Top Banner
KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa, karena atas berkat dan karunianya maka kami boleh menyelesaikan sebuah makalah ini dengan tepat waktu. Berikut ini kami mempersembahkan sebuah makalah dengan judul "HUKUM GAUSS dan POTENSIAL SKALAR”, yang menurut kami dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita untuk mempelajari hasil-hasil dari diskusi kami. Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan memohon permakluma n bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang kami buat kurang tepat atau tidak dapat dimengerti oleh pembaca. Dengan ini kami mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan semoga makalah ini dapat memberikan manfaat. Tataaran, 25 Rabu 2015 Kelompok 2
29

Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Jul 19, 2015

Download

Education

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

KATA PENGANTAR

Segala puji dan syukur kami panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa, karena atas

berkat dan karunianya maka kami boleh menyelesaikan sebuah makalah ini dengan tepat

waktu.

Berikut ini kami mempersembahkan sebuah makalah dengan judul "HUKUM GAUSS dan

POTENSIAL SKALAR”, yang menurut kami dapat memberikan manfaat yang besar bagi kita

untuk mempelajari hasil-hasil dari diskusi kami.

Melalui kata pengantar ini penulis lebih dahulu meminta maaf dan memohon permakluman

bila mana isi makalah ini ada kekurangan dan ada tulisan yang kami buat kurang tepat atau

tidak dapat dimengerti oleh pembaca.

Dengan ini kami mempersembahkan makalah ini dengan penuh rasa terima kasih dan semoga

makalah ini dapat memberikan manfaat.

Tataaran, 25 Rabu 2015

Kelompok 2

Page 2: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I PENDHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Tujuan

BAB II PEMBAHASAN

Hukum Gauss

A. PENDAHULUAN

B. PENYAJIAN

1. Derivasi Hukum Gauss

2. Beberapa penerapan hokum Gauss

POTENSIAL SKALAR

A. PENDAHULUAN

B. PENYAJIAN

1. Definisi Potensial Skalar

2. Potensial muatan titik tunggal

3. Potensial distribusi muatan bola seragam

4. Potensial scalar dan tenaga potensial

BAB III PENUTUP

A. KESIMPULAN

B. SARAN

DAFTAR PUSTAKA

Page 3: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Dalam pembahasan sebelumnya kita mengkaji Hukum Coulomb dan Medan Listrik;

sekarang kita siap untuk mengkaji Hukum Gauss dan Potensial Skalar. Hukum Gauss yang

memberikan fluks medan listrik yang melewati suatu permukaan tertutup yang melingkup i

suatu distribusi muatan. Hukum Gauss memberikan cara yang mudah dalam menentukan

medan listrik dari suatu distribusi muatan yang memiliki cukup simetri. Secara substansia l

informasi yang sama dapat juga diungkapkan dengan suatu besaran medan skalar yang akan

memudahkan dalam banyak tujuan dan disebut sebagai potensial skalar. Terdapat hubungan

antara medan listrik dan potensial skalar, sehingga medan listrik dapat dicari dari potensial

skalar, atau sebaliknya

B. Rumusan Masalah

Hukum Gauss

1. Apa yang dimaksud dengan derivasi hokum gauss?

2. Bagaimana penerapan hokum gauss dalam menentukan medan listrik dan beragam

system distribusi muatan?

3. Apa penerapan divergensi medan listrik ?

Potensial Skalar

1. Apa yang dimaksud potensial scalar dan sifat-sifatnya ?

2. Bagaimana mengkalkulasi/menentukan potensial scalar dan beragam sisitem distribus i

muatan ?

3. Bagaimana potensial scalar dan medan listrik yang telah diketahui?

1. Bagaimana hubungan potensial listrik scalar dengan energy potensial listrik system

muatan.?

Page 4: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

C. Tujuan

Hukum Gauss

Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan :

1. Dapat menjelaskan dan melakukan derivasi hokum Gauss

2. Dapat menerapkan Hukum Gauss untuk menentukan medan listrik dan beragam system

distribusi muatan

3. Dapat menjelaskan dan menerapkan divergensi medan listrik

Potensial Skalar

Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan :

2. Dapat menjelaskan definisi dan sifat-sifat potensial scalar.

3. Dapat mengkalkulasi/menentukan potensial scalar dan beragam sisitem distribus i

muatan.

