Mahmud - BAB 7

Teknik Simulasi dan Pemodelan

Mahmud Achmad 7-1

BAB 7. SIMULASI MONTE CARLO

A. PENDAHULUAN

Bagian ini menjelaskan pemodelan sistem dengan model Monte Carlo.

Pemodelan ini berkaitan dengan model probabilistic suatu event atau kejadian

berdasarkan history atau sejarah kejadian yang telah terjadi (recorded data).

Metode Monte Carlo merupakan dasar untuk semua algoritma dari metode

simulasi yang didasari pada pemikiran penyelesaian suatu masalah untuk

mendapatkan hasil yang lebih baik dengan cara memberi nilai sebanyak-

banyaknya (nilai bangkitan/Generated Random Number) untuk mendapatkan

ketelitian yang lebih tinggi. Metode ini menganut system pemrograman yang

bebas tanpa telalu banyak diikat oleh rule atau aturan tertentu.

Setelah mendapat materi ini, mahasiswa diharapkan mampu:

1. Mengenal konsep dasar metode Monte Carlo dalam memformulasikan

masalah dengan baik

2. Memahami konsep kerja bilangan acak (Random Number)

3. Menyederhanakan system menjadi suatu algoritma

4. Menyusun algoritma

5. Membuat program simulasi Monte Carlo


Mahmud Achmad 7-2

B. DASAR TEORI SIMULASI MONTE CARLO

1. Variabel Random

Menurut Bain dan Engelhardt (1992) Variabel random adalah suatu fungsi yang

didefinisikan pada ruang sampel 𝑆 yang menghubungkan setiap hasil yang

mungkin 𝑒 di 𝑆 dengan suatu bilangan real, yaitu 𝑋(𝑒) = 𝑥. Jika himpunan hasil

yang mungkin dari variabel random 𝑋 merupakan himpunan terhitung, { 1, 𝑥2, …

𝑥n }, atau , { 𝑥1, 𝑥2, … }, maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi

(𝑥) = 𝑃 [ 𝑋 =𝑥 ] , 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, … 𝑥n (7.1)

yang menentukan nilai probabilitas untuk masing-masing nilai 𝑥 yang mungkin

disebut dengan fungsi densitas probabilitas diskrit.

Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random 𝑋 yang didefinisikan untuk

bilangan real adalah sebagai berikut

(𝑥) = 𝑃 (𝑋 ≤ 𝑥) (7.2)

Variabel random 𝑋 disebut variabel random kontinu jika (𝑥) fungsi densitas

probabilitas dari 𝑋, sehingga fungsi distribusi kumulatif dapat dinotasikan

sebagai berikut:

(𝑥) = ∫

𝑑t (7.3)

Jika variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas 𝑓 (𝑥), maka

nilai ekspektasi dari 𝑋𝑋 didefinisikan sebagai 𝐸 (𝑋) = ∑ 𝑥𝑓 𝑥 . Jika adalah

variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas 𝑓 (𝑥), maka nilai

ekspektasi dari 𝑋 didefinisikan sebagai

E(X) = ∫ 𝑥 𝑥 𝑑𝑥

(7.4)

(𝑋) sering kali ditulis dengan 𝜇 atau 𝜇𝑥.

Varians dari variabel random X didefinisikan sebagai berikut

𝑉ar (𝑋) = 𝐸 (𝑋 - 𝜇)2 (7.6)

Jika adalah variabel random, maka 𝑉ar (𝑋) = (𝑋)2 - 𝜇2 (7.7)


Mahmud Achmad 7-3

Ukuran sebaran yang sering digunakan selain varians adalah standar deviasi

yang merupakan akar kuadrat dari varians.

(7.8)

Jika adalah variabel random, 𝑉 dan 𝑏 adalah konstanta, maka

𝑉ar(a𝑋 + 𝑏 ) = a2 𝑉ar (𝑋) (7.10)

Jika 𝑋 dan 𝑌 adalah variabel random yang saling independen dan (𝑥) dan 𝑕 (𝑦)

adalah fungsi, maka

[ 𝑔(𝑋) h (𝑌)] = 𝐸 [𝑔(𝑋)] 𝐸[h(𝑌) ] (7.11)

Kovarians dari variabel random dan 𝑌 didefinisikan sebagai

𝑐ov (𝑋,) = 𝐸 [(𝑋 – 𝜇x)(Y- 𝜇y)] (7.12)

Jika dan 𝑌 independen, didapat

𝑐ov (𝑋,) = 𝐸(XY) –E(X)E(Y) =0 (7.13)

Notasi lain untuk kovarians adalah ơxy.

Jika 𝑋1 dan 𝑋2 adalah variabel random dengan fungsi densitas probabilitas

gabungan 𝑓(𝑥1 , x2), maka

(7.14)

Selanjutya diperoleh:


Mahmud Achmad 7-4

Johnson dan Wichern (2002) mengungkapkan jika adalah variabel random

dengan mean 𝜇, dan kovarians ∑, vektor random 𝑋 dengan ordo 𝑝 × 1 maka

ditulis sebagai matriks yaitu:

Atau

dengan 𝜎𝑖𝑖 adalah varians ke- 𝑝𝑝 i = 1, … , 𝑝𝑝, ∑ menunjukkan matriks varians

kovarians.

2. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial digunakan untuk mengetahui besarnya kemungkinan terjadinya

suatu peristiwa tertentu atau banyaknya terjadi peristiwa sukses dalam n kali


Mahmud Achmad 7-5

percobaan (trial). Misal adalah banyaknya kejadian sukses, 𝑝 adalah besarnya

peluang terjadinya peristiwa sukses, maka dapat dinotasikan sebagai 𝑋 ~𝐵in ( 𝑛, 𝑝 )

(Bain dan Engelhardt, 1992).

Fungsi densitas probabilitas dari distribusi binomial adalah

(7.15)

sedangkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Binomial adalah

(7.16)

3. Distribusi Normal

Variabel random dikatakan berdistribusi normal dengan mean 𝜇 dan varians 𝜎2,

jika 𝑋 mempunyai fungsi densitas probabilitas berbentuk

(7.17)

untuk - ∞ < 𝑥 < ∞, dimana - ∞ < 𝜇 < ∞ dan 0 < 𝜎 < ∞, yang dinotasikan sebagai

𝑋~N ( 𝜇 , 𝜎2) (Bain dan Engelhardt, 1992).

