Top Banner
MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014
27

MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Jan 04, 2016

Download

Documents

vadin

MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014. INTEGRAL LIPAT DUA (LANJUTAN) 1 8 092013. INTEGRAL LIPAT Integral Berulang Kita dapat menginterprestasikan integral lipat dua sebagai volume V dari benda padat dibawah permukaan Z = f (x,y ). Contoh: Hitunglah : 1. - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS )

SEM. GANJIL 2013/2014

Page 2: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

INTEGRAL LIPAT DUA(LANJUTAN)

18092013

Page 3: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

INTEGRAL LIPAT

Integral Berulang

Kita dapat menginterprestasikan integral lipat dua sebagai

volume V dari benda padat dibawah permukaan Z = f (x,y ).

R

dAyxfV ,

Page 4: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

R

d

c

b

a

dxdyyxfdAyxfV ,,

R

b

a

d

c

dydxyxfdAyxfV ,,

Page 5: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Contoh:Hitunglah : 1. a. Peny: a.

b. Ubah urutan integralnya

3

0

2

1

32 dxdyyx

3

0

3

0

2

12 333 dyydyyxx

2/452

33

3

0

2

yy

Page 6: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Hasil yang sama apabila kita tukarkan urutan integral nya:

2. Hitunglah :

2

1

3

0

2

1

3

0

2

2

3232 dxyxydydxyx

2

1

2

1

2

2

27

2

6

2

276 xxdxx

2/45

2 3

0 0

(9 )y dxdy

Page 7: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Soal-2

3 4. Tentukan volume suatu benda padat yang terletak dibawah permukaan dan diatas persegi panjang

24z x y

{( , ) 0 1,0 2}R x y x y

4 22

2 1

( 3 )xy y dydx

Page 8: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Bentuk grafiknya:

Integral Lipat dua atas daerah bukan persegi panjang Untuk menyelesaikan batas-batas

yang melengkung kita menggunakan

himpunan sederhana x dan himpun-

an sederhana y.

R

dxdyyxdAyxV2

0

1

0

22 44

3

162

3

28

Page 9: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Grafik himpunan sederhana x dan himpunan y :

Himp. Sederhana x ( y=k) Himp. Sederhana y (x=k)

Dimana:Himpunan sederhana x :Himpunan sederhana y:

0 a b

s

xy 2

xy 1

0

d

c

s

yx 1 yx 2

dycyxyyxS ;;, 21 bxaxyxyxS ;;, 21

Page 10: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Maka untuk himpunan sederhana x :

Untuk himpunan sederhana y adalah:

s

d

c

dxdyyxfdAyxfV2

1

,,

s

b

a

dydxyxfdAyxfV2

1

,,

Page 11: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Contoh soal:5. Hitunglah integral berulang

Peny:1

0 0

2

2y

xdxdyye

1

0

0

1

0 0

22

22 dyyedxdyyeyx

yx

1

0

1

0

1

0

0 22222

ydydyyedyeey yy

1

0

1

0

1

021

02 yeydydue uu

211 ee

Page 12: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Latihan(P.R)

6.

7.

8.

32

1

( )y

y

x y dxdy2

2

2

0 2

x x

x

xdydx

1 32

0 0

x

x ydydx

Page 13: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

9. Gunakan integral lipat dua untuk menetukan volume dari tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang koordinat dan bidang Peny:Perpotongan sumbu x x=4Perpotongan sumbu y y= 2Perpotongan sumbu z z=3

Daerah segitiga bidang xy membentuk alas tetrahedron di lambangkan dengan S. Kita akan mencari volume dibawah permu-kaan :

012463 zyx

3

2

4

S

Page 14: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Dari pers:

dan diatas daerah S

Memotong bidang xy pada :

S dapat dipandang sebagai :Himpunan sederhana x :Himpunan sederhana y :

012463 zyx

yxz 63124

yxz 244

3

2231261263x

yxyyx

yxyx 246123

20;240;, yyxyxS

{( , ) 0 4,0 2 }2

xS x y x y

Page 15: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Jadi Volume dari benda padat adalah:

4

0

22

0

244

3x

dydxyxV

4

0

4

0

222

02 816

16

34

4

3dxxxdxyxyy

x

4

0

32

3

1416

16

3

xxx

43

444

16

3 333

V

Page 16: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Latihan soal:

Gambar & tentukan , jika :

10. R daerah yg dibatasi oleh x=0, x=¶, y = 0 dan y = sin x.

11. ;

12. R segitiga dengan titik-2 sudut (0,0) , (3,1) , (-2,1)

( , )R

f x y dA

( , )f x y y

2( , )f x y xy

( , ) 4f x y x y 2{( , ) 2 ,0 2}R x y y x y y

Page 17: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

INTEGRAL LIPAT DUADALAM KORDINAT POLAR/KUTUB

23092013

Page 18: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Integral Lipat Dua dalam kordinat polar

(r, θ) pasangan kordinat kutub/polar dari P

P(r, θ ) r θ

X

Page 19: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Lingkaran berpusat di (0,0)

• Kordinat Cartesian x² + y² = a²• Kordinat Polar/ kutub r = a Y

a X

Page 20: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Integral Lipat Dua dalam Koordinat KutubKurva-kurva tertentu pada suatu bidang seperti lingkaran, kardioid, dan mawar lebih mudah dihitung dengan menggunakan koordinat kutub.

Maka volume V benda padat di bawah permukaan ini dan di

atas Rdinyatakan:

Dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R

R

dAyxfV ,

;;, brarR

Page 21: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

dimana a ≥ 0 dan β – α ≤ 2π

Maka volume V dalam koordinat kutub:

SOAL :

sin,cos, rrfyxfz

,rf

R R

rdrdrrfdAyxfV sin,cos,

Page 22: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Contoh soal:Tentukan volume V dari benda padat diatas persegipanjang kutub:

dan dibawah permukaanPeny:Dik : maka

maka

4/0;31:, rrR22 yxez

222 ryx 2rez

V 4/

0

3

1

222

rdrdedAeV r

R

yx

4/

0

3

1

4/

0

3

12

1

2

1

dedude uu

Page 23: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

lanjutan

4/

0

4/

01919

2

1

2

1 eedee

19

8ee

Page 24: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Integral Kutub Himpunan Umum SUntuk integral kutub kita kenal himpunan sederhana r dan himpunan sederhana θ .

Page 25: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Maka:

Contoh soal:Hitunglah dimana S adalah daerah di kuadran

pertama yang berada di luar lingkaran r = 2 serta di dalam kardioid

Penyelesaian :

;:, 21 rrS

rrbrarS 21;:,

R

ydA

cos12 r

Page 26: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

Berdasarkan gambar di bawah ini maka:S adalah himpunan sederhana r

sinry 2/0

cos122 rr

S

rdrdrydA2/

0

cos12

2

sin

2/

0

cos12

2

3

sin3

dr

2/

0

33 sin

3

2

3

sincos12

d

Page 27: MATA KULIAH MATEMATIKA III( 3 SKS ) SEM. GANJIL 2013/2014

2/

0

2/

0

3 sinsincos13

8

dd

2/

0

2/

0

3 sin3

8

dduu

2/

0

4 coscos14

1

3

8

3

22121

4

1

3

8 44