4. Dapat menentukan potensial scalar dan medan listrik yang telah diketahui.

5. Dapat menjelaskan dan menggunakan hubungan potensial listrik scalar dengan energy

potensial listrik system muatan.

Page 5: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

BAB II

PEMBAHASAN

HUKUM GAUSS

A. Pendahuluan

Pada pokok bahasan ini, disajikan tentang hukum Gauss yang memberikan fluks medan listrik yang

melewati suatu permukaan tertutup yang melingkupi suatu distribusi muatan. Hukum Gauss

memberikan cara yang mudah dalam menentukan medan listrik dari suatu distribusi muatan yang

memiliki cukup simetri. Pokok bahasan ini dimulai dengan derivasi hukum Gauss, kemudian diikuti

oleh penerapan hukum Gauss pada beberapa persoalan elektrostatika dalam menentukan medan listrik

yang dihasilkan oleh suatu distribusi muatan. Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa

diharapkan dapat menjelaskan dan melakukan derivasi hukum Gauss, menerapkan hukum Gauss untuk

menentukan medan listrik dari beragam sistem distribusi muatan, dan dapat menjelaskan dan

menerapkan divergensi medan listrik.

B. Penyajian

4.1 Derivasi Hukum Gauss

Akan menunjukkan bahwa (hukum Gauss):

dengan Qdalam adalah muatan total (netto) yang terkandung dalam ruang (volume) yang dilingkupi oleh

suatu permukaan tertutup S sembarang.

Mengingat persamaan (3-2) bahwa maka

Page 6: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Ada dua kasus yang akan ditinjau.

Kasus I: qi berada di dalam S (Gambar 4.1).

Letak elemen luasan da (dengan vektor ) relatif terhadap muatan qi ditunjukkan oleh ; berlaku

bahwa

dengan 𝑑𝛺 = elemen sudut ruang yang berpangkal di qi menyebar ke luasan da. Untuk mengevaluasi

integral dalam persamaan (4-2), kita tinjau sebuah permukaan bola S0 yang berjejari R0 dengan qi

sebagai pusatnya. Sudut ruang 𝑑𝛺 yang sama akan memotong luasan pada bola ini; seperti tampak

pada Gambar 4 sejajar dengan sedemikian sehingga jika kita menggunakan persamaan (4-3)

pada kasus ini, maka 𝑑𝛺 sama dengan . Dengan demikian, integral dalam persamaan (4-2)

setara ditulis sebagai

karena R0 tetap untuk semua titik di permukaan bola. Jadi, sudut ruang total yang dibentuk oleh

sembarang permukaan yang merentang dari suatu titik yang berada di dalamnya adalah 4𝜋 dapat ditulis

Page 7: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Kasus II: qi di luar S (Gambar 4.2).

Ditinjau dua elemen luasan dan dari permukaan S yang terpotong oleh sudut ruang 𝑑𝛺 yang

sama tetapi di sisi yang berlawanan pada permukaan S. Jaraknya dari qi berturuttumt ditulis sebagai Ri1

dan Ri2. Seperti sebelumnya, kita akan punya

sehingga sumbangan netto kedua elemen luasan ini kepada integral dalam persamaan (4-2) adalah nol.

Karena semua eleinen luasan pada permukaan S dapat dipasang-pasangkan dengan cara seperti ini,

maka semua sumbangannya kepada integral tadi akan saling meniadakan, dan dengan demikian

Dengan demikian, dari persamaan-persamaan (4-2), (4-5), dan (4-7) diperoleh

dan karena 𝜃2 > 𝜋/2,sehingga 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 maka

Jadi

Page 8: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

dan kita telah membuktikan hukum Gauss seperti dinyatakan oleh persamaan (4-1) di depan.

