MAKALAH - assenadamas.com fileBAB II Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Aljabar) ... Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan tak rasional disebut himpunan

MAKALAH

KALKULUS 1

DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATA KULIAH Kalkulus

Dosen Pengampu Bapak H. LILIK SULISTYO, Drs., M.Pd.

oleh :

Damas Fahmi Assena NIM : 161240000500

PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NAHDLATUL ULAMA JEPARA 2017

Daftar isi

BAB I Sistem Bilangan Real

BAB II Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak (Aljabar)

BAB III Pertidaksamaan Linear, Polinom, Pecahan, Mutlak Dan Akar

BAB IV Limit Fungsi

BAB V Fungsi Trasenden

BAB VI Turunan Fungsi Aljabar

BAB VII Nilai Stasioner

BAB VI Intergral Tak Tentu dan Intergral Tentu

BAB I

1.1 Bilangan Riil

A. Himpunan Bilangan Riil

Bilangan rasional adalah bilangan yang bisa dinyatakan dalam bentuk . Sebarang bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan rasional dapat mempunyai akhir atau akan berulang dalam daur yang tetap selamanya. Misalnya

- = 0 , 5 ^=1,18181818 2 11 ’

771

Bilangan yang tak bisa dinyatakan dalam bentuk — dengan m.n bilangan

bulat dan disebut bilangan tak rasional. Sebarang bilangan takrasional juga dapat dituliskan sebagai suatu desimal. Pernyataan desimal suatu bilangan takrasional tidak berulang menurut suatu daur. Misalnya,0 n ^ 0 ^2=1,41421356223 n3,1415926335

Gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan tak rasional disebut himpunan bilangan riil ( biasa dilambangkan ). Anggota himpunan tersebut dinamakan bilangan riil. R

B. Sistem Bilangan Riil

Sistem bilangan riil dibentuk dari himpunan bilangan riil dan operasi yang didefinisikan pada himpunan tersebut. R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian membentuk sistem aljabar lapangan, yakni berlaku:

1. x + y + y + x untuk sebarang x, y di R

2. (x + y) + z + x + (y + z) untuk sebarang x, y, z di R

3. Terdapat 0 di R demikian sehingga 0 + x + x + 0 + x untuk sebarang x di R

4. Untuk sebarang x di R terdapat - x di R demikian sehingga x + (+x) + (+x) + x

+ 0

5. xy + yx untuk sebarang x, y di R

6. (xy)z + x(yz) untuk sebarang x, y, z di R

7. Terdapat 1 di R demikian sehingga 1.x + x.1+ x untuk sebarang x di R 1 1

8. Untuk sebarang x di R dengan x ^ 0 terdapat- demikian sehingga x.- =

Pengurangan dan pembagian didefinisikan dengan dan ) (y-x=x+(-y dan X 1 - = X- y y

C. Urutan pada Himpunan Bilangan Riil

Terdapat himpunan bagian dari R yang unsurnya dinamakan himpunan

bilangan positif, yang memenuhi aksioma :

> jika a €R maka a= 0, atau a positif, atau -a

> jumlah dan hasil dua kali bilangan positif adalah suatu bilngan fositif ini memungkinkan kita

mendfinisikan relasi urutan pada bilangan riil Dinefenisikan relasi urutan < (dibaca “kurang

Damas Fahmi Assena

dari”) sebagai x<y -y-x positif selanjutnya relasi urutan<(Dibaca (“lebih dari”)didefinisikan

sebagai x>y^y<x

urutan tersebut memiliki sifat-sifat sebagai berikut :

> Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka satu diantara yang berikut berlaku x<y atau

x=y atau x>y

> Ketransitifan, x<y dan y<z ~^x<z untuk sebarang x,y,z di R

> x<y <~^x+z untuk sebarang x,y,z di R

> jika z positif, berlaku x< y <-^xz<yz untuk sebarang x,y di R dan jika z negatif berlaku x < y <-

^xz > yz untuk sebarang x,y di R, relasK (dibaca” kurang dari atau sama dengan”), didefinisikan

sebagai x < y <~^y ≤ x sifat sifat urutan 2,3 dan 4 berlaku dengan lambang < dan> diganti

dengan lambang ≤ atau ≥.

D. Kerapatan pada Himpunan Bilangan Riil

Diantara dua bilangan riil sebarang yang berlainan x dan y terdapat suatu x-\- v

bilangan riil lainnya, khususnya z=—p dan karenanya terdapat juga bilangan

riil diantara x dan z dan diantara z dan y. Argumentasi ini dapat diulang

sampai tak hingga, sehingga kita dapat mengambil kesimpulan diantara dua bilangan riil sebarang ( tak peduli betapun dekatnya ) terdapat takterhingga banyaknya bilangan riil lain.

E. Garis riil

Bilangan riil dapat dipandang sebagai label untuk titik sepanjang garis mendatar. Pada garis tersebut bilangan riil mengukur jarak berarah ke kanan atau ke kiri dari suatu titik tetap yang diberi label . 0

0

Garis tersebut dinamakan garis riil Catatan:

> Mengatakan x<y bearti bahwa x berada disebelah kiri y pada garis riil.

< ----------- 1 ------------- 1 ------------ >

x y

> Pada garis riil, bilangan riil positif terletak di sebelah kanan 0 dan bilangan riil negatif terletak di sebelah kiri 0 .

Himpunan Bilangan Himpunan Bilangan Riil Negatif < > Riil Positif

Damas Fahmi Assena

< -------------------------------------------------------------------------------- 1 ------------------------------------------------------------------------------- ►

0

F. Selang

Himpunan bagian tertentu dari himpunan bilangan riil yang disebut selang sering muncul dalam

Kalkulus. Secara geometris ini berkaitan dengan ruas garis pada garis riil. Jika a < b, interval buka dari

a ke b terdiri dari semua bilangan diantara a dan b dan menggunakan simbol (a,b) . Dalam notasi

pembentuk himpunan ditulis {x a < x < b}. Perlu dicatat bahwa titik a

dan b tidak termasuk dalam selang tersebut. Selang tertutup dari a ke b adalah himpunan [a,b]= {x a < x

< b}, dalam hal ini a dan b termasuk dalam selang tersebut. Lebih lanjut perhatikan tabel berikut

Simbol ropada notasi di atas bukan mewakili sebuah bilangan. (a,ro) berartihimpunan semua

bilangan yang lebih dari a . Secara geometris selang ini membentang mulai dari titik a tak berhingga

jauhnya ke kanan dalam arah positif. Analog untuk [a,ro) , (ro,b) , (ro,b] dan (ro,ro) .

G. Macam-macam bilangan riil

1. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli adalah suatu bilangan yang mula-mula dipakai untuk memebilang. Bilangan asli dimulai

dari 1,2,3,4,...

A = {1,2,3,4,...}

2. Bilangan Genap (G)

Notasi Deskripsi Himpunan Gambar

k a < x < b\ ---------- { ------------------------ ) ----------

a b

[a,b\ k

a≤x<b} ---------- [ --------------------- 3 ------------ a b

[a,b) k

a ≤ x < b] ---------- 1 ------------------------ 1 --------- a b

(P,b\ k

a < x < b\ ---------- 4 --------------------- j ------------ a b

(0.0°) k

a < x < col ---------- 4 --------------------------------- * a

[<7.°o) k a ≤ x <

---------- 1 ---------------------------------- ̂ a

(co.b) oo < x < b\ * ----------------------------------- ) ----------

b

(oo,6] iY

00 < .T < b]

- ----------------------------------3 --------- b

(co.oo) ix\ 8

A

H

A

< ---------------------------------------------- ►

Damas Fahmi Assena

Bilangan genap dirumuskan dengan 2n, nIA G = {2,4,6,8,...}

3. Bilangan Ganjil (Gj)

Bilangan ganjil dirumuskan dengan 2n -1, nIA Gj = {1,3,5,7,...}

4. Bilangan Prima (P)

Bilangan prima adalah suatu bilanganyang dimulai dari 2 dan hanya dapat dibagi oleh bilngan itu sendiri dan ± 1 P = {2,3,5,7,...}

5. Bilangan Komposit (Km)

Bilangan komposit adalah suatu bilangan yang dapat dibagi oleh bilangan

yang lain

Km = {4,6,8,9,...}

6. Bilangan Cacah (C)

Bilangan Cacah adalah suatu bilangan yang dimulai dari nol C = {0,1,2,3,4,...}

7. Bilangan Bulat (B)

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan nol, dan bilangnan bulat positif. B = {...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}

8. Bilangan Pecahan (Pc)

Bilangan pecahan adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

-, a sebagai pembilang dan b sebagai penyebut, dengan a dan b IB serta b ^0

Contoh: 2 5 7

9. Bilangan Rasional (Q)

Bilangan rasional adalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk - b

, a dan b IB serta b ^0. (Gabungan bilangan bulat dengan himpunan bilangan pecahan) „ . . 1 4 r~ 22 Contoh: — — ,v4,—

3 7 7

10. Bilangan Irasional (I)

Bilangan irasional adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk - b

, a dan b €B serta b ^0. Contoh: 2, 3,p = 3,14159..., e = 2,71828...

11. Bilangan Real (R)

Bilangan real adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan real biasanya disajikan dengan sebuah garis bilangan. Contoh:

12. Bilangan Khayal (Kh)

Bilangan khayal adalah suatu bilangan yang hanya bisa dikhayalkan dalam pikiran, tetapi kenyataannya tidak ada.

Contoh: V—1, V— 2, V— 3

13. Bilangan Kompleks (K)

Damas Fahmi Assena

Bilangan Kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bilangan dan khayal.

Contoh: 2 + V-1,5 - V- 2

H. Perbedaan Antara Bilangan Rasional Dan Bilangn Irasional

Bilangan Rasional:

1. Dapat dtulis dalam bentuk pecahan biasa

Contoh: 2 3 3

2. Dapat ditulis dalam bentuk pecahan desimal terbatas. — — 0,333...ditulis0,3

Contoh: J — = 0,142857142857...rf/YateO,142857 7

Bilangan Irasional:

1. Tidak dapat ditulis sebagai pecahan biasa

2. Jika didahului sebagai pecahan desimal, merupakan desimal tak terbatas. Contoh:

V3= 1,7320...

V2= 1,4142... 3. Bilangan irasional ditulis dalam bentuk akar.

Contoh: V2, V3, V7

I. Sifat-sifat Operasi Bilangan Bulat

1. Sifat Komutatif:

a + b = b + a a.b = b.a Contoh:

1. 5 + 6 = 6 + 5 = 11

2. 9.3 = 3 . 9 = 27

2. Sifat Assosiatif:

(a + b) + c = a + (b + c)

(a . b) . c = a . (b . c)

Contoh:

1. (5 + 2) + 3 = 5 + (2 + 3) = 10

2. (5 x 2) x 3 = 5 x (2 x 3) = 30

3. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan

a x (b + c) = ab + ac

Contoh: 5 x (3 + 6) = 5 . 3 + 5 . 6 = 15 + 30 = 45

4. Terdapat Dua Elemen Identitas

Setiap bilangan a mempunyai dua elemen identitas, yaitu 1 dan 0, sehingga memenuhi:

a + 0 = a a . 1 = a

5. Terdapat Elemen Invers

Setiap bialngan a mempunyai balikan atau invers penjumlahan, yaitu a yang memenuhi: a + (-a) = 0

Damas Fahmi Assena

Setiap a ^ 0 mempunyai balikan perkalian yaitu - yang memenuhi:

a.—1 a

J. Operasi Pada Bilangan Bulat:

1. Operasi Penjumlahan

a + b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 14 + 10 = 24

2. Operasi Pengurangan

A - b = c Ua + (-b) = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 10 - (-2) = 10 + 2 = 12

3. Operasi Perkalian

a . b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5.4 = 20 (-9) . (-4) = 36

4. Operasi Pembagian

a . b = c a, b dan c bilangan bulat Contoh: 5.4 = 20

(-9) . (-4) = 36.

