LIMIT DAN KONTINUITASArum Handini Primandari

Jika sebuah fungsi yang terdefinisi pada suatu selang bukayang memuat a, kecuali di a sendiri, maka kita katakan bahwalimit f(x) untuk x mendekati a adalah L, dapat ditulis:

Jika untuk setiap bilangan >0 terdapat >0 sedemikiansehingga |f(x)-L|

Limit kanan:

Mengatakan bahwa: lim+

= berarti bahwa bilamana x

dekat dekat dari kanan c, maka f(x) dekat dengan L.

Limit kiri:

Mengatakan bahwa: lim

= berarti bahwa bilamana x

dekat dekat dari kiri c, maka f(x) dekat dengan L.

Teorema A:

lim

() = lim

() = dan lim+

() =

Suatu fungsi dikatakan memiliki limit jika dan hanya jika nilai dari

limit kanan sama dengan nilai dari limit kiri.

Tentukan nilai dari lim2

38

2

Penyelesaian:

x f(x)

1.7 10.29

1.8 10.84

1.9 11.41

1.99 11.9401

1.999 11.994001

2 tak terdefinisi

2.001 12.006001

2.01 12.0601

2.1 12.61

2.2 13.24

2.3 13.89

Limit dari

kiri

Limit dari

kanan

lim2

38

2= 12 dan lim

2+

38

2= 12

Oleh karena limit kanan dan kirinya sama, maka

fungsi tersebut memiliki limit.

Diberikan =

Fungsi () memiliki dua nilai yaitu:

= 1, < 01, > 0

Tentukan lim0

()

Penyelesaian:

lim0

= 1, tetapi lim0+

= 1

Sehingga dikatakan () tidak memiliki limit ketika mendekati 0

Untuk sebarang konstanta k, maka:

1. lim

=

Limit dari suatu konstanta adalah konstanta itu sendiri

2. lim

=

Limit dari = ketika mendekati adalah

Jika () dan () adalah polinomial, maka:

lim

() = ()

lim

=

, () 0

Contoh:

1. lim1

21

23+2

Penyelesaian:

lim1

2 1

2 3 + 2= lim

1

( 1)( + 1)

( 1)( 2)= lim

1

+ 1

2= 2

2. lim1

1

1

Penyelesaian:

lim1

1

1= lim

1

( 1)( + 1)

( 1)( + 1)= lim

1

1

( 1)( + 1)= lim

1

1

+ 1=1

2

1. lim0

21

2

2. lim2

26

2+3+2

3. lim4

2

4

Jika nilai dari fungsi () mendekati suatu bilangan ketika naik tanpa suatubatasan, maka dapat dituliskan:

1. lim+

() = , sama halnya dengan

2. lim

() =

Reciprocal Power Rules (Aturan Pangkat Berbanding Terbalik)

Jika dan adalah konstanta dengan > 0 dan berlaku untuk semua , maka:

lim+

= 0

lim

= 0

Menyelesaikan limit mendekati tak hingga dimana =

1. Bagilah baik pembilang maupun penyebut dengan pangkat tertinggi dari yang muncul pada penyebut polinomial ()

2. Hitung lim

() menggunakan sifat aljabar limit dan reciprocal power rules

Tentukan nilai lim+

22+3+1

325+2

Penyelesaian:

Pangkat tertinggi dari penyebut adalah 2, maka bagi pembilang dan penyebut dengan 2

untuk mendapatkan:

lim+

22 + 3 + 1

32 5 + 2= lim

+

2 +3+

12

3 5+

22

=2 + 0 + 0

3 0 + 0=2

3

Suatu limit lim

() disebut limit tak hingga jika () naik atau turun tanpa adanya

batas , dapat ditulis:

lim

() = +

Jika () naik tanpa batasan seperti

lim

() =

Jika () turun tanpa batasan seperti

Tentukan lim+

3+2+1

3

Penyelesaian:

Pangkat tertinggi dari penyebut adalah , sehingga baik pembilang maupun penyebutdibagi oleh ,

lim+

3 + 2 + 1

3= lim

+

3

+2+1

3

= lim+

2 + 2 +1

1 3

=

1. lim

133

236+2

2. lim

2+5

123

3. lim

275

12+33

4. Diketahui fungsi = 1 2, < 1

1

1, > 1

Tentukan:

a. lim1

()

b. lim1.5

()

5. PENDAPATAN PER KAPITA:Suatu studi mengindikasikan bahwa t tahun dari

sekarang, populasi dari negara tertentu akan

menjadi = 0.2 + 1500 ribu orang. Sedemikiansehingga pendapatan kotor negara dalam E juta

dollar, akan menjadi:

= 92 + 0.5 + 179

a) Ekspresikan pendapatan per kapita dari

negara tersebut = / sebagai suatu fungsiterhadap waktu t.

b) Apa yang terjadi pada pendapatan per kapita

dalam jangka waktu sangat panjang? ( )

6. KONSENTRASI OBAT:Konsentrasi obat di aliran darah seorang pasien

setelah t jam dari suntikan adalah C(t) milligram per

millimeter:

=0.4

1.2 + 1+ 0.013

a) Berapakah konsentrasi obat tepat setelah

suntikan? ( = 0)b) Berapa banyak konsentrasi berubah selama jam

ke-5? Apakah naik atau turun selama periode

waktu tersebut?

c) Berapa banyak residual obat, dimana konsentrasi

obat tersisa dalam jangka waktu sangat lama?

( )

KONTINUITAS

Suatu fungsi kontinu di jika tiga dari kondisi berikut terpenuhi:

1. () terdefinisi

2. lim

ada

3. lim

= ()

Jika () tidak kontinu di , maka dikatakan () memiliki diskontinuitas di .

Tunjukkan bahwa =+1

2kontinu di = 3

Periksa kontinuitas dari:

a) =1

b) =21

+1

c) = + 1,2 ,

< 1 1

Tentukan apakah fungsi berikut kontinu di titik yang diberikan:

1. =24

32, di = 2

2. =2

4, di = 4

3. = 2 + 1,

2 + 4, 3 > 3

di = 3

4. CUACAMisalkan tempereatur udara pada hari tertentu

adalah 30. Kemudian, temperature yang diakibatkan oleh angin (dalam ) dengankecepatan mph, diberikan dengan rumus berikut:

= 30

1.25 18.67 + 62.37

0 4 4 < < 45 45

a. Berapakah temperature yang diakibatkan angin

dengan = 20 ? Ketika = 50 ?b. Berapakah kecepatan yang dihasilkan oleh

angin dengan temperature 0?c. Apakah fungsi () kontinu di = 4?

Bagaimana dengan = 45?

5.

6. Tentukan nilai limit

a) lim3+

+12

3

b) lim1

() dan lim1+

()

Dimana = 1

1, < 1

2 + 2, 1

LIMIT TRIGONOMETRI

1. lim

sin = sin dan lim

cos = cos

2. lim0

sin

= 1 dan lim

0

1cos

= 0

3. lim0

sin

= 1 dan lim

0

1cos

= 0 untuk 0

sin2 + cos2 = 1

sin

cos = tan

tan2 + 1 = sec2

Aturan kuadran

sin1

2 = cos

sin = sin

cos = cos

1. lim0

4

cot 3

2. lim0

22

sin 3

3. lim0

1sec2 2

2

4. lim

2

cos

1

2

5. lim

4

sin