Jika 𝑋 ~𝐵 ( , 𝜎2) , maka 𝑍 =𝑋 −𝜇 𝜎 mengikuti distribusi normal standar dengan

fungsi densitas probabilitas adalah

(7.18)

dengan mean 0 dan varians 1, atau ditulis 𝑍 = X −𝜇 𝜎~𝐵( 0,1 ) (Bain dan

Engelhardt, 1992).

4. Distribusi Normal Multivariat

Distribusi normal multivariat merupakan perluasan dari distribusi normal univariat.

Dengan demikian distribusi normal multivariat 𝑝 dimensi untuk vektor random 𝑋 =

[𝑋1,𝑋2 …Xp] mempunyai bentuk:

(7.19)


Mahmud Achmad 7-6

5. Fungsi Lagrange

Untuk memaksimumkan atau meminimumkan (𝒑) terhadap kendala 𝑔(𝒑) = 0

dengan menyelesaikan persamaan

∇(𝒑) = 𝜆∇ 𝑔(𝒑) dan 𝑔(𝒑) = 0 (5.20)

untuk 𝒑 dan 𝜆. Tiap titik 𝒑 adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem

terkendala dan 𝜆 yang berpadanan disebut pengali Lagrange, dengan ∇ 𝒑)

merupakan vektor gradien dari 𝑓(𝒑) dan ∇ 𝒑) merupakan vektor gradien dari 𝑔(𝒑)

(Purcell dan Varberg, 1987).

Jika ada lebih dari satu kendala yang diberlakukan pada variabel-variabel suatu

fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan, maka digunakan pengali-

pengali Lagrange tambahan (satu untuk setiap kendala) (Purcell dan Varberg, 1987).

6. Uji Lilliefors untuk kenormalan

Uji Lilliefors merupakan metode untuk menguji data apakah data berasal dari

distribusi normal atau tidak. Metode ini menggunakan statistik uji tipe Kolmogorov-

Smirnov yaitu pada jarak vertikal maksimum antara fungsi kumulatif (𝑋) distribusi

empirik sampel random 𝑋1, 𝑋2,. . . , 𝑋p dengan fungsi kumulatif distribusi normal

standar yang disebut 𝐹 (Conover, 1980).

Uji Hipotesis:

𝐻0 : Data berasal dari distribusi normal

𝐻1 : Data tidak berasal dari distribusi normal

Statistik Uji

(7.21)

𝐻0 ditolak jika - 𝑉alue < 𝛼 .

7. Matriks

Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan.

Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.


Mahmud Achmad 7-7

Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis horisontal)

dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.

Jika 𝐴𝑚 𝑥 𝑛, adalah sebuah matriks dengan jumlah baris 𝑚 dan kolom n, maka aij

menyatakan entri yang terdapat di dalam baris 𝑖 dan kolom 𝑗 dari 𝐴. Jadi sebuah

matriks dapat dituliskan sebagai berikut:

(7.22)

Jika dan 𝐵 adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah 𝐴 + 𝐵

adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan sama-sama entri yang

bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda

tidak dapat ditambahkan.

Jumlah 𝐴 + 𝐵 adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota-

anggota dan anggota-anggota 𝐵 yang berpadanan. Sedangkan selisih 𝐴 - adalah

matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota-anggota 𝐴 dengan anggota-

anggota 𝐵 yang berpadanan.

(7.23)

(7.24)

Jika 𝐴 adalah suatu matriks dan 𝑐 adalah suatu skalar, maka hasil kali (product) 𝑐𝐴

adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari 𝐴 oleh

𝑐.

(7.25)

Jika adalah matriks 𝑚×𝑉 dan 𝐵 adalah matriks 𝑉×𝑛 , maka hasil kali 𝐴𝐵 adalah

matriks 𝑚𝑥𝑛 yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri

dalam baris dan kolom 𝑗 dari 𝐴𝐵, memilih baris 𝑖 dari matriks 𝐴 dan kolom 𝑗 dari

matriks 𝐵. Mengalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut

bersama-sama dan kemudian menambahkan hasil kali yang dihasilkan.


Mahmud Achmad 7-8

(7.26)

Jika A adalah sebarang matriks 𝑚 × 𝑛 , maka transpos 𝐴 dinyatakan oleh 𝐴𝑇 dan

difinisikan dengan matriks 𝑛 × 𝑚 yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari

𝐴 , kolom keduanya adalah baris kedua dari 𝐴, demikian juga dengan kolom ketiga

adalah baris ketiga dari 𝐴 , dan seterusnya.

(7.27)

Jika 𝐴 adalah sebuah matriks, dan jika dapat mencari matriks 𝐵 sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴

= I , maka 𝐴 dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse)

dari 𝐴 .

Jika dapat dibalik, maka inversnya akan dinyatakan dengan simbol 𝐴-1, maka:

(7.28)

8. Pembangkit Bilangan Random

Dalam sistem nyata, faktor keacakan menyebabkan sesuatu tidak sepenuhnya dapat

diramalkan. Dalam metode Monte Carlo faktor kerandoman dimasukkan ke dalam

model dengan melibatkan satu atau lebih variabel random.

Sebuah metode untuk membangkitkan bilangan random dikatakan baik jika bilangan

random yang dihasilkan memenuhi sifat kerandoman, saling independen, memenuhi

distribusi statistik yang diharapkan, dan dapat direproduksi.

C. METODE SIMULASI MONTE CARLO

Metode Simulasi Monte Carlo adalah suatu metode untuk mengevaluasi suatu model

deterministik yang melibatkan bilangan acak sebagai salah satu input. Metode ini

sering digunakan jika model yang digunakan cukup kompleks, non linear atau

melibatkan lebih dari sepasang parameter tidak pasti. Sebuah simulasi Monte Carlo

dapat melibatkan 10.000 evaluasi atas sebuah model, suatu pekerjaan di masa lalu

hanya bisa dikerjakan oleh sebuah software komputer.


Mahmud Achmad 7-9

Suatu model memerlukan parameter input dan beberapa persamaan yang digunakan

untuk menghasilkan output (atau variabel respon).

Dengan menggunakan parameter input berupa bilangan random, maka dapat

mengubah suatu model deterministik menjadi model stokastik, dimana model

deterministik merupakan suatu model pendekatan yang diketahui dengan pasti

sedangkan model stokastik tidak pasti.