5. Operasi Pembagian a 1 - = a .- = c+ . a, b b

a,b bilangan bulat dan b ^ 0, c bilangan real

Damas Fahmi Assena

Contoh:

K. Operasi Pada Bilangan Pecahan

1. Operasi Penjumlahan

2. Operasi Pengurangan Contoh: Tentukan hasil perkalian berikut!

3. Operasi Perkalian

Contoh:

Tentukan hasil perkalian berikut:

1.

2.

4. Operasi Pembagian

Contoh:

Tentukan hasil pembagian dari pecahan di bawah ini!

L. Konversi Pecahan

1. Mengubah pecahan biasa ke pecahan desimal

Damas Fahmi Assena

> Mengubah penyebutnya menjadi 10 atau perpangkatan 10 lainnya.

b . 3 - = — = — = 3.12

2 2 100

> Dengan pembagian berulang Contoh: 4

Ubahlah ke dalam pecahan desimal!

—= 0,33333... = 0,33 12

2. Mengubah pecahan biasa ke bentuk persen. Mengubah penyebutnya menjadi 100 Contoh:

1 .^=^ = 40% 25 100

4 44 440 2. 4 — = — =------ 440%

10 10 100

3. Ubahlah 75% dan 30% ke dalam bentuk pecahan!

75 3 Jawab: 75% = — = - 100 4

30% = ^_ = A 100 10

4. Mengubah persen ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal

Contoh:

Ubahlah persen berikut ke pecahan biasa dan ke pecahan desimal!

if) 1 a. 20% = — = - = 0.20

100 5 40 7

b. 40% = —= - = 0.40 100 5 75 3 C . 75% = — = - = 0.75 100 4

M. Perbandingan, Skala, Dan Persen

1) Perbandingan digunakan untuk membandingkan dua buah bilangan

a. Perbandingan senilai Bentuk Umum:

—■— atau a1 : b1 = a 2 : b 2 bi 22

b. Perbandingan berbalik nilai Bentuk Umum:

Contoh:

a. — = —0,4 5 10

Damas Fahmi Assena

— = — atau ai : b 2 = a 2 : bi b 1 ^2

Contoh:

1. Seorang ibu menghabiskan V liter minyak tanah untukmerebus air sebanyak 15 liter air. Jika dia akan

merebus airsebanyak 100 liter, berapa liter minyak tanah yangdiperlukan?

2. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukangdalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai

dalam 2 hari,maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan itu?

Jawab: 1. Jika perbandingan banyak minyak tanah (M) dengan banyak air (A) adalah M : A, maka:

2. Jika 4 orang tukang (T1 ) dapat menyelesaikan 20 hari (H1 ),maka untuk

selesai selama 2 hari (H2 ) harus dipekerjakan lebih dari 4 orang.

T^=T2_

H2 H,

4 7, T , 4 80 , <=> — =—<=> 7, = 20x— = — = 40oranetukang 2 20 2 2

2) Skala

Skala merupakan bentuk perbandingan nilai dari suatu besaran atau perbandingan antara ukuran gambar dengan ukuran sesungguhnya (kenyataannya). Suatu skala bisa merupakan pembesaran atau pengecilan dari ukuran sesungguhnya.

• Skala pembesaran Contoh:

Jarak kota A ke kota B pada peta adalah 10 cm. Jika jarak sesungguhnya adalah 100 km,berapakah skala kota A ke kota B?

Jawab: Misal jarak pada peta = x

Misal jarak sesungguhnya = y X : y = 10 cm : 100 km = 10 cm : 10.000.000 cm = 1 : 1.000.000

Jadi, skala jarak kota A ke kota B adalah 1 : 1.000.000 • Skala Pengecilan Contoh: Tinggi seorang aktor adalah 180 cm. Berapakah tinggi aktor tersebut pada layar TV jika skalanya 1 : 100? Jawab:

Misal tinggi sesungguhnya = A = 180 cm Tinggi pada TV = B

= ■ ■ = B = 1, 8 cm 100 A 100 180 100 Jadi tinggi aktor pada layar TV 1,8 cm

3. Persen

Persen (%) berarti per seratus, merupakan bentuk lain dari perbandingan

yang ditulis dalam pecahan dengan penyebut 100.

Contoh:

Damas Fahmi Assena

Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih. Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu?

Jawab: Massa total perunggu = 100 kg + 20 kg + 30 kg = 150 kg

100 Persentase tembaga = ■— rl00% = 66.7% in Persentase timah hitam = —xl00% = 133% 150 30 Persentase timah putih = -^100% = 20.0%

K 150 '

N. Penerapan Pada Bidang Keahlian

1) Komisi

Komisi adalah pendapatan yang besarnya tergantung pada tingkat penjualan yang dilakukan.

2) Diskon

Diskon adalah potongan harga yang diberikan oleh penjual kepada pembeli

3) Laba dan Rugi

Laba = Penjualan - Pembelian Rugi = Pembelian - Penjualan Contoh soal:

> Seorang sales mendapat komisi 20% jika dia mampu menjual barang senilai Rp2.000.000,00.

Tentukan komisi yang diterima!

Jawab: Komisi = 20% x Rp2000.000,00 = ^-^».2000.000.00 100 ^

= Rp. 400.00

> Sebuah barang dibeli seharga Rp500.000,00, kemudian barang tersebut dijual dengan harga

Rp750.000,00. Hitunglah persentase keuntungan dari harga pembelian dan dari harga penjualan!

Jawab:

Laba = Rp750.000,00 - Rp500.000,00 = Rp250.000,00 Persentase laba dari harga beli Rp 2 5 0'0 0 0'0

°x 1 0 0 % = 5 0 %:

Persentase laba dari harga jual: Rp 2 5 0 ■ 0 0 0 ■ 0 0X 1 o o %0 = 3 3,3 °%

& J Rp 700.000.00

Damas Fahmi Assena

BAB II

Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Posted on Agustus 15, 2014 by ahmadthohir1089

A. Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah jarak pada garis bilangan real antara bilangan yang dimaksud dengan dengan nol.

untuk bilangan real didefinisikan

Contoh:

,

,

B. Persamaan Nilai Mutlak

Sifat-sifat nilai mutlak

1.

2. 3. , (ketaksamaan segitiga)

4.

5.

6. 7. 8. atau

Contoh Soal:

1. Tentukan nilai yang memenuhi Jawab:

………………… 1)

……………. 2)

Dari persamaan (1) diperoleh , dan dari persamaan (2) diperoleh .

Jadi, nilai yang memenuhi adalah atau

Damas Fahmi Assena

2. Tunjukkan bahwa Bukti:

3. Tentukan nilai yang memenuhi Jawab:

————————————————— ,masing-masing ruas dikuadratkan

4. Gambarkanlah grafik untuk bilangan real!

Jawab :

untuk

= tak tentu (indeterminate)

dan seterusnya

Perhatikanlah ilustrasi berikut ini

Damas Fahmi Assena

[sumber]

Soal Latihan

1. Tentukan nilai dari

2. Tentukan nilai dari

3. Tentukanlah nilai yang memenuhi persamaan

4. Carilah harga yang memenuhi

5. Carilah harga yang memenuhi

6. Tunjukkan bahwa

7. Tunjukkan bahwa

8. Gambarlah grafik

9. Gambarkanlah grafik , untuk

C. Pertidaksaan Nilai Mutlak

Untuk bilangan real dan , maka

Jika , maka

Contoh Soal:

1. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari

Jawab:

Damas Fahmi Assena

2. Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan harga mutlak dari

Jawab :

, atau

Sehingga penyelesaiannya adalah

3. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan harga mutlak dari

Jawab:

, atau

Jadi, penyelesaiannya adalah

Contoh soal :

Menyelesaikan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Menyelesaikan Persamaan Mutlak Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif. Misalnya: Parhatikan garis bilangan berikut.

Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6 Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6

Damas Fahmi Assena

jarak angka -3 dari titik 0 adalah 3 Jarak angka 3 dari titik0 adalah 3. Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar. Misalnya seperti berikut.

Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.

Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.

Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak. Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

Damas Fahmi Assena

Jawaban: Bentuk-Bentuk persamaan nilai mutlak di atas dapat diselesaikan sebagai berikut. Pada prinsipnya, langkah langkah penyelesaian nilai mutlak diusahakan bentuk mutlak berada di ruas kiri. 1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian. (*) x + 5 = 3 , maka x = 3 - 5 = -2 (**) x + 5 = -3, maka x = -3 - 5 = -8 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8} 2. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian. (*) 2x + 3 = 5 , maka 2x = 5 - 3 2x = 2 <==> x = 1 (**) 2x + 3 = -5 , maka 2x = -5 -3 2x = -8 <==> x = -4 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1} 3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1 Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1 Mari kita selesaikan. (*) untuk x >=-1 Persamaan mutlak dapat ditulis: (x + 1) + 2x = 7 3x = 7 - 1 3x = 6 x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1) (**) untuk x < -1 Persamaan mutlak dapat ditulis: -(x + 1) + 2x = 7 -x - 1 + 2x = 7 x = 7 + 1

Damas Fahmi Assena

x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1) Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}. 4. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian. Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3 Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3 Mari kita selesaikan. (*) untuk x >=-4/3 Persamaan mutlak dapat ditulis: (3x + 4) = x - 8 3x - x = -8 - 4 2x =-12 x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3) (**) untuk x < -4/3 Persamaan mutlak dapat ditulis: -(3x + 4) = x - 8 -3x - 4 = x -8 -3x - x = -8 + 4 -4x = -4 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3) Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel . Pertidaksamaan mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.

Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.

Damas Fahmi Assena

Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. Contoh Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.

Jawaban 1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut. -9 < x+7 < 9 -9 - 7 < x < 9 - 7 -16 < x < 2 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ -16 < x < 2} 2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian. (*) 2x - 1 >= 7 2x >= 7 + 1 2x >= 8 x >= 4 (**) 2x - 1 <= -7 2x <= -7 + 1 2x <= -6 x <= -3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x/ x <= -3 atau x >= 4}

Damas Fahmi Assena

3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas. perhatikan proses berikut ini.

(x + 3)2 <= (2x – 3)2 (x + 3)2 - (2x – 3)2 <= 0 (x + 3 + 2x – 3) - (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b)) x (6 - x) <=0 Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6 Mari selidiki menggunakan garis bilangan Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}. Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}. 4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi. Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya. Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.

Damas Fahmi Assena

Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.

Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian. 1. Untuk batasan x >= -1/3 ......(1) (3x + 1) - (2x + 4) < 10 3x + 1 - 2x- 4 < 10 x- 3 < 10 x < 13 .......(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13

2. Untuk batasan -2<= x < -1/3 ......(1) -(3x + 1) - (2x + 4) < 10 -3x - 1 - 2x - 4 < 10 -5x - 5 < 10 -5x < 15 -x < 3 x > 3 .......(2)

Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.

