 674 479 833 867 971 080

1 077 050 1 152 233 1 202 420

resultados para tamaños de paso de 2, 1 y 0.5 días. Aunque el resultado analítico exacto es poco factible en la mayor parte de los problemas de apli- caciones verdaderas, se ha incluido en el cuadro 18.2 para propósitos de comparación. Obsérvese que todos los resultados numéricos son muy buenos, aun con el tamaño de paso t = 2 - h se muestran errores de menos del 5%. Si no se conoce la solución verdadera, la exactitud de los cálculos se puede apreciar comparando los resultados obtenidos variando el tamaño del paso. Por ejemplo, las diferencias entre los resultados de h = 1 y 0.5 ocurren en la tercera cifra significativa. En consecuencia no se garantiza más exactitud debido a que una mayor precisión no sería discernible en una gráfica. Por lo tanto, se decide que h = 0.5 es adecuada para este propósito.

Al usar este tamaño de paso y el modelo de Ralston se realizan dos simulaciones adicionales con las condiciones iniciales de 200 O00 y 400 O00 células por litro. En la figura 18.6 se muestran estos resultados, jun- to con el caso de 100 O00 células por litro. Como era de esperarse, cuan- to más organismos se usen como base más se acortará el periodo de inicio, como se puede ver en los resultados del cuadro 18.3. Nótese que usan- do más organismos al incio, se reduce el costo de retardo de 9 200 a 2 500 dólares. Sin embargo, el costo de compra de los organismos aumen- ta de 2 100 a 8 400 dólares. El costo total, mostrado en la figura 18.7, sugiere un mínimo alrededor de 250 O00 células por litro. El punto míni- mo se puede aproximar ajustando una parábola a los tres puntos. Esta función puede diferenciarse, igualarse la derivada a cero y resolver para encontrar un valor de 264 O00 células por litro. Este nivel corresponde a un costo total de 10 O00 dólares, quelepresenta el costo total más ba- jo, tomando en cuenta tanto los costos del periodo de inicio como de los organismos semilla.

Page 623: Metodos numericos para ingenieros

61 2 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 18.6 Simulaciones del crecimiento microbial usando tres condiciones iniciales diferentes. Estos casos demuestran que, cuando se incrementa el núme- ro de organismos semilla, el periodo de arranque se acorta.

FIGURA 18.7 Gráfica del costo contra el número de organismos semilla (esto es, número de orga- nismos en t = O). El hecho de que la curva sea plana sugiere que aunque exista ur mínimo en 264 O00 células por litro, este resultado es insensible relativamente al nú- mero de organismos semilla.

Page 624: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 613

Inconvenientes de costo en varios niveles iniciales de organismos empleados en un proceso químico de producción

CASO 18.3

FIGURA 18.8

Concentración Costo de Tiempo de Costo por Costo inicial de compra de inicio retardo total organismos organismos célulasllitro $ h $ $

100 O00 2 100 9.2 9 200 11 300 200 O00 4 200 6.0 6 O00 10 200 400 O00 8 400 2.5 2 500 10 900

~~ ~~ ~ ~ -~

DEFLEXIÓN DEL MÁSTIL DE UN VELERO (INGENIERíA CIVIL) Antecedentes: en la figura 18.8 se muestra un velero similar al de los ca- sos 12.3 y 15.3, con una fuerza uniforme f distribuida a lo largo del más- til. En este caso, los cables que soportan al mástil se han quitado, pero el mástil se monta firmemente en el casco del velero.

La fuerza del viento causa que el mástil se desvíe como se muestra en la figura 18.9. La desviación es similar a la de una viga en voladizo. Se puede usar la siguiente ecuación diferencial, basada en las leyes de la mecánica, para calcular la deflexión:

- - (L - 2)* d2Y d z 2 2EI " [18.7]

Mástil del velero sujeto a una fuerza uniforme f.

Page 625: Metodos numericos para ingenieros

614 METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS

FIGURA 18.9 Deflexión del mástil sujeto a una fuerza uniforme.

en donde E es el nódulo de elasticidad, L es la altura del mástil e I es el momento de inercia. En z = O y dy / dz = O. Calcúlese la deflexión en el tope del mástil en donde z = L usando métodos analíticos y numé- ricos. Supóngase que el casco no gira.

Solución: la ecuación (18.7) se puede resolver analíticamente para la de- flexión en z = L:

f L4 y(z = L) = - 8EI [18.8]

Este problema incluye una ecuación diferencial que tiene una solución con características uniformes. Además, el intervalo de integración es re- lativamente corto y la desviación del mástil es pequeña. También los va- lores de f y E se basan en datos experimentales variables y difíciles de medir exactamente. Por lo tanto, parece satisfactorio usar un mBtodo de bajo orden para resolver la ecuación diferencial. Só10 se necesitará un valor inicial, y probablemente se use un tamaño de paso pequeño sin acu- mulación de errores de redondeo excesivos.

La ecuación (18.7) se puede escribir como un sistema de dos ecua- ciones de primer orden con una transformación de variables. Sea

dY - = u dz

y , por lo tanto, la ecuación (18.7) se expresa como

[18.9]

du dz 2El ”- - (L - 2)* [18.10]

Page 626: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 615

Este par de ecuaciones diferenciales se puede resolver simult6neamente usando el método de Euler.

Sin embargo, en primer lugar se puede obtener la solución analítica por comparación. Dada una carga uniforma f = 50 libras/pie, L = 30 pies, E = 1.5 x lo8 libras/pie2 e I = 0.06 pies4 la ecuación (18.8) se resuelve para:

50(30)4 y(30) = 8(1.5 x 108)0.06 = 0.5 625 pies

En seguida se resuelven las ecuaciones (18.9) y (18.10) usando el método ~ de Euler. Los resultados de algunos pasos de integración son:

Tamaño de paso Y(30) de Euler

0.574 4 1.0 0.563 7 0.1 0.563 1 0.05

I Por lo tanto, la respuesta obtenida parece satisfactoria; la deflexión del más- FIGURA 18.10 til se muestra en la figura 18.10. Gráfica de la deflexión Los resultados se pueden usar para propósitos de diseño. Esto es espe- del mástil de un velero cialmente valioso en casos donde la fuerza del viento no es constante sino

de Euler. calculada con el método varía de una forma complicada en función de la altura sobre la cubierta del

velero. El problema 18.13 proporciona un ejemplo de esta situación.

CASO 18.4 SIMULACIóN DE UNA CORRIENTE TRANSITORIA EN UN CIRCUITO ELÉCTRICO (INGENIERíA ELÉCTRICA)

Antecedentes: son muy comunes los circuitos eléctricos en donde la corriente varía con el tiempo en vez de mantenerse constante. En el ciclo de lado derecho se establece una corriente transitoria del circuito mostrado en la fi- gura 18. ll cuando el conmutador se cierra de repente.