Simulasi Monte Carlo adalah metode untuk menganalisa perambatan ketidakpastian,

dimana tujuannya adalah untuk menentukan bagaimana variasi random atau error

mempengaruhi sensitivitas, performa atau reliabilitas dari sistem yang sedang

dimodelkan. Simulasi Monte Carlo digolongkan sebagai metode sampling karena

input dibangkitkan secara random dari suatu distribusi probabilitas untuk proses

sampling dari suatu populasi nyata. Oleh karena itu, suatu model harus memilih

suatu distribusi input yang paling mendekati data yang dimiliki (Rubinstein, 1981).

D. CONTOH APLIKASI

1. Aplikasi Metode Simulasi Monte Carlo untuk Menduga Debit

Aliran Sungai

Dalam perencanaan suatu proyek irigasi, aliran sungai merupakan sumberdaya air

yang sangat potensial untuk dimanfaatkan. Pernberdayaan aliran sungai dapat

dilakukan dengan cara rnembendung atau menampung di dalam sebuah waduk,

tergantung kepada skala proyek irigasi dan besar debit aliran sunga i. Ketersediaan

debit aliran sungai sepanjang waktu perlu dianalisis secara seksama. Banyak rnetode

yang dapat digunakan, salah satunya adalah metode simulasi.

Debit aliran sungai merupakan salah satu kejadian hidrologi yang bersifat stokastik,

oleh sebab itu analisis terhadap debit aliran sungai dapat dilakukan dengan cara

menggunakan metode stokastik. Aplikasi metode stokastik dalam bidang hidrologi

pertama kali digunakan untuk mengatasi permasalahan di dalam perancangan suatu

waduk (Linsley, Kohler, and Paulhus, 1986).


Mahmud Achmad 7-10

Secara garis besar, analisis kejadian hidrologi yang bersifat stokastik (seperti debit

aliran sungai) dapat dilakukan dengan dua cara, yakni dengan menggunakan: (1)

Model Stokastik Analitik dan (2) Metode Simulasi Monte Carlo (Haan, Johson, and

Brakensiek, 1982).

Pada Model Stokastik Analitik, setiap proses yang terjadi Stokastik Analitik sering

lebih memuaskan, akan tetapi mernbutuhkan biaya yang lebih besar jika

dibandingkan dengan Metode Sirnuiasi Monte Carlo.

Simulasi terhadap debit aliran sungai (debit rata-rata mingguan, setengah bulanan,

dan bulanan) dengan menggunakan Model Stokastik Analitik telah pemah

dilakukan, yakni dengan menggunakan Model Box-Jenkins, dengan hasil simulasi

sangat memuaskan (Oktafri, 1994). Bertiiik tolak kepada hasil penelitian tersebut,

perlu kiya untuk rnencoba Metode Simulasi . Monte Carlo sebagai perluasan

altematif metode yang dapat digunakan untuk analisis keadaan debit aliran sungai

pada suatu waktu.

Dalam contoh ini akan diinformasikan dan direkornendasikan hasil simulasi debit

aliran sungai dengan menggunakan Metode Simulasi Monte Carlo.

Hal pertama yang harus ditentukanldiketahui sebeiurn melakukan simulasi dengan

rnetode Simulasi Monte Carlo adalah sebaran peluang dari peubah yang akan

disimulasi. Berdasarkan kepada sebaran peluang tersebut nantinya akan diperdeh

data, yakni dengan menggunakan bilangan acak. Banyak cara dapat digunakan untuk

membangkitkan biiangan acak, misalnya dengan menggunakan dadu (cata manual)

atau program komputer (cara mekanis). Penggunaan program komputer sangat

menunjang untuk meningkatkan efektifitas dan efisiensi proses simulasi (Pramudya

dan Djojomartono, 1993).

Cara yang umum digunakan untuk membangkitkan bilangan acak pada simulasi

kornputer adalah dengan rnenggunakan Pseudo Random Generator, yang telah

menjadi fungsi pustaka pada bahasa pemograman komputer. Pada bahasa BASIC,

pembangkit bilangan acak dinyatalran dengan RND, sedangkan pada bahasa

FORTRAN dinyatakan dengen fungsi RAN(X) atau RANF(-1). Secara bertahap,


Mahmud Achmad 7-11

langkah-langkah utama yang harus dilakukan di dalam proses simulasi Monte Carlo

adalah sebagai berikut:

1. Penentuan sebaran peluang untuk peubah acak pokok dari sistem yang

dianalisis atau diiimulasi. Sebaran peluang suatu peubah dapat dipedeh dari

data historis, percobaan, atau dari suatu pilihan yang bersifat apriori

(perkiraan). Sebaran peluang yang sering digunakan pada simulasi Monte

Carlo dapat dibedakan atas dua macam, yahi: (1) sebaran tiikrit dan (2)

sebaran kontinu. Beberapa sebaran diiskrit standar yang sering digunakan

adalah sebaran: (a) Binomial. (b) Poisson, (c) Geomettik, dan (d) Hyper-

Geometrik. Selain itu, sebaran diskrit tidak standar juga dapat dinah untuk

kondisi tertentu. Sedangkan sebaran kontinu yang sering diiunakan adalah

sebaran: (a) Normal, (b) Eksponensial, (c) Gamma, (d) Erlang, dan (8)

Uniform. Sebaran tidak standar juga dapat dinakan untuk kondisi tertmtu

(Djojamato, 1993). Fungsi yang menyatakan sebaran peluang di atss dikenal

dengan ktilah Fungsi Kepekatan Peluang (Probability Density Funtion -

PDF). Mengubah PDF ke dalam bentuk kurnulatifnya, sehingga diperdeh

Fungsi Ditribmi Kumulatif (Cumulative Distribution Function - CDF) dari

peubah sistsm yang diiknulasi. Hal ini akan menjarnin bahwa hanya ada satu

ni!ai peubah yang bemubungan dengan satu nilai biigan acak.

2. Mengambii satu contoh dari CDF dengan menggunakan bilangan acak, untuk

rnenentukan nilai spesifik dari peubah yang akan tiiunakan pada ulangan

simulasi.

3. Melakukan sirnulasi dengan ulangan yang cukup. Simulasi dengan bantuan

komputer dapat dilakukan dengan ulangan yang lebih banyak tanpa ada

masalah.

SISTEM SIMULASI

Data yang digunakan adalah deret data debit aliran sungai selama 12 tahun. Data 10

tahun pertama digunakan untuk proses simulasi, sedangkan data 2 tahun tersisa

(terakhir) digunakan untuk validasi hasil simulasi.