3. Untuk batasan x < -2 ......(1) -(3x + 1) + (2x + 4) < 10 -3x - 1 + 2x + 4 < 10 -x + 3 < 10 -x < 7 x > -7 .......(2)

Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}. Perhatikan contoh Pertidaksamaan mutlak lainnya berikut.

Damas Fahmi Assena

Damas Fahmi Assena

BAB III

Pertidaksamaan Linear, Polinom, Pecahan, Mutlak Dan Akar

Pertidaksamaan menggunakan tanda-tanda >, <, ≥, ≤

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

Jika a < b maka: a + c < b + c a – c < b – c

2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka: a.c < b.c a/b < b/c

3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka: a.c > b.c a/c > b/c

4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a2 < b2

Pertidaksamaan Linear

→ Variabelnya berpangkat 1 Penyelesaian: Suku-suku yang mengandung variabel dikumpulkan di ruas kiri, dan konstanta diletakkan di ruas kanan

Damas Fahmi Assena

Contoh:

Pertidaksamaan Kuadrat

→ Variabelnya berpangkat 2 Penyelesaian:

1. Ruas kanan dibuat menjadi nol 2. Faktorkan 3. Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol 4. Gambar garis bilangannya

Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam • Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih °

5. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.

Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda

6. Tentukan himpunan penyelesaian

→ jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+) → jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–) Contoh: (2x – 1)2 ≥ (5x – 3).(x – 1) – 7 4x2 – 4x + 1 ≥ 5x2 – 5x – 3x + 3 – 7 4x2 – 4x + 1 – 5x2 + 5x + 3x – 3 + 7 ≥ 0 –x2 + 4x + 5 ≥ 0 –(x2 – 4x – 5) ≥ 0 –(x – 5).(x + 1) ≥ 0 Harga nol: x – 5 = 0 atau x + 1 = 0 x = 5 atau x = –1 Garis bilangan:

menggunakan titik hitam karena tanda pertidaksamaan ≥ jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif karena 0 berada di antara –1 dan 5, maka daerah tersebut bernilai positif, di kiri dan kanannya bernilai

negatif

Damas Fahmi Assena

karena tanda pertidaksamaan ≥ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 5}

Pertidaksamaan Tingkat Tinggi

→ Variabel berpangkat lebih dari 2 Penyelesaian sama dengan pertidaksamaan kuadrat Contoh: (2x + 1)2.(x2 – 5x + 6) < 0 (2x + 1)2.(x – 2).(x – 3) < 0 Harga nol: 2x + 1 = 0 atau x – 2 = 0 atau x – 3 = 0 x = –1/2 atau x = 2 atau x = 3 Garis bilangan:

menggunakan titik putih karena tanda pertidaksamaan < jika dimasukkan x = 0 hasilnya positif karena 0 berada di antara –1/2 dan 2, maka daerah tersebut bernilai positif karena –1/2 adalah batas rangkap (–1/2 muncul sebanyak 2 kali sebagai harga nol, jadi –1/2

merupakan batas rangkap), maka di sebelah kiri –1/2 juga bernilai positif selain daerah yang dibatasi oleh batas rangkap, tanda positif dan negatif berselang-seling karena tanda pertidaksamaan ³ 0, maka yang diarsir adalah yang positif

Jadi penyelesaiannya: {x | 2 < x < 3}

Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut Penyelesaian:

1. Ruas kanan dijadikan nol 2. Samakan penyebut di ruas kiri 3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa) 4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol

untuk pembilang dan penyebut) 5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4

Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)

6. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval

Damas Fahmi Assena

Contoh 1:

Harga nol pembilang: –5x + 20 = 0 –5x = –20 → x = 4 Harga nol penyebut: x – 3 = 0 → x = 3 Garis bilangan: → x = 3 digambar menggunakan titik putih karena merupakan harga nol untuk penyebut

Jadi penyelesaiannya: {x | 3 < x ≤ 4} Contoh 2:

Harga nol pembilang: x – 2 = 0 atau x + 1 = 0 x = 2 atau x = –1 Harga nol penyebut: tidak ada, karena penyebut tidak dapat difaktorkan dan jika dihitung nilai diskriminannya: D = b2 – 4.a.c = 12 – 4.1.1 = 1 – 4 = –3 Nilai D-nya negatif, sehingga persamaan tersebut tidak mempunyai akar real (Catatan: jika nilai D-nya tidak negatif, gunakan rumus abc untuk mendapat harga nol-nya) Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≤ –1 atau x ≥ 2}

Pertidaksamaan Irasional/Pertidaksamaan Bentuk Akar

→ variabelnya berada dalam tanda akar Penyelesaian:

1. Kuadratkan kedua ruas 2. Jadikan ruas kanan sama dengan nol

Damas Fahmi Assena

3. Selesaikan seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear/kuadrat 4. Syarat tambahan: yang berada di dalam setiap tanda akar harus ≥ 0

Contoh 1:

Kuadratkan kedua ruas: x2 – 5x – 6 < x2 – 3x + 2 x2 – 5x – 6 – x2 + 3x – 2 < 0 –2x – 8 < 0 Semua dikali –1: 2x + 8 > 0 2x > –8 x > –4 Syarat 1: x2 – 5x – 6 ≥ 0 (x – 6).(x + 1) ≥ 0 Harga nol: x – 6 = 0 atau x + 1 = 0 x = 6 atau x = –1 Syarat 2: x2 – 3x + 2 ≥ 0 (x – 2).(x – 1) ≥ 0 Harga nol: x – 2 = 0 atau x – 1 = 0 x = 2 atau x = 1 Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –4 < x ≤ –1 atau x ≥ 6} Contoh 2:

Kuadratkan kedua ruas: x2 – 6x + 8 < x2 – 4x + 4 x2 – 6x + 8 – x2 + 4x – 4 < 0 –2x + 4 < 0 –2x < –4 Semua dikalikan –1 2x > 4 x > 2 Syarat: x2 – 6x + 8 ≥ 0 (x – 4).(x – 2) ≥ 0

Damas Fahmi Assena

Harga nol: x – 4 = 0 atau x – 2 = 0 x = 4 atau x = 2 Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | x ≥ 4}

Pertidaksamaan Nilai Mutlak

→ variabelnya berada di dalam tanda mutlak | ….. | (tanda mutlak selalu menghasilkan hasil yang positif, contoh: |3| = 3; |–3| = 3) Pengertian nilai mutlak:

Penyelesaian: Jika |x| < a berarti: –a < x < a, dimana a ≥ 0 Jika |x| > a berarti: x < –a atau x > a, dimana a ≥ 0 Contoh 1: |2x – 3| ≤ 5 berarti: –5 ≤ 2x – 3 ≤ 5 –5 + 3 ≤ 2x ≤ 5 + 3 –2 ≤ 2x ≤ 8 Semua dibagi 2: –1 ≤ x ≤ 4 Contoh 2: |3x + 7| > 2 berarti: 3x + 7 < –2 atau 3x + 7 > 2 3x < –2 – 7 atau 3x > 2 – 7 x < –3 atau x > –5/3 Contoh 3: |2x – 5| < |x + 4| Kedua ruas dikuadratkan: (2x – 5)2 < (x + 4)2 (2x – 5)2 – (x + 4)2 < 0 (2x – 5 + x + 4).(2x – 5 – x – 4) < 0 (Ingat! a2 – b2 = (a + b).(a – b)) (3x – 1).(x – 9) < 0 Harga nol: 3x – 1 = 0 atau x – 9 = 0 x = 1/3 atau x = 9 Garis bilangan:

Damas Fahmi Assena

Jadi penyelesaiannya: {x | 1/3 < x < 4} Contoh 4: |4x – 3| ≥ x + 1 Kedua ruas dikuadratkan: (4x – 3)2 ≥ (x + 1)2 (4x – 3)2 – (x + 1)2 ≥ 0 (4x – 3 + x + 1).(4x – 3 – x – 1) ≥ 0 (5x – 2).(3x – 4) ≥ 0 Harga nol: 5x – 2 = 0 atau 3x – 4 = 0 x = 2/5 atau x = 4/3 Syarat: x + 1 ≥ 0 x ≥ –1 Garis bilangan:

Jadi penyelesaiannya: {x | –1 ≤ x ≤ 2/5 atau x ≥ 4/3} Contoh 5: |x – 2|2 – |x – 2| < 2 Misalkan |x – 2| = y y2 – y < 2 y2 – y – 2 < 0 (y – 2).(y + 1) < 0 Harga nol: y – 2 = 0 atau y + 1 = 0 y = 2 atau y = –1 Garis bilangan:

Artinya: –1 < y < 2 –1 < |x – 2| < 2 Karena nilai mutlak pasti bernilai positif, maka batas kiri tidak berlaku |x – 2| < 2 Sehingga: –2 < x – 2 < 2 –2 + 2 < x < 2 + 2 0 < x < 4

Damas Fahmi Assena

BAB IV

Limit Fungsi (materi SMA)

Limit Fungsi

Jenis-jenis Llimit Fungsi

Limit fungsi dalam matematika dapat dikenali dari jenis fungsinya, berdasarkan jenis fungsinya limit

fungsi dibedakan menjadi:

Limitfungsi aljabar, jika fungsi berupa fungsi aljabar

Limitfungsi trigonometri, jika fungsi berupa fungsi trigonometri

Limit fungsi eksponensial dan logaritma, jika fungsi berupa eksponen atau berupa logaritma

Limit fungsi bilangan logaritma natural, dll.

Menghitung limit fungsi secara secara intuitif

Menentukan nilai limit fungsi dapat dilakukan secara intuitif melalui pendekatan limit kiri dan limit

kanan. Definisi limit fungsi secara intuitif adalah (Wirodikromo, 1995) :

Proses perhitungan limit fungsi disekitar titik dapat dipandang dari dua arah, yaitu

Contoh :

Hitunglah limit fungsi berikut ini,

[Penyelesaian]

Gambar grafik fungsi diatas merupakan grafik fungsi pecah dengan asimtot x = 1 dan y = 0

Damas Fahmi Assena

Dari grafik diatas perhitungan limit fungsi dapat dipandang dari dua arah yaitu dari kiri dan dari

kanan :

Dari kiri :

Dari kanan :

Damas Fahmi Assena

Contoh menghitung limit fungsi secara intuitif

Diketahui fungsi f(x) = x + 1, tentukan nilai f(x) untuk x mendekati 2 dengan pendekatan limit kiri dan

limit kanan.

[Penyelesaian]

x 1,8 1,9 1,99 1,999 -->2<-- 2,001 2,01 2,1 2,2

f(x)=x+1 2,8 2,9 2,99 2,999 ...?... 3,001 3,01 3,1 3,2

Dari tabel datas nampak bahwa jika jika x mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) = x

+ 1 mendekati 3.

Jadi,

Operasi Limit Fungsi dan Teorema Limit

Teorema Limit

Beberapa teorema limit fungsi yang sering digunakan dalam perhitungan limit fungsi (Wirodikromo,

1995) yaitu:

1.Limit suatu fungsi konstanta sama dengan konstanta tersebut

Jika f(x) = c, maka ( c adalah konstanta dan a ϵ bilangan real)

2.Limit fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan variabel atau peubahnya

Jika f(x) = x, maka ( untuk setiap a ϵ bilangan real)

3.Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi tersebut.

4.Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi tersebut.

5. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi

tersebut

6.Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi tersebut

7.Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limit fungsi tersebut

Damas Fahmi Assena

8.Limit suatu fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari lmit fungsi tersebut

9. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi tersebut

dan n genap

Contoh Soal limit fungsi penerapan dan pembahasan

Dibawah ini beberapa contoh soal limit fungsi dengan penerapan teorema limit yang telah dijelaskan

diatas

Hitunglah nilia setiap limit fungsi dibawah ini dengan menerapkan teorema limit!

