LIMIT A. Pendahuluan · anggota dari S. 2. f(x 0) = nilai minimum jika f pada domain S berlaku f(x ... 2 ( 4 + x2)-1/2 ... Fungsi F(x) = disebut integral tak tentu dari fungsi f(x

LIMIT

A. Pendahuluan

1. Dalam kehidupan sehari-hari pengertian limit sebenarnya sudah sering kita temui,

misal seseorang yang akan jatuh ke sungai, dikatakan “hampir saja si A jatuh ke

sungai. Atau Rumah si B hampir terbakar, dan lainnya.

Semua itu merupakan hubungan dengan pengertian limit.

2. a) Jika ada suatu garis yang memotong suatu lingkaran tepat satu titik, maka garis

tersebut dikatakan menyinggung lingkaran (limit).

b) Jika garis tersebut memotong kurva tepat satu kali, maka belum tentu garis tersebut

menyinggung kurva.

c) Jika titik P dan Q pada suatu kurva dalam bidang xy, maka garis PQ adalah garis

potong pada kurva tersebut. Jika titik Q digerakkan menuju ke titik P, maka

terjdilah garis singgung pada kurva tersebut di titik P. Dikatakan bahwa garis PQ

menuju ke posisi limit.

3. Luas pada suatu bidang xy, yang berada dibawah suatu kurva yang sukar

menghitungnya, dapat dilakukan dengan cara membuat segiempat-segiempat di

bawah kurva tersebut dan menjumlahkannya. Maka hasilnya akan mendekati luas

yang sebenarnya dapat dikatakan nilai limit.

B. Definisi Limit.

Bilangan L disebut limit dari fungsi f(x) untuk x mendekati suatu nilai c, ditulis :

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿

Artinya jika nilai x mendekati nilai c, maka f(x) mendekati L.

Sifat – sifat limit :

1. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑐𝑥 → 𝑐

= 𝑐

2. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑐𝑓(𝑥)

𝑥 → 𝑐= 𝑐

𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑓(𝑥)𝑥 → 𝑐

3. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [𝑓 + 𝑔]𝑥

𝑥 → 𝑐=


+ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑔(𝑥)

𝑥 → 𝑐

4. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [𝑓. 𝑔](𝑥)

𝑥 → 𝑐=


. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑔(𝑥)

𝑥 → 𝑐

5. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 [

𝑓

𝑔](𝑥)

𝑥 → 𝑐=

lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥)

lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)

Dimana c adalah bilangan konstan sembarang.

Contoh :

1. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 4𝑥𝑥 → 2

= 4 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑥𝑥 → 2

= 4 .2 = 8

2. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 (𝑥2 + 4𝑥)

𝑥 → 2= 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 𝑥2

𝑥 → 2+

𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 4𝑥𝑥 → 2

= 22 + 4 . 2 = 4 + 8 = 12

Limit Besar Tak Hingga.

Adalah limit dengan rumus : 1. lim𝑛→∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿

2. lim𝑛→− ∞ 𝑓 𝑥 = 𝐿

Contoh :

1. lim𝑥→∞1

𝑥=

1

∞= 0

2. lim𝑥→∞3𝑥−2

6𝑥+10= lim𝑥→∞

3−2/𝑥

6+10/𝑥= 1/2

Limit Palsu.

Adalah limit dengan bentuk : lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = ∞ atau lim𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = − ∞

Contoh :

1. lim𝑥→01

𝑥2 = 1

0 = ∞

2. lim𝑥→1𝑥2

𝑥−1 =

lim 𝑥→1 𝑥2

lim 𝑥→1 𝑥−1 =

1

1−1 = ∞

C. Derivatif

Definisi : Derivatif fungsi f (ditulis f’ ) adalah fungsi dengan rumus :

f’(x) = lim∆𝑥 →0𝑓 𝑥+ ∆𝑥 – 𝑓 ( 𝑥 )

∆𝑥

apabila limit ini ada.

Contoh 1 : Cari f’(x) jika f(x) = x2

Jawab :

f(x) = x2 - f( 𝑥 + ∆𝑥 ) = ( 𝑥 + ∆𝑥 )

2 = x

2 + 2 x ( ∆𝑥 ) + ( ∆𝑥 )

2

Sehingga f’(x) = lim∆𝑥 →0𝑓 𝑥+ ∆𝑥 – 𝑓 ( 𝑥 )

∆𝑥

= lim∆𝑥 →0( 𝑥+ ∆𝑥 )2– 𝑥2

∆𝑥

= lim∆𝑥 →0𝑥2+ 2𝑥 ∆𝑥 + (∆𝑥)2 − 𝑥2

∆𝑥

= 2x

Jadi f(x) = x2 - f’(x) = 2x.

Secara umum f(x) = xn - f’(x) = nx

n-1

Rumus- Rumus :

1. f(x) = C , maka f’ (x) = 0; atau y = C; maka y’ = 𝑑𝑦

𝑑𝑥 = 0

2. y = xn

, maka y’ = n xn-1

3. Y = f(x) +

− g(x) ; maka Y’ = f’(x)

+

− g’(x)

4. Y = f(x) . g(x) ; maka Y’ = f(x) . g’(x) + f’(x) . g(x)

5. Y = 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ; maka Y’ =

𝑔(𝑥) 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′ (𝑥) 𝑓(𝑥)

[𝑔 𝑥 ]2

6. Y = [f(x)]n ; maka Y’ = n [f(x)]

n-1 . f’(x)

Contoh : Cari y’ jika

1. y = 5; maka y’ = 0

2. y = x5 ; maka y’ = 5 x

4

3. y = [ x5 + 3 ] + [ x

2 + 5 ] ; maka y’ = [5x

4] + [2x]

4. y = [ x5 + 3 ] . [ x

2 + 5 ] ; maka y’ = [ x

5 + 3 ] . [ 2x ] + [ 5x

4 + 3 ] . [ x

2 + 5 ]

5. y = 𝑥5 + 3

𝑥3 ; maka y’ = 𝑥3 [5𝑥4] − [3𝑥2] [𝑥5+3]

[𝑥3]2

6. y = [ x5 + 3 ]

7 ; maka y’ = 7 [ x

5 + 3 ]

6 . [ 5x

4 ]

D. Nilai Maksimum, Minimum, dan Titik Stasioner

1. f(x0 ) = nilai maksimum jika f pada domain S berlaku f(x0 ) ≥ f(x) untuk setiap x

anggota dari S.

2. f(x0 ) = nilai minimum jika f pada domain S berlaku f(x0 )≤ f(x) untuk setiap x

anggota dari S.

3. Misal f(x) = 1

𝑥 dan S = [1,3], maka f(1) = 1 adalah nilai maksimum dan f(3) =

1

3

adalah nilai minimum.

4. Titik Stasioner diperoleh dari f’(x) = 0. Merupakan titik yang akan memberikan f

bernilai maksimum atau minimum.

5. Misal f(x) = x2 dan S = [ -1, 3], maka f( -1) = 1, f(3) = 9.

Turunan dari f(x) adalah f’(x) = 2x = 0, jadi x = 0, maka f(0) = 0

Sehingga f(x) = x2 , nilai maksimumnya adalah 9 dan nilai minimumnya = 0.

6. Sebuah kapal terhenti di tengah laut di A, berjarak 2 mil ke pantai B, jika yang akan

dituju untuk mencari bantuan adalah di C yang berjarak 6 mil dari B. Berapa waktu

tercepat jika, berlari di darat kecepatannya 10 mil/jam dan naik sekoci kecepatannya 6

mil/jam.

Jawab :

a). Dari A ke B kemudian ke C

Dari A ke B naik sekoci maka waktu yang diperlukan :

W = 𝐽

𝐾 =

2 𝑚𝑖𝑙

6 𝑚𝑖𝑙 /𝑗𝑎𝑚 =

1

3 jam = 20 menit

dari B ke C lari, maka waktu yang diperlukan : W = 𝐽

𝐾 =

6 𝑚𝑖𝑙


6

10 jam = 36 menit

jadi keseluruhan waktu yang digunakan = 56 menit.

b) Dari A langsung ke C :

dari A langsung ke C maka waktu yang diperlukan : W = 𝐽

𝐾 =

4+36 𝑚𝑖𝑙


6,3

6 jam = 1,05 jam

= 63 menit.

c) Dari A ke D kemudian ke C :

dari A ke D naik sekoci maka waktu yang diperlukan : W = 𝐽

𝐾 =

4+ 𝑥2 𝑚𝑖𝑙


4+ 𝑥2

6 jam

dari D ke C lari, maka waktu yang diperlukan : W = 𝐽

𝐾 =

(6−𝑥 ) 𝑚𝑖𝑙


(6−𝑥 )

10 jam

jadi keseluruhan waktu yang digunakan : W = { 4+ 𝑥2

6 +

(6−𝑥 )

10 } jam

W = 4+ 𝑥2

6 +

(6−𝑥 )

10

= 1

6 4 + 𝑥2 +

1

10 ( 6 – x )

= 1

6 ( 4 + x

2 )

1/2 +

1

10 ( 6 – x )

Maka W’ = 1

6 .

1

2 ( 4 + x

2 )

-1/2 (2x) +

1

10 ( – 1 )

= 𝑥

6 ( 4+ 𝑥2 -

1

10

= 10 𝑥−6 ( 4+ 𝑥2

60 4+ 𝑥2

Karena nilai ekstrim dapat dicari dari persamaan W’ = 0

Dari W’ = 10 𝑥−6 ( 4+ 𝑥2

60 4+ 𝑥2 -- 60 4 + 𝑥2 ≠ 0

Jadi 10 x - 6 4 + 𝑥2 = 0

10 x = 6 4 + 𝑥2

100 x2 = 36 ( 4 + x

2 )

100 x2 = 144 + 36 x

2

Maka didapat nilai x1 = 3/2 dan x2 = - 3/2

Jadi didapat nilai W = { 4+ 𝑥2

6 +

(6−𝑥 )

10 } jam

W = { 4+ (

3

2)2

6 +

(6−3

2 )

10 } jam = {

4+ (9

4)

6 +

(9

2 )

10 } jam = {

(25

4)

6 +

9

20 } jam

= { 5/2

6 +

9

20 } jam = {

5

12 +

9

20 } jam = { 25 + 27 } menit

= 52 menit.

