Top Banner

of 17

MATERI TURUNAN

Jul 14, 2015

Download

Documents

ryanpalopo
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript

MATERI TURUNAN Materi Turunan (derivatif) mencakup materi turunan fungsi aljabar,turunan fungsi trigonometri, gradien garis singgung dan persamaan garis singgung pada suatu kurva tertentu, titik stasioner, fungsi naik dan fungsi turun. Lumayan banyak juga,yahkita coba mulai dari fungsi aljabar dulu.

Turunan fungsi f (x) didefinisikan sebagai :

Rumus-rumus Turunan :untuk a = konstantay y y

maka maka maka

jika U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsiy y y y y

maka maka maka maka maka

dinamakan aturan rantai

Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu, lets cekidot Contoh dan pembahasan turunan fungsi:

Tentukan turunan pertama dari : 1. Jawab :

2. Jawab : * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi * maka :

3. Jawab : * nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi * maka :

4. Jawab :

* kita misalkan * maka :

5. Jawab : * kita misalkan * lalu kita pakai dan ( aturan rantai )

TRIGONOMETRI

telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri? mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian.

Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya.

dimana

maka

Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :

maka maka maka maka contoh: maka

maka

Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this.

tentukan f (x) ! jawab

tentukan f (x)! jawab:

Turunan ke-n diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f (x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f (x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f (x) dst.

tentukan turunan kedua dari f(x)! jawab. *kita cari turunan pertama dulu ya..

*perhatikan untuk mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f (x) adalah a dan b dimana f (x) = a b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f (x) = a b mari kita cari turunan masing-masing suku *ambil suku pertama dari f (x) kita misalkan

*ambil suku kedua dari f (x) kita misalkan

*nah, kembali ke

selesai,deh..coba yang lain yuk! tentukan turunan ke-empat dari f(x) ! jawab:

mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f (x) = a + b cari turunan masing-masing suku dulu ya

maka

mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f (x) = c d maka

mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka

sehingga

mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka

sehingga

waaaaah..selesai !!!! begitu seterusnya hingga turunan ke-n ..coba sendiri dengan soal yang lain yah!! ada yang bertanya soal seperti ini: 3. Jika diketahui buktikan bahwa turunan ke-n yaitu !

jawab: *ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran

dst sehingga

dst

dst terbukti

Komposisi FungsiKomposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Komposisi dua fungsi dimana dan dinotasikan dengan simbol atau .

Sifat Komposisi Fungsi

Contoh : diberikan fungsi :

1. * fungsi

= .? disubtitusikan ke fungsi

2. * fungsi

= .? disubtitusikan ke fungsi

3. * fungsi fungsi

=? disubtitusikan terlebih dahulu ke fungsi , perhatikan warna mewakili subtitusi .ok! nah, hasilnya baru disubtitusikan ke

Bagaimana contoh diatas???sudah cukup jelas,kan???!! Berhati-hatilah dalam mensubtitusikan ya.

Mencari salah satu fungsi jika komposisi fungsi diketahui 1. Mencari jika dan diketahui

contoh soal dan pembahasan : Diketahui jawab : dan tentukan fungsi !

2. Mencari

jika

dan

diketahui

contoh soal dan pembahasan :

Diketahui jawab :

dan

tentukan

!

Kita misalkan dulu :

Subtitusikan kembali ke fungsi :

Integral Trigonometri

Ingat kembali sifat-sifat integral di materi Integral sebelumnya, lalu kita amati contoh soal integral trigonometri berikut ini :

Setelah paham dengan rumus dan sifat-sifat integral, syarat yang lain untuk bisa mengerjakan integral trigonometri yaitu harus ingat kembali rumus-rumus trigonometri,lho ya.. hayoooo hafal gak,neh..??? Coba perhatikan latihan soal dan pembahasan integral trigonometri berikut ini yuuuukk.

1.

= ..

untuk mengerjakan soal diatas, kita pakai rumus trigonomtri

sehingga

Maka :

2.

=

nah, yang ini pakai sehingga :

maka :

3.

=

ingat sehingga :

INTEGRAL SUBSTITUSI Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol, maka

di mana c adalah konstanta dan

Nahudah lihat rumus integral yang di atas sono tuh???

Pusing,tidak..??? hehehelebih baik langsung di contohin aja ya. contoh soal dan pembahasan integral subtitusi :

1. Jawab : * kita misalkan dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

* Baru kita subtitusikan ke soal :

Jangan sampai lupa untuk mengembalikan permisalan kita

ya..

