Home >Documents >Makalah BAB III Siap Cetak

Makalah BAB III Siap Cetak

Date post:23-Oct-2015
Category:
View:36 times
Download:6 times
Share this document with a friend
Transcript:

GEOMETRI

KOORDINAT

Oleh: Ririn Suparti KurnianingsihHenry KurniawanTri Wahyudi

Dosen Pengampu: 1. Dr. Somakim, M.Pd. 2. Dr. Nila Kesumawati, M.Si.

PROGRAM PASCASARJANA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SRIWIJAYA PALEMBANG2013KOORDINAT

1. PENDAHULUANSekitar tahun 1630, Pierre de Fermat dan Rene Descartes menemukan keuntungan dari angka dalam geometri, sebagai koordinat. Descartes adalah yang pertama memperkenalkan hal tersebut secara rinci dalam bukunya Geometrie pada tahun 163. Oleh karena itu dia mendapatkan penghargaan besar untuk ide dan pendekatan koordinat geometri yang dikenal sebagai Cartesian.Descartes berpikir geometri adalah yang seperti digambarkan Euclid, dan angka hanya membantu dalam mempelajari geometri. Tetapi kemudian ilmuwan matematika menemukan objek dengan sifat "non-Euclidean", seperti "garis" memiliki lebih dari satu garis sejajar yang melalui suatu titik tertentu. Untuk memperjelas situasi ini, perlu untuk mendefinisikan titik, garis, panjang, dan sebagainya, dan untuk membuktikan bahwa mereka memenuhi aksioma Euclid.Hal dilakukan dengan bantuan koordinat, disebut arithmetization of geometry. Pada tiga bagian pertama bab ini, kita lakukan langkah-langkah utama, yaitu menggunakan himpunan R bilangan real untuk menentukan bidang Euclidean R2 dan titik, garis, dan lingkaran di dalamnya. Disini juga akan didefinisikan konsep jarak dan sudut, dan akan ditunjukkan bagaimana beberapa aksioma dan teorema penting mengikuti. Ini memberikan gambaran aljabar konstruktibiliti dengan penggaris dan jangka, yang memungkinkan untuk membuktikan bahwa bentuk tertentu tidak konstruktibel. Hal ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan apa artinya "perpindahan" bentuk geometri, yang memberikan kebenaran untuk bukti Euclid SAS, dan memunculkan pertanyaan baru.

2. PEMBAHASAN

2.1 Garis bilangan dan bidang bilanganHimpunan R bilangan riil adalah hasil dari mengisi kesenjangan dalam himpunan Q bilangan rasional dengan bilangan irasional, seperti 2. Inovasi ini memungkinkan untuk mempertimbangkan R sebagai garis, karena tidak memiliki kesenjangan dan angka di dalamnya digunakan menjadi titik pada garis. Salah satu tujuannya menggunakan R untuk membangun model untuk semua bidang geometri Euclid: struktur yang mengandung "garis", "lingkaran", "ruas garis," dan seterusnya, dengan semua sifat-sifat yang dibutuhkan oleh Euclid. Langkah pertama adalah untuk membangun "bidang," dalam hal ini akan membutuhkan sifat garis sejajar dalam geometri eculid. Bayangkan garis yang saling tegak lurus, yang disebut sumbu x dan sumbu y, berpotongan pada titik O yang disebut titik asal (Gambar 1). Sumbu adalah garis bilangan, dengan O adalah angka 0 pada masing-masing sumbu, dan diasumsikan bahwa arah positif pada sumbu x adalah ke kanan dan bahwa arah positif pada sumbu y adalah ke atas.

Gambar 1. Sumbu dan koordinat

Terdapat garis yang sejajar dengan sumbu y dan sumbu x melalui titik P. Kedua garis bertemu sumbu x dan sumbu y pada a dan b disebut x dan y koordinat P. Hal ini penting untuk mengetahui yang mana angka pada sumbu x dan yang mana angka pada sumbu y. Karena jelas sangat berbeda antara x = 3 dan y = 4 dengan x = 4 dan y = 3. Dengan demikian, mengingat adanya garis bilangan R yang titik-titiknya adalah bilangan real, maka terdapat bidang bilangan yang titiknya adalah pasangan bilangan real. Yang biasa ditulis sebagai R R atau R2.