7. Suatu proyek pemasangan pipa air minum dari sumber air ke suatu lokasi

penampungan. Dari sumber air ke penampungan memotong jalan raya dengan lebar

14 meter, jika jarak sumber air ke lokasi penampungan sejauh 100 m. Hitunglah biaya

minimum jika pemasangan pipa di bawah aspal jalan raya biayanya 4 juta/meter dan

di tepi jalan 2 juta/meter.

Jawab :

a) Jarak dari A ke B = 14 m dan dari B ke C = 100 m

Jika akan dilakukan pemasangan dari A ke B, kemudian dari B ke C, maka biaya yang

diperlukan sebesar:

dari A ke B biaya pemasangan yang diperlukan = 14 x 4 = 56 juta

dari B ke C biaya pemasangan yang diperlukan = 100 x 2 = 200 juta

Jadi keseluruhan biayanya = 256 juta.

b) Biaya pemasangan dari A langsung ke C sebesar = 4 x 142 + 1002 = 4 x 10196

= 4 x 100,97 = 403,9 juta

c) Jika pemasangan dilakukan dengan cara :

dari A ke D biaya yang diperlukan = 4 x 𝑥2 + 142 juta

dari D ke C biaya yang diperlukan = 2 x ( 100 – x ) juta

jadi keseluruhan biaya = B = 4 𝑥2 + 142 + 2 ( 100 – x )

= 4 𝑥2 + 196 + 200 – 2x 𝑑𝐵

𝑑𝑥 = 0

4𝑥

𝑥2+ 196 - 2 = 0

4𝑥

𝑥2+ 169 = 2

4x = 2 𝑥2 + 196

16 x2 = 4 ( x

2 + 196 )

16 x2 = 4 x

2 + 784

12 x2 = 784

x2 = 784/12 = 65,3

x1 = 8,08 dan x2 = - (t.m)

jadi keseluruhan biaya = B = 4 8,082 + 196 + 2 ( 100 – 8,08 ) = 248,5 juta

8. Kertas karton berbentuk bujur sangkar dengan sisi-sisinya berukuran 15 cm. Jika

setiap ujung dipotong berbentuk bujur sangkar. Berapa ukuran kotak terbuka dengan

volume terbesar yang dapat dibuat dari karton tsb.

Jawab :

Volume kotak terbuka adalah V = luas alas . tinggi = s . s . t = ( 15-2x ) ( 15-2x ) x

V = 4x3 – 60x

2 + 225x

𝑑𝑉

𝑑𝑥 = 0

12x2 – 120x + 225 = 0

x1,2 = −𝑏

+

− 𝑏2− 4𝑎𝑐

2𝑎 =

120 +

− 14400−10800

24 =

120 +

− 3600

24 =

120 +

− 60

24

x1 = (120+60)/24 = 7,5 ; x1 = (120-60)/24 = 2,5

Jadi volume terbesar jika x = 2,5

Sehingga V = 4(2,5)3 – 60(2,5)

2 + 225(2,5) = 62,5-375+562,5 = 250

9. Suatu perusahaan akan menjual barang hasil produksinya dengan harga Rp 5000,-

/biji. Serta setiap harinya menjual minimal 1000 satuan. Jika harga barang tersebut

harganya dikurangi Rp 100,-/biji maka jumlah yang terjual akan meningkat 100

satuan.

Cari : a) fungsi harga, jika x = banyak barang yang terjual.

b) fungsi pendapatan.

c) pendapatan harian maksimum.

Jawab :

a) h(x) = 5000 – 100 [ 𝑥−1000

100 ] = 6000 – x

b) p(x) = x . h(x) = 6000 x – x2

c) 𝑑 𝑝(𝑥)

𝑑𝑥 = 6000 – 2x = 0, jadi x = 3000.

Berarti pendapatan perhari = 6000(3000) –(3000)2 = 9.000.000

INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu.

Definisi : Fungsi F(x) = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 disebut integral tak tentu dari fungsi f(x) pada interval

tertutup [a,b] jika F’(x) = f(x) ∀ x ∈ [a,b]

Rumus : 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 1

𝑛+1 𝑥𝑛+1 + 𝐶

Contoh :

1. 𝑥3 𝑑𝑥 = 1

4 𝑥4 + 𝐶

2. 𝑥5 𝑑𝑥 = 1

6 𝑥6 + 𝐶

3. 𝑥 [𝑥2 + 3]7 𝑑𝑥 = ........; misal A = x2 + 3, maka dA = 2x dx

= 𝑥 𝐴7 𝑑𝐴

2𝑥

= 1

2 𝐴7 𝑑𝐴

= 1

16 [ x

2 + 3 ]

8 + C

B. Integral Tertentu

∆ L1 = f(x1 ) . ∆ x1

∆ L2 = f(x2 ) . ∆ x2

.............................

∆ Ln = f(xn ) . ∆ xn

------------------------ +

L = ∆ 𝐿𝑖𝑛𝑖=1 = 𝑓( 𝑥𝑖 )

𝑛𝑖=1 . ∆𝑥𝑖

L = lim∆𝑥𝑖 𝑓( 𝑥𝑖 )

𝑛𝑖=1 . ∆𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

Jadi, L= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

C. Pengembangan Rumus.

1. L = [ 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ]𝑑𝑥𝑏

𝑎

2. V = 𝜋 [ 𝑓 𝑥 ]2𝑑𝑥𝑏

𝑎

3. V = 𝜋 { [ 𝑓 𝑥 ]2 – 𝑔 𝑥 ]2 𝑑𝑥𝑏

𝑎

4. P(AB) = 1 + [ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 ]2

𝑏

𝑎 dx

5. L(AB) = 2𝜋 𝑦 1 + [ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 ]2

𝑏

𝑎 dx

Contoh :

1. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 ; sumbu x; dan garis tegak x

= 2.

Jawab :

L = 𝑥2 𝑑𝑥 = [ 1

3 𝑥3 ]0

22

0 =

8

3

2. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = ex ; dari titik x=0 sampai dengan

x = 2.

Jawab :

L = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = [ 𝑒𝑥 ]022

0 = e

2 – e

0

3. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 dan y = 4.

Jawab :

L = [ 4 − 𝑥2 ] 𝑑𝑥 = [ 4𝑥 − 1

3𝑥3 ]−2

22

−2 = [8-8/3] – [ -8+8/3] = 32/3

4. Hitung volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh garis y =

x, x = 4, dan sumbu x, kemudian diputar keliling sumbu x.

Jawab :

L = 𝜋 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝜋[ 1

3𝑥3 ]0

44

0 = 64/3 𝜋

5. Hitung volume benda putar yang terjadi jika bidang datar yang dibatasi oleh garis y =

𝑥, y = 4, dan sumbu y kemudian diputar keliling sumbu x.

Jawab :

L = 𝜋 [42 − 𝑥 2

] 𝑑𝑥 = 𝜋[ 16𝑥 − 1

2 𝑥2 ]0

1616

0 = 128 𝜋

6. Hitung panjang kurva y = x, dari titik A(1,1) sampai B(4,4).

Jawab : P(AB) = 1 + [ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 ]2

𝑏

𝑎 dx = 1 + 1

4

1 dx = 3 2

7. Hitung luas luasan busur putar jika kurva y = x, dari titik A(1,1) sampai B(4,4),

diputar keliling sumbu x.

Jawab : L(AB) = 2𝜋 𝑦 1 + [ 𝑑𝑦

𝑑𝑥 ]2

𝑏

𝑎 dx

= 2𝜋 𝑥 1 + 1 4

1 dx = 15 2 𝜋

D. Hubungan Koordinat Kartesius Dan Koordinat Polar (Kutub)

P(x,y) = P(r,𝜃 ) dimana x = r cos 𝜃 dan y = r sin 𝜃

Sehingga : Persamaan lingkaran x2 + y

2 – 2ax = 0 dalam koordinat polar r = 2a cos 𝜃

Persamaan lingkaran x2 + y

2 + 2ax = 0 dalam koordinat polar r = - 2a cos 𝜃


2 – 2ay = 0 dalam koordinat polar r = 2a sin 𝜃


2 + 2ay = 0 dalam koordinat polar r = - 2a sin 𝜃

Cardioda r = a ( 1 – Cos 𝜃 )

Cardioda r = a ( 1 + Cos 𝜃 )

Gambar r = 2a cos 𝜃

𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360

Cos 𝜃 1 0,8 0,7 0,5 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,5 1

r 2a 1,6 1,4a a a 2a

Gambar r = 2a sin 𝜃

𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360

Sin 𝜃 0 0,5 0,7 0,8 1 0,7 0 -0,7 -1 -0,8 0

r 0 a 1,4a 1,6a 2a 1,4a 0

Gambar Cardioda r = a ( 1 – Cos 𝜃 )

𝜃 0 30 45 60 90 135 180 225 270 300 360

Cos 𝜃 1 0,8 0,7 0,5 0 -0,7 -1 -0,7 0 0,5 1

r 0 0,2a 0,3a 0,5a A 1,7a 2a 1,7a a 0,5a 0

Dalam koordinat kutub L= 1

2 𝑟2𝛽

𝛼 d𝜃

Contoh : Tentukan luas daerah di kuadran I, yang berada diluar lingkaran r = 2 dan didalam

lingkaran r = 4 cos 𝜃

( [cos 𝑥 ]𝑛 𝑑𝑥 = [cos 𝑥 ]𝑛−1 . [sin 𝑥 ]

𝑛 +

𝑛−1

𝑛 [cos 𝑥 ]𝑛−2 𝑑𝑥

Jawab : L= 1

2 𝑟2𝛽

𝛼 d𝜃 =

1

2 { [ 16 𝑐𝑜𝑠2𝜋/3

0 𝜃] – 4 ] d𝜃

= 1

2 [ 16 𝑐𝑜𝑠2𝜋/3

0 𝜃] d𝜃 - 2

𝜋/3

0 d𝜃

= 8 [cos 𝜃 ] [sin 𝜃 ]0

𝜋/3

2 + 4

𝜋/3

0 d𝜃 - 2

𝜋/3

0 d𝜃

= 4 cos (𝜋/3) .sin (𝜋/3) + 2 (𝜋/3)

E. Integral Lipat Dua

∆ V1 = f(x1 , y1 ) . ∆ L1

∆ V2 = f(x1 , y1 ) . ∆ L1

.............................

