Metodos numericos de la fisica

MÉTODOS NUMÉRICOS DE

LA FISICA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

FISICOS

William Calderón Rosales

INTRODUCCION

En este trabajo de métodos numéricos da la física se planteara algunos problemas donde se desarrollara la solución empleando diferentes métodos aprendidos en el transcurso del semestre que involucran el tema de mecánica de fluidos.

Se planteara la solución teórica del problema para comprobarla con la solución que obtengamos del programa fortran y se elaborara la codificación respectiva para estos tipos de problemas y así facilitar la solución a los estudiantes de esta parte de la física para que puedan comprobar sus resultados teóricos con los obtenidos por el programa teniendo en cuenta que los resultados que se obtengan no serán 100% idénticos a los obtenidos mediante el programa, ya que como sabemos siempre están presentes los errores en la determinación de soluciones a distintos problemas, pero el resultado obtenido será lo más próximo al teórico con lo cual verificaremos la buena aplicación del método.

OBJETIVOS

Facilitar a los estudiantes de física las soluciones de problemas con diferentes métodos aprehendidos en el semestre.

Verificar que los resultados obtenidos mediante el software y los resultados teórico difieren pero un margen de error muy pequeño.

Comprobar cuál de los métodos nos puede ser más eficaz al momento de resolver diferentes problemas

APLICACIONESMÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS Y SUSTITUCIÓN REGRESIVACalcular el valor de las tensiones y la aceleración en el gráfico.Por la segunda ley de Newton FR=ma

En notación matricial, tenemos:(−1 1 −4

0 1 51 0 −6)( xyz )=(16

5024) => AX=b

Calculamos la matriz ampliada [A : b]0, en orden cero.[A : b]0=(−1 1 −4 16

0 1 5501 0 −6 24)

Llevamos [A : b]0→[A : b]1; el elemento pivote es el valor de la diagonal entonces, como es la primera eliminación m=1

Se deduce:

-T1 + T2 - 4a = 16

T2 + 5a = 50

T1 – 6a = 24

En el sistema de ecuaciones

T1 = x; T2 = y; a = z

24 N16 N

μ=0.4

T2

T2 T1

a

a

5kg

6kg4kg

- Se mantiene fijo el primer vector fila, es decir: [E1]

0=[E1]1

- El cálculo se inicia para [E2 ]1

[E2 ]1=[E2]

1−( a21

a11) [E1 ]0= (015 50 )−( 0

−1 ) (−11−4 16 )=(01 550)

[E3]1=[E3]

0−( a31

a11)[E1 ]0=(10−624 )−( 1

−1 )(−1 1−4 16 )=(0 1−10 40)

La nueva matriz ampliada [ A :b ]1

[A : b]1=[E1]

1→[E2]

1→[E3]

1→(−1 1 −416

0 1 5501 0 −1040)

Como [A : b]1no es una matriz triangular superior, es necesario repetir el proceso a partir del vector fila por reducir.Llevamos [A : b]1→[A :b ]2; el elemento pivote es el segundo valor de la diagonal, para este caso m=2.- Fijo el primer y segundo vector fila, es decir: [E1]

2=[E1]1 y [E2]

2=[E2]1

- El cálculo se inicia para [E3 ]2

[E3]2=[E3]

1−( a1

32

a122) [E2 ]1=(0 1−10 40 )−( 1

1 )( 015 50 )=(01−15−10)

La nueva matriz ampliada [A : b]2 es:[A : b]1=

[E1 ]1→

[E2 ]1→

[E3 ]1→

(−1 1 −4160 1 5501 0 −15−10)

Esta matriz es triangular superior. Nótese que se emplearon N-1 matrices ampliadas. En este punto procedemos a efectuar la sustitución regresiva:

(−1 1 −40 1 50 0 −15)( xyz )=( 16

50−10)

Operando con el desarrollo de la ecuación matricial Z=0.7; x= 28.2; y=47Por lo tanto la a=0.7 m

s2 ; T1= 28.2 N Y T2= 47 NCodificación:PROGRAM SOLUCION_SIST_EC_LINEALES REAL(4) A(100,100),A1(100,100),XSOL(100)10 WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)' SOLUCION DE ECUACIONES LINEALES SIMULTANEAS ELIMINACION DE' WRITE (*,*)' GAUSS Y SUSTITUCION REGRESIVA' WRITE (*,*)' ==========================================================' WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)' INGRESO DE DATOS (SOLUCION SISTEMA DE N CON N INCOGNITAS)' WRITE (*,*)' ==========================================================' WRITE (*,*)'' WRITE (*,*)' INGRESE DIMENSION DE LA MATRIZ DE COEFICIENTES ' READ (*,*)M1 WRITE (*,*)''

