Mengenal Dot Dan Cross Product

W H A T ' S T H E C O N T E N T O F T H I S B L O G

Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life andExperience 3%, and Others 4%..

-- Here we can share knowledge ---- Enjoy --

T H U R S D A Y , D E C E M B E R 4 , 2 0 0 8

Mengenal Dot dan Cross Product.Posted by hendry_dext

Dalam pembelajaran tentang vektor, kita tidak bisa terlepas dari dot dan cross product.. Apa itu dot dan cross

vektor? Lebih jauh lagi, darimana rumus dot dan cross itu berasal? Bagaimanakah contoh soalnya?

Silakan baca lanjutannya.. ^^

=========================================================================

Bagian ISekilas Tentang Vektor

Vektor adalah garis yang memiliki panjang dan arah. Simbol untuk vektor, bisa berupa overline variable

(misalnya: atau ) bisa juga dalam simbol dot to dot variabel (misalnya: atau , yang artinya

titik dimulai dari pangkal A ke titik B).

Vektor dapat ditulis dalam bentuk matriks kolom.

Misalnya: =>

Vektor dalam bentuk matriks kolom dapat dibuat lebih *hemat tempat* dengan pemberian unsur transpos

matriks. Jadi, matriks juga dapat ditulis dalam bentuk . Simbol T berarti *tranpos*.

Selain itu matriks dapat ditulis dalam bentuk penambahan vektor-vektor satuan.

Sebagai contoh: = 3 + 5 . (Bentuk ini adalah bentuk yang paling efektif, karena menunjukkan

elemen vektor satuan.. Tapi, kurang enak dibaca.. ~~a)

S E A R C H T H I S S I T E

Load Counter

PPC Management

C A T E G O R I E S

about me and blog

general knowledge

materi matematika

materi universitas

Math: Others

Soal Matematika Mudah

software

B L O G A R C H I E V E

► 2010 (3)

► 2009 (116)

▼ 2008 (88)

▼ December (20)

About Me... (iii)

Sajak Untuk Menghapal Pi.. ^^

Secret of The "1 3 5 7" Game Revealed

Makanan Otak ...(vb) {JawabanLimit}

Makanan Otak ...(v) {Limit}

Monty Hall Problem

Strategi Mana yang Terbaik??

Makanan Otak ...(iv) {KecepatanRata-Rata}

Teka-Teki Einstein

Bukti: Persamaan euler. ^^

Bilangan Kompleks... (ii) {Dalil DeMoivre}

Menyentuh 12 Titik

Bukti: sin 18 = (√5 -1)/4

"Di Manakah Aku?"

Mengenal Bilangan Kompleks

Logic Riddle.. (Easy)

Rahasia Deddy Corbuzier

0 Lainnya Blog Berikut» Buat Blog Masuk

Everything About Math: Mengenal Dot dan Cross Product. http://hendrydext.blogspot.com/2008/12/mengenal-dot-dan-cross-produ...

1 dari 13 21/02/2015 15:19

Di sini adalah vektor , sedangkan adalah vektor .

Operasi vektor bisa berupa:

1. Penjumlahan (dan pengurangan): tinggal menjumlahkan elemen-elemen vektor yang sesuai

2. Perkalian dengan skalar (menghasilkan vektor yang sejajar dengan vektor awal)

3. Perkalian dengan vektor (akan dibahas lebih lanjut).

Contoh Soal 1: Jika = dan = , maka berapakah + ?

Jawab: + = + = =

Contoh Soal 2: Jika = 2 + 5 -8 , maka berapakah 2 ?

Jawab: 2 = 2(2 + 5 -8 ) = + 5 -16 . (bentuk ini adalah bentuk lain dari vektor. Lihat

penjelasan awal).

Contoh Soal 3: Jika = 6 -5 - , dan = 3 + , dan = -2 +5 , dan = 2 - + 2

, maka berapakah ?

Jawab: = 2(6 -5 - ) - (3 + ) + 2(-2 +5 ) = 12 -10 -2 -3 - -4 +10

_________= 5 - 3

Atau dapat juga ditulis = .

Panjang vektor dapat ditentukan dengan konsep phytagoras. (perhatikan simbol untuk panjang vektor)..

Contoh soal 4: jika = , berapakah panjang .

