Math Task via Blogger

Tugas ini dikerjakan bersama tim dan dikirim melalui blog masing-masing dengan maksud dan tujuan untuk memenuhi

penilaian pelajaran matematika di semester II

Dikirim oleh:

Nama : AzharRidwanNIM : 0031433Kelas : 1 EBProdi : Teknik ElektronikaBlog : nugenerazi.blogspot.com

Tahun Ajaran2014-2015

TAMBAHAN TURUNAN

Turunan-turunan alami fungsi eksponensial ex

Fungsi eksponensial didefinisikan oleh persamaan dari y = f(x) = bx (b ≠ 1,b > 0), dimana b

adalah dasar dari fungsi eksponensial. Alam fungsi eksponensial adalah fungsi eksponensial

yang dasar dari irasional nomor e.

Nomor e adalah limit sebagai n pendekatan yang tak terhingga dari ⌊1+ 1n⌋n, yang sekitar

2.718281828 (sampai Sembilan tempat decimal).

Alam fungsi eksponensial itu sendiri adalah turunan, yaitu,ddx

(ex) = ex .

selanjutnya, oleh aturan rantai,jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka

ddx

(eu) = eu.dudx

Jika f(x) = 6ex , kemudian f’(x) = 6.ddx

(ex) = 6ex

Jika y = e2x , kemudian y’= e2x .ddx

(2x) = e2x(2) = 2e2x

ddx

(e−3 x2

) =e−3 x2

.ddx

(-3x2) =e−3 x2

(-6x) = -6xe−3 x2

Temukan turunan dari fungsi yang diberikan

1. f(x) = 20ex 1. f(x) = 15x2 +10ex

2. y = e3x 2. g(x) = e7x−2x3

3. g(x) = e5x3

3. f(t) = 100

e−0.5 t

4. y = -4e5x3

4. g(t) = 2500e2t+1

5. h(x) = e−10 x3

f(x) = 1

√2 πex2

2

solusi dan cara penyelesaiannya

1. f(x) = 20ex

fꞌ(x) = 20.ddx

(ex)

= 20ex

2. y = e3x

yꞌ(x) = e3x.ddx

(5x3)

= e5x3

(15x2)

= 15x2e5x3

3. g(x) = e5x3

gꞌ(x) = e5x3

(.ddx

(5x3)

= e5x3

( (15x2)

= 15x2e5x3

4. y = -4e5x3

yꞌ= -4.ddx

(e5x3

)

= -4.e5x3

.ddx

(5x3)

= -4.e5x3

(15x2)

= -60x2e5x3

5. h(x) = e−10 x3

hꞌ(x) = e−10 x3

.ddx

(-10x3)

= e−10 x3

(-30x2)

= -30x2e−10 x3

6. f(x) = 15x2 + 10ex

fꞌ(x) = 15x2 + 10.ddx

(ex)

= 30x + 10ex

7. g(x) = e7x−2x3

gꞌ(x) = e7x−2x3

.ddx

(7x-2x3)

= e7x−2x3

(7-6x)

= 7-6xe7x−2x3

8. f(t) = 100e−0.5 t

fꞌ(t) = 100.e0.5t

= 100. e0.5t.ddx

(0.5t)

= 100. e0.5t(0.5)

= 50e0.5t

9. g(t) = 2500e2t+1

gꞌ(t) = 2500e2t+1.ddx

(2t+1)

= 2500e2t+1.(2)

= 5000e2t+1

10. f(x) = 1

√2 πex22

fꞌ(x) = 1

√2 π.e

12

x2.ddx

(12

x2)

= 1

√2 π.e

12

x2.(x)

= x

√2 π.e

12

x2

Turunan alami fungsi logaritmik ln x

Fungsi logaritmik didefinisikan oleh persamaan dari y = f(x) = logbx dan jika hanya by = x (x >

0), dimana b adalah dasar dari fungsi logaritmik, (b ≠ 1,b > 0). Untuk diberikan dasar, fungsi

logaritmik adalah fungsi invers yang sesuai dan saling dengan fungsi eksponensial. Fungsi

logaritmatik didefinisikan berdasarkan y =loge x, biasanya dilambangkan dengan ln x , adalah

alam fungsi logaritmatik.itu adalah fungsi invers dari alam fungsi eksponensial y = ex.

