Lks Trigonometri

Matematika SMA Kelas X Semester 2 Bab 5 : Trigonometri 1

A. PENGERTIAN DERAJAD DAN RADIAN

A.1. PENGERTIAN DERAJAD Apabila kita menggerakkan sebuah benda yang melintasi sebuah lingkaran dari posisi awal pada titik A kembali lagi ke titik A maka dikatakan benda tersebut menyapu sudut sebesar 360o atau dengan kata lain : atau Ukuran sudut yang lebih kecil lagi dari derajad adalah menit dilambangkan ( ‘ )dan detik dilambangkan ( “ ) dimana :

Materi Pokok

TRIGONOMETRI

Kompetensi Dasar 1 : • Menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri ,rumus

sinus dan cosinus dalam pemecahan masalah

Indikator : • Menjelaskan arti derajad dan radian • Mengubah ukuran sudut dari derajad ke radian dan sebaliknya • Menentukan sinus ,kosinus dan tangen suatu sudut dengan perbandingan

trigonometri segitiga siku-siku • Menentukan sinus ,kosinus dan tangen dari sudut khusus • Menentukan sinus ,kosinus dan tangen dari sudut disemua kuadran • Menentukan besarnya suatu sudut yang nilai sinus, kosinus dan

tangennya diketahui • Menggunakan kalkulator untuk menentukan nilai pendekatan fungsi

trigonometri dan besar sudutnya • Menggunakan rumus sinus, kosinus dalam penyelesaian soal • Mengkonstruksi grafik fungsi sinus dan kosinus • Menggambar grafik fungsi tangen

1 putaran = 360 o 1o = 360

1putaran

360

• 1o = 60 ‘ atau 1 ‘ = 60

1 o

• 1’ = 60 “ atau 1” = 60

1’


Contoh 1 : Nyatakan sudut 47,12o dalam bentuk derajad,menit dan detik Penyelesaian : 47,12o = 47 o + 0,12 o diuraikan dalam bentuk penjumlahan = 47 o + (0,12 x 60)’ 0,12 o diubah dalam menit = 47 o + 7,2’ perkalian = 47 o + .....’ + 0,2’ arti desimal = 47 o + .....’ + (0,2 x ....)” 0,2’ diubah dalam detik = 47 o + .....’ + 12” perkalian jadi 47,12o = 47 o.....’12” Contoh 2 :

Nyatakan sudut 3

1( 47,12o ) dalam bentuk derajad,menit dan detik

Penyelesaian :

3

1( 47,12o ) =

3

1( 47 o + 0,12 o ) diuraikan dalam bentuk penjumlahan

= 3

1x ...... o +

3

1x ...... o sifat distributif

= 3

1(45 o +2 o ) +

3

1x 0,12 o penguraian 47 o

= 3

1x ...... o +

3

1x 2 o +

3

1x 0,12 o sifat distributif

= 15 o +3

1x 2 x 60 ‘ +

3

1x 0,12x 60’ pengubahan derajad ke menit

= ..... o + ............... ‘ + 2,4’ perkalian = ..... o + 40 ‘ + 2’ + 0,4’ arti desimal = ......o + .... ‘ + 2’ + 0,4 x 60” pengubahan menit ke detik = 15 o + 40 ‘ + 2’ + ............” perkalian = 15 o + ....... ‘ + 24” penjumlahan = 15 o ..... ‘ 24” arti penjumlahan

Jadi 3

1( 47,12o ) = 15 o ...... ‘ 24”

1. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad,menit dan detik

a. 35,5o d. 103,45o b. 56,3o e. 204,23o c. 79,14o f. 306,51o

2. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad,menit dan detik

a. 2

1( 46o 26’ ) d.

5

1( 103,45o )

Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

1 LATIHAN SOAL PENGERTIAN DERAJAD


b. 3

1( 64 o 12’ ) e.

6

1( 79,14o )

c. 4

1( 95o 35’ ) f.

3

1( 306,51o )

3. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk desimal

a. 2

1( 36o 24’ ) d.

5

1( 134,40o )

b. 3

1( 57 o 14’ ) e.

6

1( 189,15o )

c. 4

1( 35o 45’ ) f.

3

1( 323,54o )

A.2. PENGERTIAN RADIAN Untuk memahami ukuran sudut dalam radian perhatikan gambar berikut A Perbandingan antara panjang busur AB dengan jar-jari B lingkaran OA dinamakan ukuran sudut dalam radian.

Dapat ditulis : jarijari

ABbusurpanjang

−)(

. Jika panjang busur

AB = jari-jari lingkaran , maka jarijari

ABbusurpanjang

−)(

=1

Dalam hal seperti itu dikatakan bahwa sudut AOB = 1 radian. Dengan demikian dapat didefinsikan bahwa :

A.3. MENGUBAH UKURAN SUDUT DARI DERAJAD KE RADIAN DAN

SEBALIKNYA Untuk mengubah ukuran sudut derajad ke radian , perhatikan gambar berikut :

A jarijari

ABbusurpanjang

−)(

= r

r.π= π radian ........ persamaan (1)

Sudut AOB = 180o ......... persamaan (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan :

B

O

Besar sudut 1 radian adalah sudut yang disapu oleh busur yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkarannya

●O

180o = π radian atau

1o = 180

1π radian

atau

1 radian = π1

.180o


Bila kita menggunakan nilai pendekatan π = 3,14159, maka : Contoh 1 : Nyatakan ukuran sudut berikut dalam bentuk radian : a. 135o b. 35o 24’ 45” Penyelesaian :

a. 135o = 135 x180

1π radian pengubahan derajad ke radian

= ......

3 π radian perkalian

b. 35o 24’ 45” = 35o + .....’ + 45” diuraikan ke penjumlahan = 35o + ..... x 60” + 45” pengubahan menit ke detik

= 35o + o

x

+3600

456024 pengubahan detik ke derajad

= 35o + 0,........o perkalian & pembagian = 35,........o penjumlahan = 35,4125o x 0,017 radian pengubahan derajad ke radian = 0,....... radian perkalian Contoh 2 : Nyatakan ukuran sudut berikut dalam bentuk derajad :

a. 3

1 π radian b.

6

1 radian

Penyelesaian :

a. 3

1 π radian =

3

1x 180o pengubahan radian ke derajad

= ........o perkalian

b. 6

1 radian =

6

1x 57,296o pengubahan radian ke derajad

= .........o perkalian 1. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk radian :

a. 90o d. 24,45o g. 55o 22’ 40” b. 120o e. 126,23o h. 143o 56’ 21” c. 300o f. 345,25o i. 235o 34’ 25”

1o = 180

1. 3,14159radian = 0,...... radian

atau

1 radian = 3,14159

1.180o = 57,......o

2 LATIHAN SOAL

PENGERTIAN RADIAN




2. Nyatakan sudut-sudut berikut dalam bentuk derajad :

a. 4

1 π radian d. 1

3

1 π radian g.

12

7 radian

b. 6

1 π radian e. 2

6

1π radian h.

4

5 radian

c. 4

3 π radian f. 3

4

3 π radian i. 1

6

7 radian

B. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

B.1. MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN SUATU SUDUT

DENGAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SEGITIGA SIKU-SIKU

C Gambar disamping adalah segitiga siku- siku ABC .

b a a adalah panjang sisi di depan sudut A b adalah panjang sisi di depan sudut B A B c adalah panjang sisi di depan sudut C c Jika dilihat dari sudut A, maka : Jika dilihat dari sudut C, maka : Sisi a disebut sisi di depan sudut A Sisi c disebut sisi di depan sudut C Sisi c disebut sisi di dekat sudut A Sisi a disebut sisi di dekat sudut A Sisi b disebut sisi miring ( hipotenusa ) Sisi b disebut sisi miring(hipotenusa) Dari pengertian tersebut, maka perbandingan trigonometri untuk sudut A adalah : Contoh 1 : B Gambar disamping adalah segitiga siku-siku ABC dengan A = 3 , b = 4 dan c = 5. Tentukan nilai perbandingan 3 5 trigonometri untuk sudut A C 4 A

• sin A = miring sisi

Asudut depan di sisi =

b

a

• cos A = miring sisi

Asudut dekat di sisi =

b

c

• tan A = Asudut dekat di sisi


c

a

• cosec A = Asin

1 =

a

b

• sec A = A cos

1 =

c

b

• cotan A = Atan

1 =

a

c




Penyelesaian :

sin A = miring sisi


.....

3 cosec A =

Asin

1 =

3

.....

cos A = miring sisi


5

..... sec A =

A cos

1 =

.....

.....

tan A = Asudut dekat di sisi


.....

..... cotan A=

Atan

1 =

.....

.....

