Top Banner
1 LISTRIK MAGNET I S1 Fisika 3 SKS
72

Listrik magnet i

Jul 25, 2016

Download

Documents

Tanzil al-aziz

 
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Listrik magnet i

1

LISTRIK MAGNET IS1 Fisika

3 SKS

Page 2: Listrik magnet i

2

BAB I MEDAN LISTRIK STATIS

1.1 PENDAHULUAN

Sebutlah q1, q2,… sebagai muatan-muatan “sumber” dan

Q sebagai muatan test. Satuan muatan: coulomb (C)

Bagaimana menentukan gaya pada muatan Q ?

Pada umumnya muatan-muatan sumber dan muatan test bergerak. Lalubagaimana menentukan lintasan muatan test Q ?

Page 3: Listrik magnet i

3

Misalkan ..,........., 21 FFrr

adalah gaya-gaya oleh muatan-muatan sumber q1, q2, ……..pada muatan test, maka total gaya pada muatan test itu

.............21 ++= FFFrrr

+q

Muatan sumber

+Q

Muatan testrr

Fr

Besar gaya bergantung pada besarmuatan dan jarak

Arahnya bergantung jenis muatan.

+Q

rr Fr

-q

Page 4: Listrik magnet i

4

1.2 HUKUM COULOMB

Gaya pada muatan test Q oleh muatan sumber q sebanding denganmuatan-muatan dan berbanding terbalik kuadrat jarak.

rr eqQFo

ˆ4 2πε

=r

q Q Fr

rr Rr

rr

O

εo=8,85 x 10-12 C2/Nm2 adalah permittivitas ruang hampa

rR rrr−=r

re Vektor satuan searah rrryang besarnya

...........ˆ4

ˆ4

ˆ4

ˆ 321 +++=321 rrr 2

322

21 rrr eQqeQqeQqF

ooo πεπεπε

Untuk sejumlah muatan sumber:

newton

Page 5: Listrik magnet i

5

1.2 MEDAN LISTRIK

r

rr

rrr

eqEEQF

EQeqQeqQF

o

oo

ˆ4

;

ˆ4

ˆ4

ˆ

2

22

πε

πεπε

==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

rvr

r

Medan listrik dari satu muatan sumber q dititik sejauh

EQeqeqeqQ

eQqeQqeQqF

ooo

ooo

r=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛+++=

+++=

..........ˆ4

ˆ4

ˆ4

..........ˆ4

ˆ4

ˆ4

ˆ

121

321

321

321

rrr

rrr

23

22

21

23

22

21

rrr

rrr

πεπεπε

πεπεπε

Untuk banyak muatan sumber:

r

Medan listrik dari sejumlah muatan sumber

Arah:

F//E jika Q positip

F><E jika Q negatip

Page 6: Listrik magnet i

6

∑=+++=i

o

i

ooo

eqeqeqeqREi321 rrrr 2

i23

22

21 rrrr ˆ

4........ˆ

4)( 121

πεπεπεπε

rr

Titik medan

qi

irr

Rr

irr

x y

z

Medan listrik bergantung pada posisi titikmedan R

newton/coulomb

Page 7: Listrik magnet i

7

Tentukan kuat medan di titik P (a) jika keduamuatan sejenis, (b) jika berbeda jenis.

Periksa jika z>>d/2.

a) Misalkan muatan-muatan itu positif

θπε

cos4

2 2roqE =

( )22 2/;cos dzz+== rrθ

( )[ ] 2/322 2/42

dz

qzEo +

=πε

Jika z>>d/2: 242

zqEoπε

=

d/2 d/2+q +q

z

P

E

θ

Contoh 1:

r r

Page 8: Listrik magnet i

8

d/2 d/2+q -q

z

P

b)

;2/cos

cos4

2 2

rr

d

qEo

=

=

θ

θπε

( )22 2/dz +=r

( )[ ] 2/322 2/4

2/2dz

qdEo +

=πε

Jika z>>d/2: 34 zqdE

oπε=

qd disebut momen dipol

r r

Page 9: Listrik magnet i

9

Jika sumber merupakan muatan kontinu:

1. garis

2. Permukaan

3. volume

dxexEo

r2r ˆ)(4

1∫=λ

πε

r

λ(x)dx

∫=Ao

daerE r2r ˆ)(4

1 σπε

r

∫=Vo

dverE r2r ˆ)(4

1 ρπε

r

P

Page 10: Listrik magnet i

10

Tentukanlah medan listrik pada jarak z di atas titik tengah garis luruspanjangnya 2L dan rapat muatannya λ Periksa jika z>>L dan L>>z.

kdxEdo

ˆcos4

12 θλ

πε r=r

22;cos xzz+== rrθ

Contoh 2:

z

E

Jika z>>L: 2

24

1z

LEo

λπε

= sepertinya q=2λL

Jika L>>z:z

Eo

λπε

24

1=

Page 11: Listrik magnet i

11

1.3 FLUKS LISTRIK DAN HUKUM GAUSS

ro

erqE ˆ

41

2πε=

r

Garis medan dari suatu muatan positif

Garis medan dari dua buah muatanyang sama besar tapi berbeda jenis; dipol

Garis medan dari dua buah muatanyang sama besar sama jenis; l

newton/coulomb

Page 12: Listrik magnet i

12

∫=ΦS

E adE rr.