∆ Vn = f(xn , yn ) . ∆ Ln

------------------------ +

V = ∆ 𝑉𝑖𝑛𝑖=1 = f(xi , yi ) . ∆ Li𝑛

𝑖=1

V = lim∆𝐿𝑖 f(xi , yi ) . ∆ Li𝑛

𝑖=1 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐿𝑅

Contoh :

1. Hitung volume benda yang dibatasi oleh bidang x + y + z = 2 dan bidang-bidang koordinat.

Jawab :

V = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐿𝑅

= 2 − 𝑥 − 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥2−𝑥

𝑦=0

2

𝑥=0 =

1

2 𝑥2 − 2𝑥 + 2 𝑑𝑥

2

𝑥=0 = 8/6

2. Hitung volume benda yang dibatasi oleh bidang x + z = 2 ; y = 5 dan bidang-bidang

koordinat.

Jawab :

V = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐿𝑅

= 2 − 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥5

𝑦=0

2

𝑥=0 = 10 − 5𝑥 𝑑𝑥

2

𝑥=0 = 10

3. Sebuah tangki berbentuk kerucut penuh dengan air. Jika tinggi tangki 10 m dan jari-jari 4

m. Maka tentukan daya yang diperlukan untuk memompa air sampai tepi atas tangki.

Jawab :

W = F . d ( daya = gaya . jarak )

∆ W = 𝛿 𝜋 [ 4𝑦

10 ]2 . ∆𝑦 . [10-y] = = 𝛿 𝜋 [

4𝑦

10 ]2 . [10-y] . ∆𝑦 = 𝛿 𝜋 [

16

100 ] . [10y

2 – y

3] . ∆𝑦

W = 𝛿 𝜋 [ 16

100 ] . [10 y2 – y3]

10

0dy =

16 𝛿 𝜋

100 [

10

3 𝑦3 −

1

4 𝑦4 ]0

10 = 133,3. 𝛿 𝜋

F. Luas Permukaan

L(P ) = 𝜕𝑧

𝜕𝑥

2

+ 𝜕𝑧

𝜕𝑦

2

+ 1𝑅

dR

Contoh 1 : Hitung luas permukaan bidang y+z = 3 yang terpotong bidang-bidang x=0, y=0,

z=0, dan x = 5.

Jawab :

z=3-y - 𝜕𝑧

𝜕𝑥 = 0 ; dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦 = -1

L(P) = 0 + 1 + 13

𝑦=0

5

𝑥=0 dy dx = 2 [𝑦]0

35

𝑥=0 dx = 2 3

5

𝑥=0 dx = 2 [3𝑥]0

5 = 15 2

Contoh 2 : Hitung luas permukaan bidang x+z = 3 yang terpotong bidang-bidang x=0, y=0,

z=0, dan y = 5.

Jawab :

z=3-x - 𝜕𝑧

𝜕𝑥 = -1 ; dan

𝜕𝑧

𝜕𝑦 = 0

L(P) = 1 + 0 + 15

𝑦=0

3

𝑥=0 dy dx = 2 [𝑦]0

53

𝑥=0 dx = 2 5

5

𝑥=0 dx = 2 [5𝑦]0

3 = 15 2

G. Transformasi Jacobian

Misal 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅

akan diganti dengan variabel baru U dan V, dimana antara U dan V

dengan x dan y terdapat hubungan fungsional x = h(U,V) dan y = g(U,V) serta setiap pasang

(U,V) terdapat satu pasang (x,y); Maka

𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅

= 𝑓 𝑕 𝑈, 𝑉 , 𝑔 𝑈, 𝑉 𝐽 𝑑𝑈 𝑑𝑉𝑅

dimana J =

𝜕𝑥

𝜕𝑈

𝜕𝑥

𝜕𝑉𝜕𝑦

𝜕𝑈

𝜕𝑦

𝜕𝑉

Misal x = r cos 𝜃 dan y = r sin 𝜃 ,

maka 𝜕𝑥

𝜕𝑟 = cos 𝜃 ;

𝜕𝑥

𝜕𝜃 = - r sin 𝜃 dan

𝜕𝑦

𝜕𝑟 = sin 𝜃 ;

𝜕𝑦

𝜕𝜃 = r cos 𝜃

sehingga J =

𝜕𝑥

𝜕𝑟

𝜕𝑥

𝜕𝜃𝜕𝑦

𝜕𝑟

𝜕𝑦

𝜕𝜃

= cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃

= r (cos 𝜃)2 + r (sin 𝜃)

2 =

= r { (cos 𝜃)2 + (sin 𝜃)

2 } = r . 1 = r

Jadi 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅

= 𝑓 𝑟, 𝜃 𝐽 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅

= 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅

Contoh 1 : Hitung volume benda dibawah permukaan z = x2 + y

2; diatas bidang z = 0 dan di

dalam tabung x2 + y

2 = 2x.

Jawab :

V = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦𝑅

= [𝑥2𝑦

+ 𝑦2 ] 𝑑𝑦 𝑑𝑥𝑥

Dengan transformasi Jacobian :

z = x2 + y

2 = r

2 ;

x2 + y

2 = 2x dirubah menjadi r

2 = 2r cos 𝜃 jadi r = 2 cos 𝜃

didapat batas untuk 𝜃 adalah 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2 dan untuk r adalah 0 ≤ 𝑟 ≤ 2 cos 𝜃

V1 = 𝑓 𝑟, 𝜃 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃𝑅

= 𝑟22 cos 𝜃

𝑟=0 . 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝜋/2

𝜃=0 = 𝑟32 cos 𝜃

𝑟=0 𝑑𝑟 𝑑𝜃

𝜋/2

𝜃=0

= 1

4 [𝑟4]0

2 cos 𝜃 𝑑𝜃𝜋/2

𝜃=0 =

1

4 [ 16 (cos 𝜃 )4 𝑑𝜃

𝜋/2

𝜃=0 = 4

3

4 (cos 𝜃 )2 𝑑𝜃

𝜋/2

𝜃=0

= 3 1

2 𝑑𝜃

𝜋/2

𝜃=0 = [3/2] [ 𝜋/2]

V = 2 V1 = = [3/2][ 𝜋

Contoh 2 : Hitung volume benda dibawah permukaan z = x2 + y

2; diatas bidang z = 0 dan di

dalam tabung x2 + y

2 = 2y.

Daftar Pustaka Referensi.

1. Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Kalkulus Dan Geometri Analitis, Penerbit Erlangga,

Jakarta.

2. Frank Ayres JR, Differential And Integral Calculus, Schaum’s Outline Series

3. Earl W. Swokowski, Calculus With Analytic Geometry, Marquette University

INTEGRASI NUMERIK

Pendahuluan.

Integral suatu fungsi disajikan dalam bentuk : 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Integral tersebut digunakan untk menghitung luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu

x, dengan batas x=a dan x=b.

Metode Trapesium.

Metode Trapesium merupakan metode pendekatan integral numerik, dalam metode ini kurva

lengkung dari fungsi f(x) dianggap garis lurus.

Metode Trapesium 1 pias.

Sehingga untuk menghitung suatu luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x dari x=a

sampai x = b, dihitung dengan rumus L = [b-a] 𝑓 𝑎 + 𝑓(𝑏)

2

Contoh : Hitung luas bidang datar dibatasi oleh y = x2 dan sumbu x dari x = 2 sampai x = 5.

Jawab :

x1 = 2 → f(𝑥1 ) = 4 ; x2 = 5 → f(𝑥1 ) = 25 ; L = [5-2] 4+25

2 =

87

2 = 43,5

Metode Trapesium n-pias.

L= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑥0

𝑎 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑥1

𝑥0 + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1 +......... + 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑥𝑛 −1

= ∆𝑥 𝑓 𝑥0 + 𝑓(𝑎)

2 + ∆𝑥

𝑓 𝑥1 + 𝑓( 𝑥0 )

2 + ∆𝑥

𝑓 𝑥2 + 𝑓( 𝑥1 )

2 + .... ∆𝑥

𝑓 𝑏 + 𝑓( 𝑥𝑛−1 )

2 +

= ∆𝑥

2 [ f(x0) + f(a) + f(x1) + f(x0) + f(x2) + f(x1) + ....... + f(b) + f(xn-1) ]

= ∆𝑥

2 [ f(a) + f(b) + 2 𝑛−1

𝑖=0 f(xi) ]

Contoh :

1. Hitung luas bidang datar yang dibatasi parabol y = x2 ; sumbu x; dari x=2 sampai

x=5

Jawab :

Misal ambil pias n=3, maka ∆𝑥 = 𝑏−𝑎

𝑛 =

5−2

3 = 1.

Jadi, titik a = 2, b = 5 dan x0 = 3, x1 = 4

f(a) = 4; f(b) = 25 ; f(x0 ) = 9 ; f(x1 ) = 16

L = ∆𝑥

2 [ f(a) + f(b) + 2 𝑛−1

𝑖=0 f(xi) ] = 1

2 [ 4 + 25 + 2 (9+16) ] = 39,5

2. Diberikan data sebagai berikut :

x 0 1 2 3

f(x) 5 9 17 27

Hitung luasan dibawah f(x) dan diantara x = 0 dan x = 3.