Las ecuaciones que describen el comportamiento transitorio del circuito de la figura 18.11 se basan en las leyes de Kirchhoff, que dicen que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de un ciclo cerrado es cero (re- cuérdese el caso 6.4). Por lo tanto,

di dt C

L-++Ri+"€( t )=O 9 r18.111

donde L(di/dt) es la caída de voltaje a través del inductor, L es la inductan- cia (en henrios), R es la resistencia (en ohmios), q es la carga del capacitor

Page 627: Metodos numericos para ingenieros

616 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

E i t ) a- . . " h

Conmu-'#* i *,. 1

tador

,, .

- Batería -2 Vo ,:' Capacitor , Inductor

-

+ t

/i s .

Resistencia

FIGURA 18.1 1 Circuito eléctrico donde la corriente varía con el tiempo.

(en coulombs), C es la capacitancia (en faradios), E ( t ) es la fuente de voltaje (en voltios) variable con el tiempo, y

[18.12]

Las ecuaciones (18.11) y (18.12) son un par de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que se pueden resolver analíticamente. Por ejem- plo, si E( t ) = Eo sen wt y R = 0,

-Eo w €0

U P 2 - w2) P L(p2 - w 2 ) q(t) = " -senp t + senw t [18.13]

en donde p = i/m Los valores de q y dq/dt son cero en t = O. Empléese un método numérico para resolver las ecuaciones (18.11) y (18.12) y compárense los resultados con la ecuación (18.13).

Solución: este problema incluye un intervalo de integración más grande y demanda el uso de métodos de gran exactitud para resolver ecuaciones di- ferenciales si se esperan buenos resultados. Supongamos que L = 1 H, Eo = 1 V, C = 0.25 C y W2 = 3.5 s2. Esto genera p = 2 y la solución analítica de la ecuación (18.13) viene a ser:

q(t) = - 1.870 8 sen 2t + 2 sen (1.870 8 t )

Esta función se muestra en la figura 18.12. La naturaleza de cambio r6pi- do de la función exige grandes requerimientos a cualquier procedimiento numérico para calcular q( t ) . Además, debido a que la función exhibe una pequefia variación de naturaleza periódica así como un componente de variación rápida, se necesitan periodos de integración grandes para tratar de nuevo la solución. Por lo tanto, se espera que sea preferido un méto- do de orden superior en este problema.

No obstante, se pueden probar los métodos de Euler y Runge-Kutta de cuarto orden y comparar los resultados. Con el método de Euler y usando un tamaño de paso de 0.1 S en t = 10 S se obtiene un valor de q igual a -6.638 mientras que con el método de Runge-Kutta de cuarto orden se obtiene un valor de - 1.989 7 . Este resultado es comparable a la solución exacta, - 1.996 C.

Page 628: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 617

FIGURA 18.1 2 Pantalla de la computadora mostrando la gráfica de una función [Ec. (18.13)].

La figura 18.13 muestra los resultados de la integración de Euler cada 1 .O S comparada con la solución exacta. Nótese que se grafica sólo cada décima de punto en la salida. Se puede ver que el error global aumenta a medida que t aumenta. Este comportamiento divergente se intensifica a medida que t tiende a infinito.

FiGURA 18.13 Resultados de la integración de Euler contra la solución exacta. Nótese que se grafi- ca sólo cada décima de punto.

""""".-.-..-"". . . . . . ...~. . _ ~ _ - ~.

Page 629: Metodos numericos para ingenieros

618 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

CASO 18.5

W

FIGURA 18.14 Diagrama de cuerpo libre del péndulo oscilante mostrando las fuerzas sobre la partícula y la aceleración.

EL PÉNDULO OSCILANTE (INGENIERíA MECÁNICA) Antecedentes: en la ingeniería mecánica (así como en las otras ingenie- rías) a menudo se enfrentan problemas relacionados con el movimiento periódico de cuerpos libres (recuérdese el caso 6.5). Los métodos de in- geniería requieren fundamentalmente que se conozca de la posición y la velocidad del cuerpo en función del tiempo. Estas funciones del tiempo invariablemente son ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones diferenciales, en general, se basan en la segunda ley de Newton del mo- vimiento.

Como ejemplo, considérese el péndulo simple mostrado previamen- te en la figura VI. l. La partícula de peso W se suspende de un hilo de peso despreciable, de longitud l . Las únicas fuerzas que actúan sobre la partícula son un peso y la tensión R del hilo. La posición de la partícula en cualquier tiempo se especifica completamente en términos del ángulo 0 y 1.

El diagrama de cuerpo libre de la figura 18.14 muestra las fuerzas que actúan sobre la partícula así como su aceleración. Es conveniente apli- car la segunda ley de Newton del movimiento en la dirección x, tangente a la trayectoria de la partícula:

F = -Wseno =-a W 9

donde g es la constante gravitacional (32.3 pies/s2) y a es la aceleración en la dirección x. La aceleración angular de la partícula (a) es

Por lo tanto, en coordenadas polares (a = d2d /d t2 ) ,

O

d2e g - + -sen6 = O df2 1 [18.14]

Esta ecuación aparentemente simple es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden, En general, tales ecuaciones son difíciles o hasta imposi- bles de resolver analíticamente. Existen dos alternativas relacionadas con el avance en la solución de este problema. Primero, la ecuación diferen- cial se puede reducir a una forma de resolver analíticamente (recuérdese la sección (VI.l . 1). O se puede usar un método numérico para resol- ver la ecuación diferencial directamente. Se examinan ambas alternati- vas en este ejemplo.

Page 630: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 619

Solución: de acuerdo al primer método, se puede ver que la expansión de la serie Taylor del sen 8 está dada por

o3 o5 07 seno=o--+- ." 3! 5! 7 ! + * * * [18.15]

Para pequeños desplazamientos angulares, sen 6 es aproximadamente igual a 8 cuando se expresa en radianes. Por lo tanto, para desplazamientos pe- queños la ecuación (18.14) se convierte en:

d20 g - + - o = o dt2 I

E18.161

que es una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Esta aproxima- ción es muy importante debido a que la ecuación (18.16) es muy fácil de resolver analíticamente. La solución, basada en la teoría de las ecuaciones diferenciales, esta dada por:

o(t) = eo cos 4 t [18.17]

donde es el desplazamiento en t = O y en donde se supone que la ve- locidad (u = dO/dt) de la partícula es cero en t = O. Al tiempo necesario para que la partícula complete un ciclo de oscilación se le llama periodo y está dado por

FIGURA 18.1 5 Gráfica del desplazamiento (e) y la velocidad (d8/dt) en función del tiempo (t), colcu- lada de la ecuación (18.17). eo es n/4 y la longitud es de 2 pies.

" ."I.._""I_ . , .. . - . . ._"_

Page 631: Metodos numericos para ingenieros

620 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

En la figura 18.15 se muestra una gráfica del desplazamiento (O) y la velocidad (de/&) en función del tiempo, como se calcula en la ecua- ción (18.17) con Bo = 7r/4 y 1 = 2 pies. El periodo, calculado con la ecuación (18.17) es 1.565 9 s.

