Top Banner
TUGAS GEONAL DATAR TRANSFORMASI KOORDINAT Dosen pembimbing : Yuni Katminingsih, S.Pd, M.Pd disusun oleh : ERICH RINIKA (10.1.01.05.0085) M.TAUFIQQULATIF (10.1.01.05.0148) MARIA TIRTA BUWANA (10.1.01.05.0154) MARTINI (10.1.01.05.0155) METI SUSANTI (10.1.01.05.0157) MOHAMAD NUR FAUZI (10.1.01.05.0164) NANDA HENING PRASASTI (10.1.01.05.0172) NORA(10.1.01.05.0180) Program Sarjana S1 FKIP Matematika Universitas Nusantara PGRI Kediri
18

materi Transformasi

Jul 22, 2015

Download

Science

fauz1
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: materi Transformasi

TUGAS GEONAL DATAR

TRANSFORMASI KOORDINAT

Dosen pembimbing :

Yuni Katminingsih, S.Pd, M.Pd

disusun oleh :

ERICH RINIKA (10.1.01.05.0085)

M.TAUFIQQULATIF (10.1.01.05.0148)

MARIA TIRTA BUWANA (10.1.01.05.0154)

MARTINI (10.1.01.05.0155)

METI SUSANTI (10.1.01.05.0157)

MOHAMAD NUR FAUZI (10.1.01.05.0164)

NANDA HENING PRASASTI (10.1.01.05.0172)

NORA(10.1.01.05.0180)

Program Sarjana S1 FKIP Matematika

Universitas Nusantara PGRI Kediri

Page 2: materi Transformasi

TRANSFORMASI KOORDINAT

77.Translation sumbu. Dalam bab XI telah membahas persamaan lingkaran,

kita lihat bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di titik titik asal adalah

x ² + y ² = r ²

Dimana, untuk lingkaran dengan pusat di (α, β), persamaan menjadi

(x-α) ² + (y-β) ² = r ²

Hal ini sangat jelas bahwa persamaan lingkaran dengan pusat di titik titik asal

diasumsikan sebagai bentuk sederhana dari yang diasumsikan ketika pusat tidak

pada titik titik asal. Diperoleh titik puncak yang sama untuk elips dan hiperbola,

dan juga untuk parabola jika kita mempertimbangkan puncak di tempat pusat.

Oleh karena itu,kurva dengan pusat atau beberapa titik lain tidak di titik asal, itu

akan sangat mudah jika kita memindahkan sumbu koordinat sedemikian rupa

sehingga titik titik asal akan berimpit dengan titik tersebut, dan sumbu koordinat

akan bertepatan dengan sumbu kurva. Ada dua gerakan yang terlibat: translasi,

atau memindahkan sumbu koordinat sejajar dengan diri mereka sendiri, dan

rotasi, atau memutar sumbu sekitar titik.

langkah pertama kita akan mentranslasikan, dan melibatkan perubahan titik

titik asal tanpa mengubah arah dari sumbu.

Kami diberi dua garis sumbu (gambar 79): garis awal, OX dan OY, dengan titik

asal di O (0,0), dan satu garis baru, CX dan CY, dengan titik asal di C (h, k).

kita diberikan, juga, titik P, yang disebut koordinat sumbu awal adalah

x= OA dan y= AP, merupakan titik koordinat pada sumbu baru dengan x’=CB

dan y’= BP. Kita dapat tentukan hubungan antara jumlah pertama dan terakhir.

X

X’

Y

Y’

P

DO(0,0) A

C ( h,k)

Page 3: materi Transformasi

Kami mempunyai: OA = OD + DA

atau X = h + x '

juga: AP = AB + BP,

atau Y = k + y '

Oleh karena itu kita mempunyai persamaan translasi:

x=h + x’

y= k + y’

Hal ini cukup jelas, kemudian, jika kita mempunyai persamaan kurva dimana

garis-garis sumbu,sejajar dengan sumbu yang diberikan dengan titik awal di (h,

k) diperoleh dengan mengganti x dengan x ' +h dan y dengan y '+ k.