Mahmud Achmad 7-12

Berdasarkan aplikasi di lapang - pendugaan ketersediaan air irigasi biasanya

dilakukan untuk selang waktu satu minggu - mslka simulasi dilakukan terhadap

debit rata -rata mingguan.

Deret data debit rata-rata mingguan sungai Cikapundung diduga mengikuti sebaran

Nmai, yang dalam proses simulasi dihitung dengan persamaan :

𝑋 = 𝜇 𝜎 ∑

√

Keterangan:

X = debit rata-rata mingguan pada suatu waktu (m /dt)

𝜇 = rata-rata dari debit rerata mingguan (m3/dt)

𝜎 = standar deviasi dari debit rerata mingguan (m3/dt)

i = 1, 2, 3, …. N

N = Banyaknya iterasi

Z(i) = bilangan acak ke - i

Simulasi dilakukan pada buian Desember 2000 dengan menggunakan Personal

Computer (PC) dengan Bahasa Program QBASIC. Bagan alir proses simulasi tertera

pada Gambar 1. Siufasi dilakukan sebanyak 20 kali ulangan. Dari hasil simulasi 20

kali ulangan tersebut, dihitung rata -ratanya secara aritmetika. Nilai rata-rata tersebut

merupakan nilai akhir dari hasil simulasi, yang akan digunakan pada aplikasi di

lapang. Validasi hasil simulasi dilakukan dengan rnenggunakan rata -rata dari

Persentase Kesalahan Absolut Rata- Rata (Mean Absolute Percentage Error-

MAPE) (Persamaan 2). Jika MAPE < 25% maka hasii simulasi dapat diterima secara

memuaskan, sebaliknya jika MAPE > 25% maka has4 simulasi kurang memuaskan

(Makridakii, Wheelwright, and McGee, 1983).

𝐴𝑃𝐸 =∑| |

Keterangan:

Yi = hasil simulasi pada waktu ke - t

At = data aktual pada waktu ke - t

M = jumlah data hasil simulasi (dalarn ha1 ini M = 48)


Mahmud Achmad 7-13

Uji Kenormalan

Uji kenormalan data dilakukan dengan uji Liliefors (Nasoetion dan Barizi, 1976).

Hasil pengujian membuktikan bahwa deret data debi rata-rata mingguan sungai

mengikuti sebaran Normal.

Contoh Kasus Simulasi ini menyimpulkan:

Metode Simulasi Monte Carlo dapat diaplikasikan secara memuaskan untuk

menduga (mensimulasi) debit aliran sungai pada suatu waktu (dalam ha1 ini debit

rata -rata mingguan).

Metode Simulasi Monte Carlo seyogyanya dapat digunakan sebagai salah satu

metode ahematif untuk menganalisis debit aliran sungai.

Untuk rnengetahui aplikasi yang lebih luas dari Metode Simulasi Monte Carlo pada

bidang hidrologi, perlu kiranya dilakukan analisis lain terhadap kejadian hidrologi

lainnya yang bersifat stokastik, seperti curah hujan, evaporasi, evapotranspirasi, dan

sebagainya untuk dijadikan pembanding dalam pengambilan keputusan uuntuk

tujuan kebijakan dan perencanaan sumber daya air.

2. APLIKASI SIMULASI MONTE CARLO DALAM ESTIMASI BIAYA

PROYEK

Manajemen resiko belakangan ini telah mualai mendapatkan perhatian di bidang

manajemen proyek (Kwak & Stoddard, 2004). Metode yang kerap digunakan oleh

manajer proyek dalam proses analisa resiko adalah simulasi Monte Carlo. Metode

ini sudah lama digunakan dalam berbagai macam aplikasi matematika dan sains, dan

juga disebutkan dalam A Guide to the Project Management Body of Knowledge

(Project Management Institute, 2004). Meskipun demikian, dalam praktiknya

simulasi Monte Carlo ini belum umum digunakan oleh praktisi manajemen proyek

dibandingkan metode-metode yang lain, seperti CPM dan PERT misalnya. Kondisi

yang ada pada saat ini, simulasi Monte Carlo hanya sering digunakan dalam batas

dunia akademik yang membahas aspek resiko dalam manajemen proyek. Tulisan ini

membahas aplikasi simulasi Monte Carlo dalam mengestimasi biaya sebuah proyek


Mahmud Achmad 7-14

dengan menggunakan program Microsoft Excel dengan mengambil contoh sebuah

proyek sederhana yang terdiri dari enam aktifitas. Meskipun jumlah aktifitas dari

contoh proyek ini relatif kecil, prosedur simulasi Monte Carlo yang ditunjukkan

dalam tulisan ini dapat diterapkan untuk proyek yang melibatkan aktifitas yang lebih

banyak.

Simulasi Monte Carlo didefinisikan sebagai semua teknik sampling statistik yang

digunakan untuk memperkirakan solusi terhadap masalah-masalah kuantitatif

(Monte Carlo Method, 2008). Dalam simulasi Monte Carlo sebuah model dibangun

berdasarkan sistem yang sebenarnya. Setiap variabel dalam model tersebut memiliki

nilai yang memiliki probabilitas yang berbeda, yang ditunjukkan oleh distribusi

probabilitas atau biasa disebut dengan probability distribution function (pdf) dari

setiap variabel. Metode Monte Carlo mengsimulasikan sistem tersebut berulang-

ulang kali, ratusan bahkan sampai ribuan kali tergantung sistem yang ditinjau,

dengan cara memilih sebuah nilai random untuk setiap variabel dari distribusi

probabilitasnya. Hasil yang didapatkan dari simulasi tersebut adalah sebuah

distribusi probabilitas dari nilai sebuah sistem secara keseluruhan. Sejak pertama

kali digunakan untuk keperluan militer pada Manhattan Project (Eckhardt, 1987),

simulasi Monte Carlo telah diaplikasikan pada berbagai bidang antara lain;

manajemen proyek, transportasi, desain komputer, finansial, meteorologi, biologi

dan biokimia (Kwak & Ingall, 2007). Dalam bidang manajemen proyek simulasi

Monte Carlo digunakan untuk menghitung atau mengiterasi biaya dan waktu sebuah

proyek dengan menggunakan nilai-nilai yang dipilih secara random dari distribusi

probabilitas biaya dan waktu yang mungkin terjadi, dengan tujuan untuk

menghitung distribusi kemungkinan biaya dan waktu total dari sebuah proyek

(Project Management Institute, 2004. Pada umumnya literatur-literatur manajemen

proyek menempatkan simulasi Monte Carlo dibawah topik manajemen resiko, atau

kadang berada pada topik manajemen waktu dan manajemen biaya. Project

Management Institute (2004) menerapkan sebuah pendekatan standar manajemen

resiko yang meliputi enam proses; Perencanaan Manajemen Resiko, Identifikasi

Resiko, Kualifikasi Resiko, Kuantifikasi Resiko, Perencanaan Respon Resiko, dan


Mahmud Achmad 7-15

Pemantauan & Evaluasi Resiko, simulasi Monte Carlo ditempatkan sebagai bagian

dari proses Kuantifikasi Resiko.