Fluks listrik= jumlah garis gaya melalui suatu permukaan

S

adr=vektor elemen luas tegak lurus padapermukaan S

Perkalian dot →proyeksi E pada garis normal

danad ˆ=r

=vektor satuan normal pada Sn

dan

Er

θ ∫∫∫ ===ΦSSS

E daEdanEadE θcosˆ..rrr

Page 13: Listrik magnet i

13

Fluks melalui permukaan tertutup

q

φθθπε

ddrnerqdanE r

S o

sinˆ.ˆ4

1ˆ. 22∫ ∫==Φ

r

bolaoo

r ne

3600;1800

ˆˆ

≤≤≤≤

=

φθ

Er

n

oSE

qdanEε

==Φ ∫ ˆ.r

• Dalam kenyataannya, bentuk permukaan tertutup takharus bola, bisa berbentuk apa saja asal tertutupakan memenuhi persamaan di atas.

• q tak harus muatan tunggal, tapi bisa jumlah muatanasal berada dalam permukaan tertutup.

φθθ ddrda sin2=

+q

Sembarang permukaantertutup

Nm2C-1

Page 14: Listrik magnet i

14

Hukum Gauss :

Fluks listrik melalui permukaan tertutup sebanding dengan jumlah muatandi dalam permukaan itu

oSE

QadEε

==Φ ∫rr

.

Teori Divergensi: ( )∫ ∫ ∇=S V

dvEadErrr

.. V=volume yang ditutupi permukaan S

( )

∫ ∫=

∇==Φ

V

S VE

dvQ

dvEadE

ρ

rrr..

Hukum Gauss dalam bentuk diferensialo

Eερ

=∇r

.

Hukum Gauss dalam bentuk integral.

S disebut permukaan Gauss.

ρ rapat muatan

zk

yj

xi

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ ˆˆˆ

zE

yE

xEE zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂

=∇r

.Ingat:

Page 15: Listrik magnet i

15

Contoh 3:

Andaikan medan listrik ,ˆ3rekrE =

rdi dalam koordinat bola, k adalah konstanta.

a) Tentukan rapat muatan ρ,

b) Tentukan total muatan dalam bola berjari-jari R

( )2

242

322

5)(

5511.

rkr

krkrr

krrrr

E

oερ =

==×∂∂

=∇r

a)

∫ ∫∫

==

==

π π

επφθθε

φθθρ

0

2

0

5

0

4

2

4sin5

sin;)(

Rkdddrrk

dddrrdvdvrQ

o

R

o

Vb)

z

x yφ

θ

r

o

Eερ

=∇r

. ( ) φθ φθθ

θθE

rE

rEr

rrE r ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=∇sin1sin

sin11. 2

2

r

Koordinat bola

Page 16: Listrik magnet i

16

Contoh 4:

Sebuah silinder panjang memiliki rapat muatan sebanding dengan jarak darisumbunya: ρ=ks, k konstanta. Tentukan medan listrik di dalam silinder.

Gambarkan permukaan Gauss berbentuk silindersepusat dengan silinder asli.

Permukaan Gauss

rl

3

0

2

00

2

32

.

klsdzddrrkdzddrrrkdvQ

QadE

ls

V

oSE

πφφρ

επ

====

==Φ

∫∫∫∫∫

∫rr

23

31

322

2.

ksEklsslE

slEadE

oo

S

επ

επ

π

=→=

=∫rr

tegak lurus permukaanEr

Page 17: Listrik magnet i

17

Contoh 5:

Suatu bidang datar luas sekali, memiliki muatan himogen dengan kerapatanσ. Tentukan medan listrik yang ditimbulkannya.

Gambarkan permukaan Gauss berbentukkotak yang memotong bidang datar.

PermukaanGauss

AQQadES o

σε

==∫ ;1. rr

A=luas permukaan sisi atas kotak;

Medan E tegak lurus permukaan kotak arah ke atas dan ke bawah.

Jadi, ∫ = EAadE 2. rr

oo

EAEAεσ

εσ

22 =→= Arah ke atas atau ke bawah

Page 18: Listrik magnet i

18

Contoh 6:

Dua plat sejajar masing-masing dengan rapat muatan +σ dan -σ.

Plat positif menghasilkan medan arah keluar plat:o

Eεσ

2=+

Plat negatif menghasilkan medan arah menuju plat:o

Eεσ

2=−

Medan di daerah (i) dan (iii): 0=E

Medan di daerah (ii) atau di antara kedua plat:o

Eεσ

=

Page 19: Listrik magnet i

19

b

ro

erqE ˆ

41

2πε=

r

a

Integaral E dari a ke b: ?.∫ =b

a

ldErr

Koordinat bola:

( ) ( ) φθ φθθ edredredrld r ˆsinˆˆ ++=r

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−==∫∫

bao

br

aro

b

arr

o

b

a rq

rq

rqdree

rqldE

πεπεπε 41

41ˆ.ˆ

41. 2

rr

ra

rb

Hasil integral tidak bergantung pada bentuk lintasan, tapi bergantungpada posisi titik awal dan posisi titik akhir.