Implikasi dari hal tersebut di atas:

Sembarang muatan yang berada di luar suatu permukaan tertutup tidak mempengaruhi nilai

integral, meskipun besar dan letaknya jelas dapat mempengaruhi nilai di tiap titik pada permukaan

itu. Integral hanya bergantung pada nilai total muatan di dalam permukaan dan tidak bergantung pada

letaknya di dalam permukaan tertutup; tetapi, jika muatan-muatan tersebut dipindahkan ke tempat yang

baru di dalam permukaan, maka nilai di tiap titik pada permukaan tersebut dapat berubah, tetapi nilai

integral keseluruhan tidak akan terpengaruh. Karena hasil yang diberikan oleh persamaan (4-1)

merupakan suatu jumlahan sederhana, maka tampak jelas bahwa tiap muatan secara bebas memberikan

sumbangan pada fluks total yang melewati S; jadi, suatu muatan titik q memiliki fluks total sebesar

𝑞/𝜀0 melewati sembarang permukaan tertutup yang melingkupinya.

Sekarang muatan-muatan di dalam S diasumsikan terdistribusi secara kontinyu dengan rapat muatan

, maka muatan totalnya adalah

dengan V adalah volume total ruang yang dilingkupi oleh S.

Page 9: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Dengan menerapkan teorema divergensi, yaitu , maka persamaan (4-

8) dapat ditulis sebagai

Karena hasil ini berlaku pada sembarang volume V, maka ini berlaku juga untuk volume infinitesimal,

dan kita dapat menyamakan integran untuk memperoleh divergensi medan listrik :

Ini merupakan salah satu dari persamaan-persamaan Maxwell

4.2 Beberapa Penerapan Hukum Gauss

Hukum Gauss menyediakan cara yang sederhana dan mudah untuk menentukan medan listrik dari

distribusi muatan memiliki simetri. Perlu memilih permukaan tertutup yang cocok untuk proses

integrasi (disebut permukaan gauss) yaitu permukaan-permukaan di mana:

memiliki nilai yang tetap

memiliki yang tegak lurus atau sejajar terhadap permukaan tersebut.

Hal ini dilakukan untuk kemudahan dalam pengintegrasian dan menghindari kesulitankesulitan dari

ketidaktahuan akan bentuk ketergantungan terhadap letak. Proses ini akan mudah ditunjukkan dengan

menggunakan contoh, dan kita akan meninjau sebuah contoh untuk tiap ragam distribusi muatan

kontinyu.

Muatan garis seragam panjang tak hingga. Asumsi: -

= tetapan;

- muatan garis berimpit dengan sumbu z;

- menggunakan sistem koordinat silinder.

Page 10: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Muatan garis panjang tak hingga, sehingga tidak ada perbedaan di mana kita berada sepanjang garis

tersebut; kesimpulan: tidak bergantung pada z.

Tidak ada yang membedakan nilai yang satu dengan nilainya yang lain karena distribusi muatan

tampak sama di mana pun kita melihatnya dari arah tegak lurus terhadap sumbu z; kesimpulan:

tidak bergantung pada .

hanya bergantung pada jarak dari garis ; jadi .

Pilihan arah sumbu z positif atau negatif sepenuhnya sembarang, yaitu tidak ada batasan nyata

antara “atas” dan “bawah”. Tetapi, jika Ez tidak nol, maka hal ini akan membedakan atas dengan

bawah; kesimpulan: Ez = 0

Kita tidak dapat membedakan antara bertambahnya dan berkurangnya ; kesimpulan:

Jadi, disimpulkan dari kesimetrian bahwa

Dengan demikian, suatu permukaan dengan nilai yang tetap dalam contoh ini berupa sebuah

permukaan selimut silinder berjejari dengan sumbu yang berimpit dengan muatan garis ;

Sebagian dari silinder ini dengan panjang L ditunjukkan oleh Gambar 4-3, vektor satuan

(indeks s merujuk pada silinder) tidak lain adalah ̂ dan berarti

Page 11: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

ia sejajar dengan .

