Makalah Anova

BAGAIMANA MELAKUKAN UJI RAGAM (ANOVA)YANG MUDAH DIPAHAMI OLEH MAHASISWA S1? *)

Oleh :Anung SDP **)A. LATAR BELAKANG Skripsi adalah salah satu syarat yang harus dibuat oleh mahasiswa S1 untuk memperoleh gelar kesarjanaannya. Skripsi ini biasanya disusun atas dasar data primer atau sekundair yang diperoleh dari suatu sumber, atau diperoleh secara langsung melalui kegiatan survai maupun percobaan. Sasaran utama dari penulisan skripsi bagi mahasiswa S1 ini, adalah melatih mahasiswa agar mampu melakukan penalaran dengan baik dan benar yang didasarkan atas informasi yang terkandung di dalam data yang dianalisisnya. Oleh karena itu, mahasiswa akan lebih mudah melakukan penalaran apabila dapat membaca dengan mudah informasi yang terkandung di dalam data yang diperolehnya.Informasi yang terkandung di dalam suatu data akan mudah dibaca atau diketahui, apabila data tersebut diperoleh dan dianalisis dengan metoda yang tepat, serta disajikan secara informatif sesuai dengan permasalahan yang dikaji. Pada kenyataannya, seringkali dijumpai hasil analisis data yang disajikan kurang informatif, sehingga menyebabkan interprestasi dan pengambilan kesimpulan yang kurang tepat. Contohnya pada penyajian hasil uji ragam yang menggunakan uji kontras orthogonal, penyajian data hasil analisis percobaan faktorial yang ada interaksinya, dlsb. Hal ini terjadi akibat pemilihan metode untuk mendapatkan dan menganalisis data yang kurang dipahami dengan baik dan benar. Pada kesempatan ini, penulis ingin memberikan sumbangan pemikiran tentang uji ragam (ANOVA), kaitannya dengan pemahaman tentang uji ragam percobaan faktorial dengan perlakuan kontrol menggunakan uji kontras orthogonal, serta tentang pemahaman adanya interaksi pada percobaan faktorial. *) Sumbangan pemikiran bagi mahasiswa dan dosen pembimbing skripsi**) Pengajar pada bidang kajian Hortikultura Faperta UNSOED

B. UJI RAGAM (ANOVA)Dalam analisis data statistik, untuk menguji dua rerata sampel berbeda atau tidak digunakan uji t (t test). Misalnya uji t untuk mengetahui apakah ada perbedaan daya hasil dua varietas cabai yang diteliti. Apabila varietas cabai yang diuji lebih dari dua, maka pengujian harus dilakukan secara sepasang demi sepasang. Dalam hal ini kalau tetap menggunakan uji t, maka peluang membuat kesimpulan yang salah akan lebih besar. Misalnya akan menguji delapan varietas cabai, maka akan didapatkan pasangan pengujian yang berbeda sebanyak :

Pada 15 pasang pengujian tersebut, apabila diharapkan 5% pasangan pengujian mendapatkan thit > t0.05 secara kebetulan saja, maka kemungkinan satu pasang pengujian atau lebih akan menghasilkan thit > t0.05 adalah :

Jadi 54% kali atas dasar tingkat significan 5% ( = 5%), akan menarik kesimpulan yang salah dengan mengatakan bahwa dua rerata sampel berbeda nyata. Semakin banyak rerata sampel yang akan diuji dengan uji t, maka akan semakin besar peluang membuat kesimpulan yang salah. Oleh karena itu untuk menguji rerata sampel yang lebih dari dua, digunakan cara lain yaitu dengan analisis variansi (ANOVA, analyses of variance).a. Variansi DataVariansi data sampel yang diberi lambang S2, merupakan rerata dari jumlah kuadrat (mean square), yaitu jumlah kuadrat simpangan (sum of square) dibagi dengan derajad bebasnya (db = n-1).

