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BERNARDO ACEVEDO FRIAS OMAR EVELIO OSPINA ARTEAGA LUIS ALVARO SALAZAR SALAZAR MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
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MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Dec 30, 2016

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Page 1: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

BERNARDO ACEVEDO FRIAS

OMAR EVELIO OSPINA ARTEAGA

LUIS ALVARO SALAZAR SALAZAR

MATEMATICAS FUNDAMENTALES

PARA INGENIEROS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIASEDEMANIZALES

Page 2: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS
Page 3: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Indice general

1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS 11.1. TIPOS DE NUMEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1. Numeros Naturales (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Numeros Enteros (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3. Numeros Racionales (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4. Numeros Irracionales (Q∗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5. Numeros Reales (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BASICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.1. Propiedad Clausurativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.2. Propiedad Conmutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.3. Propiedad Asociativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4. Propiedad Modulativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5. Propiedad Invertiva para la suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.6. Propiedad Invertiva para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.7. Propiedad Distributiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.8. Otras Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1. Caso particular: base real y exponente natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2. Caso General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.4.1. Productos Notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.4.2. Factorizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.3. Racionalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4.4. Simplificacion de Expresiones Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO 352.1. PROPIEDADES DE ORDEN Y DESIGUALDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.1.1. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2. Otras propiedades de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2. VALOR ABSOLUTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.1. Propiedades del valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.2.2. Aplicaciones de las propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3. PLANO CARTESIANO Y N UMEROS COMPLEJOS 613.1. El PLANO CARTESIANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2. NUMEROS COMPLEJOS. (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.1. Construccion y Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.2. Representacion Grafica de Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.3. Valor Absoluto de Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

I

Page 4: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

II Indice general

3.2.4. Conjugado de Numeros Complejos y Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4. TEMAS ADICIONALES CON N UMEROS NATURALES 814.1. DOS SUMAS FINITAS IMPORTANTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2. SIMBOLO DE SUMATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.3. FACTORIAL (!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.4. NUMEROS COMBINATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.5. TEOREMA DEL BINOMIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6. INDUCCION MATEMATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5. GEOMETRIA ANAL ITICA 975.1. LINEA RECTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.1.1. Angulo entre dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2. LA CIRCUNFERENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1125.3. PARABOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.4. ELIPSE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.5. HIPERBOLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

6. FUNCIONES 1496.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1496.2. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1636.3. FUNCION COMPUESTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES 1717.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.2. ALGORITMO DE LA DIVISION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.3. TEOREMA DEL RESIDUO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747.4. TEOREMA DEL FACTOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.6. TEOREMA DE LAS RAICES RACIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.7. FUNCION CUADRATICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1807.8. FUNCIONES RACIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1847.9. DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

8. FUNCIONES TRIGONOM ETRICAS 1958.1. MEDIDA DE ANGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1958.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.2.1. Funcion Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2068.2.2. Funcion Cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2078.2.3. Funcion Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2088.2.4. Funcion Cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

8.3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2128.4. FUNCIONES INVERSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2188.5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

8.5.1. Inversa de Sen x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2238.5.2. Inversa de Cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.5.3. Inversa de Tan x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2268.5.4. Inversa de Cot x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2278.5.5. Inversa Sec x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288.5.6. Inversa de Csc x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

8.6. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2328.7. FORMA TRIGONOMETRICA DE NUMEROS COMPLEJOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

8.7.1. Representacion trigonometrica y teorema de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2398.7.2. Raıces de numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8.8. SOLUCION DE TRIANGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.8.1. Teorema del Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Page 5: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Indice general III

8.8.2. Teorema del Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGAR ITMICA 2559.1. FUNCION EXPONENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9.1.1. Caracterısticas de las funciones exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2569.1.2. El numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

9.2. FUNCION LOGARITMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2589.2.1. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2599.2.2. Ecuaciones con logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

9.3. ALGUNAS DESIGUALDADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2679.4. FUNCIONES HIPERBOLICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2719.5. FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

10. LIMITES Y CONTINUIDAD 27710.1. CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITES Y CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27710.2. DEFINICIONES DE LIMITES Y CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28210.3. LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28710.4. PROPIEDADES Y CALCULO DE ALGUNOS LIMITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29610.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

10.5.1. Continuidad de las funciones trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30410.5.2. Lımite trigonometrico basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30610.5.3. Funciones Exponenciales y Logarıtmicas (continuacion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30810.5.4. Continuidad de la Funcion Exponencial y Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31010.5.5. Lımites basicos para funciones exponencial y logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31110.5.6. Lımites de exponenciales generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

11. DERIVADAS 32111.1. INTRODUCCION AL CONCEPTO DE DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

11.1.1. Velocidad Instantanea: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32111.1.2. Pendiente de la recta tangente a una curva en un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

11.2. DEFINICION DE DERIVADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32711.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33311.4. DERIVADAS DE FUNCIONES EN FORMA PARAMETRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

11.4.1. Parametrizacion de curvas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35211.4.2. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

11.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35911.5.1. Aceleracion de una partıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35911.5.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

11.6. DERIVACION IMPLICITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36311.7. LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION EN UN PUNTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368

12. APLICACIONES DE LA DERIVADA 37112.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN LA CONSTRUCCION DE SUS GRAFICAS . . . . 371

12.1.1. Algunas caracterısticas de las graficas de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37112.1.2. Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 37412.1.3. Puntos donde se pueden presentar maximos y mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37512.1.4. Propiedades de funciones derivables en intervalos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . 37712.1.5. Criterio para determinar intervalos donde una funcion es creciente o decreciente . . . . . 37912.1.6. Criterio para determinar los intervalos donde la funcion f es concava o convexa . . . . . 38012.1.7. Criterio de la primera derivada para determinar maximos y mınimos relativos . . . . . . 38212.1.8. Criterio de la segunda derivada para determinar maximos y mınimos relativos . . . . . . 385

12.2. PROBLEMAS DE RECTAS TANGENTES Y RECTAS NORMALES . . . . . . . . . . . . . . 38712.3. PROBLEMAS DE VELOCIDAD Y ACELERACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38812.4. PROBLEMAS DE RAZON DE CAMBIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38912.5. PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39112.6. REGLA DE L’HOPITAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

Page 6: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

IV Indice general

A. INDUCCI ON MATEM ATICA 401

RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS 407

BIBLIOGRAFIA 433

Page 7: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

PRESENTACION

Este libro se ha escrito con el proposito de entregar a los estudiantes de primer semestre de las carreras deingenierıa de la Universidad Nacional de Colombia Sede Manizales, un texto que desarrolle, de acuerdo con losobjetivos, el programa de la asignatura Matematicas I.

Esta asignatura se dictara en el primer semestre del ano 2001 bajo la modalidad de “Curso Magistral”(gruposde mas de 100 estudiantes) para lo cual se requerira tener a disposicion de los estudiantes los contenidos delcurso como material bibliografico de primera mano. Los profesores Bernardo Acevedo y Omar Evelio Ospinahabıan escrito anos atras los libros “Numeros vectores y funciones” y “Limites y derivadas” en los cuales estanexpuestos la mayorıa de los temas del curso. Haciendo modificaciones a esos dos libros (cambios en la redacciony presentacion de algunos temas, adicion y supresion de temas, ademas de su presentacion) y procurando unaunidad logica en el desarrollo, los autores elaboraron este libro para que sirva tambien de material bibliograficobasico de los “Cursos Magistrales”.

Los temas se tratan en forma intuitiva respetando el rigor pero sin caer en el formalismo. Los conceptos seilustran con graficas y se explican con gran variedad de ejemplos. Despues de cada seccion se propone un buennumero de ejercicios para los estudiantes.

Los autores agradecen las opiniones y sugerencias que les han hecho conocer algunos de sus colegas conrespecto al curso y la forma como se debe hacer en el primer semestre; tambien agradecen las observaciones ycrıticas que en adelante tengan a bien hacer los profesores de matematicas sobre este texto.

Los autores

V

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Page 9: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 1NUMEROS Y EXPRESIONESALGEBRAICAS

INTRODUCCI ON

El objetivo fundamental de este primer curso de matematicas para los estudiantes de las carrerasde ingenierıa, es el estudio del calculo diferencial de funciones de numeros reales. El logro de esteobjetivo exige solidos conocimientos de los fundamentos delalgebra y teorıa de funciones de numerosreales, razon por la cual el primer capıtulo de este escrito se dedicara a hacer un juicioso repaso de losfundamentos delalgebra y numeros reales que los bachilleres trataron en sus cursos de secundaria.

1.1. TIPOS DE NUMEROS

1.1.1. Numeros Naturales(N)

Los numeros naturales son los que se emplean para contar : 1,2,3,4, . . .. De la construccion deeste conjunto se pueden apreciar que tiene un primer elemento, el uno(algunos autores consideran alcero como el primer numero natural); que cada elemento tiene un sucesor,(el sucesor del 1 es el 2, elsucesor del 30 es el 31, . . .), lo que implica que tiene infinitos elementos, no existe un numero mayore induce un orden natural entre ellos ası:

N = {1,2,3,4,5, . . .} donde 1< 2 < 3 < 4 < 5. . .

Aquı el sımbolo< se lee menor que.

Algunas Propiedades

Seana, b, c numeros naturales.

1. Propiedad Clausurativa. a+b y ab son numeros naturales.

2. Propiedad Conmutativa. a+b = b+a ab= ba

3. Propiedad Asociativa. (a+b)+c = a+(b+c) ; (ab)c = a(bc)

1

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2 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4. Propiedad Modulativa. a·1 = 1·a = a

5. Propiedad Distributiva. n(a+b) = na+nb.Llamando na= a+a+ . . .+a

︸ ︷︷ ︸n veces

; nb= b+b+ . . .+b︸ ︷︷ ︸

n vecesse tiene que: na+nb= n(a+b) ya quena+nb= a+a+ . . .+a

︸ ︷︷ ︸n veces

+b+b+ . . .+b︸ ︷︷ ︸

n veces

= (a+b)+(a+b)+ . . .+(a+b)︸ ︷︷ ︸

n veces

= n(a+b)

6. Llamando an = a·a·a· . . . ·a︸ ︷︷ ︸

n veces

se tiene que

i. an ·am = an+m, puesan ·am = a·a· . . . ·a

︸ ︷︷ ︸n veces

·a·a· . . . ·a︸ ︷︷ ︸

m veces

= a·a· . . . ·a·a· . . . ·a︸ ︷︷ ︸

n+m veces

= an+m

ii. (ab)n = anbn ya que(ab)n = ab·ab· . . . ·ab

︸ ︷︷ ︸n veces

= a·a· . . . ·a︸ ︷︷ ︸

n veces

·b·b· . . . ·b︸ ︷︷ ︸

n veces

= anbn

iii. (an)m = anm ya que(an)m= an ·an · . . . ·an

︸ ︷︷ ︸m veces

= a·a·a· . . . ·a︸ ︷︷ ︸

n veces

·a·a·a· . . .a︸ ︷︷ ︸

n veces

· . . . ·a·a·a· . . . ·a︸ ︷︷ ︸

n veces︸ ︷︷ ︸

m veces

= a·a· . . . ·a︸ ︷︷ ︸

nm veces

= anm

EJERCICIOS

1. ¿Es el cociente de dos numeros naturales un numero natural?

2. ¿Todo subconjunto de numeros naturales tiene un primer elemento, unultimo elemento?

3. ConsidereA = {1, 2, 3, 4, 5}, de todos los subconjuntos deA.

4. Seanb y d dos numeros naturales, si existe un numeroc natural tal queb = dc , entonces sedice qued es un factor o divisor deb, por ejemplo 10= 1·2·5 luego 1, 2 y 5 son divisoresde 10.Hallar todos los divisores de 2,35,40,75,90,240.

5. Un numero natural es primo, si losunicos divisores son el mismo numero y la unidad, porejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13.(El numero 1 no se considera primo).

i. Cuales son los primeros 20 numeros primos?

ii. Escribir 35, 64, 100, 246 como producto de numeros primos.

iii. ¿Es la suma, producto, cociente de dos numeros primos, un numero primo?

Representacion Grafica de los Numeros Naturales.

A los numeros naturales los representamos mediante puntos sobre una semirrecta que inicia con elnumero 1 y a su derecha se van colocando los correspondientes sucesores de cada numero separadospor la misma distancia como se observa en la figura.

Page 11: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.1. TIPOS DE NUMEROS 3

1 2 3 4 5

1.1.2. Numeros Enteros(Z)

Si con los numeros naturales se quieren representar la altura en metros sobre el nivel del mar(altitud), se necesita un numero para representar la situacion cuando se esta a nivel del mar, estenumero se llama cero(0) y en general va a representar ausencia de la cantidad que se esta consideran-do.Pero es necesario tambien introducir numeros que representan la situacion cuando se esta bajo el niveldel mar, en este caso cuando se esta an metros bajo el nivel del mar se dice que la altitud es de menosn metros. De esto resulta que para cada numero naturaln existe un numero menosn (que se simbolizapor (−n)). Ası el numero 5 representara cinco metros sobre el nivel del mar y−5 representarıa cincometros bajo el nivel del mar, de esta forma el numero−5 representa mas altitud que el numero−7,luego el orden de estos numeros sera

. . .−7 < −6 < −5 < −4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4. . .

y por consiguiente se pueden representar graficamente en una recta donde a la derecha del cero estanlos naturales y a la izquierda los numeros negativos definidos como se ilustra en la figura siguiente

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Es claro que si un numero esta a la derecha de otro, sera mas grande queel . Este conjunto numericose llama el conjunto de los numeros enteros y se utiliza para describir situaciones fısicas y practicas,y se nota por

Z :

Z ={. . . ,−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}

NOTA:

Recuerde que en la suma y producto de numeros enteros es necesario tener en cuenta los signos delos numeros ası:

Page 12: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

4 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

(3) + (−5) = −2

(6) + (−4) = 2

(7) + (−7) = 0

(2)(3) = 6

(−2)(4) = −8

(−3)(−5) = 15

Algunas Propiedades

Seana, b, c numeros enteros entonces

1. Propiedad Clausurativa.a+b, a·b son numeros enteros

2. Propiedad Conmutativa. a+b = b+a ; ab= ba

3. Propiedad Asociativa. (a+b)+c = a+(b+c) ; (ab)c = a(bc)

4. Elementos Neutros.El numero entero 0 satisface quea+0 = 0+a = a para todoa enZ.El numero entero 1 satisface quea·1 = 1·a = a para todoa enZ.

5. Existencia de Opuestos. Para todoa enZ existe−a∈ Z, tal que a+(−a) = (−a)+a = 0

6. Propiedad cancelativa., Sia+c = b+c entonces a = bSi ab= ac entonces b = c si a 6= 0

7. Propiedad distributiva. a(b+c) = ab+ac

EJERCICIOS

1. ¿ Es la resta, division de enteros un entero?

2. Todo subconjunto de numeros enteros tiene un primer elemento?

3. Un numero entero se dice par, si es de la forma 2k para algun enterok y es impar si es de laforma 2k+1 para algun enterok.Demuestre que:

i. La suma y producto de 2 enteros pares es par.

ii. La suma de 2 enteros impares es par.

iii. a2 es par si y solo sı a es par ya2 es impar si y solo sı a es impar.

iv. si a es multiplo de 3 entoncesa2 es multiplo de 3.

4. Revise los conocimientos de divisibilidad, maximo comun divisor, mınimo comun multiplo, yprimos relativos.

Page 13: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.1. TIPOS DE NUMEROS 5

1.1.3. Numeros Racionales(Q)

En las actividades del hombre, una necesidad ademas de contar objetos, es medirlos; por ejemplo,establecer que tamano (medida) tiene una cuerda o determinar que cantidad(medida) de agua tieneuna cubeta, etc. Es evidente que para dar solucion a cualquiera de estos problemas es necesario partirde un patron, por ejemplo un metro para la longitud de la cuerda o un litro para la cantidad de aguaen la cubeta. Una vez determinado este patron se establecera cuantos de estos patrones caben en elobjeto a medir y es claro que generalmente el numero de veces que este patron cabe en dicho objetono sera siempre exacto, sobrara en algunos casos una parte que no alcanza a medir un metro o un litro,sino una fraccion deel; es decir, se hace necesario recurrir a numeros no enteros que representen unaparte de un entero, estos numeros junto con los enteros se llaman numeros racionales(Q).Los numeros racionales se representan en la formap/q, con p y q enteros yq 6= 0, donde sip y qson positivos,q indica el numero de partes en que se partio la unidad(patron) y p el numero de estospedazos que se estan tomando.Por ejemplo el numero 1/2 indica que el patron o unidad se dividio en dos partes(denominador)y de ella se tomo una(numerador); el numero 7/3 indica que la unidad se dividio en tres pedazos(denominador) y se tomaron siete pedazos con ese tamano (numerador).Ası:

Q = {p/q | p, q∈ Z, q 6= 0}Con el objeto de caracterizar de otra forma los numeros Racionales, se analizara el cociente que resultade efectuar la division entre el numerador y el denominador observando los siguientes ejemplos:

i.602125

= 4,81600. . . ii.13

= 0,333. . .

iii.33899

= 3,41414141. . . iv.45112

= 37,58333. . .

v.17

= 0,142857142857142857. . .

Se puede apreciar, que a partir de algun numero despues de la coma (parte decimal), se empieza arepetir indefinidamente un bloque de numeros: El cero en el primer ejemplo; el 3 en el segundo; el 41en el tercero, el 3 en el cuarto y el 142857 en el quinto. Lo anterior sucedera siempre que se realice ladivision entre el numerador y el denominador de un numero racional. A estos bloques de numeros quese repiten se llama la parte periodica del numero racional y se dice que un numero racional siempretiene una representacion decimal periodica.Recıprocamente, siempre que se tenga una representacion decimal periodica,esta representa un numeroracional, es decir, se puede expresar de la formap/q, con p,q ∈ Z y q 6= 0. En una representacionde-cimal, despues de la parte entera puede figurar una coma o un punto con el mismo significado.El proceso para conseguir esta representacion es un poco artificioso y se ilustrara con el siguienteejemplo:Seaa = 32.273535. . . una representacion decimal periodica dada.Primero se cuentan los dıgitos que aparecen en la parte decimal hasta donde termina la primera parteperiodica, en este caso cuatro, y se toma el numero 104a= 322735,3535. . . , luego se toma el numeroa multiplicado por 10 elevado a la potencia que indique el numero de dıgitos que hay en la parte deci-

Page 14: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

mal antes de empezar el bloque periodico, en este caso 2. Porultimo se hace la diferencia entre estosdos resultados ası:

104 a = 322735,3535. . .102 a = 3227,3535. . .104 a−102 a = 319508

Luegoa(104 − 102

)= 319508 , ası que

a =319508

104 − 102 =3195089900

que es un numero de la formap/q, con p,q ∈ Z, q 6= 0

El lector ya se encuentra familiarizado con las operaciones entre numeros racionales y recordara quela suma, la diferencia y el producto de dos numeros racionales es un numero racional y que el cocientede dos numeros racionales es un numero racional siempre y cuando el numero racional por el que sedivide no sea cero.Por lo tanto siα y β son dos numeros racionales distintos, conα < β , el numero(α + β )/2 es tam-bien otro numero racional y ademas se encuentra entre ellos, es decirα < (α + β )/2 < β , pues enefecto: comoα < β , si se sumaα a los dos lados de la desigualdad se tiene queα +α < β + α , esdecir, 2α < β + α , y ası α < (α + β )/2; en forma analoga si se sumaβ se tiene queα + β < 2β ,

luego(α + β )/2 < β ; por lo tantoα <α +β

2< β . Esto demuestra queentre dos numeros racionales

dados, siempre habra otro numero racional.Ademas aplicando este resultado sucesivamente entre el numero racional hallado y uno de los numerosracionales dados, se puede concluir queentre dos numeros racionales, no importa que tan cerca este eluno del otro, hay infinitos numeros racionales.Esto lleva a afirmar que los numeros racionales se en-cuentran suficientemente “amontonados”. Cabe entonces la pregunta ¿llenaran los numeros racionalescompletamente la recta?Recuerde como se suman y se multiplican numeros racionales, tenga en cuenta las situaciones siguien-tes cona, b, c, d enteros

1.ab

+cb

=a+c

b; a,b,c, enteros, b 6= 0

2.ab

+cd

=ad+bc

bd; b,d 6= 0

3.ab

+c =ab

+c1

=a+bc

b; b 6= 0

4.ab· bc

=abbc

5.ab·c =

acb

6.ab÷ c

d=

adbc

Page 15: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.1. TIPOS DE NUMEROS 7

7.ab÷ c

1=

abc

8. c÷ ab

=cba

Algunas Propiedades

1. Propiedad Clausurativaab

+cd

es un numero racional

2. Propiedad Conmutativaab

+cd

=cd

+ab

;ab· cd

=cd· ab

3. Propiedad Asociativa(a

b+

cd

)

+(m

n

)

=ab

+( c

d+

mn

)

(ab· cd

)(mn

)

=(a

b

)( cd· m

n

)

4. Elemento Neutro.El numero racional 0 satisface que 0+

ab

=ab

El numero racional 1 satisface que 1· ab

=ab

5. Propiedad invertivapara cada numero racionala/b se tiene que

(ab

)

+(

−ab

)

=(

−ab

)

+(a

b

)

= 0 ;ab· ba

=ba· ab

= 1

6. Propiedad distributivaab

( cd

+mn

)

=ab· cd

+ab· m

n

EJERCICIOS

1. Expresar en forma decimal periodica los siguientes numeros racionales.

i. 2/3 ii. 5/4 iii. 8/3 iv. 209/700 v. 1/23

2. Expresar en la formap/q las siguientes expresiones decimales periodicas.

i. 2,345345. . . ii. 13,023491491. . . iii. 0 .285714285714. . .

3. Si p y q son numeros enteros conp > q, q 6= 0,

¿Como hallarıa numeros enterosr,s tales quep = sq+ r o p/q = s+ r/q. Ilustrarlo conun ejemplo.

4. ¿Que significa que un numero racional de la formap/q sea irreducible? Ilustrar con ejemplos.

Page 16: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

5. Escribir en la forma irreducible los numeros240330

,315985

,1020235

6. Mostrar que el entero 2 se puede escribir en la formaa/d, enteros,d 6= 0, de infinitas formas.

7. Halle un numero racional entre cada una de las parejas siguientes:

i.35

,74

ii.910

,1110

iii.35

,45

8. Dado un numero racionalα , ¿Puede encontrar un numero racional que sea inmediatamenteanterior deα? Que sea el siguiente deα?

1.1.4. Numeros Irracionales(Q∗)

No siempre que se hace una medida, el resultado de ello es un numero racional, por ejemplo, sise trata de medir la hipotenusa de un triangulo rectangulo cuyos dos catetos miden uno, de acuerdoal Teorema de Pitagoras,esta medida sera

√2 y como se demostrara a continuacion,

√2 no es un

numero racional.

La demostracion de este hecho se hizo originalmente por medio del metodo de demostracion cono-cido comodemostracion por el absurdo, el cual consiste en asumir que lo que se va a demostrar no escierto, en este caso que

√2 es racional, y llegar a una situacion absurda como conclusion.

Ası al suponer que√

2 es racional entonces√

2 = p/q, que siempre se puede tomar en su formairreducible(p/q es irreducible, sip y q no tienen divisores comunes), si se elevan al cuadrado ambosterminos de la igualdad

√2 = p/q, se tiene que, 2= p2/q2 y de esto se tiene que 2q2 = p2, lo que

implica quep2 es par(por que?), de donde se deduce quep es par(por que?), es decirp = 2k paraalgun k natural. Ası quep2 = (2k)2 = 4k2 = 2q2, (puesp2 = 2q2 ) luego 2k2 = q2, lo que indicaqueq2 es par, por tantoq es par. Es decir tantop comoq son numeros pares, lo que implica que tienenal 2 como divisor comun, conclusion absurda, pues se supuso al comienzo quep/q era irreducible.Por tanto

√2 no puede ser racional.

Pero no es solamente√

2, sino tambien es posible demostrar que existen otros numeros que no sonracionales, por ejemplo

√3,

√5,

√2 +

√3, 3

√2, π, π/2, entre otros.

A estos numeros que no son racionales, se les llamaNumeros Irracionales, al conjunto de estosnumeros se les notara conQ∗ y se caracterizan porque su representacion decimal no es periodica,por ejemplo:

√2 = 1,414213562. . . π = 3,141592654. . .

6,25225222522225. . . 3,010203040506070809010011012. . .

numeros que por mas que se presenten con muchas cifras decimales,estas nunca se repetiran enforma periodica.De igual forma que los numeros racionales, los numeros irracionales se encuentran tambien amon-tonados, en el sentido de que entre dos numeros irracionales cualesquiera existen infinitos numerosirracionales. Tambien es posible demostrar que entre dos numeros irracionales hay infinitos numerosracionales y entre dos numeros racionales existen infinitos numeros irracionales.Estoultimo responde la pregunta que se dejo al terminar el tratamiento de los numeros racionales en el

Page 17: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.2. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BASICAS 9

sentido de que los numeros racionales no llenan completamente la recta, pues los numeros irracionalestambien ocupan espacios en esta recta. Lo que sı se puede afirmar ahora es que los numeros racionales(Q) e irracionales(Q∗) la llenan completamente. El conjunto formado por la reunion de estos dosconjuntosQ y Q∗ se llama el conjunto de losNumeros Reales(R) y la recta que llenan se conocecomorecta real, o sea que a cada punto de la recta real corresponde un numero real, y recıprocamentecada numero real ocupa un puesto en dicha recta.

Ası: R = Q∪Q∗

Q∗ = R−Q

Q∗ = {α ∈ R|α no tiene representacion decimal periodica}.

EJERCICIOS

1. De ejemplos de numeros irracionales.

2. ¿Es la suma, resta, multiplicacion y division de numeros irracionales un numero irracional?

3. Dado un numero irracionalα , ¿Puede existir un numero irracional que sea el siguiente deα?

4. ¿Que clase de numero es la suma de un numero racional con uno irracional?

1.1.5. Numeros Reales(R)

Ya definido este conjunto numericoR = Q∪Q ∗, es importante resaltar la necesidad de manipularlocorrectamente, no solo adquiriendo habilidad en su operatividad, sino asimilando las propiedades quelo caracterizan con todo los detalles que se desprenden de ellas, pues estos numeros constituyen labase de la llamada “matematica continua” a la cual se dedicara la mayor parte de esta asignatura y delas demas de matematicas que posteriormente cursaran en su carrera.Es por todos conocido desde los estudios basicos de Matematicas la manera como estos numerospueden relacionarse entre sı mediante las operaciones basicas, suma, resta, multiplicacion y division,y las operaciones de potenciacion y radicacion, pero resulta necesario destacar algunos detalles deellas que permitan un mejor conocimiento de la estructura de estos numeros.

1.2. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BASICAS

1.2.1. Propiedad Clausurativa

La suma y el producto de numeros Reales siempre da como resultado un numero real.Es claro que la resta y el cociente(salvo una situacion particular) de numeros reales tambien da unnumero real, pero estas dos operaciones como se podra apreciar mas adelante en las propiedades 1.2.5y 1.2.6 se consideran como casos particulares de la suma y el producto respectivamente, razon por lacual no se hara mencion de ellas por separado.

Page 18: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.2.2. Propiedad Conmutativa

El orden en que se suman o multiplican dos numeros reales no afecta el resultado. Es decir sia, bson numeros reales:

a + b = b + a y ab= ba

1.2.3. Propiedad Asociativa

Dados tres o mas numeros reales, para sumarlos o multiplicarlos, se pueden asociar en grupos dedos como se desee y el resultado no cambia, es decir sia,b,c son numeros reales.

(a + b) + c = a + (b + c) y a· (b·c) = (a·b) ·cdonde con el parentesis se indica que primero se realizan las operaciones allı planteadas y en su lugarse coloca el resultado.

1.2.4. Propiedad Modulativa

Esta propiedad para el caso de la suma expresa simplemente el conocido hecho que si a un numerose le suma el cero este numero no varıa, es decir no se le esta adicionando nada nuevo. Lo que indicaque el cero es un numero real especial llamadomoduloo elemento neutropara la suma que satisface,que para todo numero reala

a + 0 = a y 0 + a = a

Para el caso de la multiplicacion recuerdese que al multiplicar un numero realb por un numeronaturaln su resultadonb representa la suma de “n veces” el numerob. Por tanto si se multiplica unnumero realb por 1 su resultado es considerar la suma del numerob una sola vez, lo que nos da elmismob. Esto indica que el uno es un numero real especial que no afecta a cualquier numero que semultiplique porel. El “1” es llamadomodulo o elemento neutro para el producto, y satisface que paratodo numero realb:

b·1 = b y 1·b = b

1.2.5. Propiedad Invertiva para la suma

Del concepto de resta de numeros reales resulta claro quea − a = 0. Esto se puede representarcomo la suma de dos numeros reales, el numeroa y el numero(−a), y se puede expresar diciendoque dado un numero reala siempre existira otro numero real notado(−a) tal que:

a + (−a) = 0 y (−a) + a = 0

A ese numero(−a) se le llamael inverso aditivo de a.Esta propiedad permite que en general la restade numeros reales se pueda considerar como una suma, ya que si se tienea − b esto es equivalente aa + (−b), siendo(−b) el inverso aditivo deb.Observese que el inverso aditivo de 5 es−5 , y que el inverso aditivo de−3 es− (−3) = 3, o sea queel inverso aditivo de un numero positivo es negativo, y el de un negativo es positivo. Por tanto sib esun numero real(no se sabe si positivo, negativo o cero), −b no necesariamente es negativo, pues losera cuandob es positivo, pero−b sera positivo sib es negativo, y sera cero sı b = 0.

Page 19: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.2. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BASICAS 11

1.2.6. Propiedad Invertiva para el producto

Antes de enunciar la propiedad invertiva para el producto es necesario aclarar algunos aspectossobre division de numeros reales.Del concepto de producto de numeros naturales se desprende que sin es un numero natural(0 · n)tendrıa que ser igual a cero, ya que esta expresion representarıa sumarn veces el numero cero, lo quedarıa cero.Generalizando a numeros reales se tiene que sib es un numero real cualquiera.

b·0 = 0 y 0·b = 0

Por otro lado la definicion de cociente o division de dos numeros reales expresa que,a/b = c equivale a decir quea = cb con la salvedad de queb 6= 0, pues en el caso en queb = 0 ya 6= 0, a/0 = c ⇔ a = 0·c lo que resulta absurdo de acuerdo a lo que se acaba de plantearAhora sib = 0 y a = 0 entonces 0/0 = c equivale a decir que 0= 0 · c lo cual es correcto, pero eseultimo resultado se puede obtener para cualquier valor real dec lo que implicarıa que 0/0 es igual acualquier numero real, que no es precisamente lo que se espera cuando se define una operacion entredos numeros, pues es imperativo que el resultado seaunico.En resumen la division de cualquier numero real entre cero no existe; pero “0” si puede ser divididopor cualquier numero real diferente de “0” y su resultado es cero, ya que parac 6= 0

0/c = 0 equivale a 0= 0 · c, por consiguientea/0 no existe para cualquiera real y 0/c = 0para todoc 6= 0.

De este concepto de division resulta obvio que sic es un numero realc 6= 0 entoncesc/c = 1, puesesto es equivalente a decir quec = 1·c que se tiene por ser “1” el modulo para el producto.La propiedad invertiva para el producto afirma que para todo numero reala 6= 0 existe otro numeroreal notadoa−1 que satisface:

a·a−1 = 1 y a−1 ·a = 1

este numeroa−1 se llamainverso multiplicativo de a.Usualmente la expresion a ·b−1 = c se representa pora/b = c puesa/b = c equivale aa = cbes decira (1/b) = c equivale aa = cb.Y por otro lado a.b−1 = c equivale aa ·b−1b = cb lo que equivalea1 = cb que es equivalente aa = cb

Esto indica que el numero b−1 es el mismo numero 1/b y que la division de dos numeros realesa/b con b 6= 0 se puede considerar como la multiplicacion dea por b−1 o seaa/b = a(1/b) = ab−1

si b 6= 0

Page 20: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.2.7. Propiedad Distributiva

De acuerdo al concepto de producto de un numero natural por un numero real, sia,b son reales ynes natural entonces

na=a + a + . . . + a n veces

nb=b + b + . . . + b n veces

na+nb=(a + a + . . . + a)︸ ︷︷ ︸

nveces

+ (b + b + . . . + b)︸ ︷︷ ︸

nveces

=(a + b) + (a + b) + (a + b) + . . . + (a + b) (n veces)

=n (a + b)

Es decirn (a + b) = na+ nb

Al generalizar esta propiedad si se considera en lugar den cualquier numero real se tiene la llamadapropiedad distributiva del producto respecto a la suma, de gran utilidad enprocesos de factorizacionque se trataran mas adelante.

Si a,b,c son numeros reales entonces.

c (a + b) = ca+ cb

1.2.8. Otras Propiedades

Las propiedades 1.2.1 a 1.2.7 son consideradas las propiedades fundamentales de los numerosreales relacionadas con las operaciones elementales, (estas propiedades se conocen con el nombre de“axio-mas de cuerpo de los numeros reales”) debido a que cualquier otra propiedad de los reales quetenga que ver con relaciones entre ellos a traves de estas operaciones, es necesariamente deducible delas propiedades iniciales.A manera de ejemplo se ilustraran algunos resultados cuya frecuente aplicacion amerita resaltarlos:

Propiedad Cancelativa

Para la suma: Si a + b = c + b entoncesa = c

En efecto si a los dos lados de la igualdada + b = c + b se suma el numero real(−b) (inversoaditivo deb) se tiene que.

(a+b)+(−b) =(c+b)+(−b)

a+(b+(−b)) =c+(b+(−b))

a+0 =c+0

a =c

Para el producto: Si ab = cb y b 6= 0 entoncesa = c

Page 21: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.2. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BASICAS 13

En este caso los dos lados de la igualdad se multiplican porb−1 (el inverso multiplicativo deb) yası:

(ab)(b−1)=(cb)

(b−1)

a(bb−1)=c

(bb−1)

a1 =c1

a =c

Propiedad Involutiva

Del concepto de inversos aditivos y multiplicativos resulta obvio que:

− (−a) = a y(a−1)−1

= a si a 6= 0

Inverso de productos

Las conocidas como “reglas de los signos” que establecen que el producto de dos numeros negativoses positivo y que el producto de un negativo por un positivo es negativo son deducibles tambien deestas propiedades iniciales.

i. (−a) (b) = − (a·b)

tomando(−a) (b) + (a·b) = (−a + a) ·b = 0·b = 0

entonces(−a) (b) + a·b = 0 de donde sumando− (ab) a ambos lados se tiene:

(−a)(b)+a·b+(−(a·b)) = −(a·b)

(−a)(b)+0 = −(a·b)

(−a)(b) = −(a·b)

ii. (−a) (−b) = a·bEn forma analoga, como

(−a)(−b)+(−(a·b)) = (−a)(−b)+(−a)(b) pues − (ab) = (−a)(b)

= −a(−b+b)

= −a0

= 0

entonces(−a) (−b) + (− (a·b)) = 0 de donde sumandoab a ambos lados se tiene:

(−a)(−b)+−(a.b)+(a·b) = a·b(−a)(−b)+0 = a·b

(−a)(−b) = a·b

De lo anterior se deduce quea2 ≥ 0 para todoa (por que?)Para el caso del producto se tiene:

Page 22: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

14 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

iii. (a·b)−1 = a−1b−1

En efecto

(a−1b−1)(a·b) = (b−1a−1)(a·b)

= b−1(a−1a)b

= b−11b

= b−1b

= 1

entonces(a−1b−1

)(a·b) = 1 de donde multiplicando por(ab)−1 a ambos lados se tiene:

(a−1b−1)(a·b)(a·b)−1 = (a·b)−1

(a−1b−1)[(a·b)(a·b)−1]= (a·b)−1

(a−1b−1)(1) = (a·b)−1

a−1b−1 = (a·b)−1

No existencia de divisores de cero

Si a·b = 0 entonces a = 0 o b = 0

Esta propiedad establece que siempre que aparezca el producto de doso mas numeros reales iguala cero necesariamente alguno de ellos debe ser igual a cero.En otras palabras el producto de solo numeros diferentes de cero nunca puede dar cero.

En efecto

Sea a·b = 0 y suponga que b 6= 0,

Entonces existeb−1, por tanto

(a·b)(b−1) = 0b−1

a(b·b−1) = 0

a1 = 0 por tanto a = 0

Lo que concluye que sib 6= 0 entoncesa= 0 y analogamente si se supone quea 6= 0 se concluira queb = 0.

Page 23: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.2. PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BASICAS 15

Inversos de sumas

El inverso aditivo de una suma de numeros reales es la suma de sus correspondientes inversosaditivos, es decir: Sia, b son numeros reales

− (a + b) = (−a) + (−b) = − a− b

pues (−a) + (−b) + (a + b) = (−a + a) + (−b + b)

= 0 + 0 = 0

entonces (−a) + (−b) + (a + b) = 0 luego

(−a) + (−b) + (a + b) − (a + b) = − (a + b)

(−a) + (−b) + [(a + b) − (a + b)] = − (a + b)

(−a) + (−b) + 0 = − (a + b)

(−a) + (−b) = − (a + b)

Vale la pena tener en cuenta que esta propiedad no se satisface para el producto, en el sentido deque no es cierto que(a + b)−1 = a−1 + b−1 es decir:

(a + b)−1 6= a−1 + b−1

pues por ejemplo sia = 1 y b = 2

(a + b)−1 = (1 + 2)−1 = (3)−1 = 1/3 pero por otro lado

a−1 + b−1 = 1−1 + 2−1 = 1 + 1/2 = 3/2

que son diferentes.

EJERCICIOS

1. Hallar el valor dex tal que;

a) 2x = 6

b) 2x + 7 = 8x − 10

c) 5x +24

x = 30− 2x

d)x − 1

2+

2x − 34

=6x + 2

3e)

√7x −

√5 =

√3x

f )x2

+12

(x + 5) = 6

g)9 (x − 2)

4− 7 (x − 1)

3= 6x + 1

2. Ilustrar con ejemplos todas las propiedades de las operaciones de numeros reales.

3. Cual es el inverso multiplicativo y el inverso aditivo de cada uno de los siguientes numeros.

2, 3/4, 1/√

2, 0, −√

7, 2√

3,√

2+√

5

Page 24: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

16 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4. Es verdadera alguna de las siguientes propiedades:

a÷ (b + c) = (a÷ b) + (a÷ c)

(a + b) ÷ c = (a÷ c) + (b ÷ c)

5. Efectuar la operacion indicada

a) −2 (3 (4− 2) + 6) + 5 (−2 (−3 + 8) + 9)

b) −6 (3 (7 + 6) − 4 (3 − 8)) − 4 ((7− 5) 2− 16)

c) 25− 12− 3 + 16− 10 (depende del orden que se efectuen?)

d) 120÷ 4÷ 6÷ 5 (depende del orden en que se efectuen?)

e) 26− (3) (5) + 7 + (4) (6) (depende del orden en que se efectuen?)

6. − ab

es igual a:

i.−ab

?

ii.a−b

?

iii.−a−b

?

Explique la respuesta.

7. Justificar la igualdad:

i.

(bcd

)

= b(ac

d

)

ii.abcd

=1d

(abc

)

iii.a

a+b= 1+

ab

iv.a+b−c

= −ac

+b−a

v.−ab

c= −a

c(b)

vi.−ab

c=

(−ac

)(

−bc

)

−abc

=ac−(

bc

)

= (−ab)

(1c

)

= (ab)

(

−1c

)

Page 25: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES 17

8. Simplificar

a) − (a− (−a + (a− b) − (−b + a) − 3 (−a− b)))

b) (−x+y)−{4x+2y+[−x−y− (x+y)]}c) x2−

{−7xy+

[−y2 +

(−x2 +3xy−2y2

)]}

d) −[x+{−(x+y)− [−x+(y−z)− (−x+y)]−y}]e) −[−a+{−a+(a−b)− (a−b+c)− [−(−a)+b]}]

1.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES

1.3.1. Caso particular: base real y exponente natural

Si a∈ R y n∈ N se define an como:

an = a·a . . . a (n veces)

ası (−2)3 = (−2) (−2) (−2) = −8

(3/7)5 = (3/7) (3/7) (3/7) (3/7) (3/7) = 243/16807

Propiedades

a) anam = an+m

pues anam = a. . .a︸ ︷︷ ︸nveces

a. . .a︸ ︷︷ ︸mveces

= a. . .a︸ ︷︷ ︸

(n+m)veces

= an+m

ası 38315 = 323 (2/7)4 (2/7)6 = (2/7)10 (√7)5 (√

7)21

=(√

7)26

b) (a·b) n = anbn

pues (ab)n = (ab) (ab) . . . (ab)︸ ︷︷ ︸

n veces

= a·a. . .a︸ ︷︷ ︸

nveces

b·b. . .b︸ ︷︷ ︸

nveces

= anbn

ası [(3) (7/5)]4 = (3)4 (7/5)4 [(−2/3) (π/11)] 21 = (−2/3)21 (π/11)21

c) (a/c)n = an/cn si c 6= 0

se obtiene de (b) parab = 1/c

Ası (7/3)11 =711/311

(−2/5)7 =(−1)7 27/57 = (−2)7/57 = 27/(−5)7

Page 26: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

18 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

d) (an) m = a nm

pues (an)m = an ·an . . .an︸ ︷︷ ︸

mveces

= (a·a. . .a)︸ ︷︷ ︸

nveces

(a.a. . .a)︸ ︷︷ ︸

nveces

. . . (a·a. . .a)︸ ︷︷ ︸

nveces︸ ︷︷ ︸

mveces

= a·a. . .a︸ ︷︷ ︸n·mveces

= an m

ası

[(

3√

2)2]3

=(

3√

2)6

([

− 3

53√

2 + π

]3)8

=

(

− 3

53√

2 + π

)24

1.3.2. Caso General

Si se pretende trabajar conab siendoa y b numeros reales, no se puede decir simplemente queab = a. . .a (b veces), pues si esteb es por ejemplo el numero 3/4 o

√2 o 0.375291, no tiene el mis-

mo sentido decir quea se repite ese numerob de veces, que cuando eseb es un numero natural.

La definicion deab paraa y b reales se hara mas adelante, pues para concretarla se requiere deconocimientos no adquiridos todavıa. Sin embargo en el trabajo que se pretende hacer conalgebra,apareceran con cierta frecuencia expresiones de este tipo. Para manipularlas se debe asumir que laspropiedades planteadas para el caso particular,a numero real yn numero natural, se satisfacen para elcaso general, ası no se asimile aun el significado total de estas expresiones. Aceptando este hecho esposible dar interpretacion para otros casos particulares:

a) a−n = 1/an si n es naturalpues a−n = a(−1)(n) =

(a−1)n

= (1/a)n = (1/a) (1/a) . . . (1/a)︸ ︷︷ ︸

nveces

= 1/an

ası 3−7 = 1/37;(

− 2/√

5)−3

= 1

/(

−2/√

5)3

b) Asumiendo esta interpretacion paraa−n se puede generalizar la propiedad(a) del caso particulardado anteriormente ası:

(an/am) = an−m

si n,mson numeros naturalesa cualquier real a 6= 0

pues(an/

am)

= an · 1/

am = ana−m = an−m

ası 27/

25 = 27−5 = 22 ; (−2)2/

(−2)6 = (−2)2−6 = (−2)−4

c) a0 = 1 para todo a 6= 0

pues 1= an/

an = an−n = a0

ası 70 = 1 (−8)0 = 1 (π)0 = 1

Page 27: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.3. PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES Y RADICALES 19

d) a1/n = n√

apara a> 0 sin es par y para todoa∈ R si n impar.Para comprender esta propiedad es necesario resaltar algunos aspectos relacionados con el con-cepto de raız n−esima de un numero real.Se ha definido y = n

√x si y solo si yn = x

ası 4 =3√

64 pues 43 = 64

−2 = 5√−32 pues (−2)5 = −32

Observe que por ejemplo, como 22 = 4 y (−2)2 = 4 entonces 2 y – 2 son raıces cuadradas de4.Si se quiere hacer referencia a las dos raıces se nota±

√4; si es solamente a la raız 2 se escribe√

4 o +√

4 y si es a la raız−2 se nota−√

4De esta definicion se puede apreciar que sia es un numero negativo, por ejemploa = −9 en-tonces si

√−9 = b se tiene queb2 = −9, lo cual es un absurdo pues todo numero elevado al

cuadrado debe ser mayor o igual a cero. (ver propiedad de los numeros reales). Lo mismo sucedepor ejemplo si se trata de hallar la raız cuarta de−13, 4

√−13 = c equivale a c4 = −13, lo

que es absurdo puesc4 ≥ 0 para todoc.De este hecho se concluye que el calculo de raıcesn – esimas conn un numero par deba re-stringirse al caso en que la cantidad subradical sea positiva es decir:Si n es par n

√a tiene sentido si y solo sia≥ 0

Observese que paran impar no se presenta este inconveniente, por tanto√

a tiene sentido paratodoa si n impar.Volviendo a la propiedada1/n = n

√a, por lo dicho anteriormente, esta interpretacion solo ten-

dra sentido para valores dea> 0 en el caso quen sea par y lo tendra para todoa∈ R si n impar.Esta interpretacion surge de la definicion de n

√a, pues

a = a1 = an/n =(a1/n

)n

peroa = αn equivale a decirn√

a = αluego paraα = a1/n

a = (a1/n)n equivale a decirn√

a = a1/n

ası por ejemplo(−3)1/7 = 7

√− 3 (−32)1/4 no tiene sentido.

(2527)1/4 = 4√

2527

e) am/n = n√

am = ( n√

a)m

paraa > 0, sin es par y para todoa∈ R si n es impar, en efectoam/n = a(1/n).m. =

(a1/n

)m= ( n

√a)

m o

am/n = a(1/n).m = (am)1/n = n√

am

ası por ejemplo

86/7 =7√

86 =(

7√

8)6

(−3)7/2 no tiene sentido

(2530)4/3 =3√

(2530)4 =(

3√

2530)4

Page 28: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

20 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

f ) Con la interpretacion de los exponentes racionales como radicales dados en(d) y (e), y aplican-do adecuadamente las propiedades de los exponentes, resultan obvias las siguientes propiedadespara todon: cona > 0 y b > 0 .

n√

an = an√

ab = n√

a n√

b

n√

m√

a = mn√

a

ası por ejemplo3√

23 = 2 6√

(9) (15) = 6√

9 6√

15 4√

2√

9 = 8√

9

EJERCICIOS

1.√

a + b =√

a +√

b? Justificarlo con ejemplos.

2. Simplificar

i.7515

a−11 · b−16 · c−22bc2

a−12b−15c−20a

ii.√

81x8y4

iii.a3 · 4

√ab

√ab b3

5√

a2 b4 a−1/2 b3/2

iv. 3√

625

v. 10√

x70y20z30

vi.

(23) (

32) (

44) (

273) (

252)

(82) (92) (54)

3. Efectue las operaciones dadas

i.(4x5/2 − 2x−3/2

)x3/2

ii.(x−5/2 + y3/2

)(x−5/2 − y3/2

)

iii.(x2y + x−2y−3

) (2x−2y2 + xy2

)

iv.(−2)3 (2)4 (−3)5 (3)6

(8) (9) (27)

v.(√

2 +√

3 +√

5) (√

2−√

3)

vi. 2√

700− 15√

1/45+ 4√

5/16− 56√

1/7

vii. 7√

450− 4√

320+ 3√

80− 5√

800

Page 29: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 21

viii.

(a−1 +b−1

)(a+b)−1

6√

a4 5√

a−2a8/5b

ix.

(a+bc−d

)3( 1a+b

)2(c−da+b

)4

x. 3 3√

108+110

3√

625+17

3√

1715−4 3√

32− 32

3√

5

xi. (a−b)

√a+ba−b

− (a+b)

√a−ba+b

+(2a−2b)

√1

a−b

xii. 4√

a3√

a 3√

a

xiii.(

n+3√

n−1√

a2 n+1√

a−1)n2−1

xiv.(x2/3 + 21/3

)(

x 3√

x− 3√

2x2 + 3√

4)

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El algebra se puede mirar como la generalizacion de la aritmetica en la medida que permite formularpropiedades de los numeros observados en casos particulares, para todos los elementos de un conjuntonumerico. Por ejemplo, la suma y la multiplicacion de numeros enteros permiten establecer que:

4+2 = 2+4 7+3 = 3+7 6·5 = 5·6

Algebraicamente esta propiedad se generaliza ası:

Si my n son numeros enteros, entonces se satisface que:

m+n = n+m m·n = n·m

La generalizacion anterior se establece haciendo uso de unos sımbolos llamados variables que rep-resentan elementos arbitrarios de un conjunto numerico sin especificar ningun numero en particular;y otros sımbolos llamados constantes que representan elementos especıficos o fijos de ese conjuntonumerico, y haciendo uso tambien de las operaciones definidas en el conjunto.Generalmente se utilizan las primeras letras del alfabetoa,b,c, etc, para simbolizar constantes y susultimas letrast, u, v, x, y, zpara simbolizar variables. Tambien se acostumbra a representar tanto con-stantes como variables con letras sub-indizadas o super-indizadas, o con alfabeto griego especificandode antemano cuales son constantes y cuales variables, por ejemplo:x1 , x2 , y1 , z3 , α , β , δ .

Si se establece una coleccion de variables y constantes, y se aplican operaciones (suma, resta, mul-tiplicacion, division, etc) a los elementos de esa coleccion, se obtiene unaexpresion algebraica. Porejemplo para la coleccion de variables y constantes:

{x, y, z, w, 2, 4, 5, π , a, b}

Page 30: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

22 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

estas son algunas expresiones algebraicas:

x2 − y2 +π ·wa·z

5w + zax+ by

(√xy

bz+

w2

)a

Se supone que en las expresiones algebraicas las variables representan elementos de conjuntos quehacen que la expresion algebraica este bien definida, es decir, no se presentan denominadores nu-los, radicales conındice par y subradical negativo o logaritmos de numeros negativos. Ası en laprimera expresion algebraica dada arriba, se suponea 6= 0, z 6= 0, en la segunda expresion se supone(5w + z)/(ax+ by) ≥ 0, lo mismo queax+ by 6= 0 , y en la tercera expresion se suponebz 6= 0 ,yx≥ 0 , y tanto la base como el exponente no simultaneamente iguales a cero. En este repaso dealge-bra se requiere particularmente recordar la simplificacion de expresiones algebraicas.

Si las variables y las constantes en las expresiones algebraicas representan numeros reales y lasoperaciones estan bien definidas, entonces las expresiones algebraicas tambien representan numerosreales y por consiguiente para la simplificacion se pueden utilizar las propiedades de las operacionesfundamentales de los numeros reales, las propiedades de los exponentes, radicales y fracciones, y losllamadosproductos notables, procesos de factorizacion y de racionalizacion.

1.4.1. Productos Notables

1. Para realizar la multiplicacion (x+ y) (x− y) se aplica la propiedad distributiva de la multipli-cacion de numeros reales sobre la suma de la siguiente forma:

(x+y)(x−y) =(x+y)x− (x+y)y

=x2 +xy−xy−y2 = x2−y2

es decir:(x + y ) (x − y ) = x2

− y 2

resultado que se sintetiza por:suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.

Ejemplos:

i.(y2 − 3y

) (y2 + 3y

)= y4 − 9y2

ii.(ax+ 1 − 2bx−1

) (ax+1 + 2bx−1

)=(ax+1

)2 −(2bx−1

)2= a2x+2 − 4b2x−2

iii.(

3√

5 − 3√

2) (

3√

5 + 3√

2)

=(

3√

5)2

−(

3√

2)2

= 3√

25 − 3√

4

iv.(a2 + 3− 2a

) (a2 + 3 + 2a

)=(a2 + 3

)2 − (2a)2

v.(x5 − y5

) (x5 + y5

) (x10 + y10

)=(x10 − y10

) (x10 + y10

)=(x20 − y20

)

2. Al utilizar nuevamente la propiedad distributiva de la multiplicacion de numeros reales; para

Page 31: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 23

realizar el producto(x+a) (x+b) se sigue el procedimiento:

(x+a)(x+b) =(x+a)x+(x+a)b

=x2 +ax+bx+ab

=x2 +(a+b)x+ab

es decir:(x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + (ab)

obteniendose un polinomio de segundo grado en el que se observa que el coeficiente dex (cons-tante que acompana ax) es la sumaa+b y el termino independiente es el productoab.

Ejemplos:

i. (x + 3) (x + 4) = x2 + (3 + 4) x + (3) (4) = x2 + 7x+ 12

ii. (x−10/7)(x+5/2) = x2 +(−10/7+5/2)x+(−10/7)(5/2) = x2 +(15/14)x−25/7

3. Tambien a partir de la propiedad distributiva se tiene:

(x+y)2 =(x+y)(x+y) = (x+y)x+(x+y)y

=x2 +xy+xy+y2

=x2 +2xy+y2

Es decir:(x + y ) 2 = x2 + 2xy + y 2

En forma analoga se obtienen los siguientes resultados:

(x−y)2 = x2−2xy+y2

(x+y)3 = x3 +3x2y+3xy2 +y3.

(x−y)3 = x3−3x2y+3xy2

−y3.

Ejemplos:

i.(2x2 + 3y

)2=(2x2)2

+ 2(2x2)

(3y) + (3y)2

= 4x4 + 12x2y + 9y2

ii.(x a+1−2x a−2

)2=(x a+1

)2−2(x a+1

)(2x a−2

)+(2x a−2

)2

= x 2a+2−4x 2a−1 +4x 2a−4

iii.(

3√

2 − 2√

2)2

=(

3√

2)2

− 2 3√

2 2√

2 +(

2√

2)2

= 3√

4 − 4 3√

2√

2 + 8

Page 32: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

24 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

iv.(2x2 − 3y2 + 2c

)2=(2x2 − 3y2

)2+ 2

(2x2 − 3y2

)(2c) + (2c)2

=(2x2)2−2

(2x2)(

3y2)+(3y2)2

+2(2x2 − 3y2

)(2c)+(2c)2

= 4x4 − 12x2y2 + 9y4 + 8x2c − 12y2c + 4c2

v.(2xy2 − a2b

)3=(2xy2

)3 − 3(2xy2

)2(a2b)

+ 3(2xy2

) (a2b)2 −

(a2b)3

= 8x3y6 − 12x2y4a2b + 6xy2a4b2 − a6b3

vi.(

2 4√

3 + 3√

2)3

=(2 4√

3)3

+ 3(2 4√

3)2(

3√

2)

+ 3(2 4√

3) (

3√

2)2

+(

3√

2)3

= 8 4√

27 + 12 4√

9 3√

2 + 6 4√

3 3√

4 + 2

4. Al realizar la multiplicacion (x−y) (x2 + xy + y2) se obtiene:

(x−y)(x2 +xy+y2) = (x−y)x2 +(x−y)xy+(x−y)y2

= x3−yx2 +x2y−xy2 +xy2−y3

= x3−y3

En resumen:(x−y)(x2 +xy+y 2) = x3

−y 3

Similarmente:(x+y)(x2

−xy+y 2) = x3 +y 3

Ejemplos:

i.(a2 − b3

) (a4 + a2b3 + b6

)=(a2)3 −

(b3)3

= a6 − b9

ii.(a3 + b

) (a6 − a3b + b2

)=(a3)3

+ b3 = a9 + b3

iii.(1 + 52/3

) (1− 52/3 + 54/3

)=(1 + 52

)

EJERCICIOS

Utilice los productos notables estudiados para hallar en cada expresion dada otra equivalente a ella.

1.(

3√

5− 3√

2) (

3√

5 + 3√

2)

2. (am − bn) (am + bn)

3. (x + y + 1) (x − y − 1)

4. (2x − 3x) (2x + 3x)

5.(x2 − y2

) (x2 + y2

) (x4 + y4

)

6.(2y2/5 − 3x2

) (2y2/5 + 3x2

)

Page 33: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 25

7.(3a3 + 2b4

)2

8.(√

2 +√

3)2

9.(3ax + 2b2

)3

10.(

3√

2− 4√

3)3

11.(√

2 +√

3−√

4)3

12.(

3√

2− 5 3√

3)3

13.(

2abc−√

abc)3

14.(21/3 − 1

) (22/3 + 21/3 + 1

)

15.(44/3 − 22/3

) (48/3 + 44/3 .22/3 + 24/3

)

16. (1 + a)(1− a + a2

)

17. (3a− 5b)(9a2 + 15ab+ 25b2

)

1.4.2. Factorizacion

Factorizar una expresion algebraica, presentada como una suma, es escribirla o presentarla comomultiplicacion de varios factores:

1. Reduccion de terminos semejantes.

Una de las expresiones mas sencillas de factorizar es:ax+ bx+ cx, en la cual cada uno de losterminos tiene ax como factor. En este caso al utilizar la propiedad distributiva de los numerosreales se obtiene:

ax+bx+cx = (a+b+c)x

Ejemplos:

a) 2x2y + 3x2y− 6x2y = (2 + 3− 6) x2y

= −x2y

b) a2 + a− ab− b = a (a + 1) − b (a + 1)

= (a + 1) (a− b)

c) a2x2 − 3bx2 + a2y2 − 3by2 = x2(a2 − 3b

)+ y2

(a2 − 3b

)

=(a2 − 3b

) (x2 + y2

)

Page 34: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

26 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

d) a2x − ax2 − 2a2y + 2axy+ x3 − 2x2y =(a2x − 2a2y

)−(ax2 − 2axy

)+(x3 − 2x2y

)

= a2 (x − 2y) − ax (x − 2y) + x2 (x − 2y)

= (x − 2y)(a2 − ax+ x2

)

Otras formas importantes de factorizacion son las que se obtienen de los productos notablestratados atras, leıdos “de derecha a izquierda”:

2. Factorizacion de cuadraticas

Del producto notable (x+ a)(x+ b) = x2 + (a+ b)x+ ab, leıdo “de derecha a izquierda” seobtiene la muy practica formula de factorizacion:

x2 +(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)

ası ante la necesidad de factorizar la expresion: x2 + 5x+ 6, segun la formula se deben buscardos numeros cuya suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Esos dos numeros son 2 y 3, luegox2 +5x+6 = (x+2)(x+3)

Ejemplos:

a) x2 − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3)

b) 6x2 + 7x − 3 =(6x)2 + 7 (6x) − 18

6

=(6x + 9) (6x − 2)

(3) (2)

= (2x + 3) (3x − 1)

c) 10a2 − 17ab + 3b2 =(10a)2 − 17(10ab) + 30b2

(2) (5)

=(10a − 2b) (10a − 15b)

(2) (5)

= (5a − b) (2a − 3b)

3. Diferencia de cuadrados.

x2− y 2 = (x + y ) (x − y )

Es decir la diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia.

Ejemplos:

a) 4x2 − 9y2 = (2x − 3y) (2x + 3y)

b) (a + b)2 − (c + d)2 = (a + b − (c + d)) (a + b + c + d)

c) x − y = (√

x)2 −(√

y)2

=(√

x − √y) (√

x +√

y)

Page 35: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 27

4. Trinomio cuadrado perfecto.

x2 +2xy+y 2 = (x+y)2

x2−2xy+y 2 = (x−y)2

Ejemplos:

a) 9x2 − 6xy + y2 = (3x − y)2

b) a2x+2 + 2ax+1bx+2 + b2x+4 =(ax+1 + bx+2

)2

c) 4 (a + b)2 + 12(a + b) (c + d) + 9 (c + d)2 = (2 (a + b) + 3 (c + d))2

5. Cubos perfectos

x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 = (x + y)3 y

x3− 3x2y + 3xy2

− y3 = (x − y)3

Ejemplos:

a) 8 + 36x + 54x2 + 27x3 = (2 + 3x)3

b) 8a3 − 36a2b + 54ab2 − 27b3 = (2a − 3b)3

c) 125x12 + 600x8y5 + 960x4y10 + 512y15 =(5x4 + 8y5

)3

6. Suma y diferencia de cubos.

x3 + y3 = (x + y)(x2

− xy + y2)

y

x3− y3 = (x − y)

(x2 + xy + y2

)

Ejemplos:

a) x6 − b9 =(x2 − b3

) (x4 + x2b3 + b6

)

b) 64 + a6 =(4 + a2

) (42 − 4a2 + a4

)

c) 27x3 − (a + b)3 = [3x − (a + b)](

(3x)2 + 3x(a + b) + (a + b)2)

d) (x + 1)3 + (x − 2)3 = ((x + 1) + (x − 2))(

(x + 1)2 − (x + 1) (x − 2) + (x − 2)2)

= (2x − 1)(x2 − x + 7

)

Page 36: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

28 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJERCICIOS

Factorize completamente las siguientes expresiones.

1. x4 + x − x3y − y

2. x3 − x − x2y + y

3. 6x2 + xy− y2

4. a2 − b3 + 2b3x2 − 2a2x2

5. a2 + 9a + 20

6. a2 − 7a + 12

7. a2 − 6a + 9

8. 6x2 − x − 2

9. 6x2 + 7xy− 3y2

10. m4 + m2n2 + n4

11. 15+ 14x − 8x2

12. x6 + x3 − 2

13. 2 3√

x2 + 5 3√

x + 2

14. 4a2n − b2

15.(x8 − y8

)

16.(√

6 −√

2)

17.(m2 + n2

)2 − a2

18. 8x3 − y3

19.(x3y6 − 216y12

)

20. (m− 2)3 − (m− 4)3

21. 125a3 + 150a2b + 60ab2 + 8b3

22. 27− 27x + 9x2 − x3

23.9x4 + 12x2y3 + 4y6

3x2 + 2y3

Page 37: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 29

1.4.3. Racionalizacion

Racionalizar un numerador (o un denominador) es utilizar un procedimiento valido que haga de-saparecer los radicales del numerador (o denominador) de una expresion algebraica fraccionaria. Unprocedimiento valido es multiplicar numerador y denominador de la expresion por una expresion ade-cuada llamadafactor racionalizante, que permita precisamente eliminar el radical deseado.

Ejemplos

i.1√2

=1√2

√2√2

=

√2

2

ii.13√

2=

1

21/3

22/3

22/3=

22/3

2=

3√

42

iii.1√

x − 2=

1 (√

x + 2)

(√

x − 2) (√

x + 2)=

√x + 2

x − 4

Observe que si aparece una expresion de la forma1

√a+

√b

el radical del denominador se

elimi-na multiplicando numerador y denominador por√

a−√

b , ya que de esta forma en eldenominador aparece(

√a+

√b)(

√a−

√b) que es igual a la diferencia de cuadrados(

√a)2−

(√

b)2 que elimina los radicales.

iv.1√

x + 2 +√

x + 1=

1(√

x + 2 +√

x + 1)

(√x + 2 −

√x + 1

)

(√x + 2 −

√x + 1

)

=

√x + 2−

√x + 1

(x + 2) − (x + 1)

=

√x + 2−

√x + 1

1

Observe que si aparece en el denominador3√

a+ 3√

b , para eliminar el radical se debe obtener( 3√

a)3 + ( 3√

b)3 y este no se consigue multiplicando numerador y denominador por3√

a− 3√

b

pues(

3√

a+ 3√

b)(

3√

a− 3√

b)

= ( 3√

a)2− ( 3√

b)2 que no elimina los radicales.

Para conseguirlo recuerde quex3 + y3 = (x+ y)(x2− xy+ y2) por lo tanto si se tiene3√

a+ 3√

b

y se multiplica por(

( 3√

a)2− 3√

a 3√

b+( 3√

b)2)

se obtiene( 3√

a)3+( 3√

b)3 = a+b y se eliminan

los radicales por ejemplo

v.1

1 + 3√

2=

(1− 21/3 + 22/3

)

(1+21/3

)(1− 21/3 + 22/3

)

=1− 21/3 + 22/3

1 + 2

=1− 21/3 + 22/3

3

Page 38: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

30 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

vi.1

x2/3 − y1/3=

(x4/3 + x2/3y1/3 + y2/3

)

(x2/3 − y1/3

)(x4/3 + x2/3y1/3 + y2/3

)

=x4/3 + x2/3y1/3 + y2/3

x2 − y

EJERCICIOS

1. Racionalizar el denominador en las expresiones siguientes.

i.1

6√

5

ii.1√

2 +√

3− 2√

5

iii.4

3√

9− 3√

3 + 1

iv.1

3√

x2 + 3√

xy+ 3√

y2

v.1

2− 3 3√

2

vi.1

5√

7− 2√

3

vii.1√

2 + x −√

2− x

viii.2√x

+

√x

2

ix.1√

x+1−x

x.6x+2

x3−√

2x−7

xi.4x+1

3√

x+x2 +5

xii.2x−3

(√4x+2

)(3√

6x+1−4)

xiii.4x

x2 +2x−6√

x

xiv.2x−3

x2 +√

x+1−2x

xv.3x2

x−9+ 3√

2x+5

2. Racionalizar el numerador en las expresiones siguientes.

Page 39: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 31

i.3√

(x + h)2 − 3√

x2

h

ii.

(x + h)3 −√

x3

h

iii.x +

√x + 1

x

iv.

√x+1−2

3√

x2 +5

v.√

x−√

2x−5

4 3√

x+1

vi.3√

2x−44x2 +3

√x

vii.3√

2x−3− 3√

x6√

x+5

1.4.4. Simplificacion de Expresiones Algebraicas

Simplificar una expresion algebraica significa encontrar una forma mas simple o sencilla de es-cribirla y que sea equivalente a ella.

Ejemplos

i.

72a9b8

x4y4 se simplifica ası:

72a9b8

x4y4 =

(36) (2)(a8)

(a)(b8)

x4y4 =6a4b4

√2a

x2y2

ii.a−1/2x−2

3a3x2y−1

x−2/3y1/4

x2yz−1/2

3a7/2x4z1/2

x−8/3y5/4

=a−1/2a7/2

a3 · x−2/3x−2x4

x2x2x−8/3· y1/4

yy−1.y5/4

z1/2

z−1/2

=a3

a3

x−8/3

x−8/3

1y· z =

zy

iii.6√

18x3y4z5

4√

3x2y2z3=

6√

(2) .32.x3.y4z5

4√

3x2y2z3

=6√

2 6√

32 6√

x3 6√

y4 6√

z5

4√

3 4√

x2 4√

y2 4√

z3

Page 40: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

32 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

=21/6 32/6 x3/6 y4/6 z5/6

31/4 x2/4 y2/4 z3/4

=(21/6 32/6 x3/6 y4/6 z5/6

) (3−1/4 x−2/4 y−2/4 z−3/4

)

= 21/6 31/12 x0 y2/12 z1/12

= 12√

22(3)y2z

= 12√

12y2z

iv.x3 + 1

x2 (x + 1) − x (x + 1) + (x + 1)se simplifica ası:

x3 + 1x2 (x + 1) − x (x + 1) + (x + 1)

=(x + 1)

(x2 − x + 1

)

(x + 1) (x2 − x + 1)= 1 si x 6= −1

v.x4 + x − x3y − yx3 − x − x2y + y

=x3 (x − y) + (x − y)x2 (x − y) − (x − y)

=(x − y)

(x3 + 1

)

(x − y) (x2 − 1)

=(x + 1)

(x2 − x + 1

)

(x − 1) (x + 1)

=x2 − x + 1

x − 1

vi.

(2a2 − 14a + 24

)

(a2 + 5a)· (a− 3)

(4a− 4)·(a2 + 9a + 20

)

(a2 − 6a + 9)÷

(a2 − 16

)

(2a2 − 2a)

=2(a2 − 7a + 12

)

a (a + 5)

(a− 3)

4 (a− 1)

(a + 5) (a + 4)

(a− 3)2

2a (a− 1)

(a− 4) (a + 4)

=2 (a− 3) (a− 4)

a (a + 5)

(a− 3)

4 (a − 1)

(a + 5) (a + 4)

(a− 3)2

2a (a− 1)

(a− 4) (a + 4)= 1

vii.

(x2 − x − 2

) (x2 − 9

)

(x2 − 2x − 3) (x2 + x − 6)=

(x − 2) (x + 1) (x − 3) (x + 3)

(x + 1) (x − 3) (x + 3) (x − 2)= 1

viii.3m2 + 5mn− 8n2

(m3 − n3)=

3m2 − 3mn+ 8mn− 8n2

m3 − n3

=3m (m− n) + 8n (m− n)

m3 − n3

=(m− n) (3m+ 8n)

(m− n) (m2 + mn+ n2)=

3m+ 8nm2 + mn+ n2

Page 41: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

1.4. EXPRESIONES ALGEBRAICAS 33

ix.

1 +1

1+1

1+x

1 −1

1−1

1−x

=

1 +1

2 + x

1 + x

1 −1

− x

1− x

=1 +

1 + x

2 + x

1 +1− x

x

=

3 + 2x

2 + x1

x

=(3 + 2x) x

(2 + x)

=3x + 2x2

2 + x

x.

x + 1−6x + 12

x + 2x − 5

x − 4 +11x − 22

x − 2x + 7

=

(x + 1) (x + 2) − (6x + 12)(x + 2) (x − 5)

(x − 4) (x − 2) + (11x − 22)

(x − 2) (x + 7)

=

(x + 1) (x + 2) − 6 (x + 2)

(x + 2) (x − 5)

(x − 4) (x − 2) + 11(x − 2)

(x − 2) (x + 7)

=

(x + 2) (x + 1− 6)

(x + 2) (x − 5)

(x − 2) (x − 4 + 11)

(x − 2) (x + 7)

=

(x + 2) (x − 5)

(x + 2) (x − 5)

(x − 2) (x + 7)

(x − 2) (x + 7)

= 1

EJERCICIOS

Simplificar las siguientes expresiones.

1.x + y

xy− x + 2y

xy+ y2 − yx2 + xy

2.x + 2

3x − 1+

x + 13− 2x

+4x2 + 6x + 36x2 − 11x + 3

3.m− n

mn+

n− ana

+2a− m

ma

Page 42: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

34 Capıtulo 1. NUMEROS Y EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4.(a2x + ax+1 + a 2

)(ax − a)

5. (am − 3) (am+3)(a2m + 9

)

6.8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3

6x2 + xy− y2

7.

(x3 − 3x

) (x3 − 1

)

(x4 + x3 + x2) (x2 − 1)

8.x4 + x − x3y− yx3 − x − x2y + y

9.

(x2 − x − 2

) (x2 − 9

)

(x2 − 2x − 3) (x2 + x − 6)

10.

(a2 − 8a + 7

a2 − 11a + 30· a2 − 36

a2 − 1

)

÷ a2 − a− 42a2 − 4a− 5

11.

(2a2 − 14a + 24

a2 + 5a· a− 3

4a− 4· a2 + 9a + 20

a2 − 6a + 9

)

÷ a2 − 162a2 − 2a

12.

2

1− a+

2

1 + a2

1 + a−

2

1− a

13.

a

1− a+

1− a

a1− a

a−

a

1− a

14.

[(m+ n) 2 − x2

(m+ x) 2 − n2

] [(m− n) 2 − x2

m2 + mn− mx

]

15.

[(a + b) 2 − c2

(a− b) 2 − c2 · (a + c) 2 − b2

a2 + ab− ac

]

÷ a + b + ca2

16.16x2 − 24xy+ 9y2

16x − 12y÷ 64x3 − 27y3

32x2 + 24xy+ 18y2

17.

(12x2 − x − 206x2 + 19x + 15

) (2x + 34x + 5

)

Page 43: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 2DESIGUALDADES Y VALORABSOLUTO

2.1. PROPIEDADES DE ORDEN Y DESIGUALDADES

Como se habıa dicho anteriormente los numeros reales se pueden ubicar en una recta llenandolacompletamente, de tal forma que cada numero real se identifica con un punto de la recta y cualquierpunto de la recta representa ununico numero real. En la ubicacion de los elementos de los diferentessistemas numericos en esta recta se ha tenido en cuenta ordenarlos de tal forma que alrecorrer lospuntos de la recta de izquierda a derecha se recorran los numeros que representan estos puntos, demenor a mayor.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

FIGURA No 2.1

Resulta muy practico para el trabajo con numeros reales clasificarlos en tres grupos: un primergrupo formado por un solo elemento,el cero, un segundo grupo formado por todos los elementos ala derecha del cero, es decir de numeros mayores que cero que se llamarannumeros reales positivosy un tercer grupo de los que se encuentran a la izquierda del cero es decir menores que cero que sellamarannumeros reales negativos.De esta clasificacion resulta evidente que un numero real solo puede pertenecer a uno de estos tresgrupos.Otro hecho que se puede tomar como evidente a partir de la manipulacion que se ha venido haciendocon los numeros positivos por medio de la suma y el producto en la aritmetica elemental, es que lasuma y producto de dos numeros positivos siempre son positivo.

Las propiedades de orden de los numeros reales tienen que ver con las relaciones entre ellos, con-siderando su ubicacion en la recta real. El estudio de estas propiedades tiene como fundamento los

35

Page 44: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

36 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

dos hechos evidentes a los que se ha hecho referencia y que se conocen con el nombre de axiomas deorden, cuyo enunciado riguroso es:

2.1.1. Axiomas de orden

Si se nota porR+ el conjunto de los numeros reales positivos se tiene:

i. Ley de Tricotomıa. Si a es un numero real, se cumple una y solo una de las siguientes afirma-ciones:

a = 0, a ∈ R+ , −a ∈ R+

ii. Clausura para la suma y producto enR+ . Si a y b pertenecen aR+ entonces:

a+b∈ R+ y ab∈ R+.

Ya se sabe que si un numeroa es mayor queb entoncesa esta a la derecha deb en la recta real,pero es necesario dar una definicion de quea es mayor queb que sea manipulable sin necesidadde recurrir a ese objeto geometrico que es la recta. Para ello observe que si se toman dos numerospositivos 5 y 3 se sabe geometricamente que 5 es mayor que 3 y ademas 5−3 = 2 que es positivo;si se toman uno positivo y uno negativo 7 y−2, 7 es mayor que−2 (7 esta a la derecha de−2) y ;7− (−2) = 7+2 = 9 que es positivo; si se toman dos negativos−8 y −3, es claro que como−3esta a la derecha de−8 entonces−3 es mayor que−8 y−3− (−8) = −3 + 8 = 5 que es positivo.Es decir que independientemente de sia y b son positivos o negativos ya es mayor queb, a−b (elmayor menos el menor) es positivo. Es este precisamente el argumento que permite dar una definiciondea mayor queb.

Definicion

Dadosa y b numeros reales entonces:

i. Se dice quea es mayor queb y se notaa > b si y solo sia− b ∈ R+.Tambien se dice queb esmenor quea y se notab < a.

ii. Se dice quea es mayor o igual queb y se notaa≥ b si y solo si a = b o a > b. Tambien sedice queb≤ a.Las expresiones algebraicas que involucra los sımbolos> o < , ≥ o ≤ se conocen con elnombre de desigualdades o inecuaciones.

2.1.2. Otras propiedades de orden

Propiedad 1

Si a > b entoncesa + c > b + c para todo realc.

Page 45: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.1. PROPIEDADES DE ORDEN Y DESIGUALDADES 37

Demostracion

a > b significa por definicion que(a− b) ∈ R+, de donde(a − b) + 0 ∈ R+ que se puede escribircomo(a− b) + (c −c) ∈ R+, es decir(a + c) − (b + c) ∈ R+ que por definicion de> significa que(a + c) > (b + c) .

Esta propiedad establece que a los dos lados de una desigualdad se le puede sumar un numero realsin que la desigualdad cambie de sentido.

Ejemplo

4 > 3 implica que 4+5 > 3+5.

Ejemplo

Si x + 3 > 5 entoncesx + 3− 3 > 5− 3, entoncesx > 2

Propiedad 2 (Transitiva)

Si a > b y b > c entoncesa > c.

Demostracion

Si a > b y b > c entonces a − b > 0 y b− c > 0, luego (a− b) + (b− c) > 0 (axiomaii.), pero (a− b) + (b− c) = a − c por tanto a − c > 0, luego por definicion de > se tieneque a > c

Ejemplo

10 > 8 y 8 > 4 entonces 10> 4

Propiedad 3

Si a > b y c > 0 entoncesac> bc.

Demostracion

Comoa > b entoncesa−b > 0 y como c > 0 entoncesc(a−b) = ca−cb> 0 (axioma ii.) portanto ac> bc

Esta propiedad establece que los dos lados de una desigualdad se pueden multiplicar por un numeroreal positivo cualquiera, sin que la desigualdad cambie de sentido.

Ejemplo

5 > 3 entonces(5) (4) > (3) (4), pues 4> 0.

Page 46: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

38 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

Ejemplo

Si 3x > 8 entonces3x3

>93

; pues13

> 0 y por lo tantox > 3.

Propiedad 4

Si a > b y c < 0 entoncesac < bc.

Demostracion

Adapte la demostracion de la propiedad 3.

Esta propiedad establece que si los lados de una desigualdad se multiplican por un numero realnegativo cualquiera, entonces la desigualdad cambia de sentido.

Ejemplo

12 > 9 entonces 12(−3) < 9 (−3) pues−3 < 0.

Ejemplo

4x > 12 entonces− 4x4

< 12

(

− 14

)

pues− 14

< 0, por tanto−x < −3.

Propiedad 5

ab > 0 si y solo si [(a > 0 y b > 0) o (a < 0 y b < 0)]

Demostracion

De las propiedades anteriores resulta claro que sib > 0 entonces 1/

b > 0 y si b < 0 entonces1/

b < 0 (¿por que?).

⇒) Suponga queab > 0Si b > 0 entonces 1/b > 0, por tanto (ab)(1/b) > 0 ası a(1) > 0, luegoa > 0.En forma analoga sib < 0 entoncesa < 0.

⇐) Si a > 0 y b > 0 entoncesab > 0 (axioma ii.)Ahora sia < 0 y b < 0 entonces−a > 0 y − b > 0 (por que?).

Por tanto(−a) (−b) > 0 (axioma ii.), pero ya se habıa demostrado que(−a) (−b) = ab de dondese concluye queab > 0.

Ejemplo

(x − 3) (x + 3) > 0 si y solo si (x − 3 > 0 y x+ 3 > 0) o (x − 3 < 0 y x+ 3 < 0) es decir:(x > 3 y x > −3) o (x < 3 y x < −3) .

Page 47: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.1. PROPIEDADES DE ORDEN Y DESIGUALDADES 39

Propiedad 6

ab < 0 si y solo sı [(a < 0 y b > 0) o (a > 0 y b < 0)]

Demostracion

Adapte la demostracion de la propiedad 5.

Ejemplo

x (x − 1) < 0 si y solo si(x > 0 y x− 1 < 0) o (x < 0 y x− 1 > 0) , es decir,(x > 0 y x < 1)o (x < 0 y x > 1) .

Propiedad 7

Si a > b y c > d entonces a + c > b + d.

Demostracion

Comoa > b y c > d entonces a − b > 0 y c− d > 0

y por el axioma ii.)

(a−b) + (c−d) > 0 es decir (a+c)− (b+d) > 0 que por definicion de > equivale a:a+c > b+d.

Esta desigualdad establece que se pueden sumar miembro a miembro desigualdades del mismosentido, dando como resultado otra desigualdad del mismo sentido.

Ejemplo

3 > −2 y 6 > 5 entonces 3+ 6 > −2 + 5, es decir 9> 3.

Propiedad 8

Si a > b, a > 0, b > 0 entonces 1/a < 1/b

Demostracion

Seaa > b , comoa > 0 entonces 1/a > 0, por tanto a (1/a) > b (1/a) , por consiguiente1 > b (1/a). Ahora como b > 0 entonces 1/b > 0 y ası (1/b) 1 > (1/b) (b) (1/a) es decir(1/b) > (1) (1/a) luego(1/b) > (1/a) .

Esta propiedad afirma que al tomar los recıprocos (inverso para la multiplicacion) a los dos ladosde una desigualdad, el sentido de la desigualdad cambia, siempre y cuandolos dos terminos de ladesigualdad sean positivos. (esta propiedad tambien se cumple cuando tantoa comob son negativos).

Page 48: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

40 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

Ejemplo

12> 8 implica que 1/12 < 1/8.

Ejemplo

−3 > −5 implica que−1/3 < −1/5.

INTERVALOS

Frecuentemente resulta necesario para desigualdades donde apareceuna variable ( o mas de una)hallar todos los valores que puede tomar esta variable para que la desigualdad sea verdadera. El con-junto de estos valores se llama conjunto solucion de la desigualdad y su presentacion generalmentetiene la forma de reunion de unos subconjuntos particulares de R llamados intervalos; los cuales sedefinen a continuacion.

Seana y b numeros reales, cona < b

1. El conjunto de todos los numeros reales que son mayores o iguales quea y menores o igualesqueb se nota por[a,b] , se llama intervalo cerrado, es decir:

[a,b] = {x | a≤ x≤ b}a b

FIGURA N◦ 2.2

2. El conjunto de los numeros reales que son mayores quea y menores queb , se nota(a,b) , sellama intervalo abierto, es decir,

(a,b) = {x | a < x < b}a b

FIGURA N◦ 2.3

3. Tambien se puede definir otro tipo de intervalo de uso frecuente como:

[a,b) = {x | a≤ x < b}a b

FIGURA N◦ 2.4

(a,b] = {x | a < x≤ b}a b

FIGURA N◦ 2.5

[a,+∞) = {x | a≤ x}a

FIGURA N◦ 2.6

Page 49: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.1. PROPIEDADES DE ORDEN Y DESIGUALDADES 41

(a,+∞) = {x | a < x}a

FIGURA N◦ 2.7

(−∞,b] = {x | x≤ b}b

FIGURA N◦ 2.8

bFIGURA N◦ 2.9

(−∞,b) = {x | x < b}

FIGURA N◦ 2.10(−∞,+∞) = R

El uso adecuado de las propiedades de orden de los numeros reales es la base para hallar el conjun-to solucion de desigualdades. La forma de usarlas se ilustrara con algunos ejemplos tıpicos de lasdiferentes situaciones que se presentan frecuentemente.

Ejemplo

Determinar la solucion de la desigualdad−4x + 5 < −x + 8.

Si se suma a cada lado de la desigualdad el numero –5 se obtiene−4x + 5 − 5 < −x + 8 − 5 osea−4x < −x + 3, y si ahora se suma a cada lado de la desigualdadx, se observa que−4x + x < −x + x + 3, es decir;−3x < 3, y multiplicando cada miembro de−3x < 3 por−1/3 setiene quex > −1;y de aquı se concluye que la solucion de la desigualdad es{x |x > −1 } es decir,el intervalo(−1, +∞). La solucion se puede representar graficamente por:

-1 0 1 +∞

FIGURA N◦ 2.11

Observe que si se toma por ejemplox = 1 y se reemplaza en la desigualdad−4x + 5 < −x +8,se tiene que(−4) (1) + 5 = 1 < −1 + 8 = 7, es decir,x=1 es solucion de esta desigualdad, pero sise tomarax = −3 y se reemplazara, se ve claramente quex = −3 no es solucion de la desigualdadya que 12+ 5 = 17 no es menor que 3+ 8 = 11.

Ejemplo

Halle los valores dex que satisfacen el sistema de desigualdades2x−2≤ 4; x−1≤ 3x−5; −2x≤−x+1.

En este caso se resuelve cada desigualdad por separado y la solucion del sistema de desigualdades,es el conjunto formado por los elementos comunes de las tres soluciones:

i. 2x − 2 ≤ 4 implica que 2x ≤ 6, es decirx ≤ 3, luego la solucion de esta desigualdad es(−∞ , 3] = S1

Page 50: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

42 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

ii. x − 1 ≤ 3x − 5 implica que 4≤ 2x, es decir 2≤ x, luego la solucion de esta desigualdad es[2,+∞) = S2.

iii. −2x≤ −x+ 1 implica que−x≤ 1 , es decirx≥ −1, luego la solucion de esta desigualdad es[−1,+∞) = S3

Ası que la solucion del sistema es:

S= S1∩S2∩S3 = (−∞,3]∩ [2,+∞)∩ [−1,+∞) = [2,3]

graficamente:

-1 0 1 2 3

S1

2 3 4 5 6

S2

-1 0 1 2 3

S3

2 3

S

FIGURA N◦ 2.12

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de la desigualdadx− 2 ≤ 2x− 3 < 2+ x es equivalente a hallar losvalo-res dex que satisfacen el sistemax−2≤ 2x−3, 2x−3 < 2+x. (cual es la solucion?).

Ejemplo

Halle el conjunto solucion de la desigualdad (x−1)(x+1) < 0

(x−1)(x+1) < 0 si y solo sı (x−1 > 0 y x+1 < 0) o (x−1 < 0 y x+1 > 0)

i. Como x− 1 > 0 y x+ 1 < 0, se tiene que x > 1 y x < −1, cuya solucion es(1,+∞)∩ (−∞,−1) = φ

ii. La solucion del sistemax−1< 0 y x+1> 0 es (−1,1), ya que x< 1 y x>−1 implicaque x∈ (−∞,1) y x∈ (−1,∞) es decir x∈ (−∞,1)∩ (−1,+∞) = (−1,1).

Page 51: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.1. PROPIEDADES DE ORDEN Y DESIGUALDADES 43

Luego la solucion de la desigualdad(x−1)(x+1) < 0 esS= S1∪S2 = φ ∪ (−1,1) = (−1,1)

La desigualdad anterior se puede resolver por un metodo mas sencillo, que consiste en dividirR endeterminados intervalos y analizar la desigualdad en cada uno de ellos.

Para hallar estos intervalos se buscan los valores dex para los cuales cada uno de los factores seanula. Los factores de la desigualdad(x−1)(x+1)< 0 se anulan enx= 1 y x=−1 respectivamente,se procede a localizarlos en la recta numerica.

-1 1

FIGURA N◦ 2.13

Ası los intervalos a considerar son:(−∞,−1],(−1,1] y (1,+∞), cuya reunion esR, por lo tanto elanalisis de las soluciones en cada intervalo debe conducir a todas las soluciones posibles. El conjuntode solucion de la desigualdad es la union de todas las soluciones obtenidas al analizar cada intervalopor separado. El procedimiento es como sigue:

Sobre la recta numerica se ubican los puntos donde cada factor se anula. En cada uno de los interva-los en que se divide la recta se analiza cada factor por separado en el sentido de si allı eseste positivoo negativo, colocando +o - segun el caso. Luego de realizar este analisis para todos los factores entodos los intervalos, se hace en cada intervalo el producto de los signos de los factores dando comoresultado+ o −; este intervalo sera o no parte de la solucion segun la desigualdad sea de la formaproducto de factores> 0 o < 0. El siguiente ejemplo ilustrara este metodo.

Ejemplo

Para hallar el conjunto solucion de la desigualdadx(x−1)(x+ 1) < 0; primero se consideran lospuntos donde los factores se anulan, en este casox = 0, x = 1, x = −1. El factor x es positivo six > 0y negativo six < 0, luego:

0

------------------- + + + + + + + + + + + + + + + + +x

FIGURA N◦ 2.14

El factorx−1 es positivo six > 1 y negativo six < 1; luego:

10

------------------ + + + + + + + + + + + + + + + + +x−1

FIGURA N◦ 2.15

El factorx+1 es positivo six > −1 y negativo six < −1, luego:

0 1-1

---------- + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +x+1

FIGURA N◦ 2.16

Page 52: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

44 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

Los tres graficos anteriores se representan en uno solo ası:

0 1-1 (+)(-) (-) (+)

---------------

- - - - -- - - - -

+ + + + +

+++++-----

++++++ + + + ++ + + + +

+ + + + +

Prod

x+1x−1

x

FIGURA N◦ 2.17

Los intervalos a considerar son:(−∞,−1], (−1,0], (0,1] y (1,+∞). Los puntos−1, 0 y 1 no sonsolucion de la desigualdad, ya que si se reemplazax por+1 o por 0o por−1 enx(x−1)(x+1) < 0,se obtiene que 0< 0.