Contoh 1: Tentukan persamaan lingkaran:

x2 + y2 – 6z + 2y - 6 = 0

210

Disebut sumbu translasi melalui (3,-1) Dari x = x’ + 3 Dan y = y’ – 1

Kita subtitusi dalam persamaan lingkaran dan kita dapatkan: x’2 + 6x’ + 9 + y’2 - 2y’ + 1 – 6x’ – 18 + 2y’ – 2 – 6 = 0

setelah menyerdehanakan hasilnya, kita tentukan:

x’2 + y’2 =16

contoh 2: Mengeliminasi persaman pertama dari persaman berikut ini:

x2 + y2 -2x + 4y – 4 = 0 dengan x = x’ + h

dan y = y’ + k

kemudian subtitusi persamaan diatas ke persaman awal, kita mendapatkan:

x’2 + 2hx’ + h2 + y’2 + 2ky’ + k2

-2x’ – 2h + 4y’ + 4k – 4 = 0

Page 4: materi Transformasi

( catatan : merubah persamaan pertama = 0)

Ambil persaman pertama: x’(2h – 2),

y’(2k + 4). 2h – 2 = 0

2k + 4 = 0 Atau

h= 1 k= -2

subtitusi lagi:

x’2 + y’2 + 1 + 4 – 2 – 8 – 4 = 0, akhirnya x’2 + y’2 = 9

Kita mungkin dapat memecahkan contoh 2 b dengan cara lain, ditunjukkan dalam contoh berikutnya:

211

Contoh 3

Mengubah istilah tingkat pertama dari berikut

𝑥2 + 𝑦2 – 2x + 4y- 4 = 0

Menyelesaikan soal diats bisa ubah menjadi:

(𝑥 - 1 )2 + (𝑦 + 2)2 = 9

Diketahui 𝑥 - 1 =𝑦 ′

Dan 𝑦 + 2 =𝑦 ′

Atau 𝑥 =𝑦 ′ + 1

Dan 𝑦 =𝑦 ′ - 2

Maka h =1

K =-2

Page 5: materi Transformasi

SOAL

1. Tentukan koordinat dari titik (1,3), (-2,5), dan (3, -2) dan melalui sumbu

translasi (1, -3)

2. Tentukan koordinat dari titik (-1, 2) ,(3,-2), dan (x,y) yang melalui sumbu

translasi (3, -2)

3. Tentukan persamaan garis x-2y – 6 = 0 danmelalui sumbu translasi (2, -2)

4. Tentukan persamaan kurva x2 + y2 -4x + 6y -12 =0 dan melalui sumbu

translasi (2,-3)

5. Tentukan persamaan kurva x2 + 2y2+ 2x- 12y + 17 = 0 dan melalui

sumbu translasi (-1, 3)

6. Tentukan persamaan dari kurva 3x2 – 4y2 – 16 y – 6x -25 = 0 dan melalui

sumbu translasi (1,2)

7. Dari soal diatas , mengubah persaman dari x2 + y2 -2x + 4y -3 =0

8. Dari soal diatas , mengubah persamaan konstanta dalam x dari x2 + 4y –

8y + 12 = 0

9. Tentukan nilai-nilai dari h dan k yang akan mengubah istilah konstan dari

: 2x – 3y – 4 = 0. adalah nilai yang diperoleh?

10. Dari translasi sumbu,kita memperoleh persamaan berikut :

a) (𝑥−𝛼)²

𝑎2+

(𝑦−𝛽)²

𝑏2= 1

b) (𝑥 − 𝛼)2 = 4𝛼(𝑦 − 𝛽)2

c) (𝑥−𝛼)²

𝑎2−

(𝑦−𝛽)²

𝑏2= 1

212

Transformasi koordinat

78. Sumbu putar. Sekarang kita akan mengubah arah sumbu tanpa

mengubah titik asal. Kita putar sumbu melalui sudut Ф. OX dan OY

biarkan menjadi garis awal sumbu-sumbu koordinat OX’ dan OY’, satu

garis baru,dengan sudut dimana sumbu awal harus diputar, dengan titik

asal O, bertepatan dengan sumbu baru (gambar 80). Misalkan P menjadi

titik yang koordinat sebagai sumbu awal sehingga x = OA dan y = AP,

dan koordinat sumbu baru x’ = OB dan y’ = BP penurunan garis tegak

lurus dari B ke AP dan OX.