Contoh : Data : 2 6 4 8 5

b. Pendekatan ke Model LinerUntuk menjelaskan dasar dari ANOVA dapat dilakukan dengan pendekatan ke model liner, yaitu bahwa data hasil suatu pengamatan mengikuti model persamaan :Yij = + Ti + ijYij = data pengamatan perlakuan ke i dan ulangan ke j = rerata data secara umumTi = pengaruh perlakuan ke iij = faktor kekeliruanDari model liner tersebut akan diketahui bahwa simpangan setiap data terhadap rerata umum (), akan sama dengan simpangan akibat perlakuan ditambah simpangan akibat kekeliruan, sehingga :Yij - = Ti + ijJumlah dari masing-masing simpangan tersebut sama dengan nol (0), yaitu :(Yij - ) = Ti + ij 0 = 0 + 0Dalam hal ini agar tidak sama dengan nol perlu dikuadratkan, sehingga menjadi jumlah kuadrat simpangan.(Yij - )2 = Ti2 + ij2, atau(Yij - )2 = (xi.-)2 + (Xij-xi.)2, tidak lain adalahJK total =JK perlakuan + JK galatDengan manipulasi aljabar, formula jumlah kuadrat simpangan masing-masing suku di atas dapat disederhanakan menjadi :

Selanjutnya JK Galat dapat dicari dari persamaan di atas, sehingga: JK Galat = JKtotal - JKperlakuan

Contoh :PerlakuanUlanganRerata

123

ABCD1213192317111728161221274536577815121926

21618

Dari data tersebut dapat diketahui bahwa rerata umum () = 18, sedangkan masing-masing perlakuan mempunyai rerata A=15, B=12, C=19, dan D=26. Atas dasar model liner Yij - = Ti + ij , dan diketahui bahwa Ti adalah akibat pengaruh perlakuan yaitu selisih antara rerata masing-masing perlakuan dengan yaitu (xi.-), sedangkan ij adalah kekeliruan dalam setiap perlakuan akibat ulangan yaitu (Xij-xi.), maka masing-masing data akan mempunyai persamaan simpangan sebagai berikut :A1 (12-18) = (15-18) + (12-15) A2 (17-18) = (15-18) + (17-15)A3 (16-18) = (15-18) + (16-15)B1 (13-18) = (12-18) + (13-12)B2 (11-18) = (12-18) + (11-12)B3 (12-18) = (12-18) + (12-12)C1 (19-18) = (19-18) + (19-19)C2 (17-18) = (19-18) + (17-19)C3 (21-18) = (19-18) + (21-19)D1 (23-18) = (26-18) + (23-26)D2 (28-18) = (26-18) + (28-26)D3 (27-18) = (26-18) + (27-26)Apabila dalam setiap data, simpangan pada masing-masing suku dikuadratkan, kemudian dijumlahkan mulai dari A1 s/d D3 akan didapatkan hasil sbb :368 = 330 + 38 , nilai ini tidak lain adalahJK total = JK perlakuan + JK galatHasil hitungan tersebut akan persis sama apabila dicari dengan formula :

JK galat = JK total JK perlakuan = 368 330 = 38c. Pendekatan ke Teori SamplingAnalisis ragam digunakan untuk menguji apakah ada perbedaan diantara rerata perlakuan yang diuji. Namun dalam hal ini materi yang diuji bukan nilai rerata dari perlakuan tersebut, akan tetapi nilai variansinya. Oleh karena itu hasil ANOVA baru bisa untuk mengetahui ada atau tidak adanya perbedaan diantara rerata perlakuan, namun belum dapat diketahui rerata perlakuan mana yang berbeda.H0 : perlakuan sama pengaruhnya H0 : 1 = 2 = 3 = tHi : perlakuan tidak sama pengaruhnyaDi bawah H0 berarti dari semua populasi perlakuan hanya ada satu populasi, atau perlakuan-perlakuan dianggap berasal dari satu populasi yang sama, dengan rerata dan variansi 2.Dari hipotesis di atas (H0, Hi), dapat dijelaskan bahwa nilai karakteristik suatu populasi yaitu dan 2 biasanya tidak diketahui. Untuk dapat memperoleh gambaran tentang dan 2 dilakukan dengan mengambil contoh acak : X1, X2, X3, ..Xn kemudian dihitung nilai statistiknya x dan S2 yang merupakan gambaran atau penduga dari dan 2. Nilai statistik dari sampel akan berubah-ubah tergantung dari sampel yang terambil, sehingga x dan S2 merupakan suatu distribusi. Distribusi rerata sampel ini akan mempunyai rerata = dan varians = 2/n.Untuk perlakuan : Perlakuan 1 Perlakuan 2 Perlakuan ke T Y11Y21Yt1Y12Y22Yt2Y13Y23Yt3 . . . . . . . . .Y1nY2nYtn Y1 Y2 Yt S21 S22 S2tVariansi dari sampel yaitu S21, S22S2t, memberi gambaran mengenai variansi populasinya yaitu 2. Rerata tertimbang S21, S22S2t yang disebut variansi contoh atau variansi dalam contoh adalah penduga terbaik untuk 2, yaitu :

