Mekanika 1-1 Baru

MEKANIKA 1Oleh Simon Sadok Siregar

No. Topik Subtopik1. Besaran, Satuan dan

Vektor- Besaran, Satuan dan Dimensi - Besaran Turunan- Vektor dan Skalar- Operasi Vektor : Penjumlahan

Vektor, Pengurangan Vektor dan Perkalian VektorRUMUS – RUMUSBesaran, Satuan dan Dimensi

Besaran Turunan

VEKTOR Vektor adalah suatu besaran memiliki besar dan arah, sedangkan Skalar hanya memiliki besar saja.Contoh Vektor : kecepatan, gaya, momentum, dllContoh Skalar : massa, laju, tekanan, dll

Suatu vektor dapat ditulis sebagai berikut :

= a1 + a2 + a3

Besar vektor ditulis dengan , maka : =

Operasi Vektor 1. Penjumlahan Vektor

= a1 + a2 + a3 dan = b1 + b2 + b3 , maka

+ = (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3)

+ = atau

+ =

+ =

1.1 Penjumlahan Vektor dengan AnalitikSetiap vektor yang akan dijumlahkan (diuraikan terhadap komponen-komponennya (sumbu x dan sumbu y )

A

B

+A

B

+

A

B

Gambar Komponen – komponen sebuah vektorKomponen vektor A terhadap sumbu X : Ax = A cos θ Komponen vektor A terhadap sumbu Y : Ay = A sin θ

Vektor Komponen X Komponen YA AX = A cos AY = A sin B BX = B cos BY = B sin C CX = C cos CY = C sin

RX = AX + BX + CX

RY = AY + BY + CY

R = RX + RY

Besar vektor R : R =

Arah vektor R terhadadap sumbu x positif : tan =

2. Pengurangan Vektor

– = (a1 – b1) + (a2 – b2) + (a3 – b3)

– = atau

– = 3. Perkalian Titik (dot) Vektor

= a1b1 + a2b2 + a3b3

Jika adalah sudut antara vektor dan maka = . cos

dengan : . = . = . = 1

. = . = . = 04. Perkalian Silang (cross) Vektor

x = (a1 + a2 + a3 )x(b1 + b2 + b3 )

= = – +

= (a2.b3 – a3.b2) – (a1.b3 – a3.b1) + (a1.b2 – a2.b1)

dengan : x = x = x = 0

x = – x = ,

x = – x =

x = – x = Jika adalah sudut antara vektor dan maka x = . sin

SOAL DAN SOLUSI01.Sebuah pesawat dengan massa M terbang pada ketinggian tertentu dengan laju v.

Kerapatan udara di ketinggian itu adalah ρ. Diketahui bahwa gaya angkat udara pada pesawat bergantung pada: kerapatan udara, laju pesawat, luas permukaan sayap pesawat A dan suatu konstanta tanpa dimensi yang bergantung geometri sayap. Pilot

A

B –

A

–– A

–

pesawat memutuskan untuk menaikkan ketinggian pesawat sedemikian sehingga rapat udara turun menjadi 0.5 ρ. Tentukan berapa kecepatan yang dibutuhkan pesawat untuk menghasilkan gaya angkat yang sama? (nyatakan dalam v)

SOLUSI :Dari soal diketahui : F = k v A dengan k adalah konstanta tanpa dimensiDari analisa dimensi : [MLT-2] = [ML-3] [LT-1] [L2] di dapat : = 2, = 1, = 1Jadi F = kv2A. Jika rapat udara turun menjadi 0.5 maka untuk mempertahankan gaya yang sama dibutuhkan kecepatan v 02. Sebuah helikopter memiliki daya angkat P yang hanya bergantung pada berat beban

total W (yaitu berat helikopter ditambah berat beban) yang diangkat, massa jenis udara ρ dan panjang baling-baling helikopter l.a. Gunakan analisa dimensi untuk menentukan ketergan-tungan P pada W, ρ dan l.b. Jika daya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total W adalah P0, berapakah

daya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total 2W?SOLUSI :a. Dari informasi soal didapat : P = k.W..l

dengan k adalah sebuah konstanta tidak berdimensi.Dimensi daya P = [M][L]2[T]-3, Gaya W = [M][L][T]-2, Rapas jenis ρ = [M][L]-3, Panjang l = [L]P = k.W..l [M][L]2[T]-3 = ([M][L][T]-2) ([M][L]-3) ([L]) di dapat : = –0.5, = 1.5, = –1Jadi didapat P = kW1,5 ρ −0,5l−1

b. Jika beban total dinaikkan jadi 2 kali, maka daya baru adalah P'=21,5 P0 =2 P0

03.Diketahui vektor A = 4i + 3j – 5k dan vektor B = –3i + j – 2k, tentukan perkalian silang vektor A dan vektor B dan sudut yang dibentuk oleh vektor A dengan vektor B?