Jawab: Panjang vektor = = = .

Contoh soal 5: Jika = +3 +5 +7 +9 + 11 . Tentukan panjang vektor !

Jawab: = =

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. Lambang vektor satuan bermacam-macam. Di sini

akan digunakan simbol .

Contoh Soal 6: = . Apakah vektor adalah vektor satuan?

Jawab: = = 1. Maka adalah vektor satuan (karena panjangnya 1)

Contoh soal 7: Terdapat vektor dimana = 2 + 6j +5k.Tentukan vektor satuan yang searah dan

sejajar dengan vektor .

Jawab:

Tentukan panjang vektor = = =

Syarat sejajar dan searah, vektor itu harus dikalikan konstanta yang positif.

= c. ... (i)

Syarat ini juga dipenuhi untuk *panjang* vektor. Jadi:

= c.

Panjang vektor satuan adalah 1. Jadi:

1 = c.

Maka, c = = .

Subtitusikan nilai c ini di persamaan awal, maka didapat:

Menyentuh 9 Titik

Mengenal Dot dan Cross Product.

Mau Beli Air 2 Liter Ajah.. ^^

► November (17)

► October (13)

► September (12)

► August (26)

There was an error in this gadget

M Y F A V O R I T E B L O G S

-- Math Blog List --

-- Other FaVorite Blog LisT --

Tukar Link dan Promosi Website

C H A T B O X

16 Feb 15, 05:21Raidatul Kamil: gan kok ane bodohbanget ya gak ngerti2

29 Jan 15, 09:15mike: ada yg tau cari dalil dalil segitiga?

28 Dec 14, 05:48Rian: ada yang tau manfaat CRT ga?

5 Dec 14, 15:14yohanes: buka www.aksiomaid.com

5 Dec 14, 15:14yohanes: www.aksiomaid.com

2 Dec 14, 05:43thelegendofzelda: sama sekali tidakdimengertiiiii

2 Dec 14, 05:42thelegendofzelda: trololololo gak ngerti

22 Nov 14, 23:15Dea N M: lnlinionion.

22 Nov 14, 23:14Dea N M: fq3f

17 Oct 14, 07:30manusia: sangat bagus dan membantu...[Upgrade Cbox] refreshname e-mail / url

message Gohelp · smilies · cbox

1.Cara MERAPATKAN VAGINA100% AMPUHMERAPATKAN danMEMBERSIHKAN VAGINAseperti PERAWAN kembali!!!

2.PERUT KEMPES DALAM 3HARI..! Simpelet 3HERBAL PELANGSING 100%AMAN dan AMPUH! PesanSekarang!

3.MediumisasiMenarik sukma orang yangmasih hidup atau yang sudahmeninggal

A B O U T M E

HENDRY_DEXT

I'm Hendry -- Live in Jakarta, Indonesia


2 dari 13 21/02/2015 15:19

= = = .

Contoh soal 8: Berapakah vektor satuan dari vektor (yang ada di contoh soal nomor 3)?

Jawab:

Soal ini identik dengan soal nomor 7 (hanya beda kata-kata).

Di soal ini, kita mencoba memakai rumus vektor satuan, yang logikanya sudah ada di contoh soal nomor 7.

=

Jadi, = = = .

Vektor Posisi adalah vektor yang berpangkal dari koordinat O, bisa (0,0) atau (0,0,0), dan seterusnya.

Misalnya: = =>

Contoh soal 9: Jika = , sedangkan = . Tentukan vektor !

Jawab:

Dengan digambar, maka kita tahu bahwa + = , maka:

= = =

Ruang Dimensi Vektor menunjukkan di dimensi mana vektor itu berada. Misalnya, vektor itu terletak di

dalam ruang, maka dia akan berada di dimensi 3 atau di . Jika vektor itu terletak di bidang, maka vektor

itu berada di dimensi . Lalu, apakah dimensi 4 itu ada? Bagaimana cara menggambar vektor di dimensi

4 atau lebih? Hmm..

Sebetulnya, vektor dimensi 4 atau lebih itu ada, tapi vektor ini bersifat *khayal*, dan tidak bisa digambar.

Apakah Dot dan Cross Product berlaku untuk dimensi 4, 5, dan seterusnya...??