Jawab :

Jadi, L = 1

2 [ 5 + 27 +2(9+17)] = 42

3. Dalam suatu pengamatan pada jumlah kendaraan yang melewati suatu ruas jalan

didapat data sebagai berikut :

Hitunglah jumlah kendaraan yang melewati jalan tersebut dalam

satu hari.

Jawab :

No Waktu Kend/mnt f(x) 1 0 3 3 2 120 2 4

No Waktu Kend/mnt

1 0.00 3

2 2.00 2

3 4.00 1

4 6.00 4

5 8.00 12

6 10.00 7

7 12.00 8

8 14.00 9

9 16.00 11

10 18.00 12

11 20.00 9

12 22.00 4

13 24.00 2

3 240 1 2 4 360 4 8 5 480 12 24 6 600 7 14 7 720 8 16 8 840 9 18 9 960 11 22 10 1080 12 24 11 1200 9 18 12 1320 4 8 13 1440 2 2 163

Jumlah kendaraan dalam 1 hari = (1440/12)/2 * 163 = 9780

Metode Simpson.

Metode Simpson 1/3 dengan 2 pias

L = 𝑏−𝑎

6 [ f(a) + 4 f(c) + f(b) ]


Jawab :

Ambil 3 titik a = 2, b = 5 dan c = 3,5 ; maka f(a) = 4 ; f(b) = 25 ; dan f(c) = 12,25

L = 𝑏−𝑎

6 [ f(a) + 4 f(c) + f(b) ] =

5−2

6 [ 4 + 4 (12,25) + 25 ] = 39

Metode Simpson 1/3 dengan n-pias

L = ∆𝑥

3 [ f(a) + f(b) + 4 𝑓 𝑥𝑖 + 2 𝑓 𝑥𝑖 𝑛−2

𝑖=2𝑛−1𝑖=1 ]

Dimana 4 𝑓 𝑥𝑖 𝑛−1𝑖=1 untuk i gasal dan 2 𝑓 𝑥𝑖

𝑛−2𝑖=2 untuk i genap


Jawab :

Misal banyak pias n = 4, maka ∆x = 5−2

4 = 0,75,

didapat a=2 ; x1 = 2,75 ; x2 = 3,5 ; x3 = 4,25 ; b = 5

Jadi f(a) = 4 ; f(x1 ) = 7,56 ; f(x2 ) = 12,25 ; f(x3 ) = 18,06 ; f(b) = 25.

L = 0,75

3 [ 4 + 25 + 4( 7,56 + 18,06 ) + 2 ( 12,25) ] = 38,995

AKAR-AKAR PERSAMAAN

Untuk mencari akar-akar persamaan polinomial derajad dua, misal bentuk ax2 + bx + c = 0

dapat dicari dengan rumus x1,2 = −𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐

2𝑎 .

Misal : x2 – x – 6 = 0, maka x1,2 =

−𝑏 ± 𝑏2− 4𝑎𝑐

2𝑎 =

1 ± 1+24

2 ; jadi x1 = 3 dan x2 = -2

Sedangkan untuk polinomial derajad tiga, empat dapat dilakukan dengan metode sebagai

berikut :

Metode Newton Raphson : xi+1 = xi – 𝒇(𝒙𝒊 )

𝒇′ (𝒙𝒊 )

Contoh : Cari salah satu akar dari : x3 + x

2 -3x – 3 = 0

Jawab :

1) f(x) = x3 + x

2 -3x – 3 → f’ (x) = 3x

2 + 2x -3

2) ambil x1 = 1 → f(x=1) = -4 dan f’(x=1) = 2

3) x2 = x1 – 𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 1 -

−4

2 = 3

4) ambil x2 = 3 → f(x=3) = 24 dan f’(x=3) = 30

5) x3 = x2 – 𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 3 -

24

30 = 2,2

6) ambil x3 = 2,2 → f(x=2,2) = 5,89 dan f’(x=2,2) = 15,92

7) x4 = x3 – 𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 2,2 –

5,98

15,92 = 1,83

8) ambil x5 = 1,83 → f(x=1,83) = 0,98 dan f’(x=1,83) = 10,71

9) x6 = x5 – 𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 1,83 –

0,98

10,71 = 1,73

10) ambil x6 = 1,71 → f(x=1,71) = -0,21 dan f’(x=1,71) = 9,19

11) x7 = x6 – 𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) = 1,71 -

−021

9,19 = 1,73

INTERPOLASI

Intepolasi digunakan untuk mencari suatu nilai dari beberapa nilai yang sudah diketahui.

Interpolasi Linier.

f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 )

𝑥1− 𝑥0 (x – x0 )

Interpolasi Kuadrat.

f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 )

dengan b0 = f(x0 ) ; b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 )

𝑥1− 𝑥0 ; b2 =

𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 )

𝑥2 − 𝑥1−

𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )

𝑥1 − 𝑥0

𝑥2 − 𝑥0

Interpolasi Polinomial Lagrange Order Satu.

f1 (x) = 𝑥− 𝑥1

𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥1− 𝑥0 f( x1 )

Interpolasi Polinomial Lagrange Order Dua.

f2 (x) = 𝑥− 𝑥1

𝑥0− 𝑥1

𝑥− 𝑥2

𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥1− 𝑥0

𝑥− 𝑥2

𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥2− 𝑥0

𝑥− 𝑥1

𝑥2− 𝑥1 f( x2 )

Contoh 1 : Diberikan data sebagai berikut

X 0,6 1,1 1,6

f(x) 2,139 2,815 3,955

Jika x = 1,4 maka cari f(x=1,4).

Jawab :

Interpolasi Linier.

f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 )

𝑥1− 𝑥0 (x – x0 ) = 2,139 +

2,815 – 2,139

1,1− 0,6 (1,4 – 0,6 ) = 3,221


f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 )

b0 = f(x0 ) = 2,139

b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 )

𝑥1− 𝑥0 =

2,815− 2,139

1,1−0,6 = 1,352

b2 =

𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 )

𝑥2 − 𝑥1−

𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )

𝑥1 − 𝑥0

𝑥2 − 𝑥0 =

3,995 – 2,815

1,6 − 1,1−

2,815 – 2,139

1,1 − 0,6

1,6 − 0,6 = 0,928

f2 = 2,139 + 1,352 (1,4-0,6) + 0,928 (1,4-0,6) (1,4-1,1) = 3,443


f1 (x) = 𝑥− 𝑥1

𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥1− 𝑥0 f( x1 ) =

1,4− 1,1

0,6−1,1 (2,139 ) +

1,4− 0,6

1,1−0,6 (2,815 ) = 3,221


f2 (x) = 𝑥− 𝑥1

𝑥0− 𝑥1

𝑥− 𝑥2

𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥1− 𝑥0

𝑥− 𝑥2

𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥2− 𝑥0

𝑥− 𝑥1

𝑥2− 𝑥1 f( x2 )

= 1,4−1,1

0,6−1,1

1,4−1,6

0,6− 1,6 (2,139 ) +

1,4− 0,6

1,1− 0,6

1,4− 1,6

1,1− 1,6 ( 2,815 ) +

1,4− 0,6

1,6− 0,6

1,4− 1,1

1,6− 1,1 ( 3,955 )

= 3,187

Contoh 2 : Diberikan nilai ln sebagai berikut :

x 2 3 6

f(x) = ln x 0,693 1,098 1,792

Cari nilai ln 5 ?

Nilai ln 5 = 1,609

Jawab :

Interpolasi Linier.

f1 (x) = f(x0 ) + 𝑓 𝑥1 – 𝑓 (𝑥0 )

𝑥1− 𝑥0 (x – x0 ) = 1,098 +

1,792 –1,098

6 −3 (5 – 3 ) = 1,561


f2 = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0 ) (x – x1 )

b0 = f(x0 ) = 0,693

b1 = 𝑓 𝑥1 − 𝑓 (𝑥0 )

𝑥1− 𝑥0 =

1,098 – 0,693

3 −2 = 0,405

b2 =

𝑓 𝑥2 – 𝑓(𝑥1 )

𝑥2 − 𝑥1−

𝑓 𝑥1 – 𝑓( 𝑥0 )

𝑥1 − 𝑥0

𝑥2 − 𝑥0 =

1,792 –1,098

6 − 3−

1,098 −0,693

3 − 2

6 − 2 =

0,231−0,405

4 = - 0,043

f2 = 0,693 + 0,405 (5-2) – 0,043 (5-2) (5-3) = 1,908 – 0,258 = 1,65


f1 (x) = 𝑥− 𝑥1

𝑥0− 𝑥1 f (x0 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥1− 𝑥0 f( x1 ) =

5 − 3

2−3 (0,693 ) +

5−2

3−2 (1,098) = 1,908


f2 (x) = 𝑥− 𝑥1

𝑥0− 𝑥1

𝑥− 𝑥2

𝑥0− 𝑥2 f (x0 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥1− 𝑥0

𝑥− 𝑥2

𝑥1− 𝑥2 f( x1 ) +

𝑥− 𝑥0

𝑥2− 𝑥0

𝑥− 𝑥1

𝑥2− 𝑥1 f( x2 )

= 5−3

2−3

5−6

2−6 (0,693 ) +

5−2

3−2

5−6

3−6 ( 1,098 ) +

5−2

6− 2

5−3

6−3 ( 1,792 )

= 1,648

Contoh 3 : Diberikan data dari hasil pengamatan antara kecepatan dan jarak henti sebagai

berikut

Kecepatan

(km/jam)

30 40 50 60 70

Jarak

henti (m)

46 65 90 111 148

a) Jika kendaraan berjalan dengan kecepatan 45 km/jam, perkirakan jarak hentinya.

b) Jika kendaraan berjalan dengan kecepatan 55 km/jam, perkirakan jarak hentinya.