2. Jawab : * kita misalkan dan fungsi u dapat diturunkan menjadi :

* Baru kita subtitusikan ke soal :

3. Jawab : * kita misalkan dan fungsi u dapat diturunkan menjadi

* Baru kita subtitusikan ke soal :

4. Jawab : * kita misalkan

=

maka

*sehingga :

5. Jawab : * kita misalkan

maka :

*sehingga :

INTERGRAL

Integral dinotasikan dengan :

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F (x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

Contoh F(x) = 3x2 akan mempunyai turunan F (x) = 6x ini dapat berarti f(x) = 6x maka integral dari f(x) = 6x adalah F(x) = 3x2

Rumus Integral

untuk

Contoh :

Perhatikan untuk contoh no.2 dan no.3 fungsi f(x) dinyatakan terlebih dulu sebagai fungsi pangkat,yaa..jangan sampai terlupa !!!

Sifat -sifat :

Nahsekarang langsung ke contoh soal integral dan pembahasannya lagi yuuuuks.

1. Tentukan integral dari Jawab :

!

2. Jika Jawab :

dan

maka

* Nah, karena

maka kita bisa mencari C

* Sehingga

3. Tentukan integral dari Jawab :

!!!

Ingat . nyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu tiap sukunya !!!

4. Tentukan integral dari Jawab :

!!!!

* Ingat . nyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu tiap sukunya !!!

Puji syukur atas kehadirat Tuhan YME yang telah melimpahkan rahmat dan hidayahnya,sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah Matematika tentang integral ini.Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluas ilmu matematika khusunyatentang integral, yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai macam sumber.Makalah ini disusun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang datang dari diripenyusun maupun yang datang dari luar. Namun dengan penuh kesabaran dan terutamapertolongan dari Tuhan YME akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.Tak lupa kami ucapkan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada Bapak Wahyudiselaku Guru Matematika SMAN 3 Sidoarjo yang telah meluangkan waktu baik diwaktu jampelajaran maupun diluar jam pelajaran untuk membimbing kami dalam menyelesaikan tugas ini.Semoga makalah ini dapat memberikan wawasan yang lebih luas kepada parapembaca. Makalah yang penulis buat ini masih sangat jauh dari kategori sempurna. Penulismenerima berbagai saran dan kritikan yang membangun demi kesempurnaan makalah ini. A. LATAR BELAKANG Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang memiliki sifat universal, dimana matematikaini memiliki peran penting di semua bidang ilmu pengetahuan. Melalui perkembanganpenalaran dan abstraksi, matematika berkembang dari pencacahan, perhitungan, pengukurandan pengkajian sistematis terhadap bangun dan pergerakan benda-benda fisika. Matematikasecara praktis mendaji salah satu kegiatan manusia sejak adanya rekaman tertulis.Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang,termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran/medis, dan ilmu sosial seperti ekonomi,dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapanpengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaantemuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru, seperti

statistika dan teori permainan. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itusendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadilatar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.Salah satu cabang dari Ilmu Matematika yang patut di pelajari adalah Integral. Integraladalah lawan dari proses diferensial. Integral terbagi atas beberapa jenis yaitu integral tertentudan integral tak tentu. Perbedaan antara integral tertentu dan integral tak tentu yaitu jika integraltertentu memiliki batasan-batasan ,integral tak tentu tidak memiliki batasan batasan.Penguasaan mata pelajaran Matematika khususnya mengenai integral bagi peserta didik juga berfungsi membentuk kompetensi program keahlian . Dengan mengajarkan Matematikakhususnya dalam hal integral diharapkan peserta didik dapat menerapkannya dalam kehidupansehari-hari dan mengembangkan diri di bidang keahlian dan pendidikan pada tingkat yang lebih tinggi. Pengertian atau konsep integral tentu pertama kali dikenalkan oleh Newton dan Leibniz.Namun pengertian secara lebih modern dikenalkan oleh Riemann.Integral tentu adalah proses pengintegralan yang digunakan pada aplikasi integral. Padabeberapa aplikasi integral dikenal istilah batas bawah dan batas atas sebuah integral, batasinilah yang kemudian menjadi ciri khas sebuah integral dinamakan sebagai integral tertentu.Sebab berbeda dengan integral tak tentu yang tidak memiliki batas, maka pada integral tertentuada sebuah nilai yang harus disubtitusi yang menyebabkan tidak adanya lagi nilai C (konstanta) pada setiap hasil integral dan menghasilkan nilai tertentu.Secara umum integral tentu dari sebuah fungsi dengan batas tertentu