2.2 Garis dan persamaannya Ketika koordinat diperkenalkan, memungkinkan untuk mendefinisikan bentuk dari garis lurus yang dikenal sebagai gradien. Gradien adalah hasil bagi kenaikan dan jarak dan yang lebih penting lagi bahwa nilai gradien tidak tergantung pada dua titik pada garis yang menentukan kenaikan dan jarak tersebut. Perhatikan gambar 2.

Gambar 2. Mengapa gradien sebuah garis konstanPada gambar di atas, terdapat dua ruas garis pada garis yang sama, yaitu: AB, kenaikannya adalah |BC| dan jarak yang dilalui |AC|, dan AB, kenaikannya adalah |BC| dan jarak yang dilalui |AC|. Sudut adalah sama karena AC dan AC sejajar, dan sudut adalah sama karena BC dan BC adalah sejajar. Begitu juga sudut di C dan C keduanya sudut siku-siku. Jadi, segitiga ABC dan ABC sebangun, sehingga sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang proporsional.

Oleh karena itu, gradien = konstan.

Misal pada gambar 3, diberikan garis dengan gradien a yang memotong sumbu y pada titik Q di mana y = c. Jika P = (x, y) adalah titik pada garis ini, maka kenaikan dari Q ke P adalah y c dan jaraknya adalah x.

Dengan mengalikan kedua ruas dengan x, menjadi:ax = y c atau y = ax + cPersamaan ini dipenuhi oleh semua titik di garis, dan oleh karenanya disebut persamaan garis.

Gambar 3. Tipikal titik pada garis

Hampir semua garis memiliki persamaan ini, kecuali garis yang tidak melewati sumbu y. Garis tersebut adalah garis vertikal, yang tidak memiliki kemiringan seperti yang telah kita definisikan, meskipun bisa dikatakan memiliki kemiringan yang tak terbatas. Seperti garis yang memiliki persamaan: x = c, untuk c konstantaDengan demikian, semua garis memiliki persamaan:ax + by + c = 0, untuk a, b dan c konstanta.Disebut persamaan linear dalam variabel x dan y. Secara khusus, jika garis didefinisikan sebagai himpunan titik-titik (x, y) pada bidang bilangan yang memenuhi persamaan linier maka dapat dibuktikan pernyataan berikut yang Euclid ambil sebagai aksioma: Ada garis yang unik melalui dua titik yang berbeda, Untuk setiap garis L dan titik P di luar L, ada garis yang unik melalui P tidak bertemu dengan L.

LatihanDiberikan titik yang berbeda P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2), misalkan P = (x, y) adalah setiap titik pada garis melalui P1 dan P2.2.2.1Dengan persamaan gradien, tunjukkan bahwa x dan y memenuhi persamaan

2.2.2Jelaskan mengapa persamaan yang ditemukan dalam Latihan 3.2.1 adalah persamaan garis lurus.2.2.3Apa yang terjadi jika x2 = x1? Tidak mengherankan garis sejajar adalah garis dengan gradien yang sama.2.2.4Tunjukkan bahwa garis yang berbeda y = ax + c dan y = ax + c memiliki satu titik yang sama kecuali mereka memiliki kemiringan yang sama (a = a). Tunjukkan bahwa hal ini juga terjadi ketika satu baris memiliki gradien yang tak terbatas.2.2.5 Jika L memiliki persamaan y = 3x, apa persamaan garis yang sejajar dengan L dan melalui P = (2, 2)?