Contoh 2 : A Gambar disamping adalah segitiga ABC siku-siku di B dengan a = 2 dan b = 4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A. B Penyelesaian : 4 Panjang sisi c harus kita hitung terlebih dahulu dengan menggunakan 2 Teorema Phytagoras : C

c = 22 ab −

= 22 ....4 − substitusi nilai a dan b

= ..........− perpangkatan

= ..... pengurangan

= 2 ..... disederhanakan Dengan demikian perbandingan trigonometri untuk sudut A adalah :

sin A = miring sisi


.....

2 =

.....

1 disederhanakan

cos A = miring sisi


.....

32= ....

2

1 disederhanakan

tan A = Asudut dekat di sisi


....2

.......=

32

2x

....

.... penyebut dirasionalkan

= ....

....2 perkalian

= .....3

1 disederhanakan

cosec A = Asin

1 =

1

.....= .... pembagian

sec A = A cos

1 =

32

..... =

3

..... pembagian

= 3

2x

....

.... penyebut dirasionalkan

= ......

.....2 perkalian

cotan A= Atan

1 =

.....

....2= ...... pembagian


1. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri sudut A dan B pada gambar berikut :

a. c. A A B 4 5 5 12 3 B

3 b. 8 A d. A

3 10 6 2 B B 2. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri sudut A pada segitiga siku-siku ABC berikut :

a. a = 8, b = 15 c. a = 25 , c = 2 e. b = 12, c = 13 b. a = 12, b = 15 d. a = 7 , c = 24 f. b = 15, c = 17

3. Hitunglah nilai perbandingan trigonometri yang lain dari sudut B ( sudut B lancip) jika diketahui :

a. sin B = 25

7 c. tan B =

3

4 e. sec B =

4

5

b. cos B = 2

3 d. cosec B =

6

10 f. cotan B =

9

12

C. MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUDUT

KHUSUS Nilai perbandingan trigonometri sudut khusus yaitu 0o, 30o, 45o, 60o dan 90o .

SUDUT ISTIMEWA PERBANDINGAN TRIGONOMETRI 0o 30o 45o 60o 90o

Sin 0

2

1 2

2

1 3

2

1

1

Cos 1 3

2

1 2

2

1

2

1

0

Tan 0 3

3

1

1 3 tak terdefinisi

3 LATIHAN SOAL

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI


Cosec tak terdefinisi

2 2 33

2

1

Sec 1 3

3

2 2 2 tak

terdefinisi

Cotan tak terdefinisi

3 1 3

3

1

0

Contoh 1 : Tentukan nilai dari sin 60o + sec 30o Penyelesaian :

sin 60o + sec 30o = ....2

1 + ....

3

2 sudut istimewa

= (2

1 +

3

2) .... sifat distributif

= ....6

7 penjumlahan

Contoh 2 : Diketahui segitiga ABC siku-siku di B dengan sudut A = 30o dan panjang sisi b = 30 cm , hitunglah : a. Besar sudut C b. panjang sisi a c. panjang sisi c Penyelesaian : C a b= 30 B c A a. Besar sudut C = 180o – ( .... + 30 )o = ....o ingat jumlah sudut ∆ = 180o

b. Sin A = b

a arti sinus

sin 30o = ....

a substitusi nilai A dan b

a = .... x sin 30o kedua ruas dikalikan 30

a = .... x ....

1 substitusi nilai sin 30o

a = .... perkalian jadi panjang sisi a = ....cm

c. cos A = b

c arti kosinus

cos 30o = ....

c substitusi nilai A dan b

c = .... x cos 30o kedua ruas dikalikan 30

30o




c = .... x ....2

1 substitusi nilai cos 30o

c = 15 .... perkalian

jadi panjang sisi c = 15....cm 1. Hitunglah nilai dari :

a. sin 30o + cos 30o f. cos 60o.sin 30o – tan 45o b. cos 45o – tan 45o g. Tan 45o. Sec 30o + cos 60o c. tan 60o + cosec 60o h. Cosec 30o. Tan 60o – sin 30o d. sec 30o – cotan 45o i. Sin 45o. Cos 30o. Tan 60o e. sin 45o + cos 30o – tan 60o j. 1 – cotan 30o.cosec 60o

2. Hitunglah nilai dari : a. Sin2 60o + cos2 30o e. cos 2 60o.sin2 30o – tan 45o

b. ( cos 45o – tan 45o )2. sin 30o f. o

o

60tan1

30sin

−

c. o

o

30sin4

30cos322

2− -

o

o

ec 60cos1

30sec2

2

− g.

o

o

30sin

45cos2

+ o

o

60sec

30tan12

−

d. ( 1 + cos2 60o )( 1 – tan2 30o ) h. ( 1 – sin2 30o )2 3. Hitunglah nilai dari :

a. sin 2

1π + cos

2

3 π d. cos

2

1π.sin

2

3 – tan

4

1 π

b. cos 3

2π – tan

4

1π e. tan

2

1π. Sec

4

1π + cos

3

2π

c. sin 2

1π + cos

4

1π – tan

2

3π f. 1 – cotan

3

2π.cosec

2

1π

4. A c b Hitunglah unsur yang belum diketahui pada gambar segitiga disamping, jika diketahui : B a C a

a. sisi b = 13, sisi c = 12 e. sisi a = 8 , sisi c = 4 b. sisi b = 10 , sisi c = 4 f. sisi a = 4 , sisi c = 3 c. sisi b = 8 , sudut C = 20o g. sisi a = 10 , sudut A = 70o d. sisi a = 15 , sudut C = 63o h. sisi b = 8,2 , sudut A = 50o15’

D. MENENTUKAN TANDA SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUD UT

DI SEMUA KUADRAN

4 LATIHAN SOAL

MENENTUKAN SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DARI SUDUT

KHUSUS


y

II I x III IV Pada gambar diatas adalah sebuah sumbu koordinat Cartesius yang membagi daerah menjadi empat bagian. Untuk selanjutnya ke empat daerah tersebut dinamakan kuadran . - kuadran I : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x positif dan sumbu y positif - kuadran II : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x negatif dan sumbu y positif - kuadran III : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x negatif dan sumbu y negatif - kuadran IV : yaitu daerah yang dibatasi oleh sunbu x positif dan sumbu y negatif ► Pengertian posisi sudut di kuadran adalah sebagai berikut : - sudut α di kuadran I : yaitu sudut yang besarnya 0o < α < 90o - sudut α di kuadran II : yaitu sudut yang besarnya 90o < α < 180o - sudut α di kuadran III : yaitu sudut yang besarnya 180o < α < 270o - sudut α di kuadran IV : yaitu sudut yang besarnya 270o < α < 360o Dari uraian diatas dapat dirangkum dalam tabel :

Tanda di Kuadran Perbandingan Trigonometri I II III IV

sin + + - - cos + - - + tan + - + -

cosec + + - - sec + - - +

cotan + - + - Atau dapat juga dibuat : II I + sin/cosec + semua + tan/cotan + cos/sec III IV Contoh 1 : Terletak di kuadran manakah sudut berikut : a. 34o b. 267o Penyelesaian : a. karena 0o < 34o < 90o maka sudut 34o terletak dikuadran ..... b. karena 180o < 267o < 270o maka sudut 34o terletak dikuadran ...... Contoh 2 : Tentukan tanda dari perbandingan trigonometri berikut : a. sin 123o b. tan 342o Penyelesaian : a. karena sudut 123o terletak di kuadran II dan sinus di kuadran II positif maka sin 123o bertanda

....... b. karena sudut 342o terletak di kuadran IV dan tangen di kuadran IV negatif maka tan 342o

bertanda ..........




1. Perbandingan trigonometri berikut ini manakah yang bertanda positif dan mana yang negatif.

a. sin 23o e. cotan 67o b. cos 134o f. sin 226o c. tan 225o g. cos 290o d. cosec 335o h. sec 351o.

