MAKALAH TURUNAN Disusun oleh: Agusman Bahri A1C214027 Dosen Pengampu: Dra. Irma Suryani, M.Pd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JAMBI 2015
MAKALAH
TURUNAN
Disusun oleh:
Agusman Bahri
A1C214027
Dosen Pengampu:
Dra. Irma Suryani, M.Pd
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JAMBI
2015
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena hanya
atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah
Turunan ini hingga selesai.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu
Dra. Irma Suryani, M.Pd selaku dosen pengampu mata kuliah Bahasa Indonesia
yang telah memberi arahan dan bimbingan kepada penulis untuk menyusun
makalah ini. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada teman-teman yang
telah memberikan doa, motivasi, saran dan kritik sehingga makalah ini dapat
terselesaikan.
Penulis menyadari makalah ini masih banyak kekurangan baik dari segi
penulisan maupun materi penyampaiannya. Dengan menyadari hal tersebut maka
penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan
selanjutnya. Namun demikian, penulis berharap makalah ini dapat berguna dan
bermanfaat dalam menambah wawasan dan pengetahuan bagi berbagai pihak yang
membutuhkan.
Jambi, Mei 2015
Penulis
iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ......................................................................................ii
DAFTAR ISI ......................................................................................................iii
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ........................................................................................1
1.2 Rumusan Masalah ...................................................................................2
1.3 Tujuan Penulisan .....................................................................................2
1.4 Manfaat Penulisan ...................................................................................2
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Defenisi Turunan .....................................................................................3
2.2 Aturan Pencarian Turunan ................................................................................ 5
2.2.1 Turunan Fungsi Konstanta ...................................................................... 5
2.2.2 Turunan Fungsi Identitas ........................................................................ 5
2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat ......................................................................... 6
2.2.4 Turunan Kelipatan Konstanta ................................................................. 6
2.2.5 Turunan Penjumlahan dan Selisih .......................................................... 7
2.2.6 Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi ......................................................... 7
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan .............................................................................................10
3.2 Saran ........................................................................................................11
DAFTAR PUSTAKA
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Secara umum Matematika merupakan ilmu yang mempelajari pola dari
struktur, perubahan, dan ruang secara informal. Dan dapat pula disebut sebagai
ilmu tentang bilangan dan angka. Matematika merupakan alat yang dapat
memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui
abstraksi, idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan
masalah. Contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari pada saat kita mau
mengatur uang belanja bagi ibu rumah tangga, uang saku anak-anak, mengatur
uang kiriman bagi anak kost, dan lain-lain secara tidak langsung semuanya
merupakan bagian dari Matematika, yang mana hal itu membutuhkan suatu
pemecahan masalah. Oleh karena itu, masalah tersebut dapat dicari solusinya
dengan menggunakan ilmu Matematika, walaupun tidak dipungkiri bahwa
Matematika hanya sebatas ilmu yang dipelajari untuk itu. Padahal jika ditelaah
lebih mendalam, sebenarnya Matematika banyak sekali terapannya, yaitu:
dalam Fisika, Kimia, Biologi, juga dalam bidang ilmu sosial, dan lain-lain.
Kalkulus merupakan salah satu cabang dari ilmu Matematika yang
mempelajari tentang hal-hal yang berhubungan dengan pencarian tingkat
perubahan (pencarian arah/garis singgung pada suatu kurva) dan pencarian area
yang terletak di bawah kurva. Dan di dalam Kallkulus terdiri dari beberapa
materi, diantaranya adalah konsep Turunan (Derivatif). Turunan (derivatif)
tidak lain merupakan hasil dari suatu proses pendiferensialan atau diferensiasi
dari suatu fungsi. Jadi, turunan erat sekali hubungannya dengan diferensial.