Turunan dari alam fungsi logaritmatik adalah sebagai berikut:

ddx (ln x) = 1

x

Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka

ddx

( ln u)= 1u .

dudx

jika f(x) = 6 ln x, kemudian f’(x) = 6.ddx

(ln x) =6. 1x

= 6x

jika y = ln(2x3),kemudian y’= 1

2x3 . ddx

(2x3) = 1

2x3 . (6x2) = 3x

ddx

(ln 2x) = 1

2x . ddx

(2x) = 1

2x . (2) =

1x

Contoh diatas menggambarkan bahwa untuk setiap nol konstan k,

ddx

( ln kx) = 1kx .

ddx (kx) =

1kx . (k) =

1x


1. f(x) = 20 ln x 6. f(x) = 15x2 + 10ln x

2. y = ln 3x 7. g(x) = ln(7x-2x3)

3. g(x) = ln(5x3) 8. f(t) = ln(3t2 + 5t – 20)

4. y = -4 ln (5x3) 9. g(t) = ln(et)

5. h(x) = ln(-10x3) 10. f(x) = ln(ln x)

solusi dan cara penyelesaiannya :

1. f(x) = 20 ln x

fꞌ(x) = 20 . ddx

(ln x)

= 20.1x

= 20x

2. y = ln 3x

yꞌ = 1

3x . ddx

(3x)

= 1

3x . (3x)

= 1x

3. g(x) = ln(5x3)

gꞌ(x) = 1

5x3 . ddx

(5x3)

= 1

5x3 .(15x2)

= 3x

4. y = -4 ln (5x3)

yꞌ = -4.1

5x3 .ddx

(5x3)

= -4. 1

5x3 .(15x2)

= -4.3x

= -12x

5. h(x) = ln(-10x3)

hꞌ(x) = 1

−10x3 . ddx

(-10x3)

= 1

−10x3 (-30x2)

= 3x

6. f(x) = 15x2 + 10ln x

fꞌ(x) = 15x2 + 10.ddx

(ln x)

= 30x + 10.1x

= 30x + 10x

7. g(x) = ln(7x-2x3)

gꞌ(x) = 1

7 x−2x3 .ddx

(7x-2x3)

= 1

7 x−2x3 . (7x-2x3)

= 7−6 x2

7 x−2x3

8. f(t) = ln(3t2 + 5t – 20)

fꞌ(t) = 1

3t 2+5 t−20.ddx

(3 t 2+5 t−20¿

= 1

3t 2+5 t−20. (6 t+5 )

= 6 t+5

3t 2+5 t−20

9. g(t) = ln(et)

gꞌ(t) = 1

et . ddx

(et)

=1

et(e)

= e

et

10. f(x) = ln(ln x)

fꞌ(x) = 1

ln x . ddx

(ln x)

= 1

ln x . (

1x

)

= 1

ln x . x

Turunan-turunan dari fungsi eksponensial untuk basis selain e

Mengira b adalah bilangan asli positif (b ≠ 1), kemudian

ddx

(bx) = (ln b)bx


ddx

(bu) = (ln b)bu . ddx

Jika f(x) = (6)2x, kemudian fꞌ(x) = 6.ddx

(2x) = 6(ln2)2x

Jika y =52x, kemudian yꞌ = (ln 5)52x.ddx

(2x) = (ln 5)52x.(2) = 2(ln 5)52x

ddx

.(10−3 x2

) = (ln 10)10−3 x2

.ddx

(-3x2) = (ln 10)10−3 x2

(-6x) = -6x(ln 10)10−3 x2


1. f(x) = 20 (3x) 6. f(x) = 15x2 + 10(5x3)