1.4 SIFAT KONSERVATIF MEDAN LISTRIK

+q

Page 20: Listrik magnet i

20

04

1. =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∫

aao rq

rqldE

πε

rr

+q

a

ra

Integral pada garis tertutup sama dengan nol. Jadi medan listrik bersifat konservatif.

Teori Stokes:

( ) danEldES

∫ ∫ ×∇= ˆ..rrr

Karena →=∫ 0. ldErr

S=luas bidang yang dilingkupi oleh kurvatertutup

0=×∇ Er Inilah curl dari medan listrik, ciri

medan konservatif

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇y

Ex

Ek

xE

zEj

zE

yEiE xyzxyz ˆˆˆr

Kurva tertutup

Ingat:

yE

xE

xE

zE

zE

yEE xyzxyz

∂∂

−∂

∂∂

=∂∂

∂=

∂∂

→=×∇ ;;0r

b

Page 21: Listrik magnet i

21

Periksa apakah medan berikut konservatif atau tidak.

( )( )[ ]kyzjzxyiyEb

kxzjyzixyEaˆ2ˆ2ˆ)

ˆ3ˆ2ˆ)22 +++=

++=

α

αr

r

Contoh 7:

Konservatif jika:

0ˆˆˆ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

=×∇y

Ex

Ek

xE

zEj

zE

yEiE xyzxyz

r

( ) ( ) ( )( ) fkonservatigayabukanˆ3ˆ2ˆ

00ˆ30ˆ20ˆ

0;33

0;22

,0)

kxzjyzixyE

xkzjyiE

yEz

xExzE

xE

yz

EyzE

xy

Ez

ExyEa

zzz

yyy

xxx

++=

≠−+−+−=×∇

=∂∂

=∂∂

→=

=∂

∂=

∂→=

=∂∂

=∂∂

→=

α

ααα

αα

αα

αα

r

r

Page 22: Listrik magnet i

22

( )

( ) ( ) ( )( )[ ] fkonservatigayaˆ2ˆ2ˆ

022ˆ00ˆ22ˆ

2;02

2;22

2,0)

22

2

2

kyzjzxyiyE

yykjzziE

zy

Ex

EyzE

yx

Ez

zE

zxyE

yy

Ez

EyEb

zzz

yyy

xxx

+++=

=−+−+−=×∇

=∂∂

=∂∂

→=

=∂

∂=

∂→+=

=∂∂

=∂∂

→=

α

αααα

αα

ααα

αα

r

r

Page 23: Listrik magnet i

23

BAB II POTENSIAL LISTRIK2.1 POTENSIAL LISTRIK

Tinjau muatan test +Q di dalam medan listrik E yang ditimbulkan muatan sumber +q. Gaya pada muatan

Karena E medan konservatif, maka gaya F juga konservatif.

Er

+q EQFrr

=

EqFrr

=

+QEnergi potensial +Q sejauh r dari sumber +q adalah usaha membawa muatan +Q darisuatu titik standar ke titik r untuk melawangaya listrik F.

ldFrEr

Op

rr.)( ∫−=

r

O adalah titik standar.

Potensial listrik di suatu titik=energi potensial per satuan muatan di titik itu.

ldEdQdE

rVr

O

p rr.)( ∫−==

Joule

volt=joule/coulomb =newton meter/coulomb

Page 24: Listrik magnet i

24

Beda potensial antara titik b dan titik a adalah V(b)-V(a):

∫∫∫

∇=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

br

ar

br

ar

ar

O

br

O

ldV

ldEldEldEaVbV

r

rrrrrr

.

...)()(

→−= ∫ ldErVr

O

rr.)( VE −∇=

r

dzdVk

dydVj

dxdViV ˆˆˆ ++=∇ Gradient dari V

Page 25: Listrik magnet i

25

Contoh 8:Tentukanlah potensial di dalam dan di luar bola berjari-jari R, jika muatantersebar merata dipermukaanya. Gunakan titik di tak berhingga jauh sebagaireferensi.

( ) ( )drlde

edredredrld

r

r

=

++=

ˆ.ˆ

ˆsinˆˆ φθ φθθr

Misalkan total muatan permukaan bola adalah Q. Makadengan hukum Gauss diperoleh medan listrik:

⎪⎩

⎪⎨

<

≥=

Rr

Rrer

QrE r

o

0

ˆ4)( 2πε

r

ldErVr

O

rr.)( ∫−=

R r

24 RQ

oπε

E

Page 26: Listrik magnet i

26

RQlddr

rQ

drr

QldErV

Rr

o

r

R

R

o

r

o

r

πεπε

πε

4.0'.