Meskipun simulasi Monte Carlo adalah sebuah metode yang sangat bermanfaat

untuk diaplikasikan dalam bidang manajemen proyek, simulasi jadwal proyek

(McCabe, 2003) dan simulasi perataan sumberdaya (Hanna & Ruwanpura, 2007)

contohnya, dalam praktiknya metode ini belum banyak digunakan oleh para manajer

proyek kecuali disyaratkan oleh organisasi atau perusahaannya. Kwak & Ingall

(2007) berpendapat bahwa alasan utama simulasi Monte Carlo jarang digunakan

oleh kebanyakan manajer proyek adalah: kurangnya pemahaman terhadap metode

Monte Carlo dan statistik; alih-alih sebagai manfaat, manajer proyek umumnya

menganggap penggunaan metode ini lebih sebagai beban terhadap organisasi atau

perusahaannya. Alasan lainnya adalah software khusus simulasi Monte Carlo pada

proyek baru ada belakangan ini, @RISK for Project (www.palisade.com) adalah

salah satunya, software ini tersedia dalam bentuk add-in pada program Microsoft

Project. Meskipun demikian, Microsoft Excel sebenarnya dapat digunakan untuk

simulasi Monte Carlo dengan menggunakan fungsi RAND seperti yang ditunjukkan

pada contoh ini.

1. Desain simulasi

Yang akan disimulasikan adalah sebuah proyek yang terdiri dari enam aktifitas.

Setiap aktifitas memiliki total biaya dalam batasan yang telah ditentukan seperti

yang ditunjukkan pada Tabel 7.1. Setiap variabel tersebut dapat saja mempunyai

distribusi tertentu yang unik, tetapi untuk proyek ini dapat diasumsikan bahwa setiap

variabel memiliki distribusi seragam (uniform distribution) tanpa mengurangi

validitas hasil simulasi.

Tabel 7.1. Aktifitas dan Estimasi Biaya (dalam ribuan rupiah)


Mahmud Achmad 7-16

Estimasi terhadap total biaya proyek tersebut adalah sebuah variabel random dengan

nilai yang terletak antara nilai total biaya minimum dan maksimum. Karena nilai

variabel ini adalah jumlah dari beberapa variabel random lainnya yaitu biaya dari

setiap aktifitas, variabel ini akan memiliki distribusi normal. Ini menjelaskan

mengapa penggunaan distribusi tertentu yang unik untuk setiap variabel dapat

diabaikan.

2 Angka random

Karena alasan praktis, metode yang sering digunakan untuk menghasilkan angka

random antara 0 dan 1 dalam simulasi adalah multiplicative congrueantal method

(Taha, 1997). Angka yang dihasilkan oleh metode tersebut sebenarnya tidak dapat

dikatakan sebagai angka random yang sebenarnya karena menggunakan operasi

aritmetika yang hasilnya dapat diketahui sehingga lebih tepat jika dikatakan sebagai

angka random semu (pseudorandom numbers). Jika parameter u0 , b, c dan m

diberikan maka sebuah angka random semu Rn dapat dihasilkan dengan

menggunakan rumus berikut.

Nilai awal u0 biasanya disebut dengan seed

Dalam tulisan ini, angka random dihasilkan dengan menggunakan fungsi RAND

yang ada pada Microsoft Excel. Sebagai contoh, biaya random untuk aktifitas A

akan terlihat sebagai berikut: =RAND()*(20.000-15.000)+15.000, formula ini akan

menghasilkan angka random yang nilainya terletak antara 15.000 dan 20.000. Jika

biaya setiap aktifitas disimulasikan dengan formula tersebut, maka biaya total dari

proyek adalah jumlah dari biaya semua aktifitas. Hasil dari 5 iterasi pertama dari

simulasi tersebut dapat terlihat Tabel 7.2.


Mahmud Achmad 7-17

Tabel 7.2. Hasil Simulasi @5 iterasi (dalam ribuan rupiah)

3. Penentuan nilai iterasi

Metode Monte Carlo dapat meprediksi kesalahan (error) dari simulasi, yang mana

proporsional terhadap jumlah iterasinya. Total error dihitung dengan formula:

,

σ adalah deviasi standar dari variabel random dan N adalah jumlah iterasi. Deviasi

standar σ dihitung berdasarkan seluruh populasi, yang dalam simulasi ini

anggotanya hanya dua yaitu nilai minimum (79.700) dan maksimum (104.800),

dengan menggunakan formula:

σ = didapatkan =12.250. Jika diinginkan nilai absolute error yang kurang dari 2%,

maka nilai tersebut didapatkan dengan menggunakan formula:

didapatkan ε =1.845 1

Jadi jumlah iterasi yang dibutuhkan untuk mendapatkan hasil dengan error yang

kurang dari 2% adalah:

Nilai rata-rata dari variabel random biaya proyek tersebut setelah 416 iterasi terlihat

pada pada Tabel 7.3.


Mahmud Achmad 7-18

Tabel 7.3 Hasil Simulasi Monte Carlo @416 iterasi (dalam ribuan rupiah)

Setelah dilakukan iterasi sebanyak 416 kali diperoleh parameter-parameter dari hasil

simulasi Monte Carlo seperti yang terdapat pada Tabel 7.4. Setelah deviasi standar

populasi dari hasil simulasi diketahui, error yang sebenarnya (true error) dihitung

dengan menggunakan formula berikut.

Karena random variabel dari biaya total terdistribusi secara normal, maka median

seharusnya tidak jauh berbeda dengan rata-rata, hal ini terlihat pada Tabel 7.4

dimana selisih antara median dan rata-rata hanya 0,22%. Akurasi simulasi Monte

Carlo ini cukup tinggi sebagaimana terlihat pada Tabel 7.4 dimana % errornya

hanya 0,56%. Gambar 7.1 menunjukkan probability distribution function (pdf) dan

cumulative distribution function (cdf) dari hasil simulasi Monte Carlo setelah

dilakukan iterasi sebanyak 416 kali.