2. Terletak dikuadran manakah sudut berikut : a. 78o e. 346o b. 123o f. – 45o c. 224o g. – 134o d. 298o h. 678o

3. Jika diketahui sin A = - 5

3 dan cos A positif. Tentukan :

a. tan A d. sec A b. cosec A e. cotan A c. cos A f. (cos A + tan A)2 d. sin A – sec A g. (1 – sec2 A)2

4. Diketahui cos A = 3

2− , sin B = 2

1− , jika tan A negatif dan tan B positif, tentukan :

a. sin A e. sec A b. cos B f. cotan B c. tan A g. sin A + cos B – tan A d. cosec B h. (cosec B – sec A)2

E. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Perbandingan Trigonometri Sudut

Berelasi sin cos tan Cosec sec cotan (90- α)o Cos α Sin α Cotan α Sin α Cos α Tan α (90+α)o Cos α - sin α - cotan α Sin α - cos α - tan α (180-α)o Sin α - cos α - tan α Cosec α - sec α - Cotan α (180+α)o - Cos α - sin α cotan α - Sin α - cos α tan α (270-α)o - sin α - cos α Tan α - cosec α - sec α Cotan α (270+α)o - Cos α sin α - cotan α - Sin α cos α - tan α (360-α)o - sin α Cos α - tan α - cosec α Sec α - cotan α

(- α)o - sin α Cos α - tan α - cosec α Sec α - cotan α (n.360+ α)o Sin α Cos α Tan α Cosec α Sec α Cotan α

5 LATIHAN SOAL

MENENTUKAN TANDA SINUS ,KOSINUS DAN TANGEN DIBERBAGAI KUADRAN


Contoh 1 : Nyatakan perbandingan trigonometri sin 220o dalam sudut lancip Penyelesaian : sin 220o = sin ( 270 – 50 )o = - sin 50o

Contoh 2 : Nyatakan perbandingan trigonometri sin ( - 220o ) dalam sudut positif lancip Penyelesaian : sin ( - 220o ) = - sin 220o = - sin ( 270 – 50 )o = - (- sin 50o ) = sin 50o 1. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut lancip

a. sin 112o d. cosec 35o g. sin 412o b. cos 254o e. sec 246o h. cos 567o c. tan 289o f. cotan 312o i. Tan 645o

2. Nyatakan perbandingan trigonometri berikut dalam sudut positif lancip a. sin (-34)o d. cosec (-55)o g. sin (-387)o b. cos (-124)o e. sec (-296)o h. cos (-432)o c. tan (-239)o f. cotan (-323)o i. Tan (-896)o

3. Lengkapilah tabel berikut : Sudut Perbandingan

Trigonometri 120o 150o 210o 240o 300o 330o Sin Cos Tan

Cosec Sec

Cotan 4. Lengkapilah tabel berikut :

Sudut Perbandingan Trigonometri (-30)o (-60)o (-90)o (-120)o (-150)o (-180)o

Sin Cos Tan

Cosec Sec


Sudut Perbandingan Trigonometri 135o 225o 315o 405o 450o 495o

Sin Cos



6 LATIHAN SOAL

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT

BERELASI


Tan Cosec Sec


Sudut Perbandingan Trigonometri (-150)o (-330)o (-675)o (-810)o (-1350)o (-1440)o

Sin Cos Tan

Cosec Sec

Cotan

F. IDENTITAS TRIGONOMETRI

E.1 IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR ► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN KEBALIKAN

► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN PERBANDINGAN y r P(x,y) α 0 A x

• Sin α = αeccos

1 ● Cosec α =

αsin

1

• Cos α = αsec

1 ● Sec α =

αcos

1

• Tan α = αancot

1 ● Cotan α =

αtan

1

•

Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan kebalikan

Tan α = ....

sinα

Cotan α = ....

cosα


Pada segitiga OAP berlaku :

sin α = ....

y α

αα

tan.....

.........

....cos

sin ===r

y

cos α = r

.... α

αα

an

r

xcot

.....

.........

....sin

cos ===

tan α = ....

y

► IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR HUBUNGAN PHYTAGORAS y r P(x,y) α 0 A x Pada segitiga OAP berlaku : Pada segitiga OAP juga berlaku teorema Phytagoras :

sin α = ....

y y = r. sin α (AO)2 + (AP)2 = (OP)2

cos α = r

.... .... = r. cos α x 2 + .......2 = .........2

(r. cos α) 2 + (............)2 = .....2 (cos α) 2 + (............)2 = .....2 cos2 α + ............ = .....

Contoh 1 :

Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan Phytagoras

Kedua ruas dibagi dengan r

Ini adalah identitas trigonometri dasar yang merupakan hubungan perbandingan

Jika persamaan itu dibagi dengan cos2 α, maka diperoleh persamaan : 1 + ............. = sec2 α

Jika persamaan itu dibagi dengan sin2 α, maka diperoleh persamaan : 1 + ............. = cosec2 α

• cos2 α + ............ = ..... • 1 + ............. = sec2 α • 1 + ............. = cosec2 α

Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN


Diketahui cos α = 5

4 dan 0o < α < 90 o . Hitunglah nilai dari :

a. sin α d. Sec α b. tan α e. cotan α c. cosec α

Penyelesaian : a. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan Phytagoras , yaitu :

cos 2 α + sin 2 α = 1 sin α = .......

......±

(5

4)2 + sin 2 α = 1

......

...... + sin 2 α = 1

sin 2 α = 1 – ......

......

= ......

......

sin α = .....

.....± Jadi sin α = .......

......

b. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan perbandingan , yaitu :

tan α = αα

cos

sin

=

54....

....

= .......

......

c. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu :

cosecα = αsin

1

=

..........

1

= .......

......

d. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu :

secα = αcos

1

=

..........

1

= .......

......

e. dapat anda gunakan identitas trigonometri dasar hubungan kebalikan , yaitu :

cotanα = αtan

1

Hasil ini harus kita pilih salah satu yang ( + ) atau ( – )

Untuk memilih itu kita dapat berpedoman dengan cara melihat interval, yaitu 0o < α < 90 o. Interval ini menunjukkan bahwa sudut α terletak pada kuadran I

Karena α terletak pada kuadran I, maka harga sin α kita pilih yang positif


=

..........

1

= .......

......

1. Diketahui cos α = 2



2. Diketahui cos α = 53



3. Diketahui sin α = 32

1− dan 180o < α < 270 o . Hitunglah nilai dari :

a. cos α d. Sec α b. tan α e. cotan α c. cosec α



a. cos α d. Sec α b. tan α e. cotan α c. cosec α

5. Diketahui tan α = 3


a. sec α d. cosec α b. cos α e. cotan α c. sin α



a. sec α d. cosec α b. cos α e. cotan α c. sin α

7. Diketahui cotan α = 12


a. cosec α d. sec α b. sin α e. tan α c. cos α

8. Diketahui cotan α = 3− dan 180o < α < 270 o . Hitunglah nilai dari : a. cosec α d. sec α

7 LATIHAN SOAL

IDENTITAS TRIGONOMETRI DASAR


b. sin α e. tan α c. cos α



a. sec α d. cosec α b. cos α e. cotan α

c. sin α f. ααα

αααtancossec

tancossin

−+−+

ec


5 , cos β =

4

3 dan 0o < α < 90 o , 270o < β < 360 o . Hitunglah nilai dari :

a. cos α h. sin α cos β + cos α sin β b. tan α i. 2sin α cos α c. sin β j. cos 2 α + sin 2 α d. tan β k. 2sin β cos β e. sin α cos β – cos α sin β l. cos 2 α – sin 2 α

f. cos α cos β + sin α sin β m. βαβα

tantan1

tantan

−+

g. cos α cos β – sin α sin β n. βαβα

tantan1

tantan

+−

E.2 IDENTITAS TRIGONOMETRI LANJUTAN Contoh 1 : Buktikan bahwa : ( sin A + cos A )2 – 2 sin A . cos A = 1 Bukti : Kita harus membuktikan ruas kiri sehingga hasilnya sama dengan ruas kanan Ruas kanan =( sin A + cos A )2 – 2 sin A . cos A

= (sin A + cos A)(....... + cos A) – 2 sin A . cos A = sin A (sin A + cos A)+cos A(....... + ........) – ........................ = sin2 A + ......... cos A + ......... sin A + cos2 A– 2 sin A . cos A = sin2 A + cos2 A + sin A cos A + cos A sin A – ........................... = (sin2 A + cos2 A) + (sin A cos A + sin A cos A) – ..................... = 1 +( 2 sin A cos A – ..........................) = 1 + 0 = ......

Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi Ayo…. Kita lengkapi CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

TRIKTRIKTRIKTRIK Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan :Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan :Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan :Menyelesaikan identitas trigonometri lanjutan :

Cara 1 : Sederhanakan salah satu bentuk ruas yang rumit sehingga diperoleh bentuk yang sama dengan ruas lain Cara 2 : Sederhanakan masing-masing bentuk ruas sehingga diperoleh bentuk yang sama antara ruas kiri dengan ruas kanan

Ruas kiri lebih rumit, maka yang diuraikan adalah ruas kiri, sehingga menghasilkan seperti ruas kanan