Los cálculos anteriores en esencia son una solución completa del movi- miento de la partícula. Sin embargo también se debe considerar la exactitud de los resultados debido a la suposición inherente en la ecuación (18.16). Además, para evaluar la exactitud, es necesario obtener una solución nu- mérica de la ecuación (18.14) ! que es una representación física más com- pleta del movimiento. Se puede usar cualquiera de los métodos analizados en los capítulos 16 y 17 para este propósito, por ejemplo, los métodos de Euler y RK de cuarto orden. La ecuación (18.16) 5% debe transformar en dos ecuaciones de primer orden compatibles con los métodos anteriores. Esto se lleva a cabo como sigue. La velocidad u se define como

dO dt - = u

y , por lo tanto la ecuación (18.14) se puede expresar como

[ 18.181

[18.19]

Las ecuaciones (18.18) Y (18.19) son un par de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas. En el cuadro 18.4 se muestran los resultados gene- rados con la solución numérica por el método de Euler y el método RK

CUADRO 18.4 Comparación de la solución analitica lineal del péndulo oscilante con tres soluciones numéricas no lineales

Soluciones no lineales

Solución analitica

Tiempo lineal Euler RK de cuarto RK de cuarto (h = 0.05) orden orden

(h = 0.05) (h = 0.0 1 ) S ( 4 (b) ( 4 ( 4

0.0 0.785 398 0.785 398 0.785 398 0.785 398 0.2 0.545 784 0.615 453 0.566 582 0.566 579 0.4 -0.026 852 0.050 228 0.021 895 0.021 882 0.6 "0.058 3104 -0.639 652 -0.535 802 -0.535 820 0.8 -0.783 562 -1.050 679 -0.784 236 -0.784 242 1 .o -0.505 912 -0.940 622 -0.595 598 -0.595 583 1.2 0.080 431 -0.299 819 -0.065 611 -0.065 575 1.4 0.617 698 0.621 700 0.503 352 0.503 392 1.6 0.778 062 1.316 795 0.780 762 0.780 777

Page 632: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 62 1

CUADRO 18.5

de cuarto orden. En el cuadro 18.4 se compara la solución analítica de la ecuación lineal del movimiento [Ec. (18.17)] en la columna a) con la solu- ción numérica en las columnas b), c) y d).

Los métodos de Euler y RK de cuarto orden generan resultados dife- rentes y ambos divergen de la solución analítica, aunque el método RK de cuarto orden para el caso no lineal se acerca más a la solución analíti- ca que el de Euler. Para evaluar propiamente la diferencia entre los mo- delos lineal y no lineal es importante determinar la exactitud de los resultados numéricos. Esto se lleva a cabo de tres formas diferentes. Primero, la so- lución numérica de Euler se reconoce fácilmente ya que es inadecuada debido a sus inconvenientes en la condición inicial en t = 0.8 s . Esto vio- la claramente la ley de la conservación de la energía. Segundo, las co- lumnas c) y d) del cuadro 18.4 muestran la solución del método de Runge-Kutta de cuarto orden con tamaños de paso de 0.05 y 0.01. Debi- do a que estos varían en el cuarto lugar decimal, es razonable suponer que la solución con un tamaño de paso de 0.01 también será exacta con este grado de certeza. Tercero, para el caso con un tamaño de paso de 0.01 S , 6 alcanza un valor local máximo de 0.785 385 en t = 1.63 S (que no se muestra en el cuadro 18.4). Esto indica que la partícula regresa a su posición original con una exactitud de cuatro cifras con un periodo de 1.63 s. Estas consideraciones permiten tener la seguridad que la diferen- cia entre las columnas a) y d) del cuadro 18.4 representan realmente la diferencia entre el modelo lineal y no lineal.

Otra manera de caracterizar la diferencia entre el modelo lineal y no lineal es en base al periodo. En el cuadro 18.5 se muestra el periodo de oscilación calculado con los modelos lineal y no lineal para tres valores diferentes iniciales del desplazamiento. Se ve que los periodos calculados casi son iguales cuando 0 es pequeño debida a que 0 es una buena apro- ximación para sen 0 en la ecuación (18.15). Esta aproximación se dete- riora a medida que 6 crece.

Estos análisis son comunes en los casos en que rutinariamente se en- cuentra un ingeniero. La utilidad de los métodos numéricos viene a ser particularmente significativa cuando se trata de problemas no lineales, y muchos problemas de la vida real son no lineales.

Comparación del periodo de un cuerpo oscilante calculado de los modelos lineal y no lineal

Periodo, S ~

Desplazamiento Modelo lineal Modelo no lineal inicial ( I 2 7 r J / / g ) [solución numérica de la 60 ecuación (1 8.14)]