Permukaan tertutup untuk pengintegrasian (permukaan gauss) dapat diperoleh dengan

menambahkan dua buah tutup silinder lingkaran (atas dan bawah) yang berjejari kepada selimut

silinder tadi.

Vektor-vektor satuan normal arah ke luar bagi tutup atas dan tutup bawah ini berturut turut ditulis

sebagai dan (indeks a dan b merujuk pada kata “atas” dan “bawah”) dan tampak sama

dengan dan

Meskipun memiiki bentuk ketergantungan yang tidak diketahui pada pada luasanluasan

lingkaran ini, tetapi tegak lurus terhadap vektor-vektor luasannya, sehingga sumbangannya

kepada fluks akan lenyap.

Kita dapat menulis integral permukaan tertutup sebagai jumlahan dari integral permukaan selimut

dan tutup-tutup atas dan bawah (yang ditandai oleh indeks s, a, dan b). Kita juga ingat bahwa

tetap pada permukaan selubung karena tetap. Dengan demikian, dalam kasus ini persamaan (4-

1) menjadi

Saat kita memecahkan persamaan di atas untuk , panjang L sembarang menjadi lenyap dan kita

memperoleh sehingga

yang tepat sama dengan persamaan (3-7) yang telah diperoleh dari integrasi langsung.

Page 12: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga Asumsi:

- = tetapan

- Plat terletak pada bidang xy; Gambar 4-4 memperlihatkan pandangan dari sisi tepi

plat.

Pemilihan titik asal sistem koordinat dan arah-arah sumbu x dan sumbu y sembarang, maka

haruslah tidak bergantung pada x dan y.

Tidak ada perbedaan antara kanan dan kiri, atau menuju atau menjauhi kertas, sehingga tidak

memiliki komponen-komponen yang sejajar plat ; jadi hanya memiliki sebuah

komponen z umumnya fungsi z, yaitu jarak dari plat.

Tidak ada juga perbedaan nyata antara atas dan bawah, sehingga arah harus selalu menjauhi plat

atau selalu menuju plat bergantung pada tanda . Dengan demikian, haruslah memiliki bentuk

dengan tanda “+“ digunakan untuk z > 0 dan tanda “-“ digunakan untuk z < 0; E(z)

dapat positif atau negatif, Gambar 4-4 digambar untuk kasus dengan E(z) positif.

Jadi, permukaan tertutup pengintegrasian berupa sebuah silinder setinggi D ke atas dan ke bawah

plat serta tutup-tutup silinder seluas a sejajar plat; vektor satuan normal luasan-luasan a ini

dalam arah ke luar ditulis sebagai dan seperti diperlihatkan oleh Gambar 4-4.

Page 13: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Vektor medan listrik memiliki nilai yang tetap sebesar E(D) di tutup-tutup tersebut. Selubung

silinder yang menghubungkan tutup-tutup ini tegak lurus terhadap plat; vektor satuan normalnya

dalam arah ke luar ditulis sebagai , dan jelas bahwa untuk semua bagian permukaan

selubung silinder.

Tampak juga bahwa Qdalam adalah muatan pada plat yang terpotong oleh penampang silinder, dan

dengan demikian sama dengan .

Jadi, dalam kasus ini persamaan (4-1) menjadi:

Tampak bahwa yang jelas tidak bergantung pada D; jadi medan listrik dari plat

tipis ini diberikan oleh

yang tepat sama dengan persamaan (3-8) yang telah diperoleh dengan integrasi langsung.

Bola pejal bermuatan terdistribusi secara simetri bola

Asumsi: - muatan terkandung dalam bola berjejari a.

- rapat muatan fungsi radial → simetri bola.

Jadi memiliki arah radial, besarnya tak bergantung pada sudut, dan dapat ditulis dalam bentuk

.

Besar konstan di permukaan bola berjejari r, maka permukaan bola tersebut dipilih sebagai

permukaan pengintegrasian; vektor satuan normalnya arah ke luar juga adalah ̂ Jadi, persamaan

(4-1) menjadi

Page 14: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

sehingga diperoleh

dengan

dan V(r) adalah volume bola

berjejari r.