= ruas kanan Karena ruas kiri telah dibuktikan hasilnya sama dengan ruas kanan maka identitas trigonometri tersebut benar 1. Buktikan identitas trigonometri berikut :

a. 3sin2A + 3cos2A = 3 b. ( sin A + cos A ) ( sin A – cos A ) = 2 sin2A – 1 c. cos2A .tan A = sin A . cos A d. ( 1 – cos2A)(tan2A – 1 ) = tan2A e. (1 – tan4A) cos4A = 1- 2 sin2A

f. AAA

Asec

sincos

1tan =+

+

g. A

A

A

A

sin1

cos

cos

sin1

+=−

h. cos2A ( 1 + tan2A ) = 1

i. 1cos

)sin1)(1(sin2

=−+A

AA

j. 1cos.sin)cos

sin

sin

cos( =+ AA

A

A

A

A

F. GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

F.1. GRAFIK FUNGSI y = sin xo ( 0o ≤ x ≤ 360o ) Untuk membuat grafik fungsi y = sin xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut :

x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y= sin xo

0 2

1 3

2

1 1 3

2

1

2

1 0 -

2

1 - 3

2

1 -1 - 3

2

1 -

2

1 0

y 1 240o 300o 360o x 0o 30o 60o 90o 120o 150o 180o 210o 270o 330o

-1

8 LATIHAN SOAL

IDENTITAS TRIGONOMETRI LANJUTAN

32

1

2

1

-2

1

32

1−

Nilai maksimum = 1

Nilai minimum = - 1


F.2. GRAFIK FUNGSI y = cos xo ( 0o ≤ x ≤ 360o ) Untuk membuat grafik fungsi y = cos xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut :

x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y= cos xo

... 32

1 .... 0 ....... - 3

2

1 ..... - 3

2

1 ..... 0 ..... 3

2

1 .....

y

30 60 12090 180 240 270 300 330 360150 210

-1

0

F.3. GRAFIK FUNGSI y = tan xo ( 0o ≤ x ≤ 360o ) Untuk membuat grafik fungsi y = tan xo dapat dibuat tabulasi sudut berelasi yang ada hubungannya dengan sudut istimewa seperti tabel berikut :

x 0 45 90 135 180 225 270 315 360 y= tan xo 0 ..... ~ ..... 0 ....... ~ ......... 0

45 90 180 225 270 315360

135

1

- 1

0

1 3

2

1

32

1−

2

1

2

1−

x

x

y

Nilai maksimum = 1

Nilai minimum = - 1

Nilai minimum = - ~

Nilai maksimum = + ~


1. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan

pula nilai maksimum dan minimumnya :

a. y = 2 sin x e. y = 2

1sin x

b. y = 3 cos x f. y = 3

1cos x

c. y = – 2 sin x g. y = – 2

1sin x

d. y = – 3 cos x h. y = – 3

1cos x

2. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya :

a. y = sin x + 3 e. y = 2

1sin x – 3

b. y = cos x + 1 f. y = 3 – 3

1cos x

c. y = 1 + 2 sin x g. y = 2 – 2

1sin x

d. y = 2 – 3 cos x h. y = – 3

1cos x + 4

3. Lengkapilah tabel berikut ini , kemudian guatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), serta tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya :

a. x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y= cossec xo

... ..... .... .... ....... ....... ..... ....... ..... ..... ..... ...... .....

b. x 0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

y= sec xo

... ..... .... .... ....... ....... ..... ....... ..... ..... ..... ...... .....

c. x 0 45 90 135 180 225 270 315 360 y= cotan xo ..... ..... ..... ..... ..... ....... ..... ......... .....

4. Buatlah grafik fungsi trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o ), kemudian tentukan pula nilai maksimum dan minimumnya :

a. y = sin ( x + 30 ) e. y = 2

1sin ( x – 60 )

b. y = cos ( x – 30 ) f. y = 3 – 3

1cos ( x + 60 )

c. y = 1 + 2 sin ( x + 45 ) g. y = 2 – 2

1sin ( x – 90 )

d. y = 2 – 3 cos ( x – 45 ) h. y = – 3

1cos ( x + 90 )

9 LATIHAN SOAL

GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI


G. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

G.1. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK sin xo = sin α o

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin xo = sin 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : sin xo = sin 20o x = 20 + n.360 jika n = 0 x = 20 + 0.360 = ...... atau x = ( 180 – ..... ) + n.360 jika n = 0 x = 160+ 0.360 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... }

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin ( x – π2

1) = sin π

3

1 dalam

interval (0 ≤ x ≤ 2π) Penyelesaian :

sin( x – π2

1) = sin π

3

1

( x – π2

1) = π

3

1 + n.2 π

x = π2

1 + π

3

1 + n.2 π

x = π....

.... + n.2 π

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x o = sin α o (0o ≤ x ≤ 360o )adalah :

1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x = sin a (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :

1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( π – a ) + n. 2π



α = 20

Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian

a = π3

1

n ,B n ,B


jika n = 0 x = π....

.... + 0.2 π

= π....

....

atau

x = (π – π....

.... ) + n.2 π

x = π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = ....... π + 0.2 π Jadi HP : { ...... , ....... } = ...... π

G.2. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK cos xo = cos α o

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos xo = cos 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : cos xo = cos 20o x = 20 + n.360 jika n = 0 x = 20 + 0.360 = ...... atau x = ( – ..... ) + n.360 jika n = 0 x = .......+ 0.360 = ...... n = 1 x = .......+ 1.360 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... }

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos ( x – π2

1) = cos π

3

1 dalam


Cos ( x – π2

1) = cos π

3

1


penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos x o = cos α o (0o ≤ x ≤ 360o )adalah :

1. x = α + n.360 atau 2. x = ( – α ) + n. 360

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos x = cos a (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :

1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( – a ) + n. 2π



α = 20 Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian

a = π3

1

n ,B n ,B

Untuk n = 0 ini harga x nya tidak merupakan HP karena diluar batas interval

Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian


( x – π2

1) = π

3

1 + n.2 π

x = π2

1 + π

3

1 + n.2 π

x = π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = π....

.... + 0.2 π

= π....

.... atau

x = ( – π....

.... ) + n.2 π

jika n = 0 x = – π....

.... + 0.2 π

= – π....

....

n = 1 x = – π....

.... + 1.2 π Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }

= – π....

....

G.3. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK tan xo = tan α o

Contoh 1 : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2xo = tan 20o dalam interval (0o ≤ x ≤ 360o) Penyelesaian : tan 2xo = tan 20o 2x = 20 + n.360 x = .....+ n. 180 jika n = 0 x = .... + 0.180 = ...... n = 1 x = .... + 1.180 = ...... atau



penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan x o = tan α o (0o ≤ x ≤ 360o )adalah :

1. x = α + n.360 atau 2. x = (180 + α) + n. 360

penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan x = tan a (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :

1. x = a + n. 2π atau 2. x = (π + a ) + n. 2π



α = 20 Untuk n = 2, 3, dst. Jika dihitung sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian

n ,B n ,B


2x = ( 180 + ..... ) + n.360 = .................... + n.360 x = .....................+ n.180 jika n = 0 x = ...... .+ 0.180 = ...... n = 1 x = .......+ 1.180 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... , ......, ....... }

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan ( x – π2

1) = tan π

3

1 dalam


tan ( x – π2

1) = tan π

3

1

( x – π2

1) = π

3

1 + n.2 π

x = π2

1 + π

3

1 + n.2 π

x = π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = π....

.... + 0.2 π

= π....

.... Atau

x = (π + π....

.... ) + n.2 π

= π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = π....

.... + 0.2 π

= π....

.... Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x

≤ 360o) a. sin x o = sin 65 o b. sin 2x o = sin 80 o c. sin ( x – 30 ) o = sin 40 o d. sin ( 2x – 50 ) o = sin 10 o

e. sin 2

1x o = sin 50 o

a = π3

1




10 LATIHAN SOAL

PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR 1

m. cos x o = cos 75 o n. cos 3x o = cos 60 o o. cos ( x – 30 ) o = cos 20 o p. cos (2x – 50) o = cos 50 o

q. cos 2

1x o = cos 40 o

r. cos (2

1x – 30 ) o = cos 10 o

g. tan x o = tan 95 o h. tan 4x o = tan 40 o i. tan ( x – 30 ) o = tan 50 o j. tan (2x – 50) o = tan 20 o

k. tan 2

1x o = tan 80 o

l. tan (2

1x – 30 ) o = tan 60 o


f. sin (2

1x – 30 ) o = sin 70 o

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0 ≤ x ≤ 2 π )

a. sin x = sin 2

1π

b. sin 2x = sin 3

1π

c. sin ( x – 2

1π ) = sin

4

1π

d. sin ( 2x – 3

1π ) = sin

3

2π

e. sin 2

1x = sin

2

3π

f. sin (2

1x –

4

1π ) o = sin

4

3π

G.4. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK sin xo = a Contoh 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin xo = 2

1 dalam interval (0o ≤ x

≤ 360o) Penyelesaian :

sin xo = 2

1

sin xo = sin 30o x = 30 + n.360 jika n = 0 x = ...... + 0.360 = ...... atau x = ( 180 – ..... ) + n.360 jika n = 0 x = ...... + 0.360

g. cos x = cos 2

1π

h. cos 3x = cos 2

3π

i. cos ( x – 2

1π ) = cos

4

1π

j. cos (2x – 2

3π) = cos

2

1π

k. cos 2

1x = cos

6

5π

l. cos (2

1x –

6

1π ) = cos

2

1π

m. tan x = tan 2

1π

n. tan 4x = tan 3

1π

o. tan ( x – 2

1π ) = tan

3

2π

p. tan ( 2x – 4

1π ) = tan

6

1π

q. tan 2

1x = tan

2

3π

r. tan (2

1x –

3

1π ) = tan

4

3π

Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu sin xo = a menjadi

bentuk sin xo = sin α o 2. selesaikan bentuk sin xo = sin α o

dengan cara yang sudah dipelajari diatas



Ingat nilai sudut

istimewa sin 30o = 2

1


Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk sin x o = sin α o Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) :

1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360

sin x = sin a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :

1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( π – a ) + n. 2π


= ...... Jadi HP : { ...... , ....... }

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin ( x – π2

1) = 3

2

1 dalam


sin ( x – π2

1) = 3

2

1

sin( x – π2

1) = sin π

3

1

( x – π2

1) = π

3

1 + n.2 π

x = π2

1 + π

3

1 + n.2 π

x = π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = π....