Puesto que la desigualdad es con< 0, el intervalo(−∞,−1) es solucion ya que el producto de lostres factores es(−), (< 0); el intervalo(−1,0) no es solucion ya que el producto de los tres factoreses(+), (> 0) el intervalo(0,1) es solucion, ya que el producto de los tres factores es(−), (< 0); elintervalo(1,+∞) no es solucion, pues el producto de los tres factores es(+), (> 0).

Luego el conjunto solucion de esta desigualdad es:(−∞,−1)∪ (0,1)

Ejemplo

Para hallar la solucion de la desigualdad 1/x < 1 hay varias formas de hacerlo:

1. Si x > 0, se tiene que 1/x < 1 es equivalente ax > 1, ası se tiene, que la solucion esx > 1 six > 0, es decir(1,+∞)∩ (0,+∞) = (1,+∞), luego la solucion es el intervalo(1,+∞) si x > 0.

Si x < 0, se tiene que 1/x < 1 es equivalente a 1> x, luego dex < 1 y x < 0, se concluye quex < 0, ası la solucion es(−∞,0) si x < 0.

Por tanto la solucion total de la desigualdad es(−∞,0)∪ (1,+∞).

2. 1/x < 1, equivale a(1/x)− 1 < 0, que a su vez equivale a(1− x)/x < 0; y esto se puedesolucionar de tres formas diferentes:

a) Si x > 0, entonces(1−x)/x < 0 equivale a es decirx > 1, luego la solucion es(1,+∞)∩ (0,+∞) = (1,+∞).

Si x< 0, (1−x)/x< 0 es equivalente a(1−x) > 0 (multiplicando porx< 0, los dos ladosde la desigualdad), ası quex < 1, luego la solucion es(−∞,1)∩ (−∞,0) = (−∞,0).

Por tanto la solucion total es(−∞,0)∪ (1,+∞).

b) (1−x)/x < 0 si y solo si (1−x < 0 y x> 0) o (1−x > 0 y x< 0), es decir(x > 1 y x> 0) o (x < 1 y x< 0), luego la solucion total es

{(1,∞)∩ [0,+∞)}∪{(−∞,1)∩ (−∞,0)} = (1,+∞)∪ (−∞,0)

Page 53: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.1. PROPIEDADES DE ORDEN Y DESIGUALDADES 45

c) Por el metodo usado en el ejemplo anterior se tiene que:

1−x > 0 si x < 1 y 1−x < 0 si x > 1, ası que:

0 1(-) (+) (-)

-------++++++

+ + + + + ++ + + + + +

+ + + + + + +

- - - - - - - -1−x

x

FIGURA N◦ 2.18

La solucion de la desigualdad(1−x)/x< 0 es la union de los intervalos(−∞,0) y (1,+∞),ya que en ellos el producto de los dos factores(1−x) y (1/x) son negativos, es decirS= (−∞,0)∪ (1,+∞). Los puntos 0 y 1 no pertenecen al conjunto solucion, ya que nosatisfacen la desigualdad(1−x)/x < 0.

Ejemplo

Halle el conjunto solucion de la desigualdad:

(x−1)(x−4)(x−5)(x−10)x(x2 +4)(x+1)

> 0

teniendo en cuenta que sia > 0 entonces 1/a > 0 y que sia < 0 entonces 1/a < 0, resulta que lasllamadas leyes de los signos para el producto son las mismas para el cociente, por lo tanto en lo quese refiere a analizar el signo de este cociente a traves de los signos de los factores de numerados ydenominador, es similar tratarlo como un producto asumiendo que los factoresdel denominador sonfactores pero en el numerador.

Esto se puede justificar tambien de otra forma: independientemente de los signos dex, (x2 +4),(x+ 1) (siendo todos diferentes de cero), la expresion x2(x2 + 4)2(x+ 1)2 es mayor que cero, portanto al multiplicar los dos lados de la desigualdad por esta expresion no se altera el sentido de ladesigualdad, es decir,

(x−1)(x−4)(x−5)(x−10)x(x2 +4)(x+1)

[

(x)2(x2 +4)2

(x+1)]

> (0)(x)2(x2 +4)2

(x+1)2

que al simplificar queda

(x−1)(x−4)(x−5)(x−10)(x)(x2 +4

)(x+1) > 0 x 6= 0, x 6= 1

lo que indica que los valores dex que son la solucion a la desigualdad inicial, son los mismos quedan solucion a estaultima. En consecuencia se procede a solucionarla:

x−1 = 0 si x = 1 x−1 > 0 si x > 1 y x−1 < 0 si x < 1x−4 = 0 si x = 4 x−4 > 0 si x > 4 y x−4 < 0 si x < 4x−5 = 0 si x = 5 x−5 > 0 si x > 5 y x−5 < 0 si x < 5

x−10= 0 si x = 10 x−10> 0 si x > 10 y x−10< 0 si x < 10x+1 = 0 si x = −1 x+1 > 0 si x > −1 y x+1 < 0 si x < −1

El factor x2 + 4 no se tiene en cuenta ya que es siempre positivo para cualquier valor dex (o secoloca+++ . . . en todoR en caso que se desee tenerlo en cuenta).

Page 54: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

46 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

0 1-1 4 5 10(+) (-) (+) (-) (+) (-) (+)

(−∞,−1) (0,1) (4,5) (10,+∞)

+++++++++++++++++++++

+++

---+++++++++++++++

+++

------++++++++++++

+++

---------+++++++++

+++

------------++++++

+++

---------------+++

+++

------------------

x2 +4x−10x−5x−4x−1

xx+1

FIGURA N◦ 2.18

Luego la solucion total es(−∞,−1)∪ (0,1)∪ (4,5)∪ (10,+∞).

Utilizando este mismo diagrama se pueden obtener de inmediato los siguientes resultados:

La solucion de la desigualdad(x−1)(x−4)(x−10)

x(x2 +4)(x+1)≥0 es (−∞,−1)∪(0,1]∪[4,5]∪[10,+∞)

Y la solucion de la desigualdad(x−1)(x−4)(x−5)(x−10)

x(x2 +4)(x+1)< 0 es (−1,0)∪ (1,4)∪ (5,10).

EJERCICIOS

Hallar el conjunto solucion de las siguientes desigualdades.

1. 0≤ 2x−6≤ 4

2. −x3−2x2 +8x < 0

3. 2x−2≥ 3+x

4.x+4x−2

≤ 1

5.2x+5x+1

>x+1x+1

6.3x−1

5− x+1

2< 1− x

7

7.x−2x+2

≥ 2x−3x−1

8. 4<3x−10x+7

< 24

9.(

3√

x−3)(

4√

x−2)≥ 0

Page 55: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.2. VALOR ABSOLUTO 47

10. x < x2−12< 4x

11. 1−x−2x2 ≥ 0

12.(x2 +x−6)(x2−1)

x3 +x2−2x≥ 0

13.(x2 +4x+5)(x4 +1)

(x4 +2x2 +2)(x3 +1)≤ 0

2.2. VALOR ABSOLUTO

Se define el valor absoluto de un numero realx, como la distancia del punto que en la recta realrepresenta al numerox, al punto que en la recta real representa al numero cero y se simboliza con|x|.Como la distancia es un numero real positivo, six es positivo entonces distancia dex a cero esx, esdecir |x| = x; si x es negativo, entonces la distancia dex a cero ya no esx, porquex es negativo, sinoque−x que es positivo, es decir|x| = −x.

Se sintetiza esta definicion ası:

|x| ={

x si x≥ 0

−x si x < 0

Se ha motivado esta definicion de valor absoluto de un numero real x, con la nocion de distanciaentre dos puntos de la recta real, pero en realidad la recta real no puedeestar separada del plano carte-siano, en el cual a cada puntoP del mismo se le hace corresponder una pareja de numeros reales(a,b),llamados sus coordenadas, obtenidos al proyectarP sobre el ejex y sobre el ejey respectivamente(a es la proyeccion deP sobre el ejex , b es la proyeccion deP sobre el ejey ).

La nocion de distancia entre dos puntos en la recta es un caso particular de la nocion de distanciaentre dos puntos en el plano toda vez que la recta esta en el plano. De cualquier manera la distanciaentre dos puntosP y Q del plano es la longitud del segmento de recta cuyos extremos sonP y Q. Silas coordenadas deP son(x0,y0) y las coordenadas deQ son(x1,y1) por una aplicacion directa delTeorema de Pitagoras se encuentra que la distancia deP y Q , se simboliza cond(P,Q), es:

d(P,Q) =

(x1−x0)2 +(y1−y0)

2

como se muestra en la figura 2.19

Page 56: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

48 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

y

x

Q

y1−y0

x1−x0

P

x0 x1

y0

y1

FIGURA N◦ 2.19

Si se aplica esta formula de distancia entre dos puntos del plano a los dos puntos(x, 0) y (0, 0),que tambien son puntos de la recta real (que corresponden al numerox y al numero cero), se obtiene:

d (x,0) = d ((x,0) , (0,0)) =

(x − 0)2 + (0− 0)2 =√

x2

Pero comod (x, 0) = |x|, se tiene entonces un resultado muy interesante y de alguna manera sor-prendente para el lector: √

x2 = |x |Este resultado se puede utilizar como definicion de valor absoluto dex, por cuanto que six ≥ 0,√

x2 = x y si x < 0,√

x2 = −x, toda vez que el sımbolo√

x2 representa la raız cuadradapositiva dex2.

Ejemplo

|2| = 2 ya que 2≥ 0

|−4| = − (−4) = 4 ya que −4 < 0

2.2.1. Propiedades del valor absoluto

Propiedad 1

|x| ≥ 0 para todox ∈ R.

Si por definicion el valor absoluto dex es la distancia del numero realx al numero cero, y todadistancia es no negativa, entonces valor absoluto dex es positivo o cero.

Propiedad 2

|x|2 = x2 para todox∈ R.

Page 57: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.2. VALOR ABSOLUTO 49

Si x ≥ 0, la distancia dex a cero esx, y la distancia dex a cero es|x|, luego|x| = x, y |x|2 = x2.

Si x < 0, la distancia dex a cero es−x, y la distancia dex a cero es|x|, luego |x| = −x, y|x|2 = (−x) (−x) = x2.

Lo que se acaba de exponer corresponde a una explicacion de la propiedad, lo que se hara con laspropiedades siguientes, pero adicionalmente se presentara la demostracion rigurosa de cada propiedad.

Demostracion

Por definicion |x| =√

x 2, luego al elevar al cuadrado se obtiene|x|2 = x 2

Ejemplo

|5|2 = 52 = 25; |−3|2 = (−3)2 = 9

Propiedad 3

|x| = y es equivalente a[ (y ≥ 0) y (x = y o x = −y) ]

Como|x| ≥ 0, si |x| = y, entoncesy ≥ 0.

ahora, si|x| = y, entonces la distancia dex a cero esy, ası que six y y estan al lado derechodel cero,x = y, o si por lo contrariox y y estan a lados opuestos del cero pero a la misma distancia,x = −y.

Demostracion

Si |x| = y, entonces√

x 2 = y, luegoy ≥ 0. Por otro lado, si|x | = y, entoncesx 2 = y 2, es decirx 2 − y 2 = 0, equivalente a(x − y) (x + y) = 0, lo que significa quex − y = 0 o x + y = 0. Six − y = 0, entoncesx = y, si x + y = 0, entoncesx = −y

Ejemplo

Halle los valores dex que satisfacen la ecuacion |x − 2| = 3x − 9.

|x − 2| = 3x − 9 ⇔

3x − 9 ≥ 0y

x − 2 = 3x − 9 o x − 2 = − (3x − 9)⇔

x ≥ 3y

x = 7/2 o x = 11/4

por lo tanto puesto que 11/4 no es mayor que 3 entonces

{x | |x − 2| = 3x − 9} = {7/2} es el conjunto solucion.

Page 58: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

50 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

Propiedad 4

|x| = |y| equivale ax = y o x = −y.

Si |x| = |y|, entonces la distancia dex a cero es igual a la distancia dey a cero. Six y y estan delmismo lado del cero, entoncesx = y. Si x y y estan a lados opuestos del cero, entoncesx = −y.

yx

0

x

−y0y

FIGURA N◦ 2.20

Demostracion

Si |x| = |y|, entonces√

x 2 =√

y 2, luegox 2 = y 2, y ası x 2 − y 2 = 0, que al factorizar lleva a(x − y) (x + y) = 0, por tantox − y = 0 o x + y = 0, es decir,x = y o x = −y.

Propiedad 5

|x| = 0, si y solo si x = 0

Si |x| = 0 , entonces la distancia dex a cero es cero.

Para que la distancia entre dos puntos sea cero se requiere que los dos puntos sean iguales, luego si|x| = 0, entoncesx debe ser cero. Recıprocamente, six = 0, entonces la distancia dex a cero es cero,luego|x| = 0.

Demostracion

|x| = 0, entonces√

x 2 = 0, luegox 2 = 0, de donde se deduce quex = 0.

Ejemplo

i. |x − 2| = 0 equivale ax − 2 = 0, es decir,x = 2.

ii.∣∣x 2 − 5x + 6

∣∣ = 0 equivalente a x 2 − 5x + 6 = 0 ⇔ (x − 3) (x − 2) = 0 es decir

x = 2 o x = 3 ⇔ x ∈ {2, 3}.

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2.2. VALOR ABSOLUTO 51

Propiedad 6

Si k ≥ 0; |x | ≤ k es equivalente a−k ≤ x ≤ k.

Si |x| ≤ k, entonces la distancia dex a cero es menor o igual quek. La distancia del numerok alnumero cero esk. La distancia del numero−k al numero cero esk. Luego los numerosx que estan auna distancia de cero menor o igual quek son todos los del intervalo cerrado[−k, k], es decir losxtales que−k ≤ x ≤ k, como se ilustra con la grafica.

−k k0

FIGURA N◦ 2.21

Demostracion

Si k ≥ 0 y |x | ≤ k, entonces√

x 2 ≤ k, luego al elevar al cuadradox 2 ≤ k 2 equivalente ax 2 − k 2 ≤ 0. Si se factoriza el miembro izquierdo se obtiene(x − k) (x + k) ≤ 0, resolviendo estadesigualdad por los metodos conocidos se tiene:

k−k

x−k

x+k

(x−k)(x+k)

-------- -------- +++++

-------- ++++++++ +++++

++++++++ -------- +++++

FIGURA N◦ 2.22

la solucion de la desigualdad es el intervalo[−k, k], es decir el conjunto de los valoresx tales que−k ≤ x ≤ k.

Ejemplo

i. |x| ≤ 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 o sea x ∈ [−3, 3]

ii. |x−2| < 1⇔−1 < x−2 < 1 ⇔ 2−1 < x < 2+1 o sea x∈ (1, 3).

Propiedad 7

− |x| ≤ x ≤ |x| .

Como|x| ≥ 0, para todox ∈ R, entonces sobre la recta real|x| debe estar a la derecha del cero yevidentemente− |x| debe estar a la izquierda del cero, luego inicialmente− |x| ≤ |x|.

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52 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

0 |x|−|x|

FIGURA N◦ 2.23

ahora six ≥ 0, graficamente se tiene:

0 |x|−|x|

FIGURA N◦ 2.24

−|x| ≤ |x| = x o |x| ≤ x = |x| , equivalente a−|x| ≤ x≤ |x|.

Similarmente six < 0, graficamente se tiene:

0 |x|

x

−|x|

FIGURA N◦ 2.25

− |x| = x ≤ |x| , equivalente a− |x| ≤ x ≤ |x|.

Demostracion

|x| = |x| , entonces|x| ≤ |x|. Como|x| ≥ 0, la propiedad (6) permite interpretar que si|x| ≤ |x|,entonces− |x| ≤ x ≤ |x|. (tomando comok el |x| del lado derecho de la desigualdad).

Ejemplos

i. − |5| ≤ 5 ≤ |5| ;

ii. − |−3| ≤ −3 ≤ |−3| .

Propiedad 8

|xy| = |x| |y| .

Demostracion

Aplicada la definicion axy se obtiene|xy | =

(xy)2 , luego

|xy| =

(xy)2 =√

x 2y 2 =√

x 2√

y 2 = |x| |y| .

Page 61: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.2. VALOR ABSOLUTO 53

Ejemplos

i. |(5) (4) | = |5| |4| ; |(5) (−3) | = |5| |−3| ; |(−3) (−6)| = |−3| |−6| .

ii.∣∣x 2∣∣ = |(x) (x) | = |x | |x | = |x |2 = x 2

iii. |−x | = |(−1) (x) | = |−1| |x | = |x |

iv. |a− b| = |(−1) (b− a) | = |−1| |b− a| = |b− a|

Propiedad 9∣∣∣∣

xy

∣∣∣∣

=|x||y| para todox ∈ R y todoy ∈ R y 6= 0.

Demostracion∣∣∣∣

xy

∣∣∣∣

=

√(

xy

)2

=

x 2

y 2 =

√x 2

y 2=

|x||y| .

Propiedad 10

Si k ≥ 0; |x| ≥ k es equivalente ax ≤ −k o x ≥ k.

Si k ≥ 0 y |x| ≥ k, entonces la distancia dex a cero es mayor o igual quek. La distancia dek acero esk, y la distancia de−k a cero tambien esk, luego losx cuya distancia a cero es mayor o iguala k son los que estan a la derecha dek o el mismok o los que estan a la izquierda de−k o el mismo−k, como se ilustra en la grafica.

−k 0 k

FIGURA N◦ 2.26

y ası |x| ≥ k es equivalente ax ≤ −k o x ≥ k

Demostracion

Si |x| ≥ k, entonces√

x 2 ≥ k, luegox 2 ≥ k 2 , es decirx 2 − k 2 ≥ 0 , que se puede expresartambien como(x − k) (x + k) ≥ 0 cuya solucion es:

x ≤ −k o x ≥ k (ver demostracion de propiedad (6) ).

Ejemplos

i. |x| ≥ 4 ⇔ x ≥ 4 o x ≤−4 o sea x ∈ [4, +∞) ∪ (−∞ , −4]

ii. |x−2| > 1 ⇔ x−2 > 1 o x−2 < −1 o sea x > 3 o x < 1, es decir,x∈ (−∞,1) ∪ (3,+∞)

Page 62: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

54 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

NOTA

Observe la diferencia entre los ejemplos de las propiedades 6 y 10; mientrasque en los ejemplosde la propiedad 6 se trabajo con la interseccion, en los ejemplos de la propiedad 10 se trabajo con launion.

Propiedad 11

|x + y| ≤ |x| + |y| .

Se podrıa pensar que similarmente a las propiedades 8 y 9, tambien se deba tener que|x + y | = |x | + |y |, pero en general eso es falso, por ejemplo six = 8 y y = −3, entonces,|x + y | = |8 + (−3) | = |5| = 5, mientras que|x | + |y | = |8| + |−3| = 8 + 3 = 11

Demostracion

De la propiedad (7) se concluye que− |x| ≤ x ≤ |x|; − |y| ≤ y ≤ |y|, al sumar las dos de-sigualdades, se obtiene:

− ( |x| + |y|) ≤ x + y ≤ ( |x| + |y|) equivalente|x + y| ≤ ( |x| + |y|). (Propiedad (6)).

Ejemplos

i. |5 + 3| ≤ |5| + |3|

ii. |−2− 3| ≤ |−2| + |−3|

iii. |−3 + 5| ≤ |−3| + |5|

Propiedad 12

|x| = |−x| para todox ∈ R

Como el opuesto dex es –x, la distancia de –x a cero es la misma distancia dex a cero, luego|x | = |−x |.

Demostracion

|−x| =√

(−x ) 2 =√

x 2 = |x| .

Propiedad 13

|x − y| ≤ |x| + |y| .

Demostracion

|x − y| = |x + (−y) |

Page 63: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.2. VALOR ABSOLUTO 55

≤ |x| + |−y | = |x| + |y | , luego

|x − y | ≤ |x| + |y |

Propiedad 14

|x| − |y| ≤ |x − y |

Demostracion

|x | = |x + y− y | = |(x − y) + y | ≤ |x − y | + |y |

es decir|x | ≤ |x − y | + |y | , por tanto

|x − y | ≥ |x | − |y |

Ejemplos

|5− 2| ≥ |5| − |2||5− 2| ≥ |2| − |5|

2.2.2. Aplicaciones de las propiedades

En los siguientes ejemplos se ilustrara como se utilizan estas propiedades y el concepto de valorabsoluto en la solucion de algunas ecuaciones y desigualdades.

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de la ecuacion |x − 7| = 10|x − 7| = ± (x − 7) = 10; luegox− 7 = 10 o − (x − 7) = 10 , es decir x = 17 o x = −3.luego el conjunto solucion es{17, −3}

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de|x − 4| ≤ 1.

|x − 4| ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ x − 4 ≤ 1 ⇔ 3 ≤ x ≤ 5, es decir x ∈ [3, 5].

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de la desigualdad∣∣x2 − 4

∣∣ ≤ 1.

Seay = x 2, luego∣∣x 2 − 4

∣∣ = |y− 4| ≤ 1 ⇔ 3 ≤ y ≤ 5. (ejemplo anterior). Comoy = x 2

se tiene que 3≤ x 2 ≤ 5, y ası x 2 ≥ 3 y x 2 ≤ 5, cuyos conjuntos solucion son(−∞ , −

√3]∪[√

3, +∞)

y[

−√

5,√

5]

respectivamente, y ası la solucion de la desigualdad∣∣x 2 − 4

∣∣ ≤ 1 es el conjunto

{(−∞ , −

√3]∪(√

3, +∞)}

∩[

−√

5,√

5]

=[

−√

5, −√

3]

∪[√

3,√

5]

Page 64: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

56 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de la ecuacionx2 − 2 |x| − 3 = 0.

i. Si x ≥ 0,x 2 − 2 |x| − 3 = 0 ⇔ x 2 − 2x− 3 = 0 ⇔ (x − 3) (x + 1) = 0 entoncesx = 3o x = −1 comox ≥ 0, se tiene quex = 3 es una solucion.

ii. Si x < 0; x 2 − 2 |x| − 3 = 0 ⇔ x 2 + 2x − 3 = 0 ⇔ (x + 3) (x − 1) = 0 ⇔ x = −3o x = 1 comox < 0, se tiene quex = −3 es otra solucion.

Ası, la solucion total es{−3, 3}

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de la desigualdad

|x − 2| − |x + 6| ≤ 3.

En desigualdades de este tipo, primero se divide la recta en intervalos determinados por los valoresdex donde|x − 2| = 0 y |x + 6| = 0, luego se analiza la desigualdad en cada intervalo.

Como |x − 2| = 0 ⇔ x = 2 y |x + 6| = 0 ⇔ x = −6; los intervalos son(−∞ , −6] , (−6, 2] , [2, +∞).

|x − 2| =

{x − 2 si x ≥ 22− x si x < 2

y |x + 6| =

{x + 6 si x ≥ −6−x − 6 si x < −6

−6 2

|x−2|

|x+6|2−x

−x−6

2−x

x+6 x+6

x−2

FIGURA N◦ 2.27

i. Si x < −6, |x − 2| − |x + 6| = (2− x) + x + 6 ≤ 3 ⇔ 8 ≤ 3 (absurdo),

luego no hay solucion en este intervalo.

ii. Si −6 < x < 2,|x − 2| − |x + 6| = 2− x − (x + 6) = −2x − 4 ≤ 3 ⇔ −7 ≤ 2x ⇔ x ≥ −7/2

ası que la solucion es(−6, 2) ∩ [−7/2, +∞) = [−7/2, 2), pues hay que considerar el hechode que−6 < x < 2, es decir,x ∈ (−6, 2).

iii. Si x > 2, |x − 2| − |x + 6| = (x − 2) − (x + 6) = −8 ≤ 3 , que es una desigualdad ver-dadera para todoR, ası, la solucion en este intervalo es(2, +∞) ∩ (−∞ , +∞) = (2, +∞).

Page 65: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.2. VALOR ABSOLUTO 57

Faltarıa por analizar six = −6, x = 2 son soluciones, y para ello se reemplaza en la ecuacion|x − 2| − |x + 6| ≤ 3,

ası: parax = −6; |−6− 2| = 8 ≤ 3 (absurdo),y parax = 2 |2− 2| − |2 + 6| = −8 ≤ 3 verdadero, luegox = 2 es solucion.La solucion total es[−7/2, 2) ∪ (2, +∞) ∪ {2} = [−7/2, +∞)

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de la desigualdad( |x| − 2) ( |x − 1| − 3) ≥ 0

|x| =

{x si x≥ 0−x si x < 0

y |x − 1| =

{x − 1 si x ≥ 11− x si x < 1

|x| = 0 ⇔ x = 0 y |x − 1| = 0 ⇔ x = 1.

0 1

|x |

|x−1|

−x

1−x

x

1−x x−1

x

FIGURA N◦ 2.28

i. Si x < 0( |x| − 2) ( |x − 1| − 3) = (−x − 2) (1− x − 3) = (−x − 2) (−x − 2) ≥ 0 ⇔(−1)2 (x + 2)2 ≥ 0,

que se cumple para todo numero real, luego la solucion en i) es

(−∞, 0) ∩ (−∞ , +∞) = (−∞ , 0)

ii. Si 0 < x < 1; ( |x| − 2) ( |x − 1| − 3) = (x − 2) (1− x − 3) = (x − 2) (−x − 2) ≥ 0

-2 2(+)(-) (-)

------

+++++

- - - - -- - - - -

+++++------

Prod

−x−2x−2

FIGURA N◦ 2.29

y ası el producto es positivo en el intervalo(−2, 2), luego la solucion en ii) es(0,1)∩ (−2,2) = (0,1)

iii. Si x > 1; ( |x| − 2) ( |x − 1| − 3) = (x − 2) (x − 1 − 3) = (x − 2) (x − 4) ≥ 0

Page 66: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

58 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

2 4(+) (-) (+)

------------

+ + + + +- - - - - -

++++++++++

Prod

x−3x−2

FIGURA N◦ 2.30

y el producto es positivo en{(−∞, 2) ∪ (4, +∞)}, ası que la solucion en iii) es{(−∞, 2) ∪ (4, +∞)} ∩ (1, +∞) = (1, 2) ∪ (4, +∞) .

Ademas se puede verificar que en los extremos de los intervalos: 0,1,2,4, tambien se satisface ladesigualdad por tanto la solucion total es:(−∞. 0] ∪ [0, 2] ∪ [4, +∞).

Ejemplo

El conjunto solucion de la desigualdad∣∣x 18

∣∣ + x 2 + 4 ≥ 0 es el conjunto de los numeros reales y

el conjunto solucion de la desigualdad|x + 3| + 5

x 4 + 1< 0 es vacıa. (Por que).

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de la desigualdad|x| − |x − 1| + |x + 2| ≥ 0

Como

|x| =

{x si x≥ 0−x si x < 0

|x − 1| =

{x − 1 si x ≥ 1− (x − 1) si x < 1

|x + 2| =

{x + 2 si x ≥ −2− (x + 2) si x < −2

se tiene que

0 1-2

−x −x x x−(x−1) −(x−1) −(x−1) (x−1)

−(x+2) (x+2) (x+2) −(x+2)

|x||x−1||x+2|

FIGURA N◦ 2.31

los intervalos a considerar son(−∞ , −2] ; (−2, 0] ; (0, 1] y (1, +∞)

i. Si x < −2 , |x| − |x − 1| + |x + 2| = −x + (x − 1) − (x + 2) ≥ 0; si y solo si−x − 3 ≥ 0 si y solo si x ≤ −3, ası que la solucion en este intervalo es(−∞ , −3] ∩ (−∞ , −2) = (−∞ , −3]

ii. Si −2 < x < 0, |x| − |x − 1|+ |x + 2| = −x+ (x − 1) + x+ 2 ≥ 0 si y solo si x+ 1 ≥ 0si y solo si x ≥ −1 y la solucion en este intervalo es[−1, +∞) ∩ (−2, 0) = [−1, 0)

iii. Si 0 < x < 1; |x| − |x − 1| + |x + 2| = x + (x − 1) + x + 2 = 3x + 1 ≥ 0 si y solo six ≥ −1

/3 y ası la solucion en este intervalo es

[−1/

3, +∞)∩ (0, 1) = (0, 1)

Page 67: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

2.2. VALOR ABSOLUTO 59

iv. Si x > 1; |x| − |x − 1|+ |x + 2| = x− (x − 1) + x+ 2 = x+ 3 ≥ 0 si y solo si x ≥ −3,y ası la solucion en este intervalo es[−3, +∞) ∩ (1, +∞) = (1, +∞)

Faltarıa por analizar six = 0; x = −2; x = 1 son soluciones y para ello se reemplaza en la in-ecuacion |x| − |x − 1| + |x + 2| ≥ 0, ası

Si x = −2; |−2| − |−2− 1| + |−2 + 2| = 2− 3 + 0 ≥ 0 absurdoSi x = 0; |0| − |−1| + |2| = −1 + 2 = 1 ≥ 0, luegox = 0 es solucionSi x = 1; |1| − |0| + |3| = 1 + 3 = 4 ≥ 0, luegox = 1 es solucion

Luego la solucion total es

(−∞ , −3] ∪ [−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞) ∪ {0} ∪ {1} = (−∞ , −3] ∪ [−1, +∞) .

y por consiguiente la solucion de|x| − |x − 1| + |x + 2| < 0 es el intervalo(−3, −1).

Ejemplo

Halle el conjunto solucion de la desigualdad|x + 1 − |x − 2| | ≤ 1

i. Si x − 2 ≥ 0, es decir six ≥ 2 entonces

|x + 1 − |x − 2| | = |x + 1− (x − 2) | = |x + 1− x + 2| = 3 ≤ 1 absurdo, luego no haysolucion en este caso.

ii. Si x − 2 < 0, es decir, six < 2 entonces|x + 1 − |x − 2| | = |x + 1 + x − 2| = |2x − 1| ≤ 1 si y solo si−1 ≤ 2x− 1 ≤ 1 si y solosi 0 ≤ 2x ≤ 2 si y solo si 0≤ x ≤ 1, y la solucion en este caso es[0, 1] ∩ (−∞ , 2) = [0, 1]y ası la solucion total es[0, 1] ∪ φ = [0, 1]

EJERCICIOS

Hallar el conjunto solucion de las siguientes expresiones.

1. |3x − 2| = 7

2. |3− x| = |8− x|

3.∣∣x2 − 1

∣∣ +

∣∣x2 − 16

∣∣ = 2

4.

∣∣∣∣

2x3

− 4

∣∣∣∣≤ 1

5. |3x − 5| ≥ 4

6. |x + 1| ≥ x − 13

Page 68: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

60 Capıtulo 2. DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO

7. | |x − 2| + 4| = 3

8. | |x| − 4| = 1

9.

∣∣∣∣

x − 1x − 4

∣∣∣∣≥ 7

10.

∣∣∣∣

x − 1x − 2

∣∣∣∣≥ x

11.∣∣5 − x−1

∣∣ ≤ 4

12.∣∣x2 − 4x + 3

∣∣ > x

13. | |x − 2| − |x + 4| − x| ≥ 3

14.(x + 1) (x − 2) (x − 3)

|x + 4| x≥ 0

15. | |x| − |x − 1| | ≤ 4

16.

(√

|x + 4|2 − 25

) (√x2 − 9

)

≤ 0

17. Demostrar que la distancia entre dos numeros reales x, e y es|x − y|

18. Cuales de las afirmaciones siguientes son verdaderas.

a) |xn | = |x|n

b) |x + y + z| ≥ |x| + |y| + |z|

c)√

(x − 1)2 = x − 1

d)√

(x − 5)2 = (x − 5)

Page 69: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 3PLANO CARTESIANO Y NUMEROSCOMPLEJOS

3.1. El PLANO CARTESIANO

Una pareja ordenada de numeros reales es una expresion de la forma(a,b) cona y b numeros reales,con la propiedad de que

(a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d

Ası por ejemplo (1, 2) 6= (2, 1)

Al conjunto de todas las parejas ordenadas de numeros reales se llama producto cartesiano deRconR y se nota R ·R = R2, es decir,

R × R = {(x, y) | x ∈ R y y ∈ R} = R2.

Este conjunto es de gran importancia en la representacion grafica de curvas planas y en la inter-pretacion geometrica de los numeros complejos.Graficamente el conjuntoR2 representa el conjunto de todos los puntos de un plano, llamado planocartesiano. Esa representacion se logra asociando unıvocamente a cada una de las parejas deR2 unpunto del plano, y recıprocamente a cada punto del plano una pareja deR2, como se explica a contin-uacion.En el plano se consideran dos rectas reales (metrizadas), una horizontal llamadaeje xy otra verticalllamadaeje y, que se cortan perpendicularmente en un punto llamadoorigeny al cual se le asigna lapareja (0,0) deR2. (Ver figura 3.1 )

61

Page 70: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

62 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

OrigenEje X

Eje Y

(0,0)

FIGURA N◦ 3.1

Sobre la recta horizontal oeje xse ubican los elementos de la forma (a, 0) de tal manera que sia > 0 el punto este a la derecha del origen, y sia < 0 el punto este a su izquierda (Ver figura 3.2).Sobre la recta vertical oeje yse ubican las parejas de la forma(0, b) de tal manera que sib > 0 elpunto este por encima del origen, y sib < 0 el punto este por debajo del origen.

y

x

(0,4)

(0,0)

(2,0)

(0,-2)

(-3,0)

FIGURA N◦ 3.2

Ahora para representar cualquier pareja(x, y) ∈ R2, con x 6= 0, y 6= 0, se localizan los puntoscorrespondientes a las parejas(x, 0) y (0, y) y se trazan por estos puntos rectas paralelas a losejes yy x respectivamente, y al punto Q de corte de estas dos rectas se le asigna la pareja(x, y) deR2. (Verfigura 3.3 ).

(0,0)(x,0)

(x,y) (0,y)

x

y

Q

FIGURA N◦ 3.3

Page 71: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.1. El PLANO CARTESIANO 63

A los dos numeros que conforman la pareja(x, y) representada por el punto Q, se les llama coor-denadas del punto Q, o tambien se dice que Q tiene coordenadasx y y.Para el procedimiento recıproco, dado un punto P cualquiera del plano se trazan por ese punto rectasperpendiculares a losejes xy y respectivamente, determinando ası dos puntos, uno sobre eleje xconcoordenadas(α , 0) y otro sobre eleje ycon coordenadas(0, β ). (Ver figura 3.4). Al punto P se leasigna la pareja(α , β ), es decir, las coordenadas del punto P sonα y β .

(α ,0)

P = (α , β )(0,β )

y

x

FIGURA N◦ 3.4

Ejemplos

1. Localizar en el plano cartesiano las siguientes parejas ordenadas.

(0, 4) (−1, 2) (−3, 0) (0, −3) y (4, 0) .

y

x

(0,4)

(-1,2)

(4,0)

(0,-3)

(-3,0)

FIGURA N◦ 3.5

2. Represente graficamente el siguiente sub-conjunto deR2:

A = {(x, y) | − 1 ≤ x ≤ 2 y 0 ≤ y ≤ 2} .

Page 72: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

64 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

Se pide que la coordenadax de los puntos sea mayor o igual que−1 y menor o igual que 2,es decir que esos puntos esten entre la recta vertical que pasa por el punto(−1,0) y la rectavertical que pasa por(2,0).

Similarmente si 0≤ y ≤ 2, esos puntos deben estar entre el ejex y la recta horizontal que pasapor el punto(0, 2). (Ver figura 3.6).

A

(0,2)

(−1,0) (2,0)x

y

FIGURA N◦ 3.6

3. Represente el subconjunto deR2 , B = {(x, y) | x = −4 o, y = 5}.

Se pide que la coordenadax de esos puntos sea−4 o que la coordenaday sea 5. Los puntos delplano cartesiano con coordenadax=−4 son todos los de la recta vertical que pasa por(−4, 0)y los puntos del plano con coordenaday = 5 son los de la recta horizontal que pasa por(0, 5).Ası la representacion que se pide esta constituida por las dos rectas senaladas. (Ver figura 3.7).

(−4,0)

(0,5)

x

y

FIGURA N◦ 3.7

4. Represente el subconjunto deR2 : C = {(x,y) | 1 ≤ x ≤ 4 y = 3}

Este conjunto esta constituido por todos los puntos de la recta horizontal que pasa por(0, 3) ycon coordenadasx entre 1 y 4. (Ver figura 3.8).

Page 73: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.1. El PLANO CARTESIANO 65

C3

1 4x

y

FIGURA N◦ 3.8

5. Represente el subconjunto deR2, D = {(x, y) | x < 0 o y < 0}

Este conjunto esta constituido por todos los puntos del plano cartesiano que estan a la izquierdadel ejey o bajo el ejex. (Ver figura 3.9).

y

x

FIGURA N◦ 3.9

6. Represente el subconjunto deR2 E = {(x,y) | y > x2}

Se procede primero a construir la grafica de la ecuacion y = x2

Page 74: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

66 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

x

y

y = x2

FIGURA N◦ 3.10

Se observa que esta grafica divide el plano en 3 conjuntos de puntos: los que estan sobre lacurva, que son los que satisfacen la ecuacion y = x2, los que estan en la parte superior dela curva y los que estan en la parte inferior. Uno de los dosultimos conjuntos de puntos esel que satisface la desigualdady > x2 y el otro la desigualdad y < x2, ¿ Como sabercual de ellos satisface una u otra desigualdad? Una forma de determinar esto es tomar un puntocualquiera(a,b) en una de estas regiones, y observar haciendox = a y y = b cual delas dos desigualdades se satisface. La desigualdad que se cumple para ese punto, se cumple paratoda la region donde esta el punto.Ası por ejemplo si se toma como punto(a,b) = (2,0) que esta en la region inferior se observaque haciendox = 2 y y = 0 se tiene que 0< 4 es deciry < x2, luego en toda la region dondeesta ese punto (region inferior de la grafica) se satisface esta desigualdad y en consecuencia entrela otra region (la superior) se satisface la desigualdady> x2, luego la solucion al problema estarepresentada por la parte sombreada.

(2,0)x

y

FIGURA N◦ 3.11

7. Represente el subconjunto deR2 F = { (x,y) | y > x2 y y−x≤ 4 }La solucion de este problema corresponde a la interseccion (puntos en comun) de dos zonas loque corresponde ay > x2 que se determino en el ejemplo anterior y la dey− x ≤ 4 queaplicando el mismo procedimiento del ejercicio anterior corresponde graficamente a

Page 75: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.1. El PLANO CARTESIANO 67

x

y

FIGURA N◦ 3.12

Superpuestas las dos graficas se observa que los puntos comunes estan representados por laregion sombreada de la figura

x

y

FIGURA N◦ 3.13

¿El pedazo de la grafica de y = x2 que aparece punteada hace parte de la solucion?¿El pedazo de la rectay−x = 4

EJERCICIOS

Represente los siguientes subconjuntos deR2 en el plano cartesiano.

1. {(x, y) | x = −10 y y = 5}

2. {(x, y) | y ≤ 1}

3. {(x, y) | x ≤ 1 y y ≤ 0}

4. {(x, y) | x ≤ 0}

5. {(x, y) | x + y ≥ 0}

Page 76: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

68 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

6.{

(x, y) | y ≤ x2}

7.{

(x, y) | y > x2 + 3x − 2}

8. {(x, y) | y = 2x + 3 − 2 ≤ x ≤ 6}

9.{

(x, y) | (x − 2y + 3)(y − x2

)= 0

}

10. {(x, y) | |x| = |y|}

11.{

(x, y) | y ≥∣∣x2 − 1

∣∣}

12. {(x, y) | y = − |x| + 1}

13. {(x, y) | |x| + |y| ≤ 4}

14. Localizar todos los puntos deR2 cuya distancia al origen sea una constanteRO.

15. Localizar todos los puntos cuya distancia al ejex sea una constantek.

3.2. NUMEROS COMPLEJOS. (C)

3.2.1. Construccion y Operaciones

Una de las caracterısticas que tienen los numeros reales es que todo numero real elevado al cuadra-do es siempre mayor o igual que cero, o sea que expresiones comox 2 = −1 o x 2 = −9 notienen sentido si se esta trabajando con los numeros reales como universo. Si se quiere trabajar en ununiverso donde esto tenga sentido, necesariamente debe ser diferenteal de los numeros reales. Para“construir” este universo inicialmente se debe crear un numero cuyo cuadrado sea igual a−1, el cualse llamara unidad imaginaria y se notara por la letrai (este “numero” no puede ser real) y segun estoi 2 = −1.Se desea tambien que los numeros reales formen parte de este nuevo universo ya que no se pretendedejar a un lado lo que se ha conseguido en el trabajo con numeros reales, sino al contrario, exten-der estas ideas a ese conjunto mas grande sin que los reales pierdan como parte deel su estructura ypropiedades. Ası hasta el momento de ese nuevo conjunto se conocen los reales y la unidad imaginariai.Pero es preciso que se trate de conservar en este universo, si no todas, por lo menos una buena parte delas propiedades fundamentales que se conocen de los numeros, una de ellas por ejemplo, la propiedadclausurativa para el producto nos “obliga” a considerar tambien como elemento de este conjunto, losque resultan de multiplicar los numeros reales por el nuevo numeroi; es decir; numeros de la formabi con b 6= 0, b ∈ R, que se llamaran imaginarios purosy se caracterizan porque al elevarlosal cuadrado siempre dan un numero menor o igual que cero, ya que respetando ciertas propiedadesconocidas del producto,(bi)2 = b2 i 2 = b2 (−1) = −b2. Con esto se pueden hallar numeros cuyocuadrado sea igual a−c, conc > 0, estos seran

√c i y − √

c i ( es evidente que estos imaginariospuros no son reales). ¿Pero como se sumarian esos numeros entre sı? Lo mas natural para sumarai+ciseria factorizar lai y realizar la suma de los realesa y c que resultaran en la factorizacion , es decir,ai+ci = (a+c)i. Si se quiere mantener en este nuevo conjunto la propiedad clausurativapara la suma,se deben aceptar enel, “numeros” que se obtengan al sumar cualquier numero real “a” con cualquier

Page 77: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.2. NUMEROS COMPLEJOS. (C) 69

numero imaginario purobi, es decir se introduce a este conjunto, numeros de la formaa + bi.Realmente todos los numeros que se han aceptado en este nuevo conjunto se pueden expresar en laformaz = a + bi cona, b numeros reales (a “a” se le llama laparte realde z y a “b” la parte imag-inaria), ya que sia es real, es de la formaa = a + 0i y si es imaginario puroβ i es de la formaβ i = 0 + β i. A este conjunto ası construido se llamara el conjunto delos numeros complejosy senotaC, o sea queC estara formado por losnumeros realesa + 0i y por los numerosa + bi , b 6= 0llamadosnumeros imaginarios., es decir,

C = { a+bi | a y b ∈ R }

Se desprende de esta construccion, que para respetar el concepto de igualdad de numeros reales,se debe definir la igualdad de numeros complejos en la forma mas natural, es decir, dos numeroscomplejos son iguales si lo son sus partes reales entre si y sus partes imaginarias, es decir,

a + bi = c + d i si y solo si a = c y b = d

Ejemplos

i. Si z = 2 + 7i y w = 7 + 2i

z 6= w pues Re(z) = 2 Re(w) = 7I m (z) = 7 Im (w) = 2

ası Re(z) 6= Re(w) y I m (z) 6= I m (w)

ii. Si z = x + i y = 9 + 14i entonces debe ser

x = 9 y y = 14 , es decir z = 9 + 14i

Suma y producto de numeros complejos

Es preciso tambien, para que se cumpla la propiedad clausurativa de la suma y producto entodo C,definir de alguna forma adecuada la suma y producto de cualquier par de numeros de la formaa + bi,como se procedera a continuacion: La forma mas natural de definir lasumade dos numeros complejosa + bi , c + d i, teniendo en cuenta que se desea que la suma de dos numeros reales es un numero realy que la suma de dos imaginarios puros, sea un numero imaginario puro, es sumando las partes reales,que sera la parte real de la suma y sumando las partes imaginarias que sera la parte imaginaria de lasuma, es decir:

(a + bi) + (c + d i) = (a+ c) + (b + d) i

Ejemplos

i. (3 + 5i) + (2− 8i) = (3 + 2) + (5− 8) i = 5 − 3i

ii. 5 + (3− i) = (5 + 3) − i = 8− i

iii. ( i ) + (14i) = 15i

iv. Hallar x,y tal que(2− 3i) + (x + i y) = 4 + 3i

Page 78: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

70 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

(2 − 3i) + (x + y i) = (2 + x) + (y− 3) i = 4 + 3i

entonces 2+ x = 4 y y − 3 = 3,

ası quex = 4− 2 = 2 y y = 3 + 3 = 6.

Para definir elproductoen este nuevo conjunto, es necesario tener en cuenta que cuandoeste seefectue entre numeros reales debe coincidir en resultados y propiedades con los ya conocidos con elproducto usual enR, y que cuando se efectue entre numeros imaginarios se respete lo que motivo laconstruccion de este conjunto es decir el hecho de que( i ) ( i ) = i2 = −1. Estas razones hacen queno se pueda definir el producto en su forma mas natural(a + bi) (c + d i) = ac + bd i, sino quesea necesario dar una definicion aparentemente un poco extrana pero que se acopla a los objetivosbuscados:

(a + bi) (c + d i) = (ac− bd) + (ad + bc) i.

Esta definicion se puede justificar realizando directamente el producto, utilizando la propiedaddistributiva de numeros reales, y el hecho de quei 2 = −1 ası:

(a + bi) (c + d i) = ac + ad i + bci + bid i = ac + (ad + bc) i − bd

= (ac− bd) + (ad + bc) i luego

(a + bi) (c + d i) = (ac− bd) + (ad + bc) i.

Observe que con esta definicion si

z = 0 + i entonces z2 = (0 + i) (0 + i) = (0− 1) + (0 + 0) i = −1

Ademas utilizando en forma consecutiva el producto dei por si mismo se obtiene:i 2 = −1 i 3 =

(i 2)

( i ) = (−1) ( i ) = − i i 4 = ( i )2 ( i )2 = (−1) (−1) = 1

y a partir del exponente 5 el ciclo se sigue repitiendo, es decir

i 5 = ( i )4 ( i ) = i i 6 = ( i )4 ( i )2 = (1) (−1) = − 1i 7 = ( i )4 ( i )3 = (1) (− i) = − i etc.

Mas general si se quiere calculari elevado a cualquier numero natural, por ejemploi 501 se puedeproceder de la siguiente forma:

i 501 = i 4(125)+1 =(i 4)125

i = (1)125 i = (1) ( i ) = i y ası

i7523 = i(1880) (4)+3 =(i4)1880

i3 = (1)1880 i3 = (1)(i3)

= − i

es decir para calcularip se representa el exponentep en la formap = 4n + r donder = 0, 1, 2 o 3,entoncesip = i4n+ r =

(i4)n

i r = (1) ( i r) = i r que ya es conocido.

Observe tambien que el producto de dos numeros imaginarios no siempre es imaginario, como sevio con( i ) ( i ), o tambien en el muy utilizado resultado:

(a + bi) (a− bi) =(a2 + b2) + (ab− ab) i = a2 + b2 ∈ R.

Page 79: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.2. NUMEROS COMPLEJOS. (C) 71

Ejemplos

i. (2 + 3i) (3− 5i) = (6 + 15) + (9− 10) i = 21− i

ii. (2i) (3 + 4i) = (0 + 2i) (3 + 4i) = (0− 8) + (6 + 0) i = −8 + 6i

iii. (4 + 2i) (4− 2i) = (4)2 + (2)2 = 16+ 4 = 20

iv.9− 7i

4=

14

(9− 7i) =94− 7

4i

v. Escribir el complejo(1 + i)/i en la formaa + bi

i 2 = −1 es decir ( i ) ( i ) = −1 por tanto i = − 1i, es decir

1i

= − i

luego(1 + i)/i = − i (1 −+ i) = (0− i) (1 + i) = − 1− i.

Esta suma y este producto satisfacen las mismas propiedades algebraicas fundamentales que sat-isfacen los numeros reales. (Conmutativa, asociativa, ...., etc), teniendo en cuenta quelos numerosreales 0 y 1 (que tambien son complejos), seguiran siendo los modulos para la suma y el productorespectivamente.

El inverso aditivo dez = a + bi es el complejow = −z = −a− bi,puesw + z = (−a− bi) + (a + bi) = (−a + a) + (−b + b) i = 0 + 0i = 0.

El inverso para el producto dez = a + bi, paraz 6= 0 esw =1z

=a

a2 + b2 − ba2 + b2 i

ya quez.w = (a + bi)

(a

a2 + b2 − ba2 + b2 i

)

=

(a2

a2 + b2 +b2

a2 + b2

)

+

(

− aba2 + b2 +

baa2 + b2

)

i = 1 + 0i = 1.

Es evidente, teniendo en cuenta como se construyo el conjunto C, que propiedades de orden enR,como el que todo numero elevado al cuadrado sea mayor o igual que cero, no se satisfaran en C, yaque se partio del hecho de quei2 = − 1 < 0, por tanto no se “considerara” orden en C como se hizoen R. Aquı no tiene sentido decir quea + bi es mayor quec + d i ( a menos quea + bi y c + d i seannumeros reales); ası, es absurdo decir que 5i > 3i o 1+ i < 20+ 3i. ¡Entre numeros imaginariosno tiene sentido el signo de desigualdad!

3.2.2. Representacion Grafica de Numeros Complejos

Hay dos numeros reales que caracterizan un numero complejoa+bi, su parte reala notadaRe(z)y su parte imaginariab, notadaI m (z) las cuales, de acuerdo al concepto de igualdad enC si seintercambian entre sı, alteran al numero complejo z, puesa + bi 6= b + ai por tanto los numeroscomplejos tienen la misma caracterıstica que las parejas ordenadas en el sentido de que:

a + bi = c + d i ⇔ a = c y b = d y

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c y b = d

Page 80: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

72 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

Esto motiva a representar cada numero complejoa + bi como la pareja(a, b) donde la primeracomponente “a” corresponde a la parte real del numero complejo y se ubicara sobre el eje de lasx, que se llamara eje realy la segunda componente “b” representara la parte imaginaria del numerocomplejo y se ubicara sobre el eje y, que se llamaraeje imaginario.

Eje Imaginario

Eje Reala

b (a,b) = a+bi

FIGURA N◦ 3.14

Ejemplos

i. El conjunto de todos los numeros reales como subconjunto deC se representa mediante el ejereal.

ii. El conjunto de todos los numeros imaginarios puros se representa por el eje imaginario sin elorigen.

iii. El conjunto de todos los numeros complejos z conI m (z) = 3 se representa por la recta hori-zontal que pasa por 3i.

iv. El conjunto de todos los numeros complejos z tales queRe(z) > 5 se representa por la zonasombreada en la figura.

5Re

Im

FIGURA N◦ 3.15

Page 81: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.2. NUMEROS COMPLEJOS. (C) 73

v. El conjunto de todos los numeros complejos z tales queI m (z) ≤ 8 se representa por la zonasombreada; incluyendo la recta horizontal que pasa por 8.

8

Re

Im

FIGURA N◦ 3.16

NOTA

Observe que el signo de desigualdad en iv. y v. no es realmente entre numeros imaginarios, sinoentre numeros reales, puesR(z) e I m (z) son numeros reales para todoz ∈ C

3.2.3. Valor Absoluto de Numeros Complejos

Teniendo en cuenta la representacion grafica de los numeros complejos que se acaba de conocer,geometricamente el valor absoluto de un numero complejo se define lo mismo que en el caso real,como la distancia del punto que representa el numero complejo, al origen, es decir la longitud delsegmento de recta que va del punto al origen.

Si z = x + i y se puede apreciar en la siguiente grafica que haciendo uso del teorema de Pitagoras.

|z| =√

x 2 + y 2

y

x

|z|

Re

Im

FIGURA N◦ 3.17

o de otra forma

|z| =

(Re(z))2 + (I m (z))2

recordando que la parte imaginaria dez = a + bi esb y no bi. Observe que el valor absoluto de unnumero complejo ası definido es siempre un numero real no negativo.

Page 82: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

74 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

Ejemplos

i. Si z = −8 + 11i entonces|z| =

(−8)2 + (11)2 =√

64+ 121 =√

185

ii. Si z = −3 entonces|z| =

(−3)2 + 02 = 3

Observe que en general siz ∈ R el valor absoluto dez como numero complejo corresponde almismo valor absoluto dez como numero real.

iii. Si z = −15i entonces|z| =

02 + (−15)2 =

(15)2 = 15

iv. Halle el conjunto de todos los numeros complejos tales que su valor absoluto sea igual a 3, esdecir halle todos los valores dez ∈ C para los cuales|z| = 3.

si se hacez = x + i y entonces

|z| = 3 ⇔√

x 2 + y 2 = 3 ⇔ x 2 + y 2 = 9

que representa una circunferencia con centro en el origen y radio 3.Resultado que era de espe-rarse pues la distancia de cualquier punto de dicha circunferencia al origen (su centro) es 3 (suradio) y esto coincide con la definicion del valor absoluto.

R= 3Re

Im

FIGURA N◦ 3.18

v. Si en el ejemplo anterior se pidiese hallar todos los numeros complejos tales que su valor abso-luto sea menor que 3, el resultado serıa el interior de la circunferencia con centro en el origen yradio 3 (por que?). Cuales serıan los numeros complejos para los cuales|z| > 3?

Observe que aquı tambien ese sımbolo de desigualdad no es entre imaginarios sino entre reales.

vi. El conjunto de todos los numeros complejos tales que|z− (6− 5i) | = 7 esta representadopor la circunferencia con centro en(6, −5) y radio 7 (por que? Haga un desarrollo analogo aldel ejemplo iv.

Page 83: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.2. NUMEROS COMPLEJOS. (C) 75

3.2.4. Conjugado de Numeros Complejos y Division

Si se trata de efectuar la division de numeros complejos:

wz

=a + bic + d i

hasta el momento se realiza como el productow.z−1 = (a + bi) (c + d i)−1 . Pero si se tiene en cuen-ta que siempre el producto(α + β i ) (α − β i) = α 2 + β 2 es un numero real, es posible efectuaresta division multiplicando numerador y denominador porc− d i, con lo que se obtiene:

a + bic + d i

.c − d ic − d i

=(a + bi) (c− d i)

c2 + d2 ,

es decir, la division se reduce a una multiplicacion de numeros complejos, dividiendo su resultado porun numero real

(c2 + d2

).

Dado el numero z = c + d i, al numero c− d i, se llama elconjugadode zy se nota por z esdecir; si

z = c + d i, entonces z = c − d i.

Graficamente, el punto que representaz es simetrico respecto al eje real, al punto que representaz.

Im

Rex

x+ iy

x− iy

y

−y

FIGURA N◦ 3.19

Ejemplos

i. Si z1 = 3 + 5i ; z1 = 3 + 5i = 3− 5i.

ii. Si z2 = −3− 5i ; z2 = −3− 5i = −3 + 5i.

iii. Si z3 = i ; z3 = 0 + i = − i.

iv. Si z4 = 3; z4 = 3 + 0i = 3

Page 84: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

76 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

v. Divida z = 8− i entrew = 2 + 3i

zw

=8− i

2 + 3i=

8− i2 + 3i

2 + 3i

2 + 3i=

(8− i) (2− 3i)(2 + 3i) (2− 3i)

=(16− 3) + (−24− 2) i

(2)2 + (3)2 =13− 26i

13=

1313

− 2613

i = 1− 2i

vi. Se habıa visto que siz = a + bi entonces

z−1 =1z

=a

a2 + b2 − ba2 + b2

de donde sale esto?1z

=1z

zz

=a− bi

(a + bi) (a− bi)=

a − bia2 + b2 =

aa2 + b2 − b

a2 + b2 i

por tanto:1

4− 3i=

416+ 9

− −316+ 9

i =425

+325

i

vii. 1/

i = − i pues

1i

=1i

ii

=− i

( i ) (− i)=

− i1

= − i

por tanto:27i

=27

1i

=27

(− i) = − 27

i

Propiedades del valor absoluto y conjugado de numeros complejos

Como las demostraciones de las propiedades que se enunciaran a continuacion son casi inmediatasutilizando las definiciones, se dejaran en su mayorıa como ejercicio, y se realizaran algunas a manerade ilustracion.

1. |z| = |z| .

2. z = z.

3. z1 + z2 = z1 + z2.

Demostracion

Seaz1 = a + bi y z2 = c + d i, entonces

z1 + z2 = (a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i luego

z1 + z2 = (a + c) + (b + d) i = (a + c) − (d + b) i = a + c − bi − d i

= (a− bi) + (c − d i) = z1 + z2, luego

z1 + z2 = z1 + z2

Page 85: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.2. NUMEROS COMPLEJOS. (C) 77

4. |z1z2| = |z1| |z2|

Demostracion

Si z1 = x1 + i y1 y z2 = x2 + i y2

z1z2 = (x1x2 − y1y2) + (x1y2 + x2y1) i

|z1z2 | =

(x1x1 − y1y2)2 + (x1y2 + x2y1)

2

=√

x21x2

2 − 2x1x2y1y2 + y21y2

2 + x21y2

2 + 2x1y2x2y1 + x22 y2

1

=√

x21x2

2 + y21y2

2 + x21y2

2 + x22y2

1

=√

x21

(x2

2 + y22

)+ y2

1

(x2

2 + y22

)=√(x2

2 + y22

) (x2

1 + y21

)

=√

x21 + y2

1

x22 + y2

2 = |z1 | |z2 | luego

|z1z2| = |z1||z2|

5.

(z1

z2

)

=z1

z2

6. z = z ⇔ z ∈ R

7.z+ z

2= parte real dez.

8.z− z

2i= parte imaginaria dez.

9. z. z = |z|2 = a2 + b2 si z= a+bi

Demostracion

Si z = a + bi, entonces

z. z = (a + bi) (a− bi) = a2 + b2 =(√

a2 + b2)2

= |z|2 .

10. Re(z) ≤ |Re(z) | ≤ |z|I m (z) ≤ | I m (z) | ≤ |z| .

11. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | .

Page 86: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

78 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

Demostracion (justifique todos los pasos)

|z1 + z2|2 = (z1 + z2) (z1 + z2) = (z1 + z2) (z1 + z2) = z1 (z1 + z2) + z2 (z1 + z2)

= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2 = |z1|2 + z1z2 + z2z1 + |z2 |2= |z1|2 +z1z2 +z1z2 + |z2|2= |z1|2 + 2Re(z1z2) + |z2|2≤ |z1|2 + 2 |z1z2| + |z2|2= |z1|2 + 2 |z1| |z2| + |z2|2 = |z1|2 + 2 |z1| |z2| + |z2|2 = (|z1| + |z2|)2 ,

En conclusion |z1 + z2|2 ≤ (|z1|+ |z2|)2 y extrayendo raız cuadrada a ambos lados de la de-sigualdad se tiene

|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|

Ejemplos

i. Si z = 2− 3i entoncesz = 2 + 3i, ası

|z| =

22 + (−3)2 =√

22 + 32 = |z| .

ii. Si z = −3− 2i , z = −3 + 2i y z = −3− 2i, ası quez = z.

iii. (6 − i) (2 + 8i) = (6− i) (2 + 8i) pues

(6 − i) (2 + 8i) = (12+ 8) + (48− 2) i = 20+ 46i = 20 − 46i

y por otro lado

(6 − i) (2 + 8i) = (6 + i) (2− 8i) = (12+ 8) + (−48+ 2) i = 20− 46i

iv.

(i

2 + i

)

=i

(2 + i)pues

(i

2 + i

)

=

(i (2− i)

(2 + i) (2− i)

)

=

(2i + 14 + 1

)

=

(1 + 2i

5

)

=15

+25

i =15− 2

5i

y por otro lado

i

(2 + i)=

− i2− i

=− i (2 + i)

(2− i) (2 + i)=

−2i + 14 + 1

=1− 2i

5=

15− 2

5i

v. |5+12i +4−3i| ≤ |5+12i|+ |4−3i| ya que

|5+12i +4−3i| = |9+9i| =√

81+81= 9√

2

|5+12i| =√

25+144=√

169= 13 ; |4−3i| =√

16+9 =√

25= 5

y es evidente que 9√

2≤ 13+5 = 18= 9·2 pues√

2 < 2

Page 87: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

3.2. NUMEROS COMPLEJOS. (C) 79

EJERCICIOS

1. Si z1 = 1 + 2i; z2 = 2 + 3i ; z3 = 5i,

Efectuar las operaciones indicadas

a) 2z1 − 3z2 + z3 b)z1z2 c)z1

z2z3d)(z1z2z3)

−1

2. Escribir el complejo dado en la formaa + ib cona y b reales, para:

a) 3i 30 − i 19

2i − 1b) (1 + i)100 c)

i 6 + i 3 − i 5

2− i 3 + i 4

d)6 − i

(1 + i)2 e)1 + i

(2− 3i) (4 + i)f )

i3− 2i

3. Hallar x y y tales que

a) (x − i y)2 = −8− 6i b) 2x − y + (3y− 2x) i = 2 − 2i

c) (3 + 5i) (x + i y) = 1 d) (2 + 3i) (x − i y) = 1 − 2i

e) 3x + 2i y − i x + 5y = 7 + 5i

4. Hallar el valor de cada una de las expresiones siguientes.

Si z1 = 2− i ; z2 = 1 + i ; z3 = − 12

+

√3

2i

a) |3z1 + z2 | b) |z1z2z3 |2 c) |z3 |2 d)

∣∣∣∣

1z1z1

∣∣∣∣

e)

∣∣∣∣

2z2 + z1 − 5− iz1 + 2z2 − 3 + i

∣∣∣∣

2

f )∣∣z1

2 + z22∣∣2 g) | I m (z1z2) |

h)

∣∣∣∣Re

(z1 − z2

z1 + z2

)∣∣∣∣

i) |z1 z2 |

5. Describa y construya la grafica de la region del plano representado por cada una de las ecua-ciones siguientes.

a) |z− 3| = 4 b) |z− 3i | = 4 c) |z− 2| = |z+ 4|

d) |z− 3| + |z+ 3| = 1o e) | i − z| = 1 f )z = 2− z

g) z = z h) I m(z2)

= 4 i)z+ z = 4

6. Halle los numeros complejoszque satisfacen:

a) 1 ≤ |z| ≤ 3 b) 1 ≤ |z− 2i | ≤ 5 c) |z+ 1| ≥ 3

d) |z− i | > 1 e) I m(z2)≥ 1 f ) Re

(z2)

> 1

Page 88: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

80 Capıtulo 3. PLANO CARTESIANO Y NUMEROS COMPLEJOS

7. Cual de las afirmaciones siguientes es verdadera para todoz1 , z2 ∈ C

a) Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2)

b) I m (z1 + z2) = I mz1 + I mz2

c) Re(z1z2) = Re(z1) Re(z2) − I m (z1) I mz2

d) I m (z1z2) = Re(z1) I mz2 + I mz1 Re(z2)

Page 89: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 4TEMAS ADICIONALES CON NUMEROSNATURALES

4.1. DOS SUMAS FINITAS IMPORTANTES

Suponga que se desea hallar la suma de losn primeros numeros naturalesparan fijo. Si bien escierto el proceso es sencillo, pues consiste simplemente en realizar un numero finito de sumas, resul-ta un poco engorroso si se pretende hacerlo manualmente para un numeron suficientemente grande.Sin embargo es posible hallar una formula sencilla que permite realizar este calculo sin efectuar sumas.

SeaSn el resultado buscado para unn fijo, es decir sea.

Sn = 1+2+3+ . . .+(n−2)+(n−1)+n

el cual se puede representar tambien como:

Sn = n+(n−1)+(n−2)+ . . .+3+2+1

sumando estas expresiones se tiene:

Sn = 1 + 2 + 3 + . . . + (n−2) + (n−1) + nSn = n + (n−1) + n−2 + . . . + 3 + 2 + 1

2Sn = (n+1) + (n+1) + (n+1) + . . . + (n+1) + (n+1) + (n+1)

y puesto que sonn sumandos entonces

2Sn = n(n+1), por tanto Sn =n(n+1)

2

81

Page 90: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

82 Capıtulo 4. TEMAS ADICIONALES CON NUMEROS NATURALES

Ejemplos

i. 1+2+3+4+5+6 =6(6+1)

2=

(6)(7)

2= 21

resultado que se puede verificar facilmente en forma manual al realizar la suma.

ii. 1 +2+3+ . . .+100.000=(100.000)(100.001)

2

resultado demasiado engorroso de verificar manualmente.

iii. a+2a+3a+ . . .+na= a(1+2+3+ . . .+n) = an(n+1)

2

iv. 70+71+ . . .+5000= (1+2+ . . .+5000)− (1+2+ . . .+69)

=(5000)(5001)

2− (69)(70)

2= 12502500−2415= 12500085

v. (Serie aritmetica finita)

a1 +(a1 +d)+(a1 +2d)+ . . .+(a1 +(n−1)d) = a1 +a1 + . . .+a1︸ ︷︷ ︸

n veces

+d+2d+ . . .+(n−1)d

= na1 +d(1+2+ . . .+(n−1))

= na1 +d(n−1)n

2

= n(a1 +d(n−1)

2)

=n2(2a1 +d(n−1))

vi. Para hallarAn = 7+(7+20)+(7+40)+(7+60)+ . . .+(7+(29)(20)) se aplica el resultadode v. paraa1 = 7 d = 7 n−1 = 29 n = 30 por tanto:

An =302

(2(7)+20(29)) = 8910

Otro resultado de gran importancia en estudios posteriores de matematicas es la llamadaserie geo-metrica finita que consiste en sumar los n resultados de elevar un numero fijor(r 6= 0, r 6= 1) a las(n+1) primeras potencias: 0,1,2, . . . ,n. Para ello seaGn el resultado buscado:

Gn = r 0 + r 1 + r 2 + . . .+ r n−2 + r n−1 + r n

Gn = 1 + r + r 2 + . . .+ r n−2 + r n−1 + r n

por tanto

rGn = r + r2 + r3 + . . .+ rn−1 + rn + rn+1

y restando(Gn− rGn) estas dos expresiones se tiene:

Page 91: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

4.2. SIMBOLO DE SUMATORIA 83

Gn = 1 + r + r2 + . . . + rn−2 + rn−1 + rn

rGn = r + r2 + r3 + . . . + rn−1 + rn + rn+1

Gn− rGn = 1 − rn+1

y ası

Gn(1− r) =1− rn+1 es decir

Gn =1− rn+1

1− rpara r 6= 1

Ejemplos

i. Gn = 1+3+9+27+81+243+729= 1+3+32 +33 +34 +35 +36

Aquı r = 3 y n= 6 entonces

Gn =1−37

1−3=

1−21871−3

= 1093

ii. 6 +6(1/2)+6(1/4)+6(1/8)+ . . .+6(1/22n)

= 6(1+(1/2)+(1/2)2 +(1/2)3 + . . .+(1/2)n)

= 61− (1/2)n+1

1− (1/2)

iii. (√

2)20+(√

2)21+(√

2)22+ . . .+(√

2)31

= [(√

2)0 +(√

2)1 + . . .+(√

2)31]− [(√

2)0 + . . .+(√

2)19]

=1− (

√2)32

1−√

2− 1− (

√2)20

1−√

2=

1−216−1+210

1−√

2

=210−216

1−√

2=

−64512

1−√

2= 155750.84

iv. Utilice procedimiento similar a (iii.) para mostrar que parak∈ N k≤ n

r k + . . .+ r n =r k(1− r n−k+1)

1− r

4.2. SIMBOLO DE SUMATORIA

Dada una formula que contenga una variablek, con el fin de comprimir la suma de un numero finitode terminos que se generan el reemplazar en esa formula la variable por numeros naturales sucesivos1,2, . . .n, se usa frecuentemente un sımbolo que se llamara sımbolo de sumatoria, que se nota con la

Page 92: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

84 Capıtulo 4. TEMAS ADICIONALES CON NUMEROS NATURALES

letra griega sigma mayuscula∑ y que esta definido ası:

n

∑k=1

ak = a1 +a2 + . . .+an

dondeak es la formula que genera los numerosa1, . . . ,an al reemplazar en ella lak por los numeros1,2, . . . ,n respectivamente.

Generalizando, una expresion de la forman∑

k=pak , parap∈ N, p≤ n, tendra el significado de

n

∑k=p

ak = ap +ap+1 + . . .+an

Ejemplos

i.4∑

k=1(2k+1) = (2(1)+1)+(2(2)+1)+(2(3)+1)+(2(4)+1) = 3+5+7+9 = 24

ii.5∑

k=3kSen

(kπ2

)= 3Sen

(3π2

)+4 Sen

(4π2

)+5 Sen

(5π2

)= (3)(−1)+4(0)+5(1) = 2

iii. Los resultados de la seccion anterior con el sımbolo∑ quedaran:

1+2+3+ . . .+n =n

∑k=1

k =n(n+1)

2y

1+ r + r 2 + . . .+ rn =n

∑k=0

r k =1− r n+1

1− rcon r 6= 1

iv.7∑

k=3

k2 +12−k

=9+12−3

+16+12−4

+25+12−5

+36+12−6

+49+12−7

v. La expresion (−1)k, a medida quek toma los valores 1,2,3,4. . . representa los numeros−1,1,−1,1, . . . respectivamente, es decir esa expresion multiplicando una formula de soloterminos positivos o solo negativos hace que los terminos deesta se alternen entre negativosy positivos. Ası por ejemplo:

8

∑k=1

2kk2 =

21

+44

+69

+816

+1025

+1236

+1449

+1664

pero

8

∑k=1

(−1)k 2kk2 = −2

1+

44− 6

9+

816

− 1025

+1236

− 1449

+1664

y

8

∑k=1

(−1)k+1 2kk2 =

21− 4

4+

69− 8

16+

1025

− 1236

+1449

− 1664

Page 93: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

4.2. SIMBOLO DE SUMATORIA 85

Cuando se trabaja con el sımbolo de sumatoria es necesario conocer algunas propiedades deel, lascuales facilitaran su manipulacion:

1. Propiedad de cambio de variable

Al cambiar el sımbolo k en toda parte donde se presente una sumatoria, por otro sımbolo, elvalor de la sumatoria no varıa, es decir.

n

∑k=p

ak =n

∑i=p

ai =n

∑j=p

a j

Ejemplo

5

∑k=2

3k = 32 +33 +34 +35 = 360=5

∑i=2

3i =5

∑j=2

3 j

2. Propiedad homogenean

∑k=1

cak = cn

∑k=1

ak

dondec es una constante. En efecto:

n

∑k=1

cak = ca1 +ca2 +ca3 + . . .+can+ = c(a1 +a2 + . . .+an) = cn

∑k=1

ak.

Ejemplo

3

∑k=1

2k2 = 23

∑k=1

k2 = 2(1+22 +32) = (2)(14) = 28

3. Propiedad aditivan

∑k=1

(ak +bk) =n

∑k=1

ak +n

∑k=1

bk

En efecto:

n

∑k=1

(ak +bk) = (a1 +b1)+(a2 +b2)+ . . .+(an +bn)

= (a1 +a2 + . . .+an)+(b1 +b2 + . . .+bn)

=n

∑k=1

ak +n

∑k=1

bk

Page 94: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

86 Capıtulo 4. TEMAS ADICIONALES CON NUMEROS NATURALES

Ejemplo

4

∑k=1

√k+6k =

4

∑k=1

√k+

4

∑k=1

6k =4

∑k=1

√k+6

4

∑k=1

k

4. Propiedad de suma de constantes iguales

n

∑k=1

1 = n en efecto:

n

∑k=1

1 = 1+1+1+ . . .+1︸ ︷︷ ︸

n veces

= n y ası

n

∑k=1

= n

Ejemplo

i.6∑

k=11 = 1+1+1+1+1+1 = 6

ii.10∑

k=13 = 3∑10

k=11 = 3(10) = 30

5. Propiedad de cambio de lımiten

∑k=1

ak =n+p

∑k=1+p

ak−p

En efecto:

n+p

∑k=p+1

ak−p = ap+1−p +ap+2−p +ap+3−p + . . .+an+p−p

= a1 +a2 +a3 + . . .+an

=n

∑k=1

ak

Ejemplo

i.5

∑k=1

(

k2 +1

2k+3

)

=8

∑k=4

(

(k−3)2 +1

2(k−3)+3

)

=12

∑k=8

(

(k−7)2 +1

2(k−7)+3

)

ii.10

∑k=5

3k =6

∑k=1

3(k+4)

Page 95: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

4.2. SIMBOLO DE SUMATORIA 87

6. Propiedad aditiva para los lımites

n

∑k=1

ak =p

∑k=1

ak +n

∑k=p+1

ak p < n p> 1

Para su demostracion use la definicion de sumatoria y la propiedad asociativa de la suma denumeros reales.

Ejemplo

10

∑k=1

k2 =5

∑k=1

k2 +10

∑k=6

k2

7. Propiedad telescopican

∑k=1

(ak−ak−1) = an−a0

En efecto:

n

∑k=1

ak−ak−1 = (a1−a0)+(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a5)+ . . .+(an−1−an−2)+(an−an−1)

En la anterior expresion se puede observar que los primeros terminos de cada parentesis, se can-celan con los segundos terminos de los parentesis siguientes, por tanto solo quedan, el segundotermino del primer parentesis y el primer termino delultimo parentesis es decir:−a0 +an = an−a0, luego

n

∑k=1

(ak−ak−1) = an−a0

Ejemplo

i.230

∑k=1

2k−2k−1 = 2230−21−1 = 2230−1

ii.100

∑k=1

13(k+1)

− 13k

=1

3(100+1)− 1

(3)(1)

ak =1

3(k+1)y no

13k

EJERCICIOS

1. Hallar el valor de

a)4∑

k=1

(1k +k

)

Page 96: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

88 Capıtulo 4. TEMAS ADICIONALES CON NUMEROS NATURALES

b)5∑

k=3k2−2k

c)6∑

k=2Sen(2k)

d)5∑

k=1(−1)k 7k

2. Expresar cada una de las sumas siguientes usando la notacion de sumatoria.

a) 14 +24 +34 + . . .+1004

b) 1+3+5+7+ . . .+101

c)23− 4

9+

827

+ . . .+(−1)n+1

(23

)n

d)12

+23

+34

+ . . .+8081

e) 7+12+17+ . . .+(2+5n)

f ) 2+4+6+ . . .+1040

3. Cual de las expresiones siguientes es verdadera.

a)100∑

k=32k+5 =

9∑

k=22k+7

b)1020∑

k=503 =

1000∑

k=303

c)40∑

k=13k2−2k+5 =

39∑

k=03k2−2k+6

d)20∑

k=1k2 +1 =

10∑

k=1k2 +1+

20∑11

k2 +1

e) Si a 6= 1n∑

k=2ak =

n∑

k=2

ak+1−ak

a−1

4. Hallar el valor de las sumas

a)n∑

k=12k−1

b)n∑

k=0(−2)k

c)n∑

k=0

(−2

3

)k

d)n∑

k=10

√k+1−

√k√

k2+k

e)40∑

k=4(2k+1)2− (2k−1)2

Page 97: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

4.3. FACTORIAL (!) 89

f )100∑

k=3

1(3k)2 − 1

(3k−3)2

g)n∑

k=1k2

Sugerencia: despejek2 de(k−1)3 = k3−3k2 +3k−1

5. Cuales de las siguientes sumas se pueden expresar como telescopicas.

a)n∑

k=1ak−1−ak

b)n∑

k=1ak+1−ak

c)n∑

k=1ak+4−ak+3

d)20∑

k=1

12k − 1

4k−1

e)20∑

k=1

12k − 1

2k−1

6. Hallarak tal que cada una de las sumas siguientes se pueda transformar en una telescopica yhalle el valor de la suma

a)20∑

k=1ak−5k

b)28∑

k=1ak−Sen(2k)

c)15∑

k=3ak− (2k−3)3

d)100∑

k=1ak− (k2 +2k−1)

e)100∑

k=20ak−1

4.3. FACTORIAL (!)

Se plantea el siguiente problema: ¿De cuantas formas se pueden sentar 5 personas en 5 sillas?.Para sentarse la primera persona tiene 5 opciones; por cada opcion de esta persona, la segunda per-sona tiene solamente cuatro opciones, (pues ya hay una silla ocupada); por cada opcion anterior latercera persona tiene 3 opciones (pues ya hay 2 sillas ocupadas); porcada opcion anterior, la cuartapersona tiene dos opciones y por cada opcion anterior, la quinta tiene una sola opcion, por lo tanto entotal el numero de formas en que se pueden sentar las cinco personas en cinco sillas es(5)(4)(3)(2)(1).

Page 98: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

90 Capıtulo 4. TEMAS ADICIONALES CON NUMEROS NATURALES

En la solucion de problemas analogos al anterior y otros tipos de problemas, aparece el producto deun numero natural por todos los que le preceden. Este producto de llama el factorial de dicho numeronatural y se notan! es decir:

n! = (n)(n−1)(n−2) . . .(2)(1)

De esta definicion se puede concluir que:

n! = n(n−1)(n−2) . . .(2)(1) = n[(n−1)(n−2) . . .(2)(1)] = n(n−1)!

Ejemplo

8! = (8)(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1) = 8[(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)] = 8(7)! = 40320

Observese como el factorial de un numero crece rapidamente, pues si se tuviera solamente 8 per-sonas para sentarlas en 8 sillas, existirıan 40320 formas posibles de hacerlo.

Resulta conveniente en la condensacion de algunas expresiones, definir el factorial del numero cero,el cual se define como 1, es decir

0! = 1

esto se justifica si se tiene en cuenta que den! = n(n−1)!, paran = 1 se tiene 1!= 0!1 entonces1 = 0!

Ejemplo

Para simplificar la expresion:(10!)(6!)(3!)(7!)(5!)(6)(2)

se procede a descomponer los factoriales de los numeros mas grandes enterminos del factorial de losnumeros mas pequenos con el objeto de cancelarlos ası:

(10!)(6!)(3!)(7!)(5!)(6)(2)

=(10)(9)(8)(7!)(6)(5!)(3)(2!)

(7!)(5!)(6)(2)= (10)(9)(8)(3) = 2160

4.4. NUMEROS COMBINATORIOS

Considerese un conjuntoA con 7 elementos, se trata de hallar el numero de subconjuntos diferentesde 3 elementos que tieneA. Para el primer elemento se tienen siete opciones; para el segundo elementose tienen seis opciones por cada opcion del primero. Para el tercer elemento se tienen cinco opcionespor cada opcion anterior y por lo tanto el numero de subconjuntos con tres serıa (7)(6)(5). Pero estossubconjuntos no son todos diferentes, ya que aparece por ejemplo el subconjunto{a,b,c} y tambienlos subconjuntos{b,c,a}, {a,c,b}, {c,b,a}, {c,a,b} y {b,a,c} que son iguales como conjuntos; esdecir, cada subconjunto de tres elementos aparece 3! veces, (pues elnumero de opciones distintas deacomodar tres elementos diferentes en un conjunto es 3!); luego el numero de subconjuntos diferentesde tres elementos es

(7)(6)(5)

3!

Page 99: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

4.4. NUMEROS COMBINATORIOS 91

lo cual se puede expresar ası:

(7)(6)(5)

3!=

(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)

3!(4)(3)(2)(1)=

7!3!(4!)

=7!

3!(7−3)!= 35

Generalizando, se tiene que el numero de subconjuntos diferentes conk elementos que se puedenextraer de un conjunto conn elementos(n≥ k) es

n!k!(n−k)!

Esta expresion aparece en algunos problemas similares y se llama el numero combinatorion,k elcual se nota por

(nk

)es decir:

(nk

)

=n!

k!(n−k)!

Ejemplo

i. ¿De cuantas formas diferentes le pueden repartir a una persona siete fichas deun domino (28piezas)?Este problema es equivalente a hallar el numero de subconjuntos con siete elementos que sepuede extraer con 28 elementos, luego la solucion es:(

287

)

=28!

(7)! (28−7)!=

28!(7)!(21)!

=(28)(27)(26)(25)(24)(23)(22)(21!)

(7)(6)(5)(4)(3)(2)(1)(21!)

=(9)(26)(23)(11)(5)(4)

=1184040

ii. Hallar el valor de:

(75

)

y

(72

)

(75

)

=7!

5! 2!= 21 y

(72

)

=7!

2! 5!= 21 luego

(75

)

=

(72

)

Este es un caso particular de la siguiente propiedad:(

nk

)

=

(n

n−k

)

ya que :

Page 100: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

92 Capıtulo 4. TEMAS ADICIONALES CON NUMEROS NATURALES

(n

n−k

)

=n!

(n−k)!(n− (n−k))!=

n!(n−k)!k!

=

(nk

)

iii. Hallar el valor de

(n0

)

y

(nn

)

(n0

)

=n!

n! 0!= 1 y

(nn

)

=n!

n!(n−n)!= 1

iv. La siguiente propiedad resultautil en el trabajo con numeros combinatorios, por ejemplo en laconstruccion del conocido triangulo de Pascal, como se vera mas adelante:

(nk

)

+

(n

k−1

)

=

(n+1

k

)

En efecto:

(nk

)

+

(n

k−1

)

=n!

k!(n−k)!+

n!(k−1)!(n−k+1)!

=n!

k(k−1)!(n−k)!+

n!(k−1)!(n−k)!(n−k+1)

=n!(n−k+1)+n!k

k(k−1)!(n−k)!(n−k+1)

=n!(n+1)

k!(n−k+1)!=

(n+1)!k!(n+1−k)!

=

(n+1

k

)

EJERCICIOS

1. ¿De cuantas formas acomodarıa 10 personas en una fila?

2. Simplificar9! 6! 3!8! 5! 2!

3. ¿Cual de los enunciados siguientes es valido?

a) (ab)! = a!b!

b)(a

b

)

! =a!b!

c) (a+b)! = a! +b!

4. TomandoA = {2,3,5}, muestre que hay 3 subconjuntos diferentes de 2 elementos.

5. Dar una interpretacion a

(nn

)

= 1

Page 101: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

4.5. TEOREMA DEL BINOMIO 93

6. ¿De cuantas formas es posible extraer de un grupo de 15 personas, una comision de 7 personas?

7. ¿Dado un conjunto con 5 elementos, cuantos subconjuntos tiene sin elementos?, ¿cuantos con1,2,3,4,5? y ¿cuantos subconjuntos tiene el conjunto?

8. Hallarn tal que

(n10

)

=

(n7

)

9. Hallark tal que

(14k

)

=

(14

k−4

)

4.5. TEOREMA DEL BINOMIO

Uno de los problemas que se presenta al usar el triangulo de Pascal es que para desarrollar(a+b)n

es necesario construir todas lasn primeras filas de dicho triangulo, lo que se hace muy dispendiosopara unn grande. Para obviar este problema se presenta a continuacion una version de este triangulousando numeros combinatorios.

Puesto que

(00

)

= 1

(10

)

= 1

(11

)

= 1 , las dos primeras filas del triangulo se van a

expresar como:(

00

)

(10

)(11

)

por consiguiente los elementos de la tercera fila seran

1

(10

)

+

(11

)

1

los cuales teniendo en cuenta que 1=

(20

) (10

)

+

(11

)

=

(21

)

1 =

(22

)

se presentaran como:(

20

)(21

)

+

(22

)

Analogamente los elementos de la cuarta fila seran:

1

(20

)

+

(21

) (21

)

+

(22

)

1

los cuales son iguales a:

1 =

(30

) (20

)

+

(21

)

=

(31

) (21

)

+

(22

)

=

(32

)

1 =

(33

)

quedando la cuarta fila en la forma:

Page 102: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

94 Capıtulo 4. TEMAS ADICIONALES CON NUMEROS NATURALES

(30

)(31

)(32

)(33

)

continuando de esta forma se concluye que la nueva presentacion del triangulo sera:

(a+b)0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−(

00

)

(a+b)1 −−−−−−−−−−−−−−−−−(

10

)(11

)

(a+b)2 −−−−−−−−−−−−−−−−(

20

)(21

)(22

)

(a+b)3 −−−−−−−−−−−−−−−(

30

)(31

)(32

)(33

)

(a+b)4 −−−−−−−−−−−−−(

40

)(41

)(42

)(43

)(44

)

(a+b)5 −−−−−−−−−−−(

50

)(51

)(52

)(53

)(54

)(55

)

ası sucesivamente.

De donde se puede intuir que la(n+1) fila del triangulo o sea la que corresponda a los coeficientesde(a+b)n tiene como elementos:

(n0

)(n1

)(n2

)

. . .

(nn

)

En resumen la expresion (a+b)n se puede expandir como:

(a+b)n =

(n0

)

an +

(n1

)

an−1b+

(n2

)

an−2b2 + . . .+

(n

n−1

)

abn−1 +

(nn

)

bn

que condensada por medio del sımbolo de sumatoria es:

(a+b)n =n

∑k=0

(nk

)

an−kbk

resultado que es conocido con el nombre deTeorema del Binomio

Page 103: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

4.5. TEOREMA DEL BINOMIO 95

Ejemplos

i.

(a+3b)2 =2

∑i=0

(2i

)

a2−i(3b) i

=

(20

)

a2 +

(21

)

a(3b)+

(22

)

(3b)2

=a2 +6ab+9b2

ii.

(x−y2)5 =5

∑i=0

(5i

)

x5−i(−y2) i

=

(50

)

x5 +

(51

)

x4(−y2)1 +

(52

)

x3(−y2)2 +

(53

)

x2(−y2)3 +

(54

)

x(−y2)4 +

(55

)

(−y2)5

=x5−5x4y2 +10x3y4−10x2y6 +5xy5−y10

EJERCICIOS

1. Halle el desarrollo de:

a) (√

2ab+√

3a2b2)3

b) (x2y−xy3)4

2. Halle el cuarto termino de

(xy

+yx

)8

, el termino independiente y el coeficiente dex−2y2

3. Halle el coeficiente dex18 en

(

x2 +3x

)15

, el noveno termino y el termino independiente.

4. Halle el coeficiente dex5 en(x3/2 +x−1/3)m, si la suma de todos los coeficientes es 128.

5. Halle el termino independiente en

(32

x2− 13x

)9

, el coeficiente dex6

6. Halle el valor de:

a)20∑

k=0

(20k

)

b)50∑

k=0

(50k

)(−1)k

c)500∑

k=0

(500k

)3500−k5k

Page 104: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

96 Capıtulo 4. TEMAS ADICIONALES CON NUMEROS NATURALES

7. Hallar el termino independiente

(a+1

a2/3−a1/3 +1− a−1

a−a1/2

)10

4.6. INDUCCION MATEM ATICA

Otra de las caracterısticas importantes de los numeros reales es el llamado“principio de induccionmatematica” el cual permite demostrar rigurosamente proposiciones que satisfacen losnumeros nat-urales. Debido a que para los objetivos de este libro este tema se puede obviar, se presenta como unapendice, para que sea consultado por el lector interesado enel.

Page 105: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 5GEOMETRIA ANAL ITICA

En este capıtulo se estudiaran algunas curvas en el plano, pero no solamente considerando su grafica,sino que gracias a la representacion de puntos en el plano por medio de pares ordenados de numerosreales, estas curvas se pueden representar mediante ciertas ecuaciones. El estudio de estas curvasmediante este tratamiento, mezcla de la representacion grafica y la representacion algebraica, es loque se conoce como geometrıa analıtica.