a/l6 a/4

1.565 9 1.57 1.565 9 1.63 1.565 9 1.85

~~~~~ ~ ~~

Page 633: Metodos numericos para ingenieros

622 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

PROBLEMAS lngeniería en general

18.1 Repítase los cálculos realizados en el caso 18.1 usando los programas propios

18.2 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.1 usando k = $60/día.

18.3 Efectuénse los mismos cálculos del caso 18.1 con una nueva ecuación del costo de las computadoras [reemplácese la Ec. (18.2)]:

Costo por computadora individual ($) = 1 500 (I + e - 4 4 x 1 0 - 5 N 1

18.4 Repítase el problema del paracaidista (ejemplo 1.2), pero con una fuerza ac- tuando hacia arriba debida a la fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad al cuadrado:

F, = -cu2

donde c = 2.4 g/cm. Grafíquense los resultados y compárense con los del ejem- plo 1.1.

Ingeniería química

18.5 Repítanse los cálculos del caso 18.2 usando los programas propios

18.6 Efectúense los mismos cdlculos del caso 18.2 pero para el caso en que p ( t = 0) = 50 O00 células por litro.

18.7 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.2, pero para p ( t = 0) = 100 O00 células por litro y k = 3 X litros por célula por día.

18.8 En el caso 12.2 se desarrolla la ecuación (12.5) para modelar el crecimiento de la levadura empleada en la producción comercial de cerveza. Si el decai- miento de la levadura es proporcional a 0.8 p y si la proporción de cambio de f se describe como

df dP "

dt dt - -_

resuélvase para j y p en función del tiempo si f(0) = 100 y p(0) = 1. Intégrese el par de E D 0 hasta que p y f alcancen niveles estables. Grafíquense los re- sultados

18.9 Un balance de masa de una sustancia química en u n reactor mezclada comple tamente, se puede escribir como

velocidad de flujo de Acumulación = alimentación - - reacción salida

Page 634: Metodos numericos para ingenieros

CASOS DE LA PARTE VI: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIOS 623

donde V es el volumen (10 m3), c es la concentración, F es la alimentación (200 g./min), Q es la velocidad de flujo (1 m3/min), y K es la velocidad de reacción (0.1 m3/g/min). Si c(0) = O , Resuélvase la ED0 hasta que la con- centración alcance un nivel estable. Grafíquense los resultados.

18.10 Repítase el problema usando el método de disparo.

Ingeniería civil

18.11 Repítanse los cálculos del caso 18.3 usando los propios programas.

18.12 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.3, pero con una carga uniforme de 80 libras/pie y una E = 2 x lo8 libras/pie2. Verifíquense los resultados com- parándolos con la solución analítica.

18.13 Efectuénse los mismos cálculos del caso 18.3, pero en vez de usar una fuerza del viento constante, utilícese una fuerza que varíe con la altura de acuerdo a (recuérdese el caso 15.3):

. !(x) = 200 - e -22/30 5 + 2

Grafíquese y contra z compárense con los resultados con los del caso 18.3.

18.14 Duplíquese la figura 6.4 integrando numéricamente la E D 0 del caso 6.3. VerifC quense los resultados comparándolos con los de la soluci6n analítica [Ec. (6.9)].

18.15 El modelo de crecimiento logístico del caso 6.3 se puede aplicar tanto a la po- blación microbial como a la humana. Supóngase que se planea un sistema de abastecimiento de agua para una isla. Si pmlx = 100 O00 personas y K =

personas . año y si la población inicial es de 10 O00 personas, ¿qué tiem- PO pasará para que la población llegue a 90 O00 habitantes?

Ingeniería eléctrica

18.16 Repítanse los cálculos del caso 18.4 usando los programas propios

18.17 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.4, pero con R = 203.

18.18 Resuélvase la E D 0 del caso 6.4 usando los métodos numéricos si q = 0.1 e i = - 3 . 2 8 1 5 i 5 en t = O.

18.19 En un circuito RL simple, la ley de los voltajes de Kirchhoff requiere que (si se cumple la ley de Ohm):

di dt

L - + Ri = O

donde i es la corriente, L la inductancia y R la resistencia. Resuélvase para i , si L = R = 1 e ¡(O) = amperios. Resuélvase este problema analítica- mente y con un método numérico.

Page 635: Metodos numericos para ingenieros

624 METODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

18.20 En contraste con el problema 18.9, las resistencias reales no siempre obedecen la ley de Ohm. Por ejemplo, la caída de voltaje puede ser no lineal y la dinámicz del circuito descrita por relaciones del tipo

donde todos los parámetros son iguales a los definidos en el problema 18.19 e I es una corriente de referencia igual a 1. Resuélvase para i en función del tiempo bajo las mismas condiciones especificadas en el problema 18.19.

Ingeniería mecánica

18.21 Repítanse los cálculos realizados en el caso 18.5 usando los programas propios.

18.22 Efectúense los mismos cálculos del caso 18.5 con un péndulo de 3 pies de longitud.

18.23 Empléese un método numérico para duplicar los cálculos mostrados en la figura 6.10.

18.24 La tasa de enfriamiento de un cuerpo se puede expresar como

donde T es la temperatura del cuerpo (en grados centígrados), T, es la tempe- ratura del medio que rodea al cuerpo (también en grados centígrados) y k es una constante de proporcionalidad (por minuto). Por lo tanto, esta ecuación es- pecifica que el enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperaturas en- tre el cuerpo y el medio que lo rodea. Si se calienta una bola de metal a 90°C y se sumerge en el agua que se mantiene a una temperatura constante To = 20" C, empléese un método numérico para calcular el tiempo que le toma a la bola enfriarse a 30" C si k = O . 1 min

18.25 Léanse todos los casos del capítulo 18. Con base a la lectura y a la experiencia, invéntese un caso propio en cualquiera de los campos de la ingeniería. Esto puede implicar la modificación o la reexpresión de alguno de los casos. No obstante éste puede ser totalmente original. Como sucede en los ejemplos del texto, se debe elaborar dentro del contexto de la solución de problemas de la ingeniería y se debe demostrar el uso de los métodos numéricos en la solución de EDO. Escríbanse los resultados usando los casos de este libro como modelos.

Page 636: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO: V1.4 ELEMENTOS DE JUICIO PARTE Vi En la tabla V1.3 se muestran los factores de ma-

yor importancia asociados con los métodos numé- ricos en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Un ingeniero debe evaluar los facto- res de esta tabla cuando seleccione un método pa- ra cada uno de los problemas en particular.