Tidak!! Cross Product hanya berlaku di . Namun, dot bisa berlaku di semua dimensi. Namun,

pembuktian untuk dot product di dimensi 4 (atau lebih) masih belum ada (dan tidak akan ada). Jadi, kita

sebaiknya lihat pembahasan Dot dan Cross Product di dan saja yach.. ^^

=========================================================================

Bagian IIDot Product

Dot ( ) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan skalar, yang didefinisikan

dalam rumus:

= . .

adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor dan .

Study at BiNus University -- IT-Math

--seventh semester

quite lazy -- but friendly

YM and fb: [email protected]

VIEW MY COMPLETE PROFILE

G U E S T

Live Traffic Feed

Real-time view · Get Feedjit

A visitor from Surabaya, Jawa Timurviewed "Everything About Math:Mengenal Dot dan Cross Product." 3mins agoA visitor from Indonesia viewed"Everything About Math: Bukti:Teorema Ceva" 11 mins agoA visitor from Medan, Sumatera Utaraviewed "Everything About Math: Bukti:Rumus-Rumus Dasar Turunan/Derivatif" 42 mins agoA visitor from Jakarta, Jakarta Rayaviewed "Everything About Math:Fermat's Little Theorem" 44 mins agoA visitor from Europe viewed"Everything About Math: Bukti:Menentukan Jari-Jari Lingkaran LuarSegitiga" 44 mins agoA visitor from Jakarta, Jakarta Rayaviewed "Everything About Math: Bukti:Rumus-Rumus Dasar Turunan/Derivatif" 50 mins agoA visitor from Indonesia viewed"Everything About Math: MengenalBilangan Rasional dan Irasional ^^" 53mins agoA visitor from Jakarta, Jakarta Rayaviewed "Everything About Math:Mengenal Magic Square" 58 mins agoA visitor from Indonesia viewed"Everything About Math: LuasLingkaran dan Oval" 1 hr 22 mins agoA visitor from Jakarta, Jakarta Rayaviewed "Everything About Math:Garis-Garis Istimewa Segitiga...(i)" 1 hr26 mins ago


3 dari 13 21/02/2015 15:19

( ) =

. . . =

. = 1

= 1

=

Jadi, =

Mengapa hasilnya skalar?

Masing-masing unsur dari , , dan adalah skalar. Jadi, juga skalar. (Lihat juga

pembahasan tentang cross product. Mungkin akan memperjelas. ^^)

Mengapa Dot Product didefinisikan seperti itu?Justru itulah masalahnya. Si pembuat definisi itu memang sangat kreatif. Mulanya, untuk mengalikan vektor

dan , maka akan ada tiga unsur yang berperan, yaitu panjang , panjang , dan sudut yang dibentuk

keduanya ( ). Definisi untuk dot diambil unsur yang cos. ^^

Apa arti dari hasil perkalian itu?

Kalo ngak *diolah* lebih lanjut, hasil dari . . sesungguhnya tidak memiliki arti. . .

hanya kumpulan angka-angka saja dan angka itu tidak menunjukkan besaran apapun (bagi saya).

Oleh, karena itu dot product harus diolah lagi agar dapat diaplikasikan. ^^

Contoh soal 10:

Diketahui di dimensi 3 ( ), terdapat vektor dan .

= .

Didapat bahwa, ternyata: ( ) = .

Tentukan besar sudut yang dibentuk antara dan !

Jawab:

Contoh Soal 11:

Jika = 4, berapakah ?

Jawab:

= . (kita tahu bahwa vektor dan itu sudutnya 00)

=

= 16

Karakteristik Dot Product

Di sini kita akan bermain-main dengan vektor satuan. Kita akan melihat vektor di dimensi ruang ( ), jadi

akan ada 3 vektor basis di sini yaitu , , dan .

= , = , dan =

Sesuai dengan definisi Dot Product, maka didapat karakteristik sebagai berikut.

=| |.| |. = 1 (ingat bahwa sudut yang dibentuk adalah 00)

=| |.| |. = 1

=| |.| |. = 1

Selain itu, nilainya adalah nol. Lihat di bawah.