Rerata tertimbang dari Y1, Y2, Yt merupakan penduga , sedangkan variansi yang ada diantara Y1, Y2, Yt yang disebut variansi rerata contoh atau variansi antar contoh merupakan penduga variansi populasi 2 juga, yaitu :

Jika H0 benar yaitu 1 = 2 = 3 = t , maka variansi dalam contoh dan variansi antar contoh sama-sama merupakan penduga yang baik dari variansi populasi 2, sedangkan apabila H0 salah maka hanya variansi dalam saja yang merupakan penduga dari variansi populasi, dan variansi antar contoh nilainya akan lebih besar dari variansi dalam contoh.Untuk mengetahui H0 benar atau salah, dilihat apakah nilai variansi antar contoh dekat dengan nilai variansi dalam contoh. Jika nilai variansi antar contoh dekat dengan nilai variansi dalam contoh, maka rasio kedua variansi tersebut mendekati nilai1(satu). Ratio kedua variansi ini merupakan nilai F hitung, diterima atau ditolaknya H0 tergantung dari nilai kritis yang dapat dihitung atau dilihat dari nilai F tabel.Hasil ANOVA dari data di atas adalah sebagai berikut :Sumber RagamdbJKKTF hitungF =5%

Antar Contoh (perlakuan)Dalam Contoh (galat)38330381104,7523,164,07

Total11368

Kesimpulan : H0 ditolak dan Hi diterima, artinya ada perbedaan nyata diantara rerata perlakuand. Uji Lanjut Setelah ANOVASeperti telah diterangkan di atas, bahwa dari hasil uji ragam (ANOVA) baru diketahui ada atau tidak adanya perbedaan diantara rerata perlakuan yang dicoba, namun belum diketahui rerata perlakuan mana yang berbeda. Untuk itu, diperlukan uji lanjut untuk mengetahui rerata mana yang berbeda diantara perlakuan yang dicoba. Uji lanjut ini hanya dilakukan apabila H0 ditolak dan Hi diterima. Apabila H0 diterima, maka tidak dibenarkan untuk melakukan uji lanjut, hal ini karena ada kemungkinan akan didapat adanya perbedaan diantara rerata perlakuan yang diuji, yaitu terutama terjadi apabila dilakukan uji lanjut dengan BNT (beda nyata terkecil). Hal inilah yang kadang dijumpai pada hasil analisis ragam yang dilakukan oleh mahasiswa S1.Ada beberapa uji lanjut yang biasa diberikan untuk mahasiswa S1, secara garis besar dibedakan menjadi tiga macam, yaitu: uji lanjut dengan menggunakan satu nilai pembanding, uji lanjut dengan beberapa nilai pembanding (uji banding ganda), dan rencana uji F (plan F) yaitu memecah jumlah kuadrat (JK) perlakuan sesuai dengan derajad bebasnya menggunakan kontras orthogonal.1. Uji Beda Nyata Terkecil/BNT (Least Significant Difference/LSD)Pengujian ini didasarkan atas distribusi t, yaitu bahwa t hitung > t tabel