Se pueden emplear los métodos simples de auto- principio tales como el método de Euler, si los re- quisitos del problema comprenden intervalos de integración pequeños. En este caso, se puede ob- tener la exactitud adecuada empleando intervalos para evitar grandes errores de truncamiento, y los errores de redondeo serán aceptables. El método de Euler también es apropiado en casos donde el modelo matemático tenga un nivel inherentemente alto de incertidumbre o tenga coeficientes y fun- ciones forzadas con errores significativos, como puede suceder durante las mediciones de un pro- ceso. En este caso la exactitud del modelo mismo simplemente no justifica el esfuerzo aplicado en el empleo de un método numérico más complicado. Finalmente, los métodos más simples pueden ser los mejores cuando el problema o la simulación se necesiten llevar a cabo sólo pocas veces. En estas aplicaciones tal vez sea mejor probar un mé- todo simple que sea fácil de programar y de en- tender, a pesar de que el método pueda ser inefibente en cuanto al trabajo de cómputo, y con- suma mucho tiempo para correrse en una compu- tadora.

Si el intervalo de integración del problema es de- masiado grande de tal forma que comprenda un gran número de pasos (más de 1 000), entonces puede resultar necesario y apropiado usar un mé- todo más exacto que el de Euler. Los métodos de Runge-Kutta de cuarto orden y el de Adams de cuarto orden son comunes y confiables en muchos problemas de ingeniería. En estos casos, es acon- sejable calcular el error de truncamiento en cada paso como una guia en la selección del mejor ta- maño de paso.

Page 637: Metodos numericos para ingenieros

"-"N-

5555 O000

Z Z Z Z o 0 0

- 7 - -

" .- .- u u 'U 'U LLLL

Y"í

SS O 0

z z O 0

"

o O

O 3 S

C

x C

x

Page 638: Metodos numericos para ingenieros

EPiLOGO PARTE VI 627

Esto se puede llevar a cabo con los métodos de cuarto orden de Adams o de Runge-Kutta-Fehlberg. Si los errores de truncamiento son extre- madamente pequeños, puede ser útil aumentar el tamaño del inter- valo, con lo cual se ahorra tiempo de cómputo. Por otro lado, si los errores de truncamiento son muy grandes, el tamaño del intervalo se debe disminuir para evitar acumulamiento de errores. El método de Milne se debe evitar si se esperan problemas cuya estabilidad sea sig- nificativa. El método de Runge-Kutta es simple de programar y con- veniente en su uso pero puede ser menos eficiente que los métodos de pasos múltiples. Sin embargo, el método de Runge-Kutta se em- plea generalmente en cualquier evento para obtener valores inicia- les en los métodos de pasos múltiples.

Si se necesitan respuestas extremadamente exactas o si la función tie- ne derivadas de orden superior, se podrán usar el método de But- cher de Runge-Kutta de quinto orden.

Un gran número de problemas de ingeniería pueden caer en un in- tervalo medio de requisitos entre la integración y la exactitud. En es- tos casos los métodos de Heun sin principio y el método de Runge-Kutta de segundo orden son simples de usarse y son relativamente eficien- tes y exactos.

V I S RELACIONES Y FóRMULAS IMPORTANTES

En el cuadro V1.4 se resumen las fórmulas importantes se presenta- ron en la parte VI, y puede consultarse para un acceso rápido a las relaciones y fórmulas importantes.

V1.6 MÉTODOS AVANZADOS Y ALGUNAS REFERENCIAS ADICIONALES

Aunque se han revisado una gran cantidad de métodos en la solu- ción de ecuaciones diferenciales ordinarias, existe información adi- cional que es muy importante en la práctica de la ingeniería. El tema de estabilidad se introdujo en la sección 17.3.3; es de importancia fundamental en todos los métodos de solución de EDO. Se pueden en- contrar anállsis más detallados acerca de este asunto en Carnahan, Luther y Wilkes ( 1 969), Gear ( 1 971) y Hildebrand ( 1 974).

La estabilidad tiene un significado especial sobre un tema menciona- do brevemente en la sección 17.1.5 y en el caso 18.4, la solución de ecuaciones rigidas. Estas ecuaciones contienen componentes con va-

Page 639: Metodos numericos para ingenieros

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIEROS

X F

. + ' .-

.. .-

$ :

** "

-+

c

.- -o O

E O

- + L

L

+ o u I I 2? L -

U o .&

Page 640: Metodos numericos para ingenieros

EPíLOGO PARTE VI 629

riaciones lentas y rápidas. Aunque el empleo de un método con ta- maño de paso variable o de orden superior puede ayudar en algunas ocasiones, en general se necesitan métodos especiales para la solu- ción adecuada de ecuaciones rígidas. Se puede consultar Enright et al. (1975), Gear (1971) y Shampine y Gear (1979)) los cuales inclu- yen información adicional relacionada con estos métodos.

En la sección 16.4.2 se introdujo el método de disparo en la solución de problemas con valores a la frontera. También se aludió al hecho de que los métodos de diferencias finitas del tipo utilizado en el caso 9.2 se pueden emplear en estos problemas. Se puede consultar Isaac- son y Keller ( 1 966), Keller ( 1 968), N a ( 1 979) y Scott y Waits (1 976) para una información adicional sobre problemas de valores a la frontera.

Finalmente, existen métodos númericos para la solución de ecuaciones diferenciales parciales. Carnahan, Luther y Wilkes (1969), Gerald y Wheatley (1 984) y Rice (1 983) proporcionan buenas introducciones al tema. Se pueden consultar también Ames (1 977)) Gladwell y Wait (1979)) Vichnevetsky, ( 1 981, 1982) y Zienkiewicz ( 1 971) para tratamientos mas profundos.

En resumen, lo anterior pretende proporcionar al lector un caminc para que pueda seguir con estudios más profundos sobre el tema. Adi- cionalmente, todas las referencias anteriores proporcionan descrip- ciones de los métodos básicos cubiertos en la parte VI. Sugerimos al lector consulte lo más pronto posible estas referencias alternas para completar el dominio de los métodos numéricos en la solución de ecua- ciones diferenciales ordinarias.

Page 641: Metodos numericos para ingenieros

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Page 643: Metodos numericos para ingenieros

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Page 644: Metodos numericos para ingenieros

INDICE

Ábaco, 22-23 Ajuste de curvas:

con datos igualmente espaciados, 368-369 elementos de juicio en el, 409-411 interpolación segmentaria (spline) en el,

métodos avanzados para el, 411-413 NUMERICOMP, 329-331. 366-368 polinomio:

370-383

de Newton en el, 350-364 de Lagrange en el, 363-368

lineal en el, 319-337 múltiple en el, 342-344 polinomial en el, 337-341

regresión:

resumen de fórmulas para el, 412 Wdase tarnbidn Interpolación; Regresión)

de bisección, 124 de corrección de errores para la eliminación

gaussiana, 252

de diferencia de cocientes (DC), 201 definición de, 25

diserio de, 25-26 de eliminación gaussiana simple, 227-231 de integración de Romberg, 470-472 ' de interpolación cúbica segmentaria (spline),

para inversión de matrices. 268 del método:

Algoritmo(s):

383

de Heun, 549 de Gauss-Seidel, 274

mejorado del polígono, 549 de los métodos de Runge-Kutta, 563

de regresión polinomial, 341-342 de la regla de Simpson, 452

de sistemas de EDO, 565 de suma simple, 26

Almacenamiento, 45 AnSlisis:

de dirección, 309, 387-391, 604.607 estructural, 287-291, 296-297 de vibraciones (uéase Oscilador armónico)

Aproximación funcional, 413

Balance de masas, 297, 520, 624