Jika kita ingin menentukan turunan dari suatu fungsi, maka yang perlu
dilakukan adalah melakukan pendiferensialan fungsi tersebut. Dan hasil yang
diperoleh dari proses pendiferensilan itu disebut turunan (derivatif). Diferensial
membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
2
1.2 Rumusan Masalah
Dari beberapa uraian di atas tulisan ini secara khusus akan membahas
tentang.
1. Apakah yang dimaksud dengan turunan?
2. Notasi apa yang digunakan untuk menyatakan suatu turunan?
3. Bagaimana cara untuk menentukan turunan dari suatu fungsi?
4. Aturan-aturan apa saja yang terdapat dalam diferensiasi?
1.3 Tujuan Penulisan
Dari rumusan masalah di atas penulisan makalah ini mempunyai tujuan
sebagai berikut.
1. Mengetahui defenisi turunan.
2. Mengetahui macam-macam notasi yang dapat digunakan untuk
menyatakan turunan dari suatu fungsi.
3. Mengetahui cara menentukan turunan dari suatu fungsi.
4. Mengetahui Aturan-aturan yang digunakan dalam diferensiasi.
1.4 Manfaat Penulisan
Penulisan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca sebagai referensi
untuk mempelajari ilmu matematika tentang diferensial (turunan) yang
merupakan salah satu materi dari suatu cabang ilmu matematika kalkulus. Bagi
pelajar sekolah menengah, materi turunan ini akan dipelajari pada kelas XI,
jadi makalah ini juga dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sebagai
bahan acuan untuk pelajaran diferensial.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Defenisi Turunan
Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat
yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 1727 ), ahli matematika dan
fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 1716 ), ahli
matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu
alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.
Menurut Stewart (2001: 146) turunan merupakan perkembangan dari
kecepatan dan kemiringan garis singgung, turunan dapat digunakan untuk
memecahkan persoalan yang menyangkut laju perubahan dan hampiran fungsi.
Dari grafik di bawah ini, diketahui fungsi = () pada interval
< < + , sehingga nilai fungsi berubah dari () sampai dengan
( + ).
Perubahan rata-rata nilai fungsi terhadap pada interval
< < + adalah (+)()
(+)=
(+)()
. Jika nilai makin kecil maka
nilai lim0
(+)()
disebut laju perubahan nilai fungsi pada = . Limit
ini disebut turunan atau derivatif fungsi pada = .
lim0
(+)()
disebut turunan fungsi di yang ditulis dengan notasi
(), sehingga kita peroleh rumus sebagai berikut:
X
Y
+
( + )
() ( + ) ()
= ()
Gambar 2.1 Grafik fungsi ().
4
Menurut Purcell, dkk. (2004: 111) jika limit memang ada, dikatakan
bahwa terdiferensiasikan di . Pencarian turunan disebut diferensiasi; bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus
diferensial.
Contoh 2.1 Jika () = 13 6. Tentukanlah nilai (4)
Peneyelesaian
(4) = lim0
((4) + ) (4)
= lim
0
(13((4) + ) 6) (13(4) 6)
= lim0
13(4) + 13 6 13(4) + 6
=
13
= 13
Dalam pencarian nilai turunan suatu fungsi, kita akan selalu melibatkan
penggunaan limit, sebagaimana dijelaskan oleh Purcell, dkk. (2004: 112)
sebagai berikut.
Pencarian turunan selalu melibatkan pengambilan limit suatu
hasil bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju
nol. Tugas kita adalah menyederhanakan hasil bagi ini sehingga
dapat mencoret faktor dari pembilang dan penyebut, lalu kita dapat menghitung limitnya dengan cara subsitusi.
Turunan dari suatu fungsi () atau terhadap dapat dinyatakan dalam
salah satu simbol berikut:
= () =
=
=
() = = lim
0
Penjelasan
Turunan harus disebutkan secara lengkap turunan terhadap terlebih
jika variabel bebas yang mungkin bukan hanya .
Turunan dapat dianggap sebagai diferensial variabel tak bebas dibagi
diferensial variabel bebasnya.
disebut turunan atau . disebut diferensial dari yang
artinya perubahan kecil mendekati nol dari .
