Matematika II: Matriks, Inverse, dan Determinan · PDF file5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi

Matematika II:Matriks, Inverse, dan Determinan

2016

Dadang Amir Hamzah Matematika II 2016 1 / 33

Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks

5 Determinan MatriksEkspansi KofaktorMatriks Kofaktor dan Matriks Adjoin

6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Definisi Matriks

Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.

Berikut ini adalah contoh Matriks 1 23 0−1 4

,(2 1 0 −3

),

e π −√2

0 12 1

0 0 0

, (4).

Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalamsuatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordomatriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatasordo matriksnya adalah 3× 2, 1× 4, 3× 3, dan 1× 1.Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besardan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakanhuruf kecil.


Definisi Matriks

Matriks adalah bilangan yang disusun dalam baris dan kolomberbentuk segi empat. Bilangan-bilangan dalam suatu matriksdinamakan entri.Berikut ini adalah contoh Matriks 1 2

3 0−1 4

,(2 1 0 −3

),

e π −√2

0 12 1

0 0 0

, (4).



Definisi Matriks


3 0−1 4

,(2 1 0 −3

),

e π −√2

0 12 1

0 0 0

, (4).

Bilangan yang menyatakan banyaknya baris dan kolom dalamsuatu matriks dinamakan ordo matriks atau ukuran matriks. Ordomatriks ditulis jumlah baris × jumlah kolom. Pada contoh diatasordo matriksnya adalah 3× 2, 1× 4, 3× 3, dan 1× 1.

Variabel untuk menyatakan matriks menggunakan huruf besardan untuk menyatakan entri-entri pada matriks menggunakanhuruf kecil.


Definisi Matriks


3 0−1 4

,(2 1 0 −3

),

e π −√2

0 12 1

0 0 0

, (4).



Definisi Matriks

Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinyaditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

A =

Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudianbagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.


Definisi Matriks

Berikut ini adalah penulisan matriks secara umum. Entri-entrinyaditulis aij dengan i menyatakan baris dan j menyatakan kolom.

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

......

...am1 am2 . . . amn

A =

Apabila i = j, matriks A dinamakan matriks persegi kemudianbagian berwarna merah dinamakan diagonal utama.


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Penjumlahan dan Pengurangan

DefinisiJika A dan B adalah matriks berukuran sama maka penjumlahanA+B adalah matriks yang didapat dari menjumlahakan entri-entrimatriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Penguranganmatriks A−B adalah matriks yang didapat dari mengurangkanentri-entri matriks A dengan entri-entri matriks B yang seletak. Matriksyang berukuran beda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.

Tentukan A+B dan A−B dari

A =

2 1 0 3−1 0 2 44 −2 7 0

B =

−4 3 5 12 2 0 −13 2 −4 5


Perkalian Skalar

DefinisiMisalkan A adalah sembarang matriks dan c adalah sembarangskalar. Perkalian cA adalah matriks yang didapat dari mengalikansetiap entri matriks A dengan c. Matriks cA disebut perkalian skalardari matriks A.

Jika c = −1 dan A =

2 1 0−1 0 24 −2 7

tentukan cA


Perkalian Matriks

DefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m× r dan B adalah matriksberukuran r × n. Perkalian matriks AB adalah matriks berukuranm× n. Entri ke aij pada matriks AB didapat dengan cara mengalikanentri dari baris ke i pada matriks A dengan entri yang seletak di kolomke j pada matriks B kemudian jumlahkan semua hasil perkaliannya.

Perkalian matriks A dan B terdefinisi jika dan hanya jika banyakkolom pada matriks A sama dengan banyak baris pada matriks B.Ordo dari matriks hasil perkalian AB adalah banyaknya barispada matriks A × banyaknya kolom pada matriks B.


Perkalian Matriks

Perhatikan matriks berikut

A =

(1 2 42 6 0

), B =

4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2

Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2× 3 dan B berukuran 3× 4 jadi AB berukuran 2× 4.Misalkan

AB =

(a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24

)untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke jkemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 2dan j = 2 maka a22 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.Tentukan semua entri matriks AB?


Perkalian Matriks


A =

(1 2 42 6 0

), B =

4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2

Perkalian matriks AB terdefinisi karena banyaknya kolom padamatriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B. KarenaA berukuran 2× 3 dan B berukuran 3× 4 jadi AB berukuran 2× 4.

Misalkan

AB =

(a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24



Perkalian Matriks


A =

(1 2 42 6 0

), B =

4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2


AB =

(a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24

)untuk menentukan nilai aij kalikan baris ke i dengan kolom ke jkemudian jumlahkan semua perkaliannya. Mislkan untuk i = 2dan j = 2 maka a22 = 2.1 + 6.(−1) + 0.7 = −4.

Tentukan semua entri matriks AB?