Tabel 7.4 Parameter-parameter Hasil Simulasi Monte Carlo


Mahmud Achmad 7-19

Gambar 7.1. PDF dan CDF dari hasil simulasi Monte Carlo (dalam ribuan rupiah)

Informasi penting lainnya yang didapatkan dari distribusi hasil simulasi adalah

Kurtosis dan Skewness. Kurtosis adalah ukuran relatif dari kurva dibandingkan

dengan bentuk kurva distribusi normal. Nilai Kurtosis distribusi normal adalah 0,

sementara nilai Kurtosis hasil simulasi Monte Carlo adalah -0,437. Nilai Kurtosis

negatif mengindikasikan bahwa bentuk kurva distribusi hasil simulasi Monte Carlo

seperti yang terlihat pada Gambar 7.1 memiliki puncak yang lebih rata (platykurtic)

dibanding distribusi normal. Skewness adalah ukuran simetri bentuk kurva, dimana

pada distribusi normal nilainya adalah 0. Nilai Skewness negatif (-0,199) Tabel 7.3,

mengindikasikan bahwa ekor dari kurva distribusi hasil simulasi Monte Carlo ini

lebih condong ke arah kiri sebagaimana yang terlihat pada Gambar 2. Cumulative

distribution function pada Gambar 2 digunakan untuk mengetahui probabilitas biaya

total proyek tersebut. Sebagai contoh, jika aggaran yang tersedia untuk proyek

tersebut adalah Rp. 90 juta maka probabilitas proyek tersebut dapat dilaksanakan

dengan sukses adalah sekitar 25%. Jika pemilik proyek bersikap moderat dengan

menginginkan probabilitas 50%, maka anggaran yang harus disiapkan tidak kurang

dari Rp. 93 juta. Jika pemilik proyek ingin lebih behati-hati maka dana yang harus

disiapkan adalah sekitar Rp. 95 juta untuk mendapatkan probabilitas sebesar 75%.


Mahmud Achmad 7-20

Hasil Belajar Dasi Simulasi

Sebagaimana metode-metode simulasi lainnya, akurasi dari hasil simulasi Monte

Carlo ini sangat dipengaruhi oleh akurasi variabel-variabel inputnya yang dalam

contoh kasus pada tulisan ini adalah estimasi awal dari biaya minimum dan

biaya maksimum setiap aktifitas. Juga perlu dicatat simulasi Monte Carlo

bukanlah sebuah penyedia solusi, metode ini hanya membantu kita dalam

memprediksi perilaku sebuah sistem dengan memperhitungkan unsurunsur yang

mengandung resiko dan ketidak-pastian. Solusi sebenarnya tetap berada di

tangan para manajer dengan mempertimbangkan berbagai aspek, termasuk aspek

kualitatif yang ada dalam sebuah proyek. Simulasi Monte Carlo dapat menjadi

alat yang handal bagi manajer proyek dalam menganalisa resiko dan ketidak-

pastian yang umum terjadi dalam pembiayaan proyek. Hasil simulasi Monte

Carlo dapat membantu manajer proyek dalam menentukan ekspektasi

pembiayaan proyek yang lebih realistis. Dengan kemampuan komputer dan

software yang semakin berkembang, simulasi Monte Carlo ini sudah selayaknya

lebih banyak digunakan oleh para manajer proyek. Melalui edukasi dan

pelatihan yang menjelaskan dan mendemonstrasikan kegunaan simulasi Monte

Carlo, para manajer proyek akan menyadari bahwa tidak diperlukan pengetahuan

statistik tingkat tinggi untuk dapat memahami implementasi dan interpretasi

simulasi Monte Carlo. Sehingga secara perlahan metode Monte Carlo ini dapat

diterima di kalangan praktisi manajemen proyek dan tidak hanya sebatas

digunakan dalam dunia akademik yang membahas aspek resiko dalam

manajemen proyek.

3. Teknik Simulasi Untuk memprediksi Keandalan Lendutan Balok

Statis Tertentu

Permasalahan mengenai ketidakpastian berhubungan erat dalam perencanaan suatu

struktur. Parameter-parameter dalam pemodelan suatu elemen struktur bukanlah

suatu jumlah yang benar-benar diketahui, tetapi nilai prediksi atau bilangan acak.

Sebagai contoh adalah beban yang bekerja pada struktur, modulus elastisitas,


Mahmud Achmad 7-21

dimensi penampang, dan sebagainya. Maka dalam perencanaan struktur diperlukan

pula perhitungan keandalan atau probabilitas terhadap kegagalan.

Pada saat ini terdapat beberapa teknik simulasi yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan permasalahan numerik yang berhubungan dengan keandalan struktur.

Sebagai contoh teknik simulasi Monte Carlo, simulasi Latin Hypercube Sampling,

dan simulasi rosenblueth’s 2K+1 point estimate. Dalam beberapa hal mungkin saja

suatu persamaan numerik ternyata sangatlah kompleks dan waktu yang dibutuhkan

untuk menyelesaikan persamaan tersebut dalam satu kali trial dibutuhkan waktu

lama. Maka hasilnya, untuk ribuan bahkan jutaan simulasi tentu menjadi sangat

lama. Oleh karena itu, diperlukan suatu teknik untuk menyelesaikan hal ini, dengan

menghasilkan jawaban yang rasional dan memiliki tingkat ketelitian yang cukup

baik. Tahapan dalam contoh ini adalah: 1. melakukan simulasi Metode Elemen

Hingga untuk menentukan lendutan balok, 2. melakukan simulasi Monte Carlo

untuk memprediksi keandalan lendutan balok.

Contoh ini memuat beberapa hal: 1. model struktur yang ditinjau adalah balok

kantilever statis tertentu, 2. asumsi tumpuan yang digunakan adalah jepit-bebas pada

ujung-ujung balok, 3. beban yang bekerja adalah beban terpusat di ujung bebas, 4.

asumsi berat sendiri balok dan deformasi geser diabaikan, 5. simulasi menggunakan

beban terpusat sebagai parameter bilangan acak dengan distribusi seragam dan

normal.

Teknik simulasi Monte Carlo merupakan suatu teknik spesial dimana kita dapat

membangkitkan beberapa hasil numerik tanpa secara aktual melakukan suatu tes

eksperimen. Kita dapat menggunakan hasil dari tes sebelumnya yang pernah

dilakukan untuk menentukan distribusi probabilitas dari parameter-parameter yang

ditinjau dalam kasus tersebut. Kemudian kita menggunakan informasi ini untuk

membangkitkan parameter-paramater data numerik.