.... + 0.2 π

= π....

....

atau

x = (π – π....

.... ) + n.2 π

x = π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = ....... π + 0.2 π Jadi HP : { ...... , ....... } = ...... π

G.5. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK cos xo = a Contoh 1 :


Ingat nilai sudut istimewa

sin π3

1 = 3

2

1

Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu cos xo = a menjadi

bentuk cos xo = cos α o 2. selesaikan bentuk cos xo = cos α o


Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk cos xo = cosα o Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) :

1. x = α + n.360 atau 2. x = ( – α ) + n. 360

cos x = cos a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :

1. x = a + n. 2π atau 2. x = ( – a ) + n. 2π




Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos xo = 2

1 dalam interval (0o ≤ x

≤ 360o) Penyelesaian :

cos xo = 2

1

cos xo = cos 60o x = 60 + n.360 jika n = 0 x = ..... + 0.360 = ...... atau x = ( – ..... ) + n.360 jika n = 0 x = .......+ 0.360 = ...... n = 1 x = .......+ 1.360 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... }

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri cos ( x – π2

1) =

2

1 dalam


cos ( x – π2

1) =

2

1

Cos ( x – π2

1) = cos π

3

1

( x – π2

1) = π

3

1 + n.2 π

x = π2

1 + π

3

1 + n.2 π

x = π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = π....

.... + 0.2 π

= π....

....

atau

x = ( – π....

.... ) + n.2 π

jika n = 0 x = – π....

.... + 0.2 π

= – π....

....

n = 1 x = – π....

.... + 1.2 π Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }

Ingat nilai sudut

istimewa cos 60 o = 2

1 Untuk n = 1, 2, 3, dst. Jika dihitung

sudah melebihi batas interval, oleh karena itu harga x nya tidak merupakan penyelesaian


Untuk n = 0 ini harga x nya tidak merupakan HP karena diluar batas interval



Ingat nilai sudut istimewa

cos π3

1 =

2

1


= – π....

....

G.6. PERSAMAAN TRIGONOMETRI BENTUK tan xo = a Contoh 1 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan 2xo = 33

1 dalam interval (0o

≤ x ≤ 360o) Penyelesaian :

tan 2xo = 33

1

tan 2xo = tan 30o 2x = 30 + n.360 x = .....+ n. 180 jika n = 0 x = .... + 0.180 = ...... n = 1 x = .... + 1.180 = ...... atau 2x = ( 180 + ..... ) + n.360 = .................... + n.360 x = .....................+ n.180 jika n = 0 x = ...... .+ 0.180 = ...... n = 1 x = .......+ 1.180 = ...... Jadi HP : { ...... , ....... , ......, ....... }

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri tan ( x – π2

1) = 3 dalam


Trik Menyelesaikan : 1. ubah dahulu tan xo = a menjadi

bentuk tan xo = tan α o 2. selesaikan bentuk tan xo = tan α o


Penyelesaian persamaan trigonometri bentuk tan xo = tan α o Untuk interval (0o ≤ x ≤ 360o ) :

1. x = α + n.360 atau 2. x = ( 180 – α ) + n. 360

tan x = tan a untuk interval (0 ≤ x ≤ 2π )adalah :

1. x = a + n. 2π atau 2. x = (π – a ) + n. 2π



Ingat nilai dari sudut

istimewa tan 30 o = 33

1




tan ( x – π2

1) = 3

tan ( x – π2

1) = tan π

3

1

( x – π2

1) = π

3

1 + n.2 π

x = π2

1 + π

3

1 + n.2 π

x = π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = π....

.... + 0.2 π

= π....

....

atau

x = (π + π....

.... ) + n.2 π

= π....

.... + n.2 π

jika n = 0 x = π....

.... + 0.2 π

= π....

.... Jadi HP : { ...... , ...... , ...... }

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0o ≤ x

≤ 360o)

4. a. sin x o = 22

1

b. sin 2x o = 32

1

c. sin ( x – 30 ) o = 22

1−

d. sin ( 2x – 50 ) o = 2

1

e. sin 2

1x o =

2

1−

f. sin (2

1x – 30 ) o = 2

2

1



Ingat nilai dari sudut istimewa

tan π3

1 = 3

11 LATIHAN SOAL

PERSAMAAN TRIGONOMETRI DASAR 2

g. cos x o = 22

1

h. cos 3x o = 32

1−

i. cos ( x – 30 ) o = 2

1−

j. cos (2x – 50) o = 22

1−

k. cos 2

1x o = 2

2

1

l. cos (2

1x – 30 ) o = 1

m. tan x o = 1 n. tan 4x o = - 1

o. tan ( x – 30 ) o = 33

1

p. tan (2x – 50) o = 33

1−

q. tan 2

1x o = 3

r. tan (2

1x – 30 ) o = 3−


2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri berikut dalam interval (0 ≤ x ≤ 2 π )

a. a. sin x = 2

1

b. b. sin 2x = 22

1

c. c. sin ( x – 2

1π ) = 3

2

1−

d. d. sin ( 2x – 3

1π ) = 3

2

1

e. e. sin 2

1x = 2

2

1−

f. f. sin (2

1x –

4

1π ) o = 1

H. ATURAN SINUS DAN KOSINUS

H.1. ATURAN SINUS Perhatikan segitiga ABC gambar diatas, dimana : ► segitiga APC siku-siku dititik P maka berlaku :

Sin A = AC

CP CP = ...... sin A

► segitiga BPC siku-siku dititik P maka berlaku :

Sin B = BC

CP CP = ...... sin B

► segitiga BAQ siku-siku dititik Q maka berlaku :

g. cos x = 22

1

h. cos 3x = 22

1−

i. cos ( x – 2

1π ) =

2

1

j. cos (2x – 2

3π) = 2

2

1

k. cos 2

1x = - 1

l. cos (2

1x –

6

1π ) = 3

2

1

m. tan x = 33

1

n. tan 4x = - 1

o. tan ( x – 2

1π ) = 3−

p. tan ( 2x – 4

1π ) = 3

3

1−

q. tan 2

1x = 3

r. tan (2

1x –

3

1π ) = 3

3

1−

Pada pembahasan yang lalu tentang perbandingan trigonometri telah dibahas bagaimana menghitung unsur-unsur dalam suatu segitiga siku-siku . Bagaimana kalau segitiganya bukan segitiga siku-siku ( sebarang ) ?

Untuk itulah diperlukan sebuah aturan yang dapat menjawab pertanyaan tersebut, yaitu dengan aturan sinus dan kosinus

C Q R b a A P c B

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : a. Panjang sisi AB = c b. Panjang sisi AC = b c. Panjang sisi BC = a d. Garis CP merupakan garis tinggi pada sisi AB e. Garis AQ merupakan garis tinggi pada sisi BC f. Garis BR merupakan garis tinggi pada sisi AC

Dari dua persamaan ini diperolah : .......sin A = ......sin B atau

BA sin

.....

sin

..... =


Sin B = AB

AQ AQ = ...... sin B

► segitiga CAQ siku-siku dititik Q maka berlaku :

Sin C = AC

AQ AQ = ...... sin C

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 8 cm, sudut A = 50o dan sudut B = 70o . Hitunglah panjang BC dan AB Penyelesaian : ► kita hitung panjang sisi BC :

A

BC

B

AC

sinsin=

.....sin.....sin

..... BC=

BC sin 70o = ...... sin ......

BC = o70sin

.....sin.....

Jadi panjang sisi BC = ...... cm Contoh 2 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 8 cm dan sudut C = 54o . Hitunglah sudut B dan sudut A Penyelesaian : ► kita hitung sudut B :

C

AB

B

AC

sinsin=

.....sin

.....

sin

..... =B

6.sin B = ...... sin ......

sin B = 6

.....sin.....

= 6

.............x

= 0, .......... sudut B = ..........