'1

4

'.'1

4ˆ.)(

:

2

2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−=

−=−=

<

∫∫

∫∫

∞∞

r

r

R r

RQ

oπε4

rQ

rQdr

rQrV

Rr

o

r

o

r

o πεπεπε 4'1

4'

'1

4)(

:

2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

∞∞∫

V

Page 27: Listrik magnet i

27

2.2 Potensial oleh distribusi muatan

ldErVr

O

rr.)( ∫−=Berdasarkan:

Page 28: Listrik magnet i

28

Potensial oleh muatan garis:

Potensial oleh muatan permukaan:

Contoh 9:

Tentukan potensial oleh suatu bola yang bermuatan homogen pada kulitnya.

Tinjau titik pada sb-z sejah dari elemen luasberposisi polar (R,θ’)

r

Page 29: Listrik magnet i

29

Elemen luas di permukaan bola R2 sinθ dθ dφ

Di luar bola z>R:

Di dalam bola z<R:

RzzR −=− 2)(

zRzR −=− 2)(

Page 30: Listrik magnet i

30

di luar bola

di dalam bola

Contoh 10.

Tentukanlah potensial di titik P sejauh z dari titik tengahgaris yang panjangnya 2L dan rapat muatannya λ.

Page 31: Listrik magnet i

31

2.3 Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace

Kita sudah mengetahui medan listrik sebagai gradien dari potensial: VE −∇=ˆDemikian juga Hukum Gauss dalam bentuk diferensial:

o

Eερ

=∇r

.

( ) →=∇−∇o

Vερ.Jadi:

o

Vερ

−=∇2 Ini disebut persamaanPoisson

Jika tidak ada muatan, atau ρ=0, maka peramaan Poisson berubah menjadi:

02 =∇ VIni disebut persamaanLaplace

Kita sudah mengenal juga sifat dari konservatif medan listrik: 0=×∇ Er

Maka: ( ) →=∇−×∇ 0V Sebenarnya, secara vektor selalu berlaku sifatcurl dari gradient=0: 0=∇×∇ f

Page 32: Listrik magnet i

32

Contoh 11: Persamaan Laplace dalam koordinat Cartesian

Pada bidang (x,y), potensial di y=0 adalah 100 volt, sedangkan di x=0, x=10 cm dan y=∞, potensial 0 volt. Tentukanlah potensial di daerah 0<x<10 cm , y>0

xV=100 volt

y

V=0 V=0

V=0

10 cm

00 2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

→=∇yV

xVV

Pemisahan variabel, misalkan V(x,y)=A(x) B(y)

02

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yBA

xAB

Bagi dengan AB: 0112

2

2

2

=∂∂

+∂∂

yB

BxA

A

0;konstanta11 22

2

2

2

≥−==∂∂

−=∂∂ kk

yB

BxA

A

kyky eeBBkyBBk

yB

kxkxAAkxAAk

xA

−=→=−∂∂

→=∂∂

=→=+∂∂

→−=∂∂

atau0

cosatausin0

22

22

2

2

22

22

2

2

Page 33: Listrik magnet i

33

⎪⎪

⎪⎪

=

kxekxekxe

kxe

yxV

ky

ky

ky

ky

coscossin

sin

),(

Gunakan syarat batas untuk menentukan V(x,y) yang betul.

kxVxeVy ky

cos000,→=→=→=∞→

tak bisa dipakai.}kxeyxV ky sin),( −=Solusi sementara:

,....2,1,10

001sin010 ==→=→=→= nnkkVx π

)10/sin(),( 10/ xneyxV yn ππ−=

Page 34: Listrik magnet i

34

)10/sin(),( 10/ xneyxV yn ππ−=

1000 =→= Vy

Ini tak dapat dipenuhi oleh persamaan di atas. Jadi, harus diambil kombinasiliniernya:

)10/sin(),(1

10/ xnebyxVn

ynn ππ∑

=

−=

1000 =→= VyDengan

100)10/sin()0,(1

== ∑∞

=

xnbxVn

n π

Tentukan bn

Page 35: Listrik magnet i

35

Deret Fourier untuk sinus:

[ ]

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−×=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== ∫∫

genapnutk0

ganjilnutk400

1)1(20010

cos1020

10sin100

102sin)(2

10

0

10

00

π

ππ

π

π

n

nxn

n

dxxndxkxxfL

b

n

L

n

[ ].......)10/2sin()10/sin(400

)10/sin(400),(

10/22

110/

10/

1

++=

=

−−

−∞

=∑

xexe

xnen

yxV

yy

yn

n

πππ

ππ

ππ

π Utk n ganjil

Page 36: Listrik magnet i

36

x0 5 10

(a) n=1

(b) n=5

(c) Jumlah hinggan=10

(d) Jumlah hinggan=100

Page 37: Listrik magnet i

37

Contoh 12: Persamaan Laplace dalam koordinat silinder.

Suatu silinder berjari r=1 cm, memanjang pada sumbu-z. Potensial di dasarnyaV=100 volt; di dinding dan ujung lainnya (z→∞) V= 0 volt. Tentukanlah potensialdi dalam silinder.

xy

V=100 volt

V=00110

),,(

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

→=∇

zVV

rrVr

rrV

zrVV

θ

θ

Pemisahan variabel, misalkan V(r,θ,z)=R(r) Θ(θ)Z(z)

0112

2

2

2

2 =Θ+Θ

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Θ

dzZdR

dd

rRZ

drdRr

drd

rZ

θ

Bagi dengan RΘZ:

0112

2

2

2

2 =∂∂

Θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

zZZ

dd

rdrdRr

drd

Rr θTdk tercampur dg lainnya.