Dasar dari prosedur teknik simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan

acak yang terdistribusi seragam antara 0 dan 1.

Metode monte carlo seringkali diterapkan dalam tiga situasi:

1. untuk menyelesaikan suatu problem kompleks dengan solusi pendekatan,


Mahmud Achmad 7-22

2. untuk menyelesaikan suatu problem kompleks yang pada umumnya dalam

penyelesaiannya dilakukan penyederhanaan asumsi. Dengan simulasi

Monte Carlo, problem asli dapat dipelajari tanpa asumsi tersebut,

3. untuk digunakan dalam cek hasil dari teknik simulasi yang lain.

Pada bilangan acak dengan distribusi seragam, fungsi PDF (probability density

function) bernilai konstan untuk semua kemungkinan nilai dari bilangan acak

dengan a dan b adalah batas. Persamaan PDF, mean dan variansi kemudian

dihitung. Bilangan acak dengan distribusi seragam merupakan komponen penting

dalam teori keandalan struktur. Fungsi PDF dan CDF, dan pembangkit bilangan

acak juga ditentukan melalui hitungan.

Metode elemen hingga (MEH) merupakan suatu simulasi numerik untuk

mendapatkan suatu hasil pendekatan, dari suatu masalah dengan syarat-syarat batas

tertentu. Banyak dijumpai permasalahan yang berhubungan dengan perhitungan

numerik. Pada suatu tingkat-tingkat permasalahan tertentu, penyelesaian tidak dapat

diselesaikan dengan metode analitis, sehingga perlu digunakan pendekatan metode

elemen hingga sebagai solusinya. Konsep elemen hingga merupakan bagian-bagian

kecil dari struktur aktual. Namun, secara umum struktur actual perilakunya tidaklah

demikian. Pemodelan MEH hanyalah merupakan sebuah model elemen hingga

“yang mungkin” pada struktur aktualnya.


Mahmud Achmad 7-23

Gambar 7.5. Skema Metode Elemen Hingga [Cook, et al., 2004]

Suatu balok dengan sumbu longitudinal lurus dibebani oleh gaya-gaya lateral, maka

sumbu tersebut akan terdeformasi menjadi suatu lengkungan, yang disebut kurva

defleksi balok [Gere, 2001].

Gambar 7.6. (a). Free-body diagrams, (b). Lendutan balok, dan (c). Model 3D balok

kantilever

Beberapa metode analitis dapat dilakukan untuk mendapatkan persamaan lendutan,

yaitu antara lain metode integrasi momen lentur, metode balok konjugasi, dan lain

sebagainya. Untuk balok kantilever statis tertentu dengan beban terpusat diujung

bebas, seperti terlihat pada Gambar 7.6.a dan Gambar 7.6.c, persamaan umum

lendutan dapat dihitung dengan Persamaan 7.29.


Mahmud Achmad 7-24

(7.29)

Contoh ini menggunakan kasus berupa balok kantilever statis tertentu (tumpuan :

jepitbebas) dengan beban terpusat pada ujung bebas, bentuk penampang segiempat

dengan dimensi dan ukuran penampang b = 300 mm dan h = 600 mm. Panjang

bentang balok 4 meter. Beban terpusat (P) sebesar 1500 N. Asumsi modulus

elastisitas (E) sebesar 20000 MPa.

Asumsi: Simulasi menggunakan parameter bilangan acak beban terpusat, dengan

distribusi seragam dan normal masing-masing 4 set data yaitu ; 10, 100, 10000, dan

100000 data.

Gambar 7.7. Bilangan acak dengan disribusi seragam


Mahmud Achmad 7-25

Gambar 7.8. Bilangan acak dengan disribusi normal

Data sintetik yang digunakan pada masing-masing set data tersebut dibangkitkan

dengan range beban antara 1000 N sampai dengan 2000 N, baik pada bilangan acak

seragam dan bilangan acak normal.

Penyelesaian secara analitis dapat dihitung dengan Persamaan 7.29. Lendutan

maksimum terjadi pada ujung bebas balok, atau x = 4 meter.

Simulasi numerik MEH dilakukan dengan software SAP2000 [CSI, 2006], dengan

model balok menggunakan properti solid. Untuk mendapatkan hasil dengan tingkat

ketelitian yang cukup baik (konvergen), maka dilakukan simulasi pada beberapa

pemodelan dengan variasi jumlah elemen yang berbeda. Model-model yang

digunakan dalam simulasi dapat dilihat pada Gambar 7.9.


Mahmud Achmad 7-26

Gambar 7.9. Beberapa model untuk simulasi MEH.

Selanjutnya dilakukan simulasi dengan software SAP2000. Hasil simulasi

selengkapnya ditampilkan dalam Tabel 7.3.

Tabel 7.3. Simulasi numerik MEH.

Hasil simulasi memperlihatkan bahwa tingkat % relatif pada model dengan jumlah

elemen yang semakin banyak (atau model dengan ukuran elemen yang semakin

diperkecil) menjadi semakin kecil. Hal ini menunjukkan bahwa pada model balok-

M6, hasil lendutan dapat dianggap konvergen karena tingkat % relatif sebesar

0,43%.

Simulasi Monte Carlo

Analisis keandalan lendutan dilakukan dengan menggunakan persamaan lendutan

dari metode analitis (Persamaan 7.29). Data sintetik berupa bilangan-bilangan acak

distribusi seragam dan normal dibangkitkan masing-masing 4 set data, yaitu 10, 100,

10000, dan 100000 data dengan menggunakan software MATLAB [Mathworks,


Mahmud Achmad 7-27

2005]. Selanjutnya dilakukan simulasi untuk tiap set data. Hasil simulasi

selengkapnya ditampilkan dalam Tabel 7.4 dan Tabel 7.5.

Tabel 7.4. Hasil simulasi untuk bilangan acak seragam

Tabel 7.5. Hasil simulasi untuk bilangan acak normal

Secara umum, dapat dilihat bahwa hasil perhitungan lendutan secara analitis

diperoleh sebesar 0,296296 meter, hasil simulasi numerik MEH diperoleh sebesar

0,30071 meter. Perbedaan hasil antara simulasi MEH dengan analitis sebesar 1,49

%. Perbedaan hasil simulasi Monte Carlo dengan analitis untuk 10, 100, 10000, dan

100000 data bilangan acak seragam berturutturut 4,46 %, 1,48 %, 0,47 %, dan 0,018

%. Perbedaan hasil simulasi Monte Carlo dengan analitis untuk 10, 100, 10000, dan

100000 data bilangan acak normal berturut-turut 0,008%, 0,008%, 0,062%, dan

0,025%.