Page 6: materi Transformasi

X

X’

YY’

P

D

OA E

B

Kemudian

x = OA

= OE – AE

= OE – DB

= OB cos Ф – BP sin Ф

= x’ cos Ф – y’ sin Ф

Dengan cara yang Sama maka:

y = AP

= AD + DP

= EB + DP

= OB sin Ф + BP cos Ф

= x’ sin Ф + y’ cos Ф

Maka kita mempunyai persamaan sumbu putar

213

Oleh sumbu putar , mengeliminasi istilah dalam dari : 3𝑥 + 4𝑦 − 10 = 0

x = x’ cos Ф – y’ sin Ф

y = x’ sin Ф + y’ cos Ф

Page 7: materi Transformasi

Mengganti persamaan dari putaran ,dengan mempunyai :

3(𝑥 ′ cos ∅ − 𝑦 ′ sin ∅ ) + 4 (𝑥 ′ sin∅ + 𝑦 ′ cos ∅)-10 =0

Atau :

𝑥 ′ ( 3 cos ∅ + 4 sin ∅ ) + 𝑦 ′ (4 cos ∅ − 3 sin ∅) − 10 = 0

(Catatan : Untuk istilah dalam menghilangkan 𝑦 ′ , koefisian harus sama

dengan nol )

Oleh karena itu :

4 cos ∅ − 3 sin ∅= 0,

Atau:

sin ∅

cos ∅ =

4

3

Lalu:

Tan ∅ = 4

3

Oleh karena itu :

Sin ∅ = 4

5

Cos ∅ = 3

5

Dari sini, dapat diperoleh :

𝑥 ′ (9

5 +

16

5 ) + 𝑦 ′ (

12

5 -

12

5 ) – 10 = 0

Atau: 5𝑥 ′ - 10 = 0

Atau: 𝑥 ′ = 2.

SOAL

1. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 𝑥 dari : 3𝑥 − 4𝑦 -6 =

0

Page 8: materi Transformasi

2. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 𝑦 dari : 5𝑥 + 12𝑦 - 7

= 0

3. Oleh sumbu putar, mengeliminasi bagian dalam 𝑦 dari : 𝑥2 + 𝑦2 - 2𝑥 -

2𝑦 = 0

4. Setelah sumbu yang diputar melalui 30 °, tentukan persamaan garis

3𝑥 - 2𝑦 + 6 = 0

5. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 °, tentukan persamaan garis

3𝑥 + 3𝑦 - 10 = 0

214

6. Setelah sumbu yang diputar melalui 90 °, tentukan persamaan

lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 = 25

7. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 °, tentukan persamaan

lingkaran 𝑥2 + 𝑦2 =25

8. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 ° , tentukan persamaan kurva

𝑥𝑦 = 6.

9. Setelah sumbu yang diputar melalui 45 ° , tentukan persamaan kurva

𝑥𝑦 = 4.

10.Mengeliminasi persamaan dari 𝑥𝑦 =10

79. Mengeliminasi persamaan dari 𝑥𝑦. Dalam empat bab

sebelumnya , telah membahas berbagai jenis persamaan dari 𝑥𝑦 tidak

mengandung persamaan. Dan kurva yang dihasilkan dari jenis ini. Kami

mengusulkan untuk menunjukkan bahwa ada sebuah transformasi yang

selalu akan mengeliminasi persamaan dari 𝑥𝑦 yang paling umum dalam

derajat dua; misalnya :

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Jadi, Setelah dikurangi persamaan satu dengan yang telah

diketahui, cara ini memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan

derajat dua. Kemudian kita transformasi sebuah persamaan

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 +𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Mensubtitusikan dalam persamaan nilai – nilai berikut:

𝑥 = 𝑥 ′ cos ∅ - 𝑦′ sin ∅,

𝑦 =𝑥′ sin ∅ + 𝑦′ cos ∅

Setelah dapat , mengumpulkan persyaratan ,

Page 9: materi Transformasi

𝑥′(𝐴 𝑐𝑜𝑠2 ∅ + 𝐵 sin ∅cos ∅ + 𝐶 𝑠𝑖𝑛2 ∅ )

