Top Banner
MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 4 September 2013
22

MA1101 M2-1 04-09-13

Jan 11, 2017

Download

Documents

duongkiet
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: MA1101 M2-1 04-09-13

MA1101 MATEMATIKA 1AMA1101 MATEMATIKA 1A

Hendra GunawanSemester I, 2013/2014Semester I, 2013/20144 September 2013

Page 2: MA1101 M2-1 04-09-13

Latihan (Kuliah yang Lalu)Latihan (Kuliah yang Lalu)

1 Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsif(x) =            .  sudah dijawab

2 Gambar grafik fungsi berikut dan tuliskan

21 x

2. Gambar grafik fungsi berikut dan tuliskanbeberapa karakteristiknya.

3 b h ka. y = x3.  bahas sekarangb. y = x4.

4c. y = 1 – x4.

d. y =              .  bahas sekarang21 x

9/6/2013 2(c) Hendra Gunawan

Page 3: MA1101 M2-1 04-09-13

Sasaran Kuliah Hari IniSasaran Kuliah Hari Ini

0 6 Operasi pada Fungsi0.6 Operasi pada Fungsi

Melakukan operasi pada fungsi danmenentu kan daerah asal fungsi yangmenentu‐kan daerah asal fungsi yang dihasilkan

0 7 B b F i Kh0.7 Beberapa Fungsi Khusus

Mengenal beberapa fungsi khusus, baikper‐samaan maupun sifat‐sifatnya

9/6/2013 3(c) Hendra Gunawan

Page 4: MA1101 M2-1 04-09-13

0.6 OPERASI PADA FUNGSIMA1101 MATEMATIKA 1A

0.6 OPERASI PADA FUNGSI

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 4

Page 5: MA1101 M2-1 04-09-13

Operasi Aljabar pada FungsiOperasi Aljabar pada Fungsi

Seperti pada bilangan kita dapat melakukanSeperti pada bilangan, kita dapat melakukanpenjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagian pada fungsi secara titik demi titikpembagian pada fungsi secara titik demi titik. Jika f terdefinisi pada Df dan g terdefinisi padaD makaDg, maka

(f + g)(x) := f(x) + g(x), x є Df Dg 

(f )( ) f( ) ( ) D D

(f – g)(x) := f(x) – g(x), x є Df Dg

(fg)(x) := f(x)g(x), x є Df Dg

g

(f/g)(x) := f(x)/g(x),   x є Df Dg , g(x) ≠ 0. 9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 5

Page 6: MA1101 M2-1 04-09-13

ContohContoh

Diketahui f(x) = x2 x є R dan g(x) = √x x ≥ 0Diketahui f(x) = x , x є R, dan g(x) = √x, x ≥ 0.

Maka

(f )( ) 2 √ 0a. (f + g)(x) = x2 + √x,  x ≥ 0.

b. (f – g)(x) = x2 – √x,  x ≥ 0.

c. (fg)(x) = x2√x,  x ≥ 0.

d (f/g)(x) = x2/√x = x√x x > 0d. (f/g)(x)   x /√x   x√x,  x > 0.

Catatan. Perhatikan bahwa daerah asal f/g tidakk 0 k li √ t d fi i i di 0mencakup x = 0, sekalipun x√x terdefinisi di x=0.

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 6

Page 7: MA1101 M2-1 04-09-13

Pangkat dan AkarPangkat dan Akar

Kita juga dapat melakukan operasi pangkat danta juga dapat e a u a ope as pa g at daakar pada fungsi, selama memungkinkan. Untuk n = 1, 2, 3, …, 

(fn)(x) := [f(x)]n,  x є Df .(f–n)(x) := 1/[fn(x)],  x є Df , f(x) ≠ 0.( )( ) /[ ( )], f , ( )

(f1/n)(x) := [f(x)]1/n,  x є Df , f(x) ≥ 0 utk n genap.

Catatan 1 f‐1(x) = 1/f(x) namun lambang f‐1 kelakCatatan 1. f (x)   1/f(x), namun lambang f kelakakan dipakai untuk keperluan lain. Karena itu, untukf pangkat ‐1 kita akan menuliskannya sbg 1/f saja.