2. y = 53x 7. g(x) = 37 x−2 x3

3. g(x) =25 x3

8. f(t) = 100

10−0.5 t

4. y = -4(25 x3

) 9. g(t) = 2500(52t+1)

5. h(x) = 4−10 x3

10. f(x) = 8 x2

2

Solusi dan cara penyelesaiaannya

1. f(x) = 20 (3x)

fꞌ(x) = 20.ddx

(3x)

= 20(ln3)3x

2. y = 53x

yꞌ = (ln 5)53x.ddx

(3x)

= (ln 5)53x.(3)

= 3(ln 5)53x

3. g(x) = 25 x3

gꞌ(x) = (ln 2)25 x3

.ddx

(5x3)

= (ln 2)25 x3

(15x2)

= 15x2(ln 2)25 x3

4. y = -4(25 x3

)

yꞌ = -4.ddx

(25 x3

)

= -4(ln 2)25 x3

.(15x2)

= -60x2(ln 2)25 x3

5. h(x) = 4−10 x3

hꞌ(x) = (ln 4)4−10 x3

.ddx

(-30x2)

= (ln 4)4−10 x3

. (-30x2)

= -30x2(ln 4)4−10 x3

6. f(x) = 15x2 + 10(5x3)

fꞌ(x) = 15x2 + 10.ddx

(53x)

= 30x + 10(ln 5)53.3

= 30x + 30(ln 5)53

7. g(x) = 37 x−2 x3

gꞌ(x) = (ln 3)37 x−2 x3

.ddx

(7x-2x3)

= (ln 3)37 x−2 x3

.(7-6x2)

= 7-6x2(ln 3)37 x−2 x3

8. f(t) = 100

10−0.5 t

fꞌ(t) = 100. 100.5t

= 100.(ln 10)100.5t.ddx

(0.5t)

= 100.(ln 10)100.5t. 0.5 = 50(ln 10)100.5t

9. g(t) = 2500(52t+1)

gꞌ(t) = 2500.ddx

(52t+1)

= 2500(ln 5)52t+1.ddx

(2t+1)

= 2500(ln 5)52t+1.2

= 5000(ln 5)52t+1

10. f(x) = 8 x2

2

= 8−12

x2

fꞌ(x) = (ln 8)8−12

x2.ddx

(−12

x2)

= (ln 8)8−12

x2.(-x)

= (-x).(ln 8)8−12

x2

Turunan-turunan dari fungsi logaritmik untuk basis selain e

Mengira b adalah bilangan asli positif (b ≠ 1), kemudian

ddx

(logb x) = 1¿¿


ddx (logb u) = 1

¿¿.dudx

jika f(x) = 6log2 x,kemudian fꞌ(x) = 6.ddx

(log2 x) = 6. 1¿¿

= 6x ln 2

jika y = log5(2x3),kemudian yꞌ(x) = 1¿¿

.ddx

(2x3) = 1¿¿

.(6x2) = 3x ln 5

ddx

.(log3 2x) = 1¿¿

.ddx

(2x) = 1¿¿

.(2x) = 1x ln 3

Contoh diatas menggambarkan bahwa untuk setiap nol konstan k,

ddx

(logb kx) = 1¿¿ .

ddx

(kx) = 1¿¿ (k) =

1x ln b


5. f(x) = 20log4 6. f(x) = 15x2 + 10log2 x

6. y = log10 3x 7. g(x) = log6(7x-2x3)

7. g(x) = log8(5x3) 8. f(t) = log16(3t2+5t – 20)

8. y = -4log8(5x3) 9. g(t) = log2(et)

9. h(x) = log5(-10x3) 10. f(x) = log10(log10x)


1. f(x) = 20log4

fꞌ(x) = 20.ddx

(log4x)

= 20. 1¿¿

= 20x ln 4

2. y = log10 3x

yꞌ = 1¿¿

.ddx

(3x)

= 1¿¿ (3)

= 3

x ln 10

3. g(x) = log8(5x3)

gꞌ(x) = 1¿¿

.ddx

(5x3)