5.1. LINEA RECTA

Se conoce, desde la secundaria, que dos triangulos se dicen semejantes si “sus lados correspon-dientes son proporcionales”, es decir, los dos triangulos tienen la misma forma aunque no tengan elmismo tamano. Para que se pueda cambiar el tamano sin cambiar la forma se pueden cambiar laslongitudes de los lados pero no se deben cambiar las medidas de losangulos, como se puede observaren la figura 5.1.

α β θ αβ

θ α

β

θ

FIGURA N◦ 5.1

Esta observacion permite concluir que dos triangulos son semejantes si susangulos correspondi-entes son iguales.

Una aplicacion inmediata de este concepto de triangulos semejantes se encuentra en la solucion delproblema de buscar el punto medio de un segmento de recta que une dos puntosA(a1,a2) y B(b1,b2).En la figura 5.2 el trianguloA B Ces semejante al trianguloA M N, entonces si el ladoA M es la mitaddel ladoA B, por semejanza de triangulos, el ladoA N es la mitad del ladoA C. La coordenadax del

97

Page 106: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

98 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

puntoM es entonces:

a1 +12

(b1−a1) = a1 +12

b1−12

a1

=12

a1 +12

b1

=12

(a1 +b1)

a1 b1

a2

b2

A

M

N C

B

y

x

FIGURA N◦ 5.2

Por otro lado tambien, por la semejanza de los triangulosA B Cy A M N, si A M esta mitad deA BentoncesM N es la mitad deB C y ası la coordenaday del puntoM es:

a2 +12

(b2−a2) = a2 +12

b2−12

a2

=12

a2 +12

b2 =12

(a2 +b2)

Por consiguiente, las coordenadas del puntoM (punto medio del segmentoA B) son:(

12

(a1 +b1) ,12

(a2 +b2)

)

Ejemplo 1

Hallar el punto medio del segmento de recta que une los puntos(2,4) y (6,8) .

El punto medio es(x,y) =

(2+6

2,4+8

2

)

= (4,6)

Para acercarse intuitivamente al concepto de recta se compara una linea recta con otra curva que noes recta. Considerese la recta que pasa por los puntos(0,0) y (4,8) y la parabolay = x2 que pasa porlos puntos(0,0), (1,1), (2,4), (3,9), y otro punto.

Page 107: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.1. LINEA RECTA 99

x

y

(0,0)

(4,8)

21 = 6

3

x

y

(0,0)

11 6= 3

1FIGURA N◦ 5.3

Para localizar en el plano esos puntos de la parabola se debe avanzar una distancia horizontalmentey avanzar otra distancia verticalmente; ası estando en el punto(0,0) se avanza horizontalmente 1 y seavanza verticalmente 1 y se llega al punto(1,1), estando aquı si se avanza horizontalmente 1 se debeavanzar verticalmente 3 para llegar al punto(2,4), si se avanza de aquı horizontalmente 1 se debeavanzar verticalmente 5 para llegar al punto(3,9). Se observa que la relacion entre lo que se avanzaverticalmente y lo que se avanza horizontalmente para ir de un punto a otro de lacurva no se conservamientras que para la recta esa relacion si se conserva, porque para ir de(0,0) a (1,2) lo que se avanzaverticalmente es el doble de lo que se avanza horizontalmente lo mismo que para irde(1,2) a(2,4), opara ir de(2,4) a(3,6) lo que se avanza verticalmente es el doble de lo que se avanza horizontalmente.

La invarianza de esa relacion es la principal caracterıstica de las rectas. A la relacion de lo que sedebe avanzar verticalmente con respecto a lo que se avanza horizontalmente para ir de un puntoA deuna recta a otro puntoB de la misma, se conoce como pendiente de la recta usualmente notada porm. Para la recta que se ha tomado como ejemplo, la pendiente es 2 ya que lo que sedebe avanzarverticalmente es el doble de lo que se debe avanzar horizontalmente para ir de cualquier puntoA acualquier puntoB de la misma recta.

Para una rectaL no vertical cualquiera, si el puntoA tiene coordenadas(a1,a2) y el puntoB tienecoordenadas(b1,b2) la pendiente de la recta sera, de acuerdo con lo que muestra la figura 5.4:

a1 b1

a2

b2

Ab2−a2

b1−a1C

B

y

x

FIGURA N◦ 5.4

Page 108: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

100 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

m=b2−a2

b1−a1

Claramente las rectas horizontales tienen pendientem= 0. Para las rectas verticales la definicion dependiente presenta el inconveniente de la “division por cero”por lo que se dice que las rectas verticalesno tienen pendiente o tienen pendiente infinita.

Para la determinacion de la pendiente de la rectaL de la figura 5.4, implıcitamente se considero el

triangulo rectanguloA B C, en el cual la relacion m=b2−a2

b1−a1, corresponde a la tangente delangulo

B A C (cateto opuesto sobre cateto adyacente), que es el mismo independiente dela eleccion que sehaga de los puntosA y B sobre la recta. A esteangulo se le llama “angulo de inclinacion de la rectaL”.Se observa entonces que la pendiente de una recta es la tangente de suangulo de inclinacion; por lo querectas conangulo de inclinacion agudo tienen pendiente positiva y rectas conangulo de inclinacionobtuso, tienen pendiente negativa y recıprocamente.

1. Supongamos que la recta esta inclinada a la derecha. (Fig. 5.5)

A

B

θ

θy2−y1

x2−x1(x1,y1)

(x2,y2)

y

x

FIGURA N◦ 5.5

Pendiente= Tanθ =y2−y1

x2−x1

2. Supongamos que la recta esta inclinada a la izquierda. (Fig. 5.6)

A (x1,y1)

B (x2,y2)θψ

y1−y2

x2−x1

y

x

FIGURA N◦ 5.6

Page 109: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.1. LINEA RECTA 101

Pendiente= Tanθ = Tan(π −ψ)

=Tanπ −Tanψ

1+Tanπ Tanψ

= −Tanψ = −y1−y2

x2−x1

=y2−y1

x2−x1

El angulo de inclinacion de una recta debe ser mayor o igual a cero y menor o igual a 180◦.

Ejemplo 2

Hallar la pendientemy el angulo de inclinacion θ del segmento de recta que une

a) Los puntos(−8,−4) , (5,9)

b) Los puntos(8,−2) , (12,−6)

c) Los puntos(12,6) , (12,10)

d) Los puntos(2,5) , (10,5)

Solucion

a) La pendiente viene dada porm=9− (−4)

5− (−8)=

1313

= 1 y el angulo de inclinacion es 45◦

puesTanθ = 1, luegoθ = 45◦.

b) m=−6− (−2)

12−8=

−44

= −1 ; Tanθ = −1, entoncesθ = 135◦

c) m=10−612−12

=40

, luegom es infinita y Tanθ = ∞ y ası θ = 90◦.

d) m=5−510−2

=08

= 0; y Tanθ = 0, Por tantoθ = 0◦.

La manipulacion algebraica de la recta requiere que se puedan representar los puntos de una rectapor medio de una ecuacion que solo sea satisfecha por las coordenadas de los puntos de esa recta.Para encontrar la ecuacion de una rectaL que pasa por un puntoA = (a1,a2) y tiene pendientem, seconsidera un punto cualquieraP(x,y) de la recta, diferente del puntoA, y se calcula la pendiente de larecta en terminos de las coordenadas deP y deA, es decir, se establece que:

m=y−a2

x−a1

expresion que ya puede considerarse como ecuacion de la recta que pasa porA y tiene pendientem.Se acostumbra la siguiente presentacion equivalente para esa ecuacion:

y−a2 = m(x−a1)

Page 110: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

102 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

y se le llama forma Punto-pendiente de la ecuacion de una recta.De esta expresion se puede deducir una forma mas conocida de la ecuacion de la recta, ası:

y−a2 = m(x−a1)

y = mx−ma1 +a2

y = mx+b, donde b = −ma1 +a2

aquı b es el corte de la recta con el ejey que se obtiene haciendo en la ecuacionx = 0 Figura 5.7.

y = mx+b

b

y

x

FIGURA N◦ 5.7

Ejemplo 3

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto(2,2) y tiene pendiente25

.

Como m=y−a2

x−a1entonces

25

=y−2x−2

, por tanto y−2 =25(x−2) es la ecuacion de

la recta.

Ejemplo 4

Hallar la pendiente, los interceptos con los ejes coordenados y 3 puntos dela recta que tiene porecuacion y+4x = 7.

Como y+4x = 7, entonces y = −4x+7, y ası la pendiente es−4.Para hallar el intercepto de la recta con el ejey, se hacex = 0 en la ecuacion de la rectay = −4x+7para obtenery = 7.Para hallar el intercepto con el ejex, se hacey= 0, en la ecuacion de la rectay=−4x+7 para obtener−4x+7 = 0, es decirx = 7/4.

Para hallar 3 puntos de la recta se le dan ax 3 valores distintos (o ay) por ejemplox= 0, x= 1, x=14

en la ecuacion de la recta para obtener los puntos(0,7), (1,3), (1/4,6).

Como la caracterıstica fundamental de una recta no vertical es que la pendiente es una constantem,cualquier par de puntos determinan la recta y por consiguiente su ecuacion.

Page 111: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.1. LINEA RECTA 103

SeanA = (a1,a2) y B = (b1,b2) dos puntos diferentes de una rectaL, como ya se establecio lapendientemde la rectaL, se calcula ası:

m=b2−a2

b1−a1

y por consiguiente la ecuacion de la recta es:

y−a2 = m(x−a1); es decir,

y−a2 =

(b2−a2

b1−a1

)

(x−a1)

que es la ecuacion de la rectaL que pasa por los puntosA(a1,a2) y B(b1,b2).

Ejemplo 5

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos(4,0) y (0,4).

La ecuacion de la recta que pasa por los puntos(4,0) y (0,4) viene dado por

y−0 =(4−0)

(0−4)(x−4), es decir,

y = −(x−4), es decirx+y = 4, por tanto

x+y−4 = 0 es la ecuacion pedida.

Como una recta vertical no tiene pendiente, su ecuacion no es de la forma punto-pendiente. Al seruna recta vertical todos sus puntos tienen la misma coordenadax (x = a, si la recta corta al ejexen el punto(a,0)) y la coordenaday es cualquier numero real. La ecuacion de esa recta vertical seexpresara entonces como:

x = a; donde se entiende quey es cualquier numero real.

La forma punto-pendiente de la ecuacion de una rectaL que pasa por el punto(a1,a2):

y−a2 = m(x−a1)

se puede cambiar ası:

mx−y−ma1 +a2 = 0

mx−y+(a2−ma1) = 0

se hacem = A; B = −1 y C = a2 −ma1 para obtenerAx+ By+C = 0 que se conoce comoecuacion general de la recta y que tiene la propiedad de recoger todo tipo de rectas: horizontales,verticales y oblicuas.

Page 112: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

104 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

Ejemplo 6

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por(2,−3) y tiene unangulo de inclinacion de 60◦.

Como elangulo de inclinacion es de 60◦, su pendiente esm= Tan60◦ =√

3, y ası la ecuacion dela recta esy+3 =

√3(x−2)

Ejemplo 7

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por los puntos(0,3) y (6,0) .

La ecuacion de la recta que pasa por los puntos(0,3) y (6,0) es

y−0 =0−36−0

(x−6); es deciry = −12(x−6), es decir 2y = −x+6, por lo tantox+2y−6 = 0.

Ejemplo 8

Dada la ecuacion de la recta 3x+2y = 12, Hallar la pendiente y el intercepto con el ejey.

Como 3x+ 2y = 12, entonces 2y = −3x+ 12, luego y = −32

x+ 6, y ası la pendiente es

−32

y el intercepto con el ejey es 6 (cuando x = 0).

5.1.1. Angulo entre dos rectas

Es claro que si dos rectasL1 y L2 son paralelas tienen el mismoangulo de inclinacion y por consi-guiente la misma pendiente. Ahora si las dos rectas no son paralelas se deben intersectar en algunpunto y formar necesariamente unangulo agudo entre ellas, el cual se llama “angulo entre dos rectas”.¿Como se calcula eseangulo?Consideremos dos rectasL1 y L2 con inclinacionesθ1 y θ 2 respectivamente, ninguna de las dos rectases horizontal o vertical.

θ1 θ2

A B

α

C

L2

L1

y

x

FIGURA N◦ 5.8

De la grafica (Fig. 5.8) se observa que elanguloθ 2 es unangulo externo al4 ABC, entonces

θ 2 = θ1 +α , luego α = θ 2−θ1

Page 113: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.1. LINEA RECTA 105

Ahora Tanα = Tan(θ 2−θ1) =Tanθ 2−Tanθ1

1+Tanθ 2Tanθ1

=m2−m1

1+m2m1

dondem1 es la pendiente deL1 y m2 es la pendiente deL2.

Luego elanguloα entre las dos rectas es aquel cuya tangente esta dada por

Tanα =m2−m1

1+m2m1.

Si L1 y L2 son perpendiculares, entoncesα = 90◦ y Tan90◦ es infinito, lo cual sucede si el denomi-nador de la expresion de arriba es cero, es decir, si

1+m2m1 = 0 o sea, si

m2m1 = −1

lo que indica que dada una recta con pendientem1 6= 0, cualquier recta perpendicular a ella tienependiente

m2 = − 1m1

Ejemplo 9

Hallar elangulo entre las rectasy =√

3x ; y =

√3

3x. (Figura 5.9)

θ

y =√

3x

y =

√3

3x

y

x

FIGURA 5.9

Tanθ =m2−m1

1+m2m1=

√3−

√3

3

1+√

3

√3

3

=

2√

332

=

√3

3entoncesθ = 30◦

(

puesTan30◦ =

√3

3

)

Ejemplo 10

Sabiendo que elangulo formado por las rectasL1 y L2 es de 45◦ y que la pendiente deL1 es 2/3,hallar la pendientem2 deL2

Page 114: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

106 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

Como Tan45◦ =m2−m1

1+m1m2, es decir, 1=

m2−2/31+(2/3)m2

, entonces 1+23

m2 = m2−2/3, luego

m2−23

m2 = 1+2/3, es decirm2

3= 5/3, luego m2 = 5.

Ejemplo 11

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por(0,0) y es perpendicular a la recta que tiene por ecuaciony = x .

Como la recta que pasa por(0,0) es perpendicular a la recta que tiene por ecuacion y = x,

entonces su pendiente esm= −11

= −1 y por tanto su ecuacion es y−0 = −1(x−0), es deciry = −x.

Ejemplo 12

Las rectas x+2y = 8 y 2x+4y = 1 son paralelas ya que sus pendientes son iguales, pues de

x+2y = 8 se tiene que 2y = 8−x, entonces, y = 4− x2

y

(

m= −12

)

, y de 2x+4y = 1,

se tiene que 4y = 1−2x, es decir, y =14− 2

4x =

14− x

2

(

m= −12

)

Ejemplo 13

Las rectas y−3 = −12(x−5), y−5 = 2(x−1) son perpendiculares ya que el producto de sus

pendientes es−1; pues m2 ·m1 = −12(2) = −1

Ejemplo 14

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por(1,2) y es paralela a la recta que tiene por ecuacionx+2y = 6.

Como la recta es paralela a la recta que tiene por ecuacion x+ 2y = 6, es decir, y = −x2

+ 3,

entonces su pendiente es−12

y ası su ecuacion es y−2 = −12(x−1).

Ejemplo 15

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por el punto de interseccion de las rectas x+ y = 1,−x+y = 1 y es perpendicular a la recta que tiene por ecuacion 3x+2y = 2.

El punto de interseccion de las rectas es(0,1) y como 3x+2y = 2, entonces 2y = −3y+2, es

decir, y = −32

x+1 y ası la pendiente es23

, luego su ecuacion es y−1 =23(x−0).

Page 115: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.1. LINEA RECTA 107

Ejemplo 16

Hallar el valor dea de tal forma que la recta que pase por los puntos(2,a) y (5,−2).

a) Sea paralela a la recta que pasa por los puntos(0,−4) y (−6,3).

b) Sea perpendicular a la recta que pasa por los puntos(0,−4) y (−6,3).

a) En efecto, como las rectas son paralelas, entonces las pendientes debenser iguales, es decir,

−2−a5−2

=3− (−4)

−6−0, entonces −2−a=

3(7)

−6=−7

2, luego a=−2+

72

=32

, por tanto

a =32

b) Para que las rectas sean perpendiculares debe cumplirse que

−2−a5−2

= −( −6−0

3− (−4)

)

=67

, por tanto −2− a =187

; luego −2− 187

= a, luego

a = −327

Ejemplo 17

Hallar la distancia del punto(0,0) a la recta que tiene por ecuacion x+2y = 4Para hallar la distancia del punto(0,0) a la recta, se halla la ecuacion de la recta que pasa por(0,0) yes perpendicular a la recta que tiene por ecuacion x+2y = 4, se halla el punto de interseccion delas dos rectas y se aplica la formula de la distancia entre los dos puntos.

Como x+2y= 4, entonces 2y= 4−x, es decir y= 2− x2

, luego m=−12

y ası la pendiente

de la recta perpendicular esm1 = 2, luego su ecuacion es y−0 = 2(x−0), es decir y = 2x.

Para hallar el punto de interseccion de las dos rectas se igualay en ambas, es decir, 2x = 2− x2

, es

decir, 2x+x2

= 2, por tanto5x2

= 2 y ası x =45

, por tanto y = 2

(45

)

=85

, entonces el

punto de interseccion de las dos rectas es

(45,85

)

, y ası la distancia del punto(0,0) a la recta que

tiene por ecuacion x+2y = 4 es

d =

√(

45−0

)2

+

(85−0

)2

=

1652 +

6452 =

8025

=4√

55

Se puede demostrar que la distancia del punto(x0,y0) a la recta que tiene por ecuacionAx+By+C = 0 es

|Ax0 +By0 +C|√A2 +B2

Page 116: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

108 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

en el ejemplo anterior(x0,y0) = (0,0) x+2y−4 = 0 entonces si se aplica esta formula se tieneque

d =|1×0+2×0−4|√

5=

4√5

=4√

55

Ejemplo 18

Dado el triangulo de vertices A(−1,4), B(1,2), C(3,−2). (Fig. 5.10)

A (−1,4)

C (3,−2)

B (1,2)

y

x

FIGURA 5.10

Hallar

a) La ecuacion de la mediana del ladoABdel triangulo

b) La ecuacion de la mediatriz del ladoBC

c) La altura del triangulo considerando aABcomo base

d) El area del triangulo

a) La mediana es el segmento de recta que une el punto medio del lado con el vertice opuesto.

El punto medio del ladoAB=

(−1+12

,4+2

2

)

= (0,3) y la pendiente de la recta que pasa

por (0,3) y (3,−2) es m=−2−33−0

= −53

, por tanto la ecuacion de la mediana es

y−3 = −53(x−0), es decir, 3y+5x−9 = 0.

b) La mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de un segmento de recta,

luego el punto medio del segmentoBC es

(1+3

2,2−2

2

)

= (2,0) y la pendiente de la

recta que pasa por(3,−2) y (1,2) es m=+4−2

= −2 luego la ecuacion de la mediatriz es

y−0 = +12(x−2), es decir, 2y−x+2 = 0.

Page 117: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.1. LINEA RECTA 109

c) La pendiente de la recta que pasa por(−1,4) y (1,2) es4−2−1−1

=2−2

= −1, luego su

ecuacion es y−2 = −1(x−1); es decir, y−2 = −x+1, luego x+y−3 = 0. La alturadel triangulo es la distancia del punto(3,−2) a x+y−3 = 0, que es|3−2−3|√

2=

2√2

=2√

22

=√

2, luego la altura del triangulo es√

2.

d) El area del triangulo es la longitud del ladoABpor la altura dividido por 2. La longitud del lado

AB=√

(4−2)2 +(−1−1)2 =√

4+4=√

8 y ası el area del triangulo es

√8·

√2

2=

42

= 2.

Ejemplo 19

Hallar el valor dem tal que las rectas que tienen por ecuacionesmx+8y−1= 0; 2x+my−1= 0son paralelas.

Despejandoy de las ecuacionesmx+8y−1= 0 y 2x+my−1= 0 se satisfacey=−m8

x+18

;

y =−2xm

+1m

y por tanto −m8

= − 2m

, entonces m2 = 16, ası m= ±4.

Ejemplo 20

Hallar el valor dempara que las rectas que tienen por ecuacion 2x+my−5 = 0; x+y−1 = 0,sean perpendiculares.

Despejandoy en las ecuaciones se obtieney = − 2m

x+5m

; y y = −x+1 y como son perpen-

diculares el producto de sus pendientes en−1, es decir− 2m· (−1) = −1, luego m= −2.

Ejemplo 21

Hallar el valor de k tal que la recta que tiene por ecuacion 4x−ky−7 = 0, tenga pendiente 3.

De la ecuacion 4x−ky−7= 0, despejandoy se obtiene y =4k

x− 7k

y como la pendiente de

4x−ky−7 = 0 es 3 entonces se tiene que4k

= 3, por tanto k = 12.

Ejemplo 22

Hallar la ecuacion de la recta que pasa por(3,5) y no intercepta al ejex.Como la recta pasa por(3,5) y no intercepta al ejex, debe ser paralela al ejex, luego su pendiente

debe ser 0, por tanto su ecuacion es y−5 = 0(x−3), es decir y = 5.

Ejemplo 23

Hallar el valor dek tal que la recta que tiene por ecuacion 3kx+5y+k−2= 0, pase por el punto(−1,4).

Como la recta pasa por el punto(−1,4), entonces el punto(−1,4) satisface su ecuacion, es decir,−3k+20+k−2 = 0, luego −2k+18= 0 y ası k = 9.

Page 118: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

110 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

EJERCICIOS

1. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por:

a) (2, 2) , (5, 4) b) (1, 2) , (−2, 2) c) (4, 0) , (5, 4)

2. Hallar una ecuacion de la recta que pasa por el punto dado y sea i) paralela ii) perpendiculara la recta indicada:

a) (2, 1) ; 4x − 2y = 3

b) (2, 5) ; x = 4

c) (−1, 0) ; y = −3.

3. Verificar si los 3 puntos dados son colineales, es decir si estan sobre la misma recta, o si no loson.

a) (0, 4) , (2, 0) , (3, 2)

b) (0, 4) , (7, −6) , (−5, 11)

c) (−2, 1) , (−1, 0) , (2, −2)

4. Considere la figura 5.11. y halle:

(2,0)(−2,0)

(1,2)

y

x

FIGURA 5.11

a) El punto de interseccion de las medianas y sus ecuaciones.

b) El punto de interseccion de la mediatriz y su ecuacion.

c) El punto de interseccion de las alturas y sus ecuaciones.

d) ¿Son colineales estos tres puntos?.

5. Hallar la distancia del punto(2, 3) a la recta 4x + 3y = 10.

6. Hallar la distancia entre las rectasx + y = 1 y x + y = 5.

7. Determinar para que valor dea la recta

(a + 2) x +(a2 − 9

)y + 3a2 − 8a + 5 = 0

Page 119: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.1. LINEA RECTA 111

a) Es paralela al ejex.

b) Es paralela al ejey.

c) Pasa por el origen de coordenadas.

8. Demostrar que los puntos(−3,1), (0,2), (−2,−2), (1,−1) son los vertices de un rectangulo.

9. Hallar 3 puntos de la recta que tiene por ecuacion x+2y = 16.

10. Hallar elarea del triangulo que tiene por vertices(3,6), (2,1), (8,2).

11. Hallar el valor dea para que la recta que pasa por los puntos(2,5) y (−4,a) tenga pendiente 2.

12. Hallar el valor dek, tal que la recta que tiene por ecuacion kx− y = 3k−36 corte al eje delasx enx = 5.

13. Demostrar que los puntos(4,0), (0,4), (0,0) son los vertices de un triangulo rectangulo, hallesus 3angulos y las ecuaciones de sus lados.

14. Halle el conjunto solucion de x+3y≥ 2 y y≥ 1 x≤ 0

15. Dos vertices de un triangulo equilatero son(−4,0) y (0,0), halle el tercer vertice y las ecua-ciones de sus lados.

16. Se dan las ecuaciones de dos lados de un rectangulo 5x + 2y− 7 = 0, 5x + 2y− 36 = 0y la ecuacion de una de sus diagonales 3x + 7y− 10 = 0. Hallar las ecuaciones de los otrosdos lados y de la otra diagonal.

17. Hallar elangulo entre las rectasy = x, y =√

3x .

18. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por(2,5) y forma unangulo de 45◦ con la recta deecuacion x−3y+6 = 0.

19. Hallar la pendiente de una recta que forma unangulo de 45◦ con la recta que pasa por los puntos(2,−1) y (5,3).

20. Hallar la ecuacion de la recta

a) paralela al ejey y que corte al ejex cinco unidades a la derecha del origen

b) que pase por(−4,5) y cuya pendiente sea23

c) que pase por(2,−1) y perpendiculares a la recta que pase por(4,3), (−2,5)

d) pase por el punto(−4,1) y sea paralela a la recta que pase por los puntos(2,3), (−5,0).

Page 120: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

112 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

5.2. LA CIRCUNFERENCIA

La circunferenciaes un conjunto de puntos en el plano, cuya distancia a un punto fijo, llamadocentrode la circunferencia, es siempre igual a una constanter, llamada elradio de la circunferencia.

Ası, si p = (x, y) es un punto cualquiera sobre una circunferencia con centro enQ = (h, k) y radio

r entoncesd (P, Q) =

(x − h)2 + (y− k)2 = r, es decir

(x − h)2 + (y− k)2 = r 2

que se llama,Ecuacion de la circunferencia de radio r y centro(h, k). Fig 5.12.

r

k

h

(h,k)

y

x

(x−h)2 +(y−k)2 = r2

FIGURA 5.12

Ejemplo 1

La ecuacion de la circunferencia con centro en el origen y radior es(x − 0)2 + (y− 0)2 = r 2, es decir, x2 + y2 = r 2.Ası la ecuacion de la circunferencia con centro en el origen y radio 7 esx2 +y2 = 49.

Ejemplo 2

La ecuacion de la circunferencia con centro(1, 2) y radio 2 es(x − 1)2 + (y− 2)2 = 4 o x2 + y2 − 2x − 4y + 5− 4 = 0; es decirx2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0.

Ejemplo 3

Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por el origen y su centro coincide conel punto(6, −8).

Page 121: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.2. LA CIRCUNFERENCIA 113

Como la circunferencia pasa por el origen el punto(0,0) esta sobre la circunferencia, luego satisfacesu ecuacion parax = 0, y y = 0, y teniendo en cuenta que su centro es(6, −8) se tiene que:

(0− 6)2 + (0 + 8)2 = r 2 ⇔ 36+ 64 = r 2 ⇔ 100 = r 2 ⇔ r = 10

y ası, la ecuacion pedida es(x − 6)2 + (y + 8)2 = 100.

Es claro que dada la ecuacion de una circunferencia con centro en(h,k) y radior:

(x−h)2 +(y−k)2 = r 2

desarrollando se tiene:x2−2hx+h2 +y2−2ky+k2 = r 2

es decir:x2 +y2 +(−2h)x+(−2k)y+(h2 +k2− r 2) = 0

llamando A = −2h B= −2k C= h2 +k2− r 2

entonces la ecuacion de la circunferencia siempre se puede expresar como:

x2 +y2 +Ax+By+C = 0

y recıprocamente: ¿ Cuando una ecuacion de esta forma representa una circunferencia ?

No siempre, pues completando cuadrados se tiene que:

(

x2 +Ax+A2

4

)

+

(

y2 +By+B2

4

)

+C− A2

4− B2

4= 0

(x+A/2)2 +(y+B/2)2 =A2

4+

B2

4−C

(x+A/2)2 +(y+B/2)2 =14

(A2 +B2−4C

)

Es decir sera una circunferencia con centro en(−A/2,−B/2) y radio r =

14

(A2 +B2−4C)

siempre que A2 +B2−4C > 0.

Ejemplo 4

Representa la ecuacion x2 +y2−4x+2y = 76 una circunferencia? Cual es su centro y su radio?

Para responder esta pregunta llevamos la ecuacion dada a su forma canonica, es decir a la forma

(x−h)2 +(y−k)2 = r2

Page 122: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

114 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

completando cuadrados perfectos enx ey en la ecuacion original.Si esto es posible el(h,k) representa el centro yr > 0 el radio, si no, esta ecuacion no representa unacircunferencia.

(x2−4x

)+(y2 +2y

)= 76

(x2−4x+4

)+(y2 +2y+1

)= 76+4+1

(x−2)2 +(y+1)2 = 81

luego la ecuacion representa una circunferencia con centro en(2,−1) y radio 9.

Ejemplo 5

Representa la ecuacion x2 +y2−6y+14= 0 una circunferencia ? ¿Cual es su centro? ¿Cual essu radio?

Completando cuadrados solamente eny, pues enx no es necesario, ya que solamente aparece elx2,se tiene:

x2 +(y2−6y+9

)+14 = 9

x2 +(y−3)2 = 9−14

x2 +(y−3)2 = −5

absurdo pues suma de dos cantidades elevadas al cuadrado es suma dedos cantidades no negativas,las cuales no pueden dar como resultado el numero negativo−5.Es decir esta ecuacion no representa grafica alguna, luego no representa una circunferencia.

Ejemplo 6

Halle la ecuacion de la circunferencia con centro enP = (1,−3) y que pasa por el puntoQ = (5,−6).

Es claro que el radio de la circunferencia sera la distancia entre el centro y este punto, por tanto

r = d(P,Q) =√

(1−5)2 +(−3+6)2 =√

16+9 = 5

Ası la ecuacion de esta circunferencia esta dada por:

(x−1)2 +(y+3)2 = 25

Ejemplo 7

Halle la ecuacion de la circunferencia de radio 10, que pasa por el punto(2,−1), si su centroesta sobre la rectay = 2xComo el centro es(h,2h), pues esta sobre la rectay = 2x, es decir, si x = h, y debe ser 2h,

Page 123: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.2. LA CIRCUNFERENCIA 115

luego

d((h,2h),(2,−1)) = 10√

(h−2)2 +(2h+1)2 = 10

(h−2)2 +(2h+1)2 = 100

h2−4h+4+4h2 +4h+1 = 100 luego

5h2 +5 = 100 entonces 5h2 = 95 y asi h2 =955

= 19 por tanto h = ±√

19

la ecuacion sera:(

x−√

19)2

+(

y−2√

19)2

= 100 o(

x+√

19)2

+(

y+2√

19)2

= 100

verificamos con el punto(2,−1) en las dos ecuaciones para ver cual sirve:(2−

√19)2

+(−1−2

√19)2

= 4−4√

19+19+1+4√

19+(4)(19) = 100(2+

√19)2

+(−1+2

√19)2

= 4+4√

19+19+1−4√

19+(4)(19) = 100luego las dos respuestas son validas.Muestre graficamente la validez de las dos respuestas!

Ejemplo 8

Halle la ecuacion de la circunferencia de radio 5 cuya recta tangente en el punto(1,6) de lacircunferencia tiene pendiente 2.

Suponga que el centro esta en el punto(h,k)Como el segmento de recta que va del punto(h,k) al punto (1,6) sobre la circunferencia debe serperpendicular a la recta tangente a la curva en este punto, entonces la pendiente de este segmento debe

ser −12

sobre la pendiente de la recta tangente, es decir:

pendiente del segmento=k−6h−1

= −12

⇒ 2(k−6) = 1−h ⇒ 2k+h = 13 ⇒ h = 13−2k

Por otro lado, la distancia del centro(h,k) al punto (1,6) es igual al radio 5, es decir:

d((h,k),(1,6)) = 5√

(h−1)2 +(k−6)2 = 5

(h−1)2 +(k−6)2 = 25 pero h = 13−2k, entonces

(13−2k−1)2 +(k−6)2 = 25

(12−2k)2 +(k−6)2 = 25

144−48k+4k2 +k2−12k+36 = 25

k2−12k+31 = 0 es decir

Page 124: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

116 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

k =12±

144−4(31)2

= 6±√

5

Ası para k= 6+√

5 ⇒h= 13−2k= 13−2(6+√

5)= 1−2√

5 y el centro es(

(1−2√

5),(6+√

5))

y la ecuacion sera:(

x− (1−2√

5))2

+(

y− (6+√

5))2

= 25

para k = 6−√

5 ⇒ h = 13−2k = 13−2(6−√

5) = 1+2√

5 y la ecuacion sera:

(

x− (1+2√

5))2

+(

y− (6−√

5))2

= 25

Ilustre graficamente por que dos respuestas!

EJERCICIOS

1. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en(4, 0) y radio 5.

2. Hallar la ecuacion de la circunferencia, que pasa por el origen y tiene su centro en(0, 5).

3. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro(0,5) y radio 5.

4. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en(4,−1) y que pase por(−1,3)

5. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro(−4,3) y tangente al ejey

6. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en(3,−4) y que pase por el origen.

7. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a los dos ejes coordenados y con centro en elprimer cuadrante

8. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia que tiene por ecuacion x2 +y2 = 13en el punto (3,2)

9. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la circunferencia que tiene por ecuacion(x−3)2 +(y+1)2 = 50 en el punto(−2,4)

10. Hallar la ecuacion de la circunferencia que tiene por diametroAB siendo A = (2, 4) yB = (6, 8) y encontrar los puntos de interseccion de la recta y − x − 2 = 0 con dichacircunferencia.

11. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por(1, 1) , (1, −1) y (−1, 1).

12. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos(4,5), (3,−2), (1,−4)

13. ¿Cuales de las ecuaciones siguientes representan circunferencias. Hallarcentro y radio:

a) x2 + y2 − 4x − 2y + 1 = 0

b) x2 + y2 − 6x − 4y + 13 = 0

c) x2 + y2 − x = 0

Page 125: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.3. PARABOLA 117

d) x2 + y2 − y = 0

e) x2 + y2 − 2x + 8y + 26 = 0

f ) x2 + y2 − 2x − 4y + 5 = 0

g) x2 + y2 − 2x − 4y + 10 = 0.

14. Hallar la ecuacion de la circunferencia con centro en(1, −1) y tangente a la recta5x − 12y + 9 = 0.

15. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por los puntos(3, 1) y (−1, 3) y su centroesta situado en la recta 3x − y− 2 = 0.

16. Hallar la ecuacion de la recta que corta diametralmente a la circunferenciax2 + y2 + 4x − 6y− 17 = 0 y que es perpendicular a la recta 5x + 2y− 13 = 0.

17. Determinar las coordenadas de los puntos de interseccion de la recta 7x − y + 12 = 0 y lacircunferencia (x − 2)2 + (y− 1)2 = 25.

18. Hallar la ecuacion de la circunferencia de centro en(−2,3) y que sea tangente a la recta20x−21y−42= 0

19. Hallar la ecuacion de la circunferencia que pasa por(−3,2) y (4,1) y que sea tangente alejex

20. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a las rectasx−2y+4 = 0, 2x−y−8= 0 yque pase por(4,−1)

21. Hallar la ecuacion de la circunferencia tangente a las rectasx−3y+9 = 0 ; 3x+y−3 = 0y que tenga centro en 7x+12y−32= 0

22. Hallar los puntos comunes ax2 +y2 = 25 y y = x

5.3. PARABOLA

Una parabola es el lugar geometrico de los puntos en el plano que equidistan de un punto fijollamadoFoco y de una recta fija llamadaDirectriz. La ecuacion que representa los puntos de unaparabola, depende de la posicion del foco (F) y de la directriz (d). Inicialmente se deducira estaecuacion para un caso simple en el cual el foco se encuentra sobre el eje y, ladirectriz es paralela alejex y el punto(0, 0) pertenece a la parabola como se puede apreciar en la figura 5.13.

Page 126: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

118 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

y

d

x

(0,−p) R= (x,−p)

Q = (x,y)F = (0, p)

FIGURA 5.13

Como(0, 0) es un punto de la parabola, entonces su distancia al foco debe ser igual a su distancia ala directriz, por tanto si la coordenada del focoF es por ejemplo(0, p) con p > 0, este esta en el ejeyarriba del ejex, y por consiguiente la ecuacion de la directriz esy = − p. (−p < 0) que se encuentrabajo el ejex

SeaQ = (x, y) un punto sobre la parabola, entonces de acuerdo a su definicion,

d (F , Q) = d (Q, R) , es decir:

x2 + (y− p)2 = y + p ⇔x2 + (y− p)2 = (y + p)2 ⇔

x2 + y2 − 2py+ p2 = y2 + 2y p+ p2 ⇔x2 = 4py ⇔

4py = x2

dandole valores ax y obteniendo los respectivos valores paray, se puede apreciar que su correspondi-ente grafico es (figura 5.14a)

Ahora si el foco es F = (0, p) con p < 0, entonceseste estarıa en el ejey debajo del ejex, y sudirectriz serıa y = −p, aquı −p > 0 luego se encuentra sobre el ejex. Con el mismo desarrollodado arriba se puede apreciar que se obtiene la misma ecuacion x2 = 4py solo que aquı p < 0. Sugrafico se puede apreciar en la figura 5.14b.

Page 127: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.3. PARABOLA 119

y

x

F = (0, p)

y = −p

4py= x2 , p > 0

y

x

F = (0, p)

y = −p

4py= x2 , p < 0a) b)

FIGURA N◦ 5.14

En forma analoga se puede deducir la ecuacion de la parabola que pasa por el origen con foco sobreel ejex y con directriz paralela al ejey.

y2 = 4px

donde(p, 0) es la coordenada del foco ( Fig. 5.15a ) parap > 0 y (Fig. 5.15b) parap < 0 y sudirectriz tendra como ecuacion x = p

y

xF = (p,0)

x = −p

y2 = 4px, p > 0

y

xF = (p,0)

x = −p

y2 = 4px, p > 0

a) b)

FIGURA N◦ 5.15

NOTA

El punto de la parabola que esta mas cerca de la directriz se llamaVerticede la parabola (el(0, 0)en estos casos) y la recta que contiene al vertice y al foco se llamaEje de la parabola (ejex y ejeyrespectivamente, en los dos casos anteriores).

Page 128: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

120 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

Ejemplo 1

En la parabolay2 = −6x; su vertice esta en el origen y su directriz es paralela al ejey, ademas4p = −6 ⇒ p = −6

/4 = −3

/2, luego su foco F =

(−3/

2, 0)

y la ecuacion de su directriz

es x = − p o sea x = −(

−32

)

es decirx = 3/2 ( figura 5.16 )

1 2−1−2−3

1

2

3

−1

−2

−3

y

x

x = 3/2

F = (−3/2,0)

FIGURA N◦ 5.16

Ejemplo 2

Hallar la ecuacion de la parabola que tiene vertice en el origen, se abre hacia arriba, y pasa por(−3, 7).

La ecuacion es de la formax2 = 4py. Como (−3, 7) esta en la parabola, satisface su ecuacion,

es decir, 9= 4p (7) ⇒ p = 9/

28 luego su ecuacion sera x2 = 4(9/

28)

y o sea x2 =97

y

Para hallar la ecuacion de una parabola con eje paralelo al ejey o al ejex, y con vertice en unpunto(h, k) distinto del origen, es necesario conocer el proceso de relacionar puntos en dos sistemasde coordenadas diferentes con ejes paralelos, lo que se conoce comoTraslacion de un sistema. Ası,si las coordenadas de un puntoP respecto a un sistema rectangularxy son(x, y), y (x′,y′) son lascoordenadas del mismo puntoP pero referido a un nuevo sistema coordenadox′ y′, que tiene su origenen el punto(h, k) del sistema originalxy. Cual sera la relacion entre las coordenadas del puntoP enlos dos sistemas?.

Para resolver este interrogante observese la figura 5.17

Page 129: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.3. PARABOLA 121

y ′

y ′

x ′

y

x

k

h

x ′

x

0 ′ = (h,k)

yP = (x,y)P = (x ′,y ′)

0

FIGURA 5.17

aquı: x = h + x ′ y y = k + y ′ o x ′ = x − h y y ′ = y− k.

Considerese la parabola con vertice en (h, k) 6= (0, 0), con directriz paralela al ejex en unsistema xy . Para hallar la ecuacion de esta parabola en este sistema, se construye un sistemax ′ y ′

con origen 0′ en (h, k) y con ejes x ′ , y ′ paralelos a los ejesx , y respectivamente. En estesistema la parabola tiene vertice en el origen 0′ y su directriz es paralela al ejex ′ por tanto suecuacion es 4py ′ = (x ′)2, donde (0, p) es la coordenada del foco en el sistemax ′ y ′ (Fig.5.18a). Trasladar al sistema original, es hacerx ′ = x − h, y ′ = y − k, lo que convierte estaecuacion en

4p (y− k) = (x − h)2

que es la ecuacion de la parabola buscada en el sistemaxy,donde(h, p + k) son las coordenadas delfoco, pues el punto(0, p) en el sistemax ′ y ′ es el punto (0+h, p+k) = (h, p+k) en el sistemaxy ( figura 5.18b)

y ′

x ′

y

x

F = (h, p+k)

(h,k)

4p(y−k) = (x−h)2

y ′y ′

x ′

y

x

F = (0, p)

0′

4py ′ = (x ′)2

a) b)

FIGURA 5.18

Observe que la ecuacion de la directriz en el sistemax′ y′ es y′ = −p, luego en el sistemaxyes y−k = −p, es decir,

y = k− p

Page 130: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

122 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

Analogamente una ecuacion de la forma

4p (x − h) = (y− k)2

representa una parabola con vertice en(h, k), con directriz paralela al ejey, y con foco en el punto(h + p, k) y cuya directriz tiene ecuacion

x = h− p

Ejemplo 3

La ecuacion de la parabola con vertice en(2, 4) y con directriz paralela al ejex con ecuaciony= 10 esta dada por 4p (y− 4) = (x − 2)2 , pues h= 2 y k = 4. Ahora para hallarp, recuerdeque la directriz en este caso esta dada pory = k− p , es decir, y = 4− p. Ası que 10= 4− pentonces p = −6 , luego la ecuacion de la parabola pedida es 4(−6)(y−4) = (x−2)2 , es decir,

−24(y−4) = (x−2)2

¿Cual seria la ecuacion de la parabola con el mismo vertice y directriz paralela al ejey y con ecuacionde la directriz x = 10 ?

Ejemplo 4

La ecuaciony = ax2 + bx+ c, a 6= 0, siempre representa una parabola abierta arriba sia > 0 oabierta hacia abajo sia < 0.

Para verificarlo se completa un cuadrado perfecto utilizando los terminos enx2 y x, es decir:

y = ax2 + bx+ c

= a

(

x2 +ba

x +ca

)

= a

(

x2 +ba

x +b2

4a2 − b2

4a2 +ca

)

= a

(

x2 +ba

x +b2

4a2

)

+ a

(ca− b2

4a2

)

= a

(

x +b

2a

)2

+4ac− b2

4a

entonces

y−(

4ac− b2

4a

)

= a

(

x +b

2a

)2

entonces1a

(

y− (4ac−b2)

4a

)

=

(

x+b2a

)2

que comparado con la ecuacion (x− h)2 = 4p(y− k) se ve que corresponde a la parabola con

Page 131: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.3. PARABOLA 123

vertice en

(

− b2a

,4ac− b2

4a

)

, con directriz paralela al ejex, y con

4p =1a

;

lo que indica que sia > 0 , entonces p es mayor que cero y la parabola se abre hacia arriba y sia < 0 , entoncesp es menor que cero y se abre hacia abajo.

Ademas, puesto que el vertice tiene abscisa− b2a

a este valor dex corresponde el maximo de la

parabola ( paraa < 0) o el mınimo ( paraa > 0), y este valor maximo o mınimo esta dado por:4ac− b2

4a.

Ejemplo 5

Daday = 2x2 + 4x + 5 entoncesy = 2

(x2 + 2x + 5

/2)

= 2(x2 + 2x + 1 + 3

/2)

= 2 (x + 1)2 + 3, luegoy− 3 = 2 (x + 1)2,es decir, la ecuaciony = 2x2 + 4x + 5 representa una parabola con vertice en(−1, 3), con directrizparalela al ejex, con 4p = 1

/2 o seap = 1

/8, lo que implica que las coordenadas de su foco son

(−1, 3 + 1

/8)

=(−1, 25

/8)

y que esta abierta hacia arriba (puesa = 2 > 0).

Ademas el mınimo se encuentra en su vertice, es decir, el punto con abscisa− b2a

=−42·2 = −1,

y con ordenada4ac−b2

4a=

4·2·5−164·2 = 3 o sea el punto(−1, 3) ( figura 5.19 )

y = 3

x = −1

y = 2x2 +4x+5

x

y

FIGURA N◦ 5.19

Ejemplo 6

Analice y trace la grafica de y = 2x2 − 6x + 4.

y = 2x2 − 6x + 4 = 2(x2 − 3x + 2

)= 2

(x2 − 3x + 9

/4 − 9

/4 + 2

)

= 2(x2 − 3x + 9

/4)−(9/

2)

+ 4 = 2(x − 3

/2)2 − 1

/2

Page 132: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

124 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

entonces y + 1/

2 = 2(x − 3

/2)2

, es decir, 1/

2(y +1

/2)

=(x − 3

/2)2

, que representa unaparabola abierta hacia arriba con su vertice en (h, k) =

(3/

2, −1/

2), y como

4p = 1/

2 ⇒ p = 1/

8, es decir, el foco esta en F =(3/

2, −1/

2 + 1/

8)

=(3/

2, −3/

8)

yla ecuacion de la directriz esy =

(−1/

2)−(1/

8)

= −5/

8 o sea y = −5/8 ( figura 5.20 ).

y

x

y = 2x2−6x+4

F = (3/2,−3/8)1.5 3

(3/2,−1/2)

FIGURA 5.20

Ejemplo 7

Trazar la grafica de la parabola x2−2x−8y = 23.

Como x2−2x−8y = 23; completando cuadrados se tiene que

x2−2x = 8y+23

x2−2x+1 = 8y+23+1

(x−1)2 = 8(y+3) ası que el vertice de la parabola es (h,k) = (1,−3) y como 4p = 8, entoncesp = 2, el eje de simetrıa es la recta x = 1 y la coordenada del foco se encuentra moviendose 2unidades en forma vertical hacia arriba partiendo del vertice (1,−3) para obtener(−1,−3+2) =(−1,−1) que son las coordenadas del foco, y la directriz es la recta horizontal que esta 2 unidadesabajo del vertice (1,−3) es decir y = −5 (Figura 5.21)

Page 133: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.3. PARABOLA 125

(1,−3)

(1,−1)

y = −5

x = 1y

x

FIGURA N◦ 5.21

Ejemplo 8

Hallar la ecuacion de la parabola cuyo esta en(2,0) y su vertice esta en(−4,0).

La ecuacion de la parabola es (y−k)2 = 4p(x−h) que en este caso corresponde a(y−0)2 = 4p(x+ 4). Como la distancia entre el vertice (−4,0) y el foco (2,0) es 6 entoncesp = 6, luego la ecuacion es y2 = 24(x+4).

Ejemplo 9

Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice esta en(3,2) y foco en (5,2) .

Como el vertice esta en el punto(3,2) y el foco en el punto(5,2) entonces p = 2 y ası laecuacion de la parabola sera (y−2)2 = (4) ·2(x−3) la ecuacion de su directriz serax= 3−2= 1(Figura 5.22) y

x

(5,2)

(3,2)

FIGURA N◦ 5.22

Page 134: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

126 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

Ejemplo 10

Hallar la ecuacion de la parabola cuyo vertice esta en el punto(2,3) su eje es paralelo al ejey yque pasa por el punto(4,5).

La ecuacion tiene la forma (x−2)2 = 4p(y−3) y como la curva pasa por(4,5) entonces estepunto debe satisfacer la ecuacion, es decir(4−2)2 = 4p(5−3); luego, 4= 4p · (2) → p = 1/2y ası la ecuacion es (x−2)2 = 2(y−3).

Ejemplo 11

Dada la parabola de ecuacion y2 +8y−6x+4 = 0Hallar las coordenadas del vertice y del foco, y la ecuacion de su directriz.

Como y2 +8y−6x+4 = 0 completando cuadrados se tiene

y2 +8y+16−16−6x+4 = 0

(y+4)2 = 6x+12= 6(x+2), luego

(y+ 4)2 = 6(x+ 2) , por tanto las coordenadas del vertice son (−2,−4) y como 4p = 6 ,

p =64

=32

, las coordenadas del foco son

(

−2+32,−4

)

=

(

−12,−4

)

y la ecuacion de la

directriz es x = −2− 32

= −72

.

Ejemplo 12

Hallar la ecuacion de la parabola cuyo foco esta en(2,−1) y directriz x = 6

La ecuacion de la parabola tiene la forma(y−k)2 = 4p(x−h) y como la ecuacion de la directriz esx= h− p= 6 entonces h− p= 6 y como el foco esta en(2,−1), entonces h+ p= 2 al resolvereste sistema en variablesh y p se obtiene h = 4 y p = −2. Como k = −1 (foco(2,−1))entonces la ecuacion es (y+1)2 = −8(x−4).

EJERCICIOS

1. Hallar las coordenadas del vertice, foco y la ecuacion de la directriz para las parabolas.

a) y2 = 2x b) y2 = −x c) y = 4x2 d) y = −3x2

2. Hallar la ecuacion de la parabola tal que:

a) Su vertice esta en el origen y las coordenadas del foco son(3, 0).

b) Su vertice esta en el origen y las coordenadas del foco son(−5, 0).

c) Su vertice esta en el origen y la ecuacion de la directriz esy + 4 = 0.

d) Su vertice esta en el origen y las coordenadas del foco son(0, −1

/3).

Page 135: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.3. PARABOLA 127

3. Hallar la ecuacion de la parabola con vertice en el origen y eje a lo largo del eje de lasx, si laparabola pasa por(3, −1).

4. Hacer un estudio detallado de la ecuacionx = ay2 + by+ c, a 6= 0, hallando, ecuaciones delas directrices, coordenadas del vertice, coordenadas del foco y graficos.

5. En las ecuaciones de las parabolas trasladadas:

i) (x − h)2 = 4p (y− k) p > 0

ii) (y− k)2 = 4p (x − h) p > 0

iii) (x−2)2 = 8(y+2)

iv) (y+5)2 = 16(x−4)

hallar:

a) Las coordenadas del vertice.

b) La ecuacion del eje.

c) Las coordenadas del foco.

d) La ecuacion de la directriz.

6. Obtener una ecuacion de la parabola con vertice en(2, −3) y directrizy = 4.

7. Hallar el vertice, el foco, la directriz y la grafica de la parabola cuya ecuacion esy2 − 8y = 4x − 8.

8. Hallar el vertice, el foco, la directriz y la grafica de la parabola cuya ecuacion es

a) 6x2 + 24x − 8y + 19 = 0

b) x2 +4x+6y+4 = 0

c) y2 +8y+6x+16= 0

d) −y2−8x−2y+2 = 0

e) y2−8y = 4x−8

9. La ecuacionAx2 + Bx+ Cy+ D = 0. ¿Siempre representa una parabola?.

10. Hallar la ecuacion de una recta horizontal que corte a la parabolay = (x − 2)2 en un solo punto.

11. Hallar el punto de interseccion de la rectay = x − 1 con la parabolax = y2.

12. Halle la ecuacion de la parabola que satisface las condiciones dadas

a) Vertice en(3,−2), foco en(3,−8)

b) Vertice en(4,1), directrizx = 2

c) Foco en(2,−3), directrizx = 6

d) Foco en(−2,2), directrizy = 4

e) Vertice en(3,−4), eje horizontal, y pasa por(2,−5)

f ) Foco en(2,4), vertice en(5,4)

Page 136: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

128 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

5.4. ELIPSE

Una elipse es el lugar geometrico de los puntos en el plano tales que la suma de sus distancias a dospuntos fijos llamadosFocoses una constante.

Para hallar su ecuacion se considera inicialmente el caso en que los dos focos se encuentran sobreel ejex a igual distancia del origen; llamese por tantoF1 = (c,0), F2 = (−c,0) a sus coordenadas.(Figura 5.23)

F2 = (−c,0)

P = (x,y)

F1 = (c,0)x

y

FIGURA N◦ 5.23

Si P= (x,y) es un punto sobre la elipse, llamando 2a a la constante a la que se refiere la definicion,se tiene:

d(P,F1)+d(P,F2) = 2a y considerando sus coordenadas:

(x−c)2 +y2 +√

(x+c)2 +y2 = 2a

⇔√

(x−c)2 +y2 = 2a−√

(x+c)2 +y2

⇔ (x−c)2 +y2 = 4a2−4a√

(x+c)2 +y2 +(x+c)2 +y2

⇔ x2−2xc+c2 +y2 = 4a2−4a√

(x+c)2 +y2 +x2 +2xc+c2 +y2

⇔ 4a√

(x+c)2 +y2 = 4cx+4a2

⇔ a√

(x+c)2 +y2 = cx+a2

⇔ a2((x+c)2 +y2) =(cx+a2)2

⇔ a2x2 +2a2cx+a2c2 +a2y2 = c2x2 +2a2cx+a4

⇔ x2(a2−c2)+a2y2 = a2(a2−c2)

⇔ b2x2 +a2y2 = a2b2 (haciendoa2−c2 = b2)

Page 137: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.4. ELIPSE 129

y dividiendo entrea2b2 se obtienex2

a2 +y2

b2 = 1

que se conoce como la ecuacion de la elipse en forma canonica, observe que en ellaa > b.Graficamente,±a representa los cortes de la elipse con el ejex , pues si

y = 0 ⇒ x2

a2 = 1⇒ x2 = a2 ⇒ x = ±a y analogamente±b representa los cortes de la misma con

el ejey.A 2a se le llamaEje mayorde la elipse y a 2b el Eje menor; al eje donde se encuentran los focos,Ejeprincipal de la elipse; a los puntos (±a,0) , (0,±b) es decir, los extremos de los ejes se les llamaVertices de la elipsey al punto sobre el eje principal, equidistante a los focos,Centro de la elipse(Figura 5.24)

(0,b)

(0,−b)

(−a,0) (a,0)(−c,0) (c,0)x

y x2

a2 +y2

b2 = 1

FIGURA N◦ 5.24

En forma analoga se deduce la ecuacion de la elipse con focos sobre el ejey a igual distancia delorigen, es decir,F1 = (0,c) , F2 = (0,−c) la cual esta dada por

x2

b2 +y2

a2 = 1

donde 2a es el eje mayor y 2b es el eje menor, ya2−b2 = c2 . (Figura 5.25)

Page 138: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

130 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

(0,a)

(0,−a)

(−b,0) (b,0)

F2 = (0,−c)

F1 = (0,c)

x

y

x2

b2 +y2

a2 = 1

FIGURA N◦ 5.25

Ejemplo 1

Dada la ecuacion de la elipsex2

9+

y2

4= 1, hallar las coordenadas de los vertices, focos y la

longitud de los ejes.La longitud del eje mayor es 2a = 6 , y la longitud del eje menor es 2b = 4 , y los focos debenestar en el ejex. Ahora por la forma de la ecuacion

Si y = 0⇒ x2

9= 1⇒ x2 = 9⇒ x = ±3

Si x = 0⇒ y2

4= 1⇒ y2 = 4⇒ y = ±2

luego las coordenadas de los vertices de la elipse son(±3,0) y (0,±2)

Como c2 = a2−b2 = 9−4 = 5⇒ c = ±√

5

y en consecuencia las coordenadas de los focos son(±√

5,0) (Figura 5.26)

Page 139: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.4. ELIPSE 131

(0,2)

(0,−2)

(−3,0) (3,0)(−√

5,0) (√

5,0)x

y

x2

32 +y2

22 = 1

FIGURA No 5.26

Ejemplo 2

Hallar la ecuacion de la elipse con vertices en (±5,0) y focos en (±3,0), como las ordenadasde los vertices y focos son las mismas entoncesa = 5 y c = 3, comob2 = a2−c2 = 25−9 = 16 yası la ecuacion es:

x2

25+

y2

16= 1

Ejemplo 3

Dada la ecuacion de la elipse 25x2 +4y2 = 100, hallar las coordenadas de sus focos, sus verticesy trace su grafico.

La ecuacion 25x2+4y2 = 100 se puede escribir comox2

4+

y2

25= 1, es decir, como

x2

22 +y2

52 = 1

que corresponde a una elipse con centro en el origen cuyo semieje mayores a = 5 y semieje menorb= 2 y con focos localizados sobre el ejey. Como c2 = a2−b2 = 25−4= 21, entoncesc=±

√21,

luego las coordenadas de los focos son los puntos(0,√

21) , (0,−√

21). Como b2 = 4, b = ±2y a2 = 25, a = ±5 entonces las coordenadas de los vertices son los puntos(2,0) , (−2,0) y(0,5) , (0,−5) (Figura 5.27)

Page 140: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

132 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

(0,5)

(0,−5)

(−2,0) (2,0)

(0,−√

21)

(0,√

21)

x

y

x2

52 +y2

22 = 1

FIGURA No 5.27

En forma similar al tratamiento hecho con la parabola es posible , utilizando traslaciones, hallarecuaciones de elipses con eje paralelo al ejex o ejey y con centro en un punto(h,k) 6= (0,0), lascuales estan dadas por:

(x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 = 1

cuando el eje mayor 2a es paralelo al ejex, en cuyo caso, las coordenadas de los vertices son(h+a,k) , (h−a,k) , (h,k+b) , (h,k−b) las coordenadas de los focos son(h+ c,k) y (h− c,k)(Figura 5.28a) y

(x−h)2

b2 +(y−k)2

a2 = 1

cuando el eje mayor 2a es paralelo al ejey, en cuyo caso, las coordenadas de los vertices son(h+ b,k) , (h− b,k) , (h,k+ a) , (h,k− a) y las coordenadas de los focos(h,k+ c) y (h,k− c)(Figura 5.28b)

y ′

x ′(h,k)

(h,k−b)

(h,k+b)

(h+a,k)(h−a,k) (h+c,k)(h−c,k)

y

x(x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 = 1

y ′

x ′(h,k)

y

x

(x−h)2

b2 +(y−k)2

a2 = 1

(h+b,k) (h−b,k)

(h,k+a)

(h,k−a)

(h,k+c)

(h,k−c)

a) b)FIGURA No 5.28

Page 141: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.4. ELIPSE 133

Ejemplo 4

Determinar las coordenadas del centro, vertices, focos y grafico de la ecuacion

(x−2)2 +(y+1)2

4= 1

Como la ecuacion (x−2)2 +(y+1)2

4= 1 corresponde a una elipse, su centro es(h,k) = (2,−1);

y como a2 = 4 ; a = 2 y b2 = 1, b = 1 y como a > b el eje mayor es paralelo al ejey y tienepor ecuacion x = 2. Como el centro de la elipse es(h,k) = (2,−1) , para hallar los vertices, comob = 1, nos movemos una unidad en forma horizontal a la derecha y a la izquierdadel centro(2,−1)para obtener(2+1,−1) = (3,−1) y (2−1,1) = (1,−1) y ası se determinan los vertices(3,−1) y(1,−1); y como a = 2 nos movemos dos unidades en forma vertical hacia arriba y hacia abajo delcentro (2,−1) para obtener(2,−1+2) = (2,1) y (2,−1−2) = (2,−3) los otros vertices.Como c2 = a2−b2 = 4−1 = 3 ; c = ±

√3. Para obtener las coordenadas del foco nos movemos en

forma vertical hacia arriba y hacia abajo del centro(2,−1)√

3 unidades para obtener(2,−1+√

3), (2,−1−

√3) las coordenadas de los focos.

Ahora las coordenadas de los vertices de la elipse(x−2)2+(y+1)2

4= 1 tambien se pueden calcular

ası:

Si se hacex= 2 en la ecuacion (x−2)2+(y+1)2

4= 1 se tiene

(y+1)2

4= 1 , es decir,(y+1)2 =

4; luegoy+1=±2 y por tantoy=−1±2 , luego(2,−1−2) = (2,−3) y (2,−1+2) = (2,1), son

las coordenadas de los vertices. Y se hacey = −1 en la ecuacion (x−2)2 +(y+1)2

4= 1 se tiene

que (x−2)2 = 1, luegox−2 = ±1, ası que x = 2±1, por tanto(2+1,−1) = (3,−1) y (2−1,−1) = (1,−1) las coordenadas de los otros vertices. (Fig. 5.29)

(2,1)

(2,−3)

(1,−1) (3,−1)

(2,−1−√

3)

(2,−1+√

3)

x

y

(x−2)2 +(y+1)2

4= 1

y ′

x ′(2,−1)

FIGURA N◦ 5.29

Page 142: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

134 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

Ejemplo 5

Dada la ecuacion de la elipse(x−3)2

16+

(y+4)2

4= 1 hallar las coordenadas del centro, vertices,

focos y trace su grafico. El centro es el punto(3,−4). a2 = 16, entoncesa=±4 y b2 = 4, entoncesb = ±2.Como el centro tiene coordenadas(3,−4), el eje mayor esta en la rectay=−4 y como a= 4, parahallar las coordenadas de uno de los vertices se mueven 4 unidades en forma horizontal a la derechay a la izquierda del centro para obtener(3+4,−4) = (7,−4) y (3−4,−4) = (−1,−4) y comob = 2, nos movemos en forma vertical hacia arriba y hacia abajo del centro(3,−4) para obtener(3,−4+2) = (3,−2) y (3,−4−2) = (3,−6) que son las coordenadas de los otros vertices.Como c2 = a2 − b2 = 16− 4 = 12 entoncesc = ±

√12 y las coordenadas de los focos los de-

terminamos moviendo√

12 unidades a la derecha e izquierda del centro(3,−4), para obtener(3+

√12,−4) y (3−

√12,4). (Fig. 5.30)

(3,−2)

(3,−6)

(−1,−4)

(7,−4)

(3−√

12,−4) (3+√

12,−4)

x

y

(x−3)2

16+

(y+4)2

4= 1

(3,−4)

y ′

x ′

FIGURA N◦ 5.30

Ejemplo 6

Dada la ecuacion 4x2 + 9y2−48x+ 72y+ 144= 0 hallar las coordenadas del centro, vertices,focos. Como 4x2 +9y2−48x+72y+144= 0 complementando cuadrados se tiene que

(4x2−48x)+(9y2 +72y)+144 = 0

4(x2−12x)+9(y2 +8y)+144 = 0

4(x2−12x+36−36)+9(y2 +8y+16−16)+144 = 0

4(x−6)2 +9(y+4)2 = 144+144−144= 144

(x−6)2

36+

(y+4)2

16= 1, por tanto

las coordenadas del centro de la elipse son(h,k) = (6,−4) y como a2 = 36 entoncesa = 6 ycomo b2 = 16 entoncesb= 4 ademas c2 = 36−16= 20 entoncesc=±

√20. Las coordenadas

de los vertices son(6+6,−4) = (12,−4) y (6−6,−4) = (0,−4) ; (6,−4+4) = (6,0) ;(6,−4−4) = (6,−8) y las coordenadas de los focos son(6+

√20,−4) y (6−

√20,−4). (Fig.

5.31)

Page 143: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.4. ELIPSE 135

(6,0)

(12,−4)(0,−4)

(6−√

20,−4) (6+√

20,−4)

(6,−4)

x

y

(x−6)2

36+

(y+4)2

16= 1

(6,−8)

y ′

x ′

FIGURA N◦ 5.31

Ejemplo 7

Dada la ecuacion 16x2 +9y2−32x+54y = 47 hallar las coordenadas del centro, vertices, focosy trazar su grafico.Como 16x2 +9y2−32x+54y = 47 entonces

16x2−32x+9y2 +54y = 47

16(x2−2x

)+9(y2 +6y

)= 47 completando cuadrados

16(x2−2x+1−1

)+9(y2 +6y+9−9

)= 47

16(x−1)2 +9(y+3)2 = 47+16+81= 144

(x−1)2

9+

(y+3)2

16= 1, por tanto

las coordenadas del centro son(h,k) = (1,−3).Como a2 = 16 entoncesa= 4 y como b2 = 9 entoncesb= 3 ademas c2 = 16−9= 7 , c=

√7 ;

luego las coordenadas de los vertices son (1+ 3,−3) = (4,−3) y (1− 3,−3) = (−2,−3) y(1,−3+ 4) = (1,1) y (1,−3−4) = (1,−7) y las coordenadas de los focos son(1,−3+

√7) ,

(1,−3−√

7). (Fig. 5.32)

Page 144: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

136 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

(−2,−3)

(1,1)

(1,−3)

(1,−7)

(4,−3)

(1,−3+√

7)

(1,−3−√

7)

x

y

(x−1)2

9+

(y+3)2

16= 1

y ′

x ′

FIGURA N◦ 5.32

Ejemplo 8

Hallar la ecuacion de la elipse con centro en(1,2) , uno de los focos en(6,2) y que pasa por(4,6).

La ecuacion es de la forma(x−1)2

a2 +(y−2)2

b2 = 1 y como (4,6) pertenece a la curva, entonces

(4−1)2

a2 +(6−2)2

b2 = 1 , es decir9a2 +

16b2 = 1 y como c= 5 entoncesb2 = a2−c2 = a2−25,

luego9a2 +

16a2−25

= 1 si y solo si9(a2−25)+16a2

a2(a2−25)= 1 , entonces

9a2−9(25)+16a2 = a2−25a2 , luego 50a2 = a4 +9(25) y asıa4−50a2+225= 0⇒

(a2−45

)(a2−5

)= 0 y de aquı a2 = 45 (a2 = 5 No, puesb2 = a2−25

absurdo) por lo tanto la ecuacion es(x−1)2

45+

(y−2)2

20= 1

Ejemplo 9

La ecuacion(x−1)2

132 +(y+4)2

122 = 1 tiene por coordenadas del centro(h,k) = (1,−4) longitud

del eje mayor 2a = 26 y del eje menor 2b = 24 por tanto el eje mayor de la elipse, que es donde seencuentran los focos, esta sobre la rectay = −4; y puesto queb2 = a2− c2 ⇒ c2 = (13)2− (12)2 = 25⇒ c = ±5, es decir la distancia del centro de la elipse alfoco es 5, por tanto las coordenadas de los focos sonF1 = (1+5,−4) = (6,−4) yF2 = (−5+1,−4) = (−4,−4). Los vertices son(−12,−4), (14,−4), (1,8), (1,−16). (Figura 5.33)

Page 145: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.4. ELIPSE 137

y ′

x ′

(1,8)

(1,−16)

(−12,−4) (14,−4)(−4,4) (6,−4)(1,-4)

x

y

(x−1)2

132 +(y+4)2

122 = 1

FIGURA No 5.33

Observe que la grafica es casi una circunferencia porquea es casi igual ab.

EJERCICIOS

1. Hallar las coordenadas de los vertices y de los focos y trace la grafica, para:

a)x2

9+

y2

4= 1 b)

x2

16+

y2

36= 1

c) 4x2 +y2 = 1 d) x2 +4y2 = 4

2. Hallar la ecuacion de la elipse que satisface las condiciones dadas:

a) Coordenadas de vertices y focos(±8,0) , (±5,0) respectivamente.

b) Coordenadas de vertices y focos(0,±5) , (0,±2) respectivamente.

c) Coordenadas de los vertices (0,±5) y la longitud del eje menos 3.

d) Las coordenadas de los vertices (0,±6) (eje mayor) y pasa por(3,2).

e) Las coordenadas de los focos(±1,0) y la longitud del eje mayor 6.

3. Para la ecuacion de la elipse(x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 = 1 hallar:

a) El centro

b) Las coordenadas de los focos

Page 146: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

138 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

c) Las coordenadas de los vertices.

4. Para las elipses: i)(x−1)2

49+

(y−5)2

9= 1 y ii) 16x2 +9y2 +64x−18y−71= 0 . Hallar:

a) Las coordenadas de los focos

b) Las coordenadas de los vertices

c) Longitud de los ejes mayor y menor

d) Grafica

5. Hallar la ecuacion de las elipses que satisfacen las condiciones dadas:

a) Coordenadas de los focos(1,3) , (1,9) longitud del eje menor 8.

b) Centro en (2,1) ; coordenadas de los vertices (2,6) y (1,1) respectivamente.

6. La ecuacion Ax2 +By2 +Cx+Dy+F = 0, A,B,C,D ∈ R, ¿ representa siempre una elipse ?¿Cuando no?

7. Dada la ecuacion, hallar coordenadas del centro, vertices y focos

a) 9x2 +16y2−36x+96y+36= 0

b) 16x2 +25y2−64x−50y−311= 0

c) 16x2 +9y2−32x+54y = 47

d) x2 +4y2−2x−24y = −29

e)(x−3)2

16+

(y+4)2

4= 1

f )(x−2)2

9+

(y+3)2

8= 1

8. Hallar la ecuacion de la elipse si

a) Centro(4,−1) , foco(1,−1) , pasa por (8,0)

b) Vertice en (6,3) focos en (−4,3) , (4,3)

c) Vertices en(−1,3) , (5,3) longitud eje menor 4

d) Centro en(3,2) , foco en (3,7) y un vertice en(3,−5)

e) Tiene focos en(1,4) , (5,4) y vertices en (0,4) y (6,4)

Page 147: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.5. HIPERBOLA 139

5.5. HIPERBOLA

Una hiperbola, es el conjunto de todos los puntos en un plano tales que el valor absoluto de la difer-encia de sus distancias a dos puntos fijos llamadosFocoses constante.

Inicialmente se hallara la ecuacion en el caso en que los focos se encuentran sobre el ejex, concoordenadasF1 = (c,0) y F2 = (−c,0). (Figura 5.34)

P = (x,y) P = (x,y)

y y

x xF2 = (−c,0) F1 = (c,0) F2 = (−c,0) F1 = (c,0)

d(P,F1) < d(P,F2) d(P,F1) > d(P,F2)

FIGURA N◦ 5.34

Si P = (x,y) es un punto sobre la hiperbola y si 2a es la constante a la que se refiere la definicion,entonces:

|d(P,F1)−d(P,F2)| = 2a, es decir∣∣∣∣

(x−c)2 +(y−0)2−√

(x+c)2 +(y−0)2

∣∣∣∣= 2a

Procediendo en forma analoga a como se hizo en la deduccion de la ecuacion de la elipse se llega a laecuacion:

x2

a2 − y2

c2−a2 = 1

llamando b2 = c2−a2 , donde b > 0 y sustituyendo en la ecuacion anterior se obtiene

x2

a2 − y2

b2 = 1

que es llamadaecuacion en forma canonica o ecuacion de la hiperbola con centro en(0,0) y verticeen (a,0) , (−a,0) . (Figura 5.35)

Aquı como en el caso de la elipse se llama centro de la hiperbola al punto medio del segmento queune los 2 focos; eje principal de la hiperbola a la recta que pasa por los 2 focos y vertices a los puntosde interseccion de la hiperbola con su eje principal.

Despejandoy de la ecuacionx2

a2 − y2

b2 = 1 se obtieney = ±ba

√x2−a2 lo que indica:

Page 148: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

140 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

Primero que no hay puntos(x,y) en la grafica cuandox2−a2 < 0 , es decir cuando−a< x< ay segundo que parax = ±a la grafica corta al ejex.

La recta y =ba

x es una asıntota de la hiperbolax2

a2 − y2

b2 = 1 , en el sentido de que a medida que

x tiende a∞ la distanciad(x) entre el punto(x,y) de la hiperbola y el punto correspondiente(x,y1)de la recta tiende a cero sin que se toquen la recta y la curva. Puesto que esta distancia es igual a

d(x) = y1−y =ba

x− ba

x2−a2 =ba

(

x−√

x2−a2)

=ba

(

x−√

x2−a2)

(

x+√

x2−a2)

(

x+√

x2−a2)

=ba

(

x2−(x2−a2

)

x+√

x2−a2

)

=ba

(a2

x+√

x2−a2

)

=ab

x+√

x2−a2

La cual evidentemente tiende a cero a medida quex se hace muy grande.Analogamente,d(x) tiende a cero cuandox tiende a−∞.Observe que estas ecuaciones se pueden obtener de la ecuacion de la hiperbola al reemplazar el uno

por el cero.

(x2

a2 − y2

b2 = 0

)

Puede demostrarse ademas que tambien la recta, y = −ba

x es asıntota de esta hiperbola. (Fig.

5.35)

y

x(c,0)(−c,0) (−a,0) (a,0)

x2

a2 −y2

b2 = 1

y =ba

xy = −ba

x

FIGURA N◦ 5.35

Si los focos de la hiperbola estan ubicados en los puntos(0,±c) sobre el ejey, se puede demostrar

quey2

a2 −x2

b2 = 1 es su ecuacion, donde nuevamenteb2 = c2−a2 ; su centro en el origen y(0,±a)

son las coordenadas de sus vertices y sus asıntotas tienen ecuacion y = ± ab

x. (Fig.5.36)

Page 149: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.5. HIPERBOLA 141

y

x

F = (0,c)

F = (0,−c)

(0,−a)

(0,a)

y2

a2 −x2

b2 = 1

y =ab

xy = −ab

x

FIGURA N◦ 5.36

Ejemplo 1

La ecuacionx2

4− y2

9= 1 , representa una hiperbola abierta hacia los lados, en ellaa2 = 4 y

por tanto a = ±2 y entonces sus vertices tienen coordenadas(±2,0) . Ademasb2 = 9, por tantob = ±3 y comoc2 = a2 + b2 = 4+ 9 = 13 , las coordenadas de los focos son

(±√

13,0). Las

ecuaciones de sus asıntotas sony = ±(3/2)x (fig 5.37).

y

x(√

13,0)(−√

13,0) (−2,0) (2,0)

x2

22 −y2

32 = 1

y =32

xy = −32

x

FIGURA N◦ 5.37

Ejemplo 2

Encuentre la ecuacion, los focos y las asıntotas de una hiperbola cuyos vertices son(±3,0) y quepasa por (5,2).

Page 150: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

142 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

a = 3, entoncesx2

9− y2

b2 = 1 , y como(5,2) es solucion de esta ecuacion entonces:

259− 4

b2 = 1 , es decir, b2 =94

, por tanto la ecuacion buscada esx2

9− 4y2

9= 1

Como c2 = a2 +b2 = 9+94

=454

entoncesc = ±√

454

y ası las coordenadas de los focos son(

±32

√5,0

)

. Y como a = 3 y b =32

entoncesy = ± x2

son las ecuaciones de las asıntotas.

Ejemplo 3

Los focos y los vertices de una hiperbola son los puntos(5,0) , (−5,0) , (4,0) , (−4,0) respecti-vamente. Hallar la ecuacion de la hiperbola y sus asıntotas.

Como los focos estan sobre el ejex, la ecuacion de la hiperbola es de la formax2

a2 − y2

b2 = 1 y ası

a = 4 , c = 5 , b =√

25−16= 3 , en consecuencia la ecuacion de la hiperbola esx2

16− y2

9= 1

Ahorax2

16− y2

9= 0 si y solo si

(x4− y

3

)(x4

+y3

)

= 0 entoncesx4− y

3= 0 o

x4

+y3

= 0 ,

por tanto y =34

x o y = −34

x son las ecuaciones de las asıntotas. (Fig. 5.38)

y

x(5,0)(−5,0) (−4,0) (4,0)

x2

42 −y2

32 = 1

y =34

xy = −34

x

FIGURA N◦ 5.38

Ejemplo 4

Hallar la ecuacion de la hiperbola que tiene su centro en el origen, un vertice en (6,0) y una desus asıntotas es la recta 4x−3y = 0

Page 151: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.5. HIPERBOLA 143

Como el centro es(0,0) y un vertice esta en(6,0), entonces la hiperbola debe estar abierta hacia

los lados, por tanto su ecuacion debe ser de la forma:x2

a2 − y2

b2 = 1, cona = 6 y la ecuacion de sus

asıntotas debe ser de la formay = ±ba

x, comoa = 6; y y =43

x es una asıntota entonces43

=b6

, de

dondeb = 8.

Ası la ecuacion de la hiperbola serax2

62 −y2

82 = 1, o seax2

36− y2

64= 1

La ecuacion de la hiperbola con centro en(h,k) 6= (0,0) abierta hacia los lados haciendo traslaciones

(x−h)2

a2 − (y−k)2

b2 = 1

Aquı el centro tiene por coordenadas(h,k) , las coordenadas de los vertices son (h+ a,k) ,(h−a,k) y las coordenadas de los focos(h+c,k) , (h−c,k). (Fig. 5.39a).Si la hiperbola abre hacia arriba y hacia abajo y su centro esta en(h,k) su ecuacion sera:

(y−k)2

a2 − (x−h)2

b2 = 1

Aquı el centro tiene por coordenadas(h,k) , las coordenadas de los vertices son(h,k+a) , (h,k−a)y las coordenadas de los focos(h,k+c) , (h,k−c). (Fig. 5.39b)

y

x

(x−h)2

a2 − (y−k)2

b2 = 1

(h,k)

FIGURA N◦ 5.39(A)

Page 152: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

144 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

x

y (y−k)2

a2 − (x−h)2

b2 = 1

(h,k)

FIGURA N◦ 5.39(B)

Ejemplo 5

Dada la ecuacion de la hiperbola 9x2−16y2−18x−64y−199= 0 hallar las coordenadas delcentro, vertices, focos, asıntotas.Como 9x2−16y2−18x−64y−199= 0 organizando cuadrados perfectos se tiene que

(9x2−18x)− (16y2 +64y)−199= 0

9(x2−2x)−16(y2 +4y)−199= 0

9(x2−2x+1−1)−16(y2 +4y+4−4)−199= 0

9(x−1)2−16(y+2)2 = 199+9−64= 144

luego(x−1)2

16− (y+2)2

9= 1

luego las coordenadas del centro son(1,−2).

Como a2 = 16 entoncesa = 4 y comob2 = 9 entoncesb = 3 , luego c2 = a2 +b2 = 25 entoncesc = 5. Para hallar las coordenadas de los vertices, comoa = 4 , entonces a partir del centro nosmovemos 4 unidades a la derecha y a la izquierda en forma horizontal para obtener(1+4,−2) = (5,−2) ,(1−4,−2) = (−3,−2).

Tambien si se hacey = −2 en la ecuacion(x−1)2

16− (y+2)2

9= 1 ,

se tiene que(x−1)2

16= 1 , entonces(x−1)2 = 16 y ası x−1 = ±4 ; x = 1±4, entoncesx = 5

o x = −3 luego las coordenadas de los vertices (5,−2) y (−3,−2) Como c = 5 para hallar lascoordenadas de los focos a partir del centro nos movemos 5 unidades enforma horizontal a la derechae izquierda para obtener(1+5,−2) = (6,−2) y (1−5,−2) = (−4,−2) , las coordenadas de los

Page 153: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.5. HIPERBOLA 145

focos. Para hallar las asıntotas se cambia el uno por el cero en la ecuacion(x−1)2

16− (y+2)2

9= 1

para obtener(x−1)2

16− (y+2)2

9= 0, es decir

(x−1

4− y+2

3

)(x−1

4+

y+23

)

= 0 entonces las

ecuaciones de las asıntotas sonx−1

4− y+2

3= 0 y

x−14

+y+2

3= 0 es deciry+2= ± 3

4(x−1).

(Fig. 5.40)y

x

(6,−2)(−4,−2) (−3,−2) (5,−2)

(1,−2)

(x−1)2

42 − (y+2)2

32 = 1

y =34(x−1)−2y = −3

4(x−1)−2

FIGURA N◦ 5.40

Ejemplo 6

Dada la ecuacion de la hiperbola(x+2)2

9− (y−4)2

36= 1 hallar las coordenadas del centro,

vertices y asıntotas.Como a2 = 9 , entoncesa = ±3 ; el centro de la hiperbola tiene por coordenadas(h,k) = (−2,4)y por tanto el eje esta en la recta horizontaly = 4 y para hallar los vertices de la hiperbola nos move-mos 3 unidades a la derecha y a la izquierda de su centro(−2,4) para obtener(−2+3,4) = (1,4)y (−2−3,4) = (−5,4)

Tambien haciendoy= 4 en la ecuacion(x+2)2

9− (y−4)2

36= 1 se tiene que

(x+2)2

9= 1 , ası que

(x+2)2 = 9 , luego x+2 = ±3 y ası x = −2 ± 3 es decirx = −5 o x) = 1, y ası las coordenadasde los vertices son(−5,4) , (1,4).

Las ecuaciones de las asıntotas son las soluciones de(x+2)2

9− (y−4)2

36= 0 ,

es decir,x+2

3− y−4

6= 0 y

x+23

+y−4

6= 0 , es decir,y = −2x y y = 2x+8.

Comoc2 = a2 +b2, c =√

a2 +b2 =√

9+36=√

45= 3√

5, luego las coordenadas de los focos son(−2−

√45,4)(−2+

√45,4). (Fig. 5.41)

Page 154: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

146 Capıtulo 5. GEOMETRIA ANAL ITICA

y

x

(−2+√

45,4)(−2−√

45,4) (−5,4) (1,4)

(−2,4)

(x+2)2

9− (y−4)2

36= 1

y = 2x+8

y = −2x

FIGURA N◦ 5.41

Ejemplo 7

Dada la ecuacion de la hiperbola 3y2 − x2 + 4x− 6y− 13 = 0 , hallar coordenadas del centro,focos, vertices y ecuaciones de las asıntotas.

La ecuacion 3y2−x2 +4x−6y−13= 0 , se puede escribir como

(3y2−6y

)−(x2−4x

)= 13

3(y2−2y+1−1

)−(x2−4x+4−4

)= 13

3(y−1)2− (x−2)2 = 12, luego

(y−1)2

4− (x−2)2

12= 1,

luego el centro es(2,1) , su eje focal es una recta paralela al ejey y que pasa por(2,1), es decirx = 2.Como a2 = 4 y b2 = 12 entoncesc =

√a2 +b2 = 4 , luego las coordenadas de los focos sonx = 2 ,

y = 1± 4 , es decir (2,5) , (2,−3)

Las coordenadas de los vertices son x = 2 ; y = 1 ± 2 ; es decir, los vertices estan en los puntos

(2,3) , (2,−1) y las ecuaciones de las asıntotas sony−1

2− x−2√

12= 0 y

y−12

+x−2√

12= 0

EJERCICIOS

1. Hallar los vertices, focos, asıntotas y grafica de las hiperbolas cuyas ecuaciones se indican:

Page 155: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

5.5. HIPERBOLA 147

a)x2

16− y2

9= 1 b)

y2

16− x2

9= 1 c) 2x2−y2 = 4

d) y2−x2 +10= 0 e) 4y2−9x2 = 1

2. Hallar una ecuacion de la hiperbola que satisface las condiciones dadas

a) Centro en (0,0) , vertice en (±3,0) y un foco en (5,0).

b) Focos en (0,±3) y un vertice en (0,1) .

c) Foco en (13,0) y asıntotas las rectas 12y = ±5x.

3. Las ecuaciones de la hiperbola con centro en(h,k) son:

a)(x−h)2

a2 − (y−k)2

b2 = 1 y b)(y−k)2

a2 − (x−h)2

b2 = 1

hallar sus focos, sus vertices, sus asıntotas y graficas.

4. Hallar la ecuacion de una hiperbola que satisface:

a) Centro en (3,5) , vertice en (7,5) y un foco en (8,−5).

b) Centro en (2,4) , un vertice en (2,5) , una asıntota 2y−x−6 = 0

c) Vertices en (1,1) y (1,5) , y un foco en(1,−2).

d) Focos en(5,0) , (5,8) y un vertice en (5,5).

5. Hallar vertices, focos, asıntotas y graficas de:

a)(y−2)2

4− (x+2)2

4= 1

b) x2−y2−x+y = 1/2

c) x2−4y2−4x+24y−36= 0

d)(x+4)2

9− (y+3)2

16= 1

6. En que casos la ecuacion ax2 +b2 +cx+dy+ f = 0 , representa una hiperbola?

Page 156: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS
Page 157: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 6FUNCIONES

6.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS

En la vida cotidiana y en el estudio cientıfico, no siempre basta con numeros para describir matematica-mente fenomenos o resultados del analisis de estos, sino que para ello se hace necesario frecuente-mente establecer correspondencias entre elementos de dos conjuntos, detal forma que elementos deun conjunto esten relacionados de alguna forma con uno o mas elementos de otro conjunto. Este tipode correspondencia es parte fundamental de la matematica en general y ael se asocian los concep-tos de funcion y relacion, cuyos elementos caracterısticos se presentaran inicialmente mediante unosejemplos.

Ejemplo 1

Considere un experimento que consiste en tomar la temperatura de determinadasustancia, la cual sepuede medir en los tiempos 0, 1, 2, ... hasta 30 segundos, pero solamente se realizaran 10 mediciones ypara ello se dispone de un termometro que marca temperaturas de 0◦C hasta 70◦C. El experimentadorhizo las siguientes mediciones:

En el primer segundo el termometro marco 20◦C, en el cuarto segundo 22◦C, en el quinto 23◦C,y en los segundos 6, 8, 10, 12, 18, 23, 29 marco 25◦C, 26◦C, 28.5◦C, 27◦C, 25◦C, 24.3◦C y 22.2◦Crespectivamente.

Como se puede apreciar, existen inicialmente dos conjuntos numericos, un conjuntoA formado porlos tiempos posibles en los que se pueden efectuar mediciones, es decirA = {0, 1, 2, 3, . . . , 30} yun conjuntoB que indica el rango de temperaturas en que puede estar la sustancia, es decir,B = {x | 0 ≤ x ≤ 70} = [0, 70], y existe ademas una forma de hacer corresponder, para algunoselementos deA (los tiempos que selecciono el experimentador), a cada uno de ellos ununico elementode B (la temperatura que marco en esos tiempos). Tambien se puede observar que hay algunos ele-mentos de A a los que segun la seleccion no se les asocio una temperatura y otros a los cuales si. Enforma analoga hay unos elementos deB que representan la temperatura de la sustancia en alguno delos tiempos seleccionados y otros no.

149

Page 158: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

150 Capıtulo 6. FUNCIONES

A correspondencias de este tipo entre dos conjuntosA y B se le llamanFunciones de A en B(eneste orden) las cuales en general se definen ası:

Una funcion de un conjuntoA distinto de vacıo (llamado conjunto de partida) en un conjuntoBdistinto de vacıo (llamado conjunto de llegada) en este orden, es una correspondencia entre algunoselementos deA y algunos elementos deB, de tal forma que a cada elemento deA corresponda ununicoelemento deB o ninguno.

Haciendo referencia al ejemplo anterior, el conjunto de partida esA = {0, 1, 2, . . . , 30}, el con-junto de llegada esB = [0, 70] y la correspondencia de la que habla la definicion es la que se realizaentre algunos elementos deA y otros deB, segun la cual, a cada tiempo seleccionado corresponde unaunica temperatura.

Al conjunto de los elementos deA, que segun la correspondencia estan relacionados con algun el-emento deB, se llamara Dominio de la funcion (D f ) y obviamente es un subconjunto deA; en elejemploeste corresponde a los tiempos seleccionados, es decir,D f = {1,4,5,6,8,10,12,18,23,29} ⊂ A. Al conjunto de elementos deB a los que les correspon-dio asociarse con algun elemento deA, se llamaRecorrido o rango de la funcion (Rf ), el cualevidentemente es un subconjunto deB; en el ejemplo

Rf = {20, 22, 23, 25, 26, 28.5, 27, 24.3, 22.2} ⊂ B.