BASIC: definicidn de, 29 tabla de comparación con FORTRAN, 32-40 (udase tarnbidn programas bajo Computadora)

Búsqueda incremental, 124, 139-140

CSlculos de estímulo-respuesta, 205-206, 266-267

Casos: el método de RK de cuarto orden, 605-607,

616-621 el método de RK de segundo orden de Ralston,

610-611 Cifras significativas, 64-66, 74-77

Circuitos integrados, 22 Código, 27 Coeficiente(s):

criterios de terminaci6n ( € ' I , 70-71

de correlación (r) , 328, 337 de determinaci6n (r'), 326, 338 indeterminados, método de, 475-476 de variación, 312, 390

definición de una, 22

grandes, 24 grbficadpor, 54-56

programas:

Computadora(s):

para la eliminación gaussiana simple, 232-233 para Heun sin principio, 583-584 para la implementaci6n de la cuadratura

para iteración de punto fijo, 151 iterativo para la implementación del método

gaussiana, 482-483

de Heun, 549

de bisección, 130 de Euler, 537-538

Ralston, 563

para el método:

para los métodos de RK de segundo orden de

para pivote0 parcial. 246 para el polinomio de interpolación de Newton,

360-361 para el problema del paracaidista:

versión legible al usuario, 51 versión simple, 49

440-441 para la regla trapezoidal de segmentos múltiples,

Page 645: Metodos numericos para ingenieros

636 íNDlCE

para regresión lineal, 328-329 pollnomial, 341

para sistemas tridiagonales, 253 para suma simple, 30

de los determinantes, 241-243 de la matriz inversa, 267-268 de la regresión polinomial. 342, 411

ecuaciones algebraicas linealcs para la ley de.

EDO, 518, 522

Condicionamiento malo, 221, 238-243

Conservación de masa

296

Constante de integración. 521 Convergencia:

de la iteración de punto fljo, 147-151 del método.

de Heun, 544, 545

de Newton-Raphson. 154-157 sin principio, 583

de la regla falsa. 139

272-273 para el método de Gauss-Seidel. criterlos de.

Corrección de errores, 249-252, 468-469,

Corrector modificador, 581-582, 594-597 Corriente raíz cuadrada media (RCM), 399-401,

Criterios de terminaclón ( E ’ ) , 70-71

579-580

496-499

corrector de Heun. 542 integración de Romberg. 472 iteración de punto fijo 146 método:

de bisecclón, 127-130 de Newton-Raphson, 154 de la regla falsa, 136-137

Cuadratura (véase Integración) Cuadratura gaussiana, 474-484

analisis del error para la, 478-479 cambio de variables en la. 484-485 caso, 497-498 fórmulas de Gauss-Legendre para la, 475-484 método de coeficientes indeterminados para la,

475-476

Descomposición LU (método de Choleskyi, 306 Desviación estandar. 311-314 Determinantes, 222-223

c6lculo de, 223-224. 243 de sistemas mal condicionados, 241-243

Diagonal dominante, 273 Diagramas de flulo

para el caso simple del problema del paracaidista, 47

definición de los, 26 para integración:

desigualmente espaclada, 459 de Romberg, 473

de Gauss-Jordan, 263

símbolos usados en los, 28 de Gauss-Seidel, 275

para la suma simple, 28 para la versión de segmentos múltiples de la

para el método:

regla de Simpson. 453 Diferenciación numérica. 16. 8 7 ~ 9 3

sensibilidad de los datos al ruldo en la. 489

Diferencias divididas finitas, 16. 86-95 caso, 282-287, 490-491 Interpolación igualmente espaciada con

método de la secante con, 159 polinomios de Newton con, 350, 352-361

192-193, 392-395, 608-612

368-369

DinBmica del crecimlento demográfico. 180-182,

Disco flexible, 45 Distribución normal, 313 Dtvergencla (uéase Convergencia) Documentación, 43-46. 52

Economía, 59. 172.176, 189-190, 404-405 Economización de Chebyshev. 413 Ecuaciónies)

algebraicas (véase Sistemas de ecuaciones

diferenciales: algebraicas lineales;

ordinarias (EDO) de cuarto orden de Adams, 597~600 definidas, 515 elementos de JUICIO en las. 625~627 estabilidad de las. 627 linealización de las. 517 518 método(s):

avanzados para la soluclón de las.

de Euler para la solución de las. 528-540 de Hamming, 600 de Heun. 541-547. 549-550

de RK-Fehlberg para la solución de las.

de Runge-Kutta para la soluclón de las.

618-628

sin principio, 574-587

563

550-563. 565-566 de Milne. 595-600 NUMERICOMP. 540 orden de las, 515 polígono mejorado, 547-550 problemas

con valores a la frontera en las, 282-287.

con valor inicial, 522 522, 566-570. 627-628

reducaón de órdenes superiores. 516 resumen de fórmulas de las. 628 &idas, 627 sistemas de, 564-567

algoritmo para la computadora sobre,

usando el método de Euler, 564 usando métodos de two, 567-570 usando RK de cuarto orden. 566-567

565

solución analítica de las. 519 S23

defimdas, 515 distribución de la temperatura usando,

283-287 de Hazen-Wllliam, 404 de Laplace, 282-283 normales:

parciales (EDP), 629

de la regresión lineal, 324

polinominal, 338 múltiple, 344

del promedio de creclmiento en la saturaclón. 304

Page 646: Metodos numericos para ingenieros

INDICE 637

caso, 392-395 raíces de (uéose Raíces de ecuaciones) rígidas. 585 s1mult6neas (uéose Sistemas de ecuaciones

de Van der Waals, 177-178, 190-191 algebraicas lineales no lineales, 306

ordinarias): rígidas, 627

comprendidos dentro del ajuste de curvas,

comprendidos dentro de las ecuaciones

comprendidos dentro de las ecuaciones

ED0 (uéose Ecuaciones diferenciales

Elementos de juic~o, 101-106

409-411

algebraicas lineales, 301-304

diferenciales ordinarias, 627 comprendidos dentro de la integración,

509-511 comprendidos dentro de las raíces de

ecuaciones, 113 Eliminación:

gaussiana: caso de la, 293, 294 desventajas de la, 236-243 efecto de los errores de redondeo en la.

escalamiento en la, 240-243, 246-248 evaluación del determinante. 243

237-238, 250-251

formulación para sistemas tridiagonales,

NUMERICOMP. 234-236 253-254

programa de computadora para la, 232-233 simple, 227-233 sistemas mal condicionados y , 238-243

de incógnltas, 225-227

en el momento de la ejecución. 42 por equivocación, 95-96

global de truncamiento en las EDO, 531 loca! de truncamiento:

Error(es)

en las EDO, 531, 579-580 en el método de Euler, 531-537 en los métodos de pasos múltiples,

579-580 de redondeo, 64, 67, 72-74

en las ecuaciones diferenciales ordinarias,

en la eliminación gaussiana, efectos de los,

en los polinomios de interpolación, 366 en la regla trapezoidal, 442, 467 en la regresión polinomial, 342

aprox~mados (Ea), 69-70 en bisección, 127-130 en corrector de Heun, 544 en interacción de Romberg, 472 en interacción de punto fijo, 146 en el método:

72-73, 530

237-238. 250-251

relativos, 68-71

de Gauss-Seidel, 270 de Heun sin principio. 574-575 de Newton-Raphson. 154 de la regla falsa, 139

reales, 66-67

de sintaxis. 41 de semántica, 41

de truncamiento. 64, 67, 77-85, 531 en la integración, 434, 438, 444, 448, 450,

467, 482 en la interpolación, 358-363 en los métodos

de un paso, 530-536, 539, 547, 551,

de pasos múltiples, 513

153-154

561-563

en las raíces de ecuaciones, 580-581,

vease tambign Propagación de errores de truncamiento; Criterios de terminación (Es)

Escalemiento. 241-244, 246-248 Estabilidad, 598-599, 627 Estadistica, 310-314