=| |.| |. = 0 (karena sudut yang dibentuk adalah 900)

=| |.| |. = 0

=| |.| |. = 0

=| |.| |. = 0

=| |.| |. = 0

=| |.| |. = 0

Sifat yang dimiliki dot product ini adalah komutatif (dibolak-balik hasilnya sama.. ^^)


4 dari 13 21/02/2015 15:19

Dengan melihat karakteristik itu, maka kita dapat mengalikan tanpa perlu tahu sudutnya. Lihat

penguraian di bawah.

= + +

= + +

= ( + + ) ( + + )

= + + +

==== + + +

==== + +

= ( )+ ( )+ ( )+

++++ ( )+ ( )+ ( )+

==== ( )+ ( )+ ( )

= + +

Contoh Soal 12:

Jika = dan = , berapa sudut yang dibentuk oleh kedua vektor itu?

Jawab:

=

(-1)(4)+(2)( )+(3)(-1) = . .

-6 = . .

-6 = 15,5403 (menggunakan kalkulator)

= - 0,386

= 112,710 (menggunakan kalkulator)

Ternyata dot vektor dapat digunakan untuk menghitung sudut dengan rumus:

=

Proyeksi Vektor

Di contoh soal di atas, dot product dapat digunakan untuk mencari sudut apit. Namun, sesungguhnya dot

vektor dapat digunakan untuk kemampuan yang lebih, yaitu mencari vektor proyeksi. Lihat penjelasan di

bawah.

Misalkan diberikan vektor dan . adalah proyeksi vektor ke , maka dapat digambarkan sebagai

berikut. (Sebenarnya, pangkal vektor dan tidak harus berhimpit, namun, dianggap demikian supaya

lebih mudah dipahami).

Pertama, tama kita akan mencoba mencari panjang vektor .

Sesuai dengan aturan trigonometri: = ... (i)

Sesuai dengan operasi dot vektor: = ... (ii)

Gabungkan kedua persamaan di atas, maka akan kita dapatkan rumus untuk

=


5 dari 13 21/02/2015 15:19

=

Karena dan berhimpit, maka dapat kita simpulkan bahwa vektor satuan dari sama dengan vektor

satuan dari .

=

Ingat rumus untuk vektor satuan sebelumnya, maka persamaan di atas menjadi:

=

=

Substitusikan nilai , maka didapat:

= (vektor proyeksi dari ke )

Untuk mencari vektor proyeksi dari ke , maka kita tinggal ganti simbol:

= (vektor proyeksi dari ke )

Contoh Soal 13:

Di dimensi 2 ( ), terdapat 2 buah vektor, yaitu dan .

=

=

Tentukan (proyeksi pada ) dan (proyeksi pada )!

Jawab:

Kasus di atas dapat digambarkan sebagai berikut ( dan dianggap sebagai vektor posisi)

Vektor proyeksi dari ke = = = = .

Vektor proyeksi dari ke = = = = .

Contoh Soal 14:

Diketahui vektor dan bukan (vektor yang panjangnya 0) memenuhi kondisi berikut.

= 2 = .

Sudut yang dibentuk dan adalah . Tentukan !

Jawab:

Ini adalah soal vektor yang tricky. Mungkin pada awalnya kita kesulitan karena bingung memulai dari mana.

Tapi, kita bisa memulai dari apa yang ditanyakan. selalu berhubungan dengan , maka inilah

hal yang pertama kali kita lakukan.

=

Substitusi nilai = 2 :

= 2 .

= 2 ... (i)

Lalu, kita tinggal menentukan untuk mengolah . Supaya lebih mudah, maka sebaiknya kita kalikan


6 dari 13 21/02/2015 15:19

vektor dengan dirinya sendiri.

= + 6 ( ) + 9 ( )

= + 6 ( ) + 9

Karena = (diketahui di soal), maka persamaan tersebut menjadi:

= + 6 ( ) + 9

6 ( ) = 9

= ... (ii)

Substitusikan persamaan (ii) ke (i), maka:

= 2

=

=========================================================================

Bagian IIICross Product

Kita tahu bahwa dot vektor sangat berperan dalam perhitungan sudut dan vektor proyeksi. Keistimewaan dot

terletak pada yang membuat perkalian vektor bersudut 900akan bernilai nol, sehingga mempermudah

perhitungan. Lalu, bagaimana dengan cross product?