La expresion f : A → B indica, que la funcion se llamaf , que el conjunto de partida esA y el conjuntode llegada esB y puesto que a elementos deA corresponde ununico elemento deB entonces con unavariable generica(x, t, p, v, n, . . . , etc), que se supone toma valores enA, se expresa de que modose esta estableciendo esta correspondenciaf . Para el ejemplof : {0, 1 . . . , 30} → [0, 70] conf ( t ) = temperatura de la sustancia en el tiempot ( logicamentet ∈ {0,1,2, . . . ,30})

En general las funciones se pueden representar graficamente plasmando visualmente la correspon-dencia entre dos conjuntos.

Para el ejemplo tratado las figuras 6.1 (a). y 6.1 (b) ilustran diferentes representaciones graficas.

Page 159: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 151

1 20

4 22

5 23

6 25

8 26

10 28.5

12 27

18 25

23 24.3

29 22.2

f (t)

t

(A) (B)

-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920-10

-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789

10111213141516

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415161718192021222324252627282930

FIGURA N◦ 6.1

Generalmente cuandoA y B son subconjuntos de los numeros reales, se prefiere trabajar con graficascomo la de la figura 6.1 (b), las cuales se construyen ubicando en el ejex del plano cartesiano, elconjunto de partida de la funcion f y en el ejey el conjunto de llegada, y considerando que six ∈ D f

y y = f (x) es el elemento del conjunto de llegada al cual esta asociadox, entonces la pareja(x, f (x))forma parte de la grafica de la funcion. Ası una funcion f se puede considerarcomo un conjunto deparejas ordenadasen las cuales las primeras componentes corresponden al dominio de la funcion y lassegundas componentes a sus respectivas imagenes y donde logicamente no podran existir dos parejasdiferentes que tengan la misma primera componente, ya que en una funcion la imagen de un elementoesunica. A la variable que representa los elementos del dominio se le llamaVariable independienteya la que representa los elementos del recorrido,Variable dependiente, indicando con estos nombres ladependencia de los elementos del recorrido de los del dominio. Es evidenteque no todo conjunto deparejas ordenadas es una funcion, pues podrıa darse el caso queel contenga parejas diferentes con elmismo primer elemento. Si un conjunto de este tipo se representa graficamente en el planoxy, como sehizo con las funciones, necesariamente debe existir al menos una recta vertical (paralela al ejey) quecontenga dos o mas puntos de su grafica (por que). En general a cualquier conjunto no vacıo de parejasordenadas se le llama unaRelacion, por tanto existiran relaciones que son funciones y otras que nolo son. En la figura 6.2 (a) se aprecia la grafica de una relacion que no es funcion, pues a cualquierpunto del intervalo(−3, 3) corresponden dos imagenes. En la figura 6.2 (b) aunque solamente hay unpunto que tiene dos imagenes, (al punto 1 corresponde el 0 y el 5, pues el punto de coordenadas(1, 0)tambien forma parte de la grafica), esto es suficiente para que esta grafica represente una relacion quetampoco es funcion. La figura 6.2 (c) representa una relacion que si es una funcion.

Page 160: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

152 Capıtulo 6. FUNCIONES

(3,0)x

(0,−3)

(0,3)

(−3,0)

y

x2 +y2 = 9

A)

1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

y

x

B)

x

y

-5

0

5

10

15

20

25

30

C)

FIGURA N◦6.2

Con los siguientes ejemplos se pretende hacer claridad sobre aspectos relacionados con funciones,como sus graficas, su dominio y su recorrido.

Ejemplo 2

Considere la correspondencia tal que a cada numero realx se le asocia su cuadrado; comoeste esunico, entonces analıticamente se puede representar pory = f (x) = x2.Como el cuadrado de un numero real siempre es real, y a todo numero realx se le esta asociando ununico real que representa su cuadrado, entonces esta correspondencia es una funcion representada porf , cuyo dominio es el conjunto de los numeros reales(D f = R). Los valores que tomay para cada uno

Page 161: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 153

de estos valores dex forman el recorrido def ,en este caso al variarx en R,y toma todos los valoresreales no negativos o seaRf = [0 + ∞).Con algunos valores arbitrarios dados ax, se encuentran los correspondientes dey por medio def ,lo cual nos permite ubicar en el planoxy unas parejas que nos dan una idea aproximada (no siempremuy buena) de como es la grafica de la funcion. Figura 6.3

x 0 1√

2 3.5 5 −1/

2 −1 −3f(x) 0 1 2 12.25 25 1

/4 1 9

x

y

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

(−3,9) (3,9)

(5,25)

FIGURA N◦ 6.3

Ejemplo 3

Con f (x) =√

x2 − 1 se esta representando la funcion que hace corresponder a valores dex en R,los numerosy =

√x2 − 1.

Para quey sea un numero real es necesario quex2 − 1 ≥ 0, es decir el dominio de la funcion es-tara formado solamente por aquellos valores dex que satisfacen esta desigualdad o seaD f =

{x∣∣x2−1≥ 0

}= (−∞,−1]∪ [1+∞); por tanto encima y bajo del intervalo(−1, 1) no debe

existir grafica de la funcion.Para estos valores dex (los del dominio def ), la expresion y =

√x2 − 1 siempre es mayor o igual

a cero (por que?) y como√

x2 − 1 toma todos los valores desde 0 hasta infinito, cuandox varıa en(−∞ , −1] ∪ [1, +∞) entoncesRf = [0, +∞).Haciendo una tabla analoga a la del ejemplo anterior y representando las parejas resultantes en elplano cartesiano, se obtiene una aproximacion de su grafica. Figura 6.4.

Page 162: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

154 Capıtulo 6. FUNCIONES

y

x

y =√

x2−1

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

FIGURA N◦ 6.4

Ejemplo 4

f (x) =

−x+1 si x∈ (−∞,−2]x2 si 0≤ x≤ 45 si x > 4

De la definicion de la funcion, resulta evidente que para todo valor dex ∈ (−2, 0) no hay imagenpor medio def , mientras que para valores dex en (−∞ , −2] , [0, 4] y (4, +∞) la funcion siempreesta definida, a pesar de que lo este mediante expresiones diferentes, por tanto

D f = (−∞ , −2] ∪ [0, 4] ∪ (4, +∞) = (−∞ , −2] ∪ [0, +∞) .

Observe que six ∈ (−∞ , −2], la expresion que define af (x) allı o seay = −x + 1 esta entre 3 y+∞, ya que siy = −x + 1 ⇒ 1− y = x ≤ −2 ⇒ 3 ≤ y. Analogamente cuando 0≤ x ≤ 4, 0 ≤x2 = y ≤ 16 luego 0≤ y ≤ 16 y parax > 4 y toma siempre el valor 5.

Por tantoRf = [3, +∞) ∪ [0, 16] ∪ {5} = [0, +∞) .

En la construccion del grafico (Fig 6.5) es necesario tener en cuenta, en que intervalo esta definidala funcion mediante cada una de las tres expresiones de que consta:

Page 163: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 155

−6 −4 −2 0 2 4 6 8

2.5

5.0

7.5

10.0

12.5

15.0

y = x2

y = −x+1y = 5

y

x

FIGURA N◦ 6.5

Ejemplo 5

f (x) = [x] con − 2 ≤ x ≤ 3, donde[x] indica que a cada numero realx se le asocia el mayorentero menor o igual quex.

Observe que segun esta definicion se tiene por ejemplo que:

[0.1] = [0.02] = [0.4] =[1/

2]

= [0.99] = [0] = 0 y en general six ∈ R entonces:

Si 0 ≤ x < 1 entonces[x] = 0Si 1 ≤ x < 2 entonces[x] = 1Si 2 ≤ x < 3 entonces[x] = 2...

......

Si n ≤ x < n + 1 entonces[x] = n

Ademas:

[−1.5] = [−1.2] = [−1.99] = [−2] = −2 y ası:

Si −1 ≤ x < 0 entonces[x] = −1Si −2 ≤ x < −1 entonces[x] = −2, etc.

Por tanto elD f = [−2, 3] y Rf = {−2, −1, 0, 1, 2, 3} y su grafica se puede apreciar en la figura6.6

Page 164: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

156 Capıtulo 6. FUNCIONES

−2 −1 0 1 2 3 4

1

2

3

−2

−1

y

x

f (x) = [x ]

FIGURA N◦ 6.6

Ejemplo 6

y = mx+ b conm∈ R, siempre representa una lınea recta no vertical, por tanto siempre representauna funcion con dominioR. Su recorrido sera tambienR salvo el caso en que la recta sea horizontal,pues allı m = 0, por tanto la ecuacion sera y = b, y su recorrido sera {b}. Si la recta es vertical osea de la formax = k esta representa una relacion no funcional con dominio{k} y recorridoR (porque?). (Fig. 6.7)

y

x

m 6= 0

Si funcion

y

x

m= 0

Si funcion

y

x

Sin

pendiente

No funcion

FIGURA N◦ 6.7

Ejemplo 7

Las parabolas de la formay = ax2 + bx+ c (a 6= 0), siempre representan funciones con dominioR.

Para hallar su recorrido se debe recordar que su vertice tiene como ordenada4ac− b2

4a, por tanto si

a > 0 el recorrido sera el intervalo

[4ac− b2

4a, ∞)

pues la parabola esta abierta hacia arriba, y si

a < 0 el recorrido sera

(

−∞ ,4ac− b2

4a

]

pues en este caso estara abierta hacia abajo.

Page 165: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 157

Si la parabola esta abierta a derecha o izquierda, es decir si es de la formax = ay2 + by + c (a 6= 0),evidentemente no representa una funcion, pues toda recta vertical que corte la parabola lo hara en dospuntos. (Fig. 6.8)

y

x1

3

y = x2−2x+4

Rec= [3,∞)

y

x-2

5

y = −x2−2x+4

Rec= (−∞,5]

y

x

x = y2−2

No funcion

FIGURA N◦ 6.8

Ejemplo 8

La elipsex2

a2 +y2

b2 = 1 no representa una funcion como se puede apreciar de su grafica, pero si en

esta se considera solamente la parte sobre el ejex o solamente la parte bajoel, cada una de ellas porseparado representa una funcion, analıticamente esta se obtiene de la ecuacion de la elipse despejando

y, y ası, puesto quey = ± ba

√a2 − x2, al tomar esta expresion solamente con signo positivo o neg-

ativo, representa respectivamente la parte superior e inferior de la elipse. Figura 6.9

Observe que en los dos casos su dominio es[−a, a] y su recorrido[0, b] para la parte superior y[−b, 0] para la inferior.

y

x

y

xy =ba

√a2 − x2

y = − ba

√a2 − x2

Rec= [0,b]

−a a

Rec= [−b,0]

−a a

FIGURA N◦ 6.9

Es claro que cualquier elipse trasladada tampoco sera una funcion, pero de ella se pueden extraerdos funciones procediendo en forma analoga al caso de la elipse con centro en el origen. En este casocuales seran sus ecuaciones? Cuales sus dominios? Cuales sus recorridos?.

Ademas puesto que una circunferencia se puede considerar como una elipsecon los dos ejes iguales,cuya longitud sera su diametro, entonces tampoco representara una funcion; pero de ella se pueden

Page 166: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

158 Capıtulo 6. FUNCIONES

extraer dos funciones; ası si su ecuacion esx2 + y2 = a2, las expresionesy =√

a2 − x2 yy = −

√a2 − x2 tienen por grafica la parte superior e inferior de la circunferencia respectivamente,

las cuales representan funciones con dominio[−a, a] y recorrido[0, a] y [−a, 0] segun el caso.

Ejemplo 9

La hiperbolax2

a2 − y2

b2 = 1 no representa una funcion, observe que en este caso si despejamosy

se obtienen dos ecuaciones:y =ba

√x2 − a2 y y = − b

a

√x2 − a2 y cada una de ellas representa

una funcion con dominio(−∞ , −a] ∪ [a, ∞) y recorrido[0, ∞) y (−∞ , 0] respectivamente. (Figura6.10)

y

x

y

xy =ba

√x2 − a2

y = − ba

√x2 − a2

−a a

−a a

FIGURA N◦ 6.10

Ejemplo 10

Seaf (x) =∣∣x2−4

∣∣

∣∣x2−4

∣∣=

{x2−4 si x2−4≥ 0, es decir, si x∈ (−∞,−2]∪ [2,+∞)−(x2−4) si x2−4 < 0, es decir, si x∈ (−2,2)

Verifique que su grafico corresponde a la curva continua en la figura 6.11, y queD f = R yRf = [0,+∞).

y

x

y = x2−4 y = x2−4y = 4−x2

FIGURA N◦ 6.11

Page 167: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 159

Ejemplo 11

f (x) = |x+1|+x

|x+1|+x =

{x+1+x si x+1≥ 0−(x+1)+x si x+1 < 0

=

{2x+1 si x+1≥ 0−1 si x+1 < 0

D f = R y Rf = [−1,+∞).

Un bosquejo de su grafico se puede apreciar en la figura 6.12

y

x

y = 2x+1

y = −1

FIGURA N◦ 6.12

EJERCICIOS

1. Ilustre el concepto de funcion con dos situaciones cotidianas y dos situaciones de la fısica, yde sus correspondientes dominios y recorridos.

2. Si f (x) =√

2x + 3, halle:

a) f (10)

b) f(

3x2)

c) f(

ax3 + b)

d)f (x + h) − f (x)

he) f (x) − f (h)

f ) f (−x)

3. De los puntos(x,y) que satisfacen las siguientes expresiones, diga cuales son funciones y cualesson relaciones no funcionales, halle su dominio, su recorrido y representelas graficamente.

a) y2 − x = 0

Page 168: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

160 Capıtulo 6. FUNCIONES

b) x − y − 5 = 0

c) y = 0

d) x = 6

e) y = [x − 2]

f ) y = [x/2] con −1≤ x≤ 10

g) y = [3x] con − 1 ≤ x ≤ 2

h) y ≤ x

i) {(x, y) |y = 6 }

j) {(x, y) |y ≥ 0 }

k) f (x) =

{

1 si x∈ Q

−1 si x∈ Q∗

l) f (x) = [x]+1

m) y =√

x

4. ¿Cuales de las siguientes graficas de la figura 6.13 corresponden a funciones y cuales a rela-ciones no funcionales?. Hallar sus dominios y recorridos.

Page 169: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 161

(a)

x

y

(0,2)

(4,0)

(0,−2)

(−4,0)

x2

16+

y2

4= 1

(b)

x

y

xy= 1

(c)

x

yr = 1−Cos(θ)

1

1

(d)1

−1

π2

π 3π2

2π 5π2

(e)

1

2

1 2

y = 2

y = x

y

x

(f) y

x

x = −2

FIGURA N◦ 6.13

Page 170: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

162 Capıtulo 6. FUNCIONES

5. Hallar el dominio de las siguientes funciones:

a) y =√−x

b) y =√−x2

c) y =

√1− x√2 + x

d) y =

√1 − x2 + x

e) y =

1 − x2

x

f ) y =

1 + x2

x2

g) y =

1 + x2

4 + x2

h) y =x2 − 4x − 2

i) y = 3√−x

6. Si el grafico dey = f (x) = x2 es el que se observa en la figura 6.14.

5

10

15

20

25

−4 −2 0 2 4

FIGURA N◦ 6.14

7. En el mismo sistema de coordenadas acompane por separado esta grafica con la de cada una delas siguientes modificaciones. Compare y saque conclusiones.

a) y = f (x) − 3

b) y = f (x) + 3

c) y = f (x − 3)

Page 171: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.2. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 163

d) y = f (x + 3)

e) y = f (x − 3) + 2

f ) y = f (3x)

g) y = 3 f (x)

h) y =12

f (x)

i) y = f

(12

x

)

8. Dada la grafica def (x) = x3, sobre el mismo sistema de coordenadas trace la deg(x) = | f (x)| =

∣∣x3∣∣. Compare las dos graficas y saque conclusiones.

9. Resuelva el mismo ejercicio 7 para:

a) f (x) = x−3

b) f (x) = −2x+5

c) f (x) = x2−2x−3

d) f (x) = −x2 +11x−28

6.2. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

Al igual que los numeros, las funciones se pueden sumar, multiplicar o dividir y el proceso deefectuar estas operaciones entre funciones se hace puntualmente, es decir, si f y g son funciones:

h1(x) =( f + g) (x) = f (x) + g (x)

h2(x) =( f − g) (x) = f (x) − g (x)

h3(x) =( f g) (x) = f (x) g (x)

h4(x) =

(fg

)

(x) =f (x)

g (x)

En la representacion grafica de estas nuevas funciones, es necesario tener en cuenta que sudefinicionse hizo punto a punto; ası por ejemplo, si se tienen las funcionesf (x) = x + 1 y g (x) = x2 la imagenque corresponde por ejemplo al puntox = 2 por medio def + g, f − g, f g y f/g sera:

h1(2) =( f + g) (2) = f (2) + g (2) = (2 + 1) + 4 = 7

h2(2) =( f − g) (2) = f (2) − g (2) = (2 + 1) − 4 = −1

h3(2) =( f g) (2) = f (2) g (2) = (2 + 1) 4 = 12

h4(2) =( f/g) (2) = f (2)/g(2) = (2+)/4 = 3/4

De la construccion de f + g, f − g, f g y f/g, resulta evidente que para calcularlas en un puntox,es necesario calcular tantof comog en este punto, es decir,x debe pertenecer tanto al dominio def ,como al dominio deg, luego el dominio de estas funciones debe ser la interseccion de los dominios

Page 172: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

164 Capıtulo 6. FUNCIONES

de f y g, exceptuando logicamente, para el caso del cociente, aquellos puntos donde el denominadorse anula. Ası:

D f +g = D f ∩ Dg

D f −g = D f ∩ Dg

D f g = D f ∩ Dg

D( f/g) = (D f ∩ Dg) − {x |g (x) = 0}

Luego, procediendo en forma analoga con todos los puntos comunes de los dominios, se encuentranlas parejas deR2 que conforman las graficas correspondientes ah1(x),h2(x),h3(x) y h4(x).

Ejemplo

Seanf (x) = x + 2 y g (x) = 2x entonces

h1(x) =( f + g) (x) = f (x) + g (x) = (x + 2) + 2x = 3x + 2

h2(x) =( f − g) (x) = f (x) − g (x) = (x + 2) − 2x = −x + 2

h3(x) =( f g) (x) = f (x) g (x) = (x + 2) 2x = 2x2 + 4x

h4(x) =( f/g) (x) = f (x)/g (x) = (x + 2)/2x

ComoD f = R y Dg = R entonces:D f +g = D f −g = D f g = R y D f/g = R− {0}.

Las graficas de estas funciones seran: (Figura 6.15).

y

x

f (x) = x+2

2

2

y

x

f (x) = 2x

y

x

( f +g)(x) = 3x+2

y

x

( f −g)(x) = 2−x

Page 173: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.2. OPERACIONES ENTRE FUNCIONES 165

y

x

( f .g)(x) = 2x2 +4x

y

x

( f/g)(x) = (x+2)/2x

FIGURA N◦ 6.15

EJERCICIOS

1. Dadaf (x) =√

x , g (x) = 2x + 1, hallar:

a) f (2 + h)

b) g (3− h)

c) ( f + g) (x + h)

d) ( f + g) (5)

e) f(

x2)

f ) ( f − g) (x)

g) ( f /g) (x)

h) ( f g) (x)

i) D f +g, D f −g , D f g , D f /g

2. Si f (x) =√

x − 1, g (x) = 2x, hallar:

a) ( f + g) (2− h)

b) ( f − g)(

x2)

c) ( f g) (x + 1)

d) g(

a4)

e) g(

a2−1)

f ) ( f g) (x + 1)

g) ( f/g)(2− 3h)

h) D f g , D f /g

3. Dadaf (x) =1x2 , g (x) =

1x

, h (x) =√

1− x hallar :

Page 174: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

166 Capıtulo 6. FUNCIONES

a) D f , Dg , Dh

b) D f +g+h , Dh/g , D( f +g)/h

c) ( f + g + h) (3) , ( f + g + h) (−2)

6.3. FUNCION COMPUESTA

Dadas dos funcionesf (x) y g (x), si existen algunos valores del dominio deg para los cualesg (x) pertenece al dominio def , entonces es posible para estos valores calcularf (g (x)), y por tantoa partir de estas dos funciones se puede construir una nueva funcion llamada laCompuesta de fy gnotada porfog, la cual asigna a algunos puntosx del dominio deg el valor f (g (x)) o sea

( fog) (x) = f (g (x))

Al componer dos funcionesf ,gcomenzamos con un valor de entradax en el dominio degy obtenemosun valorunico de salidag(x) en el recorrido deg y este valor de salida se utiliza como valor de entradapara f , para dar ununico valor de salidaf (g(x)), ası queg(x) debe estar en el dominio def , porejemplo suponga, que se obtienen las funciones que se observan en la figura siguiente

g1

2

3

5

7

f4

6

8

10

13

12

14

16

18

20

FIGURA No 6.16

entonces

f (g(1)) = f (8) = 16

f (g(2)) = f (4) = 14

f (g(5)) = f (6) = 12

f (g(7)) = f (10) no esta definida

Luego la compuestafog existe en los puntos dondeRgηD f 6= φ , que son 1,2,5.

Page 175: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.3. FUNCION COMPUESTA 167

Ejemplo

Si f (x) =√

x y g(x) = x2 +1 entonces

( fog)(3) = f (g(3)) = f (10) =√

10

( fog)(−2) = f (g(−2)) = f (5) =√

10

( fog)(x) = f (g(x)) = f (x2 +1) =√

x2 +1

(go f )(x) = g( f (x)) = g(√

x) = (√

x)2 +1

(go f )(3) = g( f (3)) = g(√

3) = (√

3)2 +1

(go f )(−2) = g( f (−2) no existe, puesf (−2) no existe

De la construccion de la funcion compuestafog se puede apreciar:

i. Esta funcion existira solamente cuandoRg ∩ D f 6= φ .

ii. Su dominio es{

x∣∣x ∈ Dg y g(x) ∈ D f

}.

iii. En generalgo f 6= fog. Para ilustrar el iii. observe el siguiente ejemplo:

f (x) = x2 ; g(x) = Cos x

( fog)(x) = f (g(x)) = f (Cos x) = (Cos x)2 = Cos2x

(go f )(x) = g( f (x)) = g(x2) = Cos x2

Luego ( fog)(x) 6= (go f )(x)

puesCos2x 6= Cos x2

Uno de los aspectos importantes de la composicion de funciones es el hecho de que nos permiteexpresar una funcion dada en terminos de funciones mas simples por ejemplo si:

h(x) =√

x4 +x+1, se tiene queh(x) = ( fog)(x) = f (g(x)) dondeg(x) = x4 + x+ 1, f (x) =√

x,puesf (g(x)) = f (x4 +x+1) =

√x4 +x+1

Ejemplo

Si h(x) = Sen3(x2 +1) =[Sen(x2 +1)

]3, luegoh(x) = f (g(p(x))), dondef (x) = x3 ; g(x) = Sen x

y p(x) = x2 +1, puesh(x) = f (g(x2 +1)) = f (Sen(x2 +1)) = Sen3(x2 +1)

Para una mejor comprension de la operacion composicion entre funciones se puede establecer lasiguiente analogıa:

Una miniempresa de alimentos posee dos maquinas: Una maquina f que manufactura mermelada,y una maquinag que empaca la mermelada en frascos para luego llevarla a los supermercados. Ası sila maquinaf recibe como materia prima pina produce mermelada de pina o f (pina). Esa mermeladade pina o f (pina) la recibeg y entrega frascos de mermelada de pina o g( f (pina)).

Page 176: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

168 Capıtulo 6. FUNCIONES

Similarmente si al empezar el procesof es surtida con naranja, el proceso termina con g(f (naran-ja)), es decir con frascos de mermelada de naranja. En general sif recibe una frutax, producef (x)(mermelada dex) y al recibirg esaf (x), produceg ( f (x)) (frascos de mermelada dex). (Ver figura6.17).

f (x)

f

g

g( f (x))

X

FIGURA No 6.17

Ejemplo 1

Seanf (x) = x + 3 , g (x) = 4x2 entonces

i. Puesto queRg ∩ D f = [0, +∞) ∩ (−∞ , +∞) = [0, +∞) 6= φ , existe( fog) (x) y esta dadapor:

( fog) (x) = f (g (x)) = f(4x2) = 4x2 + 3.

ii. Como tambienRf ∩ Dg = (−∞ , +∞) ∩ (−∞ , +∞) = (−∞ , +∞) 6= φ , existe(go f ) (x) y(go f ) (x) = g ( f (x)) = g (x + 3) = 4 (x + 3)2.

Observe que aquı:

Dg0 f ={

x ∈ D f | f (x) ∈ Dg}

= (−∞ , +∞) ∩ {x |x + 3 ∈ (−∞ , +∞)} = (−∞ , +∞)

Ejemplo 2

Seanf (x) =√

2− x y g (x) = x2 − 4 entonces

i. Puesto queRg ∩ D f = [−4, +∞) ∩ (−∞ , 2] = [−4, 2] 6= φ existe( fog) (x) y esta dada por( fog) (x) = f (g (x)) = f

(x2 − 4

)=√

2− (x2 − 4) =√

6− x2

ii. ComoRf ∩ Dg = [0, +∞) ∩ (−∞ , +∞) = [0, +∞) 6= φ , existe(go f ) (x) y esta dada por

(go f ) (x) = g ( f (x)) = g(√

2− x)

=(√

2 − x)2 − 4.

Page 177: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

6.3. FUNCION COMPUESTA 169

EJERCICIOS

1. Seaf (x) =1

1 + x2 , g (x) =√

1− x, hallar, si existen:

a) f ( f (x))

b) g (g (x))

c) f (g ( f (x)))

2. Dadaf (x) =x + 31− x2 ; g (x) =

2x

; h (x) = Sen x, de expresiones para:

f ( f (x)) , f (h (g (x))) , h (g (g (x))) , h (h ( f (g (x)))) , f (g (g (x))) .

3. Suponga quef es una funcion y quea es un numero tal quef ( f (a)) = a. Cual es el valor def ( f ( f ( . . . f (a)))) ( 40 veces).

4. ¿Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales falsas?.

a) ( fog)o h = fo (goh)

b) fo (g + h) = fog + foh

c)1

fog=

1f og

d)1

fog=

(1f

)

o

(1g

)

5. Seaf (x) =√

x y g (x) = 2 − x indique cual de las siguientes funciones compuestas esincorrecta:

a) f (g (x)) =√

2− x b) g ( f (x)) = 2 − √x

c) g ( f (25)) = −3 d) g (g (x)) = x

6. Sea f (x) =√

x y g (x) = −x2 si x < 0. Halle fog y go f si existen, y susrespectivos dominios y recorridos.

7. Seaf (x) =√

x + 1, g (x) =√

1− x2 , h (x) = x + 3Hallar si existen go f , fog, foh, goh. ¿Cuales son sus dominios?

8. Si s (x) = Sen(x) , r (x) =√

x, p (x) = 3x2 + 1, q (x) =x + 1x − 3

represente las siguientes

funciones en terminos des, r, p y q usando la composicion:

i. f (x) = Sen√

3x2 + 1

ii. f (x) =Sen

√x + 1

Sen√

x − 3

iii. f (x) =√

3Sen2 (x) + 1

iv. f (x) = 3

(x + 1x − 3

)2

+ 1.

Page 178: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

170 Capıtulo 6. FUNCIONES

9. Dada una funcion y = h(x) descomponerla en varias funciones.

a) h(x) = Sen x2 b) h(x) = Sen2x c) h(x) =(x2 +x)1/2

(x 3 +3)

d) h(x) = Sen(Cos2(x2 +x+1)

)

Page 179: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 7POLINOMIOS Y FUNCIONESPOLINOMIALES

7.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS

Una expresion de la formaa0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn, con a0 , a1 , . . . , an ∈ R, n ∈ Ny an 6= 0 se llama unpolinomio con coeficientes reales, en variablex de gradon y se notap(x) , q(x) , r (x) . . . etc. En lo sucesivo grado deP (x) = n se notaragr (P (x)) = n. La relacionque hace corresponder a cada numero realx, el numero realp (x) = a0 + a1x + . . . + anxn sellama funcion polinomial asociada al polinomiop (x). Si todos losai son iguales a cero, es decir, sip(x) = 0, este se llama el polinomio cero y a ese polinomio no se le asigna ningun grado. El polinomioconstantep(x) = a0 cona0 6= 0 se le asigna como grado: cero.

Ejemplo 1

1. x3 + 6x + 1 es un polinomio con coeficientes reales en variablex y de grado 3, yp (x) = x3 + 6x + 1 es su correspondiente funcion polinomial.

2. 6t 4 + 5 es un polinomio con coeficientes reales en variablet de grado 4, yg ( t ) = 6t 4 + 5 sufuncion polinomial asociada.

3. 4(x + 5)10 − 3 (x + 5)2 + 2 (x + 5) − 6 es un polinomio con coeficientes reales en variablex + 5, de grado 10, yh(x) = 4 (x + 5)10 − 3 (x + 5)2 + 2 (x + 5) − 6, su correspondientefuncion polinomial.

4. 2t 5 − i t 2 + i − 2, es un polinomio con coeficientes complejos, en variablet y de grado 5. Sufuncion polinomialq ( t ) = 2t 5 − i t 2 + i − 2, es de valor complejo puesto queq ( t ) ∈ C, yde variable real sit ∈ R, o de variable compleja sit puede tomar valores en C.

5. No son polinomiosx−2 + x3 ; 1/t + t 5 + 5; ,z−3/2 + i z4 + 2 ¿ por que?

Un numeroa (a ∈ C o a ∈ R )se dice que es uncero de un polinomiop (x) o raız de p(x) =0 si p (a) = 0. Graficamente, las raıces de la ecuacion polinomial p (x) = 0, cuando son reales,

171

Page 180: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

172 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

representan los valores dex para los cuales esta funcion es cero, o sea los valores dex en los cuales lagrafica dey = p (x) corta al eje de lasx o hace contacto conel. Cuando son imaginarias, allı no haycorte ni contacto con el ejex, por tanto, si una funcion polinomial no tiene raıces reales, su graficaesta toda sobre o bajo el eje de lasx.

Ejemplo 2

1. p (x) = x2 − 4 se anula cuandox = ±2, es decir, 2 y−2 son ceros dex2 − 4 o raıces dex2 − 4 = 0 y graficamente (Figura 7.1) indica quey = x2 − 4 corta al ejex enx = 2 y x = −2.

y

x

p(x) = x2−4−4

−2 2

FIGURA N◦ 7.1

2. q (x) = x2 + 1, no se anula para ningun valor real, pues solamente lo hace parax = i , x = − i,o sea aquı las raıces deq (x) = 0 soni y − i que son numeros imaginarios, por tanto la graficadey = x2 + 1 no se intercepta con el ejex (Figura 7.2).

y

x

p(x) = x2 +11

FIGURA N◦ 7.2

3. r (x) = x4 + x2 = x2(x2 + 1

), se anula enx = 0, x = i y x = − i, entonces, como entre las

raıces der (x) = 0,el cero es launica real, allı la grafica o corta al eje o hace contacto conel.(Figura 7.3).

Page 181: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.2. ALGORITMO DE LA DIVISION 173

y

xr(x) = x4 +x2

FIGURA N◦ 7.3

Como se puede apreciar, para elaborar la grafica de una funcion polinomial, resulta convenientehallar los ceros de su polinomio asociado, para lo cual es necesario conocer algunos resultados queseranutiles en este proceso.

7.2. ALGORITMO DE LA DIVISI ON

Si un polinomioP (x) se divide entre otro polinomioQ (x), gr (P (x)) ≥ gr (Q (x)), existen poli-nomiosD (x) y r (x) tales que:

P (x) = Q (x) D (x) + r (x) con gr (r (x)) < gr (Q (x)).

Observe que este resultado es consecuencia inmediata de realizar la division deP (x) entreQ (x),siendoD (x) el cociente yr (x) el residuo.

Ejemplo

Dadosp (x) = x3 + 2x2 + 1 y q (x) = x2 + x, al dividir p (x) entreq (x) se obtiene:

x3 + 2x2 + 1∣∣x2 + x

−x3 − x2 x + 1x2 + 1

−x2 − x−x + 1

Por tantoD (x) = x + 1, r (x) = −x + 1 y por consiguiente:

x3 + 2x2 + 1 = (x + 1)(x2 + x

)− x + 1.

Recuerde que siq (x) = x − a, la division de p (x) entrex − a se puede simplificar mediante lallamadaDivision Sintetica,que se realiza solamente con los coeficientes de las variables, colocadosestos en orden descendente, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Page 182: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

174 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

Ejemplo

Seap (x) = x4 − x3 + 7x − 12 y q (x) = x + 4 = x − (−4) entonces:

Division de Polinomios Division Sinteticax4 − x3 + 7x − 12 |x + 4

−x4 − 4x3 x3 − 5x2 + 20x − 73− 5x3 + 7x − 12+ 5x3 +20x2

20x2 + 7x − 12−20x2 − 80x

− 73x − 1273x + 292

280

1 − 1 0 7 −12 | −4−4 20 −80 292

1 − 5 20 −73︸ ︷︷ ︸

Coe f iciente de D(x)

280︸︷︷︸

Residuo

P(x)=(x+4)(x3−5x2 +20x−73)+280= q(x)D(x)+R

Observe en la division sintetica, que el primer termino de la tercera fila, es el primer termino de laprimera fila, y seguidamente cada elemento de la segunda fila, se obtiene multiplicando el elementoanterior de la tercera fila pora, y los elementos de la tercera fila se obtienen sumando los correspon-dientes elementos de la primera y segunda fila.

El ultimo termino de la tercera fila corresponde al residuo de la division, y los terminos anteriorescorresponden a los coeficientes del polinomio cocienteD (x) de gradon − 1 en orden descendente.(De izquierda a derecha).

7.3. TEOREMA DEL RESIDUO

El residuo de dividir un polinomiop (x) entrex − a esp (a).

Demostracion

Por el algoritmo de la division p (x) = (x − a) q (x) + R

(R es un numero, puesgr (R(x)) < gr ((x − a)) = 1, por tanto:

p (a) = (a− a) q (a) + R = R

Ejemplo

El residuo de dividirp (x) = 2x3 + 3x2 − 20 entrex − 2 es

p (2) = 2(23) + 3

(22) − 20 = 8.

Ejemplo

El residuo al dividirp (x) = 2x4 + 3x2 − 20 entrex + 2i es

p (−2i) = 2 (−2i)4 + 3 (−2i)2 − 20 = 32− 12− 20 = 0.

Page 183: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.4. TEOREMA DEL FACTOR 175

7.4. TEOREMA DEL FACTOR

Seay = p (x) una funcion polinomial. Un numero complejoa es raız dep (x) = 0 si solo si x − aes un factor dep (x).

Demostracion

⇒) Seaa raız dep (x) = 0 entoncesp (a) = 0, perop (x) = (x − a) q (x) + R y comoR = p (a) = 0 ⇒ (x − a) es factor dep (x).

⇐) Si (x − a) es factor dep (x) entoncesp (x) = q (x) (x − a) entoncesp (a) = 0 = R

NOTA

Si x − a es un factor dep (x), pero(x − a)2 no lo es, se dice quea es una raız simple dep (x).Si (x − a)m es factor dep (x), pero(x − a)m+1 no lo es, se dice quea es una raız de p (x) = 0 demultiplicidadm, ası por ejemplo sip (x) = x (x − 2) (x + 5)3 entoncesp (x) = 0 tiene a 2 y a 0 comoraıces simples y a – 5 como raız multiple de multiplicidad 3.

Ejemplo

Si p (x) = x3 − 3x2 − x + 3, se puede verificar quep (1) = 0, p (−1) = 0, p (3) = 0 es decir,1, -1 y 3 son raıces dep (x) = 0, por consiguientex − 1, x + 1 y x − 3 son factores dep (x), o sea:

x3 − 3x2 − x + 3 = (x − 1) (x + 1) (x − 3)

NOTA

Segun este teorema, el problema de factorizar un polinomiop (x), es equivalente al problema dehallar sus ceros.

Ejemplo

Seap (x) =(x2 − 2x + 2

)2(x − 1)

Se puede verificar quep (1) = 0; p (1− i) = 0 y p (1 + i) = 0, es decir 1, 1 − i , 1 + i sonraıces dep (x) = 0 y 1+ i , 1− i son raıces de multiplicidad 2, luego

p (x) = (x − (1− i))2 (x − (1 + i))2 (x − 1).

7.5. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Si p (x) es un polinomio de gradon ≥ 1, con coeficientes complejos entoncesp (x) = 0 tieneexactamenten raıces, contando cada raız de multiplicidadp, comop raıces.

Page 184: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

176 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

Ejemplo

Si p (x) = (x − 3) 4 (x − 2)(x2 + 1

)x2 entonces,p (x) = 0 tiene ax = 3 como raız de multipli-

cidad 4, ax = 2 como raız simple, ax = 0 como raız de multiplicidad 2 y ax = i , x = − i comoraıces imaginarias simples, es decir,p (x) = 0 tiene 9 raıces, pues el grado dep (x) es 9.

Teorema

Seap (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn , an 6= 0, a0 , a1 , . . . , an ∈ R.Si α = a + ibes una raız dep (x) = 0, entoncesα = a + ib = a− ib tambien lo es.

Demostracion

Comoα es raız dep (x) = 0 entoncesp (α) = 0, es decir

p (α) = a0 + a1 α + a2 α 2 + . . . + an α n = 0

⇒ a0 + a1 α + a2 α 2 + . . . + an α n = 0 (Conjugado a los dos lados)⇒ a0 + a1α + a2α 2 + . . . + an α n = 0 (Conjugado de la suma= suma de conjugados)⇒ a0 + a1 α + a2 α 2 + . . . + an α n = 0 (Conjugado de producto= producto de conjugados)⇒ a0 + a1 α + a2 α 2 + . . . + an α n = 0 ( Sia ∈ R ⇒ a = a)

es decir,p (α ) = 0 ⇒ α es raız dep (x) = 0

Ejemplo

p (x) = x2 + 1; p (i) = 0, luegoi es raız, y por el teorema anterior− i tambien es raız.

Ejemplo

q (x) = x2 + (1− i) x − i ; q ( i ) = 0; q (−1) = 0, es decir,i y −1 son raıces deq (x) = 0.

¿Contradice elultimo teorema el hecho que− i no es raız deq (x) = 0?.

Ejemplo

Dado el polinomiop (x) = x3 − 5x2 + 11x − 15, el numero complejox1 = 1 − 2i es raız dep (x) = 0 (verifıquese), por tantox2 = x1 = 1 + 2i tambien lo es, por tanto(x − x1) y (x − x2) sonfactores dep (x), es decir,

(x − x1) (x − x2) = (x − (1 − 2i)) (x − (1 + 2i)) = x2 − 2x + 5 es factor dep (x).

Puesto que ya se tienen dos ceros de este polinomio y por el teorema fundamental delalgebra debenser tres, el tercero, que necesariamente debe ser real (¿por que?), se puede hallar dividiendop (x)entrex2 − 2x + 5, de lo que se obtiene cero como residuo yx− 3 como cociente (verifıquese), lo queindica que(x − 3) es factor dep (x), por tantox3 = 3 es el otro cero dep (x).

Page 185: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.6. TEOREMA DE LAS RAICES RACIONALES 177

7.6. TEOREMA DE LAS RA ICES RACIONALES

Seas(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn , an 6= 0, un polinomio con coeficientes enteros. Sipq

es raız racional des(x) = 0 (reducida a su mınima expresion) entoncesp es un divisor dea0 y q esun divisor dean (p,q enteros).

Ejemplo

Hallar las raıces des(x) = 2x3 − 9x2 + 10x − 3 = 0.

Sipq

es raız des(x) = 0 entoncesp es un divisor o factor dea0 = −3, luego los posibles valores

de p son±1, ±3 y q es un divisor dean = 2, luego los posibles valores deq son±1, ±2, por tanto

las posibilidades depq

son:

11

,1−1

,12

,1−2

,−11

,−1−1

,−12

,−1−2

,31

,3−1

,32

,3−2

,−3−1

,3−1

,−32

,−3−2

lista que contiene solamente ocho numeros distintos:±1, ± 12 , ±3, ± 3

2, de los cualesunicamente,1, 1

/2, 3 son raıces des(x) = 0, ya que:

2 − 9 10 − 3 |12 − 7 3

2 − 7 3 0

2 − 9 10 − 3 |36 − 9 3

2 − 3 1 0

2 − 9 10 − 3 |1/21 − 4 3

2 − 8 6 0

y para todos los otros casos el residuo de la division no es cero, por ejemplo para−3:

2 − 9 10 − 3 | − 3−6 45 − 165

2 − 15 55 − 168 6= 0

Tambien se habıa podido proceder de la siguiente forma:

Una vez hallada la primera raız, por ejemplo 1;

2 − 9 10 − 3 |12 − 7 3

2 − 7 3 0

Se factoriza el polinomios(x) como 2x3 − 9x2 + 10x − 3 =(2x2 − 7x + 3

)(x − 1) , y se con-

tinuan buscando las raıces deD (x) = 2x2 − 7x + 3 = 0 por el mismo metodo:

Page 186: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

178 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

2 − 7 3 |36 − 3

2 − 1 0

Por tantos(x) = (x − 1)(2x2 − 7x + 3

)= (x − 1) (x − 3) (2x − 1).

Ejemplo

Hallar las raıces de la ecuacion

p (x) = x4 − x3 − 7x2 − 14x − 24 = 0

Las posibilidades de las raıces racionales dep (x) = 0 son:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.

De estosunicamentex = 4 y x = −2 son raıces racionales, pues

1 − 1 − 7 − 14 − 24 |44 12 20 24

1 3 5 6 0

1 3 5 6 | − 2−2 − 2 − 6

1 1 3 0

Y los residuos de las divisiones para los otros casos no son cero, por tanto p (x) se puede factorizarcomo:

p (x) = x4 − x3 − 7x2 − 14x − 24 = (x + 2) (x − 4)(x2 + x + 3

), donde el polinomio

x2 + x + 3, como se vera en la seccion siguiente, no se puede factorizar mas como producto depolinomios con coeficientes reales.

EJERCICIOS

1. Hallar los ceros de las funciones polinomiales (raıces dep (x) = 0), indicando su multiplicidady el grado del polinomio:

a) p (x) = (x + 8)3 (x − 6)2 .

b) p (x) = (x − i)4 (x + i)4 (x − 2)8 .

c) p (x) =(x2 + 9

)8(x − 3)3 x4

2. Factorizar los polinomios siguientes:

a) p (x) = x3 + 9x2 + 24x + 16, si x = −1 es un cero

b) p (x) = x3 − 4x2 − 3x + 18, si x = 3 es un cero de multiplicidad 2.

c) p (x) = x4 − 1, si x = ±1 son ceros

d) p (x) = 2x3 − 17x2 + 90x − 41, si x = 1/

2 es un cero.

3. Si p (x) = x3 − 5x2 + 4x + 10 = 0 tiene ax = 3− i como raız; hallar las demas raıces.

Page 187: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.6. TEOREMA DE LAS RAICES RACIONALES 179

4. Ilustrar el algoritmo de la division con tres ejemplos diferentes.

5. ¿ Esx − 1 un factor dep (x) = x8 − 1?.

6. ¿Esx − 3 un factor dep(x) = x3 − 2x + 1?.

7. Usar division sintetica y el teorema del residuo para hallar:

a) P (−2) , si P (x) = 3x2 − x − 10

b) P (5) , si P (x) = 2x3 − 12x2 − x + 30

c) P ( i ) , si P (x) = x4 + 2x2 + 1

8. Usar division sintetica para encontrar el cociente y el residuo que resulta de dividir

a) P (x) = 4x5 − 30x3 − 50x entrex + 3

b) P (x) = 3x4 − 11x3 − 18x + 8 entrex − 4

c) P (x) = x4 + x3 − x2 + 1 entrex − 2i

9. Dividir p (x) = 5 + 4x3 − 3x entre 2x − 3. ¿Puede aplicar division sintetica?. ¿Como?

10. Dada la funcion polinomialp (x) = x (x − 1) (x + 2) (x − 3):

a) Halle las raıces dep (x) = 0

b) Halle el conjunto de losx tales quep (x) ≥ 0 y p (x) < 0

c) Halle su interseccion con el ejey

d) Halle sus intersecciones con el ejex

e) Trace el grafico de la funcion.

11. Resuelva el problema 10 para la funcion f (x) = x5 − x.

12. Hallar el valor deb tal que f (x) = 3x3 − 2x2 + bx− 8 sea divisible porx − 2.

13. Hallar el valor de las constantesa,b,c tales quef (x) = x3 + ax2 + bx + c sea divisible porx + 1 y x+ 2, y que al dividirlo porx + 3 su residuo sea 20.

14. Hallar el valor de las constantesa,b tales quef (x) = x3 − 2x2 + ax + b sea divisible porx2 + x − 2 = (x − 1) (x + 2).

15. Halle los ceros de los polinomios siguientes y factorıcelos

a) p(x) = x4 +5x3−3x2−77x−60

b) q(x) = x5−5x3 +4x

c) r(x) = x3−2x2−x+2

Page 188: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

180 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

7.7. FUNCION CUADRATICA

La funcion polinomial de segundo gradof (x) = ax2 + bx+ c cona 6= 0, se conoce con el nom-bre deFuncion Cuadraticay como se vio anteriormente se representa graficamente por una parabola,abierta hacia arriba sia > 0, o abierta hacia abajo sia < 0.

De la teorıa vista en la seccion anteriorf (x) = 0 tiene dos raıces, las cuales se hallan de la siguienteforma:

ax2 + bx+ c = 0 ⇒ a

(

x2 +ba

x +ca

)

= 0

⇒ a

(

x2 +ba

x +b2

4a2 − b2

4a2 +ca

)

= 0

⇒ a

(

x2 +ba

x +b2

4a2

)

+ c− b2

4a= 0

⇒ a

(

x +b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a

⇒(

x +b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2

⇒ x +b

2a= ±

b2 − 4ac4a2

⇒ x =−b±

√b2 − 4ac

2a

A la expresion b2 − 4ac se le llamaDiscriminantede la ecuacion, y su signo caracteriza las raıcesde f (x) = 0 ası:

i. Si b2 − 4ac > 0 entonces la expresionx =−b±

√b2 − 4ac

2atoma dos valores reales difer-

entes:

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2ay x2 =

−b−√

b2 − 4ac2a

lo que indica que el grafico dey = f (x) corta el ejex en dos puntosx1 y x2, como se ilustra enla figura 7.4.

Page 189: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.7. FUNCION CUADRATICA 181

y y

x

x

y = ax2 +bx+c, a > 0 y = ax2 +bx+c, a < 0

FIGURA N◦ 7.4

ii. Si b2 − 4ac = 0, entonces la expresion x =−b±

√b2 − 4ac

2atoma ununico valorx1 =

−b/

2a, o sea quef (x) = 0 tiene una raız real de multiplicidad dos, por tantoy = f (x) tocaal ejex solamente en un punto. (Figura 7.5).

y y

x

x

y = ax2 +bx+c, a > 0 y = ax2 +bx+c, a < 0

FIGURA N◦ 7.5

iii Si b2 − 4ac < 0, entonces la expresionx =−b±

√b2 − 4ac

2atoma dos valores imaginarios.

x1 =−b +

√b2 − 4ac

2ay x2 =

−b−√

b2 − 4ac2a

, por tanto la grafica dey = f (x) no corta

ni toca al ejex (Figura 7.6).

Page 190: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

182 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

y y

x

x

y = ax2 +bx+c, a > 0 y = ax2 +bx+c, a < 0

FIGURA N◦ 7.6

Ejemplo 1

Trazar el grafico dey = x2 − 2x + 3.

Discriminante:b2 − 4ac = 4 − 12 = −8 < 0, por tanto su grafico no corta al ejex, y comoa = 1 > 0 la parabola se abre hacia arriba.

Para hallar el mınimo de la funcion, completando cuadrados se expresa la ecuaciony = x2 − 2x+ 3en la forma:y − 2 = (x − 1)2, como el mınimo valor de una expresion elevada al cuadrado se dacuandoesta vale cero, entoncesy − 2 sera mınimo cuandox − 1 = 0, es decir, parax = 1; y paraeste valor, se obtiene el mınimo de la funcion que esy = 2, por tanto(1, 2) es el punto mınimo delgrafico dey = f (x). (Figura 7.7.).

x

y

1 2 3

3

FIGURA N◦ 7.7

Ejemplo 2

Hallar los valores dex tales quef (x) = x2 + x − 6 ≤ 0.

Page 191: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.7. FUNCION CUADRATICA 183

Comob2 − 4ac = 1 + 24 = 25 ≥ 0, la ecuacion f (x) = 0 tiene dos raıces reales diferentes 2y −3, por tanto se puede factorizar comof (x) = x2 + x − 6 = (x − 2) (x + 3) , por consiguientex2 + x − 6 ≤ 0 ⇔ (x − 2) (x + 3) ≤ 0, es decir,x ∈ [−3, 2]. (Figura 7.8).

y

x

y = x2 +x−6

2−3

FIGURA N◦ 7.8

Ejemplo 3

Hallar el dominio def (x) =√

x2 + x − 6.Para quef (x) sea realx2 + x− 6 debe ser mayor o igual a cero, y de la grafica del ejercicio anterior

se deduce quex ∈ (−∞ , −3] ∪ [2, ∞).

EJERCICIOS

1. Usar la formula cuadratica y el teorema del factor para factorizar:

a) p (x) = x2 − 3x + 1 c) p (x) = −x2 − 4x − 2

b) p (x) = x2 − 6x + 1 d) p (x) = 3x2 − 5x + 4

2. Escriba las funciones siguientes de la formaa (y− k) = b (x − h)2 y halle su punto maximo omınimo.

a) y = 3x2 − 5x c) y = 4x2 + 5x − 1

b) y = −x2 − x − 1 d) y = x2 − 5x + 1

3. Hallar los valores dex tales que

a) y = −x2 − x + 1 ≤ 0 b) y = 2x2 + 5x + 1 ≥ 0 c) y = 4x2 − x ≤ 0

4. Trace las graficas de:

a) y = x2 − |x| + 6 b) y =∣∣x2 − x + 6

∣∣ c) |y| = x2 − x + 6

Page 192: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

184 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

7.8. FUNCIONES RACIONALES

La funcion f (x) =p (x)q (x)

, dondep (x) y q (x) son polinomios, se llamafuncion racional,su do-

minio es el conjunto de todos los numeros reales, a excepcion de aquellos que anulen el denominador.En estos puntos donde el denominador se anula, la funcion puede presentar en su grafica un hueco opuede tender a+∞ o a−∞, aspectos estos que se trataran en forma detallada cuando se introduzcamas adelante el concepto de lımite de una funcion. Por lo pronto se analizara tabulando, las graficasde algunas funciones racionales.

Ejemplo 1

f (x) =x2 − 4x − 2

.

D f = R− {2}En la construccion de su grafico se debe tener en cuenta que:

x2 − 4x − 2

=(x − 2) (x + 2)

x − 2= x + 2 si x 6= 2. (Figura 7.9).

y

x

y = x+2; x 6= 2

2

4

FIGURA N◦ 7.9

Ejemplo 2

f (x) =1x

;

D f = R− {0} . (Figura 7.11)

Page 193: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.8. FUNCIONES RACIONALES 185

Tabulando para algunos valores proximos a cero positivos y negativos se observa que cuandox seacerca a cero,f (x) tiende a+∞ o a−∞, segun se acerque por la derecha o por la izquierda. La rectax = 0 se llamaasıntota vertical de la grafica y la rectay= 0 se llama asıntota horizontal de la grafica.

x

y

y = 1x

FIGURA N◦ 7.10

Ejemplo 3

f (x) =x

(x − 1) (x + 2);

D f = R− {1, −2} .

Al determinar donde esf (x) positivo y donde negativo se obtienef (x) ≥ 0 si x∈ (−2,0)⋃

(1,∞)y f (x) < 0 six∈ (−∞,−2)

⋃(0,1) puesto que enx = 1 y x = −2 el denominador se anula.

Observando que para valores cercanos a−2 y de 1 por la izquierda el valor de la funcion se hace muygrande pero negativo y para valores cercanos a−2 y a 1 por la derecha el valor de la funcion se hacemuy grande, se concluye que el grafico de la funcion tiende a pegarse a las rectas verticalesx = −2 yx = 1 tanto a derecha como a izquierda (Figura 7.11)

Page 194: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

186 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

y

x2 4−2

f (x) = x(x−1)(x+2)

FIGURA N◦ 7.11

Esto indica que las rectasx = −2 y x = 1 son asıntotas verticales.

EJERCICIOS

1. Halle el dominio de las siguientes funciones racionales:

a) f (x) =x + 1

x2 + 3x + 5b) f (x) =

x2 + 4x2 − 3x + 5

c) f (x) =x4 + 2

x3 + 3x2 − 8x

2. Tabulando, trace un bosquejo de las graficas de las siguientes funciones racionales, e intuyacuales son sus asıntotas verticales si las hay, o donde hay agujeros.

a) f (x) =x3 − 1x − 1

b) f (x) =1

x + 3

c) f (x) =x3 − 2x2 − 8x

x + 2d) f (x) =

1x2 − 1

e) f (x) =x2

x2 + 1

Page 195: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.9. DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES 187

7.9. DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES

Dados dos polinomiosp (x) y q (x) con coeficientes reales, con grado dep (x) menor que el grado

deq (x), es posible demostrar quep (x)q (x)

se puede expresar como:

p (x)q (x)

= F1 (x) + F2 (x) + . . . + Fn (x)

donde cadaFi (x) parai = 1, . . . , n tiene una de las dos formas siguientes:

A(ax+ b)m o

Cx+ D

(ax2 + bx+ c)n

conn, m ∈ N , a 6= 0 y ax2 + bx+ c, no factorizable en R o sea conb2 − 4ac < 0.

A esta representacion dep (x)q (x)

se le llamadescomposicion en fracciones parciales o fracciones

simplesy es de gran utilidad para simplificar expresiones matematicas de este tipo que aparecen porejemplo, en el calculo de ciertas integrales y de algunas transformadas de Laplace. El numero desumandosFi (x) y la forma de ellos, depende de la naturaleza de los ceros del polinomioq (x), esdecir, depende de si las raıces deq (x) = 0 son reales simples, reales multiples, imaginarios simpleso imaginarios multiples. Para mayor sencillez se consideraran inicialmente estas diferentes situacionesen forma aislada.

Caso 1

Si q (x) = 0 tiene solamente raıces reales simples entonces con ellas es posible factorizarq (x) enla forma:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) . . . (anx + bn) , (gr (q (x)) = n) y se puede demostrar que existenconstantes realesunicasA1 , A2 , . . . , An tales que:

p (x)q (x)

=A1

a1x + b1+

A2

a2x + b2+ . . . +

An

anx + bn

dondeA1 , A2 , . . . , An se pueden calcular utilizando la igualdad de polinomios, como se ilustrara enel siguiente ejemplo.

Ejemplo 1

Seaf (x) =5x + 3

x3 − 2x2 − 3xentonces

5x + 3x3 − 2x2 − 3x

=5x + 3

x (x − 3) (x + 1)=

Ax

+B

x + 1+

Cx − 3

Para hallar A, B, C se busca el mınimo comun denominador en la expresion del lado derecho de laigualdad, denominador que coincide con el del lado izquierdo, lo cual permite cancelarlos e igualar

Page 196: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

188 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

los respectivos numeradores, de modo que queda una igualdad de polinomios:

5x + 3 = A (x − 3) (x + 1) + Bx(x − 3) + Cx(x + 1)

Y comoesta se satisface para todox, en particular lo hace para los ceros deq (x) , es decir,x = 0,x = −1, x = 3. Dando ax estos valores se obtiene:

x = 0; 3 = A (0− 3) (0+ 1) ⇒ 3 = −3A ⇒ A = −1

x = −1; −5 + 3 = B (−1) (−4) ⇒ −2 = 4B ⇒ B = −2/4 = −1/2

x = 3; 15+ 3 = C (3) (4) ⇒ 18 = 12C ⇒ C = 18/12= 3/2

y ası:5x + 3

x3 − 2x2 − 3x=

−1x

− 1/

2

x + 1+

3/

2

x + 3

Caso 2

Si q (x) = 0 tiene solamente una raız real de multiplicidadn, n ≥ 2, se puede expresarq (x) de laforma:q (x) = (ax+ b)n , (gr (q (x)) = n) y se puede demostrar que su descomposicion asume laforma:

p (x)q (x)

=A1

ax+ b+

A2

(ax+ b)2 +A3

(ax+ b)3 + . . . +An

(ax+ b)n

Donde las constantesA1 , A2 , . . . , An se calculan en forma analoga al caso 1.

Ejemplo 2

Expresar en fracciones parcialesf (x) =x2 + 2x + 4

x3 + 3x2 + 3x + 1Observe quex3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3, luegoq (x) = (x + 1) 3 = 0 tiene ax = −1 como

raız real de multiplicidad 3, entonces

f (x) =x2 + 2x + 4

x3 + 3 x2 + 3x + 1=

x2 + 2x + 4

(x + 1)3 =A

x + 1+

B

(x + 1)2 +C

(x + 1)3

formando mınimo comun denominador en la expresion de la derecha y cancelando denominadores setiene:

x2 + 2x + 4 = A (x + 1) 2 + B (x + 1) + C

Como en este casoq (x) no tiene sino un cero y aparecen tres constantes por determinar, para hal-lar A,B,C, se asigna ax tres valores arbitrarios para obtener un sistema de tres ecuaciones en tresvariables, cuya solucion las determina:

x = 0; 4 = A + B + C

x = 1; 7 = 4A + 2B + C

x = −1; 3 = C

Page 197: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.9. DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES 189

Sistema que tiene como solucion:C = 3, A = 1, B = 0 y ası:

x2 + 2x + 4

(x + 1)3 =1

x + 1+

0

(x + 1)2 +3

(x + 1)3

Caso 3

Si q (x) = 0 tiene solamente raıces imaginarias simples. En este caso puesto que cuando(αk + i βk)es raız deq (x) = 0, tambien lo es(αk − i βk) entoncesq (x) se puede factorizar en la forma:

q (x) = (x − (α1 + i β1)) (x − (α1 − i β1)) . . . (x − (αn + i βn)) (x − (αn − i βn)) , (gr (q (x)) = 2n) ,

expresion que se puede reducir a solo factores cuadraticos reales, pues:

(x − (α + i β )) (x − (α − i β )) = x2 − 2α x + α 2 + β 2

por tantoq (x) se puede factorizar como:

q (x) =(a1x2 + b1x + c1

) (a2x2 + b2x + c2

). . .(anx2 + bnx + cn

)

y se puede demostrar que existen constantesA1 , B1, A2 , B2 , . . . , An , Bn, tales que:

p (x)q (x)

=A1x + B1

a1x2 + b1x + c1+

A2x + B2

a2x2 + b2x + c2+ . . . +

Anx + Bn

anx2 + bnx + cn

Ejemplo 3

Expresar en fracciones parciales

f (x) =4x

(x2 + 1) (x2 + 2x + 3)

El denominadorq (x) tiene solo raıces imaginarias simples, entonces

4x(x2 + 1) (x2 + 2x + 3)

=Ax+ Bx2 + 1

+Cx+ D

x2 + 2x + 3

y en forma analoga al caso anterior:

4x = (Ax+ B)(x2 + 2x + 3

)+ (Cx+ D)

(x2 + 1

).

Y puesto que hay 4 constantes por determinar, se dan 4 valores arbitrarios ax:

x = 0; 0 = B (3) + D (1)

x = 1; 4 = (A + B) (6) + (C + D) (2)

x = −1; −4 = (−A + B) (2) + (−C + D) (2)

x = 2; 8 = (2A + B) (11) + (2C + D) (5)

Page 198: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

190 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

obteniendo el sistema:

3B + D = 0

6A + 6B + 2C + 2D = 4

−2A + 2B− 2C + 2D = −4

22A + 11B + 10C + 5D = 8

Cuya solucion esA = 1, B = 1, C = −1, D = −3, luego

4x(x2 + 1) (x2 + 2x + 3)

=(x + 1)

(x2 + 1)+

−x − 3x2 + 2x + 3

Caso 4

Si q (x) = 0 tiene como raıces, una imaginaria de multiplicidadn, y por consiguiente tambien suconjugada de multiplicidadn, q (x) se puede expresar en la forma:

q (x) =(ax2 + bx+ c

)n, (gr (q (x)) = 2n) .

Se puede verificar que la representacion en fracciones parciales dep(x)q(x) esta dada por

p (x)q (x)

=A1x + B1

ax2 + bx+ c+

A2x + B2

(ax2 + bx+ c)2 + . . . +Anx + Bn

(ax2 + bx+ c)n

Ejemplo 4

Expresar en fracciones parcialesf (x) =x2

(x2 + 4)2

Las raıces deq (x) =(x2 + 4

)2= 0 son±2i de multiplicidad 2; entonces

f (x) =x2

(x2 + 4)2 =Ax+ Bx2 + 4

+Cx+ D

(x2 + 4)2

Luegox2 = (Ax+ B)(x2 + 4

)+ (Cx+ D).

Desarrollando la expresion de la derecha y agrupando terminos semejantes, se obtiene un poli-nomio, en este caso de grado tres, el cual al igualarlo con el de la izquierda, genera un sistema decuatro ecuaciones con cuatro incognitas, pues la igualdad de dos polinomios implica igualdad de loscoeficientes de potencias iguales, ası:

Page 199: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.9. DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES 191

x2 = Ax3 + Bx2 + (4A + C) x + (4B + D) lo que implica que:

A = 0

B = 1

4A + C = 0

4B + D = 0

sistema cuya solucion es:A = 0, B = 1, C = 0, D = −4, luego

x2

(x2 + 4)2 =1

x2 + 4− 4

(x2 + 4)2

Caso 5

Los casos anteriores se pueden combinar en uno solo, cuandoq (x) = 0 tenga raıces de diferentestipos:

Ejemplo 5

Expresar en fracciones parciales la funcion:

f (x) =x2

(x − 3) (x − 1)2 (x2 + 9) (x2 + 1)3

Las raıces deq (x) = (x − 3) (x − 1)2 (x2 + 9) (

x2 + 1)3

= 0 son 3 y±3i simples, 1 de multipli-cidad 2 y± i de multiplicidad 3. Por tanto:

x2

(x − 3) (x − 1)2 (x2 + 9) (x2 + 1)3 =

Ax − 3

+B

(x − 1)+

C

(x − 1)2 +Dx + Fx2 + 9

+Fx + Gx2 + 1

+Hx + L

(x2 + 1)2 +Mx + N

(x2 + 1)3

Haciendo mınimo comun denominador en la expresion de la derecha, e igualando los polinomiosque resultan despues de cancelar los denominadores, se genera un sistema de 11 ecuaciones con 11incognitas cuya solucion determina las constantes.

Caso 6

Si el grado del denominador es mayor o igual que el grado del numerador. En este caso por elalgoritmo de la division se tiene que:

p (x)q (x)

= D (x) +R(x)q (x)

Y comogr (R(x)) < gr (q (x)) entonces es posible representarR(x)q (x)

en fracciones parciales.

Page 200: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

192 Capıtulo 7. POLINOMIOS Y FUNCIONES POLINOMIALES

Ejemplo 6

Expresar en fracciones parcialesf (x) =x3 − 2x

x2 + 3x + 2=

p (x)q (x)

Como el grado dep (x) es mayor que el grado deq (x) se efectua la division:

x3 − 2x∣∣x2 + 3x+2

−x3 − 3x2− 2x x − 3−3x2 − 4x

3x2 + 9x + 6−5x + 6

y ası:p (x)q (x)

= (x − 3) +5x + 6

x2 + 3x + 2= (x − 3) +

5x + 6(x + 1) (x + 2)

Ahora como:

5x + 6(x + 1) (x + 2)

=A

x + 1+

B(x + 2)

=1

(x + 1)+

4(x + 2)

entonces

x3 − 2xx2 + 3x + 2

= (x − 3) +1

(x + 1)+

4(x + 2)

EJERCICIOS

I. Verificar por medio de fracciones parciales que:

1.x − 1

x (x − 2) (x + 1)=

1/

2

x+

1/

6

x − 2+

−2/

3

x + 1

2.x3 − 1

x2 (x − 2)3 =1/

8

x2 +3/

16

x+

7/

4

(x − 2)3 +5/

4

(x − 2)2 +−3/

16

x − 2

3.x2 − 2x − 3

(x − 1) (x2 + 2x + 2)=

(9/

5)

x + 7/

5

x2 + 2x + 2+

− 4/

5

x − 1

4.2x2 + 3

(x2 + 1)2 =2

x2 + 1+

1

(x2 + 1)2

5.x4 − x3 + 2x2 − x + 2

(x − 1) (x2 + 2)2 =1/

3

(x − 1)+

(2/

3)

x − 1/

3

x2 + 2+

−x

(x2 + 2)2

6.x2 + 2x + 3

(x2 + 2x + 2) (x2 + 2x + 5)=

1/

3

x2 + 2x + 2+

2/

3

x2 + 2x + 5

7.3x + 1

(x − 1) (x2 + 1)=

2x − 1

+1− 2xx2 + 1

Page 201: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

7.9. DESCOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES 193

II. Expresar en fracciones parciales:

1. p (x) =x + 2x2 + x

2. p (x) =x4

x4 + 5x2 + 4

3. p (x) =8x3 + 7

(x + 1) (2x + 1)3 4. p (x) =x2 + 1

(x2 − 1)2

5. p (x) =x4 + 1

x (x2 + 1)2 6. p (x) =x2

(x2 + 2x + 2)2

7. p (x) =1

x4 − 18. p (x) =

1x4 + 1

Page 202: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS
Page 203: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 8FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

8.1. MEDIDA DE ANGULOS

Existen varias formas para medirangulos; una primera forma consiste en dividir la circunferenciacon centro en el vertice delangulo en 360 partes, cada una de las cuales se llamara unGrado(gradosexagesimal), el numero de grados contenido en el arco comprendidopor los dos lados delangulo es la medida deeste; positivo si se esta midiendo en sentido antihorario ynegativo si se hace en sentido horario. (Figuras 8.1).

y

x

αo

αo

x2 +y2 = 1

FIGURA N◦ 8.1 (A)

y

x90o180o

−45o

x2 +y2 = 1

FIGURA N◦ 8.1 (B)

Otra forma muy usada de medirangulos, se da tomando la circunferencia unitaria con centro en elvertice delangulo, entonces esteangulo medira α radianes (α ∈ R+) si la longitud del arco de esta

195

Page 204: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

196 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

circunferencia comprendida entre los dos lados delangulo esα y α se considera en sentido antiho-rario, y medira−α si se considera en sentido horario.

Ası como la longitud de esta circunferencia es 2π (puesr = 1), el angulo que corresponde a todala circunferencia mide 2π radianes, el que corresponde a media, mideπ radianes y ası sucesivamente.(Figuras 8.2).

α rad

−α rad

x2 +y2 = 1

x

y

FIGURA N◦ 8.2 (A)

x

y

π/45π/4

x2 +y2 = 1

FIGURA N◦ 8.2 (B)

Ası el angulo que recorre la circunferencia completa, es decir, 360o, equivale a la longitud de lacircunferencia unitaria que es 2π.Por consiguiente elangulo que recorre media circunferencia, es decir, 180o, equivale aπ (longitud demedia circunferencia unitaria). Y ası:

90o −→ π/2

60o −→ π/3

45o −→ π/4

Page 205: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.1. MEDIDA DEANGULOS 197

En general dado unangulo que mideα o , su equivalente en radianes se puede encontrar al resolveruna regla de tres simple, teniendo en cuenta que 360◦ es equivalente a 2π radianes ası:

360o −→ 2πα o −→ x

entonces

x =2π α ◦

360◦=

2π α360

radianes

y recıprocamente, dado unangulo que mideα radianes su equivalente en grados se toma de:

360◦ −→ 2πx◦ −→ α

entonces

x =360◦α

2πgrados

Ejemplo 1

Representarπ6

en grados

π4−→ 45◦

π6−→ x

entonces

x =

(π6

)(45◦

π/4

)

=(4)(45)

6=

1806

= 30◦

Ejemplo 2

Representar 42◦ en radianes

360◦ −→ 2π42◦ −→ x

entonces

x =2π ×42o

360o =730

π

EJERCICIOS

1. Convertir a radianes losangulos:

±30◦ ±120◦ ±150◦ ±710◦ ±315◦ ±910◦

Page 206: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

198 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

2. Convertir a grados losangulos:

±2π3

± 5π6

± 3π4

± 7π2

± 8π3

3. ¿Si unangulo mide 2 radianes, cuanto mide en grados?. Y si unangulo mide 2 grados, ¿Cuantomide en radianes? (Observe el resultado graficamente)

4. Repita el ejercicio 3 si en lugar de 2 se tiene:

a) 3

b) -7

c) 30

d) -3.5

8.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOM ETRICAS

P = (a,b)

y

xx

x2 +y2 = 1

FIGURA N◦ 8.3

Como se puede apreciar en la figura 8.3, dado unangulox con vertice en(0,0) y lado inicial sobreel eje positivo de lasx, y dada la circunferenciax2 +y2 = 1 , existe ununico punto de corte entre estacircunferencia y el lado final delangulo.

De esta forma, a unangulox se le asocia unaunica pareja(a,b) que depende dex. A la abscisa deesta pareja se le llama coseno dex: Cos(x) y a su ordenada seno de x:Sen(x) ; es decir,Cos x= a ySen x= b. (Figura 8.4).

Page 207: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 199

P = (a,b)

y

x

x2 +y2 = 1

Sen x

Cos x

x

FIGURA N◦ 8.4 (A)

y

x

x2 +y2 = 1

P = (a,b)

Sen x

Cos x

x

FIGURA N◦ 8.4 (B)

Ası por ejemplo de la figura 8.5 se puede concluir:

y

x

x2 +y2 = 1

90o

180o

270o

(0,1)

(0,−1)

(1,0)(−1,0)

FIGURA N◦ 8.5

Page 208: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

200 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Grados Punto Radianes Sen x Cos x

0o (1,0) 0 0 190o (0,1) π/2 1 0180o (-1,0) π 0 -1270o (0,-1) 3π/2 -1 0360o (1,0) 2π 0 1

De esta forma se han definido dos funciones de reales en reales que asocian a cada numero realx(medida delangulo en radianes), una el numeroCos xy otra el numeroSen x; por tanto estas funcionesg(x) = Sen xy f (x) = Cos xtendran como dominio todo R y puesto que las abscisas y ordenadas delos puntos sobre la circunferencia unitaria estan entre−1 y 1 entonces el recorrido de estas funcionesSen xy Cos xes el intervalo[−1,1].

Existe otra forma de definir el seno y el coseno de unangulo agudox, que consiste en considerarcualquier triangulo rectangulo con uno de susangulosx y llamar.

Sen x=Cateto opuesto ax

hipotenusay Cos x=

Cateto adyacente axhipotenusa

definicion que coincide con la que se dio inicialmente, pues de la figura 8.6, considerando las circun-ferencias concentricas en el origen y radios 1 yr (r ∈ R , dado) y el triangulo conangulo agudox; porsemejanza de triangulos se tiene:

y

xx

x2 +y2 = 1

1

r

A

Sen x

Cos x

B

x2 +y2 = r2

FIGURA N◦ 8.6

Siendo:OA = Cateto adyacente ax en el triangulo OABAB = Cateto opuesto ax en el mismo triangulo.

Page 209: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 201

r1

=AB

Sen x⇔ Sen x=

ABr

=Cateto opuesto

hipotenusar1

=OA

Cos x⇔Cos x=

OAr

=Cateto adyacente

hipotenusa

Existe una forma de ampliar esta ultima presentacion paraangulos que no sean agudos, pero engeneral para estos casos se trabajara con la presentacion dada inicialmente o utilizando expresionesque permitan reducir su calculo a senos y cosenos deangulo agudos como se vera mas adelante.

Ejemplo

Usando esta representacion las funciones trigonometricas de 45◦, 30◦, 60◦ tambien se pueden cal-cular por medio de los triangulos representado en las figuras 8.7, donde el primero es la mitad de uncuadrado de lado 1 y el segundo la mitad de un triangulo equilatero de lado 2.

45o

√2

1

1 2

1

√3

30o 30o

60o 60o

1

FIGURA N◦ 8.7

Ası:

Cos45o =cateto adyacente

hipotenusa=

1√2

=

√2

2

Sen45o =cateto opuesto

hipotenusa=

1√2

=

√2

2

Cos60o =cateto adyacente

hipotenusa=

12

Sen60o =cateto opuesto

hipotenusa=

√3

2

Cos30o =cateto adyacente

hipotenusa=

√3

2

Sen30o =cateto opuesto

hipotenusa=

12

Page 210: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

202 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Con el fin de representar graficamente las funcionesSen x y Cos xse consideraran primero algunaspropiedades que caracterizan sus graficas.

Inicialmente, de la figura 8.8. se puede concluir que:

y

x

P = (a,b) = (Cos x, Sen x)

P ′ = (a,b) = (Cos(−x) , Sen(−x))

x

−xx2 +y2 = 1

b

−b

a

FIGURA No 8.8

Cos(−x) = a = Cos(x)

Sen(−x) = −b = −Sen(x)

Este tipo de simetrıas no solamente se cumplen para las funcionesSen xy Cos x, sino para muchasotras funciones y reciben el nombre de:

Funcion par. Sif (−x) = f (x) ∀ x ∈ D f

Funcion impar. Sif (−x) = − f (x) ∀ x ∈ D f

La caracterıstica principal de las funciones pares es que si el punto(x,y) pertenece a la grafica dela funcion, entonces el punto(−x,y) tambien debe pertenecer; es decir, la curva es simetrica respectoal ejey. En caso de las funciones impares, si un punto(x,y) pertenece a la grafica de la funcion, elpunto(−x,−y) tambien pertenece, lo que se puede expresar diciendo que la grafica de la funcion essimetrica respecto al origen.

Ejemplo

f (x) = x2; g(x) = |x|; h(x) = c son funciones pares, ya que:

f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)

g(−x) = |−x| = |x| = g(x)

h(−x) = c = h(x)

observe en la figura 8.9. su simetrıa respecto al ejey.

Page 211: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 203

f (x) = x2 g(x) = |x| h(x) = c

c

y y y

x x x

FIGURA N◦ 8.9

Ejemplo

f (x) = x; g(x) = x3 son funciones impares

pues f (−x) = −x = − f (x) y

g(−x) = (−x)3 = −x3 = −g(x)

Observe en la figura 8.10 su simetrıa respecto al origen.

x

y

y = x

x

y

y = x3

FIGURA N◦ 8.10

Por otra parte, observando las figuras 8.11.

Page 212: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

204 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y y y

x x xx

Angulo x Angulo x+2π Angulo x+4π

FIGURA N◦ 8.11

se puede apreciar que las coordenadas del punto de corte de la circunferencia unitaria con el lado finalde losangulosx, x+2π, x+4π y en generalx+2nπ, n∈ N son las mismas, lo cual implica que:

Sen x= Sen(x+2π) = Sen(x+4π) = . . . = Sen(x+2nπ) y

Cos x= Cos(x+2π) = Cos(x+4π) = . . . = Cos(x+2nπ) con n∈ Z

Todas las funciones que tienen una caracterıstica similar aesta se conocen con el nombre de fun-ciones periodicas, mas concretamente:

Una funcion f (x) se dice que esPeriodica, si existe un numero realT > 0, tal quef (x+ T) = f (x) ∀x ∈ D f . Ademas cualquier numeroT que satisfaga esta condicion se le llamaPerıodo def y al menor de estos valores deT > 0, se le llama perıodo fundamental def (x).

La grafica de una funcion periodica con perıodo T > 0 se caracteriza porque la parte de ella queaparece en cualquier intervalo de longitudT, por ejemplo(α ,α +T) se repite en el siguiente intervalode longitudT, es decir, en(α +T,α +2T) y en el siguiente(α +2T,α +3T) y ası sucesivamente.

Ejemplo

La funcion y = Sen xtiene como perıodo 2π, 4π, 6π, . . . ,2nπ, n∈ N y como perıodo fundamen-tal 2π. Por tanto la parte de la grafica correspondiente al intervalo[0,2π] se repite en los intervalos[2π,4π], [4π,6π], . . . etc y[−2π,0], [−4π,−2π], . . . etc.

Con esta caracterıstica, y teniendo en cuenta que ademas es una funcion impar, que su dominio esR y su recorrido[−1,1] y hallando valores en forma similar a como se hizo en los ejemplos anteriores,se puede trazar su grafica. (Figura 8.12).

Page 213: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 205

y

x

y = Sen x1

−1

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

FIGURA N◦ 8.12

Observe queSen x= 0 si x = nπ para todon ∈ Z

Ejemplo

En forma analoga, la funcion y = Cos xresulta ser periodica con perıodo 2π, 4π, . . . , 2nπ conn ∈ N y perıodo fundamental 2π y su grafico se puede apreciar en la figura 8.13. (Observe por susimetrıa, que esta funcion es par).

y

x

y = Cos x1

−1

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

25π2

FIGURA N◦ 8.13

Observe queCos x= 0 six =(

2n+12

)π para todon ∈ Z

Ejemplo

f (x) =

{1 si x ∈ [2n,2n+1] , n∈ Z

−1 si x ∈ [2n−1,2n] , n∈ Z

Es una funcion periodica con perıodoT = 2 (Figura 8.14).

Page 214: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

206 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y

x1 2 3 4−1−2−3−4

1

−1

FIGURA N◦ 8.14

A partir de las funcionesSen xy Cos xse definiran otras cuatro funciones trigonometricas de graninteres, las cuales se presentaran, junto con algunas caracterısticas fundamentales que se deducen delas propiedades dadas para las funciones seno y coseno, y con sus graficas. Se espera que el lectordemuestre estas caracterısticas y justifique sus graficas.

8.2.1. Funcion Tangente

f (x) = Tan x=Sen xCos x

D f = R−{(

2n+12

)

π, n∈ Z

}

pues los puntos dondeCos x= 0 no pertenecen al dominio de la tangente, y esos puntos como se

vio son de la forma

(2n+1

2

)

π

Rf = R

pues observe que cuandox esta proxima aπ2

, Cosxesta proxima a cero ySen xCos x

sera grande positivo

o muy grande negativo.

Funcion impar, puesTan(−x) =Sen(−x)Cos(−x)

= −Sen xCos x

= −Tan x

Funcion periodica de perıodo fundamentalπ, es decir,Tan(x+π) = Tan x, puesSen(x+π) =−Sen x

y Cos(x+ π) = −Cos xentoncesTan(x+ π) =Sen(x+π)

Cos(x+π)=

−Sen x−Cos x

=Sen xCos

= Tan x lo cual se

puede apreciar en la figura 8.15.

Page 215: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 207

y

x

x+π

x

FIGURA N◦ 8.15

Para una mejor comprension de la grafica de la funcion tangente, figura 8.16, completese la siguientetabla

x 0 ±π/4 ±π/6 ±π/3 ±π/2 ±3π/4 ±3π/2 ±7π/4 ±2πTan x

y

x

y = Tan x

−π2−π−3π

2π2 π 3π

2 2π 5π2

FIGURA N◦ 8.16

8.2.2. Funcion Cotangente

f (x) = Cot x=Cos xSen x

Con analisis similares a los desarrollados con la tangente se tiene que:

D f = R−{nπ | n∈ Z}

Page 216: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

208 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Rf = R

Funcion impar.

Funcion periodica de perıodo fundamentalT = π .

Para una mejor comprension de la grafica de la funcion cotangente figura 8.17. completese la siguientetabla

x 0 ±π/6 ±π/4 ±π/3 ±π/2 ±3π/4 ±3π/2 ±7π/2 ±2πCot x

y

x

FIGURA N◦ 8.17

y = Cot x

−π2−π π

2 π 3π2 2π

8.2.3. Funcion Secante

f (x) = Sec x=1

Cos x

D f = R−{(

2n+12

)

π, n∈ Z

}

Rf = (−∞, −1] ∪ [1, +8)

Funcion par.

Funcion periodica de perıodo fundamentalT = 2π.

Para una mejor comprension de la grafica de la funcion secante figura 8.18. completese la siguientetabla.

Page 217: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 209

x 0 ±π/6 ±π/4 ±π/2 ±3π/4 ±π . . . ±2πSec x

y

x

y = Sec x

1

−1−π

2π−3π2

π2 π 3π

2 2π

FIGURA N◦ 8.18

8.2.4. Funcion Cosecante

f (x) = Csc x=1

Sen xD f = R−{nπ | n∈ Z}Rf = (−∞, −1] ∪ [1, +8)

Funcion impar.

Funcion periodica de perıodo fundamentalT = 2π.

Para una mejor comprension de la grafica de la funcion cosecante figura 8.19. completese la sigu-iente tabla.

x 0 ±π/6 ±π/4 ±π/3 ±π/2 . . . ±2πCsc x

Page 218: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

210 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y

x

y = Csc(x)

1

−1

−π−2π π 2π

FIGURA N◦ 8.19

EJERCICIOS

1. Hallar el valor de todas las funciones trigonometricas en los siguientesangulos:

± 150◦, ± 600◦, ± 300◦, ± 540◦, ± 450◦, ± 900◦, ± 810◦

± 10π/3, ± 7π, ± 20π/3, ± 10π, ± 45π, ± 16π, (radianes).

2. Usando calculadora, encontrar el valor de:

Sen200, Sen200◦, Sen1, Sen1◦, Cos3, Cos3◦, Cos(−3450).

Sen(8750), Sec(2120◦), Sec(2120), Tan(350), Cot(±2520),

3. Encuentre midiendo sobre un grafico el equivalente en radianes de seno y coseno de:

a) 100o

b) −25o

c) 205o

d) −110o

4. A partir de sus definiciones determine el signo de todas las funciones trigonometricas en losdiferentes cuadrantes.

5. Recuerde que de las definiciones de las funciones seno y coseno sededujo que de acuerdo conla figura 8.20.

Cos x=Cateto Adyacente

Hipotenusay Sen x=

Cateto OpuestoHipotenusa

Demuestre resultados analogos para las demas funciones trigonometricas.

Page 219: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.2. CONSTRUCCION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 211

cateto adyacente

catetoopuesto

hipotenusa

x

FIGURA N◦ 8.20

6. Con los mismos triangulos utilizados para hallarSen,Cosde 30o ,45o y 60o y con los resultadosdel ejercicio anterior halleTan, Cot, Secy Cscde estosangulos

7. a) Demostrar que las funcionesf (x) = Cos Mxy g(x) = Sen Mx, tienen perıodoT =2πM

b) Halle el periodo de:

i. f (x) = Sen2πx

ii. f (x) = Cos πx

iii. f (x) = Tanπx3

iv. f (x) = Cos 32x

v. f (x) = SenxT

8. Trazar el grafico de las funciones:

a) f (x) = Sen2x

b) g(x) = Sen

(x2

)

c) h(x) = Cos3x

d) j(x) = Cos

(2x3

)

e) l(x) = Tan

(x3

)

f ) k(x) = Sec

(2x3

)

9. Cual es el perıodo fundamental para las funciones:

a) f (x) = Tan(ax)?

b) g(x) = Cot (bx)?

c) q(x) = Sec(bx)?

Page 220: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

212 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

8.3. IDENTIDADES TRIGONOM ETRICAS

De la definicion de las funcionesSen xy Cos x, puesto que el punto(Cos x, Sen x) esta sobre lacircunferencia unitariax2+y2 = 1 , debe satisfacer esta ecuacion; resultado que representa la identidadfundamental:

1. Sen2x + Cos2x = 1

entendiendo por identidad trigonometrica una igualdad entre expresiones trigonometricas quese cumple para todoangulo (en grados o en radianes) que se encuentre en el dominio de todaslas funciones que intervengan en ella.

A partir de esta identidad, dividiendo entreSen2x y Cos2x, se obtienen respectivamente lassiguientes dos identidades:

2. Cot 2x + 1 = Csc2x

3. 1 + Tan2 x = Sec2x

En las figuras 8.21 se puede apreciar que:

y y

x x(x−y)

A0

y

x

(1,0)

B

B = (Cos(x−y),Sen(x−y))

PQ

P = (Cos y,Sen y)Q = (Cos x,Sen x)

FIGURA N◦ 8.21

El triangulo OAB es semejante al triangulo 0PQ, pues es simplemente una rotacion deeste, portanto:

d(P, Q) = d(A, B)

Page 221: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 213

⇒ [d(P, Q)]2 = [d(A, B)]2

⇒ (Cos x− Cos y)2 + (Sen x− Sen y)2 = [Cos(x − y) − 1]2 + [Sen(x − y) − 0]2

⇒Cos2x − 2Cos xCosy+ Cos2y + Sen2x − 2Sen x Seny+ Sen2y =

= Cos2(x − y) − 2Cos(x − y) + 1 + Sen2(x − y)

⇒ 2− 2Cos x Cos y− 2Sen x Sen y= 2− 2Cos(x − y)

⇒Cos(x − y) = Cos x Cos y+ Sen x Sen y

y ası:

4. Cos(x − y) = Cos x Cos y+Sen x Sen y

A partir de esta identidad se pueden demostrar las siguientes identidades:

5. Cos(x − π/2) = Sen x

6. Sen(x − π/2) = −Cos x

En efecto:

Sen

(

x − π2

)

= Cos

(

x− π2− π

2

) (

Propiedad 5 tomandox− π2

en lugar dex)

= Cos(x−π) = Cos x Cosπ + Sen x Senπ = −Cos x

7. Sen x(x−y) = Sen x Cos y−Cos x Sen y

De la propiedad 5 se sabe:

Sen(x−y) = Cos

(

x−y− π2

)

luego

Sen(x−y) = Cos

(

(x−y)− π2

)

= Cos

((

x− π2

)

−y

)

= Cos

(

x− π2

)

Cos y+Sen

(

x− π2

)

Sen y

= Sen x Cos y−Cos x Sen y

8. Cos(x+y) = Cos x Cos y−Sen x Sen y

En efecto:

Cos(x+y) = Cos(x− (−y)) = Cos x Cos(−y)+Sen x Sen(−y)

= Cos x Cos y−Sen x Sen y

Page 222: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

214 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

9. Sen(x+y) = Sen x Cos y+Sen y Cos x

Su demostracion es analoga a la de la identidad (8) partiendo de la identidad (7).

10. Cos2x = Cos2x−Sen2x.

Para su demostracion basta con hacerx = y en la identidad (8)

11. Sen2x = 2 Sen x Cos x.

Demostracion analoga a (10.)

12. Cos2x =1+Cos2x

2En efecto:

1+Cos2x2

=1+(Cos2x−Sen2x)

2=

(1−Sen2x)+Cos2x2

=Cos2x+Cos2x

2= Cos2x

13. Sen2x =1−Cos2x

2.

Demostracion analoga a la de la identidad (12)

14. Cos2

(x2

)

=1+Cos x

2.

Para su demostracion basta sustituirx porx/2 en la identidad (12)

15. Sen2

(x2

)

=1−Cos x

2.

Demostracion analoga a (14)

16. Cos x Cos y=12

(Cos(x+y)+Cos(x−y)

)

En efecto:

12

Cos(x+y)+12

Cos(x−y)

=12

(Cos x Cos y−Sen x Sen y

)+

12

(Cos x Cos y+Sen x Sen y

)

=12

(Cos x Cos y−Sen x Sen y+Cos x Cos y+Sen x Sen y

)= Cos x Cos y

17. Sen xCos y=12

(Sen(x+y)+Sen(x−y)

).

Demostracion analoga a (16)

Page 223: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 215

18. Sen xSen y=12

(Cos(x−y)−Cos(x+y)

).