de los coeficientes de variación, 312 de la desviación estAndar, 312 de la distribución normal, 313 grados de libertad sobre, 312 histograma de, 314 de la media, 310 de la varianza, 311

para regresión lineal, 326

múltiple, 344 polinomial, 338

Estimación del error estfmdar:

Euler modificado, 547-550, 553-556 Exactitud, 66-67 Expansión en serie de Maclaurin, 59, 70-72,

99-100 Extrapolación, 309, 369-370

caso de, 387-391, 604-607 de Richardson, 467-469

Fluidos, 194, 401-403 Forma de codificación, 30-31 Formulación de errores, 97 Fórmula(s):

compuestas de integración, 435 de Gauss-Legendre, 475-484 de integración:

abierta de Adams-Bashforth, 591-592, 597 cerrada de Adams-Moulton, 592-594, 597

de interpolación de Newton-Gregory, 369, 434, 445

de Newton-Cotes, 429, 454, 460 integración'

abierta con las, 458, 460-461, 590-591,

cerrada con las, 453, 454-455, 591, 595 595

FORTRAN: de Newton-Raphson. 152

tabla de comparación de BASIC con, 32-39 definición, 29

(véase también programas, bajo Computadora)

de incremento, 550

trascendentes. 113 suaves y continuas (spline), 370

Función(es):

Grados, de libertad, 311

Histograma, 313

Page 647: Metodos numericos para ingenieros

638 ~ N D I C E

Inestabilidad, 558-559, 629 Integración:

abierta, 430 fórmulas de:

de Newton-Cotes, 458, 460-461. 589-590 de Adams-Bashforth, 591-592, 597

595 adaptiva de Simpson, 511 cerrada, 431

fórmulas de: Adams-Moulton para, 592-594, 597 de Newton-Cotes para, 454-455. 591

595 cuadratura gaussiana en la, 475-484 definición de, 413 definida, 420 elementos de juicio en la, 509-511 fórmulas:

de Adams. 591-594 cerradas de orden superior para,

454-455 compuestas, 454 de Newton-Cotes, 454-460, 589-591

indefinida, 517 con interpolación cúbica segmentaria (spline), 51 1 con intervalos desiguales, 455-459

métodos avanzados para la, 511 NUMERICOMP, 442-444 promedio de funciones continuas, 419 con la regla 1/3 de Simpson, 443-448 con la regla 3/8 de Simpson, 449-451 regla trapezoidal en la, 431-443 resumen de fórmulas de, 512 de Romberg, 465-474

caso, 501-503

caso, 498 para implementar la extrapolación de Richard son, 467-469 soluciones analíticas de, 423-424 teorema fundamental de, 423 usando segmentación suave (spline), 511

definida, 423 indefinida, 516 de superficie. 421

Integral(es):

tabla de, 423 de volumen, 421

caso, 387-391, 396-397, 400-401 cuadrstica, 351-354

segmentaria (spline), 373-378 cúbica segmentaria (spline). 378-383

algoritmo para la, 383 derivación de la, 379-380 integración con. 511

Interpolación:

con datos igualmente espaciados, 368-369 lineal, 350-351 polinomial

de Lagrange, 363-368 de Newton, 350-364

cúbica, 378-383

lineal. 373-374 cuadrAtica, 374-379

algoritmo para la. 268 en el cálculo de estímulos y respuestas, 266~267

segmentarla (spline), 370-383

. Integración medlante. 51 1

Inversión de matrices. 211-212

caso, 281-282. 289-291 y mal condicionamiento, 267-268 método de Gauss-Jordan para calcular la. 262-265

de Jacobi. 272, 273 de punto fijo:

Iteración:

convergencia de la, 148-151 aproximación gráfica de la, 148.151

programa de computadora para la. 151

Ley(es): de Faraday, 519 de Fick de la difusión, 521 de Fourier del calor, 521 de Kirchoff, 183.186, 194, 291-293. 298-299, 615-618

Leibnitz. GottFried W von, 22 Lmealización

de ecuaciones no lineales, 332-336 de EDO. 519

Macrocornputadoras. 2 5 Mantenimiento, 45 Matriz(ces), 207-210

aumentada, 213-214 cuadrada, 208

213-214 ecuaciones algebraicas lineales que emplean.

inversa, 211-212 multiplicación de, 210-211 reglas de operación sobre, 209-214 transpuesta, 213-214 tridiagonal, 209

Media, 310-313 Método(s)

avanzados: par aluste de curvas, 411-413 para determinar raíces de ecuaciones. 199

en general, 107 para integración, 513 oara la solución.

201

de ecuaclones diferenciales ordinartas. 627-629

de sistemas de ecuaciones algebralcas linea les, 304-306

de Bairstow, 201 de bisección:

algoritmo del, 123 análisis de error del. 127.130 casos del. 177, 183, 184-186, 188 criterios de termmaclón del. 126.130 en In determinaaón de raíces de ecuaciones, 122-132, 136-139 NUMERICOMP. 54-56. 122-123. 131-132 programas de computadora del. 130

de coeficlentes indeterminados. 475-476 de Crout ldescomposición LU), 306 de Cholesky idescomposiclón LU). 306 de diferencias finltas. 282-287. 571 de disparo. 56?-569 de Euler, 528-541

análisls de error pala el. 531 caso del. 608. 614. 616~621

Page 648: Metodos numericos para ingenieros

~NDICE 639

para el ejemplo del problema del para-

16-19, 538-539 errores:

caidista,

de redondeo en el, 531 de truncamiento en el, 531-537

fórmula del, 528

NUMERICOMP, 538-539 modificaciones y mejoras al, 541-551

de primer orden, 534

para la solución de EDO. 564 programa de computadora del, 538-539

de Gauss-Jordan, 259-268 caso, 281-282, 289-292 diagrama de flujo para el, 263 matrices inversas mediante el, 262-265 pivoteo, 268

de Gauss-Newton, 411 de Gauss-Seidel, 268-274,

algoritmo para el, 274

casos, 285-287 aplicaciones del. 274, 247

criterios: de convergencia para el, 272-273 de terminación para el, 270

diagrama de flujo para el, 275 dominancia diagonal, 273 y la iteraclón de Jacobl, 272-273 con relajación, 272-273

de Graeffe, 201 grdficos:

para ecuaciones algebraicas lineales, 220-221 para integración, 416-417 para las rakes de ecuaciones, 119-122, 140, 145-152 resumen de los, 5

de Hamming, 600 de Heun. 541-550

corrector del: criterios de terminación para el, 543 derivación del, 447-547 error en el. 547

ra el. 547 estimación de los errores de truncamiento pa-

fórmulas del, 543

sin principio, 576-586 método de Runge-Kutta para el, 552-554

an6lisis del erra para el, 577-579 criterios de terminación para el. 574-575 derivación del, 579 estimación de los errores de truncamiento para el, 579-580 fórmulas para el, 574 modificadores para el, 580-583 programa de computadora para el,

584-517 programa para el. 549

que usan intervalos, 119-142

de Marquardt. 413 iterativos, 70-71

mejorado del polígono. 547-550, 553-556 de Milne. 596-597

de Muller, 201 de Newton-Raphson:

estabilldad del, 598-599

aspectos de programación de los, 158 andlisis de errores en los. 154-156

caso de los, 178-179 derivación de los. 151-154

desventajas de los, 151-156

series de Taylor en los, 153-154 para raíces múltiples, 164-167

para sistemas no lineales, 306 de un paso, solución a los, 527-528 de pasos descendentes, 411

métodos: de un paso, 563 de pasos múltiples para, 585-586

del punto medio, 460, 578, 590 de la regla falsa:

andlisis de error para el, 135-136 casos para el. 177, 183, 188 Y SU comparación con el método de la secan- te, 160-162 convergencia del, 138 criterios de terminación para el, 136-137 desventajas del, 137-139 en la determinación de raíces, 133-139, 160-163 fórmula para el, 134 programa de computadora para el, 139

de Runge-Kutta, 550-563

errores en los, 561-563 de cuarto orden cldsicas, 558-559