Cross ( ) Product adalah bentuk perkalian antara 2 vektor yang akan menghasilkan vektor yang tegak lurus

dengan kedua vektor itu di dalam dimensi 3, yang didefinisikan dalam rumus:

= . . .

di sini adalah vektor satuan yang tegak lurus dengan vektor dan tegak lurus dengan vektor .

Apa hasil dari cross product itu?

Hasil dari cross product adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor . Kenapa bisa begitu?

Ini karena pengaruh perkalian vektor-vektor satuan dan . Untuk lebih jelasnya, bisa dilihat di bagian

karakteristik cross product.

Sementara, jika kita ingin meng*skalar*kan cross product, maka unsur dapat kita hilangkan, maka

rumusnya menjadi:

= . .

Di sini, kita tahu bahwa . . adalah rumus Luas jajargenjang. Wah, ternyata kita bisa mencari

luas jajargenjang dari sudut pandang vektor! ^^

Mengapa cross product dapat menghasilkan vektor sedangkan Dot Product tidak?

Sebetulnya dot product bisa menghasilkan vektor jika dikalikan lagi dengan vektor satuan. Namun, dot

product sengaja tidak menghasilkan vektor karena di sinilah aplikasi dot vektor yang banyak digunakan

(mencari sudut dan vektor proyeksi). Lalu, jika ingin memberi arah, kita tinggal mengalikannya dengan vektor

satuan yang arahnya terserah kita (di sini dot vektor bersifat dinamis).

Sementara itu, cross vektor juga sebenarnya bisa jika didefinisikan sebagai ini saja: . . karena

bisa diaplikasikan dalam mencari luas jajargenjang. Namun, fungsi ini masih terlalu sederhana (bagaimana

kita mendefinisikan dengan , tentunya nilai keduanya harus berbeda dan tidak mungkin kita

mendefinisikan keduanya adalah 1 meskipun keduanya tegak lurus). Unsur pada cross vektor sungguh

*mempesona*. Pada saat sudut yang dibentuk adalah 900 (yang berarti hasil sin-nya adalah 1), maka kita

dapat memodifikasinya dengan pemberian arah vektor yang saling ortoghonal (tegak lurus) kedua vektor,

berbeda jika kita menggunakan cos pada dot product. Ini juga bisa memberikan solusi bagi nilai

dengan (sebagai contoh) supaya tidak sama.


7 dari 13 21/02/2015 15:19

Mengapa Cross Product hanya berlaku di dimensi 3 saja?

Untuk membuat vektor yang tegak lurus diperlukan vektor basis yang saling tegak lurus juga. Lalu, di dimensi

4, bisakah kita menemukan 4 vektor yang saling tegak lurus?

Sebenarnya di dimensi 2, cross product bisa saja kita gunakan karena dimensi 2 adalah bagian dari dimensi

3. Namun, mungkin hasil yang dipakai hanyalah sebatas , karena tidak dapat digunakan di

dimensi 2.

Karakteristik Cross Product

Di dimensi 3 terdapat 3 vektor basis sebagai berikut.

= , = , dan =

Vektor yang tegak lurus ada 2 arah (berlawanan). Supaya konsisten, maka kita tentukan arahnya dengan

aturan tangan kanan. Ini dilakukan supaya hasilnya **konsisten** dan **universal**. Jadi, ini semacam

aturan umum saja. (Sebenarnya jika kita memakai aturan tangan kiri, kita akan mendapatkan hasil yang

tegak lurus juga, namun hasilnya negatif. Sebenarnya, ini boleh saja dilakukan).

Sesuai dengan definisi di atas, maka didapat karakteristik sebagai berikut.

= (karena sudutnya 00)

=

=

=

=-----

=

=----

=

=

Terlihat bahwa perkalian cross product tidak bersifat komutatif..

Sekarang kita coba mengoperasikan

= + +

= + +

= ( + + ) ( + + )

= ( )+ ( )+ ( )+

===== ( )+ ( )+ ( ) +

===== ( )+ ( )+ ( )

= . + . + ( )+

===== ( )+ . + . +

===== . + ( )+

= ( ) ( )+ ( )

(Supaya dapat lebih mudah dibaca *dan dihapal*, kita gunakan konsep determinan)

= (gunakan cara Sarrus untuk mencari determinan ordo 3x3)

Maka, akan didapat vektor yang tegak lurus dan .