Ada dua kasus yang perlu ditinjau.

Kasus I: Di luar bola bermuatan, r > a.

Di sini jika r' > a, dan volume integrasi dalam persamaan (4-15) menjadi V(a), yaitu volume

total distribusi muatan, sehingga

dengan Q adalah muatan total yang

terkandung di dalam bola.

Dengan demikian persamaan (4-14) menjadi

Medan listrik di luar bola bermuatan sama seperti jika seluruh muatan terkumpul pada sebuah titik di

pusat bola.

Kasus II: Di dalam bola bermuatan, r < a.

Page 15: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Dalam kasus ini, muatan yang terkandung dalam permukaan gauss adalah

yang jika dimasukkan ke persamaan (4-14) akan memberikan medan listrik di dalam bola sebagai

Kita tidak dapat melangkah lebih jauh kecuali jika kita mengetahui bentuk eksplisit .

Bola pejal bermuatan terdistribusi seragam

Kasus ini seperti pada contoh sebelumnya tetapi dengan rapat muatan = tetapan, yaitu kita punya

bola bermuatan seragam.

Dengan demikian, integral dalam persamaan (4-19) menjadi

Pernyataan ini dapat diungkapkan dalam muatan total Q sebagai

yang menunjukkan bahwa medan listrik bertambah besar secara linear terhadap jarak saat kita

bergerak menjauh dari nilai nolnya di titik pusat bola.

Page 16: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Di luar bola, besar medan listrik berubah dengan kebalikan kuadrat jarak dari pusat bola menurut

persamaan (4-17).

Persamaan (4-17) dan persamaan (4-21) memberikan nilai yang sama, yaitu , di

permukaan bola, yaitu di r = a; jadi, medan listrik tetap kontinyu saat melintasi permukaan bola

bermuatan.

Hasil-hasil ini untuk bola bermuatan seragam ditunjukkan oleh Gambar 4.5

Distribusi muatan dengan simetri bola lainnya akan memberikan ketergantungan yang berbeda Er

pada r di dalam bola, tetapi tepat sama seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 4.5 untuk kasus di luar

bola bila diungkapkan dalam muatan total yang terkandung di dalam bola r = a.

POTENSIAL SKALAR

A. Pendahuluan

Pada pokok bahasan terdahulu medan listrik merupakan besaran vektor yang

memberikan informasi lengkap tentang efek-efek elektrostatik. Secara substansia l

informasi yang sama dapat juga diungkapkan dengan suatu besaran medan skalar yang akan

memudahkan dalam banyak tujuan dan disebut sebagai potensial skalar. Terdapat

hubungan antara medan listrik dan potensial skalar, sehingga medan listrik dapat dicari dari

potensial skalar, atau sebaliknya. Akan disajikan juga tentang tenaga potensial listrik

hubungannya dengan potensial skalar.

Setelah mengikuti kuliah pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat

menjelaskan definisi dan sifat-sifat potensial skalar, dapat menentukan potensial skalar dan

beragam sistem distribusi muatan, dan dapat menentukan potensial skalar dan

hubungannya dengan medan listrik yang telah diketahui, serta dapat tenaga potensial listrik

sistem muatan.

Page 17: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

B. Penyajian

1. Definisi Potensial Skalar

Pada ungkapan medan listrik (persamaan (3-2)), kita dapat

mengganti dengan sehingga diperoleh

dengan

Didefinisikan medan skalar yang di sebut sebagai potensial skalar atau potensial

elekstrostatik:

Dengan demikian kita dapat menulis

medan listrik merupakan negative gradien potensial skalar ; dan berlaku bahwa

Satuan potensial skalar: volt .(V); dari persamaan (5-3), medan listrik dapat

dinyatakan dalam volt/meter yang kenyataannya sering digunakan. Mengingat satuan

untuk sebelumnya adalah newton/coulomb, maka berarti 1 volt = 1 joule/coulomb.

