BAB IPENDAHULUAN1.1 Latar BelakangAnuitas dapat didefenisikan pembayaran premi asuransi, pembayaran hipotik, pembayaran bunga atas obligasi, pembayaran sewa, pembayaran secaracicilan, pembayaran uang pensiun adalah beberapa contoh daripada sebagai suatu rangkaian pembayaran atau penerimaan berkala atau periodik dari sejumlah uang yang sama besarnya dan dibayar atau diterima pada setiap periode waktu yang sama selama jangka waktu tertentu pembayaran atau penerimaan secara anuitas. Makalah ini membahas tentang anuitas meningkat dan menurun. Dalam menyelesaikan persoalan tentang anuitas, dibutuhkan teknik perhitungan dengan metode penurunan rumus matematik. Rumusan masalah pada makalah ini yaitu apa yang dimaksud dengan anuitas meningkat dan menurun,apakah perbedaan dari anuitas meningkat biasa dan anuitas meningkat meningkat dimuka, apakah perbedaan anuitas menurun biasa dan anuitas menurun dimuka, dan bagaimana cara menghitung pembayaran dalam waktu tertentu dengan metode anuitas meningkat.1.2 Tujuan Tujuan makalah ini adalah untuk menjelaskan pengertian anuitas meningkat dan menurun, untuk menghitung tingkat bungan pada pinjaman, untuk menghitung pembayaran dalam waktu tertentu dengan metode anuitas meningkat dan menurun. Manfaat dari makalah ini adalah dapat memahami pengertian anuitas meningkat dan menurun, dapat memahami apa perbedaan anuitas maningkat,anuitas menurun dan anuitas geometri. Baik itu anuitas meningkat biasa atau anuitas meningkat dimuka, dan anuitas menurun biasa dan anuitas menurun dimuka. Dan dapat mengetahui bagaimana teknik atau cara penyelesaian soal pada anuitas.
BAB IIPEMBAHASAN2.1 Pembahasan Materi Anuitas dalah suatu rangkaian pembayaran dengan jumlah yang sama besar pada setiap interval pambayaran. Besar kecilnya jumlah pembayaran pada setiap interval tergantung pada jumlah pinjaman, jangka waktu, dan tingkat bunga. Pada bab ini anuitas yang dibahas adalah anuitas meningkat (increasing annuity) dan anuitas menurun (descreasing annuity) serta anuitas geometri. Jika dilihat dari waktu pembayarannya, anuitas dapat dibagi dua yaitu anuitas biasa(annuity immediete) dan anuitas dimuka(annuity due). Anuitas biasa adalah suatu anuitas yang dibayar pada setiap akhir periode pembayaran, sedangkan anuitas dimuka adalah suatu anuitas yang dibayar pada setiap awal periode pembayaran. Maka anuitas meningkat dibagi menjadi anuitas meningkat biasa(increasing Annuity Immidiete) dan anuitas meningkat dimuka(Increasing Annuity Due). Sebaliknya juga dengan anuitas menurun biasa(Descreasing Annuity Immidiete) dan anuitas menurun dimuka(Descreasing Annuity Due).2.2 Pembahasan Anuitas UmumSuatu jenis anuitas yang interval pembayarannya adalah bertepatan dengan periode pembayaran bunga disebut anuitas sederhana. Akan tetapi, ketepatan antar interval pembayaran anuitas dengan periode pembayaran bunga bukanlah sesuatu yang selalu berlaku dalam praktek. Ada kasus-kasus lain dimana anuitas dibayar pada saat yang tidak bertepatan dengan periode pembayaran bunga. Anuitas jenis ini disebut dengan anuitas umum(general annuity).Ketidaktepatan antara interval pembayaran anuitas dengan periode pembayaran bunga dalam anuitas umum dapat terjadi dalam dua bentuk. Pertama adalah anuitas umum dengan interval pembayaran yang lebih sering daripada periode-periode konversi bunga. Sebagai contoh adalah tabungan yang disetor tiap bulan dimana bunga atas tabungan tersebut dihitung tiap semester. Kedua adalah anuitas umum dengan periode konversi bunga yang lebih sering daripada interval pembayaran. Sebagai contoh adalah tabungan yang disetor tiap kuartal dengan bunga atas tabungan tersebut dihitung tiap bulan.Untuk memudahkan menghitung berbagai variabel dalam matematika keuangan yang berhubungan dengan anuitas umum, berikut digunakan beberapa notasi dan arti masing-masing notasi sebagai berikut : W= besarnya pembayaran anuitas umum yang dilakukan sebanyak p kali per tahun. P= banyaknya pembayaran anuitas umum per tahun. R= besarnya