Dari dua persamaan ini diperolah : .......sin B = ......sin C atau

CB sin

.....

sin

..... =

Dari dua persamaan diatas ditulis secara

singkat : Asin

.....=

CB sin

.....

sin

..... =

Bentuk terakhir itulah yang selanjutnya dinamakan aturan sinus



C 8 A B

50o 70o

► kita hitung panjang sisi AB :

C

AB

B

AC

sinsin=

.....sin.....sin

...... AB=

AB sin 70o = ...... sin ......

AB = o70sin

.....sin.....

Jadi panjang sisi AB = ...... cm

Sudut C dapat anda hitung = 180 – ( 50 + 70 ) = ........

C 6 A 8 B

54o

► kita hitung sudut A : Sudut A dapat anda hitung = 180 – ( sdt.C + sdt.B ) = 180 – ( ........ + ........ ) = 180 – ......... = ........

Untuk menghitung besar sudut B ini dapat digunakan tabel logaritma atau kalkulator. Dengan kalkulator ditekan tombol secara urut sbb :

0 . 6 0 6 8 INV sin


1. Tulislah aturan sinus yang berlaku pada segitiga berikut ini : K

A P M B C Q R o 2. Pada segitiga ABC berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan :

a. besar sudut A = 29o , besar sudut B = 70o , panjang sisi AC = 7 cm. Hitunglah sisi BC b. besar sudut A = 37o , besar sudut B = 122o , panjang sisi BC = 9 cm. Hitunglah sisi AC c. besar sudut A = 38o , besar sudut C = 72o , panjang sisi BC = 6 cm. Hitunglah sisi AB d. besar sudut A = 46o , besar sudut C = 105o , panjang sisi AB = 12 cm. Hitunglah sisi BC

dan AC e. besar sudut B = 64o , besar sudut C = 73o , panjang sisi AC = 8 cm. Hitunglah sisi BC dan

AB f. besar sudut B = 124o , besar sudut C = 18o , panjang sisi AB = 5 cm. Hitunglah sisi BC

dan AC 3. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan :

a. besar sudut P = 49o , besar sudut Q = 70o , panjang sisi PQ = 6 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ

b. besar sudut P = 97o , besar sudut Q = 50o , panjang sisi PQ = 9 cm. Hitunglah sisi QR dan PR

c. besar sudut P = 70o , besar sudut R = 42o , panjang sisi PR = 7 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ

d. besar sudut P = 105o , besar sudut R = 31o , panjang sisi PR = 4 cm. Hitunglah sisi QR dan PQ

e. besar sudut Q = 77o , besar sudut R = 41o , panjang sisi QR = 8 cm. Hitunglah sisi PR dan PQ

f. besar sudut Q = 40o , besar sudut R = 125o , panjang sisi QR = 9 cm. Hitunglah sisi PR dan PQ

4. Pada segitiga KLM berikut ini hitunglah besar sudut yang ditanyakan : a. Panjang sisi LM = 5 cm , sisi KM = 6 cm dan besar sudut L = 57o . Hitunglah sudut K b. Panjang sisi LM = 12 cm , sisi KM = 4 cm dan besar sudut K = 41o . Hitunglah sudut L c. Panjang sisi LM = 10 cm , sisi KL = 5 cm dan besar sudut K = 64o . Hitunglah sudut M d. Panjang sisi LM = 5 cm , sisi KL = 6 cm dan besar sudut M = 55o . Hitunglah sudut K

dan L e. Panjang sisi KM = 5 cm , sisi KL = 7 cm dan besar sudut M = 128o . Hitunglah sudut K

dan L f. Panjang sisi KM = 9 cm , sisi KL = 6 cm dan besar sudut L = 50o . Hitunglah sudut K dan

M

H.2. ATURAN KOSINUS

12 LATIHAN SOAL ATURAN SINUS

N

C b a A P c B

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : h. Panjang sisi AB = c i. Panjang sisi AC = b j. Panjang sisi BC = a k. Garis CP adalah garis tinggi pada sisi AB


Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga BCP yang siku-siku di P, diperoleh : (BC) 2 = (CP) 2 + (BP) 2 a2 = (CP) 2 + (BP) 2 persamaan (1) Perhatikan segitiga ACP yang siku-siku di P, diperoleh :

Sin A = ......

CP

CP = ...... sin A persamaan (2)

Cos A = ......

AP

AP = ...... cos A BP = AB – AP = c – ...... cos A persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : a2 = (CP) 2 + (BP) 2 = ( ....... sin A ) 2 + ( c – ......cos A ) 2 = .... 2 .sin2 A + c2 – 2......cos A + ..... 2 cos2 A = b2.( sin2 A + cos2 A ) + c2 – 2......cos A = b2. ...... + c2 – 2......cos A = ........... + c2 – 2......cos A persamaan (4a) Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga CAP yang siku-siku di P, diperoleh : (AC) 2 = (AP) 2 + (CP) 2 b2 = (AP) 2 + (CP) 2 persamaan (1) Perhatikan segitiga ABP yang siku-siku di P, diperoleh :

Sin B = ......

AP AP = ...... sin B persamaan (2)

Cos B = ......

BP BP = ...... cos B

CP = BC – BP = a – ...... cos B persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : b2 = (AP) 2 + (CP) 2 = ( ....... sin B ) 2 + ( a – ......cos B ) 2 = .... 2 .sin2 B + a2 – 2......cos B + ..... 2 cos2 B = c2.( sin2 B + cos2 B ) + a2 – 2......cos B = c2. ...... + a2 – 2......cos B = ........... + a2 – 2......cos B persamaan (4b)

A c b B P a C

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : m. Panjang sisi AB = c n. Panjang sisi AC = b o. Panjang sisi BC = a p. Garis AP adalah garis tinggi pada sisi BC

B a c C P b A

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : r. Panjang sisi AB = c s. Panjang sisi AC = b t. Panjang sisi BC = a u. Garis BP adalah garis tinggi pada sisi AC


Dengan menggunakan teorema Phytagoras dapat dihitung : Perhatikan segitiga BAP yang siku-siku di P, diperoleh : (AB) 2 = (BP) 2 + (AP) 2 c2 = (BP) 2 + (AP) 2 persamaan (1) Perhatikan segitiga CBP yang siku-siku di P, diperoleh :

Sin C = ......

BP

BP = ...... sin C persamaan (2)

Cos C = ......

CP

CP = ...... cos C AP = AC – CP = b – ...... cos C persamaan (3) Jika kalian substitusikan persamaan (2) dan persamaan (3) ke persamaan (1), maka diperoleh : c2 = (BP) 2 + (AP) 2 = ( ....... sin C ) 2 + ( b – ......cos C ) 2 = .... 2 .sin2 C + b2 – 2......cos B + ..... 2 cos2 B = c2.( sin2 B + cos2 B ) + b2 – 2......cos B = c2. ...... + b2 – 2......cos B = ........... + b2 – 2......cos B persamaan (4c) Persamaan (4a), (4b) dan (4c) jika kita simpulkan adalah :

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 5 cm dan sudut A = 50o . Hitunglah panjang BC Penyelesaian : ► kita hitung panjang sisi BC : (BC) 2 = (AB) 2 + (AC) 2 – 2 . (AB)(AC) cos A = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos ..... = 25 + ....... – .......... cos ...... = 25 + ....... – 60. ........ = .................

BC = ......... = .......... Contoh 2 : Pada segitiga PQR disamping diketahui panjang sisi p = 7 cm, q = 8 cm dan r = 9 cm . Hitunglah besar sudut P, Q dan R

Pada segitiga ABC berlaku rumus : a2 = ........... + c2 – 2......cos A b2 = ........... + a2 – 2......cos B c2 = ........... + b2 – 2......cos C

Rumus inilah yang selanjutnya dinamakan aturan kosinus



C 6 A 5 B

50o

R 8 7 P 5 Q 9


Penyelesaian : ► kita hitung besar sudut P : ► kita hitung besar sudut Q : (p) 2 = (q) 2 + (r) 2 – 2 . (q)(r) cos P (q) 2 = (p) 2 + (r) 2 – 2 . (p)(r) cos Q (......) 2 = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos P (......) 2 = ...... 2 + ....... 2 – 2 . (......)(......) cos Q ........ = 64 + ....... – .......... cos P ........ = 49 + ....... – .......... cos Q ........ = 64 + ....... – ......... cos P ........ = 49 + ....... – ......... cos Q ........ = ......... – ......... cos P ........ = ......... – ......... cos Q .......cos P = ........ – ......... .......cos Q = ........ – ......... = ........ = ........

cos P = .....

..... cos Q =

.....

.....