Mengingat teorema Stokes: dan menurut persamaan

(5-4) bahwa , maka diperoleh

Page 18: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

dengan C adalah lintasan tertutup sembarang. Ini menunjukkan bahwa medan elektrostatik

merupakan medan konservatif.

Potensial skalar pada persamaan (5-2) diungkapkan dalam SKC:

Karena merupakan besaran skalar, maka secara umum akan lebih mudah menghitung

medan listrik secara tidak langsung dengan menggunakan persamaan (5-2) dulu, kemudian

mendiferensialkannya menggunakan persamaan (5-3), dari pada mengevaluasi langsung

jumlahan vektor persamaan (3-2); inilah alasan mengapa penting secara praktis.

Potensial listrik dari terdistribusi muatan kontinyu:

Gambar 5.1 memperlihatkan besaran-besaran yang terlibat dalam persamaan (5-7)

Page 19: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Jika semua ragam distribusi muatan tersebut hadir serentak, total di suatu titik

merupakan jumlahan skalar dari semua ragam sumbangan persamaan (5-2) dan persamaan (5-

7) hingga persamaan (5-9), dan total di suatu titik dapat diperoleh sebagai negative gradien

dari potensial skalar total ini.

Jika potensial skalar didefinisikan memiliki tetapan tambahan C sembarang:

maka kita akan memperoleh yang sama seperti semula (persamaan (3-2)). Jadi, secara

prinsip, potensial skalar selalu menyertakan suatu tetapan tambahan dan kita dapat memilihnya

secana sembanang tanpa menyebabkan perubahan pokok permasalahan. Seringkali, meskipun

tidak selalu, dipilih C = 0, sehingga potensial = 0 di tempat yang sangat jauh dari muatan-

muatan ( ).

Integral garis medan antara titik awal P dan titik akhir P serupa dengan Gambar

1-16:

Page 20: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Jadi kita dapat menulis:

yang menghubungkan perubahan (beda) potensial skalar dan integral garis . Hasil ini

hanya bergantung pada nilai-nilai di titik awal dan titik akhir, nilai integral garis tidak

bergantung pada lintasan, berarti adalah medan konservatif. [Jika lintasannya tertutup,

berarti , maka persamaan (5-11) kembali menghasilkan persamaan (5-5).]

Pada persamaan (5-11), sembarang tetapan tambahan yang dapat disertakan dalam

definisi telah lenyap saat menghitung beda potensial. Kita dapat menggunakan persamaan

(5-11) untuk menghitung beda potensial antara dua titik jika medan telah diketahui atau

diperoleh dengan cara lain

Suatu permukaan dengan nilai tetap disebut permukaan ekipotensial.

Ingat: Gradien skalar memiliki arah normal (tegak lurus) terhadap permukaan yang memilik i

nilai skalar tetap, dan menuju permukaan dengan nilai skalar yang lebih besar. Jadi, gradien

potensial listrik ( ) tegak lurus terhadap permukaan ekipotensial, demikian juga dengan

tetapi dalam arah yang berlawanan. Hal ini diilustrasikan oleh Gambar 5-2 di mana

permukaan-permukaan ekipotensial digambarkan sebagai garis tak putus, sedangkan garis

putus (disebut garis gaya atau garis medan) digambar untuk menunjukkan arah di tiap titik

untuk kasus > . (Nilai numerik lebih besar di daerah di mana garis-garis gaya

saling berdekatan dari pada nilai di daerah di mana garis-garis gaya terpisah lebih jauh.)

Page 21: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

5.2 Potensial Muatan Titik Tunggal

Ditinjau sebuah muatan titik Q yang terletak di .

Potensialnya, menurut persamaan (5-2):

dengan . Dengan demikian, medan listrik:

yang tentu saja sesuai dengan persamaan (3-2) untuk muatan tunggal.