Demostracion analoga a (16)

19. Sen x+Sen y= 2 Sen

(x+y

2

)

Cos

(x−y

2

)

.

En efecto:Sen

(A+B

)+Sen

(A−B

)= 2 Sen A Sen B (Propiedad 17).

Sea x = A+B, y = A−B,

entoncesx+y

2= A y

x−y2

= B, y ası

Sen x+Sen y= 2 Sen

(x+y

2

)

Cos

(x−y

2

)

20. Sen x−Sen y= 2Cos

(x+y

2

)

Sen

(x−y

2

)

.

Demostracion analoga a (19)

21. Cos x+Cos y= 2Cos

(x+y

2

)

Cos

(x−y

2

)

.

Demostracion analoga a (19)

22. Cos x−Cos y= 2Sen

(x+y

2

)

Sen

(y−x

2

)

.

Demostracion analoga a (19)

23. Tan(x+y) =Tan x+Tan y

1−Tan x Tan y

En efecto:

Tan(x+y) =Sen(x+y)Cos(x+y)

=Sen x Cos y+Cos x Sen yCos x Cos y−Sen x Sen y

=

Sen xCos y+Cos xSen yCos xCos y

1− Sen xSen yCos xCos y

=Tan x+Tan y

1−Tan xTan y

24. Tan(x−y) =Tan x−Tan y

1+Tan x Tan y.

Demostracion analoga a (23)

Page 224: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

216 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

25. Cot(x+y) =Cotx Coty−1Coty+Cotx

.

Demostracion analoga a (23)

26. Tan2x =2 Tan x

1−Tan2x.

Para su demostracion hagax = y en (23)

27. Cot2x =Cot2x −1

2Cotx.

Demostracion analoga a (26)

Usando las identidades anteriores es posible demostrar otras identidades menos conocidas.

Ejemplo

Tan x+Tan y=Sen(x+y)Cos x Cos y

En efecto:

Tan x+Tan y=Sen xCos x

+Sen yCos y

=Sen x Cos y+Cos x Sen y

Cos x Cos y=

Sen(x+y)Cos x Cos y

Analogamente se pueden demostrar las identidades:

Tan x−Tan y=Sen(x−y)Cos x Cos y

Cotx ± Coty=Sen(y ± x)Sen x Sen y

Ejemplo

Sen3x = 3 Sen x−4 Sen3x

En efecto:

Sen3x = Sen(x+2x)

= Sen x Cos2x+Cos x Sen2x

= Sen x(Cos2x−Sen2x

)+2Cos x Cos x Sen x

= Sen x(1−2Sen2 x)+2Sen x(1−Sen2 x)

= Sen x−2 Sen3x+2 Sen x−2 Sen3x

= 3 Sen x−4 Sen3x

Page 225: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.3. IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 217

Ejemplo

Cos4x−Sen4x = 2Cos2x−1

En efecto:

Cos4x−Sen4x =(Cos2x−Sen2x

)(Cos2x+Sen2x

)

= Cos2x−Sen2x = Cos2x−(1−Cos2x

)

= 2Cos2x−1

EJERCICIOS

1. Deducir identidades para las funciones trigonometricas en forma analıtica y geometrica de losangulos:

a) 90◦±x

b) 180◦±x

c) 270◦±x

d) 360◦±x

2. Verificar las siguientes igualdades:

a) Si Tan x= 1/2, Tan y= 1/3, x, y angulos agudos, entoncesTan(x+y) = 1

b) Tan15o = 2−√

3

c) Si Sen x= 2/3, 0 < x < π2 entoncesSen2x = (4/9)

√5

d) Si Sen x= 3/4, 0 < x < 90o entoncesCos 2x = −1/8

e) Tan(π/8) = 2 Tan(π/16)1−Tan2(π/16)

f ) Si Tan x/2 = 2, entoncesSen x= 4/5

g) Sen40o +Sen50o =√

2Cos 5o

h) Sen75o−Sen15o =√

2/2

i) Tan 75o−Tan15o = 2√

3

j) Sen15o = (√

2/4)(√

3−1)

k) Sen40o Cos 30o = 1/2(Sen70o +Sen10o)

3. Demuestre las siguientes identidades:

a)Sen4x+Sen2xCos 4x+Cos 2x

= Tan3x

b)Sen x−Sen ySen x+Sen y

=Tan(

x−y2

)

Tan(x+y

2)

c) 1+Cos 2x+Cos 4x+Cos 6x = 4Cos x Cos2x Cos3x

Page 226: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

218 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

d) 2Csc x=Sen x

1+Cos x+

1+Cos xSen x

e)Sec x−Csc xSec x+Csc x

=Tan x−1Tan x+1

f ) Cos2 x Sen4 x = 1/32(2−Cos 2x−2Cos 4x+Cos 6x)

g)Cos x+Sen xCos x−Sen x

= Tan2x+Sec2x

h) Cos4 x = 3/8+(1/2)Cos 2x+(1/8)Cos 4x

i) Sen(x+y) Cos y−Cos(x+y) Sen y= Sen x

j) Cos2 x Sen2 x = 1/8(1−Cos 4x)

k)1+Sen x

Cos x+

Cos x1+Sen x

= 2 Sec x

l)Sen2 x+2Sen x+1

Cos2 x=

1+Sen x1−Sen x

m) Tan x Sen x+Cos x= Sec x

n)Sec4 x−1

Tan2 x= 2+Tan2 x

8.4. FUNCIONES INVERSAS

Para el estudio que se hara de funciones trigonometricas inversas y en general de funciones inversas,es necesario inicialmente distinguir un tipo particular de funciones: las llamadasFunciones Inyecti-vas.Entre las funciones, hay algunas en las cuales, para dos o mas valores dex en su dominio, sele asocia un mismo valor de su recorrido, por ejemplo paraf (x) = x2, a los numeros3 y−3 se lesasocia por medio def el mismo numero (9), y existen otras para las cuales valores diferentes dexen el dominio def , siempre tienen imagenes diferentes, estasultimas funciones se llamanfuncionesinyectivaso uno a uno, y su grafica, para el caso de reales en reales, se caracteriza porque cualquierrecta horizontal que la corte lo hace en un solo punto.

Resumiendo:

Definicion

Una funcion f se dice inyectiva si para todox1 , x2 ∈ D f , x1 6= x2 se tiene quef (x1) 6= f (x2).

Ejemplo

i. Las funciones f (x) = |x| ; g (x) = x2 ; h (x) = Sen x no son inyectivas; pues por ejemplo:

f (2) = f (−2) = 2g(3) = g(−3) = 9h(π) = h(2π) = 0

Page 227: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.4. FUNCIONES INVERSAS 219

observando sus graficas se puede apreciar que existen rectas horizontales que les cortanen masde un punto.

ii. Las funciones f (x) = 2x + 1; g (x) = 4x; h (x) = Tan x con − π2 < x < π

2 y

l (x) =

{x2 si x ≥ 0x si x < 0

Son funciones inyectivas (con sus graficas se puede justificar esta afirmacion).

Suponga que en la ecuacion f (x) = b se pretende despejarx. Observe que si existe una funciong, talqueg ( f (x)) = x ∀x ∈ D f y tal queb este en el dominio deg, entonces al aplicar esta funcion a laecuacion, se obtiene:g ( f (x)) = g (b), es decir,x = g (b), logrando ası, despejarx.

Dos interrogantes surgen al analizar este problema. ¿Que se debe exigir af para que exista estafuncion g?. Dadaf ,como se construye esta funcion g?.

Para resolver el primer interrogante, observe que si la funcion f no fuese inyectiva, entonces exis-tirıan por lo menos dos valoresx1 , x2 ∈ D f con su misma imagen, llamemoslac, entoncesf (x1) = cy f (x2) = c. Si existiera la funciong con la propiedad descrita atras, es decir,g ( f (x)) = x para todox ∈ D f , entoncesx1 = g ( f (x1)) = g (c) y x2 = g ( f (x2)) = g (c), lo que significarıa quec pormedio deg tendrıa dos imagenes diferentesx1 y x2, por tantog no serıa una funcion. Esto implica quenecesariamente para que exista la funciong, se debe exigir quef sea una funcion inyectiva.

Para responder el segundo interrogante, observese primero que, puesto queg se va a calcular a losdos lados de la ecuacion f (x) = b, entonces debe estar definida en el recorrido def , puesb ∈ Rf ,por tantoDg = Rf . Ahora, ¿Que esg (b)?. Puesto queb ∈ Rf y f es inyectiva, existe ununicoa parael cual f (a) = b, y esea precisamente define ag (b) : g (b) = a. En la figura 8.22 se ilustra esteresultado mediante un diagrama:

f g

a

b

c

d

h

p

q

r

a

b

c

d

FIGURA N◦ 8.22

f (a) = q; g (q) = a; f (g (q)) = f (a) = q; g ( f (a)) = g (q) = a

Page 228: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

220 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

f (b) = h; g (h) = b; f (g (h)) = f (b) = h; g ( f (b)) = g (h) = b

f (c) = p; g (p) = c; f (g (p)) = f (c) = p; g ( f (c)) = g (p) = c

f (d) = r ; g (r) = d ; f (g (r)) = f (d) = r ; g ( f (d)) = g (r) = d

A la funciong construida de esta forma se le llama lafuncion inversade f y se nota porf −1. Masexactamente:

Definicion

Dada una funcion inyectivaf , se llamala inversa de fa una funcion notadaf −1 conD f −1 = Rf yRf −1 = D f , tal que

f −1 ( f (x)) = x∀x ∈ D f y f(

f −1 (x))

= x∀x ∈ D f −1

Ejemplo

Seaf (x) = 3x, como f es inyectiva , entonces existef −1 (x), y esta satisface que:x = f

(f −1 (x)

)= 3 f −1 (x) , y de aquı se tiene que,f −1 (x) = x

/3. (Figura 8.23).

y

x

f (x) = 3x

f−1(x) = x3

y = x

2 4−2−4

2

4

−2

−4

FIGURA N◦ 8.23

Observe que si se hubiese dado la ecuacion f (x) = 6, es decir, 3x = 6, y se aplicara a ambos lados

de esta la funcion f −1, se tendrıa f −1 (3x) = f −1 (6); entoncesf −1 (3x) =3x3

= f −1 (6) =63

y ası 3x = 6, o x = 2 lo que ilustra, como se dijo anteriormente, que la funcion f −1 (x) sirve paradespejarx en una ecuacion de la formaf (x) = b.

Page 229: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.4. FUNCIONES INVERSAS 221

De la figura 8.23 se puede observar que las graficas de las funcionesf (x) = 3x y de su inversa

f −1 (x) =x3

son simetricas respecto a la rectay = x, relacion que siempre se da entre las graficas de

una funcion y su inversa.

Ejemplo

Seay = 2x+5 como f es inyectiva existef −1 (x), por tanto:

x = f(

f −1 (x))

= 2 f −1 (x)+5 = x

2 f −1 (x) =x−5

2

f −1 (x) =x−5

2D−1

f = R

R−1f = R

Ejemplo

Seaf (x) = x2 conx > 0, como f es inyectiva existef −1 (x), por tanto:

x = f(

f −1 (x))

=[

f −1 (x)]2

entoncesf −1 (x) = +√

x (puesto queR f −1 = D f = [0, +∞)se descarta el signo−).

Sus graficas se pueden apreciar en la Figura 8.24.

y

x

f (x) = x2

f−1(x) =√

x

1 2

y = x

1

2

FIGURA N◦ 8.24

Page 230: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

222 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Ejemplo

Seaf (x) = x2 − 1 con x ≤ −1. Ası D f = (−∞ , −1] = Rf −1. Como f es inyectiva , existe

f −1 (x) tal quex = f(

f −1 (x))

=[

f −1 (x)]2 − 1 entonces

[f −1(x)

]2= x + 1 y ası

f −1 (x) = −√

x + 1, donde el signo−aparece debido a queR f − 1 = D f = (−∞ , −1], o sea quef −1 (x) siempre es negativo. Ademas, aunque dentro de los numeros realesf −1 tiene sentido parax + 1 ≥ 0, es decir parax ≥ −1, no se toma[−1, +∞) como su dominio, puesto queD f −1 debeser igual aRf y este es igual a[0, +∞) ya que lax esta restringida a(−∞ , −1]. Ası: D f −1 = R f =[0, +∞). (Figura 8.25).

y

x

f (x) = x2−1

f −1(x) = −√

x+1

4 8 12

y = x

4

8

−1

FIGURA N◦ 8.25

EJERCICIOS

1. Para las funciones siguientes:

i. f (x) =√

x

ii. f (x) = x3

iii. f (x) = 2x + 5

iv. f (x) =√

x2 − 4, si x < −2

v. f (x) = x2 − 4, si x < 0

a) Determinar si son o no inyectivasb) Halle la inversa cuando exista y verifique que

(f 0 f −1

)(x) =

(f −10 f

)(x) = x

c) Encuentre sus dominios y recorridosd) Trace sus graficas

2. Las relaciones siguientes no son inyectivas. Restringiendo sus dominios encuentre funcionesinyectivas. Halle sus inversas en estos dominios y trace sus graficas.

a) y2 = x2 b) x2 − y2 = 4 c) x = |y|d) x2

9 + y2

16 = 1 e) y2 = x − 1 f ) |y| = x2 − 1

Page 231: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 223

3. Justificar el cuadro siguiente.

Funcion RestriccionDom de f

Recorridode f

Dominiode f −1

Recorridode f −1

Inversa

f (x) = x2 [0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) f −1(x) =√

xf (x) = x2 (−∞,0] [0,∞] [0,+∞) (−∞,0] f −1(x) = −√

xf (x) =

√1−x2 [0,1] [0,1] [0,1] [0,1] f −1(x) =

√1−x2

f (x) = +√

1−x2 [−1,0] [0,1] [0,1] [−1,0] f −1(x) = −√

1−x2

f (x) = 11+x2 [0,+∞) (0,1] (0,1] [0,+∞) f −1(x) =

√1x −1

f (x) = 2x+1 (−∞,∞) (−∞,∞) (−∞,∞) (−∞,∞) f −1(x) = x−12

4. Llenar los espacios en blanco.

Funcion RestriccionDom de f

Recorridode f

Dominiode f −1

Recorridode f −1

Inversa

f (x) = (x+1)2 [−1,+∞) f −1(x) =√

x−1

f (x) = x5 f −1(x) = 5√

x

f (x) = x6

f (x) = 3x−2

8.5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS

8.5.1. Inversa de Sen x

Como es conocido, la funcion y = Sen xno es inyectiva, por tanto no tiene sentido hablar de sufuncion inversa, sin embargo, puesto que en la practica es frecuente tener que despejarx en ecuacionesde la formaSen x= b, se hace necesario definir una inversa paraSen x, la cual no esta definidapara todox ∈ R, sino solamente para una porcion en la cual esta funcion sea inyectiva. De todas lasporciones en donde esto se tiene, se acostumbra a tomarx ∈

[−π

/2 , π

/2]

(Figura 8.26).

Page 232: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

224 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y

x

y = Sen x1

−1

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

FIGURA N◦ 8.26

De la definicion de funcion inversa se tiene que la funcion Sen xcon− π/

2 ≤ x ≤ π/

2 tieneinversag (x), conDg = [−1, 1] y Rg =

[−π

/2 , π

/2]

y tal queg (Sen x) = x y Sen(g (x)) = x, lacual se nota por:g (x) = ArcSen xo g (x) = Sen−1x; es decir, si:

y = ArcSen x,

aplicando a ambos lados la funcionSenqueda

Sen y= Sen(ArcSen x) = x

y recıprocamente si se dax = Sen y

aplicando a ambos la dos la funcionArcSenqueda

ArcSen x= ArcSen(Sen y) = y

lo que permite concluir que:

y = ArcSen xequivalente a x = Sen y

ası Sen(ArcSen x) = x parax ∈ [−1, 1] y ArcSen(Sen x) = x parax ∈[−π

/2, π

/2]

Teniendo en cuenta la simetrıa respecto a la rectay = x, de una funcion y su inversa, de la figura8.26 se tiene quey = ArcSen xesta representada graficamente por (Figura 8.27).

Page 233: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 225

y

x−1 −1

−π2

π2

f−1(x) = ArcSen x

FIGURA N◦ 8.27

Recuerde que la funcion ArcSen xno es la inversa de la funcion Sen x, sino de una parte de ella, la

parte que corresponde ax∈[

−π2

,π2

]

Ejemplos:

1. ArcSen(√

2/

2)

= π/

4, porqueSen(

π/

4)

=√

2/

2

2. ArcSen(−1) = −(π/

2), porqueSen

(−π

/2)

= −1

3. ArcSen(Sen

(π/

4))

= π/

4

4. ArcSen(Sen2π) = ArcSen(Sen0) = 0, es decir,ArcSen(Sen2π) es el numero en el intervalo[−π

/2 , π

/2]

para el cual el seno toma el mismo valor que elSen2π, o sea 0.

5. ArcSen(Sen

(2π/

3))

= ArcSen(Sen

(π/

3))

= π/

3

6. Sen(

ArcSen(√

2/

2))

= Sen(π/

4)

=√

2/

2

7. Sen(

ArcSen(

1/

2))

= 1/

2

8. Sen(ArcSen4) no existe, pues 4/∈ [−1, 1].

En forma analoga, puesto que las funcionesCos x, Tan x, Cot x, Sec x y Csc xno son inyectivas,tampoco se puede pensar en una inversa para cada una de ellas, pero en una forma similar a como sehizo con la funcion y = Sen xse puede tomar una porcion de ellas (restriccion del dominio) de talforma que estas funciones ası restringidas sean inyectivas y por tanto tengan sus respectivas inversasen estos nuevos dominios.

A continuacion se mostraran las graficas de las funciones trigonometricas restringidas y sus inversascorrespondientes.

Page 234: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

226 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

8.5.2. Inversa de Cos x

En el caso de la funcionCos xpara construir una inversa se acostumbra a tomar la parte inyectivadeCos xque corresponde al intervalo[0,π] ası:Sea f (x) = Cos x con x ∈ [0, π]. Puesto que Rf ,= [−1, 1] entonces se definef −1 (x) = ArcCos x= Cos−1x como la funcion, con D f − 1 = [−1, 1] y Rf − 1 = [0, π] ,que satisface:

y = ArcCos x es equivalente a x = Cos y

y

x

−1 1

π

−πf−1(x) = ArcCos x

FIGURA N◦ 8.28

De la definicion se puede concluir que

Cos(ArcCos x) = x conx ∈ [−1, 1] y ArcCos(Cos x) = x conx ∈ [0, π].

8.5.3. Inversa de Tan x

Para el caso de la tangente se acostumbrara a tomar la rama que corresponde al intervalo(

−π2

,π2

)

ası:

Si f (x) = Tan xconx ∈(−π

/2 , π

/2), entoncesD f =

(−π

/2,π

/2)

, Rf = R, por tanto sedefine f−1 (x) = ArcTan x= Tan−1x como la funcion, conD f − 1 = R y R f − 1 =

(−π

/2 , π

/2)

,tal que:

y = ArcTan x equivalente a x = Tan y (figura 8.29)

Page 235: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 227

f−1(x) = ArcTan x

x

y

1 3−1−3

−π2

π2

FIGURA N◦ 8.29

De la definicion se concluye que

Tan(ArcTan x) = x si x ∈ R y ArcTan(Tan x) = x si x ∈ (−π/2,π/2)

8.5.4. Inversa de Cot x

Aquı se toma la parte inyectiva deCot xparax∈ [0,π] ası:Seaf (x) = Cot xconx ∈ (0, π), entoncesD f = (0, π) y Rf = R, por tanto se definef −1 (x) = ArcCot x= Cot−1x como la funcion conD f − 1 = R y Rf − 1 = (0, π), tal que:

y = ArcCot x equivalente a x = Cot y figura 8.30

f−1(x) = ArcCot x

x

y

1 3−1−3

−π2

π2

π

FIGURA N◦ 8.30

De esta definicion se concluye que:

Page 236: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

228 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Cot (ArcCot x) = x si x ∈ Ry ArcCot (Cot x) = x conx ∈ (0, π).

8.5.5. Inversa Sec x

Aquı se toma la parte inyectiva deSec xparax∈ (0,π) sin incluir π2 donde laSec xno esta definida

ası:Seaf (x) = Sec xconx ∈

[0 , π

/2)∪(

π/

2, π], entonces D f =

[0, π

/2)∪(π/

2, π]

y Rf = (−∞ , −1] ∪ [1, +∞) , por tanto se definef −1 (x) = ArcSec x= Sec−1x, como la funcionconD f − 1 = (−∞ , −1] ∪ [1, +∞) y R f − 1 =

[0, π

/2)∪(

π/

2, π], que satisface

y = ArcSec x equivalente a x = Sec y

(Figura 8.31).De esta definicion se deduce que:

ArcSec(Sec x) = x si x ∈[0, π

/2)∪(

π/

2, π]

ySec(ArcSec x) = x si x ∈ (−∞ , −1] ∪ [1, +∞).

f−1(x) = ArcSec x

x

y

1 3−1−3

π2

−π2

FIGURA N◦ 8.31

8.5.6. Inversa de Csc x

Aquı se toma el pedazo deCsc xparax∈ [−π2 , π

2 ] sin incluir el 0 donde no esta definido ası:Seaf (x) = Csc xconx ∈

[−π/

2, 0)∪(0, π

/2], entonces D f =

[−π/

2, 0)∪(

0, π/

2]

y Rf = (−∞ , −1] ∪ [1, +∞), por tanto se definef −1 (x) = ArcCsc x= Csc−1x, como una funcioncon dominioD f − 1 = (−∞ , −1] ∪ [1, +∞) y R f − 1 =

[−π/

2, 0)∪(

0, π/

2]

que satisface

y = ArcCsc x equivalente a x = Csc y

(Figura 8.32)De la definicion anterior se concluye que:

ArcCsc(Csc x) = x conx ∈[−π/

2, 0)∪(

0, π/

2]

yCsc(ArcCsc x) = x conx ∈ (−∞ , −1] ∪ [1,+∞)

Page 237: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 229

f−1(x) = ArcCsc x

x

y

1 3−1−3

π2

−π2

π

−π

FIGURA N◦ 8.32

Ejemplos

1. ArcCos(−1) = π porqueCosπ = −1

2. ArcTan(−1) = −(

π/

4)

porqueTan(−π/

4)

= −1

3. Cos(ArcCos

(1/

3))

= 1/

3

4. Tan(ArcTan

(1/

3))

= 1/

3

5. Cot(ArcCot

(1/

3))

= 1/

3

6. Sec(ArcSec

(1/

3))

no tiene sentido, pues 1/

3 /∈ (−∞ , −1] ∪ [1, +∞)

7. ArcCos(Cos

(3π/

4))

= 3π/

4

8. ArcTan(Tan

(3π/

4))

= ArcTan(Tan

(−π/

4))

= −π/

4

9. ArcCsc(

−√

2)

= −3π/

4

10. Calcular el valor de:

a) Cos(ArcSen

(3/

5))

Seax = ArcSen(3/

5)

entoncesSen x= 3/

5, conx en el primer cuadrante. PuesArcSen x

es la inversa delSen xen[

−π2

,π2

]

es decir, entre el 1o y 4o cuadrante (Figura 8.33)

Page 238: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

230 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y

x4

35

x

FIGURA N◦ 8.33

luego de la figura se tiene que:

Cos(ArcSen

(3/

5) )

= Cos x= 4/

5

b) Sen(ArcCos

(−2/

3))

Seax = ArcCos(−2/

3)

entoncesCos x= −2/

3 conx en el segundo cuadrante. PuesArcCos xes la inversa del coseno solo entre 0 yπ, es decir, solo el 1o y 2o cuadrante.(Figura 8.34)

y

x−2

√5

3

x

FIGURA N◦ 8.34

de la figura se tiene que:

Sen(ArcCos

(−2/

3))

= Sen x=√

5/

3

c) Tan(ArcSen

(−3/

4))

Seax = ArcSen(−3/

4), entoncesSen x= −3

/4 con x en el cuarto cuadrante, pues

arc Sen xes la inversa deSen xen[−π

2 , π2

], es decir, en el 1o y 4o cuadrante (Figura

8.35).

Page 239: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.5. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 231

y

x

−3

4

x

FIGURA N◦ 8.35

de la figura se tiene que:

Tan(ArcSen

(−3/

4))

= Tanx=−3√

7

11. Hallar el valor deCos(ArcTan

(15/

8)− ArcSen

(7/

25))

.

Seax = ArcTan(15/8) entoncesTanx= 15/8 y seay = ArcSen725 entoncesSen y= 7

25 (Figu-ra 8.36).

y y

x xx y

24

7

25

15

17

8

FIGURA N◦ 8.36

Cos(ArcTan

(15/

8)− ArcSen

(7/

25))

= Cos(x − y) = Cos x Cos y+ Sen x Sen y

=(8/

17) (

24/

25)

+(15/

17) (

7/

25)

= 257/

425

De acuerdo a las figuras 8.36

EJERCICIOS

1. ¿Cuales de los siguientes enunciados son verdaderos?

a) ArcTan(√

3)

= π3

Page 240: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

232 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

b) ArcSec(

−√

2)

= − 3π4

c) ArcCsc(−2) = − 5π6

d) ArcSen(Tan

(3π4

))= − π

2

e) ArcCos(Tan

(− 5π

4

))= π

f ) ArcCot(√

3)

= π6

g) ArcSen(√

22

)

− ArcSen(

12

)= π

12

h) ArcCos(0) + ArcTan(−1) = ArcTan(1)

i) 2ArcTan(

12

)= ArcTan

(43

)

j) ArcTan(

12

)+ ArcTan

(15

)+ ArcTan

(18

)= π

4

k) ArcTan(Cot

(2300

))= 400

l) Sen(2ArcSen

(23

))= 4

√5

9

m) ArcSen(Cos

(−1050

))= −150

n) Cos(ArcTan

(− 4

3

)+ ArcSen

(1213

))= 63

65

n) Tan(2ArcSen

(45

)+ ArcCos

(1213

))= − 253

204

o) ArcSen(Sen

(3π2

))= 3π

2

p) Sen(ArcSen(4)) = 4

2. Demuestre las siguientes identidades, las cuales son necesarias para el calculo deArcCotx, ArcSecxy ArcCsc xpor medio de calculadoras manuales, ya que en general estas no tienen como calculardirectamente estas funciones:

a) ArcCotx= ArcTan(1/

x)

b) ArcCotx= π2 − ArcTanx

c) ArcSecx= ArcCos(1/

x)

d) ArcCscx= ArcSen(1/

x)

8.6. ECUACIONES TRIGONOM ETRICAS

Una expresion comoSen2x + Cos2x = 1, puesto que es una identidad, se satisface para todo val-or de x. Pero en general para expresiones como por ejemploSen x= 1 o Sen2x + Cos x= 1

/2,

habra valores dex que la satisfacen y otros que no. Hallar en estas expresiones los valoresdex que lasatisfacen, es lo que se conoce como resolver la ecuacion trigonometrica o hallar su conjunto solucion.Para resolver completamente las ecuaciones trigonometricas es necesario conocer los resultados de lossiguientes 3 ejemplos fundamentales.

Page 241: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.6. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 233

Ejemplo fundamental 1

Hallar la solucion de la ecuacionSen x= b.

Inicialmente se considera que, aplicando a los dos lados de esta ecuacion la funcion ArcSen x, setiene:

ArcSen(Sen x) = ArcSen b entonces x = ArcSen b.

Pero recordando quey = ArcSen xes la inversa deSen x, pero solamente cuandox ∈[−π/

2 , π/

2],

entonces este valor dex hallado,x = ArcSen b, pertenece a este intervalo. Pero es claro que con-siderando toda la funcion Sen xy debido a su periocidad, este no es elunico valor dex que satisfacela ecuacionSen x= b, sino que existen infinitos. los cuales estan dados por:

x =

{2nπ + ArcSen b2nπ + (π − ArcSen b)

=

{2nπ + ArcSen b(2n + 1) π − ArcSen b

si n ∈ Z

como se visualizan en las graficas de las figuras 8.37

y

x

b

π −Sen−1(b)

Sen−1(b)−2π +(π −Sen−1(b))

y = Sen x1

−1

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

2−2π

FIGURA N◦ 8.37

Con analisis similares al anterior se pueden hallar las soluciones de las ecuacionesCos x= a,Tan x= a, Sec x= a, Cot x = a y Cscx= a ası:

Ejemplo fundamental 2

SolucionarCos x= a

Si x ∈ [0, π] ; ArcCos(Cos x) = ArcCos(a) , entoncesx = ArcCos(a).Pero la solucion deCos x= a, para todox ∈ Resta dada de acuerdo a la figura 8.38 por:

x =

{2nπ + Cos−1 (a)2nπ − Cos−1 (a)

conn ∈ Z

Page 242: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

234 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y

x

−Cos−1(a)

Cos−1(a) 2π −Cos−1(a)

2π +Cos−1(a)

y = Cos x1

−1

π2 π 3π

2 2π−π2−π−3π

25π2

a

FIGURA N◦ 8.38

Ejemplo fundamental 3

SolucionarTan x= a

Si x ∈(−π/

2, π/

2)

; ArcTan(Tan x) = ArcTan(a); entoncesx = ArcTan(a).Pero basados en la figura 8.39 la solucion deTanx= a, parax en todo su dominio esta dada por:

x = nπ + ArcTan(a) n ∈ Z

y

x

y = Tan x

−π2π

−3π2

π2 π

3π2

2π−π +ArcTan a ArcTan a π +ArcTan a

FIGURA N◦ 8.39

En forma analoga se pueden solucionar ecuaciones similares con las otras funcionestrigonometri-cas.

En terminos generales para resolver una ecuacion trigonometrica se debe tratar de factorizar laexpresion por medio de algebra e identidades a productos de factores de la forma

(m Sen x−a) , (n Cos x−b) , (l tan x−c)

Page 243: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.6. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 235

y todo la expresion igual a cero. De esta forma la solucion se toma cuando cada factor sea igual a cero,lo cual nos lleva a resolver ecuaciones de las presentadas en los ejemplosfundamentales.

Ejemplo

Hallar la solucion de la ecuacion

4Cos x Sen x+ 2 Sen x− 2Cos x− 1 = 0 en [0, 2π] .

4Cos x Sen x+ 2Sen x− 2Cos x− 1 = 2Sen x(2Cos x+ 1) − (2Cos x+ 1)

(2Cos x+ 1) (2Sen x− 1) = 0

si y solo si2Cos x+ 1 = 0 o 2Sen x− 1 = 0.

Si2Cos x+ 1 = 0 ⇒ Cos x= −1

/2,

y puesto queArcCos(−1/

2)

= 120o, entoncesx = 120o o x = 360o − 120o = 240o, es decir,x = 2π

/3 o x = 4π

/3, pues se pide la solucion en el intervalo[0,2π]

Si2Sen x− 1 = 0 ⇒ Sen x= 1

/2 ⇒ x = 30ox = 120o,

es decir,x = π/

6 o x = 5π/

6

y ası la solucion de la ecuacion en[0, 2π] es la reunion de las soluciones halladas, es decir:{

π6

,5π6

,2π3

,4π3

}

Si no se hubiese pedido que se den soluciones solo en el intervalo[0,2π] entonces la soluciongeneral serıa:

{π6

+ 2nπ ,5π6

+ 2nπ ,2π3

+ 2nπ ,4π3

+ 2nπ}

con n ∈ Z

Ejemplo

Hallar la solucion de la ecuacion:

Sen2x + Sen x= 0

2Sen x Cos x+ Sen x= 0

Sen x(2Cos x+ 1) = 0

Sen x= 0 o 2Cos x+ 1 = 0

Sen x= 0 o Cos x = −12

, entonces

Page 244: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

236 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

x = nπ ; con n∈Z

o x =2π3

+2nπ con n∈Z

o x =4π3

+2nπ con n∈Z

luego la solucion general es:{

nπ ,2π3

+2nπ ,4π3

+2nπ | n∈Z

}

Ejemplo

Hallar el conjunto solucion de la ecuacion

Cos4x − Sen4x = 1

Cos4x − Sen4x =(Cos2x + Sen2x

) (Cos2x − Sen2x

)= 1

⇒ Cos2x − Sen2x = 1

⇒ Cos2x = 1

2x =

{2nπ + Arc Cos12nπ − Arc Cos1

= 2nπ conn ∈ Z

entoncesx = nπ enn∈ Z

Ejemplo

Solucionar Sen x=√

3Cos x− 1

Si elevamos al cuadrado los dos lados de la ecuacion se tiene que:

Sen2x = 3Cos2x − 2√

3Cos x+ 1

1− Cos2x = 3Cos2x − 2√

3Cos x+ 1

4Cos2x − 2√

3Cos x= 0

2Cos x(

2Cos x−√

3)

= 0

⇒ Cos x= 0 o

2Cos x−√

3 = 0

i. Si Cos x= 0 ⇒ x = π2 , 3π

2 , 5π2

ii. Si 2Cos x−√

3 = 0 ⇒ Cos x=√

32 ⇒ x = π

6 + 2nπ o x = − π6 + 2nπ.

Puesto que los dos miembros de la ecuacion original fueron elevados al cuadrado, en este conjun-to solucion pueden aparecer soluciones “extranas”, por tanto es necesario verificar en esta ecuacion

Page 245: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.6. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS 237

cuales de los elementos del conjunto hallado son efectivamente soluciones de laecuacion inicial.Reemplazando allı, se puede observar que parax = π

2 , 5π2 , 9π

2 , 13π2 , . . . y parax = − π

6 + 2nπ,conn ∈ Z, no satisfacen la ecuacion, por lo tanto la solucion de la ecuacion esta dada por

S =

{π6

+ 2nπ ,3π2

+ 2nπ. con n∈ Z

}

Ejemplo

Solucionar la ecuacion √2Sen2x + Cos x= 0

Si√

2(1− Cos2x

)+ Cos x= 0

√2Cos2x − Cos x−

√2 = 0

Cos x=+1±

√1 + 8

2√

2=

1± 3

2√

2

Cos x=1 + 3

2√

2=

2√2

o

Cos x=1− 3

2√

2=

−1√2

ahora siCosx= 2/√

2 =√

2, como√

2 > 1 entonces en este caso no hay solucion, y si

Cos x= − 1/√

2 ⇒ x = ± 3π4 + 2nπ. conn ∈ Z.

EJERCICIOS

1. Hallar el conjunto solucion de las ecuaciones:

a) Sen3x =√

2/

2

b) Sen3x = 0

c) Tan2x = −√

3

d) Cot (2x − 1) = −1/√

3

e) 2Sen22x − 1 = 0

f ) 3Sen x= 2Cos2x

g) Sen2x = Cos2x

h) Sen2x Cos x+ Cos2x Sen x= 0

i) Sen5x − Sen3x − Sen x= 0

j) Cos x−√

3Sen x= 1

k) 2Cos x= 1− Sen x

l) Sen xCos x= 0

Page 246: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

238 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

m) Secx− 1 = Tanx

n) 2Tanx− Sen x− Tanx= 0

n) Sen4x − 2Sen2x − 1 = 2Sen x− Cos2x

o) 6Tanx+ 12Cotx = 5√

3Secx

p)(1− Sen4x

) (1 + Tan2x

)= 5

/3

q)1+Tan x1−Tan x

= 1+Sen2x

r) Sen4x + Cos4x = 5/

8

s) Cos x= 4

2. Analizar los cuadros siguientes paso a paso, e ilustrarlos con ejemplos (en todos los casosn ∈Z).

b < −1 b = −1 − 1 < b < 1 b = 1 b > 1Sen x= b No hay

solucionesx = − π

2 +2nπ ArcSen b+ 2nπ y2nπ +(π −ArcSen b)

π2 +2nπ No hay

soluciones

a)

b < − 1 b = − 1 − 1 < b < 1 b = 1 b > 1Cos x =b

No haysolucion

(2n + 1)π ArcCos b+ 2nπ y2nπ −ArcCos b

2nπ No haysolucion

b)

c)−∞ < b < +∞

Tan x= b x = ArcTan b+nπ

d)−∞ < b < +∞

Cot x= b x = ArcCot b+nπ

e)b < − π

2 − π2 ≤ b ≤ π

2 b > π2

ArcSen x= b No haysolucion

Sen b No haysolucion

f )b < 0 0 ≤ b ≤ π b > π

ArcCos x= b No haysolucion

x = Cos b No haysolucion

Page 247: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.7. FORMA TRIGONOMETRICA DE NUMEROS COMPLEJOS 239

g)b ≤ − π

2 − π2 < b < π

2 b ≥ π2

ArcTan x= b No haysolucion

x = Tan b No haysolucion

h)b ≤ 0 0 < b < π b ≥ π

ArcCot x= b No haysolucion

x = Cot b No haysolucion

8.7. FORMA TRIGONOM ETRICA DE N UMEROS COMPLEJOS

8.7.1. Representacion trigonometrica y teorema de De Moivre

Un numero complejoz = a + bi , se puede representar tambien en forma trigonometrica o polarpor medio de dos numeros reales. El primero de estos numeros indica la distancia del punto(a,b) alorigen de coordenadas deR2, el cual corresponde alvalor absoluto o modulo del numero complejo zque se simboliza conr, y como se vio en el capıtulo III y en la figura 8.40, se puede expresar por:

r =√

a2 + b2

El segundo numero real de esta representacion es la medidaθ , en radianes, delangulo que formael segmento de recta que va del punto(a,b) al origen de coordenadas y la parte positiva del ejex. Enla Figura 8.39 tambien se muestraesteangulo. A ese numeroθ se le llamaargumento del numerocomplejo z y se simboliza conArg (z), y como se puede apreciar en la misma grafica se calcula porla expresion:

Arg (z) =

arctan(

b/

a)

si a > 0 y b ≥ 0π + arctan

(b/

a)

si a < 02π + arctan

(b/

a)

si a > 0 y b < 0

Si a = 0, entoncesθ = π / 2 parab > 0 y θ = 3π/2 parab < 0. Sia = b = 0, θ no esta definido.

y

xa

b

r

θ

z= a+bi

FIGURA N◦ 8.40

Determinados ya los dos numeros realesr y θ , deesta misma Figura se deduce que:

a = r Cos θ y b = r Sen θ

Page 248: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

240 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y por consiguiente

z = a + b i = r Cos θ + r Sen θ i = r ( Cos θ + i Sen θ )

es decir,

z = r ( Cos θ + i Sen θ ).

Estaultima expresion dez en terminos der y θ es la representacion trigonometrica del numerocomplejoz, que se simboliza tambien por:

z = r Cis θ .

Como la representacion rectangular de un numero complejoz = a + b i , esunica, se podrıa pensarque la representacion trigonometrica tambien lo es ; pero esto no es ası, ya que como se muestra enla Figura 8.41,Cos(θ ± 2π ) = Cosθ y Sen(θ ± 2π ) = Senθ , con lo cualθ , θ + 2 π , y θ - 2π son tres argumentos diferentes del mismo numero complejoz. Por el caracter periodico del senoy el coseno un numero complejoz podra tener infinitas representaciones trigonometricas. En algunasaplicaciones se requiere trabajar con una sola representacion trigonometrica dez, para lo cual se escogeθ con la condicion 0≤ θ < 2 π , llamadoargumento principal de z.

Im(z)

Re(z)a

b

r

θθ +2π

z= a+bi

FIGURA N◦ 8.41

Ejemplo

Tres representaciones trigonometricas del numero complejoz = 1 + i , son:

z =√

2(Cos π4 + iSen π

4 ) =√

2Cisπ4

z =√

2(Cos 9π4 + iSen 9π

4 ) =√

2Cis9π4

z =√

2(Cos −7π4 + iSen −7π

4 ) =√

2Cis−7π4

El Argumento principal dez = 1 + i esπ / 4.

Esta representacion en forma polar o trigonometrica se utiliza frecuentemente con el fin de sim-plificar calculos, ya que como se vera, utilizando identidades trigonometricas adecuadas, se facilitanalgunas operaciones entre numeros complejos.

Page 249: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.7. FORMA TRIGONOMETRICA DE NUMEROS COMPLEJOS 241

1. Siz = rCosθ + irSenθ y w = ρ Cosµ + i ρ Senµ

son dos numeros complejos en forma polar, entonces

z.w = (rCosθ + irSenθ) (ρCosµ + iρSenµ)

= r ρ Cosθ Cosµ + i r ρ Cosθ Senµ + i r ρ Senθ Cosµ + i 2r ρ Senθ Senµ= r ρ (Cosθ Cosµ − Senθ Senµ) + i r ρ (Cosθ Senµ + Senθ Cosµ)

= r ρ [Cos(θ + µ) + iSen(θ + µ)]

luegozw= r ρ [Cos(θ + µ) + iSen(θ + µ)]

Observe que del anterior resultado se deduce la igualdad:

|zw| = |z| |w| .

2. Generalizando 1, para el producto den numeros complejos iguales se puede demostrar, utilizan-do induccion matematica, el llamadoTeorema de De Moivre:Si z = rCosθ + i rSenθ , entonces para todon ∈ N se tiene

zn = r n [Cosnθ + iSennθ ]

3. Siz = rCosθ + i rSenθ y w = ρ Cosµ + i ρ Senµ entonces

zw

=rCosθ + i rSenθ

ρ Cosµ + i ρ Senµ=

(Cosθ + iSenθ) (Cosµ − iSenµ)

(Cosµ + iSenµ) (Cosµ − iSenµ)

=rρ

(Cosθ Cosµ − iCosθ Senµ + iSenθ Cosµ + Senθ Senµ)

Cos2µ + Sen2µ

=rρ

[(Cosθ Cosµ + Senθ Senµ) + i (Cosµ Senθ − Cosθ Senµ)]

=rρ

(Cos(θ − µ) + iSen(θ − µ))

luego:zw

=rρ

(Cos(θ − µ) + iSen(θ − µ))

Ejemplo

1. Siz = −1 + i = x + i y = rCosθ + i rSenθ ,

entonces:

r =√

x2 + y2 =

(−1)2 + 12 =√

2

y

Tanθ =yx

=1−1

= −1

Page 250: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

242 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

y ası

θ =3π4

,

pueszse encuentra en el 20 cuadrante. (Figura 8.42). Por tanto:

z= −1+ i =√

2

(

Cos3π4

+ iSen3π4

)

y

−1+ i

FIGURA N◦ 8.42

2. Siz = 1− i

√3 = x + i y,

entonces

r =√

x2 + y2 =

1 +(

−√

3)2

=√

4 = 2;

Tanθ =yx

=−√

31

= −√

3,

por tantoθ = 300o,

pues el puntoz= 1− i

√3

se encuentra en el 4o cuadrante. (Figura 8.43). Luego,

z= 1− i√

3 = 2(Cos300+ iSen300)

Page 251: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.7. FORMA TRIGONOMETRICA DE NUMEROS COMPLEJOS 243

y

x

r = 2

1− i√

3

FIGURA N◦ 8.43

3. Hallar(

−1 + i√

3)10

−1 + i√

3 = x + i y,

por tanto

r =

(−1)2 +√

32

=√

4 = 2

y

Tanθ =−1√

3=

−√

33

,

entonces

θ =2π3

pues el punto−1 + i

√3

se encuentra en el 2o cuadrante, luego

−1 + i√

3 = 2

(

Cos2π3

+ iSen2π3

)

y ası:

(

−1 + i√

3)10

= 210(

Cos20π

3+ iSen

20π3

)

= −512+ 886.8i

4. Calcular(1 + i)10

Page 252: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

244 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

(1 + i)10 =(√

2 (Cos45o + iSen45o))10

=(√

2)10

(Cos450o + iSen450o)

= 32(Cos(360o +90o) + iSen(360o + 90o))

= 32(Cos90o + iSen90o) = 32i

Por tanto(1+ i)10 = 32i

5. Efectuar la operacion

−2(

−1 + i√

3) (√

3 + i)

= 2 (Cos180o + iSen180o) (2) (Cos120o + iSen120o) (2) (Cos30o + iSen30o)

= 4(Cos3000 + iSen300o) 2 (Cos30o + iSen30o)

= 8 (Cos330o + iSen330o)

= 8 (Cos30o − iSen30o) = 8

(√3

2− i

2

)

= 4√

3− 4i

luego:−2(−1+ i

√3)(

√3+ i) = 4

√3−4i

6. Efectuar la operacion4− 4i

√3

−2√

3 + 2i

4− 4i√

3

−2√

3 + 2i=

84

(Cos300o + iSen300o)

(Cos150o + iSen150o)

= 2 (Cos(300o − 150o) + iSen(300o − 150o))

= 2 (Cos150o + iSen150o) = 2

(

−√

32

+i2

)

= −√

3 + i

luego:4− 4i

√3

−2√

3 + 2i= −

√3+ i

8.7.2. Raıces de numeros complejos

Dado un numero complejoz = x + i y, se dice que el numero complejow = µ + i v, es una raızn-esima del numero complejo z, siwn = z.

Si z = x + i y = rCosθ + i rSenθ es un numero complejo dado, yw = u + i v = ρ Cosµ +i ρ Senµ es una raız n-esima de z. ¿Como se representa el numero complejo w en terminos der y θ?.

Page 253: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.7. FORMA TRIGONOMETRICA DE NUMEROS COMPLEJOS 245

Para ello:wn = z ⇔ (ρ (Cosµ + iSenµ))n = r (Cosθ + iSenθ)

⇔ ρ n (Cosnµ + iSennµ) = r (Cosθ + iSenθ) = r (Cos(θ + 2kπ) + iSen(θ + 2kπ))

⇔ ρ n = r ⇔ ρ = r 1/n y Cosnµ = Cos(θ + 2kπ) y Sen(nµ) = Sen(θ + 2kπ)entoncesnµ = θ + 2kπ ∀k ∈ Z, es decir,µ = θ +2kπ

n , luego para cada enterok el numero complejo:

wk = r 1/n(

Cos

(θ + 2kπ

n

)

+ iSen

(θ + 2kπ

n

))

es raız n-esima dez = x + i y; pero es posible demostrar que entre estos valores solamente hayndiferentes: parak = 0, 1, 2, . . . , n − 1, llamemoslosw0 ,w1 , . . . , wn−1 y que para cualquier otrovalor dek, el numero complejowk coincide con alguno de estos, es decir, un numero complejoztieneexactamenten raıces diferentes.

Ejemplo

Hallar las raıces cuadradas dez = 1− iComo

1− i =√

2 (Cos315o + iSen315o)

(1− i)1/2 = 21/4(

Cos

(315o + 2k180o

2

)

+ iSen

(315o + 2k180o

2

))

parak = 0 y k = 1, es decir; las raıces cuadradas de(1− i) son:

w0 = 21/4(

Cos315o

2+ iSen

315o

2

)

w1 = 21/4(

Cos

(315o + 360o

2

)

+ iSen

(315o + 360o

2

))

Ejemplo

Hallar las raıces cuartas del numero complejoz = −8− 8√

3i

como(

−8− 8√

3i)

= 16(Cos240o + iSen240o) entonces(

−8− 8√

3i)1/4

= 161/4(

Cos

(240o + k360o

4

)

+ iSen

(240o + k360o

4

))

Page 254: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

246 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

parak = 0, 1, 2, 3.entonces, las raıces cuartas de−8− 8

√3i son:

w0 = 2

(

Cos240o

4+ iSen

240o

4

)

= 2 (Cos60o + iSen60o)

= 2

(

12

+ i

√3

2

)

= 1 + i√

3

w1 = 2

(

Cos

(240o + 360o

4

)

+ iSen

(240o + 360o

4

))

= 2 (Cos150o + iSen150o)

= 2

(

−√

32

+i2

)

= −√

3 + i

w2 = 2

(

Cos

(240o + 720o

4

)

+ iSen

(240o + 720o

4

))

= 2 (Cos240o + iSen240o)

= 2

(

− 12− i

√3

2

)

= −1− i√

3

w3 = 2

(

Cos

(240o + 1080o

4

)

+ iSen

(240o + 1080o

4

))

= 2 (Cos330o + iSen330o)

= 2

(√3

2− i

2

)

=√

3− i

Ejemplo

Hallar las raıces cuartas dez = 1Como

1 = 1 (Cos0 + iSen0)

entonces

11/4 = Cos

(2kπ4

)

+ iSen

(2kπ4

)

k = 0, 1, 2, 3.

por tanto, las raıces cuartas de 1 son:

w0 = Cos0 + iSen0 = 1

w1 = Cos(π

2

)

+ iSen(π

2

)

= i

w2 = Cosπ + iSenπ = −1

w3 = Cos

(2π2

)

+ iSen

(3π2

)

= − i

observe que estas raıces son los vertices de un cuadrado inscrito en la circunferenciax2 + y2 = 1

Page 255: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.8. SOLUCION DE TRIANGULOS 247

EJERCICIOS

1. Escribir los siguientes numeros complejos en la forma polar.

a) − 3− 3i b) 3 + 3i

c) − 3 + 3i d) 3− 3i

e)√

2− i√

2 f ) i

g) 1− i√

3

2. Efectuar las operaciones indicadas en forma polar.

a)

(3− 3i

√3) (

−2− 2i√

3)

(i (1− i) (1 + i))b)

−2(−√

3 + i) (√

3 + i)

c)−4

√3− 4i

(√3− i

)(2) i

d)(√

3 − i)4

e) (i (1− i))10 f )(1 + i)6 (√3− i

)3

(1 + i

√3)8

3. Dar la forma rectangular de los siguientes numeros complejos:

a) 2 (Cos60o + iSen60o)

b) 4 (Cos120o + iSen120o)

c) 4 (Cos120o − iSen120o)

d)8 (Cos300o + iSen300o)

2 (Cos150o + iSen150o)

e)32(Cos60o + iSen60o)

(√2 (Cos45o + iSen45o)

)

(Cos90o + iSen90o) (5 (Cos270o + iSen270o))

4. a) Hallar las raıces terceras y quintas de 1 ¿Son vertices de algun polıgono?.

b) Hallar las raıces cubicas dez =√

3− i

c) Hallar las raıces cuartas dez = −1 + i

d) Hallar las raıces cuadradas dei

e) Hallar las raıces cubicas dez = −8i y z = 27i.

8.8. SOLUCION DE TRI ANGULOS

Resultautil en algunas aplicaciones de la trigonometrıa, lo que se conoce con el nombre de solucionde triangulos, que consiste en determinar las magnitudes de losangulos internos y las longitudes delos lados de un triangulo cualquiera dado, conociendo inicialmente algunos de estos datos. Para elloses necesario conocer dos teoremas fundamentales:Teorema del Seno, y Teorema del Coseno.

Page 256: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

248 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

8.8.1. Teorema del Seno

Sean A, B, C losangulos y a, b, c los correspondientes lados opuestos en un triangulo. (Figura8.44). Entonces

Ab

C

B

c a

FIGURA N◦ 8.44

SenAa

=Sen B

b=

Sen Cc

.

Para su demostracion considerese la figura 8.45.

A A

a a

a)

B B

b b

b)

C C

c c

h k

90o

FIGURA N◦ 8.45

De la figura 8.45 (a) se tiene:

Sen A=hc

entonces h= c Sen A

Sen C=ha

entonces h= a Sen C

Por tantoc Sen A= a Sen C,

Page 257: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.8. SOLUCION DE TRIANGULOS 249

es decirSen A

a=

Sen Cc

y de la figura 8.45 (b) se tiene:

Sen A=kb

entonces k= b Sen A

Sen B=ka

entonces k= a Sen B

Por tantob Sen A= a Sen B, es decir:

Sen Aa

=Sen B

b

y asıSen A

a=

Sen Bb

=Sen C

c

Ejemplo

Hallar el valor dea en la figura 8.46:

A

a

B

b

C

28o 45o20′

120

FIGURA N◦ 8.46

A + B + C = 180o ⇒ C = 180o − (A + B) = 180o −(28o + 45o20′

)= 106o 40′

entonces deSen A

a=

Sen Cc

se tiene que

a =cSen ASen C

=120o Sen28o

Sen(106◦20′)=?

Page 258: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

250 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Ejemplo

Considere el triangulo que se observa en la figura 8.47.

a = 6b = 8

α = 35o β

c = 8

γ

FIGURA N◦ 8.47

Como:Senα

a=

Senβb

entonces Senβ =bSenα

a=

8Sen35o

6= 0.76

luego Senβ = 0.76

entonces β = arc Sen0.76= 49.9o

o β = 180o−49.9o = 130.1o

comoα +β < 180o para los dos casos, entonces los dos sirven.

Paraβ1 = 49.9o, γ1 = 95.1o; paraβ2 = 130.1o, γ2 = 14.9o.

Ahora,Senγ

c=

Senαa

, entonces

c =aSenγSenα

, entonces

c1 =6Sen95.1o

Sen35o = 10.42 y

c2 =6Sen14.9o

Sen35o = 2.69

luego el ejemplo permite dos soluciones como se aprecia en la figura 8.48:

Page 259: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.8. SOLUCION DE TRIANGULOS 251

95.1o

14.9o

10.42

2.69

8

FIGURA N◦ 8.48

Ejemplo

Considere el triangulo que se observa en la figura 8.49:

αγ = 50o

β

b = 3

a = 2 c

FIGURA N◦ 8.49

comoSenα

a=

Senγc

, entoncesSenα =ac

Senγ =23

Sen50= 1.53

Absurdo, luego en este caso el problema no tiene solucion.

8.8.2. Teorema del Coseno

SeanA, B, C, los angulos ya, b, c los correspondientes lados opuestos de un triangulo. (Figura8.50) entonces

Page 260: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

252 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Ac

B

C

b

D

h

a

FIGURA N◦ 8.50

1. a2 = b2 + c2 − 2bcCos A

2. b2 = a2 + c2 − 2acCos B

3. c2 = a2 + b2 − 2abCos C

Demostracion

De la figura 8.50 h = aSen B, BD = aCos BentoncesAD = AB− BD = c− aCos Bpor tanto

b2 = h2 +(AD)2

= h2 + (c− aCos B)2 = a2Sen2B + c2 − 2acCos B+ a2Cos2B

= a2(Sen2B + Cos2B

)+ c2 − 2acCos B= a2 + c2 − 2acCos Bentonces

b2 = a2 + c2 − 2acCos B.

Las partes ii) y iii) se demuestran en forma analoga.

Ejemplo

En la figura 8.51 se aprecia un triangulo cuyos lados midena = 9.23, b = 5.04 c = 10.6, halleel angulo A.

Page 261: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

8.8. SOLUCION DE TRIANGULOS 253

Ac

B

C

b a

FIGURA N◦ 8.51

a2 = b2 + c2 − 2bcCos A ⇒ Cos A=b2 + c2 − a2

2bc=

(5.04)2 + (10.6)2 − (9.23)2

2 (5.04) (10.6)

A = Cos−1

(

(5.04)2 + (10.6)2 − (9.23)2

2 (5.04) (10.6)

)

= 60.5o

EJERCICIOS

Los problemas del 1 al 4 se refieren a la figura siguiente:

Ab

C

B

B a

FIGURA N◦ 8.52

1. SiA = 50o40′ , b = 7.03mts, c = 7.00mts, halle el ladoa.

2. a = 4mts, b = 10mts, c = 9mts, halle losangulos A, B, C.

3. Sib = 125mts, A = 41.6o , C = 95◦, halle elangulo B.

Page 262: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

254 Capıtulo 8. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

4. SiA = 26o , a = 10mts, b = 18mts, halle elangulo B.

5. SiC = 90o demuestre utilizando el teorema del coseno quea2 + b2 = c2.

6. En el triangulo de la figura siguiente

B C

A

FIGURA N◦ 8.53

Se tiene quea = 322mts, c = 212mts y B = 110o50′ , halle el valor deb, el angulo A y elangulo C.

Page 263: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 9FUNCIONES EXPONENCIAL YLOGARITMICA

9.1. FUNCION EXPONENCIAL

Dado un numeroa> 0, para la definicion de la funcion f (x) = ax , conx enR se tendran en cuentalas propiedades de exponentes y radicales vistos en el capıtulo1.

De allı recuerdese que:

1. Six∈ N entoncesax = a. . .a︸ ︷︷ ︸x veces

y goza de las propiedades siguientes:

a) axay = ax+y

b) (ab)x = axbx

c)(a

b

)x=

ax

bx , b 6= 0

d) (ax)y = axy

2. a0 = 1, sia 6= 0

3. a1/x = x√

a, para x par y a > 0a1/x = x

√a, si x es impar y a∈ R

4. ax/y =(a1/y

)x= ( y

√a)

x, a > 0

Luego se puede afirmar que 1,2,3 y 4 definenax si x es racional no negativo, pues cualquiernumero racionalx ≥ 0 cae en una de estas situaciones y se puede verificar que satisface laspropiedadesa,b,c,d de 1.

Ademas si para todo racionalx > 0, se definea−x =1ax , entonces se completa la definicion de

ax para todox racional.

255

Page 264: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

256 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

5. Para definir rigurosamentef (x) = ax parax irracional es necesario conocer previamente con-ceptos de sucesiones convergentes, por tal razon no se tratara en el momento. Para su calculotenganse en cuenta que six es un numero irracional es posible aproximarlo tanto como se quierapor exceso o por defecto por un numero racional, por ejemplo:

2√

2 = 21.414213562. . .21.4142, donde el sımbolo≈ indica aproximadamente igual, pero tambien2√

2 es aproximadamente igual a 21.4143 o 21.414213

Se puede verificar que esta funcion exponencial ası definida f (x) = ax, cona > 0, satisface laspropiedadesa,b,c,d de 1 tambien parax irracional, es decir, se satisfacen para todos los reales.

9.1.1. Caracterısticas de las funciones exponenciales

Teniendo en cuenta que el dominio def (x) = ax cona > 0, es el conjunto de los numeros reales,tomando algunos valores dex en R y calculando sus correspondientes valores dey para dos casosparticulares dea: El primeroa = 2 (a > 1) y el segundoa = 1/2 (0 < a < 1) se pueden construir lassiguientes tablas:

x −5 −2.5 −√

2 −1 0 1/2 1 1.8 3 π 42x 0.031 0.176 0.375 0.5 1 1.414 2 3.48 8 8.824 16

x −5 −2.5 −√

2 −1 0 1/2 1 1.8 3 π 4(1/2)x 32 5.656 2.665 2 1 0.707 0.5 0.287 0.125 0.113 0.062

Y plasmando estos valores en el planoxy y uniendo los puntos hallados por una curva suave seobtienen las correspondientes graficas paraf (x) = 2x, y g(x) = (1/2)x. (Figura 9.1).

y

x

f (x) = 2x

g(x) =

(12

)x

2 4−2−4

1

2

3

FIGURA N◦ 9.1

En general se puede apreciar que el grafico def (x) = ax paraa > 1, se tienen caracterısticas simi-lares al def (x) = 2x, y el de f (x) = ax para todo 0< a < 1 tienen caracterısticas similares al def (x) = (1/2)x. (Figura 9.2).

Page 265: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.1. FUNCION EXPONENCIAL 257

y

x

y

x−2 −1 1 2 −2 −1 1 2

2

4

6

8

2

4

6

8

f (x) = ax, a > 1 f (x) = ax, 0 < a < 1

FIGURA N◦ 9.2

De estas graficas se pueden intuir algunas de las propiedades de las funciones exponenciales, que seenunciaran a continuacion, pero cuya demostracion rigurosa requiere elementos de calculo diferencial.

1. a0 = 1, paraa > 0

2. f (x) = ax > 0 para todox∈ Ry a > 0

3. La grafica def (x) = ax para cualquiera > 0, no presenta interrupciones, es decir, su trazo escontinuo

4. Six 1 > x 2 ⇒{

a x 1 > a x 2 si a < 1a x 1 < a x 2 si 0< a < 1

o dicho de otra forma, paraa> 1 la funcion f (x) = ax escreciente, lo que significa graficamenteque a medida que la variablex toma valores cada vez mas grandes, sus imagenes tambien tomanvalores cada vez mas grandes, y para 0< a < 1 esdecreciente, lo que significa que a medidaque la variablex toma valores cada vez mas grandes, sus imagenes toman valores cada vez maspequenos.

5. Paraa > 1, la imagen def (x) = ax, puede ser tan grande como se quiera tomando ax suficien-temente grande. (Cuandox se aleja a+∞, sus imagenesf (x) se alejan de+∞) y tomando axsuficientemente pequeno (x < 0) sus imagenes tienden a pegarse al eje x sin tocarlo. (Cuandoxse aleja a−∞ la grafica def (x) = ax se aproxima a cero).

Para el caso 0< a < 1 a medida quex se hace mas grande sus imagenes se acercan a cero y paravalores dex suficientemente pequenos (x < 0) sus imagenes tomaran valores tan grandes como sequiera.

9.1.2. El numero e

Considerese la expresion

(

1+1n

)n

dando algunos valores an, y haciendo que estos valores sean cada vez mas grandes, se tiene la sigu-iente tabla:

Page 266: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

258 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

n 1 100 1000 100000 1000000 10000000(

1+1n

)n

2 2.7048 2.7169 2.71826 2.71828 2.71828

de ella se puede apreciar que

(

1+1n

)n

es cada vez grande a medida quen es mayor, pero nunca

sera mayor que 3. En realidad en un curso posterior se podra demostrar que cuandon tiende a+∞,esta expresion se aproxima a un numero irracional que se nota porey tiene aproximadamente el valorde

e= 2.71828182. . .

En la practica la funcion exponencialax que tiene como base a este numeroe, es decir,f (x) = ex

es la mas utilizada, a tal punto que cuando se hace referencia a la funcion exponencial sin especificarsu base, se debe entender que se trata def (x) = ex.

9.2. FUNCION LOGARITMO

Puesto que la funcion f (x) = ax, a > 0, a 6= 1 es inyectiva, entonces existe su inversaf−1(x), lacual se llamafuncion logaritmoen basea y se nota‘por:

f−1(x) = loga x

Observese que paraa= 1, f (x) = a1 = a que es constante, luego no es inyectiva, por tanto no tieneinversa, es decir, no se puede hallar el logaritmo en base 1 dex.

Esta funcion loga x satisface por tanto que: su dominio es(0,∞) pues es el recorrido def (x) = ax

y su recorrido esR pues es el dominio def (x) = ax. Ademasaloga x = x, parax > 0 y loga ax = x∀x∈ R o sea que

y = ax equivalente a loga y = x

y sirve para despejarx en una ecuacion de la formaax = b ya que:

ax = b⇔ loga ax = loga b⇔ x = loga b

Recıprocamente, si se trata de despejarx en una ecuacion de la forma, loga x= b se hace utilizandola funcion exponencial en basea, pues loga x = b⇔ aloga x = ab equivale a decirx = ab.

La funciony= loga x cona= e, es decir, la inversa deg(x) = ex se llamaFuncion logaritmo naturaly se nota porf (x) = ln (x), es decir, ln(x) = loge x y ası

y = ln (x) que equivale a x = ey

Page 267: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.2. FUNCION LOGARITMO 259

En muchas ocasiones en el trabajo con logaritmos en base diferente dee, se prefiere hacer unatransformacion adecuada la cual se presenta mas adelante que nos permita trabajar conesta base, pueslas calculadoras manuales en general solo calculan logaritmos naturales (basee o logaritmo en base10).

Puesto quef (x) = loga x es la inversa deg(x) = ax, entonces sus graficos deben ser simetricosrespecto a la rectay = x. (Figura 9.3).

y = ax

y = log ax

y = x

y = ax

y = log ax

y = x

y

x

y

x

a > 1 0 < a < 1

FIGURA N◦ 9.3

Ejemplo

1. Six = 25 ⇒ log2 x = log2 25 = 5.

2. Si log3 x = 4⇒ x = 34.

3. Si log1/2 x = −3⇒ x = (1/2)−3.

4. Six = 8−2 ⇒ log8 x = log8 8−2 = −2.

5. 2log2 −5 no tiene sentido pues(−5) no esta en el dominio de ningun logaritmo.

6. log5 53 = 3.

7. 3log3 2 = 2.

9.2.1. Propiedades

De las graficas de la funcion logaritmo se pueden deducir las siguientes propiedades:

1. loga 1 = 0 para todo a 6= 1.

2. El dominio de la funcion logaritmo en basea es(0,∞) y su recorrido es todoR.

3. Si a > 1, f (x) = loga x es una funcion creciente y si 0< a < 1 es decreciente.

Page 268: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

260 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

4. Si a > 1, f (x) = loga x tiende a+∞ cuandox tiende a∞ y tiende a−∞ cuandox tiendea cero, es decirx = 0 es una asıntota vertical def (x) = loga x.Si 0< a < 1, f (x) = loga x tiende a−∞ cuandox y tiende a+∞ cuandox tiende a cero,es deciry = 0 es una asıntota horizontal def (x) = loga x.

Otras propiedades

1a Propiedad

loga xy = loga x + loga y si x > 0 y y > 0

Demostracion

Sea z = loga x + loga y

⇒ az = aloga x+ loga y = aloga xaloga x = xy;

es decir az = xy

por tanto loga az = loga xy

entonces z = loga xy,

y ası loga xy = loga x + loga y.

Ejemplo

1. log3 (125) = log3 (5)(5)(5) = log3 5+ log3 5+ log3 5

2. log2 4+ log2 20+ log2 10= log2 (4)(20)(10) = log2 800

Ejemplo

Hallar el valor dex tal que:

log10 x = log10 5+ log10 4+ log10 5

log10 x = log10 5 + log10 4 + log10 5

= log10 (5)(4)(5) = log10 100

= log10 102, es decir

log10 x = 2, por tanto

x = 102

NOTA

El logaritmo en base 10, se nota por logx, es decir

log10 x = log x

Page 269: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.2. FUNCION LOGARITMO 261

2a Propiedad

logaxy

= loga x − loga y si x > 0 y y > 0

Demostracion

Similar a la anterior.

Ejemplo

1. log155

= log 15− log 5

2. log 2− log 4− log 3+ log 24

= log 2+ log 24− log 4− log 3

= log 2+ log 24− (log 4+ log 3)

= log 2∗24− log 4∗3

= log 48− log 12= log 4

3. logabcxy

= log abc− log xy

log a+ log b+ log c− log x− log y

3a Propiedad

logaxα = α loga x

Demostracion

x = ay (es deciry = logax)

⇒ xα = aαy ⇒ loga xα = loga aαy

⇒ loga xα = αy loga a

⇒ loga xα = α loga x

⇒ loga xα = α loga x

4a Propiedad

logaβ xα =αβ

loga x

Page 270: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

262 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Demostracion

Se parte de que:

(aβ )

αβ

loga x

= aα loga x = aloga xa= xa

tomando logaritmo en baseaβ en esta igualdad, se obtiene:

αβ

loga x = logaβ xα

Ejemplo

1. log2 25 =51

log2 2 = 5

2. log√2 64= log21/2 26 = (6/(1/2)) log2 2 = 12

3.

log9 6 = log32 6 = log32 (2)(3) = log32 2+ log32 3

=12

log3 2+12

log3 3 =12

+12

log3 2

5a Propiedad

ax = bx logb a

Demostracionbx logb a = blogb ax

= ax

Esta propiedad permite pasar una funcion exponencial en una base dada, a cualquier otra base.En particular

ax = ex ln a

Ejemplos

1. 2x = 3x log3 2

2. 5x = 2x log2 5

3. Pasar 3x a base 5 3x = 5x log5 3

4. Pasar 6x a basee 6x = ex ln 6

Page 271: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.2. FUNCION LOGARITMO 263

6a Propiedad

logax =logb xlogb a

, es decir, logb x = (loga x)(logb a)

esto indica como pasar un logaritmo en basea a un logaritmo en baseb

Demostracion

Se parte de que:

b(loga x)(logb a) =(blogb a)loga x

= (a)loga x = x

y tomando logaritmo en baseb a los dos lados se tiene:

logb bloga x logb a = (loga x)(logb a) = logb x ; es decir

loga x =logb xlogb a

como se dijo, esta propiedad permite cambiar de base en los logaritmos y en particular es importanteel cambio de cualquier base a la baseepues, por ejemplo en las calculadoras manuales solo figuran lny log y no logaritmos en otras bases, por tanto para calcular logax se debe considerar:

loga x =ln xln a

o loga x =log xlog a

Ejemplo

1. log2 x =log10 xlog10 2

=log xlog 2

2. log3 x =loge xloge 3

=ln xln 3

3. log5 7 =log7 7log7 5

=1

log7 5

7a Propiedad

loga x = loga y ⇔ x = y, x > 0, y > 0

Demostracion

A partir de la propiedad de la funcion exponencial.

Ejemplo

1. log3 x = log3 5 ⇒ x = 5

Page 272: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

264 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

2. Six = 7 ⇒ log2 x = log2 7

9.2.2. Ecuaciones con logaritmos

1. Hallarx tal que 2x = 5x

Tomando logaritmo natural en ambos lados de la ecuacion se tiene:

ln 2x = ln 5x

⇒ x ln 2 = x ln 5

⇒ x(ln 5− ln 2) = 0

⇒ x ln (5/2) = 0

⇒ x = 0

2. Hallarx tal que 3x = 27Tomando logaritmo en base 3 en ambos lados de la ecuacion se tiene:

log3 3x = log3 27

⇒ x = log3 33

⇒ x = 3

3. Hallarx tal que log(x−15)+ log x = 2En primer lugarx > 0 y x−15> 0, es decir,x > 15 (¿Por que?)

log (x−15)+ log x = 2

log (x−15)x = 2

(x−15)x = 102 entonces

x2−15x−100= 0 entonces

(x−20)(x+5) = 0, por tanto

x = 20 o x = −5

Volviendo al inicio se tiene que los valores dex deben ser mayores que 15 y en este caso solo20 satisface esta condicion y entonces 20 es la solucion del problema

4. Hallarx tal que log2 x+ log1/2 x+ log4 x+ log√2 x = 15/2.

Page 273: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.2. FUNCION LOGARITMO 265

Pasamos todos los logaritmos a base 2 ası:

log1/2 x = log2−1 x = − log2 x

log√2 x = log21/2 x =1

1/2log2 x = 2 log2 x

log4 x = log22 x = 1/2 log2 x de esta forma:

log2 x− log2 x+(1/2) log2 x+2 log2 x = (5/2) log2 x entonces

5/2 log2 x = 15/2

entonces log2 x = 3 y ası x = 23 = 8

que es solucion de la ecuacion, ya que se encuentra en el intervalo(0,∞) que es el dominio deloga x y satisface la ecuacion.

5. Solucionar la ecuacion√

log x = log√

x

es decir√

log x =12

log x

log x≥ 0 y x > 0⇒ x≥ 1

elevando al cuadrado ambos terminos de la ecuacion se tiene:

log x =14

log2 x entonces

log x− 14

log2 x = 0⇒ (log x)

(

1− 14

log x

)

= 0

⇒ log x = 0 o 1− 14

log x = 0

⇒ x = 1 o 1=14

log x⇔ log x = 4⇔ x = 104

ası quex = 1 o x = 104 satisfacen la ecuacion, pues los dos son mayores o iguales que 1 comose exige al comienzo.

6. Solucionar la ecuacion logx 2 = 3pasando logx 2 a base 2 se tiene:

logx 2 =log2 2log2 x

=1

log2 xentonces

log2 x = 3 equivale

1log2 x

= 3⇔ 13

= log2 x⇒ x = 21/3

Page 274: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

266 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

7. Solucionar la ecuacion log4(log3(log2 x)) = 0

Si log4(log3(log2 x)) = 0⇒log3(log2 x) = 1⇒

log2 x = 3

por tanto x = 23

EJERCICIOS

1. Escribir las siguientes igualdades en forma logarıtmica:

a) 25 = 32 b) 103 = 1000

c)

(13

)4

=181

d)

(14

)2

=116

2. Escribir las siguientes igualdades en forma exponencial:

a) log264= 6 b) log381= 4

c) log5125= 3 d) log 0.01= −2

3. Usando la definicion de logaritmo, hallarx tal que:

a) x = log327 b) x = log216

c) x = log20.125 d) log5x = 0

e) log4x = 2/3 f ) log8x = −2

g) log x = −0.02

4. Para que bases

a) loga36= 2 b) logb36= 1

c) logc27= 3/2 d) logd 2 = 0.5

5. ¿Cuales de los siguientes pares de numeros es mayor?

a) log532; log25 b) log514; log718

c) log1/2

√3; log1/3

√2 d) log532; log325

6. Hallar el valor numerico de:

a) log3(log8(log216))

b) log23√

16+ log84√

2− log3(27√

3)− log5(√

5√

5)

Page 275: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.3. ALGUNAS DESIGUALDADES 267

7. Resolver las ecuaciones siguientes:

a) 5x = 125

b) log2(x−5) = 3

c) log (x−3) = 3

d) ln (x−3) = 3

e) log x = 2log 3+3log 5

f ) log x = 3log 2−2log 3+ log 5

g) log1/2(x+1)− log1/2(x−3) = 1

h) log2(x+4) = 4

i) log3 log8 log2(x+5) = −1+ log32

j) xlog x = 100x

k) log2(9x−1 +7) = 2+ log2(3

x−1 +1)

l)√

xlog√

x = 10

m) log2x+ log4x+ log8x+ log16x = logx8

n) log22x−9log8x = 4

n) x+ log (1+2x) = xlog 5+ log 6

o) log√

1+x+3log√

1−x = log√

1−x2 +2

p) log−1x = 2+ log x−1

q)1

5− log x+

21+ log x

= 1

9.3. ALGUNAS DESIGUALDADES

1. Sia > 1, 0 < x1 < x2 ⇔ logax1 < logax2

Demostracion

Como 0< x1 < x2, existen logax1 y logax2, y ası

x1 < x2 ⇔ x1 = aloga x1 < x2 = aloga x2

⇔ aloga x1 < aloga x2

⇔ logax1 < logax2

pues paraa > 1, f (x) = ax es creciente.

Page 276: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

268 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Ejemplos

a) 22 < 24 ⇒ log222 < log224 puesa = 2 > 1

b) 3 < 27⇒ log33 < log327 puesa = 3 > 1

c) Si x < 23 y x > 0⇒ log2x < log28⇒ log2x < 3

d) Si log5x < 2⇒ 0 < x < 52

e) Si 3x > 7⇒ log33x > log37⇒ x > log37

f ) Si x > log23⇒ 2x > 3

g) Si log2x > 4⇒ x > 24

h) Si x > 36 ⇒ log3x > 6

2. Si 0< a < 1; 0< x1 < x2 ⇔ logax1 > logax2

Demostracion:

Analoga a la demostracion de 1.

Ejemplos

a)116

<14⇒ log1/2

(116

)

> log1/2

(14

)

, puesa = 1/2 < 1

b) log2/3

(827

)

> log2/3927

⇒ 827

<927

, puesa = 2/3 < 1

c) Si log1/2x < 3⇒(

12

)log1/2 x

>

(12

)3

⇒ x >

(12

)3

d) Si x >

(13

)5

⇒ log1/3x < log1/3

(13

)5

⇒ log1/3x < 5

e) Si log1/3x > 4⇒ 0 < x <

(13

)4

f ) Si log1/2x > 2⇒ 0 < x <

(12

)2

Otros ejemplos

1. Solucionar log3(2x−5) < 2a = 3 > 0; 2x−5 > 0, es decirx > 5

2 para que log3(2x−5) tenga sentido.log3(2x−5) < 2 ⇒ 2x−5 < 32 ⇒ 2x < 9+5 = 14 ⇒ x < 7,y comox debe ser mayor que 5/2 entonces el conjunto solucion es(5/2,7).

2. Hallar el conjunto solucion de: log3 |2x−5|> 2, pues|2x−5| ≥ 0 en esta desigualdadx puedetomar cualquier valor realx 6= 5/2, luego silog3 |2x−5|> 2 ⇒ |2x−5| > 32 ⇒ |2x−5|> 9 y la solucion de esta desigualdades:

Page 277: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.3. ALGUNAS DESIGUALDADES 269

|2x−5| 5x−2 2x−5

5/2

log3 |2x−5| > 2 5x−2 > 9 (I) 2x−5 > 9 (II)

i. Si x≤ 5/2 ⇒ |2x−5| = 5−2x > 9 ⇔ 5−9 > 2x ⇔ −4 > 2x⇔ x < −2luego la solucion en i) es(−∞,−2)∩ (−∞,5/2] = (−∞,−2).

ii. Si x≥ 5/2 ⇒ |2x−5| = 2x−5 > 9 ⇔ 2x > 14 ⇔ x > 7luego la solucion en ii) es(7,+∞)∩[5/2,+∞)= (7,+∞) ası la solucion total es(−∞,−2)∪(7,+∞).

3. Hallar el conjunto solucion de logx(x+ 6) < 2, comox+ 6 debe ser mayor que 0, entoncesx > −6.

a) Si x > 1

logx(x+6) < 2⇔ (x+6) < x2

⇔ x2−x−6 > 0

⇔ (x−3)(x+2) > 0

⇔ x∈ (−∞,−2)∪ (3,+∞)

por tanto para este caso la solucion es:[(−∞,−2)∪ (3,+∞)]∩ (1,+∞)∩ (−6,+∞) = (3,+∞)

b) Si 0< x < 1,

logx(x+6) < 2⇒ (x+6) > x2

⇔ x2−x−6 < 0

⇔ (x−3)(x+2 < 0

⇔ x∈ (−2,3)

y ası la solucion para este caso es:(−2,3)∩ (0,1)∩ (−6,+∞) = (0,1)luego la solucion total es:(3,+∞)∪ (0,1)

EJERCICIOS

1. Hallarx tal que:

a)√

5x = 1/125

b) 3x+1 +3x = 36

Page 278: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

270 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

c) 22x+2 = (9)(2x)−2

d) 4√

9−x− (6)(2√

9−x)+8 < 0

2. Halle el conjunto solucion de:

a) 52x+1 ≤ 53x−2

b)

(12

)x−1

≤(

12

)2x+3

c) 105x−2 = 348

d) xx2−7x+12 = 1

e)

(37

)3x−7

=

(73

)7x−3

3. Cuales de las afirmaciones siguientes son validas:

a) Si x > 2⇒ 3x > 32

b) Si x > 2⇒ (12)x < (

12)2

c) Si x < 5⇒ ax < a5 paraa > 0

d) Si x > −2⇒ ax > a−2 para todoa > 0

e) La funcion f (x) = 2x es inyectiva y par.

f ) La funcion f (x) =12x es creciente e impar.

g) La funcion f (x) = 3x tiene recorrido(0,+∞).

h) Si ax < ay ⇒ x < y paraa > 0, x,y∈ R

4. Justificar que para los valores dea y b asignados, las desigualdades dadas tienen las solucionesque aparecen en los cuadros:

b > 0 b = 0 b < 0ax > b (a > 1) (logab,+∞) (−∞,+∞) (−∞,+∞)

ax < b (a > 1) (−∞, logab) No hay solucion No hay solucionax > b (0 < a < 1) (−∞, logab) (−∞,+∞) (−∞,+∞)

ax < b (0 < a < 1) (logab,+∞) No hay solucion No hay solucion

−∞ < b < +∞logax > b (a > 1) (ab,+∞)

logax < b (a > 1) (0,ab)

logax > b (0 < a < 1) (0,ab)

logax < b (0 < a < 1) (ab,+∞)

Page 279: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.4. FUNCIONES HIPERBOLICAS 271

5. Resolver las siguientes desigualdades:

a) log3x > 5

b) log2(x−5) < 3

c) log2(x2−x−6) < 0

d) log2(x2−x−6) > 0

e) logx(x−2) < 2

f ) logx(x2−2x) > 1

g) log2

∣∣∣∣

3x−5x−1

∣∣∣∣< 2

h) log2

(3x−5x−1

)

< 4

i) log1/2

∣∣∣∣

x−1x−3

∣∣∣∣< 2

j) log2(3x+2)− log2(1−2x) > 2

k) log3(1−√

x+1) < 2

l) log2(|x−2|−1) > 1

m) log8(x2−4x+3) > Tan

π4

6. ¿Cuales de las desigualdades siguientes tienen las mismas soluciones?.

a) log3x2 > 0 y 2log3x > 0

b) log3x2 > 0 y 2log3 |x| > 0

c) log3x2 > 0 y 2log3(−x) > 0

d) log2(x+7)+ log2(x−8) > 0 y log2(x+7)(x−8) > 0

e) log√x(x−1)(x+1) > 0 y x > 0 y (x−1)(x+1) > 0

f ) log x2 > 0 y log x+ log x > 0

g) log11(x−1)(x+1) < 0 y (x−1)(x+1) > 0

h) log x4 > 0 y 4log x > 0

9.4. FUNCIONES HIPERBOLICAS

A partir de la funcion exponencial se construyen unas funciones que tienen un comportamiento muysimilar al de las funciones trigonometricas; son las llamadasFunciones Hiperbolicas, definidas de laforma:

Seno hiperbolico de x:

Senh x=ex−e−x

2

Page 280: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

272 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Observe que: (ejercicio)

Su dominio es(−∞,+∞) y su recorrido es(−∞,+∞).Es una funcion inyectiva.Es una funcion impar.

Coseno hiperbolico de x:

Cosh x=ex +e−x

2Observe que: (ejercicio)

Su dominio es(−∞,+∞) y su recorrido es[1,+∞).No es una funcion inyectiva.Es una funcion par.

Tangente hiperbolica de x:

Tanh x=Senh xCosh x

=ex−e−x

ex +e−x

Observe que: (ejercicio)

Su dominio es(−∞,+∞) y su recorrido es(−1,1).Es una funcion inyectiva.Es una funcion impar.De la misma forma se pueden definir:

Cotangente hiperbolica de x:

Coth x=Cosh xSenh x

Secante hiperbolica de x:

Sech x=1

Cosh x

Cosecante hiperbolica de x:

Csch x=1

Senh x

El nombre de hiperbolicas se origina en el hecho de que ası como las funciones trigonometricasCos xy Sen xse definen como las coordenadas de los puntos sobre una circunferencia unitaria, lasfuncionesCosh xy Senh xcorresponden a las coordenadas de los puntosC y K (figura 9.4.) de lahiperbolax2− y2 = 1, siendoCosh xla abscisa ySenh xla ordenada yx es elarea del sectorOCK.(Parte sombreada de la figura 9.4.).

Page 281: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.4. FUNCIONES HIPERBOLICAS 273

y

x0

x2−y2 = 1

(Cosh(x),Senh(x))

FIGURA N◦ 9.4

C

K

x

De las definiciones de las funciones hiperbolicas y haciendo una tabulacion se obtienen las corre-spondientes graficas deSenh x,Cosh x,Tanh x, las cuales aparecen en la figura 9.5. Ademas aparecensus correspondientes inversas, obtenidas despues de haber restringido su dominio para el caso delCosh xque no es inyectiva. (Figura 9.6).

y

x

y = Senh x

D f = (−∞,+∞) = Rf

FIGURA No 9.5(a)

−1 1

1

1

y

x

FIGURA No 9.6(a)

Page 282: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

274 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

y

x

y = Cosh x1

D f = (−∞,+∞) Rf = [1,+∞)

FIGURA No 9.5(b)

y

x1

y = Cosh−1 x

FIGURA No 9.6(b)

y

x

y = Tanh x

1

−1

−1 1

D f = (−∞,+∞) Rf = (−1,1)

FIGURA No 9.5(c)

y

x0

y = Tanh−1 x

FIGURA No 9.6(c)

Ası como en las funciones trigonometricas se considera una identidad fundamentalSen2 x+Cos2 x = 1 y a partir de ella se deducen otras, en las funciones hiperbolicas sucede unasituacion analoga y la identidad fundamental aquı es:

Cosh2 x−Senh2 x = 1

En efecto:

Cosh2 x − Senh2 x =

(ex +e−x

2

)2

−(

ex−e−x

2

)2

=e2x +2+e−2x−e2x +2−e−2x

4=

44

= 1

De manera similar se pueden demostrar las siguientes identidades:

1. 1−Tanh2 x = Sech2 x

2. Coth2 x−1 = Csch2 x

3. Cosh x+Senh x= ex

Page 283: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

9.5. FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS 275

4. Cosh x−Senh x= e−x

5. Senh(−x) = −Senh x

6. Cosh(−x) = Cosh x

7. Senh(x±y) = Senh xCosh y±Senh yCosh x

8. Cosh(x±y) = Cosh xCosh y±Senh ySenh x

9. Tanh(x±y) =Tanh x±Tanh y

1±Tanh xTanh y

10. Senh2x = 2Senh xCosh x

11. Cosh2x = Cosh2 x+Senh2 x

12. Senh2 x =Cosh2x−1

2

13. Cosh2 x =Cosh2x+1

2

14. Senh x+Senh y= 2Senh

(x+y

2

)

Cosh

(x−y

2

)

15. Senh x−Senh y= 2Cosh

(x+y

2

)

Senh

(x−y

2

)

16. Cosh x+Cosh y= 2Cosh

(x+y

2

)

Cosh

(x−y

2

)

17. Cosh x−Cosh y= 2Senh

(x+y

2

)

Senh

(x−y

2

)

18. Senh xSenh y=12

{

Cosh(x+y)−Cosh(x−y)

}

19. Cosh xCosh y=12

{

Cosh(x+y)+Cosh(x−y)

}

20. Senh xCosh y=12

{

Senh(x+y)+Senh(x−y)

}

9.5. FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS

Como se sabe la funcion f (x) = Senh xes inyectiva por tanto tiene inversa, la cual se nota por

f−1(x) = Senh−1 x

Page 284: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

276 Capıtulo 9. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Esta funcion se puede representar mediante logaritmos de la forma siguiente:

y = Senh−1 x equivale

x = Senh y=ey−e−y

2⇒ 2x = ey−e−y

⇒ 2x =e2y−1

ey

⇒ e2y−2xey−1 = 0

(Observe que esta ecuacion se puede tratar como una cuadratica donde la variable esey y −2x esun coeficiente deey) visto ası:

ey =2x±

√4x2 +42

= x±√

x2 +1

⇒ ey = x+√

x2 +1 (pues√

x2 +1 > x y ey > 0)

⇒ y = ln (x+√

x2 +1)

y ası:Sen−1 x = ln (x+

x2 +1)

En forma similar se pueden definir las inversas para las demas funciones hiperbolicas, teniendocuidado en la restriccion de sus dominios. Ademas todas se pueden representar mediante expresioneslogarıtmicas, ası:

Cosh−1 x = ln (x+√

x2−1) si x≥ 1

Tanh−1x =12

ln

(1+x1−x

)

si |x| < 1

Page 285: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 10LIMITES Y CONTINUIDAD

10.1. CONCEPTOS INTUITIVOS DE L IMITES Y CONTINUIDAD

Suponga que se tiene una funcion y = f (x) de reales en reales con dominioD. Seaa ∈ R; sabercual es el comportamiento de la funcion ena es muy sencillo, simplemente calculef ena y observeque solamente pueden suceder dos cosas: o existe un numero realf (a), o seaa ∈ D f o no existef (a),lo cual indica quea /∈ D f . Pero saber cual es el comportamiento de la funcion muy cerca dea sinreferirnos a un punto especıfico y sin referirnos aa, es un problema bastante delicado pero de gran im-portancia, ya que conociendo este comportamiento se tiene una amplia informacion sobre la grafica dela funcion cerca dea, informacion que no se puede tener si solamente se conoce la funcion en el punto.

Inicialmente se presentaran diversas situaciones en las cuales se mostrara, a partir de las graficas deunas funciones, que sucede con las imagenes de una variablex a medida que esta variable se acerca aun punto fijoa, sin llegar a sera, pero acercandosele tanto como se quiera.

Ejemplo 1

Considere la funcion f (x) = x2 (figuras 10.1) y tomea = 2.