WRITE (*,*)' INGRESE ELEMENTOS DE MATRIZ A ' DO I=1,M1 READ(*,*)(A(I,J),J=1,M1) END DO DO I=1,M1 WRITE (*,*)' INGRESE VECTOR DE TERMINOS INDEPENDIENTES' READ(*,*)A(I,M1+1) END DO! COPIANDO EN LA MATRIZ DE PASO20 LP=2 LN=LP-1 DO I=1,M1 DO J=1,M1+1 A1(I,J)=A(I,J) END DO END DO! FIN DEL COPIADO! HACIENDO LA ELIMINACION21 DO I=LP,M1 WPASO1=A1(I,LN) WPASO2=A1(LN,LN) DO J=1,M1+1 A1(I,J)=A1(I,J)-(WPASO1/WPASO2)*A1(LN,J) END DO END DO! FIN DE LA ELIMINACION! REPITIENDO EL PROCESO WRITE(*,*)''

WRITE(*,*)' MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR PRELIMINAR' WRITE(*,*)' =====================================' DO MI=1,M1 WRITE(*,100)(A1(MI,MJ),MJ=1,M1+1) END DO WRITE(*,*)'' LP=LP+1 LN=LP-1 IF (LP.GT.M1)THEN NK=M1 GOTO 27 ELSE GOTO 21 END IF! SUSTITUCION REGRESIVA 27 SUMA=0 DO J=1,M1 SUMA=SUMA+A1(NK,J)*XSOL(J) END DO XSOL(NK)=(A1(NK,M1+1)-SUMA)/A1(NK,NK) NK=NK-1 IF (NK.LE.0) THEN GOTO 28 ELSE GOTO 27 END IF! FIN DE SUSTITUCION REGRESIVA

! PRESENTACION DE RESULTADOS28 WRITE (*,*)'' WRITE(*,*)' MATRIZ INGRESADA' WRITE(*,*)' ================' DO I=1,M1 WRITE(*,100)(A(I,J),J=1,M1) END DO WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR' WRITE(*,*)' ==========================' DO I=1,M1 WRITE(*,100)(A1(I,J),J=1,M1) END DO WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' SOLUCIONES' WRITE(*,*)' ==========' DO I=1,M1 WRITE(*,29)I,XSOL(I) END DO! FIN DE PRESENTACION WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)''29 FORMAT (1X,' X',I3,'=',F11.5)100 FORMAT (15(3X,F11.5)) WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'' READ(*,*) END

RESULTADOS COMPUTACIONALES

MÉTODO DE BISECCIÓNSe tiene un alambre de longitud L, que posee una distribución lineal de carga λ=λ0 (1+x ) .Hallar L en el intervalo de [0.50, 0.60] para que la carga sea 3C. ( λ0=4Cm

;ES=0.1%¿

Se sabe:

dq = λdx q=∫ λdx=¿ q=∫

0

L

λ0 (1+x )dx

q=λ0(x+x2

2){L0

q=λ0(L+L2

2 );q=3C

¿>0=4 L+2L2−3

1eraIteración a1=0.50

c1=0.60

¿>b1=a2

2daIteración a2=0.55

c2=0.60

¿>b2=a3

F(L)=2L2+4 L−3

b1=0.55F (b1 )=2 (0.55 )2+4 (0.55 )−3=−0.195

F (a1 )=2 (0.50 )2+4 (0.50 )−3=−0.5

F (a1 ) . F (b1 )>0nohay raices en [a1;b1]

b2=0.575

F (b2 )=2 (0.575 )2+4 (0.575 )−3=−0.04

F (a2 )=2 (0.55 )2+4 (0.55 )−3=−0.195

F (a2 ) . F (b2 )>0nohay raices en [a2;b2]