Nilai yang diberikan oleh persamaan (5-12) sebagai sebuah fungsi jarak R dari Q

ditunjukkan oleh Gambar 5-3 untuk kedua tan Q. Permukaan-permukaan ekipotensia l

diperoleh dengan memecahkan persamaan (5-12) untuk R dan memberikan nilai tertentu untuk

; hasilnya adalah

sehingga permukaan-permukaan ini berkaitan dengan R = tetapan, yaitu berupa bola-bola yang

berpusat pada muatan Q. Situasi ini ditunjukkan oleh Gambar 5-4 di mana kita telah

mengasumsikan Q bernilai positif sehingga . Menurut Gambar 5-2, haruslah

tegak lurus terhadap bola-bola ini dan dengan demikian memiliki arah radial ke luar dari Q,

sesuai dengan persamaan (5-13).

Page 22: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Jika kita menggabungkan persamaan (5-3), yaitu , dengan persamaan (4-10), yaitu

, maka diperoleh bahwa

Dengan kata lain, potensial skalar memenuhi persamaan diferensial ini yang dikenal

sebagai

“persamaan Poisson”. Di dalam daerah di mana = 0, persamaan (5-15) berubah menjadi

“persamaan Laplace”:

5.3 Potensial Distribusi Muatan Bola Seragam

Ditinjau: Bola berjejari a, bermuatan total Q, rapat muatan tetap Akan

dihitung potensial skalar di titik sejauh dari pusat bola (Gambar 5.5).

Page 23: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Jadi diperoleh

Integrasian ke dapat dilakukan langsung dan memberikan nilai 2 . Jika kita menggunakan

, maka persamaan (5-17) menjadi

Integrasi ke dapat diperoleh dengan menggunakan tabel integra, l, hasilnya

,

Sekarang ada dua kasus yang akan ditinjau.

Page 24: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Kasus I: Di luar bola, r > a; padahal r a, berarti kita punya r > r , sehingga

dalam persamaan (5-19) menjadi dan integral ke sama

dengan 2/z. Dengan memasukkan hasil ini ke persamaan (5-18) dan mengintegrasikannya ke

r , maka diperoleh potensial di suatu titik di luar (outside) bola sejauh r dari pusatnya

sebagai

Kasus II: Di dalam bola, r < a, sehingga r > r atau r < r.

Jika r < r < a, maka persamaan (5-19) menjadi

jika r < z < a, maka persamaan (5-19) sama dengan 2/r seperti sebelumnya. Dengan

demikian, ungkapan potensial di dalam (inside) bola sejauh r dari pusatnya adalah

Persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) memberikan nilai potensial yang sama, yaitu

, di permukaan bola di mana r = a.

Substitusi persamaan (5-20) dan persamaan (5-21) ke dalam persamaan (5-3) akan

menghasilkan medan listrik di luar dan di dalam bola, berturut-turut sebagai

Page 25: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Ini sesuai dengan hasil yang telah diperoleh dengan menggunakan hukum Gauss. Persamaan

(5-20) dan persamaan (5-21) menunjukkan bahwa nilai-nilai tetap berkaitan dengan nilai-

nilai r yang tetap; dengan kata lain, permukaan-permukaan ekipotensialnya berupa bola-bola

sepusat yang berpusat di titik asal sistem koordinat (yaitu di pusat distribusi muatan).

Gambar 5-6 menunjukkan plot potensial sebagai fungsi r dalam contoh ini; negatif slope

kurva ini memberikan medan listrik Er.

5.4 Potensial Skalar dan Tenaga Potensial

Ditinjau sebuah muatan titik q dalam keadaan setimbang dalam pengaruh sebuah gaya

elektrostatik q dan sebuah gaya mekanik q,m:

atau

Kita bayangkan mengerakkan muatan q dengan sangat lambat dari suatu titik awal ke titik

akhir sepanjang suatu lintasan. Dalam kondisi ini, pada dasarnya kecepatannya selalu nol