Conocer el comportamiento de la funcion enx = 2, es simplemente calcularf (2), que en este casoes f (2) = 22 = 4 o sea 2∈ D f .

Pero para conocer el comportamiento de la funcion cuando la variablex se esta acercando a 2, espreciso apreciar que:

277

Page 286: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

278 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

y y

x xa) b)

f (x) = x2

4

2 2x x

4

FIGURA N◦ 10.1

1. En la figura 10.1 (a), a medida quex se acerca a 2 por su derecha, sus imagenes se van acercandoa 4, lo que se suele expresar diciendo, que el lımite de f (x) cuandox tiende a 2 por la derechaes 4 y se nota por : lım

x→2+f (x) = 4

2. En forma analoga de la figura 10.1 (b) a medida quex se acerca a 2 por su izquierda, susimagenes se van acercando a 4, en este caso se dice que el lımite de f (x) cuandox tiende a 2por su izquierda es 4 y se nota por : lım

x→2−f (x) = 4

Observe que en este caso la grafica de la funcion no presenta ningun agujero, ni interrupcion enx = 2(lo que significa que la funcion es continua enx = 2) y tambien que la funcion tiende al mismo valorcuandox se acerca a 2 tanto por la derecha como por la izquierda y ademas que ese valor comun deesos lımites laterales coincide con el valor def en 2, f (2). Estas situaciones no siempre se presentanen la grafica de una funcion, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2

Seaf (x) =

{x + 3 si x ≤ 12− x si x > 1

Page 287: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.1. CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITES Y CONTINUIDAD 279

y y

x x

a) b)

1 1x x

1

4

1

4

FIGURA N◦ 10.2

De la figura 10.2 (a), se tiene que cuandox se acerca a 1 por la derechaf (x) se acerca a 1, lo cualse nota por, lım

x→1+f (x) = 1, pero cuandox se acerca a 1 por la izquierda (figura 10.2 (b)) f (x) se

acerca a 4, que se nota como: lımx→1−

f (x) = 4

Esto muestra que no necesariamente los lımites laterales lımx→a+

f (x) , y lımx→a−

f (x) deben ser iguales.

Aquı a diferencia del ejemplo 1, la grafica si presenta una interrupcion en el puntox = 1 (lo quesignifica que la funcion es discontinua enx = 1). Esta caracterıstica de la grafica esta determinadapor el comportamiento de la funcion cerca dex = 1, tanto a derecha como a izquierda y no por elcomportamiento de la funcion enx = 1, pues si solamente tenemos en cuenta este aspecto, lounicoque podrıamos afirmar es quef (1) = 4 y por tantox = 1 ∈ D f .

En los ejemplos anteriores el puntox = a, era un punto en el dominio de la funcion, hecho que no esnecesario para conocer el comportamiento de la funcion cerca dea, como se ilustra en los siguientesejemplos.

Ejemplo 3

Seaf (x) =x2 − 4x − 2

Observe quef (2) no existe, ya que al calcularf (2) habrıa que dividir por cero, lo cual no esposible en los numeros reales, o sea 2/∈ D f , lo que significa que para la abscisax = 2, no existepunto en la grafica de la funcion. Ahora en el caso en que seax 6= 2 se puede dividir entrex − 2,puesto quex − 2 no es cero, por tanto:

x2 − 4x − 2

=(x − 2) (x + 2)

x − 2= x + 2,

o sea que la grafica de la funcion f (x) =x2 − 4x − 2

cuandox es diferente de 2, es la misma dey = x+ 2,

por consiguiente la grafica def (x) =x2 − 4x − 2

es la de esta rectay = x + 2, con un agujero enx = 2

Page 288: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

280 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

(Figura 10.3).

y y

x x

a) b)

2 x x 2

4 4

f (x) =x2−4x−2

FIGURA N◦ 10.3

De la figura 10.3 (a), se puede apreciar que lımx→2+

x2 − 4x − 2

= 4 y de la figura 10.3 (b) que

lımx→2−

x2 − 4x − 2

= 4

Aquı en ningun momento se tuvo en cuenta que la funcion no estaba definida enx = 2, pero espreciso aclarar que en los dos ejemplos anteriores, cuando se hizo referencia a los lımites, tampocoinfluyo en nada el que la funcion estuviera definida ena, lo que significa que en el calculo de lımites,cuandox tiende aa, no incide el hecho de quea pertenezca o no al dominio de la funcion, pero siinfluye parcialmente para afirmar si la grafica es continua o no en ese punto, pues observe que aquı nolo es, ya que se presenta un agujero.

Cuando se dice que el hecho de quea ∈ D f , influye parcialmente para afirmar si la funcion escontinua ena, se trata de decir que para quef sea continua ena es necesario quea ∈ D f como seilustro en este ejemplo, pero no es suficiente, como se ilustrara a continuacion.

Ejemplo

Seaf (x) =

x2−4x−2

si x 6= 2

7 si x = 2

La diferencia de esta funcion, con la del ejemplo anterior radica en que aquı se ha definido en unaforma especial la funcion enx = 2 ( f (2) = 7) o sea que 2∈ D f , su grafica es muy similar a laanterior excepto que el punto (2,7) pertenece a la grafica de la funcion (figura 10.4).

Page 289: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.1. CONCEPTOS INTUITIVOS DE LIMITES Y CONTINUIDAD 281

y y

x x

a) b)

2 x x 2

4 4

7 7

FIGURA N◦ 10.4

En este caso lımx→2+

f (x) = 4 (Figura 10.4 (a)) y lımx→2−

f (x) = 4 (Figura 10.4 (b)), ademas existe

f (2), pero la grafica de la funcion no es continua, pues presenta una interrupcion enx = 2, observeque aquı los lımites laterales son iguales pero su valor no coincide conf (2).

Del segundo ejemplo se puede observar que si los lımites por la derecha y por la izquierda en unpuntoa son diferentes, la funcion no puede ser continua en este punto y del tercer ejemplo, que si lafuncion no esta definida enx = a tampoco puede ser continua enx = a.

En el presente ejemplo los lımites laterales ena son iguales, la funcion esta definida ena = 2( f (a) = 7) ; y f no es continua ena. Pero si se observa la grafica de esta funcion, se ve que si enlugar del punto (2,7) en ella se hubiera tenido el punto(2, 4) = (2, f (2)), este rellenarıa el agujeroque aparece en la grafica y la funcion serıa continua, es decir, que adicionalmente a las dos condi-ciones dadas anteriormente se debe anadir una tercera para garantizar la continuidad de la funcion enel punto: Los lımites laterales deben coincidir con el valor de la funcion en el punto.

Cuando se dice que un numero A tiende a un numero B, lo que realmente se esta afirmando, esque A se esta “pegando” a B, es decir, que la distancia entre A y B esta tendiendo a cero o sea, seesta acercando a cero, y como la distancia entre dos numeros realesA y B es|A− B|, entonces estehecho se nota por la expresion |A− B| → 0.

Con esta notacion, y teniendo en cuenta las ideas intuitivas que se trabajaron en los ejemplosan-teriores, se daran las siguientes definiciones que no son completamente rigurosas, pero que permitentrabajar estos conceptos adecuadamente.

Page 290: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

282 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

10.2. DEFINICIONES DE LIMITES Y CONTINUIDAD

1. Se dice que el lımite de una funcion f (x) cuandox tiende aa por la derecha es un numero realL, y se nota por

lımx→a+

f (x) = L

si y solo si f esta definida en un intervalo de la forma(a, a + δ ), conδ > 0, y| f (x) − L | → 0 cuando|x − a| → 0 parax > a.

2. Se dice que el lımite de una funcion f (x) cuandox tiende a “a ” por la izquierda es un numerorealL , y se nota por

lımx→a−

f (x) = L

si y solo si f (x) esta definida en un intervalo de la forma(a− δ , a), conδ > 0 y| f (x) − L | → 0 cuando|x − a| → 0 parax < a.

3. Se dice que el lımite de una funcion f cuandox tiende “a”, es un numero realL , y se nota por

lımx→a

f (x) = L

si y solo si f esta definida en un conjunto de la forma(a− δ , a) ∪ (a, a + δ ) para algun δmayor que 0 y| f (x) − L | → 0 cuando|x − a| → 0.

Esta definicion de lımite equivale a afirmar que existe lımx→a+

f (x) y lımx→a−

f (x) y que ademas

lımx→a+

f (x) = l ımx→a−

f (x)

4. Una funcion f (x) se dice que es continua enx = a si y solo si satisface las siguientes condi-ciones:

a) a ∈ D f (existe f (a)).

b) Existe lımx→a

f (x)

c) lımx→a

f (x) = f (a)

Ejemplo 1

Demostrar que

lımx→2+

|x − 2|x − 2

= 1,

es equivalente a demostrar que| f (x) − L | → 0 cuando|x − a| → 0,

es decir,

∣∣∣∣

|x − 2|x − 2

− 1

∣∣∣∣→ 0 si |x − 2| → 0 conx > 2.

Para ello observe que:

| f (x) − L | =

∣∣∣∣

|x − 2|x − 2

− 1

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

|x − 2| − (x − 2)

x − 2

∣∣∣∣

Page 291: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.2. DEFINICIONES DE LIMITES Y CONTINUIDAD 283

ahora puesto quex > 2 entonces|x − 2| = x − 2 por lo tanto

| f (x) − L | =

∣∣∣∣

|x − 2| − (x − 2)

x − 2

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

x − 2− x + 2x − 2

∣∣∣∣

=0

|x − 2| = 0

para cualquierx 6= 2. Observe este resultado con la grafica de la funcion.

Ejemplo 2

Demostrar quelım

x→a+

√x =

√a si a > 0,

es equivalente a demostrar que|√x − √a| → 0 cuando|x − a| → 0 conx > a.

Para ello:

∣∣√

x −√

a∣∣ =

∣∣∣∣

(√

x − √a) (

√x +

√a)√

x +√

a

∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

x − a√x +

√a

∣∣∣∣

=|x − a|√x +

√a

→ 0 cuando x → a.

Pues cuandox → a

|x − a| → 0 y√

x+√

a→√

a+√

a 6= 0,

observe este resultado con la grafica de la funcion.

Ejemplo 3

Demostrar quelım

x→−2−

√1− x =

√3

es equivalente a demostrar que∣∣√

1− x −√

3∣∣ → 0

cuandox → −2−.Para ello:

∣∣∣

√1− x −

√3∣∣∣ =

∣∣∣∣∣

(√1− x −

√3) (√

1− x +√

3)

√1− x +

√3

∣∣∣∣∣

=|1− x − 3|√1− x +

√3

=|−x − 2|√1− x +

√3

→ 0 cuandox → −2−,

Pues cuandox → −2−

|−x − 2| → 0 y√

1−x +√

3 tiende a√

3 +√

3 = 2√

3 6= 0,

observe este resultado en la grafica de la funcion.

Page 292: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

284 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

Ejemplo 4

Demostrar que

lımx→2

x2 − 4x − 2

= 4

es equivalente a demostrar que

∣∣∣∣

x2 − 4x − 2

− 4

∣∣∣∣→ 0 cuando|x − 2| → 0.

Para ello:∣∣∣∣

x2 − 4x − 2

− 4

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

(x − 2) (x + 2)

x − 2− 4

∣∣∣∣

= |x + 2− 4|= |x − 2| → 0 cuando x → 2.

observe que en el desarrollo de este ejemplo no hubo necesidad de distinguir los casosx > 2 (lımitepor la derecha) yx < 2 (lımite por la izquierda), luego aquı se esta haciendo referencia es al lım

x→2f (x)

que incluye los 2 casos.

Ejemplo 5

En el ejemplo anterior se mostro que lımx→2

x2 − 4x − 2

= 4, pero observe que aquı x = 2, no pertenece

al dominio de la funcion, es decir no existef (2), por tanto la funcion no puede ser continua enx = 2,ya que no satisface la primera condicion de continuidad en este punto. Observe este resultado con lagrafica de la funcion.

Ejemplo 6

Seaf (x) =

x2−4x−2

si x 6= 2

8 si x = 2En forma similar al ejemplo anterior, se muestra que lım

x→2f (x) = 4, pero aquı x = 2 si pertenece

al dominio de la funcion f (x), pues f (2) = 8, pero comof (2) es diferente al valor del lımx→2

f (x)

entonces no se satisface la tercera condicion de continuidad, por tantof no es continua enx = 2.

Ejemplo 7

En el primer ejemplo se demostro que lımx→2+

|x − 2|x − 2

= 1, en forma analoga se puede demostrar

que lımx→2−

|x − 2|x − 2

= −1. Puesto que los dos lımites laterales son diferentes entonces no existe

lımx→2

|x − 2|x − 2

, por tanto no satisface la segunda condicion de continuidad; luego esta funcion no es

continua enx = 2. Observe este resultado con la grafica de la funcion.

Page 293: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.2. DEFINICIONES DE LIMITES Y CONTINUIDAD 285

Ejemplo 8

Observe que lımx→2

x2 existe y es igual a 4, pues

| f (x) − 4| =∣∣x2 − 4

∣∣

= |(x + 2) (x − 2) |= |x + 2| |x − 2| → 0 cuando |x − 2| → 0,

pues|x + 2| → 4 y |x − 2| → 0 cuando x → 2.

Ademas f (2) = 22 = 4, existe, y su valor coincide con el valor del lımite, por tantof (x) = x2 escontinua enx = 2.

Definicion

Una funcion y = f (x) es continua en un intervalo abierto (a,b) si y solo si f es continua en cadapunto del intervalo.

Ejemplo 9

La funcion f (x) = x2 es continua en cualquier intervalo abierto (c,d), pues en forma analoga alejemplo anterior se puede demostrar que lım

x→af (x) = f (a) para cadaa ∈ (c, d).

Definicion

Una funcion f (x) se dice continua en un intervalo cerrado[a, b] si y solo si:

1. f es continua en el intervalo abierto (a,b) y

2. lımx→a+

f (x) = f (a) y lımx→b−

f (x) = f (b)

Ejemplo 10

La funcion f (x) =√

x es continua en el intervalo cerrado[1, 5], como se puede deducir de losejercicios vistos anteriormente.

Ejemplo 11

f (x) =

{x si 0< x≤ 52 si x = 0

Es evidente quef es continua en(0, 5), ademas lımx→5−

f (x) = f (5), pero

lımx→0+

f (x) = 0 6= f (0) = 2 luego f no es continua en el intervalo cerrado[0, 5].

Page 294: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

286 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

EJERCICIOS

I. Trazar las graficas de las funciones siguientes y apoyado en ellas hallar los lımites indicados.

1. f (x) = x3 ; lımx→2

f (x) , l ımx→3+

f (x) , l ımx→0−

f (x)

2. f (x) =√

1 + x; lımx→1

f (x) , l ımx→3+

f (x) , l ımx→2−

f (x)

3. f (x) =

{x si x ≥ 52 si x < 3

; lımx→3−

f (x) , l ımx→3

f (x) , l ımx→5

f (x)

4. f (x) =3− x|x − 3| , l ım

x→3+f (x) , l ım

x→3−f (x) , l ım

x→4f (x)

5. f (x) =x2 − 1x − 1

; lımx→1

f (x) , l ımx→3

f (x)

6. f (x) =

{x + 2 si x ≤ 5−x + 10 si x > 5

; lımx→5

f (x) , l ımx→7

f (x) , l ımx→0

f (x)

7. f (x) =2x2 − 3x − 2

x − 2; lım

x→2f (x) , l ım

x→4f (x)

II. Determinar si las funciones dadas en el numeral I son continuas o no. De un intervalo cerradodonde cada una de ellas sea continua.

III. Defina continuidad de una funcion en los intervalos[a, b) , (a, b] , (−∞ , +∞) y de ejemplos.

IV. Determinar si las funciones siguientes son continuas en el intervalo dado.

1. f (x) =x2 − 8x − 2

; en [−2, 2]

2. f (x) =√

1− x en [−5, 4)

3. f (x) = x2 + x en [2, 10)

4. f (x) = [x − 1] (parte entera) en[−5, 6)

5. f (x) =√

x − 4 en [4, +∞)

6. f (x) = x4 en (−∞ , +∞)

V. Hallar los valores dem y n tal que la funcion dada sea continua

1. f (x) =

{mx si x > 4x2 si x ≤ 4

2. f (x) =

mx si x < 3n si x = 3

−2x+9 si x > 3

3. f (x) =

{mx+ 1 si x ≤ 32− mx si x > 3

4. f (x) =

−1 si x≤ 0mx+n si 0< x < 1

1 si x≥ 1

Page 295: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.3. LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO 287

10.3. LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO

Siguiendo el mismo esquema utilizado para introducir los conceptos de lımites y continuidad, seestudiaran intuitivamente a traves de unos ejemplos los casos en los cuales cuandox se acerca a unnumero reala por la derecha o izquierda,f (x) se aleja hacia arriba( f (x) → +∞) o se aleja haciaabajo( f (x) → −∞) y tambien se estudiara en forma intuitiva el comportamiento de la funcion f (x)cuando en lugar de acercarsex a un numero reala, se aleja sobre el ejex hacia la derecha(x → +∞)o se aleja sobre el mismo eje hacia la izquierda(x → −∞).

Ejemplo

Seaf (x) =

1x − 1

si x < 1

2− x si x ≥ 1

y

xx 1

FIGURA N◦ 10.5

En su grafica (Figura 10.5) se puede apreciar que a medida quex se acerca a 1 por la izquierda(x → 1−), sus imagenes se van alejando cada vez mas hacia abajo sin ninguna cota, lo que se repre-senta con la expresion:

lımx→1−

f (x) = −∞

En forma analoga, de la grafica de la funcion

f (x) =

− 1x − 1

si x < 1

2− x si x ≥ 1

(figura 10.6) se puede visualizar el sentido de la expresion

lımx→1−

f (x) = +∞

Page 296: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

288 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

y

xx 1

FIGURA N◦ 10.6

De la misma forma se puede ilustrar el significado de:

a) l ımx→a+

f (x) = +∞ b) l ımx→a+

f (x) = −∞

c) l ımx→a

f (x) = +∞ d) l ımx→a

f (x) = −∞

con las graficas de

a) f (x) =1x

b) f (x) = − 1x

c) f (x) =1x2 d) f (x) = − 1

x2

Ejemplo

De la grafica def (x) =1x

(figura 10.7) se puede apreciar que a medida quex se hace mas grande, su

imagen estara cada vez mas proxima a cero, confundiendose con cero cuandox tiende a mas infinito,esta situacion se describe afirmando que el lımite de f (x) cuandox tiende a mas infinito es cero y senota por:

lımx→+∞

f (x) = 0

Page 297: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.3. LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO 289

y

x

f (x) =1x

FIGURA N◦ 10.7

En forma analoga en la misma figura 10.7 se puede apreciar que a medida quex se aleja haciala izquierda, su imagen estara cada vez mas cerca de 0, confundiendose con cero cuandox tiende amenos infinito, hecho que se notara por:

lımx→−∞

f (x) = 0

Ejemplo

De la grafica def (x) = 2x (figura 10.8)

y

x

f (x) = 2x

FIGURA N◦ 10.8

se puede deducir que las imagenes def (x) pueden estar tan arriba como se quiera tomando axsuficientemente grande, situacion que se suele describir afirmando que el lımite cuandox tiende a mas

Page 298: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

290 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

infinito de f (x) es mas infinito y se nota por

lımx→+∞

f (x) = +∞

Analogamente en este ejemplo se puede apreciar que six tiende a−∞ (a la izquierda)f (x) tiendea−∞ (abajo).

A partir de los conceptos intuitivos que se han desarrollado en esta seccion se definiran los mismosen forma rigurosa. Se espera que el lector interprete estas definicionesa traves del concepto adquirido.

Definicion

l ımx→a+

f (x) = +∞ equivale a decir que para cualquierM > 0 dado, existe unδ > 0 tal que si

a < x < a + δ entoncesf (x) > M.

Ejemplo

Seaf (x) =1x

(figura 10.9)

y

x

f (x) =1x

FIGURA N◦ 10.9

Demostrar que

lımx→0+

1x

= +∞

equivale a verificar que dadoM > 0, existe unδ > 0 tal que si

0 < x < δ entonces1x

> M.

Para hallar esteδ , observe que1/

x > M ⇒ 1/

M > x puesx > 0 y M > 0 y ası δ = 1/

M.

Page 299: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.3. LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO 291

Ası si 0 < x < δ = 1/

M ⇒ x < 1/

M ⇒ 1/

x > M es decir, f (x) > M.

Definicion

l ımx→a−

f (x) = −∞, equivale a decir, que para cualquier numero M> 0 dado, existeδ > 0 tal que

si a − δ < x < a entoncesf (x) < −M

Ejemplo

Seaf (x) =1

x + 3(figura 10.10)

y

x

f (x) =1

x+3

−3

FIGURA N◦ 10.10

Demostrar que

lımx→−3−

1x + 3

= −∞,

equivale a verificar que dado M> 0, existeδ > 0, tal que si−3− δ < x < −3 entonces1

x + 3< −M.

Page 300: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

292 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

Para hallar esteδ (que depende deM), observe que si1

x + 3< −M entonces

M +1

x + 3< 0 ⇒ Mx + 3M +1

x + 3< 0 ⇒

Mx + 3M + 1 > 0 (Pues comox < −3 entoncesx + 3 < 0)

Mx > −1− 3M ⇒ x >−1− 3M

M= − 1

M− 3

= −3− 1M

(

δ =1M

)

Ası, si − 3− δ = −3− 1M

=−3M − 1

M< x < −3 ⇒ −3M−1

M< x ⇒

−3M−1 < M x ⇒ M(x+3) > −1

y como x < −3 , es decir x+3 < 0 ⇒ M < − 1x+3

es decir1

x+3< −M.

En forma analoga se definen, y se pueden ilustrar con ejemplos similares los conceptos siguientes:

a) l ımx→a+

f (x) = −∞

b) l ımx→a−

f (x) = +∞

En todos los cuatro casos anteriores, la funcion f (x) en las cercanıas dea se aleja hacia arriba ohacia abajo pegandose a la rectax = a. En cualquier situacion deestas, se dice que la rectax = a esunaasıntota verticalde f (x).

Definicion

l ımx→+∞

f (x) = a equivale a decir, que dadoε > 0 existe un N> 0 tal que six > N entonces

| f (x) − a| < ε, es decir, six > N entonces la distancia entref (x) y a es menor que el numeroε > 0 dado.

Ejemplo

Demostrar que lımx→+∞

1x2 = 0 equivale a verificar que para unε > 0 dado, existe un N> 0 tal que

si x > N entonces∣∣1/

x2 − 0∣∣ < ε.

Page 301: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.3. LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO 293

Para hallar este N (que depende deε) observe que:

1/x2 − 0 < ε ⇔ 1/x2 < ε⇔ 1/ε < x2

⇔ 1/√

ε < |x|⇔ x > 1/

√ε = N = N (Pues |x| = x por que?).

Ası, si x > N ⇒ x > 1/√

ε ⇒ 1/

x2 < ε ⇒∣∣1/

x2 − 0∣∣ < ε .

Analogamente se puede definir e ilustrar el concepto de:

lımx→−∞

f (x) = a

En los dos casos anteriores la funcion f (x) se aleja hacia la derecha o izquierda pegandose a la rectay = a. Si adicionalmente a esto se tiene que a partir de un puntox1, la curva no corta a la recta, se diceque la rectay = a es unaasıntota horizontalde la grafica de la funcion f (x).

Ejemplo

La rectay = 2 es una asıntota horizontal def (x) =2x

x + 1(figura 10.11)

y

x

f (x) =2x

x+1

2

−1

FIGURA N◦ 10.11

Definicion

l ımx→+∞

f (x) = +∞ equivale a decir, que para cualquier M> 0, existe N> 0, tal que six > N,

entoncesf (x) > M.

Page 302: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

294 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

Ejemplo

Demostrar que lımx→+∞

x2 + 1 = +∞, equivale a verificar que dado M> 0 cualquiera, existe N> 0

tal que six > N entoncesx2 + 1 > M.Para hallar este N (que depende de M), observe que:

x2 + 1 > M ⇔ x2 > M − 1 ⇔ |x|2 > M − 1 ⇔ |x| >√

(M − 1) ⇔ x >√

(M − 1) = N (Puesx > 0)

Ası,mirando el proceso en el sentido inverso se tiene que six > N entoncesx2 + 1 > M.En forma similar se pueden definir e ilustrar los conceptos:

a) l ımx→+∞

f (x) = −∞

b) l ımx→−∞

f (x) = +∞

c) l ımx→−∞

f (x) = −∞

con las graficas de las funciones

a) f (x) = 2x2

b) f (x) = x4 + 8

c) f (x) = −x2 respectivamente

EJERCICIOS

1. Analizando las graficas de las funciones dadas, hallar los lımites que se indican:

a) f (x) = Sen x; lımx→+∞

f (x) ; lımx→−∞

f (x) ; lımx→π

f (x)

b) f (x) = ln x; lımx→+∞

f (x) ; lımx→0+

f (x) ; lımx→4

f (x)

c) f (x) = −x3 ; lımx→+∞

f (x) ; lımx→−∞

f (x) ; lımx→2

f (x)

d) f (x) = 2x ; lımx→+∞

f (x) ; lımx→−∞

f (x) ; lımx→3

f (x)

e) f (x) =

(23

)x

; lımx→+∞

f (x) ; lımx→−∞

f (x) ; lımx→0

f (x)

2. En cada literal bosqueje la grafica de una funcion que satisfaga todas las condiciones dadas.

a) lımx→−∞

f (x) = 2; lımx→+∞

f (x) = −∞ ; lımx→2+

f (x) = 3; lımx→2−

f (x) = −∞

b) lımx→+∞

f (x) = +∞ ; lımx→−∞

f (x) = +∞ ; lımx→0+

f (x) = +∞ ; lımx→0−

f (x) = −∞

c) lımx→3+

f (x) = −∞ ; lımx→3−

f (x) = −∞ ; lımx→+∞

f (x) = 4; lımx→−∞

f (x) = 10

d) lımx→3

f (x) = +∞ ; lımx→+∞

f (x) = 0; lımx→5

f (x) = 2; lımx→4

f (x) = 6

Page 303: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.3. LIMITES INFINITOS Y LIMITES AL INFINITO 295

3. Demostrar

a) l ımx→1+

2x − 1

= +∞ ; b) l ımx→1−

2x − 1

= −∞ c) l ımx→0+

(− 1

x2

)= −∞

d) l ımx→0

− 1x4 = −∞ ; e) l ım

x→0+− 1

x3 = −∞ ; f ) l ımx→0+

− 1x

= −∞

g) l ımx→+∞

x5 = +∞ ; h) l ımx→−∞

x3 + 2 = −∞ ; i ) l ımx→−∞

−x2 + 6 = −∞

j) l ımx→−∞

x6 = +∞ ; k) l ımx→−∞

−3x + 5 = +∞

4. a) ¿Cuantas asıntotas horizontales puede tener una funcion? ¿Cuantas verticales?

b) Si lımx→+∞

f (x) = −∞ ¿Cuantas asıntotas horizontales puede tenerf (x)? ¿Cuantas verti-

cales?

c) Si lımx→+∞

f (x) = +∞ y lımx→−∞

f (x) = +∞ ¿Cuantas asıntotas horizontales puede tener

f (x)?

d) Si D f = R y f (x) es continua¿cuantas asıntotas horizontales y cuantas verticales puedetener f (x)?.

e) Si D f = (3, 20) y f es continua ¿cuantas asıntotas horizontales y cuantas verticales puedetener f (x)?

5. En las graficas que aparecen a continuacion determine asıntotas horizontales y verticales y anali-ce su continuidad.

y = 2

y

xa)

y

x

y = x4

b)

y

x

y = f (x)

c)

y

x

y = |x|

d)

FIGURA N◦ 10.12

6. Halle asıntotas horizontales y verticales y bosqueje la grafica si:

a) f (x) =8x − 2x2

x2 − 9b) f (x) =

x2

x2 − 4

c) f (x) =x√

x2 + 1d) f (x) =

(x − 2) (x − 1)

(x − 5) (2x − 3)

Page 304: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

296 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

10.4. PROPIEDADES Y CALCULO DE ALGUNOS L IMITES

El calculo de lımites de funciones utilizando las definiciones, presenta dos problemas, unode elloses que se debe conocer cual es el posible valor del lımite y no existe ningun metodo practico que nosindique cual es ese valor y el otro, que ası se conozca ese valor, la demostracion de queeste es o no elvalor buscado utilizando la definicion adecuada, es bastante engorroso.

Afortunadamente a partir de propiedades de los lımites que se desprenden de sus definiciones sepueden calcular estos en forma mas o menos sencilla utilizandolas adecuadamente.

Se presentan estas propiedades junto con ejemplos que ilustran su utilidad.

Propiedad 1

El lımite de una funcion f (x) en un punto, cuando existe, esunico.

Demostracion

Supongase que enx = a el lımite de f (x) no esunico, es decir, supongase que lımx→a

f (x) = A y

lımx→a

f (x) = B. Se vera queA = B.

Como lımx→a

f (x) = A entonces| f (x) − A| → 0 cuando|x − a| → 0.

Como lımx→a

f (x) = B entonces| f (x) − B| → 0 cuando|x − a| → 0.

Ahora:|A− B| = |A− f (x) + f (x) − B| ≤ |A− f (x) | + | f (x) − B|= | f (x) − A| + | f (x) − B| → 0 + 0 = 0 cuando |x − a| → 0.

Ası, 0 ≤ |A− B| → 0. Pero comoA y B son numeros fijos entoncesA− B = 0 por tantoA = B.

Propiedad 2

La funcion constantef (x) = k es continua.En efecto:lımx→a

f (x) = f (a) , ya que | f (x) − f (a) | = |k − k| = 0,

lo que implica que | f (x) − f (a) | → 0 cuando |x − a| → 0.

Propiedad 3

La funcion identica es continua.Es decir lım

x→ax = a, pues| f (x) − f (a) | = |x − a| → 0

ya que comox → aentonces|x − a| → 0

Propiedad 4

Si la expresion lim, donde aparezca en esta propiedad, representa una sola de las siguientes situa-ciones:

lımx→a+

, l ımx→a−

, l ımx→a

, l ımx→+∞

, l ımx→−∞

Entonces

Page 305: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.4. PROPIEDADES Y CALCULO DE ALGUNOS LIMITES 297

Si lim f (x) = A y lim g (x) = B conA y B numeros reales

a) lim f (x) ± g (x) = lim f (x) ± lim g (x) = A± B

b) lim ( f (x) . g (x)) = lim f (x) . lim g (x) = A . B

c) lim(

f (x)/

g (x))

= lim f (x)/

lim g (x) = A/

B, si B 6= 0.

Demostracion

Se demostrara a) a manera de ilustracion, las otras se hacen en forma analoga.De las hipotesis se tiene que:lımx→a

f (x) = A, es decir,| f (x) − A| → 0 cuando|x − a| → 0 y

lımx→a

g (x) = B, es decir|g (x) − B| → 0 cuando|x − a| → 0,

se vera que| f (x) + g (x) − (A + B) | → 0 cuando|x − a| → 0.En efecto:| f (x) + g (x) − (A + B) | =

|( f (x) − A) + (g (x) − B) | ≤ | f (x) − A| + |g (x) − B| → 0 + 0 = 0 cuando |x − a| → 0.

Propiedad 5

Si f (x) y g (x) son continuas en un puntoa entoncesf (x) ± g (x) ; f (x) .g (x) son continuas ena, y si g (a) 6= 0 entoncesf (x)

/g (x) es continua ena.

Demostracion

Se desprende inmediatamente de la propiedad anterior, y la definicion de continuidad.

Ejemplos

1. Como f (x) = k es continua ena y g (x) = x es continua ena, entoncesh (x) = f (x) .g (x) =kx es continua ena, ası que lım

x→akx= ka

2. Como f (x) = x es continua ena, entoncesg (x) = x2 es continua ena, y en forma analogax3 , x4 , . . . x100, . . . son continuas ena para cualquiera ∈ R, ası que lım

x→ax2 = a2;

lımx→a

x3 = a3, . . . l ımx→a

x100 = a100

3. En generalf (x) = a0 + a1x + . . . + anxn , n ∈ N es continua ena para todoaen R, ası porejemplo sia = 5 : lım

x→5(1+2x+2x2 +x3) = 1+2(5)+2(5)2 +125= 11+50+125= 186

4. Si p (x) y q (x) son polinomios:

lımx→a

p (x)q (x)

=p (a)

q (a)si q (a) 6= 0, entonces por ejemplo paraa = 2 se tiene:

lımx→2

x2 − x + 4x2 + 9

=22 − 2 + 4

22 + 9=

613

Page 306: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

298 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

5. Anteriormente se vio que lımx→a

√x =

√a si a > 0, esto indica que la funcion

√x es continua en todoa > 0.

Tambien se puede demostrar que en generaln√

x es continua ena, para todoa > 0 sin es par y paratodoa si n es impar.

Propiedad 6

Si f (x) es continua ena y g (x) es continua enf (a) entoncesg ( f (x)) es continua ena es decir,

lımx→a

g ( f (x)) = g(

l ımx→a

f (x))

= g ( f (a)).

Ejemplos

1. lımx→2

√x2 + 2x + 3 =

l ımx→2

(x2 + 2x + 3) =√

4 + 4 + 3 =√

11

2. lımx→3

[x2 + 3x + 5

x2 − 3

]4

=

[

l ımx→3

x2 + 3x + 5x2 − 3

]4

=

[236

]4

3. lımx→2

(

3x2 +√

x3)3/4

=

(

l ımx→2

(

3x2 +√

x3))3/4

=(12+

√8)3/4

Propiedad 7

Con el mismo significado dado a limf (x) en la propiedad 4:Si lim f (x) = L y lim g (x) = L y f (x) ≤ h (x) ≤ g (x) (Para todox cerca dea, o en mas

o menos infinito segun sea el caso) entonces limh (x) = L.Este resultado conocido con el nombre deTeorema del emparedadose puede visualizar con la

ilustracion siguiente, en la cual lim se interpretara como lımx→a

(Figura 10.13).

y

xa

L f (x)

h(x)

g(x)

FIGURA N◦ 10.13

Page 307: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.4. PROPIEDADES Y CALCULO DE ALGUNOS LIMITES 299

Ejemplo

l ımx→+∞

Sen3√

x2 + 1x

= 0

En efecto:

Puesto que−1 ≤ Sen3√

x2 + 1 ≤ 1 , y como x > 0,1x

> 0 entonces

− 1x

≤ Sen3√

x2 + 1x

≤ 1x

y como −1/

x y 1/

x tienden a 0 cuandox → +∞ entonces

Sen3√

x2 + 1x

tambien tiende a 0 cuandox → +∞

Ejemplo

l ımx→0

x2 Sen1x

= 0

En efecto0 ≤

∣∣x2Sen1

/x − 0

∣∣ = x2

∣∣Sen1

/x∣∣ ≤ x2 y como g (x) = 0 y h (x) = x2 tienden a 0

cuando x → 0 , entonces lımx→0

x2Sen1/

x tambien tiende a 0 cuandox → 0.

Ejemplo

Si lımx→a

| f (x) | = 0 entonces lımx→a

f (x) = 0

En efecto:Se sabe que− | f (x) | ≤ f (x) ≤ | f (x) | , y como lım

x→a| f (x) | = 0 y lım

x→a− | f (x) | = 0 , se

concluye por el teorema del emparedado que lımx→a

f (x) = 0

Si se quiere calcular un lımite de la forma lımx→a

f (x)g (x)

, con f (x) y g (x) continuas, pero tal que

g (a) = 0, entonces no es posible calcular el lımite simplemente reemplazando lax por laa. En estoscasos se pueden presentar dos situaciones que requieren tratamientos diferentes: La primera, que setratara inmediatamente, es cuandof (a) tambien es igual a 0, y la segunda, que se tratara posterior-mente, es cuandof (a) es diferente de 0.

PRIMERA SITUACI ON

En la primera situacion se procede inicialmente a realizar operaciones algebraicas correctamente,hasta conseguir que el reemplazo dex por a en el denominador no lo anule. Estas operaciones serealizan siempre teniendo en cuenta quex 6= a.

Ejemplo

Hallar lımx→5

x2 − 25x − 5

Page 308: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

300 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

Si se reemplazax por 5, el numerador y denominador se anulan, mas sin embargo:

x2 − 25x − 5

=(x − 5) (x + 5)

x − 5= x + 5, puesx 6= 5, luego

lımx→5

x2 − 25x − 5

= l ımx→5

x + 5 = 10

Ejemplo

Hallar lımh→0

(x + h)2 − x2

h. Observe que en este casoh es la que se comporta como variable yx es

fijo.

Aquı(x + h)2 − x2

h=

x2 + 2xh+ h2 − x2

h=

2xh+ h2

h=

h(2x+h)

h= 2x+ h puesh 6= 0, luego

lımh→0

(x + h)2 − x2

h= l ım

h→02x + h = 2x entonces

lımh→0

(x + h)2 − x2

h= 2x

Ejemplo

Hallar lımh→0

√3 + h −

√3

h√

3 + h −√

3h

=

(√3 + h−

√3) (√

3 + h +√

3)

h(√

3 + h +√

3) =

3 + h− 3

h(√

3 + h +√

3)

=h

h(√

3 + h +√

3) =

1√3 + h +

√3

puesh 6= 0, entonces

lımh→0

√3 + h−

√3

h= l ım

h→0

1√3 + h +

√3

=1

2√

3

Ejemplo

Hallar lımx→27

3√

x − 3x − 27

x1/3 − 3x − 27

=

(x1/3 − 3

) (x2/3 + 3x1/3 + 9

)

(x − 27)(x2/3 + 3x1/3 + 9

)

Page 309: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.4. PROPIEDADES Y CALCULO DE ALGUNOS LIMITES 301

(para utilizar el resultadoa3−b3 = (a−b)(a2 +ab+b2) cona = x1/3 y b = 3)

=(x − 27)(x − 27)

1(x2/3 + 3x1/3 + 9

) =1

x2/3 + 3x1/3 + 9puesx 6= 27, luego

lımx→27

3√

x − 3x − 27

= l ımx→27

1x2/3 + 3x1/3 + 9

=1

9 + 9 + 9=

127

luego

lımx→27

3√

x − 3x − 27

=127

Ejemplo

Hallar lımx→1

x3 − 3x + 2x4 − 4x + 3

x3 − 3x + 2x4 − 4x + 3

=(x − 1)2 (x + 2)

(x − 1)2 (x2 + 2x + 3)=

x + 2x2 + 2x + 3

puesx 6= 1, luego

lımx→1

x3 − 3x + 2x4 − 4x + 3

= l ımx→1

x + 2x2 + 2x + 3

=36

=12

luego

lımx→1

x3 − 3x + 2x4 − 4x + 3

=12

SEGUNDA SITUACI ON

En el caso en que al calcular lımx→a

f (x)g (x)

se tenga queg (a) = 0 , pero f (a) 6= 0 , con f (a)

real; la funcion f (x)/

g (x) tiende a+∞ o a −∞ cuando x tiende aa, segun que f (a) seapositivo o negativo, y queg (x) tienda a 0 por valores positivos o negativos, de la forma siguiente:

Si f (a) > 0 y g (x) → 0 por valores positivos, entoncesf (x)/

g (x) → +∞Si f (a) > 0 y g (x) → 0 por valores negativos, entoncesf (x)

/g (x) → −∞

Si f (a) < 0 y g (x) → 0 por valores positivos, entoncesf (x)/

g(x) → −∞Si f (a) < 0 y g (x) → 0 por valores negativos, entoncesf (x)

/g (x) → +∞

Resultados analogos se tienen si se calculan lımites laterales.

Ejemplo

Hallar lımx→2

5x + 34− x2

4− x2 > 0 si y solo si x2 < 4 o sea si |x| < 2 , es decir si x ∈ (−2,2) y logicamente4− x2 < 0 si x ∈ (−∞,−2)∪ (2,+∞) por tanto six se acerca a 2 por la izquierda 4− x2 > 0es decir 4− x2 → 0 por valores positivos y six se acerca a 2 por la derecha 4− x2 < 0 , o sea4− x2 → 0 por valores negativos. Ademas como 5x+3→ 13> 0 cuandox tiende a 2, entonces

Page 310: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

302 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

aplicando el resultado que se acaba de plantear se tiene

lımx→2+

5x + 34− x2 = −∞ y lım

x→2−

5x + 34− x2 = +∞

Ejemplo

Hallar lımx→3+

x − 8x − 3

y lımx→3−

x − 8x − 3

Comox− 8 → −5 < 0 cuando x → 3 y razonando como en el ejemplo anteriorx− 3 → 0 porvalores positivos six → 3+ y x − 3 → 0 por valores negativos six → 3− entonces

lımx→3+

x − 8x − 3

= −∞ y lımx→3−

x − 8x − 3

= +∞

Ejemplo

Hallar lımx→1

x3 + 3x − 8

(x − 1)2

Comox3 + 3x− 8 → − 4 < 0 cuandox → 1 y (x − 1)2 → 0 por valores positivos cuandox → 1,bien sea por la derecha o por la izquierda, entonces

lımx→1

x3 + 3x − 8

(x − 1)2 = −∞

Los resultados anteriores se utilizan tambien en el calculo de lımites cuandox → +∞ o x → −∞ enfunciones de la formaf (x)

/g (x), despues de realizar algunos cambios en esta funcion.

Ejemplo

Hallar lımx→+∞

x4 + x2 + 3x2 + x

Dividiendo entrex4, que es el termino que tiene la mayor potencia a la que esta elevadax, elnumerador y denominador, la expresion se convierte en:

lımx→+∞

1 +1

x2 +3

x4

1

x2 +1

x3

= +∞, pues

lımx→+∞

1 +1x2 +

3x4 = 1 > 0 y

1x2 +

1x3 → 0 por valores positivos, cuandox → +∞, pues

cuandox→ +∞ es positivo

Ejemplo

Hallar lımx→+∞

x5/2 + x3/2 + 12x5/2 + x1/2 + 2

Page 311: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.4. PROPIEDADES Y CALCULO DE ALGUNOS LIMITES 303

Si se divide numerador y denominador entrex5/2 , que es el termino que tiene la mayor potencia ala que esta elevadax, se tiene:

lımx→+∞

x5/2 + x3/2 + 12x5/2 + x1/2 + 2

= l ımx→+∞

1 +1x

+1

x5/2

2 +1x2 +

2x5/2

=12

luego

lımx→+∞

x5/2 + x3/2 + 12x5/2 + x1/2 + 2

=12

Ejemplo

Hallar lımx→+∞

x 3√

x4 + x1/2 + 37x3 + x3/2 + x

Si se divide numerador y denominador entrex3 se tiene:

lımx→+∞

x 3√

x4 + x1/2 + 37x3 + x3/2 + x

= l ımx→+∞

1x2/3

+1

x5/2+

3x3

7 +1

x3/2+

1x2

=07

= 0 luego

lımx→+∞

x 3√

x4 + x1/2 + 37x3 + x3/2 + x

= 0

Ejemplo

Hallar lımx→+∞

√x + 4 − √

x

l ımx→+∞

√x + 4 −

√x = l ım

x→+∞

(√x + 4−

√x)(√

x + 4 +√

x)

(√x + 4 +

√x)

= l ımx→+∞

x + 4− x√x + 4 +

√x

= l ımx→+∞

4√x + 4 +

√x

= 0

lımx→+∞

√x + 4 −

√x = 0

pues luego√

(x + 4) +√

x → +∞ cuandox → +∞, ya que suma de funciones que tiendan a+∞,tienden a+∞ y suma de funciones que tiendan a−∞, tienden a−∞.

En el ejemplo anterior ocurre que el lımite es de la forma(+∞) − (+∞) y da cero, pero esto nosiempre ocurre, como se ilustrara en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

Hallar lımx→+∞

(x3

x2 + 1− x2

)

Este lımite tambien es de la forma(+∞) − (+∞) pero:

lımx→+∞

(x3

x2 + 1− x2

)

= l ımx→+∞

x3 − x2(x2 + 1

)

x2 + 1= l ım

x→+∞

x3 − x4 − x2

x2 + 1= −∞

Page 312: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

304 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

Ejemplo

Hallar lımx→−∞

3x + 1√x2 + x + 2

lımx→−∞

3x + 1√x2 + x + 2

= l ımx→−∞

3x + 1√

x2

(

1 +1x

+2x2

) = l ımx→−∞

3x + 1

|x|√

1 +1x

+2x2

l ımx→−∞

3x + 1

−x

1 +1x

+2x2

= −3 ( |x| = −x, ya que x < 0 puesx tiende a−∞)

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES

10.5.1. Continuidad de las funciones trigonometricas

A. Para demostrar la continuidad de laf (x) = Sen xes necesario primero demostrar la desigual-dad|Sen x| ≤ |x| para todox real

En efecto: Considerando inicialmente el caso 0< x < π/

2 y comparando elarea del sector circulardeterminado por elangulox y el area del triangulo con base 1 y alturaSen xcomo se aprecia en lafigura 10.14 , se tiene que:

y

x0 Cos x P

Q

x2 +y2 = 1

x Sen x

FIGURA N◦ 10.14

Area M 0PQ ≤ Area del sector circular 0PQes decir,

1.Senx

2≤ x

2, entonces Sen x≤ x.

Considerando que la funcionSen xes impar, se puede verificar que|Sen x| ≤ |x| para−π

/2 < x < 0, y considerando el comportamiento delSen xen otro intervalo se puede mostrar que

en general|Sen x| ≤ |x| para todox.

Page 313: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES 305

B. La funcion f (x) = Sen x es continua enx = a para todoa ∈ R.

Para ver ello, basta con mostrar que lımx→a

Senx= Sena, es decir, de acuerdo a la definicion, hay

que demostrar que|Senx− Sena| → 0 cuandox → a.

En efecto:

0 ≤ |Senx− Sena| =

∣∣∣∣2Cos

(x + a

2

)

Sen

(x −a

2

)∣∣∣∣

= 2

∣∣∣∣Cos

(x + a

2

)∣∣∣∣

∣∣∣∣Sen

(x − a

2

)∣∣∣∣≤ (2) (1)

∣∣∣∣Sen

(x − a

2

)∣∣∣∣≤ 2

|x − a|2

= |x − a|

es decir 0≤ |Senx− Sena| ≤ |x − a| y tomandoh (x) = |x − a| y g (x) = 0 que tienden a cerocuandox → a, entonces|Senx− Sena| → 0 cuandox → a, luego f (x) = Senxes continua enx= apues lım

x→aSen x= Sen a

Ejemplo

f (x) = Cosxes continua para todoa ∈ R. Para mostrarlo se representaCos xcomo:

Cosx = Sen((

π/

2)− x), y puesto que tanto la funcionSen xcomo la funcion π

/2 − x son con-

tinuas, entonces la compuestaSen(π/2−x) = Cosxes continua, o de otra forma

lımx→a

Cosx = l ımx→a

Sen(π

2− x)

= Sen(

l ımx→a

(π2− x))

(por serSen xcontinua)

= Sen(π

2− a)

(por ser (π/2−x) continua) = Cos a

Ejemplo

La funcionTanx =SenxCosx

es continua enR−{

(2n + 1) π/

2 |n ∈ Z}

PuesSen xy Cos xson continuas en todoR y Cosx= 0 para todos losx de la forma(2n + 1) π/

2paran ∈ Z.

¿Donde son continuas las funcionesCotx, Secxy Csc x?.

Ejemplo

La funcionSen(√

x2 + 3x)

+ Tan

(x2 + 1√

x + 6

)

+ Sec

(1x

)

es continua enx = 3 pues

lımx→3

[

Sen(√

x2 + 3x)

+ Tan

(x2 + 1√

x + 6

)

+ Sec

(1x

)]

Page 314: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

306 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

= Sen

(

l ımx→3

x2 + 3x

)

+ Tan

(

l ımx→3

x2 + 1√x + 6

)

+ Sec

(

l ımx→3

1x

)

= Sen(√

18)

+ Tan

(103

)

+ Sec

(13

)

teniendo en cuenta la continuidad enx = 3 de todas las funciones que componen la expresion

10.5.2. Lımite trigonometrico basico

l ımx→0

Senxx

= 1

El calculo de este lımite requiere una ilustracion geometrica basada en las definiciones deangulosen radianes y de funciones trigonometricas por medio del cırculo unitario.

y

x0 Cos x P

Qx2 +y2 = 1

R

Tan x

x Sen x

FIGURA N◦ 10.15

Se considerara solamente el caso 0< x < π/

2De la figura 10.15 se puede concluir que:Area del trianguloORS≤ area sector circularOPR≤ area del trianguloOPQ

⇒ CosxSenx2

≤ x2

≤ Tanx2

⇒ CosxSenx≤ x ≤ Tanx

(dividiendo entreSen x> 0 , pues 0< x < π/2)

⇒ Cosx≤ xSenx

≤ 1Cosx

y puesto que en laultima desigualdad las tres expresiones son mayores que cero, tomando susrecıpro-cos se tiene que:

1Cosx

≥ Senxx

≥ Cosx

Page 315: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES 307

Y por la continuidad de la funcionCos x, se tiene que cuandox → 0+

Cosx→ 1 y 1/

Cosx→ 1; por tanto aplicando el teorema del emparedado se concluye que:

lımx→0+

Senxx

= 1

Usando el hecho de que la funcionSen xes impar se considera el caso−π/

2 < x < 0(0 < −x < π

/2)

obteniendo como resultado

lımx→0−

Senxx

= 1

Ejemplo

l ımx→0

Senαxx

= α

En efecto: Haciendoµ = α x, cuandox → 0, α x → 0, es decir,µ → 0 y ası, inicialmente se tieneque:

lımx→0

Senα xα x

= l ımµ →0

Senµµ

= 1

y utilizando este resultado entonces:

lımx→ 0

Senα xx

= l ımx→0

αSenα x

α x= α l ım

x→0

Senα xα x

= α .1 = α

Ejemplo

l ımx→0

1− Cosxx

= 0

lımx→0

1− Cosxx

= l ımx→0

(1− Cosx) (1 + Cosx)x (1 + Cosx)

= l ımx→0

1− Cos2xx (1 + Cosx)

= l ımx→0

Sen2xx (1 + Cosx)

= l ımx→0

Senx· Senxx (1 + Cosx)

= l ımx→0

Senxx

. l ımx→0

Senx· l ımx→0

11 + Cosx

= (1) (0)

(12

)

= 0

Ejemplo

l ımx→ π

3

1− 2Cosxπ − 3x

= − 1√3

Haciendo el cambio de variableµ = x − π/

3(x = µ + π

/3)

se puede apreciar que cuando

Page 316: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

308 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

x → π/

3, entoncesµ → 0 y ası:

lımx→ π

3

1− 2Cosxπ − 3x

= l ımµ →0

1− 2Cos(π

3+ µ

)

π − 3(π

3+ µ

)

= l ımµ →0

1− 2[

Cosπ3

Cosµ − Senπ3

Senµ]

−3µ

= l ımµ →0

1− (2)(1/

2)

Cosµ + 2(√

3/

2)

Senµ−3µ

= − 13

lımµ →0

1− Cosµµ

− 13

lımµ →0

√3 Senµ

µ= 0 −

√3

3= − 1√

3

10.5.3. Funciones Exponenciales y Logarıtmicas (continuacion)

Paraa > 0, definiendoa0 = 1, an = a.a . . . a (n− veces) , a−n = 1/

an , a1/n = n√

aqueda defini-da para cadaa > 0 una funcion f (x) = ax, para todox racional.

A partir de estas definiciones se demuestran propiedades para esta funcion de variable racional talescomo:ap > 0. para todaa, ap+q = apaq . apq = (ap)q . ax creciente paraa > 1 y decrecientepara0 < a < 1. Y puesto que es inyectiva existe su inversa para cada “a”, esta se conoce como logaritmoen base “a”, por tanto

loga x = y ⇔ x = ay

y esta funcion, como inversa de la exponencial, posee propiedades como:

loga1 = 0;

logaa = 1

loga(uv) = loga u + loga v

loga (u/v) = loga u − loga v

loga up = p loga u

loga x creciente paraa > 1 y decreciente para 0< a < 1loga x inyectiva para todoa > 0 a 6= 1

loga x =logbxlogba

y ax = bx logb a

El problema es que hasta aquı ni las funciones exponenciales, ni las logarıtmicas estan definidasen tramos continuos de la recta real, pues hasta ahora las hemos definido para x∈ Q y no parax∈ Rrazon por la cual inicialmente se ampliara la definicion de f (x) = ax para cadaa > 0, a todos losx reales, para lo cual solo falta definir,ax parax irracional. Para ello recuerde que un numero cuyarepresentacion decimal es finita, es un numero racional, pues automaticamente esta representacion esperiodica, ya que se supone que a su derecha van infinitos ceros.

Seax un numero irracional con representacion decimal (no periodica)x = a.a1a2a3 . . . donde losai son dıgitos.

Page 317: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES 309

Observe que para cadak, conak 6= 9 se tiene que:

pk = a.a1a2 . . . ak < x < a.a1a2 . . . (ak +1) = qk dondeak + 1 ocupa la posicion delak y lospk y qk son racionales.

Ademas entre mas grande seak, pk y qk difieren menos dex. Ası se han construido dos sucesionesde numeros racionales(pk)k∈N , (qk)k∈N tales que:

lımk→∞

pk = x y lımk→∞

qk = x

Es decir, todo numero irracional se puede representar como lımite de una sucesion de numerosracionales (por exceso y por defecto).

Ahora como para cualquiera > 0, y cualquierq ∈ Q, aq esta definido, entonces six es un numeroirracional, conx = l ım

n→∞qn entonces se define

ax = l ımn→∞

aqn

Queda definida para cadaa > 0, la funcion f (x) = ax, conx ∈ R, y las propiedades consideradas parael casox ∈ Q se cumplen tambien parax ∈ R, y puesto que es inyectiva con dominioR y recorridoR+, entonces tiene inversa con dominioR+ y recorridoR, y ası para cadaa > 0 queda definida lafuncion logaritmo para todox ∈ R+, funcion que satisface tambien las propiedades enunciadas parael caso restringido.

Especial interes presenta en matematicas el estudio de las funciones exponencial y logarıtmica enbaseedondeees un numero definido como el lımite de la sucesion

e = l ımn→∞

(

1 +1n

)n

Se puede demostrar que para cualquier valor den la expresion(1 + 1

/n)n

es mayor que 2 ymenor que 3 y que la sucesion es creciente, pero crece en forma lenta, ası por ejemplo paran =1000,

(1 + 1

/n)n

es igual a 2.7169, paran = 10.000 es igual a 2.71826, paran = 1.000.000 es2.71828, paran = 10.000.000 es 2.718281. Tambien se puede demostrar que el numero lımite de estasucesion es irracional y es aproximadamente igual a:

e = 2.718281...

El logaritmo en basee, o sea la inversa de la funcion f (x) = ex se llama logaritmo natural y se notapor ln :

ln x = log e x

Con esta definicion dee, la funcion exponencial en basee: ex se puede representar como:

ex =

(

l ımn→∞

(

1 +1n

)n)x

= l ımn→∞

(

1 +1n

)nx

= l ımk→∞

(

1 +xk

)k

esteultimo paso haciendok = nx, pues sin → +∞ ⇒ k → +∞ (parax > 0) y 1/

n = x/

k

Page 318: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

310 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

NOTA

En forma mas general se puede definir el numeroecomo

e = l ımx→a

(1 + g (x))1/g(x) si lımx→a

g (x) = 0 o

e = l ımx→a

(

1 +1

g (x)

)g(x)

si lımx→a

g (x) = +∞

10.5.4. Continuidad de la Funcion Exponencial y Logarıtmica

1. Inicialmente se demostrara que la funcion f (x) = ex es continua en 0, es decir,lımx→0

ex = e0 = 1 lo que significa que|ex − 1| → 0 cuandox → 0.

Se tratara solamente, el lımite por la derecha, o sea se considerara x > 0, lo cual implica que,por ser creciente la funcion,ex > e0 = 1, y ası |ex − 1| = ex − 1.

Para ello se requiere primero demostrar la desigualdadex ≥ 1 + x para todox > 0

ex = l ımn→∞

(

1 +xn

)n

aplicando el teorema del binomio a(

1 +xn

)nse tiene

ex = l ımn→∞

(

1 + n(x

n

)

+12

n (n− 1)(x

n

)2+ . . .

)

≥ l ımn→+∞

(

1 + nxn

)

= 1 + x

luego(1 + x) ≤ ex parax > 0.

Para demostrar queex − 1 → 0 cuandox → 0 se mostrara queex − 1 > 0, puede ser tanpequeno como se quiera, acercando suficientementex a cero. Para ello seaε > 0 tan pequenocomo se quiera. Tomex = ln (1 + ε). Observe que, puesto que 1+ ε ≤ eε ⇒x = ln (1 + ε ) ≤ ln (eε) = ε (por serexcreciente) y ası cuandoε → 0, x → 0 (pues 0<x < ε) y ademas

ex − 1 = eln(1+ε) − 1 = 1 + ε − 1 = ε

es decirex − 1 se puede hacer tan pequeno como se quiera, para valores dex tales quex → 0.

2. f (x) es continua en todob ∈ R, es decir lımx→b

ex = eb o sea∣∣ex − eb

∣∣ → 0 si x → b , ya que

∣∣ex − eb

∣∣ =

∣∣eb

(ex−b − 1

)∣∣ = eb

∣∣ex−b − 1

∣∣ → 0

si x → b , pues haciendou = x − b, si x → b, u → 0 y ası:∣∣eb

(ex−b − 1

)∣∣ = eb |(eu − 1) | → 0 (si u → 0).

3. f (x) = ax es continua para todoa > 0.

En efecto:f (x) = ax = ex ln a y puesto quex lna es continua (constante porx) y la exponencialen basee es continua, entoncesax = ex ln a, que es la compuesta de estas dos, tambien escontinua.

Page 319: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES 311

4. f (x) = logax es continua para todox ∈ R, es decir, lımx→b

logax = logab o

| logax − logab| → 0 si x→ b y ademas | loga x− logb x| = logaxb

o∣∣∣ loga

xb

∣∣∣ → 0

si x → b.

Para ver esto, seay = loga x/

b ⇒ ay = x/

b , y si x → b ⇒ x/

b → 1

⇒ ay → 1 ⇒ y → 0 ⇒ loga

(x/

b)→ 0.

Ejemplos

1. lımx→2

e5x+4 = e(5)(2)+4 = e14

2. lımx→0

e3x+3 = e3

3. lımx→2

log3 (2x + 5) = log3 9

4. lımx→0

ln (x + 10) = ln 10

5. lımx→1

ln(x2 + 5x + 1

)= ln (1 + 5 + 1) = ln7

10.5.5. Lımites basicos para funciones exponencial y logarıtmica

l ımx→0

ln (1 + ax)x

= a y

lımx→0

ex − 1x

= 1

lımx→0

ln (1 + ax)x

= l ımx→0

ln (1 + ax)1/x = ln

(

l ımx→0

(1 + ax)1/x)

= ln (ea) = a

(por la continuidad del logaritmo y la nota al final de 10.5.3). Luego

lımx→0

ln(1+ax)x

= a

Ahora haciendo el cambio de variableµ = ex − 1 (x = ln (µ + 1)) se puede apreciar que cuandox → 0 entoncesµ → e0 − 1 = 0, (por la continuidad de la funcion exponencial), luego

lımx→0

ex − 1x

= l ımµ →0

µln (µ + 1)

= l ımµ →0

1

ln (1 + µ )

µ

=1

1= 1

Page 320: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

312 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

Ejemplos

1. lımx→0

ax − 1x

= ln a

puesto queax − 1

x=

(ex ln a − 1

)

x=

(ex ln a − 1

)

x ln aln a

entonces

lımx→0

ax − 1x

= l ımx→0

(ex ln a − 1

)

x ln aln a = 1. ln a = ln a (haciendoµ = x ln a), luego

lımx→0

ax − 1x

= ln a

2. lımx→0

loga (1 + bx)x

=b

ln ahaciendo el cambio de base se tiene que

loga (1 + bx) =ln (1 + bx)

ln ay entonces

lımx→0

loga (1 + bx)x

= l ımx→0

ln (1 + bx)x ln a

=1

ln al ımx→0

ln (1 + bx)x

=b

ln a

luego

lımx→0

loga (1 + bx)x

=b

ln a

3. lımx→e

ln x − 1x − e

=1e

haciendoµ = x− e cuando x → e, µ → 0 y ası:

lımx→e

ln x − 1x − e

= l ımx→e

ln x − ln ex − e

= l ımµ →0

ln (µ + e) − ln eµ

= l ımµ →0

ln

(u + e

e

)

µ= l ım

µ →0

ln

(

1 +1e

µ)

µ=

1e

4. Calcular lımx→0

ex2 − Cosxx2

Ya que

lımx→0

ex2 − 1x2 = l ım

µ →0

eµ − 1µ

= 1(

µ = x2) y

lımx→0

1− Cosxx2 = l ım

x→0

1− Cos2xx2 (1 + Cosx)

= l ımx→0

Sen2xx2 (1 + Cosx)

= l ımx→0

Sen xx

· l ımx→0

Sen xx

· l ımx→0

11 + Cos x

= (1) (1)(1/

2)

= 1/

2

Page 321: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES 313

entonces:

lımx→0

ex2 − Cos xx2 = l ım

x→0

ex2 − 1 + 1− Cos xx2

= l ımx→0

ex2 − 1x2 + l ım

x→0

1− Cos xx2 = 1 +

12

=32

luego

lımx→0

ex2 − Cos xx2 =

32

10.5.6. Lımites de exponenciales generalizadas

l ımx→a

f (x)g(x)

en los casos en que tenga sentido, para calcular lımites de este tipo, se utiliza la propiedad de cambiode base en exponencial:ab = eb ln a, paraa = f (x) > 0 y parab = g (x), es decir,f (x)g(x) =eg(x) ln f (x) y tambien se utiliza la continuidad de la funcion exponencial.

Ejemplo

Si lımx→a

f (x) = A > 0 y lımx→a

g (x) = B entonces

lımx→a

f (x)g(x) = l ımx→a

eg(x) ln f (x) = el ımx→a

g(x) ln f (x)= eB ln A = AB

Ejemplo

l ımx→1

(x − 1x2 − 1

)x+1

=14

pues lımx→1

x − 1x2 − 1

= l ımx→1

1x + 1

=12

y lımx→1

x + 1 = 2

luego aplicando el resultado del ejemplo anterior se tiene que:

lımx→1

(x − 1x2 − 1

)x+1

=

(12

)2

=14

luego

lımx→1

(x − 1x2 − 1

)x+1

=14

Ejemplo

l ımx→0+

(1 + Senx)1/x = e

Page 322: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

314 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

En efecto:

lımx→0+

(1 + Senx)1/x = l ımx→0+

e1x ln (1+Senx) = e

l ımx→0+

ln (1+Senx)x

= e1 = e

ya que multiplicando y dividiendo el limite a calcular entreSen xse tiene que:

lımx→0+

ln(1+Sen x)x

= l ımx→0+

Senxx

l ımx→0+

ln (1 + Senx)Senx

= (1) (1) = 1

luegolım

x→0′+(1 + Senx)1/x = e

Ejemplo

l ımx→0+

x1

ln x = e

ya que:

lımx→0+

x1

ln x = l ımx→0+

eln x( 1ln x) = e

l ımx→0+

ln xln x

= e1 = e

Ejemplo

l ımx→+∞

=

(x2 + 5x + 1

)x

= +∞

como lımx→∞

(x2 + 5x + 1

)

= l ımx→∞

1 +5

x2

1

x+

1

x2

= +∞ y lımx→+∞

x = +∞

entonces

lımx→+∞

(x2 + 5x + 1

)x

= +∞

Ejemplo

l ımx→+∞

(x + 32x + 5

)x2

= 0

ya que lımx→+∞

x + 32x + 3

=12

y lımx→+∞

x2 = +∞ y ademas lımx→∞

ax = 0 si 0< a < 1 observe

su grafica

Page 323: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES 315

Ejemplo

l ımx→+∞

(

1− 3x

)2x

= e−6

l ımx→+∞

(

1− 3x

)2x

= l ımx→+∞

e2x ln

(

1−3x

)

= el ım

x→+∞2x ln

(

1−3x

)

= el ım

x→∞2.−3x−3

ln

(

1−3x

)

= e−6 lım

x→+∞

ln(1− 3

/x)

−(3/

x)

= e−6 (haciendoµ = 3/

x) , por tanto

lımx→∞

(

1− 3x

)2x

= e−6

Ejemplo

l ımx→0

(Cos x)

1Sen x = 1

lımx→0

(Cos x)

1Sen x = l ım

x→0(1 + Cos x− 1)

1Sen x

= l ımx→0

(1 + (Cos x− 1))

1Cos x− 1

Cos x− 11

1Sen x

= l ımx→0

(1 + (Cosx− 1))

1Cosx− 1

Cosx− 1Senx = e0 = 1

puesto que

lımx→0

(1 + (Cos x− 1))

1Cos x− 1 = e y

lımx→>0

Cos x− 1Sen x

= l ımx→0

Cos x− 1

xSen x

x

=01

= 0 por tanto

lımx→0

(Cos x)1

Sen x = 1

Page 324: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

316 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

EJERCICIOS

I. Seaf (x)g (x)

=axn + . . . + a0

bxm + . . . + b0

demuestre e ilustre con ejemplos que:

lımx→+∞

f (x)g (x)

=

a/b si m= n0 si n < m+∞ −∞ si n > m

II. Las siguientes afirmaciones son todas verdaderas, ilustrarlas con ejemplos

a) Si lımx→a

f (x) = +∞ y lımx→a

g (x) = c ⇒ l ımx→a

f (x) + g (x) = +∞

b) Si lımx→a

f (x) = −∞ y lımx→a

g (x) = c ⇒ l ımx→a

f (x) + g (x) = −∞

c) Si lımx→a

f (x) = +∞ y lımx→a

g (x) = c, c 6= 0 entonces:

i. Si c > 0, l ımx→a

f (x) g (x) = +∞

ii. Si c < 0, l ımx→a

f (x) g (x) = −∞

d) Si lımx→+∞

f (x) = +∞ y lımx→+∞

g (x) = c 6= 0 entonces

lımx→+∞

f (x) .g (x) =

{+∞ si c > 0−∞ si c < 0

e) Si lımx→+∞

f (x) = −∞ y lımx→+∞

g (x) = c 6= 0 entonces

lımx→+∞

f (x) .g (x) =

{−∞ si c > 0+∞ si c < 0

f ) Si lımx→+∞

f (x) = +∞ y lımx→+∞

g (x) = +∞ ⇒ l ımx→+∞

f (x) g (x) = +∞

Page 325: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES 317

III. Hallar el valor de los siguientes lımites:

1. l ımh→0

(x + h)3 − x3

h2. l ım

x→a

x2 − (a + 1) x + ax3 − a3

3. l ımx→1

x3 + 1x2 + 1

4. l ımx→y

xn − yn

x − y

5. l ımx→1

xm − 1xn − 1

6. l ımx→a

x1/m − a1/m

x − a

7. l ımx→+∞

√x

x +√

x +√

x8. l ım

x→−1

x2 − 1x2 + 3x + 2

9. l ımx→7

2−√

x − 3x2 − 49

10. l ımx→1

(1

x − 1+

31− x3

)

11. l ımx→1

√x − 1

3√

x − 112. l ım

x→4

x2 + x + 1x + 1

13. l ımh→0

Sen(x + h) − Senxh

14. l ımx→a

Cosx− Cosax − a

15. l ımx→

π4

Senx− Cosx1− Tanx

16. l ımx→1

(1− x) Tanπ x2

17. l ımx→0

Cot 2xCot(π/

2 − x)

18. l ımx→π

1− Sen(x/

2)

π − x

19. l ımx→0

Cosmx− Cosnxx2 20. l ım

x→0

Tanx− Senxx3

21. l ımx→0

ArcSenxx

22. l ımx→0

ArcTan2xSen3x

23. l ımx→1

1− x2

Senπ x24. l ım

x→0

1−√

Cosxx2

25. l ımx→0

eα x − eβ x

Senα x − Senβ x26. l ım

x→∞x(

e1/x − 1)

27. l ımx→+∞

|x| + |4x − 1| + |x + 4|x

28. l ımx→0

Senhxx

29. l ımx→0

Coshx− 1x2 30. l ım

x→0

eax − ebx

x

31. l ımx→+∞

2x2 + 3x − 4√x4 + x2 + 1

32. l ımx→+∞

x2

10+ x√

x

33. l ımx→+∞

(

Sen√

x + 1− Sen√

x)

34. l ımx→+∞

x + Senxx + Cosx

Page 326: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

318 Capıtulo 10. LIMITES Y CONTINUIDAD

35. l ımx→0

eSen2x − eSenx

x36. l ım

x→+∞

(

1 +1x

)x + 1

x

37. l ımx→0

1x

ln

1 + x1− x

38. l ımx→+∞

x +3√

1− x3

39. l ımx→0

ex − e−x

Senx

IV. Demostrar que:

1. l ımx→+∞

(x

1 + x

)x

=1e

2. l ımx→+∞

(

1 +1x2

)x

= 1

3. l ımx→+∞

(x + 1x − 2

)2x−1

= e6 4. l ımx→0

(1 + Tan 2

√x)1/2x

=√

e

5. l ımx→+∞

Senxx

= 0 6. l ımx→0

(Senx

x

)Senx

x − Senx =1e

7. l ımx→0

(Cosx)1/

x2= 1

/√e 8. l ım

x→0xSen

(1/

x)

= 0

9. l ımx→+∞

x Sen(1/

x)

= 1 10. l ımx→+∞

x/

2 + Senx= +∞

11. l ımx→+∞

2x − 300Cosx= +∞

V. En cuales de los casos que a continuacion se dan, se puede determinar

lımx→a

f (x)g(x)

sin mas informacion sobre las funciones.

a) lımx→a

f (x) = 0; lımx→a

g (x) = 7

b) lımx→a

f (x) = 2; lımx→a

g (x) = 0

c) lımx→a

f (x) = 0; lımx→a

g (x) = 0

d) lımx→a

f (x) = 0; lımx→a

g (x) = +∞

e) lımx→a

f (x) = +∞ ; lımx→a

g(x) = 0

f ) lımx→a

f (x) = +∞ ; lımx→a

g (x) = −∞

g) lımx→a

f (x) = −∞ ; lımx→a

g (x) = 0

h) lımx→a

f (x) = 1; lımx→a

g (x) = +∞

VI. Se pueden concluir las afirmaciones siguientes? Justificar sus respuestas.

a) Si lımx→+∞

f (x) = +∞ y lımx→∞

g (x) = 0 ⇒ l ımx→∞

f (x) g (x) = 0

Page 327: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

10.5. LIMITES DE FUNCIONES TRASCENDENTES 319

b) Si lımx→+∞

f (x) = +∞ y lımx→+∞

g (x) = +∞ ⇒ l ımx→+∞

[ f (x) − g (x)] = 0

c) Si lımx→+∞

f (x) = +∞ y lımx→+∞

g (x) = −∞ ⇒ l ımx→+∞

f (x)g (x)

= −∞

Page 328: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS
Page 329: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 11DERIVADAS

Si bien es cierto que a partir del concepto de lımite se ha podido obtener informacion sobre el com-portamiento de una funcion en un punto y en una vecindad deel, esta informacion resulta incompletasi se pretende indagar algo mas sobre la curva en dicha vecindad, por ejemplo si se requiere saber cuales suındice de variacion, siesta sube o baja, si es concava o convexa, donde presenta puntos extremos,entre otros.Estos aspectos se pueden estudiar a partir del conocimiento de un lımite especial llama-do la derivada de una funcion. Este concepto se convierte en una valiosa herramienta para describirfenomenos y para analizar resultados que se presentan a traves de ecuaciones que representan curvas,siendo imprescindible en casi todo trabajo de matematica aplicada.

11.1. INTRODUCCION AL CONCEPTO DE DERIVADA

11.1.1. Velocidad Instantanea:

Suponga que una partıcula se desplaza a lo largo de una recta con una velocidad que no es constante,es decir, que varıa con el tiempo. SeaS( t ) la posicion de la partıcula t segundos despues de haberiniciado el movimiento. En el tiempot0 la partıcula se encuentra en el puntoS( t0) sobre la recta, y enel tiempot0 + h conh∈ R , se encuentra en el puntoS( t0 + h). (Figura 11.1).

t0

t0 +h

h

s(t0)

s(t0 +h)

s(t0 +h)−s(t0)

FIGURA N◦ 11.1

Como la velocidad no es constante entonces en los puntos comprendidos entreS( t0) y S( t0 + h) lapartıcula va a diferentes velocidades. Recordando que cuando la velocidades constante,esta es igual

321

Page 330: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

322 Capıtulo 11. DERIVADAS

al espacio recorrido dividido entre el tiempo que demora la partıcula al recorrerlo, al tomar el espacioS ( t0 + h) − S( t0) y dividirlo entre el tiempo que demora la partıcula en recorrerlo:( t0 + h) − t0 = h: se obtiene no la velocidad con que la partıcula recorre este tramo, puesesta no esconstante, sino la velocidad media que lleva la partıcula cuando lo recorre, por tanto

Velocidad media=S ( t0 + h) − S ( t0)

h

Ahora la pregunta es: A que velocidad paso la partıcula en el tiempot0?, o dicho de otra forma, cuales la velocidad instantanea en el puntoS( t0)?.

Aun cuando la velocidad en el instantet0 es constante, no es posible aplicar la formula de velocidadconstante para calcularla, pues no se dispone de un tramo de espacio (pues se calcula en un punto)ni de un intervalo de tiempo (pues se calcula en un instante dado). Esta situacion se puede obviarconsiderando el tramo de espacioS( t0 + h) − S( t0) y el tiempoh que se demora en recorrerlo.

Ası el cocienteS( t0 + h) − S( t0)

h, aunque representa la velocidad media en ese intervalo de tiempo,

a medida queh se haga mas pequeno, el puntoS( t0) y S( t0 + h) estaran mas cercanos y esta veloci-dad media se aproximara cada vez mas a la velocidad instantanea buscada, llegando a ser exactamenteella, en el caso ideal en queh → 0, es decir:

Velocidad instantanea en el tiempot0 = l ımh→0

S( t0 + h) − S( t0)

h

11.1.2. Pendiente de la recta tangente a una curva en un punto

Se parte de la idea intuitiva que se tiene de lo que significa recta tangente a unacurva en un puntoy lo que significa recta secante a una curva. (Figura 11.2)

Tangente

Secante

SecanteSecante

Tangente

Secante

FIGURA N◦ 11.2

Ahora seay = f (x) una funcion y P0 = (x0 , f (x0)) y P1 = (x0 + h, f (x0 + h)) dos puntossobre la curva que representaf (x). Considere la rectaM secante a esta curva en los puntosP0 y P1

(Figura 11.3).

Page 331: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.1. INTRODUCCION AL CONCEPTO DE DERIVADA 323

f (x0)

f (x0 +h)

x0 x0 +h

y

x

P0

P1M

y = f (x)

x

h

f (x0 +h)− f (x0)

xh

FIGURA N◦ 11.3

Como se tienen dos puntos sobre la recta, se puede calcular su pendiente (diferencia de ordenadassobre diferencia de abscisas):

M =f (x0 + h) − f (x0)

x0 + h− x0=

f (x0 + h) − f (x0)

h

De la misma forma se puede calcular la pendiente de cualquier recta secante, si esta corta la curvaen dos puntos. La situacion problematica para hallar la pendiente de una recta se presenta cuandosolamente se conoce un punto de ella, pues no es posible hallarla de esta forma. Este es el caso que sepretende trabajar, es decir hallar la pendiente de la rectaL tangente a esa curva en el puntoP0.

Para resolver este problema considerense las rectas secantesL1 , L2 , L3 . . . que pasan por los puntosP1 = (x0 + h1 , f (x0 + h1)) , P2 = (x0 + h2 , f (x0 + h2)) , P3 = (x0 + h3 , f (x0 + h3)) , . . . res-pectivamente y que ademas pasan por el puntoP0 = (x0 , f (x0)), siendohi un numero muy cercanoa cero para todoi, el cual estara mas proximo a cero a medida que el subındice i sea mas grande(Figura 11.4).

y

x

LL3

L2

L1

x0 x0 +h3 x0 +h2 x0 +h1

P0

P3 P2P1

FIGURA N◦ 11.4

Observe de la figura 11.4 que a medida quehi se acerca mas a cero, el punto(x0 + hi , f (x0 + hi))se acerca mas al puntoP0 y la rectaL i tiende a confundirse con la recta tangenteL, coincidiendo conella en el caso ideal cuandoh → 0, es decir,

Pendiente de la recta Tangente en P0 = l ımh→0

pendiente Lh = l ımh→0

f (x0 + h) − f (x0)

h

Page 332: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

324 Capıtulo 11. DERIVADAS

Ejemplo

Un objeto recorreS( t ) = t 2 + 2 metros en los primerost segundos.

a) Cuanto espacio recorre entret = 2 y t = 2.1 segundos?

b) Cual es su velocidad media en este intervalo de tiempo?

c) Cual es su velocidad media entret = 2 y t = 4 segundos?

d) Cual es la velocidad ent = 3 segundos? Ent = 4 segundos?

e) En que instante la velocidad es cero?

Del numeral 11.1.1 se tiene que:

a) Entret = 2 y t = 2.1 segundos, el objeto recorre

S(2.1) − S(2) =(2.1)2 + 2− (4 + 2)

=(2.1)2 + 2− 6 = (2.1)2 − 4 = 4.41− 4 = 0.41mts

b) La velocidad media entret = 2 y t = 2.1 es:

S( t0 + h) − S( t0)

h=

S(2.1) − S(2)

0.1

=(4.41+ 2) − (4 + 2)

0.1=

0.410.1

= 4.1 mts/seg

c) La velocidad media entret = 2 y t = 4 es:

S(4) − S(2)

2=

18− 62

=122

= 6mts/seg

d) La velocidad en el instantet0 es:

lımh→0

S( t0 + h) − S( t0)

h

luego ent = 3 segundos se tiene que:

lımh→0

S(3 + h) − S(3)

h= l ım

h→0

(3 + h)2 + 2− (9 + 2)

h

= l ımh→0

9 + 6h + h2 + 2− 11h

= l ımh→0

6h + h2

h

= l ımh→0

h(6+h)

h= l ım

h→06 + h = 6mts/seg

Page 333: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.1. INTRODUCCION AL CONCEPTO DE DERIVADA 325

En t = 4 segundos, la velocidad es:

lımh→0

S(4 + h) − S(4)

h= l ım

h→0

(4 + h)2 + 2− (16+ 2)

h

= l ımh→0

16+ 8h + h2 + 2− 18h

= l ımh→0

8h + h2

h= l ım

h→0

h(8+h)

h= l ım

h→08 + h = 8mts/seg

e) Velocidad en un instantet

l ımh→0

S( t + h) − S( t )h

= l ımh→0

( t + h)2 + 2− ( t 2 + 2)

h

l ımh→0

t 2 + 2th + h2 + 2− t 2 − 2h

= l ımh→0

2th + h2

h= l ım

h→0

h(2t +h)

hl ımh→0

2t + h = 2t

luego la velocidad es 0 si 2t = 0, es decir,t = 0 segundos.

Ejemplo

Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde el piso con una velocidad inicial de 6m/

seg.Si el sentido positivo de la distancia, desde el punto de partida es hacia arriba, el espacio recorrido es:S( t ) = −3t 2 + 6t, siendo S la distancia recorrida por la pelota desde el punto de partida despues det segundos. Hallar:

a) La velocidad de la pelota transcurridos 2 segundos

b) El tiempo que tarda la pelota en alcanzar el punto mas alto

c) La altura maxima que alcanza la pelota

d) El tiempo que tarda la pelota en llegar al piso

e) La velocidad de la pelota al llegar al piso.

Teniendo en cuenta que el movimiento sigue siendo rectilıneo entonces:

a) La velocidad de la pelota ent = 2seges:

lımh→0

S(2 + h) − S(2)

h= l ım

h→0

−3(2 + h)2 + 6(2 + h) − ((−3)(4) + 12)

h

= l ımh→0

−3(4 + 4h + h2) + 12+ 6h + 12− 12h

= l ımh→0

−12h− 3h2 + 6hh

= l ımh→0

−6− 3h = −6 mts/seg

Page 334: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

326 Capıtulo 11. DERIVADAS

b) La pelota alcanza el punto mas alto cuando su velocidad es cero, es decir

0 = l ımh→0

S( t + h) − S( t )h

= l ımh→0

−3( t + h)2 + 6( t + h) + 3t 2 − 6th

= l ımh→0

−3( t 2 + 2th + h2) + 6t + 6h + 3t 2 − 6th

= l ımh→0

−3t 2 − 6th− 3h2 + 6h + 3t 2

h

= l ımh→0

−6th− 3h2 + 6hh

= l ımh→0

−6t − 3h + 6 = −6t + 6

luego−6t + 6 = 0 ⇔ 6 = 6t ⇔ t = 1seg, y ası la velocidad es cero transcurrido 1 segundo.

c) La altura maxima de la pelota ocurre cuandot = 1seg., es decir,

S (1) = −3 + 6 = 3m., y ası la altura maxima alcanzada por la pelota es de 3 metros.

d) La pelota llega al piso cuandoS = 0, o sea, cuando−3t 2 + 6t = 0, es decir,

t (−3t + 6) = 0 ⇔ t = 0 o 6 = 3t, y ası, t = 2seg., luego la pelota llega al piso al cabo de2 segundos.

e) Segun lo calculado enb), la velocidad de la pelota en el instantet es:−6t + 6, luego la velocidadde la pelota cuando llega al piso es−6 (2) + 6 = −6mts/seg

Ejemplo

Hallar la pendiente de la recta tangente a la curvaf (x) =√

10− x en el punto(1, 3) . Del numeral11.1.2 se tiene que la pendiente de la recta tangente en(1, 3) es:

lımh→0

f (1 + h) − f (1)

h= l ım

h→0

10− (1 + h) −√

9h

= l ımh→0

√9− h− 3

h= l ım

h→0

√9− h − 3

h

√9− h + 3√9− h + 3

= l ımh→0

(9 − h) − 9

h(√

9− h + 3) = l ım

h→0

−1√9− h + 3

=−16

Ejemplo

Hallar la pendiente de la curvaf (x) =1

x + 1en el punto(2, 1/3)

En la forma analoga al ejemplo anterior se tiene que:

Page 335: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.2. DEFINICION DE DERIVADA 327

Pendiente de la recta tangente a la curvaf (x) =1

x + 1en el punto(2, 1/3) es:

lımh→0

f (2 + h) − f (2)

h= l ım

h→0

12 + h + 1

− 13

h

= l ımh→0

3− (h + 3)

3 (h + 3) h= l ım

h→0

−13 (h + 3)

= − 19

11.2. DEFINICION DE DERIVADA

Los problemas tratados en 11.1.1 y 11.1.2 llevaron a resultados analogos en su presentacion: elincremento de una funcion S( t0 + h) − S( t0) para el problema 11.1.1 yf (x0 + h) − f (x0) parael problema 11.1.2, dividido entre el incremento de la variable (h) y haciendo queeste tienda a cero.Los lımites de cocientes de este mismo tipo aparecen tambien en muchos problemas relacionadoscon diferentesareas del conocimiento como la fısica, matematica, economıa, etc., razon por la cual sejustifica un estudio detallado de ellos que es precisamente lo que se conoce con el nombre dederivadasde funciones.

Definiciones

1. Seay = f (x) una funcion y seaa un punto en el dominio def (x), si existe el lımite:

lımh→0

f (a + h) − f (a)

h

entonces al valor numerico deeste, se llama laderivada de f en el punto ay se nota por

f ′ (a) oddx

f (a) od fdx

(x)

∣∣∣∣a

2. Dada una funcion y = f (x) se llamafuncion derivada def (x), o simplemente laderivada de

f (x), a otra funcion, notada porf ′ (x) od fdx

definida como:

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h

en los puntosx del dominio def donde exista este lımite.

NOTAS:

a) Note que la definicion 1 . es una definicion local, que corresponde a la derivada de la funcionen un punto, y su resultado es un numero real, y la definicion 2 . corresponde a una definicionglobal, que es la derivada de una funcion (ya no es un punto especıfico) y su resultado es unafuncion.

Page 336: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

328 Capıtulo 11. DERIVADAS

b) En la definicion 1 . si se hacex = a + h, es evidente que cuandoh → 0, x tiende aa y ademash = x − a, luego la derivada def en el puntox = a se puede tambien definir como:

f ′ (a) = l ımh→0

f (a + h) − f (a)

h= l ım

x→a

f (x) − f (a)

x − a

expresion muy usada por algunos autores y que a veces conviene usar

Ejemplo

Hallar la derivada def (x) = x2 + x + 1 en el puntox = 2

f ′ (a) = f ′ (2) = l ımx→2

f (x) − f (2)

x − 2= l ım

x→2

(x2 + x + 1

)− (4 + 2 + 1)

x − 2

= l ımx→2

x2 + x − 6x − 2

= l ımx→2

(x + 3) (x − 2)

(x − 2)= l ım

x→2x + 3 = 5

Desde el punto de vista del problema 11.1.2, este resultado indica que la pendiente de la rectatangente a la curvay = x2 + x + 1 en el punto(2, 7) es 5.

Ejemplo

Hallar la derivada de la funcion f (x) = x2 + x + 1

Observe que aquı no se especifica ningun punto, luego lo que se pide es hallar la funcion derivadaf ′ (x) de la funcion f (x), es decir:

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h= l ım

h→0

(x + h)2 + (x + h) + 1−(

x2 + x + 1)

h

= l ımh→0

x2 + 2xh+ h2 + x + h + 1− x2 − x − 1h

= l ımh→0

2xh+ h2 + hh

= l ımh→0

h (2x + h + 1)

h= l ım

h→02x + h + 1 = 2x + 1

entonces la derivada def (x) = x2 + x + 1 es la funcion f ′ (x) = 2x + 1. Con este resultado, si sequiere por ejemplo calcular la derivada def (x) = x2 + x + 1 en el puntox = 7, es decir,f ′ (7), setiene quef ′ (7) = 2 (7) + 1 = 15. Si es por ejemplo en el puntox = 2, se tienef ′(2) = 2(2)+1= 5(compare con el ejemplo anterior).

Ejemplo

Seaf (x) = |x|, hallar f ′ (0), si existe

f ′ (0) = l ımh→0

f (0 + h) − f (0)

h= l ım

h→0

|h| − |0|h

= l ımh→0

|h|h

.

Page 337: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.2. DEFINICION DE DERIVADA 329

ahora como

lımh→0+

|h|h

= l ımh→0+

hh

= l ımh→0+

1 = 1 y lımh→0−

|h|h

= l ımh→0−

−hh

= −1

entoncesf ′ (0) no existe, pues limh→0

|h|h

no existe, ya que los lımites laterales son diferentes, por tanto

f (x) = |x| no es derivable enx = 0.

Si se analiza graficamente la funcion (fig. 11.5), se observa que en el puntox = 0, se presenta un“pico”, al cual se le podrıan asociar infinitas rectas que se pudieran ver como tangentes con diferentespendientes.

y

x

f (x) = |x|

FIGURA N◦ 11.5

Ejemplo

Halle, si existe, la derivada def (x) = 3√

x enx = 0

f ′ (0) = l ımh→0

f (0 + h) − f (0)

h= l ım

h→0

3√

0 + h− 3√

0h

= l ımh→0

3√

hh

= l ımh→0

1(

3√

h)2 = +∞

es decir, el lımh→0

f (0 + h) − f (0)

hno existe y por tantof (x) = 3

√x no es derivable en

x = 0. (Figura 11.6)

Page 338: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

330 Capıtulo 11. DERIVADAS

y

x

f (x) = 3√

x

FIGURA N◦ 11.6

Como se puede apreciar en la figura 11.6, la recta “tangente” a la curvaf (x) = 3√

x en el punto(0, 0) (vista como lımites de rectas secantes) tiene pendiente infinita (que no es un numero).