() = lim0
( + ) ()
5
2.2 Aturan Pencarian Turunan
Dalam pencarian nilai turunan dari suatu fungsi, terdapat beberapa aturan
yang telah dikembangkan untuk pencarian turunan tanpa menggunakan
defenisi secara langsung. Rumus-rumus ini sangat menyederhanakan tugas
pendiferensialan.
2.2.1 Turunan Fungsi Konstanta
Fungsi konstanta () = mempunyai grafik fungsi berupa garis
mendatar = , yang memiliki kemiringan 0, sehingga kita harus mempunyai
() = 0.
Bukti:
() = lim0
( + ) ()
= lim
0
= lim0
0 = 0
Contoh 2.2.1
7 = 0
25 = 0
27 = 0
2.2.2 Turunan Fungsi Identitas
Jika () = , maka () = 1
Bukti:
() = lim0
( + ) ()
= lim
0
+
= lim
0
= lim0
1 = 1
Contoh 2.2.2
25 = 25
= 25 1 = 25
27 = 27
= 27 1 = 27
() = 0
() = 1
6
2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat
Jika () = , dengan bilangan bulat positif, maka () = 1
Bukti:
() = 0
( + ) ()
= 0
(+)
= 0
+ 1+
(1)
2 22+ . +1+ 2
= 0
[1+
(1)
2 2 ++2 + 1]
= lim0
[1 + (1)
2 2 + + 2 + 1]
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai
sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila
mendekati nol. Jadi
Contoh 2.2.3
3 = 331 = 32
28 = 28281 = 327
2.2.4 Turunan Kelipatan Konstanta
Turunan dari konstanta dikali fungsi adalah sama dengan konstanta dikali
turunan fungsi tersebut, hal ini sebagaimana dikatakan oleh Stewart (2001:
168) bahwa
pada waktu fungsi baru dibentuk dari fungsi lama dengan cara
penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian, turunan
dapat dihitung dalam bentuk turunan fungsi yang lama.
Khususnya rumus berikut yang mengatakan bahwa turunan
konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi
tersebut
Jika () = (), maka () = ().
() = 1
7
Bukti:
() = lim0
( + ) ()
= lim
0
( + ) ()
= lim0
[( + ) ()
] = lim
0[( + ) ()
]
= ()
Untuk contoh turunan kelipatan konstanta dapat dilihat pada contoh 2.2.2
2.2.5 Turunan Penjumlahan dan Selisih
Jika () = () (), maka () = () (), dengan syarat
dan dapat didiferensialkan (mempunyai turunan).
Bukti:
() = lim0
( + ) ()
= lim
0
[( + ) ( + )] [() ()]
= lim0
[( + ) ()
( + ) ()
]
= lim0
( + ) ()
lim
0
( + ) ()
= () ()
Contoh 2.2.5
[122 + 3 6] =
122 +
3
6 = 24 + 3
2.2.6 Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi
Turunan Hasil Kali
Jika () = ()(); dan keduanya dapat didiferensialkan maka
() = ()() + ()()
Bukti:
() = lim0
( + ) ()
= lim
0
( + )( + ) ()()
() =
()
[() + ()] =
() +
()
8
Agar dapat menghitung limit ini, kita akan memisahkan fungsi dan seperti
pada bukti turunan penjumlahan. Kita dapat mencapai pemisahan ini dengan
mengurangkan dan menambahkan suku ( + )() pada pembilang:
() = lim0
( + )( + ) ( + )() + ( + )() ()()
= lim0
[( + )( + ) ()
+ ()
( + ) ()
]
= lim0
( + ) lim0
( + ) ()
+ lim
0() lim
0
( + ) ()
= ()() + ()()
Contoh 2.2.6.1
Tentukanlah turunan dari [(27 + 2)]
misal () = () = 1, dan () = 27 + 2 () = 27
[()()] = ()() + ()()
[(27 + 2)] = (27) + (27 + 2)(1) = 27 + 27 + 2
[(27 + 2)] = 54 + 2
Turunan Hasil Bagi
Jika () =()