+ 𝑥 ′𝑦 ′(𝐵 𝑐𝑜𝑠2 ∅ - 𝐵 𝑠𝑖𝑛2 ∅ + 2𝐶 sin ∅ cos ∅ -2𝐴sin ∅ cos ∅

)

+𝑦′2 (𝐴 𝑠𝑖𝑛2 ∅ - 𝐵 sin ∅ cos ∅ + 𝐶𝑐𝑜𝑠2 ∅ )

+𝑥 ′( 𝐷 cos ∅ + 𝐸 sin ∅)

+𝑦 ′( 𝐸 cos ∅ - 𝐷 sin ∅ )

+ f = 0

215

GEOMETRI ANALITIK

(Catatan : istilah x’ y’ dapat dieliminasi, koefisien harus sama dengan 0 )

Selanjutnya :

0sin2sincos22

CAB

Tapi, dari contoh 35,

2sincos22 ,

dan

2sincossin2 ,

Untuk itu :

2sin)(2cos C ,

atau :

CA

B

2cos

2sin .

Selanjutnya kita harus mengikuti transformation

Page 10: materi Transformasi

CA

B

2tan

Dalam contoh umum, kita membutuhkan nilai dari sin dan cos ,

untuk mensubtitusikan dalam rumus rotasi. Banyak nilai yang mudah ditentukan

dari perbedaan dari garis tengah sudut (Bagian 36) yaitu :

2

2cos1sin

,

2

2cos1cos

.

Sebelum meneruskan contoh diatas, mari kita buat beberapa pengamatan

dengan memperhatikan bahan diatas. Pertama-tama, translasikan dan rumus

rotasi dari Bagian 78 adalah derajat pertama; selanjutnya, ketika rumus rotasi

tersubtitusi dalam persamaan, derajat persamaan pasti tidak tinggi. Lagipula,

derajatnya tidak rendah; untuk itu, ketika mensubtitusikan lebih lanjut untuk

memperbaiki awalnya akan menghasilkan persamaan derajat rendah dibanding

awalnya.

216

Demikian derajat persamaan sisanya tidak berubah dengan transformasi

koordinat.

Untuk itu ikutilah, dengan persamaan transformasi berikut

CA

B

2tan

,

Persamaan umum dari derajat kedua

0222 FEyDxCBA yxx

mungkin sisanya menjadi bentuk

Page 11: materi Transformasi

𝐴 ′𝑥 ′ 𝟐 + 𝐵′𝑥 ′2 + 𝐶′𝑦 ′2 + 𝐷′𝑥′ + 𝐸 ′𝑦′ + 𝐹′ = 0

Dimana A’ dan C ‘ keduanya tidak boleh 0

X

X’

Y

Y’

O

Y’

Y

X

X’

Bagaimanapun, kita sebelumnya harus menunjukan bahwa persamaan ini

selalu mewakili beberapa tipe dari conic, termasuk; imajinasi,atau nilai conic.

Selanjutnya dikatakan : garis derajat kedua persamaan mewakili conic, dan

garis conic terwakili oleh persamaan dari derajat kedua.

Situasi yang khas tergambarkan oleh angka bulat

217

Dalam P titik asal 80, kita akan menunjukkan bagaimana jenis kerucut

mungkin ditentukan oleh hubungan tertentu di antara koefisien A, B, dan C.

Contoh 1

Hapus istilah 𝑥𝑦 dari : 5𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 6

Di sini, A = 5, B = -4, danC = 2

Oleh karena itu :

tan 2∅ = −4

5 − 2= −

4

3

Oleh karena itu :

sin 2∅ = 4

5

Page 12: materi Transformasi

cos 2∅ = −3

5

(Karena kita asumsikan ∅ sebagai akut dalam contoh ini, 2∅ demikian di

kuadran kedua.) Lalu:

sin ∅ = √1 +35

2= √

8

10= √

4

5

cos ∅ = √1 −35

2= √

2

10= √

1

5

Mensubstitusikan dalam persamaan awal, kita mempunyai:

5 (𝑥′√1

5− 𝑦′√

4

5)

2

− 4 (𝑥 ′√1

5− 𝑦 ′√

4

5)(𝑥 ′√

4

5+ 𝑦 ′√

1

5)

+ 2 (𝑥 ′√4

5+ 𝑦 ′√

1

5)

2

= 6

atau

𝑥′2 + 6𝑦′2 = 6

Persamaan ini dalam bentuk elips.

