Limit dan kontinuitas ·  · 2017-11-29– Limit dari 𝑓𝑥= ... Jika 𝑓Ὄ𝑥Ὅtidak kontinu di 𝑐, maka dikatakan 𝑓Ὄ𝑥Ὅmemiliki diskontinuitas di 𝑐. Tunjukkan

LIMIT DAN KONTINUITASArum Handini Primandari

■ Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang bukayang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwalimit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dapat ditulis:

Jika untuk setiap bilangan ε>0 terdapat δ>0 sedemikiansehingga |f(x)-L|<ε bila |x-a|<δ

lim ( )

x af x L

■ Limit kanan:

Mengatakan bahwa: lim𝑥→𝑐+

𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa bilamana x

dekat dekat dari kanan c, maka f(x) dekat dengan L.

■ Limit kiri:

Mengatakan bahwa: lim𝑥→𝑐−

𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa bilamana x

dekat dekat dari kiri c, maka f(x) dekat dengan L.

Teorema A:

lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ lim𝑥→𝑐−

𝑓(𝑥) = 𝐿 dan lim𝑥→𝑐+

𝑓(𝑥) = 𝐿

Suatu fungsi dikatakan memiliki limit jika dan hanya jika nilai dari

limit kanan sama dengan nilai dari limit kiri.

Tentukan nilai dari lim𝑥→2

𝑥3−8

𝑥−2

Penyelesaian:

x f(x)

1.7 10.29

1.8 10.84

1.9 11.41

1.99 11.9401

1.999 11.994001

2 tak terdefinisi

2.001 12.006001

2.01 12.0601

2.1 12.61

2.2 13.24

2.3 13.89

Limit dari

kiri

Limit dari

kanan

lim𝑥→2−

𝑥3−8

𝑥−2= 12 dan lim

𝑥→2+

𝑥3−8

𝑥−2= 12

Oleh karena limit kanan dan kirinya sama, maka

fungsi tersebut memiliki limit.

Diberikan 𝑓 𝑥 =𝑥

𝑥

Fungsi 𝑓(𝑥) memiliki dua nilai yaitu:

𝑓 𝑥 = ቊ−1, 𝑥 < 01, 𝑥 > 0

Tentukan lim𝑥→0

𝑓(𝑥)

Penyelesaian:

lim𝑥→0−

𝑓 𝑥 = −1, tetapi lim𝑥→0+

𝑓 𝑥 = 1

Sehingga dikatakan 𝑓(𝑥) tidak memiliki limit ketika 𝑥 mendekati 0

■ Untuk sebarang konstanta k, maka:

1. lim𝑥→𝑐

𝑘 = 𝑘

– Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri

2. lim𝑥→𝑐

𝑥 = 𝑐

– Limit dari 𝑓 𝑥 = 𝑥 ketika 𝑥 mendekati 𝑐 adalah 𝑐

■ Jika 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥) adalah polinomial, maka:

– lim𝑥→𝑐

𝑝(𝑥) = 𝑝(𝑐)

– lim𝑥→𝑐

𝑝 𝑥

𝑞 𝑥=

𝑝 𝑐

𝑞 𝑐, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑞(𝑐) ≠ 0

■ Contoh:

1. lim𝑥→1

𝑥2−1

𝑥2−3𝑥+2

■ Penyelesaian:

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

𝑥2 − 3𝑥 + 2= lim

𝑥→1

(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)= lim

𝑥→1

𝑥 + 1

𝑥 − 2= −2

2. lim𝑥→1

𝑥−1

𝑥−1

■ Penyelesaian:

lim𝑥→1

𝑥 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

( 𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)

(𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)= lim

𝑥→1

𝑥 − 1

(𝑥 − 1)( 𝑥 + 1)= lim

𝑥→1

1

𝑥 + 1=1

2

1. lim𝑥→0

𝑥 𝑥2−1

𝑥2

2. lim𝑥→−2

𝑥2−𝑥−6

𝑥2+3𝑥+2

3. lim𝑥→4

𝑥−2

𝑥−4

■ Jika nilai dari fungsi 𝑓(𝑥) mendekati suatu bilangan 𝐿 ketika 𝑥 naik tanpa suatubatasan, maka dapat dituliskan:

1. lim𝑥→+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿, sama halnya dengan

2. lim𝑥→−∞

𝑓(𝑥) = 𝑀

■ Reciprocal Power Rules (Aturan Pangkat Berbanding Terbalik)

– Jika 𝐴 dan 𝑘 adalah konstanta dengan 𝑘 > 0 dan 𝑥𝑘 berlaku untuk semua 𝑥, maka:

■ lim𝑥→+∞

𝐴

𝑥𝑘= 0

■ lim𝑥→−∞

𝐴

𝑥𝑘= 0

■ Menyelesaikan limit mendekati tak hingga dimana 𝑓 𝑥 =𝑝 𝑥

𝑞 𝑥

1. Bagilah baik pembilang maupun penyebut dengan pangkat tertinggi dari 𝑥𝑘 yang muncul pada penyebut polinomial 𝑞(𝑥)

2. Hitung lim𝑥→∞

𝑓(𝑥) menggunakan sifat aljabar limit dan reciprocal power rules

■ Tentukan nilai lim𝑥→+∞

2𝑥2+3𝑥+1

3𝑥2−5𝑥+2

Penyelesaian:

Pangkat tertinggi dari penyebut adalah 𝑥2, maka bagi pembilang dan penyebut dengan 𝑥2

untuk mendapatkan:

lim𝑥→+∞

2𝑥2 + 3𝑥 + 1

3𝑥2 − 5𝑥 + 2= lim

𝑥→+∞

2 +3𝑥+

1𝑥2

3 −5𝑥+

2𝑥2

=2 + 0 + 0

3 − 0 + 0=2

3

■ Suatu limit lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) disebut limit tak hingga jika 𝑓(𝑥) naik atau turun tanpa adanya

batas 𝑥 → 𝑐, dapat ditulis:

– lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = +∞

Jika 𝑓(𝑥) naik tanpa batasan seperti 𝑥 → 𝑐

– lim𝑥→𝑐

𝑓(𝑥) = −∞

Jika 𝑓(𝑥) turun tanpa batasan seperti 𝑥 → 𝑐

■ Tentukan lim𝑥→+∞

−𝑥3+2𝑥+1

𝑥−3

Penyelesaian:

Pangkat tertinggi dari penyebut adalah 𝑥, sehingga baik pembilang maupun penyebutdibagi oleh 𝑥,

lim𝑥→+∞

−𝑥3 + 2𝑥 + 1

𝑥 − 3= lim

𝑥→+∞

−𝑥3

𝑥+2𝑥𝑥+1𝑥

𝑥𝑥−3𝑥

= lim𝑥→+∞

−𝑥2 + 2 +1𝑥

1 −3𝑥

= −∞

1. lim𝑥→∞

1−3𝑥3

2𝑥3−6𝑥+2

2. lim𝑥→∞

𝑥2+𝑥−5

1−2𝑥−𝑥3

3. lim𝑥→∞

𝑥2−7𝑥5

1−2𝑥+3𝑥3

4. Diketahui fungsi 𝑓 𝑥 = ቐ1 − 𝑥2, 𝑥 < 1

1

𝑥−1, 𝑥 > 1

Tentukan:

a. lim𝑥→1

𝑓(𝑥)

b. lim𝑥→1.5

𝑓(𝑥)

5. PENDAPATAN PER KAPITA:

Suatu studi mengindikasikan bahwa t tahun dari

sekarang, populasi dari negara tertentu akan

menjadi 𝑝 = 0.2𝑡 + 1500 ribu orang. Sedemikian

sehingga pendapatan kotor negara dalam E juta

dollar, akan menjadi:

𝐸 𝑡 = 9𝑡2 + 0.5𝑡 + 179

a) Ekspresikan pendapatan per kapita dari

negara tersebut 𝑃 = 𝐸/𝑝 sebagai suatu fungsi

terhadap waktu t.

b) Apa yang terjadi pada pendapatan per kapita

dalam jangka waktu sangat panjang? (𝑡 → ∞)

6. KONSENTRASI OBAT:

Konsentrasi obat di aliran darah seorang pasien

setelah t jam dari suntikan adalah C(t) milligram per

millimeter:

𝐶 𝑡 =0.4

𝑡1.2 + 1+ 0.013

a) Berapakah konsentrasi obat tepat setelah

suntikan? (𝑡 = 0)b) Berapa banyak konsentrasi berubah selama jam

ke-5? Apakah naik atau turun selama periode

waktu tersebut?

c) Berapa banyak residual obat, dimana konsentrasi

obat tersisa dalam jangka waktu sangat lama?