Page 38: Listrik magnet i

38

0022

22

2

2

≥⎪⎩

⎪⎨⎧

=→=−→=−

kee

ZZkdz

ZdkZdz

Zdkz

kz

01

011

222

2

22

2

2

=+∂Θ∂

Θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=+∂Θ∂

Θ+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

rkrRr

rRr

krr

RrrRr

θ

θ

Sarat batas z→∞, V=0→ pilih kzeZ −=

Tdk tercampur dg lainnya.

⎩⎨⎧

=Θ→=Θ+∂Θ∂

→−=∂Θ∂

Θ θθ

θθ nn

nncossin

01 22

22

2

2

n=bil bulat

Kalau silinder diputar terhadap sb-z, tidak akan mengubah potensial; maka solusiini tak bergantung pada sudut θ, dan boleh diambil 10 =Θ→=n

Gunakan syarat batas untuk:⎩⎨⎧

=Θθθ

nn

cossin

Page 39: Listrik magnet i

39

( ) 0222 =−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∴ RnrkrRr

rr

Ini adalah persamaan Bessel; solusinya adalah Jn(kr) dan Nn(kr). Karenadasar silinder di pusat koordinat, maka dipilih Jn(kr) sedangkan Nn(kr) takbisa dipakai karena titik pusatnya di ∞. Jadi

np

p

p

nkr

nppkrJrR

+∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++Γ+Γ−

== ∑2

1 2)1()1()1()()(

0222 =+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

∴ rknrRr

rRr

)!1()( −=Γ nn

0)(0atau01 0 =→==→= kJRVr

Misalkan harga k=km, m=1,2,3,….. 0)(0 =mkJ

Jadi, ada banyak solusi; oleh sebab itu V adalah superposisi:

Page 40: Listrik magnet i

40

Solusi: ∑∞

=

−=1

0 )(m

zmkmm erkJcV

Untuk z=0, V=100 100)(1

0 ==→ ∑∞

=mmm rkJcV

Kalikan dengan rJ0(kjr), j=1,2,3… lalu integral suku per suku antara 0 dan 1

drrkrJdrrkJrkrJc jmm

jj ∫∑ ∫ =∞

=

1

000

1

1

00 )(100)()(

[ ] drrkrJdrrkJrc jjj ∫∫ =1

00

1

0

20 )(100)(

Sifat ortogonal

Page 41: Listrik magnet i

41

Setiap harga j memberikan satu harga koefisien cj. Jadi j bolehdiganti dengan m.

[ ] ( )mm kJdrrkJr 212

11

0

20 )( =∫

[ ] [ ])(1)()()( 1010 rkrJkdrd

krkrJkxxJ

dxdxxJ mm

mmm =→=

)(1)(1)( 11

01

1

00 m

mm

mm kJ

krkrJ

kdrrkrJ ==∫

Sifat fungsi Bessel

( ))(

200)(100

11

212

1

mmmm

mmm kJk

ckJk

ckJ =→=

∑∑∞

=

−∞

=

− ==1 1

0

10 )(

)(200)(m

zmk

mm

m

m

zmkmm e

kJkrkJerkJcV

km diperoleh dari Jo(km)=0

J0 dan J1 dapat dilihat dalam tabel fungsi Bessel.

Page 42: Listrik magnet i

42

Contoh 13: Persamaan Laplace dalam koordinat bola

θ

r

φ

xy

z

Misalkan V tidak bergantung sudut azimut φ

Tidak tercampur

Page 43: Listrik magnet i

43

Pl adalah polinomial Legendre:

Page 44: Listrik magnet i

44

Solusi umum:

Ini masih memerlukan syarat batas untuk r dan θ.

Misalkan V(θ) tertentu di permukaan bola berlubang, berjari-jari R. Tentukanlah potensial dalam bola.

Untuk itu Bl = 0 untuk semua l. Jadi

)()(cos),( 00

θθθ VPRARVl

ll

l ==∑∞

=

Di r=R (kulit):

Page 45: Listrik magnet i

45

Sifat polinom Legendre:

θθθθπ

dPPRA ll

ll

l sin)(cos)(cos0 0

'∑ ∫∞

=

=

''1'2

2 ll RA

l +=

∫+

θθθθ0

0 sin)(cos)(2

12 dPVR

lA lllJadi

Page 46: Listrik magnet i

46

Misalkan: k= konstanta

Bagaimana potensial di luar bola?