Contoh 2

Hapus istilah xy dari: 𝑥𝑦 = 𝑘

Di sini, A = 0, B = 1, danC = 0

Page 13: materi Transformasi

Oleh karena itu :

tan 2∅ = 1

0= ∞

Oleh karena itu :

2∅ = 90°

atau :

∅ = 45°

218

TRANSFORMASI KOORDINAT

substitusikan dalam persamaan awal, kita mempunyai:

(𝑥′

√2−

𝑦′

√2) (

𝑥′

√2+

𝑦′

√2) = 𝑘

atau :

1

2(𝑥 ′ − 𝑦′)(𝑥′ + 𝑦′) = 𝑘

atau :

𝑥′2 − 𝑦 ′2 = 2𝑘

Persamaan ini dalam bentuk hiperbola sama sisi dengan sumbu-sumbu

koordinat sebagai asimtot

CONTOH

Eliminasi istilah 𝑥𝑦 , dan menentukan jenis kurva di garisiap berikut.

mengingat:

1. 𝑥𝑦 = 4

2. 2 𝑥𝑦 = −7

3. 𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 3𝑦2 − 4 = 0

4. 5𝑥2 − 6𝑥𝑦 + 5𝑦2 − 8 = 0

Page 14: materi Transformasi

5. 𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2 = 2

6. 3𝑥2 − 3𝑥𝑦 − 𝑦2 = 10

7. 𝑥2 + 𝑥𝑦 − 5𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0

8. 𝑥2 − 4𝑥𝑦 + 4𝑦2 − 4𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0

9. 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑦2 − 2𝑥 = 0

10. 𝑦2 + 𝑥𝑦 − 2𝑥2 − 4 = 0

11. 𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 2𝑥 = 0

12. 8𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 17𝑦2 − 20 = 0

13. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 2𝑥 + 6𝑦 = 0

14. 3𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 6𝑥 + 4𝑦 − 1 = 0

15. 𝑥2 + 24𝑥𝑦 − 6𝑦2 − 30 = 0

80. Invariants; klasifikasi jenis conics. Dalam bagian ini kita akan tentukan

bagaimana menentukan sekilas, oleh hubungan tertentu antara tiga koefisien A,

B, dan C, jenis kerucut diwakili oleh persamaan

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Perhatikan persamaan di atas sehubungan dengan rumus rotasi:

𝑥 = 𝑥 ′ cos ∅ − 𝑦 ′ sin ∅

𝑦 = 𝑥 ′ sin ∅ + 𝑦′ cos ∅

219

GEOMETRI ANALITIS

Subtitusikan dalam persamaan awal, maka kita memperoleh:

A'x2 + B'x'y' + C'y' 2 + D'x' + E'y' + F' = 0,

dimana, dalam bagian 79

(1) A' = A cos2 ø + B sin ø cos + C sin2 ø

Page 15: materi Transformasi

(2) B' = B cos 2ø – (A – C) sin 2ø

(3) C' = A sin2 ø – B sin ø cos + C cos2 ø

Dan

D' = D cos ø + E sin ø

E' = E cos ø – D sin ø

F' = F

(Pada hubungan tiga relasi tidak diperlukan dalam masalah khusus kita.)

Kita akan menemukan beberapa hubungan yang menarik yang ada antara A, B,

C dan A ', B', C '.

Menambahkan persamaan (1) dan (3), kita memperoleh:

A' + C' = A (cos2 ø + sin2 ø ) + C (cos2 ø + sin2 ø ),

Atau :

(4) A' + C' = A + C.

Amati bahwa hubungan antara kuantitas prima, A '+ C', sama dengan hubungan

yang sama antara jumlah unprimed, A C + Kami menyebutnya A + C invarian.

Sekarang kita akan memperoleh dua invariants lainnya. Mengurangkan (3) dari

(1), kita memiliki:

A' – C' = (A – C) (cos2 ø – sin2 ø ) + 2B sin ø cos ø ,

Atau:

(5) A' – C' = (A – C) cos 2ø + B sin 2ø.