1.Penerapan teorema limit No 1,2 dan 4

[Penyelesaian]

2.Penerapan teorema limit No 1,dan 6 ,

[Penyelesaian]

3.Penerapan terema limit No 7 dan 9,

[Penyelesaian]

4.Penerapan teorema limit No 6 , 8

Jika diketahui . Hitunglah nilai dari

[Penyelesaian]

Limit fungsi yang Mengarah ke Konsep Turunan

Limit fungsi dapat dipakai untuk menentukan turunan fungsi, Jadi laju perubahan nilai fungsi f(x)

terhadap x pada x = a dapat di hitung dengan dengan mengambil h mendekati nol dengan syarat limit

f(x) ada. Rumus turunan fungsi f(x) dengan pendekatan limit adalah:

Berikut ini contoh soal mencari turunan fungsi aljabar dengan pendekatan limit.

Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan pendekatan limit fungsi!

[Penyelesaian]

Limit Fungsi Dalil L'hospital

Damas Fahmi Assena

Dalam menghitung nilai limit fungsi kita juga bisa menggunakan Dalil L'hospital, rumus Dalil L'hospital

adalah:

Contoh soal menghitung limit fungsi dengan menggunakan Dalil

L'hospital.Hitunglah

[penyelesaian]

Limit fungsi Nilai Mutlak

Dibawah ini beberapa contoh limit fungsi nilai mutlak, yaitu:

[Penyelesaian]

lim x→ 1 f(x)= lim x→ 1(x^2-2x+1) =1^2-2.1+1 =0, jadi lim x→ 1 f(x) ada

2. Perhatikan kembali soal No 2 berikut ini , hitunglah lim x→ 0 |x|-1/x

[Penyelesaian]

(i) Jika x > 0, |x| = x, maka

lim x→ 0 |x|-1/x = lim x→ 0 x-1/x= lim x→ 0(1-1/x)= 1-∞ = -∞

(ii) Jika x < 0, |x| = x, maka

lim x→ 0 |x|-1/x = lim x→ 0 -x-1/x= lim x→ 0(-1-1/x)= 1-∞ =-1+∞= ∞

∵ lim x→ 0^+ |x|-1/x≠ lim x→ 0^- |x|-1/x

∴ lim x→ 0 |x|-1/x tidak ada

Limit Fungsi dan Kontinuitas dan Diskontinuitas

Dalam istilah matematika grafik fungsi f(x) disebut kontinu di titik x = a , jika grafik f(x) di x = a

berupa kurva mulus (tidak terputus) atau lim x→ a f(x) ada. Perhatikan gambar dibawah ini:

Damas Fahmi Assena

Grafik fungsi f(x) disebut diskontinu di titik x = a, jika grafik f(x) di x = a terputus atau lim x→ a f(x)

tidak ada. Perhatikan gambar berikut ini:( limit-fungsi-diskontinu)

Syarat kontinuitas sebuah Fungsi

Fungsi f(x) kontinu di x = a jika memenuhi ketiga syarat dibawah ini

Contoh soal dan pembahasan fungsi kontinu dan diskontinu

1. Tunjukan bahwa fungsi dibawah ini kontinu di x = 1

[Penyelesaian]

Damas Fahmi Assena

Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi

2. Apakah fungsi berikut ini kontinu di x = 2

[Penyelesaian]

Selidiki terlebih dahulu syarat-syarat kontinuitas fungsi

Oleh karena f(2) tidak ada maka f(x) diskontinu di titik x =2 tidak perlu menyelidiki syarat (2) dan (3)

karena satu syarat tidak dipenuhi oleh f(x).

CONTOH SOAL LIMIT FUNGSI

Di bawah ini diberikan beberapa contoh soal limit fungsi

1. Limit Fungsi Aljabar Untuk

Hitung nilai limit fungsi berikut:

Jawab:

Damas Fahmi Assena

2. Limit Fungsi Aljabar Untuk

Hitung nilai limit fungsi berikut:

Jawab:

(Ingat bahwa, pada limit fungsi aljabar untuk , jika pangkat tertinggi pembilang lebih kecil dari

pangkat tertinggi penyebut, maka hasilnya selalu sama dengan nol (0))

3. Limit Fungsi Trigonometri

Hitung nilai limit fungsi berikut:

Jawab:

Mungkin, jika anda hanya membaca contoh soal di atas, semua terasa sulit dan membingungkan. Tapi tidak

perlu khawatir, kalau kita mau menekuni Matematika, Insya Allah, Matematika akan terasa indah dan

menyenangkan.

Diposkan oleh Nunik Endrowati di 00.14

Damas Fahmi Assena

[email protected]

FUNGSI TRANSENDEN

7.1 Fungsi Logaritma Asli

7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya

7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli

7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum

7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

7.6 Persamaan Differensial Linear Orde Saturday

7.7 Fungsi-fungsi balikan Trigonometri dan Turunannya

7.8 Fungsi-fungsi hiperbola dan Turunannya

BAB V

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

7.1 Fungsi Logaritma Asli

Turunan dan integral sudah dipelajari pada bab-bab sebelumnya. Tentu kita sudah cukup

menguasai tentang dua hal tersebut. Dari kedua hal tersebut, jika kita kaitkan dengan cara

mengurutkannya sesuai besarnya pangkat maka diperoleh suatu keanehan yang belum kita temui

pada bab-bab yang telah kita pelajari. Perhatikan hal berikut

Dengan adanya kesenjangan tersebut, maka didefinisikan suatu fungsi logaritma asli. Untuk

memenuhi tempat kosong yang ada di atas.

Definisi Fungsi Logaritma Asli

Fungsi Logaritma Asli, dinyatakan oleh , didefinisikan sebagai

Daerah asalnya adalah himpunan bilangan real positif.

Dengan demikian kita sudah mempunyai suatu fungsi yang turunannya adalah

, yaitu turunan

suatu fungsi logaritma asli

Kita kombinasikan dengan aturan rantai. Jika dan jika terdiferensialkan, maka

Contoh : Tentukan .

Penyelesaian : Andaikan

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Karena

maka

Sehingga didapatkan suatu yang selama ini menjadi permasalahan juga. Dalam aturan pangkat :

, dengan sekarang, untuk kita sudah punya solusinya, yaitu

Contoh : Tentukan

Penyelesaian :

Sifat-sifat Logaritma Asli

Teorema Logaritma Asli

Jika dan bilangan-bilangan positif dan sebarang bilangan rasional, maka

i.

ii.

iii.

iv.

Grafik Logaritma Asli

Daerah asal adalah himpunan bilangan real positif, sehingga grafik terletak di

setengah bidang kanan.

Karena , maka . Ini menunjukkan bahwa fungsi selalu naik. Dan untuk

ini menunjukkan bahwa fungsi tersebut cekung ke bawah dimana-mana. Gambarnya seperti

berikut.

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya

Teorema

Jika monoton murni pada daerah asalnya, maka memiliki balikan.

Fungsi monoton

Misalkan terdefinisi pada suatu himpunan . Untuk semua , fungsi

dikatakan:

monoton naik, jika maka

monoton turun, jika untuk maka

monoton tak naik, jika untuk maka

monoton tak turun, jika untuk maka

monoton datar, jika untuk maka

Beberapa sumber mengatakan monoton naik yang dimaksud di atas adalah monoton naik sejati,

dan mengatakan monoton tak turun yang dimaksud diatas dengan istilah monoton naik.

Yang dimaksud monoton murni atau monoton tegas adalah fungsi monoton naik atau fungsi

monoton turun. Monoton naik jika maka Monoton turun jika

maka Kita ambil fungsi monoton naik untuk menunjukkan bahwa fungsi

monoton murni memiliki invers. Perhatikan pengertian fungsi naik. untuk maka berlaku

untuk setiap pada daerah asalnya. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan

pernyataan jika maka berlaku untuk setiap pada daerah asalnya.

Dengan kata lain pernyataan tersebut adalah pengertian dari fungsi satu-satu.

Bukti teorema

Kita ambil

Jika monoton murni maka satu-satu dan onto

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Kita akan membuktikan salah satu dari fungsi monoton murni yaitu fungsi monoton naik.

Bukti untuk satu-satu.

Diketahui monoton naik ⟷

Dengan kata lain :

Terbukti satu-satu.

Bukti untuk onto

Bukti ini merupakan bukti yang rumit. Mungkin karena hal ini sehingga di buku kalkulus tidak

dituliskan. Kami mencoba untuk membuktikannya.

Onto artinya , yang ekuivalen dengan dan

Untuk sudah sangat jelas.

Sekarang akan dibuktikan untuk

Andaikan

Maka

Untuk

Maka

Menurut teorema apit maka haruslah

Kontradiksi bahwa

Jadi, adalah Onto.

Contoh : Perlihatkan bahwa memiliki balikan. Untuk .

Penyelesaian : Dengan menggunakan teorema turunan pertama untuk kemonotonan fungsi. Kita

dapatkan turunan pertamanya yaitu

Dimana nilai selalu lebih besar nol untuk setiap .

untuk semua

Jadi naik pada seluruh garis real. Sehingga memiliki balikan di sana.

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Cara Menentukan Fungsi Balikan

Hal yang berkaitan adalah pencarian rumus untuk untuk melakukan itu, kita tentukan

terlebih dahulu , kemudian kita menukarkan dan dalam rumus yang dihasilkan. Jadi

diusulkan untuk melakukan tiga langkah berikut untuk pencarian

1. Langkah 1 : Selesaikan persamaaan untuk dalam bentuk .

2. Langkah 2 : Gunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam .

3. Langkah 3 : Gantilah dengan .

Perhatikan bahwa kita telah menukar peranan dan . Sedikit pemikiran meyakinkan kita bahwa

menukar peranan dan pada grafik adalah mencerminkan grafik terhadap garis . Jadi,

grafik adalah gambar cermin grafik terhadap garis

Contoh : Carilah invers dari

Penyelesaian : Langkah 1 : menyelesaikan persamaaan untuk dalam bentuk .

Langkah 2 : menggunakan untuk menamai ungkapan yang dihasilkan dalam

Langkah 3 : mengganti dengan .

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Turunan Fungsi Balikan

Pada bagian ini kita akan mencoba menbahas lebih dalam tentang hubungan turunan suatu fungsi

dengan turunan inversnya, jika fungsi yang bersangkutan mempunyai invers. Pada bagian ini

pembahasan hanya dibatasi pada fungsi kontinu yang monoton murni.

Teorema

Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang . Jika

di suatu tertentu dalam . Maka terdiferensiasikan di titik yang berpadanan

dalam daerah hasil dan

Menurut definisi invers. Yaitu, jika maka . Dengan melakukan substitusi

kita dapatkan .

Kita perhatikan untuk Kita lakukan diferensiasi. Diperoleh :

Yang ekuivalen dengan

Bukti teorema

Interval , dan , fungsi monoton murni dan kontinu pada .

dan invers fungsi yang monoton murni dan kontinu.