Catatan 2. f1/2(x) = √f(x) terdefinisi jika f(x) ≥ 0.9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 7

Page 8: MA1101 M2-1 04-09-13

Menggambar Grafik Fungsi f + gMenggambar Grafik Fungsi f + g

Diketahui grafik fungsi f dan g bagaimana kitaDiketahui grafik fungsi f dan g, bagaimana kitadapat memperoleh grafik f + g? [titik demi titik]

y

+

+

x

+

+

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 8

Page 9: MA1101 M2-1 04-09-13

Menggambar Grafik Fungsi f + gMenggambar Grafik Fungsi f + g

Diketahui grafik fungsi f dan g bagaimana kitaDiketahui grafik fungsi f dan g, bagaimana kitadapat memperoleh grafik f + g? [titik demi titik]

10

6

8

4

6

f(x)

g(x)

f(x)+g(x)

0

2

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 9‐2

‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3

Page 10: MA1101 M2-1 04-09-13

Fungsi KomposisiFungsi Komposisi

Bila x dipetakan ke y = f(x) oleh f dan kemudianBila x dipetakan ke y = f(x) oleh f, dan kemudiany dipetakan ke z = g(y) oleh g, maka kita peroleh

z = g(f(x)) Dalam hal ini:z = g(f(x)). Dalam hal ini:

x  y = f(x)  z = g(f(x)).

Komposisi f dan g, yang dilambangkan dengang ◦ f, merupakan fungsi yang memetakan x ke z = g(f(x)), yakni

(g ◦ f)(x) := g(f(x)).(g )( ) g( ( ))

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 10

Page 11: MA1101 M2-1 04-09-13

Daerah Asal Fungsi KomposisiDaerah Asal Fungsi Komposisi

Daerah asal g ◦ f adalah himpunan semua x є DfDaerah asal g  f adalah himpunan semua x є Dfsedemikian sehingga f(x) є Dg , yakni

Dg ◦ f = { x є Df | f(x) є Dg }.Dg ◦ f  { x є Df | f(x) є Dg }.Contoh: Diketahui f(x) = √x dan g(x) = x2. Maka

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = (√x)2 = x(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√x) = (√x) = x.Daerah asalnya adalah

D { [0 ) | √ R } [0 )Dg ◦ f = { x є [0,∞) | √x є R } = [0,∞). Perhatikan bahwa sekalipun g ◦ f  memetakan x k d h l h [0 )ke x, daerah asalnya hanya [0,∞).9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 11

Page 12: MA1101 M2-1 04-09-13

CatatanCatatan

Komposisi dua fungsi tidak bersifat komutatifKomposisi dua fungsi tidak bersifat komutatif.

Untuk f dan g pada contoh sebelumnya, kitamempunyaimempunyai

(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = √(x2) = |x|.Daerah asalnya adalah

Df ◦ g = { x є R | x2 є [0,∞) } = R.f ◦ g  { | [ , ) }

Jadi, tampak bahwa f ◦ g ≠ g ◦ f.

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 12

Page 13: MA1101 M2-1 04-09-13

LatihanLatihan

1 Diketahui f(x) = x2 + 3 dan g(x) = 1/x1. Diketahui f(x) = x + 3 dan g(x) = 1/x. Tentukan f + g, f – g, fg, f/g, f2, dan√g beserta daerah asalnya√g, beserta daerah asalnya.

2. Diketahui f(x) = √x dan g(x) = 1/x. Tentukang ◦ f dan f ◦ g beserta daerah asalnyag ◦ f dan f ◦ g, beserta daerah asalnya.

9/6/2013 13(c) Hendra Gunawan

Page 14: MA1101 M2-1 04-09-13

0.7 BEBERAPA FUNGSI KHUSUSMA1101 MATEMATIKA 1A

0.7 BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 14

Page 15: MA1101 M2-1 04-09-13

Fungsi PolinomFungsi Polinom

Fungi Konstan:   f(x) = k (konstanta).u g o sta : ( ) ( o sta ta).Fungsi Identitas f(x) = x.Fungsi Linear: f(x) = mx + n.Fungsi Linear:   f(x)   mx + n.Fungsi Kuadrat: f(x) = ax2 + bx + c.