Penyelesaian 2.2.1Persamaan garis : y = ax + c ... (1)P1(x1, y1) terletak pada garis : y1 = ax1 + c ... (2)P2(x2, y2) terletak pada garis : y2 = ax2 + c ... (3)

Persamaan (1) dikurang persamaan (2), diperoleh:y = ax + cy1 = ax1 + c (y y1) = a(x x1)Menjadi

Persamaan (3) dikurang persamaan (2), diperoleh:y2 = ax2 + cy1 = ax1 + c (y2 y1) = a(x2 x1)Menjadi

Dari persamaan (4) dan (5), diperoleh:

2.2.2Karena = gradien (a), sehingga persamaannya menjadi:

Adalah bentuk persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan gradien a.2.2.3Jika x1 = x2, maka:

Jadi garis akan memiliki gradien tak terhingga atau berupa garis vertikal.2.2.4 Karena a, a , maka:y = ax + cy = ax + cx = x = Diperoleh:

Subtitusikan y ke salah satu persamaan di atas:

Jadi titik koordinat pada perpotongan kedua garis tersebut adalah Jika a = a, maka pembaginya akan sama dengan 0, dan titik tersebut tidak terdefinisi. Jika salah satu gradien garisnya adalah maka bentuk garis tersebut tentunya x = n untuk n R. Maka titik potongnya adalah (n, an + c)

2.2.5Persamaan garis yang sejajar dengan L dan melalui titik P(2, 2)L y = 3x , jadi L memiliki gradien = 3.Persamaan garis yang melalui satu titik dan gradien tertentu:

2.3 JarakMisalkan P1 = (x1, y1) dan P2 = (x2, y2) adalah dua titik di R2, membentuk koordinat segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan pada gambar 4, dan |P1P2| adalah panjang sisi miringnya.

Gambar 4. Segitiga yang mendefinisikan jarakSisi vertikal segitiga memiliki panjang y2 y1, dan sisi horizontal memiliki panjang x2 x1. Berdasarkan teorema Pythagoras: |P1P2|2 = (x2 x1)2 + (y2 y1)2dan karena itu,

Persamaan lingkaranRumus jarak di atas mengarah langsung ke persamaan lingkaran, sebagai berikut. Misalkan kita memiliki lingkaran dengan jari-jari r dan pusat di titik P = (a, b). Kemudian setiap titik Q = (x, y) pada lingkaran berada pada jarak r dari P, dan karenanya rumus di atas memberikan:

Dengan mengkuadratkan kedua sisi, didapatkan:

Ini disebut persamaan lingkaran karena memenuhi setiap titik (x, y) pada lingkaran.

Garis berjarak sama dari dua titikSebuah lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari titik pusatnya. Apa himpunan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik di R2? Himpunan titik-titik yang berjarak sama dari dua titik adalah garis.Untuk melihat mengapa, diberikan dua titik P1 = (a1, b1) dan P2 = (a2, b2). Kemudian titik P = (x, y) berjarak sama dari P1 dan P2 jika |PP1| = |PP2|, yaitu jika x dan y memenuhi persamaan

Dengan demikian, titik P = (x, y) berjarak sama dari P1 dan P2 bentuk garis.LatihanPersamaan garis dan lingkaran memungkinkan untuk membuktikan banyak teorema geometris oleh aljabar, seperti yang disadari Descartes. Bahkan , mereka memperluas lingkup geometri dengan memungkinkan banyak kurva yang akan dijelaskan oleh persamaan . Tapi aljabar juga berguna dalam membuktikan bahwa jumlah tertentu tidak sama. Salah satu contoh adalah ketaksamaan segitiga.2.3.1 Misalkan sebuah segitiga , untuk memudahkan ambil satu titik sudut di O = (0, 0), P = (x1 ,0) dengan x1 > 0, dan Q = (x2, y2). Tunjukkan bahwa

Ketaksamaan segitiga menyatakan bahwa |OP| + |PQ| > |OQ| (setiap dua sisi segitiga bersama-sama lebih besar dari sisi ketiga). Untuk membuktikan pernyataan ini, itu sudah cukup untuk menunjukkan bahwa(|OP| + |PQ|)2 > |OQ|2 2.3.2Tunjukkan bahwa

2.3.3Tunjukkan bahwa istilah dalam tanda kurung siku dalam Latihan 2.3.2 adalah positif

Click here to load reader

Reader Image
Embed Size (px)
Recommended