Nilai BNT yang kecil menyebabkan uji ini mempunyai kelemahan, yaitu rerata yang seharusnya tidak berbeda untuk kasus tertentu dengan uji BNT ini menjadi berbeda. Oleh karena itu, sementara pembimbing Skripsi tidak menghendaki uji BNT ini untuk kasus-kasus tertentu.2. Uji Beda Nyata Jujur/BNJ (Honestly Significant Defference/HSD)Untuk mengatasi kelemahan uji BNT, maka disusun formula lain yang mempunyai nilai pembanding lebih besar yaitu uji BNJ. Perbedaannya terletak pada nilai tabel yang lebih besar, yaitu dengan menggunakan tabel Tukey. Tabel ini disamping ditentukan oleh besarnya derajad bebas dan tingkat signifikansinya, juga di dasarkan atas banyaknya rerata yang akan dibandingkan. Kelemahan dari BNJ ini kebalikan dari BNT, yaitu rerata yang seharusnya berbeda untuk kasus tertentu dengan BNJ ini menjadi tidak berbeda. Sementara pembimbing senang menggunakan uji lanjut BNJ ini, karena akan diperoleh kesimpulan yang tebih tegas.3. Uji DunnetUji Dunnet biasanya digunakan untuk membandingkan antara rerata kontrol dengan rerata perlakuan yang lain. Cara menghitung nilai pembanding uji Dunnet sama dengan uji BNT, bedanya pada uji ini menggunakan tabel Dunnet. Tabel Dunnet disamping ditentukan atas dasar derajad bebas dan tingkat signifikansinya, juga ditentukan atas dasar banyaknya rerata yang akan dibandingkan. 4. Uji Banding Ganda Duncan/UBGD (Duncan Multiple Range Test/DMRT)Uji lanjut yang hanya mempunyai satu nilai pembanding untuk kasus tertentu mempunyai kelemahan, yaitu apabila rerata yang akan dibandingkan banyak, maka akan berkemungkinan melakukan kesimpulan yang salah. Perbedaan dua rerata yang dibandingkan mungkin terjadi hanya karena jarak rankingnya yang jauh. Untuk itu diperlukan uji lanjut dengan formula yang lain dengan mempertimbangkan jarak perbandingan dalam suatu ranking, yaitu yang dikenal dengan uji banding ganda. Dua rerata dibandingkan dengan suatu nilai atas dasar jarak perbandingannya, sehingga akan diperlukan banyak nilai pembanding. Besarnya nilai pembanding, disamping didasarkan atas variansi galat, derajad bebas, tingkat signifikansi, juga didasarkan atas jarak perbandingan menurut ranking. Untuk uji UBGD menggunakan tabel Duncan. Dapat dilihat bahwa, untuk uji UBGD pada jarak perbandingan 2 tidak lain adalah sama dengan uji BNT.5. Uji Student Newman Keul (SNK)Uji SNK disusun guna memperbaiki kelemahan uji UBGD yang nilainya lebih kecil, seperti halnya uji BNT yang diperbaiki dengan uji BNJ. Cara menghitung pada uji SNK sama dengan uji UBGD, perbedaannya hanya pada tabel yang digunakan, uji SNK menggunakan tabel Tukey.6. Rencana Uji F (Plan F)Semua uji lanjut yang telah dibicarakan di atas mempunyai kelemahan, yaitu bahwa hasil uji tersebut kadang tidak bisa secara langsung menjawab hipotesisnya. Atas dasar itu, maka disusun uji lanjut lain yaitu rencana uji F (plan F) untuk mengatasi kelemahan tersebut. Pada rencana uji F, jumlah kuadrat simpangan dari perlakuan dipecah menjadi beberapa perbandingan sebanyak derajad bebasnya. Perbandingan-perbandingan yang diinginkan disusun atas dasar hipotesisnya, atau disusun untuk mengetahui sebanyak-banyaknya informasi yang terkandung di dalam data yang dianalisis. Oleh karena itu, dengan uji F interprestasi, penalaran, dan penarikan kesimpulan atas informasi yang terkandung di dalam data akan lebih komprehensip. Namun demikian, dalam uji F dituntut adanya pemahaman secara mendalam tentang uji ragam serta penguasaan permasalahan yang akan dikaji. Prinsip dasar dari uji F ini adalah, bahwa jumlah kuadrat sebelum dan sesudah dipecah harus sama. Pemecahan ini dilakukan menggunakan kontras orthogonal, dengan formula:

Qi = macam perbandingan yang dibuat ke ii = koefisien kontras orthogal ke i yang dibuat sedemikian rupa sehingga memenuhi syarat kontras (i = 0), dan syarat orthogonal (i.i+1 = 0).Ti = jumlah nilai data perlakuan ke in = banyaknya ulangan pada perlakuan

C. PERCOBAAN FAKTORIAL DENGAN PERLAKUAN KONTROLAdakalanya dalam merancang perlakuan sebuah percobaan perlu menambah satu perlakuan kontrol, baik untuk perlakuan faktorial maupun non faktorial. Perlakuan kontrol ini dimaksudkan untuk mengetahui sejauh mana perlakuan yang dicoba memberi pengaruh pada obyek yang diamati. Misalnya, sejauh mana perlakuan pupuk yang diberikan berpengaruh terhadap tanaman yang diuji dibandingkan tanpa dipupuk, sejauh mana larutan hara hidroponik organik yang dibuat berpengaruh terhadap hasil tanaman dibandingkan dengan larutan hara yang sudah biasa digunakan (AB-mix), dlsb. Di bawah ini suatu contoh tabel ANOVA dari suatu makalah yang ditulis bersumber bukunya Steel and Torrie (1984) dengan informasi sbb: Rancangan perlakuannya adalah perlakuan faktorial plus kontrol Faktor yang dicoba jenis pupuk (J1, J2) dan dosis N (N1, N2, N3) Rancangan lingkungannya RAKL tiga ulangan (blok)TABEL ANOVANoSumber VariansiDbJKKTFhitungFtabel