= 1¿¿

= 3x ln 8

4. y = -4log8 (5x3)

yꞌ = 4¿¿

.ddx

(5x3)

= 4¿¿ .(15x2)

= −60 x2

¿¿

= −12x ln 8

5. h(x) = log5(-10x3)

hꞌ(x) = 1¿¿

.ddx

(-10x3)

= 1¿¿ .(-30x2)

= 3x ln 5

6. f(x) = 15x2 + 10log2 x

fꞌ(x) = 15x2 + 10.ddx

.(log2 x)

= 30x + 10. 1¿¿

= 30x + 10x ln 2

7. g(x) = log6(7x-2x3)

gꞌ(x) = 1¿¿

.ddx

(7x-2x)

= 7−6 x2

¿¿

= 7−6 x2

7 x−2x3 ¿¿

8. f(t) = log16(3t2+5t – 20)

fꞌ(t) = ddx

(log16(3t2+5t-20)

= 1¿¿

.ddx

(3t2+5t-20)

= 1¿¿

.(6t + 5)

= 6 t+5

3t 2+5 t−20¿¿¿

9. g(t) = log2(et)

gꞌ(t) = ddx

.( log2(et))

= 1¿¿

.ddx

(et)

= 1¿¿

. (et)

= 1¿¿

10. f(x) = log10(log10x)

fꞌ(x) = ddx

(log10(log10x))

= 1¿¿

.ddx

(log10 x)

= 1¿¿

. 1¿¿

.ddx

(x)

= 1¿¿

Turunan-turunan yang berkenaan dengan fungsi trigonometri

Turunan dari alam fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

ddx

(sin x) = cos x

ddx

(cos x) = -sin x

ddx

¿ = sec2 x

ddx

(cot x) = -csc2 x

ddx

(sec x) = sec x tan x

ddx

(csc x) = - csc x cot x

Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka:

ddx

(sin u) = cos u.dudx

ddx

(cos u) = -sin u.dudx

ddx

(tan u) = sec2 u.dudx

ddx

(cot u) = -csc2 u.dudx

ddx

(sec u) = (sec u tan u).dudx

ddx

(csc u) = (- csc x cot u).dudx

Jika h(x) = sin 3x,kemudian hꞌ(x) = (cos3x)ddx

(3x) = (cos3x)(3) = 3cos3x

Jika y = 3cos( x3 ),kemudian yꞌ = -3sin( x3 ) ddx ( x3 ) = -3[sin( x3 )]( 13 ) = -sin( x3 )

ddx

(tan2x + cot2x) = ddx

(tan2x)+ddx

(cot 2x ) = sec2(2x)ddx

(2x)-csc2(2x)ddx

(2x)

= [ sec2(2x )](2)-[csc 2(2x )](2) = 2sec2(2x) – 2csc2(2x)


1. f(x) = 5 sin 3x 6. s(t) = 4 cot5t

2. y = 14

cos(2x2) 7. g(x) = 6tan3( 2x3 )-20√ x

3. g(x) = 5tan( 3 x5 ) 8. f(x) = 2xsinx+cos2x

4. f(x) = 10sec2x9. h(x) =

sin 3 x1+sin 3x

5. y = 23

sec(2x3)10. f(x) = e4xsin2x

Solusi dan cara penyelesaiaanya

1. f(x) = 5sin3x

fꞌ(x) = 5 cos3xddx

(3x)

= 15 cos 3x

2. f(x) = 14

cos(2x2)

fꞌ(x) = 14

-sin 2x2 ddx

(2x2)

= 14

-sin 2x2.4x

= −4 x

4 sin2x2

= -xsin2x2

3. g(x) = 5tan( 3 x5 )

gꞌ(x) = 5 sec2( 3 x5 ) ddx (3 x

5 ) = 5 sec2( 3 x

5 ).35 = 3 sec2( 3 x

5 )4. f(x) = 10 sec 2x

fꞌ(x) = 10 sec 2x tan 2xddx

(2x)

= 20 sec 2x tan 2x

5. y = 23

sec(2x3)

yꞌ = 23

sec 2x3 tan 2x3 ddx

(2x3)

