Metode Statistika (STK 5 11)

Metode Statistika (STK511)

Pertemuan V

Konsep Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable Concept and

Probability Distribution)

Konsep Peubah Acak

• Peubah acak merupakan suatu fungsi yang Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). ruang bilangan riil (wilayah fungsi).

• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan dalam statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. kejadian-kejadian alam.

• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil.BILANGAN bilangan riil.

• Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:

a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

X = munculnya sisi dadu yang bermata genapX = munculnya sisi dadu yang bermata genap

= {0, 1}= {0, 1}

Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

Daerah fungsiDaerah fungsi Wilayah fungsiWilayah fungsi

S1 .S2 .S3 .S4 .S5 .S6.

X(ei)

. 0

. 1

Kuis

• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang contoh ! Berikan minimal dua contoh untuk ruang contoh!

• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang kejadian ! Berikan minimal dua contoh untuk ruang kejadian

Tipe Peubah Acak

• Diskret Segugus nilai dari suatu peubah acak yang

dapat dicacah (countable) Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang

berhasil dilakukan oleh pemain A

• Kontinu Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat

dicacah (uncountable) Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang

interval Misalkan X = tinggi badan (cm)

Peubah Acak Diskret

• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

• Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut

• Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1

• Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut

• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya.dari sebaran peluang kejadiannya.

Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang setimbangsetimbang

SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut: sebagai berikut:

p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5) p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6

p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6) p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

Sisi yang munculSisi yang muncul

Kejadian SS11 SS22 SS33 SS44 SS55 SS66

Peluang Peluang kejadiankejadian

1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

XX 00 11 00 11 00 11

x 00 11

P(X=x)P(X=x) 1/21/2 1/21/2

XX 00 11

Latihan (1)Latihan (1)

Dua buah mata uang dilempar bersama-Dua buah mata uang dilempar bersama-sama. Jika masing-masing memiliki sisi sama. Jika masing-masing memiliki sisi yang seimbang, senaraikanlah ruang yang seimbang, senaraikanlah ruang contohnya. Jika kita ingin melihat contohnya. Jika kita ingin melihat munculnya sisi muka pada kedua mata munculnya sisi muka pada kedua mata uang, maka definisikan peubah acak uang, maka definisikan peubah acak tersebut. Lengkapi dengan sebaran tersebut. Lengkapi dengan sebaran peluang dari peubah acak tersebut.peluang dari peubah acak tersebut.

Nilai Harapan Peubah AcakNilai Harapan Peubah AcakDiskretDiskret

• Nilai harapan dari peubah acak adalah Nilai harapan dari peubah acak adalah pemusatan dari nilai peubah acak jika pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali.sampai tak berhingga kali.

• Secara matematis nilai harapan dapat Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:dirumuskan sebagai berikut:

n

iix xpxX

1

diskret p.a X jika ),()(

Sifat-sifat nilai harapan:Sifat-sifat nilai harapan:

• Jika c konstanta maka E(c ) = cJika c konstanta maka E(c ) = c

• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka E(cX) = c E(X)maka E(cX) = c E(X)

• Jika X dan Y peubah acak Jika X dan Y peubah acak

maka E(Xmaka E(XY) = E(X) Y) = E(X) E(Y) E(Y)

Ragam Peubah AcakRagam Peubah Acak

• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:

V(X) = E(X-E(X))V(X) = E(X-E(X))22

= E(X= E(X22) – [E(X)] ) – [E(X)] 22 tunjukkan ! tunjukkan !

• Sifat-sifat dari ragamSifat-sifat dari ragam Jika c konstanta maka V(c ) = 0Jika c konstanta maka V(c ) = 0 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX)

= c= c22 V(X) V(X) Jika X dan Y peubah acak maka, Jika X dan Y peubah acak maka,

V(XV(XY) = V(X) + V(Y) Y) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y) Cov(X,Y)

Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

Contoh:Contoh:

• Jika diketahui distribusi peluang dari peubah Jika diketahui distribusi peluang dari peubah acak X seperti tabel di bawahacak X seperti tabel di bawah

• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6 E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6

E(3X) = 3 E(X) = 45/6E(3X) = 3 E(X) = 45/6

Nilai peubah Acak XNilai peubah Acak X

XX 00 11 22 33 44 55

P(X=xP(X=xII)) 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6

XXiip(xp(xii)) 00 1/61/6 2/62/6 3/63/6 4/64/6 5/65/6

V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2 = 55/6 - 225/36 = 105/36= 55/6 - 225/36 = 105/36

Beberapa sebaran peluang diskret

• Bernoulli

• Binomial

• Poisson

Sebaran Peluang Bernoulli

Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal

Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan sebagai:

P(x,p)=pxq(1-x), x=0,1E(X) = p var(X)= p(1-p)

Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20%

Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebear 5%.

