Matdas 7 - Limit Dan Kekontinuan Bagian 2

LIMIT dan KEKONTINUAN

Teorema-teorema LimitTeorema-teorema LimitTeorema ATeorema A

Contoh :Contoh :

Penyelesaian :Penyelesaian :

Bentuk tak tentu dari limit fungsi Kita bahas setelah kekontinuan

Limit Tak Berhingga Situasi yang mungkin

x=ax=a

)(lim)(lim xfxfaxax

Dari gambar tersebut garis x=a disebut asimtot tegak (Vertikal) fungsi f(x)

Definisi Asimtot Tegak (Vertikal)

Asimtot tegak (dari suatu fungsi f(x)) adalah suatu garis x=a yang belaku

lim ( )x a

f x

Limit di Ketakhinggaan Situasi yang mungkin

L ......a

lim .......

tidak ada .....cx

b

L

Gambar aGaris y=L disebut Asimtot Datar (Horisontal)

Gambar c

Gambar b

Definisi Asimtot Datar (Horisontal)

Asimtot datar (Dari suatu fungsi f(x)) adalah garis y=L, jika berlaku

lim ( )x

f x L

Definisi Asimtot Miring

Asimtot miring adalah garis y=ax+b dari fungsi f(x), jika berlaku

lim ( ( ) ( )) 0x

f x ax b

Suatu fungsi rasional f memiliki:

20 1 2

20 1 2

...( )( )

( ) ...

nnm

m

a a x a x a xP xf x

Q x b b x b x b x

1. Asimtot miring : jika n>m dan n=m+1

2. Asimtot Datar : jika n<=m

3. Asimtot Tegak : dilihat dari pembuat nol penyebut

ContohTentukan Asimtot tegak, datar, dan miring (jika ada).

2

3 2

2

1. ( )1

12. ( )

5 6

3 4 13. ( )

1

xf x

xx

f xx x

x x xf x

x

Penyelesaian

1. Karena n=m, maka terdapat asimtot datar.

1

1lim 1

1 1xx

x x

x x

Jadi,Asimtot datar ( )adalah 1f x y

Asimtot tegak, lihat pembuat Nolpenyebutnya.

-1 0,

Maka 1adalah Asimtot tegaknya

x

x

Penyelesaian

2. Karena n<m, maka terdapat asimtot datar.2

2

1 12

2 2 5 6

1lim 0

15 6

x x

xx x

x x

x x x

Jadi,Asimtot datar ( )adalah 0f x y

2

Asimtot tegak, lihat pembuat Nolpenyebutnya.

5 6 ( 3)( 2) 0,

Maka 2,dan 3 adalah Asimtot tegaknya

x x x x

x x

Penyelesaian3. Karena n>m, dan n=m+1, maka terdapat

asimtot miring.3 2

2

2

2

3 4 1( )

14 3

3 41

4 3lim ( ( ) (3 4)) lim 0

1x x

x x xf x

xx

xx

xf x x

x

Asimtot miring,adalah 3 4

karena penyebutnya tidak pernah 0,

maka tidak ada AsTeg.

y x

Latihan

Tentukan Asimtot-asimtot dari fungsi berikut:

2

2

2

2

11. ( )

( 1)

2. ( )1

2 13. ( )

f xx

xf x

x

x xf x

x

Andaikan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c. Jika lim f(x) = lim h(x) = L

xc xc

maka lim g(x) = L. xc

Teorema C (Teorema Apit)Teorema C (Teorema Apit)

Limit TrigonometriUntuk mendapatkan rumus limit fungsi trigonometri, perhatikan gambar berikut

A(1,0)

P(x,y)

B

C

0t

luasOBC LuasOBP LuasOAP

ZOOM

P(x,y)

C

B A

luasOBC LuasOBP LuasOAP

luasOBC LuasOBP LuasOAP

luasOBC LuasOBP LuasOAP

Fakta

2 2

2 2

1( ) . (1)

2 2 21

(cos ) cos .sin (1)2 2 2

sin 1cos

cos

luasOBC LuasOBP LuasOAP

t tx x y

t tt t t

tt

t t

Dengan menngunakan Teorema Apit, maka

0 0 0

0

sin 1limcos lim lim

cos

sin1 lim 1

t t t

t

tt

t t

t

t

0

sinlim 1t

t

t

0 0

tanlimcos 1 lim 1t t

tt

t

Kekontinuan

Contoh :Contoh :

Penyelesaian : lihat gambarPenyelesaian : lihat gambar

Contoh

Apakah fungsi berikut Kontinu?

3,2

3,9

27)(.2

2,1

2,1)(.1

2

3

2

x

xx

xxf

xx

xxxf

Penyelesaian312)2(.1 2 f

31lim)(lim22

xxf

xx

31lim)(lim 2

22

xxf

xx

3)(lim2

xfx

)2(3)(lim2

fxfx

Karena semua syarat dipenuhi f(x) kontinu di x=2

Penyelesaian

)3()(6

27

9

27

6

27

9

27

2)3(.2

3

2

3

3

2

3

3

fxfLimx

xLim

x

xLim

f

x

x

x

Karena terdapat syarat yang tidak dipenuhi f(x) diskontinu di x=3

Latihan

Apakah fungsi berikut Kontinu?2

2

2

1. ( ) 4 2 12

4 8, 2

2. ( ) 22 , 2

3. ( ) 3 5

3, 24. ( )

1, 2

f x x x

xx

f x xx

f x x

x xf x

x x

Diskontinue Tak Hingga Contoh

Apakah fungsi berikut Kontinu, jika diskontinu, maka jenis yang mana?

Penyelesaian

2

2

7 10( )

4 3

x xf x

x x

2

2

7 10 ( 5)( 2)( )

( 3)( 1)4 3

fungsi tersebut diskontinu di 3, 1

karena limit dititik tersebut , maka fungsi

tersebut diskontinu tak hingga

x x x xf x

x xx x

x dan x

Diskontinue Loncat berHingga Contoh

Apakah fungsi berikut Kontinu, jika diskontinu, maka jenis yang mana?

Penyelesaian

1, 1( )

1, 1

xf x

x

0

0 00

lim ( ) 1lim ( ) lim ( )

lim ( ) 1x

x xx

f xf x f x

f x

Diskontinue dapat dihapuskan Contoh

Apakah fungsi berikut Kontinu, jika diskontinu, maka jenis yang mana?

Penyelesaian

Fungsi tersebut diskontinu pada x=2

2 4( )

2

xf x

x

2

22

2 2

2

4lim 4

42 lim 424

lim 42

x

x

x

xxxxx

x

Diskontinue dapat dihapuskan Karena limitnya ada, maka jika didefinisikan kembali

sebagai berikut:

2 4, 1

( ) 24 , 1

jadi,fungsi tersebut diskontinu yang dapat dihapuskan

xx

f x xx

latihan

Tentukan titik diskontinu dari fungsi berikut, dan tentukan jenis diskontinunya.

2

2

2

41. ( )

3 51

2. ( )6

1, untuk 1 2

3. ( ) 2, untuk 2 3

3, untuk 3 4

xf x

xx

f xx x

x

f x x

x