Contoh Soal 15:

Di , terdapat vektor dan .

= dan = . Tentukan dan .

Jawab:


8 dari 13 21/02/2015 15:19

= = =

(Determinan 3x3 di atas dapat diselesaikan dengan cara Sarrus biasa..)

= = =

dapat kita lihat bahwa: = -( ).

Contoh Soal 16:

Dari contoh soal 15, berikan 5 contoh vektor yang tegak lurus dengan vektor dan vektor !

Jawab:

Kita sudah menemukan 2 vektor yang tegak lurus, yaitu: , dan .

Berikutnya, kita tinggal menemukan vektor-vektor yang sejajar dengan vektor itu. Jadi, kita hanya mengalikan

konstanta sesuka apapun yang kita mau.

Misalnya:

Kalikan dengan , maka hasilnya: ==> ini contoh yg ke-3

Kalikan dengan 3, maka hasilnya: ==> ini contoh ke-4

Kalikan dengan 2, maka hasilnya ==> ini contoh ke-5

Tentunya, akan ada banyak jawab. Intinya, kita cukup mengalikan dengan konstanta apapun... ^^

Contoh Soal 17:

Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (0,1,2) dan terdapat vektor dan di

bidang itu!

Jawab:

Pertama, tentukan dulu (kita sudah mendapatkannya di soal nomor 15)

Nah, itulah yang disebut dengan vektor normal. Vektor normal adalah karakteristik yang dimiliki oleh bidang.

(kalau karakteristik gradien dimiliki oleh garis). Nah, kita tinggal mengikuti rumus persamaan bidang

berikut:

pers. bidang:

Kita sudah mendapat salah 1 contoh vektor normal di contoh nomor 16, yaitu .

Substitusikan nilai 3 di n1, 6 di n2, dan -5 di n3. Maka, persamaan bidangnya menjadi:

Bidang itu melalui titik (0,1,2). Oleh karena itu, substitusikan nilai 0 di x1, 1 di x2 dan 2 di x3. Maka

persamaannya menjadi:

pers. bidang:

Contoh soal 18: Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(0,1,-3), B (2,4,-1), dan C(-2,3,5)!

Jawab:


9 dari 13 21/02/2015 15:19

Tentukan 2 vektor yang terletak pada bidang. Di sini, kita mencari vektor dan . (Boleh mencari

yang lain).

= =

= =

Sekarang kita cari vektor yang tegak lurus dengan kedua vektor ini. Caranya? Ya, menggunakan cross

product!!

= = =

Sekarang tinggal memasukkan nilai-nilai itu ke persamaan bidang:

Masukkan n1=20 , n2=-20, n3 = 10

Bagi persamaan dengan 10, supaya lebih sederhana.

Nah, sekarang masukkan titik yang terletak pada bidang. Terserah kalian ingin memasukkan titik A, atau B,

ataupun C, karena semua titik akan menghasilkan hasil yang sama.

Di sini, kita masukkan titik A (0,1,-3). Berarti x1=0.x2=1. x3=-3.

pers bidang:

(Contoh Soal lainnya akan menyusul)

=========================================================================

Bagian IVSifat-Sifat Khusus Cross Product

Kita sudah tahu bahwa cross dan dot product memilii sifat distributif. Lalu, bagaimana jika sudutnya 0. Tentu

kita sudah tahu. Di sini, dibahas sifat-sifat yang tidak diberikan secara eksplicit (dan juga jarang terpakai):

1.

=====> Untuk Membutikannya, cukup jabarkan ruas kiri. Lalu ubah menjadi

=====> .

2.

=====> Bagian ini belum sempat aku coba untuk membuktikannya. Bisakah kalian

=====> membantu saya membuktikannya?

=========================================================================

Sekian materi mengenai dot dan cross product yang terbilang gampang.. Ini materi sekolah SMA, sekaligus

materi kuliah di semester awal. Maaf kalau terlalu cepat, karena ini diambil dari berpuluh-puluh halaman dari

sebuah buku dan diringkas menjadi 1 halaman web...

Sumber: Matriks dan Transformasi Linear (Wikaria Gazali, sekaligus sebagai dosen tercinta di

Universitas Bina Nusantara. ^^). Penerbit: Graha Ilmu.