Keempat fungsi di atas termasuk keluarga besarFungsi Polinom: f(x) = anxn + an‐1xn‐1 + … + a1x + a0,dengan a0, a1, … , an konstanta, dan an ≠ 0. Di sini, n є Nmerupakan derajat polinom tersebut.Catatan: Daerah asal fungsi polinom adalah R.9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 15

Page 16: MA1101 M2-1 04-09-13

Fungsi Rasional & Fungsi AljabarFungsi Rasional & Fungsi Aljabar

Fungsi f yang merupakan hasilbagi dua fungsiFungsi f yang merupakan hasilbagi dua fungsipolinom, yakni

f(x) = p(x)/q(x) dengan p dan q polinomf(x) = p(x)/q(x),   dengan p dan q polinom,

disebut fungsi rasional. Sebagai contoh, 

f(x) = x/(x2 + 1) 

merupakan fungsi rasional.p g

Fungsi seperti g(x) = √x dan h(x) = x1/3 + 10 merupakan fungsi aljabarmerupakan fungsi aljabar.

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 16

Page 17: MA1101 M2-1 04-09-13

CatatanCatatan

Fungsi Nilai Mutlak f(x) = |x| termasuk fungsiFungsi Nilai Mutlak f(x) = |x| termasuk fungsialjabar, mengingat |x| = √(x2).  Dalam hal ini, jikay = |x| maka y memenuhi persamaan y2 = x2y = |x|, maka y memenuhi persamaan y = x . 

Secara umum, y = f(x) merupakan fungsi aljabarjika y memenuhi suatu persamaan aljabarjika y memenuhi suatu persamaan aljabarseperti y2 = x2 atau y3 = 3x2 + 5x dan sejenisnya.

S b i h 1/3 10 d l h f iSebagai contoh, y = x1/3 + 10 adalah fungsialjabar; ia memenuhi persamaan (y – 10)3 = x.

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 17

Page 18: MA1101 M2-1 04-09-13

Fungsi TrigonometriFungsi Trigonometri

Tidak semua fungsi merupakan fungsi aljabarTidak semua fungsi merupakan fungsi aljabar.

Salah satu kelompok fungsi yang tidak termasukfungsi aljabar adalah fungsi trigonometrifungsi aljabar adalah fungsi trigonometri.

Bayangkan titik P berputary Bayangkan titik P berputarpada lingkaran berjari‐jari 1 ygberpusat di O(0,0), lalu catat

t

bP

absis (a) dan ordinat (b) sbgfungsi dari sudut (t) antara OP d b i if

txO a

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 18

dan sumbu‐x positif. t dalam radian

Page 19: MA1101 M2-1 04-09-13

Grafik Fungsi Cosinus dan SinusGrafik Fungsi Cosinus dan Sinus

1.5

1

0

0.5

cos t

‐0.5

0

‐6 ‐4 ‐2 0 2 4 6 8sin t

1 5

‐1

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 19

‐1.5

Page 20: MA1101 M2-1 04-09-13

Fungsi Tan, Cot, Sec, dan CscFungsi Tan, Cot, Sec, dan Csc

Dari cos t dan sin t kita definisikanDari cos t dan sin t, kita definisikan

i /tan t = sin t/cos t

cot t = cos t/sin t

sec t = 1/cos t

csc t = 1/sin tcsc t   1/sin t

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 20

Page 21: MA1101 M2-1 04-09-13

Beberapa Sifat Fungsi TrigonometriBeberapa Sifat Fungsi Trigonometri

cos(‐x) = cos x  [yakni, y = cos x fungsi genap]( ) [y , y g g p]sin(‐x) = ‐sin x  [yakni, y = sin x fungsi ganjil]

2 2cos2 x + sin2 x = 11 + tan2 x = sec2 x,  1 + cot2 x = csc2 x

… dan masihbanyakk

cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin bsin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

kesamaantrigonometrilainnya!sin(a   b)   sin a cos b   cos a sin b

cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2cos2 x – 1 = 1 – 2sin2 x

y

sin 2x = 2cos x sin x9/6/2013 21(c) Hendra Gunawan

Page 22: MA1101 M2-1 04-09-13

LatihanLatihan

1 Tentukan daerah asal fungsi rasional berikut:1. Tentukan daerah asal fungsi rasional berikut:a. f(x) = x/(x2 – 1).

b g(x) = 1/(x2 + x)b. g(x) = 1/(x2 + x).

2. Sketsalah grafik fungsi berikut:a. y = sin 2t,  t є [‐2Π,2Π].

b. y = 1 – cos t,  t є [0,2Π]. 

9/6/2013 (c) Hendra Gunawan 22