de quinto orden de Butcher, 559-560 de segundo orden, 551-556

algoritmo para computadora, 563 derivación de, 551 método de Heun con un solo corrector,

polígono mejorado, 554 de Ralston, 554

553

de tercer orden, 556-557 de Runge-Kutta-Fehlberg, 562-563 de la secante:

casos, 177. 183. 188

convergencia del, 160-162 programa de computadora para el, 162 raíces múltiples v el. 167

de series de Taylo; de orden superior para las EDO, 540-541 de varios pasos , 573

andlisis del error en los, 577-578 de cuarto orden de Adams. 529-597 derivación de, 577-579

fórmulas de integración para los, 588-594 de Adams, 591-594 de Newton-Cotes, 589-591

de Hamming, 599 método de Milne en los, 589-596

estabilidad del, 598-599 Heun sin principio, 574-587 modificadores del, 579-583, 594-595

Microcomputadoras, 24

Minimax, 333, 369 Minicomputadoras, 24

Modelación de entrada-salida, 413 Modelo(s):

de crecimiento logistico, 180-182, 192 exponencial, 332-333 macrovariables. 205 matemAtico, 1 1 microvariables, 206 de potencias. 333-335

caso, 398-399

.___

Page 649: Metodos numericos para ingenieros

640 íNDlCE

de temperatura, 283-287. 296-297, 525 de variable continua, 206 variables agrupados, 206

derivación general de los, 594-595 del predictor, 581-583, 594-596

Modificadores. 580-583

Nodos, 373 Normalización. 228 Notación matriclal, 207-209 NUMERICOMP, 53-56

I ~~

bisección dentro de, 131.132

gráficas dentro de, 54-56, 121-122 eliminación gaussiana dentro de, 233-235

interpolación de Lagrange dentro de, 366-368 método de Euler dentro de, 538-539 regla trapezoidal dentro de, 442-443 regresión lineal dentro de, 329-332

Oscilador armónico, 186-189. 194, 618-621

Pascal, 27 Blas, 22

Pendiente en un punto (véase Método de Euler) Pivoteo, 244-246 Polinomio(s):

de interpolación con diferencias divididas de I’íewton, 350-364

cuadraticos, 351-352 errores en los, 358-363 forma general de los, 3 5 4 ~ 3 5 8

programa de computadora de los, 360-361 lineales, 350-351

redondeo en los, 366 de Lagrange, 363-368

derivación del, 364 error en el, 363 errores de redondeo en el, 366 NUMERICOMP. 336-368

Precisión, 66-67 Predictor-corrector, 542-543

Principio de probalidad mdxima, 325 Problema(s):

ejemplo:

ortogonales, 411

(usose también Métodos de varios pasos)

del paracaidista

de bisección para el, 131-132 de cuadratura gaussiana para el. 482-484 de eliminación gaussiana para el, 233-236 de interpolación de Lagrange para el.

del metodo de Euler para el, 538-539 de la regla trapezoidal para el, 441-443 de regresión lineal para el, 329-332

modelos del, 12-19 programa de computadora para el, 46-51

366-368

de valores en la frontera, 282-287, 522. 567-570

métodos:

de dlferencias finitas, 282-287. 571 de disparo para la solución de. 567-570

en la solución de diferencias finitas, 629 de valor inicial, 522

almacenamiento y mantenimiento de la, 45-46 composición de la. 27. 27-41 definición de la, 24 descendente, 48 diseño de algoritmos de, 24-26 documentación de la. 43-44 modular. 41 rastreo y prueba de la. 41-42 símbolos de los diagramas de flujo para la, 28

(uéase también NUMERICOMP, programas,

Propagación de errores de truncamiento, 531 bajo Computadora)

Pruebas de hipótesis, 309, 395

Programación:

Programas, 24

Raíces complejas, 114. 201 de ecuaciones.

búsquedas mcrementales. 124 139-140 elementos de jumo en las. 197-199 métodos

analíticos para resolver, 109 avanzados para determinar las. 199. 201 de la bisección para encontrar las. 123-133,

de Newton-Raphson para las, 152-158 de la regla falsa para encontrar las.

137-139

133-139. 160.162

las, 119-122, 145. 148-152, 157-158, métodos gráficos para la obtención de

resumen de fórmulas. 200 163-164

~~

NUMERICOMP. 131.132 múltiples, 121~122, 163-167

de la secante para determinar las, 158.162

Rastreo, 4 1 Regla(s1:

de la cadena en la derivach. 540-541. 551 de Cramer, 224-226 de redondeo, 75-77 de Simpson, 443-452

dlagrarna de flujo para la. 453 de 1/3, 444-449

caso, 490. 491, 493-497. 500~501 derivación de. 445 estimación del error de, 445-446 fórmula de, 445. 454 relación

con las EDO. 591 con el método de Runge Kutta. 556-558

segmentos múltiples, 442-446. S91 de 3 / 8 , 449-451

caso, 502-503 estimación de errores de la. 451 fórmula de la, 450

trapezoidal, 431-443 caso, 489, 491. 493, 496-499. 500-503 de segmento(s)

desiguales, 455-455 múltiples, 437-443

rorrección de errores, 467-470

Page 650: Metodos numericos para ingenieros

- ~NDICE 64 1

estimación del error en, 439

fórmula de, 438 extrapolación de Richardson, 467.470

NUMERICOMP, 441-443

redondeo, 443, 466 programa para el método de, 440-441

simple. 431-437, 453, 547, 577, 590, 593 comparación con la cuadratura gaussiana,

derivación, 432, 434, 475-476 estimación del error, 433-434 fórmula. 431 relación con las EDO. 547, 577, 591.

474-475

593 Regresión

lineal, 321-336

coeficiente: caso, 388-389. 398-399

de correlación (r) de la, 328

criterio del mejor ajuste, 321-322 de determinación (r2) de la, 326

ecuaciones normales, 323

limitaciones de la, 336-337 estimación del error estdndar para el, 326

linealización de ecuaciones no lineales,

NUMERICOMP, 329-331 programa de computadora para, 328-329 múltiple, 37, 342-344

332-337

caso de estudio, 402-403 ecuación de potencias de la, 344 estimación del error estándar para la,

344 no lineal, 393, 411 pol~nomial, 336-342

caso, 388-392 algoritmo para la, 341-342

estimación del error esrdndar de la, 338 ecuaciones normales de la, 338

subrutina para las ecuaciones normales de la, 341

Regula falsi (véase regia falsa, balo Método) Relajación, 273-274

caso, 286-287 Resumen de fórmulas:

para ecuaciones: para el ajuste de curvas, 412

algebraicas lineales, 305 diferenciales ordinarias, 628

para integración, 512 mtroducclón al, 107

Segunda ley de Newton, 11-14, 187, 293-294,

Serie(s) : 521, 620

de Taylor, 78-93 de gradiente aritmético, 60, 174-175

fórmulas: de integración de Adam para la, 591-593 de Newton-Raphson que usa, 154-155

de Euler en la. 531-534 de orden superior para las E D 0 con,

métodos:

540-541

Sistemas: residuo en la, 78-79, 82, 84-86

de ecuaciones algebraicas lineales definición, 203

factores de importancia, 301-304 eliminación gaussiana en los, 227-252

Gauss-Jordan, 259-268 Gauss-Seidel, 268-274

métodos avanzados, 304, 306 inversión de matrices mediante los, 262-267

NUMERICOMP, 234-235 de pocas ecuaciones, 219-227

tridiagonales, 253-254, 380-381 resumen de fórmulas, 305

singulares mal condicionados, 221 Software, 24 (véase también NUMERICOMp) Solución analítica:

de EDO, 518-524

de integrales, 422-423

Spline (véase interp0;aciÓn segmentaria cúbica) en la solución de raíces de ecuaciones, 109

Para el problema del paracaidista, 15

Tabla de integrales. 423 Teorema:

fundamental del cdlculo integral, 422, 577 del valor medlo. 85, 147

Transformada rdpida de Fourier, 413

Valores propios, 306 Varianza, 312