2 2 C O M M E N T S :


10 dari 13 21/02/2015 15:19

in_drag88 December 4, 2008 at 11:33 PM

wah..keren..ada materi dan contoh soalnya,keren abis nih blog..cia you...eh,request donk,minta pembahasan materi tentang bilangan kompleks donk,hehe...terimakasih

Reply

hendry_dext December 5, 2008 at 9:33 AM

Wah, thx bgt neh, atas support and requestnya.! ;)

Btw, in_drag88(yang pastinya lahir taon 88) itu kuliah di mana ya? Calam kenal.. :)

Mengenai bilangan kompleks, sebenarnya akan lebih lengkap kalau dibahasnya tentang fungsi kompleks,tapi, bisa beratus-ratus halaman.. Jadi, aku buat parsial, n mesti begadang.. Hohoho.. XD

Reply

in_drag88 December 5, 2008 at 9:55 PM

sama2,saya sangat senang ada yg ngeblog tentang matematika,apalagi yg sampai sedetail blog ini.kerenabis dah...

introducing deh,nama saya Indra,kuliah s1 teknik sipil di Untan,Pontianak,Kalimantan Barat

wah..gak perlu sampe begadang,santai2 aja buat nya,ntar gak enak klo request ini jadi merepotkan

terimakasih

Reply

lucky October 5, 2009 at 1:50 PM

nah ini baru nama nya blog yang bermanfaat.tetep semangat om dalam berbagi ilmu

Reply

Wendy October 6, 2009 at 10:17 AM

Trims Pak!!!Membantu sekali untuk tugas sekolah saya mempresentasikan materi ini...

Reply

Anonymous October 13, 2009 at 8:18 PM

sgt membantu..!!trims

Reply

Anonymous October 19, 2010 at 9:37 AM

good job!

Reply

Anonymous November 7, 2010 at 7:51 AM

MAKASII !!! nice posting gan . :Di like it .sering sering posting ginian yo . ^_^

Reply


Thx ya, keep posting :)

Reply

tauFik December 20, 2011 at 10:43 PM

ini dia contoh orang yg menggunakan internet dengan baik dan memberi manfaat buat orang lain..

good luck..

LANJUTKAN..

Reply

Pure_Share April 19, 2012 at 7:26 AM


11 dari 13 21/02/2015 15:19

MAKASI YA PAK,,,,!!!! posting nya udah sangat membantu saya,,,good luck

Reply

ekky sandrian April 28, 2012 at 7:25 PM

pembahasannya lengkap dan menjelaskan,,trimakasih atas ilmu yang telah dibagikan ^^

Reply

kuntoro April 29, 2012 at 12:36 PM

pak mau tanyakenapa rumus yang dot produk haarus menggunakan cos, sedangkan yang cross produk menggunakansin

Reply

novalentino94 December 21, 2012 at 5:16 PM

keren banget,, pembahasan jelas simple dan mudah dimengerti tersimpan dlm 1 halaman.. singkatpadat dan tepat.. haha.. niiceeeeee

Reply

Nining Rahayu January 8, 2013 at 1:53 PM

pak tolong dong dperbnyk contoh tntng mencri luas jajar genjang dengan menggunakan vektor

Reply

Ummi Gumay June 6, 2013 at 9:27 AM

terimakasih :)

Reply


kereennn :D

Reply

Zufar Amanullah February 25, 2014 at 9:45 PM

terimakasih... semoga barokah :)

Reply

Anonymous September 26, 2014 at 7:21 AM

Makasih ya...

Reply

Ghearika Sriwijatno September 29, 2014 at 6:52 AM

Ini ngebantu saya banget, semoga postingan ke depan makin keren lagi :)

Reply

Yogma Hasani October 14, 2014 at 10:40 PM

thanks bermanfaat bgt :)

Reply

Kamui October 24, 2014 at 7:17 AM

ngebantu nget gan thanks ..buat bhan uts ni

Reply


12 dari 13 21/02/2015 15:19

Newer Post Older Post

Comment as:

Publish

Home

Subscribe to: Post Comments (Atom)


13 dari 13 21/02/2015 15:19

Mengenal Dot Dan Cross Product

Documents