Jawab

MATRIKS

Notasi Matriks.

A = [ aij ]

A =

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

… . 𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛

A disebut matrik bertipe m x n, artinya terdiri dari m baris dan n kolom.

.

Penjumlahan Matriks

Jika A = 𝑎𝑖𝑗 dan B = 𝑏𝑎𝑖𝑗 betipe/berdimensi mxn

maka C = A ± B = 𝑎𝑖𝑗 ± 𝑏𝑎𝑖𝑗 = 𝑐𝑖𝑗 juga bertipe mxn

Contoh : A = 1 2 34 5 6

dan B = 10 12 1314 15 16

C = A + B = 1 2 34 5 6

+ 10 12 1314 15 16

= 11 14 1618 20 22

Perkalian 2 Matriks.

Perkalian 2 matriks dapat dilakukan jika, banyaknya elemen kolom matriks pertama sama

dengan banyaknya elemen baris matriks kedua.

A x B = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛

x 𝑏𝑗𝑘 𝑛𝑥𝑝

= 𝑐𝑖𝑘 𝑚𝑥𝑝

= C

Contoh 1 : A = 1 2 34 5 6

dan B = 7 108 119 12

A x B = 1 2 34 5 6

x 7 108 119 12

= 1 7 + 2 8 + 3(9) 1 10 + 2 11 + 3(12)

4 7 + 5 8 + 6(9) 4 10 + 5 11 + 6(12)

= 50 68

122 167

Contoh 2 : A = 1 2 34 5 6

dan B = 4 5 67 8 91 2 3

Invers Matrik.

Matrik A-1

disebut invers dari matrik A, jika A.A-1

= A-1

. A = I

Dimana I = 1 00 1

atau 1 0 00 1 00 0 1

dst

Contoh 1 :

Matrik A = 2 −13 −4

dan A-1

= - 1

5

−4 1−3 2

A-1

merupakan invers dari A, sebab A. A-1

= - 1

5

2 −13 −4

−4 1−3 2

= - 1

5

2 −4 + −1 (−3) 2 1 + −1 2

3 −4 + −4 (−3) 3 1 + −4 2 = -

1

5

−5 00 −5

= 1 00 1

Contoh 2 :

Matrik A = 1 3 31 4 31 3 4

dan A-1

= 7 −3 −3

−1 1 0−1 0 1

A-1

merupakan invers dari A, sebab A. A-1

= 1 3 31 4 31 3 4

7 −3 −3

−1 1 0−1 0 1

= 1 0 00 1 00 0 1

Mencari Invers Matrik.

Contoh 1 : Cari Invers Matrik A = 2 −13 −4

Jawab :

2 −13 −4

1 00 1

baris 1 dikalikan (1/2)

1 −1/23 −4

1/2 0

0 1 baris 1 dikalikan (-3) ditambahkan ke baris 2

1 −1/20 −5/2

1/2 0

−3/2 1 baris 2 dikalikan (-2/5)

1 −1/20 1

1/2 03/5 −2/5

baris 2 dikalikan (1/2) ditambahkan ke baris 1

1 00 1

4/5 −1/53/5 −2/5

jadi A-1

= 4/5 −1/53/5 −2/5

= - 1

5

−4 1−3 2

Contoh 2 : Cari Invers Matrik A = 1 3 31 4 31 3 4

Jawab :

1 3 31 4 31 3 4

1 0 00 1 00 0 1

baris 2 – baris 1 ; baris 3 – baris 1

1 3 30 1 00 0 1

1 0 0

−1 1 0−1 0 1

baris 2 dikalikan (–3) ditambahkan ke baris 1

1 0 30 1 00 0 1

4 −3 0

−1 1 0−1 0 1

baris 3 dikalikan (–3) ditambahkan ke baris 1

1 0 00 1 00 0 1

7 −3 −3

−1 1 0−1 0 1

dan A-1

= 7 −3 −3

−1 1 0−1 0 1

Contoh 3 : Cari Invers Matrik A = 2 −3 44 3 −11 2 −4

Jawab :

2 −3 44 3 −11 2 −4

1 0 00 1 00 0 1

baris 1 dikalikan 1

2

1 −3/2 24 3 −11 2 −4

1/2 0 0

0 1 00 0 1

baris 1 dikalikan (-4) ditambahkan ke baris 2; baris 1 dikalikan (-1) ditambahkan ke baris 3.

1 −3/2 20 9 −90 7/2 −6

1/2 0 0−2 1 0

−1/2 0 1

Baris 2 dikalikan (1/9)

1 −3/2 20 1 −10 7/2 −6

1/2 0 0

−2/9 1/9 0−1/2 0 1

Baris 2 dikalikan (3/2) ditambahkan ke baris 1; baris 2 dikalikan (-7/2) ditambahkan ke baris

3.

1 0 1/20 1 −10 0 −5/2

3/18 3/18 0−2/9 1/9 05/18 −7/18 1

baris 3 dikalikan (-2/5)

1 0 1/20 1 −10 0 1

3/18 3/18 0−2/9 1/9 0

−10/90 14/90 −2/5

Penyebut disamakan menjadi per-90

1 0 1/20 1 −10 0 1

15/90 15/90 0

−20/90 10/90 0−10/90 14/90 −36/90

Baris 3 ditambahkan ke baris 2; baris 3 dikalikan (-1/2) ditambahkan ke baris 1.

1 0 00 1 00 0 1

20/90 8/90 18/90

−30/90 24/90 −36/90−10/90 14/90 −36/90

Jadi dan A-1

= 20/90 8/90 18/90

−30/90 24/90 −36/90−10/90 14/90 −36/90

= 1

90

20 8 18−30 24 −36−10 14 −36

Sistem Persamaan Linier.

a11 x1 + a12 x2 + ........ + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + ........ + a2n xn = b2

am1 x1 + am2 x2 + ........ + amn xn = bn

dapat ditulis dalam bentuk matrik :

𝑎11 𝑎12

𝑎21 𝑎22

… . 𝑎1𝑛

𝑎2𝑛

𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚𝑛

𝑥1

𝑥2

𝑥𝑛

=

𝑏1

𝑏2

𝑏𝑛

Contoh 1 : Diberikan sistem persamaan linier

x1 + 2x2 + x3 = 2

3x1 + x2 – 2x3 = 1

4x1 – 3x2 – x3 = 3

Cari x1 ; x2 ; x3.

Jawab :

1 2 13 1 −24 −3 −1

213 baris 1 dikalikan (-3) ditambahkan ke baris 2

1 2 10 −5 −54 −3 −1

2

−53

baris 1 dikalikan (-4) ditambahkan ke baris 3

1 2 10 −5 −50 −11 −5

2

−5−5

baris 2 dikalikan (-11/5) ditambahkan ke baris 3

1 2 10 −5 −50 0 6

2

−56

baris 2 dikalikan (-11/5) ditambahkan ke baris 3

x1 + 2x2 + x3 = 2

- 5x2 – 5x3 = -5

6x3 = 6, jadi x3 = 1 ; x2 = 0 ; x1 = 1

Atau :

1 2 10 −5 −50 0 6

2

−56

baris 2 dikalikan (-1/5) didapat

1 2 10 1 10 0 6

216

baris 2 dikalikan (-2) ditambahkan ke baris 1 didapat

1 0 −10 1 10 0 6

016

Baris 3 dikalikan (1/6) didapat

1 0 −10 1 10 0 1

011

Baris 3 dikalikan (-1) ditambahkan ke baris 2 ; baris 3 ditambakan ke baris 1.

1 0 00 1 00 0 1

101 jadi x1 = 1 ; x2 = 0 ; dan x3 = 1

Contoh 2 : Seorang yang tinggal pada satu perumahan, memilih alat transportasi untuk pergi

ke tempat kerjanya yakni dengan taksi, angkot dan bus. Adapun karakteristik dari ke-tiga

moda adalah sebagai berikut :

Taksi (x1 ) Angkot (x2) Bus (x3)

Waktu tempuh 1/3 ½ 1

Jumlah tempat henti 0 2 7

Biaya 4 1 1/2

Dalam satu bulan orang tersebut menghabiskan waktu 14 jam,76 kali berhenti, biaya 26

rupiah. Hitung berapa kali orang tersebut menggunakan setiap moda.

Jawab :

Waktu tempuh : 1/3 x1 + ½ x2 + x3 = 14

Jumlah henti : 2x2 + 7x3 = 76

Biaya : 4x1 + x2 + 1/2x3 = 26

1/3 1/2 1

0 2 74 1 1/2

147626

baris 1 dikalikan (-12) ditambahkan ke baris 3

1/3 1/2 1

0 2 70 −5 −23/2

1476

−142 baris 2 dikalikan (5/2) ditambahkan ke baris 3

1/3 1/2 1

0 2 70 0 6

147648

baris 2 dikalikan (5/2) ditambahkan ke baris 3

1/3 x1 + ½ x2 + x3 = 14

2x2 + 7x3 = 76

6x3 = 48, maka x3 = 8 ; x2 = 10 ; x1 = 3

Jadi orang tersebut untuk pergi ke tempat kerja 3 kali naik taksi 10 naik angkot dan 8 kali

naik bus.

Buku Acuan :

Amrinsyah Nasution & Hasballah Zakaria, Metode Numerik Dalam Ilmu Rekayasa Sipil,

Penerbit ITB Bandung.

Budi Murtiyasa, 2012, Matriks & Sistem Persamaan Linear, Muhammadiyah University Pres,

Surakarta.

Bambang Triatmodjo, 2002, Metode Numerik, Beta Offset, Yogyakarta.

PROGRAM LINIER

Program Linier merupakan salah satu model dari Riset Operasi, dimana Riset Operasi

ini merupakan alat untuk menjawab masalah, yakni mengoptimalkan atau meminimalkan

suatu fungsi, yakni fungsi sasaran dengan syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi.