pembayaran anuitas sederhana yang dilakukan sebanyak m kali per tahun. M= banyaknya pembayaran anuitas sederhana per tahun. i= suku bunga per periode pembayaran anuitas sederhana. i= suku bunga per periode pembayaran anuitas umum yang ekuivalen denga suku bunga i.Menentukan Pembayaran Periodik Anuitas Umum yang BiasaApabila nilai akumulasi atau nilai diskonto, suku bunga dan jangka waktu suatu anuitas umum yang biasa sudah diketahui, maka pembayarab periodik anuitas umum tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan dua pendekatan, yaitu : Pendekatan yang pertama adalah dengan mengubah suku bunga.Dalam pendekatan dengan mengubah suku bunga, langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah anuitas umum yang biasa menjadi anuitas sederhana dengan cara mengubah suku bunga tertentu dengan suatu suku bunga yang ekuivalen dengan periode yang sama dengan interval pembayaran. Langkah berikutnya adalah menghitung pembayaran periodik dari anuitas sederhana yang biasa dengan ketentuan sebagai berikut:1. Apabila nilai akumulasi S, suku bunga i dan waktu atau periode n sudah diketahui, maka pembayaran periodik R dapat dihitung dengan menggunakan formula:
Pendekatan dengan mengubah pembayaran.Dalam pendekatan dengan mengubah pembayaran, langkah pertama yang dilakukan adalah menghitung pembayaran periodik R pada akhir periode konversi bunga. Dengan kata lain yang dilakukan adalah menghitung pembayaran periodik sebesar R dalam suatu anuitas sederhana yang biasa. Langkah berikutnya adalah menghitung pembayaran periodik W anuitas umum yang biasa yang ekuivalen dengan anuitas sederhana yang biasa dengan menggunakan formula.W = R S m/p2.2.1 Anuitas Meningkat (Increasing Annuity)Anuitas meningkat(Increasing Annuity) adalah suatu rangkaian pembayaran yang jumlah pembayarannya meningkat setiap interval pembayaran. Dimulai dengan 1, meningkat 1 setiap tahun dan akhirnya akan berakhir dengan n. Ini dikatakan anuitas meningkat secara teratur. Pembayaran berlangsung di awal tahun.Anuitas Meningkat dibagi menjadi anuitas meningkat Biasa (Increasing Annuity Immediate) dan Anuitas Meningkat dimuka(Increasing Annuity Due). Anuitas Meningkat Biasa (Increasing Annuity Immediate)Adalah sebuah Anuitas Biasa yang dibayarkan selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing pembayaran berikutnya meningkat dengan Q.
Grafik Anuitas Meningkat Biasa : P P+(1)Q P+(n-2)Q P+(n-1)Q 0 1 2 n-1 nNilai sekarang (pada t = 0) anuitas meningkat secara langsung ,dimana efektif tahunan tingkat bunga = i, di hitung sebagai berikut :Maka nilai anuitas langsung meningkat Biasa dapat juga kita tuliskan dari turunan rumus berikut:
nilai anuitas meningkat biasa adalah PV Maka nilai sekarang (pada t = n) dari suatu anuitas meningkat biasa, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i,bisa juga dihitung dengan menggunakan penurunsan rumus diatas atau dihitung dengan menggunakan prinsip dasar,dimana nilai yang akan datang sama dengan nilai sekarang dengan memperhatikan rumus di bawah ini sabagai berikut : Fvn = Pv0 . (1 + i ) n= n= =
Misalkan P=1 dan Q=1. Dalam kasus ini , pembayaran mulai dari 1 dan meningkat 1 setiap tahun hingga pembayaran akhir n dibuat pada waktu n. Maka nilai sekarang (pada t=0) dari suatu anuitas Biasa langsung , di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka Anuitas meningkat biasa di lambangkan dengan Ia) . dan menghitungnya adalah sebagai berikut :
Maka nilai sekarang (pada t = n) dari suatu anuitas meningkat biasa, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, dilambangkan dengan Is) dan bisa juga dihitung dengan menggunakan penurunsan rumus diatas atau dihitung dengan menggunakan prinsip dasar,dimana nilai yang akan datang sama dengan nilai sekarang dengan memperhatikan rumus di bawah ini sebagai berikut :
Anuitas Meningkat Di muka (Increasing Annuity-Due)Untuk anuitas dimuka dibayar selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing berikutnya, Pembayaran meningkat dengan Q.