1.2.3.4.5.6.7.8.BlokPerlakuanKntrl vs FaktorialJ1 vs J2N2 vs (N1+N3)(N1-N3) pd J1 vs J2(N2 vs N1+N3) pd J1vs J2Galat261111112

9.Total20

Atas dasar tabel ANOVA di atas, dapat diketahui bahwa JK Perlakuan dipecah menjadi enam perbandingan (sejumlah derajad bebasnya) menggunakan kontras orthogonal. Perbandingan no 3 untuk mengetahui perbedaan kontrol dengan perlakuan faktorial, no 4 dan 5 untuk mengetahui efek mandiri masing-masing faktor, serta no 6 dan 7 untuk mengetahui pengaruh interaksi kedua faktor. Pada kenyataannya, tidak semua mahasiswa mampu membaca, menginterprestasikan, dan menyajikan hasil ANOVA tersebut dengan baik. Hal ini terbukti, bahwa hasil analisis data yang disajikan pada bab pembahasannya masih dalam bentuk perbandingan-perbandingan seperti yang tercantum di dalam ANOVA, data seperti ini jelas kurang informatif bagi pembaca. Oleh karena itu, perlu pendekatan cara analisis ragam faktorial plus kontrol di atas agar lebih mudah dipahami oleh mahasiswa, yaitu dengan mengembalikan ke dalam bentuk dasar analisis ragam faktorial. Apabila dikembalikan dalam bentuk dasar, maka tabel ANOVA di atas dapat ditulis sbb:TABEL ANOVANoSumber VariansidbJKKTFhitungFtabel

1.2.3.4.5.6.7.8.BlokPerlakuanKntrl vs FaktorialFaktorial (JN)JNJ >< NGalat261512212

9.Total20

Atas dasar tabel ini, JK Perlakuan (db=6) dipecah menjadi JK Kntrl vs Faktrl (no 3) dan JK Faktorial (no 4), selanjutnya JK Faktorial dipecah menjadi JK efek mandiri (no 5 dan 6) dan JK interaksi (no 7). Seperti telah dijelaskan di muka, bahwa variansi adalah jumlah kuadrat simpangan dibagi dengan derajad bebasnya. Sumber variansi no 3 (Kntrl vs Faktrl) mempunyai db = 1, artinya variansi yang terjadi hanya disebabkan oleh dua rerata, yaitu rerata Kontrol dan rerata perlakuan Faktorial secara keseluruhan. Oleh karena itu jumlah kuadrat simpangan yang dimaksud disini adalah simpangan kuadrat rerata Kontrol terhadap rerata umum ditambah simpangan kuadrat rerata Faktorial terhadap rerata umum, yaitu :

Dengan manipulasi aljabar dapat ditulis dan disederhanakan menjadi :

Hasil perhitungan dengan formula ini akan persis sama dengan uji kontras orthogonal. Untuk menghitung JK Perlakuan Faktorial (JN) beserta pemecahannya ke dalam pengaruh mandiri dan pengaruh interaksinya, persis sama dengan perhitungan JK untuk perlakuan Faktorial yang telah dipelajari selama ini, hanya bedanya data perlakuan Kontrol tidak dimasukkan.TELADAN :1. Data berikut adalah simulasi angka data yang akan digunakan untuk menjelaskan permasalah yang telah diterangkan di atas. Misalkan data pengaruh konsentrasi larutan (K) dua macam bahan organik (O) terhadap hasil sawi hidroponik, dengan rancangan perlakuan faktorial 2 x 3 plus perlakuan kontrol (AB-mix), disusun dengan RAKL tiga ulangan.PERLKBLK IBLK IIBLK IIIJumlah

KONTROL35412

O1 K12215

K23328

K345413

O2 K143310

K255414

K376518

Jumlah28292380

Perhitungan jumlah kuadratnya :

Jika dicari dengan kontras orthogonal hasilnya adalah:

Jika perhitungannya benar, maka :JK Perlakuan = JK Kontrl vs Faktrl + JK Faktorial 35,9048 = 0,1270 + 35,7778Selanjutnya pemecahan untuk perlakuan Faktorialnya sama seperti yang telah dipelajari, yaitu :

JK Interaksi = JK Faktorial JK O JK K = 35,7778 14,2222 21,4444 = 0,1111Tabel ANOVAPERLKDBJKKTF hitungF 5%F 1%

BLOK22,95241,47624,04

PERLK635,90485,984116,39

K>