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Fungsi terdiferensial di titik dan . Fungsi terdiferensial di titik

lebih lanjut,

Ambil sembarang dengan , selanjutnya didefinisikan fungsi

dengan

Diketahui monoton murni, selanjutnya mudah dimengerti bahwa untuk setiap

dengan , maka . dengan kata lain , well define. Demikian

halnya jika dan maka berdasarkan definisi fungsi diperoleh

Mudah dipahami bahwa untuk setiap dengan , maka . Selanjutnya

dibuktikan bahwa

Diberikan bilangan dan jika terdiferensial di , maka terdapat bilangan

sehingga untuk setiap dengan sifat – berlaku

Diketahui kontinu di titik , artinya untuk setiap bilangan terdapat bilangan

sehingga untuk setiap dengan – , maka berlaku

Karena fungsi invers dari maka bijektif, dengan kata lain injektif dan surjektif.

injektif dan , maka diperoleh; jika –

maka untuk setiap

Oleh karena itu untuk setiap dengan – berakibat

Untuk sebarang Jadi

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Perhatikan bahwa karena maka

, sehingga diperoleh

Dapat disimpulkan, untuk setiap dengan berlaku

Terbukti

Contoh : Carilah jika diketahui

Penyelesaian : Kita akan mencari nilai yang berpadanan dengan

Kemudian kita cari

Kita selesaikan dengan menggunakan teorema

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

7.3. Fungsi Eksponen Asli

Definisi

Balikan disebut fungsi eksponen asli dan dinyatakan oleh Jadi

Dari definisi dapat diambil bahwa

i.

ii. untuk semua

Sifat-sifat Fungsi Eksponen

Definisi

Huruf menyatakan bilangan real positif unik sedemikian rupa sehingga .

Bilangan sama halnya seperti bilangan yaitu sama-sama bilangan yang tak rasional. Ekspansi

desimalnya diketahui sampai beribu-ribu angka di belakang koma.

Teorema

Andaikan dan sebarang bilangan real, maka dan

Turunan

Andaikan , maka dapat dituliskan . Perhatikan untuk

Kedua ruas diturunkan terhadap Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

Karena , maka

Apabila . Dan terdiferensiasi, maka menurut aturan rantai

Contoh : Tentukan

Penyelesaian :

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Integral

Rumus turunan secara otomatis akan menghasilkan integral

Contoh : Tentukan

Penyelesaian :

7.4. Fungsi-fungsi Eksponen dan logaritma Umum

Definisi

Untuk dan sebarang bilangan real maka berlaku

Coba hitung dengan menggunakan . Hasilnya pasti sama yaitu 9. Kalkulator mungkin

akan menghasilkan yang berbeda. Misalnya 8,9999999999. Karena kalkulator menggunakan

nilai hanya 8 digit atau beberapa digit di tempat desimal.

Sifat-sifat

Teorema

Jika dan dan adalah bilangan-bilangan real, maka

i.

ii.

iii.

iv.

v.

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Aturan-aturan Fungsi Eksponensial

Teorema

Contoh : tentukan

Penyelesaian : dengan menggunakan aturan rantai diperoleh

Fungsi

Definisi

Andaikan adalah bilangan positif bukan 1. Maka

Basis yang paling umum digunakan adalah basis 10. Logaritma yang dihasilkan dinamakan

logaritma biasa. Di dalam kalkulus dan dalam semua matematika lanjut, basis yang berarti

adalah .

Jika sehingga , maka

Dengan menggunakan sifat sebelumnya diperoleh turunannya, yaitu

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

Pertambahan populasi yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek

sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan

panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi atau

Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial

populasi bertambah. populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah

menunjukkan bahwa sekitar

Menyelesaikan Persamaan Differensial

dengan syarat awal apabila . Dengan memisahkan peubah dan

mengintegrasikan, kita peroleh

Syarat pada saat akan menghasilkan Sehingga,

Ketika jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika

disebut peluruhan eksponensial.

Peluruhan Radioaktif

Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya, zat-zat

radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk

Teorema

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Bukti

Pertama ingat kembali bahwa jika maka

dan khususnya,

Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat , kita peroleh

Jadi

. Karena adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita

dapat melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut

Contoh : Rudi menyimpan 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar . Andaikan

bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Dono pada akhir tahun ketiga?

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan

menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang

secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil.

Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan

adalah nilai pada saat uang sebesar rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga

mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari

terhadap waktu adalah , yakni

Persamaan diferensial ini adalah

7.6. Persamaan Differensial Linear Orde-Satu

Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial

Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dan seluruh

ungkapan yang melibatkan pada satu sisi dan beserta seluruh ungkapan yang melibatkan

pada sisi lainnya.

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Dimana dan hanyalah fungsi-fungsi saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini

dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu.

Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu

Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan

factor integrasi

Didapatkan

Sisi kiri adalah turunan hasil kali , maka persamaannya mengambil bentuk

Integrasi kedua sisi menghasilkan

Contoh : Carilah penyelesaian umum dari

Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah

Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk

atau

Jadi penyelesaian umumnya adalah

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

7.7. Fungsi-fungsi balikan Trigonometri

Balikan sinus dan Kosinus

Definisi

Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing-

masing pada selang

dan Sehingga,

dan

dan

Balikan Tangen dan Balikan Sekan

Definisi

Untuk memperoleh balikan dari sinus dan kosinus, kita membatasi daerah asal mereka masing-

masing pada selang

dan

Sehingga,

dan

dan

Teorema

i.

ii.

iii.

iv.

Turunan Fungsi Trigonometri

Damas Fahmi Assena

Asimtot.wordpress.com

[email protected]

Turunan Fungsi Balikan Trigonometri

Teorema

i.

ii.

iii.

iv.

Damas Fahmi Assena

BAB VI

Turunan Fungsi Aljabar Rumus-rumus turunan fungsi aljabar SMA dan SMK

Turunan fungsi aljabar merupakan perluasan materi limit fungsi dan turunan fungsi yang pertama

kali diajarkan di kelas 2 SMA atau kelas 3 SMK. Selainturunan fungsi aljabar juga dikenal turunan

fungsi trigonometri penting sekali menguasai konsep turunan mengingat kegunaan materi ini sangat

penting dalam bidang yang lain seperti dalam bidang fisika dan kalkulus diferensial. Berikut ini

rumus-rumus dasar turunan fungsi aljabar.

1.Turunan fungsi konstan

f(x) = k ⇒ f’(x) = 0

Contohsoal turunan fungsi aljabar fungsi konstan:

a. Turunan dari f(x) = 5 adalah f’(x) = 0

b. Turunan dari f(x) = 6 adalah f’(x) = 0

2.Turunan fungsi identitas

f(x) = x ⇒ f’(x) = 1

3.Turunan fungsi aljabar berpangkat n

Contoh :

Rumus fungsi aljabar berpangkat n diatas juga berlaku untuk bilangan berpangkat negatif maupun

pangkat pecahan, seperti contoh dibawah ini

c .

[Penyelesaian]

d.

[penyelesaian]

Damas Fahmi Assena

4.Rumus turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi

Contoh soal Turunan Jumlah dan selisih fungsi-fungsi,

a.

[Penyelesaian]

b.

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan rumus kuadrat suku dua pada materi matematika smp kelas 7 aljabar maka,

c.

[Penyelesaian]

5.Turunan fungsi aljabar hasil kali

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil kali,

Carilah turunan dari ,

[Penyelesaian]

Dengan menggunakan rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas maka diperoleh,

Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali diatas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang

terdiri dari tiga fungsi, yaitu:

Contoh mencari turunan fungsi aljabar yang terdiri dari tiga fungsi:

Tentukan turunan dari,

[Penyelesaian]

Damas Fahmi Assena

6. Turunan fungsi aljabar hasil bagi

Dengan v(x) ≠ 0

Contoh soal turunan fungsi aljabar hasil bagi:

Tentukan turunan dari fungsi berikut ini,

[Penyelesaian]

Turunan fungsi aljabar aturan rantai

Dengan u (x) fungsi dari x dan n ϵ bilangan real

Contoh soal menentukan turunan fungsi aljabar dengan aturan rantai,

Carilah turunan dari fungsi dibawah ini,

[Penyelesaian]

Turunan fungsi aljabar irasional atau bentuk akar

Terkadang dalam menyelesaikan turunan fungsi aljabar, kita menemukan soal dalam

bentuk persamaan irasional , ada rumus khusus untuk menentukan turunan fungsi aljabar seperti itu

yaitu:

Contoh:

Carilah turunan dari fungsi berikut ini ,

[Penyelesaian]

Damas Fahmi Assena

Rumus turunan fungsi aljabar fungsi khusus

Rumus khusus :

Contoh:

Tentukan turunan fungsi dibawah ini,

[Penyelesaian]

Turunan Fungsi Trigonometri

Turunan Fungsi Trigonometri diperoleh dari definisi turunan yang masih berhubungan dengan limit. Ada dua hal yang harus dipahami dalam turunan fungsi trigonometri. Pertama, perlu dihapalkan bagaimana turunan dari masing-masing fungsi trigonometri, yaitu turunan dari sin, cos, tan, cot, cosec, dan sec. Kedua, perlu dipahami turunan dari fungsi trigonometri yang peubahnya merupakan sebuah fungsi dan turunan dari fungsi trigonometri yang dipangkatkan. Berikut ini dibahas bagaimana cara mendapatkan turunan fungsi trigonometri dengan menggunakan definisi turunan dan bagaimana turunan dari bentuk-bentuk fungsi trigonometri. Turunan fungsi aljabar telah kalian kuasai, bagaimana dengan turunan fungsi trigonometri? mari kita pahami rumusnya serta berlatih di soal dan pembahasan turunan fungsi trigonometri bersama-sama, dijamin sukses dalam ujian kalian…. Untuk menentukan turunan trigonometri sama dengan konsep awal mencari turunan, namun disini langsung kita ambil hasilnya….

dimana maka Turunan pada fungsi trigonometri akan mempunyai rumus :

maka

maka

maka

maka contoh:

maka

maka

Rumus rumus yang dipakai di turunan fungsi aljabar, berlaku pula untuk mengerjakan turunan fungsi trigonometri maupun gabungan keduanya lets try this….

Damas Fahmi Assena

tentukan f ‘(x) ! jawab

tentukan f ‘(x)! jawab:

Turunan ke-n diberikan fungsi f(x), maka turunan pertama dari f(x) adalah f ‘(x) ; turunan kedua dari f(x) adalah f ”(x) ; turunan ketiga dari f(x) adalah f ”’(x) dst.

tentukan turunan kedua dari f(x)! jawab. *kita cari turunan pertama dulu ya..

*perhatikan untuk mempunyai dua suku kita misalkan bahwa suku-suku f ‘(x) adalah a dan b dimana f ‘(x) = a – b untuk mencari turunan kedua akan berlaku f ”(x) = a’ – b’ mari kita cari turunan masing-masing suku… *ambil suku pertama dari f ‘(x) kita misalkan

*ambil suku kedua dari f ‘(x) kita misalkan

*nah, kembali ke selesai,deh…..coba yang lain yuk!

tentukan turunan ke-empat dari f(x) ! jawab:

mempunyai dua suku kita misalkan a dan b sehingga f ‘(x) = a ‘ + b ‘ cari turunan masing-masing suku dulu ya…

maka

mempunyai dua suku kita misalkan lagi c dan d sehingga f ”(x) = c ‘ – d ‘

maka

Damas Fahmi Assena

mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka sehingga

mempunyai dua suku, suku pertama langsung dapat kita turunkan dan turunan suku kedua dapat dilihat telah kita cari di atas maka sehingga waaaaah…..selesai !!!! begitu seterusnya hingga turunan ke-n …..coba sendiri dengan soal yang lain yah…!! ada yang bertanya soal seperti ini:

3. Jika diketahui buktikan bahwa turunan ke-n yaitu ! jawab:

*ingatlah kembali nilai sin x di tiap kuadran

… … dst

… … dst

… … dst

sehingga terbukti

Damas Fahmi Assena

Latihan Soal 1. Tentukan turunan untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)

2. Diketahui Jika f '(x) menyatakan turunan pertama f(x), tentukan f(0) + 2f ' (0) 3. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x

4. Jika maka tentukan g ‘(2)

5. Tentukan turunan pertama dari

6. Jika maka tentukan f ‘ (1)

7. Jika maka tentukan f ‘(x)

8. Diketahui maka tentukan

9. Tentukan turunan pertama fungsi

10. Tentukan turunan pertama fungsi 11. Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka tentukan f ‘ (x)

12. Jika , maka tentukan nilai dari f ‘ (0)

13. Tentukan turunan pertama dari 14. Diketahui f(x) = sin3 (3 – 2x) , tentukan turunan pertama fungsi f tersebut 15. Tentukan turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x)

Turunan adalah pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input, atau secara umum turunan menunjukkan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya. Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi.