Ejemplo

Hallar la derivada de

f (x) =

{2 si x < 1x + 1 si x ≥ 1

a) Si x < 1, entonces

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h= l ım

h→0

2− 2h

= l ımh→0

0h

= l ımh→0

0 = 0

b) Si x > 1, entonces

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h)− f (x)

h= l ım

h→0

(x + h + 1) − (x + 1)

h= l ım

h→0

hh

= 1

c) f ′ (1) = l ımh→0

f (1 + h) − f (1)

h, el cual no existe ya que los lımites laterales son diferentes,

pues

lımh→0+

f (1 + h) − f (1)

h= l ım

h→0+

1 + h + 1− 2h

= l ımh→0+

hh

= 1 y

lımh→0−

f (1 + h) − f (1)

h= l ım

h→0−

2− 2h

= l ımh→0−

0h

= l ımh→0−

0 = 0, ası:

f ′ (x) =

0 si x < 1no existe si x = 11 si x > 1

NOTA:

En los puntos donde no hay derivada no siempre se presentan situaciones analogas a las de|x|,(picos) o a las de3

√x (tangentes verticales), sino que puede suceder tambien que la funcion no sea

Page 339: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.2. DEFINICION DE DERIVADA 331

continua en esos puntos como se puede concluir del siguiente resultado:

Teorema

Si y = f (x) es una funcion derivable enx = a entoncesf es continua en este punto.

Demostracion:

Por hipotesisf es derivable enx = a, entonces el lımite:

lımx→a

f (x) − f (a)

x − a= f ′ (a) ∈ R

para ver quef es continua enx = a, basta ver que:

lımx→a

f (x) = f (a) es decir, que lımx→a

f (x) − f (a) = 0

en efecto:

lımx→a

f (x) − f (a) = l ımx→a

f (x) − f (a)

x − a(x − a)

= l ımx→a

f (x) − f (a)

x − al ımx→a

x − a = f ′ (a) (0) = 0

Del tercer ejemplo se puede concluir que el recıproco de este teorema no siempre es cierto, puesallı f (x) es continua en “cero” pero no es derivable en “cero”.

Graficamente, si una funcion no es derivable en un puntox = a, entonces en este punto se puedepresentar un salto o hueco (discontinuidad), o un pico (tercer ejemplo) o larecta tangente en ese puntotiene pendiente infinita (cuarto ejemplo). La existencia, garantiza en ese punto suavidad de la curva ypendiente numerica de la recta tangente en ese punto.

Ejemplo

f (x) =

{x2 + 1 si x 6= 0

30 si x = 0

no es derivable enx = 0, puesf no es continua en este punto, observe que esta funcion es derivableen cualquier otro punto.

EJERCICIOS

1. Si una piedra se arroja desde el piso hacia arriba en forma vertical con una velocidad inicial de10mts/seg, y si s( t ) = −5t 2 + 10t, dondes( t ) es la distancia recorrida por la piedra desdeel punto de partida a lost segundos y el sentido positivo es hacia arriba. Hallar:

a) La velocidad media de la piedra durante el intervalo de tiempo 3/4 ≤ t ≤ 5/4

Page 340: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

332 Capıtulo 11. DERIVADAS

b) La velocidad instantanea de la piedra a los 3/4 de segundo.

c) Cuanto tiempo tardara para llegar al punto mas elevado?

d) Cual es la altura maxima que alcanzara la piedra?

e) Cual es la velocidad de la piedra cuando llega al piso?

2. Un objeto recorret 3 + t + 2 metros en los primerost segundos.

a) Cuanto recorre entret = 2 y t = 3 segundos?

b) Cual es su velocidad media en ese intervalo?

c) Cual es su velocidad ent = 4 segundos?.

3. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curvaf (x) = 2x3 + 3 en el punto(1, 2).

4. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la curvay = x2 + 1 que pasa por el origen.

5. Hallar sobre la grafica dey = x2 + 2x + 5 el punto donde la recta tangente es paralela ay = x − 1.

6. Hallar la ecuacion de la recta tangente a la curvay = 1− x2 en el punto(0, 1).

7. Hallar la ecuacion de la recta que pasa por(2, 4) y es normal a la curvay = x2.

8. Halle la ecuacion de la recta que tiene pendiente−2/9 y que es tangente a la parabolax2 + 4y = 20.

9. Usando la definicion de derivada, halle las derivadas de las funciones:

a) f (x) =x

x + 1, y calcule f ′ (0) y f ′ (1)

b) f (x) =√

x + 2, y calcule f ′ (2) y f ′ (0)

c) f (x) = 2x2 + 3x, y calcule f ′ (4) y f ′ (1/2)

d) f (x) = xn n ∈ N

e) f (x) = x1/n

10. Responda las siguientes preguntas:

a) Es f (x) =√

|x| derivable en x = 0?

b) Es f (x) = |x| (x − 2) derivable en x = 0?

c) Es f (x) = |x| |x − 1| derivable en x = 0? enx = 1?

d) Es f (x) =∣∣4− x2

∣∣ derivable en x = 0?x = 1?x = −1?

11. El lımite dado es una derivada. De que funcion y en que punto?

a) lımh→0

2 (5 + h)3 − 2(

53)

h

b) lımh→0

(3 + h)2 + 2 (3 + h) − 15h

Page 341: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 333

c) lımx→2

x2 − 4x − 2

d) lımx→3

x3 + x − 30x − 3

e) lımh→0

Cos(x + h) − Cos xh

12. Hallar los valores dea y b tales quef ′ (2) exista si:

f (x) =

{ax+b si x < 2

2x2 − 1 si x ≥ 2

13. Hallar los valores dea y b tal que f ′ (1) exista si:

f (x) =

{x2 si x < 1

ax+ b si x ≥ 1

14. Suponer quef ′ (a) existe y con un cambio de variable adecuado, justificar si son verdaderas ono las afirmaciones siguientes:

a) f ′ (a) = l ımx→a

f (x) − f (a)

x − a

b) f ′ (a) = l ımt→0

f (a + 2t ) − f (a)

t

c) f ′ (a) = l ımh→0

f 2 (a + h) − f 2 (a)

h

d) f ′ (a) = l ımt→0

f (a + 2t ) − f (a + t )t

e) f ′ (a) = l ımh→0

f (a) − f (a− h)

h

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS

Hasta ahora para calcular la derivada de una funcion es necesario calcular un lımite, lo cual nosiempre resulta inmediato. Afortunadamente, algunas propiedades de la derivada, que se trataran acontinuacion, facilitaran este calculo, sin necesidad de recurrir, en la mayorıa de los casos, al uso delımites. Las expresiones y resultados que aparecen en estas propiedades se supone que son validasdonde ellas tengan sentido en el campo de los numeros reales.

Propiedad 1. Derivada de una constante

Si f (x) = k (constante) entoncesf ′ (x) = 0

En efecto:

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h= l ım

h→0

k − kh

= l ımh→0

0h

= 0

Page 342: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

334 Capıtulo 11. DERIVADAS

Ejemplos

1. Si f (x) = 5 entoncesf ′ (x) = 0

2. Si f (x) =√

π entoncesf ′ (x) = 0

Propiedad 2. Derivada de la funcion identica

Si f (x) = x entonces f ′ (x) = 1

En efecto:

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h= l ım

h→0

(x + h) − xh

= l ımh→0

hh

= 1

Propiedad 3. Derivada de una suma

La derivada de una suma de funciones es la suma de sus derivadas, esdecir,

( f + g)′ (x) = f ′ (x) + g ′ (x)

En efecto:

( f + g)′ (x) = l ımh→0

( f + g) (x + h) − ( f + g) (x)

h

= l ımh→0

f (x + h) + g (x + h) − f (x) − g (x)

h

= l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h+

g (x + h) − g (x)

h

= l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h+ l ım

h→0

g (x + h) − g (x)

h= f ′ (x) + g′ (x)

Ejemplo

Si f (x) = a + x entoncesf ′ (x) = 0 + 1 = 1.

Propiedad 4. Derivada de una diferencia

La derivada de diferencia de funciones es la diferencia de sus derivadas, es decir,

( f − g)′ (x) = f ′ (x) − g ′ (x)

Este es un caso particular de la propiedad anterior.

Propiedad 5. Derivada de un producto

( f g)′ (x) = f ′ (x) g (x) + f (x)g ′ (x) .

Page 343: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 335

En efecto:

( f g)′ (x) = l ımh→0

( f g) (x + h) − ( f g) (x)

h= l ım

h→0

f (x + h) g (x + h) − f (x) g (x)

h

= l ımh→0

f (x + h) g (x + h) − f (x) g (x) + f (x) g (x + h) − f (x) g (x + h)

h

= l ımh→0

f (x) (g (x + h) − g (x))

h+

g (x + h) ( f (x + h) − f (x))

h

= l ımh→0

f (x) l ımh→0

g (x + h) − g (x)

h+ l ım

h→0g (x + h) l ım

h→0

f (x + h) − f (x)

h= f (x) g ′ (x) + g (x) f ′ (x)

NOTA:

Como un caso particular, sig (x) = k, entonces(k f )′ (x) = k f ′ (x)

Ejemplo

Si f (x) = a + bx+ 2 entoncesf ′ (x) = 0 + b + 0 = b

Ejemplo

Si f (x) = x2 entoncesf ′ (x) = 1.x + x.1 = 2x

Ejemplo

Si f (x) = 5 + 4x + 8x2 entoncesf ′ (x) = 4 + 16x

Propiedad 6. Derivada de la recıproca de una funcion

(1

g (x)

)′= − g ′ (x)

[g (x) ]2

En efecto:

[1

g (x)

]′= l ım

h→0

1

g (x + h)−

1

g (x)

h= l ım

h→0

g (x) − g (x + h)

hg(x + h) g (x)

=− l ımh→0

g (x + h) − g (x)

hl ımh→0

1g (x + h) g (x)

= −g ′ (x)1

g (x) g (x)

=−g ′ (x)

[g (x) ]2

Ejemplo

Seaf (x) =1x

entoncesf ′ (x) = − 1x2

Page 344: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

336 Capıtulo 11. DERIVADAS

Ejemplo

Seaf (x) =1

x2 + 2x + 3entoncesf ′ (x) =

− (2x + 2)

(x2 + 2x + 3)2

Propiedad 7. Derivada de un cociente

[f (x)

g (x)

]′=

g (x) f ′ (x) − f (x) g ′ (x)

[g (x) ]2

En efecto:[

f (x)

g (x)

]′=

[(1

g (x)

)

( f (x))

]′=

1g (x)

f ′ (x) +

[1

g (x)

]′f (x)

=f ′ (x)

g (x)+ f (x)

[

− g ′ (x)

[g (x)]2

]

=f ′ (x)

g (x)− f (x) g ′ (x)

[g(x) ]2 =g (x) f ′ (x) − f (x) g ′ (x)

[g (x)]2

Ejemplo

Hallar f ′ (x) si f (x) =3− 2x3 + 2x

f ′ (x) =(3 + 2x) (3− 2x)′ − (3− 2x) (3 + 2x)′

(3 + 2x)2

=(3 + 2x) (−2) − (3− 2x) (2)

(3 + 2x)2

=− 12

(3 + 2x)2

Ejemplo

Si f (x) =4x7 − 28x3 +

√2 x

x3 − 6x2 + 22entonces

f ′ (x) =

(x3 − 6x2 + 22

) (

4x7 − 28x3 +√

2x)′

−(

4x7 − 28x3 +√

2x) (

x3 − 6x2 + 22)′

(x3 − 6x2 + 22)2

=

(x3 − 6x2 + 22

) (

28x6 − 84x2 +√

2)

−(

4x7 − 28x3 +√

2x) (

3x2 − 12x)

(x3 − 6x2 + 22)2

Page 345: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 337

Propiedad 8. Derivada de funcion potencial ( 1 )

Si f (x) = xn conn ∈ N entoncesf ′ (x) = nxn−1

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h= l ım

h→0

(x + h)n − xn

h

= l ımh→0

xn + nhxn−1 + (1/2)n(n− 1) h2xn−2 + . . .+ hn − xn

h

= l ımh→0

nhxn−1 + (1/2)n(n − 1) h2xn−2 + . . .+ hn

h

= l ımh→0

h(

nxn−1 + (1/2) n (n− 1) hxn−2 + . . . + hn−1)

h

= l ımh→0

nxn−1 + (1/2) n (n− 1) hxn−2 + . . . + hn−1

= nxn−1

Ejemplo

Si f (x) = 4x100 entonces f ′ (x) =(

4x100)′

= 4(

x100)′

= 4 (100) x99 = 400x99

Ejemplo

Si f (x) =x2 + 23− x2 entonces

f ′ (x) =

(3− x2

) (x2 + 2

)′−(

3 − x2)′ (

x2 + 2)

(3− x2)2

=

(3− x2

)(2x)− (−2x)

(x2 + 2

)

(3− x2)2 =10x

(3− x2)2

Propiedad 9. Derivada de funcion potencial ( 2 )

Si f (x) = x−n conn ∈ N entoncesf ′ (x) = −nx−n−1

En efecto:

f ′ (x) =(

x−n)′ =

(1xn

)′= − nxn−1

x2n = −nx−n−1

NOTA:

Las propiedades 1. 8. y 9. se pueden resumir en:

Propiedad9 ′

Si f (x) = xp entonces f ′ (x) = pxp−1 si p ∈ Z

Page 346: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

338 Capıtulo 11. DERIVADAS

Ejemplos

1. Si f (x) = 2x−5 entoncesf ′ (x) =(

2x−5)′

= 2(

x−5)′

= −10x−6

2. Si f (x) =x−3 + x5

4 + 5x−2 entonces

f ′ (x) =

(4 + 5x−2

) (x3 + x5

)′ −(

x−3 + x5) (

4 + 5x−2)′

(4 + 5x−2)2

=

(4 + 5x−2

) (−3x−4 + 5x4

)−(

x−3 + x5) (

−10x−3)

(4 + 5x−2)2

EJERCICIOS

1. Si f (x) =4x2 + 8x4

8x10 + 2, hallar f ′ (x) y f ′ (3).

2. Si f (x) =1/

x − 3/

x2

3 + x−2 + 4x3 , hallar f ′ (x) y f ′ (2).

3. Si f (x) = 2 +3x

+1 + 4

/x2

2 + 5/

x, hallar f ′ (x) y f ′ (1).

4. Si f (x) = Cos3 + e4 +2 ln 7

x − 1/

x, hallar f ′ (x) y f ′ (5).

5. Si f (x) = π +4x +

√3x2

x3 + e3 + x−2/

e, hallar f ′ (x) y f ′ (e).

Propiedad 10. Derivada de funcion compuesta (La regla de la cadena)

[ f (g (x)) ] ′ = f ′ (g (x)) g ′ (x) , donde se entiende quef ′ (g (x)) es la derivada def calculadaeng (x).

En efecto:

[ f (g (x)) ]′ = l ımh→0

f (g (x + h)) − f (g (x))

h

= l ımh→0

f (g (x + h)) − f (g (x))

hg (x + h) − g (x)

g (x + h) − g (x)

= l ımh→0

f (g (x + h)) − f (g (x))

g (x + h) − g (x)

g (x + h) − g (x)

h

= l ımk→0

f (g (x) + k) − f (g (x))

kl ımh→0

g (x + h) − g (x)

h(∗)

= f ′ (g (x)) g ′ (x)

Page 347: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 339

El primer limite del renglon(∗) Se justifica haciendok = g (x + h) − g (x), entonces sih → 0, k → 0 y

g (x + h) = g (x) + k.

NOTA:

Si y = f (g (x)) entoncesdydx

= f ′ (g (x)) g ′ (x) =dydu

dudx

, si y = f (u) y u = g (x).

Ejemplos

1. Seay (x) =(

x4 + x2 + 1)3

, entonces y ′ (x) = 3(

x4 + x2 + 1)2 (

4x3 + 2x)

o si y (x) =(x4 + x2 + 1

)3, haciendo y = u3 y u = x4 + x2 + 1 entonces

dydx

=dydu

dudx

= 3u2 (4x3 + 2x)

= 3(

x4 + x2 + 1)2 (

4x3 + 2x)

2. Seay (x) =

(x3 − 12x3 + 1

)4

entoncesy ′ (x) = 4

[x3 − 12x3 + 1

]3 (x3 − 12x3 + 1

)′

= 4

[x3 − 12x3 + 1

]3[ (

2x3 + 1)

3x2 −(

x3 − 1)

6x2

(2x3 + 1)2

]

=36x2

(x3 − 1

)3

(2x3 + 1)5

o tambien:

y (x) = u4; donde u =x3 − 12x3 + 1

y ası

y ′ (x) =dydx

=dydu

dudx

= 4u3(

x3 − 12x3 + 1

)′

= 4

(x3 − 12x3 + 1

)3 (x3 − 12x3 + 1

)′=

36x2(

x3 − 1)3

(2x3 + 1)5

3. Seay (x) =(

x3 + x + 1)4 (

2x3 − x + 1)8

entonces

y ′ (x) =((

x3 + x + 1)4)′ (

2x3 − x + 1)8

+(

x3 + x + 1)4((

2x3 −x + 1)8)′

= 4(

x3 + x + 1)3 (

3x2 + 1) (

2x3 − x + 1)8

+(

x3 + x + 1)4

8(

2x3 − x + 1)7 (

6x2 − 1)

4. Seay (x) =

(x3 + 2x

)−5+ (2x + 2)4

(x3 + 2)2 entonces

y ′ (x) =

(x3 + 2

)2[(

x3 + 2x)−5

+ (2x + 2)4]′−[(

x3 + 2x)−5

+ (2x + 2)4] [(

x3 + 2)2]′

[

(x3 + 2)2]2 =

Page 348: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

340 Capıtulo 11. DERIVADAS

(x3 + 2

)2[

−5(x3 + 2x

)−6(3x2 + 2

)+ 4 (2x + 2)3 (2)

]

−[(

x3 + 2x)−5

+ (2x + 2) 4]

2(x3 + 2

)1(3x2)

(x3 + 2

)4

Propiedad 11. Derivada de funcion potencial ( 3 )

Si f (x) = x1/n, n ∈ Z entoncesf ′ (x) = (1/n) x(1/n) −1

Para demostrar esta propiedad se toma:

x = xn/n =(

x1/n)n

y ası 1 =dxdx

=ddx

(x1/n

)n=

ddx

(g (h (x))), con

g (x) = xn y h (x) = x1/n por lo tanto

g (h (x)) = g(x1/n

)=(

x1/n)n

entonces

1 = g ′ (h (x)) h/ (x) = n(

x1/n)n−1 d

dx

(

x1/n)

⇒ ddx

(

x1/n)

=1

nx1−1/n=(

1/

n)

x(1/n)−1

Ejemplos:

1. Seay (x) =√

x3 + x + 1 entonces

y ′ (x) =12

(x3 + x + 1

)(1/2)−1 (x3 + x + 1

)′

=12

(x3 + x + 1

)−1/2 (3x2 + 1

)=

dydu

dudx

si u = x3 + x + 1.

2. Seay (x) =√

1 + u, con u =√

x entonces

dydx

=dydu

dudx

=12

(1 + u) −1/2 12

(x) −1/2 =1

2√

1 +√

x

12√

x

3. Seay (x) =√

u, con u = v (3− 2v) , v = x2 entonces

y ′ (x) =dydx

=dydu

dudv

dvdx

=1

2√

u((3− 2v) − 2v) 2x =

12√

u(3− 4v) 2x

=1

2√

v (3− 2v)(3− 4v) 2x =

1

2√

x2 (3− 2x2)

(3 − 4x2) 2x.

Propiedad 12. Derivada del Seno

Si f (x) = Sen x entonces f ′ (x) = Cos x

Page 349: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 341

En efecto:

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h= l ım

h→0

Sen(x + h) − Sen xh

= l ımh→0

Sen x Cosh+ Senh Cos x− Sen xh

= l ımh→0

−Sen x(1− Cosh) + Senh Cos xh

= l ımh→0

−Sen x(1− Cosh)

h+ l ım

h→0

(Senh)h

Cos x

=(−Sen x) (0) + (1) Cos x= Cos x

Ejemplos

1. f (x) = Sen(

x4 + 1)

= Sen(u (x)) , con u (x) = x4 + 1 entonces

f ′ (x) = h ′ (u (x)) . u ′ (x) = Cos(u (x)) . u ′ (x) =[Cos

(x4 + 1

)]4x3 si h (x) = Sen x

2. Si f (x) = Sen3(x) = (Sen x)3 = u3, con u = Sen x entonces como f (x) = h(u(x))con h(x) = x3, u(x) = Sen x, entoncesf ′(x) = h ′(u(x))u ′(x) = 3(Sen x)2Cos x= 3Sen2x Cos x

3. Siy (x) = Sen4(

x2 + x−3 + 1)2

= u4, con u = Sen t, t = v2 y v = x2 + x−3 + 1

entonces:

y ′ (x) =dydx

=dydu

dudt

dtdv

dvdx

= 4u3 (Cos t) (2v)(

2x − 3x−4)

= 4 (Sen t)3 (Cos t) 2v(

2x − 3x−4) = 4(Sen v2

) 3 [Cos v2]

2v(

2x − 3x4)

= 4(

Sen(

x2 + x + 1)2)3

Cos(

x2 + x + 1)2

2(

x2 + x−3 + 1) (

2x − 3x−4)

Propiedad 13. Derivada del Coseno

Si f (x) = Cos x entonces f ′ (x) = −Sen x

En efecto:

f (x) = Cos x= Sen(

x + π/

2)

entonces f ′ (x) = Cos(

x + π/

2)

= −Sen x

Ejemplo

Si f (x) = Cos(

Sen(

x2 + 1)4)3

= Cos(

Sen u4)3

= Cos(Sen t)3 = Cos v3 = Cos z= h,

Es decir,f (x) = h (z(v ( t (u (x)))))

Page 350: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

342 Capıtulo 11. DERIVADAS

entonces

f ′ (x) = h ′ (z(v ( t (u (x))))) .z ′ (v ( t (u (x)))) .v ′ ( t (u (x))) . t ′ (u (x)) .u ′ (x) .1

= −Sen(

Sen(

x2 + 1)4)3

.3(

Sen(

x2 + 1)4)2

.Cos(

x2 + 1)4

.4(

x2 + 1)3

.2x.1

=

(d fdz

) (dzdv

) (dvdt

) (dtdu

) (dudx

)

Propiedad 14. Derivada de la Tangente

Si f (x) = Tan x entonces f ′ (x) = Sec2x

En efecto:

f (x) = Tan x=Sen xCos x

entonces

f ′ (x) =(Cos x) (Cos x) − (Sen x) (−Sen x)

Cos2x=

Cos2x + Sen2xCos2x

=1

Cos2x= Sec2x.

Propiedad 15. Derivada de otras funciones trigonometricas

Usando la derivada del cociente se puede demostrar que:

Si f (x) = Cotan x entonces f ′ (x) = −Csc2xSi f (x) = Sec x entonces f ′ (x) = Sec x·Tan xSi f (x) = Csc x entonces f ′ (x) = −Csc x·Cotan x.

Ejemplos

1. Seay (x) = Tan(Sen2x

)= h (u (g (x))) , con u = t 2 , t = Sen x= g (x) y

h (x) = Tanx, entonces

y ′ (x) = h ′ (u (g (x))) · u ′ (g (x)) · g ′ (x)

= Sec2 (u (g (x))) · 2t · Cos x=[Sec2

(Sen2x

)](2Sen x) (Cos x)

=

(dydu

) (dudt

) (dtdx

)

2. Siy (x) =Tan2/3

(√2x + 1

)

Cos(3x + 2), entonces

y ′ (x) =Cos(3x + 2)

[

2/

3Tan1/3√

2x + 1Sec2√

2x + 1(1/

2)

(2x + 1)−1/22]

[Cos(3x + 2) ]2

−[(

Tan2/3√

2x + 1)

(−Sen(3x + 2)) 3]

[Cos(3x + 2) ]2

Page 351: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 343

3. Siy (x) =

(

Sec

(

Sen1

x2/3

))

Sen(ax+ b) entonces

y ′ (x) =

[

Sec(

Sen x−2/3)

Tan(

Sen x− 2/3)

Cos x−2/3(

− 23

x−5/3)]

Sen(ax+ b) + Sec(

Sen x−2/3)

Cos(ax+ b) a

Propiedad 16. Derivada de la funcion exponencial ( 1 )

Si f (x) = ex entoncesf ′ (x) = ex

En efecto:

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h= l ım

h→0

ex+h − ex

h= l ım

h→0

ex(eh − 1

)

h

= ex l ımh→0

eh − 1h

= ex1 = ex

En forma mas general se tiene:

Propiedad 17. Derivada de la funcion exponencial ( 2 )

Si f (x) = ax entonces f ′ (x) = (ln a) · ax

En efecto:

f (x) = ax = ex ln a entonces f (x) = eg(x) = h (g (x)) con h(x) = ex y ası

f ′ (x) = h ′ (g (x)) · g ′ (x) = ex ln a ln a = ax · ln a.

Ejemplos

1. Si f (x) = e5x + 3x + Cos(

e2x+5 + x2)

entonces

f ′ (x) = 5e5x + 3x · ln 3− Sen(

e2x+5 + x2) ·(

2e2x+5 + 2x).

2. Si f (x) =x2e3x

x Cos xentonces

f ′ (x) =(x Cos x)

[x2e3x

] ′ − x2e3x (x Cos x) ′

(x Cos x)2

=(x Cos x)

[x2(

3e3x)

+ 2xe3x]− x2e3x (Cos x− x Sen)

(x Cos x)2

Page 352: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

344 Capıtulo 11. DERIVADAS

3. Si f (x) = 2Sen2x + 3x2+x + x−3 entonces

f ′ (x) =(

2Sen2x)′ +(

3x2+x)′

+(

x−3)′

=(

e(Sen2x) ln 2)′

+[

e(x2+x) ln 3]′− 3x−4

= e(Sen2x) ln 2 · (ln 2) 2Cos2x + 3x2+x · ln 3 (2x + 1) − 3x−4

= 2Sen2x · 2 ln 2Cos2x + 3x2+x ln 3 (2x + 1) − 3x−4

Propiedad 18. Derivada de la funcion logarıtmica ( 1 )

Si f (x) = lnx entonces f ′ (x) =1x

En efecto

f ′ (x) = l ımh→0

f (x + h) − f (x)

h= l ım

h→0

ln (x + h) − lnxh

= l ımh→0

ln

(x + h

x

)

h

= l ımh→0

ln

(

1 +1x

h

)

h=

1x

En forma mas general se tiene:

Propiedad 19. Derivada de la funcion logarıtmica ( 2 )

Si f (x) = loga x entonces f ′ (x) =1

( ln a) x, pues

f (x) = loga x =lnxlna

entonces f ′ (x) =

(1

lna

) (1x

)

Ejemplos

1. Si f (x) = ln (4x + 5) entonces f ′ (x) =1

(4x + 5). (4x + 5)′ =

44x + 5

2. Si f (x) = log3

(

ex2+1 + 3)

=ln(

ex2+1 + 3)

ln3entonces

f ′ (x) =1

ln 3

[1

ex2+1 + 3

] (

ex2+1 + 3)′

=1

ln3

(1

ex2+1 + 3

) (

ex2+1 .2x)

Page 353: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 345

3. Si f (x) = ln3(

Sen2(√

x2 +4x))

entonces

f ′ (x) = 3ln2(

Sen2√

x2 + 4x) [

ln(

Sen2√

x2 +4x)]′

= 3ln2(

Sen2√

x2 + 4x) ( 1

Sen2√

x2 + 4x

) (

Sen2√

x2 +4x)′

= 3ln2(

Sen2√

x2 + 4x) ( 1

Sen2√

x2 + 4x

)

(

2Sen(√

x2 + 4x)(

Cos√

x2 + 4x) ( 1

2√

x2 + 4x

)

(2x + 4)

)

4. Si f (x) = 2Tan x + log7 (Csc x) entonces

f ′ (x) = 2Tan x. ( ln2)(

Sec2x)

+1

( ln 7) (Csc x). (−Csc xCotg x)

EJERCICIOS

Hallar la derivada de las funciones:

1. f (x) = Cos( log6 (3 + 4x ))

2. f (x) =√

4x+ 4x + x4 ln 1/

x

3. f (x) = ln

[√Sec x+ 4lnxex − e−x

]

4. f (x) = Csc(

3Tan(√

xSen x))

5. f (x) = 6x + x6 + 66 + log6x + logxx + log66

6. f (x) = Sen3x + Sen x3 + Sen3x3 + Sen2x + 2Sen x+ 2Sen2x

7. f (x) =

(

ln

(

Sen

(

1 +1x

))3/4)

Csc(1+ ex + 6x ) .

Propiedad 20. Derivada de la exponencial generalizada

Si f (x) = [g (x) ]h(x) entonces

f ′ (x) =[

g (x)h(x)] [ h (x) · g ′ (x)

g (x)+ h′ (x) . ln (g (x))

]

,

Page 354: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

346 Capıtulo 11. DERIVADAS

En efecto

f (x) = [g (x) ]h(x) = eh(x) · ln(g(x)) y por tanto

f ′ (x) = eh(x) · ln(g(x))[

h (x)

g (x)· g′ (x) + h ′ (x) · ln (g (x))

]

= [g (x) ]h(x)[

h (x) · g ′ (x)

g (x)+ h ′ (x) · ln (g (x))

]

Ejemplos

1. Seaf (x) = xx = ex lnx entonces

f ′ (x) = ex ln x (xlnx)′

= xx(

lnx +xx

)

= xx ( lnx + 1)

2. Seaf (x) = (Sen x)√

x = e√

x ln Sen x entonces

f / (x) = e√

x ln Sen x(√x ln Sen x)′

= (Sen x)√

x(

12√

xln Sen x+

√x · 1

Sen x· Cos x

)

3. Seaf (x) =(

x3 + x)x+1

= e(x+1) ln(x3+x) entonces

f ′ (x) = e(x+1) ln(x3+x) [(x + 1) ln(

x3 + x)]′

=(

x3 + x) x+1

(

ln(

x3 + x)

+ (x + 1) · 1x3 + x

(3x2 + 1

))

EJERCICIOS

Hallar la derivada de las funciones:

1. f (x) = x lnx 2. f (x) = (xx)x

3. f (x) = x3x+ x3 lnx +

(Sec2x

)ex

4. f (x) =(

Sen x√

x)8x

5. f (x) = xSen2 x+2+Sec32x

Propiedad 21. Derivada de funcion potencial ( 4 )

Si f (x) = xα , α ∈ R entonces f ′ (x) = α xα −1 en efecto:f (x) = xα = eα lnx entonces

f ′ (x) = eα lnx (α lnx)′ = xα · α(1/

x)

= α · xα −1

Page 355: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 347

Ejemplos

1. Si f (x) = x√

3 entonces f ′ (x) =√

3 · x√

3−1

2. Si f (x) = xπ entonces f ′ (x) = π · x π −1

3. Si f (x) = (Cos x+ log38)π entonces

f ′ (x) = π (Cos x+ log38)π −1 · (−Sen x)

Propiedad 22. Derivada de la funcion inversa

Si f −1 (x) es la inversa de f (x) entonces[

f −1(x)]′

=1

f ′ ( f −1(x))En efecto; puesto quef

(f −1 (x)

)= x entonces

1 =ddx

[f(

f −1 (x))]

= f ′ ( f −1 (x))· d

dx

(f −1 (x)

)y ası

ddx

(f −1 (x)

)=

1f ′ ( f −1 (x))

Ejemplo

Seaf (x) = 2x + 5, entoncesf −1 (x) =x − 5

2y

f ′ (x) = 2,[

f−1(x)]′

=12

En forma explıcita, aplicando el resultado anterior se tiene que

ddx

(f −1 (x)

)=

1

f ′(

x − 52

) =12

para el caso de las funciones trigonometricas e hiperbolicas inversas esta propiedad no se aplica direc-tamente sino que de ellas se deducen formulas para calcular sus derivadas.

Propiedad 23. Derivada del Arcoseno

Si f −1 (x) = ArcSen x entonces[

f −1 (x)]′

=1√

1− x2

Como f −1 (x) = ArcSen x es la inversa de f (x) = Sen x, − π2

≤ x ≤ π2

entonces por la propiedad 20 y porf ′ (x) = Cos x se tiene que:

ddx

f −1 (x) =ddx

(ArcSen x) =1

Cos(ArcSen x)

=1

1− Sen2 (ArcSen x)=

1√1− x2

Page 356: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

348 Capıtulo 11. DERIVADAS

Ejemplos

1. Si f (x) = ArcSen22x entonces f ′ (x) = 2 (ArcSen2x) · 2√

1− (2x)2

2. Si f (x) = ArcSen(

x2 + 3x)

entonces f ′ (x) =1

1− (x2 + 3x)2· (2x + 3)

3. Si f (x) = ex2+1 · ArcSen(Cos x) entonces

f ′ (x) =(

ex2+1)′

(ArcSen(Cos x)) + ex2+1 (ArcSen(Cos x))′

= ex2+1 · 2x (ArcSen(Cos x)) + ex2+1 · 1√1− Cos2x

· (−Sen x)

Propiedad 24. Derivada de otras funciones trigonometricas inversas

En forma analoga a 23. se puede demostrar que:

a) Si f −1 (x) = ArcCos x entonces[

f −1 (x)]′

=−1√1− x2

b) Si f −1 (x) = ArcTan x entonces[

f −1 (x)]′

=1

1 + x2

c) Si f −1 (x) = ArcCotgx entonces[

f −1 (x)]′

= − 11 + x2

d) Si f −1 (x) = ArcSec x entonces[

f −1 (x)]′

=1

|x|√

x2 − 1

e) Si f −1 (x) = ArcCsc x entonces[

f −1(x)]′

= − 1

|x|√

x2 − 1

Propiedad 25. Derivada del Seno hiperbolico

Si f (x) = Senh x=ex − e−x

2entonces f ′ (x) = Cosh x en efecto:

ddx

(Senh x) =ddx

(ex − e−x

2

)

=ex + e−x

2= Cosh x

Ejemplos

1. Si f (x) = Senh(

4x2 + 1)

entonces

f ′ (x) = Cosh(

4x2 + 1) d

dx

(4x2 + 1

)= 8x Cosh

(4x2 + 1

)

Page 357: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 349

2. Si f (x) = Senh(ex + 2x) entonces

f ′ (x) = [Cosh(ex + 2x ) ] (ex + 2x ln2)

3. Si f (x) = Senh(Cos x) entonces

f ′ (x) = [Cosh(Cos x) ] · (−Sen x)

4. Si f (x) = x2 Senh2x entonces

f ′ (x) = 2x Senh2x + x2 (Cosh2x) · 2

5. Si f (x) = ArcTan(

x2 + 2)

entonces

f ′ (x) =1

1 + (x2 + 2)2 · 2x

Propiedad 26. Derivada de otras funciones hiperbolicas

Usando las definiciones:

Cosh x=ex + e−x

2, Tanh x=

Senh xCosh x

,

Coth x=Cosh xSenh x

, Sech x=1

Cosh x,

Csch x=1

Senh x

se puede demostrar que:

a)ddx

(Cosh x) = Senh x

b)ddx

(Tanh x) = Sech2x

c)ddx

(Coth x) = −Csch2x

d)ddx

(Sechx) = − Sech x· Tanh x

e)ddx

(Csch x) = −Csch x· Coth x

Ejemplos

1. Si f (x) = Cosh3 (3x + 1) entonces

f ′ (x) = 3Cosh2 (3x + 1) [Senh(3x + 1) ] 3

Page 358: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

350 Capıtulo 11. DERIVADAS

2. Si f (x) = (Sech2x) Coth(x2 + 1

)entonces

f ′ (x) = (Sech2x)′ Cotgh(

x2 + 1)

+ Sech2x(Cotgh

(x2 + 1

))′

= (− Sech2x Tanh2x) 2Coth(

x2 + 1)

+ Sech2x(−Csch2 (x2 + 1

))(2x)

3. Si f (x) =Tanh2 3xx Cosh x

entonces

f ′ (x) =(x Cosh x)

(Tanh2 3x

)′ −(

Tanh2 3x)

(x Cosh x)′

(x Cosh x)2

=(x Cosh x) (2Tanh3x)

(Sech2 3x

)3−

(Tanh2 3x

)(Cosh x+ x Senh x)

(x Cosh x)2

4. Si f (x) =[Csch

(x3 + 1

)]ArcCotg(

√x) entonces

f ′ (x) =[Csch

(x3 + 1

)]′ArcCot

(√x)

+ Csch(

x3 + 1) (

ArcCotg√

x)′

=[−Csch

(x3 + 1

)Cotgh

(x3 + 1

)]3x2ArcCotg

√x + Csch

(x3 + 1

)

(

−1

1 + (√

x)2

)

12√

x

5. Si f (x) = (Senh x)ArcTan x entonces

f (x) = (Senh x)ArcTan x = eArcTan xln(Senh x) y ası

f ′ (x) = (Senh x)ArcTan x(ArcTan xln (Senh x))′

f ′ (x) = (Senh x)ArcTan x[(

11 + x2 ln Senh x

)

+ (ArcTan x)1

Senh xCosh x

]

, luego

f ′ (x) = (Senh x)ArcTan x[

11 + x2 lnSenh x+ ArcTan xCoth x

]

Propiedad 27. Derivada de funciones hiperbolicas inversas

Usando las definiciones de las funciones hiperbolicas inversas:

a) Senh−1x = ln(

x +√

1 + x2)

b) Cosh−1x = ln(

x +√

x2 − 1)

c) Tanh−1x =12

ln

(1 + x1− x

)

d) Cotgh−1x =12

ln

(x + 1x − 1

)

Page 359: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.3. PROPIEDADES Y CALCULO DE DERIVADAS 351

e) Sech−1x = ln

(

1 +√

1− x2

x

)

f ) Csch−1x = ln

(

1 +√

1 + x2

x

)

se puede demostrar que:

a)ddx

(Senh−1x

)=

1√1 + x2

b)ddx

(Cosh−1x

)=

1√x2 − 1

c)ddx

(Tanh−1x

)=

11− x2

d)ddx

(Cotgh−1x

)=

11− x2

e)ddx

(Sech−1x

)=

−1

x√

1− x2

f )ddx

(Csch−1x

)=

1

x√

1 + x2

Ejemplos

1. Si f (x) = Cosh−1ex entonces

f ′ (x) =1

(ex)2 − 1

ddx

(ex) =1√

e2x − 1ex

2. Si f (x) = 2Tanh−1(

Tanx2

)

entonces

f ′ (x) = 21

1− Tan2(x/

2)

ddx

(Tan

(x/

2))

=2

1− Tan2(x/

2)(

Sec2(x/

2))(

1/

2)

=Sec2

(x/

2)

1 − Tan2(x/

2)

3. Si f (x) = Cotgh−1(1/

x)

entonces

f ′ (x) =1

1−(

1/

x)2

ddx

(1x

)

=−1/

x2

1− 1/

x2=

−1x2 − 1

Page 360: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

352 Capıtulo 11. DERIVADAS

4. Si f (x) = Sech−1 (Cos x+ Sen x) entonces

f ′ (x) =−1

(Cos x+ Sen x)√

1− (Cos x+ Sen x)2

ddx

(Cos x+ Sen x)

=−1

(Cos x+ Sen x)√

1− (Cos x+ Sen x)2(−Sen x+ Cos x)

5. Si f (x) = Tanh−1 (Sech(2x + 2)) entonces

f ′ (x) =1

1− (Sech(2x + 2))2

ddx

(Sech(2x + 2))

=1

1− [Sech(2x + 2) ]2 (−Sech(2x + 2) Tanh(2x + 2)) 2

EJERCICIOS

Hallar la derivada de las funciones:

1. f −1 (x) si f (x) = x2 , x > 1

2. f −1 (x) si f (x) = 3x + 5

3. f (x) = x√

2 + x2π + (Sen x+ 2)√

2

4. f (x) = ( lnx + Cos x+ ex )√

5 +1

5. f (x) =(ArcSen43x

)(ArcCos(Cos2x))

6. f (x) = [ArcTan(Sen x) ]x+2

7. f (x) = [ArcSec(Senh x) ] ArcCos(Sech x)

8. f (x) = (ArcTan x)ArcCos(x2)

11.4. DERIVADAS DE FUNCIONES EN FORMA PARAM ETRICA

11.4.1. Parametrizacion de curvas en el plano

Dada una curva en el plano que representa o no una funcion, esta curva al ”estirarla” se convierte enun segmento de recta, estableciendose ası una correspondencia biunıvoca entre los puntos del segmen-to (elementos de un intervaloI ) y los puntos de la curva (elementos deR2), es decir, se puede construiruna funcionα : I → R2 tal que a cada numero realt enI , le corresponda el puntoα(t) = (x(t)), y(t))sobre la curva y ası a medida quet recorre el intervalo I en un sentido,α(t) recorre la curva en de-terminado sentido, es decir, el recorrido de esta funcion representa los puntos de la curva y le da unaorientacion. Esta forma de representar curvas es lo que se conoce comoparametrizacion(Figura 11.7).

Page 361: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.4. DERIVADAS DE FUNCIONES EN FORMA PARAMETRICA 353

y

x

t

α(t) = (x(t),y(t))

FIGURA N◦ 11.7

El intervaloI , llamado intervalo de parametrizacion, no debe ser necesariamente igual a la longitudde la curva. Para observar esto recuerde que dos segmentos de rectade diferente tamano siempre sepueden poner en correspondencia uno a uno (Figura 11.8).

l

I

FIGURA N◦ 11.8

De este resultado se puede deducir que dada una curva, existiran infinitas parametrizaciones dela misma, pues al cambiarI , cambia la funcion (x(t), y(t)), por consiguiente existiran intervalos decualquier tamano equivalentes a I y por tanto equivalentes a la curva. (equivalentes en el sentido deque entre los dos conjuntos se puede establecer una correspondenciabiunıvoca).

Ejemplo 1

Si una curva representa una funciony = f (x) con dominio[a,b], es evidente que a cada puntot ∈ [a,b] le corresponde un punto sobre la curva, de coordenadas(x,y)= (t, f (t)), luego la parametrizacionaquı es inmediata, tomandoI = [a,b] x(t) = t y y(t) = f (t) con t ∈ I (Figura 11.9).

Page 362: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

354 Capıtulo 11. DERIVADAS

y

xa b

l = Dominio de f

l

y = f (x)

α(t) = (x(t),y(t))

FIGURA N◦ 11.9

Ası por ejemplo sif (x) = x2 conx∈ [−1,2], entonces una parametrizacion esta dada porα(t) = (t, t2) con t ∈ [−1,2].

Ejemplo 2

Dada la elipsex2

a2 +y2

b2 = 1 que no representa una funcion, observe que la funcion

α(t) = (aCos t, bSen t) con t ∈ [0,2π] es un parametrizacion de ella; pues cualquier punto conabscisax(t) = aCos t y ordenada y(t) = bSen tsatisface la ecuacion de la elipse ya que:

a2Cos2 ta2 +

b2Sen2 tb2 = Cos2 t + Sen2 t = 1

a t = 0, le corresponde el puntoα(0) = (aCos0,bSen0) = (a,0) que sera el punto de partidade la curva; a t = π, le corresponde el puntoα(π) = (aCosπ,bSenπ) = (−a,0), y a t = 2π, lecorresponde el puntoα(2π) = (aCos2π,bSen2π) = (a,0), lo que indica que la elipse esta orientadasiguiendo el movimiento opuesto al de las manecillas del reloj. (Figura 11.10)

y

x

(0,b)

(0,−b)

(a,0)(−a,0)

0 2πt

α(t)

FIGURA N◦ 11.10

Page 363: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.4. DERIVADAS DE FUNCIONES EN FORMA PARAMETRICA 355

NOTA 1:

Puesto que cuandoa = b, la elipse se convierte en una circunferencia de radioa, entonces unaparametrizacion deesta, esta dada por:

α(t) = (aCos t,aSen t) con t ∈ [0,2π]

NOTA 2:

Observe que esta parametrizacion no esunica, pues la funcion

β (t) = (aCos2πt,aSen2π t) con t ∈ [0,1]

es otra parametrizacion para la circunferencia.

NOTA 3:

Si la elipse esta trasladada, es decir, si su ecuacion es:

(x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 = 1

su parametrizacion mas comun es: α(t) = (h + aCos t,k + bSen t) con t ∈ [0,2π]que corresponde a trasladar primero el centro de la elipse al origen y luego parametrizarla como se vioatras.

Ejemplo

Para la rectax = k (k constante) que no representa una funcion, una parametrizacion es:α(t) = (k, t) con t ∈ (−∞,+∞), la cual la orienta de abajo hacia arriba.

En general dada una curva no es sencillo hallar una parametrizacion de ella, pues en muchos casosdepende de la forma como tal curva se construye. A continuacion se dan unas curvas y sus parametriza-ciones mas usadas:

1. Astroide. Cuya ecuacion cartesiana esx2/3 +y2/3 = a2/3 (Figura 11.11)

y

x

(0,b)

(0,−b)

(a,0)(−a,0)

0 2πt

α(t)

Page 364: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

356 Capıtulo 11. DERIVADAS

FIGURA N◦ 11.11

Una parametrizacion esα(t) = (aCos3 t,aSen3 t) con t ∈ [0,2π].

2. Cicloide. Que corresponde a la curva que describe un punto fijo sobre una circunferencia deradioa, al rodar esta circunferencia sobre una recta (Figura 11.12).

y

x

FIGURA N◦ 11.12

Tiene como ecuacion parametrica a: α(t) = (x(t),y(t)) = (a(t−Sen t),a(1−Cos t) con t ∈ [0,2π]si se considera solamente uno de los arcos, ot ∈ [0,4π] si se consideran dos etc.

11.4.2. Derivadas

Seaα(t) = (x(t),y(t)) con t ∈ [a,b] una parametrizacion de una curva C, entonces comoα(t) esuna funcion con dominio en R, se puede pensar en calcular su derivada de la formausual, solamenteque es preciso tener en cuenta queα(t +h),α(t) no representan numeros reales sino elementos deR2,los cuales sabemos sumar y multiplicar por un escalar, y ademash aquı representa un escalar, de estaforma:

α ′(t) = l ımh→0

α(t +h)−α(t)h

= l ımh→0

(x(t +h), y(t +h))− (x(t), y(t))h

= l ımh→0

(x(t +h)−x(t)

h,

y(t +h)−y(t)h

)

=

(

l ımh→0

x(t +h)−x(t)h

, l ımh→0

y(t +h)−y(t)h

)

= (x ′(t), y ′(t))

Pero ¿Que representa geometricamente el vectorα = (x ′(t), y ′(t))?

Suponga que esta parametrizacion orienta la curva como se indica en la Figura 11.13.

Page 365: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.4. DERIVADAS DE FUNCIONES EN FORMA PARAMETRICA 357

t +h

h > 0

t

α(t)α(t +h)

FIGURA N◦ 11.13

por tanto sih > 0, el puntoα(t +h) se aleja del puntoα(t) sobre la curva en el sentido que indicala flecha.

α(t + h)−α(t) representa el vector que va del puntoα(t) al puntoα(t + h) y puesto queh es

un escalarh > 0, parah fijo,α(t +h)−α(t)

hrepresenta un vector paralelo aα(t + h)−α(t) con el

mismo sentido. Observe que a medida queh se haga mas pequeno, el puntoα(t +h) se va acercando

al puntoα(t) y el vectorα(t +h)−α(t)

hva adoptando la posicion de vector tangente a la curva en el

puntoα(t); observe que la magnitud de ese vector no se va haciendo cero, puesto que el factor1h

para

h pequeno toma valores grandes.

Para el caso ideal en queh tienda a cero, el vectorα ′(t) = l ımh→0

α(t +h)−α(t)h

representa un vector

tangente a la curva en el puntoα(t) siguiendo la orientacion de la curva. (haga el mismo analisis parah < 0 y observe que no varıa la orientacion deα ′(t)).

Ejemplo

Si α(t) = (t, t 2) entonces α ′(t) = (1,2t)

Ejemplo

Si α(t) = (a(t −Sen t), a(1−Cos t)) entonces α ′(t) = (a(1−Cos t), aSen t)

Ejemplo

Si α(t) = (t,et) entonces α ′(t) = (t,et)

Dada una curva C con representacion parametricaα(t) = (x(t), y(t)), si se quiere calcular la pendi-ente de la recta tangente a esta curva en un punto(a,b), si esta curva representa una funciony = f (x)

entonces esta pendiente esta dada pordydx

evaluada en el puntox= a, pero si no lo es, estedydx

se puede

Page 366: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

358 Capıtulo 11. DERIVADAS

calcular utilizando el hecho de que tantox comoy dependen det y utilizando la regla de la cadena:

dydx

=dydt

· dtdx

=

dydtdxdt

;

(dxdt

6= 0

)

y tantodydt

, comodxdt

se pueden calcular en forma explıcita.

Ejemplo

Hallar la pendiente de la recta tangente al cicloidex = t −Sen t, y = 1−Cos t en el punto(π/2−1,1).

dydx

=

dy

dtdx

dt

=Sen t

1−Cos t

ahora el punto (x,y) = (π/2−1,1) corresponde at = π/2 , luego la pendiente en el punto

(π/2−1,1) esta dada pordydx

∣∣∣∣t=π/2

=Sen(π/2)

1−Cos(π/2)=

11

= 1

EJERCICIOS

I. Hallar la ecuacion cartesiana de cada una de las siguientes curvas:

1. x = Cosθ , y = 4Sen2 θ 2. x = t/2, y = 4− t 2

3. x = 2+ t, y = 1+ t 2 4. x = 2Sen t, y = Cos2t

5. x = at2−5, y = 2t +3 6. x = et , y = e−2t

7. x = Sec t, y = Tan t 8. x = t 2, y = 2 ln t, t > 0

9. x = Sec t, y = Csc t, 0 < t < π/2 10. x =√

t, y = 5− t, t > 0

11. x = Cos2θ , y = Senθ 12. x = t 2, y = t 4 +3t 2−1

II. Hallar una ecuacion parametrica de:

1. y = −x2 2. y = 1−x2

3. El eje z 4. El segmento de recta que une(2,3,4) con (3,5,7)

5. y = −x2 +4 6. x+y = 4

7. x2−y2 = 1 8. x2 +4y2 = 9

9. x = 10 10. El eje x

11. (x−1)2 +(y−3)2

4= 9

III. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva:

Page 367: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 359

1. x =√

t, y = t − 1√t, en t = 4

2. x =1

t 2 +1, y = t 3, en t = 2

3. x = et , y = e3t , en t = ln 2

4. x = 4t 2−5, y = 2t +3, en t = 1

11.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

11.5.1. Aceleracion de una partıcula

Recuerde que dada una partıcula que ocupa las posicionesE(t) a lo largo de una recta en el instantet, con velocidad variable, la expresion E

′(t) representa esta velocidad en cada instantet. Si se quiere

ahora representar la aceleracion en un instantet, inicialmente considere el caso de queesta es constanteo sea esta dada por,

a(t) =Velocidad f inal− Velocidad inicial

tiempo

es decir,

a(t) =v(t +h)−v(t)

h

en un intervalo de tiempo[t, t +h].

Ahora si en este intervalo de tiempo[t, t +h] la aceleracion varıa, la expresion de arriba representala aceleracion media. Si se quiere calcular la aceleracion en un instante especıfico t0, entonces alhacerh muy pequeno, esta aceleracion media se aproximara a la aceleracion instantanea, siendo estaaproximacion mejor a medida queh se haga mas pequeno, y en el caso ideal en queh tienda a 0, seobtiene la aceleracion instantanea en ese instante, es decir:

a(t0) = l ımh→0

v(t0 +h)−v(t0)h

= v′(t0) =ddt

(v(t0)) =ddt

(ddt

(E(t0))

)

expresion que se conoce como la segunda derivada de la funcionE(t) en el puntot0 y que a contin-uacion se tratara en forma mas general.

11.5.2. Definiciones

Dada una funcion y = f (x), puesto que su derivada es tambien una funcion, se puede pensar enderivarla en aquellos puntos donde exista esa derivada. A esta nuevafuncion resultante se le llama lasegunda derivada de la funcion f(x) y se nota:

f ′′(x) o y′′ od2ydx2

Page 368: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

360 Capıtulo 11. DERIVADAS

es decir

f ′′(x) =d2 fdx2 =

ddx

(ddx

f (x)

)

Ejemplos

1. Seaf (x) = Sen(x5 +3x), halle f ′′(x) y f ′′(1)

f ′(x) =(Cos(x5 +3x)

)(5x4 +3)

f ′′(x) =(Cos(x5 +3x)

)′(5x4 +3)+

[Cos(x5 +3x)

](5x4 +3)′

=(−Sen(x5 +3x)

)(5x4 +3)(5x4 +3)+

[Cos(x5 +3x)

](20x3)

por consiguientef ′′(1) = (−Sen(4))(64)+(Cos(4))(20)

2. Seaf (x)

{x2 si x > 0

−x2, si x < 0hallar f ′′(x). Que esf ′′(0)?

a) Si x > 0 entoncesf ′(x) = 2x y f ′′(x) = 2

b) Si x < 0 entoncesf ′(x) = −2x y f ′′(x) = −2

c) f ′(0) = l ımh→0

f (0+h)− f (0)

h= l ım

h→0

f (h)− f (0)

h= l ım

h→0

f (h)

h= 0 pues

lımh→0+

f (h)

h= l ım

h→0+

h2

h= l ım

h→0+h = 0 y

lımh→0−

f (h)

h= l ım

h→0−

−h2

h= l ım

h→0−−h = 0 ası:

f ′(x) =

2x si x > 00 si x = 0

−2x si x < 0

d) Si x > 0 entoncesf ′′(x) = 2 y si x < 0, f ′′(x) = −2 y

f ′′(0) = l ımh→0

f ′(0+h)− f ′(0)

h= l ım

h→0

f ′(h)

hel cual no existe, pues

lımh→0+

f ′(h)

h= l ım

h→0+

2hh

= l ımh→0+

2 = 2 y

lımh→0−

f ′(h)

h= l ım

h→0−

−2hh

= l ımh→0−

−2 = −2 ası:

lımh→0+

f ′(h)

h6= l ım

h→0−

f ′(h)

hpor tanto:

f ′′(x) =

2 si x > 0no existe six = 0

−2 si x < 0

Page 369: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 361

3. Seaf (x) =

{x4 si x≥ 0−x4 si x < 0

entonces

analogamente como se desarrollo en el ejemplo anterior se tiene que

f ′(x) =

4x3 si x > 00 si x = 0

−4x3 si x < 0y f ′′(x) =

12x2 si x > 00 si x = 0

−12x2 si x < 0

En forma analoga a como se definio la segunda derivada def (x), se puede definir la tercera derivada

de f (x) como la derivada def ′′(x), (y se nota porf ′′′(x)) o f (3)(x)), es decir,f ′′′(x) =ddx

( f ′′(x)), y

ası sucesivamente se pueden definir la cuarta, la quinta derivada etc.:

f (4)(x) =d4 fdx4 =

ddx

( f (3)(x))

f (5)(x) =d5 fdx5 =

ddx

( f (4)(x))

. . . f (n)(x) =dn fdxn =

ddx

( f (n−1)(x))

Ejemplos

1. Si f (x) = x10+x3 +x+1 entonces

f ′(x) = 10x9 +3x2 +1, f ′′(x) = 90x8 +6x, f (3)(x) = 720x7 +6; f (4)(x) = 5040x6

y de aqui por ejemplof (4)(−1) = 5040(−1)6 = 5040

2. Hallar f (n)(x) si f (x) = eax

f ′(x) = aeax; f′′(x) = a·a·eax; f ′′′(x) = a2 ·aeax = a3eax. . . f (n)(x) = aneax

Ejemplo

Seaf (x) = Sen(x), hallar f (n)(x)

f (x) = Sen x, f ′(x) = Cos x= Sen(π

2+x)

, f (2)(x) = −Sen x= Sen(

2· π2

+x)

,

f (3)(x) = −Cos x= Sen(

3· π2

+x)

, . . . f (n)(x) = Sen(n.π

2+x)

Page 370: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

362 Capıtulo 11. DERIVADAS

Ejemplo

Hallar la derivada n-esima dey(x) = f (x) ·g(x)

y′(x) = f ′(x) ·g(x)+ f (x) ·g′(x)

y′′(x) = f ′′(x) ·g(x)+ f ′(x) ·g′(x)+ f ′(x) ·g ′(x)+ f (x) ·g′′(x)

= f ′′(x) ·g(x)+2 f ′(x) ·g′(x)+ f (x) ·g′′(x) (y derivandoy ′′ y simplificando se tiene que)

y′′′(x) = f ′′′(x) ·g(x)+3 f ′′(x) ·g′(x)+3 f (x) ·g′′(x)+ f (x) ·g′′′(x)

si se continua derivando se puede apreciar una analogıa con el desarrollo de(a+ b)n, donde losexponentes en este caso representan el orden de la derivada yf (0)(x) representa la funcion f (x), pues

(a+b)1 = a+b = a1b0 +a0b1

(a+b)2 = a2 +2ab+b2 = a2b0 +2a1b1 +a0b3

(a+b)3 = a3 +3a2b+3ab2 +b3 = a3b0 +3a2b1 +3a1b2 +a0b3

por tanto usando la induccion matematica, en forma analoga como se demostro el teorema delbinomio (apendice):

(a+b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk, se puede demostrar la llamadaformula de Leibnitzpara la derivada n-esima

del producto de dos funciones

( f (x)g(x))(n) =n

∑k=0

(nk

)

f (n−k)(x)g(k)(x)

Ejemplos

1. Siy(x) = xex, hallary(n)(x)

y(n) = (xex)(n) = (exx)(n) =n

∑k=0

(nk

)

(ex)(n−k)(x(k)) =n

∑k=0

(nk

)

(ex)(x(k))

=

(n0

)

exx+

(n1

)

ex1

pues las derivadas dex de orden superior a 1 son todas cero.

Page 371: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.6. DERIVACION IMPLICITA 363

2. Siy(x) = (1−x2)Cos x, hallary(n)(x)

y(n)(x) =((1−x2)Cos x

)(n)=(Cos x(1−x2)

)(n)=

n

∑k=0

(nk

)

(1−x2)k (Cos x)(n−k)

=n

∑k=0

(nk

)

(1−x2)(k)Cos

(

x+(n−k)

2π)

=

(n0

)

(1−x2)(0)Cos

(

x+(πn)

2

)

+

(n1

)

(1−x2)(1)Cos

(

x+(n−1)π

2

)

+

(n2

)

(1−x2)(2)Cos

(

x+(n−2)π

2

)

+

(n3

)

(1−x2)(3)Cos

(

x+(n−3)π

2

)

+

. . .+

(nn

)

(1−x2)(n)Cos(x+0)

=

(n0

)

(1−x2)Cos(

x+πn2

)

+

(n1

)

(−2x)Cos

(

x+(n−1)π

2

)

+

(n2

)

(−2)Cos

(

x+(n−2)π

2

)

pues las derivadas de 1−x2 paran≥ 3 son cero.

EJERCICIOS

1. Seaf (x) = Sen3 x , halle f (4)(x), f (2)(π)

2. Seaf (x) = e4x , halle f (3)(x)

3. Halledn

dxnxn

4. Halledn

dxn

(1

1−2x

)

5. Si f (x) =

2x+1 si x> 23 si x= 2−x+2 si x< 2

halle f ′′(x)

6. Si f (x) =

x2 +x+1 si x> 01 si x= 0−x+2 si x< 0

halle f ′′(0), f ′′(2), f ′′′(5)

11.6. DERIVACION IMPL ICITA

Toda ecuacion en dos variables(x,y), se puede expresar de la formaF(x,y) = 0, por ejemplox2 +y2 +3 = 0, y−x2 = 0, x2 +y2−1 = 0, x−2 = 0.

Page 372: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

364 Capıtulo 11. DERIVADAS

Graficamente, cuando la solucion no es vacıa, los puntos(x,y) que satisfacen una ecuacion de estetipo, representan un conjunto de puntos en el plano (una curva enR2), los cuales definen una funciono una relacion no funcional, ası por ejemplo, la ecuacionx2+y2+3 = 0 no tiene solucion y por tantono representa ningun punto en el plano; la ecuacion y−x2 = 0, representa una parabola abierta haciaarriba que es la grafica de una funcion; la ecuacionx2 +y2−1 = 0, representa una circunferencia concentro en el origen y radio 1, que no es funcion y la ecuacion x−2 = 0, representa una recta verticalque tampoco es una funcion.

Cuando la expresionF(x,y) = 0 representa una funcion, entonces a cada valor dex corresponde ununico valor dey, es decir, ”y” se puede expresar en la formay = f (x) y ası F(x, f (x)) = 0 para todox ∈ D f y en este caso se dice que la funcion f (x) esta definida en forma explıcita o queF(x,y) = 0define explıcitamente a la funcion f (x).

Cuando la ecuacionF(x,y) = 0 representa en el plano una curva que no es una relacion funcional esposible subdividir dicha curva en subcurvas que representen funciones, (no considerando si es del casoen la curva original los sectores de curvas completamente verticales), comose puede apreciar en lafigura 11.14. en la cual la curva representaF(x,y) = 0 que no es funcion, se subdivide en 7 funciones:f1 . . . f7

f6

f 7

f1

f2

f3

f4

f5

y

x

FIGURA N◦ 11.14

Es evidente que si algun punto(x,y) satisface la funcion y= f j(x) para algun j, 1≤ j ≤ 7 en-tonces este punto satisface la ecuacion F(x,y) = 0 ; en casos comoestos se dice que las funcionesf1 . . . f7 estan definidas implıcitamentepor la ecuacion F(x,y) = 0 , observe que no es sencillohallar estas funcionesf1 . . . f7 a partir de F(x,y) = 0. Si la curva que representaF(x,y) = 0 essuave (no tiene picos y es continua), dado un punto(a,b) sobre la curva, es posible hallar la rectatangente a ella en este punto, pero ¿como se halla la pendiente de esta recta?, si se supone que elpunto esta sobre el tramo correspondiente a la funcion fk(x)(k f i jo) , esta pendiente estarıa dadapor fk

′(a) , pero como en general no es posible hallar esta funcion fk(x) , es necesario encontraruna forma de hallar esta pendiente a partir de la ecuacion F(x,y) = 0.El metodo para ello consiste en encontrar una expresion para dy

dx que depende dex y y de tal forma

Page 373: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.6. DERIVACION IMPLICITA 365

que al reemplazar(x,y) en esta expresion por cualquier punto(a,b) que satisface la ecuacionF(x,y) = 0 , el numero resultante representa la pendiente de la recta tangente en ese punto.Para hal-lar la expresion dy

dx es necesario tener en cuenta que para un puntox, y puede estar representado pormas de una expresion (y = f i(x) para algun i = 1,2, . . . ,7) , por tanto mientras no se especifiquefk(x) , y puede representar cualquiera de estas funciones y ası derivando la expresion F(x,y) = 0 ,respecto ax, considerando ay donde aparezca, como funcion dex, es posible despejardy

dx en termi-nos dex y y. Al derivar F(x,y) = 0 respecto ax, se aplicaran las propiedades de las derivadas quesean necesarias sin olvidar quey es funcion dex, ası por ejemplo:

Si aparece el terminox2y, al derivarlo resulta:x2dydx

+2xy

Si apareceSen3 y2, al derivarlo resulta: 3Sen2y2. Cos y2. 2y.dydx

A este metodo de derivacion se le conoce con el nombre dederivacion implıcita.

Ejemplos

1. La ecuacionx2 +y2 = 4 es de la formaF(x,y) = 0 y define implıcitamente las funcionesf1(x) =

√4−x2 y f2(x) = −

√4−x2 que corresponden a la parte superior e inferior de la

circunferencia con centro en el origen y radio 2.

Observe que la ecuacionx2 +y2 = 4 cuya grafica es la circunferencia completa, no representauna funcion.

Suponga que se tiene un punto(a,b) sobre la circunferencia, diferente de(2,0) y (−2,0), yse desea hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, la cual evidentementeexiste independientemente de si(a,b) pertenece al grafico de f1(x) o f2(x). Para hallarla se

encuentra inicialmentedydx

, donde cony estamos representando af1(x) o a f2(x). De acuerdo a

lo expuesto anteriormente se tiene que:

2x+2y· dydx

−0 = 0⇒ dydx

= −2x2y

= −xy

ası el punto(a,b) pertenece a la grafica f1(x) de entonces la pendiente buscada es:

−ab

que representa adydx

∣∣∣∣

x=a=

−af1(a)

=−a√4−a2

y si el punto(a,b) pertenece a la grafica def2(x) entonces la pendiente buscada es:

−ab

que representa adydx

∣∣∣∣

x=a=

−af2(a)

=−a

−√

4−a2=

a√4−a2

(Figura 11.15)

Pero en general no es necesario conocer esas funcionesf1(x) y f2(x) pues dado cualquier punto(a,b) sobre la curva (diferente de (2,0) y (-2,0) donde las rectas tangentes son verticales), la

pendiente de la recta tangente en ese punto esta dada pordydx

∣∣∣∣(a,b)

= −xy

∣∣∣∣(a,b)

= −ab

Page 374: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

366 Capıtulo 11. DERIVADAS

y

x

x2 +y2−4 = F(x,y) = 0

y

xf1(x)

(a,b)

y

xf2(x)

(a,b)

FIGURA N◦ 11.15

2. Hallardydx

.

La ecuacion x2ey +xSen y−4 = 0 define implıcitamente ay como funcion dex.Para ello se deriva respecto ax la ecuacionF(x,y) = 0, es decir,

2xey +x2eydydx

+Sen y+xCos ydydx

−0 = 0

(x2ey +xCos y

) dydx

= −(2xey +Sen y)

dydx

= − (2xey +Sen y)(x2ey +xCos y)

3. La ecuacion x3 + x2y− x2 + 3xy+ 3y2 − 3y define implıcitamente ay como funcion dex,

hallardydx

en el punto(2,−1).

Para ello primero es preciso verificar que el punto(2,−1) satisface esta ecuacion como en efectosucede.Ahora derivando esta ecuacion respecto ax se tiene que:

3x2 +2xy+x2dydx

−2x+3

(

y+xdydx

)

+6ydydx

−3dydx

= 0 entonces

(3x2 +2xy−2x+3y

)(x2 +3x+6y−3

) dydx

= 0 entonces

dydx

= −3x2 +2xy−2x+3yx2 +3x+6y−3

y ası

dydx

∣∣∣∣(2,−1)

=12−4−4−34+6−6−3

= −1

Page 375: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.6. DERIVACION IMPLICITA 367

4. La ecuacionxy−Sen y−5 = 0 define implıcitamente ay como funcion dex. Hallard2ydx2

Primero se halladydx

xdydx

+y−Cos ydydx

−0 = 0

(x−Cosy)dydx

= −y

dydx

=y

Cos y−x

ahorad2ydx2 =

ddx

(dydx

)

=ddx

(y

Cos y−x

)

=

(Cos y−x)dy

dx−y

(

−Sen ydy

dx−1

)

(Cos y−x)2

(

reemplazandodydx

pory

Cos y−x

)

=

(Cos y−x)

[y

Cos y−x

]

+y

[

Sen y

(y

Cos y−x

)

+1

]

(Cos y−x)2

EJERCICIOS

I. Las ecuaciones siguientes definen ay como funcion dex, hallardydx

.

1. x2 +2xy+y5−x = 0

2. xCosh y+ArcSen x+xy−5 = 0

3. x2 +2xy+xey2 − ln x−y = 0

4. y1/3 +x2/3 +√

Sen y−5 = 0

5. x3−3xy2 +y3 = 0

II. Hallard2ydx2 en el punto indicado.

1. x2−4y2 = 9 (5,2)

2. x2−4xy+y2 +3 = 0 (2,1)

III. Hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto indicado.

1. x2 +xy+2y2 = 28 (−2,−3)

2. 9x2 +4y2 = 72 (2,3)

Page 376: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

368 Capıtulo 11. DERIVADAS

11.7. LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCI ON EN UN PUNTO

Seay = f (x), una funcion, tal que enx = c existe:

f ′(c) = l ımh→0

f (c+h)− f (c)h

si en lugar de calcular el lımh→0

f (c+h)− f (c)h

se le da ah en la expresion, un valor fijo muy cer-

cano a 0, es evidente que esto no representara a f ′(c), sino una buena aproximacion de f ′(c), quemejorara mas a medida que ah se le asignen valores mas pequenos ası:

f ′(c)≈ f (c+h)− f (c)h

para algunhpequeno, donde≈ significa aproximadamente igual, y ası f ′(c)h≈f (c+ h)− f (c);lo que indica que el incremento de la funcion: f (c+ h)− f (c) para un incrementopequeno deh de la variable cerca ac, se puede aproximar porf

′(c)h, expresion que se conoce con el

nombre de la diferencial de la funcion en el puntoc, para el incrementoh.

Es evidente que a medida queh se hace mas pequeno, la diferencial def enc, con este incremen-to, se aproximara cada vez mas al incremento de la funcion. En la figura 11.16 se puede apreciargraficamente el significado de la diferencial.

y

xc c+h

h

Tanθ = f ′(c) =λh⇒ λ = f ′(c)h

θ

λ

f (c+h)− f (c)

FIGURA N◦ 11.16

Puesto quef (c+h)− f (c)≈ f ′(c)h entoncesf (c+h)≈ f ′(c)h+ f (c) lo que se puede representarcomo:

f (c+h) ≈ f ′(c)[(c+h)−c]+ f (c)

El lado izquierdo de esta expresion representa la funcion calculada en un puntoc+ h vecino dec, y teniendo en cuenta que la ecuacion de la recta tangente a la curva en el puntoc esta dada pory = f

′(c)(x−c)+ f (c) (ecuacion de la recta con pendientef

′(c) que pasa por(c, f (c))) entonces el

lado derecho de esta expresion representa la recta tangente calculada en el punto(c+h), lo que indicaque si una funcion es derivable enx = c, la funcion en cercanıas dec se puede aproximar por la recta

Page 377: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

11.7. LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCION EN UN PUNTO 369

tangente a la curva en el puntoc, lo que garantiza la suavidad de la curva enc.

La diferencial se puede usar para calcular aproximadamente el valor deuna funcion en un punto,conociendo el valor de la misma funcion en un punto cercano ael, siempre que la funcion sea derivableen esteultimo punto; dependiendo la precision del resultado de lo cerca que se encuentren los dospuntos.

Ejemplo

Hallar aproximadamente el valor de3√

27.08

Esto significa hallarf (27+0.08), dondef (x) = 3√

x. Se utiliza la aproximacion del incremento deuna funcion por medio de la diferencial:

f (x+h) ≈ f ′(x)h+ f (x). Que parah = 0.08 y x = 27 es:

f (27+0.08) ≈ f ′(27).(0.08)+ f (27) ,

y puesto quef (x) = 3√

x entonces

f ′(x) =13

x−2/3 y f ′(27) =13(27)−2/3 =

13

3−2 =127

,

ademas f (27) = 3 por tanto:

3√

27.08=127

(0.08)+3≈ 3.0029629

Ejemplo

Use diferenciales para calcular el valor aproximado del aumento en elarea de una pompa de jabon,cuando su radio aumenta de 2 a 2.01 metros.

El area de una pompa de jabon esta dada porf (r) = 4πr 2 (area de la esfera).

Se puede aproximar el cambio exactof (r +h)− f (r), mediante la diferencialdA= f ′(r)h siendor = 2 y h = 0.01, donde, comof ′(r) = 8πr entoncesf ′(2) = 16π y ası:

f (2+0.01)− f (2) ≈ dA= f ′(2).(0.01) = (16π)(0.01) = 0.16π m2

EJERCICIOS

I. Estimar las siguientes expresiones usando diferencial.

a) 3√

1010

b)√

125

c) (26)2/3

II. Daday = x2−x+1, halle

a) ∆y

Page 378: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

370 Capıtulo 11. DERIVADAS

b) dy

c) ∆y−dy

III. Un disco metalico se dilata por la accion del calor de manera que su radio aumenta de 5 a 5.06cms. Hallar el valor aproximado del incremento delarea.

IV. Una bola de hielo de 10 cms de radio, se derrite hasta que su radio adquiere el valor de 9.8 cms,hallar aproximadamente la disminucion que experimenta.

a) Su volumen

b) Su superficie

Page 379: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Capıtulo 12APLICACIONES DE LA DERIVADA

12.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCI ON EN LA CONSTRUCCI ONDE SUS GRAFICAS

12.1.1. Algunas caracterısticas de las graficas de una funcion

Dada una funcion y= f (x) de reales en reales, un primer intento que se puede hacer para construirsu grafica, es dar valores parax en D f y hallar sus correspondientes valores paray , obteniendoası unos puntos que pertenecen a la grafica; luego se unen estos puntos por pedazos de curvas suavesde los cuales no hay garantıa ni de que sus puntos pertenezcan a la grafica de y = f (x) , ni de que laforma de esta curva entre dos puntos corresponda a la forma de la curvaf (x) . Es por ello que estemetodo no resulta apropiado si se quiere tener una buena aproximacion de la grafica y = f (x) .

¿Que caracterısticas importantes se deben tener en cuenta en la construccion de una grafica?

1. Evidentemente es necesario conocer su dominio y tambien los puntos donde la grafica corta eleje x , es decir, las raıces reales de la ecuacion f (x) = 0 .

2. Puesto que dados dos puntos de la grafica y= f (x) , estos pueden unirse para formar un pedazode la curva que sube, que baja o que sube y baja en este tramo, es necesario caracterizar losintervalos de la recta real donde la curva sube (funcion creciente) o donde la curva baja (funciondecreciente). En lenguaje tecnico se entiende que una funcion y = f (x) se dicecrecienteenun intervalo (a,b) si f (s) > f (t) para todos> t en este intervalo y se dicedecrecienteen(a,b) si f (s) < f (t) para todos> t en este intervalo (figura 12.1).

371

Page 380: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

372 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

y y

x x

y = f (x) y = f (x)

funcion creciente en(a,b) funcion decreciente en(a,b)

a t s b a t s b

FIGURA N◦ 12.1

3. Dos puntos en la grafica y= f (x) podrıan ser unidos por una arco de curva abierto hacia arriba(convexa) o abierta hacia abajo (concava) razon por la cual se deben caracterizar los intervalosdonde se presenta una u otra situacion. Mas precisamente se tiene que:

Una funcion y = f (x) se diceconvexaen un intervalo(a,b) si el segmento de recta que unedos puntos cualesquiera de la curva en este intervalo, esta sobre la cueva entre estos dos puntos,y se diceconcavaen (a,b) si dicho segmento de recta esta bajo la curva dey = f (x) entreestos dos puntos.(figura 12.2)

y y

x xa s t b a t s b

y = f (x) y = f (x)

Convexa

Concava

FIGURA N◦ 12.2

Ademas de los puntos reales donde la funcion se anula hay otros puntos que es necesario iden-tificar en la construccion del grafico de y = f (x) .

4. El punto mas alto de la curva (maximo absoluto) y el punto mas bajo de la curva (mınimo ab-soluto) cuando ellos existen, los cuales en terminos de sus abscisas y ordenadas se definen por:

Una funcion y = f (x) se dice que presentamaximo absolutoen x = a si f (x) ≤ f (a) paratodo x en el dominio de f , al numero real f (a) se le llama valormaximo absolutode la

Page 381: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN LA CONSTRUCCION DE SUS GRAFICAS 373

funcion.

En forma analoga si f (x) ≥ f (a) para todox en el dominio de f , se dice que la funcion fpresenta un mınimo absoluto enx = a y su valor es f (a) .

Frecuentemente es necesario hacer referencia a puntos sobre la curva que sin ser necesariamentemaximos o mınimos absolutos esten mas altos o mas bajos que todos sus vecinos cercanos tantoa derecha como a izquierda. Mas rigurosamente se tiene:

Si f (x) ≤ f (a) para todox en una vecindad dea (intervalo abierto de pequena longitud concentro ena : (a−δ ,a+δ ) paraδ pequeno) , se dice quef tiene un maximo relativo enx= ay su valor es f (a) , y si f (x) ≥ f (a) para todox en una vecindad dea , se dice quef tieneun mınimo relativo enx = a y su valor es f (a) . (figura 12.3)

y

xa

c

d

e

b

(a, f (a))

(c, f (c))

(d, f (d))

(e, f (e))

(b, f (b))

FIGURA N◦ 12.3

En la figura 12.3 se presentan:

maximo absoluto en x = a, con valor f (a).maximo relativo en x = d, con valor f (d).mınimo absoluto en x = c, con valor f (c).mınimo relativo en x = c, con valor f (c) y en x = e, con valor f (e).

5. Tambien es importante identificar los puntos donde la curva cambia de convexa a concava yviceversa, es decir, los llamadosPuntos de Inflexion. (Figura 12.4)

Page 382: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

374 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

y

xc d

y = f (x)

Punto de inflexionPunto de inflexion

FIGURA N◦ 12.4

EJERCICIOS

1. En cada caso trace un bosquejo de las graficas con las caracterısticas dadas (si es posible).

a) Que su maximo absoluto y su mınimo absoluto sean tambien maximos y mınimos rela-tivos.

b) Que tengan maximo y mınimo absoluto, pero no maximo y mınimo relativo.

c) Que tenga maximos y mınimos relativos, pero no tenga maximo absoluto ni mınimo abso-luto.

d) Que sea creciente y tenga maximos relativos.

e) Que sea decreciente y concava.

f ) Que tenga maximo relativo y no sea concava.

g) Que reuna todas las definiciones dadas.

2. Para las siguientes funciones, cuyas graficas son ampliamente conocidas, analıcelas en el in-tervalo dado, e identifique los intervalos donde la funcion es creciente, decreciente, concava,convexa, sus maximos y sus mınimos absolutos y relativos y puntos de inflexion.

a) f (x) = x2 [−3,5] b) f (x) = x3 (−10,20]

c) f (x) = Sen x [π/2,2π] d) f (x) = Tan x (−π/2,π/2)

e) f (x) = ex [−2,∞) f ) f (x) = ln x (0,10)

g) f (x) = |x| [−1,4]

12.1.2. Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados

Inicialmente se puede observar que de la definicion de continuidad de una funcion en un intervalocerrado[a,b] se puede concluir los siguientes resultados; los cuales se ilustran graficamente:

Si f (x) es continua en un intervalo cerrado[a,b]:

1. f (x) tiene un maximo absoluto y un mınimo absoluto en ese intervalo (figura 12.5)

Page 383: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN LA CONSTRUCCION DE SUS GRAFICAS 375

c

bx

y

y = f (x)

Maximo absoluto

Mınimo absoluto

y

xa s b

Mınimo absoluto

Maximo absoluto

FIGURA N◦ 12.5

2. f (x) toma todos los valores que hay entre el valor mınimo y el valor maximo (teorema del valorintermedio) (figura 12.6)

a bx

y

y = f (x) Recorrido def (x)

FIGURA N◦ 12.6

3. Si f (a) y f (b) difieren en signo existe un puntoc en el intervalo(a,b) para el cualf (c) = 0(figura 12.7)

a

bx

y

y = f (x)

c

FIGURA N◦ 12.7

12.1.3. Puntos donde se pueden presentar maximos y mınimos

Los puntos donde se presentan maximos o mınimos relativos y en los cuales la funcion es derivable,se caracterizan por que allı su derivada es igual a cero, es decir, si enc∈ D f , se presenta maximo o

Page 384: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

376 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

mınimo relativo y f es derivable enx = c entoncesf ′(c) = 0.

Evidentemente, si se supone por ejemplo que enx = c se presenta un maximo relativo, entoncesparah cercano a cerof (c+ h) < f (c) o sea f (c+ h)− f (c) < 0, y puesto quef es derivable encentonces:

f ′(c) = l ımh→0+

f (c+h)− f (c)h

≤ 0, puesto queh > 0 y

f ′(c) = l ımh→0−

f (c+h)− f (c)h

≥ 0

Puesh < 0 y por tanto como 0≤ f ′(c) ≤ 0, se concluye quef ′(c) = 0

NOTAS

1. Si se considera la funcion f (x) = x3, es evidente quef ′(x) = 3x2 se anula enx = 0, pero de sugrafico se puede apreciar que en este punto no se presenta ni maximo ni mınimo relativo, lo cualindica que la condicion f ′(c) = 0 es necesaria para que enx = c se presente maximo o mınimorelativo cuandof es derivable enc, pero no es suficiente.

2. A todos los puntosx∈ D f , dondef ′(x) = 0 se llamanpuntos crıticosde la funcion. (Observeque en estos puntos, segun lo tratado anteriormente, pueden existir o no maximo o mınimorelativo).

3. No siempre que enx= c se presentan maximo o mınimo relativo su derivada es cero, pues puedeque allı esta no exista (figura 12.8(a)), pero sif tiene derivada en este punto necesariamente debeser cero (figura 12.8(b)).

d cx

y

y = f (x)

Mınimo relativo

f ′(d) no existe

Maximo relativof ′(c) no existe

a)

y

xc

d

Maximo relativo

f ′(d) = 0

f ′(c) = 0Mınimo relativo

b)

FIGURA N◦ 12.8

4. Segun lo anterior, los maximos o mınimos relativos de una funcion se pueden presentar en:(figura 12.9)

a) Donde f ′(x) = 0 (puntos crıticos).

b) Donde f (x) no sea continua.

Page 385: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN LA CONSTRUCCION DE SUS GRAFICAS 377

c) Donde f ′(x) no exista.

Caso a

y = f (x)

x

y

Caso b

Caso c

FIGURA N◦ 12.9

y los maximos y mınimos absolutos se pueden presentar en cualquiera de los casosa), b), c)anteriores o en los extremos del intervalo cerrado donde esta definida, si este es el caso (figura12.10)

y

xa

b

a)

Maximo absoluto

Mınimo

absoluto

y

xa

b

c)Mınimo absoluto

Maximo absoluto

y

xa

b

b)

Maximo absoluto

Mınimo

absoluto

FIGURA N◦ 12.10

Hasta aquı ya se sabe como seleccionar los candidatos a puntos donde se presentan maximos omınimos relativos o absolutos, pero es necesario establecer criterios parasaber si en cada uno de estospuntos se presenta bien sea un maximo o un mınimo o ninguno de ellos.

Con el fin de presentar estos criterios es necesario determinar primero losintervalos donde la fun-cion es creciente o decreciente y donde es concava o convexa. Para ello se presenta inicialmente dosteoremas.

12.1.4. Propiedades de funciones derivables en intervaloscerrados

Teorema de Rolle

Si f (x) es una funcion continua en[a,b], derivable en(a,b), y si f (a) = f (b), entonces existec∈ (a,b) tal que f ′(c) = 0 (figura 12.11).

Page 386: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

378 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

y

xa

c1

c2

c3

b

y = f (x)

FIGURA N◦ 12.11

Demostracion

Como f es continua en[a,b] entoncesf tiene un maximo y mınimo allı, si el maximo o el mınimoesta enc∈ (a,b) entonces en este puntof ′(c) = 0 (pues seria maximo o mınimo relativo y derivableen este punto).

Ahora si en el puntoa se presenta maximo y enb se presenta mınimo o viceversa entonces lafuncion es constante, por tantof ′(c) = 0, para todoc∈ (a,b).

Teorema del Valor Medio

Si f es una funcion continua en[a,b] y derivable en(a,b), entonces existec∈ (a,b) tal que

f ′(c) =f (b)− f (a)

b−ay

xa c b

f (a)

f (b)

FIGURA N◦ 12.12

Demostracion

La demostracion consiste en aplicar el teorema de Rolle a la funcion

D(x) = f (x)− f (b)− f (a)

b−a(x−a), la cual satisface la hipotesis de este teorema, puesD(a) = D(b),

Page 387: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN LA CONSTRUCCION DE SUS GRAFICAS 379

D(x) es continua en[a,b], derivable en(a,b) y por tanto existec∈ (a,b) tal queD′(c) = 0, es decir,

f ′(c)− f (b)− f (a)

b−a= 0 y asi f ′(c) =

f (b)− f (a)

b−a

De la figura 12.12 se puede observar que el teorema del valor medio garantiza la existencia de la rectaT, tangente a la curva y paralela a la rectaL que une los puntos(a, f (a)) (b, f (b)).

Ejemplo

Considere un movil que se desplaza desde un puntoa hasta un puntob a lo largo de un segmentorectilıneo, ubicandose en el puntos(t) en el instantet, con velocidad variable. Su velocidad promedio

es entoncess(b)−s(a)

b−ay segun el teorema del valor medio existe un puntoc∈ (a,b) tal ques ′(c) =

s(b)−s(a)

b−a; pero comos ′(c) representa la velocidad instantanea en el puntoc, este resultado se

puede interpretar afirmando que la velocidad instantanea coincide en algun instante con la velocidadpromedio.

12.1.5. Criterio para determinar intervalos donde una funcion es creciente odecreciente

Si f ′(x) > 0 para todox ∈ (a,b) entoncesf (x) es creciente en(a,b) y si f ′(x) < 0 para todox∈ (a,b) entoncesf (x) es decreciente en(a,b) (figura 12.13)

y y

x x

creciente

decrecientey = f (x)

y = f (x)

f ′(x) > 0, pendientes positivas f ′(x) < 0, pendientes negativas

a b a b

FIGURA N◦ 12.13

En efecto si se supone quef ′(x) > 0, entonces lımh→0

f (x+h)− f (x)h

> 0 y sih > 0 entonces

f (x+h)− f (x) > 0, lo que implica quef es creciente, puesx+h > x.

Analogamente se demuestra este resultado parah < 0.

Para el caso en el quef ′(x) < 0 se procede en forma similar.

Page 388: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

380 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ejemplo

Determine los intervalos dondef (x) = x3−3x2−24x es creciente y donde es decreciente.Basta con hallar los valores dex que satisfacen las desigualdadesf ′(x) > 0 y allı la funcion f escreciente y los que satisfacen la desigualdadf ′(x) < 0 y allı es decreciente:

f (x) = 3x2−6x−24= 3(x+2)(x−4)

a) f ′(x) = 3(x+2)(x−4) > 0

(x+2)

(x−4)

−−−−−−−−−−

+++++

−−−−−+++++

+++++

+ −2 − +4 +

luego f ′(x) > 0 si x∈ (−∞,−2)∪ (4,+∞)

b) f ′(x) = 3(x+2)(x−4) < 0 si x∈ (−2,4)

Ejemplo

Determine los intervalos dondef es creciente y decreciente sif (x) = exCos x

Basta con hallar los valores dex que satisfacen las desigualdadesf ′(x) > 0 y f ′(x) < 0.

f ′(x) = exCos x− exSen x= ex (Cos x−Sen x)

a) ex (Cos x−Sen x) > 0 si (Cos x−Sen x) > 0, puesex > 0 es decir, si Cos x> Sen x,o sea si Tan x< 1⇔ x∈ (pπ −π/2, pπ +π/4), para todop∈ Z.

b) ex (Cos x−Sen x) < 0 si Cos x> Sen x, es decir, siTan x> 1⇔ x∈ (pπ +π/4, pπ +π/2,) para todo p∈ Z

12.1.6. Criterio para determinar los intervalos donde la funcion f es concava oconvexa

Seaf (x) una funcion dos veces derivable en(a,b).