Perkalian Matriks


A =

(1 2 42 6 0

), B =

4 1 4 30 −1 3 12 7 5 2


AB =

(a11 a12 a13 a14a21 a22 a23 a24



Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Transpos Matriks

DefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran m× n. Transpos dari matriks Aditulis At adalah matriks berukuran n×m yang dihasilkan darimenukarkan baris dengan kolom dari matriks A, yakni baris pertamaAt adalah kolom pertama A kemudian baris kedua At adalah kolomkedua A dan seterusnya.

Jika A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

maka At =

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut

A =

1 23 0−1 4

, B =(2 1 0 −3

), C =

e π −√2

0 12 1

0 0 0

, .


Transpos Matriks


Jika A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

maka At =

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33


A =

1 23 0−1 4

, B =(2 1 0 −3

), C =

e π −√2

0 12 1

0 0 0

, .


Transpos Matriks


Jika A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

maka At =

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33


A =

1 23 0−1 4

, B =(2 1 0 −3

), C =

e π −√2

0 12 1

0 0 0

, .


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Pengertian Inverse Matriks

DefinisiMisalkan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama. JikaAB = BA = I maka A disebut dapat diinverskan atau invertibel dan Badalah inverse dari A. Jika tidak ada matriks B yang memenuhi makaA dikatakan matriks singular atau tidak punya inverse.

Inverse dari matriks A ditulis A−1.I disebut Matriks Identitas. Matriks identitas dapat juga ditulissebagai In. Berikut ini adalah contoh matriks identitas

I2 =

(1 00 1

), I3 =

1 0 00 1 00 0 1

, In

1 0 . . . 00 1 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . 1


Penggunaan Inverse Dalam SPL

Jika A adalah matriks invertibel maka

A−1 =1

det (A)(Adj(A))

Contoh: Misalkan A =

(a bc d

)maka A−1 = 1

ad−bc

(d −b−c a

).

Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.

Bandingkan solusi dari SPL

x + 2y = 52x + y = 1

dengan metode substitusi dan inverse.




A−1 =1

det (A)(Adj(A))


(a bc d

)maka A−1 = 1

ad−bc

(d −b−c a

).



x + 2y = 52x + y = 1





A−1 =1

det (A)(Adj(A))


(a bc d

)maka A−1 = 1

ad−bc

(d −b−c a

).

Misalkan A adalah matriks invertible dan A−1 adalah inverse dariA. Jika Ax = b adalah suatu SPL yang punya solusi tunggal makasolusi dari SPL Ax = b adalah x = A−1b.

Matriks persegi A punya inverse jika dan hanya jika det (A) 6= 0.


x + 2y = 52x + y = 1





A−1 =1

det (A)(Adj(A))


(a bc d

)maka A−1 = 1

ad−bc

(d −b−c a

).



x + 2y = 52x + y = 1





A−1 =1

det (A)(Adj(A))


(a bc d

)maka A−1 = 1

ad−bc

(d −b−c a

).



x + 2y = 52x + y = 1



Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Pengertian Determinan

DefinitionMisalkan M adalah himpunan semua matriks persegi, kemudianA ∈M . Determianan dari matriks A adalah fungsi yang memetakanAn×n ke bilangan x ∈ R. Determinan dari matriks yang tidak persegitidak didefinisikan.

Determinan dari matriks A ditulis det(A) atau |A|.

Determinan dari matriks A =

(a bc d

)

det (A) = det

(a bc d

)= ad− bc.

Bagaimana dengan determinan dari matriks 3× 3 ?


Skema Sarus

Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrusadalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarusmenemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinanuntuk matriks berukuran 3× 3 yang dinamakan skema Sarrus.

Misalkan A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33


Skema Sarus

Pierre Friedric Sarrus (10 March 1798, Saint-Affrique - 20November 1861) seorang matematikawan asal Perancis. Sarrusadalah profesor di universitas Strasbourg, Perancis (1826-1856)dan anggota akademi sains di Perancis (1842). Sarusmenemukan aturan mnemonic untuk menyelesaikan determinanuntuk matriks berukuran 3× 3 yang dinamakan skema Sarrus.

Misalkan A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33


Skema Sarus

Perhatikan matriks dibawah

+ + +a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32

− − −a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32

det (A) =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32

Tentukan determinan dari A =

2 1 0−1 0 24 −2 7


Skema Sarus






2 1 0−1 0 24 −2 7


Skema Sarus






2 1 0−1 0 24 −2 7


Determinan Matriks

Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n× n untukn > 3 ?

Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n× n untukn > 3?

DefinisiMisalkan A adalah matriks persegi. Minor entri aij dinotasikan denganMij yakni determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke-idan kolom ke-j dihapus dari matriks A. Bilangan (−1)i+jMij yangdinotasikan dengan Cij disebut entri kofaktor dari aij .


Determinan Matriks

Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n× n untukn > 3 ?Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n× n untukn > 3?



Determinan Matriks

Bagaimana mencari determinan matriks berukuran n× n untukn > 3 ?Bagaimana mencari adjoin dari matriks berukutan n× n untukn > 3?



Contoh

Misalkan

A =

3 1 42 5 61 4 8

Minor entri a11 adalah

3 1 4

2 5 6

1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣M11 =

5 6

4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= = 16

keterangan: Angka berwarna biru dihapus.