Al=0

∫+

θθθθ0

0 sin)(cos)(2

12 dPVR

lA lll

Page 47: Listrik magnet i

47

r=R:

Kalikan dengan lalu diintegral

=

Jadi:

kRBRkB 24

314

10 ; −==

θθθθ cos4

3)(cos)(cos),( 2

2

121

00

rkR

rRkP

rBP

rBrV −=+=

Page 48: Listrik magnet i

48

Contoh 14: Suatu bola padat bermuatan homogen dengan rapat muatanuniform. Tentukanlah potensial di luar dan di dalam bola.

o

rdrdVr

drd

r ερ )(1 2

2 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=∇ V2 R

Karena rapat muatan tidak bergantung sudut, maka potensial bersimetri bola:

Di luar bola ρ=0: rBArV

drdVr

drd

ro

oo +=→=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ )(01 2

2

Di dalam bola:o

iii

o

rrBArVr

drdVr

drd

ερ

ερ

6)(

222 −+=→−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

0, →∞→ oVr

rBrV o=)(0

sehingga A0=0Andaikan syarat batas:

o

Vερ

−=∇ 2Persamaan Poisson:

Page 49: Listrik magnet i

49

oii

rArVερ 2

)( −=

Di pusat bola r=0, sehingga harus berlaku Bi=0.

V(r) harus kontinu di kulit bola, Vi(R)=Vo(R)

o

oi

o

oi

RRBA

RBRA

ερ

ερ

66

22

+=→=−

( )o

oi

rRRBrV

ερ

6)(

22 −+=

Medan di sebelah dalam dan di sebelah luar permukaan bola harus sama:

oo

o

o

Rr

i

Rr

RBRRB

rV

rV

ερ

ερ

33

3

20 =→=→⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−==

( )o

io

orRrV

rRrV

ερ

ερ

63)(;

3)(

223 −==

Akhirnya:

rBrV o=)(0

0 R r

Vo(r)

Vi(r)

Page 50: Listrik magnet i

50

2.4 Metoda BayanganTinjau muatan +q di sumbu-z sejauh d dari plat logam yang dibumikan (V=0). Bagaimana menentukan potensial di atasplat. Potensial tak bisa ditentukan hanya dengan muatan q saja, tetapi juga dengan muatan negatif yang terinduksipada plat itu. Masalahnya, berapa besar dan agaimanadistribusi muatan terinduksi itu.

Yang jelas berlaku:

Secara matematik, persoalan di atas dipandang sebagai berikut. Lupakan plat, dan misalkan V=0 di z=0 dengan mengandaikan adamuatan -q di z=-d. Potensial di suatau titik adalah

z

d

-dz=0, V=0

2222,darijauhyangtitikdi0,0di0

dzyxqVzV

>>++→

==+q

-q

2222jika0,0di0

dzyxVzV

>>++→

==

Page 51: Listrik magnet i

51

Misalkan σ adalah rapat muatan induksi

Jadi, dengan metoda bayangan dapat ditentukan rapat muatan pada plat logam.

Page 52: Listrik magnet i

52

Suatu muatan q ditempatkan sejauh a dari pusat bola logam berjari-jari R yang dibumikan. Tentukan potensial di luar bola.

Sementara lupakan bola, dan misalkan ada muatan q’ sejauh b (<R) daripusat bola pada garis Oa, sedemikian sehingga V=0 di r=R (kulit bola).

Potensial dengan konfigurasi itu adalah

Agar V=0, misalkan q’= -αq

Contoh berikutnya 15:

Page 53: Listrik magnet i

53

Dengan rumus cosinus, maka

Agar V=0 jika r=R (dipermukaan bola).

⎥⎦

⎤⎢⎣

−+−

−+=

θα

θπεθ

cos2cos241),(

2222 rbbrq

raarqrV

o

2

2222 cos2cos2

αθθ RbbRRaaR −+

=−+

qaRq

aR

aRb −=→== ';

2

α

( ) ⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−+−

−+=

θθπεθ

cos2/cos241),(

2222 raRraR

qraar

qrVo

Page 54: Listrik magnet i

54

Misalkan σ adalah rapat muatan induksi

Rro r

V

=∂∂

−= εσ

( )( )

( )( )( )

( )( )

( )( )

2/32

22

2

2/322

2

2/322

2

2/322

cos2/1

1/4

cos2/

4

cos2/

cos/cos2

cos4

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

−−=

−+

−−=

⎥⎥⎦

⎢⎢⎣

−+

−+

−+

−−−=

∂∂

−===

θπ

θπ

θ

θθ

θπ

εσ

RaRa

RaRq

RaaRRRaq

raRraR

aRarraar

arqrV

RrRro

Page 55: Listrik magnet i

55

BAB III BAHAN DIELEKTRIK

3.1 Dipol ListrikPerbedaan bahan konduktor dan bahan dielektrik.

Konduktor adalah bahan (seperti logam) yang mengandung atom-atom denganelektron-elektron (satu atau dua elektron per atom) yang bebas bergerak jikadikenai oleh medan listruik.

Dalam dielektrik, elektron-elektro masih teriket dalam atom-atomnya, jikadikenai medan listrik hanya bisa bergeser sedikit, tetapi efek kumulatifnya akanmemberikan ciri kepada bahan dielektrik tersebut.