Ea=|b2−b1

b2|.100 %=4.34 %

3eraIteración a3=0.575

c3=0.60

¿>b3=c4

4 taIteración a4=0.575

c4=0.5875

¿>b4=c5

5taIteración a5=0.575

c5=0.58125

¿>b5=a6

6taIteración a6=0.578

c6=0.58125

¿>b6=a7

b3=0.5875

F (b3 )=0.40F (a3 )=−0.04

F (a3 ) .F (b3 )<0hay raices en [a3;b3]

Ea=|b3−b2

b3|.100 %=2.13 %

b4=0.58125

F (b4 )=0.0007031F (a4 )=−0.04

F (a4 ) . F (b4 )<0hay raices en [a4 ;b4]

Ea=|b4−b3

b4|.100 %=1.075 %

b5=0.578

F (b5 )=−0.02F (a5 )=−0.04

F (a5 ) .F (b5 )>0no hayraices en [a5; b5]

Ea=|b5−b4

b5|.100 %=0.56 %

b6=0.5796

F (b6 )=−0.00973F (a6 )=−0.02

F (a6 ) . F (b6 )>0nohayraices en[a6 ;b6]

Ea=|b6−b5

b6|.100 %=0.28 %

7maIteración a7=0.5796

c7=0.58125

¿>b7=a8

8vaIteración a8=0.580425

c8=0.58125

Por lo tanto:

CodificaciónPROGRAM BISECCION REAL(4)B10 WRITE(*,*)'METODO DE BISECCION' WRITE(*,*)'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' WRITE(*,*)'METODOS NUMERICOS DE LA FISICA'

b7=0.580425

F (b7 )=−4.75×10−3F (a7 )=−9.73×10−3

F (a7 ) . F (b7 )>0nohayraices en[a7 ;b7]

Ea=|b7−b6

b7|.100 %=0.14 %

b8=0.5808Ea=|b8−b7

b8|.100 %=0.06 %

L=0.5808

WRITE(*,*)'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' WRITE(*,*)'INGRESE A,C Y ES' READ(*,*)A,C,ES IF (F(A)*F(C).LE.0)THEN ELSE WRITE(*,*)'NO EXISTE RAIZ ALGUNA EN EL INTERVALO' GOTO 10 END IF WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)'N A C B EA ES' N=015 N=N+1 B=(A+C)*0.5 EA=ABS((B-BP)/B)*100

WRITE(*,16)N,A,C,B,EA,ES IF(F(A)*F(B).LE.0)THEN C=B ELSE A=B END IF IF(EA.LE.ES)THEN WRITE(*,*)'APROXIMACION FINAL',ES,'%=',B ELSE BP=B

GOTO 15 END IF16 FORMAT(I3,5(F9.4,1X))

READ(*,*) END FUNCTION F(X) F=2*x**2+4*x-3 RETURN END

Polinomio interpolante de LagrangeUn alambre de acero fue sometido a los ensayos indicados a continuación. Se le aplico inicialmente una carga de 2kg para mantenerlo tirante. Se leyó sobre una escala la posición del extremo inferior del alambre.Cargas adicionales en kg 0 2 4 6 8 10Lectura de la escala en mm

75.5 76.0 76.5 77.0 77.5 78.0

Calcule la lectura que debe corresponder en la escala para una carga adicional de 4.85 kgSolución:Usando la ecuación:

p ( x )=∑k=0

n

f (xk¿)l(x )¿

Tendríamos que obtener una forma de Lagrange de orden n=2 para x=4.85 por lo cual, se debe calcular:

p ( x )=f (x0 ) l0 (x )+ f ( x1 ) l1 ( x )+ f (x2 ) l2(x)

Entonces las funciones de Lagrange en este caso son:l0 ( x)=

(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)

, l1 ( x )=(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)

, l2 ( x )=(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)La forma interpolante que corresponde es por consiguiente:

p ( x )=f (x0 )( x−x1) (x−x2 )

( x0−x1) (x0−x2 )+f (x2 )

(x−x0 ) (x−x2 )(x1−x0 ) (x1−x2 )

+ f (x3 )(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)Reemplazando datos se tiene:

p (4.85 )=(76.5 ) (4.85−6 ) (4.85−8 )(4−6 ) (4−8 )

+(77.0 ) ( 4.85−4 ) (4.85−8 )(6−4 ) (6−8 )

+ (77.5 ) ( 4.85−4 ) (4.85−6 )(8−4 ) (8−6 )

=76.69

Luego según lo obtenido, la lectura de la escala es 76.69 mm.