= 23

sec 2x3 tan 2x3.6x2

= 4x2sec 2x3 tan 2x3

6. s(t) = 4 cot 5t

sꞌ(t) = -4 csc2 5t ddt

(5t)

= -20 csc2 5t

7. g(x) = 6tan3( 2x3 )-20√ x

gꞌ(x) = 6 sec6( 2x3 ) ddx ( 2 x

3 )-10x−12

= 6 sec6( 2x3 ).( 2x

3 )−10 x−12

= 4 sec6( 2x3 ) -

10

√x8. f(x) = 2x sinx + cos 2x

fꞌ(x) = 2 cos x ddx

(x) + (-sin 2x)ddx

(2x)

= 2 cos x – 2 sin 2x

9. h(x) = sin 3 x

1+sin 3x

hꞌ(x) = cos3 x

ddx

(3x )

cos3 xddx

(3x )

= 3 cos3 x3 cos3 x

= 1.

10. f(x) = e4xsin2x

fꞌ(x) = e4x ddx

(4x). cos 2xddx

(2x)

= 4e4x.2cos 2x

Turunan-turunan dari trigonometri invers fungsi

Turunan dari alam fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

ddx

(sin-1 x) = 1

√1−x2

ddx

(cos-1 x) = −1

√1−x2

ddx

(tan-1 x) = 1

1+ x2

ddx

(cot-1 x) = −1

1+ x2

ddx

(sec-1 x) = 1

[x ] √x2−1

ddx

(csc-1 x) = −1

[x ] √x2−1

Selanjutnya, oleh aturan rantai, jika anda adalah fungsi terdiferensiasi dari x,maka:

ddx

(sin-1 u) = 1

√1−u2 .dudx

ddx

(cos-1 u) = −1

√1−u2 .dudx

ddx

(tan-1 u) = 1

1+u2 .dudx

ddx

(cot-1 u) = −1

1+u2 .dudx

ddx

(sec-1 u) = 1

[u ]√u2−1.dudx

ddx

(csc-1 u) = −1

[u ]√u2−1.dudx

If h(x) = sin-1(2x),kemudian hꞌ(x) = 1

√1−(2 x)2 .ddx

(2x) = 1

√1−4 x2 .(2) = 2

√1−4 x2

If y = cos-1( x3 ),kemudian yꞌ =

−1

√1−( x3 )2 .ddx ( x3 ) =

−1

√1− x9

2 .( 13 ) = -

1

3√ 9− x9

2

ddx

(tan-1 x + cot-1 x) = ddx

(tan-1 x) + ddx

(cot-1 x) = 1

1+ x2 + −1

1+ x2 = 0


1. f(x) = sin-1( -x3) 6. f(x) = cos-1(x2)

2. h(x) = cos -1(ex) 7. h(x) = csc-1(2x)

3. g(x) = tan-1(x2)8. g(x) = 4 sec-1( x2 )

4. f(x) = cot-1(7x-5) 9. f(x) = x sin-1(7x2)

5. y = 15

sin-1(5x3) 10. y = arcsin(√1−x2 )


1. f(x) = sin−1(−x3)

fꞌ (x) = −1

√1−¿¿¿ . ddx

.¿)

= −3 x2

√1−x9

2. h(x) = cos -1(ex)

hꞌ(x) = −1

√1−(ex)2 .ddx

(ex)

= −e x

√1−(ex)2

3. g(x) = tan-1(x2)

gꞌ(x) = 1

1+(x2)2 .ddx

(x2)

= 2 x

1+ x4

4. f(x) = cot-1(7x-5)

fꞌ(x) = −1

1+(7 X−5)2 .ddx

(7x-5)

= −7

49 X2−70 X+25

5. y = 15

sin-1(5x3)

yꞌ = 1

√1+(5 x3)2 .ddx

(5x3).1

15

= 1

√1+25 x6 .15x2.1

15 =

15 x2

√1+25 x6 .15

6. f(x) = cos-1(x2)

fꞌ(x) = 1

√1−(x2)2.ddx

(x2)

=−2 x

√1+x4

7. h(x) = csc-1(2x)

hꞌ(x) = −1

|2 x|√(2x )2−1. ddx

. (2x)

= - 2

2x √4 x2−1

8. g(x) = 4 sec-1( x2 )

gꞌ(x) = 4.