= 0,...... = 0,...... sudut P = ........ sudut Q= ........ ► kita hitung besar sudut R : sudut R dapat kita hitung dengan menggunakan hubungan : sudut R = 180 – ( sudut P + sudut Q ) = 180 – ( ............ + ............. ) = 180 – .............. = ....... Tulislah aturan kosinus yang berlaku pada segitiga berikut ini : K

A P M B C Q R Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah panjang sisi yang ditanyakan :

Panjang sisi QR = 7 cm , PQ = 4 cm dan PR = 8 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 3 cm , PQ = 7 cm dan PR = 6 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 10 cm , PQ = 8 cm dan PR = 14 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 6 cm , PQ = 9 cm dan PR = 11 . Hitunglah sudut P, Q dan R Panjang sisi QR = 12 cm , PQ = 10 cm dan PR = 18 . Hitunglah sudut P, Q dan R

Pada segitiga ABC yang mempunyai titik sudut berikut ini hitunglah besar sudut A, B dan C A ( 4, 2 ) , B ( 7, 2 ) dan C ( 1 , - 2 ) A ( 1, 3 ) , B ( 8, 3 ) dan C ( 5 , 6 ) A ( 6, - 2 ) , B ( 10, - 2 ) dan C ( 8 , 3 )

Jajarangenjang ABCD mempunyai panjang AB = 11 cm, BC = 5 cm dan panjang diagonal AC = 13 cm. Hitunglah : besar sudut CAB besar sudut BAD panjang diagonal AD.

Sudut Q ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut : 0 . 5 2 3 8 INV cos

Sudut P ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut : 0 . 6 6 6 6 INV cos

13 LATIHAN SOAL ATURAN KOSINUS

N


KalaedoskupKalaedoskupKalaedoskupKalaedoskup

I. LUAS SEGITIGA

I.1. LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SISI DAN SATU SUDUT DIKETAHUI ► Perhatikan segitiga BPC yang siku-siku di P :

sin B = .....

CP CP = ...... sin B

Luas segitiga ABC = 2

1alas x tinggi

= 2

1c x CP

= 2

1c x .......... pers.(1)

► Perhatikan segitiga CAP yang siku-siku di P :

sin A = .....

CP CP = ...... sin A


1alas x tinggi

= 2

1c x CP

= 2

1c x .......... pers.(2)

Pada waktu di SMP kalian pernah mempelajari tentang luas segitiga ABC, yaitu :

Luas = 2

1alas x tinggi

C b a A P c B

Perhatikan segitiga sembarang ABC disamping, bahwa : w. Panjang sisi AB = c x. Panjang sisi AC = b y. Panjang sisi BC = a z. Garis CP merupakan garis tinggi pada sisi AB


► Perhatikan aturan sinus B

b

A

a

sinsin=

dapat ditulis : a.sin B = b.sin A

sin B = ....

.... sin A

substitusikan nilai sin B ini ke persamaan (1), diperoleh :


1c x ..........x

....

.... sin A

= 2

1.................. pers.(3)


Persamaan (1), (2) dan (3) jika kita simpulkan adalah :

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AC = 6 cm, AB = 5 cm dan sudut A = 50o . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian :


1bc sin A

= 2

1..... x ...... sin.....

= 2

1x....... x 0, ........

= ................ Jadi luas segitiga ABC adalah ...... cm2 Contoh 2 : Pada jajarangenjang PQRS disamping diketahui panjang sisi PQ = 8 cm, PS = 6 cm dan sudut P = 65 o . Hitunglah luas jajarangenjang tersebut Penyelesaian :

Luas segitiga PQR = 2

1PQ x PS x sin P

= 2

1..... x ...... sin.....

= 2

1x....... x 0, ........

= ................ Luas segitiga QRS = luas setiga PQR = ........ Luas jajarangenjang PQRS = luas segitiga PQR + luas segitiga QRS = .............. + .............. = ........ Jadi luas jajarangenjang PQRS adalah ...... cm2 1. Tulislah rumus luas segitiga yang berlaku pada segitiga berikut ini : K

A P M B C Q R

Pada segitiga ABC berlaku rumus Luas :

L = 2

1bc sin .....

L = 2

1ac sin .....

L = 2

1ab sin .....



C 6 A 5 B

50o

S R P Q

Segitiga PQR kongruen dengan segitiga QRS

14 LATIHAN SOAL

LUAS SEGITIGA YANG DIKETAHUI DUA SISI DAN

SATU SUDUT

N


D C A B

2. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya : a. Panjang sisi PQ = 6 cm , PR = 4 cm dan sudut P = 55o b. Panjang sisi PQ = 8 cm , QR = 12 cm dan sudut Q = 70o c. Panjang sisi PR = 10 cm , QR = 15 cm dan sudut R = 120o

3. Pada jajarangenjang ABCD disamping diketahui panjang sisi AB = 10 cm, BC = 8 cm dan sudut A = 75 o . Hitunglah luas jajarangenjang tersebut 4. 5. Gambar disebelah kanan ini adalah segilima beraturan ABCDEF yang dilukis pada lingkaran dengan jari-jari 6 cm. Hitunglah : a. besar sudut AOB b. luas segitiga OAB c. luas segilima ABCDE 6. 7. Dengan cara yang sama seperti no.5 dan 6 jika lingkarannya berjar-jari r , Hitung dan nyatakan

hasilnya dalam r untuk luas segi-n beraturan berikt ini : a. luas segitiga beraturan b. luas segiempat beraturan c. luas segilima beraturan d. luas segienam beraturan e. luas segidelapan beraturan f. luas segiduabelas beraturan

I.2. LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SUDUT DAN SATU SISI DIKETAHUI

R S P Q

Gambar disebelah kiri ini adalah segiempat PQRS dengan panjang PQ = 12 cm, PS = 5 cm, RS = 10 cm dan sudut RSQ = 62o. Hitunglah : a. a. panjang diagonal QS b. b. luas segitiga QPS c. c. luas segitiga QRS d. d. luas segiempat PQRS

D E C A B

O

E D F C A B

O Gambar disebelah kiri ini adalah segienam beraturan ABCDEF yang dilukis pada lingkaran yang berjar-jari 6 cm. Hitunglah : a. besar sudut AOB b. luas segitiga AOB c. luas segienam ABCDEF

Pada pembahasan yang lalu telah diketahui bahwa : Luas segitiga ABC :

L = 2

1bc sin A

L = 2

1ac sin B

L = 2

1ab sin C

2. Aturan Sinus segitiga ABC:

A

a

sin=

C

c

B

b

sinsin=


Dengan cara substitusi antara luas segitiga dengan aturan sinus dapat kita tentukan rumus luas segitiga yang diketahui dua sudut dan satu sisinya sebagai berikut :

► B

b

A

a

sinsin= b. sin A = a. sin B ►

B

b

A

a

sinsin= a. sin B = b. sin A

b = ....sin...sin

a a = ....sin

...sin

b

maka diperoleh persamaan : maka diperoleh persamaan :

L = 2

1a ( ....sin

...sin

a) sin C L =

2

1b ( ....sin

...sin

b) sin C

= ...sin.2

.....sin....sin2a persamaan (1) =

...sin.2

.....sin....sin2b persamaan (2)

► C

c

B

b

sinsin= b. sin C = c. sin B Dari persamaan (1) , (2) dan (3) dapat ditulis :

b = ....sin...sin

c

maka diperoleh persamaan :

L = 2

1c ( ....sin

...sin

c) sin C

= ...sin.2

.....sin....sin2c persamaan (3)

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, sudut A = 37o dan sudut B = 62o . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian : Besar sudut C = 180 – ( sudut A + sudut B ) = 180 – ( ............ + ............ ) = .......

Luas segitiga ABC = B

CAb

sin.2

sinsin2

= .....sin.2

.....sin.....sin(.....)2

= ,......02

,......0,......036

x

xx

= ......... Jadi luas segitiga ABC adalah ........ cm2

Hasil ini kita substitusikan ke

L = 2

1ab sin C


L = 2

1ab sin C


L = 2

1bc sin A

Pada segitiga ABC berlaku rumus Luas :

L = ...sin.2

.....sin....sin2a

L = ...sin.2

.....sin....sin2b

L = ...sin.2

.....sin....sin2c



C A 6 B

37o 62o


1. Tulislah rumus luas segitiga yang berlaku pada segitiga berikut ini : K

A P M B C Q R 2. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui :

a. sudut P = 400 , sudut Q = 600 dan panjang QR = 5 cm b. sudut P = 560 , sudut Q = 420 dan panjang PQ = 6 cm c. sudut P = 760 , sudut Q = 380 dan panjang PR = 8 cm d. sudut Q = 700 , sudut R = 420 dan panjang PR = 7 cm e. sudut Q = 1010 , sudut R = 350 dan panjang PQ = 12 cm f. sudut Q = 490 , sudut R = 500 dan panjang QR = 10 cm g. sudut R = 360 , sudut P = 950 dan panjang PQ = 14 cm h. sudut R = 870 , sudut P = 320 dan panjang PR = 9 cm i. sudut R = 1300 , sudut P = 400 dan panjang QR = 10 cm

I.3. LUAS SEGITIGA DIMANA DUA SISI DAN SATU SUDUT DIHADAPAN SISI DIKETAHUI

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, AC = 4 cm dan sudut B = 40o . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian : Kita hitung besar sudut C dengan menggunakan aturan sinus :

C

c

B

b

sinsin=

Csin

6

40sin

40

=

4.sin C =....... sin .....

sin C = .....