K Cargas adicionales (xk ¿

Lectura de la escala f (xk)0 4 76.51 6 77.02 8 77.5

Codificación:PROGRAM INTERPOLACION_LAGRANGE REAL(4) XX,FX,X(100),F(1000),N WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' PROGRAMA INTERPOLACION DE LAGRANGE' WRITE(*,*)' ==================================' WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' INGRESO DE DATOS' WRITE(*,*)' ===============' WRITE(*,*)' INGRESE NUMERO DE PARES DE DATOS' READ(*,*)N WRITE(*,*)' PARES DE DATOS' DO I=1,N READ(*,*)X(I),F(I) END DO WRITE(*,*)' INGRESE EL PUNTO A INTERPOLAR X' READ(*,*)XX WRITE(*,*)' ====================================' FX=0 DO I=1,N Z=F(I) DO J=1,N IF (I.NE.J) Z=Z*(XX-X(J))/(X(I)-X(J)) END DO

FX=FX+Z END DO WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' RESULTADO DE INTERPOLACION' WRITE(*,*)' ==========================' WRITE(*,10)FX WRITE(*,*)' ==========================' WRITE(*,15)N10 FORMAT(3X,F9.5)15 FORMAT(' PUNTOS EVALUADOS:',F8.4) READ(*,*) END

Resultados Computacionales:

REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOSSe utiliza el software que se basa en

el algoritmo de ajuste lineal para resolver un problema de prueba de hipótesis relacionado con la caída de un paracaidista. Un modelo teórico matemático para la velocidad del paracaidista se dio como sigue:

v ( t )=gmc

(1−e(−cm )t)… . . Ecuación 1

Donde v=velocidad (m/s), g=constante gravitacional (9.8m /s2 ¿ , m= masa del paracaidista igual a 68.1 kg y c=coeficiente de arrastre de 12.5 kg/s. El modelo predice la velocidad del paracaidista en función del tiempo. Un modelo empírico alternativo para la velocidad del paracaidista está dado por:

v ( t )=gmc

( t3.75+ t

)….ecuación 2

Supongamos que queremos probar y comparar la veracidad de esos dos modelos matemáticos. Esto se podría hacer al medir la velocidad real del paracaidista con valores conocidos de tiempo y al comparar estos resultados con las velocidades predichas de acuerdo con cada modelo.

TABLA 1. Velocidades medidas y calculadas para la caída del paracaidista

Se implementó un programa para la recolección de datos experimentales, y los resultados se enlistan en la columna a) de la tabla 1. las velocidades calculadas con cada modelo se enlistan en la columna b) y c)

Solución:

La veracidad de los modelos se aprueba al graficar la velocidad calculada por el modelo contra la velocidad medida. Se puede usar la regresión lineal para calcular la pendiente y la intersección con el eje y de la gráfica. Esta línea tendrá una pendiente de 1, una intersección de 0 y r2=1 si el modelo concuerda perfectamente con los datos. Una desviación significativa de estos valores sirve como una indicación de lo inadecuado del modelo.

Codificación: PROGRAM REGRESION_LINEAL

REAL(4) X(100),Y(100),N,Y2(100)

WRITE(*,*)' AJUSTE LINEAL MINIMOS CUADRADOS' WRITE(*,*)'' WRITE(*,*)' INGRESE NUMERO DE PARES PARA AJUSTE (MAX(100))' READ(*,*)N WRITE(*,*)' INGRESE PARES UNO POR UNO' DO I=1,N WRITE(*,*)' INGRESE PAR NRO.',I,'X E Y' READ(*,*)X(I),Y(I) END DO SUMA1=0 SUMA2=0 SUMA3=0 SUMA4=0 DO I=1,N SUMA1=SUMA1+X(I) SUMA2=SUMA2+Y(I) SUMA3=SUMA3+X(I)*X(I) SUMA4=SUMA4+X(I)*Y(I) END DO A=(SUMA4-(SUMA1*SUMA2)/N)/(SUMA3-(SUMA1*SUMA1)/N) B=(SUMA2-A*SUMA1)/(N) WRITE(*,*)' RESULTADOS' WRITE(*,2)A WRITE(*,3)B WRITE(*,*)'N X Y(AJUSTADO)' !REEVALUACION DE LA FUNCION