Kofaktor a11 adalah

C11 = (−1)1+1M11 = 16

Tentukan minor entri dan kofaktor untuk entri-entri lainnya?


Contoh

Misalkan

A =

3 1 42 5 61 4 8


3 1 4

2 5 6

1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣M11 =

5 6

4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= = 16

keterangan: Angka berwarna biru dihapus.Kofaktor a11 adalah

C11 = (−1)1+1M11 = 16



Contoh

Misalkan

A =

3 1 42 5 61 4 8


3 1 4

2 5 6

1 4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣M11 =

5 6

4 8

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= = 16

keterangan: Angka berwarna biru dihapus.Kofaktor a11 adalah

C11 = (−1)1+1M11 = 16



Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Ekspansi Kofaktor

Dengan menggunakan minor entri dan kofaktor kita dapat

menuliskan determinan dari matriks A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

yang

berukuran 3× 3 yaitu

det (A) = a11M11 − a12M12 + a12M13

= a11C11 + a12C12 + a13C13

Coba bandingkan dengan skema Sarus.Secara umum determinan dari matriks M berukuran n× n adalah

det (M) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n

Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertamamatriks M .Ekspansi kofaktor dapat juga dilakukan dengan memilih barisyang lain ( tidak harus baris pertama)


Ekspansi Kofaktor



a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

yang


det (A) = a11M11 − a12M12 + a12M13

= a11C11 + a12C12 + a13C13

Coba bandingkan dengan skema Sarus.

Secara umum determinan dari matriks M berukuran n× n adalah

det (M) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n



Ekspansi Kofaktor



a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

yang


det (A) = a11M11 − a12M12 + a12M13

= a11C11 + a12C12 + a13C13


det (M) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n

Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertamamatriks M .

Ekspansi kofaktor dapat juga dilakukan dengan memilih barisyang lain ( tidak harus baris pertama)


Ekspansi Kofaktor



a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

yang


det (A) = a11M11 − a12M12 + a12M13

= a11C11 + a12C12 + a13C13


det (M) = a11C11 + a12C12 + · · ·+ a1nC1n



Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin

DefinisiMisalkan A adalah matriks berukuran n× n dan Cij adalah kofaktordari aij . Matriks

C11 C12 . . . C1n

C21 C22 . . . C2n...

.... . .

...Cn1 Cn2 . . . Cnn

disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebutadjoin dari A dan dinotasikan oleh Adj(A).


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Aturan Cramer

TeoremaMisalkan Ax = b adalah sistem persamaan linear atas n persamaandan n variabel sedemikian sehingga det (A) 6= 0. Sistem Ax = bmempunyai solusi tunggal yaitu

x1 =det (A1)det (A) , x2 =

det (A2)det (A) , . . . , xn = det (An)

det (A)

dimana Aj adalah matriks yang didapat dari mengganti entri-entripada kolom ke j pada matriks A dengan matriks

b =

b1b2...bn


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


1 Tentukan nilai a, b, c dari kesamaan matriks berikut(a− b b+ c3d+ c 2a− 4d

)=

(8 17 6

)2 Misalkan

A =

3 −2 76 5 40 4 9

dan B =

6 −2 40 1 37 7 5

Tentukan

a. Baris pertama dari AB.b. Kolom ketiga dari AB.c. Baris ketiga dari AA.d. Kolom ketiga dari AA.


3. Misalkan A adalah matriks berukuran m× n dan 0 adalah matriksbarukuran m× n yang entri-entrinya nol. Tunjukkan jika kA = 0maka k = 0 atau A = 0.

4. Misalkan A dan B adalah sebarang matriks sedemikan sehinggaperkalian AB terdefinisi. Tunjukkan jika A mempunyai satu barisyang semua entrinya nol maka AB juga mempunyai baris nol.

5. Misalkan

A =

1 3 1 12 5 2 21 3 8 91 3 2 2

Tentukan A−1.


6. Gunakan Aturan Cramer untuk menyelesaikan SPL berikut

a. 7x1 − 2x2 = 33x1 + x2 = 5.

b.x1 − 3x2 + x3 = 42x1 − x2 = −24x1 −x3 = 0.

c.

−x1 − 4x2 + 2x3 + x4 = −322x1 − x2 + 7x3 + 9x4 = 14−x1 + x2 + 3x3 + x4 = 11x1 − x2 + x3 − 4x4 = −4.

7. Buktikan aturan Cramer.


Outline

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Transpos Matriks

4 Inverse Matriks


6 Aturan Cramer

7 Soal-soal Latihan

8 Referensi


Referensi

H. Anton, C. Rores. Elementary Linear Algebra 8th Edition,John Wiley and Sons, New York2000.


Matematika II: Matriks, Inverse, dan Determinan · PDF file5 Determinan Matriks Ekspansi Kofaktor Matriks Kofaktor dan Matriks Adjoin 6 Aturan Cramer 7 Soal-soal Latihan 8 Referensi

Documents