Grafik Anuitas Meningkat DimukaP P+(1)Q P+(2)Q . P+(1-n)Q 0 1 2 .. n-1 nNilai sekarang (pada t=0) dari anuitas meningkat dimuka, dimana efektif tahunan tingkat bunga = i, dapat dihitung seperti dibawah ini :Maka nilai anuitas langsung meningkat Dimuka turunan rumusnya sebagai berikut:
Nilai anuitas meningkat dimuka adalahMaka nilai sekarang (pada t = n) dari suatu anuitas meningkat dimuka, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i,bisa juga dihitung dengan menggunakan penurunsan rumus diatas atau dihitung dengan menggunakan prinsip dasar,dimana nilai yang akan datang sama dengan nilai sekarang dengan memperhatikan rumus di bawah ini sabagai berikut : Fvn = Pv0 . (1 + i ) n= n= =
Misalkan P=1 dan Q=1. Dalam kasus ini , pembayaran mulai dari 1 dan meningkat 1 setiap tahun hingga pembayaran akhir n dibuat pada n waktu n-1Nilai sekarang (pada t=0) dari suatu anuitas dimuka, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka Anuitas meningkat dimuka di lambangkan dengan : IMaka menghitung anuitas meningkat dimuka adalah sebagai berikut:
Maka nilai sekarang (pada t = n) dari suatu anuitas meningkat dimuka, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, dilambangkan dengan Is) dan bisa juga dihitung dengan menggunakan penurunsan rumus diatas atau dihitung dengan menggunakan prinsip dasar,dimana nilai yang akan datang sama dengan nilai sekarang dengan memperhatikan rumus di bawah ini sebagai berikut :
Contoh :1. Ria meminjam uang 100.000 akan di bayar kembali lebih dari 30 tahun. Maka diberikan Pembayaran pertama nya adalah X pada akhir tahun 1. Pembayaran nya meningkat 100 per tahun untuk 19 tahun ke depan dan tingkatannya tetap untuk 10 tahun ke depan nya. Tingkat bunga efektif adalah 5% per tahun. Maka hitunglah nilai X?Penyelesaian : x x+(100)Q x+(1800)Q P+(1900)Q x+1900Q x+1900Q x+1900Q
0 1 2 18 19 20 28 29 30
100.000 = X [ 15,708] + 95 [105,94] + 680,2 [8,04] 100.000 = 15,708 X + 10064,3 + 5468,808 100.000 = 15,708 X + 15533,108100.000 15533,108 = 15,708 X 84466,892 = 15,708 X X = 5377,322.2.2 Anuitas Menurun (Decreasing Annuity)Anuitas menurun (Decreasing Annuity) adalah suatu rangkaian pembayaran yang jumlah pembayarannya menurun setiap interval pembayaran . Anuitas menurun dimulai dengan n, menurun 1 setiap tahun dan akhirnya akan berakhir dengan 1. Ini dikatakan anuitas menurun secara teratur. Anuitas Menurun dibagi menjadi anuitas menurun Biasa (Decreasing Annuity Immediate) dan Anuitas Menurun dimuka (Decreasing Annuity Due). Anuitas Menurun Biasa (Decreasing Annuity Immediate)Adalah sebuah Anuitas Biasa yang dibayarkan selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing pembayaran berikutnya menurun dengan Q.Diagram nya seperti gambar berikut.n n-1 2 1
01 2 n-1 nNilai sekarang (pada t=0) dari suatu anuitas anuitas menurun langsung , di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka di lambangkan dengan dan menghitungnya adalah sebagai berikut:
nilai anuitas menurun biasa adalah PV Misalkan P=n dan Q= -1. Dalam kasus ini, pembayaran mulai dari n dan menurun 1 setiap tahun, sampai pembayaran akhir 1 dibuat pada waktu n.Nilai sekarang (pada t=0) dari suatu anuitas anuitas menurun langsung , di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka anuitas menurun biasa di lambangkan dengan
Maka nilai sekarang (pada t = n) dari suatu anuitas menurun biasa, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, dilambangkan dengan Ds) dan bisa juga dihitung dengan menggunakan penurunsan rumus diatas atau dihitung dengan menggunakan prinsip dasar,dimana nilai yang akan datang sama dengan nilai sekarang dengan memperhatikan rumus di bawah ini sebagai berikut :
Anuitas Menurun Di muka (Decreasing Annuity-Due)Sebuah anuitas dimuka dibayar selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan P dan masing-masing berikutnya, Pembayaran meurun dengan Q. Grafik Anuitas Menurun Dimuka :n n-1 n-2 . 1
01 2 . n-1 nNilai sekarang (pada t=0) dari penurunan anuitas Dimuka, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka di lambangkan dengan dan menghitungnya adalah sebagai berikut :