(𝑡 → ∞)

KONTINUITAS

Suatu fungsi 𝑓 kontinu di 𝑐 jika tiga dari kondisi berikut terpenuhi:

1. 𝑓(𝑐) terdefinisi

2. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 ada

3. lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑐)

Jika 𝑓(𝑥) tidak kontinu di 𝑐, maka dikatakan 𝑓(𝑥) memiliki diskontinuitas di 𝑐.

■ Tunjukkan bahwa 𝑓 𝑥 =𝑥+1

𝑥−2kontinu di 𝑥 = 3

■ Periksa kontinuitas dari:

a) 𝑓 𝑥 =1

𝑥

b) 𝑓 𝑥 =𝑥2−1

𝑥+1

c) 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥 + 1,2 − 𝑥,

𝑥 < 1𝑥 ≥ 1

■ Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di titik yang diberikan:

1. 𝑓 𝑥 =2𝑥−4

3𝑥−2, di 𝑥 = 2

2. 𝑓 𝑥 =𝑥−2

𝑥−4, di 𝑥 = 4

3. 𝑓 𝑥 = ቊ𝑥2 + 1,2𝑥 + 4,

𝑥 ≤ 3𝑥 > 3

di 𝑥 = 3

4. CUACA

Misalkan tempereatur udara pada hari tertentu

adalah 30℉. Kemudian, temperature yang

diakibatkan oleh angin (dalam ℉) dengan

kecepatan 𝑣 mph, diberikan dengan rumus berikut:

𝑊 𝑣 = ቐ30

1.25𝑣 − 18.67 𝑣 + 62.3−7

𝑢𝑛𝑘 0 ≤ 𝑣 ≤ 4𝑢𝑛𝑘 4 < 𝑣 < 45𝑢𝑛𝑘 𝑣 ≥ 45

a. Berapakah temperature yang diakibatkan angin

dengan 𝑣 = 20 𝑚𝑝ℎ? Ketika 𝑣 = 50 𝑚𝑝ℎ?b. Berapakah kecepatan yang dihasilkan oleh

angin dengan temperature 0℉?

c. Apakah fungsi 𝑊(𝑣) kontinu di 𝑣 = 4?

Bagaimana dengan 𝑣 = 45?

5.

6. Tentukan nilai limit

a) lim𝑥→3+

𝑥+1−2

𝑥−3

b) lim𝑥→1−

𝑓(𝑥) dan lim𝑥→1+

𝑓(𝑥)

Dimana 𝑓 𝑥 = ቐ1

𝑥−1, 𝑥 < −1

𝑥2 + 2𝑥, 𝑥 ≥ −1

LIMIT TRIGONOMETRI

1. lim𝑥→𝑐

sin 𝑥 = sin 𝑐 dan lim𝑥→𝑐

cos 𝑥 = cos 𝑐

2. lim𝑥→0

sin 𝑥

𝑥= 1 dan lim

𝑥→0

1−cos 𝑥

𝑥= 0

3. lim𝑥→0

sin 𝑎𝑥

𝑎𝑥= 1 dan lim

𝑥→0

1−cos 𝑎𝑥

𝑎𝑥= 0 untuk 𝑎 ≠ 0

■ sin2 𝑥 + cos2 𝑥 = 1

■sin 𝑥

cos 𝑥= tan𝑥

■ tan2 𝑥 + 1 = sec2 𝑥

Aturan kuadran

■ sin1

2𝜋 − θ = cos 𝜃

■ sin −𝜃 = −sin 𝜃

■ cos −𝜃 = cos 𝜃

1. lim𝑥→0

4𝑥

cot 3𝑥

2. lim𝑥→0

𝑥2−2𝑥

sin 3𝑥

3. lim𝑥→0

1−sec2 2𝑥

𝑥2

4. lim𝑥→

𝜋

2

cos 𝑥

𝑥−1

2𝜋

5. lim𝑥→

𝜋

4

sin𝑥

𝑥