Damas Fahmi Assena

adalah simbol untuk turunan pertama.

adalah simbol untuk turunan kedua.

adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain dan adalah dan

adversitemens

TURUNAN PERTAMA

Misalnya y merupakan fungsi dari x atau dapat ditulis juga y=f(x). Turunan dari y terhadap x dinotasikan sebagai berikut:

Dengan menngunakan definisi turunan diatas dapat diturunkan beberapa rumus-rumus turunan, yaitu :

1. Jika diketahui dimana C dan n konstanta real, maka

Perhatikan contoh berikut :

2. Jika diketahui y=C dan

Perhatikan contoh berikut :

Damas Fahmi Assena

3. Untuk y=f(x)+g(x) maka

Perhatikan contoh berikut :

4. Untuk y=f(x).g(x) maka

atau dapat juga kita misalkan f(x)=u dan g(x)=v sehingga rumus turunan u.v=u’v+uv’

contoh :

Damas Fahmi Assena

6. Untuk turunan lain tersaji dalam penjelasan dibawah ini.

TURUNAN KEDUA

Turunan kedua dari y=f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut

Turunan kedua merupakan turunan yang diperoleh dengan menurunkan kembali turunan pertama. Perhatikan contoh berikut :

Penggunakan untuk turunan kedua ini antara lain untuk :

a. Menentukan gradien garis singgung kurva

Jika diketahui garis g menyinggung kurva y=f(x) pada titik (a,f(a)) sehingga gradien untuk g adalah

Damas Fahmi Assena

Sebagai contoh tentukanlah gradien garis singgung dari kurva y=x²+3x dititik (1,-4) !

Penyelesaian :

Sehingga gradien garis singgung kurva y=x²+3x dititik (1,-4) adalah m=y(1)=2.1+3=5

b. Menentukan apakah interval tersebut naik atau turun

kurva y =f(x) naik jika f ‘ (x) >0 dan kurva y=f(x) turun jika f ‘ (x) <0. Lalu bagaimana cara menentukan f ‘ (x) > 0 atau f ‘ (x) <0 ? kita gunakan garis bilangan dari f ‘ (x). Perhatikan contoh berikut :

Tentukanlah interval naik dan interval turun dari fungsi y=x³+3x²-24x !

Jawab :

y=f(x)=x³+3x²-24x →f ‘ (x)=3x²+6x-24=3(x²+2x-8)=3(x+4)(x-2)

Berdasarkan garis bilangan yang diperoleh diatas :

f ‘ (x) >0 untuk x<-4 dan x>2 yang merupakan interval untuk fungsi naik.

F ‘ (x) <0 untuk -4 < x < 2 yang merupakan interval untuk fungsi turun.

c. Menentukan nilai maksimum dan nilai minimum

Nilai maksimum dan nilai minimum fungsi ini sering disebut juga dengan nilai ekstrim atau nilai stasioner fungsi, yang dapat diperoleh pada f ‘ (x)=0 untuk fungsi y=f(x). Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi y=x³-3x²-24x-7 !

Jawab :

y’=3x²-6x-24

nilai ekstrim diperoleh dari y’=o maka

3x²-6x-24 = 0

Damas Fahmi Assena

(x²-2x-8)=0

(x-4)(x+2)=0

x1=4 ; x2=-2

Berdasarkan garis bilangan diatas :

Fungsi maksimum pada x=-2 sehingga nilai balik maksimumnya yaitu :

f(-2)=(-2)³-3(-2)²-24(-2)-7

f(-2)=21

Fungsi minimum pada x=4 sehingga nilai balik minimumnya yaitu :

f(4)=(4)³-3(4)²-24(4)-7

f(4)=-87

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Berikut ini rumus untuk turunan fungsi trigonometri :

Perhatikan contoh berikut :

Jawab :

Damas Fahmi Assena

Apakah dari penjelasan mengenai turunan diatas telah membuat anda benar-benar mengerti tentang turunan dan telah dapat mengerjakan ragam variasi soal turunan yang akan anda temui. Semoga saja demikian. Sebagai masukkan banyaklah belajar soal-soal agar anda lebih mantap dalam mengerti setiap materi matematika. Semangatlah dalam belajar agar apa yang dicita-citakan dapat tercapai, baca juga artikel Peluang Kejadian Majemuk dan Kejadian Bersyarat dari sub bab topik Peluang.

Rumus Turunan (diferensial) Matematika

rumus hitung 55 Comments

Rumus Turunan (diferensial) Matematika dan Contoh Soal – Dua buah pepatah, kalau tak kenal maka tak

sayang dan kalau tahu caranya tidak ada yang tidak bisa mungkin cocok buat jadi pemacu sobat belajar

matematika. Jika kita tidak kenal dan tidak tahu cara mengerjakan suatu soal matematika bisa dipastikan soal

tersebut tidak bisa kita jawab. Nah kali ini kita akan coba kenalan dengan rumus-rumus di limit matematika

SMA. Ada yang bilang limit matematika itu susah. Benar sih susah jika sobat tidak tahu carannya. Berikut

ini rangkuman rumus limit beserta contoh soal sederhananya. Check this out?

Apa sih Turunan?

Definisi turunan aga susah kalau di berikan dalam bentuk kata (verbal). Sobat bisa misalkan ada y yang

merupakan fungssi dari x, ditulis y = f(x). Yang dimaksud dengan turun y terhadap x (dinotasikan dy/dx)

atau sering ditulis y’ (baca : “y aksen”) didefinisikan sebagai

Damas Fahmi Assena

masih bingung? kita simak contoh berikut

sobat punya persamaan y = 4x maka nilai dari turunan tersebut menurut definisi di atas adalah

Rumus – Rumus Turunan Fungsi Matematika

Buat memudahkan sobat belajar berikut rumushitung.com rangkumkan berbagai rumus turuna. Check this

out..

Rumus 1 : Jika y = cxn dengan c dan n konstanta real , maka dy/dx = cn xn-1

contoh

y = 2x4 maka dy/dx = 4.2x4-1 = 8x3

kadang ada soal yang pakai pangkat pecahan atau akar

y = 2√x = 2x1/2 turunannya adalah 1/2.2 x (1/2-1) = x -1/2 = 1/√x

Rumus 2 : Jika y = c dengan c adalah konstanta maka dy/dx = 0

contoh jika y = 6 maka turunannya adalah sama dengan nol (0)

Rumus 3 : Jika y = f(x) + g(x) maka turunannya sama dengan turunan dari masing-masing fungsi =

f'(x) + g'(x)

contoh

y = x3 + 2x2 maka y’ = 3x2 + 4x

y = 2x5 + 6 maka y’ = 10x4 + 0 = 10x4

Rumus 4 : Turunan Perkalian Fungsi Jika y f(x).g(x) maka y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)

contoh

y = x2 (x2+2) maka

Damas Fahmi Assena

f(x) = x2

f'(x) = 2x

g(x) = x2+2

g'(x) = 2x

kita masukkan ke rumus y’ = f'(x) . g(x) + g'(x) . f(x)

y’ = 2x (x2+2) + 2x . x2

y’ = 4x3 + 4x (jawaban ini juga bisa sobat peroleh dengan mengalikan terlebih dahulu lalu menggunakan

rumus 3)

Rumus 5 : Turunan Pembagian Fungsi

contoh soalnya

Rumus 6 : jika sobat punya y = [f(x)]n maka turunannya adalah n [f(x)]n-1 . f'(x)

contoh

Rumus 7 : Turunan Logaritma Natural misal y = ln f(x) maka turunannya

contoh soal

Damas Fahmi Assena

Rumus 8 : ef(x) maka dy/dx = ef(x).f'(x)

contoh :

y = e2x+1

f(x) = 2x+1

f'(x) = 2

maka f’ = e2x+1 . 2 = 2e2x+1

Rumus 9 : Turunan Trigonometri Sin

Jika sobat punya y = sin f(x) maka turunannya adalah y’ = cos f(x) . f'(x)

contoh :

y = sin(x2 + 1) maka

y’ = cos (x2 +1) . 2x = 2x. cos (x2 +1)

Rumus 10 : Turunan Trigonometri Cos

Jika sobat punya y = cos f(x) maka turunanya adalah y’ = -sin f(x). f'(x)

contoh :

y = cos (2x+1) maka turunannya

y’ = -sin (2x+1) . 2 = -2 sin (2x+1)

Rumus Turunan Kedua

rumus turunan kedua sama dengan turunan dari turunan pertama (sobat turunkan sebanyak dua kali).

Turunan kedua sobat peroleh dengan menurunkan turunan pertama. Contoh :

Turunan kedua dari x3 + 4x2

turunan pertama = 3x2 + 8x

turunan kedua = 6x + 8

Damas Fahmi Assena

BAB VII

Jumat, 13 Maret 2009

PENGGUNAAN TURUNAN

PENGGUNAAN TURUNAN

Sir Isaac Newton, (4 Januari 1643 - 31 Maret 1727; KJ: 25 Desember 1642 – 20 Maret 1727) adalah seorang

fisikawan, matematikawan, ahli astronomi dan juga ahli kimia yang berasal dari Inggris. Beliau merupakan

pengikut aliran heliosentris dan ilmuwan yang sangat berpengaruh sepanjang sejarah, bahkan dikatakan

sebagai bapak ilmu fisika modern.

Dengan berbagai hasil karya ilmiah yang dicapainya, Newton menulis sebuah buku Philosophiae Naturalis

Principia Mathematica, dimana pada buku tersebut dideskripsikan mengenai teori gravitasi secara umum,

berdasarkan hukum gerak yang ditemukannya, dimana benda akan tertarik ke bawah karena gaya gravitasi.

Bekerja sama dengan Gottfried Leibniz, Newton mengembangkan teori kalkulus. Newton merupakan orang

pertama yang menjelaskan tentang teori gerak dan berperan penting dalam merumuskan gerakan melingkar

dari hukum Kepler, dimana Newton memperluas hukum tersebut dengan beranggapan bahwa suatu orbit

gerakan melingkar tidak harus selalu berbentuk lingkaran sempurna (seperti elipse, hiperbola dan parabola).

Newton menemukan spektrum warna ketika melakukan percobaan dengan melewati sinar putih pada sebuah

prisma, dia juga percaya bahwa sinar merupakan kumpulan dari partikel-partikel. Newton juga

mengembangkan hukum tentang pendinginan yang di dapatkan dari teori binomial, dan menemukan sebuah

prinsip momentum dan angular momentum.