(); dan keduanya dapat didiferensialkan maka
() =()()()()
[()]2
Bukti:
() = lim0
( + ) ()
= lim
0
( + )( + )
()()
= lim0
( + )() ( + )(()
( + ) ()
Kita dapat memisahkan dan dalam ungkapan ini dengan cara
mengurangkan dan menambahkan suku ()() pada pembilang:
[()()] = ()
() + ()
()
9
() = lim0
( + )() ()() + ()() ( + )(()
( + ) ()
= lim0
()( + ) ()
()( + ) ()
( + )()
=lim0
()lim0
( + ) () lim0
()lim0
( + ) ()
lim0
( + )lim0
()
=()() ()()
[()]2
Contoh 2.2.6.2
(27 + 2)
misal () = 27 + 2 () = 27 dan () = () = 1
[()
()] =
()() ()()
[()]2
(27 + 2)
=
(27) (27 + 2)(1)
2=
27 27 2
2
(27 + 2)
=
2
2
[()
()] =
()
() ()
()
[()]2
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1. Turunan merupakan limit dari perbandingan perubahan nilai terhadap
perubahan nilai dimana perubahan nilai mendekati 0. Turunan dari
suatu fungsi pada dapat dinyatakan dalam bentuk rumus berikut:
() = lim0
( + ) ()
2. Dalam turunan terdapat beberapa macam notasi penulisan untuk
menyatakan turunan dari suatu fungsi yaitu sebagai berikut:
= () =
=
=
() = = lim
0
3. Turunan dapat ditentukan dengan cara mengambil limit dari suatu hasil
bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju nol. Kita dapat
menyederhanakan hasil bagi ini sedemikian rupa sehingga kita dapat
mencoret faktor pembilang dan penyebut yang mendekati nol, lalu kita
dapat menghitung limitnya dengan cara subsitusi.
4. Dalam turunan terdapat beberapa aturan turunan yang merupakan
pengembangan dari penggunaan defenisi umum turunan sehingga tidak
lagi melibatkan penggunaan limit. Beberapa aturan-aturan turunan
diantaranya adalah sebagai berikut:
Turunan Fungsi Konstanta
= 0
Turunan Fungsi Identitias
= 1
Turunan Fungsi Pangkat
= 1
Turunan Fungsi Kelipatan Konstanta
() =
()
11
Turunan Penjumlahan dan Selisih
[() ()] =
()
()
Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi
Turunan hasil kali
[() ()] =
()() + ()
()
Turunan hasil bagi
[()
()] =
()
() ()
()
[()]2
3.2 Saran
Dalam penulisannya makalah ini dapat dijadikan sebagai referensi untuk
mempelajari diferensial. Makalah ini berisi tentang pengertian difererensial
dan beberapa aturan turunan. Namun aturan-aturan turunan yang ada di dalam
makalah ini belumlah lengkap, aturan-aturan turunan yang terdapat di dalam
makalah ini hanyalah beberapa aturan dasar yang dirasa penting untuk
dipelajari oleh pembaca. Penulis menyadari bahwa pada makalah ini masih
banyak terdapat kekurangan oleh karena itu penulis sangat mengharapkan
kritik dan saran dari pembaca sehingga penulis dapat memperbaiki kekurangan
pada makalah ini sehingga dapat bermanfaat baik bagi pembaca maupun bagi
penulis sendiri.
DAFTAR PUSTAKA
Degeng, I.W. 2007. Kalkulus Lanjut: Persamaan Diferensial & Aplikasinya.
Jakarta: Graha Ilmu
Purcell, E.J. dkk. 2004. Kalkulus Jilid I, Edisi 8. Jakarta: Erlangga
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
Stewart, James. 2001. Kalkulus Jilid I, Edisi 4. Jakarta: Erlangga