Amati bahwa (A - C) bukan merupakan invarian. Tetapi jika kita persegi (5),

tambahkan '2 ke sisi kiri dari persamaan, dan kemudian menambahkan nilai dari

B' B 2 dari (2) ke sisi kanan persamaan, kita memperoleh:

Page 16: materi Transformasi

(A' – C')2 + B' 2 =

(A –C)2 cos 2 2ø + 2B (A – C) sin 2ø cos 2ø + B2 sin2 2ø

+ (A – C)2 sin2 2ø – 2B (A – C) sin 2ø cos 2ø + B2 cos2 2ø,

220

TRANSFORMASI KOORDINAT

Atau:

(6) (A' – C')2 + B' 2 = (A – C)2 + B

Jadi kita memiliki invarian: (A - C) 2 + B2.

Akhirnya, persegi (4), dan kemudian kurangi dari (6). Persamaan yang

dihasilkan

A' 2 - 2A'C' + C' 2 + B' 2 – A' 2 – 2A'C' – C' 2

= A2 – 2AC + C2 + B2 – A2 – 2AC – C2,

Atau:

(7) B' 2 – 4A'C' = B2 – 4AC.

Oleh karena itu c - 4ac adalah suatu varian.

Selain itu, b 2 invarian - 4ac yang akan menentukan berbagai jenis conics.

Pertimbangan tranformation yaitu

tan 2ø =

diterapkan untuk persamaan derajat umum kedua. Kita tahu, dari Bagian 79,

bahwa 'B = 0. Oleh karena itu, persamaan yang dihasilkan dari derajat kedua

adalah:

(8) A'x' 2 + C'y' 2 + D'x' + E'y' + F' = 0;

Page 17: materi Transformasi

dan (7) menjadi:

(9) B2 - 4AC = - 4A'C'.

Sekarang, jika salah satu A 'atau C' adalah nol, (8) mewakili parabola. Namun,

dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac = 0. Sekali lagi, jika A 'dan C' memiliki tanda

yang sama, (8) mewakili elips. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac adalah

negatif. Akhirnya, jika A 'dan C' memiliki tanda yang berlawanan, (8)

merupakan hiperbola. Namun, dari (9), kita tahu bahwa b2 - 4ac adalah positif.

Proses ini juga reversibel.

Oleh karena itu kami memiliki:

Parabola : B2 – 4AC = 0

Ellipse : B2 – 4AC < 0

Hyperbola : B2 – 4AC > 0

221

GEOMETRI ANALITIS

Dalam rumus diatas, harus dipahami bahwa menurun dan kasus imajiner

disertakan.

Contoh

Klasifikasi : 3𝑥2 - 4𝑥𝑦 - 2𝑦2 +𝑥 –𝑦 – 3 = 0

Disini , 𝐴 =3 ,𝐵 = -4, dan 𝐶 = -2

Oleh karena itu 𝐵2 – 4 𝐴𝐶 = 16- 4(3)(-2)

= 16 + 24

= 40

Oleh karena itu istilah hiperbola suatu.

CONTOH

Klasifikasikan :

Page 18: materi Transformasi

1. 3 𝑥2 -2𝑥𝑦 + 4𝑦2 -7𝑥 + 3 𝑦 - 10 = 0

2. 𝑥2 + 𝑥𝑦 - 𝑦2 +𝑥 – 𝑦 - 6 = 0

3. 2 𝑥2 + 4 𝑥𝑦 + 2𝑦2 = 9.

4. 𝑥2 + 3 𝑥𝑦 -𝑦2 + 2𝑥 – 𝑦 - 4 = 0

5. 2 𝑥2 + 4𝑥𝑦 + 𝑦2 - 5 =0

6. 3 𝑥𝑦 - 2𝑥 + 𝑦 -6 =0

7. 3𝑥2 + 3 𝑦2 – 𝑥 - 2𝑦 - 4 =0

8. (𝑥 + 2 𝑦)2 = 4𝑥

9. ( 𝑥 + 2 𝑦)2 =4.

10. 𝑥𝑦 + 3𝑦2 -2𝑥 + 𝑦 - 3 = 0

222