Dipol listrik terinduksiJika sebuah atom dikenai medan listrik, maka baik inti maupun elektronnyaakan merasakan medan itu. Inti terdorong searah medan dan elektro terdorongberlawanan arah medan. Jika medan tak terlalu besar ada keadaan setimbangantara gaya tarik menarik dan gaya dorong medan. Dalam keadaan setimbangitu, atom disebut terpolarisasi dan atom memiliki momen dipol yang arahnyasama dengan medan listrik. Momen dipole hasil induksi ini dirumuskan seperti:

Eprr α= α disebut polarizabilitas atomik

Page 56: Listrik magnet i

56

Polarizabiltas atomik untuk berbagai atom, α/4πεo(10-30m3)

Contoh 1:

Menurut model primitif, suatu atom mengandung inti bermuatan +q yang dikelilingi awan elektron homogen berbentuk bola dengan muatan –q . Misalkan jari-jari bola a. tentukanlah polarizabilitas atom.

Kehadiran medan listrik E, menyebabkan inti bergeser sedikit searah E, danawan elektron bergeser sedikit berlawanan arah E. Misalkan pada saatsetimbang pergeseran itu sejauh d dari pusat bola.

Page 57: Listrik magnet i

57

Pada titik itu, medan oleh awan elektron Ec sehingga E=Ec. Karena

341

aqdE

oc πε=

maka

341

aqdE

oπε=

Karena dipol listrik p=qd, maka Eap o34πε=

33

34;34 aa ooπννεπεα ===

Jadi, plarizabilitas atom adalah

volume atom

Page 58: Listrik magnet i

58

Pada molekul, polarisasi bisa lebih mudah dalam arah tertentu. Misalnyapada karbon dioksida, polarizabiliti 4,5 x10-40 C2m/N sepanjang sumbu-molekul tetapi hanya 2x10-40 C2m/N dalam arah tegak lurus sumbu-molekul.

Sumbu-molekul

Jika medan listrik berarah sembarang, maka polarisasi yang terinduksiadalah:

IIIIII EEprrr αα +=

Er

IIEr

IEr

Secara umum,

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

→=

z

y

x

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

z

y

x

E

EE

p

pp

Ep

ααα

ααα

ααα

αrtr

α = Tensor polarizabilitas.

Page 59: Listrik magnet i

59

+q

-q

dr

Dua muatan yang sama tapi berbenda tanda disebut dipol listrik.

=dr

Vektor jarak dari +q ke -q

dqprr

−= Vektor dipol listrik

Potensial oleh suatu dipol:

−+

−=s

qs

qVoo πεπε 44

+q-q

θ

r s+

s-

d

V

pr

Pengertian dipol

Page 60: Listrik magnet i

60

θθ cos)(;cos)( 22

1222

12 rddrsrddrs ++=−+= −+

Jika r>>d/2:

θθ

θθ

cos)/(1cos)/(1

cos)/(1cos)/(1

21

21

rdrdrs

rdrdrs

+=+=

−=−=

+

( )

θπε

θ

θπε

θπεθθ

θθπε

cos4

),(

cos4

cos/4]cos)/(1][cos)/(1[

cos)/(1cos)/(14

2

2

21

21

21

21

rprV

rqd

rdr

qrdrdrdrd

rqV

o

o

oo

=

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−+

=

24ˆ.r

ep

o

r

πε

r

=

prθ

rre

V

Page 61: Listrik magnet i

61

Medan oleh dipol listrik

22 4cos

4ˆ.),(

rp

reprV

oo

r

πεθ

πεθ ==

r

0sin1

sin4

1

cos4

2

3

3

=∂∂

−=

=∂∂

−=

=∂∂

−=

φθ

θπεθ

θπε

φ

θ

Vr

E

rpV

rE

rp

rVE

o

or

( )θθθπε

θ eer

prE ro

ˆsinˆcos24

),( 3 +=r

prθ

r

x φ y

z

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=−∇=φθθ φθV

reV

re

rVeVE r sin

1ˆ1ˆˆr

Page 62: Listrik magnet i

62

( )θθθπε

θ eer

prE ro

ˆsinˆcos24

),( 3 +=r

Jika θ=90oθπε

er

pEo

ˆ4 3=

r

pr r

Jika θ=0or

o

er

pE ˆ2 3πε

=r

Er

prr

Er

Jika θ=180or

o

er

pE ˆ2 3πε

=r

Er

pr

r

Page 63: Listrik magnet i

63

Di dalam medan listrik luar, suatu dipol mengalami momen gaya:

+q

-q

Od E

rFr

Fr

EqFEqFrrrr

−== −+ ;

EdqEqdEqd

FdFdNrrrrrr

rrrrr

×=−×−+×=

×−+×= −+

)()(

)(

21

21

21

21

Momen gaya terhadap titik O:

dqprr

= EpNrrr

×=

pr

Er

Karena medan luar dipol bergerak rotasi terhadap pusatnya; rotasi berhenti jika p sejajar E.

O

Page 64: Listrik magnet i

64

Contoh 2:

p1 p2r

Jika p1 dan p2 adalah dipol permanen yang terpisah oleh jarak r. Tentukanlahmomen gaya oleh p1 pada p2 dan sebaliknya.