Jika fungsi sasaran dan syarat-syaratnya linier maka Program Linier dapat digunakan untuk

menyelesaikan masalah tersebut.

Permasalah Program Linier :

Fungsi Tujuan : f(x) = a1x1 + a2x2 + ..... + anxn

Syarat-syarat : a11x1 + a12x2 + ..... + a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + ..... + a2nxn ≤ b2

.............................

am1x1 + am2x2 + ..... + amnxn ≤ bm

dan xi ≥ 0 ; untuk setiap i = 1 .... n

Masalah Program Linier dan Penyelesaian Cara Grafik.

Contoh 1 : Suatu industri rumah tangga pembuat kerudung. Ada 2 macam model yang dibuat

yakni model A dan model B. Ada 3 karyawan yang bekerja, karyawan 1 perminggu

hanya bekerja 8 jam, karyawan 2 selama 15 jam, dan karyawan 3 selama 30 jam. Proses

pembuatan kerudung setiap 1 losin (12 biji) untuk model A dikerjakan oleh karyawan 1

selama 2 jam, karyawan 3 selama 6 jam, sedangkan model B dikerjakan oleh karyawan 2

selama 3 jam dan karyawan 3 selama 5 jam.. Jika setiap penjualan 1 losin kerudung

Model A memberi keuntungan 30.000 dan 1 losin model B memberi keuntungan 50.000.

Maka berapa lusin model A dan model B harus dibuat agar keuntungannya maksimal.

Jawab :

Model A Model B Jam Kerja

Karyawan 1

Karyawan 2

Karyawan 3

2

0

6

0

3

5

8

15

30

Keuntungan x . 10000 3 5

Fungsi tujuan : f = 3x + 5y

Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8

2) 3y ≤ 15

3) 6x + 5y ≤ 30

Untuk fungsi tujuan : f = 3x + 5y didapatkan hasil :

Untuk titik A(4,0) → f = 12

B(4, 6/5) → f = 12 + 6 = 18

C(5/6 , 5) → f = 5/2 + 25 = 27,5

D(0,5) → f = 25

Jadi, model A = 5/6 lusin, model 5 lusin dan keuntungan 275.000.

Contoh 2 : Seorang petani memiliki 16 ha tanah yang akan padi dan jagung. Adapun datanya

sebagai berikut :

Sarana Padi Jagung bi satuan

Tanah

Modal

Air

1/5

3

12

2/5

2

0

16

120

360

Ha

Ribu rupiah

jam

2 1 Ribu rupiah

Jawab :

Fungsi tujuan : f = 2x + y

Syarat-syarat : 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16

2) 3x + 2y ≤ 120

3) 12x ≤ 360

Disederhanakan menjadi : 1) x + 2 y ≤ 80

2) 3x + 2y ≤ 120

3) x ≤ 30

Untuk fungsi tujuan : f = 2x + y didapatkan hasil :

Untuk titik A(30,0) →

B(30, 15) → f = 60 + 15 = 75

C(20, 30) → f = 40 + 30 = 70

D(0,40) → f = 40

Untuk syarat-syarat didapatkan hasil :

Untuk titik :

A(30,0) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 6 ≤ 16

2) 3x + 2y ≤ 120 → 90 ≤ 120

3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360

B(30, 15) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 6+6 = 12 ≤ 16

2) 3x + 2y ≤ 120 → 90+30 = 120 ≤ 120

3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360

C(20, 30) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 4 + 12 = 16 ≤ 16

2) 3x + 2y ≤ 120 → 60+60 = 120 ≤ 120

3) 12x ≤ 360 → 360 ≤ 360

D(0,40) → 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16 → 16 ≤ 16

2) 3x + 2y ≤ 120 → 80 ≤ 120

3) 12x ≤ 360 → 0 ≤ 360

Masalah Program Linier dan Penyelesaian Metode Simplex.

Jawab 1 :

Fungsi tujuan : f = 3x + 5y

Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8

2) 3y ≤ 15

3) 6x + 5y ≤ 30

Langkah-langkah penyelesaian :

1. Mengubah fungsi tujuan dan syarat-syarat menjadi sebagai berikut :

Fungsi tujuan : f = 3x + 5y diubah menjadi f – 3x – 5y = 0

Syarat-syarat : 1) 2x ≤ 8 diubah menjadi 2x + s1 = 8

2) 3y ≤ 15 diubah menjadi 3y + s2 = 15

3) 6x + 5y ≤ 30 diubah menjadi 6x + 5y + s3 = 30

2. Disusun pada tabel awal simplex sebagai berikut :

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 -5 0 0 0

2 0 1 0 0

0 3 0 1 0

6 5 0 0 1

0

8

15

30

3. Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan,

didapat (-5) ; maka didapat kolom kunci (kolom y) : 035

4. Pilih baris kunci; (lihat 2) baris s1 ada nilai = 8

0 = ~ ; baris s2 =

15

3 = 5;

baris s3 = 30

5 = 6. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s2 =

15

3 = 5.

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 -5 0 0 0

2 0 1 0 0

0 3 0 1 0

6 5 0 0 1

0

8

15

30

F

s1

y

s3

1

0

0

0

0 3 0 1 0

15

5. Baris kunci dikalikan 1/3 didapat

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 -5 0 0 0

2 0 1 0 0

0 3 0 1 0

6 5 0 0 1

0

8

15

30

F

s1

y

s3

1

0

0

0

0 1 0 1/3 0

5

6. Pada kolom y, setiap barisnya dibuat 0 (nol)

a) Baris y dikalikan 5 (0 5 0 5/3 0 25), kemudian ditambahkan ke baris f.

b) Baris y dikalikan (-5) (0 -5 0 -5/3 0 -25), ditambahkan ke baris s3.

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

s2

s3

1

0

0

0

-3 -5 0 0 0

2 0 1 0 0

0 3 0 1 0

6 5 0 0 1

0

8

15

30

F

s1

y

s3

1

0

0

0

-3 0 0 5/3 0

2 0 1 0 0

0 1 0 1/3 0

6 0 0 -5/3 1

25

8

5

5

7. Kembali ke langkah 3 yakni :

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

y

s3

1

0

0

0

-3 0 0 5/3 0

2 0 1 0 0

0 1 0 1/3 0

6 0 0 -5/3 1

25

8

5

5

Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat

(-3) ; maka didapat kolom kunci (kolom x) : 206


2 = 4 ; baris y =

5

0 = ~ ; baris s3 =

5

6 .

Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s3 = 5

6 .

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

y

s3

1

0

0

0

-3 0 0 5/3 0

2 0 1 0 0

0 1 0 1/3 0

6 0 0 -5/3 1

25

8

5

5

F

s1

y

x

1

0

0

0

6 0 0 -5/3 1

5

9. Baris kunci dikalikan 1/6 didapat :

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

y

s3

1

0

0

0

-3 0 0 5/3 0

2 0 1 0 0

0 1 0 1/3 0

6 0 0 -5/3 1

25

8

5

5

F

s1

y

x

1

0

0

0

1 0 0 -5/18 1/6

5/6

10. Pada kolom x, setiap barisnya dibuat 0 (nol)

a) Baris x dikalikan 3 (3 0 0 -5/6 1/2 5/2), kemudian ditambahkan ke baris f.

b) Baris x dikalikan (-2) (-2 0 0 5/9 -1/3 -5/3), ditambahkan ke baris s1.

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

y

s3

1

0

0

0

-3 0 0 5/3 0

2 0 1 0 0

0 1 0 1/3 0

6 0 0 -5/3 1

25

8

5

5

F

s1

y

x

1

0

0

0

0 0 0 5/6 1/2

0 0 1 5/9 -1/3

0 1 0 1/3 0

1 0 0 -5/18 1/6

27,5

19/3

5

5/6

Jadi, didapat x = 5/6 ; y = 5 dan f = 27,5

Jawaban Contoh 2 :

Fungsi tujuan : f = 2x + y

Syarat-syarat : 1) 1/5 x + 2/5 y ≤ 16

2) 3x + 2y ≤ 120

3) 12x ≤ 360

Disederhanakan menjadi : 1) x + 2 y ≤ 80

2) 3x + 2y ≤ 120

3) x ≤ 30

Langkah-langkah penyelesaian :

1. Mengubah fungsi tujuan dan syarat-syarat menjadi sebagai berikut :

Fungsi tujuan : f = 2x + y diubah menjadi f – 2x – y = 0

Syarat-syarat : 1) x + 2y ≤ 80 diubah menjadi x + 2y + s1 = 80

2) 3x + 2y ≤ 120 diubah menjadi 3x + 2y + s2 = 120

3) x ≤ 30 diubah menjadi x + s3 = 30

2. Disusun pada tabel awal simplex sebagai berikut :

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

s2

s3

1

0

0

0

-2 -1 0 0 0

1 2 1 0 0

3 2 0 1 0

1 0 0 0 1

0

80

120

30

3. Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan,

didapat (-2) ; maka didapat kolom kunci (kolom x) : 131


1 = 80 ; baris s2 =

120

3 = 40;

baris s3 = 30

1 = 30. Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s3 =

30

1 = 30.

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

s2

s3

1

0

0

0

-2 -1 0 0 0

1 2 1 0 0

3 2 0 1 0

1 0 0 0 1

0

80

120

30

F

s1

s2

x

1

0

0

0

1 0 0 0 1

30

5. Baris kunci dikalikan, nilai pada kolom pertama 1.

6. Pada kolom x, setiap barisnya dibuat 0 (nol)

a) Baris x dikalikan 2 (2 0 0 0 2 60), kemudian ditambahkan ke baris f.

b) Baris x dikalikan (-1) (-1 0 0 0 -1 -30), ditambahkan ke baris s1.

c) Baris x dikalikan (-3) (-3 0 0 0 -3 -90), ditambahkan ke baris s2.