Maka Nilai Anuitas Menurun Dimuka adalah PV Misalkan P=n dan Q= -1. Dalam kasus ini, pembayaran mulai dari n dan menurun 1 setiap tahun, sampai pembayaran akhir 1 dibuat pada waktu n.Nilai sekarang (pada t=0) dari penurunan anuitas Dimuka, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, maka di lambangkan dengan
dan menghitung anuitas menurun dimuka adalah sebagai berikut:
Maka nilai sekarang (pada t = n) dari suatu anuitas meningkat dimuka, di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i, dilambangkan dengan Ds) dan bisa juga dihitung dengan menggunakan penurunsan rumus diatas atau dihitung dengan menggunakan prinsip dasar,dimana nilai yang akan datang sama dengan nilai sekarang dengan memperhatikan rumus di bawah ini sebagai berikut :
Contoh soal Anuitas Menurun biasa menurun di muka1. Hitunglah nilai anuitas menurun nyah dari suatu anuitas setiap awal tahun selama 4kali, jika tingkat bunga yang relevan adalah 10%?Jawab : 2. Pak Anggito meminjam uang dengan tingkat bunga adalah 6%,peminjaman ini berdasarkan anuitas menurun dimuka atau pembayaran dimuka , dengan pembayaran pertama Rp10.000 maka untuk setiap pembayaran berikut nya dikurangi dengan Rp1000. maka hitunglah present value atau nilai sekarangnya?PV=10.000+9000v+8000+..+1000PV=1000*(10+9v+8+..+)=1000*D(10)=1000*(10-a(10))/(1-v)=1000*(10-7,36)/0.0566=1000*2,64/0.0566=1000*46,638=Rp 46.6382.2.3 Anuitas GeometrisPembayaran pembarayan dengan menggunakan deret geometri Anuitas Meningkat Biasa (Increasing Annuity Immediate)Adalah sebuah Anuitas Biasa yang dibayarkan selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan 1 dan masing-masing pembayaran berikutnya meningkat dengan (1+k). Grafik Anuitas Meningkat Biasa sebagai berikut : 1 1(1+k) . . . 1(1+k)n-2 1(1+k)n-1 . 0 1 2 . . . n-1 nNilai sekarang (pada t=0) anuitas meningkat biasa secara geometri ,dimana efektif tahunan tingkat bunga = i, di hitung sebagai berikut :Maka nilai anuitas langsung meningkat Biasa dapat juga kita tuliskan dari turunan rumus berikut:
=
Maka nilai sekarang (pada t = n) dari suatu anuitas meningkat biasa secara geometri , di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i,bisa juga dihitung dengan menggunakan penurunan rumus diatas atau dihitung dengan menggunakan prinsip dasar,dimana nilai yang akan datang sama dengan nilai sekarang dengan memperhatikan rumus di bawah ini sabagai berikut:
. Anuitas Meningkat Di muka (Increasing Annuity-Due)Untuk anuitas dimuka dibayar selama n tahun dengan pembayaran pertama sama dengan 1 dan masing-masing berikutnya, Pembayaran meningkat dengan (1+k). Diagram grafik di bawah menggambar kan anuitas meningkat dimuka.Grafik Anuitas Meningkat Dimuka1 1(1+k) 1(1+k)2 . . . 1(1+k)n-1 0 1 2 . . . n-1 nNilai sekarang (pada t=0) dari anuitas meningkat dimuka secara geometri,.dimana efektif tahunan tingkat bunga = i, dapat dihitung seperti dibawah ini :
= = =
Nilai sekarang dapat juga dihasilkan dengan mengalikan anuitas biasa dengan , sehingga :
Maka nilai sekarang (pada t = n) dari suatu anuitas meningkat dimuka secara geometri , di mana tingkat bunga efektif tahunan adalah i,bisa juga dihitung dengan menggunakan penurunsan rumus diatas atau dihitung dengan menggunakan prinsip dasar,dimana nilai yang akan datang sama dengan nilai sekarang dengan memperhatikan rumus di bawah ini sabagai berikut:
= =.
BAB IIIKESIMPULAN
Dari pembahasan ini dapat ditarik kesimpulan bahwa :
Anuitas meningkat merupakan suatu peminjaman uang dengan tingkat periode yang lama pada besar bunga tertentu Anuitas menurun merupakan kebalikan dari anuitas meningkat yaitu suatu peminjaman uang dengan tingkat periode yang singkat pada besar bunga tertentu. Dalam sebuah anuitas pasti memiliki bunga, dan bunga tersebut merupakan persenan dari total peminjaman yang akan dibayarkan pada pihak yang memberikan pinjaman. Anuitas meningkat merupakan suatu jangka waktu yang semakin meningkat dari 1 hingga n pada suatu anuitas tertentu. Aniutas menurun akan menurun dari n tiap 1tahunnya hingga akan berakhir sampai 1 tahun saja.
DAFTAR PUSTAKA
Kellison, Stephen G.2007.The Theory of Interest. McGrawHill.www.scrib.ANUITAS_MENINGKATT_y.com 20