Oleh dipol p1, medan di pusat dipol p2 adalah: 31

1 4 rpE

oπε

rr=

p1

p2r

1Er

Momen gaya oleh E1 (oleh p1) pada p2:

1231212 41 pp

rEpN

o

rrrrr×=×=

πε

Oleh dipol p2, medan di pusat dipol p1 adalah: 12321 21 pp

rN

o

rrr×=

πε

Page 65: Listrik magnet i

65

Energi dipol dalam medan listrikTinjau suatu medium dengan distribusi muatan ρ(r). Misalkan medium ituditempatkan dalam suatu potensial V(r). Energi medium itu adalah:

Er

pr θ

EpU dipol

rr.−=

∫= dvrVrU )()(ρ

Andaikan potensial V(r) berubah perlahan dalam medium sehinggadengan deret Taylor dapat dinyatakan:

.....)0(.)0()( +∇+= VrVrV r

......)0(

.....)()0(

....)0(.)()0()(

+−=

+−=

+∇+=

∫∫∫

EpqV

dvErrqV

dvVrrdvVrU

rr

rr

r

ρ

ρρ

Energi dipol dalam medan listrik:

Page 66: Listrik magnet i

66

( )

( )

[ ]

( )[ ]peepr

rE

epepepr

epepepr

eer

prE

rro

rro

rro

ro

rrr

r

−=

−−=

+−=

+=

ˆˆ.34

1),(

)ˆsinˆcos(ˆcos34

1

ˆsinˆcosˆcos34

1

ˆsinˆcos24

),(

3

3

3

3

πεθ

θθθπε

θθθπε

θθπε

θ

θ

θ

θ

θθθ epepp r ˆsinˆcos −=r

pr

θr

re

z

θe

Er

Energi dipol dalam medan dipol lain

1pr

2pr1ErJika E1 adalah medan oleh dipol p1, maka energi dipol p2

dalam medan E1:

( )[ ]

( )( )[ ]rro

rro

epepppr

peeppr

EpU

ˆ.ˆ.3.4

1

ˆˆ.3.4

1.

21123

11231221

rrrr

rrrrr

−=

−−=−=

πε

πε r

re

re

Page 67: Listrik magnet i

67

Polarisasi Listrik• Jika suatu bahan dielektrik nonpolar ditempatkan dalam medan listrik luar,

maka dalam bahan akan terinduksi dipol-dipol listrik.

• Jika bahan itu bersifat polar, di sana ada dipol-dipol permanen. Makamedan listrik luar akan menimbulkan momen gaya pada setiap dipol hinggaakhirnya dipol-dipol itu searah medan listrik.

• Kedua hal di atas menyebabkan bahan terpolarisasi; artinya dipol-dipolsearah dengan medan listrik luar.

E

Polarisasi:Pr

=momen dipol per satuan volume.

∫= dvPprr

Page 68: Listrik magnet i

68

3.2 Medan oleh Obyek terpolarisasi

Mialkan suatu obyek memiliki dipol-dipol terpolarisasi didalamnya. Misalkan P=dipol per satuan volume=polarisasi.

Untuk dipole tunggal, potensial yang ditimbulkanya:

22 4ˆ.cos

4 rep

rpV

o

r

o πεθ

πε

r

==

Tetapi: ∫= dvPprr dv

rerPV

Vol

r

o∫= 2

ˆ).(4

1r

πε

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇=

rrer 1ˆ

2 dvr

rPVVolo∫ ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∇=1).(

41 r

πε

( )Prr

Pr

Pr

rr

.1.1. ∇−∇=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∇

Page 69: Listrik magnet i

69

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∇−∇= ∫ ∫ dvP

rdv

rPV

Vol Volo

rr

.1.4

1πε

Dengan teorema divergen:

( )∫ ∫ ∇−=A Voloo

dvPr

darnPV

rr

.14

1ˆ.4

1πεπε

Potensial oleh suatupermukaan bermuatandengan rapat muatan:

Potensial oleh suatuvolume bermuatandengan rapat muatan:

nP ˆ.r

=σ Pr

.−∇=ρ

Pr

.−∇=ρP nP ˆ.

r=σ

=

Page 70: Listrik magnet i

70

Contoh 3:

Sebuah bola berjari R terpolarisasi uniform; tentukan potensial dan medanlistrik yang ditimbulkannya.

Rapat muatan permukaan: θσ cosˆ. PnPo ==r

z

Pr

R

θ n0=ρ karena P uniformRapatan muatan didalam bola:

Kontinuitas di r=R

1)

Page 71: Listrik magnet i

71

2)

Untuk konstant P, l berharga 1

)(coscos 1 θθσ PPPo ==

[ ]∫ ==π

εθθθ

ε 0

211 3

sin)(cos2 oo

PdPPA

31211 3

RPRABo

l

ε== +

Page 72: Listrik magnet i

72

RrrPPrPVoo

<== ;cos3

)(cos3 1 θ

εθ

ε

RrRr

PPrBV

o

>== ;cos3

)(cos 3212

1 θε

θ