Sebaran Peluang Binomial

Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas

Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,….,n

Fungsi peluang dari kejadian Binomial dapat dituliskan sebagai:

P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n

dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!E(X) =np var(X)=np(1-p)

Jika peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan

p= peluang sukses untuk sekali melakukan lemparan bebas

G S G

S G G

G G S

S S G

S G S

G S S

S S S x=3

x=2

x=1

232 )1(2

3)2(

ppXP

333 )1(3

3)3(

ppXP

G G G x=0 030 )1(0

3)0(

ppXP

131 )1(1

3)1(

ppXP

Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p

Latihan

Peluang turun hujan per hari diketahui p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah:

a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu?

b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu?

Peubah Acak Kontinu

• Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu

• Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang

• Integral fungsi kepekatan peluang dari semua kemungkinan nilai sama dengan 1

• Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut

Beberapa sebaran peluang kontinu

• Normal

• Weibull

• Gamma

• Beta

Sebaran Normal

Bentuk sebaran simetrikMean, median dan modus berada dalam satu titikFungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai

berikut:

Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan normal:

• P ( - < x < + ) = 0.683

• P ( - 2 < x < + 2 ) = 0.954

Peubah acak (X) dengan mean () dan ragam (2) menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (, 2)

2

2

12

2

1),,(

x

exf

b

a

aFbFdxxfbxap )()()()(

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.3000

0.3500

0.4000

0.4500

X

Bentuk sebaran normal dengan berbagai nilai ragam

Data

Perc

ent

3624120-12-24-36

60

50

40

30

20

10

0

Variableragam 1ragam 3ragam - 5ragam -10

Semakin besar ragam dari sebaran normal maka semakin landai bentuk sebarannya

Nilai Harapan Peubah AcakNilai Harapan Peubah AcakKontinuKontinu

• Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam jangka panjangjangka panjang

• Secara matematis nilai harapan dapat Secara matematis nilai harapan dapat dirumuskan sebagai berikut:dirumuskan sebagai berikut:

kontinu p.a X jika ,)()( dxxfxX ii

• Setiap peubah acak normal memiliki Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbeda-bedakarakteristik yang berbeda-beda perhitungan perhitungan peluang akan sulitpeluang akan sulit

• Lakukan transformasi dari X Lakukan transformasi dari X N( N( , , 22) ) menjadi peubah acak normal baku Z menjadi peubah acak normal baku Z N(0 , 1) N(0 , 1) dengan menggunakan fungsi transformasidengan menggunakan fungsi transformasi

• Distribusi peluang dari peubah acak normal peubah acak normal baku Z baku Z N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal bakutabel peluang normal baku

X

Z

Cara penggunaan tabel normal baku Nilai z, disajikan pada

kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua)

Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai k (P(Z<k)).

Nilai Z 0.00 0.01 0.02 0.03

-2.6 0.005 0.005 0.004 0.004

-2.5 0.006 0.006 0.006 0.006

-2.4 0.008 0.008 0.008 0.008

P(Z<-2.42)=0.008

Latihan

Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm2. Hitunglah,

1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm?

2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm?

3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?

4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut!

Contoh Soal

• Dalam suatu bagian terdapat tiga orang karyawan laki-laki dan dua orang karyawan wanita. Manajer ingin memutasi dua orang karyawan dari bagian tersebut. Jika didefinisikan peubah acak X sebagai banyaknya karyawan wanita yang dimutasi :

• Tentukan sebaran peluang dari peubah acak X tersebut!

• Tentukan E(X)!

• Tentukan V(X)!

Latihan Soal

• Diketahui bahwa gaji menyebar normal dengan nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5 juta. Jikaseorang dipilih secara acak:

• Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2 juta?

• Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta sampai 3,2 juta?

• Jika 23% orang mempunyai gaji tertinggi, tentukan batas bawah dari range tersebut!