SOLUSI :Diketahui A = 4i + 3j – 5k dan vektor B = –3i + j – 2k, perkalian silang vektor A dan

vektor B.A = (4, 3, –5) dan vektor B = (–3, 1, –2)

A x B = = [3.(–2) – 1.(–5)]i – [4.(–2) – (–3).(–5)]j + [4.1 + (–3).3]k A x B = –i + 23j – 5k

Sudut yang dibentuk oleh vektor A = 4i + 3j – 5k dan vektor B = – 3i + j –2k ?

A = (4, 3,-5) A = 5 dan vektor B = (–3,1, –2) B = , maka cos =

cos = cos = = arc cos = 87,83o

04.Seorang pengendara mobil berjalan ke utara sejauh 3,00 km, 2,00 km ke timur laut (45o terhadap arah utara), 4,00 km ke arah barat dan kemudian 3,00 km ke tenggara (45o terhdap arah selatan). Tentukan posisi akhir mobil terhadap posisi awalnya. Kerjakanlah dengan menggunakan sket grafik kemudian cocokkan dengan menggunakan komponen vektor (ambil utara sebagai sumbu y dan timur sumbu x)

SOLUSI :Titik: A = 3

B = 2 cos 450 + 2 sin 450 = 1,41 + 1,41C = –4D = 3 cos 1350 – 3 sin 450 = 2,12 – 2,12

Maka Jarak akhir dari posisi awal : R = ...?R = A + B + C + D = –0,47 + 2,29R = = 2,34 km

Sudut vektor R tan = = arc tan (–0,21) = 168,40 atau 11,60 dari arah vektor

posisi akhir terhadap arah utara.

Besar vektor R : R =

R = 4,23

Arah vektor R tan = = 0,11

= arc tan(0,11) = 6,30

05.Perhatikan gambar gaya-gaya berikut ini! Resultan dan arah ketiga gaya tersebut adalah ....

SOLUSI :Vektor Komponen X Komponen YA = 3 – 3 0B = 4 4 cos 600 = 2 4 sin 600 =

3,46C = 6 6 cos 300 =

5,206 sin 300 = – 3

RX = 4,2 RY = 0,46

SOAL LATIHAN (TUGAS RUMAH 01.) :01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10

Diketahui vektor A = 2i + 3k, B = 4j – 2k, dan C = i – j + k, tentukanlah:

a. b. A.C c. Sudut antara A dan B. d. (AxB).C

Tiga buah gaya yang bekerja pada sebuah partikel dinyatakan sbb : F1 = 30i – 26j + 63k N ; F2 = -16i + 11j –36k N ; F3 = -12k N, Hitunglah resultan dalam bentuk komponen dan besar resultannya !

Perhatikan gambar di samping, carilah resultan dan arah dari vektor-vektor gaya F1, F2, dan F3 ?

Dua vektor yang besarnya sama membentuk sudut θ. Resultan dari kedua vektor itu adalah √3 dari besar masing-masing vektor. Hitung θ!

Vektor-vektor u, v dan w tak nol dan u = v. Jika v – w = u – w, maka buktikan bahwa vektor (u – v) tagak lurus dengan vektor w.

Jika : a + b = c dan a2 + b2 = c2, buktikan bahwa a dan b saling tegak lurus!

Serangga berturut-turut bergerak 8,0 cm ke arah timur, 5,0 cm ke arah selatan, 3,0 cm ke arah barat dan 4,0 cm ke arah utara. a. Berapa jauhkah dalam arah utara dan timur serangga itu telah bergerak

dihitung dari titik awal geraknya. b. Tentukan vektor perpindahan serangga secara geometris maupun analitis.

Analisa rumus kecepatan suara itu dengan analisa dimensi, jika kecepatan ini tergantung pada tekanan P dan massa jenis udara ?

Jika Teori Big Bang benar, evolusi alam semesta mengalami masa yang penting sekali setelah melewati waktu Planck, tp (Planck Time). Nilai dari waktu Planck ini tergantung pada beberapa konstanta dasar antara lain:

Kecepatan cahaya, c = 3 x 108 m/s (merupakan konstanta dasar teori relativitas).Konstanta gravitasi Newton, G = 6,67 x 10-11 m3/(s2.kg). Konstanta Planck, h = 6,63 x 10-34 kg.m2/s (merupakan konstanta Teori Kuantum).

Berdasarkan satuan dari tiga konstanta ini, tentukan a. Rumusan waktu Planck!b. Nilai dari waktu Planck!.

Viskositas suatu gas tergantung pada massa, diameter efektif dan kecepatan rata-rata molekut. a. Gunakan analisa dimensi untuk menentukan rumus sebagai fungsi variabel variabel ini!b. Untuk nilai viskositas yang sama, tentukan berapa kecepatan rata-rata jika

diameternya berkurang menjadi 0,5 d? (nyatakan dalam v)

.