Si f ′′(x) > 0 para todox∈ (a,b) entoncesf es convexa en(a,b) y si f ′′(x) < 0 para todox∈ (a,b)entoncesf es concava en(a,b) (figura 12.14)

Page 389: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN LA CONSTRUCCION DE SUS GRAFICAS 381

y

xa x1 x2 b

Convexaf ′(x1) < f ′(x2)

y

xa x1 x2 b

Concavaf ′(x1) > f ′(x2)

FIGURA N◦ 12.14

De la figura anterior se observa que cuandof es convexa entonces sus pendientes( f ′) son cre-cientes y cuando es concava sus pendientes( f ′) son decrecientes. Ademas observa que de acuerdo alresultado de 12.15, si f ′′(x) > 0 entoncesf ′(x) es creciente y sif ′′(x) < 0, f ′(x) es decreciente.

NOTA:

Si f ′(c) = 0 el puntoc puede pertenecer a un intervalo donde la funcion es convexa, concava oces un punto de inflexion (figura 12.15)

y

xc

a)

f (x) = x4

y

xc

b)

g(x) = −x4

y

xc

c)

h(x) = x3

FIGURA N◦ 12.15

Observe de la figura anterior quef ′′(0) = 0, g ′′(0) = 0, h ′′(0) = 0, pero enx = 0, f es convexa,g es concava y parah el punto(0,0) es un punto de inflexion.

Ejemplo

Hallar los intervalos donde la funcion f (x) =1

4+x2 , es concava y donde es convexa.

Page 390: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

382 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Basta hallarf ′′(x) y resolver parax las desigualdadesf ′′(x) > 0 (para convexa) yf ′′(x) < 0 (paraconcava):

f ′(x) =−2x

(4+x2)2

f ′′(x) = −(4+x2)22−2x((4+x2)2x

)

(4+x2)4

= −(4+x2)[2(4+x2)−8x2

]

(4+x2)4 =8x2−8−2x2

(4+x2)3 =6x2−8

(4+x2)3

a) f ′′(x) =6x2−8

(4+x2)3 > 0⇔ 6x2−8 > 0 pues(4+x2)3 > 0

⇔ 6x2 > 8

⇔ x2 > 8/6

⇔ |x| >√

4/3

⇔ x∈ (−∞,−√

4/3)∪ (√

4/3,+∞)

b) f ′′(x) =6x2−8

(4+x2)3 < 0 ⇔ x∈ (−√

4/3,√

4/3)

los puntos(−√

4/3, f (√

4/3)); (√

4/3, f (√

4/3)) son puntos de inflexion, pues allı hay cambiosde concavidad.

Ejemplo

Como es conocido, de la grafica de la funcion f (x) = Sen xse tiene que los intervalos donde lafuncion es convexa son((2n+1)π,(2n+2)π), n∈ Z y donde la funcion es concava(2nπ,(2n+1)π), n∈ Z, resultado que se puede obtener con su segunda derivada, pues:

f ′′(x) = −Sen x> 0 ⇔ Sen x< 0 ⇔ x∈ ((2n+1)π,(2n+2)π), n∈ Zf ′′(x) = −Sen x< 0 ⇔ Sen x> 0 ⇔ x∈ (2nπ,(2n+1)π), n∈ Z

y los puntos de inflexion son(nπ, f (nπ)).

12.1.7. Criterio de la primera derivada para determinar maximos y mınimosrelativos

Si f es continua en[a,b] y derivable en(a,b), excepto posiblemente enc∈ (a,b) entonces:

a) Si f ′(x) > 0 parac− δ < x < c para algun δ > 0 y f ′(x) < 0 parac < x < c+ δ , entoncesftiene un maximo relativo enx = c y su valor esf (c).

b) Si f ′(x) < 0 parac− δ < x < c para algun δ > 0 y f ′(x) > 0 parac < x < c+ δ , entoncesftiene un mınimo relativo enx = c y su valor esf (c).(figura 12.16)

Page 391: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN LA CONSTRUCCION DE SUS GRAFICAS 383

En efecto:

Para el casoa. se vera quef (c) ≥ f (x) parac−δ < x < c+δ .

Si x > c entoncesx∈ (c,c+δ ) y por hipotesisf ′(x) < 0, por tantof es decreciente en(c,c+δ ) yası f (x) < f (c).

Si x < c entoncesx∈ (c− δ ,c) y por hipotesis f ′(x) > 0, por tantof es creciente en(c− δ ,c) yası f (x) < f (c).

Analogamente se demuestra la parteb..

y

x

Creciente

Maximo relativo

Decreciente

y

xDecreciente Mınimo relativo

Creciente

FIGURA N◦ 12.16

Ejemplo

Seaf (x) = 12+2x2−x4

Como esta funcion es polinomial entonces es continua y derivable en cualquiera de sus puntos,luego sus maximos y mınimos solamente se podran hallar en aquellos puntosx donde f ′(x) = 0, esdecir:

f ′(x) = 4x−4x3 = 4x(1−x2) = 4x(1−x)(1+x) = 0 ⇔ x = 0,1,−1

a) f ′(x) = 4x(1−x)(1+x) > 0 ⇔ x∈ (−∞,−1)∪ (0,1)

b) f ′(x) = 4x(1−x)(1+x) < 0 ⇔ x∈ (−1,0)∪ (1,+∞) pues

x(x+2)

(x−4)

−−−−−+++++

−−−−−

−−−−−+++++

+++++

+++++

+++++

+++++

+++++

−−−−−+++++

+ −1 − 0 + 1 −ası que f tiene maximos relativos enx = −1 y x = 1 y sus correspondientes valores sonf (−1) y

f (1), ya que f es creciente en(−∞,−1) y decreciente en(−1,0); creciente en(0,1) y decrecienteen (1,+∞) y f tiene un mınimo relativo enx = 0 y su valor esf (0) = 0 ya quef es decreciente en(−1,0) y creciente en(0,1).

Page 392: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

384 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ejemplo

Como f (x) = |x−2|+5 es continua para todoR, pero no es derivable esx = 2, (donde se presentaun pico), entonces sus valores maximos y mınimos relativos pueden estar o dondef ′(x) = 0, o dondef (x) no sea derivable.

f ′(x) =

1 x > 2no existe x = 2

−1 x < 2

luego elunico punto donde posiblemente hay maximos o mınimos relativos es edx = 2.

Como f ′(x) > 0 parax > 2 y f ′(x) < 0 parax < 2, entonces enx = 2 se presenta en mınimorelativo y su valor esf (2) = 5 (figura 12.17)

y

x2

5

f (x) = |x−2|+5

FIGURA N◦ 12.17

Ejemplo

Para la funcion cuya grafica aparece en la figura 12.18

y

xa

FIGURA N◦ 12.18

se puede concluir quef presenta un maximo relativo enx = a (allı f ′(a) = 0) y en x = 0, sinembargof no es continua enx = 0.

Page 393: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.1. LA DERIVADA DE UNA FUNCION EN LA CONSTRUCCION DE SUS GRAFICAS 385

12.1.8. Criterio de la segunda derivada para determinar maximos y mınimosrelativos

Si f (x) es dos veces derivable en un puntox = c en el cualf ′(c) = 0 entonces:

a) Si f ′′(c) > 0, enx = c se presenta un mınimo relativo.

b) Si f ′′(c) < 0, enx = c se presenta un maximo relativo.

c) Si f ′′(c) = 0, el criterio no decide, es decir, allı puede presentarse maximo o mınimo o ningunode los dos.

Demostracion

a) Como f ′′(c) > 0 entoncesf ′′(c) = l ımx→c

f ′(x)− f ′(c)x−c

= l ımx→c

f ′(x)x−c

> 0, por tanto:

Si x > c, f ′(x) > 0 entoncesf es creciente y six < c, f ′(x) < 0 entoncesf es decreciente, yası por el criterio de la primera derivada, enx = c se presenta un mınimo relativo.

En forma analoga se demuestra la parteb..

NOTA:

Como se puede apreciar, este criterio no se puede aplicar para aquellos casos en que el maximo omınimo relativo se presente en puntos donde la funcion no es derivable, por lo que el criterio anteriorresulta mas general.

Ejemplo

Utilizando este criterio, para hallar los valores maximos y mınimos relativos def (x) = −x3 + x2,se procede a hallar los puntos dondef ′(x) = 0, es decir,

f ′(x) = −3x2 +2x = x(−3x+2) = 0⇔ x = 0 o x = 2/3

Ahora para cada uno de estos puntos se analiza el signo de la segunda derivada. Ası puesto quef ′′(x) = −6x+2 entoncesf ′′(0) = 2 > 0, lo que indica que enx = 0, se presenta un mınimo relativoy su valor esf (0) = 0 y puesto quef ′′(2/3) = (−6)(2/3) + 2 = −2 < 0 entonces enx = 2/3 sepresenta un maximo relativo y su valor esf (2/3) = −(2/3)3 +(2/3)2 = 4/27.

Ejemplo

Hallar los valores maximos y mınimos def (x) = x1/3(8−x) = 8x1/3−x4/3.

f ′(x) = 8/3x−2/3−4/3x1/3 = (4/3)(2−x)x−2/3 = 0 ⇔ x = 2

f ′′(x) = −49

(x+4)

x5/3

Page 394: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

386 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

f ′′(2) = −49

(2+4)

25/3< 0, luegof tiene un maximo relativo enx = 2 y su valor esf (2) = (6)(21/3)

(Por el criterio de la segunda derivada).

El punto 0∈D f pero enx= 0 f no es derivable, (observe que enf ′(x) aparecex en el denominadorpor tanto no se puede reemplazar por cero), entonces aquı no se puede aplicar el criterio de la segundaderivada, luego hay que aplicar el criterio de la primera derivada ası:Resolviendo las desigualdadesf ′(x) > 0 y f ′(x) < 0 se tiene que:

f ′(x) =43

(2−x)

x2/3> 0 si x∈ (−∞,0)∪ (0,2) y

f ′(x) =43

(2−x)

x2/3< 0 en (2,+∞) ,

ası f no tiene maximos ni mınimos relativos enx = 0, pues tanto a derecha como a izquierda de cerola derivada es positiva.

EJERCICIOS

I. Hallar los intervalos dondef es creciente, decreciente, concava, convexa, puntos de inflexion,valores maximos y mınimos relativos si existen.

1. f (x) = |9−x2 | 2. f (x) = 3x5 +5x4

3. f (x) = x2(4−x)1/2 4. f (x) =3

4+x2

5. f (x) =x2−91−x2 6. f (x) = |x|+ |x−1|−x conx∈ [−20,40]

7. f (x) = (1−x)2/3(2+x)1/3 con x∈ [−4,10] 8. f (x) = 2Cos x−Cos2x

9. f (x) = x+Sen x 10. f (x) = x2/3(x2−8)

11. f (x) = x(x−2)(x−3) con x∈ [−4,10]

II. 1. Hallar los valores dea,b,c tales quef (x) = ax2 + bx+ c tenga un maximo relativo de 6enx = 2 y que la grafica def tenga interseccion con el ejey igual a 4.

2. Si f (x) = ax3 +bx2, hallara,b de manera que la grafica def tenga un punto de inflexionen(1,2).

3. Si f (x) = ax3 + bx2 + cx+ d, hallara,b,c,d de manera quef tenga un extremo relativo(maximo o mınimo relativo) en(0,3) y su grafica un punto de inflexion en(1,−1).

4. hallar los valores dea,b,c tales quef (x) = ax2+bx+c tenga un maximo relativo de 7 enx = 1 y la grafica pase por (2,-2).

5. Hallar a,b,c tales quef (x) = ax3 + bx2 + cx+ d tenga extremos relativos (maximo omınimo) en(1,2) y en(2,3).

6. Hallar los valores dea,b tales quef (x) = x3+ax2+b tenga un extremo relativo en(2,3).

Page 395: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.2. PROBLEMAS DE RECTAS TANGENTES Y RECTAS NORMALES 387

12.2. PROBLEMAS DE RECTAS TANGENTES Y RECTASNORMALES

Se trata de resolver problemas geometricos relacionados con rectas tangentes y normales (perpen-diculares a las rectas tangentes). Se aplicara el hecho de que la derivada de una funcion f (x) en unpuntox = a, como se vio en la introduccion, se interpreta como la pendiente de la recta tangente a la

curva en el punto(a, f (a)) y por consiguiente− 1f (a)

como la pendiente de la recta normal a la curva

en el mismo punto.

Ejemplo

Dado el puntop = (2,1) y la curva representada por la grafica def (x) = x2 + 1; hallar las ecua-ciones de las rectas tangentes a esta curva que pasan porp.

En la figura 12.19 se pueden apreciar las rectas que se buscan.

y

xL1

L2

f (x) = x2 +1

P(2,1)

FIGURA N◦ 12.19

Suponga que el punto de tangencia de la rectaL1 o L2 es(a, f (a)), se trata inicialmente de determi-nar el valor o los valores dea. Para ello, recuerde que la pendiente de esta recta se puede hallar de dosformas:

Comof (a)−1a−2

=a2 +1−1

a−2=

a2

a−2y como f ′(a) = 2a, entonces

a2

a−2= 2a, ası que,

a2 = 2a(a−2), luego 2a2−a2−4a= 0 ⇔ a2−4a= 0 ⇔ a(a−4) = 0 y ası a= 0o a= 4, por tanto existen dos rectas tangentes a la curva que pasan por el punto (2,1). Una con pun-to de tangencia(0, f (0)) = (0,1) o sea con pendientef ′(0) = 0, cuya ecuacion sera y−1 = 0(x−0)y otra con punto de tangencia en(4, f (4)) = (4,17) o sea con pendientef ′(4) = 8 con ecuaciony−17= 8(x−4)

Ejemplo

Encontrar las ecuaciones de las rectas normales a la curvay = 1/x y paralelas a la rectay = 2x+5(figura 12.20)

Page 396: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

388 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

y = 2x+5

f (x) = 1/x

FIGURA N◦ 12.20

las rectas buscadas tiene por pendiente− 1f ′(a)

= − 1−1/a2 = a2, donde(a, f (a)) representa el

punto o los puntos sobre la curva en donde las rectas buscadas son perpendiculares a las rectas tan-gentes.

Por otro lado como la recta es paralela ay = 2+5, su pendiente debe ser igual a 2, y asıa2 = 2 ⇒ a = ±

√2, por tanto las ecuaciones de las rectas normales son:

y− f (√

2) = 2(x−√

2) y y− f (−√

2) = 2(x+√

2) , es deciry− (1/

√2) = 2(x−

√2) y y+(1/

√2) = 2(x+

√2)

12.3. PROBLEMAS DE VELOCIDAD Y ACELERACI ON

Se trata de resolver problemas en los cuales interviene una funcion s(t) que representa el espaciorecorrido por un objeto en el tiempot y por consiguiente, como se habıa visto anteriormente,s ′(t) ys ′′(t) representan respectivamente la velocidad del objeto en ese mismo instante.

Ejemplo

Supongase que se arroja una pelota hacia arriba desde lo alto de un edificio dealtura 160mtsde talforma que en un instantet se encuentra a una alturas(t) = −16t 2 +64t +160mtsdel piso, halle:

a) El espacio recorrido entret = 2 y t = 3 segundos.

b) Velocidad promedio en este intervalo de tiempo.

c) La velocidad instantanea ent = 3 segundos.

d) La aceleracion instantanea ent = 2 segundos.

e) ¿Cuando alcanza su altura maxima y cual es?

f ) ¿Cuando llega al piso y con que velocidad?

Page 397: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.4. PROBLEMAS DE RAZON DE CAMBIO 389

Solucion

a) El espacio recorrido entret = 2 y t = 3 segundos es:s(3)− s(2) = (−144+ 192+ 160)− (−64+ 128+ 160) = −16. (¿Que significa el signomenos?)

b) Velocidad promedio=s(3)−s(2)

3−2= −16m/seg. (¿Que significa el signo menos?)

c) Velocidad instantanea= s ′(t) = −32t +64, luegoesta ent = 3 seges:s ′(3) = −(32)(3)+64= −32 m/seg. (¿Que significa el signo menos?)

d) Aceleracion instantanea= s ′′(t)=−32, luegoesta en el instantet = 2 segess ′′(2)=−32 m/seg2

(¿Que significa el signo menos?)

e) La altura maxima la alcanza cuando la velocidad es cero, es decir cuandos ′(t) = −32t +64= 0 o sea ent = 2 segy esta es:s(2) = −(16)(4)+(64)(2)+160= 224m

f ) La pelota llega al piso cuandos(t) = 0, es decir, cuando−16t 2 + 64t + 160= 0 y esto ocurrecuandot < 2±

√14, por tanto la pelota llega al piso cuandot = 2+

√14segy la velocidad con

la que llega ess ′(2+√

14) = −32(2+√

14)+64 ≈−119.7 m/seg

12.4. PROBLEMAS DE RAZON DE CAMBIO

Suponga que una cantidad esta variando respecto al tiempo mediante una expresion y = f (t), porejemplo el volumen de una bomba al inflarla varıa con el tiempo o el volumen de agua en un depositocon una llave abierta tambien es funcion del tiempo; surge ası la pregunta ¿con que velocidad estanvariando estas cantidades respecto al tiempo en un determinado instante?. Dicha velocidad esta repre-sentada pory ′(t) lo cual se puede demostrar de la misma forma como se hizo con la velocidad de unapartıcula que recorre un espacios(t), y se llama Razon de Cambio dey = f (t) en el instantet.

Ademas se pueden presentar algunos problemas en los cuales dos funcionesque varıan con eltiempo aparecen relacionadas mediante la ecuacion. Es evidente que al derivar esta ecuacion respectoal tiempo aparecen relacionadas mediante las razones de cambio de estas dos funciones.

Ejemplo

Una placa circular se dilata por el calor de manera que su radio aumenta a una razon de 2mtscadasegundo. ¿Con que razon aumenta el area cuando su radio es de 4mts?

Area del circulo de radior : A(r) = πr 2;dAdr

= 2πr

Razon de cambio del radior : r ′(t) =drdt

= 2m

seg

Razon de cambio delareaA ′(t) =dAdt

=dAdr

· drdt

= 2πrdrdt

= 4πr

Page 398: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

390 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Razon de cambio delarea cuandor = 4 : A ′(4) = 4π(4) = 16π

Ejemplo

Un puntoP se mueve a lo largo de la circunferenciax2 +y2 = 25. Cuando pasa por el punto(3,4)su ordenaday disminuye a razon de 6m/seg. ¿Como varıa la abscisax?

Para cada instantet,x2(t)+y2(t) = 25, derivando respecto at se tiene que

2xdxdt

+2ydydt

= 0 es decir xdxdt

+ydydt

= 0

Seat el instante en el cual el punto pasa por(3,4), luego

xdxdt

+ydydt

= 3dxdt

+(4)(−6) = 0 es decir,dxdt

=243

= 8mtsseg

Ejemplo

Un avion se dirige hacia el norte a 640km/hora, pasando por cierta ciudad al medio dıa, un segundoavion se dirige hacia el este a 600km/horay esta exactamente sobre la misma ciudad 15 minutos mastarde. Si los aviones vuelan a la misma altura ¿Con que razon se separan a la 1:15 PM?

s

x

y

160p

FIGURA N◦ 12.21

Seat0 el tiempo inicial a las 12:15, hora en que el segundo avion esta sobre el puebloP (figura12.21). En este instante, el primer avion ha recorrido un espacio de 640/4 = 160km(e= vt, v = 640 km/hora, t = 1/4 hora).

Seay la distancia recorrida por este avion despues de las 12:15,x la distancia recorrida por el se-gundo avion eneste tiempo ys la distancia que separa los dos aviones es este instante. Puesto que

dydt

= 640km

hora;

dxdt

= 600km

hora;

y s=√

x2 +(y+160)2 y como t = 1 hora entonces

Page 399: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.5. PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS 391

y= 640/1= 640km y x=600km/h1 hora

= 600km y con s=√

(600)2 +(640+160)2 = 1000,

por tanto ya que s2 = x2 +(y+160)2 se deduce que:

2sdsdt

= 2xdxdt

+2(y+160)f ydt

= 2(600)600+2(640+160)640

dsdt

=2(600)2 +2(640+160)640

2s

=2(600)2 +2(640+160)640

2(1000)= 872

kmh

EJERCICIOS

1. Una partıcula se mueve a lo largo de la parabolay = x2. ¿En que punto de su recorrido estancambiando a la misma velocidad la abscisa y la ordenada de la partıcula?

2. SeaA,D,C, r el area, el diametro la longitud y el radio de un circulo respectivamente. En un

instante determinado,r = 6,drdt

= 3m

seg. Hallar la tasa de variacion deA respecto a:r,D,C,

y t.

3. Un punto se mueve a lo largo de la curvay=√

x2 +1, de tal forma quedxdt

= 4, halledydt

cuando

x = 3

4. Un cuadrado se expande con el tiempo. ¿Como se relacionan la razon de aumento delarea delcuadrado con la razon de aumento de la longitud de su lado?

5. Las aristas de un cubo variable aumentan de 3 cms/seg. ¿Con que variacion aumenta el volumendel cubo cuando una arista tiene 10 cms de longitud?

12.5. PROBLEMAS DE MAXIMOS Y M INIMOS

La teorıa que se dio sobre maximos y mınimos no solamente se utiliza en la construccion de grafi-cas, sino tambien para resolver ciertos problemas en los cuales es necesario maximizar o minimizarciertas variable.

Para resolver estos problemas es necesario inicialmente trasladar el problema al lenguaje matematico,definiendo claramente cual es la funcion que se va a maximizar o minimizar y cuales son las depen-dencias entre las diferentes variables que aparezcan.

Ejemplo

Halle dos numeros positivos que sumados den 12, y tal que su producto sea maximo.

Seanx,y los dos numeros, la expresion que se va a maximizar esxy, pero comox+y= 12, es decir,y = 12−x, entonces ella se puede representar como una funcion en la variablex, f (x) = x(12−x)

Page 400: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

392 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

0≤ x≤ 12 y ası el problema se reduce a hallar el maximo absoluto de esta funcion, que de acuerdo alo ya conocido se presenta dondef ′(x) = 0 o en los extremos de[0,12].

Como f (x) = x(12−x) = 12x−x2; f ′(x) = 12−2x = 0 ⇔ x = 6,y como f (6) = 6(12−6) = 36, f (0) = 0, f (12) = 0entonces su maximo valor se encuentra enx = 6 y su valor es 36, luego los numeros positivos pedidosson:x = 6 y y = 12−6 = 6

Ejemplo

Hallar la altura del cono circular recto de volumen maximo que se puede inscribir en una esfera deradio 6mts.

Solucion

Seax el radio del cono yy su altura (figura 12.22)

6

y−6

x

6

y

FIGURA N◦ 12.22

La funcion a maximizar es el volumen del cono, es decir,v =13

πx2y, pero por el teorema de

Pitagoras, de la figura 12.22 se tiene que:

x2 = 62− (y−6)2, luego la funcionv se puede representar en terminos de la variabley ası:

v = (1/3)π(x2y) = (1/3)π(36− (y−6)2)y

= 4πy2− (π/3)y3 0≤ y≤ 12

esta funcion es derivable en todo el intervalo(0,12), por tanto el valor maximo se puede representardondev ′(y) = 0 o eny = 0 o eny = 12.

Si v ′(y) = 0 entonces 8πy−πy2 = 0 ⇔ y = 0 o y = 8.

Page 401: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.5. PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS 393

Puesto quev ′′(y) = 8π −2πy, entoncesv ′′(8) = 8π −16π = −8π < 0, luego eny = 8 se presentaun maximo relativo y comov ′′(0) = 8π > 0 hay un mınimo relativo eny= 0 y ası el volumen maximose presenta eny = 8, ya que

v(8) = 4π82− π3

83 = π82

(

4− 83

)

=264π

3es mayor quev(0) = 0 y v(12) = 0

Ejemplo

Hallar dos puntos sobrey = x3 cuyas abscisas difieren en 2, de tal forma que la recta que los unetenga pendiente minima.

Sean(x,y),(a,b) dos puntos sobre la grafica dey = x3, como se pide que las abscisas difieran en 2entoncesa−x = 2, luegoa = x+2 y comob = a3 ⇒ b = (x+2)3 ya si la pendiente de la rectaque pasa por estos dos puntos es

m=b−ya−x

=b−y

2=

(x+2)3−x3

2y por tanto:

m ′(x) = (3/2)[(x+2)2−x2

]= (3/2)(4x+4) = 0 y

m ′(x) = 0 ⇔ 32(4x+4) = 0 ⇔ x = −1

m ′′(x) = 6, ası quem ′′(−1) = 6 > 0, luego enx = −1, se presenta un mınimo, y ası los puntosbuscados son:(−1,(−1)3) = (−1,−1) y (−1+2,(−1+2)3) = (1,1)

EJERCICIOS

1. Hallar la mınima distancia del punto(3,3) a la rectax−y = 1

2. Un trozo de alambre de 10mtsde longitud se corta en dos partes. Una parte sera doblada enforma de triangulo equilatero, y la otra parte en forma de cuadrado. ¿Como se debe cortar elalambre para que la suma de susareas sea:?

a) Maxima

b) Minima

3. Hallar las dimensiones del cilindro de mayor volumen que puede ser inscritoen un cono deradio 3mtsy altura 15mts

4. Hallar la linea recta que pasa por(8,18) con intersecciones con los ejes coordenados positivos,tales que la suma de ellas sea minima.

5. ¿Cual es el mayor perımetro de un rectangulo que puede inscribirse en un semicırculo de radio3?

6. ¿Cual es la forma del rectangulo con perımetroP fijo, que encierra la mayorarea?

Page 402: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

394 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

7. Halle las dimensiones del rectangulo dearea maxima que puede ser inscrito en la elipse:x2

4+

y2

9= 1

8. Demostrar que la minima distancia del punto(x0,y0) a la rectaAx+By+C = 0 es|Ax0 +By0 +C|√

A2 +B2

9. Hallar el radio del cilindro de superficie lateral maxima que puede ser inscrito en un esfera deradioR.

12.6. REGLA DE L’HOPITAL

Observando las funcionesy =(x−1)2

x−1; y =

2(x−1)

x−1; y =

(x−1)2

(x−1)4 ; se puede apreciar que

cuandox → 1, estas funciones tienden a 0,2 y+∞ respectivamente, pero ademas si se reemplaza di-

rectamentex por 1 en cada una de estas expresiones, todas ellas son de la forma00

. Con esto se trata

de ilustrar que al calcular lımx→a

f (x)g(x)

, sabiendo que es de la forma00

su resultado puede ser un numero

real cualquiera o±∞. A expresiones de este tipo y de la forma∞∞

se llamanformas indeterminadas.

Lımites de este tipo aparecen con cierta frecuencia en algunos problemas de aplicacion, y sus calculosen algunas ocasiones se pueden realizar con determinados cambios de variable o metodos artificiosos

como cuando se calcularon atras lımx→0

Sen xx

; lımx→0

ex−1x

; lımx→2

x3−8x−2

.

Pero existe un metodo mas general que nos permite calcular muchos limites de este tipo, que es lallamadaregla de L’Hopital:

Supongase que lim representa uno de los limites:

lımx→c

; lımx→c+

; lımx→c−

; lımx→+∞

; lımx→−∞

; y supongase ademas que limf (x) = 0 y

lim g(x) = 0 (o lim f (x) = ±∞ , y lim g(x) = ±∞)

Si

lımf ′(x)g ′(x)

=

numero L+∞−∞

⇒ l ım

f ′(x)g ′(x)

= l ımf (x)g(x)

NOTA 1

Recuerdese que antes de aplicar la regla de L’Hopital, debe cerciorarse quesea una indetermination

de la forma00

o∞∞

, pues de lo contrario no es aplicable.

Page 403: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.6. REGLA DE L’HOPITAL 395

NOTA 2

Observese que al aplicar la regla de L’Hopital a ala expresionf (x)g(x)

no se calcula la derivada del

cocientef (x)g(x)

, sino que se divide la derivada def (x) entre la derivada deg(x).

NOTA 3

Si al aplicar la regla de L’Hopital a lımf (x)g(x)

, la expresion lımf ′(x)g ′(x)

sigue siendo de la forma

00

o∞∞

se puede aplicar nuevamente la regla de L’Hopital a esta expresion, y si persiste la indeter-

minacion de este tipo se puede aplicar las veces que sea necesario hasta hallar el l ımite

Ejemplo

Hallar lımx→0

Sen xx

Observese que es de la forma00

. Derivando numerador y denominador se obtiene:

lımx→0

Sen xx

= l ımx→0

Cos x1

= 1

Ejemplo

Hallar lımx→0+

ln (Sen x)ln (Tan x)

Observese que es de la forma−∞−∞

, por tanto:

lımx→0+

ln (Sen x)ln (Tan x)

= l ımx→0+

(ln (Sen x))′

(ln (Tan x))′= l ım

x→0+Cos2 x = 1

Ejemplo

Hallar lımx→0

Sen x−xx3

Observese que es de la forma00

, por tanto:

lımx→0

Sen x−xx3 = l ım

x→0

Cos x−13x2 , que tambien es de la forma

00

, luego aplicando nuevamente la

regla de L’Hopital se tiene:

lımx→0

Sen x−xx3 = l ım

x→0

Cos x−13x2 = l ım

x→0−Sen x

6x= −1

6

Page 404: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

396 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ejemplo

Hallar lımx→ π

2

4Tan x1+Sec x

Es de la forma+∞+∞

luego

lımx→ π

2

4Tan x1+Sec x

= l ımx→ π

2

4Sec2 xSec x Tan x

= l ımx→ π

2

4Sen x

= 4

Ejemplo

Hallar lımx→+∞

ex

x3 +1

Es de la forma+∞+∞

luego

lımx→+∞

ex

x3 +1= l ım

x→+∞

ex

3x2 = l ımx→+∞

ex

6x= l ım

x→+∞

ex

6= +∞

Ejemplo

En el calculo del lımx→∞

√2+x2

x, que es de la forma

+∞+∞

, al aplicar la regla de L’Hopital se tiene:

lımx→∞

√2+x2

x= l ım

x→∞

x√x2 +2

que es de la forma+∞+∞

, luego aplicando nuevamente al regla de

L’Hopital se tiene:

lımx→∞

√2+x2

x= l ım

x→∞

x√x2 +2

= l ımx→∞

1x√

x2 +2

= l ımx→∞

√x2 +2

x, es decir se regresa al lımite original,

lo que permite concluir que la regla de L’Hopital aunque es aplicable no conduce a ningun resultado,por tanto el lımite debe calcularse por otro metodo.(¿Cual?)

Hay otros tipos de lımite que no siendo de la forma00

o+∞+∞

se pueden llevar a esta forma.

Es el caso de lımites indeterminados de la forma:

1. lım f (x) ·g(x) donde f (x) → 0 y g(x) →±∞, que se puede representar como lımg(x)

1/ f (x)

o lımf (x)

1/g(x), en los cuales es aplicable la regal de L’Hopital.

2. lım f (x)g(x), cuandof (x) → 1 y g(x) → ∞, en este caso el lımite se representa como:lım f (x)g(x) = l ım eg(x) ln( f (x)) y el lımite de este exponente es de la forma tratada en 1.

3. lım ( f (x)−g(x)), cuandof (x)→+∞ y g(x)→+∞, en este caso se busca a traves de manipu-laciones algebraicas llevarlo a una forma donde sea aplicable la regal de L’Hopital

Page 405: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.6. REGLA DE L’HOPITAL 397

Ejemplo

Hallar lımx→0+

x ln x

El lımite es de la forma 0(−∞) y se llevara a la forma−∞∞

ası:

lımx→0+

x ln x = l ımx→0+

ln x1/x

= l ımx→0+

1/x−1/x2 = l ım

x→0+−x = 0

Ejemplo

Hallar lımx→ π

4+(1−Tan x)Sec2x

El lımite es de la forma 0(+∞) y se llevara a la forma00

ası:

lımx→ π

4+(1−Tan x)Sec2x = l ım

x→ π4

+

(1−Tan x)Cos2x

= l ımx→ π

4+

−Sec2 x)−2Sen2x

= 1

Ejemplo

Hallar lımx→+∞

x Sen1x

El lımite es de la forma 0(+∞) y

lımx→+∞

Sen1x

1x

= l ımx→+∞

− 1x2Cos

1x

− 1x2

= l ımx→+∞

Cos1x

= 1

Ejemplo

Hallar lımx→0+

(1+x)1x

El lımite es de la forma 1+∞, entonces

lımx→0+

(1+x)

1x = l ım

x→0+e

ln (1+x)x = e

l ımx→0+

eln (1+x)

x

el ım

x→0+e

11+x

= e1 = e

Ejemplo

Hallar lımx→1+

x1

x−1

El lımite es de la forma 1+∞, entonces

lımx→1+

x1

x−1 = l ımx→1+

eln xx−1 = e

l ımx→1+

ln xx−1

= el ım

x→1+

1x= e1 = e

Page 406: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

398 Capıtulo 12. APLICACIONES DE LA DERIVADA

Ejemplo

Hallar lımx→+∞

x1x

El lımite es de la forma(+∞)0, entonces

lımx→+∞

x1x = l ım

x→+∞e

ln xx = e

l ımx→+∞

ln xx = e

l ımx→+∞

1x = e0 = 1

Ejemplo

Hallar lımx→0+

xx

El lımite es de la forma 00, entonces

lımx→0+

xx = l ımx→0+

exln x = el ım

x→0+exln x

= el ım

x→0+

lnx1/x

= el ım

x→0+

1x

/−1/x2

= el ım

x→0+−x

= e0 = 1

Ejemplo

Hallar lımx→0+

(1x− 1

Sen x

)

El lımite es de la forma(+∞)− (−∞), por lo tanto

lımx→0+

(1x− 1

Sen x

)

= l ımx→0+

(Sen x−xxSen x

)

= l ımx→0+

(Cos x−1

Sen x+xCos x

)

=

l ımx→0+

( −Sen x2Cos x−xSen x

)

=02

= 0

Ejemplo

Hallar lımx→1+

(x

x−1− 1

ln x

)

El lımite es de la forma(+∞)− (−∞), entonces

lımx→1+

(x

x−1− 1

ln x

)

= l ımx→1+

(x ln x−x+1(x−1) ln x

)

= l ımx→1+

(x ln x

x−1+x ln x

)

= l ımx→1+

(1+ ln x2+ ln x

)

=12

EJERCICIOS

I. Hallar el valor de los siguientes lımites:

1. l ımx→0

Sen xex−e−x 2. l ım

x→0

e3x−1x

Page 407: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

12.6. REGLA DE L’HOPITAL 399

3. l ımx→+∞

x4

ex 4. l ımx→+∞

x+Cos xx−Cos x

5. l ımx→+∞

(

1+4x

)x

6. l ımx→+∞

ln xex

7. l ımx→0+

(1+x)Cot x 8. l ımx→4

x4−256x−4

9. l ımx→0

8x−2x

4x10. l ım

x→0(ex +3x)

1x

11. l ımx→0

xSen x 12. l ımx→1

ln x(ln (x−1))

13. l ımx→−∞

x2ex 14. l ımx→e

ln x−1x−e

15. l ımx→0

Sen−1 xe2x−1

16. l ımx→0

Cosh x−11−Cos x

17. l ımx→0

(1x

)Tan x

18. l ımx→1

(1−x)Cos

π2

x

II. Hallar el valor dec tal que lımx→+∞

(x+cx−c

)x

= 4

III. Hallar el valor den tal que lımx→+∞

(nx+1nx−1

)x

= 9

IV. Ilustre con ejemplos situaciones del tipo:

0(−∞) 0(+∞) (+∞)− (+∞)−∞+∞

+∞−∞

−∞−∞

(+∞)+(−∞) (−∞)− (−∞)

00 (±∞)0 1+∞ 0±∞

0+∞ (+∞)∞ (+∞)(+∞) (+∞)− (−∞)

(−∞)+(−∞) (−∞)(+∞)+∞c

c+∞

Page 408: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS
Page 409: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

Apendice AINDUCCION MATEMATICA

Una caracterıstica importante de los numeros naturales, es el llamado principio de induccion matematica,que afirma que:

si una proposicion cualquiera se satisface para el numero natural 1 ya ademas siempre que sesatisfaga para el numero natural k, se satisface para el numero natural k+1; entonces el

conjunto de los numeros que satisface esta propiedad es el conjunto de los numeros naturales.

Esta propiedad se puede utilizar para demostrar que determinadas proposiciones se cumplen para to-dos los numeros naturales o para todos los numeros naturales a partir de un numero natural fijon0.

El principio de induccion matematica se puede ilustrar de las forma siguiente: Imagınese que unapersona desea subir todos los escalones de una escalera infinita; si a esta persona se le garantiza doscosas: Primero, que la dejan subir al escalon numero uno y segundo, que siempre que se encuentreen el escalon k, la dejan subir al escalon k+ 1, es evidente que esa persona podra subir todos losescalones. Observese que si una de las dos condiciones no se da, entonces no se puede garantizar quela persona recorra todos los escalones.

Un error frecuente que se comete cuando se pide demostrar que determinada propiedad es validapara todos los numeros naturales, es verificar queesta se cumple para el 1 el 2,etc., hasta un numerofijo. Con esto se garantiza realmente solo que la propiedad se cumpla para el numero 1,2, hasta esenumero fijo, pero no para todos los numeros naturales como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:

Ejemplo

Se quiere demostrar la validez de la proposicion: Para todo numero naturaln, n2 − n+ 41 es unnumero primo.

401

Page 410: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

402 Capıtulo A. INDUCCION MATEMATICA

Se verifica paran = 1; 1−1+41= 41 es un numero primo.

para n = 2; 4−2+41= 43 es un numero primo....

para n = 40; 402−40+41= 1601 es un numero primo.

pero paran = 41; 412−41+41= 412 no es un numero primo.

Con lo anterior se muestra que si con los resultados, de los primeros 40 casos o menos (que siempredan primos), se hubiese sacado la conclusion de que la proposicion es valida para todos los numerosnaturales, se hubiese cometido un error.

Algunas formulas de uso frecuente, se pueden demostrar utilizando el principio de induccion matematicacomo se ilustra en los siguientes ejemplos:

Ejemplo

Demostrar que para todo numero naturaln, se verifica que:

1+2+3+ . . .+n =n(n+1)

2

i. Se verifica que la propiedad se cumple paran = 1. Haciendon = 1 en los dos lados de laecuacion se tiene:

1 =1(1+1)

2= 1

ii. Se supone que la proposicion se cumple paran = k, es decir, se supone que

1+2+3+ . . .+k =k(k+1)

2, que es la llamada hipotesis de induccion.

iii. Asumiendo que la hipotesis de induccion es cierta, se demostrara que la proposicion se cumpleparan = k+1, es decir, que:

1+2+3+ . . .+k+(k+1) =(k+1)(k+2)

2En efecto:

1+2+3. . .+k+(k+1) = (1+2+3+ . . .+k)+(k+1) =k(k+1)

2+(k+1)

=k2 +3k+2

2=

(k+1)(k+2)

2

De lo anterior se concluye que la proposicion es valida para todo numero natural.

Ejemplo

Demostrar que para todo numero naturaln, se verifica que:

Page 411: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

403

a+ar +ar2 + . . .+arn =a(1− r n+1)

1− rpara r 6= 1

i. Se verifica que la propiedad se cumple paran = 1, puesa+ar = a(1+ r) =a(1− r 2)

1− r=

a(1− r 1+1)

1− rque coincide con el lado derecho de la expresion a demostrar paran = 1

ii. Se supone que la proposicion se cumple paran = k, es decir, que:

a+ar + . . .+ark =a(1− r k+1)

1− r(hipotesis de induccion).

iii. Usando la hipotesis de induccion se demostrara que la proposicion se cumple paran = (k+1),es decir, que:

a+ar +ar2 + . . .+ark +ark+1 =a(1− r k+2)

1− rEn efecto:a+ar +ar2 + . . .+ark +ark+1 = (a+ar +ar2 + . . .+ark)+ark+1

=a(1− r k+1)

1− r+ark+1 =

a(1− r k+1)+ark+1(1− r)1− r

=a(1− r k+1 + r k+1− r k+2)

1− r=

a(1− r k+2)

1− rDe lo anterior se concluye que la proposicion es valida para todo numero natural.

Como se puede apreciar en el ejemplo 1, cumpliendose la primera condicion, pero no la segunda,se llega a resultados erroneos. En el ejemplo siguiente se ilustrara como se llega a resultados erroneos,si se satisface la segunda condicion, pero no se satisface la primera, es decir, siempre es necesarioverificar que se satisfagan las dos condiciones.

Ejemplo

Para todo numero naturaln, 1+2+3+ . . .+n =18(2n+1)2.

Se supone que es cierto paran = k, es decir:

1+2+3+ . . .+k =18(2k+1)2, y se verifica que es cierto paran = k+1, es decir, que:

1+2+3+ . . .+k+(k+1) =18(2(k+1)+1)2 =

18(2k+3)2.

En efecto:

1+2+3+ . . .+k+(k+1) = (1+2+3+ . . .+k)+(k+1) =18(2k+1)2 +k+1

=18(2k+1)2 +

18(8k+8)2 =

18(4k2 +4k+1+8k+8) =

18(4k2 +12k+9).

=18(2k+3)2.

Page 412: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

404 Capıtulo A. INDUCCION MATEMATICA

Es decir la segunda condicion se cumple, pero observese que no se cumple parak = 1, ni tampocopara los otros valores dek, por ejemplo:

k = 3; 1+ 2+ 3 = 6; pero18((2)(3)+ 1)2 =

498

, en forma analoga se puede verificar que no se

cumple para otros valores dek.

Ejemplo

El teorema del binomio(a+ b)n =n∑

k=0

(nk

)an−kbk se puede demostrar rigurosamente usando la

induccion matematica.

i. Paran = 1;

(a+b)1 =1

∑i=0

(1i

)

a1−ibi =

(10

)

ab0 +

(11

)

a0b = a+b

ii. Se supone cierto paran= k; es decir(a+b)k =k∑

i=0

(ki

)ak−ibi y se demostrara que es valida para

n = (k+1), es decir que:

(a+b)k+1 =k+1

∑i=0

(k+1

i

)

ak+1−ibi

En efecto:

(a+b)k+1 = (a+b)(a+b)k = (a+b)k

∑i=0

(ki

)

ak−ibi

= ak

∑i=0

(ki

)

ak−ibi +k

∑i=0

(ki

)

ak−ibi

=k

∑i=0

(ki

)

ak+1−ibi +k

∑i=0

(ki

)

ak−ibi+1

=

(k0

)

ak+1 +k

∑i=1

(ki

)

ak+1−ibi +k+1

∑i=1

(k

i−1

)

ak−(i−1)bi

=

(k0

)

ak+1 +k

∑i=1

(ki

)

ak+1−ibi +k

∑i=1

(k

i−1

)

ak+1−ibi +

(kk

)

bk+1

=

(k+1

0

)

ak+1 +k

∑i=1

[(ki

)

+

(k

i−1

)]

ak+1−i bi +

(k+1k+1

)

bk+1

=

(k+1

0

)

ak+1 +k

∑i=1

(k+1

i

)

ak+1−i bi +

(k+1k+1

)

bk+1

=k+1

∑i=0

(k+1

i

)

ak+1−i bi

Page 413: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

405

luego queda demostrado el teorema para todo numero natural.

EJERCICIOS

Demostrar que para todo numero naturaln, se cumple que:

1. 12 +22 + . . .+n2 =n(n+1)(2n+1)

6

2. 13 +23 + . . .+n3 = (1+2+3+ . . .+n)2

Indicacion Recuerde que 1+2+3+ . . .+n =n(n+1)

2

3. (ab)n = anbn cona,b numero reales.

4. 42n−1 es divisible por 5.

5. 2n ≥ n

Page 414: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS
Page 415: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

CAPITULO 1

SECCION 1.2.8 (PAGINA 16)

1. a) 3 b)176

c) 4 d)−2312

e)

√5√

3−√

7f )

72

g)−3873

4. a) F b) V

6. i, ii

8. a) a+3b b) y−3x c) 2x2 +4xy+3y2 d) 2y−z

e) 3a+b+c

(PAGINA 20)

1. F

2. i. 5 ii. 9x4y2 iii. a7720 b

2920 iv. 5 3

√5

v. x7y2z3 vi. 2537

3. i. 4x4−2 ii. x−5−y3 iii. 2y3 +x3y3 +2x−4y−1 +1xy

iv. 2436

v. −1+√

10−√

15 vi. 12√

7 vii. 5√

2−20√

5 viii. 1

ix.c−d

(a+b)3 x. 3√

4 xi. 2√

a−b xii. a1112

xiii. a xiv. x2 +2

407

Page 416: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

408 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

SECCION 1.4.1 (PAGINA 25)

1.3√

25− 3√

4 2. a2m−b2n

3. x2− (y+1)2 4. 22x−32x

5. x8−y8 6. 4y45 −9x4

7. 9a6 +12a3b4 +4b8 8. 5+2√

6

9. 27a3x +54a2xb2 +36axb4 +8b6 10. 2−3 3√

4 4√

3+3 3√

2√

3− 4√

27

11. 23√

2+21√

3−38−12√

6 12. 54√

2−270 3√

3+225√

2 3√

9−375

13. 8a3b3c3−12√

abca2b2c2 +6a2b2c2−√

(abc)3 14. 1

15. 44−22 16. 1+a3

17. 27a3−125b3

SECCION 1.4.2 (PAGINA 28)

1. (x+1)(x2−x+1)(x−y) 2. (x−1)(x+1)(x−y) 3. (2x+y)(3x−y)

4. (1−2x2)(a2−b3) 5. (a+4)(a+5) 6. (a−4)(a−3)

7. (a−3)2 8. (3x−2)(2x+1) 9. (2x+3y)(3x−y)

10. (m2 +n2 +mn)(m2 +n2−mn) 11. (5−2x)(4x+3)

12. (x3 +2)(x−1)(x2 +x+1) 13. ( 3√

x+2)(2 3√

x+1)

14. (2an−b)(2an +b) 15. (x−y)(x+y)(x2 +y2)(x4 +y4)

16.√

2(√

3−1) 17. (m2 +n2−a)(m2 +n2 +a)

18. (2x−y)(4x2 +2xy+y2) 19. (xy2−6y4)(x2y4 +6xy6 +36y8)

20. 2(3m2−18m+28) 21. (5a+2b)3

22. (3−x)3 23. 3x2 +2y3

Page 417: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

409

SECCION 1.4.3 (PAGINA 31)

1. i.6√

55

5ii.

2√

12+15√

2+2√

18+15√

3+4√

30+30√

5−201

iii. 3√

3+1 iv.3√

x− 3√

y

x−y

v.4+6 3

√2+9 3

√4

−46vi.

5√

7+2√

3163

vii.

√2+x+

√2−x

2xviii.

2√

xx

+

√x

2

2. i. El factor racionalizante es(x+h)43 +(x+h)

23 x

23 +x

43

ii. El factor racionalizante es√

(x+h)3 +√

x3

iii. El factor racionalizante esx−√

x+1

SECCION 1.4.4 (PAGINA 34)

1. 0 2.x+22x−3

3.1m

4. a3x−a3

5. a4m−81 6.(2x+y)2

3x−y7.

x2−3x(x+1)

8.x2−x+1

x−1

9. 1 10. 1 11. 1 12. − 1a

13.2a2−2a+1

1−2a14.

m−n−xm

15.a2 +ab+ac

a−b−c

16.12

17.3x−43x+5

CAPITULO 2

SECCION 2.1.2 (PAGINA 49)

1. [3,5] 2. (−4,0)∪ (2,+∞) 3. [5,+∞) 4. (−∞,2)

5. (−∞,−4)∪ (−1,+∞) 6. (−∞,7) 7. (−2−2√

3,−2)∪ (1,−2+2√

3)

Page 418: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

410 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

8.

(

−38,−17821

)

9. [3,+∞) 10. (4,6) 11.

[

−1,12

]

SECCION 2.2 (PAGINA 63)

1. 3,−53

2.112

3. No tiene solucion 4.

[92,152

]

5.

(

−∞,13

]

∪ [3,+∞) 6. (−∞,+∞)

7. No tiene solucion 8. ±3,±5

9.

[298

,4

)

∪(

4,92

]

10.

(

−∞,32−

√5

2

]

∪(

2,32

+

√5

2

]

∪[

12

+

√5

2,2

)

11.

[19,1

]

12.

(

−∞,52−

√132

)

∪(

52

+

√132

,+∞,

)

13.

(

−∞,−53

]

∪[

13,+∞

)

14. (−∞,−4)∪ (−4,−1)∪ (0,2]∪ [3,+∞)

15. (−∞,+∞) 16. [9,21]∪ [−29,−9]

18. a) V b) F c) F d) F

CAPITULO 3

SECCION 3.2.4 (PAGINA 84)

1. a) −4 b) −4+7i c)165

− 8i65

d)−7325

+4i

325

2. a)95

+3i5

b) −250 c) − 12− i

2

d) − 12−3i e)

1221

+21221

f ) − 213

+3i13

3. a)(1,3),(−1,−3) b) (1,0) c)

(334

,−534

)

d)

(−413

,713

)

e) (−1,2)

Page 419: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

411

4. a)√

65 b) 10 c) 1 d)15

e)15

f ) 13 g) 3 h)13

i)√

10

5. a) (x−3)2 +y2 = 16 b) x2 +(y−3)2 = 16 c) x = −1

d)x2

25+

y2

16= 1 e) x2 +(y−1)2 = 1 f ) x = 1

g) y = 0 h) xy= 2 i) x = 2

6. a) 1≤ x2 +y2 ≤ 9 b) 1≤ x2 +(y−2)2 ≤ 25 c) (x+1)2 +y2 ≥ 9

d) x2 +(y−1)2 > 1 e) xy>12

f ) x2−y2 > 1

7. a) V b) V c) V d) V

CAPITULO 4

SECCION 4.2 (PAGINA 94)

1. a)14512

b) 26 d) −14.707

2. a)100

∑k=1

k4 b)51

∑k=1

2k−1 c)n

∑k=1

(−1)k+1(

23

)k

d)80

∑k=1

kk+1

e)n

∑k=1

(2+5k) f )520

∑k=1

2k

3. a) Falsa b) Verdadera c) Falsa

d) Verdadera e) Verdadera

4. a) n2 b)1− (−2)n+1

3c)

1− (−2/3)n+1

1+2/3

d)1√10

− 1√n+1

e) (81)2−72 f )1

(300)2 −162

g)n3

3+

n(n+1)

2− n

35. a) Si b) Si c) Si

d) No e) No

Page 420: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

412 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

6. a) ak = 5k+5 ; 100 b) ak = Sen(2k+1) ; Sen229−Sen2

c) ak = (2k−1)3;293−33 d) ak = k2 +4k+2;10402−2 = 10400

e) ak = 2

SECCION 4.4 (PAGINA 99)

1. 10! 2. 162

3. a) F b) F c) F

4. {2,3}, {2,5} {3,5} 6.

(157

)

7.

(50

)

;

(51

)

;

(52

)

;

(53

)

;

(54

)

;

(55

)

, 25

8. 17 9. 9

SECCION 4.5 (PAGINA 101)

1. a) 2√

2a3b3 +6√

3a4b4 +9√

2a5b5 +3√

3a6b6

2. El cuarto termino es

(83

)

x2y−2 ; el termino independiente es

(84

)

y el coeficiente dex−2y2 es

(86

)

3. El coeficientes dex18 es

(154

)

34 ; el termino independiente es

(1510

)

310,

el noveno termino es

(158

)

38x6

4.

(73

)

5. El coeficiente dex6es

(96

)(32

)3(

−13

)4

6. a) 220 b) 0 c) 8500 7.

(104

)

Page 421: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

413

CAPITULO 5

SECCION 5.1 (PAGINA 116)

1. a) y =2x3

+23

b) y = 2 c) y = 4x−16

2. a) i. y = 2x−3 ii. y = 2− x2

b) i. x = 2 ii. y = 5

c) i. y = 0 ii. x = −1

3. a) No b) No c) No

4. a) El punto de interseccion de las medianas es

(13,23

)

y sus ecuaciones

y = 2x; y =2−5

(x−2) y =27(x+2);

b) El punto de interseccion de las mediatrices es

(

0,14

)

y sus ecuaciones

y = 1+12

+

(

x− 32

)

; y = 1− 32

(

x+12

)

y x = 0

c) El punto de interseccion de las alturas es

(

1,32

)

y sus ecuaciones

x = 1; y = −32(x−2) ; y =

12

(x−2)

d) Son colineales

5.75

6.4√2

7. a) a = −2 b) a = ±3 c) a =53, a = 1

16. Ecuaciones de los lados,y =25

x+35

; y =25

x− 265

y ecuacion de la diagonaly =73

x−11

Page 422: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

414 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

SECCION 5.2 (PAGINA 123)

1. (x−4)2 +y2 = 25 2. x2 +(y−5)2 = 25

3. x2 +(y−5)2 = 25 10. (x−4)2 +(y−6)2 = 8; (2,4),(6,8)

11. x2 +y2 = 2

13. a) Si b) No c) Si d) Si e) No f ) No g) No

14. (x−1)2 +(y+1)2 = 4 15. (x−2)2 +(y−4)2 = 10

16. 5y−2x−19= 0 17. (−2,−2),(−1,5)

SECCION 5.3 (PAGINA 133)

1. a) Vertice= (0,0); foco=

(12,0

)

, d = −12

= x b) (0,0),

(

−14,0

)

,d =14

= x

c) (0,0),

(

0,116

)

,d = − 116

= y d) (0,0),

(

0,− 112

)

,d = y =112

2. a) 12x = y2 b) −20x = y2

c) 16y = x2 d) − 43

y = x2

3. x = 3y2

5. i) (h,k),x = h ; (h,k+ p) ; y = k− p

ii) (h,k),y = k ; (h+ p,k) ; x = h− p

6. −28(y+3) = (x−2)2 7. (−2,4),(−1,4) ; x = −3

8. a)

(

−2,−58

)

,

(

−2,−58

+13

)

, y =−58

− 13

9. No, por ejemplo siA = 0,B,C,D diferentes de cero.

10. y = 0 11.

(

3+√

52

,1+

√5

2

)

;

(

3−√

52

,1−

√5

2

)

Page 423: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

415

SECCION 5.4 (PAGINA 143)

1. a) (±3,0),(0,±2) ; (±√

5,0) b) (±4,0),(0,±6) ; (0,±√

20)

c) (0,±1),(±1/2,0) ;

(

0,±√

32

)

d) (±2,0),(0,±1) ; (±√

3,0)

2. a)x2

64+

y2

39= 1 b)

x2

21+

y2

25= 1

c)4x2

9+

y2

25= 1 d)

8x2

81+

y2

36= 1

e)x2

9+

y2

8= 1

3. (h,k),(

h+√

a2−b2,k)

,(

h−√

a2−b2,k)

, (h,k+b),(h,k−b),(h+a,k)(h−a,k)

4. i. a) (1+√

40,5) ; (1−√

40,5) b) (8,5),(−6,5),(1,8),(1,2) c) 14,6

ii. a) (−2,1+√

7) ; (−2,1−√

7) b) (−2,5), (−2,−3), (−5,1), (1,1) c) 8,6

5. a)(x−1)2

16+

(y−6)2

25= 1 b) (x−2)2 +

(y−1)2

25= 1

6. No, por ejemploB = 0;D ,C,F diferentes de cero

SECCION 5.5 (PAGINA 153)

1. a) (±4,0);(±5,0) ; y = ±34

x b)(0,±4),(0,±5) ; y = ±43

x

c) (±√

2,0),(±6,0) ; y = ±√

2x d) (±√

10,0),(±√

20,0) ; y = ±x

e)

(

0,±12

)

,

(

0,±√

136

)

; y = ±32

x

2. a)x2

9− y2

16= 1 b) y2− x2

8= 1 c)

x2

144− y2

25= 1

3. a) (h+√

a2 +b2,k),(h−√

a2 +b2,k) ; (h+a,k),(h−a,k) ;x−h

a= ±(y−k)

b

b) (h,k+√

a2 +b2),(h,k−√

a2 +b2) ; (h,k+a),(h,k−a) ;y−k

a= ±(h−h)

b

Page 424: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

416 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

4. a)(x−3)2

16− (y−5)2

9= 1 b) (y−4)2− (x−2)2

4= 1

c)(y−3)2

4− (x−1)2

21= 1 d) (y−4)2− (x−5)2

15= 1

5. a) (−2,4),(−2,0) ; (−2,2+√

8),(−2,2−√

8) ; y−2 = ±(y−1/2)

b)

(12

+1√2,12

)

,

(12− 1√

2,12

)

;

(32,12

)

,

(

−12,12

)

y− 12

= ±(x+2)

c) (4,3),(0,3) ; (2+√

5,3),(2−√

5,3) ; y−3 = ±(x−2)

2

CAPITULO 6

SECCION 6.1 (PAGINA 166)

2. a)√

23 b)√

6x2 +3 c)√

2ax3 +2b+3 d)

√2x+2h+3−

√2x+3

he)

√2x+3−

√2h+3 f )

√−2x+3

3. a) No b) Si c) Si d) No e) Si f ) Si g) Si

h) No i) Si j) No k) Si l) Si m) Si

4. a) Relacion No funcionalDR = [−4,4] ; RR = [−2,2]

b) Si es funcion D f = (−∞,0)∪ (0,+∞) = Rf c) Relacion No funcional

d) Si es funcion D f =

[

0,5π2

]

, Rf = [−1,1]

e) Si es funcion D f = R; Rf = (−∞,1]∪{2}f ) No es funcion DR = {2} ; RR = R

5. a) (−∞,0] b) {0} c) (−2,1] d) (−2,1] e) (0,1]∪ (−∞,−1]

f ) (−∞,0)∪ (0,+∞) g) (−∞,+∞) h) (−∞,2)∪ (2,+∞) i) (−∞,+∞]

SECCION 6.2 (PAGINA 171)

1. a)√

2+h b) 7−2h c)√

x+h+2x+2h+1 d)√

5+11

e) |x| f )√

x−2x−1 g)

√x

2x+1h)

√x(2x+1)

i) [0,+∞), [0,+∞), [0,+∞) ; [0,+∞)

2. a)√

1−h+4−2h b)√

x2−1−2x2 c)√

x(2x+2) d) 2a4

e) 2(a2−1) f )√

x(2x+2) g)

√1−3h

4−6hh) [1,+∞), [1,+∞)

Page 425: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

417

3. a) (−∞,0)∪ (0,+∞),(−∞,0)∪ (0,+∞),(−∞,1] b) (−∞,0)∪ (0,1],(−∞,0)∪ (0,1],(−∞,0)∪ (0,1)

c) No existe,√

3− 14

SECCION 6.3 (PAGINA 175)

1. a)1

1+[

(1+x2)2]−1 b)

1−√

1−x c)1

1+(√

1− 11+x2

)2

2.

x+3

1−x2 +3

1−(

x+3

1−x2

)2 ;Sen√

2x +3

1−(

Sen

√2

x

)2 ; Sen

(√

22/x

)

;

Sen

Sen

√2x +3

1−(√

2x

)2

;

2√

2/x+3

1−(√

2√2/x

)2

3. a 4. a) V b) F c) F d) F

5. Ninguna 6. No existen

7. (go f )(x) =

1−(√

x+1)2

; x = 0 ( f og)(x) =

√√

1−x2 +1; [−1,1]

( f oh)(x) =√

x+3+1; [−3,+∞) (goh)(x) =√

1− (x+3)2 ; [−4,−2]

8. i. s(r (p(x ))) ii. q(s(r (x ))) iii. r (p(s(x ))) iv. p(q(x ))

CAPITULO 7

SECCION 7.6 (PAGINA 185)

1. a) x = −8 de multiplicidad 3, x = 6 de multiplicidad 2; grado 5.

b) x = ±i de multiplicidad 4, x = 2 de multiplicidad 8; grado 16

c) x = ±3i de multiplicidad 8, x = 3 de multiplicidad 3,x = 0 de multiplicidad 4; grado 23.

Page 426: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

418 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

2. a) p(x ) = (x+4)2(x+1) b) p(x ) = (x−3)2(x+2)

c) p(x ) = (x−1)(x+1)(x− i)(x+ i) d) (x− (4−5i))(x− (4+5i))(2x−1)

3. x = 3− i , x = 3+ i , x = −1 5. p(1) = 1−1 = 0. Si 6. p(3) = 27−6+1 6= 0. No

7. a) p(−2) = 4 b) p(5) = −25 c) p(i) = 0

8. a) Q(x ) = 4x4−12x3 +6x2−18x+4; R= −12 b) Q(x ) = 3x3 +x2 +4x−2; R= 0

c) 21−8i

9. p(x ) = (2x2 +3x+3)(2x−3)+14; Si,4 0 −3 5

∣∣∣3/2

6 9 94 6 6 14

entonces 4x3−3x+5 = (4x2 +6x+6)(x−3/2)+14

10. a) {0,1,−2,3} b) (−∞,−2]∪ [0,1]∪ [3,+∞) ;

c) {0} d) {0,1,−2,3}11. f (x ) = x5−x = x(x4−1) = x(x−1)(x+1)(x2 +1)

a) {0,±1,±i} b) [−1,0]∪ [1,∞) ; (−∞,−1)∪ (0,1)

c) {0} d) {0,1,−1}12. b = −4 13. a = 16, b = 41, c = 26 14. a = −5, b = 6

SECCION 7.7 (PAGINA 190)

1. a)

(

x− 32−

√5

2

)(

x− 32

+

√5

2

)

b)(

x−3−√

8)(

x−3+√

8)

c)(

x−2−√

2)(

x−2+√

2)

d) 3

(

x− 56

+i√

236

)(

x− 56− i

√23

6

)

2. a)

(56,−25

12

)

Mınimo b)

(

−12,−3

4

)

Maximo

c)

(

−58,−41

16

)

Mınimo d)

(52,−21

4

)

Mınimo

3. a)

(

−∞,−12−

√5

2

]

∪[

−12

+

√5

2,+∞

)

b)

(

−∞,−54−

√174

]

∪[

−54

+

√174

,+∞

)

c)

[

0,14

)

Page 427: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

419

SECCION 7.8 (PAGINA 192)

1. a) R b) R c) R−{

0,−3+

√41

2,−3−

√41

2

}

SECCION 7.9 (PAGINA 199)

II. 1.2x− 1

x+12. 1− 16/3

x2 +4+

1/3x2 +1

3.1

x+1− 6

(2x+1)2 +12

(2x+1)3 4.1/2

(x−1)2 +1/2

(x+1)2

5.1x− 2x

(x2 +1)2 6.−2−2x

(x2 +2x+2)2 +1

x2 +2x+2

7.1/4x−1

− 1/4x+1

− 1/2x2 +1

8. − 14

(

−2+√

2x

x2 +1−√

2x

)

+14

(

2+√

2x

x2 +√

2x+1

)

CAPITULO 8

SECCION 8.2 (PAGINA 217)

1. Para 150o

Sen(150) = Sen(30) = 1/2; Sen(−150) = −Sen(150) = −1/2

Cos(150) = −Cos(30) = −√

3/2; Cos(−150) = Cos(150) = −√

3/2

Tan(150) =Sen(150)Cos(150)

=−√

33

; Tan(−150) = −Tan(150) =

√3

3

Cot(150) =Cos(150)Sen(150)

= −√

3; Cot(−150) = −Cot(150) =√

3

Sec(150) =1

Cos(150)= − 2√

3; Sec(−150) = Sec(150) =

−2√3

Csc(150) =1

Sen(150)= 2; Csc(−150) = −Csc(150) = −2

Page 428: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

420 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

Para 600o

Sen(600) = Sen(240+360) = Sen(240) = −√

32

; Sen(−600) = −Sen(240) =

√3

2Cos(600) = Cos(240) = −1/2; Cos(−600) = Cos(600) = Cos(240) = −1/2

Tan(600) =Sen(240)Cos(240)

=√

3; Tan(−600) = −Tan(600) = −√

3

Cot(600) =

√3

3; Cot(−600) = −

√3

3

Sec(600) =1

Cos(600)=

1Cos(240)

= −2; Sec(−600) = Sec(−600) = −2

Csc(600) =1

Sen(600)=

1Sen(240)

=−2√

3; Csc(−600) = −Csc(600) =

2√3

7. Cos M

(

x+2πM

)

= Cos(Mx+2π) = Cos Mx; Sen M

(

x+2πM

)

= Sen(Mx+2π) = Sen Mx

9. a)πa

b)πb

c)2πb

SECCION 8.3 (PAGINA 224)

1. Sen(90+x) = Cos x; Sen(90−x) = Cos x

Cos(90+x) = −Sen x; Cos(90−x) = Sen x

Tan(90+x) = −Cot x

SECCION 8.4 (PAGINA 230)

1. i. a) Es inyectiva b) f −1(x) = x2 c) D f = [0,+∞) = Rf−1 ; Rf = [0,+∞) = D f−1

ii. a) Es inyectiva b) f −1(x) = 3√

x c) D f = Rf−1 = R ; Rf = D f−1 = R

iii. a) Es inyectiva b) f −1(x) =x−5

2c) D f = Rf−1 = R ; Rf = D f−1 = R

iv. a) Es inyectiva b) f −1(x) = −√

x2 +4; x≥ 0 c) D f = Rf−1 = (−∞,−2) ;Rf = D f−1 = (0,+∞)

v. a) Es inyectiva c) D f = Rf−1 = (−∞,0) ; Rf = D f−1 = (−4,+∞)

Page 429: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

421

2. a) y = x; x≥ 0; f−1(x) = x; D f = [0,+∞) = Rf = D f−1 = Rf−1

b) f (x) =√

x2−4; x≥ 2; f−1(x) =√

x2 +4; D f = [2,+∞) = Rf−1 ; Rf = D f−1 = [0,+∞)

c) y = x; x≥ 0; f−1(x) = x; D f = [0,+∞) = Rf−1 ; Rf = D f−1 = [0,+∞)

d) f (x) =43

9−x2 ; 0≤ x≤ 3; f−1(x) =34

16−x2 ; D f = [0,3] = Rf−1 ; Rf = D f−1 = [0,4]

e) f (x) =√

x−1; f−1(x) = x2 +1; D f = [1,+∞) = Rf−1 ; Rf = D f−1 = [0,+∞)

f ) f (x) = x2−1; f−1(x) =√

x+1; D f = [1,+∞) = Rf−1 ; Rf = D f−1 = [0,+∞)

SECCION 8.5 (PAGINA 240)

1. a) V b) V c) V d) V e) V f ) V

g) V h) v i) V j) V k) V l) V

m) V n) V n) F o) F p) F

SECCION 8.6 (PAGINA 246)

1.

a) x =π4 +2nπ

3o x =

ArcSen(√

2/2)

3+

2nπ3

; x =3π4

+2nπ

3; x =

2nπ +π −ArcSen(√

2/2)

3

b) x =nπ3

o x =(2nπ +(π −ArcSen(0)))

3; x =

2nπ +ArcSen(0)

3

c) x =ArcTan(−

√3)+nπ

2o x =

−π3 +nπ

2

d) x =5π6

+nπ2

+12

o 2x−1 = ArcCot

(

− 1√3

)

+nπ

e) 2x = 2nπ +ArcSen

√2

2o 2x = 2nπ +

(

π −ArcSen(√

2/2))

2x = 2nπ +ArcSen

(

−√

22

)

o 2x = 2nπ +(

π −ArcSen(−√

2/2))

f ) x =π6

+2nπ = ArcSen(1/2)+2nπ o x =5π6

+2nπ = (π −ArcSen(1/2))+2nπ

g) 2x =π4

+2nπ o 2x =5π4

+2nπ

h) {3x = nπ} o

{3x = 2nπ +ArcSen(0)3x = 2nπ +(π −ArcSen(0))

}

Page 430: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

422 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

i) x = nπ o x =

{ π12 + nπ

2

5π12 + nπ

2

}

o

{x = nπ ; 4x = ArcCos(1/2)+2nπ

4x = 2nπ −ArcCos(1/2)

}

j)x = 2nπ +ArCos(1)x = 2nπ −ArcCos(1)

o 2nπ ; x =4π3

+2nπ = 2nπ −ArCos(−1/2)

k)π2

+2nπ = 2nπ +ArcSen(1) ;2nπ +ArcSen(−6/10)2nπ +(π −ArcSen(−6/10))

; 2nπ +ArcSen(1)

l) x =nπ2

m) x = 2nπ n) x = nπ

n) nπ ;3π2

+2nπ o)π3

+2nπ ;2π3

+2nπ

p)

{2nπ +ArcSen(

2/3) ; 2nπ +(π −ArcSen(√

2/3)

2nπ +ArcSen(−√

2/3) ; 2nπ +(π −ArcSen(−√

2/3)

}

q) nπ ; −π4

+nπ

r)Cos2x = 1/2Cos2x = −1/2

;Cos2x = 1/4Cos2x = 3/4

{π/6, π/3, π −π/3, π +π/3}

2nπ +ArcCos(1/2) ; 2nπ −ArcCos(1/2)2nπ +ArcCos(−1/2) ; 2nπ −ArcCos(−1/2)

2nπ +ArcCos(√

3/2) ; 2nπ −ArcCos(√

3/2)

2nπ +ArcCos(−√

3/2) ; nπ −ArcCos(−√

3/2)

s) No tiene solucion

SECCION 8.7 (PAGINA 256)

1. a)√

18

(

Cos5π4

+ i Sen5π4

)

b)√

18(

Cosπ4

+ i Senπ4

)

c)√

18

(

Cos3π4

+ i Sen3π4

)

d)√

18

(

Cos7π4

+ i Sen7π4

)

f ) 1(

Cosπ2

+ i Senπ2

)

2. a) 12(

Cosπ2

+ i Senπ2

)

b)12

(Cos0+ i Sen0) c) (Cos(−210)+ i Sen(−210))

d) 24(Cos(240)+ i Sen(240)) e) 25(Cos(90)+ i Sen(90)) f )14

(Cos(780)+ i Sen(780))

3. a) 1+ i√

3 b) −2+ i 2√

3 c) −2i√

3

d) −2√

3+2i e)32√

25

(Cos(−255)+ i Sen(−255))

Page 431: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

423

4. a) Wk = Cos2kπ3

+ i Sen2kπ3

k = 0,1,2; Wk = Cos2kπ3

+ i Sen2kπ3

k = 0,1,2,3,4

b) Wk = 21/3[

Cos330+2k(180)

3+ i Sen

330+2k(180)3

]

k = 0,1,2

c) Wk =(√

2)1/4

[

Cos135+2k(180)

4+ i Sen

135+2k(180)4

]

k = 0,1,2,3

d) Wk =

[

Cos90+2k(180)

2+ i Sen

90+2k(180)2

]

k = 0,1

e) Wk = 81/3

[

Cos3π2 +2k(180)

3+ i Sen

3π2 +2k(180)

3

]

k = 0,1,2

Wk = 271/3[

Cos90+2k(180)

3+ i Sen

90+2k(180)3

]

k = 0,1,2

CAPITULO 9

SECCION 9.2 (PAGINA 276)

1. a) 5 = log232 b) 3 = log1000 c) 4 = log1/3181

d) 2 = log1/4116

2. a) 64= 26 b) 81= 34 c) 125= 53 d) 0.01= 10−2

3. a) 3 b) 4 c) −3 d) 1

e) 161/3 f )164

g) 10−0.02

4. a) 6 b) 36 c) 9 d) 4

5. a) log25 b) log514 c) log1/3

√2

6. a) log32−1 b) − 176

7. a) x = 3 b) 13 c) 1003 d) e3 +3

e) 1125= 9·125 f )409

g) No tiene solucion h) 12

i) 11 j) 100,110

k) 1, 2 l) 100,1

100

m) 2(±6/5) n) 16,12

n) 1 p) 10

q) 100, 1000

Page 432: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

424 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

SECCION 9.3 (PAGINA 280)

1. a) −6 b) 2 c) −2, 1 d) (5, 8)

2. a) [3,+∞) b) (−∞,−4] c)log348+2

5d) 4,3,1 e) 1

3. a) V b) V c) F d) F e) F

f ) F g) V h) F

5. a) x > 35 b) (5,13)

c) {(−∞,−2)∪ (3,+∞)}∩{(

12−

√292

,12

+

√292

)}

d)

{(

−∞,12−

√292

)

∪(

12

+

√292

,+∞

)}

∩{(−∞,−2)∪ (3,+∞)} e) (2,+∞)

f ) (3,+∞) g)(−∞,−1)∪ (9/7,+∞)

h) (−∞,11/13)∪ (5/3,+∞) i) (−∞,1/3)∪ (7/5,3)∪ (3,+∞)

j)

(211

,12

)

k) [−1,0)

l) (−∞,−1)∪ (5,+∞) m) (−∞,−1)∪ (5,+∞)

CAPITULO 10

SECCION 10.2 (PAGINA 296)

I. 1. 8,27,0 2.√

2,2,√

3 3. 2,No existe, No existe

4. −1,1,−1 5. 2,8/2 6. No existe,3,2

7. 5,9

II. 1. Si [a,b] cualquiera 2. Continua en[−1,+∞) 3. Continua en(−∞,3)∪ (5,+∞)

4. Continua en(−∞,3)∪ (3,+∞) 5. Continua en(−∞,1)∪ (1,+∞) 6. Continua en(−∞,5)∪ (5,+∞)

7. Continua en(−∞,2)∪ (2,+∞)

Page 433: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

425

Cualquier intervalo cerrado que este contenido en el intervalo dado

III. f es continua en[a,b) si f es continua en(a,b) y lımx→a+

f (x) = f (a)

1. f (x) =√

x; Continua en[0,+∞) 2. f (x) =√

1−x2 ; Continua en[−1,1]

IV. 1. No 2. No 3. Si 4. No 5. Si 6. Si

V. 1. m= 4 2. m= 1, n = 3 3. m=16

4. m= 2, n = −1

SECCION 10.3 (PAGINA 305)

1. a) No existe, No existe, 0 b) +∞ , −∞ , ln4

c) −∞ , +∞ , −8 d) +∞ , 0, 8

e) 0, +∞ , 1

4. a) Maximo 2, Muchas (finitas) b) Maximo 1, Muchas (finitas)

c) Ninguna d) Maximo 2, Ninguna

e) Ninguna, Ninguna

5. a) Horizontalesy = 2 ; Verticales ninguna b) Ninguna

c) Ninguna d) Ninguna

6. a) Horizontalesy = −2 ; Verticalesx = ±3 b) Horizontalesy = 1 ; Verticalesx = ±2

c) Horizontalesy = ±1 ; Verticales Ninguna d) Horizontalesy = 1/2 ; Verticalesx = 5, x = 3/2

SECCION 10.5 (PAGINA 328)

II . a) l ımx→0+

1x

+2 = +∞ ; lımx→0+

1x

= +∞ ; lımx→0+

2 = 2

b) l ımx→1−

1x−1

+3 = −∞ ; lımx→1−

1x−1

= −∞ ; lımx→1−

3 = 3

d) l ımx→∞

x3

x(x−1)= l ım

x→∞

x ·x2

x(x−1)= l ım

x→∞g(x) f (x) = +∞ ; c = 1 > 0

lımx→∞

−(x−1)3

(x−1)= l ım

x→∞

−(x−1)

(x−1)· (x−1)2 = −∞ ; c = −1

f ) l ımx→∞

xex = +∞ ; lımx→∞

x = +∞ ; lımx→∞

ex = +∞

Page 434: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

426 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

III . 1) 3x2 2)a−13a2 3) 1 4) nyn−1 5)

mn

6)a1/m

ma7) 1 8) −2 9)

−156

10) 1

11)32

12)215

13) Cosx 14) −Sena 15)−1√

2

16)2π

17)12

18) 0 19)12

(n2−m2) 20) −−

21) 1 22)14

23)2π

24)14

25) 1

26) 1 27) 6 28) 1 29)12

30) a−b

31) 2 32) +∞ 33) 0 34) 1 35) 1

36) 1 37) 1 38) 0 39) 2

V. a) Si b) Si c) No d) No e) No f ) No g) No h) No

VI. a) No b) No c) No

Page 435: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

427

CAPITULO 11

SECCION 11.2 (PAGINA 344)

1. a)s(5/4)−s(3/4)

1/2b)−10

(34

)

+10 c) t = 1 seg

d) 5 e) t = 2; −10

2. a) s(3)−s(2) b)s(3)−s(2)

3−2c) s ′(4)

3. m= 6 4. y = ±2x 5. (−1/2,17/4)

6. y = 1 7. y−4 = −14(x−2)

8. y− 1604324

= −29

(

x− 49

)

9. a) f ′(0) = 1; f ′(1) = 1/4 b) f ′(2) = 1/4; f ′(0) = 1/2√

2

c) f ′(4) = 19; f ′(1/2) = 5 d) f ′(x) = nxn−1 e) f ′(x) =1n

x1n−1

10. a) No b) No c) No

d) Sı

11. a) f (x) = 2x3 ; x = 5 b) f (x) = x2 +2x; x = 3 c) f (x) = x2 ; x = 2

d) f (x) = x3 +x; x = 3 e) f (x) = Cos x

12. a = 8; b = −9 13. a y b No existen

14. a) Verdadera b) Falsa c) Falsa

d) Verdadera e) Verdadera

SECCION 11.3 (PAGINA 351)

1. f ′(x) =

(8x10+2

)(8x+32x3

)−(4x2 +8x4

)80x9

(8x10+2)2 , f ′(3) Reemplazarx por 3 en la expresion anterior

2. f ′(x) =

(3+x−2 +4x3

)(−1/x2 +6/x3

)−(1/x−3/x2

)(−2x−3 +12x2

)

(3+x−2 +4x3)2

3. f ′(x) =

(2+5x−1

)(−8x3

)−(1+4x−2

)(−5x−2

)

(2+5x−1)2 − 3x2

Page 436: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

428 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

4. f ′(x) =−2ln7

(1+x−2

)

(x−1/x)2

5. f ′(x) =

(x3 +e3 +x−2/e

)(4+

√3)−(

4x+√

3x2)(

3x2−2x−3/e)

(x3 +e3 +x−2/e)2

SECCION 11.3 (PAGINA 358)

1. f ′(x) = −Sen(log 6(3+4x ))4x ln4

ln6(3+4x)

2. f ′(x) =4+4x ln4+4x3

2√

4x+4x +x4ln

(1x

)

+√

4x+4x +x4

(

−1x

)

3. f ′(x) =12

(Sec xTan x+4/x)(Sec x+4lnx)

−(

ex +e−x

ex−e−x

)

4. f ′(x) = −Csc(

3Tan√

xSen x)

Cot(

3Tan√

xSen x)(

3Tan√

xSen x)′

ahora(

3Tan√

xSen x)′

= 3Tan√

xSen xln 3Sec2(√

xSen x) 1

2√

xSen x(Sen x+xCos x)

5. f ′(x) = 6x ln6+6x5 +1

xln66. f ′(x) = 3Sen2 xCos x+

(Cos x3

)(3x2)+2Cos2x+2Cos x+4Cos2x

7. f ′(x) =34

[

Cos(1+x−1

)(−x−2

)

Sen(1+x−1)

]

Csc(1+ex +6x)+

(34

ln(Sen

(1+x−1))

)

(−Csc(1+ex +6x))Ctg(1+ex +6x)(ex +6x ln6)

SECCION 11.3 (PAGINA 365)

1.(

f−1(x))′

=1

2√

x

2.(

f−1(x))′

=13

3. f ′(x) =√

2x√

2−1 +2πx2π−1 +√

2(Sen x+2)√

2−1Cos x

4. f ′(x) =(√

5+1)

(lnx+Cos x+ex)√

5(1/x−Sen x+ex)

5. f ′(x) = 4ArcSen3 3x3

1− (3x)2ArcCos(Cos2x)+

(ArcCos4 3x

)

(

2Sen2x√

1− (Cos2x)2

)

Page 437: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

429

6. f ′(x) = (ArcTan(Sen x))x+2[

ln(ArcTan(Sen x))+(x+2)1

ArcTan(Sen x)· 1(1+Sen2 x)

Cos x

]

7. f ′(x) =−Cosh x

|sinhx|√

−1+sinh2x·arccos(sinhx)+ArcSec(Senh x)

(Sech x Tanh x)√1−Sech2 x

8. f ′(x) = (ArcTan x)ArcCos(x2) ·[ −2x√

1−x4ln(ArcTan x)+ArcCos x2 · 1

ArcTan x· 1(1+x2)

]

SECCION 11.4 (PAGINA 372)

I.

1. y = 4(1−x2) 2. y = 4−4x2 3. y = 1+(x−2)2 4. y = 1−x2/2

5.x+5

a=

(y−3)2

46. y = x−2 7. x−1 = y 8. x = ey

9.1x2 +

1y2 = 1 10. x =

5−y 11. x = 1−2y2 12. y = x2 +3x−1

II.

1. x = t ; y = −t2 2. x = t ; y = 1− t2 3. x = 0; y = 0; z= t

4. α(t) = (2, 3, 4)+ t ((3, 5, 7)− (2, 3, 4)) 0≤ t ≤ 1 5. x = t ; y = −t2 +4

6. x = t ; y = 4− t 7. x = Cosh t; y = Senh t 8. x = 3Cos t;2y3

= Sen t

9. x = 10; y = t 10. x = t ; y = 0 11.x−1

3= Cos t;

y−32·3 = Cos t

III.

1.dy

dx=

dy

dtdx

dt

2. −6·25 3. 12 4.14

Page 438: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

430 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

SECCION 11.5 (PAGINA 376)

2. 43e4x 3. f (n)(x) = n! 4.dn

dxn

(1

1−2x

)

=2nn!

(1−2x)n+1

5. f ′′(x) =

0 x > 2No∃ x = 2

0 x < 2

6. f ′′(x) =

2 x > 0No∃ x = 0

0 x < 0

f ′′′(x) =

0 x > 0No∃ x = 0

0 x < 0

f ′′(0) No existe; f ′′(2) = 2; f ′′′(5) = 0

SECCION 11.6 (PAGINA 381)

I.

1.dydx

= −2x+2y−12x+5y4 2.

dydx

= −Cosh y+ 1√

1−x2 +y

xSenh y+x

3.dydx

= −2x+2y+ey2 −1/x

2x+2xyey2 −14.

dydx

= −23x−1/3

13y−2/3 + 1

2√

Sen yCos y

5.dydx

= −3x2−3y2

3y2−6xy

II.

1.−3683

III.

1.734

2.3624

SECCION 11.7 (PAGINA 383)

I. a)130

+10 b)211

+11 c)1

243(−53)+9

II. a) ∆y = (2x−1)h+h2 b) dy= (2x−1)dx

III. a) 2π(5)(0.06)

IV. a) −80π

Page 439: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

431

CAPITULO 12

SECCION 12.1 (PAGINA 388)

1. a) f (x) = Sen x b) f (x) = x , 0≤ x≤ 10 c) f (x) = x(x−1)(x−2)

d) No

2. a) Mınimo absoluto enx = 0, con valorf (0) = 0 ; y relativo enx = 5.

Maximo absoluto con valorf (5) = 25 ; Es convexa en(−3,5] ; decreciente en(−3,0)

y creciente en(0,5). No tiene puntos de inflexion

b) Creciente, tiene maximo enx = 20 ; Concava(−10,0) y es convexa en(0,20] ;

punto de inflexion(0,0)

c) Enx = π/2 , tiene maximo absoluto o relativo con valorf (π/2) = 1 ; enx = 3π/2 ,

tiene mınimo absoluto o relativo con valorf (3π/2) = −1 , enx = −π/2 ,

tiene mınimo absoluto con valorf (−π/2) = −1 , Convexa en(−π/2,0) ; (π,2π)

Concava(0,π) .Puntos de inflexion(0,0) ; (π,0)

d) f es creciente, no tiene extremos, es concava en(−π/2,0)

y convexa en(0,π/2) , puntos de inflexion(0,0)

e) f es creciente, tiene mınimo absoluto enx = −2 y con valorf (−2) = e−2 ; convexa,

no tiene puntos inflexion

f ) f es creciente, no tiene extremos, es concava en(0,+∞) , no tiene puntos de inflexion

g) Tiene mınimo absoluto enx = 0 y con valorf (0) = 0 y tiene maximo absoluto enx = 4

y con valor f (4) = 4 , decreciente en(−1,0) y creciente en(0,4)

SECCION 12.1 (PAGINA 400)

I.

1. Mınimo absoluto enx = ±3 ; f (±3) = 0 , Maximo relativo enx = 0 ; f (0) = 9 Decreciente en

(−∞,−3) ; (0,3) , Creciente en(−3,0) ; (3,+∞) Convexa en(−∞,−3) ; (3,+∞) Concava en(−3,3)

9. Creciente en(−∞,+∞) , No tiene extremos, Puntos de inflexion ennπ , Convexa en

(2n−1)π < x < 2nπ , Concava 2nπ < x < (2n+1)π

10. Decreciente en(−∞,−√

2) ; (0,√

2) , Creciente en(−√

2,0) , (√

2,+∞)

Mınimo absoluto enx = ±√

2; f(

±√

2)

= 21/3(−6) Maximo relativo en

x = 0; f (0) = 0 Convexa en(−∞,0) ; (0,+∞)

Page 440: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

432 Capıtulo A. RESPUESTAS A ALGUNOS EJERCICIOS

II.

1. a = −1/2; b = 2; c = 4 2. a = −1; b = 3

3. a = 2; b = −6; c = 0; d = 3 4. a = −9; b = 18; c = −2

6. a = −3; b = 7

SECCION 12.4 (PAGINA 405)

1.

(12,14

)

2 A = πr2 ;dAdr

= 2πr ;dAdt

= 2πrdrdt

3.12√10

4.dAdt

= 2LdLdt

5. 900

SECCION 12.5 (PAGINA 408)

1. x = 7/2; y = 5/2; d = 1 3. r = 2; h = 5 4. y = −95(x−18)

6. x =p4

= y 7. 2√

2; 3√

2 9. r =R√

22

; h =R√

22

SECCION 12.6 (PAGINA 413)

I. 1. 1/2 2. 3 3. 0 4. 1 5. e4

6. 0 7. e 8. 44 9.ln22

10. e4

11. 1 12. 0 13. 0 14.1e

15.12

16. 1 17. 1 18. No existe

II. ln2

III. n =2

ln9=

1ln3

Page 441: MATEMATICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIEROS

BIBLIOGRAFIA

BRITTON, Jack R. Matematicas Universitarias. Editorial Continental 1981.

HOSTETLER, Robert. Precalculus. Heath and Company Lexington. Massachusett 1985.

KALNIN, R. A. Algebra y Funciones Elementales.Editorial Mir 1978.

LEHMANN, Charles. Algebra. Editorial LImusa 1983.

PENNEY, David E. EDWARDS, C.H. Calculo y Geometrıa Analıtica. Prentice – Hall Iberoameri-cana S.A. Segunda Edicion 1990.

PETERSON, John C. Matematicas Basicas Algebra, Trigonometrıa y Geometrıa Analıtica. Edi-torial Continental S.A. Primera Edicion 1998.

SPIVAK, Michael. Calculus. Editorial Recerte, S.A. Barcelona 1975.

SWOKOWSKI, Earl. Algebra y Trigonometrıa. Editorial Iberoamericana. Segunda Edicion 1993.

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ZILL, Dennis. Algebra y Trigonometrıa. Mc Graw - Hill. Segunda Edicion 1999.

433