OPEN(1,FILE='REGLIN.TXT') DO I=1,N Y2(I)=A*X(I)+B WRITE(*,1)I,X(I),Y2(I) WRITE(*,1)I,X(I),Y2(I) END DO 1 FORMAT(1X,I3,2(F8.4,1X)) 2 FORMAT(1X,'PENDIENTE=',F8.4) 3 FORMAT(1X,'INTERSECCION CON EL EJE Y=',F8.4) read(*,*)fin ENDResultados computacionales para el modelo teórico matemático

Resultados computacionales para el modelo empírico alternativo

Las figuras 1.a y b muestran graficas de la línea y los datos para las regresiones de las b) y c), respectivamente, contra la columna a). Para el primer modelo [ecuación 1 como se ilustra en la figura 1.a]

vmodelo=−0.859+1.032vmedida

Y para el segundo modelo [ecuación 2 como se ilustra en la figura 2.b]vmodelo=5.776+0.72 vmedida

Grafica 1

a) Resultados con regresión lineal para comparar las predicciones calculadas con el modelo teórico [ecuación 1] contra valores medidos. b) Resultados con regresión lineal para comparar predicciones calculadas con el modelo empírico [ecuación 2] contra valores medidos.

Conclusión:Esas graficas indican que la regresión lineal entre los datos y cada uno de

los modelos es altamente significativa. Ambos modelos ajustan los datos con un coeficiente de correlación mayor a 0.99.

No obstante, el modelo descrito por la ecuación 1 se ajusta mejor a nuestro criterio de prueba de hipótesis que el descrito por la ecuación 2, ya que la pendiente y la intersección con el eje y son más cercanos a 1 y 0. Así, aunque cada grafica queda bien descrita por una línea recta, la ecuación 1 parece ser un mejor modelo que la ecuación 2.

REGLA DEL TRAPECIO Y TRAPECIO EXTENDIDOLa velocidad del paracaidista está dada con la siguiente función en

términos del tiempo:

v (t )=gmc

(1−e(−cm )t).....ecuación 1

Suponga que desea saber que tan lejos ha caído el paracaidista después de cierto tiempo t. tal distancia está determinada por

d=∫0

t

v(t )dt

Donde d es la distancia en metros. Sustituyendo en la ecuación 1 y haciendo t=10 s

d= gmc ∫

0

t (1−e(−cm )t)dt

Usar el software, para determinar esta integral mediante la regla del trapecio con diferentes números de segmentos. Observe que realizando la integración en forma analítica y sustituyendo los valores de los parámetros conocidos se obtiene un valor exacto de d= 189.43515 m.

Solución:

En el caso en que n=10 se obtiene una integral calculada de 288.7491. Así, hemos obtenido la integral con tres cifras significativas de exactitud. Los resultados con otros números de segmentos son:

Así, hasta cerca de 500 segmentos, la regla del trapecio de aplicación múltiple obtiene excelente precisión. Sin embrago, observe como el error cambia de signo y empieza a aumentar en valor absoluto más allá de los 500 segmentos. Cuando tienen 10000 segmentos, de hecho, parece divergir el valor verdadero. Esto se debe a la aparición del error de redondeo por el gran número de cálculos para todos esos segmentos. De esta manera, el nivel de precisión está limitado y nunca se podrá alcanzar el valor exacto de 289.4351 que se obtiene en forma analítica.

CONCLUSIONES

• Para aplicaciones individuales de las funciones con buen comportamiento, la regla el trapecio de múltiples segmentos es casi exacta para el tipo de precisión requerida en diversas aplicaciones de la ingeniería.

• Si se requiere de alta exactitud, la regla del trapecio de múltiples segmentos exige un gran trabajo computacional. Aunque este trabajo resulta insignificante para una sola aplicación, puede ser muy importante cuando: a) se evalúan numerosas integrales, o b) donde la función misma es consumidora de tiempo en su evaluación. Para tales casos, quizá se requieran métodos más eficientes (serán analizados en lo que falta de este capítulo y en el próximo).

• Por último, los errores de redondeo representan una limitación en nuestra habilidad para determinar integrales. Esto se debe tanto a la precisión de la máquina como a los diversos cálculos involucrados en técnicas simples como la regla del trapecio de múltiples segmentos.