Pendapat Kepala Akademi Ilmiah Berlin tentang Newton: "Newton ialah seorang jenius besar yang pernah

ada dan paling beruntung, yang tak bisa kita temukan lebih dari suatu sistem dunia untuk didirikan.

Damas Fahmi Assena

1. Maksimim dan Minimum

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. Kita katakana bahwa :

i. f ( c ) adalah nilai maksimum f pada S jika f ( c ) ≥ f ( x ) untuk semua x di S

ii. f ( c ) adalah nilai minimum f pada S jika f ( c ) ≤ f ( x ) untuk semua x di S

iii. f ( c ) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Teorema A

( Teorema Eksistenti Maks dan Min ). Jika f kontinu pada selang tetutup [ a,b ], maka f mencapai

nilai maksimum dan minimum.

f harus kontinu dan himpunan S harus berupa selang tetutup.

Biasanya fungsi yang ingin kita maksimimkan atau minimumkan akan mempunyai suatu selang I sebagai

daerah asalnya. Tetapi selang ini tidak boleh berupa sebarang dari sembilan tipe yang dibahas dalam pasal

1.3. beberapa dari selang ini memuat titik-titk ujung, beberapa tidak. Misalnya, I = [a.b] memuat titik ujung

dua-duanya, 9a,b) hanya memuat titik ujung kiri : (a,b) tidak memuat titik ujung satupun. Nilai-nilai ekstrim

dari sebuah fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup sering kali terjadi pada titik-titik ujung.

Jika c sebuah titik pada mana f I ( c ) = 0, kita sebut c titk stasioner. Nilai-nilai ekstrim sering kali terjadi

pada titik-titik stasioner.

Akhirnya jika c adalah titik dalam dari I di mana f I tidak ada, kita sebut c titik singular. Walaupun hal ini

sangat langka.

Teorema B

( Teorema Titik Kritis ). Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f ( c ) adalah

titik-titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu :

i. titik ujung dari I

ii. tititk stasioner dari f( f I( c ) = 0 )

iii. tititk singular dari f( f I( c ) tidak ada )

Damas Fahmi Assena

2. Kemonotonan dan Kecekungan

Pada bagian ini penggunaan turunan akan di titik beratkan untuk mengetahui

sifat-sifat yang dimiliki suatu kurva antara lain kemonotonan, kecekungan, nilai

ekstrim , titik belok dan asymtot. Hal ini ditekankan agar kita mudah dalam

menganalisa dan menggambarkan grafik fungsi. Pada bagian akhir dari sub bab

penggunaan turunan ini, akan dijelaskan tentang dalil De lhospital untuk menghitung

limit fungsi baik limit di suatu titik, limit di tak hingga maupun limit tak hingga.

Definisi : Fungsi Monoton

Turunan pertama dan Kemonotonan

Definisi

Andaikan f terdefinisi pada selang I ( terbuka, tertutup, atau tak satupun ). Kita katakana bahwa :

i. f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I

x1 <>2 = f (x1 ) <>2 )

ii. f adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I

x1 <>2 = f (x1 ) > f (x2 )

iii. f monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.

Teorema A

Damas Fahmi Assena

(teorema Kemonotonan). Andaikan f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik

dalam dari I.

i. Jika f I ( x ) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I

ii. Jika f I ( x ) <>untuk semua titik dalam x dari I, maka f turun pada I

Turunan kedua dan Kecekungan

Definis

Andaikan f terdiferensial pada selang terbuka I =(a,b). Jika f I naik pada I, f dan grafikya cekung ke atas

di sana, jika f I turun pada I, f cekung ke bawah.

Teorema B

( Teorema Kecekungan ). Andaikan f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b.).

i. Jika f II ( x ) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke atas pada (a,b).

ii. Jika f II ( x ) <>untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung ke bawah pada (a,b).

3. Maksimum dan Minimum Lokal

Definisi

Andaikan S, daerah asal f, memuat titik c. kita katakana bahwa :

i. f( c ) nilai maksimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c )

adalah nilai maksimum f pada (a,b) ∩ S

ii. f( c ) nilai minimum local f jika terdapat selang (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f( c )

adalah nilai minimum f pada (a,b) ∩ S

iii. f( c ) nilai ekstrim local f jika ia berupa nilai maksimum local atau minimum local.

Teorema A

( Turunan pertama untuk ekstrim local ). Andaikan f kontinu pada selang terbuka (a,b) yang memuat

titik kritis c

i. jika f’(x) >0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) <0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah

nilai maksimum lokal f

ii. jika f’(x) <0 untuk semua x dalam (a,b), dan f’(x) >0 untuk semua x dalam (c,b), maka f ( c ) adalah

nilai minimun lokal f

iii. jika f’(x) >0 bertanda sama pada kedua pihak c, maka f ( c ) bukan nilai ekstrim lokal f

Teorema B

Damas Fahmi Assena

( Turunan kedua untuk ekstrim lokal ). Andaikan f ‘ dan f” ada pada setiap titik pada selang terbuka

(a,b) yang memuat c dan andaikan f’ ( c ) = 0.

i. jika f”(c) <>adalah nilai maksimum lokal f

ii. jika f”(c) <>adalah nilai maksimum lokal f

4. Lebih Banyak Masalah Maks-Min

kita menyarankan sebuah metode langkah demi langkah untuk dipakai dalam masalah Maks-Min

terapan/ jangan mengikutinya secara membabi buta: kadang-kadang akal sehat menyarankkan alternative

lain atau penghilangan beberapa langkah.

Langkah 1 Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable-variabel yangsesuai untuk

besaran-besaran kunci.

Langkah 2 Tuliskan rumus untuk beberapa Q yang harus dimaksimumkan (diminimmkan) dalam bentuk

variable-variabel tersebut.

Langkah 3 Gunakan kondisi-kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variabel-

variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variabal, misalnya x.

Langkah 4 Tentukan himpunan nilai-nilai x yang mngkin, biasanya sebuah selang.

Langkah 5 Tentukan titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, titik singular). Paling sering, titik-titik

kritis kunci berupa titik-titik stasioner dimana dQ/dx = 0.

Langkah 6 Gunakan teori bab ini untuk menentukan titik kritis mana yang memberikan maksimum

(minimum).

5. Penerapan Ekonomik

Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untuk ekonomi, yang

mempunyai kosakata yang dikembangkan sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan

menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulusbiasa yang dikenakan

baju baru.

Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x) yakni selisih antara pendapatan dan

biaya

P(x) = R(x) – C(x) = xP (x) – C(x)

Umumnya,sebuah perusahaan memaksimumkan total labanya.

6. Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga

Definisi

Damas Fahmi Assena

( Limit bila x = ∞ ). Andaikan f terdefinisi pada [c, ∞) untuk bilangan c.kita katakan bahma lim f(x)=L

jika untuk masing-masing > 0, terdapat bilangan M yang

x- ∞

berpadanan sedemikian sehingga

x > M = [ f(x) – L ] <

7. Penggambaran Grafik Canggih

Polinom derajat 1 atau 2 jelas utuk digambar grafiknya; yang berderajat 50 hampir mustahil. Jika

derajatnya cukup ukurannya, misalnya 3 sampai 6, kita dapat memakai alat-alat dari kalkulus dengan

manfaat besar.

Fungsi rasional merupakan hasil bagi dua fungsi polinom, lebih rumit untuk digrafikkan dibanding

polinom. Khususnya kita dapat mengharapkan perilaku yang dramatis di mana pun penyebut nol.

Dalam menggambarkan grafik fungsi, tidak terdapat pengganti untuk akal sehat. Tetapi, dalam banyak

hal prosedur berikut akan sangat membantu.

Contoh

Gambarkanlah sketsa grafik f(x) = 9x – x3

Penyelesaian

• Koordinat titik potong dengan sumbu – sumbu koordinat

a) Titik potong dengan sumbu X, maka y = 0

9x – x3 = 0

x(9 – x2) = 0

x(3 – x)(3 – x) = 0

x1 = 0 x2 = -3 x3 = 3

jadi titik potong sumbu X adalah (-3, 0), (0, 0), (3, 0)

b) Titik potong sumbu Y, maka x = 0

y = 9(0) – (0)3 = 0

Jadi titik potong sumbu Y, adalah (0, 0)

• Mencari fungsi naik dan fungsi turun

f(x) naik jika f’(x) > 0

9 – 3x2 > 0

3x2 <> 0

3x2 <> 31/2

• Mencari titik stasioner f’(x) = 0

9 – 3x2 = 0

Damas Fahmi Assena

x1 = -31/2 dan x2 = 31/2

utuk x = -31/2

f(-31/2)= 9(-31/2) – (-31/2)3 = 6.31/2

untuk x =31/2

f(31/2) = 9(31/2) – (31/2)3 = - 6.31/2

jadi titik maksimumnya(31/2,631/2) dan titik minimumnya (-31/2, - 631/2 )

Langkah 1 buat analisis pendahuluan sebagai berikut.

1. Periksa daerah asal dan daerah hasil fungsi unttk melihat apakah ada daerah di bidang yang

dikecualikan.

2. Uji kesimetrian terhadap sumbu y dan titik asal. (Apakah fungsi genap atau ganjil ?)

3. Cari perpotongan dengan sumbu-sumbu koordinat.

4. Gunakkan turunan pertama untuk mencari titik-titik kritis dan untuk untuk mengetahui tempat-tempat

grafik naik dan turun.

5. Uji titik-titik kritis untuk maksimum dan minimum local.

6. Gunakan turunan kedua untuk mengetahui tempat-tempat grafik cekung keatas dan cekung kebawah

dan untuk melokasikan titik-titik balik.

7. Cari asimtot-asimtot.

Langkah 2 Gambarkan beberapa titik (termasuk semua titik kritis dan titik balik).

Langkah 3 Sketsakan grafik.

8. Teorema Nilai Rata-rata

Teorema A

(Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan). Jika f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdiferensial

pada titik-titik dalam dari (a,b) , maka terdapat paling sedikit satu bilang c dalam (a,b) di mana

f(b) – f(a) : b – a = f’(c)

atau

Damas Fahmi Assena

f(b) – f(a) = f’(c) ( b - a )

Soal dan Penyelesaian :

Contoh 1 :

Carulah nilai maksimum dan minimum dari f ( x ) = -5x3 + 6 x 2 pada [-½,3]

Penyelesaian :

Jadi kita ambil ½,0,1,2,3 sebagai titik kritis. sekarang

f(-½) = -5x3 + 6 x 2 = -⅞

f ( 0 ) = -5x3 + 6 x 2 =0

f ( 1 ) = -5x3 + 6 x 2 = -5 – 6 = 1

f ( 2 ) = -5x3 + 6 x 2 = -40 + 24 = -16

f ( 3 ) = -5x3 + 6 x 2 = -135 + 54 = -81

Jadi nilai Minimum = -81 dan nilai Maksimum = 1

Contoh 1 :

Cari titik-titik kritis dari f ( x ) = 1/3 x 3 - 3/2 x 2 + 2x + 5 pada [ 2,3]

Penyelesaian :

Turunkan fungsi

f ( x ) = 1/3 x3 - 3/2 x 2 + 2x + 5

f’ ( x ) = x 2 - 3x + 2

= (x-2) (x-1)

x = 2, x = 1

titik kritis 1,2

Damas Fahmi Assena

Contoh 2 :

Jika f ( x ) = 2x3 + 7/2x2 - 6x + 3, cari di mana f naik dan di mana turun.