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

s2

s3

1

0

0

0

-2 -1 0 0 0

1 2 1 0 0

3 2 0 1 0

1 0 0 0 1

0

80

120

30

F

s1

s2

x

1

0

0

0

0 -1 0 0 2

0 2 1 0 -1

0 2 0 1 -3

1 0 0 0 1

60

50

30

30

7. Kembali ke langkah 3 yakni :

f x y s1 s2 s3 bi

F

s1

s2

x

1

0

0

0

0 -1 0 0 2

0 2 1 0 -1

0 2 0 1 -3

1 0 0 0 1

60

50

30

30

Pilih kolom kunci; yakni kolom dengan nilai yang terkecil dari fungsi tujuan, didapat

(-1) ; maka didapat kolom kunci (kolom y) : 220


2 = 25 ; baris s2 =

30

2 = 15 ; baris x

= 30

0 = ~ . Ambil baris kunci dengan nilai terkecil yakni baris s2 =

30

2 = 15.

f x y s1 s2 s3 bi

f

s1

s2

x

1

0

0

0

0 -1 0 0 2

0 2 1 0 -1

0 2 0 1 -3

1 0 0 0 1

60

50

30

30

f

s1

y

x

1

0

0

0

0 2 0 1 -3

30

9. Baris kunci dikalikan 1/2 didapat :

f x y s1 s2 s3 bi

f

s1

s2

x

1

0

0

0

0 -1 0 0 2

0 2 1 0 -1

0 2 0 1 -3

1 0 0 0 1

60

50

30

30

f

s1

y

x

1

0

0

0

0 1 0 1/2 -3/2

15

10. Pada kolom y, setiap barisnya dibuat 0 (nol)

a) Baris y dikalikan 1 (0 1 0 1/2 -3/2 15), kemudian ditambahkan ke baris

f.

b) Baris x dikalikan (-2) (0 -2 0 -1 3 -30), ditambahkan ke baris s1.

f x y s1 s2 s3 bi

f

s1

s2

x

1

0

0

0

0 -1 0 0 2

0 2 1 0 -1

0 2 0 1 -3

1 0 0 0 1

60

50

30

30

f

s1

y

x

1

0

0

0

0 0 0 ½ 1/2

0 0 1 -1 2

0 1 0 1/2 -3/2

1 0 0 0 1

75

20

15

30

Jadi, didapat x = 30 ; y = 15 dan f = 75

ANALISA NETWORK

Analisa Network biasanya disusun untuk memudahkan pengurutan kegiatan yang

kompleks, dimana kegiatan tersebut saling berhubungan.

Contoh 1 :

Suatu proyek kegiatan direncanakan sebagai berikut :

Kegiatan Keterangan Kegiatan yang

mendahului

Waktu (minggu)

A

B

C

D

E

F

G

Merencanakan

Memesan mesin

Menyesuaikan mesin

Pesan material

Buat rangka

Finishing rangka

Pasang mesin pada rangka

-

A

B

A

D

E

C, F

11

3

9

5

4

2

6

Tentukan waktu tercepat menyelesaikan proyek tersebut.

Perencanaan tersebut disusun Network sbb :

Kemudian mencari jalur kritis sbb:

A

B

2

D E F

G

7

C

3

0 A,11 11

11 B,3 14 11 D,5 16

14

2

C,9 23 16 E,4 20

20 F,2 22

23 G,6 29

Jadi waktu penyelesaian proyek 29 minggu.

Contoh 2 :

Suatu proyek kegiatan direncanakan sebagai berikut :

Kegiatan Kegiatan yang

mendahului

Waktu

(minggu)

A

B

C

D

E

F

G

H

-

-

A

B

C

C

D,E

F,G

3

4

3

5

5

3

5

3

Tentukan waktu tercepat menyelesaikan proyek tersebut.

Perencanaan tersebut disusun Network sbb :

Kemudian mencari jalur kritis sbb:

A

B

C E

D

F

G

H

0 B,4 4 0 A,3 3

4 D,5 9 3 C,3 6

6 E,5 11 6 F,3 9

G,5 11 16

H,3 16 19

MODEL TRANSPORTASI

Model Transportasi merupakan model yang berkaitan dengan pendistribusian barang dari

pusat penyediaan barang (sumber) ke tempat-tempat penerimaan barang (tujuan). Adapun

persoalan yang akan dipecahakan pada model transportasi yakni menentukan pengiriman

barang dari sumber ke tujuan dengan meminimalkan biaya.

Contoh 1 :

Seorang saudagar beras memiliki 3 gudang, yang akan mengirimkan berasnya ke 3 kota

tujuan Solo, Yogya, Semarang. Adapun kapasitas masing-masing gudang, permintaan dari 3

lokasi, serta biaya pengiriman terlihat pada tabel berikut :

Kapasitas masing-masing Gudang

Gudang Kapasitas Gudang

A 100

B 70

C 60

Total 230

Permintaan masing-masing Kota

Permintaan Kapasitas Gudang

Solo 60

Yogya 120

Semarang 50

Total 230

Biaya pengiriman dari gudang ke lokasi.

Dari Biaya

Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang

Gudang A 22 7 10

Gudang B 17 22 12

Gudang C 27 12 21

Jawab :

Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method)

Tabel awal :

Dari \ ke Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang Kapasitas

Gudang

Gudang A 22 7 10 100

Gudang B 17 22 12 70

Gudang C 27 12 21 60

Permintaan

Beras

60 120 50 230

Penyelesaian berdasarkan tabel awal :


Gudang

Gudang A 60 22 40 7 10 100

a b

Gudang B 17 70 22 12 70

c

Gudang C 27 10 12 50 21 60

d e

Permintaan

Beras

60 120 50 230

Jadi biaya pengiriman = 60(22) + 40(7) + 70(22) + 10(12) + 50(21) = 4310

Perbaiki tabel dengan coba-coba.


Gudang

Gudang A 22 100 7 10 100

a b

Gudang B 60 17 10 22 12 70

c

Gudang C 27 10 12 50 21 60

d e

Permintaan

Beras

60 120 50 230


Perbaiki tabel dengan coba-coba yang ke dua.


Gudang

Gudang A 22 50 7 50 10 100

a b

Gudang B 60 17 10 22 12 70

c

Gudang C 27 60 12 21 60

d e

Permintaan

Beras

60 120 50 230


Dengan memilih biaya minimal lebih dulu.

Tabel awal :


Gudang

Gudang A 22 7 10 100

Gudang B 17 22 12 70

Gudang C 27 12 21 60

Permintaan

Beras

60 120 50 230

Pengerjaan :


Gudang

Gudang A 22 100 7 10 100

a

Gudang B 20 17 22 50 12 70

c b

Gudang C 40 27 20 12 21 60

e d

Permintaan

Beras

60 120 50 230

Jadi biaya pengiriman = 100(7) + 20(17) + 50(12) + 40(27) + 20(12) = 2960.

Contoh 2 :

Perusahaan air minum memiliki sumber air di 3 lokasi yakni Boyolali, Klaten dan Sarangan,

yang akan mengirimkan produknya ke 3 kota tujuan Solo, Yogya, Semarang. Adapun

kapasitas masing-masing sumber air dan permintaan dari 3 kota, serta biaya pengiriman

terlihat pada tabel berikut :

Kapasitas masing-masing Gudang

Sumber Kapasitas Produksi

Boyolali 5000

Klaten 6000

Sarangan 7000

Total 18000

Permintaan masing-masing Kota

Permintaan Kapasitas Bak Air

Solo 6000

Yogya 5500

Semarang 6500

Total 18000

Biaya pengiriman dari gudang ke lokasi.

Dari Biaya

Ke Solo Ke Yogya Ke Semarang

Boyolali 6 7 9

Klaten 8 5 10

Sarangan 7 4 5

Jawab :

Metode Sudut Barat Laut (North West Corner Method)

Tabel awal :


Produksi

Boyolali 6 7 9 5000

Klaten 8 5 10 6000

Sarangan 7 4 5 7000

Kapasitas

Bak air

6000 5500 6500 18000

Penyelesaian berdasarkan tabel awal :


Produksi

Boyolali 5000 6 7 9 5000

a

Klaten 1000 8 5000 5 10 6000

b c

Sarangan 7 500 4 6500 5 7000

d e

Kapasitas

Bak air

6000 5500 6500 18000

Jadi biaya pengiriman = 5000(6) + 1000(8) + 5500(5) + 500(4) + 6500(5) = 100.000

Dengan memilih biaya minimal lebih dulu.

Tabel awal :


Produksi

Boyolali 6 7 9 5000

Klaten 8 5 10 6000

Sarangan 7 4 5 7000

Kapasitas

Bak air

6000 5500 6500 18000

Pengerjaan :


Produksi

Boyolali 6 7 5000 9 5000

d

Klaten 6000 8 5 10 6000

c

Sarangan 7 5500 4 1500 5 7000

a b

Kapasitas

Bak air

6000 5500 6500 18000

Jadi biaya pengiriman = 6000(8) + 5500(4) + 5000(9) + 1500(5) = 122.500.

MODEL PENUGASAN.

Model ini digunakan untuk masalah-masalah penugasan, yakni pemberian tugas dari

pimpinan kepada karyawannya. Tujuannya untuk meminimalkan biaya atau memaksimalkan

keuntungan.

Contoh 1 :

Suatu perusahaan mendapatkan 3 poyek, maka diperlukan 3 karyawannya yang bertanggung

jawab untuk menyelesaikan masing-masing proyek. Sehubungan dengan keahlian masing-

masing karyawan, maka ada tabel penggajian untuk setiap karyawannya sebagai berikut :

Karyawan Proyek

A B C

1 13 16 8

2 10 12 13

3 11 14 9

Bagaimana alokasi penugasan terhadap ke tiga karyawan tersebut harus dilakukan, agar biaya

yang dikeluarkan seminimal mungkin.