Page 26: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

dan tetap sehingga percepatannya nol. Muatan akan selalu dalam keadaan setimbang, atau

sangat hampir setimbang, sehingga persamaan (5-24) berlaku. Kita mengasumsikan prosedur

ini sehingga kita dapat menghitung banyaknya kerja dikerjakan oleh gaya mekanik luar, dan

dengan mempertahankan kecepatan nol kita dapat yakin bahwa tidak akan ada disipasi atau

efek gesekan yang terlibat. Jika kita tulis sebagai kerja yang dilakukan gaya mekanik luar,

maka kita memperoleh

dengan menggunakan persamaan (5-11). Dengan kata lain, kerja yang dilakukan pada muatan

sama dengan nilai muatan tersebut dikalikan dengan perubahan potensial. Kerja yang

dilakukan sama dengan perubahan tenaga potensial muatan sehingga persamaan (5-46)

menjadi

Perubahan ini tak bergantung pada sembarang tetapan tambahan yang dapat disertakan

dalam . Karena ruas kanan persamaan (5-26) telah memiliki bentuk selisih (beda), maka wajar

untuk menulis ruas kiri persamaan tersebut dengan cara yang sama, yaitu

, dan dengan perbandingan kita dapat mendefinisikan tenaga potensial sebuah muatan q di ,

yaitu , sebagai

Kita dapat menambahkan sembarang tetapan pada ruas kanan persamaan (5-27) tanpa

merubah selisih tenaga potensial. Tetapi, secara umum kita akan memiih bentuk persamaan (5-

27) karena ia memiliki sifat yang memudahkan, yaitu bahwa jika lenyap di tempat jauh tak

hingga, maka demikian juga dengan . Karena satuan tenaga adalah joule, maka tampak

dari persamaan (5-48) bahwa satuan , yaitu volt, akan sama dengan 1 joule/coulomb.

Page 27: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

Contoh: Dua muatan titik

Ditinjau: sebuah sistem yang terdiri dari dua muatan titik q dan Q yang terpisah sejauh R

(Gambar5.10).

Potens di tempat kedudukan q diberikan oeh persamaan (5-12) yaitu , dan jika

dimasukkan ke persamaan (5-27), maka kita memperoleh

Tenaga ini dapat diinterpretasikan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan q

dari tempat jauh tak hingga ke tempatnya di , sedangkan muatan Q dipeahankan tetap di.

. Tetapi, karena kesimetrian ungkapan persamaan (5- 28), maka hal ini secara setara dapat

diungkapkan sebagai kerja yang diperlukan untuk membawa muatan Q dari tempat jauh tak

hingga ke tempatnya di , sedangkan muatan q tetap di . Dengan kata lain, lebih tepat

memandang Ue sebagai tenaga potensial bersama sistem dua muatan, bukan

menggambarkannya sebagai milik salah satu muatan atau milik muatan lainnya.

Page 28: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Derivasi Hukum Gauss akan menunjukkan bahwa (hokum gauss) :

∮𝒔�⃗⃗� .𝒅�⃗⃗� =

𝟏

𝜺𝟎

∑ 𝒒𝒊 =𝑸𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎

𝜺𝟎𝒅𝒊𝒅𝒂𝒍𝒂𝒎

Beberapa penerapan Hukum Gauss

- Muatan garis seragam panjang tak hingga

- Plat tipis bermuatan seragam luas tak hingga

- Bola pejal bermuatan terdistribusi seragam

Potensial scalar

- Definisi potensial scalar

- Potensial muatan titik tunggal

- Potensial distribusi muatan bola seragam

- Potensial scalar dan tenaga potensial

B. SARAN

- Makalah ini untuk mengetahui lebih jauh tentang Hukum Gauss dan Potensial Skalar

serta untuk menambah wawasan kita mengenai Hukum Gauss dan Potensial Skalar

- Kritik dan Saran yang bersifat membangun selalu Kami harapkan demi kesempurnaan

makalah Kami. Bagi para pembaca yang ingin mengetahui lebih jauh mengenai Hukum

Gauss dan Potensial scalar penulis mengharapkan agar para pembaca membaca buku-

buku lainnya yang berkaitan dengan tersebut.

-

Page 29: Makalah listrik magnet hukum gauss dan potensial skalar

DAFTAR PUSTAKA

Wangsness, R.K., 1979, “Electromagnetic Fields”, John Wiley & Sons, New York

Bahan ajar Kuliah Universitas Gadja Mada