....sin....

= 0,.......... sudut C = .......... Besar sudut A = 180 – ( sudut C + sudut B ) = 180 – ( ............ + ............ )

LangkahLangkahLangkahLangkah----langkah :langkah :langkah :langkah : Hitung besar sudut – sudut yang belum diketahui gunakan aturan sinus Hitung luas segitiganya gunakan rumus luas :

L = 2

1bc sin A atau L =

2

1ac sin B atau L =

2

1ab sin C



C 4 A 6 B

40o

Sudut C ini dapat dicari dengan kalkulator , dengan cara menekan tombol sebagai berikut : 0 . 9 6 4 2 INV sin

15 LATIHAN SOAL

LUAS SEGITIGA YANG DIKETAHUI DUA SUDUT DAN

SATU SISI

N


= .......


1bc sin A

= 2

1.....x ........ sin ......

= 12 x 0,........ = ........... Jadi luas segitiga ABC adalah ........ cm2

1. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui :

a. sudut P = 400 , panjang PR = 6 cm dan panjang QR = 5 cm b. sudut Q = 620 , panjang PR = 10 cm dan panjang QR = 8 cm c. sudut P = 560 , panjang PQ = 4 cm dan panjang QR = 6 cm d. sudut R = 720 , panjang PQ = 8 cm dan panjang QR = 5 cm e. sudut Q = 340 , panjang PR = 6 cm dan panjang PR = 8 cm f. sudut R = 1060 , panjang PR = 10 cm dan panjang PR = 8 cm

I.4. LUAS SEGITIGA DIMANA KETIGA SISINYA DIKETAHUI

sin2A + cos2A = 1 sin2A = 1 – cos2A = ( 1 + cos A ) ( 1 – ......... ) persamaan (1)

a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A co A = .......2

222 acb −+ persamaan (2)

Jika persamaan (1) dan (2) kita substitusikan , maka akan kita peroleh persamaan : sin2A = ( 1 + cos A ) ( 1 – cos A )

= ( 1 + .......2

222 acb −+ ) ( 1 –

.......2

222 acb −+ )

=

−++.....2

.....2 222 acb

−+−.....2

.....2 222 acb

=

−+.....2

)( 22 acb

−−.....2

)( 22 cba

=

+−−+−+++2.....)2(

.....))(.....)()(( bacbacbacb

sin A = .....))(.....)()((2

1 +−−+−+++ bacbacbacbbc

16 LATIHAN SOAL LUAS SEGITIGA DIMANA

DUA SISI DAN SATU SUDUT DIHADAPAN SISI DIKETAHUI

Pada pembahasan yang lalu telah dipelajari tentang : identitas trigonometri dasar, yaitu sin2A + cos2A = 1 aturan cosinus, yaitu a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A

Samakan penyebutnya

Jadikan bentuk kuadrat sempurna

Pembilang difaktorkan, penyebut dikalikan

Kedua ruas diakarkan


Jika persamaan-persamaan tersebut kita substitusikan ke

sin A = .....))(.....)()((2


maka akan diperoleh persamaan sebagai berikut :

sin A = .....))(.....)()((2


= .....)(2.....).(2).(2.22

1 −−− SSaSSbc

= .....).....).().(.(162

1 −−− SSaSSbc

= .....).....).().(.(2

4 −−− SSaSSbc

= .....).....).().(.(.... −−− SSaSSbc

jika persamaan terakhir ini kita subsitusikan ke rumus luas segitiga L = 2

1bc sin A, maka akan

diperoleh persamaan :

L = 2

1bc sin A

= 2

1bc . .....).....).().(.(

.... −−− SSaSSbc

= .....).....).().(.( −−− SSaSS

Contoh 1 : Pada segitiga ABC disamping diketahui panjang sisi AB = 6 cm, BC = 5 cm dan AC = 7 cm . Hitunglah luas segitiga ABC Penyelesaian :

S = 2

1( a + b + c ) =

2

1( 5 + .... + .... ) = ......

L = .....).....).().(.( −−− SSaSS

= .....)........).(..9).(59.(9 −−−

= (.....)).(.....).4.(9

= .......

= 6 ....... jadi luas segitiga ABC adalah ......... cm2

A c b B C a Keliling segitiga ABC = a + b + c

Jika setengah keliling segitiga kita simbolkan dengan S, maka

S = 2

1( a + b + c )

2S = ( a + b + c ) ( b + c – a ) = ( a + b + c ) – 2 a = 2S – 2a = 2(S – a ) ( a + b – c ) = ( a + b + c ) – 2 ..... = 2S – 2.... = 2(S – ...) ( a – b + c ) = ( a + b + c ) – 2 ..... = 2S – 2.... = 2(S – ...)

Ingat rumus luas segitiga ABC :

L = 2

1bc sin A

Pada segitiga ABC yang diketahui panjang ketiga sisinya ( a, b dan c) berlaku rumus Luas :

L = .....).....).().(.( −−− SSaSS

Dimana S = 2

1( a + b + c )



C 7 5 A 6 B


1. Pada segitiga PQR berikut ini hitunglah luasnya, jika diketahui :

a. panjang RQ = 7 cm , panjang PR = 5 cm dan panjang PQ = 4 cm b. panjang RQ = 7 cm , panjang PR = 6 cm dan panjang PQ = 3 cm c. panjang RQ = 8 cm , panjang PR = 7 cm dan panjang PQ = 5 cm d. panjang RQ = 6 cm , panjang PR = 5 cm dan panjang PQ = 4 cm e. panjang RQ = 16 cm , panjang PR = 13 cm dan panjang PQ = 11 cm

2. S R Hitunglah luas jajarangenjang disamping 12 P Q 13

J. MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN TRIGONOMETRI

Contoh 1 : Gambar disebelah kanan adalah sebuah pohon yang dilihat dengan sudut elevasi sebesar 600. Jika jarak orang yang melihat dengan pohon adalah 20 m , hitunglah tinggi pohon terseut. Penyelesaian : ► Langkah 1 Menentukan besaran yang ada dalam soal : Kita memisalkan bahwa tinggi pohon yang akan dihitung adalah AC = h ► Langkah 2 Merumuskan model matematika yang ada dalam soal : Perhatikan segitiga ABC

17 LATIHAN SOAL

LUAS SEGITIGA DIMANA KETIGA SISINYA DIKETAHUI

15

LangkahLangkahLangkahLangkah----langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri :langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri :langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri :langkah Menyelesaikan soal model matematika yang berkaitan dengan trigonometri : Tentukan besaran yang ada dalam soal Rumuskan model matematikanya dari masalah dalam soal Tentukan penyelesaiannya dari model matematikanya Berilah tafsiran dari masalah yang ada pada soal



A 20 m B

600

C


Tan B = AB

AC

Tan ..... = .......

h

► Langkah 3 Menyelesaikan model matematika :

Tan ..... = .......

h dapat diubah menjadi :

h = 20. tan ...... = 20 x 0,........ = ........ ► Langkah 4 Memberikan tafsiran terhadap hasil yang diperoleh : Jadi tinggi pohon yang dilihat adalah ....... cm.

1. Farid , Fila dan Fiqih bermain dengan membentuk sebuah segitiga. Jarak Farid dari Fila adalah

16 m, jarak Fila dari Fiqih adalah 13 m sedangkan jarak Fila dari Fiqih adalah 11 m . Berapakah besar sudut yang dibentuk oleh Farid , Fila dan Fiqih ?

2. Pada sebuah gedung bertingkat yang tingginya 30 m didirikan tiang bendera. Dari suatu tempat yang ditanah yang jaraknya 20 m , titik ujung bendera dilihat oleh Robert dengan sudut elevasi sebesar 600 dan titik pangkal bendera terlihat dengan sudut elevasi 500 . Berapakah tinggi tiang bendera tersebut ?

3. Dari sebuah gedung bertingkat yang tingginya 40 m Jacksen melihat sebuah mobil yang sedang diparkir dengan sudut depresi sebesar 350 . Berapakah jarak mobil tersebut dengan gedung brtingkat tempat Jacksen melihat ?

4. Dari sebuah pelabuhan dalam waktu yang bersamaan dua buah kapal A dan B meninggalkan pelabuhan. Kapal A berlayar dengan arah 0700 dengan kecepatan 30 km / jam, sedangkan kapal B berlayar dengan arah 1600 dengan kecepatan 25 km / jam. Hitunglah jarak kapal A dan B setelah berlayar selama 3 jam.

18 LATIHAN SOAL

MODEL MATEMATIKA YANG BERHUBUNGAN DENGAN

TRIGONOMETRI

Lks Trigonometri

Documents