Jawab :

1. Matriks awal :

Karyawan Proyek

A B C

1 13 16 8

2 10 12 13

3 11 14 9

2. Kurangilah setiap elemen baris dengan angka terkecil dari baris tersebut.

Karyawan Proyek

A B C

1 5 8 0

2 0 2 3

3 2 5 0

3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom B

belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom B dengan angka terkecil

dari kolom tersebut.

Karyawan Proyek

A B C

1 5 6 0

2 0 0 3

3 2 3 0

4. Buat garis yang melingkupi semua angka nol ( seminimal mungkin )

Karyawan Proyek

A B C

1 5 6 0

2 0 0 3

3 2 3 0

Jika banyak garis yang melingkupi angka 0 sama dengan banyak baris (kolom) maka

penugasan sudah maksimal, jika belum maka perlu memperbaiki matriksnya.

Jadi ada 2 garis yang melingkupi angka 0. Maka perlu memperbaiki matriks.

5. Pilih angka terkecil dari matriks no 4, yang belum terliput garis. Didapat angka 2,

kemudian angka ini digunakan untuk mengurangi semua elemen dari matriks yang

belum terliput garis.

Karyawan Proyek

A B C

1 3 4 0

2 0 0 3

3 0 1 0


Karyawan Proyek

A B C

1 3 4 0

2 0 0 3

3 0 1 0

Jadi ada 3 garis yang melingkupi angka 0. Berarti banyak garis = banyak baris, maka

penugasan sudah optimal.

7. Kesimpulan :

Karyawan 1 ditugaskan ke proyek C dengan gaji 8. Karyawan 2 ditugaskan ke proyek B

dengan gaji 12, dan Karyawan 3 ditugaskan ke proyek A dengan gaji 11.

Jadi total pengeluaran = 31.

Contoh 2 :

Suatu perusahaan mendapatkan 4 poyek, maka diperlukan 4 karyawannya yang bertanggung

jawab untuk menyelesaikan masing-masing proyek. Sehubungan dengan keahlian masing-

masing karyawan, maka ada tabel penggajian untuk setiap karyawannya sebagai berikut :

Karyawan Proyek

A B C D

1 18 23 21 25

2 17 19 24 20

3 28 23 26 23

4 20 21 21 19

Bagaimana alokasi penugasan terhadap ke tiga karyawn tersebut harus dilakukan, agar biaya

yang dikeluarkan seminimal mungkin.

Jawab :

1. Matriks awal :

Karyawan Proyek

A B C D

1 18 23 21 25

2 17 19 24 20

3 28 23 26 23

4 20 21 21 19

2. Kurangilah setiap elemen baris dengan angka terkecil dari baris tersebut.

Karyawan Proyek

A B C D

1 0 5 3 7

2 0 2 7 3

3 5 0 3 0

4 1 2 2 0

3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom C

belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom C dengan angka terkecil

dari kolom tersebut.

Karyawan Proyek

A B C D

1 0 5 1 7

2 0 2 5 3

3 5 0 1 0

4 1 2 0 0


Karyawan Proyek

A B C D

1 0 5 1 7

2 0 2 5 3

3 5 0 1 0

4 1 2 0 0



Jadi ada 3 garis yang melingkupi angka 0. Maka perlu memperbaiki matriks.



belum terliput garis. DAN DITAMBAHKAN KE ELEMEN YANG MEMPUNYAI

GARIS BERSILANGAN.

Karyawan Proyek

A B C D

1 0 4 0 6

2 0 1 4 2

3 6 0 1 0

4 2 2 0 0


Karyawan Proyek

A B C D

1 0 4 0 6

2 0 1 4 2

3 6 0 1 0

4 2 2 0 0



7. Kesimpulan :

Karyawan 1 ditugaskan ke proyek C dengan gaji 21 (kalau ke-proyek A, maka karyawan 2

tak punya pekerjaan). Karyawan 2 ditugaskan ke proyek A dengan gaji 17, kemudian

Karyawan 3 ditugaskan ke proyek B dengan gaji 23, dan karyawan 4 ditugaskan ke proyek D

dengan gaji 19.

Jadi total pengeluaran = 80.

Contoh 3 :

Suatu perusahaan memiliki 4 karyawan, yang akan menyelesaikan 4 proyek yang diperoleh

tahun ini. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka karyawan tersebut

harus ditugaskan dengan tepat agar perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimal

mumgkin. Berikut adalah tabel perkiraan keuntungan yang didapat perusahaan :

Karyawan Proyek

A B C D

1 40 80 70 75

2 80 50 100 95

3 100 120 110 100

4 85 100 95 90

Bagaimana alokasi penugasan terhadap 4 karyawan tersebut harus dilakukan, agar diperoleh

keuntungan yang semaksimal mungkin.

Jawab :

1. Matriks awal :

Karyawan Proyek

A B C D

1 40 80 70 75

2 80 50 100 95

3 100 120 110 100

4 85 100 95 90

2. Cari angka terbesar dari setiap baris, kemudian angka tersebut dikurangi dengan

angka pada setiap elemen baris tersebut.

Karyawan Proyek

A B C D

1 40 0 10 5

2 20 50 0 5

3 20 0 10 20

4 15 0 5 10

3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom A dan

kolom D belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom A dengan angka

terkecil dari kolom tersebut. Demikian juga, kurangilah setiap elemen kolom D

dengan angka terkecil dari kolom tersebut.

Karyawan Proyek

A B C D

1 25 0 10 0

2 5 50 0 0

3 5 0 10 15

4 0 0 5 5


Karyawan Proyek

A B C D

1 25 0 10 0

2 5 50 0 0

3 5 0 10 15

4 0 0 5 5



Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka 0. Maka penugasan sudah optimal.

5. Kesimpulan :

Karyawan 1 ditugaskan ke proyek D dengan keuntungan 75 (kalau ke-proyek B, maka

karyawan 3 tak punya pekerjaan). Karyawan 2 ditugaskan ke proyek C dengan keuntungan

100, kemudian Karyawan 3 ditugaskan ke proyek B dengan keuntungan 110, dan karyawan 4

ditugaskan ke proyek A dengan keuntungan 85.

Jadi total keuntungan = 370.

Contoh 4 :

Suatu perusahaan memiliki 5 karyawan, yang akan menyelesaikan 5 proyek yang diperoleh

tahun ini. Sehubungan dengan keahlian masing-masing karyawan, maka karyawan tersebut

harus ditugaskan dengan tepat agar perusahaan mendapatkan keuntungan semaksimal

mumgkin. Berikut adalah tabel perkiraan keuntungan yang didapat perusahaan :

Karyawan Proyek

A B C D E

1 20 22 20 18 25

2 24 20 19 25 23

3 19 18 17 18 22

4 23 25 18 26 21

5 20 23 24 21 27

Bagaimana alokasi penugasan terhadap 4 karyawan tersebut harus dilakukan, agar diperoleh

keuntungan yang semaksimal mungkin.

Jawab :

1. Matriks awal :

Karyawan Proyek

A B C D E

1 20 22 20 18 25

2 24 20 19 25 23

3 19 18 17 18 22

4 23 25 18 26 21

5 20 23 24 21 27

2. Cari angka terbesar dari setiap baris, kemudian angka tersebut dikurangi dengan

angka pada setiap elemen baris tersebut.

Karyawan Proyek

A B C D E

1 5 3 5 7 0

2 1 5 6 0 2

3 3 4 5 4 0

4 3 1 8 0 5

5 7 4 3 6 0

3. Lihat matriks no 2, apakah setiap kolom sudah ada angka 0 (nol). Pada kolom A dan

kolom B, dan kolom C belum ada angka 0, maka kurangilah setiap elemen kolom A

dengan angka terkecil dari kolom tersebut. Demikian juga, kolom-kolom yang lainnya

Karyawan Proyek

A B C D E

1 4 2 2 7 0

2 0 4 3 0 2

3 2 3 2 4 0

4 2 0 5 0 5

5 6 3 0 6 0


Karyawan Proyek

A B C D E

1 4 2 2 7 0

2 0 4 3 0 2

3 2 3 2 4 0

4 2 0 5 0 5

5 6 3 0 6 0



Jadi ada 4 garis yang melingkupi angka 0. Maka penugasan sudah optimal.



belum terliput garis. DAN DITAMBAHKAN KE ELEMEN YANG MEMPUNYAI

GARIS BERSILANGAN.

Karyawan Proyek

A B C D E

1 2 0 0 5 0

2 0 4 3 0 4

3 0 1 0 2 0

4 2 0 5 0 7

5 6 3 0 6 0


Karyawan Proyek

A B C D E

1 2 0 0 5 0

2 0 4 3 0 4

3 0 1 0 2 0

4 2 0 5 0 7

5 6 3 0 6 2



7. Kesimpulan :

Karyawan Proyek Untung Karyawan Proyek Untung

1 B 22 1 E 25

2 A 24 2 D 25

3 E 22 3 A 19

4 D 26 4 B 25

5 C 24 5 C 24

TOTAL 118 TOTAL 118

Buku Acuan:

B. Susanta, Program Linier, PMIPA, Univ. Gadjah Mada, Yogyakarta.

Hamdy A. Taha, Riset Operasi, Binarupa Aksara, Jakarta.

Pangestu Subagyo, Marwan Asri, T.Hani Handoko, Dasar-Dasar Operations

Research, BPFE, Yogyakarta.

Richard Bronson Ph.D, 1996, Teori Dan Soal Operation Research, Penerbit Erlangga,

Jakarta.

Sukanto Reksohadiprodjo, Manajemen Produksi Dan Operasi, BPFE, Yogyakarta

Siswato, 2006, Operations Researc

LIMIT A. Pendahuluan · anggota dari S. 2. f(x 0) = nilai minimum jika f pada domain S berlaku f(x ... 2 ( 4 + x2)-1/2 ... Fungsi F(x) = disebut integral tak tentu dari fungsi f(x

Documents