−1

|x2|√( x2 )2 .ddx

.( x2 )

=

−4

x2 √ x2

4−1

. 14

=

−4

x2 √ x2

4– 1.4

9. f(x) = x sin-1(7x2)

fꞌ(x) = 1.1

√1−(7 x¿¿2)2¿.ddx

.7x2

= 14 x

√1−49 x4

10. y = arcsin(√1−x2 )

yꞌ = 1

√1−(√1−x2 )2.ddx

.√1−x2

= 1

√1−(1−x2 ) . 12

(1 – x2)

= 1−x2

2√ x2

Exercise 6.7


1. f(x) = x7 + 2x10 , Temukan

fꞌꞌꞌ(x)6. s(t) = 16t2-

2t3

+10 ,

Temukan sꞌꞌ(t)

2. h(x) = 3√ x , Temukan

hꞌꞌ(x)

7. g(x) = ln3x , Temukan

D x3 [ g(x )]

3. g(x) = 2x , Temukan g(5)

(x)8. f(t) =

10

x5 + x3

5 , Temukan

f(4)(x)

4. f(x) = 5ex , Temukan f(4)(x) 9. f(x) = 32x , Temukan

fꞌꞌꞌ(x)

5. y(x) = sin3x , Temukan

d3 yd3 x

10. y = log 25x , Temukan

d4 yd4 x

Solusi dan penyelesaiaannya

1. f(x) = x7 + 2x10

solusi :

fꞌ(x) = 7x6 + 20x9

fꞌꞌ(x) = 42x5 + 180x8

fꞌꞌꞌ(x) = 210x4 + 1440x7

2. h(x) = 3√ x = x13

solusi :

hꞌ(x) = 13

x23

hꞌꞌ(x) = −29x

−53

3. g(x) = 2x

solusi :

gꞌ(x) = 2

gꞌꞌ(x) = 0

gꞌꞌꞌ(x) = 0

g4(x) = 0

4. f(x) = 5ex

solusi :

fꞌ(x) = 5ex.1

fꞌꞌ(x) = 5ex.1 = 5ex

fꞌꞌꞌ(x) = 5ex.1

= d3gd3 x

= 5ex

5. y = sin 3x

solusi :

d1 yd1 x

= 3 cos 3x

d2 yd2 x

= -9 sin 3x

d3 yd3 x

= - 27 cos 3x

6. s(t) = 16t2 - 2t3

+ 10

solusi :

sꞌ(t) = 32t - 23

sꞌꞌ(t) = 32

7. g(x) = ln 3x

solusi :

D1(x)[ g(x )] = 3

3x =

1x

= x−1

D2(x)[ g(x )] = −x−2

D3(x)[ g(x )] = 2 x−3

8. f(x) = 10

x5 + x3

5 = 10 x−5 +

15

x3

solusi :

fꞌ(x) = -50 x−6 + 35

x2

fꞌꞌ(x) = 300 x-7 + 65

x

fꞌꞌꞌ(x) = -2100 x-8 + 65

f4(x) = 16800 x-9

9. f(x) = 32x

fꞌ(x) = 32x ln 3 . 2

fꞌꞌ(x) = 32x ln 3 . 23

fꞌꞌꞌ(x) = 32x ln 3 . 2 . 13

= 32x ln 3 . 29

10. g = log2 5x

d ꞌ yd ꞌ x

= 1

5x ln 2 . 5 =

55x ln 2

d ꞌꞌ yd ꞌꞌ x

= 55

. 12

.1

d ꞌꞌꞌ yd ꞌꞌꞌ x

= 0 =d4 yd4 x

= 0

Math Task via Blogger

Education