Kesimpulan dari contoh simulasi ini adalah:

1. simulasi numerik MEH menghasilkan tingkat ketelitian semakin tinggi

sampai dengan konvergen, dengan membagi elemen semakin kecil / jumlah

elemen diperbanyak pada model balok,

2. simulasi Monte Carlo dengan bilangan acak terdistribusi seragam

memberikan perbedaan hasil berkisar antar 0,018 % - 4,46 %,

3. simulasi Monte Carlo dengan bilangan acak terdistribusi normal memberikan

perbedaan hasil berkisar antar 0,008 % - 0,025 %,


Mahmud Achmad 7-28

4. simulasi numerik MEH cukup baik digunakan untuk menghitung lendutan

balok, hal ini dapat dilihat dari hasil tingkat ketelitian yang semakin baik

(konvergen),

5. simulasi Monte Carlo cukup baik dan rasional untuk memprediksi keandalan

lendutan balok, hal ini dapat dilihat dari hasil tingkat ketelitian yang cukup

tinggi.

E. SOAL DAN LATIHAN

Soal:

1. Cari materi sejarah Monte Carlo dan jelaskan uraiannya.

2. Jelaskan apa perbedaan PDF dan CDF dalam sistem Monte Carlo

Latihan:

Setelah menyimak 3 contoh model simulasi Monte Carlo dalam Modul ini maka:

1. Cari suatu kasus dalam system keteknikan pertanian yang memiliki

komponen acak dalam kejadiannya.

2. Lakukan formulasi dan tentukan variable acak.

3. Lakukan simulasi dengan Metode Monte Carlo.

4. Cetak keluaran program dan hasil simulasi anda dengan menggunakan

perangkat lunak yang anda kuasai (misal: MS-Excel, Matlab, FEMLAB)

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. 1991. Aljabar Linear Elementer. Alih bahasa Hari Suminto. Jakarta:

Erlangga

Bain, L J & Engelhardt, M. 1992. Introduction To Probability and Mathematical

Statistics. Second Edition. California. Duxbury Press.

Computer and Structures, Inc. (2006), SAP2000 Advanced Tutorials, Computer and

Structures, Inc., Berkeley, CA.

Cook, R.D., Malkus, D.S., Plesha, M.E., Witt, R.J. (2004), Concepts and

Applications of Finite Element Analysis, John Wiley and Sons, Inc.


Mahmud Achmad 7-29

Djojomartono, M. 1993. Pengantar Umum Analisis Sistem. Fakultas Teknologi

Pertanian, lnstitut Pertanian Bogor, Bogor.

Eckhardt, R. ,1987, Stan Ulam, John von Neumann, and the Monte Carlo Method.

Los Alamos Science (Special Issue 15), 131-137.

Gere, J.M. (2001), Mechanics of Materials – 5th Edition, Brooks/Cole, Thomson

Learning.

Haan, C. T., H. P. Johnson, and D. L. Brakensiek. 1982. Hydrologic Modeling of

Small Watersheds. American Society of Agricultural Engineers. Michigan

USA.

Hanna, M., & Ruwanpura, J. Y. ,2007, Simulation Tool for Manpower Forecast

Loading and Resource Leveling. Paper presented at the Proceedings of the

2007 Winter Simulation Conference

Johnson, R A & Wichern, D W. 2002. Applied Multivariate Statistical Analysis.

Yogyakarta: BPFE.

Kwak, Y. H., & Ingall, L. ,2007, Exploring Monte Carlo Simulation Applications

For Project Management. Risk Management, 9, 44-57.

Kwak, Y. H., & Stoddard, J. ,2004, Project Risk Management: Lessons Learned

from Software Development Environment. Technovation: An International

Journal of Technical Innovation, Entrepreneurship and Technology

Management, 24(11), 915-920.

Linsley, R. K., M. A. Kohler, and J. L. H. Paulhus. 1986. Terjemahan. Hidrologi

untuk Insinyur. Penertbit Erlangga, Jakarta. 3rd ed.

Makridakis, S., S. C. Wheelwright, and V. E. McGee. 1983. Forecasting (Methods

and Applications). John Wiley and Sons Inc., New York USA. 2nd ed.

McCabe, B. ,2003, Monte Carlo Simulation For Schedule Risks. Paper presented at

the Proceedings of the 2003 Winter Simulation Conference.

Monte Carlo Method ,2008, Online. http://www.riskglossary.com/link/

monte_carlo_method.htm Diakses pada tanggal 16 Oktober 2008.


Mahmud Achmad 7-30

Nasoetion. A. H. dan Barizi. 1976. Metode Statistika. P.T. Gramedia, Jakarta.

Nowak, A.S., Collins, K.R. (2000), Reliability of Structures, McGraw-Hill Book Co,

Singapore.

Oktafri. 1994.Perumusan Model Perarnalan Box Jenkins Debit Sungai, Curah

Hujan, dan Evapotranspirasi Sub DAS Cigulung-Cikapundung Bandung

Utara. Program Pascasa rjana lnstitut Pertanian Bogor, Bogor.

Pramudya, B. dan M. Djojomartono. 1993. Sistem Stokastik. Fakultas Teknologi

Pertanian, lnstitut Pertanian Bogor, Bogor.

Project Management Institute ,2004, A Guide to the Project Management Body of

Knowledge: PMBOK Guide (3rd ed.). Newton Square, Pennsylvania: Project

Management Institute.

Rubinstein, R Y. 1981. Simulation and Monte Carlo Method. Willey & Sons, New

York

Setiawan, S. (2006), Keandalan Struktur Balok Sederhana dengan Simulasi Monte

Carlo, Tugas Akhir, Universitas Kristen Maranatha.

Taha, H. A. ,1997, Operation Research An Introduction (6th ed.). Upper Saddle

River, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

The Mathworks, Inc. (2005), Matlab Documentation – Release 14 with service pack

3, The Mathworks, Inc.

Todinov, M. (2005), Reliability and Risk Models : Setting Reliability Requirements,

John Wiley and Sons, Inc.

Mahmud - BAB 7

Documents