Penyelesaian :

Kita cari turunan mulai dari f’

f ( x ) = 2x3 + 7/2x 2 - 6x + 3

f’ ( x ) = 6x2 + 7x - 6

syarat f(x) naik adalah f’(x) >0, maka

f’ ( x ) = 6x2 - 7x - 6 > 0

= (6x - 3) (x + 2) > 0

= 3(2x - 1) (x + 2) >0

x = 1/2 atau x = -2

syarat f(x) turun adalah f’(x) <0,>maka

f’ ( x ) = 6x2 + 7x - 6 <>

= 3( 2x - 1) (x + 2) <0

-2 <>

Jadi fungsi f ( x ) = 2x3 + 7/2 x 2 - 6x + 3 naik dalam interval x = -2 atau x = 1/2

Dan turun pada interval -2 <>

Contoh 2 :

f ( x ) = 1/3 x3 - 2 x 2 + 3x + 6, tentukan pada interval mana grafik fungsi f(x) cekung ke atas dan

pada interval mana grafik fungsi f(x) cekung k bawah.

Penyelesaian :

f ( x ) = 1/3 x3 - 2 x 2 + 3x + 6

f’ ( x ) = x2 - 4 x + 3

f” (x) = 2x - 4

dengan menggunakan turunan kedua dengan kecekungan fungsi, dapat ditentukan

Damas Fahmi Assena

f’’( x ) > 0 berarti 2x - 4 > 02x > 4x > 2

f’’( x ) <>berarti 2x - 4 <>2x <>x <>

Jadi grafik fungsi f ( x ) = 1/3 x3 - 2 x 2 + 3x + 6 cekung ke atas dalam interval x > 2 dan cekung ke

bawah dalam interval x <>

Contoh 3 :

Cari nilai ekstrim lokal dari f(x) = x2-8x + 6 pada (-∞,∞ ).

Penyelesaian :

f’(x) = x2 - 12x + 6 = 2x - 12

= 2 (x- 6)

f’(x) = 0 dan 6

karena f’(x) = 2 (x-6)<0 untuk x <6, f turun pada (-∞,6]

karena 2 (x-6)>0 untuk x>3, f naik pada [6, ∞)

karena itu, menurut uji turunan pertama , f(6) = 36-72+4 = -32 , adalah nilai minimum lokal.

Contoh 4 :

Cari ( jika mungkin ) nilai minimum dari f(x) = x3 - 6 x2+ 9x - 9

pada (-∞,∞ ).

Penyelesaian :

f(x) = x3 - 6 x2+ 9x – 9

f’(x) = 3x2 - 12 x+ 9

= x2 - 4 x+ 3

= (x-3) (x-1)

x = 3 U x = 1

titik kritis 1,3

f(1) = x3 - 6x२ + 9x – 6 = -2

Damas Fahmi Assena

f(3) = x3 - 6 x२ + 9x – 6 = २7 - 54+27-6 = ७५

jadi f(1)= -2 adalah nilai miniumum lokal

Contoh 5 :

Sebuah bola dilemparkakan dalam arah vertikal ke atas. Tinggi bola h (dalam meter) setelah t detik di

tentukan oleh h(t) = 60t – 3t2 (meter). Tentukan nilai h maksimum.

Penyelesaian :

h(t) = 60t – 3t2

h’(t) = dh/dt = 60 – 3t

h”(t) = d 2h / dt2 = -3

syarat perlu ekstrim dh/dt = 0

60– 3t = 0

t = 20

Berdasarkan turunan kedua, karena h”(t) = d 2h / dt2 = -3 <>h mempunyai nilai maksimum. Nilai

maksimum h adalah 2000 meter dicapai ketika t = 20.

Contoh 5:

Sebuah Proyek bangunan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan biaya proyek per hari sama

dengan (3x + 1500/x - 90) juta rupiah. Tentukan biaya total minimum.

Penyelesaian :

P(x) = x (3x + 1500/x - 90 )

P(x) = 3x2 - 90x + 1500

P’(x) = 6x - 90

P”(x)= 6

Syarat perlu ekstrim yaitu P’(x) = 0

P’(x) = 6x - 90 = 0

x = 15

Damas Fahmi Assena

Berdasarkan uji turunan kedua P”(x) = 6 > 0 maka P(x) mencapai nilai minimum yaitu :

P(15) = 3 (15)2 -90(15) + 1500 = 675-1350+1500 = 825

Jadi biaya total minimum adalah 825 juta rupiah yang harus diselesaikan dalam tempo x = 15

Contoh 6 :

Buktikan bahwa lim 2x / 4x + x2 = 0

x- ∞

Penyelesaian :

= lim 2x / 4x + x2 = 0

x- ∞

= lim 2x/x2 : 4x/x2 + x2 /x2= 0

x- ∞

= lim 2/x : 4/x + 1 = 0

x- ∞

= 0 / 0+1 = 0 Terbukti

Contoh 7 :

Sketsakan Grafiknya ?

Penyelesaian :

f(x) = 3x² – 4x

f'(x) = 3x² – 4x

f''(x) = 6x

kita temukan titi stasioner -2 dan 2 karena f'(x)>0 pada (-∞,-2) U (2,∞) sedangkan f'(x)<0>f(-2) = 0 dan

f(2) = 0 sehingga tidak ada nilai maksimal maupun minimum.

Damas Fahmi Assena

Matematika / Integral

Integral Tak Tentu dan Integral Tentu

Pengertian Integral (Tak Tentu)

Integral suatu fungsi dapat didefinisikan sebagai berikut.

Invers (operasi kebalikan) dari turunan fungsi

Limit dari jumlah (luas daerah)

Integral sebagai invers dari turunan umumnya disebut integral tak tentu. Integral tak tentu dari

sebuah fungsi dinotasikan sebagai berikut.

∫ f(x) dx

(baca: integral f(x) terhadap x)

Fungsi f(x) pada integral di atas disebut integran.

Secara umum, definisi integral taktentu adalah sebagai berikut.

Jika F'(x)=f(x) atau jika

maka ∫ f(x) dx = F(x) + C

Integral Taktentu Fungsi Aljabar

© alewoh.com | Privacy Policy | FAQ

BAB VIII

Damas Fahmi Assena

Sifat Linear Integral Taktentu

Persamaan Diferensial Sederhana

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang diketahui turunan fungsinya tapi belum

diketahui persamaan aslinya. Sebagaimana persamaan lainnya, persamaan diferensial memerlukan

metode khusus untuk menyelesaikannya. Persamaan diferensial yang dibahas di sini adalah

persamaan diferensial orde pertama dengan peubah terpisah.

dapat ditulis menjadi dy=f(x)dx.

Dengan mengintegralkan ruas kiri dan kanan, diperoleh bentuk berikut.

∫ dy=∫ f(x) dx

⇔ y=∫ f(x) dx

Integral Tentu

Rumus luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x), x=a, x=b, dan sumbu-x adalah rumus yang

mendasari integral tentu. Memang salah satu penggunaan integral tentu salah satunya adalah

untuk mencari luas daerah di bawah kurva. Pada awal pembahasan integral tentu di halaman ini

dijelaskan definisi integral tentu. Definisi tersebut perlu dipahami karena menjadi dasar bagi

integral tentu. Untuk selanjutnya, penyelesaian integral tentu bisa menggunakan teorema dasar

kalkulus. Kita tidak perlu repot-repot menyelesaikan suatu integral tentu menggunakan definisi

integral tentu.

Integral Tak tentu Fungsi Trigonometri

Damas Fahmi Assena

Definisi Integral Tentu

Jika ada maka fungsi f dapat diintegralkan pada selang a≤x≤b dan integral tentu f

dari a ke b adalah sebagai berikut.

f(x) disebut integran, a disebut batas bawah, b disebut batas atas.

Teorema Dasar Kalkulus

Jika y=f(x) adalah fungsi yang kontinu pada selang a≤x≤b, dan F(x) adalah sembarang anti turunan

dari f(x) pada interval tersebut, maka berlaku bentuk berikut.

Rumus di atas menunjukkan bahwa untuk menyelesaikan integral tentu adalah dengan

mengintegralkan f(x) terlebih dahulu, kemudian substitusi batas atas integral dan hasilnya kurangi

dengan hasil substitusi batas bawah integral.

Sifat-Sifat Integral Tentu

Berikut ini adalah sifat-sifat dari integral tentu untuk membantu penyelesaian beberapa soal

integral tentu. Sifat-sifat ini dapat dibuktikan dengan menggunakan definisi dari integral tentu.

Pembuktiannya saya tinggalkan sebagai latihan.

Damas Fahmi Assena

Contoh soal dan pembahasan

Tentukan fungsi y=F(x) apabila diketahui F'(x)=x2-4 dan F(3)=5.

Jawaban:

Bentuk lain dari kalimat "F(a)=b" adalah "F(x) melalui titik (a,b)"

Damas Fahmi Assena

Damas Fahmi Assena

Memahami Macam-macam integral

Tuesday, August 13th 2013. | Integral advertisements

Sebelumnya kita telah membahas Integral tentang rumus dasar integral sekarang kita akan membahas macam-macam integral. Dan apakah anda telah tahu apa saja macam-macam dari integral, baiklah pasti sebagian dari anda telah tahu atau mungkin bahkan telah paham. Namun ada juga pasti yang belum mengerti, macam-macam integral itu adalah integral tertentu, integral tak tentu, integral fungsi trigonometri, integral parsial. Untuk lebih jelasnya marilah kita simak bersama penjelasannya dibawah ini.

1. Integral Tak Tentu

Integral merupakan invers atau kebalikan dari turunan sehingga untuk menemukan rumus integral kita dapat berawal dari turunan. Turuna dari suatu fungsi y= f(x) adalah y’=f'(x) atau dy/dx, dan notasi integral dari suatu fungsi y=f(x) adalah ∫y dx=∫f(x) dx yang dibaca integral y terhadap x.

Turunan dari suatu fungsi konstan yang biasa dilambangkan dengan c adalah 0 atau dapat kita katakan juga integral 0 adalah fungsi konstan.

adversitemens

Rumus-rumus integral tak tentu :

Damas Fahmi Assena

Damas Fahmi Assena

contoh soal :

Damas Fahmi Assena

2. Integral Fungsi Trigonometri

Kita semua pasti telah tahu turunan dari fungsi trigonometri yang secara sederhana dapat digambarkan sebagai berikut.

sinx→cosx→-sinx→-cosx→sinx

tanx→sec²x

cotx→-cosec²x

Dikarenakan integral adalah invers dari turunan maka

Damas Fahmi Assena

3. Integral Parsial

Prinsip dasar dari integral parsial yaitu salah satu dimisalkan u dan yang lainnya dianggap sebagai dv. Sehingga integral parsial mempunyai bentuk :

∫u dv = uv-∫v du

4. Integral Tentu

Misalkan f(x) didefinisikan dalam selang a≤x≤b dan jika selang ini dibagi menjadi n bagian yang sama panjang yaitu

Sehingga integral tentu dari fx pada selang x=a dan x=b yaitu

Damas Fahmi Assena

limit ini pasti ada apabila f(x) kontinu sepotong demi sepotong dan jika

Jadi berdasarkan dalil pokok dari kalkulus integral, integral tentu diatas dapat dihitung dengan rumus :

Rumus-rumus Integral Tentu :

k sebagai konstanta sembarang

Damas Fahmi Assena